Идентификация определяющих соотношений и решение плоской квазистатической задачи термовязкоупругости для структурно-неоднородных эластомеров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Основные соотношения статистической теории термовязкоупругости эластомеров

§1. Функционал свободной энергии и определяющие уравнения

§2. Вычисление зависимостей макроскопических ядер релаксации от температуры и структурных параметров для случаев слабосингулярных и экспоненциальных порождающих ядер

§3. Метод определения структурно-механических параметров, формулировка и обоснование ограничений, накладываемых на функции и постоянные материала-л

3.1. Методы определения характерШгй»: ползучести и релаксации при одноосном растяжении и простом сдвиге

3.2. Методы, основанные на аппроксимации температурной зависимости равновесных условных напряжений

3.3. Процессы, основанные на температурной зависимости составляющих комплексного динамического модуля, а также тангенса угла механических потерь

Глава 2. Численное определение структурно-механических параметров из аппроксимации экспериментальных данных теоретическими зависимостями

§ 1. Экспериментальное исследование релаксации напряжений в эластомерах

1.1. Описание резин, образцов и приборов

1.2. Учет жесткости динамометрического устройства и мгновенное задание деформации

1.3. Результаты экспериментов по исследованию релаксации напряжений

§2. Экспериментальное исследование температурной зависимости равновесных условных напряжений

§3. Экспериментальное исследование температурной зависимости тангенса угла механических потерь

§4. Алгоритм численного определения структурно-механических параметров для различных марок эластомеров

4.1. Параметрическая идентификация определяющих уравнений и формулировка задачи нелинейного программирования

4.2. Особенности программной реализации и результаты расчетов

4.3. Результаты численного эксперимента

Глава 3. Решение квазистатической плоской задачи нелинейной теории термовязкоупругости при расчете резинотехнических конструкций

§1. Введение

§2. Постановка задачи и основные обозначения

§3. Метод решения

§4. Численное решение задачи о деформировании амортизатора ароч -ного типа и исследование равновесия трубы, деформируемой между двумя плоскими штампами

Резиновые изделия находят все более широкое применение благодаря специфическим свойствам резины: способности к большим, практически обратимым деформациям, амортизационной способности, хорошим сопротивлением износу, усталостно-прочностным характеристикам, стойкости к действию агрессивных сред, тепло-, газо- и влагонепроницаемости. Резины принадлежат к классу полимерных материалов, называемых эластомерами.

Способность эластомеров к большим высокоэластическим деформациям обусловлена гибкостью длинноцепных макромолекул каучуковой матрицы и возможностью различного пространственного расположения (конфигураций) макромолекул /1/ в поле действия механических нагрузок. Свойства эластомеров зависят не только от особенностей молекулярного строения , но и от микроструктуры, обусловленной технологией изготовления. Это выдвигает на первый план разработку ускоренных методов испытаний резиновых материалов, методов, позволяющих на основе кратковременных экспериментов, выполненных в лабораторных условиях, прогнозировать термомеханическое поведение соответствующих изделий из эластомеров. Создание таких экспресс-методов возможно только на базе физической модели среды, отражающей реальную структуру рассматриваемого материала.

Предметом настоящего исследования является:

• изучение физически и геометрически нелинейных феноменологических и статистических теорий термовязкоупругости эластомеров;

• изучение зависимости структурно-механических параметров и функций влияния (релаксации и ползучести) в нелинейной теории термовязкоупругости эластомеров;

• анализ методов определения структурно-механических параметров в нелинейной теории;

• приложение теории термовязкоупругости к расчету резинотехнических изделий (РТИ).

Проблемы построения определяющих уравнений для сред различных типов, теории конечных деформаций и термодинамики сплошных сред являются в последние десятилетия предметом интенсивного исследования. Основные результаты этих исследований изложены в фундаментальных монографиях Ильюшина A.A. /2/, Новожилова В.В. /3/, Адкинса Д. и Грина А. /4/, Лурье А.И. /5/, Гольденблата И.И. /6/, Локетта Ф. /7/, Трусделла К. /8/, Кристенсена Р. /9/, Дэя У. /10/, ОденаД. /11/, Работнова Ю.Н./12/ др.

Теория определяющих соотношений основывается на постулате макроскопической определимости, сформулированном А.А.Ильюшиным /2/: если для макроскопического элемента среды задан процесс деформации, температуры и поток других немеханических параметров, то напряжения, возникающие в нем, однозначно определяются функционалом процесса, зависящего от природы среды.

Следствием из этого принципа является возможность (принципиальная) определения функционала памяти из экспериментов с однородным (не зависящим от координат) напряженным и деформированным состоянием на образцах конечных размеров /13/. Определяющие соотношения должны также удовлетворять принципу материальной независимости от системы отсчета, то есть быть инвариантными по отношению к преобразованиям системы координат. Конкретизация уравнений состояния должна быть выполнена на основе дополнительных экспериментальных и теоретических исследований для выяснения зависимости термомеханического поведения среды от деформаций , историй деформаций, температуры.

В связи с этим были построены теории, основанные на дополнительных предположениях /12, 14-16/, квазилинейная и главная теории вязкоупру-гости /17,18/ и ряд других /19,20,21/. Однако учет температуры в функционалах определяющих соотношений - еще недостаточно разработанная область механики сплошных сред. При прогнозировании термомеханического поведения материалов в температурных полях используется практически единственная гипотеза о термореологически простом материале, что позволяет применять принципы температурно-временной суперпозиции (TBC) /22/. Геометрический смысл TBC сводится к тому, что при изменении температуры Т кривые деформирования (например вязкоупругой податливости Г), изображенные в полулогарифмических координатах I- In t, «жестко» сдвигаются вдоль временной шкалы. Параллельность их смещения при этом не нарушаются. Это дает удобный способ получения зависимости механических характеристик от времени (или частоты) и температуры. Теоретически TBC применима при малых деформациях в случае, когда мгновенный модуль упругости материала не зависит от температуры и ядра релаксации (ползучести) не зависят от пространственных координат (T-const). Даже для материалов, которые подчиняются гипотезе сдвига, такая процедура справедлива лишь в ограниченных интервалах времени и температуры /22/. Изменение температуры приводит помимо горизонтального к вертикальному сдвигу кривых деформирования и величины этих сдвигов различны в различные моменты времени, причем модуль упругости эластомеров, исключая область малых деформаций, растет с увеличением температуры /23/. Неучет этого фактора может внести существенные ошибки /24, 25, 26/. Следовательно, эластомеры необходимо трактовать как класс материалов с термореологически сложным поведением /27-30/. Вследствие этого наибольшей научной ценностью и общностью при формулировании общих определяющих уравнений термовязкоупругости эластомеров обладает термодинамический подход /10, 31, 32/. В работах /33-38/ реализован такой подход при построении замкнутых систем уравнений геометрически и физически нелинейной теории термовязкоупругости с использованием структурно-неоднородной модели макрочастицы эластомера. В рамках такого подхода стало возможным получение теоретических зависимостей физико-механических свойств от температуры, частоты и др. воздействий, а также ограничений на постоянные и функции материала, следующих из физически обоснованных соображений.

Эластомеры /39-46/ относятся к гибкоцепным макросетчатым микронеоднородным полимерам, обладающим в широком температурном интервале, от температуры стеклования до температуры перехода в вязкотекучее состояние, способностью к большим ( до 500%) механически обратимым деформациям. Элементы неоднородности пространственной макросетки эластомеров представляют локальные микрообласти различной внутренней структуры. В ненаполненных каучуках в результате вулканизации серой в присутствии ускорителей и активаторов образуются элементы неоднородности микрогетерогенного строения, в которых сочетаются прочные химические и слабые межмолекулярные связи. Эти элементы не являются частицами микрофазы и поэтому не имеют четко выраженных границ . При вулканизации акриловыми соединениями (мета - крилаты магния и цинка) элементами неоднородности пространственной сетки являются кристаллиты соли, представляющие частички микрофазы размерами 140 - 300 А0, образующиеся в результате полимеризации соли. Поскольку условия полимеризации соли отличаются от оптимальных, кристаллиты соли имеют повышенную плотность дефектов, что существенно влияет на их физико-механические свойства. Аналогичное строение имеют элементы неоднородности сетки при вулканизации другими непредельными соединениями. Микрогетерогенность строения элементов неоднородности в этих последних случаях установлена методами малоуглового рассеивания рентгеновских лучей. Для наполненных каучуков при малых степенях наполнения дополнительными элементами неоднородности сетки являются сажекаучуковые области, состоящие из частиц сажи и слоя адсорбированного каучука. В термоэластопластах (например, бу-тадиенстирольные блоксополимеры) роль элементов неоднородности пространственной сетки играют микрочастицы (180 - 300 А0) застеклованного полистирола.

Процесс стеклования полистирольных участков блоксополимера с образованием застеклованных микрочастиц происходит в условиях, существенно отличных от условий стеклования обычного полистирола. Структура застеклованных микрочастиц имеет большую плотность дефектов, что приводит к отличию физико-механических свойств структур (например, уменьшение модуля упругости) от свойств полистирола, полученного при обычных условиях стеклования. Микронеоднородное строение имеют также эластомеры на основе взаимопроникающих сеток.

Приведенные работы /39-46/ представляют далеко не полный перечень работ по описанию синтеза эластомеров с микронеоднородной структурой, и элементы этой структуры явно учитываются теорией, предложенной в работах /33-38/.

Решение любой задачи термовязкоупругости в полном объеме для конкретного материала невозможно без решения проблем вспомогательного значения, к которым относится выбор (или создание) методики экспериментального исследования термомеханического поведения, а также методики и алгоритма определения параметров модели по полученным экспериментальным данным. Экспериментальная программа должна давать не только данные для идентификации параметров модели, но и подтверждать справедливость исходных гипотез и допущений, а также устанавливать границы их применимости. В методике экспериментальных исследований необходимо предусмотреть, по возможности, проведение экспериментов на образцах стандартных типов и размеров на приборах и установках, рекомендуемых ГОСТами для полимерных материалов, что дает возможность избежать методических погрешностей в каждой экспериментальной реализации.

Проблеме построения экспериментальной программы исследования термомеханического поведения полимерных материалов и соответствующих методик и алгоритмов определения параметров и функций посвящен ряд публикаций отечественных и зарубежных исследователей. В работе /47/ авторами разработан алгоритм определения параметров нелинейных интегральных уравнений наследственной теории ползучести при постоянных уровнях напряжений, вычислены параметры нелинейных моделей Работнова, Лидермана-Розовского и соотношения кубичной теории вязкоупругости со слабосингулярными и экспоненциальными ядрами. Работа /48/ посвящена определению деформационного модуля и степени нелинейности при растяжении и сжатии полимеров, а также исследованию зависимости этих характеристик у полимера, находящегося в жидкой среде. В основу анализа положено нелинейное наследственное уравнение Работнова с экспоненциальным ядром и квадратичной подынтегральной функцией напряжений.

Все необходимые параметры определяются на базе экспериментов на кратковременную ползучесть при растяжении и сжатии.

В работе /49/ описана методика определения физико-механических свойств эластомеров по данным термомеханического анализа при динамических нагрузках. В соответствии с методом образец эластомера в виде диска диаметром 6 мм и толщиной 2 мм нагревается с постоянной скоростью 10 К/мин в диапазоне температур от - 90 до 210 С, при этом к нему прикладывается пульсирующая нагрузка. В процессе испытания регистрируется изменение толщины образца. По характеру изменения амплитуды деформации определены температуры стеклования и размягчения эластомера, а также температурная зависимость мгновенного модуля от температуры для 12 типов резин. Однако, во всех приведенных экспериментальных методиках не учитывается микронеоднородное строение эластомеров.

Следующей актуальной проблемой механики эластомеров является нахождение решений физически и геометрически нелинейных задач, к которым приводит расчет резино-технических изделий. Решение геометрически нелинейных квазистатических и динамических задач вязкоупругости рассматривалось в работе /50/, где авторы предлагают разыскивать решение в виде линейной комбинации координатных функций с искомыми коэффициентами, зависящими от времени. Такой подход сводит исходную задачу к системе нелинейных интегральных или нелинейных интегродифференциальных уравнений, которую предлагается решать методом последовательных приближений. В работе /51/ к решению геометрически нелинейных задач вязкоупру-гости привлекается метод степенных рядов. Однако, наибольший прогресс достигнут в области решения задач нелинейной теории упругости. На базе современной вычислительной техники создан метод конечных элементов (МКЭ), разработаны и получили развитие эффективные методы нелинейного программирования. Методы решения геометрически нелинейных задач теории упругости рассматривались в работах Одена /52/, Аргириса с соавторами /53/, Аргириса и Симсонидиса /54/, и в других работах. Применительно к механически несжимаемым материалам соответствующие методы были развиты в монографиях Одена /52/, Лавендела Э.Э. /55/, Гузя А.Н. /56/, в работах Аргириса с соавторами /57/, Бидермана В.Л. и Жислина А.Я. /58/, Мюрака-ва и Атлури /59/, Хархурима И.Я. /60/, Гозмана Е.А. с соавторами /61/, Ля Толлека /62/, Тумалы с соавторами /63/, Гловински и Ля Толлека /64/, Одена и Кикучи /65/, в ряде других работ.

Предлагаемые в этих работах методы решения ориентированы, как правило, на применение ЭВМ и предполагают либо дискретизацию разрешающих операторов по МКЭ с последующим рассмотрением конечномерной задачи, либо реализацию процедуры минимизации функционала полной энергии по методу Ритца. Проблема несжимаемости разрешается применением метода множителей Лагранжа. В дальнейшем решение конечномерной задачи строится на базе известных шаговых методов или метода Ньютона-Рафсона. Указанные методы достаточно хорошо отработаны в смысле их численной реализации на ЭВМ и успешно применялись исследователями при решении конкретных задач.

Особый сложный класс задач механики деформируемого твердого тела составляют контактные задачи. В настоящее время прогресс в области их исследования в значительной мере связан с развитием вариационного подхода к проблеме соприкосновения деформируемых тел /66/. Развитие теории систем с односторонними связями сопровождалось развитием методов решения контактных задач путем рассмотрения их модельных вариантов, сравнения эффективности применяемых вспомогательных методов. Особое внимание было уделено математическому обоснованию исследуемых проблем /67/. Одновременно потребности практики выдвигали на первый план решение задач, имеющих конкретные физические приложения. Такие задачи были рассмотрены в работах Баничука Н.В. /68/, Фремона /69/, Фишера /70/, Фрэн-кавилла и Зенкевича /71/, Шевченко Ю.А. /72/, Никитина J1.B. /73/ и др. Наиболее математически корректной является работа Фремона /69/, однако впервые анализ граничных условий в зоне контакта вне начальных площадок соприкосновения исчерпывающе был произведен в работах Кравчука A.C. /74/. Среди недавних работ по применению вариационного метода и техники вариационных неравенств к контактным задачам отметим работы /75-78/, статью /79/, в которой аппарат вариационных неравенств был применен к решению контактных задач для несжимаемых материалов, а также работы Кравчука A.C. с соавторами /80-86/.

Целью настоящего исследования является:

• идентификация структурно-механических параметров статистической теории термовязкоупругости эластомеров /37, 38/;

• получение зависимостей структурно-механических параметров и ядер релаксации от температуры;

• разработка метода ускоренного определения структурно-механических параметров;

• решение некоторых плоских задач нелинейной теории термовязкоупруго-сти для расчета РТИ.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка использованной литературы. Во введении кратко рассмотрены проблемы построения определяющих уравнений для сред различных типов и создания экспериментальных методик определения параметров и функций, входящих в эти уравнения, а также методы численного решения задач нелинейной теории упругости.

Заключения и выводы

1. На основании нелинейной теории термовязкоупругости структурно-неоднородных эластомеров Дунаева для четырех типов порождающих ядер релаксации элементов неоднородности: Ржаницына-Колтунова, Ра-ботнова, Вронского и суммы двух экспонент вычислены макроскопические ядра релаксации и их асимптотические представления в зависимости от структурных параметров материала и температуры. Получены формулы мгновенного и равновесного модулей упругости эластомера.

2. Исходя из полученных температурных зависимостей равновесных условных напряжений, температурной зависимости тангенса угла механических потерь, а также релаксации напряжений, предложен метод идентификации структурно-механических параметров определяющих соотношений эластомеров. Найдены теоретические ограничения, накладываемые на структурно-механические параметры и функции материала.

3. Для двадцати пяти марок резины в соответствии с ГОСТ в лабораториях НИИРПа и КубГТУ разработаны методики и выполнен комплекс экспериментов: по релаксации напряжений для двух видов напряженно-деформированного состояния (однородное растяжение и простой сдвиг); по температурной зависимости равновесных напряжений (одноосное растяжение и простой сдвиг); по температурной зависимости тангенса угла механических потерь в области частот ~ 100 Гц, в температурном и частотном диапазоне высокоэластического состояния (Г+50<7<Г). Г? температура стеклования, Тт - температура размягчения.

4. Разработан алгоритм для численной аппроксимации экспериментальных данных по релаксации напряжений, по температурным зависимостям напряжений и тангенса угла механических потерь и , используя программу БЬЕРЗ!, получены структурно-механические параметры резин для порож

87 дающего ядра Ржаницына-Колтунова. Результаты численного эксперимента показывают хорошую аппроксимацию экспериментальных данных теоретическими зависимостями.

5. Создан вычислительный комплекс для решения методом конечных элементов нелинейной квазистатической плоской задачи термовязкоупруго-сти в постановке Кравчука-Дунаева-Фролова, к которым приводят задачи расчета РТИ.

6. Получено решение задачи о потере устойчивости и получена жесткостная характеристика резинометаллического амортизатора арочного типа при различных температурах.

7. Приведен расчет резинового кольца (шланга) и получена жесткостная характеристика Р- А при сжатии на 60% от первоначальной высоты. Показано, что по мере нагружения пик контактного давления удаляется от центра симметрии контакта, где в конечном итоге реализуется зона несоприкосновения и деформированная конфигурация сечения принимает форму вытянутой восьмерки. Задача решена в упругой и вязкоупругой постановке. Отмечено, что на диаграмме Р- А кривая, соответствующая вязкоуп-ругому решению, имеет экстремальную точку, характеризующую момент потери устойчивости, которая не наблюдается на упругой кривой в указанном диапазоне поджатая.

1. Флори П. Статистическая механика цепных молекул. М.: Мир, 1971.-440с.

2. Ильюшин a.a. Механика сплошной среды. 2-е изд., перераб.и доп. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.-287с.

3. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз, 1958.-370с.

4. Грин А., Адкинс Д. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.-455с.

5. Лурье А.И. теория упругости. М.: Наука, 1970.- 940с.

6. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1965.-336с.

7. Locrett F.J. Nonlinear viscoelastic solids. London - New-York: Acad. Press, 1972,- 196p.

8. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

9. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974.340с.

10. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. - 190с.

11. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464с.

12. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука, 1977.-384с.

13. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983.-349с.

14. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев: Наукова думка, 1982.-247 с.

15. Седов JI.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1969, т. I, 492с.; 1970, т. II, 568с.

16. Победря Б.Е. Методы термовязкоупругости: Автореф.дис. д-ра физ.-мат. Наук. -М., 1971.- Юс.

17. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. -М.: Наука, 1970.-280с.

18. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости. В кн.: Упругость и неупругость, вып.З. Изд-во МГУ, 1973, с.417-428.

19. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. -М.: Изд-во МГУ, 1975.-528с.

20. Kecs W. On models of onedimensional linear viscoelastic solids. Rew. roum. sci. techn. Ser. mec. appl., 1979, 24, №2, p.207-215.

21. Paven H., Dobrescu V. Model rheological equations of state in the linear viscoelasticity of polimeric composites. J. Polym. Bull., 1980, №10, p.727-730.

22. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М.: ИЛ, 1963,535с.

23. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: ИЛ., 1953, - 240с.

24. Гарцман В.И., Горелик Г.М. К вопросу об учете изменения плотности каучука при температурно-частотном (временном) приведении. -Механика полимеров, 1972, №6, с.1136-1137.

25. Weitsman Y. On the thermoviscoelastic characterization of adhesives and composites. Progr. Sci. and Eng. Compos. Proc. 4 Int. Conf., Tokyo, 1982, vol. l,p.711-779.

26. Jbar J.P. Nonequilibrium tensile deformation of amerphous polymers in the rubbery state II. Effect on birefringence and elastic strain energy of temperature, strain, rate, and strain. J. Macromol. Sci., 1979, В16, №4, p.551-579.

27. Уржумцев Ю.С., Максимов Р.Д. Прогностика деформативности полимерных материаловю Рига.: Зинатке, 1975, - 416с.

28. Kraus G., Childers С., Rollman К. Stress softening on carbon black-reinforced vulcanizates. Strain rate and temperature effects. J. Appl. Polym. Sci., 1966, 10, 2, p.229-244.

29. Macrawa E., Mancke R., Ferry J. Dynamic mechanical propoties of crosslinked rubber. J. Phys. Chem., 1965, 69, 9, p.2811-2817.

30. Raab M. Effect of flaws on the time temperature superposition on the ultimate behavior of elastomers. - J. Macromol. Sci., 1971, B5, 2, p.285-292.

31. Бесселинг Д.Ф. Термодинамический подход к реологии. -Механика, 1967, №2, с. 108-135.

32. Гольденблат И.И., Бажанов B.JI. Механика деформируемых сред и термодинамика. Механика полимеров, 1974, №6, с. 1007-1018.

33. Дунаев И.М. Термовязкоупругость эластомеров I. Науч. тр. / Краснодар, политехи, ин-т, 1977, вып.242, Механика эластомеров, с.22-35.

34. Дунаев И.М. Термовязкоупругость эластомеров II. Науч. тр./ Краснодар, политехи, ин-т, 1978, вып.268, Механика эластомеров, с.27-46.

35. Дунаев И.М. Термовязкоупругость эластомеров III. Науч. тр. / Краснодар, политехи, ин-т, 1980, вып. 101, Механика эластомеров, с.30-47.

36. Дунаев И.М. Вязкоупругость и разрушение эластомеров. Науч. тр. / Ленинград, гос. ун-т, 1980, вып. 13, Исследование по упругости и пластичности. Актуальные проблемы механики сплошных сред, с.105-114.

37. Дунаев И.М. Об одном варианте нелинейной теории термовязкоупругости эластомеров. Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1985, №1, с.110-121.

38. Dunaev I.M. A continuum model of microheterogeneous elastomers // Cont. Mod. and Disc. Sys. / Edited by G.A. Maugin New-York: Longman Scintific and Technical, 1991 - v.2.- p.30-37.

39. Догадкин Б.А. Химия эластомеров. M.: Химия, 1972.- 390с.

40. Бартенев Г.М. , Зеленев Ю.В. Физика и механика полимеров. М.: Высшая школа, 1983. - 390с.

41. Липатов Ю.С. Физическая химия наполненных полимеров. М.: Химия, 1977.-304с.

42. Липатов Ю.С. , Сергеева Л.М. Взаимопроникающие полимерные сетки. Киев: Наукова думка, 1979.-156с.

43. Shilov V.U., Lipatov U.S., Karavanova L.V., Sergeeva L.M. J., Pol., Sei; Pol., Chem., Eng, 1979, 17, p.3083-3093.

44. Донцов A.A., Тургумбаева Р.Х., Щербина И.В. Исследование вулканизации эластомеров производными азодикарбоновой кислоты. В кн.: Междунар. конф. по каучуку и резине: Современные проблемы физики и химии каучука и резины. Киев, 1978, Секц. А, 3.

45. Гольдман А.Я., Мурзаханов Г.Х. О применении нелинейных моделей вязкоупругости для описания ползучести полимеров в условиях плоского напряденного состояния при программном нагружении. -Проблемы прочности, 1979, №9, с.20-24.

46. Попов К.Г., Катингаров В.И. Деформирование полимеров в жидкой среде при центральном растяжении и сжатии. Тр. Всш. инст. Маш., 1979, сер. 9, 21, с.167-170.

47. Колтунов M.A., Трояновский И.Е. Постановка задачи нелинейной теории вязкоупругости. Механика полимеров, 1975, №2, с.234-240.

48. Бадалов Ф.Б. Метод степенных рядов в нелинейной наследственной теории вязкоупругости. Ташкент: Фан., 1980.-221 с.

49. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464с.

50. Argyris J.H., Dunne Р.С., Haase М., Orkisz J. Higher-order simplex elements for large strain analysis-natural appoach. Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1978, 16, №3, p.369-403.

51. Argyris J.H., Sumeonidis Sp. Nonlinear finite element analysis of elastic systems under nonconservative loading-natural formulation. Part I. Quasistatic problems. Comput. Meth. Appl. Meech. and Eng., 1981, 26, №1, p.75-123.

52. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий. М.: Машиностроение, 1976.-232с.

53. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. -Киев: Наукова думка, 1973. 270 с.

54. Argyris J.H., Dunne Р.С., Argelopoulos Т., Bichat В. Large natural strains and some special difficulties du to non-linearity and incompressibility. -Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng., 1974,4, №2, p.153-157.

55. Murakawa H., Atlury S.N. Finite element elasticity solutions using hybrid finite elements based on a complementary energy principle. Part II. Incompressible materials. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1959, 46, №1, p.71-77.

56. Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в нелинейной механике эластомеров. Науч. тр./ Краснодр. политехи, ин-т, 1980, вып. 101, Механика эластомеров, с.13-23.

57. Гозман Е.А., Дружинин В.А., Дымников С.И. Применение метода конечных элементов к расчету РТИ при больших деформациях. Вопр. динамики и прочности, Рига: 1980, вып. 36, с.147-156.

58. Le Tallec P. Compatibility condition and existend results in discrete finite incompressible elasticity. Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng., 1981, 27, №2, p.239-259.

59. Tuomala M., Owen D.R.J., Zienkiewicz O.C. A penalty function finite element method in nonlinear elasticity. Numer. Meth. Coupl. Propl. Proc. Int. Conf., Swansea, 7-11 Sept., 1981, Swansea, 1981, p.466-477.

60. Glowjnski R., Le Tallec P. Numerical solutions of problems in incompressible finite elasticity by angmented Lagrangian metods. I. Twodimensional and axisymmetric problems. SIAM J. Appl. Math., 1982, 42, №2, p.400-429.

61. Oden J.T., Kikuchi N. Finite element metods for constraid problems in elasticity. Int. J. Numer. Meth. Eng., 1982, 18, №5, p.701-725.

62. Signorini A. Sopra alcune qustioni di elastostatica. Atti Soc. Ital. Progresso Sci.; 1933.

63. Дюво Г., Лионе Ж. Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980.-383 с.

64. Баничук Н.В. Численное решение задачи о прогибе упругой пластины, стесненной ограничениямию Инженерный журнал, Механика твердого тела, 1967, №4, с. 138-142.

65. Eremond M. Solid resting on a stratified medium. Var. Meth. Eng. Vol. 2. Proc. Internal. Conf. Univer. Southampton, 1972. Southamton University Press, 1973, p.8/80- 8/96.

66. Fischer F.D. Zür Lozung der Kontakt-problems elastischer Körper mit ausgedechnter Kontaktflasche durch quadratische Programmierung. Computing. 1974, 13, №3-4, p.353-384.

67. Francavilla A., Zienkiewicz O.C. A note on numerical compilation of elastic contact problems. Int. J. Num. in Eng., 1975, 9, №4, p.913-924.

68. Шевченко Ю.А. Применение метода конечных элементов к решению контактной задачи теории упругости с переменной зоной контакта без трения. Ученые записки ЦАГИ, 1976, 7, №6, с.139-147.

69. Захаров В.В., Никитин JI.B. Влияние трения на процесс расслоения разнородных материалов. Механика композитных материалов, 1983, №1, с.20-25.

70. Кравчук A.C. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования. -Прикладная математика и механика, 1978, т.42, вып. 3, с. 466-474.

71. Loppin G Poinçonnement d'un support elastique et applications numériques. J. méc. 1978, 17, №3, p.455-479.

72. Кравчук A.C. О двойственности в контактных задачах. -Прикладная математика и механика, 1979, 43, №5, с.887-892.

73. Кузьменко В.И. О вариационном подходе к теории контактных задач для нелинейно-упругих слоистых тел. Прикладная математика и механика, 1979, 43, №5, с.893-901.

74. Гончаренко В.М., Кравчук А.Б. О теории стохастических вариационных неравенств и исследование контактной задачи о равновесии штампа со случайными характеристиками. В кн.: Исслед. по краевым задачам. Тр. каф. маш. физ. Киев : 1981, с.70-78.

75. Kikuchi Noboru, Song Young Joon. Contact problems involving forees and moment for incompressible linearly elastik materials. Int. J. Eng. Sci., 1980, 18, №2, p.357-377.

76. Кравчук A.C. К постановке краевых задач теории упругости с трением на границе. В сб.: Механика деформируемого твердого тела. Межвузовский сб., вып. 2, Куйбышев, 1976, с. 102-105.

77. Кравчук А.С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения. Прикладная математика и механика, 1980, т. 44, №1, с.122-129.

78. Кравчук А.С. Метод матрицы А.А.Ильюшина в контактных задачах. Вопр. вычислительной и прикл. мат. - Ташкент: 1981, №63, с.57-68.

79. Кравчук А.С. Решение некоторых пространственных контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения. Трение и износ, 1981, №4, с.589-595.

80. Кравчук А.С. Сурсяков В.А. Численное решение геометрически нелинейных контактных задач. Науч. тр./Краснодар. политехи, ин-т, 1983, Механика эластомеров, т.1, с.27-32.

81. Кравчук А.С., Зайцев Е.А. Решение на ЭВМ контактных задач вязкоупругости. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1981, №4, с.93-98.

82. Кравчук А.С., Сурсяков В.А. Численное решение геометрически нелинейных контактных задач. Докл. АН СССР, 1981, 259, №6, с. 13271329.

83. Кравчук А.С., Васильев В.А. Вариационный метод в контактной задаче теории упругости. В кн.: Упругость и неупругость, вып. 5, Изд-во МГУ, 1978, с.23-31.

84. Вронский А.П. Явление последствия в твердом теле. Прикладная математика и механика, 1941, 5, №1, с.31-56.

85. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.-752с.

86. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968.-416с.

87. Слонимский Г.Л. О законах деформации реальных материалов. -Журнал теоретической физики, 1939, 9, №20, с.1791-1807.

88. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1978.-277с.

89. Работнов Ю.Н., Паперник Л.Х., Звонов E.H. Таблицы дробно-экспоненциальной функции отрицательных параметров и интеграла от нее. -М.: Наука, 1969. 132с.

90. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. - 416с.

91. Колтунов М.А. К вопросу выбора ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации. Механика полимеров, 1966, №4, с.483-497.

92. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965, 340с.

93. Дунаев И.М., Лозовой С.Б. Экспериментально-теоретическое определение механических параметров структурно-неоднородных эластомеров. // Механика полимеров: Сб.науч.тр./Краснодар. политехнич. инт. 1985.-С.37-46.

94. Фролов H.H., Дунаев И.М., Лозовой С.Б., Астафьев Е.Р. Параметрическая идентификация функционала свободной энергии и определяющих уравнений для структурно-неоднородных эластомеров / КубГТУ. Краснодар, 1996. - 16с. -Деп. в ВИНИТИ 09.07.96., №2261-896.

95. Фролов H.H., Лозовой С.Б. Моделирование термовязкоупругого поведения эластомеров с использованием регулярных и нерегулярных функций влияния.// Механика эластомеров: Сб.науч.тр./Краснодар. политехи, ин-т.- 1987. с.93-104.

96. Малкин А.Я., Аскадский A.A., Коврига В.В. Методы измерения механических свойств полимеров. М.: Химия, 1978. - 336с.

97. Фролов H.H., Демченко В.П. Влияние жесткости измерительного устройства на поведение релаксационных кривых нелинейно-вязкоупругих элементов. Деп. в ВИНИТИ 15.07.85., №5857-85. - 7с.

98. Трояновский И.Е. Квазистатическое деформирование и установившиеся колебания вязкоупругих тел.// Автореф. дис. д-ра техн.наук. -М.: 1980.- 24с.

99. Химмельблау Дж. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975.-534с.

100. Гозман Е.А. Исследование сжатия резинометаллического амортизатора арочного типа методом конечных элементов // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. —Вып.38. с. 10-19

101. Сниегс М.И. Расчет резинометаллического амортизатора конусного типа методом конечных элементов // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. -Вып.40. с.54-57.

102. Дунаев И.М., Фролов H.H. Решение контактных задач для тел из высокоэластических материалов при конечных деформациях // Механика эластомеров. Сб.науч.тр./Краснодар.политехн.ин-т.- 1985.- с.21-36.

103. Фролов H.H., Дунаев И.М., Лозовой С.Б. Расчет диаграмм нагружения некоторых резинотехнических изделий с учетом эффекта потери устойчивости: Сб. науч. тр. /Краснодар.политехн.ин-т. 1987. - с.44-59.

104. Дунаев И.М., Фролов H.H., Лозовой С.Б. Численное решение геометрически нелинейных задач для цилиндрических оболочек из