Исследование и моделирование нестационарного термомеханического поведения вязкоупругих резиноподобных материалов и элементов конструкций при конечных деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Адамов Анатолий Арсангалеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ РЕЗИНОПОДОБНЫХ МАТЕРИАЛОВ И ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

01.02.04 — механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Пермь - 2004

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук.

Официальные оппоненты' доктор физико-математических наук,

профессор Кравчук Александр Степанович

доктор физико-математических наук, профессор Вахрушев Александр Васильевич

доктор технических наук, профессор Няшин Юрий Иванович

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита диссертации состоится 18 ноября 2004 г. в 14 ч. 00 мин на заседании диссертационного совета Д 004.012 01 при Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 614013, г. Пермь, ул. акад. Королёва, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан 1 октября 2004 г

Учёный секретарь диссертационного совета

доктор технических наук

2005-4 12717

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Резиноподобные материалы, включающие в себя собственно резины, полиуретаны, композиционные материалы на основе эласто-мерных матриц с различными наполнителями, другие полимерные материалы с высокой деформативной способностью нашли широкое применение во всех отраслях народного хозяйства. Успехи органической химии и химической технологии предоставили инженерной практике громадный выбор составов и рецептур материалов на основе синтетических каучуков и других компонентов. Проблемы грамотного использования в новых технических решениях всех возможностей резиноподобных материалов решаются как правило с запаздыванием по сравнению с разработкой материалов Это объясняется сложностью и трудоемкостью исследования физико-механических свойств такого большого числа материалов в широком диапазоне деформаций, температур, воздействий внешней среды. Зачастую экспериментальных данных недостаточно для идентификации моделей, используемых современной механикой деформируемого твердого тела при численном анализе изделий. Поэтому в настоящее время разработчики ответственных элементов конструкций с высоким весовым совершенством сталкиваются с проблемой адекватного термомеханического моделирования резиноподобных материалов с позиций их вязкоупругого поведения, нелинейных особенностей, термомеханической связанности, изменения свойств во времени, долговечности. Особенно остро эта проблема стоит для высоконаполненных эластомеров, содержащих близкие к предельным дозы разнодисперсных наполнителей и работающих в массивных изделиях при широком спектре термомеханических воздействий Несмотря, на большое число теоретических работ по моделям термомеханического поведения эластомеров, лишь некоторые из них можно корректно идентифицировать по совокупности доступной экспериментальной информации. Иногда эта совокупность расширяется ценой больших усилий на разработку и реализацию новых экспериментальных методик и установок Кроме этого, практическое использование сложных нелинейных моделей для численного анализа нагружения изделий требует разработки специальных алгоритмов и программ, учитывающих особенности конкретных моделей Поэтому заявленная тема диссертации вытекает из насущных потребностей практики и связана с дальнейшим развитием физического эксперимента, определяющих уравнений и численных методов механики деформируемого твердого тела Цель работы состоит:

1 в разработке ряда моделей термовязкоупругого поведения резиноподобных материалов при конечных деформациях;

2. в реализации методик экспериментального

идентификации моделей по реальным экспериментальным данным;

3. в разработке численных алгоритмов и программ решения задач расчета изделий с учетом специфических особенностей разработанных моделей при сложных историях термосилового нагружения.

Для реализации этой комплексной программы необходимо пройти следующие этапы: разработать программы экспериментального исследования на доступном оборудовании, провести испытания образцов материалов при различных видах напряженно-деформированного состояния, при сложных историях нагружения в широких диапазонах деформаций, скоростей деформирования, температур, давлений окружающей среды; построить модели, отражающие существенные особенности поведения материала, и отработать методики их идентификации; провести независимую экспериментальную проверку моделей, разработать алгоритмы и программы, позволяющие использовать модели в расчетах изделий при сложных режимах термосилового воздействия, использовать полученные численные результаты в качестве "обратной связи" для упрощения моделей путем удержания только наиболее важных при расчете НДС нелинейных членов, дать практические рекомендации по области применимости моделей и программ. Реализация каждого из этапов требует взаимного компромиссного учета присущих ему ограничений, что возможно лишь при комплексном подходе к решению задачи.

Научная новизна. Предложен ряд феноменологических моделей различной сложности для описания термовязкоупругого поведения изотропных рези-ноподобных материалов при конечных деформациях Наиболее общая модель этого ряда для высоконаполненных эластомеров в каждой материальной точке отслеживает полную память о истории температуры, деформации и структурного скалярного параметра, учитывает нелинейность характеристик объёмного расширения-сжатия, связанность жесткостных характеристик и структурного параметра, определяемого самостоятельным уравнением эволюции. Предложены и практически реализованы методики идентификации моделей по реальным экспериментальным данным с произвольной квазистатической историей деформирования, условно "мгновенным" нагружением и при циклических режимах с различными амплитудами и частотами. Разработаны алгоритмы и программы для численного анализа нестационарного поведения резиноподобных материалов в конструкциях, учитывающие математические особенности предложенных моделей при совместном пошаговом решении задач об эволюции полей температуры, деформаций и скалярного структурного параметра Рассчитаны реальные конструкции при существующих режимах термосилового нагружения, выявлен вклад различных нелинейных составляющих моделей.

На защиту выносятся-

1. варианты линейной и нелинейной моделей термовязкоупругого поведения резиноподобных материалов при конечных деформациях,

2. методики численной идентификации моделей по реальной совокупности экспериментальных данных,

3. результаты экспериментального и численного исследования образцов материалов при сложных видах напряженно-деформированного состояния и сложных историях нагружения,

4. алгоритмы и программы пошагового конечноэлементного анализа изделий при сложных режимах нестационарного термосилового нагружения,

5. результаты расчета изделий в рамках разработанных моделей.

Достоверность Обоснованность основных научных положений и выводов обеспечивается корректным использованием законов механики, принятием гипотез, допущений и физических предпосылок, не противоречащих им. Путем последовательного упрощения без определения новых параметров модели сводятся к классическим упругим и вязкоупругим моделям механики деформируемого твердого тела, что дает.базу для сравнения результатов и обеспечивает преемственность достижений в этой области Достоверность полученных в работе экспериментальных данных подтверждается воспроизводимостью результатов, применением автоматизированной системы регистрации, позволяющей синхронизировать данные для различных каналов измерения и учесть нелинейные характеристики используемых датчиков, использованием избыточной информации для идентификации и проверки качества моделей На основе разработанных моделей, идентифицированных для нескольких конкретных материалов, получены аналитические и численные решения задач для образцов при сложных видах напряженного состояния, позволившие в независимых от идентификации экспериментах обосновать выбор моделей и выяснить область их применимости. Достоверность полученных в работе численных результатов обеспечивается большим объёмом тестирования на задачах с известными аналитическими и численными решениями, численным исследованием сходимости на различных временных и пространственных сетках, подтверждается сравнением с экспериментальными данными заказчика по термосиловому нагружению модельных изделий

Практическая значимость. Практическая ценность работы заключается в комплексном решении проблемы от разработки программ экспериментального обеспечения предложенных моделей для реальных классов материалов

до реализации численных программ расчета изделий Прикладные программы для идентификации моделей линейной и нелинейной термовязкоупругости при малых и конечных деформациях используют информацию о деформировании образцов при произвольных квазистатических режимах, "мгновенном" нагружении, в виде значений комплексных модулей при гармоническом нэ-гружении Это обстоятельство повышает степень использования экспериментальной информации, снижает требования к экспериментальному оборудованию по обеспечению режимов нагружения, позволяет вести идентификацию моделей по большой совокупности экспериментальных кривых с различными историями деформирования.

Разработанные прикладные нелинейные модели для высоконаполнен-ных эластомеров позволяют при решении краевых задач предсказывать существенно отличающиеся по величине и характеру распределения поля напряжений в сравнении с традиционными упругими и вязкоупругими моделями Учет существенных нелинейных особенностей высоконаполненных эластомеров, в первую очередь, объёмных изменений за счет порообразования по границам частиц наполнителей, приводит к получению неаддитивных решений для разных видов нагрузки и, как правило, к меньшему уровню напряженности в сравнении с линейными решениями соответствующих задач Это обстоятельство позволяет при оценке работоспособности изделий аргументированно назначать коэффициенты безопасности и более объективно назначать требования к материалу по прочностным свойствам.

Основные разделы работы выполнялись в соответствии с тематическими планами НИР Института механики сплошных сред УрО РАН по темам: "Развитие феноменологических уравнений нелинейной теории ползучести наполненного полимера" (№ ГР 72056905), "Экспериментально-теоретическое исследование механического поведения полимера при статическом и динамическом нагружении" (№ ГР 78017239), "Экспериментальное исследование механического поведения эластомеров при сложном напряженном состоянии" (№ ГР 81103220), "Разработка и развитие экспериментальных методов исследования механического поведения материалов и конструкций при различных видах напряженного состояния и на сложных траекториях нагружения" (№ ГР 0186.0067970), "Контактные задачи с большими упругими, упругопла-стическими и вязкоупругими деформациями" (№ ГР 01.910002279), "Большие деформации в упругости, упругопластичности и вязкоупругости" (№ ГР 01 9 90000443), "Конечные деформации сложных сред: построение определяющих уравнений, развитие аналитических и численных методов решения, в том числе использующих технологии параллельного программирования" (№ ГР 01.200.119223) и по теме "Индикатор - АН" (раздел 1, 1986-1990 г.г, № ГР

Х34522) Разработанные в рамках последней темы модели, численные методики их идентификации, алгоритмы и программы расчета изделий, а также полученные на их основе результаты переданы для использования НИИ полимерных материалов (г. Пермь) Акты об использовании и внедрении результатов диссертации этим предприятием приложены к работе.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и ее отдельные результаты докладывались на семинарах ИМСС УрО РАН, 3-6,8-13 Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 1979-2003 г.г), 13,15 науч. совещ. по тепловым напряжениям в элементах конструкций (Киев, 1974, 1980 г.г.), 2 семинаре-совещании по термовязкоупругости эластомеров (Краснодар, 1978 г.), 3,5 Всесоюз. науч.-техн. конф. "Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов"(Рига, 1983, 1989 г.г.), Всесоюз конф по механике композиц материалов (Рига, 1988 г.), симпозиуме по вопросам механики резиновых конструкций тяжелых горно-металлургических машин (Днепропетровск, 1983 г.), 8 Всесоюз. конф. по прочности и пластичности (Пермь, 1983 г.), 1-3 Всесоюз. симпозиумах "Теория механ. переработки полимерных материалов"(Пермь, 1976, 1980, 1985 г.г.), отраслевых семинарах по физико-мех свойствам материалов (Томск, 1985 г, Пермь, 1987 г, Москва, 1988 г), 6 Национальном Конгрессе по теор и прикл. механике (Болгария, Варна, 1989 г), семинаре отдела ЦНИИМаш под рук проф. ДЛ. Быкова (Москва, 1989 г.), Всесоюз. конф. "Релаксац. Явления и св-ва полимерных мате-риалов"(Воронеж, 1990 г.), Всерос. науч.-техн конф. "Матем. моделирование технолог процессов обработки материалов давлением"(Пермь, 1990 г.), 12 Всесоюз конф по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Тверь, 1991 г.), Междунар. конф по каучуку и резине (Москва, 1994 г.), 3 Всерос конф. "Ползучесть в конструкциях"(Новосибирск, 1995 г), 4 Междунар. конф. "Лаврентьевские чтения по математике, механике и фи-зике"(Казань, 1995 г), 8 Всерос съезде по теор и прикл механике (Пермь, 2001 г.), Междунар. конф. "Mechanics of composite materials"(Riga, 2004 г)

Полностью диссертация обсуждалась в Пермском государственном техническом университете на семинарах кафедр "Математическое моделирование систем и процессов" (рук. дф.-м.н , проф П.В. Трусов), "Механика композиционных материалов и конструкций" (рук. д.ф.-м.н., проф. Ю.В. Сокол-кин), а также на научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. акад. РАН В.П. Матвеенко)

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 25 работ.

Личный вклад автора: в книге /20/ автором написаны главы 1-3, 9, 10; в статьях, написанных в соавторстве, автору принадлежат построенные модели, методики их идентификации, программы экспериментального исследования,

многие экспериментальные результаты

Структура и объём работы Диссертация содержит 303 стр. (258 стр. основного текста, 99 рис , 29 табл.) и состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов, библиографического списка литературы, содержащего 356 наименований, приложения с двумя актами внедрения результатов работы. Нумерация подразделов, формул, таблиц и рисунков дана по главам

Автор искренне благодарен своим учителям A.A. Поздееву

Г Б Кузнецову], И.Е. Трояновскому , стоявшим у истоков данной работы.

Автор выражает глубокую благодарность A.A. Роговому за всестороннюю поддержку и постоянное внимание к данной работе, Г.П. Соловьёву за участие в разработке программного обеспечения и решении краевых задач, Г П Бо-

гатырёву, А И. Дегтярёву, Е И Кароиду, В А. Леонтьеву, Н.В Писцову Л.С. Санникову, Е.И. Селиванову, А.И Судакову за их участие в реализации экспериментальных программ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении выполнен обзор проблемы построения и идентификации определяющих уравнений применительно к вязкоупругим резиноподоб-ным материалам, рассмотрены методы решения нестационарных термовяз-коупругих задач расчета изделий Рассмотрено текущее состояние проблем, связанных с описанием сложного поведения материалов при конечных деформациях и определяются необходимые и возможные на сегодня направления дальнейшего исследования. Приведены основные требования к определяющим соотношениям, удовлетворение законам термодинамики, принципам инвариантности и некоторым аксиомам и дополнительным неравенствам

Приведены используемые сокращения, основные обозначения и соотношения теории конечных деформаций.

Вторая глава посвящена методическим вопросам идентификации определяющих уравнений термовязкоупругости наследственного типа при малых деформациях. Частной типичной задачей обработки экспериментальных данных является идентификация оператора наследственной вязкоупругости

4 Ь

R*l (t) = jR(t- T)dl(r) = Ro l(t) - / Г(< - т)1(т)йт

(1)

определяющего связь экспериментально измеренной функции силовой реакции образца /(¿) с приближенно заданной функцией его деформационного состояния Щ)

т=кщ) (2)

в виде интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода, содержащего в качестве разностного ядра неизвестную "материальную" функцию релаксации R(t) или соответствующую ей функцию скорости релаксации Г(£).

При сведении задачи идентификации "материальных" функций к задаче определения конечномерного вектора неизвестных параметров использованы следующие их представления, соответствующие непрерывным спектрам времен релаксации:

1 функция скорости релаксации (ядро М.А. Колтунова)

А ехр (-0Г")

¿1-е

область допустимых значений его параметров

Г(«) =

(3)

О < а < 1; /? > 0; 2. функция релаксации в виде

т> а:

О < А <

т

0<х/ л

Г (а/т)

R (0 = Д» + TVTTTT^

1 + (í/r0)p

(4)

где Я«,, Ro, то, /? - положительные параметры, первые два - равновесный и мгновенный модули (Roo < Ro).

т

МПа 25

20

Ш Ш

15

10

Реализованы численные методики поиска параметров функций (3-4) и мгновенного модуля Rf) при использовании совокупности опытов с произвольными различными историями изменения осевой силы, продольной и объёмной деформаций в изотермических условиях.

При поиске параметров в силу математической некорректности решаемой задачи идентификации возникает проблема неединственности решения, определяющего поведение материала на интервале времени £ с (0,оо). Существует множество комбинаций параметров, соответствующих значительно различающимся в общем реализациям функции релаксации, позволяющим с удовлетворительной точностью аппроксимировать используемую совокупность экспериментальных данных

I I 1 1

V » I 1 1 1 1 1

|\ 1

> > 1 \ ^ - ---

1 1

-14 -10 -6 -2

0.16

0.12

0.08 SRK

0.04 0.00

lg(/), (/, мин) Рис 1. Усредненная функция релаксации

Статистический анализ выборок найденных реализаций искомой случайной функции релаксации для ряда материалов показал, что можно выделить интервал временной оси £ € (^ъ^г) (см. рис. 1), на котором усредненная функция релаксации имеет дисперсию, не превышающую некоторого критериального значения.

Границы этого интервала зависят от поведения исследуемого материала, от интервала времен наблюдения и диапазона скоростей деформационного воздействия, от используемой совокупности экспериментальных данных, от выбранной меры дисперсии и самого значения критерия. На этом интервале времени усредненная функция релаксации имеет поведение, устойчивое к малым возмущениям экспериментальных данных и, следуя физическому смыслу, она в совокупности с другими статистическими характеристиками может быть принята в качестве корректного решения частной задачи идентификации оператора II* на этом интервале времени

Для моделирования термовязкоупругого поведения при нестационарных историях температуры Т(£) использована гипотеза о справедливости температурно-временной аналогии. В соответствии с ней оператор (1) в масштабе реального времени учитывает историю температурного возмущения относительно температуры приведения Т, следующим образом

Рис. 2. Схема локального совмещения.

[ВДП(г) = /я|

= До

/(г)-/г,

' дт[Т{у) -Т^У^т) =

\]дт[Т{у)-Т^1{т)(1т

(5)

где дт — Та] - обратная "материальная" функция температурно-времен-ного сдвига для рассматриваемого оператора.

На основе полученных результатов по идентификации функции релаксации и её доверительного интервала на ограниченном интервале времени при разных уровнях температуры предложена методика нахождения обобщенной функции релаксации и функции температурно-временного сдвига (см. рис.2).

На рис 3 приведен пример реализации этой методики при описании термомеханического поведения дисперсно наполненного высокоэластичного материала "Д" в области линейного поведения. Использованы усредненные кривые релаксации при восьми уровнях температуры в диапазоне Т € (223,323) К.

сдвига.

В третьей главе проведён поиск подходящего упругого определяющего уравнения для обобщения его на случай вязкоупругого поведения. Выполнен анализ десяти двухконстантных моделей упругого и гиперупругого поведения изотропных материалов, являющихся обобщением закона Гука на область конечных деформаций в изотермических условиях х: 1 - "неогуко-во тело", 2 - потенциал Бартенева-Хазановича, 3 - несжимаемый материал Генки, 4 - материал Генки с равным нулю углом подобия девиаторов, 5 - "линейный материал" Мурнагана, б - "полилинейный материал", 7 - "упрощенный закон" Синьорини, 8 - вариант потенциала Пенга-Ландела, 9 - вариант потенциала К Ф Черных с линейным законом сжимаемости, 10 - вариант потенциала А А Рогового Получены решения краевых задач при пяти однородных видах НДС, реализуемых в экспериментальной практике' гидростатическом напряжённом состоянии (ГНС), одноосном деформированном состоянии (ОДС), одноосном напряжённом состоянии (ОНС), симметричном двухосном напряжённом состоянии (СДНС), несимметричном двухосном деформированном состоянии (НДДС)

'в работе для конечных деформаций использована система обозначений книги А И Лурье "Теория упругости", М.:Наука, 1970 - 940 с.

Проведён их численный сравнительный анализ с целью выявления области применимости моделей по диапазону соотношения констант р/В, имеющих при малых деформациях смысл модулей сдвига и объёмного сжатия. Особое внимание уделено описанию изменений объёмных деформаций, как одному из основных критериев при выборе уравнений состояния

Выявлено, что потенциалы (5-7) при малых значениях ц/В, начиная с весьма малых удлинений, предсказывают в условиях ОНС, СДНС, НДДС физически нереальное изменение объёма образцов (см. рис. 4, цифры у кривых соответствуют номерам моделей, Е - модуль Юнга линейной теории, 5% -степень осевого удлинения), причем известные дополнительные неравенства нелинейной теории упругости допускают это явление

зев

0.5

0.0

-0.5

а) 7 у

1

1

_9 2

-0.001 0.000 0.001 6, зев

0.5

0.0

-0.5

0.0

0.5

-0.5

б) ц/Я=0.001 1 * А

7 V 1

* 2Л ¿к] ч * -А->

-0.5

0.0

38В Е

0.001

0.000

-0.001

0.5

Рис 4. Относительные объёмные изменения при ОНС

Показано, что регистрация отношения приложенного напряжения к удерживающему напряжению в опытах при НДДС (см. рис. 5) даёт важную информацию для выбора модели и используемой меры деформаций.

Основным результатом этого анализа является выбор рассмотренного варианта модели Пенга-Ландела, обращающегося при предельном переходе в потенциал "неогукова тела", по следующим преимуществам: широкая область применимости по диапазону соотношения констант [г/В и по диапазону конечных деформаций, запись модели через инварианты меры деформаций Коши-Грина.

Второй параграф этой главы (для реализации процедуры обобщения на случай вязкоупругого поведения) посвящен приведению общей формы связи "энергетического" тензора напряжений ф и меры деформаций Коши-Грина С7Х для гиперупругих несжимаемых материалов к новому виду, содержащему

8.0

4.0

-0.5 0.0 0.5 81 "°-5 00 05 5,

Рис 5. Отношение приложенного напряжения к удерживающему в качестве множителя Лагранжа среднее "физическое" напряжение р■

где , /2, /3) - потенциал гиперупругого тела, I, - главные инварианты (5х; (1з = 1); д - метрический тензор в начальной недеформированной конфигурации Со; т = (С*)-1 - обратный тензор меры деформаций Коши-Грина.

В четвёртой главе изложены результаты по описанию термовязко-упругого поведения ненаполненных и малонаполненных эластомеров с помощью тензорно линейных моделей несжимаемого и слабосжимаемого изотропного тела.

Обобщение упругих моделей несжимаемого "неогукова тела" и слабо-сжимаемого материала Пенга-Ландела на случай вязкоупругого поведения выполнено путем замены упругих модулей ц, В интегральными временными операторами наследственной теории вязкоупругости (1) в представлении "энергетического" тензора напряжений 0 через тензор меры деформаций Коши-Грина С* (оба тензора определены в базисе конфигурации Со) Полученные модели имеют следующий вид: вязкоупругий аналог "неогукова тела"

<3 = ц*(д-^т1+рт; (8)

б) 5 /

ц/5=0.001

модель слабосжимаемого вязкоупругого материала (упругое поведение при ГНС)

-5/6 (~ Ь

+ В9тп\

(9)

модель слабосжи маемого вязкоупругого материала с вязкоупругим поведени ем при ГНС

-5/6 (~ Ь ^

И*)]

+ ВФ (От),

(10)

где в = \/7з — 1 - относительное изменение объёма; (л*, В* - операторы, имеющие смысл модуля сдвига и модуля объёмного сжатия при малых деформациях.

Для учета нестационарного температурного влияния в (9,10) соответствующие термовязкоупругие модели в силу малости температурных объёмных деформаций записаны следующим образом:

Я = (л{т(г)Г Я = 1л[Т(1))

-5/в (.

И-)

+ В[Т(1)\ (в - ату[Т(г)\АТ) т, (11) + В[Т(£)]' {(в - аТУ[Т(1)]АТ) га], (12)

где:

= мо

М - / гЛ / 9тАТ(з) - Г^Л /{т)йт

7 ЯЛ / дт,[Т(8) - Ж) ^¿т;

(13)

щтут = во

/(г) - /гв /5твР>) - ТвВ]сЫ !(т)йт

= }пв [¡9тв[Т(*) ~ Т,в] ¿в)

(14)

ДТ = Т(£) -Т0 - приращение температуры относительно То - температуры естественного ненапряженного состояния; ату[Т(£)] = АУ/(У АТ) - средний объёмный коэффициент температурного расширения на интервале температур АТ; В[Т(г)] - модуль объёмного сжатия, зависящий от температуры

Для учёта идеальной энтропийной природы высокоэластичного состояния предлагается оператор (13) задавать в виде

ш

Т.*

№ - /г,\)9т[Т(з)-ТаМ /(т)Ж-

= 9rlT(s) - Г. J y^rdT. (15)

Для моделей (9-10) получены решения краевых задач вязкоупругости при тех же однородных видах НДС, что рассмотрены во второй главе в упругом приближении. Они могут быть использованы для целей идентификации или оценки адекватности, если проведены экспериментальные исследования при данном виде НДС с измерением соответствующих историй в процессе испытаний образца материала. Кроме этого, для несжимаемого вязкоупругого материала (8) получены решения экспериментально реализуемых краевых задач при кручении, растяжении-сжатии длинного цилиндра и при нагружении внутренним давлением, растяжении замкнутого полого тонкостенного длинного цилиндра.

Для идентификации оператора ц* в (9-10) достаточно опытов с разными историями деформации при ОНС. В отличие от геометрически линейной теории связь осевой силы P(t), приложенной к образцу, имеющему площадь недеформированного сечения So , со степенями поперечного Ai(f) = Ai{t) и осевого удлинения A3(t) выражается в виде суммы двух сверток ц* с разными функциями деформации

/ (<) = Р (t) /в» = <рг (t) MVi (*) + Щ (t) H*<P2 (i) (16)

где функции <pt (Aj, A3) определены следующей таблицей'

<а(Аь АЗ) для (8) для (10)

Ч> 1 1-V Л-Ш/3Л-5/3 (1 _ л?л-2)

4>г 1-А i аг10/3А3"5/3 (1 - АГ2А|)

<¿>3 2А3/3 2 А?А|/3

tp 4 -Xf/3

Для определения параметра В в (10) или оператора В* в (Ю) предлагается использовать эксперименты при ОДС или ГНС.

Всё методическое и программное обеспечение по идентификации операторов наследственной термовязкоупругости, реализованное в первой главе, модифицировано для обработки экспериментальных данных, представленных выражениями типа (16).

Далее в главе представлены результаты разработки с участием автора экспериментального обеспечения для реализации некоторых видов НДС

с регистрацией полных историй нагружения образцов: информационно - измерительная система в стандарте КАМАК, релаксометры осевого растяжения с комбинированной системой регистрации, установка для кручения и растяжения-сжатия образцов СН-3, приспособление для реализации ОДС

Идентифицированные для трёх материалов определяющие соотношения (9-10) позволили осуществить экспериментальную проверку их работоспособности при сложных историях нагружения трубчатых образцов внутренним давлением и осевой силой, а также при кручении и растяжении-сжатии сплошного цилиндрического образца.

В последнем случае аналитическим решением был предсказан и экспериментально подтвержден вязкоупругий вариант эффекта Пойнтинга - возникающие при закрутке осевое удлинение образца Д¿(¿) в случае "плавающего" захвата и распирающая осевая сила Рг{1) в случае захвата, фиксированного по осевому перемещению, зависят от истории нагружения образца На рис 6, 7 для резины ИРП-1226 при комнатной температуре приведены экспериментальные и расчетные данные (пунктир) двух опытов с указанием начальных участков нагружения по углу закрутки в режиме релаксации и по осевой силе в режиме ползучести.

го

1& ю

5

О

10 го 50 «0 50 60 70 во 90 1,евг" Рис. б. Релаксация при кручении с наложением осевой силы.

В заключении главы сформулированы методические требования к экспериментальному обеспечению моделей вязкоупругого поведения резинопо-добных материалов.

Пятая глава посвящена описанию термовязкоупругого поведения вы-соконаполненных эластомеров (ВНЭ), используемых в специальной технике и имеющих близкое к предельному наполнение частицами металлов и мине-

Рис. 7. Осевая ползучесть с наложением закрутки.

ральных солей разных фракций Частицы наполнителей не имеют геометрической ориентации, но могут отличаться по размеру на два десятичных порядка Кроме этого, связующее содержит большое количество пластификатора Указанные особенности обуславливают богатый спектр нелинейных явлений эволюционного типа и в работе ставится задача описания существенных нелинейных эффектов с помощью простых моделей, ограничивая их сложность возможностями экспериментального обеспечения.

Некоторое представление о перечисленных особенностях дают реальные экспериментальные данные, представленные на рис. 8-10'

Дан обзор и критический анализ известных моделей для высоконапол-неных эластомеров, описывающих вязкоупругое поведение, объёмные изменения, эффект Маллинза, накопление повреждений. Наиболее подробно рассмотрена модель Фаррисэ-Фитцджеральда.

Далее рассмотрен термодинамический подход к построению системы определяющих уравнений с внутренними переменными состояния. Попытки количественного разделения диссипируемой при механическом деформировании энергии на тепловую и скрытую составляющие не привели к успеху из-за отсутствия высокоточного экспериментального оборудования Необходимость идентификации полной системы функционалов в этом подходе на порядок усложняет задачу конкретизации определяющих уравнений по сравнению с частной проблемой установления связи напряжений с независимыми переменными состояния.

Поэтому, несмотря на всю привлекательность термодинамического под-

4 = 3\-3сек*

^__| г53

273 ---^

395 т

1

3/3

"-"*■ 33 ---

О 0.1 . 0.2 О.$ 04

Рис 8. Кривые растяжения в условиях ОНС для разных уровней температуры

Рис. 9. Объёмные изменения при растяжении в условиях ОНС для разных уровней температуры.

*

Рис 10. Объёмные изменения при разных скоростях деформации и разных уровнях внешнего давления.

хода, обеспечивающего согласованность 'системы определяющих уравнений и удовлетворение началам термодинамики, далее развивается на эмпирическом уровне нелинейная модель с одним скалярным структурным параметром > 0 - внутренней переменной состояния, учитывающей изменение жесткости материала за счет отслоения частиц наполнителя от связующего, разрыва других связей, разрушения частиц наполнителя За основу взята модель (11), удовлетворительно зарекомендовавшая себя для высоконапол-ненных эластомеров в области линейного поведения

Для выбора и обоснования феноменологической модели термомеханического поведения ВНЭ с учетом структурных изменений, подбора уравнения эволюции для реализованы и проанализированы следующие подходы к экспериментальной оценке изменений структуры наполненных эластомеров-

• оптическая микроскопия с помощью микроскопа микротвердомера ПМТ-3, на рис. 11а показана микроструктура поверхности образца материала "[""(стрелки указывают на отслоения связующего от частиц наполнителя, удлинение 8%), а на рис. 116 - зависимость числа отслоений на единицу площади от деформации;

• метод рентгеновской реконструктивной томографии на рентгеновском

вычислительном томографе Бота^нп фирмы "Сименс", на

рис. 12а приведена томограмма поперечного сечения образца и гистограмма распределения плотностей в помеченной круговой области, на рис. 126 - зависимости числовых характеристик статистического распределения для регистрируемого линейного коэффициента ослабления рентгеновского луча (математического ожидания МЕ в числах Хаунс-филда и среднеквадратичного отклонения БТ) от осевой деформации;

• деформационная микрокалориметрия с помощью модифицированного изотермического дифференциального микрокалориметра ДАК-1-1, результаты испытаний образца одного из материалов при температуре 40 "С представлены на рис. 13, 14.

• оценка деформационной анизотропии по данным кручения в разных направлениях.

а)

«■-• *

* '■ф 1 -. » (

0.1 X

б)

я

Ж «

8

ё О О

н

м

!Г

0.02 0.04 0.06 0 08

Рис 11. Результаты оптической микроскопии.

Обобщенная нелинейная модель термовязкоупругого поведения наполненных эластомеров при конечных деформациях

. <?(*) = М(ге, в'мту |/(/ь *)(*-£*)}+, ш, (17)

где - определяется своим уравнением эволюции во времени; а —

В [(У - Р(17, а, гс)) - среднее "физическое" напряжение; & = 9 — аут&Т -а^А?1С - объёмные изменения без температурной и структурной составляющих; /7 - мера интенсивности сдвиговых деформаций, М, /, нелинейные функции указанных аргументов

б)

ггД-и 1 т- .лин-ч* ГЦ ПИ г

ОРЛ О61

р< ^

Г." ■ -

"к I У. ^ ш ле>? \ ПсНМ НЬ-.ПяРГ

ЯТ,-Ы 18

16

14

12

10

» ) ♦

> ф* Ш

ы ** т

ДМЕ,

(о) 8

6

4

2

О

О 0.05 0.1 0.15 0.2 6, Рис. 12. Результаты томографического исследования.

Рис 13. Диаграмма нагрузка - удлинение. Цифрами у кривых обозначено время в сек

Ч

ь

р.

Рис. 14. Тепловая мощность и нагрузка, приложенная к образцу, во времени. В частности, из рассмотренных были использованы следующие аппрок-

где В, аут, аг, Х> кг, П, В\, тг, В2 - параметры;

Приведены полные и усеченные программы экспериментов для идентификации различных вариантов модели

Методики численной идентификации моделей (17) имеют три этапа -на первом определяются параметры и "материальные" функции в диапазоне линейного поведения по методикам, изложенным в гл.2,4, на втором - параметры аппроксимирующих зависимостей (18-20) путем выделения двух независимых комплексов параметров при каждом уровне температуры с использованием экспериментальной информации в диапазоне существенного проявления нелинейных эффектов, на третьем - выявляются температурные зависимости параметров нелинейных функций (18-20) с их последующей сплайн-аппроксимацией.

В заключении главы приведены варианты нелинейной модели вязко-упругого поведения подкласса резин с высоким содержанием техуглерода и проявляющих существенно нелинейные свойства уже на начальных участках деформирования Физическая природа нелинейности в данном случае объясняется сорбцией сегментов макромолекул каучука на развитой поверхности

симации (/ = /3 5^в)

^. = шах{[1 + х(Т-Г0)]7

М = {1-кггс){1-ие'У,

Р = ВХ Ц Д£с ехр В2

(18)

(19)

(20)

техуглерода и образованием сравнительно жёсткой пространственной сетки каучук-техуглерод при содержании наполнителя более 10 % (объёма) При деформировании происходит изменение структуры материала за счёт частичного разрушения техуглеродной сетки и за счёт увеличения среднестатической молекулярной массы макромолекул между частицами углерода при сползании под нагрузкой сорбированных сегментов макромолекул каучука с поверхности частиц сажи.

Так как эксплуатация большинства резинотехнических изделий ограничивается именно этим диапазоном деформаций, для практики термомеханического анализа элементов конструкций актуальны модели поведения этого класса материалов в квазистатических и динамических режимах работы.

Продемонстрированы возможности описания периодического деформирования указанных материалов в рабочем диапазоне деформаций с учетом амплитудных и частотных зависимостей по результатам квазистатического исследования двух марок резины Один из вариантов модели является частным случаем обобщенной модели (17) при М = 1; Zc = 0; F — 0; / = /¿~5//6 [1 + 6 (Ii — З)]"1; 6, щ - параметры.

На рис. 15 приведена петля гистерезиса при частоте íí = 1 Гц в условиях ОНС для резины с 50 массовыми частями техуглерода ПМ-50. Гармоническое кинематическое возбуждение с наложенной статической составляющей деформацией в данном случае приводит к полигармонической силовой реакции образца в отличие от классической теории вязко-упругости. Штриховой линией показана аппроксимация полученной петли по методу гармонической линеаризации тремя первыми членами ряда Фурье на периоде установившихся колебаний:

W ~ ¿30 + Е' £ sin [2 7Г ft(£ - ¿o)] + Е" е eos [2 ж Q(t - í0)], t-»oo,

где Е', Е" - аналоги составляющих комплексного модуля Юнга, t^ - постоянная составляющая, отличающаяся в общем случае от статической составляющей для исходной петли гистерезиса.

Рис. 15. Петля гистерезиса.

На рис. 16 сплошными линиями показаны результаты расчета по указанной выше численной процедуре аппроксимации действительной составляющей модуля Е' и тангенса угла потерь = Е"/Е' для О = 1 Гц и П = 1до — 8 Гц при различных величинах статической й и двух значениях динамической е составляющих деформации: кривые 1, 3, 5 - е = 0.01; 2, 4, 6 -е = 0.1; кривые 1, 2, 3, 4-П = 1 Гц; 5, 6-0 = 1ю~8 Гц; кривые 1, 2, 5, 6-указанная выше модель, идентифицированная для исследованной резины ; 3, 4 - модифицированная модель с использованием деформационно-временной аналогии.

0.15 0.14 0.13 0.12

0.11

- 1 Г / Л- \4 »

1 . I2 I 1 1

■!-^ \ N \ \ 1и ч/ Л гт 1 4 У/1

' \ \ \ / /з

% 1 •

-0.2

-0.1 0.0

0.1

Рис. 16. Зависимости Е' и tg<£l от статической составляющей деформации.

Анализ полученных динамических характеристик показывает, что рассмотренная модель, идентифицированная по данным квазистатического эксперимента, предсказывает основные нелинейные эффекты отличие петли гистерезиса от эллиптической, уменьшение равновесного модуля с ростом удлинения, влияние амплитуды динамической и статической составляющих деформации Но тангенс угла потерь практически не зависит от амплитуды деформации, поэтому была построена гипотетическая модель с использованием деформационно-временной аналогии.

Предложена совокупность экспериментального исследования, достаточная для выбора рассмотренных вариантов модели и их идентификации.

В шестой главе приведены алгоритмы программ для численного анализа элементов конструкций из ВНЭ при нестационарных термосиловых режимах нагружения.

Рассматривается тело, имеющее в начальной недеформированной конфигурации Со объём У0 с однородной температурой Г, и с однородной плотностью структурного скалярного параметра Тело имеет поверхность

S — S^US" с нормалью N в текущей конфигурации Сг, на одной части S*" заданы поверхностно распределенные нагрузки, определяемые вектором Р: N • Т = Р, Vr е S^; на другой части Su заданы перемещения-u(r,i) =f(r,i), Vr е 5".

Вариационное уравнение в смешанной постановке записано на основе подхода Б Г.Галеркина в виде

SA = J (hi/2Q ■ SGx-p0K- <5u+

+/31/2 ff - F(/7, <r, Zc) - ^ So^jdVo- /P • 5ud5 = 0, (21)

где: К - вектор массовых сил (на единицу объёма в конфигурации Со); ро -плотность в конфигурации Со-

Уравнениями Эйлера для (21) являются граничные условия в напряжениях N T—Р = 0, уравнения равновесия SJ-T+pK = 0, уравнение объёмной сжимаемости ff — F — а/В = 0.

Для случая малых деформаций

6А = [ (\а ■ -5ё -рК-би+У- F(/7, <r, Zc) - £1 5а) dV- / P-8udS = 0, v Hi ' sr

где использованы соответствующие понятия теории малых деформаций: а = M{Zc,ff)fi* (ё - 9д/3) -I- аод - тензор напряжений; 9 = 1\(ё) - деформация объёма; (То = h{(f)/3 = В [ff — F(/7, a, Zc)] - среднее напряжение.

Реализация пошаговой по времени процедуры конечноэлементного анализа проведена для случаев осесимметричной и обобщенно плоской деформации (осевая деформация постоянна, не равна нулю) при решении на каждом шаге задач теплопроводности, расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) и скалярного структурного параметра в рамках теорий малых и конечных деформаций

В задаче теплопроводности для дискретизации по времени используется конечно-разностная неявная схема первого порядка, не учитываются распределенные по объёму диссипативные источники тепла, но принимается во внимание конечное формоизменение расчетной области Связанность задач НДС и скалярного структурного параметра, зависимость термомеханических свойств от температуры учитывается простейшим способом с отставанием на один шаг с последующим итерационным уточнением

При выводе системы разрешающих уравнений для конечного элемента использована линейная аппроксимация неизвестных величин по времени на каждом временном шаге, четырехугольные изопараметрические элементы

с квадратичной аппроксимацией температуры, приращений перемещений и полилинейной аппроксимацией приращений среднего напряжения Использование МКЭ-процедуры и линеаризация всех выражений относительно приращений узловых неизвестных приводят задачу на текущем шаге при известных в прошлом историях полей температуры, скалярного параметра и НДС к решению несимметричной ленточной системы линейных алгебраических уравнений.

При численной реализации алгоритма для повышения точности и снижения затрат машинного времени использованы нерегулярные сетки конечных элементов, разрывные по границам элементов аппроксимации скорости изменения среднего напряжения, процедуры автоматического выбора шага по времени и приближенного учета удаленных прошлых отрезков истории деформирования, различные процедуры вычисления интегралов по времени в зависимости от истории температуры

Для двух изделий проведен расчет реальных режимов нагружения цилиндра из ВНЭ со стальной упругой оболочкой при действии внутреннего давления, нестационарного теплового поля с граничных условиях первого и третьего рода, при их совместном воздействии. При рассмотрении различных приближенных подходов показана необходимость полного учёта истории температурного поля. Для анализа вклада различных нелинейных составляющих модели рассмотрены разные варианты модели ВНЭ' 1 - малые деформации, линейная термовязкоупругость (ТВУ); 2 - конечные деформации, линейная ТВУ; 3 - малые деформации, нелинейная ТВУ; 4 - конечные деформации, нелинейная ТВУ; 5 - малые деформации, линейная упругость с равновесным модулем сдвига.

На рис 17 для второго изделия показаны результаты расчёта температуры на внутренней Т(а) и внешней Т(Ь) поверхностях эластомерного слоя, окружных деформаций радиальных напряжений аг(Ь) на контакте с

оболочкой (при конечных деформациях - компонента тензора деформаций Коши-Грина, аг(Ь) - физическое напряжение)

На рис. 18 показаны отличия в распределении по радиусу радиальных (тг(г) и тангенциальных ст^(г) напряжений в конце процесса охлаждения (£ =85 часов), номера кривых соответствуют номерам рис 17

Анализ вклада различных нелинейных факторов в уточнение НДС показывает, что наиболее значимым фактором является нелинейность по функции объёмных изменений. При отсутствии внутреннего давления и большом температурном перепаде в режиме охлаждения от температуры естественного ненапряжённого состояния возникают большие деформации на канале, реализуется значительное количественное и качественное отличие полей напря-

Рис 17. Изменения температуры и компонент НДС во времени, номера кривых соответствуют варианту модели ВНЭ.

Рис. 18. Распределение напряжений по радиусу.

жений по сравнению с решениями, не учитывающими структурные изменения и связанные с ними объёмные деформации. Кроме этого, полученные нелинейные решения сушественно неаддитивны для рассмотренных факторов нагружения.

Полученные численные результаты свидетельствуют о необходимости использования разработанных моделей и алгоритмов для более адекватного моделирования НДС ответственных элементов конструкций из ВНЭ при сложных режимах термосилового нагружения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Для прикладных исследований нелинейного термовязкоупругого поведения изотропных резиноподобных материалов в области конечных деформаций разработаны феноменологические модели несжимаемых, линейно и нелинейно сжимаемых деформируемых сред, методики идентификации моделей для конкретных материалов по доступной совокупности экспериментальных данных, алгоритмы и программы численного анализа нестационарных режимов термосилового нагружения элементов конструкций с использованием разработанных моделей. В частности:

1. Разработаны и апробированы численные методики определения материальных параметров и функций линейной наследственной теории термовязкоупругости при малых деформациях с использованием температурно-временной аналогии Методики позволяет вести идентификацию моделей по большой совокупности экспериментальных кривых с различными историями деформирования. Это обстоятельство повышает степень использования экспериментальной информации, снижает требования к экспериментальному оборудованию по обеспечению режимов нагружения. В качестве корректного решения частной задачи идентификации произвольного оператора интегрального типа на конечном известном интервале времени предложено использовать усредненную функцию релаксации, определяемую как результат усреднения множества допустимых решений общей математически некорректной задачи идентификации.

2. Получено новое представление тензора напряжений через упругий потенциал несжимаемого упругого тела, проведен анализ и выбор определяющих уравнений сжимаемых упругих тел для обобщения на случай вязкоупругого поведения, показана ограниченность некоторых широко применяемых моделей с точки зрения физически правдоподобного предсказания объёмных изменений при различных видах напряженно-деформированного состояния.

3 На основе полученных и выбранных представлений построены модели термовязкоупругого поведения несжимаемых и слабосжимаемых материалов с малыми степенями наполнения, обобщающие классическую модель изотропного вязкоупругого тела на начальную область конечных деформаций. Разработанные модели использованы для описания поведения полиуретана ГУП-26, резины ИРП-1226, наполненных до 30 % по объёму полидиенэпоксиуретанов. В рамках модели несжимаемого тела получены аналитические решения задач при сложных видах напряженного состояния: о совместном кручении и растяжении-сжатии сплошных цилиндрических образцов и наддуве с растяжением полых тонкостенных трубчатых образцов. Экспериментальное исследование образцов при этих видах НДС показало удовлетворительное соответствие с теоретическими предсказаниями по всем характеристикам, включая вязкоупругое проявление эффекта Пойнтинга.

4. Предложена модель термовязкоупругого поведения высоконаполненных эластомеров при конечных деформациях, включающая дополнительное уравнение эволюции для скалярного структурного параметра Учитываются нелинейные эффекты, обусловленные отслоением высокоэластичного связующего и порообразованием по границам наполнителя, связанная с этим чувствительностью к внешнему гидростатическому давлению и виду НДС Описано поведение ряда модельных и реальных материалов в широком диапазоне температур и скоростей деформации.

5. Построена модель термовязкоупругого поведения резин, описывающая особенности нелинейного поведения при квазистатических и динамических режимах нагружения, включая зависимости от амплитуд статической и динамической составляющих в основном эксплуатационном диапазоне деформаций. Модель апробирована для резины двух марок, отличающихся степенью наполнения. Её использование позволяет сократить объём многофакторного трудоёмкого эксперимента по выявлению нелинейных жёсткостных и диссипативных характеристик.

6 Для идентификации перечисленных выше моделей модифицированы методики теории малых деформаций для нахождения функции релаксации и функции температурно-временного сдвига, разработаны и апробированы численные методики для определения дополнительных материальных параметров и функций, также использующие данные о нагру-жении образцов с произвольной квазистатической историей деформирования.

7 Для испытания резиноподобных материалов разработаны экспериментальные методики и оборудование, позволяющее регистрировать полные истории измеряемых величин Реализованы опыты при одноосном деформированном состоянии, кручении с растяжением-сжатием, опыты с измерением тепловых потоков в деформационном микрокалориметре

8 Разработаны алгоритмы и программы для численного анализа нестационарного поведения резиноподобных материалов в конструкциях учитывающие математические особенности предложенных моделей при совместном пошаговом решении задач об эволюции полей температуры, деформаций и скалярного структурного параметра.

9 Выполнен анализ термомеханического поведения ряда реальных конструкций при существующих режимах термосилового нагружения, выявлен вклад различных нелинейных составляющих моделей. Разработанные прикладные нелинейные модели для высоконаполненных эластомеров позволяют предсказывать существенно отличающиеся по величине и характеру распределения поля напряжений в сравнении с традиционными упругими и вязкоупругими моделями. Учет существенных нелинейных особенностей высоконаполненных эластомеров, в первую очередь объёмных изменений за счет порообразования по границам частиц наполнителей, приводит к получению неаддитивных решений для разных видов нагрузки и, как правило, к меньшему уровню напряженности в сравнении с линейными решениями соответствующих задач Это обстоятельство позволяет при оценке работоспособности изделий более аргументированно назначать коэффициенты безопасности и требования к материалу по прочностным свойствам.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

[1] Адамов A.A. О неединственности определения параметров в интегральных уравнениях вязкоупругогти по данным квазистатических испытаний // Исследования по механике полимеров и систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1978. - С. 16-20.

[2] Адамов А А Описание вязкоупругого поведения несжимаемых и слабосжимаемых материалов при конечных деформациях' Автореф. дис. канд. фич - мат наук. М.- МИЭМ, 1979. - 16 С.

[3] Адамов А А К выбору функционала для описания поведения вязкоупругого материала при конечных деформациях // Науч тр. Краснодар политехи ин-та, 1980 - Вып. 101 / Механика эластомеров - Т 3. - С 56-59

[4] Адамов А А Об идентификации модели наследственной вязкоупругости при конечных деформациях // Структурная механика неоднородных сред - Свердловск- УНЦ АН СССР, 1982. - С. 8-11.

[5] Адамов A.A. Кручение вязкоупругого цилиндра из несжимаемого материала при конечных деформациях // Напряженно-деформированное состояние и прочное! ь конструкций

- Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. - С. 61-65.

[6] Адамов А .А Анализ малых вынужденных поперечных колебаний вязкоупругого стержня, предварительно растянутого до конечных деформаций // Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. - С. 27-32.

[7] Адамов А А. О построении образа процесса нагружения при конечных деформациях // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. - Свердловск УНЦ АН СССР, 1986. - С. 3-5.

[8] Адамов А А К построению модели вязкоупругого поведения наполненных эластомеров г учетом структурных изменений // Исследования по механике материалов и конструкций

- Свердловск: УрО АН СССР, 1988. - С 4-6.

[9] Адамов А.А Моделирование нелинейного вязкоупругого поведения наполненных резин при циклическом нагружении и при различных видах напряжённо-деформированного состояния // Междунар. конф по каучуку и резине IRC' 94: Труды. - Москва, 1994 - Т 4. - С 349-355.

[10] Адамов А А. К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполненных резин при конечных деформациях // Каучук и резина, - 1996, Л* 5. - С. 27-30

[11] Адамов A.A. Неизотермическое деформирование элементов конструкций из нелинейного дисперсно наполненного эластомера // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1999. - Т 5. - № 2. - С. 101-107.

[12] Адамов A.A. Об одном преобразовании соотношений напряжение -деформация для изотропных гиперупругих несжимаемых материалов при конечных деформациях // Математическое моделирование систем и процессов- Науч. тр Пермского гос техн. ун-та. -Пермь. - 2001. - № 9 - С. 6-9.

[13] Адамов A.A. Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных упругих материалов при конечных деформациях // Прикл мех и техн физика.

- 2001. - Т. 42. - № 5. - С. 183-192

[14] Адамов A.A. Статистический подход к идентификации функций влияния в теории линейной вязкоупругости // Высокомолек. соед. - Сер. А. - 2002. - Т 44. - № 6. - С. 1-6

[15] Адамов А А , Дегтярёв А И. Построение математической модели термореологически простого материала при конечных деформациях // Динамика и прочность механических систем: Тр. Пермского политехи, ин-та, 1983. - С 61-66

[16] Адамов A.A., Кароид Е.И. К оценке микронеоднородности температурного поля при ви-боразогреве полимерных материалов с жесткими наполнителями // Механика микронеоднородных структур - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1988. - С. 38-42

[17] Адамов А.А , Кожевникова Л Л., Кузнецов Г Б., Матвеенко В.П Метод конечных элементов в задачах линейной термовячкоупругости // Напряженно-деформированное состояние конструкций из упругих и вязкоупругих материалов. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977 - С. 25-30.

[18] Адамов А.А , Кузнецов Г.Б. К методике описания реологических процессов при конечных деформациях теорией наследственности // Прикладные задачи механики полимеров и систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977. - С. 11-20.

[19] Адамов А.А , Леонтьев В.А. Установка для микрокалориметрического исследования тепловых эффектов при квазистатическом деформировании высоконаполненных эластомеров // Статические и динамические краевые задачи механики деформируемых тел. -Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 126-130.

[20] Адамов А А., Матвеенко В П , Труфанов Н А., Шардаков И.Н Методы прикладной вяз-коулругости. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - 411 с

[21] Адамов A.A., Санников Л С , Селиванов Е И Вязкоупругая реакция цилиндра из резины при сложном многопараметрическом нагружении // Краевые задачи упругих и неупругих систем. - Свердловск. УНЦ АН СССР, 1985. - С. 32-36.

[22] Адамов А А , Соловьев ГПК решению вязкоупругой задачи для осесимметричной конструкции с учетом структурных изменений материала // Статические и динамические краевые задачи механики деформируемых тел - Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С 30-35.

[23] Адамов А А., Соловьев Г.П. Об одном алгоритме вычислении интегралов от реологических функций влияния // Численное моделирование статического и динамического деформирования конструкций. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990 - С. 60-64

[24] Дырда В И , Адамов А.А , Мазнецова A.B., Селиванов Е.И. Описание вязкоупругого поведения резиновых элементов при конечных деформациях // Ин-т геотехн. мех. АН УССР Днепропетровск, 1984. 14 с. Рук дсп. в ВИНИТИ 25 янв. 1985 г , №746-85 Деп

[25] Курозаев В П , Пименов Л А , Адамов A.A., Селиванов Е.И. Применение метода рентгеновской вычислительной томографии для исследования повреждаемости наполненного эластомера // Дефектоскопия. - 1986. - №7 - С. 39-43.

Лицензия ПД-11-0002 от 15.12.99

Подписано в печать 27.09.2004. Набор компьютерный Бумага ВХИ Формат 60X100/16 Усл. печ. л. 2,0 Заказ № 724/2004 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе в отделе Электронных издательских систем ОЦНИТ Пермского государственного технического университета 614000, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к.113, т.(3422) 198-033

»18 621

РНБ Русский фонд

2005-4 12717

1 Введение

1.1 Список используемых сокращений.

1.2 Основные используемые обозначения и соотношения теории конечных деформаций

2 Методические вопросы идентификации определяющих уравнений наследственной термовязкоупругости при малых деформациях

2.1 Модель вязкоупругого тела в изотермическом приближении.

2.1.1 Изотропные материалы.

2.1.2 Аналитические представления функций влияния в операторах наследственной вязкоупругости

2.2 Идентификация моделей изотермического вязкоупругого поведения материалов

2.2.1 Простейшие краевые задачи для образцов изотропного вязкоупругого материала.

2.2.2 Обзор процедур идентификации интегральных операторов.

2.2.3 Процедура идентификации интегрального оператора при произвольной истории деформирования.

2.2.4 Тестирование процедуры идентификации

2.2.5 Примеры идентификации интегральных операторов вязкоупругости для реальных экспериментальных данных.

2.2.6 Статистическая интерпретация результатов решения математически некорректной задачи идентификации.

2.2.7 Практическое использование идентифицированных операторов

2.3 Моделирование неизотермического поведения вязкоупругих материалов

2.3.1 Учет температурного расширения.

2.3.2 Зависимость вязкоупругих свойств от температуры.

2.3.3 Температурно-временная аналогия (ТВА).

2.3.4 Построение обобщенных кривых и определение функций температур-но-временного сдвига.

3 Анализ упругих моделей для изотропных эластомеров

3.1 Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных упругих материалов при конечных деформациях.

3.1.1 Анализируемые модели.

3.1.2 Анализируемые виды НДС.

3.1.3 Выводы по анализу обобщений закона Гука.

3.2 Формы определяющих соотношений для несжимаемых изотропных гипер-^ упругих материалов, пригодные для обобщения на случай вязкоупругого поведения.

4 Построение тензорно линейных моделей вязкоупругого поведения ненаполненных и слабонаполненных изотропных эластомеров

4.1 Общие концепции построения уравнений состояния для изотропных вязко-упругих несжимаемых и слабосжимаемых материалов.

4.2 Обобщение двух моделей для изотропных гиперупругих материалов на случай вязкоупругого поведения.

4.3 Модификации модели вязкоупругого слабосжимаемого материала для учета нестационарного температурного влияния.

4.4 Решения краевых задач вязкоупругости для предложенных моделей при экспериментально реализуемых видах НДС.

4.4.1 Гидростатическое напряжённое состояние.

4.4.2 Одноосное деформированное состояние.

4.4.3 Одноосное напряжённое состояние

4.4.4 Симметричное двухосное напряжённое состояние.

4.4.5 Несимметричное двухосное деформированное состояние.

4.4.6 Кручение, растяжение-сжатие длинного цилиндра из несжимаемого вязкоупругого материала.

4.4.7 Нагружение внутренним давлением, растяжение замкнутого полого тонкостенного длинного цилиндра.

4.5 Процедуры идентификации моделей вязкоупругого поведения материалов при конечных деформациях.

4.6 Разработка экспериментального обеспечения для реализации некоторых видов НДС.

4.6.1 Информационно - измерительная система в стандарте КАМАК ф 4.6.2 Релаксометры осевого растяжения

4.6.3 Установка для кручения и растяжения-сжатия образцов СН

4.6.4 Приспособление для реализации одноосного деформированного состояния

4.7 Примеры использования моделей для описания поведения конкретных вяз-коупругих материалов.

4.7.1 Резина ИРП

4.7.2 Полиуретан ГУП-26.

4.7.3 Материал "В".

5 Построение нелинейных моделей термовязкоупругого поведения высоконаполненных эластомеров (ВНЭ)

5.1 Особенности строения и термомеханического поведения ВНЭ.

5.2 Обзор и анализ моделей термовязкоупругого поведения ВНЭ с учетом структурных изменений.

5.3 О реализованных подходах к экспериментальной оценке изменений структуры наполненных эластомеров.

5.3.1 Оптическая микроскопия поверхности деформируемого образца . . . 180 Ф 5.3.2 Метод рентгеновской реконструктивной томографии.

5.3.3 Деформационная микрокалориметрия.

5.3.4 Оценка деформационной анизотропии по данным кручения в разных направлениях.

5.4 Выбор феноменологической модели термомеханического поведения ВНЭ с учетом структурных изменений.

5.4.1 Формальный термодинамический подход.

5.4.2 Подбор уравнения эволюции для структурного параметра.

5.4.3 Конкретизация нелинейной модели термовязкоупругого поведения ВНЭ.

5.4.4 Программа экспериментального обеспечения.

5.4.5 Методики идентификации.

5.5 К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполненных резин при конечных деформациях.

5.6 Обобщенная нелинейная модель термовязкоупругого поведения наполненф ных эластомеров при конечных деформациях.

6 Разработка алгоритмов и программ для численного анализа элементов конструкций из ВНЭ при нестационарных термосиловых режимах нагружения

6.1 Вариационная постановка краевых задач с использованием разработанных моделей термомеханического поведения ВНЭ.

Ф 6.2 Конечноэлементная реализация двумерных краевых задач для случаев осесимметричной и обобщенно плоской конечной деформации.

6.2.1 Используемые кинематические соотношения.

6.2.2 Пошаговая реализация конечноэлементной процедуры.

6.2.3 Выбор переменного шага по времени.

6.2.4 Сжатие хранимой информации о истории процесса.

6.3 Примеры анализа неизотермического нагружения цилиндрических тел

Научно-технический прогресс требует широкого применения новых полимерных и композиционных материалов с разнообразными физико-механическими свойствами. Рациональное и полное использование свойств конкретного материала при современном проектировании конструкций опирается на результаты математического моделирования его характеристик в рамках механики деформируемого твёрдого тела.

В качестве основного объекта, рассмотренного в данной работе, являются эластомеры или резиноподобные материалы, представляющие относительно новый класс конструкционных материалов. К ним относят каучуки, резины, герметики, термоэластопласты, полиуретаны, аморфные полимеры в температурной области высокоэластичного состояния. Представления об их молекулярной структуре, термодинамике поведения, о деформационных, релаксационных и прочностных свойствах изложены в многочисленных литературных источниках, в частности, в книгах [34, 39, 54, 80, 104, 114, 210, 211, 218).

Эластомеры получили широкое распространение благодаря потребностям инженерной практики и успехам химии высокомолекулярных соединений. Шины, приводные ремни, уплотнительные устройства, гибкие шланги, демпферы и виброизоляторы, упругие звенья машин, транспортерные ленты и многие другие изделия эффективно работают только благодаря специфическим особенностям термомеханического поведения эластомеров. Главной их чертой является способность к большим обратимым деформациям формы при низкой сдвиговой жёсткости. Моделирование в рамках статистической физики [211] объясняет такое поведение на основе представлений об энтропийном характере деформаций длинноцепочных молекул, объединенных в молекулярные сетки за счет относительно редких взаимных связей различной химической и физической природы.

Наполнение каучуков и других основ эластомерных материалов вулканизующими агентами, сажей, армирующими волокнами и материалами, пластификаторами, противо-старителями и другими ингредиентами позволяет создавать спектр композитных эластомерных материалов с разнообразными свойствами и структурой. В литературе имеется большое число публикаций, посвященных исследованию и описанию термомеханического поведения отдельных материалов в конкретных областях их применения. Но в настоящее время существующее число рецептур только для резин оценивается пятизначными числами, поэтому большое значение имеют проблемы систематизации и классификации самих эластомеров и моделей их поведения.

Экспериментальные данные по механическому нагружению реальных резиноподоб-ных материалов часто свидетельствуют о проявлении вязкоупругих свойств, тиксотроп-ных свойств (эффект Маллинза-Патрикеева, остаточные деформации), старения и других реологических эффектов. Во многих практических случаях этими эффектами можно пренебречь и в первом приближении использовать уравнения состояния упругого тела. Известно большое количество моделей упругого поведения эластомеров в рамках теории конечных деформаций, обзоры этих моделей приведены в [76,141,142,163, 224-227, 282, 283]. Их разнообразие по сравнению с классической (инфинитезимальной) теорией упругости обусловлено существованием различных мер напряжённого и деформированного состояния, а также более общими функциональными зависимостями между ними.

Во многих технических приложениях сплошные (монолитные) эластомеры по соотношению сдвиговой и объёмной податливостей можно считать материалами, не изменяющими объём. Это обстоятельство породило для эластомеров специфический класс моделей упругого несжимаемого тела, их обзоры и конкретные формы можно найти в [42, 43, 76, 141, 142, 226, 245, 323, 356, 357]. Но реальная сопротивляемость эластомеров к объёмным изменениям соизмерима со сдвиговой жёсткостью конструкционных полимеров и существенно ниже сдвиговой жёсткости конструкционных металлов и сплавов. Поэтому появились модели, учитывающие слабую объёмную сжимаемость эластомеров [93, 192, 227, 303, 327, 328, 341]. В результате были открыты возможности адекватного анализа поведения эластомерных элементов конструкций типа уплотнительных шнуров и прокладок, тонкослойных резинометаллических шарниров и подобных им изделий, работающих в нестационарных температурных полях и/или при стесненных условиях [64, 67, 69].

Проблемы учета вязкоупругих свойств эластомеров важны в практических задачах, связанных с оценкой динамической жёсткости и диссипативных потерь при циклических режимах работы, с оценкой релаксации напряжений и ползучести эластомерных элементов конструкций, с анализом нестационарных термосиловых режимов нагружения. Дис-сипативные свойства эластомеров определяют работоспособность большой номенклатуры изделий. Но с другой стороны, диссипативный разогрев в совокупности с низкой теплопроводностью эластомеров приводят к существенным ограничениям при выборе материалов, параметров и форм конструкций при проектировании изделий с заданной надежностью и долговечностью. Многие практические задачи в этой сфере приложений рассматриваются в постановке наложения малых динамических деформаций на конечные квазистатические деформации [6, 92, 110, 207, 272, 296].

Трёхмерным моделям вязкоупругости эластомеров при конечных деформациях посвящено огромное количество работ, часть из них представлена в [2-4, 10, 78, 90, 91, 108-111, 116, 117, 123, 129, 163, 169, 193, 196, 207, 243, 246, 247, 251, 252, 254-258, 261, 264-266, 269, 273, 274, 276-278, 287-293, 297, 298, 301, 302, 311, 318, 330, 331, 333, 334, 336, 342-345, 351, 354, 355,358]. Бурное развитие исследований этого направления наблюдается в течении последних 15-20 лет. Выполним краткий обзор некоторых аспектов построения определяющих уравнений для вязкоупругих материалов при конечных деформациях.

Начиная с классических статей [254, 264-266], посвященных теоретическим вопросам моделирования изотермического поведения изотропного вязкоупругого тела с точки зрения гипотезы о "затухающей памяти" и общего аксиоматического подхода, развитие определяющих уравнений шло по различным направлениям. В первую очередь для практического использования стремились сократить число "материальных" функций, определяемых из эксперимента (согласно [254], функционально полная линейная модель содержит 15 таких функций - три функции инвариантов меры деформации и двенадцать функций релаксации в интегральных операторах, воздействующих на различные истории инвариантов деформации). Использование нелинейного представления функционала напряжения в виде полиномиального ряда с интегральными операторами возрастающего порядка [264] существенно усложняет проблему идентификации моделей. Было предложено значительное число частных моделей, содержащих различные упрощающие гипотезы и различное число интегральных операторов, обзор их дан в диссертации [92]. Учёт объёмной сжимаемости вязкоупругих эластомеров имеет то же значение, что и для моделей их упругого поведения [354].

Следующая важнейшая проблема заключается в корректном учете теплового влияния на свойства и поведение эластомеров в достаточно широком температурном интервале их эксплуатации. В более широком понимании эта проблема сводится к построению связанной теории термовязкоупругости при конечных деформациях. Основные достижения теоретического характера здесь связаны с последовательным применением функционального и термодинамического анализа. Изложим эту последовательность, опираясь на [110, 207].

В соответствии с общим термодинамическим подходом [213, 235] прежде всего из физических концепций выбираются независимые и зависимые переменные состояния. Для изотропного вязкоупругого тела (простой материал с затухающей памятью), не испытывающего структурных изменений, в качестве независимых переменных можно взять абсолютную температуру Т > 0 и меру деформаций (или тензор деформаций) Коши-Грина (текущие и прошлые значения этих переменных).

Затем задают систему определяющих функционалов, для указанного выше случая ими могут быть свободная энергия и тепловой поток. После этого определяются зависимые переменные состояния: тензор напряжений Коши Т и энтропия т] как частные производные от свободной энергии по тензору деформаций и температуре соответственно. Дисси-пативные потери вычисляются дифференцированием по Фреше функционала свободной энергии, они в, общем случае, содержат тепловую, "структурную" и др. составляющие.

Несмотря на почти двухвековую историю с опубликования Гофом в 1805 г. наблюдений о разогреве резинового образца при его быстром растяжении, последующего осознания энтропийной природы деформации эластомеров в высокоэластичном состоянии, выявления энергетического вклада объёмных изменений [211], проблема учёта энтропийной составляющей на практическом уровне далека от полного решения из-за трудностей корректного микрокалориметрического исследования процессов деформирования материалов.

Если в теоретическом плане при построении модели часто считается достаточным формальное удовлетворение второму закону термодинамики при априори выбранных термодинамических переменных, то практическая идентификация термовязкоупругой модели и проверка её адекватности для широкого круга термодинамических процессов должны опираться на микрокалориметрические измерения в процессе деформирования и их трактовку с позиций первого закона - уравнения балансов для энергетических потоков.

После этого этапа микрокалориметрического исследования можно окончательно определиться с выбором термодинамических переменных состояния, а для экспериментального анализа второго закона необходимо разделить также диссипированную механическую энергию на тепловую составляющую и "скрытую" энергию деформации, равную энергетическим затратам на структурные изменения в материале [238].

Общие функциональные зависимости для энтропийной теории термоупругости и термовязкоупругости эластомеров развивались, например, в [78, 79, 90, 109, 110, 207, 241, 242, 249, 279, 316]. Микрокалориметрические исследования по выявлению вклада энтропийной составляющей сил восстановления представлены в [65, 66, 280, 295, 312, 317, 335].

Энтропийная природа деформации эластомеров с физической точки зрения позволила Г.Л.Слонимскому [200] выдвинуть гипотезу о существовании особого, самостоятельного типа упругой обратимой деформации - высокоэластичной. Её отличие от классической упругой деформации кристаллических решеток состоит в замедленном характере реагирования на изменение силовых факторов [34]. Для описания высокоэластичной деформации сегмента полимерной молекулы был предложен оригинальный математический аппарат - дробные производные [34, 308]. Они при переходе к интегральной форме определяющих уравнений напрямую приводят к слабосингулярным ядрам наследственной теории вязкоупругости, что подчеркивает тесную взаимосвязь этих теорий.

Но введение самостоятельного типа высокоэластичной обратимой деформации имеет более глубокие термодинамические корни, так как она сопровождается тепловым эффектом разогрева за счёт сдвиговых компонент деформации, наложенным на охлаждение-разогрев образцов при их объёмном растяжении-сжатии (соответственно). Именно суперпозицией этих двух противоположно направленных тепловых эффектов объясняется точка термоупругой инверсии растягиваемого резинового образца [211].

Разнообразие каучуков и добавляемых к ним ингредиентов вызвало проблемы адекватного описания нелинейных свойств эластомерных композитов. В частности, для резин с высоким содержанием активного наполнителя - техуглерода, актуальной является проблема описания частотно- и амплитуднозависимого внутреннего трения. Причем оно существенно зависит не только от амплитуд циклического воздействия [319, 320, 333], но и от величины статической деформации [61, 272, 275, 326, 349]. К этой же проблеме примыкают задачи построения моделей механического поведения резин вплоть до их разрушения. Большой интерес среди исследователей резин сохраняется к описанию их "размягчения" за счёт предварительного значительного деформирования (эффект Маллинза-Патрикеева) [262, 263, 285, 286, 309, 321], достаточно полный обзор этой нелинейной проблемы до 1978 г. изложен в последней главе монографии [39]. Общепринятой точкой зрения на природу этих нелинейных эффектов является их объяснение разнообразными структурными изменениями материала (разрушение слабых межмолекулярных связей, разрушения углерод-углеродных пространственных структур, сползанием сорбированных поверхностью наполнителя участков макромолекул и т.д.) при действии механических напряжений.

Для другого класса высоконаполненных эластомерных композитов, содержащих более крупные по сравнению с сажей частицы неактивных наполнителей различных фракций размерами от нескольких до сотен микрон, нелинейные проблемы обусловлены в основном другим типом структурных изменений - отслоением частиц наполнителей от эластомерной матрицы в ходе термомеханического нагружения.

Можно выделить следующие основные направления моделирования этого класса эластомерных композитов: построение упругопластических моделей [347], использование нелинейных функций напряжений и деформаций в операторно линейных уравнениях связи [55, 157, 195, 338, 339, 352], применение в этих уравнениях норм Лебега высокого порядка для описания "незатухающей памяти" [99-101, 212, 259, 313], введение дополнительных независимых термодинамических переменных скалярного или тензорного типа ("скрытых" или "внутренних" переменных [253, 350]) со своими уравнениями эволюции для описания структурных изменений материала [56, 111, 248, 252, 267, 269, 281, 290, 291, 324, 325, 332, 342, 353]. Многочисленные исследования механики наполненных полимеров, ряд из которых рассмотрен далее, свидетельствуют, что особенности поведения дисперсно наполненных композитов для рабочего диапазона нагрузок во многом определяются степенью накопления рассеянных структурных изменений материала, трактуемых зачастую как поврежденность.

Работы последних лет по построению определяющих уравнений вязкоупругости при конечных деформациях в основном используют мультипликативное разложение полного градиента места [300] для выделения составляющих упругой деформации и деформации, обратимой в течение времени [261, 292, 305-310, 322].

При этом для представления физического смысла определяющих уравнений и их термодинамического обоснования зачастую используются "механически детерминированные" структурные одномерные модели линейной теории вязкоупругости [110] (диссипа-тивные свойства полностью определяются типом модели и её механическими параметрами), модифицированные введением нелинейных мер деформации, нелинейных форм связи для структурных элементов модели. Примеры построенных таким образом моделей приведены в [123, 169, 193, 196, 276, 345]. Используемый подход за счёт априорного выбора структуры модели, как правило, неявно содержит гипотезы термодинамического и механического плана, требующие экспериментального обоснования.

Приведённый краткий обзор и анализ литературных источников свидетельствуют о больших теоретических достижениях при построении моделей термомеханического поведения эластомеров при конечных деформациях и о дальнейшем прогрессе в этой области.

Более актуальным сейчас является достижение практических успехов в комплексном решении проблемы: построение модели термовязкоупругости для конкретного материала, экспериментальное обеспечение её идентификации, использование при анализе нестационарного поведения реальных конструкций.

Такому комплексному подходу посвящена данная работа.

Практическое построение определяющих уравнений термовязкоупругого поведения эластомеров может быть осуществлено лишь на основе широкомасштабного экспериментального исследования конкретных материалов.

Большинство государственных стандартов РФ (СССР), регламентирующих механические испытания материалов, носит либо характер технологических проб, либо дает информацию лишь для простейших моделей механики деформируемого твердого тела, типа теории сопротивления материалов. Это обстоятельство препятствует реализации экспериментального обеспечения современных моделей механики деформируемого твёрдого тела, необходимых для эффективного использования современных численных методов оптимизации конструкций, оценки их прочности, долговечности и ресурса на стадии проектирования.

Стоявшие перед ИМСС УрО РАН актуальные задачи построения и идентификации сложных трехмерных моделей термовязкоупругого поведения наполненных эластомеров вызвали необходимость создания и совершенствования экспериментальной техники, разработки соответствующего методического и программного обеспечения. Некоторые результаты этих работ, полученные с участием автора, изложены в отчётах [124, 151, 177, 183, 184, 186, 187, 233, 234].

Экспериментальная и методическая часть данной работы базируется на следующих общих положениях, вытекающих из классической идеи [200] учета полной истории деформирования полимерного материала:

1. Из-за практической невозможности реализовать идеальные заданные режимы нагружения и деформирования типа "мгновенное нагружение", "нагружение с постоянной скоростью", используются реализуемые на практике режимы нагружения при условии регистрации полных историй изменения измеряемых параметров.

2. По возможности используется регистрация линейных и угловых перемещений на участках однородного деформирования образцов, регистрация нагрузок - передаваемых непосредственно на образец.

3. Во всех испытаниях с образца нужно стремиться получать максимально возможную информацию, характеризующую его напряжённо-деформированное состояние (НДС) как трехмерного пространственного объекта.

4. Все затруднения, связанные с отклонениями в опытах историй нагружения от идеальных, с нелинейными характеристиками первичных преобразователей регистрируемых величин, связанные с усреднением данных по образцам с близкими, но не идентичными историями нагружения, переносятся на "плечи" математического и программного обеспечения по регистрации данных, по идентификации моделей и проверке их адекватности.

Следование этой идеологии позволило достичь минимально необходимого уровня развития экспериментальной базы для исследования резиноподобных материалов, достаточной для идентификации и независимой проверки феноменологических моделей термо-вязкоупругого поведения при различных видах НДС и сложных историях нагружения.

В данной работе рассмотрены модели термомеханического поведения изотропных эластомерных материалов в эксплуатационном диапазоне умеренно больших деформаций (не превышающих по относительным удлинениям величин порядка -0.25^0.5 и далёких от предразрывных состояний), что соответствует условиям работы большинства эластомеров. Сознательное ограничение диапазона рассматриваемых деформаций позволяет существенно упростить проблему построения и идентификации моделей [330].

Если ограничиться рассмотрением изотермических и близких к изотермическим процессов, то для замыкания системы уравнений движения и деформации вязкоупругого тела достаточно [95, 107] задать функционал связи тензоров напряжений и деформаций. Из общего термодинамического анализа [213] следует, что требование изотермичности неравновесного процесса в вязкоупругих материалах приводит к сильным ограничениям на историю процесса, зависящим от свойств материала, геометрии тела, условий теплообмена и пр. Но для анализа этих ограничений необходима конкретизация упомянутых выше более общих функционалов состояния.

Поэтому ниже рассмотрены термомеханически несвязанные модели и задачи вязкоупругости при допущении, что тепловые потоки, возникающие за счет диссипации энергии деформирования, пренебрежимо малы и не оказывают влияния на связь тензоров напряжений и деформаций.

К разрабатываемым вариантам определяющих соотношений автором предъявлены дополнительные требования:

- все неизвестные параметры определяются по экспериментальным данным из доступных и реализуемых на практике опытов;

- модель поведения естественным образом (без определения новых материальных функций и параметров) сводится к более простым уравнениям состояния - вплоть до классического закона Гука для упругого тела при бесконечно малых деформациях;

- для упрощения реализации численных алгоритмов решения краевых задач при формулировке моделей используются главные инварианты мер и тензоров деформаций, а не главные удлинения.

Последнее требование является одним из проявлений "обратной" связи разрабатываемых моделей поведения со стороны их потребителей - разработчиков программного обеспечения для анализа поведения конструкций. Более плодотворным проявлением этой связи для упрощения и совершенствования модели, для внедрения её в практику, является совмещенный анализ важности учитываемых факторов на стадии описания однородных видов НДС в образцах и на стадии расчёта неоднородных, статически неопределённых, видов НДС в реальных конструкциях.

Поэтому значительная часть данной работы посвящена разработке программного обеспечения для численного конечноэлементного анализа нестационарных термосиловых процессов с использованием разрабатываемых моделей.

Работа имеет следующую структуру и содержание.

Во введении выполнен обзор проблемы построения и идентификации определяющих уравнений применительно к вязкоупругим резиноподобным материалам, рассмотрены методы решения нестационарных термовязкоупругих задач расчета изделий. Рассмотрено текущее состояние проблем, связанных с описанием сложного поведения материалов при конечных деформациях и определяются необходимые и возможные на сегодня направления дальнейшего исследования. Приведены используемые сокращения, основные обозначения и соотношения теории конечных деформаций.

Вторая глава посвящена методическим вопросам идентификации определяющих уравнений термовязкоупругости наследственного типа при малых деформациях. Приведены решения задач вязкоупругости для испытываемых образцов, связывающие измеряемые в опытах величины. Реализованы численные методики определения функции релаксации для произвольного операторного модуля при использовании её аналитических аппроксимаций и сведения задачи идентификации к задаче нелинейного программирования относительно вектора неизвестных параметров на основе совокупности опытов с произвольными различными историями измеряемых экспериментальных величин в изотермических условиях.

На примерах определения операторного модуля сдвига для трёх материалов предложено построение усредненной функции релаксации, её доверительного интервала и временного интервала достоверной идентификации на базе статистического анализа выборок найденных реализаций искомой случайной функции релаксации, получаемых при решении математически некорректной задачи идентификации.

При моделировании термовязкоупругого поведения с использованием гипотезы о справедливости температурно-временной аналогии (ТВА) разработаны методики определения обобщённой функции релаксации и функции температурно-временного сдвига по совокупности опытов с произвольными историями измеряемых экспериментальных величин для различных уровней температуры. Приведен пример реализации этой методики при описании термомеханического поведения материала "Д".

В третьей главе проведёно обоснование выбора наиболее подходящего по допустимому диапазону сжимаемости упругого определяющего уравнения при конечных деформациях для обобщения его на случай вязкоупругого поведения. Выполнен анализ десяти двухконстантных моделей упругого и гиперупругого поведения изотропных материалов, являющихся обобщением закона Гука на область конечных деформаций в изотермических условиях. Получены решения краевых задач при пяти однородных видах НДС, реализуемых в экспериментальной практике, проведён их численный сравнительный анализ с целью выявления области применимости моделей по диапазону соотношения констант ц/В, имеющих при малых деформациях смысл модулей сдвига и объёмного сжатия.

Основным результатом этого анализа является выявление преимуществ рассмотренного варианта модели Пенга-Ландела, обращающегося при предельном переходе в потенциал "неогукова тела".

Второй параграф этой главы также имеет вспомогательный характер для реализации процедуры обобщения на случай вязкоупругого поведения известных моделей несжимаемых материалов, он посвящен приведению общей формы связи "энергетического" тензора напряжений и деформаций для гиперупругих несжимаемых материалов к новому виду, содержащему в качестве множителя Лагранжа среднее "физическое" напряжение.

В четвёртой главе изложены результаты по описанию термовязкоупругого поведения ненаполненных и малонаполненных эластомеров с помощью тензорно линейных моделей несжимаемого и слабосжимаемого изотропного тела.

В данной работе рассмотрен один из возможных подходов к построению моделей вязкоупругого поведения первоначально изотропных материалов при конечных деформациях - обобщение известных и широко апробированных упругих моделей путем замены упругих постоянных интегральными операторами наследственной теории вязкоупругости [36-38, 92, 243, 246]. Этот прием широко практикуется в моделях, использующих математический аппарат инфинитезимальных деформаций и был, по утверждению авторов [53, 181], предложен ещё самим Вольтерра.

Обобщение упругих моделей несжимаемого "неогукова тела" и слабосжимаемого материала Пенга-Ландела на случай вязкоупругого поведения выполнено путем замены упругих модулей /х, В указанными операторами в представлении связи "энергетического" тензора напряжений с тензором меры деформаций Коши-Грина, определенными в базисе недеформированной конфигурации, что позволило получить модели, удовлетворяющие принципу независимости материала от системы отсчета.

Использование такого подхода даёт первое приближение общей гипотетической модели, предназначенное для области умеренных конечных деформаций.

Предложена модификация модели слабосжимаемого тела для учета нестационарного температурного влияния с использованием гипотезы ТВА и допущения о малости температурных объёмных деформаций.

Для построенных моделей приведены решения краевых задач вязкоупругости при тех же однородных видах НДС для обработки результатов экспериментального исследования, что рассмотрены во второй главе в упругом приближении. Кроме этого, для несжимаемого вязкоупругого материала получены решения экспериментально реализуемых краевых задач при кручении, растяжении-сжатии длинного цилиндра и при нагру-жении внутренним давлением, растяжении замкнутого полого тонкостенного длинного цилиндра.

Представлено методическое обеспечение по идентификации операторов наследственной термовязкоупругости, модифицированное для обработки экспериментальных данных при конечных деформациях.

Далее в главе представлены результаты разработки экспериментального обеспечения для реализации некоторых видов НДС с регистрацией полных историй нагружения образцов: информационно - измерительная система в стандарте КАМАК, релаксометры осевого растяжения с комбинированной системой регистрации, установка для кручения и растяжения-сжатия образцов СН-3, приспособление для реализации одноосного деформированного состояния.

Для трёх материалов выполнена идентификация моделей, осуществлена экспериментальная проверка их работоспособности при сложных историях нагружения трубчатых образцов внутренним давлением и осевой силой, а также при кручении и растяжении-сжатии сплошного цилиндрического образца. В последнем случае продемонстрированы возможности модели для описания эффекта Пойнтинга в вязкоупругом приближении.

Пятая глава посвящена описанию термовязкоупругого поведения высоконаполнен-ных эластомеров (ВНЭ), имеющих близкое к предельному наполнение дисперсными частицами неактивных наполнителей с размерами частиц порядка 1-300 мкм. Для этих материалов, помимо ярко выраженного термовязкоупругого поведения, определяющим нелинейным фактором является накопление дисперсного рассеянного повреждения в виде отслоений высокоэластичного связующего от частиц наполнителя, что проявляется через эффекты дилатансии - возникновения объёмных деформаций за счет сдвигового деформирования. В работе поставлена задача описания существенных нелинейных особенностей поведения ВНЭ с помощью простых моделей, ограничивая их сложность возможностями экспериментального обеспечения.

Дан обзор и критический анализ известных моделей для высоконаполненых эластомеров, описывающих вязкоупругое поведение, объемные изменения, эффект Маллин-за, накопление повреждений. Наиболее подробно рассмотрена модель Фарриса-Фитцдже-ральда.

Для выбора и обоснования феноменологической модели термомеханического поведения ВНЭ с учетом структурных изменений реализованы следующие подходы к экспериментальной оценке изменений структуры наполненных эластомеров: оптическая микроскопия, метод рентгеновской реконструктивной томографии, деформационная микрокалориметрия, оценка деформационной анизотропии по данным кручения в разных направлениях. Выполнен анализ экспериментальных результатов, полученные в каждом подходе.

Рассмотрен термодинамический подход к построению системы определяющих уравнений с внутренними переменными состояния. Попытки количественного экспериментального разделения диссипируемой при механическом деформировании энергии на тепловую и скрытую составляющие не привели к успеху из-за отсутствия высокоточного деформационного микрокалориметра. Необходимость идентификации полной системы функционалов в этом подходе на порядок усложняет задачу конкретизации определяющих уравнений по сравнению с частной проблемой установления связи напряжений с независимыми переменными состояния.

Поэтому, несмотря на всю привлекательность термодинамического подхода, обеспечивающего согласованность системы определяющих уравнений и удовлетворение началам термодинамики, далее развивается на эмпирическом уровне нелинейная модель с одним скалярным структурным параметром Zc(t) > 0, имеющим своё уравнение эволюции и учитывающим изменение жесткости материала за счет отслоения частиц наполнителя от связующего, разрыва других связей, разрушения частиц наполнителя. За основу модификации взята представленная в предыдущей главе модель слабосжимаемого термовязко-упругого материала.

Приведена программа экспериментов для идентификации различных вариантов построенной нелинейной модели термовязкоупругого поведения ВНЭ при конечных деформациях.

Методики численной идентификации этой модели имеют три этапа - на первом определяются параметры и "материальные" функции в диапазоне линейного поведения по методикам, изложенным в гл. 2,4, на втором - параметры нелинейных функций с использованием экспериментальная информация в диапазоне существенного проявления нелинейных эффектов, на третьем - выявляются температурные зависимости параметров нелинейных функций с их последующей аппроксимацией.

В пятом параграфе главы приведены варианты определяющих соотношений для резин с относительно высоким содержанием активного наполнителя - техуглерода. Этот тип материалов обнаруживает существенно нелинейное поведение при одноосном напряжённом состоянии в области малых относительных удлинений до (5 -т-15)% и амплитудно-зависимое внутреннее трение. Модели идентифицированы по результатам квазистатического исследования двух марок резины. Продемонстрированы их возможности при описании периодического деформирования в рабочем диапазоне деформаций с учетом амплитудных и частотных зависимостей.

В шестой главе приведены алгоритмы программ для численного анализа элементов конструкций из ВНЭ при нестационарных термосиловых режимах нагружения. Вариационное уравнение в смешанной постановке записано на основе подхода Б.Г.Галеркина.

Реализация пошаговой по времени процедуры конечноэлементного анализа проведена для случаев осесимметричной и обобщенно плоской деформации (осевая деформация постоянна, не равна нулю) при решении на каждом шаге задач теплопроводности, расчета НДС и скалярного структурного параметра в рамках теорий малых и конечных деформаций.

В задаче теплопроводности для дискретизации по времени используется конечно-разностная неявная схема первого порядка, не учитываются распределенные по объему диссипативные источники тепла, но принимается во внимание конечное формоизменение расчетной области. Связанность задач НДС и скалярного структурного параметра, зависимость термомеханических свойств от температуры учитывается простейшим способом с отставанием на один шаг с последующим итерационным уточнением.

При выводе системы разрешающих уравнений для конечного элемента использована линейная аппроксимация неизвестных величин по времени на каждом временном шаге, четырехугольные изопараметрические элементы с квадратичной аппроксимацией температуры, приращений перемещений и полилинейной аппроксимацией приращений среднего напряжения. Использование МКЭ-процедуры и линеаризация всех выражений относительно приращений узловых неизвестных приводят задачу на текущем шаге при известных в прошлом историях полей температуры, скалярного параметра и НДС к решению несимметричной ленточной системы линейных алгебраических уравнений.

При числениой реализации алгоритма для повышения точности и снижения затрат машинного времени использованы нерегулярные сетки конечных элементов, разрывные по границам элементов аппроксимации скорости изменения среднего напряжения, процедуры автоматического выбора шага по времени и приближенного учета удаленных прошлых отрезков истории деформирования, различные процедуры вычисления интегралов по времени в зависимости от истории температуры.

Для двух изделий в виде цилиндра из ВНЭ со стальной упругой оболочкой проведен расчет реальных режимов нагружения при действии внутреннего давления, нестационарного теплового воздействия с граничными условиями первого и третьего рода, при совместном воздействии давления и температуры. В рассмотренных примерах с приближёнными приёмами учёта истории изменения температуры подчёрнута необходимость её полного учёта. Дан анализ вклада различных нелинейных факторов в уточнение НДС. Показано, что наиболее мощным фактором является нелинейность, обусловленная объёмными изменениями за счёт порообразования по границам частиц наполнителей.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по представленной работе.

Приложение содержит два акта внедрения (использования) результатов работы.

Общая структура работы. Работа содержит 303 страницы текста, 99 рисунков, 29 таблиц и 358 библиографических ссылок.

Публикации. Содержание диссертационной работы изложено в 1-3, 9, 10 главах монографии:

Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - 411 с.

Публикации в журналах

1. Адамов А.А. К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполненных резин при конечных деформациях // Каучук и резина, - 1996, № 5. - С. 27-30.

2. Адамов А.А. Неизотермическое деформирование элементов конструкций из нелинейного дисперсно наполненного эластомера // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1999. - Т. 5. - № 2. - С. 101-107.

3. Адамов А.А. Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных упругих материалов при конечных деформациях // Прикл. мех. и техн. физика. - 2001. - Т. 42, № 5. - С. 183-192.

4. Адамов А.А. Статистический подход к идентификации функций влияния в теории линейной вязкоупругости // Высокомолек. соед. - Сер. А. - 2002. - Т. 44, № 6. -С. 1-6.

5. Курозаев В.П., Пименов J1.A., Адамов А.А., Селиванов Е.И. Применение метода рентгеновской вычислительной томографии для исследования повреждаемости наполненного эластомера // Дефектоскопия. - 1986. - №7. - С. 39-43.

Депонированная статья

Дырда В.И., Адамов А.А., Мазнецова А.В., Селиванов Е.И. Описание вязкоупругого поведения резиновых элементов при конечных деформациях. Ин-т геотехн. мех. АН УССР. Днепропетровск, 1984. 14 с. Рук. деп. в ВИНИТИ 25 янв. 1985, №746-85 Деп.

Статьи в сборниках и трудах конференций

1. Адамов А.А. О неединственности определения параметров в интегральных уравнениях вязкоупругости по данным квазистатических испытаний // Исследования по механике полимеров и систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1978. - С. 16-20.

2. Адамов А.А. К выбору функционала для описания поведения вязкоупругого материала при конечных деформациях // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-та, 1980. - Вып. 101. / Механика эластомеров. - Т. 3. - С. 56-59.

3. Адамов А.А. Об идентификации модели наследственной вязкоупругости при конечных деформациях // Структурная механика неоднородных сред. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. - С. 8-11.

4. Адамов А.А. Кручение вязкоупругого цилиндра из несжимаемого материала при конечных деформациях // Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. - С. 61-65.

5. Адамов А.А. Анализ малых вынужденных поперечных колебаний вязкоупругого стержня, предварительно растянутого до конечных деформаций // Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. - С. 27-32.

6. Адамов А.А. О построении образа процесса нагружения при конечных деформациях // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. - С. 3-5.

7. Адамов А.А., К построению модели вязкоупругого поведения наполненных эластомеров с учетом структурных изменений // Исследования по механике материалов и конструкций. - Свердловск: УрО АН СССР, 1988. - С. 4-6.

8. Адамов А.А. Моделирование нелинейного вязкоупругого поведения наполненных резин при циклическом нагружении и при различных видах напряжённо-деформированного состояния // Междунар. конф. по каучуку и резине IRC' 94: Труды. - Москва, 1994. - Т. 4. - С. 349-355.

9. Адамов А.А. Об одном преобразовании соотношений напряжение -деформация для изотропных гиперупругих несжимаемых материалов при конечных деформациях // Математическое моделирование систем и процессов: Науч. тр. Пермского гос. техн. ун-та. - Пермь. - 2001. - JV« 9. - С. 6-9.

10. Адамов А.А., Дегтярёв А.И. Построение математической модели термореологиче-ски простого материала при конечных деформациях // Динамика и прочность механических систем: Тр. Пермского политехи, ин-та, 1983. - С. 61-66.

11. Адамов А.А., Кароид Е.И. К оценке микронеоднородности температурного поля при виборазогреве полимерных материалов с жесткими наполнителями // Механика микронеоднородных структур. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1988. - С. 38-42.

12. Адамов А.А., Кожевникова J1.JL, Кузнецов Г.Б., Матвеенко В.П. Метод конечных элементов в задачах линейной термовязкоупругости / / Напряжен но-деформированное состояние конструкций из упругих и вязкоупругих материалов. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977. - С. 25-30.

13. Адамов А.А., Кузнецов Г.Б. К методике описания реологических процессов при конечных деформациях теорией наследственности // Прикладные задачи механики полимеров и систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977. - С. 11-20.

14. Адамов А.А., Леонтьев В.А. Установка для микрокалориметрического исследования тепловых эффектов при квазистатическом деформировании высоконаполнен-ных эластомеров // Статические и динамические краевые задачи механики деформируемых тел. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 126-130.

15. Адамов А.А., Санников JI.C., Селиванов Е.И. Вязкоупругая реакция цилиндра из резины при сложном многопараметрическом нагружении // Краевые задачи упругих и неупругих систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. - С. 32-36.

16. Адамов А.А., Соловьев Г.П. К решению вязкоупругой задачи для осесимметричной конструкции с учетом структурных изменений материала // Статические и динамические краевые задачи механики деформируемых тел. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 30-35.

17. Адамов А.А., Соловьев Г.П. Об одном алгоритме вычисления интегралов от реологических функций влияния // Численное моделирование статического и динамического деформирования конструкций. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 60-64.

Автор искренне благодарен своим учителям А.А. Поздееву , Г.Б. Кузнецову , И.Е. Трояновскому , стоявшим у истоков данной работы. Автор выражает глубокую благодарность А.А. Роговому за всестороннюю поддержку и постоянное внимание к данной работе, Г.П. Соловьёву за участие в разработке программного обеспечения и решении краевых задач, Г.П. Богатырёву, А.И. Дегтярёву, Е.И. Кароиду, В.А. Леонтьеву, С.Н. Лысенко,

Н.В. Писцову , Л.С. Санникову, Е.И. Селиванову, А.И. Судакову за их участие в реализации различных программ экспериментальных работ.

Список используемых сокращений

АЦП — аналого-цифровой преобразователь, ВНЭ — высоконаполненный эластомер, ГНС — гидростатическое напряженное состояние, ИИС — информационно-измерительная система,

КАМАК — международный стандарт [130] на приборный интерфейс для автоматизации экспериментальных исследований,

КЭ — конечный элемент,

МКЭ — метод конечных элементов,

НДС — напряженно-деформированное состояние,

НДДС — несимметричное двуосное деформированное состояние,

ОДС — одноосное деформированное состояние,

ОНС — одноосное напряженное состояние,

ОПД — обобщенно плоская деформация,

ОСД — осесимметричная деформация,

PC — персональный компьютер,

СДНС — симметричное двуосное напряженное состояние, ТВА — температурно-временная аналогия, ТВУ — термовязкоупругость,

Материалы "Б", "В", "Г", "Д" — композитные инертные материалы, в общем обозначенные выше как ВНЭ, на основе высокоэластичных связующих типа полидие-нэпоксиуретана, наполненные с разными степенями объёмного наполнения порошкообразными частицами металлов и солей различного фракционного состава.

Т. Основные результаты и выводы

Для прикладных исследований нелинейного термовязкоупругого поведения изотропных резиноподобных материалов в области конечных деформаций разработаны феноменологические модели несжимаемых, линейно и нелинейно сжимаемых деформируемых сред, методики идентификации моделей для конкретных материалов по доступной совокупности экспериментальных данных, алгоритмы и программы численного анализа нестационарных режимов термосилового нагружения элементов конструкций с использованием разработанных моделей. В частности:

1. Разработаны и апробированы численные методики определения материальных параметров и функций линейной наследственной теории термовязкоупругости при малых деформациях с использованием температурно-временной аналогии. Методики позволяет вести идентификацию моделей по большой совокупности экспериментальных кривых с различными историями деформирования. Это обстоятельство повышает степень использования экспериментальной информации, снижает требования к экспериментальному оборудованию по обеспечению режимов нагружения. В качестве корректного решения частной задачи идентификации произвольного оператора интегрального типа на конечном известном интервале времени предложено использовать усредненную функцию релаксации, определяемую как результат усреднения множества допустимых решений общей математически некорректной задачи идентификации.

2. Получено новое представление тензора напряжений через упругий потенциал несжимаемого упругого тела, проведен анализ и выбор определяющих уравнений сжимаемых упругих тел для обобщения на случай вязкоупругого поведения, показана ограниченность некоторых широко применяемых моделей с точки зрения физически правдоподобного предсказания объёмных изменений при различных видах напряженно-деформированного состояния.

3. На основе полученных и выбранных представлений построены модели термовязкоупругого поведения несжимаемых и слабосжимаемых материалов с малыми степенями наполнения, обобщающие классическую модель изотропного вязкоупругого тела на начальную область конечных деформаций. Разработанные модели использованы для описания поведения полиуретана ГУП-26, резины ИРП-1226, наполненных до 30 % по объёму полидиенэпоксиуретанов. В рамках модели несжимаемого тела получены аналитические решения задач при сложных видах напряженного состояния: о совместном кручении и растяжении-сжатии сплошных цилиндрических образцов и наддуве с растяжением полых тонкостенных трубчатых образцов. Экспериментальное исследование образцов при этих видах НДС показало удовлетворительное соответствие с теоретическими предсказаниями по всем характеристикам, включая вязкоупругое проявление эффекта Пойнтинга.

4. Предложена модель термовязкоупругого поведения высоконаполненных эластомеров при конечных деформациях, включающая дополнительное уравнение эволюции для скалярного структурного параметра. Учитываются нелинейные эффекты, обусловленные отслоением высокоэластичного связующего и порообразованием по границам наполнителя, связанная с этим чувствительностью к внешнему гидростатическому давлению и виду НДС. Описано поведение ряда модельных и реальных материалов в широком диапазоне температур и скоростей деформации.

5. Построена модель термовязкоупругого поведения резин, описывающая особенности нелинейного поведения при квазистатических и динамических режимах нагружения, включая зависимости от амплитуд статической и динамической составляющих в основном эксплуатационном диапазоне деформаций. Модель апробирована для резины двух марок, отличающихся степенью наполнения. Её использование позволяет сократить объём многофакторного трудоёмкого эксперимента по выявлению нелинейных жёсткостных и диссипативных характеристик.

6. Для идентификации перечисленных выше моделей модифицированы методики теории малых деформаций для нахождения функции релаксации и функции температурно-временного сдвига, разработаны и апробированы численные методики для определения дополнительных материальных параметров и функций, также использующие данные о нагружении образцов с произвольной квазистатической историей деформирования.

7. Для испытания резиноподобных материалов разработаны экспериментальные методики и оборудование, позволяющее регистрировать полные истории измеряемых величин. Реализованы опыты при одноосном деформированном состоянии, кручении с растяжением-сжатием, опыты с измерением тепловых потоков в деформационном микрокалориметре.

8. Разработаны алгоритмы и программы для численного анализа нестационарного поведения резиноподобных материалов в конструкциях учитывающие математические особенности предложенных моделей при совместном пошаговом решении задач об эволюции полей температуры, деформаций и скалярного структурного параметра.

9. Выполнен анализ термомеханического поведения ряда реальных конструкций при существующих режимах термосилового нагружения, выявлен вклад различных нелинейных составляющих моделей. Разработанные прикладные нелинейные модели для высоконаполненных эластомеров позволяют предсказывать существенно

- отличающиеся по величине и характеру распределения поля напряжений в сравнении с традиционными упругими и вязкоупругими моделями. Учет существенных нелинейных особенностей высоконаполненных эластомеров, в первую очередь объёмных изменений за счет порообразования по границам частиц наполнителей, приводит к получению неаддитивных решений для разных видов нагрузки и, как правило, к меньшему уровню напряженности в сравнении с линейными решениями соответствующих задач. Это обстоятельство позволяет при оценке работоспособности изделий более аргументированно назначать коэффициенты безопасности и требования к материалу по прочностным свойствам.

1. Адамов А.А. О неединственности определения параметров в интегральных уравнениях вязкоупругости по данным квазистатических испытаний // Исследования по механике полимеров и систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1978. - С. 16-20.

2. Адамов А.А. Описание вязкоупругого поведения несжимаемых и слабосжимаемых материалов при конечных деформациях: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1979. -177 с.

3. Адамов А.А. К выбору функционала для описания поведения вязкоупругого материала при конечных деформациях // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-та, 1980. -Вып. 101. /Механика эластомеров. Т. 3. - С. 56-59.

4. Адамов А.А. Об идентификации модели наследственной вязкоупругости при конечных деформациях // Структурная механика неоднородных сред. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. - С. 8-11.

5. Адамов А.А. Кручение вязкоупругого цилиндра из несжимаемого материала при конечных деформациях // Напряжённо-деформированное состояние и прочность конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. - С. 61-65.

6. Адамов А.А. Анализ малых вынужденных поперечных колебаний вязкоупругого стержня, предварительно растянутого до конечных деформаций // Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. - С. 27-32.

7. Адамов А.А. О построении образа процесса нагружения при конечных деформациях // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. - С. 3-5.

8. Адамов А.А., К построению модели вязкоупругого поведения наполненных эластомеров с учетом структурных изменений // Исследования по механике материалов и конструкций. Свердловск: УрО АН СССР, 1988. - С. 4-6.

9. Адамов А.А. К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполненных резин при конечных деформациях // Каучук и резина. 1996. - № 5. - С. 27-30.

10. Адамов А.А. Неизотермическое деформирование элементов конструкций из нелинейного дисперсно наполненного эластомера // Механика композиционных материалов и конструкций. 1999. - Т. 5. - № 2. - С. 101-107.

11. Адамов А.А. Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных упругих материалов при конечных деформациях // Прикл. мех. и техн. физика. 2001. - Т. 42, № 5. - С. 183-192.

12. Адамов А.А. Статистический подход к идентификации функций влияния в теории линейной вязкоупругости // Высокомолек. соед. Сер.А. - 2002. - Т. 44, № 6. - С. 1-6.

13. Адамов А.А., Дегтярев А.И. Построение математической модели термореологически простого материала при конечных деформациях. // Динамика и прочность механических систем: Тр. Пермского политехи, ин-та, 1983. С. 61-66.

14. Адамов А.А., Зотин В.Н. Устройство для определения модуля объёмного сжатия резиноподобных материалов // Информац. листок №335-87 Пермск. межотрасл. тер-ритор. ЦНТИ, 1987. 3 с.

15. Адамов А.А., Кароид Е.И. К оценке микронеоднородности температурного поля при виборазогреве полимерных материалов с жесткими наполнителями // Механика микронеоднородных структур. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1988. - С. 38-42.

16. Адамов А.А., Кожевникова Л.Л. К методу аппроксимаций А.А.Ильюшина // Прикладные задачи теории упругости и вязкоупругости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1976. - С. 71-76.

17. Адамов А.А., Кузнецов Г.В. К методике описания реологических процессов при конечных деформациях теорией наследственности // Прикладные задачи механики полимеров и систем. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977. - С. 11-20.

18. Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - 411 с.

19. Адамов А.А., Санников Л.С., Селиванов Е.И. Вязкоупругая реакция цилиндра из резины при сложном многопараметрическом нагружении // Краевые задачи упругих и неупругих систем. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. - С. 32-36.

20. Адамов А.А., Соловьев Г.П. К решению вязкоупругой задачи для осесимметричной конструкции с учетом структурных изменений материала // Статические и динамические краевые задачи механики деформируемых тел. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 30-35.

21. Адамов А.А., Соловьев Г.П. Об одном алгоритме вычисления интегралов от реологических функций влияния // Численное моделирование статического и динамического деформирования конструкций. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 60-64.

22. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. / Под ред. В.Н.Вапника. -М.: Наука. 1984. - 816 с.

23. Александров А.П., Лазуркин Ю.С. Изучение полимеров. 1. Высокоэластическая деформация полимеров. 2. Динамический метод исследования эластичных материалов // Журн. техн. физ. 1939. - Т. 9. - №14. - С. 1249-1266.

24. Алфрей Т. Механические свойства высокополимеров. М.: Изд-во иностр. лит., 1952.- 620 с.

25. Альес М.Ю., Булгаков В.К., Липанов A.M. Об одном алгоритме решения геометрически нелинейной задачи о НДС полых цилиндров сложной формы на основе МКЭ // Изв АН СССР. Мех. твердого тела. 1985. - №2. - С. 106-112.

26. Анатычук Л.И., Лустье О.Я. Микрокалориметрия. Львов: Изд-во при ЛГУ, 1981. -158 с.

27. Андреев А.И. Квазистатическое деформирование вязкоупругих тел при конечных деформациях // Численные методы в исследовании напряжений и деформаций в конструкциях. Свердловск, 1987. - С. 91-96.

28. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупругопласти-ческих тел. М.: Наука, 1987. - 472 с.

29. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.В. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983. - 336 с.

30. Аскадский А.А. Деформация полимеров. М.: Химия, 1973. - 448 с.

31. Астарита Д., Маруччи Д. Основы гидромеханики неньютоновской жидкости. М.: Мир, 1975. - 309 с.

32. Бадран Ф.М.Ф. Некоторые вопросы простой конечной деформации вязкоупругих тел // Механика полимеров. 1966. - №4. - С. 508-518.

33. Бадран Ф.М.Ф. Большие деформации термореологических простых материалов // Механика полимеров. 1967. - №3. - С. 436-447.

34. Бадран Ф.М.Ф. Обобщение двух принципов теории линейной вязкоупругости на случай больших деформаций // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. - С. 255260.

35. Бартенев Г.М. Структура и релаксационные свойства эластомеров. М.: Химия, 1979. - 288 с.

36. Бартенев Г.М., Бартенева А.Г. Релаксационные свойства полимеров. М.: Химия, 1992. - 384 с.

37. Бартенев Г.М., Лаврентьев В.В., Воеводский B.C. Фрикционные свойства высокоэластичных материалов при высоких контактных давлениях // Механика полимеров. -1971. №1. - С. 140-146.

38. Бартенев Г.М., Никифоров В.П., Аврущенко Б.Х., Кусов А.Б. О выборе уравнения деформации для высокоэластических материалов // Каучук и резина. 1969. - №6. -С. 33-35.

39. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров // Высокомолек. соед. 1960. - Т. 2. - №1. - С. 20-28.

40. Бердакчиев А.В. Вязкоупругий цилиндр, армированный тонкой упругой оболочкой, в неоднородном температурном поле // Механика полимеров. 1975. - №2. - С. 294299.

41. Бленд Д.Р. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965. - 199 с.

42. Боли В., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. - 518 с.

43. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. - 312 с.

44. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1990. - 448 с.

45. Болотин В.В., Литвинов А.Н., Мурзаханов Г.Х. Математическое обеспечение для обработки результатов механических испытаний полимерных материалов // Труды МЭИ, 1972. Вып. 101. - С. 32-36.

46. Ботвина Л.Р., Баренблатт Г.И. Автомодельные закономерности накопления повреждаемости при различных видах нагружения // Физические основы прочности и пластичности, Горький, 1985. С. 14-27.

47. Бронский А.П. Явление последействия в твердом теле // Прикл. матем. и мех. 1941.- Т. 5. № 1. - С. 31-56.

48. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов (теория и приложения). М.: Наука, 1973. - 288 с. '

49. Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров. М.: Химия, 1984. - 224 с.

50. Быков Д. JI. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной среды // Инж. журн. МТТ. 1966. - №4. - С. 58-64.

51. Быков Д.Л. Об учете повреждений в наполненных полимерных материалах // Известия РАН. Механика твердого тела, 1998, № 1. С. 19-28.

52. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979. - 448 с.

53. Вахрушев А.В. Контактные напряжения в композитах при набухании // Реологическое поведение деформируемых сложных систем. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 73-76.

54. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. - 576 с.

55. Вильяме М., Ландел Л., Ферри Дж. Температурная зависимость релаксационных процессов в аморфных полимерах и других стеклующихся жидкостях // Проблемы современной физики. Физика полимеров, 1956. Т. 8. - №12. - С. 20-33.

56. Вострокнутов Е.Г., Прохорова Л.Н. Структура, реологические особенности и технологические свойства наполненных эластомеров //Каучук и резина. 1986. - №6. - С. 41-47.

57. Вульфсон С.З. К вопросу линейной теории ползучести // Тр. ЦНИИСК Акад. стр-ва и архитект. СССР. 1961. - Вып. 4.

58. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал наполненных резин // Каучук и резина. 2002. - №3. - С. 29-39.

59. Геррманн Л.Р. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов // Ракетная техника и космонавтика. 1965. - №10. - С. 139-144.

60. Годовский Ю.К. Калориметрическое исследование энтропийных и энергетических эффектов при малых деформациях эластомеров // Высокомолекул. соед. Сер.А. -1977. - Т. XIX, №10. - С. 2359-2366.

61. Големшток Г.М. Реализация МКЭ для расчета конструкций из несжимаемого и почти несжимаемого материала // Прикладные проблемы прочности и пластичности.- Горький. 1983. - т. - С. 12-17.

62. Голованов В.П., Туркин В.Т. Объемная деформируемость наполненных эластомеров и ее влияние на связь сдвиговых характеристик // Всесоюз. науч. -тех. конф. "Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов": Тез. докл. Рига, 1983. -С. 75.

63. Голотина JI.A. Применение смешанного вариационного принципа к исследованию вязко-упругого поведения конструкций и деформационно-стареющего материала // Исследования по механике материалов и конструкций. Свердловск: УрО АН СССР.- 1988. С. 107-111.

64. Гольдман А.Я. Прочность конструкционных материалов. JL: Машиностроение, 1979. - 320 с.

65. Гольдман А.Я. Объемное деформирование пластмасс. JL: Машиностроение, 1984. -232 с.

66. Гольдман А.Я. Прогнозирование деформационно-прочностных свойств полимерных и композиционных материалов. JL: Химия, 1988. - 272 с.

67. Гольдман А.Я., Щербак В.В., Кислов Е.Н., Дворский Е.И. Способ определения параметров для описания кривой ползучести упругонаследственных матералов на основе таблиц функций Работнова. // Машиноведение. 1977. - № 6. - С. 77-82.

68. Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях. М.: Машиностроение, 1984. - 256 с.

69. Градовчик, Соссе, Мовензаде. Определение продолжительности памяти вязкоупругих материалов // Ракетная техника и космонавтика. 1971. - С. 199-203.

70. Грин А.Е., Адкинс Дж.Е. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 455 с.

71. Громов В.Г. Представление резольвент операторов вязкоупругости функциями распределения спектров // Прикл. матем. и механика. 1971. - Т. 35. - №4. - С. 750-759.

72. Громов В.Г. Метод построения определяющих соотношений вязко-упругих тел при конечных деформациях // ДАН СССР. 1985. - Т. 285. - №1. - С. 69-73.

73. Громов В.Г., Мирошников В.П. Эффекты термомеханической связанности в теории термовязкоупругости // ДАН СССР. 1978. - Т. 240. - №4. - С. 809-812.

74. Гуль В.Е. Структура и прочность полимеров. М.: Химия, 1971. - 344 с.

75. Гурвич E.JI. Условие Адамара в нелинейной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - №1. - С. 45-51.

76. Гусман М.Т., Балденко Д.Ф., Кочнев A.M., Никомаров С.С. Забойные винтовые дви0 гатели для бурения скважин. М.: Недра, 1979. - 232 с.

77. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1978. 228 с.

78. Демидова И.И., Екельчик B.C. Об описании реологии полимеров с помощью суммы дробно-экспоненциальных функций. // Исследования по упругости и пластичности.ф. Л.: 1978, № 12. - С. 107-113.

79. Деюн Е.В., Манелис Г.Б., Полианчик Е.В., Смирнов Л.П. Кинетические модели при прогнозировании долговечности полимерных материалов // Успехи химии. 1980. -Т. XLIX, Вып. 8. - С. 1572-1593.

80. Докторов Я.Я. К численному решению квазистатической задачи теории вязкоупругости // Упругость и неупругость. М.:МГУ. - 1973. - Вып. 3. - С. 187-199.

81. Дрешер А., де Йоселен де Йонг Ж. Проверка механической модели течения'гранулированного материала методами фотоупругости // Механика. Новое в зарубежной науке. Определяющие законы механики грунтов. М.: Мир, 1975. - С. 144-165.

82. Дружинин В.А. Оценка длительной прочности резиновых изделий при больших деформациях // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. - 1984. - Вып. 44. -С. 44-53.

83. Дружинин В.А. Скорость высвобождения энергии и кинетическое уравнение роста трещины в резине // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. - 1987. - Вып. 48. - С. 104-111.

84. Дунаев И.М Термовязкоупругость эластомеров // Труды Краснодар, ун-та и политехи. ин-та. Механика эластомеров. /Часть 1. 1977. - Вып. 242. - С. 20-35. /Часть2. 1978. - Вып. 248. - С. 27-46. /Часть 3. - 1980. - Вып. 101. - С. 30-47.

85. Дымников С.И. Прикладные методы прогнозирования нелинейного механического поведения резиновых элементов и конструкций: Автореф. дисс. . докт. техн. наук.- Л., 1986. 36 с.

86. Дымников С.И., Дружинин В.А. Поведение вязкоупругой среды при наложении малой деформации на конечные // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. -1977. - Вып. 34. - С. 130-136.

87. Дымников С.И., Мейерс И.Р., Эрдманис А.Г. Упругие потенциалы для слабосжимаемых эластомерных материалов // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне.- 1982. Вып. 40. - С. 98-108.

88. Дырда В.И., Адамов А.А., Мазнецова А.В., Селиванов Е.И. Описание вязкоупругого поведения резиновых элементов при конечных деформациях. // Ин-т геотехн. мех. АН УССР. Днепропетровск, 1984. - 14 с. Деп. в ВИНИТИ 25 янв. 1985, №746-85 Деп.

89. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. - 190 с.

90. Ефимов И.Н., Дегтярёв А.И. Деформационные и прочностные свойства полиурета-нового облицовочного материала // Упругое и вязкоупругое поведение материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1979. - С. 67-71.

91. Звонов Е.И., Малинин Н.И., Паперник Л.Х., Цейтлин Б.М. Определение характеристик ползучести и релаксации линейных упруго-наследственных материалов с использованием ЭВМ // Инженерный журнал МТТ. 1968. - № 5. - С. 76-82.

92. Згаевский В.Э. Релаксационные механические свойства комплекса макромолекул и коллоидных частиц // ДАН. 1998. - Т. 363, № 1. - С. 42-45.

93. Зезин Ю.П., Малинин Н.И. Экспериментальная проверка концепции Фипджеральда о незатухающей памяти наполненных полимеров // Изв. АН СССР. МТТ. 1977, №3. С. 125-129.

94. Зезин Ю.П., Малинин Н.И. О методах описания деформационных и прочностных свойств полимерных систем // Механика композитных материалов. 1980. - № 4. -С. 592-600.

95. Зезин Ю.П., Малииин Н.И., Якушенко И.И. Деформирование и длительная прочность наполненных полимеров // Междунар. конф по каучуку и резине, Москва, 1984. Препринт 1. Секция В. Механика резины и конструирование технических изделий и шин. С. 69-80.

96. Зелин В.И., Янсон Ю.О. Определение ядер ползучести по результатам кратковременных испытаний // Механика полимеров. 1977. - № 6. - С. 972-975.

97. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

98. Зуев Ю.С. Разрушение эластомеров в условиях, характерных для эксплуатации. -М.: Химия, 1980. 288 с.

99. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

100. Ильюшин А.А. Метод аппроксимаций для расчета конструкций по линейной теории термовязко-упругости // Механика полимеров. 1968. - №2. - С. 210-221.

101. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-вязко-упругости. М.: Наука, 1970. - 280 с.

102. Канцанс М.В., Лавендел Э.Э. Запись закона состояния для несжимаемой вязкоупру-гой среды при конечной деформации // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. - 1981. - Вып. 38. - С. 39-48.

103. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев: Наукова думка, 1982. - 260 с.

104. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К., Гуменюк В.П. Термомеханическое поведение вяз-коупругих тел при гармоническом нагружении. Киев: Наукова думка, 1985. - 288 с.

105. Касаткина М.В., Колокольчиков В.В. Определение функций релаксации напряжений с накоплением повреждений при конечных деформациях несжимаемых материалов // Механика композитных материалов. 1988. - № 2. - С. 254-256.

106. Качанов A.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. - 312 с.

107. Керча Ю.Ю. Упрощенный метод исследования характера тепловых эффектов и других характеристик механической деформации полимеров // Новые методы исследования полимеров. Киев: Наук, думка. - 1975. - С. 97-106.

108. Керча Ю.Ю. Физическая химия полиуретанов. Киев: Наук, думка, 1979. - 224 с.

109. Киричевский В.В. Применение метода конечных элементов к решению нелинейной задачи термовязкоупругости для слабосжимаемых эластомеров // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1985. - №47. - С. 62-67.

110. Князев А. А. Расчет эластичных мембран с помощью методов нелинейного программирования: Дисс. . канд. тех. наук. Пермь, 1983. - 142 с.

111. Князев А.А. Вязкоупругое поведение резиноподобного материала // Краевые задачи упругих и неупругих систем. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. - С. 80-84.

112. Кожевникова J1.JI., Кузнецов Г.Б., Роговой А.А. Равновесие тел вращения под действием массовых сил. М.: Наука, 1983. - 102 с.

113. Колтунов М.А. К вопросу выбора ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации // Механика полимеров. 1966. - №4. - С. 483-497.

114. Колтунов М.А. Функции влияния в теории оболочек с наследственными свойствами // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. - 1967. - С. 640-645.

115. Колтунов М.А. Сингулярные функции влияния в анализе релаксационных процессов // Прочность и пластичность. М.: Наука. - 1971. - С. 640-645.

116. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. - 277 с.

117. Кондауров В.И. Уравнения релаксационного типа для вязкоупругих сред с конечными деформациями // Прикладная математика и механика. 1985. - Т. 49. - №5. - С. 791-800.

118. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. - 832 с.

119. Косиненко И.И., Кузнецов Г.В. Установка для исследования эластомеров при сложном напряженном состоянии // Всесоюз. науч. -техн. конф. "Наука и технический прогресс в машиностроении": Тез. докл. Гомель, 1974. - С. 113-114.

120. Кравчук А.С. Основы компьютерной томографии. М.: Дрофа, 2001. - 201 с.

121. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985. - 304 с.

122. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. - 338 с.

123. Кузьмичев Д.А., Радкевич И.А., Смирнов А.Д. Автоматизация экспериментальных исследований. М.: Наука, 1983. - 392 с.

124. Кульман T.JI., Питере P.JL, Виллс-мл. К.У. Модифицированный критерий максимального главного напряжения для оценки возможности разрушения скрепления топлива с промежуточным слоем // Аэрокосмическая техника. 1987. - №12. - С. 80-87.

125. Курозаев В.П., Пименов JI.A., Адамов А.А., Селиванов Е.И. Применение метода рентгеновской вычислительной томографии для исследования повреждаемости наполненного эластомера // Дефектоскопия. 1986. - №7. - С. 39-43.

126. Кучерский A.M., Бартенев Г.М. 145. Нелинейный процесс релаксации в наполненных эластомерах при малых деформациях // Каучук и резина. 1993. - № 3. - С. 8-13.

127. Латишенко В.А. Диагностика жесткости и прочности материалов. Рига: Зинатне, 1968. 320 с.

128. Левии В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: Физматлит, 2002. - 272 с.

129. Лернер М.М. Последовательные приближения в решении краевой задачи о конечных деформациях полого цилиндра из наследственно-линейного материала // Ползучесть и длит, прочн. конструкций. Куйбышев, 1986. - С. 123-130.

130. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 415 с.

131. Лешковский В.Г., Покровский A.M. Алгоритм решения задач термо-упруго-вязко-пластичности на основе МКЭ с учетом структурных превращений // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1988. - №5. - С. 12-16.

132. Либовиц Г., Эфтис Д., Джонс Д. Некоторые недавние теоретические и экспериментальные исследования по механике разрушения // Механика (новое в зарубежной науке) / Вып. 20. Механика разрушения. / Разрушение конструкций. М.: Мир, 1980. - С. 168-202.

133. Лизарев А.Д., Петроковец М.И. Применение теории распределения для аппроксимации экспериментальных реологических кривых // Механика полимеров. 1971. - № 5. - С. 864-868.

134. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

135. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

136. Майборода В.П. К вопросу о применимости функций влияния, определяемых из квазистатических опытов, для решения динамических задач виброзащиты // Механика полимеров. 1974. - № 3. - С. 537-540.

137. Малкин А.Я., Аскадский А.А., Коврига В.В. Методы измерения механических свойств полимеров М.: Химия, 1978. - 336 с.

138. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. - 572 с.

139. Мальцев Л.Е. Об аналитическом определении параметров ядра Ржаницина-Колтунова. // Механика композитных материалов. 1979. - № 1. - С. 161-163.

140. Малый В.И. Квазиконстантные операторы в теории вязкоупругости нестареющих материалов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1980. - №1. - С. 77-86.

141. Малый В.И., Труфанов Н.А. Метод квазиконстантных операторов в теории вязкоупругости анизотропных нестареющих материалов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - №6. - С. 148-154.

142. Маньковский В.А. Нелинейная параметризация вязкоупругих функций // Механика композитных материалов. 1982. - № 4. - С. 579-584.

143. Маньковский В.А., Розовский М.И. Общий способ сопоставления наследственных функций влияния и определения их параметров. // Прикладная механика. - 1971.- Т. 7. №1. - С. 18-24.

144. Методы испытания, контроля и исследования машиностроительных материалов // Том III. Методы исследования неметаллических материалов. М.: Машиностроение, 1973. - 283 с.

145. Мешков С.И. Приложение интегральных уравнений Вольтерра к описанию наследственно-упругих свойств твердых тел // Механика деформируемых тел и конструкций.- М.: Машиностроение, 1975. С. 286-293.

146. Молчанов Ю.М., Андриксон Г.А. Термодинамическое определение фактора приведения // Механика полимеров. 1973. - №6. - С. 1001-1010.

147. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. -М.: Наука, 1980. 256 с.

148. Москвитин В.В. Некоторые вопросы длительной прочности вязкоупругих сред // Проблемы прочности. 1971. - ЛГ«2. - С. 55-58.

149. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе). М.: Наука, 1972. - 328 с.

150. Москвитин В.В. Циклическое нагружение элементов конструкций. М.: Наука, 1981.- 344 с.

151. Нетребко В.П., Лучников М.А. Метод последовательных приближений в задачах нелинейной теории вязкоупругости // Прикладная механика. 1981. - Т. 17, №3.- С. 23-30.

152. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. - 336 с.

153. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

154. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин В.П. Механика полимеров М.: Изд-во МГУ,1975. 528 с.

155. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир,1976. 464 с.

156. Орлов B.C. Эффекты влияния температуры и гидростатического давления на свойства полимерных материалов в физически нелинейной осесимметричной задаче термовязкоупругости // Механика слошной среды: Ростов н/Д, 1982. С. 70-81.

157. Орлов B.C. Об одной задаче идентификации определяющих соотношений линейной теории термовязкоупругости // Прикл. механика. 1987. - Т. 23, №5. - С. 77-82.

158. Осокин А.Е., Суворова Ю.В. Нелинейное определяющее уравнение наследственной среды и методика определения его параметров // Приклад, мат. и мех. 1978. - Т. 42, № 6. - С. 1107-1114.

159. Павлов С.М., Светашков А.А. Итерационный метод решения задач линейной вязкоупругости // Известия вузов. Физика. 1993. - № 4. - С. 129-137.

160. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. Л.: Наука, 1976. - 328 с.

161. Пальмов В.А. Реологические модели в нелинейной механике деформируемых тел // Успехи механики (Advances in Mechanics). 1980. - Т. 3. - Вып. 3. - С. 75-115.

162. Паперник Л.Х. Применение аппарата дробно-экспоненциальных функций в линейной и нелинейной теории вязкоупругости: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. М., 1971.- 12 с.

163. Писцов Н.В. Математическое и физическое моделирование средств экспериментального определения напряженного и деформированного состояния низкомодульных элементов композитных конструкций: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. Пермь, 1990. - 24 с.

164. Победря В.Е. О решении задач термовязкоупругости с неоднородным полем температур // Упругость и неупругость. М. - 1971. - Вып. 1. - С. 172-201.

165. Победря В.Е. Численные методы в теории вязкоупругости // Механика полимеров.- 1973. №3. - С. 417-428.

166. Победря Б.Е., Дмитриенко Ю.И. Связанные задачи линейной термомеханики деформируемого твердого тела // Успехи механики (Advances in Mechanics). 1987. - Т. 10.- Вып. 2. С. 97-137.

167. Поздеев А.А., Трусов П.В, Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации.- М.: Наука, 1986. 232 с.

168. Полимерные смеси. // Под ред. Д.Пола, Е.Ньюмена. / Т. 2. М.: Мир, 1981. - 453 с.

169. Потураев В.Н., Дырда В.И., Круш И.И. Прикладная механика резины. Киев: Наук, думка, 1980. 260 с.

170. Присс JI.C., Шуйская А.Г. Упругие и упруго-гистерезисные свойства резин в сложном напряженном состоянии // 1-ая Всесоюз. конф "Проблемы шин и резинокордных композитов"(Москва, 17-19 окт. 1989 г.): Тез. докл. М.: НИИШП. - 1989. - С. 142-150.

171. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.

172. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.- 383 с.

173. Работнов Ю.Н., Паперник JT.X., Звонов Е.Н. Таблицы дробно-экспоненциальной функции отрицательных параметров и интеграла от нее. М.: Наука, 1969. - 132 с.

174. Регель В.Р. Механические модели полимеров, включающие элементы разрушения // Высокомолек. соед. 1964. - Т. 6, - № 3. - С. 395-399.

175. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. М.: Наука, 1974. - 560 с.

176. Ржаницын А.Р. Учет влажности и температуры в задачах ползучести // Исследования по механике и прикладной математике. Труды МФТИ. Оборонгиз. - 1958. -Вып. 1. - С. 131-155.

177. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. - 416 с.

178. Роговой А.А. Уравнение состояния и функционал для слабосжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях // Механика эластомеров Краснодар: Краснодар, политехи, ин-т. - 1988. - С. 72-88.

179. Роговой А.А., Новокшанов Р.С. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Известия РАН. Механика твёрдого тела. 2002. - № 4. - С. 77-95.

180. Самарин Ю.П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кривых ползучести методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых // Проблемы прочности. 1974. - № 9. - С. 24-27.

181. Светлаков Б.А., Барт Ю.Я., Трифонов В.П. Модель механического поведения наполненных полимерных материалов, учитывающая объемные изменения // Расчеты на прочность и жесткость элементов машиностроительных конструкций. М.: - 1987. -С. 45-52.

182. Свистков A.J1. Дифференциальная модель вязкоупругого пластически деформируемого материала // ПМТФ. 1996. - Т. 37. - № 5. - С. 178-188.

183. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392 с.

184. Сетх Б.Р. Понятие меры деформации в технике высокоскоростного деформирования // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. - С. 528-530.

185. Синайский Е.С. Об одном способе обработки кривых экспериментальной реологии // Инженерный журнал МТТ. 1967. - № 5. - С. 127-130.

186. Слонимский Г.Л. О законе деформации высокоэластичных полимерных тел // ДАН СССР. 1961. - Т. 140. - № 2. - С. 343-346.

187. Слонимский Г.Л. Релаксационные процессы в полимерах и пути их описания // Вы-сокомолек. соед. Сер.А. - 1971. - Т. 13. - № 2. С. 450-460.

188. Смит. Эмпирические уравнения для вязкоупругих характеристик и вычисления релаксационных спектров // Вязкоупругая релаксация в полимерах. М.: Мир, 1974. - С. 44-56.

189. Соловьев Г.П. Неизотермическое деформирование элементов конструкций из нелинейного вязкоупругого материала при нестационарных воздействиях: Дисс. . канд. тех. наук. 1995. 199 с.

190. Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов // Мошев В.В., Свистков А.Л., Гаришин O.K. и др. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. - 508 с.

191. Талыблы Л.Х. Деформация скрепленного с корпусом вязко-упругого цилиндра при неизотермическом нагружении // Прикл. мат. и мех. 1990. - Т. 54. - №1. - С. 93-102.

192. Тангитам С., Хеллер Р. Напряженное состояние твердотопливных ракетных двигателей при тепловом воздействии окружающей среды // Аэрокосмическая техника. -1987.- №7. С. 102-112.

193. Термомеханика эластомерных элементов конструкций при циклическом нагружении. / Потураев В.Н., Дырда В.И., Карнаухов В.Г. и др. Киев: Наук, думка, 1987. - 288 с.

194. Тернер С. Механические испытания пластмасс. М.: Машиностроение, 1979. - 175 с.

195. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. - 224 с.

196. Тобольский А. Свойства и структура полимеров. М.: Химия, 1964. - 322 с.

197. Трелоар JT. Физика упругости каучука. М.: ИЛ, 1953. - 240 с.

198. Трифонов В.П., Малинин Н.И. О связи между напряжениями и деформациями для полимерных материалов, проявляющих свойства незатухающей памяти // Научн. тр. Ин-та механики МГУ. М., 1975. - С. 77-85.

199. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

200. Труфанов Н.А., Куликов Р.Г. К обоснованию одного итерационного метода решения краевых задач нелинейной вязкоупругости // Вестник ПГТУ. Компьютерная и прикладная механика. Пермь: ПГТУ, 1998. - № 1. - С. 25-30.

201. Уржумцев Ю.С. Прогнозирование длительного сопротивления полимерных материалов. М.: Наука, 1982. - 222 с.

202. Уржумцев Ю.С., Максимов Р.Д. Прогностика деформативности полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1975. - 416 с.

203. Файнерман А.Е., Липатов Ю.С. Поверхностное натяжение твердых полимеров //Поверхностные явления в полимерах. Киев: Наук, думка, 1970. - С. 19-30.

204. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М.: ИЛ, 1963. - 535 с.

205. Физические величины: Справочник / Бабичев А.П., Бабушкина Н.А., Братков-ский A.M. и др. /Под ред. Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

206. Хеммингер В., Хене Г. Калориметрия, теория и практика. М.: Химия, 1989. - 176 с.

207. Хермен Г. Реконструкция изображений по проекциям. М.: Мир, 1983. - 186 с.

208. Хилл Р. Об определяющих неравенствах для простых материалов // Механика (сб. переводов). 1969. - №4(116). - С. 94-118.

209. Черных К.Ф. Определяющие неравенства упругих тел // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа (к 80-летию акад. Н.И. Мусхелишвили). М.: Наука, 1972. - С. 623-633.

210. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

211. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. - 256 с.

212. Черных К.Ф., Шубина И.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов (феноменологический подход) // Науч. тр. Кубан. ун-та, 1977. Вып. 242. Механика эластомеров. - Т. 1. - С. 54-64.

213. Черных К.Ф., Шубина И.М. Об учете сжимаемости резин // Науч.тр. Кубан. ун-та, 1978. Вып. 268. Механика эластомеров. - Т. 2. - С. 56-62.

214. Швачич М.В. Оценка упругих свойств резин и резинокордных композитов в сложном напряженно-деформированном состоянии: Автореф. дис. . канд. тех. наук. М., 2002. 27 с.

215. Шевченко Ю.Н. Определяющие уравнения нелинейной теории наследственной среды при неизотермических процессах нагружения // Прикл. мех. 1978. - Т. 14. - №2. -С. 69-84.

216. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. -М.: Мир, 1988. 544 с.

217. Щербаков В.Н., Бухарин О.А. Наследственная зависимость вязкоупругих свойств полимеров от температурного фактора //Мех. композит, мат. 1989. - № 2. - С. 355358.

218. Эринген А.К. Единая теория термомеханических материалов // Механика (сб. переводов). 1967. - №1. - С. 135-157.

219. Эюбов Я.А. Об одном вариационном принципе для вязкоупругих тел с учетом повреждаемости и геометрической нелинейности // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989, №5. - С. 778-782.

220. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. - 344 с.

221. Adams G.W., Farris R.J. Latent energy of deformaton of amorphous polumers: 1. Deformation calorimetry. 2. Thermomechanical and dynamic mechanical properties // Polymer. 1989. - Vol. 60. - No. 10. - P. 1824-1828(Part 1), 1829-1835(Part 2).

222. Araimo L., de Candia F., Vittoria Vol. Thermomechanical study of the hysteritic behaviour of natural rubber networks // Polymer. 1978. - Vol. 19. - №6. - P. 731-733.

223. Armero F.} Simo J.C. A new unconditionally stable fractional step method for non-linear coupled thermomechanical problems // Int. J. Numer. Meth. in Engin. 1992. - Vol. 35. - P. 737-766.

224. Astarita G. Thermodynamics of dissipative materials with entropic elasticity // Polymer Engin. Sci. 1974. - Vol. 14. - №10. - P. 730-733.

225. Astarita G., Sarti G.C. Thermomechanics of compressible materials with entropic elasticity // Theoretical rheology, / J.F.Hutton, J.R.A. Pearson and K. Walters (Eds.), Applied Science Publishers, Barking, 1975. P. 123-137.

226. Batra R.C., Jang-Horng Yu. Linear constitutive relations in isotropic finite viscoelasticity // J. of Elastisity. 1999. - Vol. 55. - №1. - R 73-77.

227. Berker A., van Arsdale W.E. Phenomenological models of viscoplastic, thixotropic and granular materials // Rheol. Acta. Vol. 31. - P. 119-138. - 1992.

228. Blatz P.J., Sharda S.C., Tschoegl N.W. Strain enery function for rubber-like meterials based on generalized measure of strain // Trans. Soc. Rheology. 1974. - Vol. 18. - №1. -P. 145-161.

229. Bonet J. Large strain viscoelastic constitutive models // Int. J. Solids Struct. 2001. -Vol. 38. - P. 2953-2968.л

230. Boukamel A., Meo S., Debordes O., Jaeger M. A thermo-viscoelastic model for elastomeric behaviour and its numerical application // Arch. Appl. Mech. 2001. - Vol. 71. - P. 785801.

231. Canga M.E., Becker E.B., Ozupek S. Constitutive modeling of viscoelastic materials with damage computational aspects // Сотр. Meth. in Appl. Mech. Eng. - 2001. - Vol. 190.- №15-17. P. 2207-2226.

232. Chadwick P., Creasy C.F.M. Modified entropic elasticity of rubberlike materials //Journal of the Mechanics and Physics Solids. 1984. - Vol. 32. - P. 337-357.

233. Christensen R.M., Naghdi P.M. Linear non-linear viscoelastic solids // Acta Mechanica.- 1967. Vol. 3. - №1. - P. 1-12.

234. Christensen R.M. A nonlinear theory of viscoelasticity for application to elastomers //J. Appl. Mech. 1980. - Vol. 47. - P. 762-768.

235. Chyuan S. -W. A study of loading history effect for thermoviscoelastic solid propellant grains // Computers and Structures. 2000. - Vol. 77. - №6. - P. 735-745.

236. Coleman B.D., Gurtin M.E. Thermodynamics with internal state variable //J. Chem. Phys. 1967. - Vol. 47. - №2. - P. 597-613.

237. Coleman B.D., Noll W. Foundations of linear viscoelasticity // Reviews of Modern Phys.- 1961. Vol. 33. - №2. P. 239-249.

238. Cost T.L. A free energy functional for thermorheologically simple materials // Acta Mechanica. 1973. - Vol. 17. - P. 153-167.

239. Dafalias Y.F. Constitutive model for large viscoelastic deformations of elastomeric materials J J Mechanics Research Communications. 1991. - Vol. 18. - P. 61-66.

240. Drozdov A.D. A model of adaptive links in finite viscoelasticity // Mechanics Research Communications. 1997. - Vol. 24. - №2. - P. 161-166.

241. Drozdov A.D. A constitutive model for nonlinear viscoelastic media // Int. J. Solids Structures. 1997. - Vol. 34. - №21. - P. 2685-2707.

242. Farris R.J. The influence of vacuole formation on the response and failure of filled elastomers // J. Trans. Soc. Rheol. 1968. - Vol. 12. - №2. - P. 315-334.

243. Fitzgerald J.E., Vakili J. Nonlinear characterisation of sand-asphalt concrete by means of permanent-memory norms // Exper. mech. 1973. - Vol. 13. - №12. - P. 504-510.

244. Govindjee S., Reese S. A presentation and comparison of two large deformation viscoelasticity models // J. Engin. Mat. and Technol. 1997. - Vol. 119. - №7. - P. 251-255.

245. Govindjee S., Simo J.C. A micro-mechanically based continuum damage model for carbon black-filled rubbers incorporating Mullins effect // J. Mech. Phys. Solids. 1991. - Vol. 39. - №1. - P. 87-112.

246. Govindjee S., Simo J.C. Mullins' effect and the strain amplitude dependence of storage modulus // Int. J. Solids and Structures. 1992. - Vol. 29. - №1. - P. 1737-1751.

247. Green A.E., Rivlin R.S. The mechanics of non-linear material with memory // Arch. Rat. Mech. Anal. 1957. - Vol. 1. - P. 1-21.

248. Green A.E., Rivlin R.S. , Spenser A.J.M. The mechanics of non-linear material with memory, Part 2 // Arch. Rat. Mech. Anal. 1960. - Vol. 3. - №1. - P. 82-90.

249. Green A.E., Rivlin R.S. The mechanics of non-linear material with memory, Part 3 // Arch. Rat. Mech. Anal. 1960. - Vol. 4. - №5. - P. 387-404.

250. Gurtin M.E., Francis E.C. Simple rate-independent model for damage // J. Spacecraft and Rockets. 1981. - Vol. 18. - №3. - P. 285-286.

251. Gurtin Morton E., Hrusa William J. On energies for nonlinear viscoelastic materials of single-integral type // Quart. Appl. Math. 1988. - Vol. 46. - №2. - P. 381-392.

252. На К., Schapery R.A. A three-dimensional viscoelastic constitutive model for particulate composites with growing damage and its experimental validation // Int. J. Solids Structures. 1998. - Vol. 35. - №26-27. - P. 3497-3517.

253. Hartmann S. Computation in finite-strain viscoelasticity: finite elements based on the interpretation as differential-algebraic equations // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2002. - Vol. 191. - P. 1439-1470.

254. Harwood J.A.C., Payne A.R. Stress softening in natural rubber vulcanisates. Part 3: Carbon black filled vulcanisates // J. Appl. Polym. Sci. 1966. - Vol. 10. - P. 315-324.

255. Harwood J.A.C., Schallamach A. Dynamic behaviour of rubber during large extensions // J. Appl. Polym. Sci. 1967. - Vol. 11. - P. 1835-1850.

256. Haupt P. Thermorheologically simple materials: Thermodynamic restrictions upon material functions in finite linear viscoelasticity // Mech. Res. Comm. 1974. - Vol. 1. - P. 203-208.

257. Haupt P., Sedlan K. Viscoplasticity of elastomeric materials: experimental facts and constitutive modelling // Archive of Appl. Mech. 2001. - Vol. 71. - P. 89-109.

258. Holowia B.P., James E.H. Determination of dynamic bulk modulus of elastomers using pressure measurement // Rubber Chem. Technol. 1993. - Vol. 66. - P. 749-753.

259. Holzapfel G.A. On large strain viscoelasticity: continuum formulation and finite element applications to elastomeric structures // Int. J. Num. Meth. Engin. 1996. - Vol. 39. - P. 3903-3926.

260. Holzapfel G.A., Reiter G. Fully coupled thermomechanical behaviour of viscoelastic solids treated with finite elements // Int. J. Engin. Sci. 1995. - Vol. 33. - P. 1037-1058.

261. Holzapfel G.A., Simo J.C. A new viscoelastic constitutive model for continuous media at finite thermomechanical changes // Int. J. Solids Struct. 1996. - Vol. 33. - P. 3019-3034.

262. Holzapfel G.A., Simo J.C. Entropy elasticity of isotropic rubber-like solids at finite strains // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1996. - Vol. 132. - P. 17-44.

263. Hohne G.W.H., Kilian H.G., Trogele P. On Stretching calorimetry and thermoelasticity of rubbers // Proc. of the 7-th Intern. Conf. on Thermal Analusis. Part 2, 1982. P. 955-963.

264. Huet С. An integrated micromechanics and statistical continuum thermodynamics approach for studying the fracture behaviour of microcracked heterogeneous materials with delayed response // Engin. Fracture Mech. 1997. - Vol. 58. - №5-6. - P. 459-556.

265. James A.G., Green A. Strain energy functions of rubber, II. The characterization of filled vulcanisates // J. Appl. Polym. Sci. 1975. - Vol. 19. - №8. - P. 2319-2330.

266. James A.G., Green A., Simpson G.M. Strain energy functions of rubber, I. Characterization of gum vulcanisates. // J. Appl. Polym. Sci. 1975. - Vol. 19. - №7.- P. 2033-2058.

267. John F. Perfectly elastic bodies of harmonic type // Proc. Int. Symp. on Applications of the Theory of Function to Continuum Mechanics. Tbilisi, 1963. P. 17-23.

268. Johnson M.A., Beatty M.F. The Mullins-effect in uniaxial extension ant it influence on the transverse vibration of a rubber string // Continuum Mech. Thermodyn. 1993. -Vol. 5. - P. 83-115.

269. Johnson M.A., Beatty M.F. A constitutive equation for the Mullins-effect in stress controlled uniaxial extension experiments // Continuum Mech. Thermodyn. 1993. -Vol. 5. - P. 301-318.

270. Johnson A.R., Quigley C.J., Mead J.L. Large strain viscoelastic constitutive models for rubber, Part I: Formulations // Rubber Chemistry and Technology. 1994. - Vol. 67. -№5. - P. 904-917.

271. Johnson A.R., Quigley C.J., Mead J.L. Large strain viscoelastic constitutive models for rubber, Part 2: Determination of material constants // Rubber Chemistry and Technology.- 1995. Vol. 68. - №2. - P. 230-247.

272. Johnson A.R., Quigley C.J., Freese C.E. A viscohyperelastic finite element model for rubber //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1995. - Vol. 127. -P. 163-180.

273. Jung G. -D., Youn S. -K. A nonlinear viscoelastic constitutive model of solid propellant // Int. J. Solids Structures. 1999. - Vol. 36. - №25. - P. 3755-3777.

274. Jung G. -D., Youn S. -K., Kim В. -K. A three-dimensional nonlinear viscoelastic constitutive model of solid propellant // Int. J. Solids Structures. 2000. - Vol. 37. -№34. - P. 4715-4732.

275. Kaliske M., Rothert H. Formulation and implementation of three-dimensional viscoelasticity at small and finite strains // Comput. Mechanics. 1997. - Vol. 19. -P. 228-239.

276. Kaliske M., Nasdala L., Rothert H. On damage modelling for elastic and viscoelastic materials at large strain // Computers and Structures. 2001. - Vol. 79. - №9. - P. 21332141.

277. Kawabata S., Kawai H. Strain energy density functions of rubber vulcanizates from biaxial extension // 24 Advances in Polumer Sci., N.Y., 1977. P. 89-126.

278. Kilian H. -G., Hohne G.W.H., Trogele P., Ambacher H. Stretching calorimetry and thermoelasticity of rubbers at different temperatures // J. Polym. Sci.: Polymer Symposium. 1984. - Vol. 71. - P. 221-230.

279. Kim В. -K., Youn S. -K. A viscoelastic constitutive model of rubber under small oscillatory load superimposed on large static deformation // Archive of Appl. Mech. 2001. Vol. 71.- P. 748-763.

280. Kim S.J., Kim K.S., Cho J.Y. Viscoelastic model of finitely eforming rubber and its finite element analysis // J. Appl. Mech. 1997. Vol. 64. - №12. - P. 836-841.

281. Knauss W., Emri I. Non-linear viscoelasticity based on free volume consideration // Computers and Structures. 1981. - Vol. 13. - P. 123-128.

282. Leaderman H. Elastic and Greep Properties of Filamentous Materials and Other High Polymers. Washington, 1943. - 175 p.

283. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // TVans. ASME: J. Appl. Mech. 1969. Vol. 36. - m. - P. 1-6.

284. Lee Sang Hoon. Generalized viscoelastic model for creep analysis coupled with plastic deformation // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - Vol. 26. - №1. - P. 153-165.

285. Le Talles P., Rahier C., Kaiss A. Three-dimensional incompressible viscoelasticity in large strains: formulation and numerical implementation // Сотр. Methods Appl. Mech. Eng.- 1993. Vol. 109. - P. 233-258.

286. Levinson M., Burgess I.W. A comparison of some simple constitutive relations for slightly compressible rubber-like materials // Intern. J. Mech. Sci. 1971. - Vol. 13. - P. 563-572.: \ *

287. Li J., Weng G.J. Void growth and stress-strain relations of a class of viscoelastic porous materials // Mechanics of Materials. 1996. - Vol. 22. - P. 179-188.

288. Lion A. A constitutive model for the black filled rubber. Experimental investigations and mathematical representations // J. Continuum Mech. and Themodyn. 1996. - Vol. 8. -№3. - P. 153-169.

289. Lion A. A physically based method to represent the thermomechanical behaviour of elastomers // Acta Mechanica. 1997. - Vol. 123. - P. 1-25.

290. Lion A. On the large deformation behaviour of reinforsed rubber at different temperatures // J. Mech. and Phys. Solids. 1997. - Vol. 45. - №11/12. - P. 1805-1834.

291. Lion A. On the thermodynamics of fractional damping elements // J. Continuum Mech. and Thermodyn. 1997. - Vol. 9. - P. 83-96.

292. Lion A. Thixotropic behaviour of rubber under dynamic loading histories: Experiments and theory // Assepted to J. Mech. and Phys. Solids. 1998.

293. Lu S.C.H., Pister K.D. Decomposition of deformation and representation of the free energy function for isotropic thermoelastic solids // Int. J. Solids Struct. 1975. - Vol. 11. - P. 927-934.

294. Lubliner J. A model of rubber viscoelasticity // Mechanics Research Communications. -1985. Vol. 12. - №2. - P. 93-99.

295. Lyon R.E., Farris R. J. Thermodynamic behavior of solid polymers in uniaxial deformation // Polymer. 1984. - Vol. 28. - №11. - P. 908-914.

296. Martin C., Racimor P., Le Roy M., Quidot M. Representation par les lois de Farris du comportement viscoelastique non-lineaire d'um materiaux charge // Comportements rheologiques structurelles des materiaux: C.R. 15eme Colloq. GFR. 1980. - P. 41-56.

297. Miehe C. Aspects of the formulation and finite element implementation of large strain elasticity // Int. J. Num. Meth. Engin. 1994. - Vol. 37. - P. 1981-2004.

298. Miehe C. Discontinuous and continuous damage evolution in Ogden-type large strain elastic materials // Eur. J. Mech. A Solids. 1995. - Vol. 5. - P. 697-720.

299. Miehe С. Entropic thermoelasticity at finite strains. Aspects of the formulation and numerical implementation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1995. - Vol. 120.- P. 243-269.

300. Mohsin M.A., Berry J.P., Treloar L.R.G. An experimental study of the thermodynamics of rubber in extension and torsion // British Polumer J. 1986. - Vol. 18. - №3. - P. 145-150.

301. Montes S., White J.L. Rheological models of rubber-carbon black compounds: low interaction viscoelastic models and high interaction thixotropic-plastic-viscoelastic models // Elastomers and Plastics. 1993. - Vol. 49. - P. 277-298.

302. Mukhopadhyay K., Tripathy D.K. Strain dependent dynamic mechanical properties of silica-filled ethylene vinyl acetate rubber //J. Elastomers and Plastics. 1992. - Vol. 24.- P. 203-220.

303. Mukhopadhyay K., Tripathy D.K., De S.K. Dynamic mechanical properties of silica-filled ethylene vinyl acetate rubber // J. Appl. Polym. Sci. 1993. - Vol. 48. - P. 1089-1103.

304. Mullins L. Softening of rubber by deformation // Ruber Chemistry and Technology. -1969. Vol. 42. - №1. - P. 339-362.

305. Ogden R.W. Large deformation of isotropic elasticity on the correlation of theory and experiment for incompressible rubber-like solids // Rubber Chem. Technol. - 1973. - Vol. 46. - №2. P. 398-416.

306. Ozupek S., Becker E.B. Constitutive equations for solid propellants //J. Eng. Materials Technology. 1997. - Vol. 119. - №4. - P. 125-132.

307. Park S.W., Schapery R.A. A viscoelastic constitutive model for particulate composites with growing damage // Int. J. Solids Structures. 1997. - Vol. 34. - №8. - P. 931-947.

308. Payne A.R. Hysteresis in rubber vulcanizates //J. Polym. Sci. Symp. 1974. - №48. - P. 169-196.

309. Peng S.T.J., Landel R.F. Stored energy function and compressibility of compressible rubber-like materials under large strain //J. Appl. Phys. 1975. - Vol. 46. - №6. - P. 2599-2604.

310. Penn R.W.Volume changes accompanying the extension of rubber // Trans. Soc. Rheol.- 1970. Vol. 14. - P. 509-517.

311. Pian T.H.H., Lee S.W. Greep and viscoelastic analysis by assumed stress hybrid finite element // Finite elements in non-linear mechanics. Thondheim. 1978. - Vol. 2. - P. 807-822.

312. Pipkin A.C. Small finite deformation of viscoelastic solids // Reviews of Modern Physics.- 1964. Vol. 36. - №10. - P. 1034-1041.

313. Quigley C.J., Mead J.L., Johnson A.R. Large strain viscoelastic constitutive models for rubber, Part II: Determination of material constants // Rubber Chemistry and Technology. 1995. - Vol. 68. - №2. - P. 230-247.

314. Ravichandran G., Liu C.T. Modeling constitutive behavior of particulate composites undergoing damage // Int. J. Solids Structures. 1995. - Vol. 32. - №6-7. - P. 979-990.

315. Reese S., Govindjee S. A theory of finite viscoelasticity and numerical aspects. Structural Engineering // Mechanics and Materials. Report №USB/SEMM-96/08. - 1996. - 49 p.

316. Reese S., Govindjee S. Theoretical and numerical aspects in the thermoviscoelastic material behaviour of rubber-like polymers // Institute of Mechanics, TH Darmstadt, Germany. Report №1/97. 1997. - 47 p.

317. Sarti G.C., Esposito N. Testing thermodynamic constitutive equations for polymers by adiabatic deformation experiments //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1977/1978. - Vol. 3. - №1. - P. 65-76.

318. Schapery R.A. Deformation and fracture characterization of inelastic composite materials using potentials // Polymer Eng. Sci. 1987. - Vol. 27. - №1. - P. 63-76.

319. Schippel H.F. Volume increase of compounded rubber under strain // J. Ind. Eng. Chem.- 1920. Vol. 12. - №4. - P. 33-37.

320. Schwarzl F.R. On mechanical properties of unfilled and filled elastomers // Mech. and Chem. Solid Propellants. 1967. - Vol. 6. - №3. - P. 503-538.

321. Schwarzl F.R., Bree H.W., Nederween C.J. Mechanical properties of highly filled elastomers // Proc. 4th Intern. Congr. Rheol., 1965, Vol. 3. P. 241-263.

322. Schwarzl F., Staverman A.J. Time-temperature dependence of linear viscoelastic behavior // J. Appl. Phys. 1952. - Vol. 23. - №8. P. 838-843.

323. Sharda S.C., Tschoegl N.W. A strain energy density function for compressible rubberlike materials // Trans. Soc. Rheol. 1976. - Vol. 20. - Is. 3. - P. 361-372.

324. Simo J.C. On a fully three-dimensional finite-strain viscoelastic damage model: formulation and computational aspects //Computer Methods in Appl. Mech. and Engin.- 1987. Vol. 60. - №2. - P. 153-173.

325. Sullivan J.L. The relaxation and deformational properties of a carbon black-filled elastomer in biaxial tension // J. Polym. Sci. 1986. - Vol. 24. - P. 161-173.

326. Sullivan J.L., Demery Vol.C. The nonlinear viscoelastic behaviour of a carbon black-filled elastomer // J. Polym. Sci. 1982. - Vol. 20. - P. 2083-2101.

327. Svistkov A.L. Mechanical properties and mass transfer of viscoelastic deformable media // Int. J. Engi. Sci. 2001. - Vol. 39. - P. 1509-1532.

328. Sweeney J., Ward I.M. A constitutive law for large deformations of polumers at high temperatures // J. Mech. and Phys. Solids. 1996. - Vol. 44. - №7. - P. 1033-1049.

329. Trumel H., Fanget A., Dragon A. A finite strain elastic-plastic model for the quasi-static behaviour of particulate composites // Int. J. Engin. Sci. 1996. - Vol. 34. - №6. - P. 677-698.

330. Turner D.M. A triboelastic model for the mechanical behavior of rubber // Plastics Rubber Proc. Appl. 1988. - Vol. 9. - P. 197-201.

331. Ulmer J.C. Strain dependence of dynamic mechanical properties of carbon black-filled rubber compounds // Rubber Chem. Technol. 1995. - Vol. 69. - P. 15-47.

332. Valanis K.C. Irreversible thermodynamics of continuous media (Internal variable theory.- Wien-New Jork: Springer Verlag. - 1971. - 172 p.

333. Weber G., Anand L. Finite deformation. Constitutive equations and a time integration procedure for isotropic hyperelastic-viscoelastic solids // Comput. Meth. Appl. Mech. and Engin. 1990. - Vol. 79. - P. 173-202.

334. Wiegand J.H. The failure mechanism of solid propellant grains // Mech. and Chem. Solid Propellants. 1967. - Vol. 6. - №3. - P. 539-574.

335. Wong F.C. Ait-Kadi A. On the prediction of mechanical behavior of particulate composites using an improved modulus degradation model // J. of Composite Materials.- 1997. Vol. 31. - №2. - P. 104-127.

336. Yadagiri S., Reddy C. Papi. Viscoelastic analysis of nearly incompressible solids // Comput. and struct. 1985. - Vol. 20. - №5. P. 817-825.

337. Yang L.M., Shim Vol.P.W., Lim C.T. A visco-hyperelastic approach to modelling the constitutive behaviour of rubber // Int. J. of Impact Engineering. 2000. - Vol. 24. -№6-7. - P. 545-560.

338. Yeoah O.H. Characterization of elastic properties of carbon-black-filled rubber vulcanizates // Rubber Chem. Technol. 1990. - Vol. 63. - №5. - P. 792-805.

339. Yeoah O.H. Some forms of the strain energy function for rubber // Rubber Chem. Technol.- 1993. Vol. 66. - P. 754-771.

340. Yilmazer U., Farris R.J. Mechanical behavior and dilatation of particulate-filled thermosets in the rubbery state // J. Appl. Polymer Sci. 1983. - Vol. 28. - P. 33693386.