Задачи термовязкоупругости при установившихся крутильных колебаниях тел вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

В в е д е н к е

Глава I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ

ПЕИ УСТАНОВИВШИХСЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Основные уравнения и формулы термовязкоупруго-сти для установившихся крутильных колебаний тел вращения.

Глава 2. ЗАДАЧИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ ПРИ УСТАНОВИВШИХСЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРУГОВОГО ДИСКА

§ 3. Колебания вязкоупрутого диска с независящими от температуры свойствами. Постановка задачи и решение основных уравнений

§ 4. О зависимости термомеханических характеристик колебательного процесса от частоты внешнего . воздействия

§ 5. Примеры решения несвязанных задач о колебаниях диска.

§ 6. Определение механических и тепловых полей при колебаниях кусочно-однородного диска.

§ 7. Связанная задача термовязкоупрутости для установившихся крутильных колебаний диска (метод решения)

§ 8. Связанная задача термовязкоупрутости для установившихся крутильных колебаний диска (примеры числовых расчетов)

Глава 3. ЗАДАЧИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ ПРИ УСТАНОВИВШИХСЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА

§ 9. Колебания сплошного изотропного вязкоупрутого цилиндра при произвольном возбуждении боковой поверхности

§ 10. Колебания сплошного вязкоупругого цилиндра при линейном изменении нагрузки на боковой поверхности

§ II. Определение температуры диссипативного разогрева при установившихся крутильных колебаниях сплошного вязкоупругого цилиндра

§ 12. Колебания полого вязкоупругого цилиндра с присоединенной на торце массой.

§ 13. Крутильные колебания многослойного цилиндра произвольной нагрузкой, распределенной по боковой поверхности

§ 14. Крутильные колебания составного вязкоупругого кругового цилиндра

§ 15. Решение задачи термовязкоупрутости о колебаниях цилиндра из материала с зависящими от температуры свойствами.

Глава 4. ЗАДАЧИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУТОСТИ ПРИ ОСТАНОВИВШИХСЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРУГОВОГО КОНУСА

§ 16. Определение механических полей при колебаниях цилиндрически-анизотропного конуса

§ 17. Определение температуры разогрева при колебаниях конуса.

§ 18. Результаты числовых расчетов

3 а к л ю ч е н и е

I и т е р а т у р а.

Актуальность проблемы. В настоящее время в технике всё большее применение находят полимерные материалы, обладающие свойствами вязкоупругости. Низкая теплопроводность и способность рассей -вать механическую энергию приводят к тому, что действие длитель -ного вибрационного нагружения на элементы конструкций, выполнен -ные из таких материалов, при определенных значениях частоты внешнего возбуждения вызывает значительный диссипативный разогрев. Поэтому сейчас в теории вязкоупругости большое внимание уделяется исследованию процессов деформирования с учетом взаимодействия механических и тепловых полей, которое имеет важное: практическое значение при решении задач о долговечности резинотехнических изделий, несущей способности конструкций из композиционных материалов, эффективности, виброзащитных систем, работоспособности пьезо-керамических резонаторов, механические свойства которых описыва -ются законами вязкоупругости.

Возникающие за счет диссипативного разогрева температурные поля влияют на жесткостные характеристики силовых элементов, способствуют ускоренному старению полимеров, снижают работоспособность изделий и конструкций. Следовательно, при изучении вязко-упругих сред совместное рассмотрение механических и тепловых по -лей является актуальной задачей как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Проблемам вязко- и термовязкоупругости посвящено значитель -ное число работ, опубликованных в СССР и за рубежом. Как инженерная наука теория вязкоупругости сформировалась лишь в середине настоящего столетия, хотя многие закономерности теории вязкоупругости были установлены экспериментально более 100 лет тощ назад и довольно обстоятельно обоснованы теоретически.

- 5

Первыми исследователями, обнаружившими явление деформирования материалов во времени при постоянной нагрузке, были Вика, Вебер и Кольрауш [l2l] . Максвелл впервые представил закон де -формирования во времени в виде дифференциального уравнения. Ос -новное положение, линейной теории вязкоупругости о том, что де -формация в данный момент времени зависит от всех предшествующих нагружений было сформулировано Л.Больцманом. В.Вольтерра дал строгое математическое обоснование этих идей. Уравнения трехмерной теории изотропной вязкоупругости впервые представил Больцман в 1874 году [ив] , уравнения вязкоупругости для анизотропных тел получил Вольтерра в 1909 году [12б] . Теория вязкоупругости для линейного изотермического случая была сформулирована в тру -дах Кельвина и Фойхта.

Алфрей [l] сформулировал вязкоупругуи аналогию, устанавливающую связь между решениями упругой задачи и соответствующей задачи вязкоупругости. Дальнейшее развитие эта идея получила в трудах Вольтерра. После опубликования работы Ю.Н.Работнова [88] принцип Вольтерра стал широко использоваться при решении задач вязкоупругости.

Развитию теории вязкоупругости и её приложению к механике деформируемого твердого тела посвящены работы И.И.Бугакова [б] , В.А.Котляревского [51,52] , В.В.Москвитина [бз] , Н.Н.Малинина

59] , Ю.Н.Работнова [88,89] , А.Р.Ржаницына [92] , А.К.Малмей-стера, В.ПЛамужа,: Г.А.Тетерса [бо] . За рубежом важные результаты получены В.Прагером, А.Дгконсоном, Ф.Ходжамом, А.Девисом, Р.Кристенсеном и др.

Важное теоретическое и практическое значение имеют динами -ческие задачи механики сплошной среды- В этой области работали и работают крупнейшие, советские и зарубежные ученые. Среди советских ученых большой вклад в решение этих задач внесли В.И.Смирнов,

- 6

С.Л.Соболев, Х.А.Рахматуллин, Л.К.Седов, Л.А.Галин, С.Г.Михлин, А.Н.Гузь и многие другие. Решения задач динамики вязкоупругих сред получены в работах Г.А.Ван Фо Фы и Г.Н.Савина [s] , М.И.Розовского [эз] Т.Мавлянова и М.А.Колтунова [58] ,И.Г.Филиппова, Т.Ш.Ширинкулова, С.Мирзакабилова [ill] , В.Новацкого [78] и др.

При деформации вязкоупругих материалов большое значение имеет температурный фактор. Основные уравнения и соотношения теории теплопроводности представлены в монографиях Н.М.Беляева, А.А.Рядно [4] , К.Карслоу, Д.Егера [4l] , А.Д.Коваленко [42] , А.В.Лыкова [57] . Развитию теории термовязкоупругости и решению •конкретных задач посвящены работы А.А.Ильюшина и Б.Е.Победри

31] В.В.Москвитина [бз] , В.Г.Карнаухова [зз] , Р.Кристен -сена [бз] , Дж.Ферри [l09] , Р.А.Шепери [lI5] и др.

Задачи термовязкоупругости вызывают особенно большой инте -рес при расчете конструктивных элементов, подверженных циклическому нагружению. Поведение вязкоупругих тел при периодических механических и тепловых воздействиях с учетом зависимости свойств материала от температуры и взаимодействия полей деформаций и температуры описывается существенно нелинейной системой дифференциальных уравнений. Такие задачи называются связанными [3l] . Получить какие-либо их аналитические решения чрезвычайно трудно, особенно при учете сил инерции.

В работах [45,48,65-70, IOl] получены аналитические решения некоторых динамических задач термовязкоупругости без учёта зависимости свойств материала от температуры (несвязанные зада -чи). В [48] решена задача о вынужденных поперечных колебаниях вязкоупругого стержня и проведено сравнение результатов расчета температурного поля саморазогрева с экспериментальными результатами. П.Ф.Недорезов в работах [б5-70] получил в явном виде

- 7 выражения для определения механических и тепловых полей при установившихся вынужденных продольных колебаниях стержней [65,66], изгибных колебаниях прямоугольных пластинок [67,69], вибрационном нагружении полимерных оболочек [б8,70]. ЛД.Сошественская в [iOl] рассмотрела задачу об изгибных колебаниях круглой в плане пластинки.

Точные и приближенные решения некоторых связанных задач в квазистатической постановке при циклических воздействиях представлены в [12-14, 17-19, 45., 63, 114]. Л.А.Галиным в работе [l7] и Л.А.Галиным, Н.П.Пириевым в [18,19] решены задачи о теплообразовании при колебаниях балок и пластинок без учета сил инерции. В аналогичной постановке в [12,13,14] получены решения задач о кручении призматических стержней различного поперечного сечения. В [45] получено приближенное решение задачи о теплообразовании при колебаниях пластинки без учета сил инерции. В [бЗ] для заданного закона изменения механических свойств материала от температуры получено аналитическое решение задачи о действии циклического нагружения на полимерный стержень. Р.А.Шепери в [lI4] рассмотрел вопросы теплообразования при продольных колебаниях стержня. Практическое применение всех этих результатов ограничено низкими частотами.

При решении связанных динамических задач термовязкоупругости возникает необходимость в использовании численных методов. При этом решение задачи проводится в два этапа. На первом этапе применяются приближенные аналитические методы, позволяющие свести существенно-нелинейную систему уравнений к более простой: к ним можно отнести метод квазилинеаризации [36,47], метод пошагового интегрирования во времени [зз] , метод ВКБ [Зб] , метод возмущения по параметру [85] , метод совместных итераций [бз] . На втором этапе используются вычислительные методы решения задачи,

- 8 полученной на предыдущем этапе: среди них-метод дискретной орто-гонализации [33,47] г метод конечных элементов [49,50] , метод скорейшего спуска [зз] , конечноразностные методы [38] и др»

Многочисленные и существенные результаты в связанной термо-вязкоупругости при циклическом нагружении получены А.Д.Коваленко и его школой: В.Г.Карнауховым, Б.П.Гуменюком, В.И.Козловым и др. Ими рассмотрены задачи о колебаниях стержней [34,36,48] , пластин [зз] и оболочек [44,47] из разных вязкоупругих материалов при различных внешних воздействиях. В этих работах решения получены для одномерных по пространственной переменной задач.

В технике часто приходится иметь дело с различными телами вращения, совершающими крутильные колебания. Впервые задача о крутильных колебаниях изотропного упругого кругового цилиндра со свободной боковой поверхностью была решена Поххаммером [l22] Свободные крутильные колебания сплошных и полых упругих изотропных цилиндров и дисков были рассмотрены А.Н.Динником [29] . Крутильным колебаниям упругого конуса посвящены работы Н.В.Василенко [и] и Ю.П.Гуляева [25] . В работах Хашина [l20] и Р.Кристенсена[53,119] рассмотрены крутильные колебания вязкоупругих цилиндров со свободной боковой поверхностью в предположении, что тангенциальное перемещение является линейной функцией ради -альной координаты.

А.Д.Коваленко и В.ГЛ(арнаухов [43] получили решение термо-вязкоупрутой задачи о крутильных колебаниях стержня в квазистатической постановке,, а в работе [зб] с учетом термомеханического сопряжения и зависимости свойств материала от температуры рас -смотрена динамическая задача об установившихся крутильных колебаниях бесконечно-длинного цилиндра.

Развитие химической промышленности, создание и широкое ис -пользование, композиционных материалов приводит к необходимости решения задач с учетом анизотропии механических и тепловых свойств. Теории упругости анизотропного тела посвящены монографии С .Г .Лехницкого [б5,5б] . В его работе [бб] получены основные соотношения теории: кручения неоднородных упругих тел вращения с цилиндрической анизотропией частного вида.

Сделанный краткий обзор дает представление о решенных задачах и содержании исследований по крутильным колебаниям и диссипатив-ному разогреву тел при циклическом нагружении.

В настоящей диссертации исследуются вопросы диссипативного разогрева и взаимодействия механических и тепловых полей для крутильных колебаний вязкоупругих тел вращения с учетом сил инерции, механической и тепловой анизотропии, переменности свойств материала при кинематических и силовых возбуждениях и различных тепловых условиях на граничных поверхностях для двух классов задач: связанных - когда комплексный модуль сдвига материала зависит от температуры, и несвязанных - когда модуль сдвига не является функцией температуры. Объектами исследования являются круговые диск, цилиндр и конус.

Цель работы.

1. Решение несвязанных задач термовязкоупругости о крутильных колебаниях однородных и кусочно-однородных тел вращения при различных условиях возбуждения, а также с учетом анизотропии свойств материала.

2. Разработка и численная реализация метода решения связанных динамических задач термовязкоупругости при установившихся крутильных колебаниях тел вращения.

3. Исследование зависимости температуры разогрева и характеристик напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел вращения при установившихся крутильных колебаниях от частоты и амплитуды внешнего воздействия, механических и тепловых свойств материала.

Метод, выполнения исследований. Введением комплексных модулей механическая задача об установившихся крутильных колебаниях вязко-упругих тел вращения записывается в виде одного дифференциального уравнения в частных: производных для комплексной амплитуды тангенциального перемещения. При независящих от температуры комплексных модулях это уравнение, а также уравнение теплопроводности для температуры диссипативного разогрева решаются методом разделения переменных. Для получающихся обыкновенных дифференциальных уравне -ний выписываются явные решения, которые позволяют удовлетворить всем заданным механическим и тепловым граничным условиям. Уравнения в задачах о колебаниях тел из анизотропного материала соответствующей заменой переменных приводятся к уравнениям для тел из изотропного материала„

В случае зависимости от температуры свойств материала,когда полученная система уравнений является существенно нелинейной, для решения задачи используется метод совместных итераций. Этот метод позволяет на каждом шаге итерационного процесса считать уравнение движения и линиаризованное по методу Ньютона уравнение теплопро -водности независимыми. Для решения уравнений применяется конечно-разностный метод с использованием метода прогонки в одномерном и матричной прогонки в двумерном случае.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех.глав,, заключения, списка использованной литературы и приложения.

ВЫВОДЫ

Последняя глава посвящена определению термомеханических характеристик при установившихся крутильных колебаниях вязкоупругого прямого круглого конуса. Предполагается, что конус изготовлен из цилиндрически анизотропного материала с независящими от температуры свойствами.

С помощью перехода к специальной системе координат получены явные выражения для определения комплексных амплитуд тангенциального перемещения, сдвиговых деформаций и касательных напряжений в точках полного и усеченного, сплошного и полого конуса, когда конические поверхности свободны от нагрузки, а на основаниях заданы кинематические или силовые граничные условия. Для всех решенных задач приведены формулы или способ определения критических частот. Для/Ьпределения температуры разогрева в точках конуса предложен и реализован алгоритм численного решения уравнения теплопроводности с помощью метода сеток Зейделя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ I

Результаты выполненной работы сводятся к следующему:

1. В цилиндрической системе координат построена основная система уравнений термовязкоупругости с учетом диссипативного теплообразования для установившихся осесимметричных крутильных колебаний произвольного тела вращения, изготовленного из неоднородного вязкоупругого материала, механические и тепловые свойства которого зависят от температуры и обладают цилиндрической анизотропией частного вида. Система уравнений состоит из уравнения движения для комплексной амплитуды тангенциального перемещения и уравнения теплопроводности для температуры разогрева. Для искомых функций на поверхности тела записаны граничные условия, охватывающие все основные возможные варианты механических и тепловых, воздействий.

2. Рассмотрены три вида тел вращения: тонкий диск, конечный цилиндр, прямой конус,, термомеханическое поведение которых при установившихся осесимметричных вынужденных крутильных колебаниях описывается построенной системой уравнений. В зависимости от физико-механических свойств, материала получены решения двух классов задач: связанных - когда комплексный модуль сдвига материала зависит от температуры, и несвязанных - когда модуль сдвига не является функцией температуры. Изучена зависимость термомеханических параметров колебательного процесса от частоты и амплитуды внешней нагрузки. Для несвязанных задач приведены выражения либо способ определения приближенных критических частот внешнего возбуждения, вблизи которых, наблюдается существенное возрастание искомых функций.

3. Получены аналитические решения исходной системы уравнений для определения компонент напряженно-деформированного состояния и температуры разогрева при колебаниях сплошного и полого изотропного вязкоупругого диска с постоянным комплексным модулем. На цилиндрических поверхностях диска задаются любые возможные комбинации кинематических и силовых граничных условий: периодическое тангенциальное перемещение, периодическое касательное напряжение, жесткая заделка, свободный край и любое из тепловых граничных условий I, П или. Ш рода. Плоские грани диска считаются свободными от нагружения и на них поддерживается одинаковый конвективный теплообмен по закону Ньютона. Искомые функции в этом . случае зависят только от одной радиальной координаты.

Аналогичные задачи решены для случая колебаний многослойного кусочно-однородного диска, состоящего из а/ концентрических колец, жестко скрепленных между собой.

При условии тепловой изоляции плоских граней диска полученные решения будут справедливы для соответствующих колебаний бесконечно длинного цилиндра.

4. Впервые аналитически решена задача об установившихся вынужденных осесимметричных крутильных колебаниях конечного вязко-упругого цилиндра при произвольном по пространственным координатам возбуждении боковой поверхности и торцов силовыми и кинематическими периодическими возмущениями. Получены выражения для определения компонент напряженно-деформированного состояния и температуры разогрева в точках цилиндра при различных комбинациях механических и тепловых граничных условий, а также формулы для определения критических частот. В явном виде выписаны формулы, описывающие термомеханические поля в конечном полом вязкоуп-ругом цилиндре с присоединенной на торце массой, совершающем установившиеся вынужденные крутильные колебания под действием

- 179 силового или кинематического возбуждения, приложенного на втором торце. Изучено влияние частоты и амплитуды внешнего возбуждения, величины присоединенной массы, физико-механических постоянных материала цилиндра на характеристики колебательного процесса.

5. Выписаны уравнения и сформулированы граничные условия и условия сопряжения для комплексной амплитуды тангенциального перемещения и температуры разогрева при крутильных колебаниях кусочно-однородных цилиндров: многослойного, состоящего из М коаксиальных и составного, состоящего из V последовательно соединенных цилиндров, жестко скрепленных (спаянных иж склеенных) между собой. Получены выражения для определения искоиых функций в точках каждой однородной части и. системы линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных. Предложен метод определения критических частот, реализованный в задаче о крутильных колебаниях составного цилиндра, состоящего из двух последовательно \ соединенных частей.

6. Исследованы напряженно-деформированное состояние и температурное поле при колебаниях сплошного и полого, полного иж усеченного цилиндрически-анизотропного вязкоупругого конуса в зависимости от частоты внешней нагрузки и соотношений между постоянными, определяющими анизотропию механических, свойств. Конус приводится во вращательное колебательное движение периодическим тангенциальным перемещением, заданным на контуре основания, жбо крутящим моментом, приложенным по всему основанию конуса. Коническая поверхность конуса считается свободной и на ней поддерживается постоянная температура, торцы теплоизожрованы. Уравнение движения путем перехода к специальной системе координат решено в явном виде, а для уравнения теплопроводности построен алгоритм численного решения конечно-разностным методом сеток.

7. Разработан алгоритм решения связанных задач термовязкоупрутости о колебаниях тел вращения из материалов с зависящими от температуры свойствами. Для решения таких задач строится итерационный процесс, на с - ом шаге которого уравнение движения решается с учетом распределения температуры, полученного на предыдущем шаге, и вычисленные значения диссипативной функции используются для определения новых значений температуры разогрева в точках исследуемого тела. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута заданная для определения температуры точность. Дифференциальные уравнения для искомых функций на каждом итерационном шаге решаются, при заданных краевых условиях, численно: методом одномерной прогонки для диска и методом матричной прогонки для цилиндра. Уравнение теплопроводности при этом линеаризуется по методу Ньютона. С помощью программ для реализации данного алгоритма, составленных на языке ФОРТРАН-1У, возможно решать соответствующие задачи о крутильных колебаниях неоднородных упругих и вязкоупругих тел. Выявленные при числовых расчетах закономерности изменения механических и тепловых полей хорошо согласуются с результатами работ В.Г.Карнаухова и других авторов.

8. Полученные в работе результаты могут быть использованы в инженерной практике при расчете конструкционных элементов из упругих и вязкоупругих материалов в виде тел вращения, подверженных осесимметричным периодическимкрутящим воздействиям, а также в учебном процессе при чтении специального курса по термовязкоупругости.

9. Решения рассмотренныхв данной работе задач представлены в виде программ на алгоритмическом языке Ф0РТРАН-1У, с помощью которых проведены числовые расчеты на ЭВМ ЕС-Г022.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту П.Ф.Недорезову и заведующему кафедрой доктору технических наук, профессору Е.Ф.Бурмистрову за оказанную помощь при выполнении данной работы.

1. Алфрей Т. Механические свойства высокополимеров. - М.: ИЛ, 1952. - 620 с.

2. Арутюнян Н.Х., Абрамян БЛ. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963. - 686 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. T.I.- 632 с.

4. Беляев Е.М., Рядно АД. Методы теории теплопроводности. В 2-х частях. М.: Высш. школа, 1982. - 327 с.

5. Бленд Д. Теория линейной вязкоупрутости. М.: Мир, 1965. -200 с.

6. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973. - 287 с.

7. Бурмистров Е.Ф., Недорезов П.Ф., Николаев В.Б. Определение механических и тепловых полей при установившихся крутильных колебаниях вязкоупругих тел вращения. Механика неоднородных структур: Тез. докл. - Киев: Наук, думка, 1983, с. 116.

8. Быков Д.Л., Ильюшин А.А., Огибалов Б.Е., Победря Б.Е. Некоторые основные проблемы теории термовязкоупругости. Механика полимеров, 1977, В I, с. 42-58.

9. Ван Фо Фы Г.А., Савин Г.Н. Об основных соотношениях теории нетканых стеклопластиков. Механика полимеров, 1965, is I,с- 48-55.

10. Василенко Н.В. К вопросу о свободных колебаниях стершей переменного сечения. Укр. мат. жур., II, Л 4, 1959, с. 443-445.

11. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949.- 798 с.

12. Вермишян Г.Б. Кручение вязкоупругого составного призматического стержня под действием вибрационной нагрузки. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1974, т. 27, № I, с. 48-62.

13. Вермшпян Г.Б., Галин JI.A. Кручение вязкоупругого призматического стержня при действии вибрационной нагрузки. Изв.

14. АН СССР. МТТ, 1972, .£ 5, с. 130-133.

15. Верйишян Г.Б., Мелтонян Б.А. Кручение вязкоупругого призматического ортотропного стержня при действии вибрационной нагрузки Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1977, т. 30, й 2, с. 36-50.

16. Вибрации в технике. Справочник. М.; Машиностроение, тт. 1-6, I978-I98I.

17. Викторова И.В. О зависимости тепловыделения от параметров процесса циклического деформирования. Изв. АН СССР. МТТ, 1981, 1Ь 4, с. II0-II4.

18. Галин I.A. 0 действии вибрационной нагрузки на полимерные материалы. Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 6, с. 53-58.

19. Галин JI.A., Пириев Н.П. Действие вибрационной нагрузки на полимерные материалы. Инж. журнал. МТТ, 1967, № в, с. 59-63.

20. Галин JT.A., Пириев Н.П. Изгиб балок из полимерного материала под действием вибрационной нагрузки. Инж. журнал. МТТ, 1968, й 4, с. 207-210.

21. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. И.г Наука, 1977. - 439 с.

22. Гринченко В.Т., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. .Напряженно-деформированное состояние и разогрев вязкоупругого цилиндра с ограничениями по торцам. Прикл. механика, $ II, II, 1975, с. 27-36.

23. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Анализ колебаний кругового цилиндра, вызванных кинематическим возбуждением торцов. -Прикл. механика, 1982, 18, № 8, с. 35-41.

24. Громов В.Г., Мирошников В.П. Установившиеся продольные колебания полимерного стержня с учетом термомеханической связности. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1977, вып. 17, с. 72-76.

25. Громов В.Г., Мирошников В.П. Термомеханическая связность в граничных задачах механики полимеров. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1979, вып. 19, с. 92-96.

26. Гуляев Ю.П. Свободные крутильные колебания кругового конуса с цилидрической анизотропией частного вида. Инженерный журнал, 1965, 5, выпуск I, с. 192-195.

27. Гуменюк Б.П., Карнаухов В.Г. О приближенном расчете критических тепловых состояний в связанных динамических задачах термо-вязкоупругости. ДАН УССР. Сер. А, 1977, 1 10, с. 903-907.

28. Гуменюк Б.П., Карнаухов В.Г. О тепловой неустойчивости в связанных задачах термовязкоупругости. ДАН УССР. Сер. А, 1978, № 7, с. 609-613.

29. Гуменюк Б.П., Карнаухов В.Г. О динамическом поведении вяз-коупругих тел при гармоническом возбуждении. Прикл. механика, 1980, 16, Я 7, с. 89-95.

30. Динник А.Н. Избранные труды, т. 2. Киев: из-во АН УССР, 1955, - 224 с.

31. Дорофеев В.И., Моргунов Б.И., Трояновский И.Е. Вынужденные колебания упрутовязкой пластины с учетом тепловыделения при деформировании. Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1978, вып. 8, с. 117-125.

32. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. - 280 с.

33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1978. - 576 с.

34. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. -Киев: Наук, думка, 1982. 260 с.

35. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. О колебаниях вязкоупругого стержня при учете термомеханического сопряжения. Инж.-физ. журнал, 1978, 35, JS 4, с. 692-697.

36. Карнаухов В .Г., Гуменюк Б.П., Киричок И.Ф. Термомеханическое поведение вязкоупрутого цилиндра при вынужденных крутильных колебаниях. ДАН УССР. Сер. А, 1975, JS 4, с. 339-343.

37. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф., Гуменюк Б.П. Методы квазилинеаризации и ВКБ в связанных динамических задачах термовязкоупругости. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1975, вып.15, с. 36-44.

38. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Кучер Н.К. Динамическое поведение упругих и вязкоупругих подкрепленных полых цилиндров. Прикл. механика, 1975, II, № 8, с. 16-25.

39. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Кучер HJC. Динамическое поведение полого вязкоупрутого цилиндра с учетом взаимодействия полей деформации и температуры. Динамика и прочность машин, 1981, № 33, с. 36-43.

40. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Приближенные методы расчета критических тепловых состояний. Прикл. механика, 1976, 12, J6 4, с. 18-25»

41. Карнаухов В.Г., Яковлев Г. А., Гончаров Л .П. Исследование саморазограва вязкоупругих материалов при циклических нагрузках. Пробл. прочности, 1975, № 2, с. 36-39.

42. Карслоу Г.С., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. - 487 с.

43. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наук, думка, 1970. - 307 с.

44. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. О теплообразовании в вязко-упругих телах из материала с резонансной дисперсией. ДАЕ УССР. Сер. А, 1968, № II, с. 1029-1033.

45. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Динамические задачи для подкрепленных вязкоупругих цилиндра, и сферы. Прикл. механика, 1971, 12, № 12, с. 3-10.

46. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Методы решения связанных задач термовязкоупругости. В кн. г. Прочность материалов и конструкций. Киев: Наук, думка, 1974, с. 176^189.

47. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г., Яковлев. Г.А., Гуменюк Б.П., Гончаров Л.П. О теплообразовании в вязкоупругих стержнях при вынужденных поперечных колебаниях. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1973, вып. 13, с. 11-14.

48. Козлов В.И., Карнаухов В.Г., Конечноэлементный метод исследования термомеханического поведения вязкоупругих тел вращения при циклическом нагружении. Прикл. механика, 1983, 19, JS II,с. 40-50.

49. Кост Т.Л., Херд Д.М. Конечно-элементный расчет в конструкциях при длительном воздействии периодической вибрации. Ракетн. техника и космонавтика, 1978, 16, ^ 8, с. 35-40.

50. Котляревский В.А., Чистов А.Г. Численный анализ дифракции волн в упруговязких средах при плоской деформации. МТТ, 1976,3, с. 119-132.

51. Котляревский В.А., Румянцева Р.А. Динамика деформируемой системы в упруговязком слое при импульсном нагружении. Физика горения и взрыва, 1978, J^ I, с 128-133.

52. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. - 340 с.

53. Кузнецов.гi'Biv Матвеенко В.П., Трояновский И.Е. Вынужденные колебания короткого вязкоупругого цилиндра. Вопросы теории упругости и вязкоупругости, 1978, с. 34-38.

54. Лехницкий С.Г. Теории упругости анизотропного тела. -М.г Наука, 1977. 415 с.

55. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стершей. М.: Наука, 1971. - 240 с.

56. Лыков А.В. Теория теплопроводности. -М.: Высш. школа,. 1967. 600 с.

57. Мавлянов Т., Колтунов М.А. Колебания упрутовязких орто-тропных оболочек в различных средах. Механика полимеров, 1975, № 5, с. 667-672.

58. Малинин Н.Н. Прикладная теория плстичности и ползучести.-- М.г Машиностроение,. 1975. 400 с*

59. Малмейстер А.К., Тамуж ВЛ., Тетере Г.А. Сопротивление жестких полимерных материалов. Изд. 2-е перераб. и доп. Рига.: Зинатне, 1972. - 498 с.

60. Матвеенко В.П., Трояновский И.Е. Вынужденные колебания вязкоупругого осесимметричного тела со смешанными граничными условиями. Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1979, вып. 13, с. 95-103.

61. Мешкова М.М. Некоторые задачи связанной термовязкоупру-гости: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: 1973. - 7 с.

62. Москвитин BJ3. Сопротивление вязкоупругих материалов. -М»: Наука, 1972. 328 с.

63. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М-: Наука, 1981. - 344 с.

64. Недорезов П.Ф. О вынужденных продольных колебаниях стержня из полимерного материала. Механика деформируемых сред, Саратов, 1976, вып. 4, с. 3-9.

65. Недорезов П.Ф. К вопросу об определении поля температур при вынужденных продольных колебаниях вязкоупругого стержня.•Механика деформируемых сред, Саратов, 1978, вып. 5, с. 8-17.

66. Недорезов П.Ф. Установившиеся поперечные колебания пластинки из вязкоупругого материала. Механика деформируемых сред, Саратов, 1979, вып. 6, с. 27-34.

67. Недорезов П.Ф. К определению температурного поля в полимерной цилиндрической оболочке при циклическом нагружении (техническая теория). Прикладная теория упругости, Саратов, 1980, вып. 3, с. 35-41.

68. Недорезов Е.Ф. Об определении температурного поля при вибрационном изгибе полимерной пластинки с шарнирно опертыми сторонами. Механика деформируемых сред, Саратов, 1982, вып. 7,с. 57-65.

69. Недорезов П.Ф. Расчет температуры саморазогрева при одном виде вибрационного нагружения полимерной цилиндрической оболочки.- Прикладная теория упругости, Саратов, 1982, вып. 5, с. 40-47.

70. Недорезов П.Ф., Комаров М.Г. Установившиеся изгибные колебания вязкоупругой пластинки при разрывных условиях теплообмена с внешней средой. Механика деформируемых сред, Саратов, 1979, вып. 6:, с. 19-27.

71. Недорезов П.Ф., Сошественская Л.А. Об изгибе балки из полимерного материала, под действием вибрационной нагрузки. Механика деформируемых сред, Саратов, 1976, вып. 4, С. 17-25.

72. Николаев В.Б. О теплообразовании при установившихся крутильных колебаниях вязкоупругого цилиндра. Механика деформируемых сред, Саратов, 1982, вып. 7, с. 126-134.

73. Николаев В.Б. О крутильных колебаниях вязкоупругой трубы с присоединенной массой. Механика деформируемых сред, Саратов, 1982, вып. 7, с. 140-145.

74. Николаев В.Б. К задаче об установившихся крутильных колебаниях вязкоупругих цилиндров. Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1982, вып. 21, с. 89-93.

75. Николаев В.Б. Термомеханическое поведение вязкоупругих дисков при крутильных колебаниях. Сратовский ун-т. Саратов, 1983.13 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 9 янв. 1984 г., Ш 273 84 Деп).

76. Николаев- В.Б. Связанные задачи термовязкоупругости об установившихся колебаниях тел вращения (В кн. Исследования по современным проблемам математики. -Саратовский ун-т. Саратов, 1984,с. 80-85. Рукопись деп. в ВИНИТИ 23 мая 1984 г., J& 3318-84 Деп).

77. Новадкий В. Динамика сооружений. М.: Госстройиздат, 1963. - 375 с.

78. Пириев Н.П. Нестационарное температурное поле, возникающее при действии вибрационной нагрузки на полимерные материалы. ДАН АзССР, 1978, 34, $ 6, с. 23-26.

79. Победря Б.Е. Численный метод решения связанных задач термовязкоупругости. Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела, 1974,3, с. 88-93.

80. Победря Б.Е., Булгару О.Е. Эффект тепловыделения в деформируемой среде. Прикл. механика, 1979, 15, В 5, с. 92-94.

81. Поркшеян В.М. Влияние осциллирующих температурных полей на напряженно деформированное состояние термовязкоупругих стержней. -Ростов н/Д ун-т. Ростов н/Д, 1982. 22 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 6 окт. 1982 г., № 5094-82 Деп).

82. Поркшеян В.М. Некоторые особенности решения уравнения теплопроводности с учетом связности термомеханических процессов. -Изв. Сев.-Кавказ, науч центра высш. шк. Естеств. н., 1983, J& 2,с. 29-33.

83. Потураев В.Н., Дырда В.И., Мазнецова А.В. О термомеханической неустойчивости вязкоупругих систем при диссипативном разогреве. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1975, вып. 15, с. 33-36.

84. Дымников С.И., Лавендел Э.Э., Павловские А.-М.А.,Сниегс М.И. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластичных материалов. - Рига: Зинатне, 1980. - 238.с.

85. Работновj Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: 1977.т- 384 с.

86. Работнов • Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: 1966. - 752 с.

87. Ратнер С.Б., Коробов В.И. Саморазогрев полимеров при многократной деформации. Пластические массы, 1968, № I, с. 67-72.

88. Ратнер С.Б., Коробов В.И., Агамалян С.Г. Механическое и тепловое разрушение пластмасс при циклической деформации. Пластические массы, I9S7, № 12, с. 32-37.

89. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. -М.: Стройиздат, 1968. -416 с.

90. Розовский М.И. Интегро-операторный метод в наследственной теории ползучести. ДАН СССР, I960, JS 4, с. 372-378.

91. Рысюк Б.Д., Носов М.П. Механическая анизотропия полимеров. Киев: Наука, думка, 1978. - 230 с.

92. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. - 552 с.

93. Самарский А.А. Теория разностных схем. Наука, 1977. -654 с.

94. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978. 592 с.

95. Сошественская Л.А. 0 вибрационном изгибе длинной прямоугольной пластинки из полимерного материала. Механика деформируемых сред, Саратов, 1976, вып. 4, с. 9)517.

96. Сошественская Л.А. Об установившихся осесимметричных колебаниях круглой полимерной пластинки. Механика деформируемых сред, Саратов, 1978, вып. 5, с. 3-8.

97. Сошественская Л.А. Об определении температурного поля при установившихся поперечных колебаниях вязкоупругой пластины. Механика деформируемых сред, Саратов, 1979, вып. 6, с. 39-44.

98. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М.: Наука, 1979. - 832 с.

99. Суворова Ю.В. Тепловыделение при циклическом деформировании наследственных сред. Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела, 1979, № I, с. I08-II2.

100. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

101. Уорд И. Механические свойства тыердых полимеров. М.: Химия, 1975. - 267 с.

102. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. М.: ИЛ, 1963. - 535 с.

103. Филиппов И.Г. 0 приближенных уравнениях колебания вязкоупругих стержней. В кн. Газовая и волновая динамика. М.: Из-во МГУ, 1979, 3, с. 176-190.

104. Филиппов И.Г., Ширинкулов Т.Ш., Мирзакабилов С. Нестандартные колебания линейно-упругих и вязкоупругих сред. Ташкент: Фан, 1979. - 236 с.

105. Фортран ЕС ЭВМ (Брич З.С., Капилевич Д.В., Котик С.Ю., Цагельский В.И. М.: Статистика, 1978. - 264 с.

106. Хуань, Ли. Термомеханически взаимосвязанное поведение вязкоупругих стержней при циклическом нагружении. Труды Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Е, 1967, 34, № 3, с. 57-62.

107. Шепери Р.А. Влияние циклического нагружения на температуру вязкоупругого материала с изменяющимися свойствами. Ракет, техника и космонавтика, 1964,. 2, № 5, с. 55-66.

108. Шепери Р.А. Термомеханическое поведение вязкоупругих сред с переменными свойствами при циклическом нагружении. Труды Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Прикл. механика, 1965, 32,$ 3,. с. I50-I6I.

109. Шепери Р.А. Вязкоупругое певедение композиционных материал лов. В кн.: Композиционные материалы, т. 2. М.: Мир, 1978,с. 102-195.

110. Berry D.S. Stress propagation in visco-elastic bodies. -J. Mech. Phys. Solids, 1958, 6,N! 3, p. 177-185.

111. Boltzmann L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung. -Sitzungsber. Math. Naturwiss. Kl. Kaiserl. Akad. Wiss., 70(2), 275, 1874.

112. Gottenberg W.G., Christensen R.M. An experiment for determination of the mechanical property in shear a linear isotropic viscoelastic solid. Int. J. Eng. Sci., 4-5, № 2, 1964.

113. Hashin Z. Vibrations of viscoelastic bodies with smallloss tangents correspondence principle and application to composites. MED, Rep. 37, Technion - Israel Inst, of Tech., 1972.

114. Kohlraush P. Pogg. Ann., 119, 337, 1863.

115. Pochhammer L.J. Ueber die Fortpflanzungschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzen isotropen Kreiscylinder. Crelle's J., 81, 1876.

116. Ting B.C. Stress analysis for viscoelastic cylinders. -AIAA J., 1970, 8, N11, p. 18-22.

117. Ting E.C. Thermomechanical coupling effects in the longitudinal oscillations of a viscoelastic cylinder. The J. Aco-unt. Soc. Amer., 1972, 52, № 3, p. 928-934.

118. Ting E.C. Dissipation function of a viscoelastic material with temperature-dependent properties. J. Appl. Phys., Vol. 44, № 11, 1973.

119. Volterra Y. Sulle equazioni integrodifferenziali della teoria dell'elasticita. Atti Reale Accad. Lincei, 1909, 18(2), 295.