Распространение и взаимодействие интенсивных изгибных и изгибно-крутильных волн в элементах конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВЕДЯЙКИНА Ольга Ивановна

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИНТЕНСИВНЫХ ИЗГИБНЫХ И ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В ЭЛЕМЕНТАХ

КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 ДЕК 2013

005543939

005543939

ВЕДЯЙКИНА Ольга Ивановна

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИНТЕНСИВНЫХ ИЗГИБНЫХ И ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В ЭЛЕМЕНТАХ

КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в лаборатории волновых процессов в материалах и конструкциях ФГЪУН «Институт проблем машиностроения Российской

академии наук»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ФГБУН «Институт проблем машиностроения Российской академии наук» Ерофеев Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» Землянухин Александр Исаевич

доктор физико-математических наук, профессор ФБОУ ВПО «Волжская государственная академия водного транспорта» Волков Иван Андреевич

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского»

Защита состоится «26» декабря 2013 г. в — часов на заседании совета Д 212.243.10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, IX корпус, ауд. 18.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке имени В.А. Артисевич Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

Автореферат разослан «2.2» ноября 2013 г.

Ученый секретарь

кандидат физико-математических наук

{ Ю.В. Шевцова

ОБЩАЯ ХАРАКТРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы обусловлена достаточно широким интересом к развитию теории упругих волн и ее приложений. Задачи о распространении изгибных, крутильных и изгибно-крутильных волн применяются в следующих областях:

- расчеты при конструировании. В самолето-, ракето- и судостроении некоторые отсеки крыльев, элементы конструкций, а также ракеты большого удлинения рассматриваются как балочные элементы, подверженные изгибу и кручению. При строительстве автомобильных, железных дорог, мостовых сооружений, а также трубопроводов исследуется распространение волн в тонкостенных стержнях. Этому направлению посвящены работы Т.В. Гришаниной, К.С. Колесникова, И.Ф. Образцова, В.В. Новожилова, A.A. Уманского, Ф.Н. Шклярчука, Н.П. Тютюнникова, С.Л. Субботина, Г.И. Михасева, H.A. Баранова, A.B. Родыгина, А.Н. Кулешовой, И.Г. Петровой, В.В. Егорова и другие.

- методы неразрушающего контроля при проверке на наличие скрытых дефектов, примесей, который применим как на стадии производства материалов, так и на стадии эксплуатации механизмов и конструкций. Направленные упругие волны могут распространяться на значительные расстояния без существенного затухания, что позволяет проводить дефектоскопию в длинномерных конструкциях (например, трубопроводах) и в труднодоступных местах, сравнивая свойства распространения текущей волны с взятыми за эталон.

Данным проблемам посвящены работы Т.Н. Лебедевой, С.А. Мурашова, О.Н. Пчелинцевой, И.Н. Диденкулова, А.Э. Екимова, В.В. Казакова и другие.

Диссертационная работа проводилась в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008 -2012г.г.» по теме:

- «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем

виброзащиты» (№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.) и при поддержке:

— Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России » (2009 - 2013г.г.);

—Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейная волновая динамика и устойчивость роторных систем» (РФФИ № 11-08-97066-р_поволжье; руководитель: профессор Ерофеев В.И.).

Цель работы состоит в изучении дисперсионных и нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении изгибных, крутильных и изгибно-крутильных волн в упругих стержнях.

Научная новизна

- Предложена новая математическая модель, описывающая связанные изгибно-крутильные колебания прямолинейного упругого стержня, обладающего геометрической нелинейностью и депланацией поперечного сечения.

- Впервые исследовано влияние связи между изгибными и крутильными типами волн на их дисперсионные свойства.

- Впервые исследованы нелинейные стационарные изгибные волны в предварительно закрученном стержне и нелинейные стационарные крутильные волны в стержне с начальной погибью.

- Впервые описаны процессы взаимодействия изгибных и крутильных волн, приводящие к формированию связанных несинусоидальных стационарных волн.

Практическая значимость

Дисперсионные характеристики и соотношения, связывающие параметры нелинейных волн, могут найти применение при расчете на прочность, устойчивость и определение виброактивности стержневых систем различного назначения, подверженных динамическому воздействию.

Методы исследования

При проведении исследований использованы методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся

— Математическая модель, описывающая связанные изгибно-крутильные колебания прямолинейного упругого стержня, обладающего геометрической нелинейностью и депланацией поперечного сечения.

- Результаты исследования дисперсионных и нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении и взаимодействии изгибных, крутильных и изгибно-крутильных волн в стержне.

Апробация работы

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на: Шестой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана. 26-28 января 2011г.); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011г.); XXIII международной инновационной конференции молодых ученых и студентов (Москва, Институт машиноведения им. А.А.Благонравова РАН. 14-17 декабря 2011г.); IX Всероссийской научной конференции имени Ю.И.Неймарка «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012г.).

Работа была отмечена почетным дипломом «За наиболее интересное научное сообщение» на XXIII международной инновационной конференции молодых ученых и студентов (Москва, 2011г.)

Публикации

По теме диссертации опубликовано 16 научных работ, 6 из которых [16] статьи из перечня изданий, рекомендуемых ВАК РФ и 1 [7] монография.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения. Общий объем составляет 102 страницы, включая 63 рисунка, 12 страниц библиографии, содержащей 102 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во. введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, сформулированы основные цели и положения выносимые на защиту, определена практическая значимость работы.

Глава 1. Вывод уравнений изгибно-крутильных колебаний стержня.

Обзор публикаций В первом параграфе приведена общая идея приведения трехмерных уравнений теории упругости к одномерным путем выражения напряженно-деформируемого состояния в произвольной точке через величины, заданные вдоль оси стержня, т.к. процессы поперечной деформации можно считать квазистатическими. Возможна аппроксимация смещений по толщине с использованием разложения точного решения задачи для упругого слоя в степенной ряд по параметру кк (к- волновое число, к - толщина пластины).

Основной этап формирования приближенной модели стержня заканчивается на выборе аппроксимации, далее вступают в действие математические аппараты нелинейной теории упругости и вариационного исчисления.

Во втором параграфе первой главы дается вывод системы уравнений, описывающих взаимодействие изгибных и крутильных волн в балке с учетом геометрической нелинейности

■'»'по , г-17 п ГГ/ _ >-1 3

'.„ - с,2 - -Ч], <?.„ + [], »'.„ = /;' +

Г Р ах

О)

о/ г ох Ь дх 11

где = ^ | - вектор-столбец поперечных перемещений, — угол

( 52 8г ^

I ~ оператор Даламбера,

ст =,](}-+\х)/р0, 1р - полярный момент инерции, Ь - момент инерции при кручении, I - осевой момент инерции, ^ - площадь поперечного сечения балки, = \\уг<1Р - момент депланации, гр - полярный радиус инерции,

4

-СУ1 + 4^ +у2,)2 +ц(/ +22)2 + ц(у2

ж,

ст

скорость

распространения волны сдвига, с^ — скорость распространения продольной волны р — плотность материала.

Глава 2. Дисперсионные характеристики изгибно-крутильных волн

Первый параграф посвящен изучению дисперсии изгибно-крутильной волны в стержне, поперечное сечение которого отлично от кругового или кольцевого. Распространение волны рассматривается в плоскости хОг (ось стержня совпадает с осью х). Система уравнений описывающих взаимодействие изгибных и крутильных волн в стержне (1) без учета геометрической нелинейности приводится к системе алгебраических уравнений

|<90(-ю2 + к2 ~<о2к2 + с2 к4) + 1У0(£й>2 к2 - ее2к4) = О, \в0(£ш2к2 -ЕС2к4) + 1Г^-т2 -со2к2 + с2к') = О,

из которой определяем дисперсионное уравнение (3)

<о4(1 + 2 к1 +(1 ~е2)к4)-а2(кг +(1 + 2с2)*:4 + 2с2(1-е2)*6) + + {с2к6 + с2(1 —е2)£8) = 0.

Решая уравнение (3), получаем зависимость частоты волны а> от волнового числа к. На рис. 1 показано, что имеются две дисперсионные ветви, описывающие распространения крутильной и изгибной волн. При малых значениях волнового числа кривые стремятся к разным асимптотам, далее при возрастании к дисперсионные кривые сближаются.

(2)

(3)

-----к о

Рис. 1 Рис. 2

Если из системы уравнений (2) выделить отдельно уравнения, описывающие крутильные и изгибные волны, то их дисперсионные уравнения будут:

- для крутильной волны: -о2 + А2 - ю2^2 + с2к*=0, (4)

- для изгибной волны:

-ш2 - со2к2 + Л4=О,

(5)

На рис. 2 показаны дисперсионные зависимости частоты волны со от волнового числа к: сплошной линией обозначена дисперсионная зависимость крутильной волны, штриховой - изгибной. Таким образом, видно, что кривая 1 описывает преимущественно крутильные волны, а кривая 2 - изгибные (рис. 1,2).

Для изгибно-крутильной волны определяем выражения фазовой и групповой скоростей. При малых значениях волнового числа к—»0 значения скоростей находятся в окрестностях единицы и нуля. При увеличении числа к значения скоростей стремятся к с, через параметр с2 обозначено отношение ,2

с] Ь

^ (рис. 3, 4).

п,

Ггр

7

!

I /

Рис.3

Рис.4

По графикам фазовых и групповых скоростей отдельно для изгибной и крутильной волн (рис. 5, 6) можно определить принадлежность ветвей графика к типам волн. На рис. 5, 6 сплошной линией обозначены фазовая и групповая скорость крутильной волна, штриховой - изгибной.

Ггр

Гф,

Рис. 5

Рис. 6

Для удобства определения дисперсии волны графики фазовых и групповых скоростей изгибно-крутильной волны совмещены на одном рисунке (рис. 7). Сплошными линиями обозначены кривые, описывающие групповую и фазовую скорости преимущественно крутильной волны (в уравнениях; штриховыми - изгибной волны.

Рис. 7.

Таким образом, видно, что при к=0 - дисперсия отсутствует (/гр=Кф; А>0 - дисперсия изгибно-крутильной волны аномальная - Кф>

Совместив дисперсионные графики, построенные для изгибно-крутильной волны и отдельно для изгибной и крутильной волн, становится видно, что ветви графиков близки друг к другу. Влияние связи между крутильной и изгибной волной прослеживается с увеличением волнового числа. Фазовая и групповая скорости изгибно-крутильной волны возрастают по сравненшо со скоростями крутильной волны и понижаются по сравнению со скоростями изгибной волны.

Влияние связи между изгибными и крутильными волнами можно определить, изменив коэффициент е, стоящий перед связующим слагаемым, в дисперсионном уравнении (2). При решении данной задачи был предположен порядок переменной е~10"', которая заменяет соотношения

одного порядка и ——I—. Влияние связи при данном значении

^ р V А" ^ р ^ V ^ *

коэффициента практически не заметно. При его увеличении влияние связи в изгибно-крутильной волне станет более очевидно даже при небольших значениях волнового числа к. Наибольшее влияние связи на распространение волны можно увидеть, приняв е=1, при этом некоторые

слагаемые уравнения (3) обращаются в нуль, а ветви на дисперсионных кривых займут крайние положения.

Во втором параграфе изучено влияние предварительной закрученности стержня на дисперсию изгибных и крутильных волн. Задача рассматривается с учетом геометрической нелинейности, смещения в плоскости хОг, стержень предполагается кругового или кольцевого сечения, что позволяет говорить об отсутствии депланации. Закрученность стержня задается постоянной составляющей (90) и динамическими пульсациями (0(л,/)), зависимыми от координаты и времени: 0 = 0О + 8(х,/)-

Систему уравнений (1) преобразуем к виду:

д., -[с2 -~-+(Л + И)(1р + V = -2(Я + + 1в1~0 )

р

В линейном приближении изгибные и крутильные волны распространяются независимо друг от друга. Распространение крутильной волны в закрученном стержне описывается уравнением Клейна - Гордона (первое системы уравнение (6)). А распространение изгибной волны в закрученном стержне описывается уравнением (второе уравнение системы (6)), аналогичным уравнению, описывающему распространение изгибной волны в балке с предварительным натягом. Натяг в этом случае пропорционален 0О.

. Дисперсионной уравнение для крутильной волны

со = ±|(с2 ^ + + ц)(1р + /я)£02 )кг + 6(Я + + 2(Л + , (7)

показывает, что имеется зона непропускания, которая зависит от начального угла поворота и тем больше, чем больше 0О.

Зависимость (7) при различных значениях начального угла поворота (0О) представлена на рис. 8, где 1 - зависимость при 0о=О; 2,3 - при значениях 0о>О, при этом 0О,5> 0о.2- При возрастании волнового числа о)

зависимость в соотношении (7) стремится к линейной, а дисперсионные кривые к прямым.

ш

У

о

* о

к

Рис. 8

Рис.9

Фазовая и групповая скорости крутильной волны при отсутствии начального угла поворота (90=0) постоянны и равны ± с, -¡и Ир. При больших значениях волнового числа (к—>со), значения скоростей также стремятся к

одной величине Уф = = ±^сг - + (1т ц){1р + 1%)01 , зависимой от угла поворота (0О).

Дисперсия крутильной волны нормальная, если начальный угол поворота отличен от нуля (0о>О), при любых значениях к фазовая скорость больше групповой (Уф >Угр) (рис. 9). При отсутствии начального угла поворота (90=0), значения фазовой и групповой скоростей совпадают, то есть дисперсия отсутствует.

Дисперсионные уравнение для изгибной волны

На рис. 10 показана дисперсионная зависимость частоты волны (со) от волнового числа (к) при различных значениях начального угла поворота (0о): 1 - зависимость при 0о=О; 2,3 - при значениях 00>0, при этом 0о,з> 0о,2-

= ±Ь-

1 х+г1к

(8)

V

ш

Рис. 10

Рис.11

При некотором значении волнового числа к' дисперсия волны отсутствует, а фазовая и групповая скорости равны уф = у При к<к' -

дисперсия волны нормальная; при к>к' - дисперсия волны аномальная. На рис. 12 обозначена сплошными линиями групповая скорость, а штриховыми - фазовая; 1 - при в0=0; 2 - при 9о>0.

Исключив из знаменателя дисперсионного соотношения (8) слагаемое г]к\ получим зависимость соответствующую балке модели Бернулли-

Эйлера (техническая теория), пренебрегающей влиянием этого фактора на изгиб. Дисперсионное соотношение (8) соответствует балке модели Релея (уточненная теория), учитывающей инерцию вращения поперечного сечения при изгибе. Сравнивая дисперсионные кривые, следует отметить, что частота [со), фазовая скорость (Уф) по модели Релея возрастает медленнее у рассматриваемой волны, по сравнению с частотами, рассчитанными по модели Бернулли-Эйлера. Групповая скорость изгибной волны возрастает много интенсивнее согласно теории Релея, чем по теории Бернулли-Эйлера при тех же значениях начального угла поворота (80).

Глава 3. Интенсивные изгибные и крутильные волны в упругом

стержне

В рамках геометрически нелинейной модели изгибно-крутильных колебаний упругого прямолинейного стержня, имеющего круговое или кольцевое поперечное сечение рассмотрены следующие задачи.

В первом параграфе рассмотрена задача о распространении интенсивной изгибной волны в закрученном стержне. Угол поворота сечения стержня состоит из постоянной составляющей и малых динамических пульсаций: 8(х,/) = 0О + 0(х,г), где 9О»0. Это позволяет линеаризовать

первое уравнение системы (1) относительно в и рассматривать его отдельно от первого уравнения. Второе же уравнение системы, остается нелинейным, оно описывает распространение интенсивной изгибной волны в закрученном стержне и сводится к уравнению Дуффинга

дЧг ,

— + + = 0, (9)

ю

2с2т ( V1 „,) 2c2

Коэффициент m2 всегда отрицателен, а по знаку т{ можно судить о существовании нелинейных стационарных изгибных волн.

При малых углах закручивания /и, >0. На фазовой плоскости (рис. 12) уравнения (9) точка (0,0) является устойчивым положением равновесия типа "центр", а точка /т2,0) - неустойчивыми положениями равновесия

типа "седло". Фазовый портрет (рис.12) показывает, что в стержне могут существовать как периодические стационарные волны, так и уединенная стационарная волна.

Периодическая волна описывается эллиптическим синусом, форма которого близка к меандру. Уединенная стационарная волна имеет форму перепада (кинка) и описывается гиперболическим тангенсом. Отметим, что отношение амплитуды периодической стационарной волны к волновому числу и произведение амплитуды уединенной волны на ее ширину является величиной постоянной.

Рис.12 Рис. 13

При больших углах закручивания (т/ < 1) в фазовом портрете уравнения Дуффинга отсутствуют замкнутые фазовые траектории. Нелинейных стационарных волн в этом случае не существует.

Во втором параграфе рассмотрена задача о распространении интенсивной крутильной волны в стержне с начальной

погибью — = Г0+^,где IV, »^ и система (1) сводится к одному дх дх ох

нелинейному уравнению, описывающему распространение интенсивной крутильной волны

е2е ^

А +2с2 ^яЛ-^ —— - с, г гг0

о/"

[ --ж г

дх2 г

■р

(10)

г"

р/Дйс) дх2 " дх2 " дх Преобразуем уравнение (10) к виду:

20 + бОз + б0Г^У =0 (11)

дг1 дх1 0

От нелинейного уравнения Клейна - Гордона уравнение (11) отличается наличием последнего слагаемого. Отыскивая решение в классе стационарных волн 0 = О(т)). где п = г-VI, придем к уравнению в обыкновенных производных, отличающегося от уравнения Дуффинга наличием последнего слагаемого

^ + + =0, (12) Эп {дц)

где т = Знак этого параметра определяется величиной скорости

V. Стационарные волны могут существовать лишь при К>1, т.е. при условии, что нелинейная волна движется по стержню быстрее, чем линейная. Эти волны могут быть только периодическими. Фазовый портрет уравнения (12) приведен на рис. 13.

Волновое число увеличивается с ростом амплитуды волны. В третьем параграфе изучаются процессы взаимодействия изгибных и крутильных волн, приводящие к формированию нелинейных периодических и уединенных стационарных волн.

Решение системы (1) найдено в виде бегущих стационарных волн. При упрощении уравнений оцениваем величины входящих в них коэффициентов.

с2 с2

Если стержень изготовлен из алюминиевого сплава Д16, то а ^«1,125,

следовательно система уравнений приобретает вид:

12

где £ «62;Л~/-

Возможные типы стационарных волн можно определить обратившись к свойствам уравнений (13). Положительный параметр е в обоих уравнениях (13) является устранимым, заменой переменных, и систему уравнений можно записать в виде:

Состояниями равновесия уравнений (14) являются точки О(Ж0Лэ,Уо>*о): 0,(0,0,0,0), 02(-1,О,О,О), 03(1,О,О,О). В соответствии с заменой переменных состояния равновесия системы (13): 0,(0,0,0,0), 02(-(2е)"|/2,0,0,0), 03((2е)->а, 0,0,0).

Множество точек М(х) фазового пространства в(х) динамической системы х = Р(х) называется интегральным многообразием, если для любой точки х0 б М выполняется х(1) еМ для всех где х(1) - решение системы с начальным условием х(Г0) = *„- Непосредственно из уравнений (14)

устанавливаем существование следующих интегральных многообразий системы в фазовом пространстве С{

М,={у=0Д=0} (координатная плоскость (<ГД)) является интегральным многообразием системы (13). Траектории системы (13) на многообразии М, являются траекториями системы

-= Х

с1¥ 3

— = ±-(4ЮТ + ч/Г2 -2у3-2у1Г2)

(14)

с1(У

<1Х_ ей,

= х

с интегралом: (V4 - 2(Иг2 + X2) = С. Картина интегральных кривых изображена на рис.14.

о*-,ЛГ

Рис. 14

Интерпретируя этот результат на динамику стержня, заключаем, что при отсутствии кручения возможно существование двух типов стационарных изгибных волн. Солитоны (кинк и антикинк), соответствующие сепаратрисам, идущим из седла 02(: 1.0,0,0) в седло 03(1,0,0,0) (на рис.14 они соответствуют значению С=-1) и периодические стационарные волны, соответствующие периодическим траекториям внутри сепаратрисного контура. Траекториям вблизи сепаратрисного контура соответствуют кноидальные волны, а траекториям, располагающимся вблизи состояния равновесия 0|(0,0,0,0) (центра), - квазигармонические волны.

На рис.15 а, б показаны одна из характерных траекторий системы (13) и ее осциллограмма, полученные в численном эксперименте.

а)

б) Рис. 15

Таким образом, в отсутствие изгибных возмущений все возможные стационарные крутильные волны являются периодическими (сверхнелинейными) (рис. 15 б).

Как показывает численный эксперимент, стационарные движения осцилляторов в системе (13), происходящие вне разобранных выше многообразий, являются либо периодическими, либо квазипериодическими. Соответственно, эти движения определяют или периодические или квазипериодические изгибно-крутильные стационарные волны.

Четвертый параграф посвящен дисперсионным соотношениям изгибной волны, распространяющейся в стержне, лежащей на нелинейно-упругом основании. Уравнение поперечной волны в стержне на нелинейно-упругом основании имеет вид

где р - плотность материала стержня, Е - модуль упругости,

л- ц ц - уравнение поперечного перемещения в виде гармонической волны в комплексной форме, А, А, - коэффициенты, характеризующий жесткость «постели».

Из уравнения (16) можно определить зависимость частоты, волнового числа и модуля амплитуды в квадрате

Значение начальной частоты зависит от жесткости «постели», плотности материала балки, ее поперечного сечения и амплитуды. При увеличении

амплитуды колебания волны (\л\2) значение начальной частоты увеличивается (рис. 16).

Рис. 16 Рис. 17

В случае, при частота волны соответствует частоте волны в

балке на линейно-упругом основании.

На рис. 17 представлены зависимости волновой и групповой скоростей от волнового числа при различных значениях амплитуды: 1 - зависимости

скоростей от волнового числа в балке при |/1|2=0; 2,3 - при |Л|2>0.

й + 2й,Ы , . п I, „,,,,2

При * —^ частота волны равна о> = + -

дисперсия волны отсутствует, а фазовая и групповая скорости равны, к < к' -дисперсия волны нормальная, к > к' - дисперсия волны аномальная.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе. Основные результаты работы

1. Предложена математическая модель, описывающая связанные изгибно-крутильные колебания прямолинейного упругого стержня, обладающего геометрической нелинейностью.

2. В линейном приближении исследована дисперсия изгибно-крутильных волн. Проведено сравнение дисперсионных зависимостей связанных волн с дисперсионными зависимостями для изгибных и крутильных волн, распространяющимися автономно, позволившее выявить области параметров, при которых связанностью волн различных типов можно пренебречь. Оценено влияние предварительного закручивания стержня на дисперсионные характеристики изгибно-крутильных волн.

3. Определена область изменения углов закручивания, при которых

в стержне могут формироваться нелинейные стационарные изгибные волны.

16

Такие волны могут быть как периодическими, так и уединенными. Показано, что отношение амплитуды периодической стационарной волны к ее волновому числу, а также произведение амплитуды уединенной волны на ее ширину, являются постоянными величинами, определяемыми модулями упругости и радиусом поперечного сечения стержня.

4. Показано, что в стержне с начальной погибью могут формироваться нелинейные стационарные крутильные волны. Такие волны могут быть только периодическими, значение их волнового числа увеличивается с ростом амплитуды. На графиках эти зависимости лежат тем выше, чем больше погибь стержня.

5. Исследованы процессы нелинейного взаимодействия изгибных и крутильных волн, приводящие к формированию связанных несинусоидальных стационарных волн. Показано, что взаимодействие изгибных и крутильных волн является слабым в том смысле, что малые возмущения одной из компонент в какой-либо точке остаются таковыми во всех точках профиля волны. В случае близких интенсивностей изгибной и крутильной компонент имеет место их резонансное взаимодействие, приводящее к периодической стационарной волне, или квазипериодической волне со значительной глубиной модуляции одной из компонент.

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ерофеев В.И., Орехова О.И.* Дисперсия изгибно-крутильной волны, распространяющейся в балке. Часть 1 // Приволжский научный журнал. 2011. №2. С.7-15.

2. Ерофеев В.И., Орехова О.И. Дисперсия изгибно-крутильной волны, распространяющейся в балке. Часть 2 И Приволжский научный журнал. 2011. № 3. С.20-26.

3. Орехова О.И. Дисперсия изгибной и крутильной волн в балках цилиндрической формы // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (2). С. 262 - 263.

' Фамилия сменена на Ведяйкина 13.02.13. Свидетельство 11-ТН № 500050.

4. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Орехова О.И. Интенсивные изгибные и крутильные волны в упругом стержне // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. № 1. С. 11-15.

5. Веричев H.H., Ерофеев В.И., Орехова О.И. Нелинейные стационарные изгибно-крутильные волны в упругом стержне // Приволжский научный журнал. 2012. № 2. С.27-34.

6. Ерофеев В.И., Зинченко A.C., Казачек C.B., Орехова О.И. Нелинейное взаимодействие продольных и крутильных квазигармонических волн в стержне // Приволжский научный журнал. 2012. № 3. С. 16-20.

Монография

7. Ерофеев В.И., Орехова О.И. Нелинейные крутильные и изгибно-крутильные волны в стержнях // LAP LAMBERT Academic Publising. Saarbrucken, Deutschland, 2012. 137 с.

Публикации в сборниках и сборниках материалов конференций

8. Орехова О.И. Дисперсионные соотношения для изгибной волны, распространяющейся в балке, лежащей на нелинейно-упругом основании // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов - Н.Новгород: Издательство общества «Интелсервис», №1(16), 2010. С. 58-63.

9. Орехова О.И. Распространение изгибно-крутильной волны в балке // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Шестой Всероссийской конференции 26-28 января 2011г. (В трех частях) 4.IL-М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2011. С. 38-41.

10. Орехова О.И. Дисперсия изгибной и крутильной волн в балках цилиндрической формы // Актуальные проблемы механики. X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов. Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И.Лобачевского,2011. С.86-87.

11. Орехова О.И. Изгибно-крутильные волны в предварительно закрученной балке // XXIII Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и студентов (МИКМУС - 2011):

материалы конференции (Москва, 14-17 декабря 2011 г.). /М: Изд-во ИМАШРАН, 2011. С. 70.

12. Ерофеев В.И., Орехова О.И. Дисперсия изгибно-крутильной волны в балке, сечение которой отлично от кругового или кольцевого // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов - Н.Новгород: Издательство общества «Интелсервис», №1(18), 2011. С. 25-38.

13. Ерофеев В.И., Орехова О.И. Дисперсия крутильных и изгибных волн, распространяющихся в закрученных стержнях // Вестник Волжкой государственной академии водного транспорта - Н.Новгород: Изд-во ФБОУ ВПО «ВГАВТ», № 30, 2012. С.74-86.

14. Орехова О.И. Изгибно-крутильные волны в предварительно закрученной балке // XXIII Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и студентов (МИКМУС - 2011): избранные труды конференции (Москва, 14-17 декабря 2011 г.). /М: Изд-во ИМАШ РАН, 2012. С. 99-104.

15. Орехова О.И. Нелинейная изгибная волна в закрученном стержне // Труды IX Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н.Новгород, 24-29 сентября 2012г.) / Под редакцией Д.В. Баландина, В.И. Ерофеева, И.С. Павлова. Н.Новгород: Издательский дом «Наш дом», 2012. С. 726-729.

16. Веричев H.H., Ерофеев В.И., Зинченко A.C., Орехова О.И. Регулярная и хаотическая динамика нелинейно-упругого стержня, совершающего изгибно-крутильные колебания // Прикладная механика и технологии машиностроения: сборник научных трудов - Н.Новгород: Издательство общества «Интелсервис», №1(20), 2012. С. 185-198.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИНТЕНСИВНЫХ ИЗГИБНЫХ И ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор ВЕДЯЙКИНА Ольга Ивановна

Отпечатано в типографии ООО «ПринтЕС» Зак. 15/1101 подписано в печать 15.11.2013 г.. Тираж: 100 шт. Формат 60x84 1/16 у.п.л 1,38 Печать трафаретная. Гарнитура Times New Roman. Бумага офс. Пл. 80 г/м2

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем машиностроения Российской академии наук

На правах рукописи

УДК 539.3

04201454306 ВЕДЯЙКИНА Ольга Ивановна

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИНТЕНСИВНЫХ ИЗГИБНЫХ И ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В ЭЛЕМЕНТАХ

КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Ерофеев В.И.

Нижний Новгород, 2013

Содержание

Введение ..........................................................................................................3

ГЛАВА 1. Вывод уравнений изгибно - крутильных колебаний

стержня........................................................................................14

1.1 О сведении трехмерных уравнений теории упругости к приближенным одномерным уравнениям теории стержней ...........14

1.2 Пространственные изгибно-крутильные волны..........................17

ГЛАВА 2. Дисперсионные характеристики изгибно - крутильных

волн ..............................................................................................19

2.1 Дисперсия изгибно-крутильной волны в балке, сечение которой отлично от кругового или кольцевого................................................19

2.2 Дисперсия крутильных и изгибных волн, распространяющихся

в закрученных стержнях ......................................................................39

ГЛАВА 3. Интенсивные изгибные и крутильные волны в упругом

стержне ........................................................................................59

3.1 Нелинейные изгибные волны в закрученном стержне...............61

3.2 Нелинейные крутильные волны в погнутом стержне ................66

3.3 Связанные нелинейные изгибно-крутильные волны .................70

3.4 Дисперсионные соотношения для изгибной волны, распространяющейся в балке, лежащей на нелинейно-упругом основании ..............................................................................................82

Заключение....................................................................................................89

Список литературы.......................................................................................91

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время стремительно развивающиеся техника и технология требуют новых, более точных методов расчета, наряду с этим широко распространяется изучение волновых процессов. Полученные знания имеют широкую область приложений: от контроля материалов и изделий при производстве, до строительства зданий, сооружений, объектов машиностроения и ракетно-космической техники.

При проектировании ракет большого удлинения с продольным делением ступеней для расчета продольных и поперечных колебаний обычно используется модель стержня переменного сечения. Модель основывается на гипотезе плоских сечений без учета поперечных сдвигов, с упруго присоединенными осцилляторами, моделирующими относительное движение в баках [3, 5]. Аналогично для прямых и стреловидных крыльев большого удлинения часто используется «балочная» теория [4, 6] для расчета изгибно-крутильных колебаний, как без учета, так и с учетом поперечных сдвигов и конусности [2, 4, 7, 8], а также теория кручения и изгиба тонкостенных цилиндрических оболочек с неизменяемым контуром поперечного сечения и теория устойчивости открытых профилей при центральном сжатии, на базе сопротивления материалов [30, 31].

В самолетостроении крыло, как нерегулярную тонкостенную конструкцию, рассматривают как систему отсеков. При этом для различных отсеков деформация может быть описана на основе различных моделей. Например, корневой отсек стреловидного крыла может рассматриваться как тонкостенная пространственная конечно-элементная система. Соседние с ним отсеки могут рассматриваться с учетом депланаций и искривлений контура поперечных сечений, а все остальные отсеки - как балочные элементы, работающие на изгиб со сдвигом и на кручение [1].

В авиационной и ракетно-космической технике, в судостроении и других областях промышленности широко применяются тонкостенные

оболочечные конструкции, сочетающие в себе легкость прочность. При проектировании таких конструкций производится динамический расчет [6773].

В машиностроении при расчете и конструировании новых машин учитываются изгибные колебания вращающихся валов [9]. Рассматриваются частоты собственных колебаний валов, критические скорости вращения при различных условиях закрепления, влияние собственного веса и колебаний опор, нестационарный переход через критические скорости, влияние внешнего и внутреннего трений и устойчивость в связи с действием трения.

В настоящее время для проверки материалов, конструкций на скрытые внутренние дефекты часто применяются методы неразрушающего контроля, в которых также используется теория распространение волн.

В работе [22] экспериментально исследуются нелинейные взаимодействия упругих крутильных и изгибных волн в металлических стержнях с трещиноподобными дефектами. Показано существование эффекта модуляции высокочастотных крутильных типов волн низкочастотными изгибными колебаниями, что дает возможность использования крутильных волн для нелинейных акустических неразрушающих испытаний.

Среди продукции предприятий черной металлургии и машиностроения большой объем занимает стальной прутковый прокат, нашедший широкое применение в качестве заготовок при производстве режущего и измерительного инструмента. Внутренние дефекты в прутке, наличие которых невозможно определить визуально, могут привести к поломке детали во время эксплуатации, а значит и к дополнительным производственным и материальным затратам. В Ижевском государственном техническом университете под руководством профессора Буденкова Г.А. разработана технология акустической дефектоскопии протяженных объектов, основанная на использовании волн в стержнях (волн Похгаммера) [10].

Технология предполагает использование при контроле симметричной моды 80 волны Похгаммера в области минимальной дисперсии скорости, либо нулевой крутильной моды, если дисперсия скорости которой вообще отсутствует. Установлено, что аппаратура, реализующая новую технологию акустического контроля протяженных объектов эхо-импульсным методом, может базироваться на использовании моды 80 волны Похгаммера и крутильных волн. Использование моды 80 обеспечивает одинаковую чувствительность к поверхностным и внутренним дефектам, существенно превышая чувствительность других физических методов неразрушающего контроля (вихретоковый, магнитный). Использование крутильных волн обеспечивает более высокую чувствительность (более чем в 2,35 раза) к поверхностным и подповерхностным дефектам, чем при использовании моды 80.

В работе [19] рассматривается влияние дефектов в местах контакта на распространение крутильной волны в первоначально напряженном би-материале представляющий собой круглый цилиндр. В результате изучения отдельной гомогенной модели тела с использованием трехмерной линеаризованной теории упругих волн в предварительно напряженных телах, показано, что дефекты границ не влияют на значения асимптотического предела скорости распространения волны, а также представлены числовые результаты скорости распространения волны в зависимости от влияния дефектов на границах на начальные напряжения. Заключение получено исходя из математической постановки соответствующей проблемы, когда би-материал представляет собой цилиндр из внутреннего тела и окружающих его полых внешних цилиндров либо цилиндр из полых внутренних и окружающих его полых внешних цилиндров.

Также внимание уделяется исследованию особенностей распространения крутильных волн в линейно-протяжённых объектах с продольными дефектами для повышения информативности волнового акустического контроля [11]. Предложенные модели и методы расчёта могут

быть использованы для анализа процессов распространения и взаимодействия с дефектами крутильных волн в протяжённых объектах из различных материалов со сложной геометрией сечения (прутки, трубы, проволоки и изделия из них - насосные штанги, насосно-компрессорные трубы, тросы, пружины, токоведущие провода, рельсы и др.) для предварительной оценки основных параметров контроля; а также для оценки взаимодействия крутильных волн с различными моделями дефектов.

В нефтяной и нефтеперерабатывающей промышленности при отслеживании качества учета поступающих и отгружаемых продуктов могут быть использованы бездемпферные магнитострикционные преобразователи уровня на крутильных волнах [15], которые позволяют численно оценивать влияние основных дестабилизирующих факторов среды на их выходные параметры с высокой достоверностью.

При строительстве железнодорожных и автомобильных дорог, мостовых сооружений применяются сталежелезобетонные пролетные строения. Наиболее распространенными из них являются конструкции из двух сплошностенчатых главных балок и железобетонной плиты проезжей части. Сталежелезобетонные балочные пролетные строения со сплошной стенкой, рассматриваются как тонкостенные стержни [12]. Исследуется распространение крутильных волн в слоистом и радиально-слоистом цилиндрическом волноводе аналитическими и численными методами [13, 14].

Волновая теория применима в строительстве при моделировании и расчетах зданий и сооружений повышенной этажности на динамические воздействия. Конструктивные схемы современных жилых и общественных зданий повышенной этажности (крупнопанельных, каркасно-панельных и монолитных) могут быть представлены пространственной - моделью тонкостенного составного стержня. Теория тонкостенных составных стержней применяется для расчетов зданий повышенной этажности как на горизонтальные и вертикальные статические нагрузки, так и на сейсмические

воздействия [17]. При проектировании решаются задачи свободных продольно-поперечных колебаний тонкостенного составного стержня.

Задачи о чисто крутильных, изгибно-крутильных свободных колебаниях тонкостенных стержней комбинированного сечения, подверженных действию продольных сил и изгибаемых моментов позволяют получить частотные уравнения и приближенные формулы, для определения частот крутильных и изгибно-крутильных колебаний стержней комбинированного сечения. Такие решения особенно важны, так как на практике стержни в составе конструкции воспринимают ту или иную нагрузку [29].

Для тонкостенных открытых упругих балок произвольного сечения выведена линейная теория для изгибно-крутильных волн [23]. При выводе теории полностью были приняты во внимание сложные кинематические эффекты с уточнением их последовательности. Точные уравнения движения были получены в усредненных обобщенных значениях напряжений и перемещений, на основе анализа общих особенностей дисперсии. Предложенные основные соотношения учитывают изгибно-крутильную связь, включающую статические законы сопротивления материалов. Данная теория основывается на стандартном случае углового профиля, для которого имеются дисперсионные кривые.

Расчетный аппарат для определения формы и частот свободных изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней частично замкнутого контура, а также оценка влияния депланационных связей различного типа на их величину применяется при проектировании тонкостенных несущих конструкций железнодорожного транспорта специального назначения. Тонкостенные стержни открытого профиля, обладая существенной жесткостью при изгибе и растяжении, в то же время слабо сопротивляются закручиванию. Для повышения крутильной жесткости стержни открытого профиля можно снабжать депланационными связями различного вида

(например, в виде поперечных планок или раскосов), которые частично замыкают контур поперечного сечения [24].

Элементы мостовых, судовых и авиационных конструкций можно представить моделью криволинейного тонкостенного стержня. Для таких конструкций динамический расчет (в частности, определение частот собственных колебаний) является обязательным. Рассматриваются конкретные задачи по исследованию собственных частот изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней произвольного профиля, т.е. открытые, замкнутые, комбинированные, а также профили с депланационными связями в виде поперечных раскосов или планок, в зависимости от физических характеристик и от уровня параметрической нагрузки [28].

В научных работах многих других авторов затронута теоретическая часть теории волновых процессов.

На данных исследования движения крутильной волны в бесконечном полом круглом пьезоэлектрическом цилиндре, принадлежащем кристаллическому классу, когда цилиндрические поверхности находятся либо без силы сцепления, либо подвергнутыми относительному смещению, сформулированы резонансные уравнения частоты открытого и короткого замыкания. Полученные уравнения могут быть использованы для определения основных резонансных кривых частот для свободных от сил сцепления цилиндров [18]. Данная теория применятся к вибрациям кольцевых акселерометров.

Распространение крутильной волны в анизотропной среде рассматривается при наблюдении за гомогенными анизотропными образцами. В результате наблюдений получены особенности, проверенные в лаборатории от двух типов вибрации: вибрации сдвига и крутильной вибрации, используя преобразователи крутильной вибрации [20]. Эксперименты показывают, что два типа крутильных волн с различной скоростью появляются тогда, когда крутильная волна без типичной

поляризации раскладывается в анизотропной среде, и скорости совпадают со скоростями быстрой и медленной волны сдвига, которые появляются при вибрации сдвига. Когда эти два типа крутильных волн получены приемниками крутильной волны, их амплитуды не затронуты анизотропным азимутом.

В [16] рассматривался точный метод определения собственных частот и форм изгибно-крутильных колебаний двух упругих стержней с защемленными концами с одной стороны и скрепленными между собой абсолютно жесткой муфтой с другой стороны.

В [49] исследуются частоты и основные формы свободных изгибных колебаний тонкостенных стержней по теории, учитывающей вторичные сдвиги и инерцию вращения сечений. При решении был использован метод граничных элементов и установлено влияние характеристик сечения стержней в виде относительных величин на частоты свободных колебаний.

Таким образом, за основные направления применения волновой теории можно выделить расчеты при конструировании и методы неразрушающего контроля конструкций и материалов.

Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных крутильных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны, эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала, но, с другой стороны, - они могут быть полезными и найти применение в

технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике.

На актуальность темы диссертации указывает и то обстоятельство, что работа проводилась в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008 -2012г.г.» по теме:

- «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты» (№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.)

и при поддержке:

- Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России » (2009 - 2013г.г.);

-Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейная волновая динамика и устойчивость роторных систем» (РФФИ № 11-08-97066-р_поволжье; руководитель: профессор Ерофеев В.И.).

Цель работы состоит в изучении дисперсионных и нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении изгибных, крутильных и изгибно-крутильных волн в упругих стержнях.

Научная новизна

- Предложена новая математическая модель, описывающая связанные изгибно-крутильные колебания прямолинейного упругого стержня, обладающего геометрической нелинейностью и депланацией поперечного сечения.

- Впервые исследовано влияние связи между изгибными и крутильными типами волн на их дисперсионные свойства.

- Впервые исследованы нелинейные стационарные изгибные волны в предварительно закрученном стержне и