Интенсивные продольно-крутильные и продольно-изгибные волны в элементах конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗИНЧЕНКО Антон Сергеевич

ИНТЕНСИВНЫЕ ПРОДОЛЬНО-КРУТИЛЬНЫЕ И ПРОДОЛЬНО-ИЗГИБНЫЕ ВОЛНЫ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

5 ДЕК 2013

0055417п

Нижний Новгород - 2013

005541771

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем машиностроения Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ерофеев Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

Комаров Валентин Николаевич

доктор технических наук, профессор, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, заведующий кафедрой

Хлыбов Александр Анатольевич

доктор технических наук, доцент, Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, заведующий кафедрой

Ведущая организация: ОАО «Научно-исследовательский центр контроля

и диагностики технических систем»

Защита состоится 25 декабря 2013 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.165.08 при Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева по адресу: 603950, ГСП-41, г. Нижний Новгород, ул. Минина, д.24, ауд.1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автореферат разослан « ¿^"ноября 2013

г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Грамузов Евгений Михайлович

ОБЩАЯ ХАРАКТРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Динамическому поведению стержней и стержневых систем традиционно уделяется большое внимание в механике машин и конструкций. Это связано с их многочисленными техническими и технологическими приложениями.

Забота о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин, а также широкое внедрение в современную технику новых материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого классических линейных теорий часто оказывается недостаточно и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающие, в частности, геометрическую и физическую нелинейности, внутренние напряжения и поврежденность материала.

Возникающие при распространении интенсивных упругих волн нелинейные искажения могут накапливаться с течением времени и приводить как к сильному укручению волновых фронтов, так и к существенному изменению всего волнового процесса. В свою очередь, это может вызвать появление больших напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Даже в простых элементах упругих конструкций могут сформироваться специфические нелинейные режимы, не описываемые ни в каком приближении методами возмущений. Эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций могут быть как нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала конструкции, так и весьма полезными и найти эффективное применение в технологиях обработки материалов, дефектоскопии и технической диагностике. Теоретические расчеты параметров нелинейных волн необходимы для изучения свойств новых конструкционных материалов, в частности, измерения нелинейных модулей упругости.

Диссертационная работа проводилась в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008 - 2012г.г.» по теме:

- «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты» (№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.)

и при поддержке:

- Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейная волновая динамика и устойчивость роторных систем» (РФФИ № 11-08-97066-р_поволжье; руководитель: профессор Ерофеев В.И.);

- Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Регулярная и хаотическая динамика упругих стержней, совершающих связанные продольно-изгибно-крутильные колебания. Научный проект Зинченко Антона Сергеевича из Шуйского государственного педагогического университета, г. Шуя в Нижегородском филиале Института машиноведения им. A.A. Благонравова РАН, г. Нижний Новгород» (РФФИ№ 12-08-90822-мол_рф_нр).

Цель работы состоит в изучении особенностей распространения продольно-крутильных и продольно-изгибных волн в стержнях для разработки методов расчета и диагностики элементов конструкций при различных условиях эксплуатации.

В соответствии с изложенной целью в работе поставлены и решены следующие задачи:

- произведен выбор математических моделей, описывающих связанные продольно-крутильные и продольно-изгибные колебания нелинейно-упругих стержней;

- выполнены аналитические и численные исследования закономерностей распространения интенсивных волн в нелинейно-упругих стержнях;

- выявлены соотношения, связывающие характеристики напряженно-деформированного состояния и поврежденности материала стержня с параметрами распространяющихся в нем упругих волн.

Научная новизна. Диссертация посвящена изучению распространения продольно-крутильных и продольно-изгибных волн в стержневых системах. В рамках поставленной задачи впервые:

- Определено влияние угла предварительного закручивания стержня на частоту и фазовую скорость распространяющейся в нем продольной упругой волны.

- Показано, что в стержне может сформироваться нелинейная стационарная продольно-крутильная волна, и исследованы особенности ее распространения.

- Найдено и проанализировано аналитическое решение задачи о резонансном взаимодействии квазигармонических продольных и крутильных волн.

- Оценено влияние растяжимости стержня на параметры нелинейной стационарной изгибной волны.

- Предложен подход, позволяющий сформулировать и решить самосогласованную задачу, включающую в себя уравнение динамики стержня и уравнение поврежденности его материала.

Практическая значимость. Результаты исследования могут быть использованы при расчетном сопровождении технологий проектирования скважинного и погружного бурового оборудования, содержащего роторные системы. Они также могут найти применение при разработке методик акустического контроля материалов и элементов конструкций.

Методы исследования. При проведении исследований использованы методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся

- Результаты исследований распространения продольной волны в закрученном стержне, резонансного взаимодействия квазигармонических продольных и крутильных волн, формирования нелинейных стационарных продольно-крутильных и продольно-изгибных волн в стержнях.

- Результаты оценки влияния статического угла закручивания и растяжимости срединной линии стержня на параметры распространяющихся в нем волн.

- Оригинальный подход к постановке и решению задач динамики поврежденных элементов конструкций.

Апробация работы

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на: VII Международной научной конференции «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (Горис - Спепанакерт, 1923 сентября 2011г.); X Всероссийском совещании-семинаре «Инженерно-

физические проблемы новой техники» (Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2012 г.); IX Всероссийской научной конференции имени Ю.И.Неймарка «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012г.); II, III, IV Межвузовских научных конференциях и областных фестивалях «Молодая наука - развитию Ивановской области» (Иваново, 25-27 апреля 2006г., 16-27 апреля 2007г., 28 апреля 2010г. ); IV и V Межрегиональных научно-практических конференциях «Актуальные проблемы математического образования в школе и педагогическом вузе» (Шуя, 2010г., 2012г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 научных работ , 3 из которых [1-3] статьи из перечня изданий, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения. Общий объем составляет 78 страниц, включая 11 рисунков, 3 таблицы, 8 страниц библиографии, содержащей наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, сформулированы цель и основные положения, выносимые на защиту, определены научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе изложена вариационная методика, позволяющая единым образом получать математические модели стержней из трехмерных уравнений нелинейной теории упругости при конечных прогибах и деформациях. Выведены уравнения колебаний стержней с учетом физической и геометрической нелинейностей.

Уравнения связанных продольно-крутильных колебаний стержней имеют вид:

д2и 2 д2и

ді

д^в ді2

2 ~со

— с.

дх2

д2В Хдх2

д_ дх

д_ дх

-Д2

59 Кдх;

\2

ґ2адидвл р дх дх

р

pJ¡) дх'

(1.1)

Здесь и(х,1) - продольное перемещение частиц срединной линии; 0 (х,/) — угол поворота поперечного сечения в своей плоскости; р — плотность материала; Р— площадь поперечного сечения стержня; ^ - полярный момент

инерции; К = ^ТЁ - полярный радиус инерции (для цилиндрического

стержня Л = г/л/2, где г - радиус); с0 р - скорость, с которой

распространялась бы продольная волна при отсутствии крутильных

возмущений; Ст = -\/|л/р - скорость, с которой распространялась бы продольная волна при отсутствии продольных возмущений;

Е V

Е = \1{Ъ\ + 2\х)1(к + \1) - модуль Юнга; а = у + ^Г + ч,з ~~ коэффициент,

характеризующий физическую нелинейность (при этом геометрическая нелинейность определяется, как известно, нелинейной связью компонент тензора деформаций и вектора перемещений); X, Ц - константы Ламе второго порядка; \>2, Уз - константы Ламе третьего порядка.

Уравнения связанных продольно-изгибных колебаний стержня записываются в виде:

д2и

„2 д2и = с20 д дх2 2 дх

'д>И2

удху

(1.2)

д2лу

дГ2 +СоГу ах4

2 2

= С„

дх

ди ду; дх дх

2 дх

'диЛ3

\дxJ

Здесь и (х,0 - продольные, а м(х, г) - поперечное перемещение частиц

с - Щ7

срединном линии стержня; ~ V /р ~ скорость распространения

линейных продольных возмущений (стежневая скорость); Е- модуль Юнга;

- ру

Р - плотность материала; гу ~ \ /р - осевой радиус инерции;

^у ~ № ^Р - осевой момент инерции; F- площадь поперечного сечения

р

стержня.

Во второй главе изучается распространение и взаимодействие нелинейных волн в стержне.

В рамках математической модели (1.1) рассмотрены задачи о распространении продольной волны в закрученном стержне; о формировании

7

нелинейных стационарных продольно-крутильных волн; о нелинейном взаимодействии квазигармонических продольных и крутильных волн.

Если динамическое кручение представляет собой процесс

распространения малых вибраций на фоне статической закрутки 0о,

то угол поворота поперечного сечения стержня можно представить в виде

суммы

Частота продольной волны (со), распространяющейся в закрученном стержне, определяется соотношением

..Jiäjäit'i^iäitu^t'

а фазовая скорость этой волны - соотношением

і iK^l^JKtäljt^

к] 2 \ 2 " p2R2

(где к = 2я/Л - волновое число, Л - длина волны), коротковолновом диапазонах.

В длинноволновом диапазоне (к —> 0) частота волны растет пропорционально V*. а фазовая скорость уменьшается пропорционально 1 /лік. При фиксированном значении к частота волны и ее скорость увеличиваются пропорционально -föo . Соотношения (2.1), (2.2) Rk .

справедливы, если < 1. В коротковолновом диапазоне (к оо) ни

частота, ни фазовая скорость от угла закручивания не зависят. Выявленные закономерности могут быть положены в основу методики акустической диагностики закрученных стержней.

Если решение системы (1.1) искать в виде бегущих стационарных волн: U=U(S), Ö = 0(£), (2.3)

где % = х - VI, V- скорость стационарной волны. Соотношения (2.3) после упрощений и преобразований сведут (1.1) к обыкновенному дифференциальному уравнению

А.

+ от2е3 = о,

(2.4)

где /И, =

4аХ

р2У4

Ч-.

4А,

р2Л2К4

„2 N

1-

1-Ьг

Уравнение (2.4) имеет ограниченные решения лишь в случае, когда оба его коэффициента положительны (т\ > 0 ,т2> 0). Это возможно, если Ст > V или У> со, т.е. если нелинейная волна движется медленнее, чем любые линейные возмущения или, наоборот, нелинейная волна движется быстрее, чем любые линейные возмущения (а < 0 для большинства металлов и их сплавов, а с0 > ст).

¿В"

На фазовой плоскости Э,— точка с координатами (0/0) является устойчивым положением равновесия типа "центр" (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Фазовый портрет нелинейного осциллятора.

Движения по фазовым траекториям периодические, следовательно, и нелинейные стационарные продольно-крутильные волны являются периодическими. Рисунок выполнен при Ш] = Ш2 = 1. При изменении

значений параметров ті и /я? качественный вид фазового портрета системы не изменяется.

Прямое численное моделирование уравнения (2.4) показало, что с увеличением параметра т\ (это возможно при уменьшении скорости V или увеличении параметра нелинейности |а|) длина стационарной волны Л (пространственный период) уменьшается. Зависимость длины волны от гп\ при тг = 1 и постоянной амплитуде а0 = 1 показана на рис. 2.2.

Л

Рис. 2.2. Зависимость длины волны от коэффициента гп/

При увеличении амплитуды колебаний длина волны уменьшается, что показано на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Зависимость длины волны от амплитуды. Существует частное аналитическое решение уравнения (2.4):

е(£) = а08шЛ5, (2.5)

где к = ^т2 / тх — волновое число; а0 = 1 / -^/и, - амплитуда.

10

Соотношению (2.5) на рис.2.2 и рис.2.3 соответствуют точки с координатами (1; 6,28) при т/ = т2 = 1. А на фазовом портрете (рис.2.1) эта траектория помечена «звездочками». Заметим, что при гармоническом законе изменения угла поворота (2.16) продольное перемещение может быть только постоянным: и(Q = const.

Далее в главе изучается взаимодействие продольных и крутильных волн а именно: а) резонансное возбуждение продольной волны; б) периодическая перекачка энергии при трехволновом взаимодействии. Показано, что подобные взаимодействия продольных и крутильных волн имеют место, например, в инструменте при глубоком сверлении, а также в колонне бурильных труб при бурении скважин. Бурильная колонна, состоящая из последовательного соединения труб, часто рассматривается в виде упругого стержня с жестким цилиндром (долотом) на конце. При этом предполагается, что верхнему концу колонны бурильных труб сообщается постоянная угловая скорость, а на долото со стороны забоя действует момент сил сухого трения. Наличие сухого трения приводит к возникновению незатухающих крутильных колебаний. В колонне бурильных труб могут распространяться крутильные волны конечной амплитуды, содержащие в своем спектре несколько гармонических составляющих. Форма этих волн зависит от характера спектра собственных значений соответствующей консервативной системы. При малой инерционности долота в колонне распространяются пилообразные крутильные волны. Наличие упругой нелинейности в материале колонны может приводить к резонансному возбуждению высокочастотной продольной волны двумя низкочастотными крутильными.

В рамках математической модели (1.2) рассмотрена задача о распространении нелинейных изгибных и продольно-изгибных волн в стержне.

В третьей главе изложен подход, позволяющий сформулировать самосогласованную задачу, включающую в себя уравнение динамики стержня и уравнение поврежденности его материала

д2<р 2 Э> дц/ dt Y Иг дх

Здесь <р (х,{) - угол поворота поперечного сечения стержня от положения равновесия; у^М - мера поврежденности ; Д,/?2 - константы, характеризующие поврежденность материала и связь циклических процессов и процессов накопления повреждений.

Получено кинетическое уравнение, анализ которого показывает, что нарастание поврежденности имеет экспоненциальный характер. Произведена оценка параметров системы, при которых накопление повреждений можно считать линейным.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные результаты диссертации:

1. В рамках математической модели стержня, описывающей продольные и крутильные волны конечной амплитуды, рассмотрены задачи : о распространении продольной волны в закрученном стержне; о нелинейном взаимодействии квазигармонических продольных и крутильных волн; о формировании нелинейных стационарных продольно-крутильных волн.

2. Показано, что в длинноволновом диапазоне частота продольной волны, распространяющейся в закрученном стержне, растет пропорционально квадратному корню из волнового числа, а фазовая скорость уменьшается пропорционально единице, деленной на квадратный корень из волнового числа. При фиксированном значении волнового числа частота волны и ее скорость увеличиваются пропорционально квадратному корню из угла статического закручивания стержня. В коротковолновом диапазоне ни частота, ни фазовая скорость волны от угла закручивания не зависят. Выявленные закономерности могут быть положены в основу методики акустической диагностики закрученных стержней.

3. В результате проведения аналитических исследований и численного моделирования показано, что в стержне может формироваться нелинейная стационарная продольно-крутильная волна. Эта волна обладает следующими свойствами:

— она периодическая, при этом ее профиль может существенно отличаться от синусоидального;

- ее скорость ни при каких параметрах не совпадает со скоростями линейных упругих волн. Нелинейная волна движется медленнее, чем любые линейные возмущения или, наоборот, нелинейная волна движется быстрее, чем любые линейные возмущения;

- длина волны уменьшается при уменьшении ее скорости или при увеличении параметра нелинейности материала стержня.

4. Показано, что взаимодействие квазигармонических волн в стержне имеет несимметричный характер: продольные волны возбуждают крутильные волны параметрическим образом, последние же воздействуют на продольные волны как нелинейные источники силы. Найдено аналитическое решение задачи о самосогласованном резонансном взаимодействии волн. Проведен расчет параметров волн (амплитуды, частоты) и расстояния их нелинейного взаимодействия для бурильной колонны, состоящей из последовательного соединения труб и рассматриваемой в виде упругого стержня с жестким цилиндром (долотом) на границе.

5. В рамках математической модели стержня, описывающей продольные и изгибные волны конечной амплитуды, рассмотрена задача о формировании нелинейных стационарных продольно-изгибных волн. Такие существенно несинусоидальные волны могут быть как периодическими, так и уединенными (локализованными в пространстве). Отдельно рассмотрены нелинейные изгибные волны при нулевом продольном перемещении частиц срединной линии (нерастяжимый стержень), что позволило оценить влияние растяжимости на параметры стационарной волны. Показано, что амплитуды нелинейных продольно-изгибных стационарных волн (как периодических, так и уединенных) всегда меньше, чем соответствующие амплитуды нелинейных изгибных стационарных волн. Эта разница тем заметней, чем больше скорость нелинейной волны отличается (превышает) от скорости линейных возмущений. Отношение длины стационарной периодической волны, распространяющейся в растяжимом стержне к длине стационарной периодической волны, распространяющейся в нерастяжимом стержне, всегда равно единице. Единице равны и отношения ширин уединенных

стационарных волн, распространяющихся в растяжимом и нерастяжимом стержнях.

6. Предложен подход, позволяющий сформулировать самосогласованную задачу, включающую в себя уравнение динамики стержня и уравнение поврежденности его материала. Показано, что поврежденность материала привносит частотно-зависимое затухание и дисперсию фазовой скорости крутильной упругой волны, что позволяет оценивать поврежденность акустическим методом. Приложенное поле деформаций, в свою очередь, приводит к накоплению поврежденности. Получено кинетическое уравнение, анализ которого показывает, что нарастание поврежденности имеет экспоненциальный характер. Произведена оценка параметров системы, при которых накопление повреждений можно считать линейным.

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ерофеев В.И., Зинченко A.C., Кажаев В.В. Интенсивные продольно-крутильные волны в стержне // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2011. № 6. С.24-33.

2. Ерофеев В.И., Зинченко A.C., Казачек C.B., Орехова О.И. Нелинейное взаимодействие продольных и крутильных квазигармонических волн в стержне // Приволжский научный журнал. 2012. № 3. С.16-20.

3. Ерофеев В.И., Зинченко A.C. Распространение нелинейных изгибных и продольно-изгибных волн в упругом стержне // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 5(2). С.81-83.

Публикации в других научных журналах, сборниках научных трудов и трудах конференций

4. Ерофеев В.И., Зинченко A.C. Нелинейные изгибные и продольно-изгибные волны в стержне // Проблемы динамики взаимодействия

деформируемых сред. Труды VII Международной конференции (19-23 сентября, 2011 г., Горис-Степанакерт). Ереван: Институт механики HAH РА. 2011. С.189-193.

5. Ерофеев В.И., Зинченко A.C., Смирнов П.А. О соотношениях скоростей упругих волн основной частоты и высших гармоник в нелинейно-упругих стержнях // Моделирование динамических систем: Сборник научных трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис» Нф ИМАШ РАН. 2011. С.64-74.

6. Зинченко A.C. О распространении продольной волны в закрученном стержне // Прикладная механика и технологии машиностроения: Сборник научных трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис» Нф ИМАШ РАН. 2011. Вып.1(18). С.92-94.

7. Зинченко A.C. Метод объектного моделирования как методология и технология работы с информацией // Научный поиск. 2012. № 2 (2). С.33-37.

8. Зинченко A.C. Распространение продольно-изгибных и продольно-крутильных волн в стержне // Научный поиск. 2012. № 2 (6). С.38-40.

9. Зинченко A.C. Нелинейные изгибно-крутильные волны в стержне при малой амплитуде крутильной составляющей // Научный поиск. 2012. № 4(4). С.18-19.

10. Ерофеев В.И., Зинченко A.C., Никитина Е.А. Дисперсия и затухание крутильной волны, распространяющейся в стержне из поврежденного материала // Инженерно-физические проблемы новой техники. Сборник материалов X Всероссийского совещения-семинара. М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2012. С. 167-173.

11. Зинченко A.C. Нелинейная стационарная продольно-крутильная волна в стержне // Нелинейные колебания механических систем. Труды IX Всероссийской научной конференции. Нижний Новгород: Изд-во «Наш дом». 2012. С.436-437.

12. Веричев H.H., Ерофеев В.И., Зинченко A.C., Орехова О.И. Регулярная и хаотическая динамика нелинейно-упругого стержня, совершающего

изгибно-крутильные колебания // Прикладная механика и технологии машиностроения: Сборник научных трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис» ИПМ РАН. 2012. Вып.1(20). С.185-198.

13. Ерофеев В.И., Никитина Е.А., Зинченко A.C., Волков А.И. Влияние поврежденности материала на характер распространения упругих волн // Прикладная механика и технологии машиностроения: Сборник научных трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис» ИПМ РАН. 2012. Вып.2(21). С.132-142.

14. Зинченко A.C. О соотношении скоростей изгибных волн основной частоты и третьей гармоники в нелинейно-упругом стержне // Научный поиск. 2013. № 1. С.52-54.

Подписано в печать 22.11.2013. Формат 60 х 84 Vie. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 846.

Нижегородский государственный технический университет им. P.E. Алексеева. Типография НГТУ. 603950, ГСП-41, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24.