Нелинейные эффекты при распространении крутильных волн в упругих стержнях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

005005058

СЕРОВ Андрей Вячеславович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 ДЕК 2011

Саратов-2011

005005058

Работа выполнена в Нижегородском филиале Учреждения Российской академии наук Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ерофеев Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Землянухин Александр Исаевич

доктор физико-математических наук Герасимов Сергей Иванович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится « ^ » 2011 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.242.06 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. '/. ауд. С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.».

Автореферат размещён на сайте ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» www.sstu.ru « 2- 9'» ¿ляЭ-^сА. 20 "^г.

Автореферат разослан «» 20 "Т^г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Крутильные волны наряду с изгибными и продольными волнами играют большую роль в формировании вибрационных полей машиностроительных конструкций. Математические модели, описывающие крутильные волны, распространяющиеся в однородных тонких стержнях, базируются, как правило, на технической теории кручения (теория Кулона) или на уточняющей ее теории стесненного кручения.

В основе технической теории Кулона лежат предположения о недеформируемости поперечного сечения в своей плоскости (жесткий контур) и об отсутствии депланации, т.е. выхода поперечного сечения из первоначального плоского состояния. Сечения стержня, согласно этим гипотезам, скользят друг по другу, поворачиваясь в своей плоскости на малый угол как жесткие площадки. Крутильные волны описываются волновым уравнением и распространяются без дисперсии со скоростью сдвиговых волн в неограниченной среде.

В теории стесненного кручения предполагается, что кручение стержня складывается из двух связанных друг с другом движений: поворота поперечных сечений в своей плоскости (кручение по Кулону) и их депланации. Депланация, возникающая в результате неодинакового растяжения продольных волокон при кручении, при этом считается пропорциональной относительному углу поворота, а крутильные волны описываются уравнением Власова. Это уравнение наряду с «волновым» оператором (оператор Даламбера) содержит слагаемое, описывающее дисперсию крутильной волны, т.е. зависимость ее скорости от частоты.

Непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин и механизмов, забота о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, а также широкое внедрение в современную технику новых композиционных материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого часто оказывается недостаточно классических линейных теорий и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающих, в частности, геометрическую и физическую нелинейности.

Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных крутильных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны,

эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала, но, с другой стороны, - они могут быть полезными и найти применение в технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике.

На актуальность темы диссертации указывает и то обстоятельство, что работа проводилась в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008-2012 гг.» по темам:

- «Разработка методов повышения ресурса и надежности сложных технических систем путем применения наноструктурных материалов и градиентных защитных покрытий, диагностики на ранних стадиях повреждения и мониторинга состояния материалов и конструкций в процессе эксплуатации» (№ Гос.рег. 01200957043; научный руководитель: академик РАН Митенков Ф.М.);

- «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты» (№ Гос. per. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.)

и при поддержке:

- Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России »(2009 - 2013 г.г.);

- Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейные упругие волны в структурированных и поврежденных материалах и элементах конструкций. Теория. Эксперимент. Приложения в технической диагностике» (РФФИ № 09-08-00827; руководитель: профессор Ерофеев В.И.).

Цель работы состоит в изучении нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении и взаимодействии интенсивных крутильных волн в упругих стержнях.

Научная новизна:

1. Предложены новые математические модели, описывающие распространение упругих крутильных волн в стержне при наличии депланации и геометрической нелинейности.

2. При численном моделировании обнаружен эффект расщепления солитоноподобных крутильных волн при встречном столкновении.

3. Впервые показано, что нелинейные стационарные крутильные волны могут существовать и при отсутствии в линейной среде дисперсии.

4. Впервые исследован эффект модуляционной неустойчивости квазигармонических крутильных волн.

5. Впервые показано, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны.

Практическая значимость. Результаты исследований могут быть использованы при расчетном сопровождении технологий проектирования скважинного и погружного бурового оборудования, содержащего роторные системы. Они также могут найти применение при разработке методик акустического контроля материалов и элементов конструкций.

Методы исследования. При проведении исследований использованы методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн. При получении укороченных уравнений для амплитудной и фазовой огибающих квазигармонической волны использован метод усреднения по «быстрым» переменным.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

- Математические модели крутильных колебаний стержня, учитывающие депланацию и упругую геометрическую нелинейность.

- Результаты аналитических исследований и численного моделирования нелинейных крутильных волн.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Второй Всероссийской конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Нижний Новгород, 2007); Восьмой Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008); Тринадцатой Нижегородской сессии молодых ученых «Технические науки» (Нижний Новгород, 2008); Научном семинаре Нижегородского филиала Института машиноведения им. A.A. Благонравова Российской академии наук (Нижний Новгород, 2010, 2011).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, 3 из которых [1-3] - статьи из перечня журналов, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем составляет 86 страниц, включая 26 рисунков, 1 таблицу, библиографического списка, содержащего 111 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, сформулирована ее цель, основные положения, выносимые на защиту, определены научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе содержится общая схема приведения трехмерных уравнений динамической теории упругости к одномерным уравнениям динамики стержней, основанная на аппроксимации распределения перемещений в поперечном сечении стержня и применении вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

Построены математические модели, обобщающие уравнения крутильных колебаний стержней Кулона и Власова учетом геометрической нелинейности.

В общем случае учитываются конечные углы поворота, что приводит к следующей системе смещений точек стержня:

и, =Ф(з>,г)*;М

12 = у(сО8 0-1)-г8Ш в (])

иъ = у8т0+г(сок0-1)

Здесь в{х,г) - угол поворота поперечного сечения в своей плоскости, ф(у,г) - функция кручения, определяющая депланацию поперечного сечения. Она находится из решения уравнения Лапласа ДФ(у,г) = 0 с

граничным условием на контуре сечения у: = гсо$(п,у)~усоз(п,г), где

дп

п-вектор нормали к контуру.

Тензор деформаций считается конечным:

£" = 2

1 Эи, дuj ^ дик ди ^ дх) Эх. Эх. дх] J

(2)

УД =1,2,3), а материал стержня считается идеально упругим, то есть деформации £0 и напряжения <Уу связаны обобщенным законом Гука:

Оц =Леи30+2/£ед, (3)

где Я,ц - константы Ламе, _ символ Кронекера.

В рамках соотношений (1) - (3) отдельно рассмотрены случаи, когда:

а) депланация отсутствует, тензор деформаций является конечным;

б) депланация учитывается, тензор деформаций предполагается малым;

в) депланация учитывается, тензор деформаций является конечным.

Во второй главе изучаются распространение и взаимодействие интенсивных крутильных волн в стержнях.

При отсутствии депланации и конечности тензора деформаций, что характерно для стержней кругового и кольцевого поперечных сечений, распространение крутильной волны описывается уравнением

где х - безразмерная координата, * - безразмерное время.

При У> 1 уравнение (4) имеет аналитическое решение, выражающееся через эллиптический косинус Якоби:

в{$) = Асп(к^8), (5)

где £ = х-VI, V- неизвестная скорость стационарной волны. 2

к= д - нелинейный аналог волнового числа, А = ^¡4Е(У2 -1) -

амплитуда волны, $ - модуль эллиптической функции, характеризующий степень нелинейных искажений волны, т.е. степень её отличия от обычной гармонической волны. Е - константа интегрирования, имеющая смысл начальной энергии.

Обычно для эллиптических функций 0 < < 1, но в данном случае

этот модуль является строго фиксированным и равным ^ = , что не

позволяет нелинейной периодической волне вырождаться либо в линейную, либо в солитон.

Соотношение (5) описывает нелинейную крутильную волну, отличающуюся от гармонической волны по величине периода.

Возможность существования нелинейной стационарной волны кажется, на первый взгляд, невозможной, ведь в линейном приближении для крутильных волн в стержне отсутствует дисперсия, наличие нелинейности приводит к генерации высших гармоник в спектре волны, что способствует укручению профиля волны по мере её распространения, к формированию простой волны Римана. Лишь одновременное воздействие на волновой процесс нелинейности и дисперсии может

привести к формированию нелинейной стационарной волны. Почему же возможно существование нелинейной стационарной волны (5)?

Мы найдём ответ на этот вопрос, если проанализируем зависимость скорости нелинейной волны Уот волнового числа ¿(рис. 1).

^__ • I

1' 2 3' 4 5~к

Рис.1. Зависимость скорости нелинейной волны от волнового числа V => — +1

\к4

1) я2 =0; 2) =0.5.

Зависимость, изображённая на рисунке, представляет собой, по сути, нелинейный закон дисперсии. Нелинейность привносит с собой и дисперсию тоже. В линейном приближении я2 = 0 зависимость скорости от волнового числа отсутствует, т.е. V = сг, именно нелинейная дисперсия делает возможным существование нелинейной стационарной крутильной волны.

Уравнение крутильных колебаний стержня с учетом депланации и геометрической нелинейности имеет вид

с+с/—с, -—с -

II 1 » Хл I я ХШ г ХХП

р Р Р

\

2 Ра1р Ч,,

в'2 в' +

+—■— К3+

/-» у Х<С I г ХИТ I г XV ХШ / ж .СГ XXX /

2 'р 1Р 1Р 'р (6)

ЪГ2 г" I Г2 1

+ 2 с,2 ^ХС = о.

+

Г\ 1 х* XX« I » Л XX XXX Г\ ж

1 1Р 'р г

Здесь С, + 2ц)/ р0, Ст = рп , - скорости продольных и сдвиговых волн в неограниченной среде. В линейном приближении полученное уравнение совпадает с уравнением Власова.

В нелинейных слагаемых основной вклад дает слагаемое вида ' Ъ Я / / 1 ,2 ,

--- + ЗС? — в' в*, а остальные нелинейности имеют больший

2р01, ' К)

порядок малости. Чтобы убедиться в этом, достаточно в (6) перейти к безразмерным переменным х =х!КН, /' = Сгг/Л/г, где Л - безразмерная длина волны, И - толщина стержня. Указанное нелинейное слагаемое наряду с дисперсионными слагаемыми входит в уравнение с коэффициентом, пропорциональным 1 /(Л/г)2 (т.е. дисперсию необходимо учитывать одновременно с нелинейностью). Остальные нелинейные слагаемые имеют коэффициенты, пропорциональные 1/(АЛ)4, 1 /(А/г)6, поэтому при Л/г > 1 (в длинноволновом приближении) ими можно пренебречь, и уравнение крутильных колебаний стержня рассматривать в виде

- С) -Н + ав[2 У„ + С,2 Ь-в'^-у С = 0 (7)

р р р

3(Я1, + 2/и! 4)

где а = ——--— - коэффициент нелинеиности.

Введем замену переменных х = х —, 7 = ?СГ I— , в = в

V ^ V V ^

позволяющую получить уравнение с одним свободным параметром:

с-М;2к+с2с,-с=о (8)

Уравнение (8) записано в безразмерных переменных и знак «волна» над безразмерными переменными опущен.

с [77

Здесь безразмерный параметр С = равен отношению

V

скоростей, с которыми распространялись бы продольные (С,) и

крутильные (Ск =СГ —) волны, если бы в среде не было дисперсии. V ^ р

Скорость крутильной волны отличается от скорости волны сдвига Сг на постоянный множитель, зависящий от формы поперечного сечения и, как правило, меньше скорости волны сдвига. Это приводит к тому, что в уравнении (8) параметр С будет больше единицы.

Например, для тонкой упругой полосы, ширина которой 2Н во много раз превышает ее толщину 2И, функция депланации выражается формулой Ф(у,г) = -уг, полярный момент инерции и момент кручения

выражаются формулами !р= — Ик(н2+Ь.2), 1к = —Ш3, а их отношение /,. 4/г 2

равно — = —тт. Очевидно, что при /г « Н скорость крутильной 'р н +1г

волны уменьшается по сравнению со скоростью волны сдвига.

Уравнение (8) имеет решения в виде стационарных волн деформаций, форма которых не изменяется при их распространении. Существование таких волн обусловлено «уравновешиванием» факторов нелинейности и дисперсии. Поиск решения в виде стационарной волны приводит уравнение (8) к известному уравнению Дуффинга, которое имеет, как периодические, так и уединенные (солитоноподобные) решения.

Солитоноподобные волны, так называемые «кинки», описываются выражением

I А

(9)

где V- скорость уединенной волны, причем V > С, Л = л]б(к2 -1] -

У2-С2

амплитуда и Д = ;—— - ее ширина. Волны (9) распространяются с

постоянной скоростью, не изменяют при движении своей формы, устойчивы относительно малых возмущений и имеют параметр подобия

а = г . , что не отличает их от классических солитонов. Однако

/б {У2-сЦ

амплитуда волн не может быть меньше порогового значения А = ^(лС2 -1], а ширина изменяется в пределах 0 < Д < 1. Для таких волн численно обнаружены эффекты неупругого взаимодействия и расщепления при встречных столкновениях, что является их отличительной особенностью от солитона.

Численное моделирование уравнения (8) проводилось с помощью разработанного конечно-разностного алгоритма, реализующего неявную трехслойную схему с порядком аппроксимации о[т2,д2), где Т -временной, - пространственный шаги сетки. Разностная схема равномерно устойчива при соотношении шагов т<0.85^2/^2£2(1+|9л|)+8С2.

Программа, написанная на языке С++, реализующая этот алгоритм, приведена в Приложении.

В результате численного моделирования встречного взаимодействия однополярных солитонов было обнаружено, что начиная с некоторой энергии (соответствующей критической ширине А,() > 0,98) они расщепляются, порождая вторичные частицеподобные волны и квазигармонический волновой пакет. При столкновении волн с одинаковыми амплитудами Д, > А,р, амплитуды вторичных волн связаны

практически линейными соотношениями Д ~ и Аг ~ 0,ЗД, + 3,4, а

избыток энергии излучается из зоны взаимодействия в виде квазигармонического волнового пакета.

Ч Г-

Рис. 2

Приведенные на рис.2 результаты соответствуют расщеплению первичной волны (4) на две вторичные ( Д и л2). Следует отметить, что

соотношение \ — Д сохраняется даже тогда, когда отсутствует эффект расщепления, а наблюдается неупругое взаимодействие первичных волн (при Д*,, <0,98). При больших энергиях взаимодействия (Л >0,99) расщепление происходит на большее количество вторичных волн.

Рис. 3

Аналогичные эффекты были обнаружены в результате численного моделирования встречного столкновения разнополярных локализованных волн (квазисолитонов). В этом случае расщепление разнополярных волн наблюдается при меньших значениях энергии, чем однополярных.

Заметим, что явление расщепления солитонов при встречном столкновении, приводящее к образованию новых солитонов, впервые экспериментально обнаружено А.И. Весницким и А.И. Потаповым (Нф ИМАШ РАН) (// Wave Motion. 1994. Vol.19. Р.29-35).

В третьей главе показано, что в области преобладания дисперсионных факторов над нелинейными, решение уравнения (В) можно искать в виде гармонической волны с медленно меняющимися в пространстве и времени амплитудой и фазой (квазигармоническая волна):

в = A{.£x,£t)em~^ + A* {£x,£t)ei{(*~^ (10)

где A(x,t) - комплексная амплитуда, частота со и волновое число к удовлетворяют условию малости амплитудно-частотной модуляции

^-/кА~—/оЛ~ е<< 1, е

Эх dt дх2 Э г

2

С помощью метода усреднения осуществляется переход от исходного уравнения балки к укороченному уравнению огибающей квазигармонической волны. Эволюция огибающей описывается нелинейным уравнением Шредингера:

.ЗА \(1У д2А п

1 — +--——т + А = 0 (11)

дт 2 ¿к

где % = х — V (, т = &, V =-. Это уравнение часто встречается при

с1к

изучении волновых процессов в оптике, физике плазмы, акустике и электродинамике.

Известно, что квазигармоническая волна, распространяющаяся в нелинейной диспергирующей среде, может вследствие модуляционной неустойчивости разбиться на отдельные волновые пакеты. Наличие такой

(IV,„

неустойчивости определяется по критерию Лайтхилла: а < О

Анализ параметров уравнения (12) показал, что квазигармонические крутильные волны могут быть неустойчивыми по отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты (рис.4). Проанализирована зависимость области модуляционной неустойчивости волны от упругих свойств материала стержня. Показано, что область неустойчивости увеличивается с ростом коэффициента Пуассона (рис. 5).

0.5 \ ' ' ' 1!б' ' 2 ^

Рис. 4. Дисперсионная зависимость (щк) области устойчивости (кресты) и неустойчивости (окружности) модуляций

0.8

0.6

0.4

0.2

0бласгь

\

Область устойчивости

N \

0 1 0.2 0.3 0.4 0 5 у

Рис. 5. Зависимость области устойчивости модуляций от коэффициента Пуассона (V)

В этой же главе показано, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой

удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны. Определена зависимость амплитуды волны удвоенной частоты от длины волны: в длинноволновом диапазоне амплитуда второй гармоники может достигнуть половины амплитуды волны основной частоты, в коротковолновом диапазоне - лишь её четверти.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные результаты диссертации

1. Предложены математические модели, обобщающие уравнения крутильных колебаний стержней Кулона и Власова учетом геометрической нелинейности. В общем случае нелинейность учитывается как в системе перемещений (поскольку при кручении стержней вектор перемещений может быть конечным даже при малых деформациях), так и в соотношениях, связывающих между собой перемещения и деформации.

2. Аналитически и численно проанализированы нелинейные крутильные стационарные волны. При численном моделировании обнаружен эффект расщепления солитоноподобных, как однополярных, так и разнополярных волн.

3. Показано, что наличие нелинейности привносит с собой дисперсию, и нелинейные стационарные крутильные волны могут существовать и при отсутствии в линейной среде дисперсии.

4. Установлено, что квазигармонические крутильные волны могут быть неустойчивыми по отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты (модуляционная неустойчивость). Проанализирована зависимость области модуляционной неустойчивости волны от упругих свойств материала стержня. Показано, что область неустойчивости увеличивается с ростом коэффициента Пуассона.

5. Выявлено, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны. Определена зависимость амплитуды волны удвоенной частоты от длины волны: в длинноволновом диапазоне амплитуда второй гармоники может достигнуть половины амплитуды волны основной частоты, в коротковолновом диапазоне - лишь её четверти.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

/. Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Серов, A.B. Нелинейные стационарные крутильные волны в

упругом стержне / В.И. Ерофеев, Н.П. Семерикова, A.B. Серов //

Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2008. - №1. - С. 910.

2. Серов, A.B. Модуляционная неустойчивость крутильных и изгибных волн в стержне / В.И. Ерофеев, A.B. Серов, П.А. Смирнов // Нелинейный мир. - 2009. - Т.7. -№12. - С.943-946.

3. Серов, A.B. Моделирование генерации второй гармоники в спектре крутильной волны, распространяющейся в нелинейно-упругом стержне/ A.B. Серов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. -№6.

11. Публикации в других изданиях

4. Серов, A.B. Особенности генерации крутильной волны удвоенной частоты в упругом стержне / A.B. Серов // Вторая Всероссийская конференция по волновой динамике машин и конструкций, тез. докл.

Н. Новгород, 28-31 окт. 2007г. - Н. Новгород: - «Интек - НН», 2007. -С. 85.

5. Серов, A.B. Особенности генерации крутильной волны удвоенной частоты в упругом стержне / A.B. Серов // Прикладная механика и технология машиностроения: сб. науч. тр. - Н.Новгород: «Интелсервис», 2007. -№1(10). - С. 32-37.

6. Серов, A.B. Крутильные волны конечной амплитуды в упругом стержне / A.B. Серов // Материалы XIII Нижегородской сессии молодых ученых (Технические науки). - Н. Новгород, 2008. - С.77.

7. Серов, A.B. О модуляционной неустойчивости крутильных и изгибных волн / В.И. Ерофеев, A.B. Серов, П.А. Смирнов // Нелинейные колебания механических систем: Труды VIII Всероссийской конференции. Н. Новгород, 22-26 сент. 2008 г. - Н.Новгород: Издательство Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2008. - Т.2. -

С. 336-339.

8. Серов, A.B. Стационарная крутильная волна в стержне с квадратичной упругой нелинейностью / A.B. Серов // Прикладная механика и технологии машиностроения: сб. науч. тр. - Н.Новгород: «Интелсервис», 2011. - №1 (18). - С. 100 -112.

Подписано в печать 18.11.11 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 0,93 (1,0) Уч.-изд. л. 0,9

Тираж 100 экз. Заказ 296 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТЕРЖНЕЙ, УЧИТЫВАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ НЕЛИНЕЙНОСТЬ И ДЕПЛАНАЦИЮ ПРИ КРУЧЕНИИ.

1.1. О сведении трехмерных уравнений теории упругости к приближенным одномерным уравнениям теории стержней.

1.2. Уравнения, описывающие распространение упругих крутильных волн в стержнях.

ГЛАВА 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИНТЕНСИВНЫХ КРУТИЛЬНЫХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ.

2.1. Об основных публикациях по нелинейным волнам в стержнях.

2.2. Нелинейные стационарные крутильные волны в стержне (модель Кулона).

2.3. Взаимодействие нелинейных крутильных волн в стержне (модель Власова).

2.4. Результаты экспериментальных исследований взаимодействия солитоноподобных волн при встречном столкновении.

2.5. Стационарные волны в стержне при наличии квадратичной нелинейности.

ГЛАВА 3. КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ КРУТИЛЬНЫЕ ВОЛНЫ.

3.1. Модуляционная неустойчивость крутильной волны.

3.2. Генерация крутильной волны удвоенной частоты.

Актуальность темы. Крутильные волны, наряду с изгибными и продольными волнами, играют большую роль в формировании вибрационных полей машиностроительных конструкций^ 1-8]. Математические модели, описывающие крутильные волны, распространяющиеся в однородных тонких стержнях, базируются, как правило, на технической теории кручения (теория Кулона) или на уточняющей ее теории стесненного кручения.

В основе технической теории Кулона лежат предположения о недеформируемости поперечного сечения в своей плоскости (жесткий контур) и об отсутствии депланации, т.е. выхода поперечного сечения из первоначального плоского состояния. Сечения стержня, согласно этим гипотезам, скользят друг по другу, поворачиваясь в своей плоскости на малый угол как жесткие площадки. Крутильные волны описываются волновым уравнением и распространяются без дисперсии со скоростью сдвиговых волн в неограниченной среде.

В теории стесненного кручения предполагается, что кручение стержня складывается из двух связанных друг с другом движений: поворота поперечных сечений в своей плоскости (кручение по Кулону) и их депланации. Депланация, возникающая в результате неодинакового растяжения продольных волокон при кручении, при этом считается пропорциональной относительному углу поворота, а крутильные волны описываются уравнением Власова. Это уравнение, наряду с «волновым» оператором (оператор Даламбера), содержит слагаемое, описывающее дисперсию крутильной волны, т.е. зависимость ее скорости от частоты.

Непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин и механизмов, забота о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, а также широкое внедрение в современную технику новых композиционных материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого часто оказывается недостаточно классических линейных теорий и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающих, в частности, геометрическую и физическую нелинейности.

Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных крутильных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны, эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала, но, с другой стороны, - они могут быть полезными и найти применение в технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике.

На актуальность темы диссертации указывает и то обстоятельство, что работа проводилась в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008 -2012 г.г.» по темам:

- «Разработка методов повышения ресурса и надежности сложных технических систем путем применения наноструктурных материалов и градиентных защитных покрытий, диагностики на ранних стадиях повреждения и мониторинга состояния материалов и конструкций в процессе эксплуатации» (№ Гос.рег. 01200957043; научный руководитель: академик РАН Митенков Ф.М.);

- «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты» (№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.) и при поддержке:

- Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России » (2009 - 2013 г.г.);

- Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейные упругие волны в структурированных и поврежденных материалах и элементах конструкций. Теория. Эксперимент. Приложения в технической диагностике» (РФФИ № 09-08-00827; руководитель: профессор Ерофеев В.И.).

Цель работы состоит в изучении нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении и взаимодействии интенсивных крутильных волн в упругих стержнях.

Научная новизна.

1. Предложены новые математические модели, описывающие распространение упругих крутильных волн в стержне при наличии депланации и геометрической нелинейности.

2. При численном моделировании обнаружен эффект расщепления солитоноподобных крутильных волн при встречном столкновении.

3. Впервые показано, что нелинейные стационарные крутильные волны могут существовать и при отсутствии в линейной среде дисперсии.

4. Впервые исследован эффект модуляционной неустойчивости квазигармонических крутильных волн.

5. Впервые показано, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны.

Практическая значимость. Результаты исследований могут быть использованы при расчетном сопровождении технологий проектирования скважинного и погружного бурового оборудования, содержащего роторные системы[35,36]. Они также могут найти применение при разработке методик акустического контроля материалов и элементов конструкций[37].

Методы исследования. При проведении исследований использованы методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн. При получении укороченных уравнений для амплитудной и фазовой огибающих квазигармонической волны использован метод усреднения по «быстрым» переменным.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными.

На защиту выносятся:

- Математические модели крутильных колебаний стержня, учитывающие депланацию и упругую геометрическую нелинейность.

- Результаты аналитических исследований и численного моделирования нелинейных крутильных волн.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Второй Всероссийской конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Нижний Новгород, 2007); Восьмой Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008); Тринадцатой Нижегородской сессии молодых ученых «Технические науки» (Нижний Новгород, 2008); Научном семинаре Нижегородского филиала

Института машиноведения им. A.A. Благонравова Российской академии наук (Нижний Новгород, 2010, 2011).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ[9-12, 3841], 3 из которых [9-11] - статьи из перечня журналов, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем составляет 87 страниц, включая 26 рисунков, 1 таблицу, 12 страниц библиографии, содержащей 111 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Предложены математические модели, обобщающие уравнения крутильных колебаний стержней Кулона и Власова учетом геометрической нелинейности. В общем случае нелинейность учитывается, как в системе перемещений (поскольку при кручении стержней вектор перемещений может быть конечным даже при малых деформациях), так и в соотношениях, связывающих между собой перемещения и деформации.

2. Аналитически и численно проанализированы нелинейные крутильные стационарные волны. При численном моделировании обнаружен эффект расщепления солитоноподобных, как однополярных, так и разнополярных волн.

3. Показано, что наличие нелинейности привносит с собой дисперсию, и нелинейные стационарные крутильные волны могут существовать и при отсутствии в линейной среде дисперсии.

4. Установлено, что квазигармонические крутильные волны могут быть неустойчивыми по отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты (модуляционная неустойчивость). Проанализирована зависимость области модуляционной неустойчивости волны от упругих свойств материала стержня. Показано, что область неустойчивости увеличивается с ростом коэффициента Пуассона.

5. Выявлено, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны. Определена зависимость амплитуды волны удвоенной частоты от длины волны: в длинноволновом диапазоне амплитуда второй гармоники может достигнуть половины амплитуды волны основной частоты, в коротковолновом диапазоне - лишь её четверти.

1. Бидерман, B.J1. Теория механических колебаний / B.J1. Бидерман - М.: Высшая школа. 1980.

2. Авиационная акустика / под ред. А.Г. Мунина М.: Машиностроение, 1986, Т. 1,2.

3. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти томах. Т.1 / под ред. В.В. Болотина -М.: Машиностроение, 1978.

4. Григолюк, Э.И. Неклассические теории стержней, пластин и оболочек. / Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов М.: ВИНИТИ, 1973.

5. Никифоров, A.C. Распространение и поглощение звуковой вибрации на судах / A.C. Никифоров, C.B. Будрин Л.: Судостроение, 1968.

6. Светлицкий, В.А. Механика стержней / В.А. Светлицкий. М.: Высшая школа. 1987. Т. 1,2.

7. Артоболевский, И.И. Введение в акустическую динамику машин / И.И. Артоболевский, Ю.И. Бобровницкий, М.Д. Генкин. М.: Наука, 1979.

8. Ерофеев, В.И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Н.П. Семерикова. М.: Физматлит, 2002. 208с.

9. Ерофеев, В.И. Нелинейные стационарные крутильные волны в упругом стержне / В.И. Ерофеев, Н.П. Семерикова, A.B. Серов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. №1. С. 9-10.

10. Ерофеев, В.И. Модуляционная неустойчивость крутильных и изгибных волн в стержне / В.И. Ерофеев, A.B. Серов, П.А. Смирнов // Нелинейный мир. 2009. Т.7. №12. С. 943-946.

11. Серов, A.B. Моделирование генерации второй гармоники в спектре крутильной волны, распространяющейся в нелинейно-упругом стержне / A.B. Серов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. №6.

12. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. A.M. Прохоров. М.: Сов. Энциклопедия, 1983.

13. Gardner, C.S. Method for solving the Korteweg-de Vries equation / C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura. // Phys. Rev. Lett., 1967, 19, P. 10951097.

14. Абловиц, M. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, X. Сигур. -М.: Мир, 1987.

15. Буллаф, Р.К. Солитоны.: пер. с англ. / Р.К. Буллаф, П.Дж. Кодри М.: Мир, 1983.

16. Бхатнагар, П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах / П. Бхатнагар. М.: Мир, 1981.

17. Додд, Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения: пер. с англ. / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, X. Моррис. М.: Мир, 1988 с.

18. Дубровин, Б.А. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Вриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия / Б.А. Дубровин, В.Б. Матвеев, С.П. Новиков. // Успехи мат. наук, 1976, Т. 31, Вып. 1(187),-С 55-136.

19. Захаров, В.Е. Теория солитонов: Метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литер., 1980.

20. Калоджеро, Ф. Спектральные преобразования и солитоны.: пер. с англ. / Ф. Калоджеро, А. Дегасперис. М.: Мир, 1985.

21. Лэм, Дж. Л. Введение в теорию солитонов: пер. с англ. / Дж. Л. Лэм. М.: Мир, 1983.

22. Лэмб, Дж. Элементы теории солитонов: пер. с англ. / Дж. Лэмб. М.: Мир, 1984.

23. Марченко, В.А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры / В.А Марченко. Киев: Наук. Думка, 1986.

24. Солитоны в действии / под ред. К. Лонгрена и Э.Скотта : пер. с англ. М.: Мир, 1981.

25. Тахтаджян, Л. А. Гамильтонов подход в теории солитонов / Л. А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. М.: Наука. 1986.

26. Lax, P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves / P.D. Lax // Communs. Pure and Appl. Math., v.21, P. 159-193.

27. Захаров, B.E. Интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния II / В.Е. Захаров, А.Б. Шабат // Функц. анализ, 1979, Т. 13, Вып.З, С. 13-22.

28. Захаров, В.Е. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния I / В.Е. Захаров, А.Б. Шабат // Функц. анализ, 1974, Т.8, Вып.З, С. 43-53.

29. Захаров, В.Е. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн / В.Е. Захаров, А.Б. Шабат // ЖЭТФ, 1971, Т.61, Вып. 1(7), С. 118-134.

30. Захаров, В.Е. К теории резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах / В.Е. Захаров, C.B. Манаков // ЖЭТФ, 1975, Т.69, Вып.5, -С. 1654-1673.

31. Ablowitz, M.J. Nonlineur evolution equation of physical significance / M.J. Ablowitz, D.J. Каир, A.C. Newell, H. Seguz // Phys. Rev. Lett., V. 31. P. 125127.

32. Петрашень, Г.И. О некоторых проблемах динамической теории упругости в случае сред, содержащих тонкие слои / Г.И. Петрашень, Л.А. Молотков // Вестник ЛГУ. Сер. Физ., 1958. Т. 22, №4. С. 137-156.

33. Бердичевский, В. JI. Вариационные принципы механики сплошных сред / В. Л. Бердичевский. М.: Наука, 1983. 448 с.

34. Юнин, Е. К. Низкочастотные колебания бурильного инструмента / Е. К. Юнин. М.: Недра. 1983. 130 с.

35. Неразрушающий контроль: справочник в 7 т. / под ред. В.В. Клюева. Т.З: Ультразвуковой контроль/ И.Н. Ермолов, Ю.В. Ланге. М.: Машиностроение. 2004. 864 с.

36. Серов, A.B., Крутильные волны конечной амплитуды в упругом стержне / A.B. Серов // Материалы докладов. XIII Нижегородская сессия молодых ученых (Технические науки). Н. Новгород. 2008. - С. 77.

37. Серов, A.B. Стационарная крутильная волна в стержне с квадратичной упругой нелинейностью / A.B. Серов // Прикладная механика и технологии машиностроения: сб. научн. трудов. Н. Новгород: «Интелсервис». 2011. №1(18).-С. 100-112.

38. Nariboli, G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods / G.A. Nariboli // J. of Math and Phys. Sciences. 1970, v.4, P. 64-73.

39. Ерофеев, В.И. Солитоны огибающих при распространении изгибных волн в нелинейно-упругом стержне / В.И. Ерофеев // Акустический журнал, 1992, Т.38, № 1,-С 172-173.

40. Березовский, А.А. Изгибные стационарные волны в стержнях при нелинейном законе упругости / А.А. Березовский, Ю.В. Жерновой //Украинский матем. журнал. 1981. Т. 33. № 4. С. 493-498.

41. Abramian, А.К. Wave localization in hydroelastic systems / A.K. Abramian, D.A. Indejtsev, S.A. Vakulenko // Flow, Turbulence and Combustion. 1999. № 61. P. 1-20.

42. Ерофеев, В.И. Квазигармонические изгибные волны в нелинейно-упругой балке Тимошенко / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Н.П. Семерикова // Испытания материалов и конструкций: сб. научн. трудов. Н.Новгород, Изд-во «Интелсервис», 1996,-С. 180-187.

43. Ерофеев, В.И. Нелинейные стационарные изгибные волны в балке Тимошенко / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Н.П. Семерикова // Прикладная механика и технологии машиностроения: сб. научн. трудов. Н.Новгород, Изд-во «Интелсервис», 1997, вып.З, С. 56-66.

44. Erofeyev, V.I. Nonlinear modulated waves in the Timoshenko beam / V.I. Erofeyev, N.P. Semerikova // Wave mechanical systems: prog, intern, seminar. Kaunas: Technologija. 1996, P. 12-15.

45. Ерофеев, В.И. Распространение нелинейных изгибных волн в стержнях с движущимися закреплениями / В.И. Ерофеев // Прикл. задачи динамики систем: сб. научн. трудов Горьк. ун-т., 1983, вып. 6, - С. 90-107.

46. Rudnick, I. Flexural waves envelope solitons in a metallic cylindrical thin shell / I. Rudnick, J. Wu, J. Wheatley, S. Putterman // Проблемы нелинейной акустики.

47. Сб. трудов XI международн. симп. по нелин. акустике. Ч. 2. Новосибирск, 1987.-С. 208-212.

48. Ильичев, А.Т. Устойчивость локализованных волн в нелинейно-упругих стержнях / А.Т. Ильичев. М.: Физматлит. 2009. 160 с.

49. Potapov, A.I. Interaction of solitary waves under head-on collections / A.I. Potapov, A.I. Vesnitsky // Experimental investigation. Wave Motion, 1994, V. 19, P. 2935.

50. Ерофеев, В.И. Параметрическая трансформация продольных волн в изгибные в тонких стержнях / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, А.И. Потапов // Волны и дифракция. М.: ИРЭ АН СССР, 1981, Т.2, - С. 82-85.

51. Ерофеев, В.И. Трехчастотные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в стержне / В.И. Ерофеев, А.И. Потапов // Динамика систем. -Горький: ГГУ, 1985, С. 75-84.

52. Ковригин, Д.А. Нелинейные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в кольце / Д.А. Ковригин, А.И. Потапов // Докл. АН СССР, 1989, Т. 305, № 4, С. 803-807.

53. Kovriguine, D.A. Nonlinear waves in elastic bar / D.A. Kovriguine, A.I. Potapov // Eur. J. Mech. A. / Solids, 1996. V. 15, P. 1049-1075.

54. Березовский, A.A. Нелинейные продольно-поперечные стационарные волны в упругих стержнях / А.А. Березовский, Ю.В. Жерновой // Сб. Матем. физика, № 30, Киев: Наукова думка, 1981, - С. 41-48.

55. Милосердова, И.В. Об одной возможности акустического измерения упругих констант четвертого порядка / И.В. Милосердова // Горьк. ун-т. Горький, 1983, - 8с. - Деп. в ВИНИТИ 28.03.83, № 1796.

56. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. М.: Мир, 1977. 624 с.

57. Землянухин, А.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках / А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич. Саратов. 1999.

58. Nariboli, G.A. Burgers' s-Korteweg-de Vries equation for viscoelastic rods and plates / G.A. Nariboli, A. Sedov // J. Math. Anal. And Appl.,1970, v.32, № 3, P. 661-667.

59. Энгельбрехт, Ю.К. Нелинейные волны деформации / Ю.К. Энгельбрехт, У.К. Нигул.-М.: Наука, 1981.

60. Островский, Л.А. Нелинейные упругие волны в стержнях / Л.А. Островский, A.M. Сутин // Препр. НИРФИ, 1975, № 71.

61. Островский, Л.А. Нелинейные упругие волны в стержнях / Л.А. Островский, A.M. Сутин // ПММ, 1977, Т. 41, Вып. 3, С. 531-537.

62. Островский, Л.А. О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и дисперсией / Л.А. Островский, E.H. Пелиновский // ПММ, 1974, Т. 38, Вып. 1, С. 121-124.

63. Вакуленко, С.А. Нелинейные продольные волны в упругих стержнях / С.А. Вакуленко, И.А. Молотков, Л.А. Островский, A.M. Сутин // Волны и дифракция, VIII Всес. симп. По дифракции и распространению волн. Т. 99.-М.,1981, С. 107-110.

64. Молотков, И.А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях / И.А. Молотков, С.А. Вакуленко // Интерференционные волны в слоистых средах. 1. Зап. науч. семин. ЛОМИ, Т. 99.- Л.: Наука,1980, С. 64-73.

65. Kodama, J. Perturbation of solitons and solitary waves / J. Kodama, M. Ablowitz // Stud. Appl. Math., 1981, V.64, P. 225-245.

66. Самсонов, A.M. Солитоны в нелинейно-упругих стержнях с переменными свойствами / A.M. Самсонов // Пробл. нелинейн. и турбулент. процессов в физ. Труды II Междунар. раб. группы, 1983, ч.1. Киев: Наук, думка, 1985, -С. 219-221.

67. Самсонов, A.M. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения / A.M. Самсонов // ДАН СССР, 1984, Т.277, № 2, С. 332-335.

68. Самсонов, A.M. Солитоны продольного смещения в неоднородном нелинейно-упругом стержне / A.M. Самсонов, Е.В. Сокуринская // Препр. АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1985, № 983, С. 1-44.

69. Samsonov, A.M. Soliton in nonlinear elastic rods with variable characteristics / A.M. Samsonov // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. V.2 / ed. R.Z. Sagdeev.-N.Y.: Gordon and Beach, 1984, P. 1029-1035.

70. Ерофеев, В.И. Нелинейные модели продольных колебаний стержней / В.И. Ерофеев, А.И. Потапов // Гидроаэромеханика и теория упругости / Всес. межвуз. сб. Днепропетровск: ДГУ. 1984, вып. 32, С. 78-82.

71. Самсонов, A.M. О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне / A.M. Самсонов // ДАН СССР, 1988, Т. 299,-С. 1083-1086.

72. Самсонов A.M. Существование и усиление уединенных волн в нелинейно-упругих волноводах. / A.M. Самсонов // Препр. АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1988, № 1259,-С. 1-26.

73. Самсонов, A.M. О возможности возбуждения солитона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне / A.M. Самсонов, Е.В. Сокуринская // ЖТФ, 1988, Т. 58, Вып. 8, С. 1632-1634.

74. Самсонов, A.M. Солитоны продольной деформации в нелинейно-упругих стержнях / A.M. Самсонов, Е.В. Сокуринская // Теория распространения волнв упругих и упругопластических средах. Новосибирск: ИГД СО АН СССР, 1987, - С. 28-32.

75. Самсонов, A.M. Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне / A.M. Самсонов, Е.В. Сокуринская // ПММ, 1987, Т. 51, Вып. 3, С. 483-488.

76. Samsonov, A.M. // Proc. of the Intern, conf. On Plasma Physics, V.4. Kiev: Naukova dumka, 1987, - P. 88-90.

77. Дрейден, Г.В. Формирование и распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом твердом теле / Г.В. Дрейден и др. // ЖТФ, 1988, Т. 58, № 10, С. 2040-2047.

78. Дрейденб Г.В. Об экспериментах по распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом стержне / Г.В. Дрейден и др. // Письма в ЖТФ, 1995, Т. 21, Вып. 11,-С. 42-46.

79. Порубов, А.В. Уточнение модели распространения продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне / А.В. Порубов, A.M. Самсонов // Письма в ЖТФ, Т. 19, Вып. 12, С. 26-29.

80. Taniuti, Т. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation I / T. Taniuti, C.C. Wei // J. Phys. Soc. Jpn., 1968, V. 24, P. 941-946.

81. Применение ультразвука в промышленности. М.: Машиностроение, 1975.

82. Карпман, В.И. Система солитонов под действием возмущения. Осцилляторные ударные волны / В.И. Карпман // ЖЭТФ, 1979, Т. 77, Вып. 1(7), С. 114-123.

83. Карпман, В.И. Структура хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны / В.И. Карпман, Е.М. Маслов // ЖЭТФ, 1978, Т. 75, Вып.2(8), С. 504-517.

84. Каир, D.J. Solitons as particles, oscillators and in slowly changing media: a singular perturbation theory / D.J. Каир, A.C. Newell // Prog. Roy. Soc. London A, 1978, 361,-P. 413-446.

85. Soerensen, M.P. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I / M.P. Soerensen, P.L. Christiansen, P.S. Lomdahl // J. Acoust. Soc. Amer., 1984, V. 76, № 3, P. 871879.

86. Soerensen, M.P. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I / M.P. Soerensen, P.L. Christiansen, P.S. Lomdahl, O. Scovgaard // J. Acoust. Soc. Amer., 1987, V. 81, № 6,-P. 1718-1722.

87. Clarcson, P.A. Solitary wave interaction in elastic rods / P.A. Clarcson, R.J. LeVeque, R. Saxton // Stud. Appl. Math., 1986, V. 75, № 2, P. 95-122.

88. Потапов, А.И. Нелинейные продольные волны в стержнях с учетом взаимодействия полей деформации и температуры / А.И. Потапов, Н.П. Семерикова// ПМТФ, 1988, № 1, С. 57-61.

89. Милосердова, И.В. Нелинейные стоячие волны в стержнях конечной длины / И.В. Милосердова, А.И. Потапов // Акустич. журнал, 1983, Т. 29, Вып.4, С. 515-520.

90. Березин, Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов / Ю.А. Березин Новосибирск: Наука. 1982.

91. Nakamura, A. Soliton formation process calculated for longitudinal sound waves in solid bar / A. Nakamura // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международного симпозиума по нелинейной акустике. 4.1. Новосибирск. 1987.-С. 378-382.

92. Samsonov, A.M. Longitudinal strain soliton focusing in a narrowing nonlinearly elastic rod / A.M. Samsonov, G.V. Dreiden, I.V. Porubov, I.V. Semenova // Phys.Rev. B, 1998, V.57, № 10, P. 5778-5787.

93. Порубов, A.B. Локализация нелинейных волн деформации / А.В. Порубов. -М.: Физматлит. 2009. 208 с.

94. Porubov, I.V. Strain solitary waves in an elastic rod embedded in another elastic external medium with sliding / I.V. Porubov, A.M. Samsonov, M.G. Velarde, A.V. Bukhanovsky // Phys.Rev. E, 1998, V.58, i3, P. 3854-3864.

95. Самсонов, A.M. Нелинейные волны деформации в упругих волноводах, взаимодействующих с внешней средой / A.M. Самсонов, Е.В. Сокуринская // Препр. АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1988, № 1293, С. 1-32.

96. Ерофеев, В.И. Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа / В.И. Ерофеев, Н.В. Клюева, Н.П. Семерикова // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. № 4. С. 35-47.

97. Ерофеев, В.И. Солитоны деформации в стержне Миндлина-Германа / В.И. Ерофеев, Н.В. Клюева, Н.П. Семерикова // Прикладная механика и технологии машиностроения: сб. науч. трудов. Н.Новгород: Изд-во «Интелсервис» НФ ИМАШ РАН, 1998, С. 85-95.

98. Ерофеев, В.И. Об особенностях распространения нелинейных стационарных волн в стержне Миндлина-Германа / В.И. Ерофеев, Н.В. Клюева, Н.П. Семерикова // Труды 3-й научной конференции по радиофизике. Н.Новгород: ННГУ, 1999, С. 236-237.

99. Рыбак, С.А. Уединенная волна в тонком стержне постоянной кривизны / С.А. Рыбак, Ю.И. Скрынников // Акустич. журнал, 1990, Т. 36, № 4, С. 730-732.

100. Скрынников, Ю.И. Солитон со сглаженным профилем нелинейного уравнения Клейна-Гордона / Ю.И. Скрынников // Акустич. журнал, 1998, Т. 44, №5,-С. 712-714.

101. Мягков, H.H. О динамической локализации деформации в разупрочняющемся стержне / H.H. Мягков // Механ. композиц. матер, и констр., 199, Т. 5, № 3, С. 28-32.

102. Милосердова, И.В. Импульсные волны в одномерной системе с нелинейными границами / И.В. Милосердова, A.A. Новиков, А.И. Потапов // Волны и дифракция. Т.П. Москва, 1981, С. 118-121.

103. Милосердова, И.В. Нелинейные стоячие волны в стержнях конечной длины / И.В. Милосердова, А.И. Потапов // Акустич. журнал, 1983, Т. 29, Вып.4, С. 515-520.

104. Милосердова, И.В. Продольные колебания в стержне с нелинейно-упругим закреплением / И.В. Милосердова, А.И. Потапов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980, № 6, С. 178-183.

105. Милосердова, И.В. Релаксационные колебания в консервативных линейных системах с нелинейными граничными закреплениями / И.В. Милосердова, А.И. Потапов // Динамика систем, Горький: Изд-е Горьк. университета. 1987. -С. 172-182.

106. Кажаев, В.В. Волновые процессы в распределенных системах, взаимодействующих с сосредоточенными объектами. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1998, 138с.

107. Кажаев, В.В. Нестационарные волны в стержне с нелинейно упругим закреплением / В.В. Кажаев // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2001. Спецвыпуск: Математическое моделирование. С. 95-96.