Дисперсионные, диссипативные и нелинейные эффекты при распространении волн в стержне Миндлина-Германа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Линейно-упругие и вязкоупругие волны в стержне Миндлина

Германа.

1.1 Точная теория Похгаммера-Кри.

1.2 Приближенные теории (Бернулли, Рэлея-Лява, Бишопа, Миндли-на-Германа). з Сравнение дисперсионных характеристик и определение области применимости приближенных теорий.

1 4 Модель Миндлина-Германа для стержней из вязкоупругих материалов. Влияние внутреннего трения на дисперсию и затухание продольных волн в стержне.

Глава 2. Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа.

2.1 Модель Миндлина-Германа с учетом геометрической и физической нелинейностей среды.

2.2 Нелинейные стационарные волны: периодические волны и соли-тоны.

2.3 Трехчастотные резонансные взаимодействия продольных волн.

2.4 Солитоны деформации в стержнях, пластинах и оболочках обзор).

Глава 3. Распространение волн в стержнях из разномодульного материала.

3.1 Использование разномодульной теории упругости для описания материала с повреждениями.

3.2 Обобщение модели Миндлина-Германа на случай разномодульно-упругого материала. Влияние поврежденности на дисперсионные свойства.^

3.3 Модель крутильных колебаний стержня из поврежденного материала с учетом депланации.

Задачи распространения волн в стержнях в постановке математической теории упругости достаточно сложны и во многих случаях могут решены лишь приближенно. Чаще удобнее искать не приближенное решение задачи в строгой постановке теории упругости, а сразу сформулировать приближенную расчетную модель. Инженерные теории колебаний стержней широко используются при расчетах в машиностроении и прикладной механике, удачно сочетая в себе простоту и достаточно высокую степень точности. Современные жесткие условия эксплуатации машин и механизмов диктуют повышенные требования к точности расчетов. Использование точных теорий, базирующихся на теории упругости, в сложных конструкциях затруднительно или даже практически невозможно. Более приемлемым для инженерной практики представляется использование уточненных инженерных теорий, которые позволяют учесть нелинейные эффекты, эффекты по-врежденности материала, эффекты внутреннего трения.

Нелинейные эффекты могут найти применение при расчете мощных ультразвуковых и виброударных установок. Учет нелинейности также необходим в ряде задач акустодиагностики, например, для измерения напряжений ультразвуковым методом, а также в геофизике и медицине, поскольку эти методы открывают принципиально новые возможности для получения информации о свойствах среды. Все более широко в медицине используются ультразвуковое "силовое" воздействие большой мощности на среду (например, УЗ хирургия) [122-126].

Влияние внутреннего трения на дисперсионные характеристики упру -гих волн мало, но оно сравнимо с влиянием, оказываемым другими факторами, характеризующими внутреннее состояние материала (остаточные поля напряжений, разномодульность материала и др.). Таким образом является актуальным изучение волновых процессов в материалах с внутренним трением и поврежденностью как существенный этап решения задачи выделения из акустического сигнала информации о состоянии матери ала.

Поэтому актуальность темы диссертации определяется необходимостью уточнения и развития инженерных моделей колебаний стержней и исследования влияния нелинейных эффектов, а также эффектов внутреннего трения и разномодульности материала на волновые процессы в стержнях.

Практическая значимость диссертации определяется результатами, которые могут быть использованы для расчетов волновых процессов в инженерной практике, нахождении параметров нелинейных волн в ультразвуковом методе определения напряженно-деформированного состояния и степени поврежденности материала, а также в дефектоскопии.

Во Введении сформулированы основные поставленные цели, отмечена их актуальность, дан обзор предыдущих исследований по всем рассмотренным задачам, кратко изложено содержание работы.

В Первой главе проанализирована применимость различных технических теорий (Бернулли, Рэлея-Лява, Бишопа, Миндлина-Германа) для описания продольных волн в стержнях в различных частотных диапазонах. Проведено обобщение модели Миндлина-Германа с учетом внутреннего трения. Исследовано влияние внутреннего трения на основные характеристики волновых процессов.

Основные результаты работы:

1. Проанализирована применимость технических теорий Бернулли, Рэ-лея-Лява, Бишопа, Миндлина-Германа для описания продольных волн в стержнях в различных частотных диапазонах. Показано, что модель Миндлина-Германа дает наиболее близкое к точной теории описание волновых процессов. Модель Бишопа, после модификации, предложенной автором, лишь незначительно уступает модели Миндлина-Германа.

2. Получены уравнения, описывающие распространение продольных волн в стержне из вязкоупругого материала. Исследовано влияние внутреннего трения на основные характеристики волновых процессов в стержне.

3. Найдены точные решения нелинейных уравнений, обобщающих модель Миндлина-Германа на случай учета геометрической и физической нелиней-ностей среды а также уравнений, описывающих распространение нелинейных крутильных волн в стержне. Изучены особенности распространения нелинейных стационарных волн деформации (периодических и солитонов), получены зависимости между основными параметрами таких волн.

4. Рассмотрены трехчастотные резонансные взаимодействия продольных волн. Обнаружена распадная неустойчивость второй моды продольной волны. Указаны частотный диапазон, где распадная неустойчивость имеет место, а также характерные расстояния перекачки энергии из волны одной частоты в другую.

5. Выведена приближенная модель колебаний стержня из поврежденного материала. Проанализированы отличия дисперсионных свойств "поврежденного" стержня от дисперсионных свойств модели Миндлина-Германа. Показано, что теоретически при большом коэффициенте повреж-денности может наблюдаться явление "обратной волны'' у низшей моды на некоторых частотах. Указаны акусто-диагностические критерии поврежден-ности и показана высокая эффективность акустических методов контроля поврежденности.

Заключение.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. -М.: Мир,1987, 479 с.

2. Авиационная акустика / Под ред. Мунина А.Г. М.: Машиностроение, 1986, Т. 1,248 е., Т.2, 264 с.

3. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979, 296 с.

4. Багдоев А.Г., Мовсисян JI.A. Квазимонохроматические волны в нелинейно-упругих пластинах// Изв. АН СССР Механ. тверд, тела, 1981,№ 4.

5. Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. Некоторые вопросы распространения квазим о-нохроматических волн в пластинах и оболочках // Труды XXII Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1980.

6. Багдоев А.Г., Мовсисян Л.А. О нелинейных одномерных волнах в пластинах // Пробл. динамики взаимодействия деформир. сред. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1990, с. 50-52.

7. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука. 1982, 159с.

8. Березовский A.A., Жерновой Ю.В. Изгибные стационарные волны в стержнях при нелинейном законе упругости //Украинский матем. журнал. 1981. Т. 33. № 4. С. 493-498.

9. Березовский A.A., Жерновой Ю.В. Нелинейные продольно-поперечные стационарные волны в упругих стержнях // Сб. Матем. физика, № 30, Киев: Наукова думка, 1981, с. 41-48.

10. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука, 1991.

11. Буллаф Р.К., Кодри П.Дж. Солитоны.: Пер. с англ. М.: Мир, 1983,408 с.

12. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах -М.: Мир, 1981, 136 с.

13. Быченков В.А. Волновое сопротивление движению нагрузок вдоль одномерных упругих систем. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Горький: ГГУ,1988, 184с.

14. Вакуленко С.А., Молотков И.А., Островский Л.А., Сутин A.M. Нелинейные продольные волны в упругих стержнях // Волны и дифракция, VIII Всес. симп. по дифракции и распространению волн. Т. 99.- М., 1981, с.107-110.

15. Вибрации в технике. Справочник. М.: Машиностроение, 1978, Т.1.

16. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X, Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. М.: Мир, 1988, 694 с.

17. Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов A.M., Семенова И.В., Соку-ринская Е.В. Формирование и распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом твердом теле // ЖТФ, 1988, Т. 58, № 10, с. 20402047.

18. Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов A.M., Семенова И.В., Сокурин-ская Е.В. Об экспериментах по распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФД995, Т. 21, Вып.11, с. 42-46.

19. Дрейден Г.В., Порубов A.B., Самсонов A.M., Семенова И.В. Генерация и наблюдение солитона продольной деформации в пластине. // Письма в ЖТФ, 1996, Т. 22, Вып.21, с. 61-68.

20. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия//Успехи мат. наук, 1976, Т. 31, Вып. 1(187), с 55-136.

21. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд. Моск. ун-та, 199, 328 с.

22. Ерофеев В.И. Пространственные колебания гибкого стержня // Прикл. механика, 1991, Т. 27, № 9, с. 100-106.

23. Ерофеев В.И. Распространение нелинейных изгибных волн в стержнях с движущимися закреплениями // Прикл. задачи динамики систем / Сб. научн. трудов / Горьк. ун-т., 1983, вып. 6, с. 90-107.

24. Ерофеев В.И. Солитоны огибающих при распространении изгибных волн вне-линейно-упругом стержне //Акустический журнал, 1992, Т. 38, № 1, с.172-173.

25. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Потапов А.И. Параметрическая трансформация продольных волн в изгибные в тонких стержнях // Волны и дифракция. М.: ИРЭ АН СССР, 1981, Т.2, с. 82-85.

26. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Квазигармонические изгибные волны в нелинейно-упругой балке Тимошенко // Испытания материалов и конструкций / Сб. научн. трудов. Н.Новгород, Изд-во «Интелсервис», 1996, с. 180-187.

27. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Нелинейные стационарные изгибные волны в балке Тимошенко // Прикладная механика и технологии машиностроения / Сб. научн. трудов. Н.Новгород, Изд-во «Интелсервис», 1997, вып.З, с. 56-66.

28. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. № 4. с. 35-47.

29. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Солитоны деформации в стержне Миндлина-Германа // Прикладная механика и технологии машиностроения. / Сб. науч. трудов. Н.Новгород: Изд-во «Интелсервис» НФ ИМАШ РАН, 1998, с. 85-95.

30. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Трехчастотные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в стержне // Динамика систем. Горький: ГГУ, 1985, с. 75-84.

31. Ерофеев В.И., Потапов А.И., Солдатов И.Н. Нелинейные волны в упругих телах с пространственной дисперсией. Монография./ Горьковский ун-т. Деп. в ВИНИТИ 25.07.86, № 5440 -В 86, 224с.

32. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные модели продольных колебаний стержней // Гидроаэромеханика и теория упругости / Всес. межвуз. сб. Днепропетровск : ДГУ. 1984, вып. 32, с.78-82.

33. Захаров В.Е. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов // ЖЭТФ, 1973, Т. 65, № 1(7), с. 219-225.

34. Захаров В.Е., Манаков C.B. К теории резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах // ЖЭТФ, 1975, Т.69, Вып.5, с.1654-1673.

35. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория со-литонов: Метод обратной задачи.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литер., 1980, 320 с.

36. Захаров В.Е., Михайлов A.B. Релятивистки-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи

37. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния II// Функц. анализ, 1979, Т.13, Вып.З, с.13-22.

38. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния I // Функц. анализ, 1974, Т.8, Вып.З, с.43-53.

39. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн // ЖЭТФ, 1971, Т.61, Вып. 1(7), с. 118134.

40. Землянухин А.И., Могилевич Л.И, Нелинейные волны в цилиндрических оболочках. Саратов, 1999,130 с.

41. Кажаев В.В. Волновые процессы в распределенных системах, взаимодействующих с сосредоточенными объектами. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1998, 138с.

42. Кажаев В.В., Потапов А.И., Семерикова Н.П. Локализованные стационарные волны и их свойства в тонком растянутом стержне // Волновые задачи механики / Сб науч. трудов. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН,1991,с.123-129.

43. Кажаев В.В., Потапов А.И., Семерикова Н.П. Расщепление частицепо-добных волн при встречных столкновениях // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1995, Т. 38, № 1-2, с. 100-105.

44. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солито-ны.: Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

45. Карпман В.И. Система солитонов под действием возмущения. Осцилля-торные ударные волны // ЖЭТФ, 1979, Т. 77, Вып. 1(7), с. 114-123.

46. Карпман В.И., Маслов Е.М. Структура хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны // ЖЭТФ, 1978, Т. 75, Вып.2(8), с. 504-517.

47. Каудерер Г. Нелинейная механика. -М.: Наука. 1961. 777с.

48. Кившарь Ю.С., Сыркин Е.С. Сдвиговые солитоны в упругой пластине // Акустич. журнал, 1991, Т.37, Вып.1, с. 104-109.

49. Ковригин Д.А. Нелинейная динамика тонкостенных циллиндрических оболочек. Свободные колебания // Препр. Гф. ИМАШ АН СССР, Горький, 1990, 24с.

50. Ковригин Д.А. Нелинейные резонансные взаимодействия волн в упругих элементах конструкций. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1992, 140с.

51. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в кольце // Докл. АН СССР, 1989, Т. 305, № 4, с. 803-807.

52. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов: Пер. с англ.-М.: Мир,1983,294 с.

53. Лэмб Дж. Элементы теории солитонов: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

54. Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик, Фам ши Винь. Уединенные волны в упругопластической среде с предварительным напряжением // Докл. АН БССР, 1991, Т. 35, №4.

55. Мартынов A.B. Качественный анализ продольных вибрационных колебаний в тонкой пластине // Избр. вопр. алгебры, геометрии и дискр. математики / МГУ. мех.- мат. фак. М., 1992.

56. Марченко В.А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. Киев: Наук. Думка, 1986. 156с.

57. Метрикин A.B. Стационарные волны в нелинейно-упругой системе, взаимодействующей с движущейся нагрузкой // Акустич. журнал, 1994, Т. 40, № 4, с. 647-650.

58. Милосердова И.В. Об одной возможности акустического измерения у п-ругих констант четвертого порядка // Горьк. ун-т./ Горький, 1983,-8с.-Деп. в ВИНИТИ 28.03.83, № 1796.

59. Милосердова И.В., Новиков A.A., Потапов А.И. Импульсные волны в одномерной системе с нелинейными границами // Волны и дифракция. Т.Н. Москва, 1981, с. 118-121.

60. Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержнях конечной длины // Акустич. журнал, 1983, Т. 29, Вып.4, с. 515-520.

61. Милосердова И.В., Потапов А.И. Продольные колебания в стержне с нелинейно-упругим закреплением // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980, № 6, с. 178-183.

62. Милосердова И.В., Потапов А.И. Релаксационные колебания в консервативных линейных системах с нелинейными граничными закреплениями // Динамика систем, Горький: Изд-е Горьк. университета. 1987. С. 172-182.

63. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях // Интерференционные волны в слоистых средах. 1. Зап. науч. семин. ЛОМИ, Т. 99.- Л.: Наука,1980, с. 64-73.

64. Мягков H.H. О динамической локализации деформации в разупроч-няющемся стержне // Механ. композиц. матер, и констр., 1995, Т. 5, № 3, с.28-32.

65. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990.

66. Никифоров A.C., Будрин С.В. Распространение и поглощение звуковой вибрации на судах. Л.: Судостроение, 1968, 216 с.

67. Николаевский В.Н. Гидромеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996.

68. Новиков A.A. О применении метода связанных волн к анализу нерезонансных взаимодействий // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1976, Т. 19, № 2, с. 321-323.

69. Островский Л.А., Пелиновский E.H. О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и дисперсией // ПММ, 1974, Т. 38, Вып. 1, с. 121-124.

70. Островский Л.А., Сутин A.M. Нелинейные упругие волны в стержнях // Препр. / НИРФИ, 1975, № 71.

71. Островский Л.А., Сутин A.M. Нелинейные упругие волны в стержнях // ПММ, 1977, Т. 41, Вып. 3, с. 531-537.

72. Порубов A.B., Самсонов A.M. Уточнение модели распространения продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФ, Т. 19, Вып. 12, с. 26-29.

73. Потапов А.И., Семерикова Н.П. Нелинейные продольные волны в стержнях с учетом взаимодействия полей деформации и температуры // ПМТФ, 1988, № 1, с. 57-61.

74. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиоптическое приближение для пучка сдвиговых волн в нелинейной наследственной среде // ПМТФ, 1986, №1, с. 144-147

75. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиплоский пучок нелинейных продольных волн в пластине.// Акустический журнал. 1984. Т.30. В.6. с. 819-822.

76. Рыбак С.А., Скрынников Ю.И. Уединенная волна в тонком стержне постоянной кривизны // Акустич. журнал, 1990, Т. 36, № 4, с. 730-732.

77. Самсонов A.M. О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне // ДАН СССР, 1988, Т. 299, с. 1083-1086.

78. Самсонов A.M. Солитоны в нелинейно-упругих стержнях с переменными свойствами // Пробл. нелинейн. и турбулент. процессов в физ. Труды II Междунар. раб. группы, 1983, ч.1.- Киев: Наук, думка, 1985, с. 219221.

79. Самсонов A.M. Существование и усиление уединенных волн в нелинейно-упругих волноводах. // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1988, № 1259, с. 1-26.

80. Самсонов A.M. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения. // ДАН СССР, 1984, Т.277, № 2, с. 332-335.

81. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. Нелинейные волны деформации в упругих волноводах, взаимодействующих с внешней средой // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1988, № 1293, с. 1-32.

82. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. О возможности возбуждения солитона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне // ЖТФ, 1988, Т. 58, Вып. 8, с. 1632-1634.

83. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. Солитоны продольного смещения в неоднородном нелинейно-упругом стержне. // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1985, № 983, с.1-44.

84. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. Солитоны продольной деформации в нелинейно-упругих стержнях // Теория распространения волн в упругих и упругопластических средах. Новосибирск: ИГД СО АН СССР, 1987, с.28-32.

85. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне // ПММ, 1987, Т. 51, Вып. 3, с. 483-488.

86. Скрынников Ю.И. Солитон со сглаженным профилем нелинейного уравнения Клейна-Гордона // Акустич. журнал, 1998, Т. 44, № 5, с. 712-714.

87. Сокуринская Е.В. Некоторые точные решения задачи о нелинейных у п-ругих волнах в пластине. // Письма в ЖТФ, 1994, Т.20, Вып.З, с. 36-41.

88. Солитоны в действии /Под ред. К. Лонгрена и Э.Скотта : Пер. с англ. -М.: Мир, 1981,312 с.

89. Тахтаджян Л. А. Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука. 1986. 528с.

90. Топчян Д.Х. Волны модуляций в пластинах на упругом основании // Пробл. динамики взаимодействия деформир. сред. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1987, с. 270-274.

91. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977, 622 с.

92. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. A.M. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 944 с.

93. Човнюк Ю.В. Нелинейные волнообразования нестационарных процессов в деформируемых средах и телах. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Киев. КИСИ. 1998, 155с.

94. Шенявский Л.А. Влияние геометрической нелинейности на волны, распространяющиеся в свободной тонкой пластине // ПММ, 1979, Вып.6, Т.43, с. 1089-1094.

95. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М.: Наука, 1981,256 с.

96. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur Н. Nonlinear evolution equation of physical significance // Phys. Rev. Lett, V.31, pp. 125-127.

97. Abramian A.K., Indejtsev D.A., Vakulenko S.A. Wave localization in hy-droelastic systems // Flow, Turbulence and Combustion. 1999. № 61. pp 120.

98. Bejda J. Propagation of nonlinear dispersive and dissipative waves // Arch, mech. stosow., 1977, V. 29, № 3, pp. 477-490.

99. Clarcson P.A., LeVeque R.J., Saxton R. Solitary wave interaction in elastic rods // Stud. Appl. Math., 1986, V. 75, № 2, pp. 95-122.

100. Erofeyev V.I., Semerikova N.P. Nonlinear modulated waves in the Ti-moshenko beam // Wave mechanical systems / Prog, intern, seminar. Kaunas: Technologija. 1996, pp. 12-15.

101. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967,19, pp. 1095-1097.

102. Каир D.J., Newell A.C. Solitons as particles, oscillators and in slowly changing media: a singular perturbation theory // Prog. Roy. Soc. London A, 1978, 361, pp.413-446.

103. Kodama J., Ablowitz M. Perturbation of solitons and solitary waves // Stud. Appl. Math., 1981, V.64, pp.225-245.

104. Kovriguine D.A., Potapov A.I. Nonlinear waves in elastic bar // Eur. J. Mech. A. / Solids, 1996. V. 15, pp. 1049-1075.

105. Nakamura A. Soliton formation process calculated for longitudinal sound waves in solid bar // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международного симпозиума по нелинейной акустике. 4.1. Новосибирск. 1987. с. 378- 382.

106. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods // J. of Math and Phys. Sciences. 1970, v.4, pp.64-73.

107. Nariboli G.A., Sedov A. Burgers's-Korteweg-de Vries equation for viscoelas-tic rods and plates // J. Math. Anal. And Appl.,1970, v.32, № 3, pp.661-667.

108. Planat M., Hoummady M. Observation of soliton-like envelope modulation generated in an anisotropic quartz plate by metallic in interdigital transducers //Appl. Phys. Lett, 1989, V.55, № 2, p. 103.

109. Porubov I.V., Samsonov A.M., Velarde M.G., Bukhanovsky A.V. Strain solitary waves in an elastic rod embedded in another elastic external medium with sliding // Phys.Rev. E, 1998, V.58, i3, pp.3854-3864.

110. Potapov A.I., Vesnitsky A.I. Interaction of solitary waves under head-on collections/Experimental investigation // Wave Motion, 1994, V. 19, pp. 29-35.

111. Rudnick I., Wu J., Wheatley J., Putterman S. Flexural waves envelope solitons in a metallic cylindrical thin shell. // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международ, сими, по нелин. акустике. 4.2.-Новосибирск, 1987, с. 208-212.

112. Samsonov A.M. // Proc. of the Intern, conf. On Plasma Physics, V.4.- Kiev: Naukova dumka, 1987, pp. 88-90.

113. Samsonov A.M. Soliton in nonlinear elastic rods with variable characteristics // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. V.2 / ed. R.Z. Sagdeev.-N.Y.: Gordon and Beach, 1984, p. 1029-1035.

114. Samsonov A.M., Dreiden G.V., Porubov I.V., Semenova I.V. Longitudinal strain soliton focusing in a narrowing nonlinearly elastic rod // Phys.Rev. B, 1998, V.57, № 10, pp.5778-5787.

115. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1984, V. 76, № 3, pp. 871-879.

116. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S., Scovgaard O. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1987, V. 81, № 6, pp. 1718-1722.

117. Taniuti Т., Wei C.C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation I // J. Phys. Soc. Jpn., 1968, V. 24, pp. 941-946.

118. Zakharov V.E., Kuznetsov E.A., Rubenchik A.M. Soliton stability // Prepr./ Inst. Automaton & Electrometry SB AN USSR.- 1983. № 199. pp. 1-62.

119. Руденко O.B. Нелинейные методы в акустической диагностике // Дефектоскопия, 1993, № 8, с. 24-32. (Rudenko О. V. Nonlinear methods in acoustic diagnostics // Russiun Journal of Nondestructive Testing, 1993, V. 29, No 8, pp. 583-589.)

120. Робсман В.А. Нелинейная трансформация шумовых спектров при акустической диагностике бетонных конструкций // Акустический журнал, 1991, Т. 37, №5, с. 1038-1040.

121. Sarvazyan А.Р., Rudenko О. V., Swanson S.D., Fowlkes J.B., Emelianov S. Yu. Sher Wave Elasticity Imaging: a New Ultrasonic Technology of Medical

122. Diagnostics // Ultrasound in Medicine and Biology, 1998, V. 24, No 9, pp. 1419-1435.

123. Сутин A.M., Назаров B.E. Нелинейные акустические методы диагностики трещин // Известия ВУЗов, Радиофизика, 1995, Т. 38, № 3-4, с. 169187.

124. Руденко О.В. Об использовании нелинейных акустических явлений в медицине // Акустика неоднородных сред. Ежегодник российского аку -стического общества. Труды научной школы проф. С.А. Рыбака. М., 2000, с. 22-42.

125. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, "Наукова думка", 1981, 283с.

126. Новацкий В. Теория упругости М.: Мир, 1975, 872с.

127. Эйбрамсон Х.Н., Пласс Х.Дж., Риппергер Э.А. Распространение волн напряжения в стержнях и балках // Проблемы механики. 1961, вып.З, с. 22-90.

128. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979, 296с.

129. Pochhammer L. Uber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten Schwingungen in einem unbergrawzten isotropen Kreiscylinder.-J. reine und andew. Math.,1876, 81, № 4, s. 324-336.

130. Chee C. Longitudinal vibrations of a circular bar.- Quart. J. Pure and Appl. Math., 1886, 21, № 83/84, pp. 287-298.

131. Mindlin R.D., Hermann G. A One-Dimensional Theory of Compessional Waves in an Elastic Rod // Proceedings of the First U.S. National Congress of Applied Mechanics, Chicago,III.,1951.

132. Кочнева Л.Ф. Внутренне трение в твердых телах при колебаниях. М.: Наука, 1979, 96с.

133. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике . М.: Наука, 1966, 170с.

134. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978, 304с.

135. Ишлинский А.Ю. Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации // ПММ, 1940, т. 4, вып.1.

136. Сорокин Е.С. Метод учета неупругого сопротивления материала при расчете конструкций на колебания.- В кн.: Исследования по динамике сооружений. М.: Госстройиздат, 1951.

137. Wegel R.I., Walter Н. // Physics, 1935, v.6, р. 141.

138. Ультразвук. Маленькая энциклопедия.-М.: Сов. энциклопедия, 1979, с. 258.

139. Рэлей JI. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955.

140. Семерикова Н.П. Стационарные продольные волны в нелинейно-упругом стержне // Вол- новые задачи механики / Сб. научн. трудов. Н. Новгород: Нф ИМАШ РАН. 1994, с. 121-144.

141. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М., Гостехиздат, 1948, 292с.

142. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975, 288 с.

143. Основы теории колебаний / под ред. Мигулина В.В. М.: Наука, 1978, 392с.

144. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1990, 432с.

145. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982, 317с.

146. Джонс P.M., Нельсон Д.А. Сопоставление теории с экспериментом для моделей материала при нелинейной деформации графита // Ракетная техника и космонавтика, 1976. Т. 14. № 10. с. 62-73.

147. Ляховский В.А., Мясников В.П. Разномодульность, анизотропия и отражающие границы// Изв. АН СССР. Физика земли. 1986. № 1 I.e. 69-73.

148. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела. // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1978. № 6. с. 29-34.

149. Ляховский В.А., Мясников В.П. О поведении упругой среды с микронарушениями. // Изв. АН СССР. Физика земли. 1984. № 10. с. 71-75.

150. Клюева Н.В. Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа // XXV Гагаринские чтения / тезисы доклада Международной научной молодежной конференции. М.: Изд-во «Латмэс». 1999. т.2, с.911.

151. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П О распространении нелинейных стационарных волн в стержне Миндлина-Германа. // Трудытретьей конференции по радиофизике. Н. Новгород. ННГУ. 1999. с. 236237.

152. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Стержень Миндлина-Германа: нелинейная математическая модель и анализ волновых процессов // Тез. докл. на V Международной конф. «Нелинейные колебания механических систем», Н.Новгород, 1999, с. 99-100.

153. Ерофеев В.И., Клюева Н.В. Вязкоупругие волны в стержне Миндлина-Германа // Испытания материалов и конструкций / Сб. науч. трудов. Н.Новгород: Изд-во «Интелсервис» НФ ИМАШ РАН, 2000, с. 137-142.

154. Клюева Н.В. Инженерная модель продольных колебаний стержня из разномодульного упругого материала // XXVI Гагаринские чтения / тезисы доклада Международной научной молодежной конференции. М.: Изд-во «Латмэс». 2000. т.2, с. 927.

155. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Солитоны деформации в стержнях, пластинах и оболочках. Обзор // Акустика неоднородных сред. Ежегодник российского акустического общества. Труды научной школы проф. С.А. Рыбака. М., 2000, с. 65-88.

156. Клюева Н.В., Моничев С.А. О влиянии разномодульности материала на распространение крутильных волн в стержне // Матер, н.-тех. конф. "Испытания материалов и конструкций", Н.Новгород: Изд-во «Интелсервис», 2000, с. 55.