Определение энергетических характеристик нелинейно-упругих волн с целью диагностики материалов и элементов конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ДЕНИСОВА Татьяна Сергеевна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ВОЛН С ЦЕЛЬЮ ДИАГНОСТИКИ МАТЕРИАЛОВ И ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 0 м г 1Г--ї

Нижний Новгород - 2012

-

Работа выполнена в Нижегородском филиале Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ерофеев Владимир Иванович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Волков Иван Андреевич кандидат технических наук, доцент Хлыбов Александр Анатольевич

Ведущая организация: AHO «Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (г. Нижний Новгород).

Защита состоится 23 мая 2012 г. в 16-00 на заседании диссертационного совета Д 212.165.08 в Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева по адресу: 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24, ауд. 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Ваш отзыв на автореферат, заверенный печатью организации, просим направлять по адресу: 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24, НГТУ, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.165.08.

Автореферат разослан « У?2012г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук Е.М. Грамузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Такие свойства упругих волн, как способность распространяться с конечной скоростью, переносить энергию без переноса вещества, давно и эффективно используются в неразрушающем контроле материалов и конструкций. Многие методы определения напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов (например, метод акустоупругости) основаны на измерении скорости волнового пакета -групповой скорости. Для линейных волн групповую скорость справедливо отождествляют со скоростью переноса энергии. Соотношения, связывающие групповую скорость и скорость переноса энергии для нелинейных систем, на сегодняшний день, практически не исследованы, и это представляется актуальной задачей.

В ряде монографий и обзоров (см., например, Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.) отмечается, что количество переносимой волнами энергии является, наряду с амплитудой и фазой, важной характеристикой волнового поля. При этом подчеркивается, что энергетический анализ не сводится к амплитудному, а требует разработки специального подхода.

При изучении распространения волн в таких широко распространенных машиностроительных конструкциях, как среды с препятствиями, решетки и твердые волноводы, следует уделять особое внимание, как дисперсионным характеристикам, так и анализу потоков колебательной энергии. В задачах отражения наиболее важным является вопрос о потоках энергии в падающих и отраженных волнах. Отражение волн от препятствий или неоднородностей лежит в основе теории виброизоляции конструкций.

Дж. Гордоном предложен, а В.П. Малковым развит подход, рассматривающий механические системы и их элементы соответственно как глобальные и локальные резервуары энергии. Этими авторами вводятся понятия глобальных и локальных относительных энергетических критериев; выполняется энергетический анализ типовых экспериментальных диаграмм деформирования стандартных образцов материалов. Во многих публикациях отмечается перспективность такого энергетического подхода для расчета динамической прочности элементов конструкций.

Основные результаты диссертации были получены в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008-2012 г.г.» в ходе выполнения работ по темам:

по темам:

— «Разработка методов повышения ресурса и надежности сложных технических систем путем применения наноструктурных материалов и

\

градиентных защитных покрытий, диагностики на ранних стадиях повреждения и мониторинга состояния материалов и конструкций в процессе эксплуатации» (№ Гос.рег. 01200957043; научный руководитель: академик РАН Митенков Ф.М.);

- «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты» (№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.)

и при поддержке:

- Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России »(2009 - 2013 г.г.);

- Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейные упругие волны в структурированных и поврежденных материалах и элементах конструкций. Теория. Эксперимент. Приложения в технической диагностике» (РФФИ № 09-08-00827; руководитель: профессор Ерофеев В.И.).

Цель работы состоит в определении для нелинейно-упругих волн дисперсионных и энергетических характеристик, необходимых при разработке методик неразрушающего контроля материалов и элементов конструкций.

Научная новизна работы заключается в определении:

- величины отношения скорости переноса энергии одномерных нелинейных упругих волн к групповой скорости;

- зависимостей, связывающих среднюю плотность потока энергии и среднюю плотность изгибных волн, распространяющихся в балке, с модулем Юнга, с площадью и формой поперечного сечения балки.

Практическая значимость. Упругие волны представляют собой высокоэффективный инструмент исследования напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов. Дисперсионные и энергетические характеристики изгибных волн могут найти применение при расчете на прочность, устойчивость и определение виброактивности стержневых систем различного назначения, подверженных динамическому воздействию, в частности, несущих движущуюся нагрузку. Соотношения, связывающие групповую скорость и скорость переноса

энергии для нелинейных систем, могут найти применение в технической диагностике. Знание истинной скорости переноса энергии упругими волнами весьма важно, поскольку многие методы диагностики материалов и конструкций (например, метод акустоупругости) основаны на измерении скорости волнового пакета.

Результаты диссертационной работы использовались в ООО «Научно-исследовательская лаборатория испытания материалов» при разработке методики ультразвукового контроля высоконагруженных элементов машиностроительных конструкций (Имеется акт внедрения).

Методы исследования. При проведении исследований использованы аналитические методы механики деформируемого твердого тела, теории колебаний и волн.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики деформируемого твердого тела, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

- Результаты исследования дисперсионных и энергетических характеристик поперечных волн, распространяющихся в струне, лежащей на нелинейно-упругом основании и нелинейно-упругой балке.

- Результаты исследования дисперсионных и энергетических характеристик нелинейных сдвиговых волн, распространяющихся в градиентно-упругих материалах.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались: на Второй Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород, 28-31 октября 2007 года); на ХП1 Нижегородской сессии молодых ученых (Технические науки) (Нижний Новгород - Татинец, 17-21 февраля 2008 года). В полном объеме диссертация обсуждалась на семинарах отдела волновой динамики и виброзащиты машин НФ ИМАШ РАН (2010, 2011 г.г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, 3 из которых [1- 3] - статьи в рецензируемых научных журналах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем составляет 110 страниц, включая 15 рисунков, 2 таблицы, 15 страниц библиографии, содержащей 134 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, сформулирована ее цель, основные положения, выносимые на защиту, определены научная новизна и практическая значимость диссертации.

В первой главе рассмотрены особенности распространения поперечных волн в струне на линейно - и нелинейно-упругом основаниях. Выведено уравнение переноса энергии. Исследовано изменение скорости переноса энергии изгибных волн, распространяющихся в линейной и нелинейной балке модели Бернулли-Эйлера.

Уравнение поперечных колебаний струны, лежащей на упругом Э2и Э2и

основании: р—— - N —^ + 1ш = о, где и — смещение точки в пространстве, р -Эг2 дх2

линейная плотность, И - коэффициент, характеризующий жесткость основания, М - натяжение.

Частота со и волновое число к связаны соотношением со = ,\с2к2 л-ы2

V Ч>,

где с-^Ы/р - скорость распространения возмущений, а через со = фг/р

кр

обозначена критическая частота, при превышении которой колебания струны носят волновой характер.

Поперечные волны в струне, лежащей на упругом основании, обладают нормальной дисперсией. Найдены фазовая скорость, групповая скорость. Величина с = тЩТр представляет собой максимально возможное значение скорости поперечных волн и достигается при бесконечном увеличении частоты.

Выведено уравнение переноса энергии. В общем виде оно выгладит Э V/ Э5

так: ^ + Эх ~ " УРавнение Умова-Пойнтинга, где № - плотность

энергии, 5 - плотность потока энергии. Величина отношения плотности потока волновой энергии к плотности энергии определяет величину скорости переноса энергии 5 = и^У?, где и^ - скорость переноса энергии. Найдены

средние величины: ) и (IV ). Скорость переноса энергии для данной

системы равна отношению этих средних: V = =-^сок-

34 ра> + № + И

Доказано, что иэн=Х)гр- Можно утверждать, что в линейных задачах

энергия переносится со скоростью движения волнового пакета — групповой скоростью волн.

Уравнение поперечных колебаний струны, лежащей на нелинейно-упругом основании отличается от линейного тем, что в нем имеется

несколько коэффициентов, характеризующих жесткость основания: /а,«"М,х*+Л1" + 2'12"3=0- Нелинейное дисперсионное уравнение выглядит

так: -рю2 + м2 +1г1 +4Л2|а|2 =0. В нелинейной задаче частота со зависит не

только от волнового числа к, но и от амплитуды колебаний А. Колебания струны будут иметь волновой характер при условии, когда частота

колебаний превышает критическое значение ы^ +41г2\А\2Р ■ Групповая скорость при поперечных колебаниях струны будет равна

v

т Лм2 + й+4Л \А\2

" =-/=--^-Скорость переноса энергии определяем как

гр <Р М2 + А1 + 4Й2|Л|2

отношение средних плотности и потока энергии:

(5) М ^2+*,+4й2|л[2

ЭН М ^'^2+Л1+7Л2И2/2'

Таким образом, скорость переноса энергии не равна групповой скорости. Для исследования энергетических характеристик поперечных колебаний струны, лежащей на нелинейно-упругом основании сравним

"гр Л2И2

групповую и скорость переноса энергии волн. —— = 1----< 1.

иэн 2ра)г

Скорость переноса энергии больше групповой скорости. При увеличении частоты отношение увеличивается, его предельное значение при ю—► со и фиксированной амплитуде равно единице, т.е. при большой частоте скорости близки и стремятся к значению V = и =лрТ7р- При уменьшении

частоты отношение скоростей уменьшается. При <о-ма (при меньших

частотах колебания не будут иметь волнового характера) отношение

% Ф\2

скоростей стремится к наименьшему значению ---

иэн 2Л,+8А2|Л|2

Проанализировав данное отношение, ввдим, что при увеличении амплитуды колебаний это выражение стремится к числу 7/8, которое характеризует максимальную разницу между скоростями. При малой амплитуде колебаний отношение скоростей близко к единице. Можно заметить, что в нелинейной системе присутствует нормальная дисперсия т.е. групповая скорость

волны меньше, чем ее фазовая скорость.

Уравнение изгибных колебаний балки (модель Бернулли-Эйлера) д2и д4и

имеет вид: pF—-+EJ—-г = 0, где и - поперечное перемещение частиц Э Г дх

срединной линии балки, ] - осевой момент инерции прямоугольного поперечного сечения, р - плотность, F - площадь поперечного сечения, Е -модуль Юнга.

Получено дисперсионное уравнение со2 -ЕЛсА/рГ = 0, найдены фазовая и групповая скорости. Изгибные волны распространяются вдоль балки с дисперсией. Форма любого негармонического возмущения будет искажаться по мере его распространения. Дисперсия системы имеет аномальный характер. Групповая скорость волны при любой частоте будет в два раза превышать фазовую.

Выведено уравнение переноса энергии изгибных волн. Найдена

скорость переноса энергии для данной системы и = 4-х = —^Е^сок-

эн И рРе>2 + Е1к4 Получено, что в линейном случае скорость переноса энергии и групповая скорость волн равны и^ = и^.

Рассмотрим другую систему - нелинейную балку бесконечной длинны. Уравнение динамики геометрически нелинейной балки имеет вид:

о

+^ихххх =аих"хх' где а ~ К0ЭФФиЦиент нелинейности. Геометрическая

нелинейность - это нелинейность между перемещениями и деформациями. Дисперсионное уравнение для этой системы выглядит следующим образом:

-рро)2 + Е1к4 =-2а*:4|А|2. Для данной системы частота со зависит как и от

волнового числа к, так и от амплитуды колебаний А. Групповая скорость при

данных колебаниях будет равна у = — = 2^1 + . В этой системе

гр ак у рр

имеет место аномальная дисперсия. Найдена скорость переноса энергии:

(5) 6я|лр +4£7 _ V = у—V- = и —-—. Скорость переноса энергии не равна групповой

(\У) Тдяу + у^др

V |д|2

скорости. Сравним скорости, найдем их отношение. —= 1 + ——_ > 1.

иэн 4£7 + 6а|л|

Анализ показал, что скорость переноса энергии меньше групповой скорости, причем их отношение зависит от амплитуды колебаний и не зависит от волнового числа и частоты. Проанализируем пределы отношения. Предельное значение отношения при амплитуде колебаний, стремящейся к нулю, близко к единице, значит волны будут линейными. При бесконечном увеличении амплитуды отношение стремится к максимальному значению, равному 7/6, т.е. скорость переноса энергии составляет 0.86 от групповой скорости.

Во второй главе изучены некоторые свойства средней плотности энергии и плотности потока энергии линейных изгибных волн, распространяющихся в балке модели Бернулли-Эйлера в зависимости от изменения различных параметров уравнения переноса энергии.

В предыдущей главе были получены выражения средней плотности и потока энергии линейных изгибных волн, распространяющихся в балке Бернулли-Эйлера.

" '

(1)

(\У) = 2ЕЛ4\А\\

(2)

где ] - осевой момент инерции поперечного сечения, Р - плотность, -площадь поперечного сечения, Е - модуль Юнга, к - волновое число, А -амплитуда колебаний.

Анализ выражений (1) и (2) показал следующее поведение средней плотности и потока энергии изгибных волн.

Чем больше длина волны X, тем поток и плотность энергии будут меньше.

Рассмотрена зависимость плотности энергии (2) и плотности потока энергии (1) от формы поперечного сечения балки одинаковой площади. Выберем круглое, прямоугольное и треугольное сечение (рис. 1).

Ь с

Рис. 1. Формы поперечного сечения балки

Площади фигур соответственно равны: 5

кр

.V =аЬ - площадь прямоугольника, ,$■ —кс/2

пр тр

-Яг2 - площадь круга, площадь треугольника.

Осевые моменты инерции фигур равны: J ———, ]

кр ^ пр

лг4 , Ьаъ г сИ3

, У =-12 тр 12

Проведен сравнительный анализ. Получены следующие результаты. При прочих равных условиях для поперечных сечений балки одинаковой площади, но разной формы справедливы следующие неравенства

■Кр < ^тр < 3кр , < Бтр < , здесь 5 - средняя плотность потока энергии, < \У „1р < , здесь - средняя плотность энергии.

Итак, осевой момент инерции, поток и плотность энергии для круглого сечения балки больше, чем для треугольного и прямоугольного.

Одним из параметров определяющих упругость материала является модуль Юнга. Рассмотрено несколько материалов. Составлена таблица материалов по возрастанию модуля Юнга материала (табл. 1).

Таблица1

Значения характеристик материалов _

Материал Модуль Юнга, Е, ГПа Плотность, р*103,кг/м3 сИЪПО12 <5> ~ (Ем/рт) *1012

Стекло органическое 3.00 1.19 3.00 4.78

Оргстекло 4.13 1.18 4.13 7.73

Текстолит 10.00 1.35 10.00 27.73

Стекловолокнит 22.00 1.80 22.00 79.14

Стеклопластик 35.00 1.70 35.00 161.20

Алюминий 70.61 2.69 70.61 361.83

Золото 80.50 19.32 80.50 156.73

Агат 98.00 2.65 98.00 613.58

Железо 200.00 7.87 200.00 970.41

Сталь 206.33 7.80 206.33 1061.16

Графическое представление зависимости средней плотности энергии <\У> от модуля упругости материала Е изображено на рисунке 2.

3.00 4,13 10.00 22,00 35,00 70.61 80,50 98,00 200.00206.33 Модуль Юнга, 10"9

Рис. 2. Зависимость плотности энергии от модуля упругости материала

Итак, получено, что с увеличением модуля упругости материала плотность энергии так же увеличивается. При прочих равных условиях, чем больше площадь поперечного сечения, тем плотность потока энергии меньше.

По значениям табл. 1 составлен график зависимости средней плотности потока энергии <&> от модуля упругости материала Е (рис. 3).

Iі 1200.00

§• 800.00

й 600.00

—•—Модуль Юта

В 200.00

(§ 0,00

3.00 <1,13 10.00 22.00 35.00 70,61 80,50 98,00 200.00206.33 Модуль Юнга, 10 '9

Рис. 3. Зависимость плотности потока энергии от модуля упругости

материала

Видно, что плотность потока энергии увеличивается с ростом модуля Юнга материала, исключение составляет золото.

Третья глава посвящена анализу соотношений, связывающих групповую скорость и скорость переноса энергии сдвиговой волны, распространяющейся в нелинейном градиентно-упругом материале.

В первом параграфе главы приводится обзор экспериментальных исследований дисперсии упругих волн в конструкционных материалах. Показано, что в ультразвуковом диапазоне у одних материалов (металлы и их сплавы) наблюдается уменьшение фазовых скоростей упругих волн с ростом частоты (отрицательная дисперсия). Для других материалов (некоторые зернистые и армированные композиты) наблюдается увеличение фазовых скоростей упругих волн с ростом частоты (положительная дисперсия).

Плоские сдвиговые волны, распространяющиеся в градиентно-упругой среде в направлении оси х,, описываются уравнением

Здесь и, х, / - безразмерные перемещение, координата и время, Д,, а0 -малые параметры, характеризующие дисперсию и нелинейность среды, соответственно.

(3)

На основе проведенного анализа экспериментальных данных доказано, что модель градиентно-уцругой среды позволяет описывать как отрицательную, так и положительную дисперсии.

Выявлено, что входящая в предложенную модель дополнительная константа хорошо скоррелирована со средним диаметром зерна в материале.

Показано, что наблюдается уменьшение скорости звука в материалах (алюминиевый сплав Д 16, бронза БРОФ) с увеличением среднего диаметра зерна.

Проанализируем, как соотносятся между собой скорость переноса энергии и групповая скорость сдвиговой волны. Для этого зададим их отношение:

^ |а0*К • Ь*2И2_

1 + 1 + 2/30к2 + а0к2\А\2 + (1 + Д*г + 2ог0/с2|д|2 ¡¡I + 20ок2 + а0кг\А^) (4)

Известно, что для большинства твердых тел параметр нелинейности отрицателен, следовательно, отношение' скоростей будет зависеть от величины и знака параметра дисперсии (Д,).

К материалам с отрицательным параметром дисперсии относится большинство металлов и их сплавов, к материалам с положительным параметром дисперсии - многие армированные композиты.

Для обоих случаев зависимости (4) имеют гиперболический характер. Отношение скоростей может принимать любые значения. При бесконечном убывании или возрастании значений параметра дисперсии отношение скоростей близко к единице, т.е. скорость переноса энергии близка к групповой скорости, а та, в свою очередь, стремится к скорости

_ и*

распространения линейной сдвиговой волны в материале (сг - Л— ). График всегда проходит через точку т0 есть в0 всех спУчаях ПРИ значении

параметра дисперсии Д, = групповая скорость волн в 2,5 раза больше

скорости переноса энергии, т.е. игр = 2,5иэн. При переходе вертикальной асимптоты через начало координат график из убывающего становится возрастающим. В случае, когда групповая скорость волн меньше скорости

переноса энергии Угр изн. есть области значений, где скорости становятся противоположными по направлению.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Определены скорости переноса энергии поперечными волнами в следующих одноменых упругих системах: струна, лежащая на нелинейно-упругом основании, нелинейно-упругая балка модели Бернулли-Эйлера. Проанализировано отношение групповой скорости волн к скорости переноса энергии в зависимости от амплитуды волны и ее частоты. Показано, что в струне, лежащей на нелинейно-упругом основании, скорость переноса энергии больше групповой скорости поперечных волн. Отношение этих скоростей зависит от амплитуды волны и ее частоты. В нелинейно-упругой балке скорость переноса энергии меньше групповой скорости изгибных волн, отношение этих скоростей зависит от амплитуды волны и не зависит от ее частоты.

2. Определены зависимости средних значений плотности энергии и плотности потока энергии, переносимой изгибными волнами в балке, от площади поперечного сечения балки, формы сечения, модуля Юнга материала. Показано, что плотность потока энергии увеличивается с ростом модуля Юнга и уменьшается с увеличением площади поперечного сечения балки. При равенстве площадей поперечного сечения плотность потока энергии для балки кругового поперечного сечения больше, чем для балок треугольного и прямоугольного поперечных сечений. Все перечисленные закономерности справедливы и для плотности энергии.

3. На основе анализа экспериментальных данных показано, что:

- в ультразвуковом диапазоне у одних материалов (металлы и их сплавы) наблюдается уменьшение фазовых скоростей упругих волн с ростом частоты (отрицательная дисперсия). Для других материалов (некоторые зернистые и армированные композиты) наблюдается увеличение фазовых скоростей упругих волн с ростом частоты (положительная дисперсия);

- математическая модель градиентно-упругой среды позволяет описывать как отрицательную, так и положительную дисперсии;

- входящая в предложенную модель дополнительная константа хорошо скоррелирована со средним диаметром зерна в материале;

- наблюдается уменьшение скорости звука в материалах (алюминиевый сплав Д 16, бронза БРОФ) с увеличением среднего диаметра зерна.

4. Получены и проанализированы соотношения, связывающие групповую скорость и скорость переноса энергии сдвиговой волны, распространяющейся в нелинейном градиентно-упругом материале. Показано, что отношение скоростей зависит от дисперсионного параметра и имеет гиперболический характер. При бесконечном убывании или возрастании значений дисперсионного параметра отношение скоростей близко к единице, т.е. скорость переноса энергии

близка к групповой скорости, а та, в свою очередь, стремится к скорости распространения линейной сдвиговой волны в материале.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Публикации в рецензируемых журналах:

1. Ерофеев В.И., Денисова Т.С., Миклашевич И.А. О скорости переноса энергии сдвиговыми волнами, распространяющимися в градиентно-упругом материале II Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т.17. № 4. С. 455-461.

2. Денисова Т.С., Ерофеев В.И., Смирнов П.А. О скорости переноса энергии упругими волнами, распространяющимися в струне и балке // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 6. С. 200-202.

3. Герасимов С.И., Денисова Т.С., Ерофеев В.И. Скорость переноса энергии сдвиговой волны, распространяющейся в градиентно-упругом материале И Вопросы атомной науки и техники. Сер.: «Теоретическая и прикладная физика». 2011. № 3. С. 37-41.

II. Публикации в других изданиях:

4. Денисова Т.С. Анализ энергетических характеристик упругих волн, распространяющихся в струне и балке // Вторая Всероссийская научная конференция по волновой динамике машин и конструкций. Тезисы докладов. Нижний Новгород. - 2007. - С. 31.

5. Денисова Т.С. Анализ энергетических характеристик упругих волн, распространяющиеся в струне и балке // Прикладная механика и технологии машиностроения. Сборник научных трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис». - 2007. - № 1(10). - С. 164-172.

6. Денисова Т.С. Случайные колебания струны при действии возмущающей нагрузки // Прикладная механика и технологии машиностроения. Сборник научных трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис». -2007. - № 2(11). - С. 46-55.

7. Денисова Т.С. Энергетические характеристики упругих волн, распространяющиеся в элементах конструкций // Нижегородская сессия молодых ученых. Технические науки. Материалы докладов. Нижний Новгород. - 2008. - С. 76.

8. Денисова Т.С Энергетические характеристики нелинейных плоских сдвиговых волн в твердых телах с моментными напряжениями // Прикладная механика и технологии машиностроения. Сборник научных трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис». - 2009. - №2(15). - С. 67-87.

Подписано в печать 06.04.2012. Формат 60x84 l/i6. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ 196.

Нижегородский государственный технический университет им. P.E. Алексеева. Типография НГТУ им. P.E. Алексеева. Адрес университета и полиграфического предприятия: 603950, г. Нижний Новгород, ул. К. Минина, 24.

Введение.

Глава 1. Энергетические характеристики упругих волн, распространяющихся в элементах конструкций.

1.1. Поперечные волны в струне, лежащей на упругом основании.

1.2. Поперечные волны в струне, лежащей на нелинейно-упругом основании.

1.3. Линейные изгибные волны, распространяющиеся в балке модели Бернулли-Эйлера.

1.4. Нелинейные изгибные волны, распространяющиеся в балке модели Бернулли-Эйлера.

Глава 2. Свойства плотности и потока энергии изгибных волн, распространяющихся в балке модели Бернулли-Эйлера.

Глава 3. Энергетические характеристики нелинейных плоских сдвиговых волн, распространяющихся в градиентно-упругих материалах.

3.1. Дисперсия упругих волн в материалах (обзор экспериментальных исследований).

3.2. Плоские сдвиговые волны.

3.3. Скорость переноса энергии.

3.4. Анализ поведения нелинейных сдвиговых волн.

3.4.1.Общие характеристики анализа отношения групповой скорости к скорости переноса энергии.

3.4.2. Общие характеристики анализа отношения фазовой скорости к скорости переноса энергии.

Основные результаты диссертации.

Актуальность темы. Такие свойства упругих волн, как способность распространяться с конечной скоростью, переносить энергию без переноса вещества, давно и эффективно используются в неразрушающем контроле материалов и конструкций [1- 10]. Многие методы определения напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов (например, метод акустоупругости [9, 10]) основаны на измерении скорости волнового пакета - групповой скорости. Для линейных волн групповую скорость справедливо отождествляют со скоростью переноса энергии [8, 11-15]. Соотношения, связывающие групповую скорость и скорость переноса энергии для нелинейных систем, на сегодняшний день, практически не исследованы, и это представляется актуальной задачей.

В ряде монографий и обзоров (см., например, [106]) отмечается, что количество переносимой волнами энергии является, наряду с амплитудой и фазой, важной характеристикой волнового поля. При этом подчеркивается, что энергетический анализ не сводится к амплитудному, а требует разработки специального подхода.

При изучении распространения волн в таких широко распространенных машиностроительных конструкциях, как среды с препятствиями, решетки и твердые волноводы, следует уделять особое внимание, как дисперсионным характеристикам, так и анализу потоков колебательной энергии. В задачах отражения наиболее важным является вопрос о потоках энергии в падающих и отраженных волнах. Отражение волн от препятствий или неоднородностей лежит в основе теории виброизоляции конструкций [12, 125- 130].

Дж. Гордоном [131] предложен, а В.П. Малковым [108] развит подход, рассматривающий механические системы и их элементы соответственно как глобальные и локальные резервуары энергии. Этими авторами вводятся понятия глобальных и локальных относительных энергетических критериев; выполняется энергетический анализ типовых экспериментальных диаграмм деформирования стандартных образцов материалов. Во многих публикациях отмечается перспективность такого энергетического подхода для расчета динамической прочности элементов конструкций.

Основные результаты диссертации были получены в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008-2012 г.г.» в ходе выполнения работ по темам:

- «Разработка методов повышения ресурса и надежности сложных технических систем путем применения наноструктурных материалов и градиентных защитных покрытий, диагностики на ранних стадиях повреждения и мониторинга состояния материалов и конструкций в процессе эксплуатации» (№ Гос.рег. 01200957043; научный руководитель: академик РАН Митенков Ф.М.);

- «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты» (№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.) и при поддержке:

- Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России » (2009 - 2013 г.г.);

- Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейные упругие волны в структурированных и поврежденных материалах и элементах конструкций. Теория. Эксперимент. Приложения в технической диагностике» (РФФИ № 09-08-00827; руководитель: профессор Ерофеев В.И.).

Цель работы состоит в определении для нелинейно-упругих волн дисперсионных и энергетических характеристик, необходимых при разработке методик неразрушающего контроля материалов и элементов конструкций.

Научная новизна работы заключается в определении:

- величины отношения скорости переноса энергии одномерных нелинейных упругих волн к групповой скорости;

- зависимостей, связывающих среднюю плотность потока энергии и среднюю плотность изгибных волн, распространяющихся в балке, с модулем Юнга, с площадью и формой поперечного сечения балки.

Практическая значимость. Упругие волны представляют собой высокоэффективный инструмент исследования напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов. Дисперсионные и энергетические характеристики изгибных волн могут найти применение при расчете на прочность, устойчивость и определение виброактивности стержневых систем различного назначения, подверженных динамическому воздействию, в частности, несущих движущуюся нагрузку. Соотношения, связывающие групповую скорость и скорость переноса энергии для нелинейных систем, могут найти применение в технической диагностике. Знание истинной скорости переноса энергии упругими волнами весьма важно, поскольку многие методы диагностики материалов и конструкций (например, метод акустоупругости) основаны на измерении скорости волнового пакета.

Результаты диссертационной работы использовались в ООО «Научно-исследовательская лаборатория испытания материалов» при разработке методики ультразвукового контроля высоконагруженных элементов машиностроительных конструкций (Имеется акт внедрения).

Методы исследования. При проведении исследований использованы аналитические методы механики деформируемого твердого тела, теории колебаний и волн.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики деформируемого твердого тела, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся:

Результаты исследования дисперсионных и энергетических характеристик поперечных волн, распространяющихся в струне, лежащей на нелинейно-упругом основании и нелинейно-упругой балке.

- Результаты исследования дисперсионных и энергетических характеристик нелинейных сдвиговых волн, распространяющихся в градиентно-упругих материалах.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались: на Второй Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород, 28-31 октября 2007 года); на XIII Нижегородской сессии молодых ученых (Технические науки) (Нижний Новгород - Татинец, 17-21 февраля 2008 года). В полном объеме диссертация обсуждалась на семинарах отдела волновой динамики и виброзащиты машин НФ ИМАШ РАН (2010, 2011 г.г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ [16 -23], 3 из которых [16 - 18] - статьи в рецензируемых научных журналах.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем составляет 110 страниц, включая 15 рисунков, 2 таблицы, 15 страниц библиографии, содержащей 134 наименования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Определены скорости переноса энергии поперечными волнами в следующих одноменых упругих системах: струна, лежащая на нелинейно-упругом основании, нелинейно-упругая балка модели Бернулли-Эйлера. Проанализировано отношение групповой скорости волн к скорости переноса энергии в зависимости от амплитуды волны и ее частоты. Показано, что в струне, лежащей на нелинейно-упругом основании, скорость переноса энергии больше групповой скорости поперечных волн. Отношение этих скоростей зависит от амплитуды волны и ее частоты. В нелинейно-упругой балке скорость переноса энергии меньше групповой скорости изгибных волн, отношение этих скоростей зависит от амплитуды волны и не зависит от ее частоты.

2. Определены зависимости средних значений плотности энергии и плотности потока энергии, переносимой изгибными волнами в балке, от площади поперечного сечения балки, формы сечения, модуля Юнга материала. Показано, что плотность потока энергии увеличивается с ростом модуля Юнга и уменьшается с увеличением площади поперечного сечения балки. При равенстве площадей поперечного сечения плотность потока энергии для балки кругового поперечного сечения больше, чем для балок треугольного и прямоугольного поперечных сечений. Все перечисленные закономерности справедливы и для плотности энергии.

3. На основе анализа экспериментальных данных показано, что:

- в ультразвуковом диапазоне у одних материалов (металлы и их сплавы) наблюдается уменьшение фазовых скоростей упругих волн с ростом частоты (отрицательная дисперсия). Для других материалов (некоторые зернистые и армированные композиты) наблюдается увеличение фазовых скоростей упругих волн с ростом частоты (положительная дисперсия);

- математическая модель градиентно-упругой среды позволяет описывать как отрицательную, так и положительную дисперсии;

- входящая в предложенную модель дополнительная константа хорошо скоррелирована со средним диаметром зерна в материале;

- наблюдается уменьшение скорости звука в материалах (алюминиевый сплав Д 16, бронза БРОФ) с увеличением среднего диаметра зерна.

4. Получены и проанализированы соотношения, связывающие групповую скорость и скорость переноса энергии сдвиговой волны, распространяющейся в нелинейном градиентно-упругом материале. Показано, что отношение скоростей зависит от дисперсионного параметра и имеет гиперболический характер. При бесконечном убывании или возрастании значений дисперсионного параметра отношение скоростей близко к единице, т.е. скорость переноса энергии близка к групповой скорости, а та, в свою очередь, стремится к скорости распространения линейной сдвиговой волны в материале.

1. Баранов В.М. Ультразвуковые измерения в атомной технике. М.: Атомиздат, 1975. 220 с.

2. Ботаки A.A., Ульянов B.JL, Шарко A.B. Ультразвуковой контроль прочностных свойств конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1983. 78с.

3. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. 169 с.

4. Ермолов И. Н. Теория и практика ультразвукового контроля. М.: Машиностроение, 1981. 240 с.

5. Муравьев В. В., Зуев JI. Б., Комаров К. JI. Скорость звука и структура сталей и сплавов. Новосибирск: Наука, 1996. 185 с.

6. Неразрушающий контроль: в 5 кн. Кн. 2: Акустические методы контроля: практическое пособие / Ермолов И. Н., Алешин Н. П., Потапов А. И. М.: Высшая школа, 1991. 283 с.

7. Неразрушающий контроль: Справочник в 7 томах. Под ред. Клюева В.В. Т.З: Ультразвуковой контроль / Ермолов И.Н., Ланге Ю.В. М.: Машиностроение, 2004. 864 с.

8. Ультразвук. Маленькая энциклопедия. Глав. ред. И.П. Голямина. М.: Советская энциклопедия. 1979. 400 с.

9. Никитина Н.Е. Акустоупругость: Опыт практического применения. Н. Новгород: Изд-во «Талам», 2005. 208 с.

10. Углов А.Л., Ерофеев В.И., Смирнов С.И. Акустический контроль оборудования при изготовлении и эксплуатации. М.: Наука, 2009. 280 с.

11. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. М.: Гос. изд-во. физ.-математ. лит-ры, 1959.

12. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979.

13. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипвция. Нелинейность. М.: Физматлит. 2002. 208 с.

14. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. Учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во физ.-математ. лит-ры., 2001.

15. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П.Теория волн. М.:Наука, 1990.

16. Ерофеев В.И., Денисова Т.С., Миклашевич И.А. О скорости переноса энергии сдвиговыми волнами, распространяющимися в градиентно-упругом материале // Механика композиционных материалов и конструкций. 2011. Т.П. № 4. С. 455-461.

17. Денисова Т.С., Ерофеев В.И., Смирнов П.А. О скорости переноса энергии упругими волнами, распространяющимися в струне и балке // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. - № 6. С. 200202.

18. Герасимов С.И., Денисова Т.С., Ерофеев В.И. Скорость переноса энергии сдвиговой волны, распространяющейся в градиентно-упругом материале // Вопросы атомной науки и техники. Сер.: «Теоретическая и прикладная физика». 2011. № 3. С. 37-41.

19. Денисова Т.С. Анализ энергетических характеристик упругих волн, распространяющихся в струне и балке // Вторая Всероссийская научная конференция по волновой динамике машин и конструкций. Тезисы докладов. Нижний Новгород. 2007. С. 31.

20. Денисова Т.С. Анализ энергетических характеристик упругих волн, распространяющиеся в струне и балке // Прикладная механика и технологии машиностроения. Сборник научных трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис». 2007. - № 1(10). С. 164-172.

21. Денисова Т.С. Случайные колебания струны при действии возмущающей нагрузки // Прикладная механика и технологии машиностроения. Сборник научных трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис». 2007. - № 2(11). С. 46-55.

22. Денисова Т.С. Энергетические характеристики упругих волн, распространяющиеся в элементах конструкций // Нижегородская сессия молодых ученых. Технические науки. Материалы докладов. Нижний Новгород. 2008. С. 76.

23. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

24. Весницкий А.И. Избранные труды по механике. Нижний Новгород: Изд-во «Наш дом». 2010. 248с.

25. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учебник для ВТУЗов. В 2-х ч. 4.2. Динамика. М.: Высшая школа, 1987.

26. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, Гл. ред. физ.-математ. лит-ры., 1976.

27. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев и др. / Под. ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. -М.: Энергоатомиздат, 1991.

28. Ерофеев, В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. -М.:Изд-во Моск. ун-та, 1999. 328 с.

29. Voigt W. Theoretische studient über die elasticitatsverhälhnisse der Krystalle // Abn. Gess. Wess. Gottingen. 1887. V. 34. 100 S.

30. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corps Deformables. Paris: Hermann, 1909. 226 p.

31. Le Roux. Étude géométrique de la torsion et de la flexion// Ann. L'École Norm. Sup. Paris, 1911. V. 28. 57 p.

32. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity//Arch. Ration. Mech. Analysis, 1964. V. 16. № 1 P. 51-78.

33. Eringen A.C. Theory of micropolar elasticity // Fracture / Ed. H.Liebowitz. V.2. New York; London: Academic Press, 1968. P. 621-729.

34. Панин B.E., Лихачев B.A., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука. 1985. 229 с.

35. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. Новосибирск: Наука, 1995. Т.1 298 е.; Т.2 320 с.

36. Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян A.B. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Физматлит. 2009. 320 с.

37. Умов H.A. Избранные сочинения. М. Л.: ГИТТЛ. 1950. 575 с.

38. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах. М. - Ижевск. 2005. 269 с.

39. Ерофеев В.И., Семерикова Н.П., Серов A.B. Нелинейные стационарные крутильные волны в упругом стержне // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. №1. С. 9-10.

40. Ерофеев В.И., Серов А.В., Смирнов П.А. Модуляционная неустойчивость крутильных и изгибных волн в стержне // Нелинейный мир. 2009. Т.7. №12. С. 943-946.

41. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods // J. of Math and Phys. Sciences. 1970, v.4, pp. 64-73.

42. Ерофеев В.И. Солитоны огибающих при распространении изгибных волн в нелинейно-упругом стержне.// Акустический журнал, 1992, Т.38, № 1, С. 172-173.

43. Березовский А.А., Жерновой Ю.В. Изгибные стационарные волны в стержнях при нелинейном законе упругости //Украинский матем. журнал. 1981. Т. 33. №4. С. 493-498.

44. Abramian А.К., Indejtsev D.A., Vakulenko S.A. Wave localization in hydroelastic systems // Flow, Turbulence and Combustion. 1999. №61. Pp. 1-20.

45. Ерофеев В.И., Кажаев B.B., Семерикова Н.П. Квазигармонические изгибные волны в нелинейно-упругой балке Тимошенко // Испытания материалов и конструкций / Сб. научн. трудов. Н.Новгород, Изд-во «Интелсервис», 1996, с. 180-187.

46. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Нелинейные стационарные изгибные волны в балке Тимошенко // Прикладная механика и технологии машиностроения / Сб. научн. трудов. Н.Новгород, Изд-во «Интелсервис», 1997, вып.З, с. 56-66.

47. Erofeyev V.I., Semerikova N.P. Nonlinear modulated waves in the Timoshenko beam // Wave mechanical systems / Prog, intern, seminar. Kaunas: Technologija. 1996, p. 12-15.

48. Ерофеев В.И. Распространение нелинейных изгибных волн в стержнях с движущимися закреплениями // Прикл. задачи динамики систем / Сб. научн. трудов / Горьк. ун-т., 1983, вып. 6, с. 90-107.

49. Rudnick I., Wu J., Wheatley J., Putterman S. Flexural waves envelope solitons in a metallic cylindrical thin shell // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI международн. симп. по нелин. акустике. Ч. 2. Новосибирск, 1987. С. 208-212.

50. Ильичев А.Т. Устойчивость локализованных волн в нелинейно-упругих стержнях. М.: Физматлит. 2009. 160 с.

51. Potapov A.I., Vesnitsky A.I. Interaction of solitary waves under head-on collections/ Experimental investigation // Wave Motion, 1994, V. 19, pp. 29-35.

52. Ерофеев В.И., Кажаев B.B., Потапов А.И. Параметрическая трансформация продольных волн в изгибные в тонких стержнях // Волны и дифракция. М.: ИРЭ АН СССР, 1981, Т.2, с. 82-85.

53. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Трехчастотные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в стержне // Динамика систем. Горький: ГГУ, 1985, с. 75-84.

54. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в кольце // Докл. АН СССР, 1989, Т. 305, № 4, с. 803-807.

55. Kovriguine D.A., Potapov A.I. Nonlinear waves in elastic bar // Eur. J. Mech. A. / Solids, 1996. V. 15, pp. 1049-1075.

56. Березовский A.A., Жерновой Ю.В. Нелинейные продольно-поперечные стационарные волны в упругих стержнях // Сб. Матем. физика, № 30, Киев: Наукова думка, 1981, С. 41-48.

57. Милосердова И.В. Об одной возможности акустического измерения упругих констант четвертого порядка // Горьк. ун-т./ Горький, 1983,-8с.-Деп. в ВИНИТИ 28.03.83, № 1796.

58. Землянухин а.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках. Саратов. 1999.

59. Nariboli G.A., Sedov A. Burgers's-Korteweg-de Vries equation for viscoelastic rods and plates // J. Math. Anal. And Appl.,1970, v.32, № 3, pp.661-667.

60. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М.: Наука, 1981.

61. Островский Л.А., Сутин A.M. Нелинейные упругие волны в стержнях // Препр. / НИРФИ, 1975, №71.

62. Островский Л.А., Сутин A.M. Нелинейные упругие волны в стержнях // ПММ, 1977, Т. 41, Вып. 3, с. 531-537.

63. Островский Л.А., Пелиновский E.H. О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и дисперсией // ПММ, 1974, Т. 38, Вып. 1, с. 121-124.

64. Вакуленко С.А., Молотков И.А., Островский Л.А., Сутин A.M. Нелинейные продольные волны в упругих стержнях // Волны и дифракция, VIII Всес. симп. По дифракции и распространению волн. Т. 99.- М.,1981, с. 107-110.

65. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях // Интерференционные волны в слоистых средах. 1. Зап. науч. семин. ЛОМИ, Т. 99.- Л.: Наука, 1980, с. 64-73.

66. Kodama J., Ablowitz М. Perturbation of solitons and solitary waves // Stud. Appl. Math., 1981, V.64, pp.225-245.

67. Самсонов A.M. Солитоны в нелинейно-упругих стержнях с переменными свойствами // Пробл. нелинейн. и турбулент. процессов в физ. Труды II Междунар. раб. группы, 1983, ч.1.- Киев: Наук, думка, 1985, с. 219-221.

68. Самсонов A.M. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения. // ДАН СССР, 1984, Т.277, № 2, с. 332-335.

69. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. Солитоны продольного смещения в неоднородном нелинейно-упругом стержне. // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1985, № 983, с.1-44.

70. Samsonov A.M. Soliton in nonlinear elastic rods with variable characteristics // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. V.2 / ed. R.Z. Sagdeev.-N.Y.: Gordon and Beach, 1984, p. 1029-1035.

71. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные модели продольных колебаний стержней // Гидроаэромеханика и теория упругости / Всес. межвуз. сб. Днепропетровск : ДГУ. 1984, вып. 32, с.78-82.

72. Самсонов A.M. О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне // ДАН СССР, 1988, Т. 299, с. 10831086.

73. Самсонов A.M. Существование и усиление уединенных волн в нелинейно-упругих волноводах. // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1988, № 1259, с. 1-26.

74. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. О возможности возбуждения солитона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне // ЖТФ, 1988, Т. 58, Вып. 8, с. 1632-1634.

75. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. Солитоны продольной деформации в нелинейно-упругих стержнях // Теория распространения волн в упругих и упругопластических средах. Новосибирск: ИГД СО АН СССР, 1987, с.28-32.

76. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне // ПММ, 1987, Т. 51, Вып. 3, с. 483-488.

77. Samsonov A.M. // Proc. of the Intern, conf. On Plasma Physics, V.4.- Kiev: Naukova dumka, 1987, pp. 88-90.

78. Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов A.M., Семенова И.В., Сокуринская Е.В. Формирование и распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом твердом теле // ЖТФ, 1988, Т. 58, № 10, с. 2040-2047.

79. Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов A.M., Семенова И.В., Сокуринская Е.В. Об экспериментах по распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФ, 1995, Т. 21, Вып.11, с. 42-46.

80. Порубов А.В., Самсонов A.M. Уточнение модели распространения продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФ, Т. 19, Вып.12, с. 26-29.

81. Taniuti Т., Wei С.С. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation I // J. Phys. Soc. Jpn., 1968, V. 24, pp. 941-946.

82. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1984, V. 76, № 3, pp. 871-879.

83. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S., Scovgaard O. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1987, V. 81, № 6, pp. 17181722.

84. Clarcson P.A., LeVeque R.J., Saxton R. Solitary wave interaction in elastic rods // Stud. Appl. Math., 1986, V. 75, № 2, pp. 95-122.

85. Потапов А.И., Семерикова Н.П. Нелинейные продольные волны в стержнях с учетом взаимодействия полей деформации и температуры // ПМТФ, 1988, № 1, с. 57-61.

86. Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержнях конечной длины // Акустич. журнал, 1983, Т. 29, Вып.4, с. 515-520.

87. Nakamura A. Soliton formation process calculated for longitudinal sound waves in solid bar // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международного симпозиума по нелинейной акустике. 4.1. Новосибирск. 1987. с. 378- 382.

88. Samsonov A.M., Dreiden G.V., Porubov I.V., Semenova I.V. Longitudinal strain soliton focusing in a narrowing nonlinearly elastic rod // Phys.Rev. B, 1998, V.57, № 10, pp.5778-5787.

89. Порубов A.B. Локализация нелинейных волн деформации. М.: Физматлит. 2009. 208 с.

90. Porubov I.V., Samsonov A.M., Velarde M.G., Bukhanovsky A.V. Strain solitary waves in an elastic rod embedded in another elastic external medium with sliding // Phys.Rev. E, 1998, V.58, i3, pp. 3854-3864.

91. Самсонов A.M., Сокуринская E.B. Нелинейные волны деформации в упругих волноводах, взаимодействующих с внешней средой // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1988, № 1293, с. 1-32.

92. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. № 4. с. 35-47.

93. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Солитоны деформации в стержне Миндлина-Германа // Прикладная механика и технологии машиностроения. / Сб. науч. трудов. Н.Новгород: Изд-во «Интелсервис» НФ ИМАШ РАН, 1998, с. 85-95.

94. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Об особенностях распространения нелинейных стационарных волн в стержне Миндлина-Германа // Труды 3-й научной конференции по радиофизике. Н.Новгород: ННГУ, 1999, С. 236-237.

95. Рыбак С.А., Скрынников Ю.И. Уединенная волна в тонком стержне постоянной кривизны // Акустич. журнал, 1990, Т. 36, № 4, с. 730-732.

96. Скрынников Ю.И. Солитон со сглаженным профилем нелинейного уравнения Клейна-Гордона // Акустич. журнал, 1998, Т. 44, № 5, с. 712-714.

97. Мягков H.H. О динамической локализации деформации в разупрочняющемся стержне // Механ. композиц. матер, и констр., 199, Т. 5, № 3, с. 28-32.

98. Милосердова И.В., Новиков A.A., Потапов А.И. Импульсные волны в одномерной системе с нелинейными границами // Волны и дифракция. Т.Н. Москва, 1981, с. 118-121.

99. Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержнях конечной длины // Акустич. журнал, 1983, Т. 29, Вып.4, с. 515-520.

100. Милосердова И.В., Потапов А.И. Продольные колебания в стержне с нелинейно-упругим закреплением // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980, №6, с. 178-183.

101. Милосердова И.В., Потапов А.И. Релаксационные колебания в консервативных линейных системах с нелинейными граничными закреплениями // Динамика систем, Горький: Изд-е Горьк. университета. 1987. С. 172-182.

102. Кажаев В.В. Волновые процессы в распределенных системах, взаимодействующих с сосредоточенными объектами. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1998, 138 с.

103. Кажаев В.В. Нестационарные волны в стержне с нелинейно упругим закреплением// Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2001. Спецвыпуск: Математическое моделирование. С. 95-96.

104. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

105. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка. 1981. 284 с.

106. Малков В.П. Энергоемкость механических систем. Н.Новгород: Издательство Нижегородского университета. 1995. 258 с.

107. Белл Дж. К. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4.1. Малые деформации. М.: Наука. 1984. 600 с.

108. Белл Дж. К. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4.2. Конечные деформации. М.: Наука. 1984. 432 с.

109. Мэзон У. (ред.). Физическая акустика. М.: Мир. 1966. Т. 1 А.

110. Неразрушающий контроль материалов и элементов конструкций / под ред. А.Н. Гузя. Киев: Наукова думка. 1981. 276 с.

111. Применение ультразвука в промышленности. М.: Машиностроение -София: Техника. 1975. 240 с.

112. Ультразвук. M.: Сов.энциклопедия. 1979. 400 с.

113. Савин Г.Н., Лукашев A.A., Лыско Е.М. Распространение упругих волн в твердом теле с микроструктурой // Прикладная механика. 1970. Т.6. № 7. С. 48-52.

114. Кондратьев А.И. Прецизионные измерения скорости и затухания ультразвука в твердых телах // Акустический журнал. 1990. Т.36. № 3. С. 470476.

115. Попов Г. Экспериментальное исследование дисперсии волн, распространяющихся в волокнисто-армированных композитах // Теоретическая и прикладная механика. 1981. Т. 12. № 1. С. 63-69.

116. Тошер, Гузельсу. Экспериментальное исследование дисперсии волн в волокнистом материале // Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер. Е : Прикладная механика. 1972. № 1. С. 97-102.

117. Уиттер Дж., Пик Дж. Экспериментальное изучение распространения диспергирующего импульса в слоистых композиционных материалах // Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер. Е : Прикладная механика. 1972. № 1. С. 108-115.

118. Ерофеев В.И., Родюшкин В.М. Наблюдение дисперсии упругих волн в зернистом композите и математическая модель для ее описания // Акустический журнал. 1992. Т.38. № 6. С. 1116-1117.

119. Савин Г.Н., Лукашев A.A., Лыско Е.М., Веремеенко C.B., Агасьев Г.Г. Распространение упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением частиц // Прикладная механика. 1970. Т.6. № 6. С. 37-41.

120. Никитина Н.Е. Об одной составляющей погрешности измерения фазовой скорости ультразвука импульсным методом // Дефектоскопия. 1989. № 8. С. 23-29.

121. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Волновые методы борьбы с вибрациями // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998, №3. С. 16-25.

122. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

123. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973.

124. Ляпунов В.Т., Никифоров A.C. Виброизоляция в судовых конструкциях. Л.: Судостроение. 1975.

125. Никифоров A.C., Будрин C.B. Распространение и поглощение звуковой вибрации на судах. Л.: Судостроение. 1968.

126. Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д., Маслов В.П., Римский Корсаков A.B. Распространение волн в конструкциях из тонких стержней и пластин. М.: Наука. 1974.

127. Гордеев Б.А., Ерофеев В.И., Синев A.B., Мугин О.О. Системы виброзащиты с использованием инерционности и диссипации реологических сред. М. Физматлит. 2004. 176 с.

128. Гордон Дж. Конструкции или почему не ломаются вещи. М.: Мир. 1980.

129. Ерофеев В.И. О зависимости скорости упругих волн от величины зерна в материале // Волновые механические системы. Каунас: Изд-во «Академия». 1994. С. 133-134.

130. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред // Механика полимеров. 1965. № 2. С. 27-37.

131. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение. 1980.