Распространение нелинейных изгибных волн в балке Тимошенко тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

СЕМЕРИКОВА НАДЕЖДА ПЕТРОВНА

РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В БАЛКЕ ТИМОШЕНКО

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Нижегородском филиале института машиноведения им. А А Благонравова РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Ерофеев В.И.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Белосточный Г.Н. (Саратов, СГУ) кандидат физико-математических наук, доцент Медведский А.Л. (Москва,МАИ)

Ведущая организация - Центр прикладной физики Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана

Защита состоится 30 2004 г. в /г- часов на заседании

диссертационного совета Д 212.125.05 в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш., д. 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского авиационного института.

Автореферат разослан -/9ОК. 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совет

к.т н., доцент

Зайцев В.Н.

[4 20

Актуальность темы.

В задачах динамики упругих конструкций традиционно уделяется большое внимание распространению изгибных волн в стержнях и стержневых системах. В качестве базовой модели для проведения анализа часто выбирается математическая модель балки, предложенная С.П.Тимошенко. Эта модель, уточняющая техническую теорию изгиба стержней, предполагает, что поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформируемой срединной линии стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом поперечных сечений.

Модель балки Тимошенко занимает особое место в механике: позволяя хорошо описывать многие статические и динамические процессы, происходящие в реальных конструкциях, она остается достаточно простой, доступной для аналитических исследований.

Непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин и механизмов, забота о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, а также широкое внедрение в современную технику новых композиционных материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого часто оказывается недостаточно классических линейных теорий и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающих, в частности, геометрическую и физическую нелинейности.

Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных изгибных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны, эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала, но, с другой стороны, - они могут быть полезными и найти применение в технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике. Теоретические расчеты параметров нелинейных волн необходимы для изучения свойств новых конструкционных материалов, в частности,рзя^ршиятгеЩН^ЩИмодулей упругости.

изм^ния

г > КА

< >>рг аообр:.

Цели работы :

- вывод уравнения балки Тимошенко, учитывающего геометрическую и физическую упругие нелинейности;

- аналитические решения ряда задач о распространении квазигармонических и существенно несинусоидальных изгибных волн в балке Тимошенко.

Научная новизна:

Научная новизна работы заключается в следующем:

получена система уравнений, описывающая изгибные колебания балки Тимошенко при учете геометрической и физической нелинейностей;

система нелинейных уравнений балки Тимошенко в предположении малости углов сдвига сведена к одному уравнению относительно поперечного перемещения;

в рамках полученной модели исследована модуляционная неустойчивость изгибных волн, а также получены аналитические решения стационарных волн огибающих;

получены аналитические решения, описывающие существенно нелинейные стационарные волны деформации, как периодические, так и солитоны.

проведен анализ качественно различных случаев поведения нелинейных волн, распространяющихся в металлических балках и балках из оргстекла.

предложен и теоретически обоснован новый метод определения констант упругости четвертого порядка

Практическая значимость

Основные результаты диссертационной работы были получены в ходе выполнения научно-исследовательских программ Нф ИМАШ РАН по теме «Динамика волновых движений механических систем»; при выполнении работ по Федеральной целевой программе «Интеграция» 1997-2003 г.г. - проект № 0542 : Региональный учебно-научный центр «Механика материалов и конструкций» (рук.академик Митенков Ф.М., проф. Баженов В.Г.); по грантам РФФИ (№ 96-02-19792; № 00-02-17337, №03-02-16924, рук.д.ф.-м.н. Ерофеев В.И.).

Некоторые результаты диссертации были использованы в учебном процессе на кафедре теоретической механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И.Лобачевского и нашли отражение в учебном пособии Ерофеева В.И. «Введение в теорию упругих волн», Н.Новгород, 2001.

Основные положения, выносимые на защиту :

1. Сведение системы нелинейных уравнений балки Тимошенко к одному нелинейному уравнению относительно поперечного перемещения.

2. Изучение эффектов самомодуляции квазигармонических изгибных волн:

- модуляционная неустойчивость;

- определение области неустойчивости в зависимости от коэффициента Пуассона;

- нелинейные стационарные волны огибающих.

3. Анализ качественно различных случаев поведения солитонов и периодических стационарных изгибных волн.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на Европейском научном коллоквиуме Евромех-295 «Волновые процессы в машинах и конструкциях» ( Нижний Новгород, 1992 ), Международной научно-технической конференции «Инженерно-физические проблемы авиационной и космической технике» (Егорьевск Моск.обл., 1995 ), IV Международной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1996), на научных семинарах Нф ИМАШ РАН, ННГУ, НИЛИМ (1997-2003).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 15 научных работ, в том числе монография [12].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения. Диссертация содержит 94 стр. текста, 53 рисунка. Список литературы включает 143 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные поставленные цели, отмечена их актуальность, кратко изложено содержание работы

В первой главе дан обзор наиболее существенных результатов теоретических и экспериментальных исследований солитонов и нелинейных периодических волн в стержнях, пластинах и оболочках, содержащихся в работах, выполненных в 1970-2000-х годах.

Вторая глава посвящена изучению особенностей распространения квазигармонических изгибных волн в балке Тимошенко.

В п.2.1 проводится сравнительный анализ основных математических моделей изгибных колебаний стержня. Рассмотрен вывод линейных уравнений изгибных колебаний в технической теории Бернулли-Эйлера, а так же в уточненных теориях Рэлея и Тимошенко. Приведены и проанализированы дисперсионные зависимости и зависимости фазовых скоростей изгибных волн по различным теориям.

В п.2.2 рассматривается вариационный принцип построения нелинейных моделей стержней.

В п.2.3. приводится вывод системы уравнений динамики балки Тимошенко, содержащей геометрическую и физическую нелинейности.

сд21¥ Аъгу/ дц>

дг

дх2 дх

+ 2 — +

дх '

5_ дх \2

дх ^йх

дх )

8(р

\дх J

+ 3 а6Г<р

дх

+ а6Кср3

. д2<р д2(р ( ЭФ) д

аГГ*

4а,./,

д(р дх

+ 2

f , N 2^

+ 2 а^у<р

д<р дЖ

дх дх

2

2а2У <р1 ^

дх

. „ {д1РГ . _ 3 , дШ (д<р) Лдггу „ ^

2

дх

Система состоит из двух уравнений, первое из которых записано относительно поперечного перемещения IV (х^) частиц срединной линии балки, а второе - относительно угла поворота поперечного

6

сечения <р(х,{). Здесь р0- объемная плотность материала, Г-площадь поперечного сечения стержня, Jt,J¡- осевые моменты

инерции, X - коэффициент Тимошенко, «,,(/ = 1,5)- коэффициенты, характеризующие геометрическую и физическую нелинейности среды, выражающиеся через константы упругости третьего и четвертого порядков.

Сделаны оценки вкладов различных слагаемых, входящих в систему уравнений. Если углы поворота поперечных сечений считать малыми, то система уравнений может быть сведена к одному нелинейному уравнению относительно поперечного перемещения.

д2м>

а2

Г

О н>

&4

С2 Л 1 + -С°

¿С

д4м> С1 д4м> ■+ и

дх2а2 хс' ^

аЩ? д (дп^

- "110

Е11 дх

Здесь *> = 1¥/}У0, IVв- максимальная амплитуда изгибной волны, £ = Агу - длина изгибной волны, г - осевой радиус инерции, С0 = ^Е/р0, С, = ^¡ц/ра скорости продольной и сдвиговой волны в

материале,

4 2 6

У 4"

коэффициент

нелинейности, И = гу2 !1? -параметр дисперсии, Е - модуль Юнга, ^2,3' У А - константы Ламэ.

В п.2.4. проанализированы дисперсионные зависимости линеаризованной модели. Изгибные волны обладают сильной дисперсией, их фазовая скорость не является постоянной величиной, а существенно зависит от частоты и различные гармоники распространяются с разными скоростями. Показано, что при наличии слабой нелинейности, решение уравнения балки Тимошенко можно искать в виде гармонической волны с медленно меняющимися в пространстве и времени амплитудой и фазой (квазигармоническая волна):

и>(Х0 = Л(£х,Я)е'(м-Ь) + к.с.

где А(х, () -комплексная амплитуда, частота а> и волновое число к удовлетворяют условию малости амплитудно-частотной модуляции

ЗА... дА. . , д2А.,. д2А.

—-/кА---1а>А~е«\, —т-/кА--т1<х>А~е

дх д1 дх2 Ы1

С помощью метода усреднения осуществляется переход от исходного уравнения балки к укороченному уравнению огибающей квазигармонической волны. Эволюция огибающей описывается нелинейным уравнением Шредингера.

.ЗА 1 ¿IV д2А н .|2 , Л

г — +--^—т + а\А\А = 0

дт 2 <Ик 3? 1 1

где £=х-Ут = V = —. Это уравнение часто

¿к.

встречается при изучении волновых процессов в оптике, физике плазмы, акустике и электродинамике. Анализ его параметров показал, что квазигармонические изгибные волны могут быть неустойчивыми по отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты (модуляционная неустойчивость). Проанализирована зависимость области модуляционной неустойчивости волны от упругих свойств материала стержня. Показано, что область неустойчивости увеличивается с ростом коэффициента Пуассона.

Рис.1

На рис.1 изображена диаграмма, показывающая при каких частотах

(<у) и волновых числах возможна модуляционнвая

неустойчивость. Область устойчивости отмечена квадратами, область неустойчивости - крестами. Расчеты проводились при коэффициенте Тимошенко % = 0.98 и коэффициенте Пуассона V = 0.3 и £> = 0.01

В п.2.5. и п.2.6. изучаются формы и скорости распространения волновых пакетов, на которые разбивается квазигармоническая

волна в результате модуляционной неустойчивости. Для этого достаточно проанализировать стационарные волны огибающих. Амплитуда стационарной волны огибающей а (у) описывается уравнением ангармонического осциллятора с нелинейностью в отрицательной степени

^2<х 3 -3 Л

-—+т1а + т2а +т3а =0

<1г\

аналитические решения которого и качественный анализ приведены

в п.2.5. Коэффициенты т, выражаются через параметры балки. На рис.2, 3 показаны качественно различные формы волновых пакетов.

Рис.3

В третьей главе рассматривается случай, когда нельзя ограничиться изучением квазигармонических процессов, а необходимо учитывать широкополостность нелинейных изгибных волн, распространяющихся в балке Тимошенко. В этом случае волны, обладающие большой интенсивностью, находятся в области слабой дисперсии, т.е. в том диапазоне частот, в котором фазовые скорости различных гармоник близки между собой.

На распространение изгибных волн в балке влияют два фактора : дисперсия и нелинейность. Нелинейность приводит к зарождению в спектре волны новых гармоник, что способствует появлению в движущемся профиле волны резких перепадов. Дисперсия же, наоборот, сглаживает перепады из-за различия в фазовых скоростях гармонических составляющих. Совместное действие этих факторов может привести к формированию стационарных волн, которые распространяются с постоянной скоростью без изменения формы (п.3.1.).

В п.3.2. и п.3.3, найдены и проанализированы решения уравнений нелинейно-упругой балки Тимошенко в виде стационарных волн деформации : периодических волн и солитонов. Стационарные волны деформации описываются уравнением Дуффинга, качественные решения которого рассмотрены в п.3.2. Получены зависимости между основными параметрами таких волн (амплитудой волны, длиной волны, скоростью ее распространения и коэффициентом нелинейных искажений формы волны). Указано на качественно различное поведение нелинейных волн, распространяющихся в металлических балках и балках из полимерных материалов (например из оргстекла). Так в металлах могут распространяться только периодические волны, а в стержнях из оргстекла возможно распространение непериодических возмущений типа "кинк".

В п.3.4 для периодических стационарных волн получены нелинейные дисперсионные соотношения, связывающие скорость нелинейной волны с волновым числом. Показано, что по своим дисперсионным свойствам волны в металлических стержнях идентичны линейным волнам. В стержне из орстекла возможно существование сильнонелинейных волн в том диапазоне скоростей, с которыми линейные волны не распространяются.

В п.3.5 рассматриваются известные способы измерения констант упругости четвертого порядка и предлагается еще один метод их измерения, основанный на исследовании параметров уединной стационарной волны (солитона). Параметры солитона амплитуда, скорость и ширина связаны собой. В рассмотренном в п.3.3 случае стержня из оргстекла для уединенной волны,

распространяющейся со скоростями ' < V < 1, это

С 0

соотношение имеет вид

ю

Здесь А У -амплитуда и скорость солитона соответственно, коэффициент а характеризует геометрическую и физическую нелинейности среды и выражается через константы упругости третьего и четвертого порядков. Таким образом константа упругости четвертого порядка у 4- выражается следующей формулой

Ь=8

7,3 7

—A + — U--V, ■

4 2 6 2

•V,

2V2EL2 Л

w02A2 ,

где V 2, V з - константы упругости третьего порядка.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Получено уравнение изгибных колебаний балки Тимошенко с учетом геометрической и физической нелинейностей

2. Изучена модуляционная неустойчивость квазигармонических изгибных волн. Построена область неустойчивости в зависимости от коэффициента Пуассона.

3. Получены аналитические решения, описывающие нелинейные стационарные волны огибающих.

4. Проведен анализ качественно различных случаев поведения солитонов и периодических стационарных изгибных волн для металлических балок и балок из оргстекла.

5. На основе аналитического решения, описывающего уединенную волну, предложен новый метод определения одной из констант упругости четвертого порядка.

\

Список публикаций

l.Semerikova N.P. On a New Class of Solitary Waves in a Rod // Wave Processes in Machinery and Structures / European Mechanics Colloquium "EUROMECH 295". Abstracts. Nizhny Novgorod. 1992. P.58.

2.Кажаев B.B., Семерикова Н.П. Солитоноподобные решения модифицированного уравнения Буссинеска // Волновые задачи механики / Сб.научн.трудов. Н.Новгород. Изд. Нф ИМАШ РАН, 1992. Вып.З. С.80-86.

п

3.Семерикова Н.П Стационарные продольные волны в нелинейно-упругом стержне // Волновые задачи механики / Сб.научн.трудов. Н.Новгород. Изд. Нф ИМАШ РАН, 1994. Вып.4 С.121-144.

4. Ерофеев В.И., Семерикова Н.П. Нелинейные изгибные волны в упругом стержне. Балка Тимошенко // Тез.докл. Между нар. научно-технич.конф. « Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники ». Егорьевск : Изд-во ЕАТК ГА. 1995. Т.1. С. 100.

5. Erofeyev V.l., Semerikova N.P. Nonlinear Modulated Waves in the Timoshenko Beam // Wave Mechanical Systems. Kaunas : Technologija. 1996. P.12-15.

6.Ерофеев В.И., Кажаев B.B., Семерикова Н.П. Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени // Испытания материалов и конструкций / Сб.научн.трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис» Нф ИМАШ РАН. 1996. Вып. 1. С.166-179.

7.Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Квазигармонические изгибные волны в нелинейно-упругой балке Тимошенко // Испытания материалов и конструкций / Сб.научн.трудов. Нижний Новгород : Изд-во «Интелсервис» Нф ИМАШ РАН. 1996. Вып.1. С.180-187.

8.Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Расщепление частицеподобных волн в среде с квадратичной нелинейностью // Тез.докл. IV Междунар.конф. «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород. Изд. НИИ ПМК при ННГУ, 1996. С.66-67.

9.Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Нелинейные стационарные изгибные волны в балке Тимошенко // Прикладная

механика и технологии машиностроения / Сб.научн.трудов. ^

Нижний Новгород : Изд-во «Интелсервис» Нф ИМАШ РАН. 1997. Вып.З. С.56-66.

Ю.Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т.7, № 4. С.35-47.

П.Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Солитоны деформации в стержнях, пластинах и оболочках. Обзор // Акустика неоднородных сред / Ежегодник Российского акустического общества. М.: Изд-во МФТИ. 2000. С.65-88.

12. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2002. -208с.

13. Erofeyev V.l., Kazhaev V.V., Semerilcova N.P. Waves in Cosserat Psevdocontinuum // Wave Processes in Solids with Microstructure. World Scientific. 2003. p. 131-146.

14. Семерикова Н.П. Вычисление констант упругости четвертого порядка по параметрам нелинейной стационарной волны // Прикладная механика и технологии машиностроения / Сб.научн.трудов. Нижний Новгород : Изд-во «Интелсервис» Нф ИМАШ РАН. 2003. Вып.2(6). С. 140-143.

15. Семерикова Н.Г1. Нелинейные волны в балке Тимошенко.// Тез.докл.Всероссийс.научн.конф. «Волновая динамика машин и конструкций» Н.Новгород. 2004. с.106.

Подписано в печать •• Н ¿о оч, Печать трафаретная

Объем / О п.л. Тираж ¿О о экз. Заказ /66

Отдел полиграфии AHO "МУК НГПУ" 603950, г.Нижний Новгород, ГСП-37, ул.Ульянова, 1

ç/.o/- c?/:ûj

РНБ Русский фонд

2006-4 1480

? 7 0HT 2004

Введение.;.

Глава 1. Солитоны и нелинейные периодические волны в стержнях, пластинах и оболочках (обзор).

1.1. Продольные волны в стержнях.

1.2. Изгибные волны в стержнях.

1.3. Крутильные волны в стержнях.

1.4. Волны в пластинах.

1.5. Волны в оболочках.

Глава 2. Нелинейные квазигармонические изгибные волны.

2.1. Сравнительный анализ основных математических моделей изгибных колебаний стержней.

2.2. Вариационный принцип построения нелинейных моделей стержней.

2.3. Уравнения динамики балки Тимошенко с учетом геометрической и физической нелинейностей.

2.4. Исследование модуляционной неустойчивости квазигармонических изгибных волн.

2.5. Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени. < Аналитические решения и качественный анализ.

2.6. Стационарные волны огибающих.

Глава 3. Несинусоидальные стационарные волны.

3.1. Сведение уравнения динамики балки Тимошенко к уравнению Дуффинга.

3.2. Анализ ограниченных решений уравнения Дуффинга.

3.3. Анализ различных случаев поведения стационарных волн.

3.4. Нелинейные дисперсионные соотношения.

3.5. Вычисление констант упругости четвертого порядка по параметрам нелинейной стационарной волны.

Диссертационная работа посвящена исследованию распространения нелинейных изгибных волн в балке Тимошенко.

Актуальность темы.

В задачах динамики упругих конструкций традиционно уделяется большое внимание распространению изгибных волн в стержнях и стержневых системах. В качестве базовой модели для проведения анализа часто выбирается математическая модель балки, предложенная С.П.Тимошенко. Эта модель, уточняющая техническую теорию изгиба стержней, предполагает, что поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформируемой срединной линии стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом поперечных сечений.

Модель балки Тимошенко занимает особое место в механике: позволяя хорошо описывать многие статические и динамические процессы, происходящие в реальных конструкциях, она остается достаточно простой, доступной для аналитических исследований.

Непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин и механизмов, ч забота о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, а также широкое внедрение в современную технику новых композиционных материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого часто оказывается недостаточно классических линейных теорий и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающих, в частности, геометрическую и физическую нелинейности.

Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных изгибных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны, эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала, но, с другой стороны, - они могут быть полезными и найти применение в технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике. Теоретические расчеты параметров нелинейных волн необходимы для изучения свойств новых конструкционных материалов, в частности, измерения нелинейных модулей упругости.

Цели работы:

- вывод уравнения балки Тимошенко, учитывающего геометрическую и физическую упругие нелинейности;

- аналитические решения ряда задач о распространении квазигармонических и существенно несинусоидальных изгибных волн в балке Тимошенко.

Научная новизна:

Научная новизна работы заключается в следующем: получена система уравнений балки Тимошенко с учетом геометрической и физической нелинейностей; система нелинейных уравнений балки Тимошенко в предположении малости углов поворота поперечных сечений сведена к одному уравнению относительно поперечного перемещения; в рамках полученной модели исследована модуляционная неустойчивость изгибных волн, а также получены аналитические решения стационарных волн огибающих; получены аналитические решения, описывающие существенно нелинейные стационарные волны деформации, как периодические, так и солитоны. проведен анализ качественно различных случаев поведения нелинейных волн, распространяющихся в металлических балках и балках из композиционных материалов. предложен и теоретически обоснован новый метод определения констант упругости четвертого порядка

Практическая значимость

Основные результаты диссертационной работы были получены в ходе выполнения научно-исследовательских программ Нф ИМАШ РАН по теме «Динамика волновых движений механических систем»; при выполнении работ по Федеральной целевой программе «Интеграция» 1997-2003 г.г. - проект № 0542 : Региональный учебно-научный центр «Механика материалов и конструкций» (рук.академик Митенков Ф.М., проф. Баженов В.Г.); по грантам

РФФИ ( № 96-02-19792; № 00-02-17337,№ 03-02-16924, рук. д.ф.-м.н. Ерофеев В.И.).

Некоторые результаты диссертации были использованы в учебном процессе • на кафедре теоретической механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И.Лобачевского и нашли отражение в учебном пособии Ерофеева В.И. «Введение в теорию упругих волн». Н.Новгород, 2001.

Основные положения, выносимые на защиту :

1. Сведение системы нелинейных уравнений балки Тимошенко к одному нелинейному уравнению относительно поперечного перемещения

2. Изучение эффектов самомодуляции квазигармонических изгибных волн:

- модуляционная неустойчивость;

- определение области неустойчивости в зависимости от коэффициента Пуассона;

- нелинейные стационарные волны огибающих.

3. Анализ качественно различных случаев поведения солитонов и периодических стационарных изгибных волн.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на Европейском научном коллоквиуме Евромех-295 «Волновые процессы в машинах и конструкциях» ( Нижний Новгород, 1992 ), Международной научно-технической конференции «Инженерно-физические проблемы авиационной и космической технике» (Егорьевск Моск.обл., 1995 ), IV Международной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1996), на научных семинарах Нф ИМАШ РАН, ННГУ, НИЛИМ (1997-2003г.)

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 14 научных работ [28],[29],[31],[134-141],[151,152], а также материалы диссертации вошли в монографию В.И.Ерофеев, В.В.Кажаев, Н.П.Семерикова "Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность." [142]

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения. Диссертация содержит 128 стр. текста, 53 рисунка. Список литературы включает 152 наименования.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Получено уравнение изгибных колебаний балки Тимошенко, учитывающее геометрическую и физическую нелинейности.

2. В рамках полученной модели изучена модуляционная неустойчивость квазигармонических изгибных волн. Показано, что при наличии слабой нелинейности, решение уравнения балки Тимошенко можно искать в виде гармонической волны с медленно меняющимися в пространстве и времени амплитудой и фазой. Построена область неустойчивости в зависимости от упругих свойств материала.

3. Получены аналитические решения, описывающие нелинейные стационарные волны огибающих. Рассмотрено два случая, в одном из которых образование стационарных волн огибающих является следствием модуляционной неустойчивости, в другом же случае механизм формирования стационарной волны (солитона) не является очевидным.

4. Проведен анализ качественно различных случаев поведения солитонов и периодических стационарных изгибных волн для металлических балок и балок из полимерных материалов (например, из оргстекла). Показано, что в металлических балках могут распространяться только периодические волны, а в балках из оргстекла возможно распространение солитонов. Исследованы зависимости между основными параметрами: амплитудой, скоростью распространения и коэффициентом нелинейных искажений формы волны. Получены нелинейные дисперсионные соотношения для периодических волн.

5. На основе аналитического решения, описывающего уединенную волну, предложен новый метод определения констант упругости четвертого порядка.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору В.И.Ерофееву за внимание к работе, обсуждения результатов и полезные замечания. Автор признателен также своим соавторам В.В.Кажаеву и Н.В.Клюевой, в работах с которыми получены результаты, вошедшие в диссертацию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В основе настоящей работы лежат результаты теоретических исследований, выполненных автором в Нижегородском филиале института машиноведения РАН им. А.А. Благонравова (Нф ИМАШ РАН).

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. -М.: Мир, 1987,479 с.

2. Авиационная акустика / Под ред. Мунина А.Г. М.: Машиностроение, 1986, Т.1,248 е., Т.2,264 с.

3. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, .1979,296 с.

4. Багдоев А.Г., Мовсисян J1.A. Квазимонохроматические волны в нелинейно-упругих пластинах // Изв. АН СССР. Механ. тверд, тела, 1981, №4.

5. Багдоев А.Г., Мовсисян JI.A. Некоторые вопросы распространения квазимонохроматических волн в пластинах и оболочках // Труды XXII Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1980.

6. Багдоев А.Г., Мовсисян JI.A. О нелинейных одномерных волнах в пластинах // Пробл. динамики взаимодействия деформир. сред. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1990, с. 50-52.

7. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука. 1982, 159с.

8. Березовский А.А., Жерновой Ю.В. Изгибные стационарные волны в стержнях при нелинейном законе упругости //Украинский матем. журнал. 1981. Т. 33. № 4. С. 493-498.

9. Березовский А.А., Жерновой Ю.В. Нелинейные продольно-поперечные стационарные волны в упругих стержнях // Сб. Матем. физика, № 30, Киев: Наукова думка, 1981, с. 41-48.

10. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука, 1991.

11. Буллаф Р.К., Кодри П.Дж. Солитоны.: Пер. с англ. М.: Мир, 1983,408 с.

12. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах М.: Мир, 1981, 136 с.

13. Быченков В.А. Волновое сопротивление движению нагрузок вдоль одномерных упругих систем. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Горький: ГГУ, 1988,184с.

14. Вакуленко С.А., Молотков И.А., Островский Л.А., Сутин А.М. Нелинейные продольные волны в упругих стержнях // Волны и дифракция, VIII Всес. симп. По дифракции и распространению волн. Т. 99.- М.,1981, с. 107-110.

15. Весницкий А.И., Романов Р.Д. К построению демпфера гашения изгибных колебаний балки//Прикладная механика. 1988. т.24.№6.с.122-124.

16. Вибрации в технике. Справочник. М.: Машиностроение, 1978, Т.1.

17. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X, Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. М.: Мир, 1988, 694 с.

18. Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов А.М., Семенова И.В., Сокуринская Е.В. Формирование и распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом твердом теле // ЖТФ, 1988, Т. 58, № ю, с. 2040-2047.

19. Дрейден Г.В., Островский Ю.И., Самсонов А.М., Семенова И.В., Сокуринская Е.В. Об экспериментах по распространение солитонов деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФ, 1995, Т. 21, Вып.11, с. 42-46.

20. Дрейден Г.В., Порубов А.В., Самсонов A.M., Семенова И.В. Генерация и наблюдение солитона продольной деформации в пластине. // Письма в ЖТФ, 1996, Т. 22, Вып.21, с. 61-68.

21. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // Успехи мат. наук, 1976, Т. 31, Вып. 1(187), с 55-136.

22. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд. Моск. ун-та, 1999, 328 с.

23. Ерофеев В.И. Пространственные колебания гибкого стержня // Прикл. механика, 1991, Т. 27, № 9, с. 100-106.

24. Ерофеев В.И. Распространение нелинейных изгибных волн в стержнях с движущимися закреплениями // Прикл. задачи динамики систем / Сб. научн. трудов / Горьк. ун-т., 1983, вып. 6, с. 90-107.

25. Ерофеев В.И. Солитоны огибающих при распространении изгибных волн в нелинейно-упругом стержне.// Акустический журнал, 1992, Т.38, № 1, с 172-173.

26. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Потапов А.И. Параметрическая трансформация продольных волн в изгибные в тонких стержнях // Волны и дифракция. М.: ИРЭ АН СССР, 1981, Т.2, с. 82-85.

27. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Квазигармонические изгибные волны в нелинейно-упругой балке Тимошенко // Испытания материалов и конструкций / Сб. научн. трудов. Н.Новгород, Изд-во «Интелсервис», 1996, с. 180187.

28. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Нелинейные стационарные изгибные волны в балке Тимошенко // Прикладная механика и технологии машиностроения / Сб. научн. трудов. Н.Новгород, Изд-во «Интелсервис», 1997, вып.З, с. 56-66.

29. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Моничев С.А., Семерикова Н.П. Влияние разномодульности материала и депланации на распространение нелинейных крутильных волн в стержне //

30. Испытания материалов и конструкций / Сб. Научн. трудов -Н.Новгород, Изд. "Интелсервис", 1999.

31. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Нелинейно-упругие волны в стержне Миндлина-Германа // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. № 4. с.

32. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Семерикова Н.П. Солитоны деформации в стержне Миндлина-Германа // Прикладная механика и технологии машиностроения. / Сб. науч. трудов. ННовгород: Изд-во «Интелсервис» НФ ИМАШ РАН, 1998, с. 85-95.

33. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Трехчастотные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в стержне // Динамика систем. Горький: 11 У, 1985, с. 75-84.

34. Ерофеев В.И., Потапов А.И., Солдатов И.Н. Нелинейные волны в упругих телах с пространственной дисперсией. Монография./ Горьковский ун-т. Деп. в ВИНИТИ 25.07.86, № 5440 -В 86,224с.

35. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные модели продольных колебаний стержней // Гидроаэромеханика и теория упругости / Всес. межвуз. сб. Днепропетровск: ДГУ. 1984, вып. 32, с.78-82.

36. Захаров В.Е. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов // ЖЭТФ, 1973, Т. 65, № 1(7), с. 219225.

37. Захаров В.Е., Манаков С.В. К теории резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах // ЖЭТФ, 1975, Т.69, Вып.5, с.1654-1673.

38. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литер., 1980,320 с.

39. Захаров В.Е., Михайлов А.В. Релятивистки-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи

40. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния II// Функц. анализ, 1979, Т.13, Вып.З, с.13-22.

41. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния I // Функц. анализ, 1974, Т.8, Вып.З, с.43-53.

42. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн // ЖЭТФ, 1971, Т.61, Вып. 1 (7), с. 118-134.

43. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках. Саратов, 1999, 130 с.

44. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988,304с.

45. Кажаев В.В. Волновые процессы в распределенных системах, взаимодействующих с сосредоточенными объектами. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1998, 138с.

46. Кажаев В.В., Потапов А.И., Семерикова Н.П. Локализованные стационарные волны и их свойства в тонком растянутом стержне // Волновые задачи механики / Сб науч. трудов. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1991, С. 123-129.

47. Кажаев В.В., Потапов А.И., Семерикова Н.П. Расщепление частицеподобных волн при встречных столкновениях // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1995, Т. 38, № 1-2, с. 100-105.

48. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны.: Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

49. Карпман В.И. Система солитонов под действием возмущения. Осцилляторные ударные волны // ЖЭТФ, 1979, Т. 77, Вып. 1(7), с.114-123.

50. Карпман В.И., Маслов Е.М. Структура хвостов, образующихся при воздействии возмущений на солитоны // ЖЭТФ, 1978, Т. 75, Вып.2(8), с. 504-517.

51. Каудерер Г. Нелинейная механика. -М.: Наука. 1961. 777с.

52. Кившарь Ю.С., Сыркин Е.С. Сдвиговые солитоны в упругой пластине // Акустич. журнал, 1991, Т.37, Вып.1, с. 104-109.

53. Ковригин Д.А. Нелинейная динамика тонкостенных циллиндрических оболочек. Свободные колебания // Препр. Гф. ИМАШ АН СССР, Горький, 1990,24с.

54. Ковригин Д.А. Нелинейные резонансные взаимодействия волн в упругих элементах конструкций. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Н.Новгород: Нф ИМАШ РАН, 1992,140с.

55. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейные резонансные взаимодействия продольных и изгибных волн в кольце // Докл. АН СССР, 1989, Т. 305, № 4, с. 803-807.

56. Косевич А.М., Ковалев А.С. Введение в нелинейную физическую механику. Киев. Наукова думка. 1989.304с.

57. Лэм Дж. JI. Введение в теорию солитонов: Пер. с англ. М.: Мир, 1983,294 с.

58. Лэмб Дж. Элементы теории солитонов: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

59. Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик, Фам ши Винь. Уединенные волны в упругопластической среде с предварительным напряжением // Докл. АН БССР, 1991, Т. 35, № 4.

60. Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик. Уединенные волны в нелинейной упругой среде с трением // Весщ АН Беларусь Сер. физ.-мат. наук, 1992, № 1

61. Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик. Существование уединенных волн, распространяющихся в упругопластическом пространстве // Дифф. уравн. 1990. Т.26 № 12.

62. Мартынов А.В. Качественный анализ продольных вибрационных колебаний в тонкой пластине // Избр. вопр. алгебры, геометрии и дискр. математики / МГУ. мех.- мат. фак. М., 1992.

63. Марченко В.А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. Киев: Наук. Думка, 1986. 156с.

64. Метрикин А.В. Стационарные волны в нелинейно-упругой системе, взаимодействующей с движущейся нагрузкой // Акустич. журнал, 1994, Т. 40, № 4, с. 647-650.

65. Милосердова И.В. Об одной возможности акустического измерения упругих констант четвертого порядка // Горьк. ун-т./ Горький, 1983,-8с.-Деп. в ВИНИТИ 28.03.83, № 1796.

66. Милосердова И.В., Новиков А.А., Потапов А.И. Импульсные волны в одномерной системе с нелинейными границами // Волны и дифракция. Т.П. Москва, 1981, с. 118-121.

67. Милосердова И.В., Потапов А.И. Нелинейные стоячие волны в стержнях конечной длины // Акустич. журнал, 1983, Т. 29, Вып.4, с. 515-520.

68. Милосердова И.В., Потапов А.И. Продольные колебания в стержне с нелинейно-упругим закреплением // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980, № 6, с. 178-183.

69. Милосердова И.В., Потапов А.И. Релаксационные колебания в консервативных линейных системах с нелинейными граничными закреплениями // Динамика систем, Горький: Изд-е Горьк. университета. 1987. с. 172-182.

70. Моисеев И.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. 1969.320с.

71. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях // Интерференционные волны в слоистых средах. 1. Зап. науч. семин. ЛОМИ, Т. 99.- Л.: Наука,1980, с. 64-73.

72. Мягков Н.Н. О динамической локализации деформации в разупрочняющемся стержне // Механ. композиц. матер, и констр., 199, Т. 5, № 3, с. 28-32.

73. Наугольных К.А., Островский JI.A. Нелинейные волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990.

74. Никифоров А.С., Будрин С.В. Распространение и поглощение звуковой вибрации на судах. JL: Судостроение, 1968,216 с.

75. Николаевский В.Н. Гидромеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996.

76. Новиков А.А. О применении метода связанных волн к анализу нерезонансных взаимодействий // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1976, Т. 19, №2, с. 321-323.

77. Островский JI.A., Пелиновский Е.Н. О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и дисперсией // ПММ, 1974, Т. 38, Вып. 1, с. 121-124.

78. Островский Л.А., Сутин А.М. Нелинейные упругие волны в стержнях // Препр. / НИРФИ, 1975, №71.

79. Островский Л.А., Сутин А.М. Нелинейные упругие волны в стержнях // ПММ, 1977, Т. 41, Вып. 3, с. 531-537.

80. Порубов А.В., Самсонов А.М. Уточнение модели распространения продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФ, Т.19, Вып.12, с. 26-29.

81. Потапов А.И., Семерикова Н.П. Нелинейные продольные волны в стержнях с учетом взаимодействия полей деформации и температуры//ПМТФ, 1988, № 1, с. 57-61.

82. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиоптическое приближение для пучка сдвиговых волн в нелинейной наследственной среде // ПМТФ, 1986, №1,с.144-147

83. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиплоский пучок нелинейных продольных волн в пластине.// Акустический журнал. 1984. Т.30. В.6. с. 819-822.

84. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.432с.

85. Рыбак С.А., Скрынников Ю.И. Уединенная волна в тонком стержне постоянной кривизны // Акустич. журнал, 1990, Т. 36, № 4, с. 730-732.

86. Самсонов A.M. О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне // ДАН СССР, 1988, Т. 299, с. 1083-1086.

87. Самсонов А.М. Солитоны в нелинейно-упругих стержнях с переменными свойствами // Пробл. нелинейн. и турбулент. процессов в физ. Труды П Междунар. раб. группы, 1983, ч.1.-Киев: Наук, думка, 1985, с. 219-221.

88. Самсонов А.М. Существование и усиление уединенных волн в нелинейно-упругих волноводах. // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1988, № 1259, с.1-26.

89. Самсонов A.M. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения. // ДАН СССР, 1984, Т.277, № 2, с. 332-335.

90. Самсонов А.М., Сокуринская Е.В. Нелинейные волны деформации в упругих волноводах, взаимодействующих с внешней средой // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1988, № 1293, с. 1-32.

91. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. О возможности возбуждения солитона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне // ЖТФ, 1988, Т. 58, Вып. 8, с. 1632-1634.

92. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. Солитоны продольного смещения в неоднородном нелинейно-упругом стержне. // Препр. / АН СССР, Физ.-тех. ин-т, 1985, № 983, с. 1-44.

93. Самсонов А.М., Сокуринская Е.В. Солитоны продольной деформации в нелинейно-упругих стержнях // Теория распространения волн в упругих и упругопластических средах. Новосибирск: ИГД СО АН СССР, 1987, с.28-32.

94. Самсонов А.М., Сокуринская Е.В. Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне // ПММ, 1987, Т. 51, Вып. 3, с. 483-488.

95. Скрынников Ю.И. Солитон со сглаженным профилем нелинейного уравнения Клейна-Гордона // Акустич. журнал, 1998, Т. 44, №5, с. 712-714.

96. Сокуринская Е.В. Некоторые точные решения задачи о нелинейных упругих волнах в пластине. // Письма в ЖТФ, 1994, Т.20, Вып.З, с. 36-41.

97. Солитоны в действии /Под ред. К. Лонгрена и Э.Скотта : Пер. с англ. М.: Мир, 1981,312 с.

98. Тахтаджян Л. А. Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука. 1986. 528с.

99. Топчян Д.Х. Волны модуляций в пластинах на упругом основании // Пробл. динамики взаимодействия деформир. сред. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1987, с. 270-274.

100. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977, 622 с.

101. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 944 с.

102. Ю1.Човнюк Ю.В. Нелинейные волнообразования нестационарных процессов в деформируемых средах и телах. Дисс. канд. физ,-матем. наук. Киев. КИСИ. 1998, 155с.

103. Шенявский Л.А. Влияние геометрической нелинейности на волны, распространяющиеся в свободной тонкой пластине // ПММ, 1979, Вып.6, Т.43, с. 1089-1094.

104. ЮЗ.Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М.: Наука, 1981,256 с.

105. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur Н. Nonlinear evolution equation of physical significance // Phys. Rev. Lett, V.31, pp. 125-127.

106. Abramian A.K., Indejtsev D.A., Vakulenko S.A. Wave localization in hydroelastic systems // Flow, Turbulence and Combustion. 1999. № 61. pp 1-20.

107. Bejda J. Propagation of nonlinear dispersive and dissipative waves // Arch. mech. stosow., 1977, V. 29, № 3, pp. 477-490.

108. Clarcson P.A., LeVeque R.J., Saxton R. Solitary wave interaction in elastic rods // Stud. Appl. Math., 1986, V. 75, № 2, pp. 95-122.

109. Erofeyev V.I., Semerikova N.P. Nonlinear modulated waves in the Timoshenko beam // Wave mechanical systems / Prog, intern, seminar. Kaunas: Technologija. 1996, pp. 12-15.

110. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967, 19, pp. 1095-1097.

111. Каир D.J., Newell A.C. Solitons as particles, oscillators and in slowly changing media: a singular perturbation theory // Prog. Roy. Soc. London A, 1978, 361, pp.413-446.

112. Kodama J., Ablowitz M. Perturbation of solitons and solitary waves // Stud. Appl. Math., 1981, V.64, pp.225-245.

113. Kovriguine D.A., Potapov A.I. Nonlinear waves in elastic bar // Eur. J. Mech. A. / Solids, 1996. V. 15, pp. 1049-1075.

114. Nakamura A. Soliton formation process calculated for longitudinal sound waves in solid bar // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международного симпозиума по нелинейной акустике. 4.1. Новосибирск. 1987. с. 378- 382.

115. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods // J. of Math and Phys. Sciences. 1970, v.4, pp.64-73.

116. Nariboli G.A., Sedov A. Burgers's-Korteweg-de Vries equation for viscoelastic rods and plates // J. Math. Anal. And Appl., 1970, v.32, № 3, pp.661-667.

117. Planat M., Hoummady M. Observation of soliton-like envelope modulation generated in an anisotropic quartz plate by metallic in interdigital transducers // Appl. Phys. Lett, 1989, V.55, № 2, p. 103.

118. Porubov I.V., Samsonov A.M., Velarde M.G., Bukhanovsky A.V. Strain solitary waves in an elastic rod embedded in another elastic external medium with sliding // Phys.Rev. E, 1998, V.58, i3, pp.38543864.

119. Potapov A.I., Vesnitsky A.I. Interaction of solitary waves under head-on collections/ Experimental investigation // Wave Motion, 1994, V. 19, pp. 29-35.

120. Rudnick I., Wu J., Wheatley J., Putterman S. Flexural waves envelope solitons in a metallic cylindrical thin shell. // Проблемы нелинейной акустики. Сб. трудов XI Международ, симп. по нелин. акустике. Ч.2.-Новосибирск, 1987, с. 208-212.

121. Samsonov А.М. // Proc. of the Intern, conf. On Plasma Physics, V.4.-Kiev: Naukova dumka, 1987, pp. 88-90.

122. Samsonov A.M. Soliton in nonlinear elastic rods with variable characteristics // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. V.2 / ed. R.Z. Sagdeev.-N.Y.: Gordon and Beach, 1984, p. 1029-1035.

123. Samsonov A.M., Dreiden G.V., Porubov I.V., Semenova I.V. Longitudinal strain soliton focusing in a narrowing nonlinearly elastic rod// Phys.Rev.B, 1998, V.57,№ 10,pp.5778-5787.

124. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1984, V. 76, № 3, pp. 871-879.

125. Soerensen M.P., Christiansen P.L., Lomdahl P.S., Scovgaard O. Solitary waves on nonlinear elastic rods. I // J. Acoust. Soc. Amer., 1987, V. 81, №6, pp. 1718-1722.

126. Taniuti Т., Wei C.C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation I // J. Phys. Soc. Jpn., 1968, V. 24, pp. 941-946.

127. Zakharov V.E., Kuznetsov E.A., Rubenchik A.M. Soliton stability // Prepr./ Inst. Automaton & Electrometry SB AN USSR.- 1983. № 199. pp. 1-62.

128. Ерофеев В.И.,Раскин И.Г. О распространении сдвиговых волн в нелинейно-упругом теле // Прикл. Механика, 1991. Т.27, №1. С. 127-129.

129. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966.

130. Зарембо JI.K., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // УФН, 1970, т. 102, №4. С.549-586.

131. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

132. Неразрушающий контроль материалов и элементов конструкций / Под ред. А.Н.Гузя. Киев: Наук. Думка, 1981.

133. Шалашов Г.М. Кросс-модуляция акустических волн на кубической нелинейности твердых тел // Акуст. журнал, 1984. Т.30. №3. С.386-390.

134. Semerikova N.P. On a New Class of Solitary Waves in a Rod // Wave Processes in Machinery and Structures / European Mechanics Colloquium "EUROMECH 295". Abstracts. Nizhny Novgorod. 1992. P.58.

135. Кажаев B.B., Семерикова Н.П. Солитоноподобные решения модифицированного уравнения Буссинеска // Волновые задачи механики / Сб.научн.трудов. Н.Новгород. Изд. Нф ИМАШ РАН, 1992. Вып.З. С.80-86.

136. Семерикова Н.П. Стационарные продольные волны в нелинейно-упругом стержне // Волновые задачи механики / Сб.научн.трудов. Н.Новгород. Изд. Нф ИМАШ РАН, 1994. Вып.4 С.121-144.

137. Ерофеев В.И., Семерикова Н.П. Нелинейные изгибные волны в упругом стержне. Балка Тимошенко // Тез.докл.

138. Междунар.научно-технич.конф. « Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники ». Егорьевск : Изд-во ЕАТК ГА. 1995. T.I. С.100.

139. Erofeyev V.I., Semerikova N.P. Nonlinear Modulated Waves in the Timoshenko Beam // Wave Mechanical Systems. Kaunas : Technologija. 1996. P. 12-15.

140. Ерофеев В.И., Кажаев B.B., Семерикова Н.П. Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени // Испытания материалов и конструкций / Сб.научн.трудов. Нижний Новгород: Изд-во «Интелсервис» Нф ИМАШ РАН. 1996. Вып.1. С. 166-179.

141. Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Расщепление частицеподобных волн в среде с квадратичной нелинейностью // Тез.докл. IV Междунар.конф. «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород. Изд. НИИ ПМК при ННГУ, 1996. С.66-67.

142. Ерофеев В.И., ЬОпоева Н.В., Семерикова Н.П. Солитоны деформации в стержнях, пластинах и оболочках. Обзор // Акустика неоднородных сред / Ежегодник Российского акустического общества. М.: Изд-во МФТИ. 2000. С.65-88.

143. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -208с.

144. Куликовский А.Г. Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболичесих систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -608с.

145. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ, 1973. - 272с.

146. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные модели продольных колебаний стержней. Всесоюзн. межвуз. сб. : Гидроаэромеханика и теория упругости . Днепропетровс. ун-т. 1984. вып. 32, с.78-82.

147. Бердичевский В Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука. 1983. -448с.

148. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз. 1961.-228с.

149. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. 3-е изд. - М.: Наука. 1965.-204с.

150. Весницкий А.И., Милосердова И.В. Гашение продольных колебаний стержней с помощью подстроечных элементов //Акуст. журнал. 1994. Т.40. №3. С.337-339.

151. Колбин А. А. Нелинейная модель связанных продольно-изгибных колебаний стержня. Магистерская диссертация. Н.Новгород. ННГУ. 2004.

152. Erofeyev V.I., Kazhaev V.V., Semerikova N.P. Waves in Cosserat Psevdocontinuum // Wave Processes in Solids with Microstructure. World Scientific. 2003. p.131-146.

153. Семерикова Н.П. Нелинейные волны в балке Тимошенко.// Тез.докл.Всероссийс.научн.конф. «Волновая динамика машин и конструкций» Н.Новгород. 2004. с. 106.