Реконструкция неоднородных свойств балок при анализе изгибных и изгибно-крутильных колебаний тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи _____

005539220

Осипов Алексей Владимирович

РЕКОНСТРУКЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ СВОЙСТВ БАЛОК ПРИ АНАЛИЗЕ ИЗГИБНЫХ И ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

21 т 2013

Ростов-на-Дону — 2013

005539220

Диссертационная работа выполнена в ФГБОУ ВПО Донской государственный технический университет.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты:

Соловьев Аркадий Николаевич, доктор физико-математаческих наук, доцент, Донской государственный технический университет, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика».

Сметанин Борис Иванович, доктор технических наук, доцент, Южный федеральный университет, профессор кафедры теоретической и компьютерной тдроаэродинамики.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Ростовский государственный университет путей сообщения.

Защита состоится «18» декабря 2013 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212.058.03 в ФГБОУ ВГ10 Донской государственный технический университет по адресу: 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, аудитория № 252.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДГТУ.

Автореферат разослан «15» ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кренев Л.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Балочные конструкции являются широко распространенными элементами авиационных, строительных конструкций, технических устройств. Часто элементы машин, механизмов и сооружений, относящиеся к классу стержневых систем, имеют неоднородные характеристики, в том числе переменную жесткость. Неоднородное™ в таких балочных элементах могут возникать как на этапе изготовления, так и в процессе эксплуатации. В случае использования балок переменной жесткости удается обеспечить необходимые эксплуатационные показатели всей конструкции более эффективно по сравнению с элементами с постоянными параметрами, что характерно для проблем оптимизации за счет использования переменного сечения. Переменная жесткость в балках может возникать в результате наличия переменных геометрических характеристик или в силу переменного модуля Юнга. Балки с переменными геометрическими характеристиками являются элементами несущих частей различных строительных конструкций, широко применяются в мостостроении. Переменность свойств возникает также и на этапе эксплуатации в сложных условиях, под действием агрессивной среды, радиационного облучения и.т.д. В связи с необходимостью мониторинга изменений, протекающих в таких конструкциях, возникает потребность в идентификации неоднородных свойств балочных систем, входящих в такие конструкции. Идентификация неоднородных свойств балок позволяет проанализировать изменения в балках, возникающие в процессе эксплуатации, отследить на ранних этапах дефекты, появляющиеся в балках, спрогнозировать возможность дальнейшей эксплуатации данных конструкций.

В последнее время в практику все чаще внедряются элементы конструкций из функционально-градиентных материалов, физические свойства которых меняются непрерывным образом. Идентификация законов изменения этих свойств в готовых изделиях может быть осуществлена лишь на основе акустического мониторинга.

В наклонно направленных нефтедобывающих скважинах основным элементом, ограничивающим надежность и работоспособность установки, является штанговая колонна. Наибольшее число отказов штанговых колонн вызвано обрывами штанг. Предполагается, что обрыву штанги предшествует появление участка с меньшей площадью поперечного сечения. Следовательно, причины обрывов следует искать в методике подбора штанговых колонн по части оценок максимальных и минимальных нагрузок на штанги и допускаемых напряжений. Повышение надежности штанговых колонн возможно на основе разработки и внедрения мероприятий, направленных на своевременную идентификацию дефекта в

штанге и прогнозирование возможности продолжения эксплуатации штанги с дефектом.

Таким образом, исследование задач о колебаниях балок переменной жесткости весьма актуально как с точки зрения оценки влияния неоднородносгей различного типа на амплитудно-частотные характеристики, резонансные частоты, так и с точки зрения идентификации неоднородносгей, как распределенных, так и локализованных. Цель работы состоит в разработке методики определения локализованных и непрерывно распределенных неоднородносгей в балках при анализе изгибных и изгибно-крутильных колебаний, в проведении серии вычислительных экспериментов, позволяющих оценить ее эффективность, дать рекомендации по выбору частотного диапазона и режима нагружения. Методика исследований прямых задач для неоднородных балок основана на сведении исходных краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, решение которых осуществлено численно методом коллокаций, или на реализации метода пристрелки. Решение обратных задач идентификации неоднородных характеристик в балках основано на сведении соответствующих задач к задачам Коши. Важной составляющей решения обратных задач является регуляризация входных данных о функциях, заданных в наборе точек, методом сплайн-функций. Обратные задачи о восстановлении параметров симметричного тонкого надреза решаются путем получения формул для поправок к резонансным частотам в балке с дефектом, а также в последующем решении соответствующих систем трансцендентных уравнений.

Научная новизна данной работы заключается в исследовании новых постановок обратных задач для балочных конструкций переменной жёслхоста, разработке методов решения обратных задач в таких постановках. В рамках моделей Эйлера - Бернулли и Тимошенко разработаны методы определения переменной жесткости, идентификации дефекта в балках, получены формулы и предложены методы для идентификации параметров симметричного тонкого надреза. Достоверность результатов, полученных в настоящей работе, основана на получении корректных уравнений и граничных условий для изучаемых моделей и корректном сведении этих соответствующих краевых задач к интегральному уравнению Фредгольма второго рода или к системе задач Коши, используемых при решении методом пристрелки. Показателем достоверности являются таюке сравнение результатов, полученных в настоящей с работе, с известными экспериментальными данными, а таюке с точными аналитическими решениями для частных случаев. Практическая ценность результатов исследования заключается в рекомендации выбора силового воздействия на консольную балку,

обеспечивающего однозначную разрешимость задачи, в предложении новых методов идентификации локализованных неоднородносгей в балках на основе акустического метода.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: VI - VIII Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», пос. Дивноморское, 2011 - 2013 г.; XV - XVI международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 2011 - 2012 г.; VII Международная конференция «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела», п. Мелекино, Украина, 2013 г.; Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», г. Тула, 2013 г.; VII Всероссийская (с международным участием) конференция по механике деформируемого твердого тела. г. Ростов-на-Дону, 2013 г.

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе три статьи опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 93 наименований, включает 50 рисунков и 9 таблиц общим объемом 117 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по идентификации неоднородносгей в балках для различных моделей, обосновывается актуальность тематики диссертационной работы, определяется1' цель исследования, излагается научная новизна и практическая значимость работы, приводятся сведения об апробации работы и публикациях.,, В первой главе диссертации изложены постановки прямых задач для неоднородных консольно закрепленных .бэлок, при использовании вариационных методов получены корректные уравнения и граничные условия, описывающие различные типы колебаний балок., В параграфе 1.1 сформулирована постановка прямой задачи об изгибных колебаниях консольно закрепленной балки с переменным модулем Юнга. Рассматриваются установившиеся колебания упругой балки длины L переменной жесткости El с частотой со. В рамках модели Эйлера -Бернулли уравнение колебаний имеет вид:

, (K(x)I(x)w"(x))" - р (О 2 F(x)w(x) =;р, : (1)

где Е(х) - модуль Юнга, 1(х) - момент инерции, р - плотность материала, Е(х) - площадь поперечного сечения. Граничные условия для нагружения сосредоточенным моментом на конце х = принимают вид: н-(0) = и>'(0) = 0, Е(ЩЩ и'\Ь) = М,

(ВД/(*ХС*))'(£) = о

Граничные условия для нагружения сосредоточенной силой на конце имеют вид:

и<0) = и>'(0) = 0, Е(Ь)1(Ь)= 0,

(Е(х)1(х)^(х))ХЬ) = Р (3)

Выполнено обезразмеривание задачи, введена безразмерная функция

тл/ \ Е(Х) Г

изменения переменной жесткости В{х) =--, где Ь0 - характерное

Ео

значение модуля Юнга, а также безразмерный спектральный параметр,

с - .4 Р^Р И связанный с частотой колебании к =-Ь .

Прямая задача состоит в нахождении из уравнения (1) функции смещения и'(х), удовлетворяющей граничным условия (2) для случая нагружения сосредоточенным моментом или граничным условиям (3) для случая нагружения сосредоточенной силой, при заданном законе изменения функции безразмерной жесткости при некотором значении спектрального параметра к. Дифференциальный оператор в уравнении (1) имеет переменные коэффициенты, поэтому соответствующие краевые задачи могут быть исследованы лишь численно.

В параграфе 1.2 сформулирована постановка частных задач об изгибных колебаниях консольно закрепленной балки переменного поперечного сечения. Рассматриваются следующие варианты переменного сечения: поперечное сечение в виде прямоугольника переменной высоты и поперечное сечение в виде круга переменного радиуса. В результате обезразмеривания каждой из задач введены следующие безразмерные функции: g(x) - безразмерный закон изменения переменной высоты для

поперечного сечения в виде прямоугольника, г(х) - безразмерный закон изменения переменного радиуса для поперечного сечения в виде круга.

Прямая задача состоит в нахождении функции смещения при заданных законах изменения геометрических характеристик.

В параграфе 1.3 сформулирована постановка прямой задачи об изгибно-крутильных колебаниях консольно закрепленной балки с неоднородными характеристиками. Из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского получены корректные уравнения и граничные условия, описывающие изгибно-крутильныё колебания консольно закрепленной балки с переменными характеристиками, имеющие вид:

| '(е(х)1,(х)^{х))"-ра2Г(хЫх)-ра>%(х)в(х) = О, (4)

{-- [е(х)!г(х)В"{х))' + [0{х)1а (х)0\х)) + ра211,(х)в(х) + рсо^М*) = О

Граничные условия для консольной закрепленной балки длины Ь в случае нагружения сосредоточенным моментом на свободном конце имеют вид:

№(0) = 0, 1/(0) = 0, ЕЩ1уЩм>"Щ = М, (Е(х)1у(х)п\х)]ш = 0, вф) = О, ОЩ = 0, ЕЩ1, Щв'Щ = 0, ©

{(Е{х)1^х)в\х)) -О(х)/,,(*)0'(*)) Щ = 0

Прямая задача заключается в нахождении функции смещения ■и'(лг) и функции угла поворота 0(х), удовлетворяющих системе уравнений (4) и граничным условия (5) при заданной входной информации о законах изменения функции модуля Юнга Е(х) и функции модуля сдвига С(х).

В параграфе 1.4 сформулирована постановка прямой задачи об установившихся с частотой а> изгибных колебаниях консольно

закрепленной при д: = 0 балки с дефектом в виде симметричного тонкого надреза длины 21 с центром в точке х = с, нагруженной сосредоточенной силой при х — Ь . Рассматриваются установившиеся колебания с частотой О) упругой балки длины Ь, ослабленной тонким надрезом длины 21 с центром в точке с. Считается, что балка на конце X = 0 жестко закреплена, а на конце х = Ь действует сосредоточенная сила. Будем считать модуль Юнга постоянным по всей длине балки, а поперечное сечение балки - прямоугольником ширины Ь и высоты Н на неповрежденном участке и высоты И в ослабленном месте.

Прямая задача заключается в нахождении функции смещения балки с надрезом м(х), построении амплитудно-частотных характеристик и нахождении значений резонансных частот для различных параметров надреза (координата центра надреза с, ширина надреза 21, глубина надреза Н-И).

В параграфе 1.5 сформулирована постановка прямых задач о колебаниях неоднородной балки для модели Тимошенко, аналогичных задачам, описанным в параграфах 1.1, 1.4 для модели Эйлера - Бернулли. Уравнение колебаний консольно закрепленной балки для модели Тимошенко имеет вид:

- (¿ад^(х)И-с) + <//(*)))' - рсо^(хМх) = 0, (6) -(Е(х)1(х)у/'(х)) + к'С(х)Е(х^'(х) + 1//(х)) - ра21(х)<//(х) = О

Граничные условия для общего нагружения сосредоточенной силой и моментом на конце имеют вид:

ы(0) - О, КО) - 0, ЕЩ1{Ц)у/{Ь) = М0,

(к'С(х1)Е(х1)(*>'(х1) + У(х1)Ш)=Ро (?)

Прямая задача состоит в нахождении из системы уравнений (б) функций и (//(х), удовлетворяющих граничным условиям (7), при

заданных законах изменения функций модуля Юнга Е(х), модуля сдвига С(х) и геометрии поперечного сечения.

Рассматривается также задача о колебаниях балки с поперечным сечением в виде прямоугольника с симметричным тонким надрезом для модели Тимошенко.

В параграфе 1.6 сформулированы постановки обратных задач о реконструкции неоднородных свойств балок и восстановлении параметров симметричного тонкого надреза в балке, также выполнено сравнение постановок обратных задач, исследованных в настоящей диссертационной работе, с исследовавшимися ранее. Основным отличием является способ задания входной информации: в настоящей работе постановки обратных задач.заключаются в восстановлении характеристик стержня при входной информации о значениях функции смещения по всей длине балки при фиксированном значении частоты колебаний, а в ранее исследовавшихся обратных задачах в качестве входной информации задается АЧХ конца стержня в некотором частотном диапазоне. Обратная задача в первой

постановке малоисследован^, но при этом проще для построения решений, это объясняется тем, что такая обратная задача является линейной, а обратная задача во второй постановке - нелинейной, что существенно усложняет алгоритмы решения. С другой стороны, недостатком обратной задачи в первой постановке является более высокая сложность измерений входной информации по сравнению с обратной задачей во второй постановке, При этом исследование обратных задач в первой постановке позволяет сделать сравнительный анализ типов нагружений с точки зрения решения обратных задач.

В пунктах 1.6.1 - 1.6.3 сформулирован ряд обратных задач по восстановлению переменной жесткости, законов изменения модуля Юнга, модуля сдвига по входной информации о смещениях и углах поворота в наборе точек.

В пункте 1.6.4 сформулирована постановка обратной задачи о восстановлении параметров симметричного тонкого' надреза. Требуется восстановить параметры симметричного тонкого надреза (координата центра надреза, ширина надреза, глубина надреза) по известной входной информации о значениях трех резонансных частот балки с дефектом.

В пункте 1.6.5 сформулирована постановка обратной задачи о восстановлении переменных характеристик для балки модели ТиМошенко. Требуется восстановить Ь(х) - безразмерный закон изменения модуля Юнга, с(х) - безразмерный закон изменения модуля сдвига по известной входной информации о функциях

и>(хгк) = }Угу/{х1,к) = ц/р у = 1,2,...,«..

В параграфе 1.6.6 сформулирована постановка обратной задачи о восстановлении параметров симметричного тонкого надреза. Требуется восстановить параметры симметричного тонкого надреза (координата центра надреза, ширина надреза, глубина надреза) по известной входной информации о значениях резонансных частот балки с дефектом.

Во второй главе представлены методы решения прямых задач, возникающих при исследовании изгибных и изгибно-крутильных колебаний балок с неоднородными свойствами. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие оценить точность предложенных методов.

В параграфе 2.1 представлено решение задач об изгибных колебаниях неоднородных балок методом сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода. Прямая задача об изгибных колебаниях консольно закрепленной балки с переменным модулем Юнга с • нагружением сосредоточенной силой на конце (1), (3) сведена к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода:

где

K(x,s) =

Отметим, что построенное ядро K(x,s) является непрерывной функцией двух переменных при любых положительных функциях В(х), даже разрывных. Решение интегрального уравнения (8) получено методом коллокаций.

В случае нагружения на свободном конце сосредоточенным моментом исследуется краевая задача (1), (2), для которой получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода, аналогичное (8), которое отличается от уравнения (8) только видом правой части. Также получены и решены методом коллокации интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода для прямых задач об изгибных колебаниях консольно закрепленной балки с переменным поперечным сечением. Исследованы некоторые общие свойства решения. Доказано, что при нагружении сосредоточенной силой на конце w(x) отрицательна и монотонно убывает при любом законе

изменения В(х) в частотном диапазоне до первой резонансной частоты. Аналогичное утверждение справедливо для нагружения сосредоточенным моментоМ: при любом законе изменения переменной жесткости м>(л:)

положительна и монотонно возрастает в промежутке до первого резонанса.

Проведен ряд вычислительных экспериментов по решению прямых задач об изгибных колебаниях балок с переменным модулем Юнга, выполнено сравнение результатов, полученных при вычислении данным методом, с точным аналитическим решением для случая, когда В(х) -

const, показана высокая точность предложенного метода. В параграфе 2.2 представлено решение прямых задач об изгибных колебаниях неоднородной балки методом пристрелки. Метод пристрелки заключается в сведении краевой задачи к канонической системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка. Для нахождения функции

В(§)

О < л: < s

смещения м(х) решаются две независимые задачи Коши, каждая из которых представляет собой систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка с условиями, заданными в точке х = 0, различными для каждой из задач. Далее для удовлетворения условиям на другом конце решена система линейных алгебраических уравнений. Проведен ряд вычислительных экспериментов, показана высокая точность предложенного метода, построены графики АЧХ и проведено исследование влияния на резонансные частоты различных законов изменения модуля Юнга, а также различных законов изменения характеристик поперечного сечения.

В параграфе 2.3 представлено решение прямой задачи об изгибно-крутильных колебаниях балки методом пристрелки. Краевая задача (4) -(5) сводится к канонической системе восьми дифференциальных уравнений первого порядка. Для нахождения функций \у(х) и в(х) решаются

четыре независимые задачи Коши, каждая из которых представляет собой систему восьми дифференциальных уравнений первого порядка с различными условиями, заданными в точке х = 0. Далее для удовлетворения условиям на конце х = 1 решена система линейных алгебраических уравнений. Проведен ряд вычислительных экспериментов по решению прямых задач для различных пар законов неоднородности. В параграфе 2.4 проведено аналитическое исследование прямой задачи о колебаниях балки с симметричным тонким надрезом. Для упрощения постановки прямой задачи о колебаниях балки с симметричным тонким надрезом рассмотрена модель трехэлементной балки, на каждом участке которой характеристики постоянны. Проведен ряд вычислительных экспериментов по исследованию резонансных частот для различных значений параметров надреза, выполнено сравнение полученных резонансных значений для различных параметров симметричного тонкого надреза с экспериментальными данными, продемонстрирована высокая точность предложенного метода.

В параграфе 2.5 получена приближенная формула, связывающая значения резонансных значений балки с симметричным тонким надрезом и неповрежденной балки:

*О4^о(сО>~40»О(сО)2)) (9)

|м'ц(.х)с£с

о

неповрежденной балки, к - резонансное значение симметричным тонким надрезом, и'0(л:) - функция, собственную форму

1 + у + у2

неповрежденной / Л

У

для , балки с определяющая балки,

с

Т'

У^210{\-у), /0 =

у ¿11

Проведен ряд вычислительных экспериментов по оценке точности предложенной формулы, выполнено сравнение точных значений резонансных частот, полученных из модели трехэлементной балки, и приближенных значений,. посчитанных по формуле (9), относительная погрешность не превышает 2%.

В параграфе 2.6 описаны решения прямых задач для модели Тимошенко. Прямая задача о колебаниях балки модели Тимошенко с переменными модулем Юнга и модуля сдвига решена методом пристрелки. Также исследованы колебания балки с симметричным тонким надрезом для модели Тимошенко. Построена модель трехэлементной балки, аналогичная модели, описанной в параграфе 1.4 для модели Бернулли. Получены также функции, описывающие собственные формы для модели Тимошенко. Также получено соотношение для поправки к резонансным частотам, аналогичное (9) для модели Бернулли:

к =У 'о

К^о (с0) - л, (<//;(с0 ))2 - л2(м>;(с0)+у/0(с0))2

I

(10)

М'д (х)с!х

где к0 - резонансное значение спектрального параметра для неповрежденной балки, к - резонансное значение для балки с симметричным тонким надрезом, н>0(х), 1//0(х) - функции, характеризующие собственные формы неповрежденной балки,

¿Л

А =■

у

3,,52 - параметры введенные при обезразмеривании,

зависят от постоянных физических и геометрических характеристик балки, не зависят от у. Проведен ряд вычислительных экспериментов, показана высокая точность предложенной приближенной формулы (10).

В третьей главе изложены методы решения обратных задач для балок с неоднородными свойствами. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие оценить точность предложенных методов. В параграфе 3.1 обращено внимание на некорректность обратных задач в рассматриваемой постановке, заключающаяся в том, что необходимо находить производные первого и второго порядка от функций, заданных в наборе точек. Для регуляризованного вычисления производных предложен метод интерполяции сплайнами.

В параграфе 3.2 предложен подход для решения обратной задачи о восстановлении переменного модуля Юнга при анализе изгибных колебаний балки. Получены решения в виде формул: 1

В(х) =---------(1!)

н> (х)

- при нагружении сосредоточенной силой;

В(х) =------(12)

IV О)

- при нагружении сосредоточенным моментом.

Как видно из представлений (11) - (12) и граничных условий (2) - (3), формула (11) перестает работать при х = 1, поскольку в силу (3) и>"(1) = 0. Этому факту дано простое объяснение в рамках рассмотрения задачи Коши. Постановка задачи о нахождении функции В(х) по м>(л) приводит к дифференциальному уравнению второго порядка. Отметим что, для задачи с нагружением в виде сосредоточенного момента граничные условия (2) дают два необходимых условия в задаче Коши - ограничения на Д(1) и В'(1), а для задачи с сосредоточенной силой это условие лишь

одно ( на #'(1)) и задача Коши становится недоопределенной.

На основе описанного метода проведены вычислительные эксперименты по реконструкции различных видов неоднородносгей: гладкая монотонно возрастающая функция, гладкая монотонно убывающая функция, функция, имеющая на отрезке [0,1] несколько стационарных точек, кусочно-разрывная функция.

На рисунках 1-2 представлены результаты решения обратной задачи при нагружении сосредоточенным моментом на конце для монотонно возрастающей и немонотонной функций.

В случае разрывных законов неоднородное™ проведено усовершенствование разработанного метода: входной массив данных исследуется наг предмет наличия точек разрыва ж^х), в случае обнаружения точек разрыва, в их окрестности учащается сетка разбиения и производится экстраполяция функции, что улучшает качество восстановления. На рисунке 3 приведены результаты восстановления кусочно-разрывной функции. Результаты реконструкции свидетельствуют о наличии значительной погрешности в окрестности точек разрыва. В параграфе 3.3 представлены методы решения обратных задач о восстановлении характеристик переменного поперечного сечения при анализе изгибных колебаний балки. Для случая колебаний балки с поперечным сечением в виде прямоугольника краевая задача (4) - (5) сведена к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

>'(*) = /(1) = 1,

Рис. 1 Решение обратной задачи при нагружении сосредоточенным

моментом для монотонно возрастающей функции

В(х) = \ + х3.

Рис. 2 Решение обратной задачи при нагружении сосредоточенным

моментом для немонотонной

функции В(х) = I + бш 2 (1 Олх).

Рис 3 Решение обратной задачи при нагружении сосредоточенной силой

3

для кусочно-разрывной функции В(х);

1, 0< *<-,

3 4

3 4

Таблица 1 Результаты восстановления параметров надреза по известным

значениям резонансных частот балки с дефектом.

со Полученное со Полученное к Н Погрешность И 77'% Полученное 2/0 Погрешность 2/0, %

0.1 0.1005 0.7879 1.51 0.0089 11.21

0.2 0.2001 0.8113 1.41 0.0107 7.02

0.3 0.2998 0.7549 5.64 0.0103 3.42

0.4 0.4004 0.8092 1.14 0.0104 4.39

0.5 0.5017 0.8093 1.16 0.0105 5.18

0.6 0.5991 0.8086 1.07 0.0102 2.15

0.7 0.6998 0.8015 0.19 0.0103 3.53

0.8 0.8026 0.8055 0.68 0.0101 0.84

0.9 0.9027 0.7919 1.01 0.0096 3.82

Решая задачу Коши (13), находим вспомогательную функцию ((х). Затем можно найти закон изменения переменной высоты:

(14)

П/ \ 4 '

ч^ (х))

Для поперечного сечения в форме круга получена аналогичная (13) система дифференциальных уравнений. Проведен ряд вычислительных экспериментов по решению обратных задач.

В параграфе 3.4 получены аналогичные (11) операторные соотношения для нахождения безразмерных законов изменения модуля Юнга и модуля сдвига при анализе изгибно-крутильных колебаний. В параграфе 3.5 представлен метод восстановления параметров симметричного тонкого надреза при использовании формулы (9) по известным значениям трех резонансных частот балки с надрезом.

Относительно величины с0 решается трансцендентное уравнение, затем

восстанавливается глубина надреза, и на последнем этапе вычисляется ширина надреза. В таблице 1 представлены результаты восстановления

Ъ

параметров надреза для значений 2/0 =0.01,— = 0.8 при различных

Н

значениях координаты центра надреза.

В параграфе 3.6 представлен метод реконструкции неоднородных характеристик при анализе изгибных колебаний для модели Тимошенко. Получены операторные уравнения для нахождения безразмерных законов изменения модуля Юнга и модуля сдвига при комбинированном нагружении сосредоточенной силой и моментом на незакрепленном конце. На рисунках 4-5 представлены результаты реконструкции модуля Юнга и модуля сдвига'в модели Тимошенко.

В параграфе 3.7 предложен метод восстановления параметров симметричного тонкого надреза в модели Тимошенко. Сделан вывод о том, что для корректного восстановления параметров надреза необходимо использовать значения четырех резонансных частот. Составлена система трансцендентных уравнений, поэтапно находятся параметры надреза. В таблице 2 представлены результаты восстановления параметров надреза для модели Тимошенко. Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что точность восстановления искомых характеристик в рамках модели Тимошенко выше, чем для модели Бернулли. Это объясняется более высокой точностью модели Тимошенко.

В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Рис. 4 Результат восстановления функции с(х) = 1 + х2.

Таблица 2 Результаты восстановления значениям четырех резонансных част

Тимошенко при 2/0 = 0.01,/г/// = 0.!

Рис. 5 Результат восстановления функции ¿(я) = 1 + е~х.

параметров надреза по известным )т балки с дефектом для модели

со Полученное ¿0 Полученное И н Погрешность И Н'% Полученное 2/0 Погрешность 2/0, %

0.1 0.1004 0.792 0.89 0.0094 5.62

0.2 0.2002 0.801 0.16 0.0105 5.02

0.3 0.3002 0.764 4.5 0.0103 3.22 .

0.4 0.4003 0.808 1.12 0.0103 3.02

0.5 0.5007 0.808 1.16 0.0105 5.14

0.6 0.5996 0.807 0.96 0.0102 2.05

0.7 0.6998 0.801 0.19 0.0103 3.53

0.8 0.8016 0.804 0.54 0.0101 0.84

0.9 0.9017 0.7919 1.01 0.0096 3.82

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТ^ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1) Разработаны методы определения переменной жесткости балок при акустическом зондировании.

2) Получены формулы для определения поправок резонансных частот балки с. дефектом.

3) Разработан метод определения геометрических характеристик симметрического тонкою надреза в балке по данным акустического зондирования.

4)Проведены вычислительные эксперименты по определению распределенных и локализованных неоднородностей в балках, на их основе даны рекомендации по выбору частотного диапазона и режима нагружения.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ватульян А.О. Об идентификации переменной жесткости при анализе поперечных колебаний балки / А.О. Ватульян, А.Ю. Бурьян, A.B. Осипов// Вестник ДГТУ. - 2010. - Т. 10. №6 (49). - С. 825 - 833.

2. Осипов A.B. Об обратных задачах при изгибных колебаниях балок / A.B. Осипов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: тез. докл. VI Всерос. шк.-семинара, п. Дивноморское. - Ростов н/Д, 2011. - С. 75.

3. Осипов A.B. Об одной модели балки с тонким разрезом / A.B. Осипов // Современные проблемы механики сплошной среды: сб. тр. XV междунзр. конф. - Ростов н/Д, 2011. - Т.2. - С. 190 - 193.

4. Осипов A.B. Об идентификации дефектов в балках / A.B. Осипов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: тез. докл. VII Всерос. шк.-семинара, п. Дивноморское. -Ростов н/Д, 2012. - С. 97.

5. Осипов A.B. Об изгибно-крутильных колебаниях стержней переменной жесткостм / A.B. Осипов // Современные проблемы механики сплошной среды: сб. тр. XVI междунар. конф. - Ростов н/Д, 2012. - Т.1. - С. 188 - 192..

6. Ватульян А.О. Поперечные колебания балки с локализованными неоднородностями / А.О. Ватульян, A.B. Осипов // Вестник ДГТУ. - 2012. - № 8. - С. 34 - 40.

7. Ватульян А.О. Об определении характеристик тонкого надреза при анализе изгибных колебаний балки / А.О. Ватульян, A.B. Осипов // Экологический вестник ЧЭС. - 2013. - № 2. - С. 27 — 34.

8. Осипов A.B. Реконструкция слабой неоднородности в балке / A.B. Осипов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: тез. докл. VIII Всерос. шк.-семинара, п. Дивноморское. -Ростов н/Д, 2013. - С. 91.

9. Ватульян А.О. К идентификации малых дефектов в балках / А.О. Ватульян, A.B. Осипов // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: тр. VII междунар. конф. - Донецк - Мелекино (Украина). -2013. - Т.1. - С. 80-83

10. Ватульян А.О. К идентификации малых дефетов в балках на основе модели Тимошенко / А.О. Ватульян, A.B. Осипов // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 90-летию со дня рождения /I.A. Толоконникова. - Тула: Изд-воТулГУ, 2013. - С. 195-200.

11. Осипов A.B. Идентификация параметров тонкого надреза для различных моделей балок / A.B. Осипов // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. - Ростов н/Д, 2013. - Т.2. - С. 133 - 137.

В печать 12.11.2013.

Объём 1,0 усл. п.л. Офсет. Формат 60x84/16.

Бумага тип №3. Заказ №1133. Тираж 100 экз. Цена свободная.

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344000, г, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201454037 Осипов Алексей Владимирович

РЕКОНСТРУКЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ СВОЙСТВ БАЛОК ПРИ АНАЛИЗЕ ИЗГИБНЫХ И ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ

КОЛЕБАНИЙ

Специальность 01.02.04 — «Механика деформируемого твёрдого тела»

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ватульян А.О.

Ростов-на-Дону — 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 5

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИЯХ 24

НЕОДНОРОДНЫХ БАЛОК

1.1 Постановка прямой задачи об изгибных колебаниях 24 консольно закрепленной балки с переменным модулем Юнга.

1.2 Постановка прямой задачи об изгибных колебаниях 26 консольно закрепленной балки переменного сечения.

1.3 Постановка прямой задачи об изгибно-крутильных 29 колебаниях консольно закрепленной балки с неоднородными характеристиками.

1.4 Постановка прямой задачи об изгибных колебаниях 31 консольно закрепленной балки с дефектом в виде симметричного тонкого надреза с нагрузкой на свободном конце.

1.5 Постановка прямых задач для модели Тимошенко. 32

1.6 Постановки обратных задач. 35

1.6.1 Постановка обратной задачи о восстановлении 36 переменного модуля Юнга при анализе изгибных колебаний балки.

1.6.2 Постановка обратной задачи о восстановлении 37 характеристик переменного сечения консольно закрепленной балки при анализе изгибных колебаний.

1.6.3 Постановка обратной задачи о восстановлении 38 переменных модуля Юнга и модуля сдвига консольно закрепленной балки при анализе изгибно крутильных колебаний.

1.6.4 Постановка обратной задачи о восстановлении 38 параметров симметричного тонкого надреза.

1.6.5 Постановка обратной задачи о восстановлении 39

переменных характеристик для модели Тимошенко. 1.6.6 Постановка обратной задачи о восстановлении параметров симметричного тонкого надреза. 39

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ 40

2.1 Решение задач об изгибных колебаниях неоднородных балок 40 методом сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода.

2.2 Решение прямых задач об изгибных колебаниях 56 неоднородной балки методом пристрелки.

2.3 Решение прямой задачи об изгибно-крутильных колебаниях 62 методом пристрелки.

2.4 Аналитическое исследование прямой задачи о колебания 67 балки с симметричным тонким надрезом.

2.5 Определение поправок к резонансным частотам при наличии 73 дефекта.

2.6 Решение прямых задач для модели Тимошенко. 79 ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 86

3.1 Регуляризация некорректных задач методом сплайн- 86 функций.

3.2 Решение обратной задачи о восстановлении переменного 88 модуля Юнга при анализе изгибных колебаний балки.

3.3 Решение обратных задач о восстановлении характеристик 92 переменного поперечного сечения при анализе изгибных колебаний балки.

3.4 Реконструкция переменных свойств балки при анализе 96 изгибно-крутильных колебаний.

3.5 Обратная задача о восстановлении параметров 99 симметричного тонкого надреза.

3.6 Реконструкция переменных свойств балки модели 103 Тимошенко.

3.7 Обратная задача о восстановлении параметров 105 симметричного тонкого надреза для модели Тимошенко.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 108

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 109

Введение

Балочные конструкции являются широко распространенными элементами авиационных, строительных конструкций, технических устройств. Часто элементы машин, механизмов и сооружений, относящиеся к классу стержневых систем, имеют неоднородные характеристики, в том числе переменную жесткость. Неоднородности в таких балочных элементах могут возникать как на этапе изготовления, так и в процессе эксплуатации. В случае использования балок переменной жесткости удается обеспечить необходимые эксплуатационные показатели всей конструкции более эффективно по сравнению с элементами с постоянными параметрами, что характерно для проблем оптимизации за счет использования переменного сечения. Переменная жесткость в балках может возникать в результате наличия переменных геометрических характеристик или в силу переменного модуля Юнга. Балки с переменными геометрическими характеристиками являются элементами несущих частей различных строительных конструкций, широко применяются в мостостроении. Переменность свойств возникает также и на этапе эксплуатации в сложных условиях, под действием агрессивной среды, радиационного облучения и.т.д. В связи с необходимостью мониторинга изменений, протекающих в таких конструкциях, возникает потребность в идентификации неоднородных свойств балочных систем, входящих в такие конструкции. Идентификация неоднородных свойств балок позволяет проанализировать изменения в балках, возникающие в процессе эксплуатации, отследить на ранних этапах дефекты, появляющиеся в балках, спрогнозировать возможность дальнейшей эксплуатации данных конструкций. Одним из примеров балки с переменным модулем Юнга может служить палка для горных лыж. Реконструкция переменного модуля Юнга позволяет на начальном этапе отделять соответствующие стандартам изделия от бракованных.

Исследованные в настоящей диссертации задачи о колебаниях балок могут быть также использованы для моделирования колебаний лопаток

турбин. Современные газотурбинные двигатели магистральной гражданской авиации работают при максимальной температуре газа перед турбиной до 1640 - 1940 К. Повышение эффективности двигателя связано с повышением максимальной температуры газа. Успех разработки такого высокотемпературного двигателя определяется возможностью создания более высокотемпературной рабочей охлаждаемой лопатки турбины высокого давления, обладающей требуемым ресурсом и высокой надежностью при приемлемом расходе охлаждающего воздуха. Можно без преувеличения сказать, что рабочая лопатка турбины высокого давления является деталью, в значительной мере определяющей уровень авиационного двигателестроения. Создание рабочей лопатки высокотемпературной турбины - сложная комплексная проблема, успешное разрешение которой зависит от решения большого количества материаловедческих, технологических и конструкторских задач. Наряду с газодинамическими требованиями к рабочим лопаткам турбины предъявляются жесткие требования по сопротивлению ползучести, статическому, мало- и многоцикловому разрушению, стойкости к высокотемпературному окислению. Применяемые при создании рабочих лопаток высокотемпературных турбин конструктивные решения во многом определяются свойствами современных материалов с необходимым уровнем характеристик конструкционной прочности и технологическими возможностями производства лопаток. В соответствии с требованиями нормативных документов разрушение рабочей лопатки турбины не должно приводить к отказу с опасными последствиями (нелокализованному разрушению или пожару). Однако в отдельных случаях, несмотря на положительные результаты сертификационных проверок, вторичные последствия при разрушении рабочих лопаток приводили к опасным отказам. Кроме того, разрушение лопаток в эксплуатации обычно приводит к выключению двигателя в полете, что может явиться предпосылкой летного происшествия. Разрушение лопатки обычно вызывает значительные повреждения, что влечет за собой дорогостоящий ремонт

двигателя. Назначенный ресурс лопаток турбин современных двигателей, как правило, не ограничивается. Эксплуатация осуществляется или с фиксированным временем между разборками горячей части двигателя, или по техническому состоянию с контролем лопаток [1 - 2]. Задачи, исследованные в настоящей работе, могут быть использованы как для осуществления контроля состояния лопаток, выявления изменений их неоднородных свойств, так и как вспомогательные задачи, возникающие при проектировке рабочих лопаток высокотемпературных турбин. Так, например, лопатка высокотемпературной турбины может рассматриваться как балка с переменным модулем Юнга, неоднородность которого возникает в связи с наличием неоднородного температурного поля. Зависимости изменения модуля Юнга в лопатках турбин от температуры представлены в работе [3].

В наклонно направленных нефтедобывающих скважинах основным элементом, ограничивающим надежность и работоспособность установки, является штанговая колонна (Рис. 0.1). Одно из первых мест среди причин, приводящих к отказам штанговой колонны, занимают отвороты штанг. Принято считать, что отвороты штанг, являются эксплуатационным отказом, вызванным недостаточным свинчиванием штанг и муфт. Однако для отворота штанг должен присутствовать крутящий момент. Таким фактором, возможно, являются крутящие моменты в штанговой колонне, возникающие ввиду пространственного профиля ствола скважины. Изменение зенитных и азимутальных углов в определенном интервале приводит к появлению изгибающих и локальных крутящих моментов, способствующих отвороту штанговых соединений. Наибольшее число отказов штанговых колонн вызвано обрывами штанг. Предполагается, что обрыву штанги предшествует появление участка с меньшей площадью поперечного сечения. Внутренние дефекты металла не являются причиной зарождения трещины [4]. Следовательно, причины обрывов следует искать в методике подбора штанговых колонн по части оценок максимальных и минимальных нагрузок на штанги и допускаемых напряжений. Повышение надежности штанговых

колонн возможно на основе разработки и внедрения мероприятий, направленных на своевременную идентификацию дефекта в штанге и прогнозирование возможности продолжения эксплуатации штанги с дефектом. Методы, описанные в настоящей диссертации, позволяют идентифицировать дефект - оценить его расположение, размеры в вертикальной штанговой колонне на ранней стадии и оценить последствия его появления.

Рис. 0.1 Скважинный штанговый насос На рисунке 0.1 используются следующие обозначения: 1 продуктивный пласт, 2 - канал для подачи разбавителя, 3 - пакер, 4

смеситель, 5 - штанговый глубинный насос, 6 - затрубное пространство, 7 -обсадная колонна, 8 - насосно-компрессорные трубы, 9 - штанговая колонна.

Таким образом, исследование задач о колебаниях балок переменной жесткости весьма актуально как с точки зрения оценки влияния неоднородностей различного типа на амплитудно-частотные характеристики, резонансные частоты, так и с точки зрения идентификации неоднородностей, как распределенных, так и локализованных.

Цель работы заключается в решении задач идентификации неоднородностей в балках при анализе изгибных и изгибно-крутильных колебаний. Важным этапом решения поставленных задач является получение корректных уравнений и граничных условий, описывающих колебания балок с различными видами неоднородностей при различных видах нагружения. Особое внимание уделяется получению операторных соотношений, связывающих входные данные задач с неизвестными функциями. Также важной частью работы является проверка полученных решений путем проведения ряда вычислительных экспериментов или путем сравнения полученных результатов с известными экспериментальными данными.

Для изучения обозначенных выше технических проблем требуется разработка эффективных методов идентификации неоднородных характеристик балочных систем. Они опираются на акустические методы зондирования и аппарат обратных коэффициентных задач в механике деформируемого твердого тела [5 - 18].

В настоящее время обратные коэффициентные задачи механики — интенсивно развивающаяся область знания, находящаяся на стыке экспериментальной механики и акустики, вычислительной математики, в которой рассматриваются новые постановки, разрабатываются экономичные эффективные алгоритмы, строятся итерационные схемы. Все большая часть математических моделей и способов проведения эксперимента приобретает достоверность, устойчивость по отношению к различным случайным

факторам, имеет значительные практические приложения как раз благодаря достижениям теории коэффициентных обратных задач.

Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех решения задачи реконструкции неоднородностей зависит не только способа нагружения конструкции, от качества и количества полученной из эксперимента информации, но и от правильного регуляризованного способа ее обработки. Решение таких задач проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта. В рассматриваемом случае это различные модели изгибных и изгибно-крутильных колебаний балок переменной жесткости и задача состоит в определении параметров или функций, входящих в описание математической модели по имеющейся экспериментальной информации, в качестве которой используется информация о смещениях или ускорениях точек внутри балки на некоторой частоте колебаний или информация о резонансных частотах.

Обратные задачи обладают рядом неприятных с вычислительной точки зрения особенностей. Во-первых, они, как правило, нелинейны, то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или функциональное уравнение, связывающее искомые и заданные функции, нелинейным образом. Во-вторых, решения обратных задач обычно не единственны. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать избыточности экспериментальной информации. В-третьих, обратные задачи являются неустойчивыми по отношению к входной информации, которая задается как результат показаний датчиков, которые имеют некоторую погрешность. Таким образом, рассматриваемые задачи являются некорректными задачами с точки зрения Ж. Адамара, сформулировавшего понятие корректной задачи.

Основы теории условно-корректных задач, или некорректных задач, были заложены академиком А. Н. Тихоновым. В дальнейшем в рамках этого направления сформировалось несколько научных школ. К середине 60-х

годов наука обогатилась публикациями А. Н. Тихонова и других отечественных ученых по некорректным задачам [19 - 34]. Все предложенные им методы имеют эффективную численную реализацию. Созданная А. Н. Тихоновым общая теория регуляризации некорректных, в частности, обратных задач использует сложный аппарат функционального анализа. Метод регуляризации был использован А. Н. Тихоновым для решения вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, линейных и нелинейных интегральных уравнений первого рода, задач математического программирования, оптимального управления, устойчивого суммирования рядов Фурье и многих других.

Научная новизна данной работы заключается в исследовании новых постановок обратных задач для балочных конструкций переменной жесткости, разработке методов решения обратных задач в таких постановках. В рамках моделей Бернулли и Тимошенко разработаны методы определения переменной жесткости, идентификации дефекта в балках, получены формулы и предложены методы для идентификации симметричного тонкого надреза.

Методика исследования прямых задач о построении динамических характеристик для неоднородных балок заключается в сведении исходных краевых задач к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Численное решение прямых задач для неоднородных балок получено при использовании метода коллокаций. Также для решения прямых задач для балок с переменными характеристиками использован метод пристрелки. Для решения прямой задачи для балки с симметричным тонким надрезом предложена модель трехэлементной балки, на каждом участке которой жесткость постоянна. Обратные задачи для неоднородных балок решены путем сведения исходной краевой задачи к задаче Коши и получения соответствующих операторных уравнений. Для регуляризации некорректной процедуры дифференцирования функции, заданной в наборе точек,

использован метод аппроксимации сплайнами. Предложены методы идентификации параметров симметричного тонкого надреза, заключающиеся в получении на основе предложенных поправок к резонансным частотам трансцендентного уравнения относительно координаты центра надреза и последующем восстановлении остальных характеристик надреза.

Достоверность результатов, полученных в настоящей работе, основана на получении корректных уравнений и граничных условий для изучаемых моделей и корректном сведении этих соответствующих краевых задач к интегральному уравнению Фредгольма второго рода или к системе задач Коши, используемых при решении методом пристрелки. Показателем достоверности являются также сравнение результатов, полученных в настоящей с работе, с известными экспериментальными данными, приведенными, напр