Статические и динамические задачи упругого деформирования цементированных деталей машин

Казаковцев, Иван Анатольевич

Статические и динамические задачи упругого деформирования цементированных деталей машин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Казаковцев, Иван Анатольевич АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Статические и динамические задачи упругого деформирования цементированных деталей машин»

Автореферат диссертации на тему "Статические и динамические задачи упругого деформирования цементированных деталей машин"

На правах рукописи

ООЗАЬ^оэн

Казаковцев Иван Анатольевич

СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЦЕМЕНТИРОВАННЫХ ДЕТАЛЕЙ МАШИН

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Саратов 2008

003452894

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Шляхов Станислав Михайлович

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Иноземцев Вячеслав Константинович

Защита состоится 27 ноября 2008 г. в 13.— часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.06 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп.1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан « » октября 2008 г.

- кандидат физико-математических наук, доцент Мгагов Александр Васильевич

Ведущая организация - Саратовский государственный аграрный

университет имени Н.И. Вавилова (Институт механизации сельского хозяйства)

Ученый секретарь диссертационного совета

В.С. Попов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Для современной машиностроительной, автомобиле- и авиастроительной техники характерны непрерывно растущая энергонапряженность и тяжелые условия эксплуатации деталей машин и механизмов. Большинство деталей машин работают в условиях износа, кавитации, циклических нагрузок, коррозии при криогенных и высоких температурах, при которых максимальные напряжения возникают в поверхностных слоях металла, где сосредоточены основные концентраторы напряжений. Для повышения прочности наиболее ответственных деталей машин широко используются процессы поверхностного упрочнения: цементации (науглероживания), а также нитроцементации, азотирования и т.д. Это приводит к необходимости исследования проблем прочности элементов конструкций, подверженных упрочняющим технологиям, т.к. они приводят к неоднородной структуре материала деталей. В соответствии с этим для решения проблем механики сплошных сред для данных структур требуется новая, более совершенная постановка задачи и более точные методы ее решения, чему и посвящена диссертационная работа.

Целью работы является разработка инженерных методов оценки НДС неоднородных деталей машин, подверженных науглероживанию; разработка методов решения некоторых статических и динамических задач деформирования цементированных деталей; разработка метода расчета потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов, основанного на модели Н.Н Давиденкова.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи исследования:

- разработать механическую модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации);

- разработать методы решения задач по оценке НДС брусьев круглого поперечного сечения, цементированных по внешнему контуру;

- разработать методы решения задач по оценке НДС цементированных валов при таких видах нагружения, как кручение, чистый и поперечный изгибы;

-разработать методы решения задач по расчету частот собственных изгибных, крутильных и продольных колебаний брусьев, подверженных науглероживанию;

- разработать метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получена механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации).

2. Разработан метод последовательных приближений в решении задач оценки НДС цементированных сплошных и полых валов на основе вариационных принципов и метода конечных элементов при равномерной по длине цементации.

3. Разработан метод решения задач по оценке НДС цементированных валов на основе вариационных принципов и схемы суперэлементов при переменной по длине цементации.

4. Получена схема применения теории безмоментных цилиндрических оболочек к решению задач оценки НДС цементированных валов.

5. Получено решение ряда задач по расчету частот собственных колебаний цементированных валов.

6. Предложен метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов.

Достоверность полученных результатов основывается на строгости применяемого математического аппарата, тщательности отладки и тестирования программ для ПЭВМ, а также непротиворечивости полученных результатов известным решениям, найденным другими авторами для однородных тел.

Практическая ценность и реализация результатов. Предложенные методы решения статических и динамических задач неоднородных деталей машин могут быть положены в основу инженерных практических расчетов на прочность деталей, подвергаемых химико-термической обработке (цементации).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры МДТ СГТУ (2005-2008 гг.), Седьмой Международной научно-технической конференции «АКТ-2006» (Воронеж, 2006 г.), Четвертой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара,

2007 г.), «XII Международной конференции им. акад. М. Кравчука» (Киев,

2008 г.), Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2008 г.).

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации).

2. Метод последовательных приближений в решении задач оценки НДС цементированных валов на основе вариационных принципов и метода конечных элементов при равномерной по длине цементации.

3. Метод решения задач по оценке НДС цементированных валов на основе вариационных принципов и схемы суперэлементов при переменной по длине цементации.

4. Схема применения теории безмоментных цилиндрических оболочек к решению задач оценки НДС цементированных валов.

5. Решения задач по расчету частот собственных колебаний цементированных валов.

6. Метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 9 научных статьях, в т.ч. 3 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения:, списка использованной литературы и приложения. Работа содержит 161 страницу наборного текста, 72 рисунка и 28 таблиц. Список использованной литературы включает 66 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается анализ причин, которые приводят к необходимости исследования проблем прочности элементов конструкций, подверженных упрочняющим технологиям (цементации).

Определены цель работы, ее актуальность, научная новизна. Кратко изложено содержание диссертации, сформулированы основные положения, которые выносятся на защиту.

Исследованием механических свойств материала после упрочняющих обработок, в частности цементации, занимались A.B. Гурьев, ЯЛ. Гохберг, В.В. Брагини, Д.Н. Решетов, Б.А. Невзоров, В.И. Водопьянов, Е.И. Тескер и др. Исследованию поля остаточных напряжений после цементации уделили внимание Я.Б. Фридман, А.Д. Коваленко, С.М. Шляхов, A.B. Шлехер, A.B. Минов.

Предлагаемая в работе модель «распухания», по сути, аналогична модели теплового расширения с нелинейной зависимостью коэффициента «распухания» от содержания углерода. Поэтому в решениях использовались труды Б. Г. Галеркина, Н. Н. Лебедева, В. Новацкого, А. Д. Коваленко, Я. С. Подстригача и Ю. М. Коляно, В. А. Ломакина и других исследователей по проблемам термоупругости.

При выявлении закона распределения углерода по толщине цементированного слоя необходимо решить задачу диффузии. Уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, решение которого представлено в работах Г. Карслоу и Д. Егера, А. В. Лыкова, П. Шнейдера и др.

Актуальность проблем, затронутых в диссертации, и необходимость их решения подтверждаются широким применением цементации и отсутствием доступного инженерного расчета цементированных деталей машин.

Первая глава посвящена вопросам исследования НДС цементированных деталей машин на основе механики неоднородных тел. Также в данной главе дана механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации).

В работе В.В. Брагина и Д.Н. Решетова отмечено, что важнейшей особенностью стали после химико-термической обработки является наличие поверхностного слоя, структура и свойства которого существенно отличаются от сердцевины.

Анализируя влияние углерода на различные физико-механические свойства стали, можно сказать, что хотя свойства сплавов определяются всеми входящими в него легирующими элементами (примесями), углероду, несомненно, принадлежит решающая роль в формировании широкого комплекса физико-механических свойств.

На основании сказанного и опираясь на экспериментальные данные, для дальнейших решений принята следующая механическая модель состояния материала:

1. Закономерность изменения модуля нормальной упругости Е от содержания углерода в стали приведена в работе A.B. Гурьева и Я.А. Гохберга и имеет следующий вид

Е - 2,15-105 - 0,108-105 -С.МПа, (1)

где С - содержание углерода, %.

Рис. 1. Зависимость модуля нормальной упругости от содержания углерода после отжига (пггриховкой показано поле разброса экспериментальных точек при 90%

вероятности)

Графически данная зависимость представлена на рис. 1. Относительное уменьшение модуля Юнга Е составляет 5% на каждый процент содержания углерода в стали.

2. Величина коэффициента поперечной деформации ц для углеродистых сталей практически не зависит от содержания углерода и с точностью до двух значащих цифр может быть принята равной

¡л = 0,29. (2)

3. Относительное удлинение д, поверхностных слоев за счет диффузии активных атомов углерода в глубь кристаллической решетки металла может быть весьма сложной зависимостью, но для начальных исследований предлагается принять ее в виде полинома

А1=Л£+Л1С1+...+\Ся, (3)

где Л,,Л2,...,Л„ - параметры распухания, определяемые по эпюре остаточных напряжений из работы Я.Б. Фридмана1. При расчете Л используется приближенный прием, основанный на принципе освобождаемости от связей и методе суперэлементов. Рассмотрим стержень и представим условно, что он жестко закреплен по торцам.

Напряжения в стержне, подверженном науглероживанию, учитывая эффект распухания кристаллической решетки при проникновении в нее углерода, равны (рис. 2)

а(у) = -Е(у)[А 1С(у)+ХС2 (>)+...+ X „С" (у)]. (4)

Напряжения (4), действующие в заделках, дают результирующую продольную силу Р

*/2

Р=-*1Ф)4У, (5)

-к/2

где Ъ - ширина сечения, м; А - высота сечения, м.

Если стержень свободен от закрепления, то, пренебрегая краевым эффектом, остаточные напряжения в стержне будут равны сумме напряжений от «распухания» (4) с напряжениями от нагрузки, которая действует по торцам

или

«Г,----/^--Е^С.+^ + ^ + Л^+ЬС?). (6)

и ЕА

Выполнив подстановку продольной силы Р (6), получим систему уравнений, решая которую методом наименьших квадратов и ограничиваясь пятью коэффициентами А, найдем следующие параметры распухания Л, =0,0158, Л, =-0,0855,4 =0,2143, Л4 =-0,2422, =0,1024.

Итак, при воздействии углерода на структуру стали меняются ее химический состав и физико-механические характеристики по глубине

1 Фридман Я.Б. Механические свойства металлов: в 2 ч. Ч. 1. Деформация и разрушение / Я.Б. Фридман. М.: Машиностроение, 1974. - С. 285-288.

насыщения, что приводит к необходимости оценки напряженно-деформированного состояния науглероженной детали с позиции механики неоднородных тел.

Объектами исследования в первой главе диссертации являются сплошные и полые валы, подверженные как равномерной, так неравномерной по длине цементации.

Рассмотрим НДС сплошного цементированного вала. Для решения задачи используем метод конечных элементов. Разобьем поперечное сечение вала по полутолщине диффузионного слоя (на оставшейся части слоя содержание углерода приближается к фону) Л на N кольцевых элементов (рис. 3). Рассмотрим каждый элемент как тонкостенную цилиндрическую оболочку и далее используем для описания их НДС безмоментную теорию.

ятчения с( !1кт) в фиксированных точках эпюры

Рис. 2

Рис. 3. Схема разбиения слоя цементации на кольцевые элементы

Полагаем в пределах каждой такой оболочки распределение углерода с((г) по толщине кольца линейным, а модуль Юнга Е, постоянным, по его

толщине:

5=£,-*o(C'2+H C<r)=C1+S^(r-r1), < = (7)

где ка — экспериментальный коэффициент, r,^r<rM,h,= гш -г,.

Окружные напряжения в оболочках определим, суммируя их значения, обусловленные контактным давлением слоев q, с напряжениями, вызванными «распуханием» кристаллической решетки

<4)--2А V ()

Для определения осевых напряжений <г. примем за основу гипотезу плоской деформации s, = # = const.

Пренебрегая радиальными напряжениями аг в каждом из слоев (кольцевых элементов) на основании закона Гука получим

<7,(0=^ +АО-од¿И). ! = l,2,..,iV ' (9)

к. 1

Внутренний цилиндр г = г0 со стороны цементированного слоя испытывает контактное давление , создавая в цилиндре напряжение

Для отыскания контактных давлений qt и q, (г = 2,...,N) используем условие равенства перемещений Ut на радиусе г = rq (цилиндр и первый кольцевой элемент слоя цементации) и радиусах г = гм г =1,...и-1 (между кольцевыми элементами ¿-н+1)

th. ^ Ь_1 Hi, . . Ь_I

(П) (12)

£1 - г - г^ I * \ 1+1/ р

1 *-1 _

В итоге получим алгебраическую систему уравнений вида

2=/2 <?) « = 2,..л-1 где а,,6,,а,,6,,с,,/,/2 - известные коэффициенты.

Решение системы уравнений (12) находим методом последовательных приближений. Результаты вычислений приведены на рис. 4, причем график осевых напряжений аналогичен окружным.

При решении задачи НДС сплошного бруса с переменной по длине цементацией используется метод суперэлементов. Разбиваем цилиндр по длине I на ряд коротких цилиндров или толстых плит, которые условно

названы «дисками». «Диски» соединены продольными связями и в радиальном направлении перемещения не стеснены. Длина каждого «диска» равна шагу разбиения И. = 0,1/ по оси г (рис.5, а). В пределах каждого суперэлемента принимаем половинный слой цементации равномерным, средним по суперэлементу (рис.5, б).

Для оценки НДС отдельного «диска» используется метод расчета, описанный выше.

Радиальные напряжения

Радиус, м Окружные напряжения

200

2 -200

-400

X •еоо

Щ -800

& 1000

1200

1400

Радиус, м

Рис. 4. Графики распределения радиальных и окружных напряжений по толщине цементированного слоя стали и основного металла вала

Переменный по Отне слой цементации

Слой цементации равномерный, средний но сунерэлементу.

Рис.5. Разбиение цилиндра на суперэлементы

Поскольку введение продольных связей между суперэлементами позволяет свободно смещаться двум смежным сечениям в поперечном направлении друг относительно друга, это нарушает условие совместности

их деформаций. Для исправления этой погрешности введем касательные напряжения в смежных сечениях и подчиним их уравнению равновесия

откуда получим г„ непосредственным интегрированием

^Л)8-1ГЫг' О4)

г I &

Интеграл находим приближенно, исходя из аппроксимации сгг линейным сплайном. Получим

05)

Г! ¿-I Пж

Касательные напряжения

>0- 'Сь -О-, -Оа -СЪ_ -О-, -О-,

% % % % ^ ^ ^ •>

Радиус, м

Рис. б. График распределения касательных напряжений между пятым и шестым суперэлементами по толщине цементированного слоя стали и его схема в основном металле вала

Результаты конкретных расчетов приведены на рис. 6.

Решение задачи по оценке НДС полого вала с равномерной и переменной по длине цементации аналогично.

Вторая глава посвящена решению статических задач деформирования цементируемых деталей машин. Приведены примеры расчета напряжений цементированных валов при таких видах нагружения, как кручение, чистый и поперечный изгибы. Рассматриваются сплошные и полые валы при равномерной и переменной по длине цементации.

Результаты решения задач кручения сплошного бруса круглого поперечного сечения при равномерной и переменной цементации приведены на рис. 7 и 8.

Результаты решения задач поперечного и чистого изгибов представлены на рис. 9 и 10.

Третья глава посвящена решению динамических задач деформирования цементируемых деталей машин на основе механики неоднородных тел. Приведены решения задач об определении частот собственных изгибных колебаний консольного (метод Граммеля) и двухопорного бруса (метод Релея-Ритца).

Касательные напряжения

Цементированный вал Однородный вал

•<Ъ '<Ь '<Ъ 'Ъ '<Ъ '<£>_ <2э. -о-, -<ъ -о3

% Ъ % \ % % % % % *

Радиус, м

Вторичные нормальные напряжения

Цементированный вал Однородный вал

Рис. 7. а) графики распределения касательных напряжений в поперечном сечении науглероженного слоя; б) графики распределения вторичных нормальных напряжений в случае свободных торцевых поверхностей

Касательные напряжения

Полутолщина слоя 1,4 мм Попутолщина слоя 1,5 мм

О, <Э Ол 0„ Ол « я О я л 0„ С> О, О^

Радиус, м

Рис.8. График распределения касательных напряжений по толщине цементированного слоя стали пятого и шестого суперэлментов сплошного вала

Касательные напряжения

72,0

1 71,0

1 X 70,0

I 69,0

I 68,0

67,0

•Цементированный вал -Однородный вал

О О- ол о. оп о„ о. о.

а, «о, -Оу 'О, -о, -о, -<?, ■<?-) -о, -сь '<Ь '<•

Координата X, м

Цементированный вал Однородный вал

Координата У, м

Рис. 9. а) график распределения касательных напряжений по диаметральному сечению сплошного вала (у = 0); б) график распределения касательных напряжений по диаметральному сечению сплошного вала (х = 0)

'Слой цичснтацни

Нормальны« напряжения

при чистом изгибе 148

Цементированный вал Однородный вал

0,0275 0,0280 0.0285 0,0290 0,0295 О.ОЗОО Координата У, м

Рис. 10. График распределения нормальных напряжений при чистом изгибе

Особенностью при решении этих задач является то, что упругогеометрический фактор жесткости Гх, определяется для цементированного вала и имеет вид

С = ¡¡£(х,у)/ск^ = + Е(Гус!г . (16)

а 64 4/2

Проведенные исследования показали, что наведенная неоднородность материала влияет на частоту собственных колебаний, и наличие слоя цементации приводит к снижению частот собственных колебаний по сравнению с однородным брусом.

Далее в третьей главе приведены решения задач по определению частот собственных продольных и крутильных колебаний цементированных брусьев круглого поперечного сечения. Наличие слоя цементации приводит к снижению частот собственных колебаний по сравнению с однородным брусом.

При решении задачи об определении потерь на внутреннее трение при крутильных колебаниях (при чистом сдвиге) цементированных валов используется гипотеза Давиденкова, согласно которой, эти потери обусловливаются местными пластическими деформациями на границах отдельных зерен металла, и зависят от уровня напряжений.

Рассмотрим сплошной вал радиусом г-^ и длиной /, подверженный равномерной по длине цементации (рис. 11). Гистерезисные потери в стали, вызванные внутренним трением, равны2

-9 = СС,, (17)

здесь & - энергия, рассеиваемая за один цикл в единице объёма;^ -максимальное касательное напряжение; С = С(г), от = 2,3 экспериментальный коэффициент.

2 Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман, К.К. Лихарев и др. М.: Машгиз, 1959. -Т.З. -С. 230-239.

В элементарном объёме 2 пгЛ-ск будет рассеиваться энергия

с! (ЛЯ) = схт 2кгс1гсЬ. Интегрируя по сечению и по длине /, получим

А/7 = С2я1

т + 2

+ 1

(19)

Полная энергия колебания Я вала равна максимальной потенциальной энергии деформации вала

П = и = \l\Wdxdydz, (20)

где Ж = г2/2С7(г) - удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге. Далее запишем

Я =

M¡1

М]1

2 G,/pl

(21)

Рис. 11

Тогда коэффициент поглощения будет равен

А/7 _ ЛЯ Я Я =

4Сл-

¿-41 т

М,

'рЧ

С2 Мм,)" i /я+2 áUW ^"-'А;-1

(22)

Полученная зависимость (22) дает энергетическую оценку потерь на трение, но не позволяет построить график зависимости коэффициента динамического нарастания колебаний ¡3. Поэтому условно заменим внутреннее трение эквивалентным вязким трением из условия

энергетического баланса. Запишем коэффициент динамического нарастания колебаний р:

(23)

♦GJ

где Л,) - равновесная амплитуда; р - частота собственных колебаний; со -частота вынужденных колебаний; П - полная энергия колебания;

f = АП/П ф const.

Из формулы (23) следует, что при резонансе (<у = р) коэффициент динамического нарастания колебаний р равен

/»-f- (24)

Выражение А = А0р можно представить в форме Мкр=Мьр. В формуле (23) для р коэффициент ¥ неявно зависит от крутящего момента, т.е. Ч/ = |Р [Мкр). Введем функцию F:

F = (25)

При точном значении Мкр имеем F = 0. (26)

Для нахождения р определим С. Учитывая выражение (17) и то, что удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге равна W = t2/(2G), коэффициент запишем

Q Гт2J

Ч» = — = 2бЦ- = 2GCrw, или «Р = кгю, (27)

W т2 4 '

где к = ЮС.

Считаем, что углерод является одним из главных факторов, который влияет на коэффициент Ч/. Для учета этого влияния воспользуемся данными по содержания углерода в стали (С, =0,2%) и чугуне (С2 =3,5%). На основе экспериментальных данных принимаем, что коэффициенты относительного внутреннего сопротивления для стали и чугуна равны Ч*, =0,015 и 4^= 0,23. Максимальные касательные напряжения при испытании на крутильные колебания были соответственно равными г, =80МПаИ г2=65,4МПа.

Аппроксимируем Т степенной функцией и получаем систему уравнений для коэффициентов

4-, = А, (С,)г,", А, (С,) = АС?, i = 1,2. (28)

Функция рассеивания примет вид

Ч' = 0,01935 - с0'"4' ■ г0,3, (29)

обозначив к = к(С) = 0,01935-С0,9747 можем записать с для сталей-.

2G 1,бб6-10!-0,0834-10sC ' 4 '

где С - содержание углерода в стали, %.

Для цементированных валов С = С[г) - функция радиуса, следовательно С = С(г), имеем

f С, (>•) = const = 0,2% 0 < г < Л0

c„-c,, ____„. (31)

Ч'-г.)

Среднее значение коэффициента с по сечению равно

г 1

Iг+-

-}с2(г)^г "'ft -

(32)

Итак, учитывая, что значение коэффициента с известно, коэффициент динамического нарастания колебаний р определяется формулой

м0

где значение р определяем для различных отношений частот а/р, причем наиболее важная является резонансная область о, 5 < (ю/р) ^ 1,5.

Коэффициент динамического нарастания колебаний р определяется методом последовательных приближений до соблюдения условия (26).

Предлагаемый метод позволяет построить зависимость р от отношения о)!р, учитывая внутреннее трение при крутильных колебаниях цементируемых валов. Для конкретного расчета результаты представлены на рис. 12.

Ч-

0,4 0,5 О.» О,? 0,9

Рис. 12. 1 - без внутреннего трения (1Р = 0); 2-е внутренним трением (^ 0 )

Аналогично определяются потери на внутреннее трение при изгибе цементированных валов.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1.На основе экспериментальных данных предложена механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации). Модель сохраняет основные признаки сплошных тел при условии коррекции физико-механических характеристик за счет цементации.

2. Разработан метод последовательных приближений в решении задач оценки НДС цементированных валов на основе вариационных принципов и метода конечных элементов при равномерной по длине цементации.

4. Предложена схема применения теории безмоментных цилиндрических оболочек к решению задач оценки НДС цементированных валов.

5. Разработаны методы расчета напряжений цементированных валов при таких видах нагружения, как кручение, чистый и поперечный изгибы.

6. Получены решения задач по расчету частот собственных изгибных, крутильных и продольных колебаний цементированных валов.

7. Предложен метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при крутильных и изгибных колебаниях цементированных валов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Казаковцев И. А. Оценка НДС полого вала, цементированного по контуру, с переменной по длине цементацией / И. А. Казаковцев, С. М. Шляхов // Известия вузов. Машиностроение. - 2008. - № 3. - С. 33-40.

2. Казаковцев И. А. Оценка НДС сплошного вала, цементированного по контуру, с переменной по длине цементацией / И. А. Казаковцев, С. М. Шляхов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2008. - № 2 (32) Вып. 1. - С. 19-25.

3. Казаковцев И. А. Собственные изгибные колебания консольного цементированного бруса. Метод Граммеля / И. А. Казаковцев, С. М. Шляхов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2008. - № 3 (35) Вып. 2. - С. 18-21.

В других изданиях

4. Казаковцев И. А. Напряженно-деформированное состояние валов после цементации / И. А. Казаковцев, С. М. Шляхов // Авиакосмические технологии «АКТ-2006» : тр. седьмой Междунар. науч.-техн. конф. / ВГТУ. - Воронеж, 2006. - С. 360-364.

5. Казаковцев И. А. Напряженно-деформированное состояние полого вала, цементированного по внешнему контуру / И. А. Казаковцев, С. М. Шляхов // Математическое моделирование и краевые задачи : тр. четвертой Всерос. науч. конф. с междунар. участием / СамГТУ. - Самара,

2007. - С. 283-286.

6. Казаковцев И. А. Задача оценки НДС тонкостенной трубы, подверженной поверхностному науглероживанию / И. А. Казаковцев, С. М. Шляхов // XII Междунар. науч. конф. им. акад. М. Кравчука : материалы конференции / НТУУ КПИ. - Киев, 2008. - Т. 1. - С. 456-461.

7. Казаковцев И. А. Кручение бруса круглого сечения с переменным по длине слоем цементации / И. А. Казаковцев, С. М. Шляхов // Математические методы в технике и технологиях ММ 11-21: сб. тр. XXI Междунар. науч. конф. / СГТУ. - Саратов, 2008. - Т. 5. - С. 279-283.

8. Казаковцев И. А. Оценка НДС сплошного вала, цементированного по контуру / И. А. Казаковцев, С. М. Шляхов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред : сб. науч. тр. / СГТУ. - Саратов, 2007. - С. 47-51.

9. Казаковцев И. А. Потери на внутреннее трение при крутильных колебаниях (при чистом сдвиге) цементированных валов / И. А. Казаковцев, С. М. Шляхов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред : сб. науч. тр. / СГТУ. - Саратов.

2008. - С. 60-66.

Подписано в печать 23.10.08 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. 1,0 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 287 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ, 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Казаковцев, Иван Анатольевич

Введение.

I. Напряженно-деформированное состояние цементируемых деталей машин.

1.1 Механическое состояние материала при его поверхностной цементации (науглероживании)

1.2 Оценка НДС сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру.

1.3 Оценка НДС сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементируемого по внешнему контуру, с переменной по длине цементацией

1.4 Оценка НДС полого бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру.

1.5 Оценка НДС полого бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с переменной по длине цементацией

Выводы по 1 главе.

II. Статические задачи деформирования цементируемых деталей машин.

2.1 Кручение сплошного бруса круглого поперечного сечения с равномерно цементируемым внешним контуром.

2.2 Оценка вторичных нормальных напряжений при кручении цементированной тонкостенной трубы.

2.3 Чистый изгиб бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру.

2.4 Поперечный изгиб цементированного бруса круглого поперечного сечения, оценка касательных напряжений.

2.5 Кручение бруса круглого поперечного сечения с переменной по длине цементацией.

Выводы по 2 главе.

III. Динамические задачи деформирования деталей машин.

3.1 Собственные изгибные колебания консольного цементированного бруса. Метод Граммеля.

3.2 Собственные изгибные колебания двухопорного цементированного бруса. Метод Релея-Ритца.

3.3 Продольные колебания бруса круглого поперечного сечения при его поверхностной цементации.

3.4 Крутильные колебания бруса круглого поперечного сечения при его поверхностной цементации.

3.5 Потери на внутреннее трение при крутильных колебаниях (при чистом сдвиге) цементированных валов.

3.6 Потери на внутреннее трение при изгибе цементированных валов

Вывод по 3 главе.

Введение диссертация по механике, на тему "Статические и динамические задачи упругого деформирования цементированных деталей машин"

Цементация, как химико-термическая обработка (ХТО), заключается в диффузионном насыщении поверхностного слоя стали углеродом при нагреве в углеродсодержащей среде. Ей сопутствуют два явления: неоднородность механических свойств материала по сечению и возникновение поля остаточных напряжений за счет расширения (распухания) начальных объёмов.

Исследованием механических свойств материала после упрочняющих обработок, в частности цементации, занимались Гурьев A.B. [12], Брагин В.В. [6], Невзоров Б.А. [25], Водопьянов В.И. [9]. Исследованию поля остаточных напряжений после цементации уделили внимание Фридман Я.Б. [47], Коваленко А.Д. [24], Шляхов С.М. [64, 58, 59], Шлехер A.B. [64], Минов A.B. [58, 59].

Основываясь на экспериментальных данных в указанных работах, можно сделать вывод, что цементация, как одна из упрочняющих технологий, приводит к необходимости оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) науглероженных деталей с позиции механики неоднородных тел, т.к. цементация, посредством воздействия углерода на структуру стали, меняет ее химический состав и физико-механические характеристики по глубине насыщения.

Предлагаемая в работе модель «распухания», по сути, аналогична, модели теплового расширения с нелинейной зависимостью от содержания углерода. Поэтому использовались труды Галеркина Б. Г. [10], Лебедева Н. Н. [29], Новацкого В. [32], Коваленко А. Д. [23], Подстригача Я. С. и Коляно Ю. М. [37], Ломакина В. А. [30] и других, по проблемам термоупругости. При выявлении закона распределения углерода по толщине цементированного слоя необходимо решить задачу диффузии. Уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, решение которого представлено в работах Карелоу Г. и Егера Д. [21], Лыкова А. В. [31], Шнейдера П. [66] и др.

Наведенная неоднородность материала, обусловленная науглероживанием, влияет и на жесткостные параметры детали и, следовательно, влияет на частоту собственных колебаний и должна быть учтена при решении динамических задач деформирования цементированных деталей машин.

Важным фактором в инженерных расчетах динамических процессов является учет затухания колебаний, обусловленное как внешним, так и внутренним трением.

Внешнее трение часто описывается моделью Фойгхта, согласно которой затухание пропорционально скорости движению системы. Эта модель удовлетворительно аппроксимирует вязкое трение тонких слоев жидкости (масленого слоя в подшипниках и т.д.). Данная модель позволяет описать процесс движения с помощью линейных дифференциальных уравнений, при этом может быть получен коэффициент динамического нарастания колебаний ß и построена резонансная кривая, которая позволяет инженеру рассчитать режим скоростного перехода через резонанс, а также критическое время нахождения конструкции в резонансной области.

Помимо внешнего трения (сопротивление среды) присутствует внутренние трение, обусловленное структурными особенностями материала. Исследованием затухания, вызванного потерями на внутреннее трение, занимались Писаренко Г.С. [35, 36], Давиденков H.H. [13], Пановко Я.Г. [34] и др.

Приложение к исследованиям внутреннего трения модели Фойгхта не подтверждается экспериментально. По этой причине в данной работе предлагается использовать в исследованиях затухания, вызванного потерями на внутренние трение цементированных деталей, гипотезу Давиденкова, согласно которой затухание в материале пропорционально амплитуде колебаний и обуславливаются местными пластическими деформациями на границах отдельных зерен металла.

Целью данной работы является разработка доступного инженерного расчета по оценке НДС неоднородных деталей машин, разработка методов решения некоторых статических и динамических задач деформирования цементированных деталей. Отдельно можно выделить разработку расчета потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов, который основан на модели H.H. Давиденкова.

Для достижения этих целей поставлены следующие задачи исследования:

1. разработать механическую модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации);

2. разработать методы решения задач по оценке НДС брусьев круглого поперечного сечения, цементированных по внешнему контуру;

3. разработать методы решения задач по оценке НДС цементированных валов при таких видах нагружения, как кручение, чистый и поперечный изгибы;

4. разработать методы решения задач по расчету частот собственных изгибных, крутильных и продольных колебаний брусьев, подверженных науглероживанию;

5. разработать метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов.

На защиту выносятся:

1. Механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации).

5. Решения задач по расчету частот собственных колебаний цементированных валов.

6. Метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

В первой главе рассмотрены задачи по оценке НДС цементированных деталей машин (сплошных и полых валов). В пункте 1.1 предлагается механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации). Оценка НДС сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с равномерной и переменной по длине цементацией дана в пунктах 1.2 и 1.3. В пунктах 1.4 и

1.5 рассмотрена оценка НДС полого бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с равномерной и переменной по длине цементацией. В конце каждого пункта данной главы приведены исходные данные и результаты численных расчетов.

Во второй главе описаны задачи по расчету НДС науглероженных валов при следующих видах нагружения: кручение, чистый и поперечный изгибы. В пункте 2.1 представлено решение задачи кручения сплошного бруса круглого поперечного сечения с равномерно цементируемым внешним контуром. Оценка вторичных нормальных напряжений при кручении цементированной тонкостенной трубы дана в пункте 2.2. В пункте 2.3 решена задача чистого изгиба бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру. Поперечный изгиб цементированного бруса круглого поперечного сечения, оценка касательных напряжений, рассмотрен в пункте 2.4. В пункте 2.5 дана задача кручения бруса круглого поперечного сечения с переменной по длине цементацией. Исходные данные и результаты численных расчетов приведены в конце каждого пункта данной главы.

Третья глава посвящена решению динамических задач деформирования цементируемых деталей машин. В,пункте 3.1 дан расчет собственных изгибных колебаний консольного цементированного бруса на основе метода Граммеля. В пункте 3.2 представлен расчет собственных изгибных колебаний двухопорного цементированного бруса на основе метода Релея-Ритца. Расчет продольных и крутильных колебаний бруса при его поверхностной цементации, приведен в пунктах 3.3 и 3.4. В пунктах 3.5 и 3.6 описаны задачи потерь на внутреннее трение при крутильных и изгибных колебаниях цементированных валов. Также в конце каждого пункта данной главы приведены численные примеры с результатами расчетов.

В заключении приведены общие выводы по диссертации.

Результаты численных расчетов представлены в виде графиков. Расчеты выполнены на IBM PC.

Отдельные результаты работы докладывались:

• на научных семинарах кафедры «Механика деформируемого твердого тела» (СГТУ, 2005-2008 гг.);

• на седьмой Международной научно-технической конференции АКТ-2006 (Воронеж, 2006г.);

• на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием (Самара, 2007г.).

• на двенадцатой Международной научной конференции имени академика М.Кравчука (Киев, 2008г.);

• на двадцать первой Международной научной конференции ММТТ-21 (Саратов, 2008г.).

В целом работа докладывалась на объедененном научном семенаре кафедр МДТ, ТМ и ВМ.

I. Напряженно-деформированное состояние цементируемых деталей машин

Первая глава посвящена исследованию НДС цементированных деталей машин на основе механики неоднородных тел.

Для определения НДС моделью формы элементов конструкций принят брус круглого поперечного сечения. Приведены примеры расчета напряжений. Результаты позволяют оценить НДС сплошного и полого бруса при равномерной и неравномерной по длине цементации.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Выводы по 3 главе

В главе 3 получено решение динамических задач деформирования цементируемых стержней.

Полученные решения по оценке уровня собственных частот изгибных, крутильных и продольных колебаний цементированного бруса доведены до численных примеров, позволяющих оценить влияние цементации на уровень собственных частот.

При исследовании потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных стержней (случай чистого сдвига и изгиба) предложены методы, которые позволяют определить коэффициент динамического нарастания колебаний /?.

По всем решениям представлены результаты.

Отмечено существенное влияние цементации на уровень собственных частот колебаний, что свидетельствует о необходимости ее учета в реальных расчетах на прочность.

Заключение

На основании проведенных в данной работе исследований и конкретных расчетов с использованием предложенных методов, результаты сводятся к следующему:

Первая глава.

1. На основе экспериментальных данных разработана механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации). Модель сохраняет основные признаки сплошных тел, при условии коррекции физико-механических характеристик за счет цементации.

3. Разработан метод решения задач по оценке НДС цементированных сплошных и полых валов на основе вариационных принципов и схем суперэлементов при переменной по длине цементации.

4. Дана схема применения теории безмоментных цилиндрических оболочек к решению задач оценки НДС цементированных валов.

5. Оценено влияние химико-термической обработки (цементации) на НДС валов.

Вторая глава.

1. На основе МКЭ получено решение задачи кручения сплошного бруса круглого поперечного сечения с равномерно цементируемым внешним контуром.

2. Получено решение задачи по оценке вторичных нормальных напряжений при кручении цементированной тонкостенной трубы.

3. На основе гипотезы плоских сечений и гипотезы одноосного напряженного состояния получено решения задачи чистого изгиба бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру. Приведен сравнительный анализ полученных расчетных формул со стандартным законом распределения нормальных напряжений при чистом изгибе.

4. Решена задача поперечного изгиба цементированного бруса круглого поперечного сечения и дана оценка касательных напряжений. Представлен сравнительный анализ полученных зависимостей с известным законом распределения касательных напряжений при поперечном изгибе.

5. Получено решение задачи кручения бруса круглого поперечного сечения с переменной по длине цементацией. В основу решения положен метод суперэлементов и МКЭ.

6. Оценено влияние химико-термической обработки (цементации) на НДС валов при кручении, чистом и поперечном изгибах.

Третья глава.

1. Получено решение задач по определению частот собственных изгибных колебаний консольного (на основе метода Граммеля) и двухопорного (на основе метода Релея-Ритца) цементированных брусьев. Выявлено существенное количественное отличие частот собственных изгибных колебаний цементированных брусьев от однородных.

2. Решены задачи по определению частот собственных продольных и крутильных колебаний бруса при его поверхностной цементации. Дана сравнительная оценка частот собственных продольных и крутильных колебаний цементированного вала по отношению к однородному.

3. Разработан метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при крутильных и изгибных колебаниях цементированных валов.

Достоверность полученных результатов основывается на строгости применяемого математического аппарата, отладки и тестировании программ и непротиворечивости полученных результатов известным решениям частных задач, найденных другими авторами.

Предложенные методы решения статических и динамических задач неоднородных деталей машин могут быть положены в основу инженерных практических расчетов на прочность деталей, подвергаемых химико-термической обработки.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Казаковцев, Иван Анатольевич, Саратов

1. Барсуков В.Н. Диффузионное насыщение сталей / В. Н. Барсуков, Б. И. Брук. Л. : СЗПИ, 1987. 86 с.

2. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате и Е. Вилсон. М. : Стройиздат, 1982. 447 с.

3. Бернштейн М.Л. Механические свойства металлов / М.Л. Бернштейн, В.А. Займовский. М. : Металлургия, 1979. 495 с.

4. Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах / Б.С. Бокштейн. М. : Металлургия, 1978. 248 с.

5. Бояршинов С. В. Основы строительной механики машин / С. В. Бояршинов. М. : Машиностроение, 1973. 456 с.

6. Брагин В.В. Проектирование высоконапряженных цилиндрических зубчатых передач /В.В. Брагин, Д.Н. Решетов. М. : Машиностроение, 1991г. 224 с

7. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. М. : Наука, 1984. 431 с.

8. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М. : Мир, 1987. 542 с.

9. Водопьянов В.И. Пластическая деформация и разрушение конструкционных материалов / В.И. Водопьянов, Е.И. Тескер. Волгоград : ВПИ, 1989.-97 с.

10. Галеркин Б. Г. Термическое напряжение в упругих пластинках / Б. Г. Галеркин // Инженерные сооружения и строительная механика. Л. : Путь, 1924.-214 с.

11. П.Гуляев А.П. Металловедение / А. П. Гуляев. М. : Металлургия, 1986. -541 с.

12. Гурьев A.B., Упругие и неупругие свойства конструкционных материалов / A.B. Гурьев, Я.А. Гохберг. Волгоград : ВПИ, 1988. 97 с.

13. Давиденков H.H. О рассеянии энергии при вибрациях / H.H. Давиденков // Журнал технической физики, т. VIII, вып.6. Санкт-Петербург : ФТИ им. А.Ф. Иоффе, 1938. С.483-499. И.Демидов С. П. Теория упругости / С. П. Демидов. М. : Высшая школа, 1979. 432 с.

14. Дрозд М.С. Определение механических свойств металла без разрушения /М.С. Дрозд. М. : Металлургия, 1965. 172с.

15. Елисеев Ю.С., Абраимов Н.В., Крымов В.В. Химико-термическая обработка и защитные покрытия в авиадвигателестроении: Учеб.пособие для вузов. -М. : Высшая школа, 1999. 525 с

16. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике / О. К. Зенкевич. М. : Мир, 1975.-541 с.

17. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986. 318 с.

18. Зинченко В.М. Инженерия поверхности зубчатых колес методами химико-термической обработки / В.М. Зинченко. М. : МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. 303 с.

19. Золотаревский B.C. Механические свойства металлов / B.C. Золотаревский. М. : Металлургия, 1983. 350 с.

20. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карелоу, Д. Егер. М.: Наука, 1964. 487 с.

21. Карчевский М.М. Методы вычислений: численные методы решения дифференциальных уравнений / М. М. Карчевский, А. Д. Ляшко, М. Ф. Павлова. Казань : Изд-во Казанского университета, 1990. 122 с.

22. Коваленко А. Д. Избранные труды / А. Д. Коваленко. Киев : Наукова думка, 1976. 763 с.

23. Коваленко А.Д. Определение остаточных напряжений возникающих при цементации / А.Д. Коваленко // Динамика и прочность авиадвигателей, М. : Оборонгиз, 1949. Т. 1.

24. Коррозия конструкционных материалов в жидких щелочных металлах/ Б.А. Невзоров, В.В. Зотов, В.А. Иванов. М. : Атомиздат, 1977. 173 с.

25. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. М. : ГИТТЛ, 1954. -223 с.

26. Ларенс, Рональд, У. Инженерные расчеты в Excel / У. Рональд, Ларенс. М.: Издательский дом «Вильяме», 2004. 544 с.

27. Лахтин Ю.М. Металловедение и термическая обработка металлов / Ю.М. Лахтин. М.: Металлургия, 1984. 359 с.

28. Лебедев Н. Н. Температурные напряжения в теории упругости / Н. Н. Лебедев. М. ; ОНТИ, 1937. 110 с.

29. Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел / В. А. Ломакин. М. : Изд-во МГУ, 1976. 368 с.

30. Лыков А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. М. : Высшая школа, 1967. 599 с.

31. Новацкий В. Вопросы термоупругости / В. Новацкий. М. : Изд-во АН СССР, 1962.-364 с.

32. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Норри Д., Де Фриз Ж. М.: Мир, 1981. 230 с.

33. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем / Я.Г. Пановко. М. : Физматгиз, 1960. 192 с.

34. Писаренко Г.С. Колебанияупругих систем с учетом рассеяния энергии в материале /Г.С. Писаренко. К. : Изд-во АН УССР, 1955. 239 с.

35. Писаренко Г.С. Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях / Г.С. Писаренко. К. : Наукова думка, 1985. 236с.

36. Подстригач Я. С. Обобщенная термомеханика / Я. С. Подстригач, Ю. М. Коляно. Киев : Наукова думка, 1976. 310 с.

37. Расчеты на прочность в машиностроении / С. Д. Пономарев, В. Л. Бидерман, К. К. Лихарев, Н. Н. Малинин, В. И. Федосьев. М. : Машгиз, Т.2. 1958.-975 с.

38. Расчеты на прочность в машиностроении. / С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман, К.К. Лихарев и др. М. : Машгиз, Т.З 1959. 1078 с.

39. Сегерлинд Ларри Дж. Применение метода конечных элементов / Ларри Дж. Сегерлинд. Под ред. Б. Е. Победри. М. : Мир, 1979. 392 с.

40. Справочник по машиностроительным материалам / В 4-х томах. Под ред. д-ра техн. наук проф. Г. И. Погодина-Алексеева. М. : Машгиз, 1959.

41. Теплопроводность твердых тел / А.С. Охотин. М. : Энергоатомиздат, 1984г. 320 с.

42. Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. Под ред. Г. С. Шапиро. 2-е изд. М. : Наука, 1979. 560 с.

43. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов / С. П. Тимошенко. М. : Наука, 1965.-360 с.

44. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М. : Наука, 1977. 735 с.

45. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. М.: Наука, 1986г. 544с

46. Фридман Я.Б. Механические свойства метталов/ Я.Б. Фридман. М.: Машиностроение, 1974. 472 с.

47. Химико-термическая обработка / Ю.М. Лахтин, Б.Н. Арзамасов. М. : Металлургия, 1985. 256 с.

48. Химико-термическая обработка инструментальных материалов / Е. И. Вельский, М. В. Ситкевич, Е. И. Понкратин, В. А. Стефанович. Минск: Наука и техника, 1986. 247 с.

49. Химико-термическая обработка металлов и сплавов / Л.С. Ляхович. М. : Металлургия, 1981. 136 с.

50. Численные методы / Н.И. Данилова, Н.С. Дубровская, О.П. Кваша. М.: Высшая школа, 1976. 368 с.

51. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения : учебное пособие / Б. П. Демидович, И. А.

52. Марон, Э. 3. Шувалова. Санкт-Петербург : Лань, 2008. 400 с.

53. Шляхов С.М. Задача оценки НДС тонкостенной трубы, подверженной поверхностному науглероживанию / С.М. Шляхов, И.А. Казаковцев // Труды XII международной конференции им. акад. М. Кравчука. Киев : НТУУ КПИ, 2008. С.456-461.

54. Шляхов С.М. Кручение бруса круглого сечения с переменным по длине слоем цементации / С.М. Шляхов, И.А. Казаковцев // Труды международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Саратов : СГТУ, 2008. С.279-283.

55. Шляхов С.М. Метод Релея-Ритца в задаче о собственных колебаниях науглероженных балок / С.М. Шляхов, В.Ф. Кравцов // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Саратов : СГТУ, 2005. С. 122-127.

56. Шляхов С.М. Напряженно-деформированное состояние валов после цементации/ С.М. Шляхов, И.А. Казаковцев // Труды седьмой международной научно-технической конференции «АКТ-2006». Воронеж : ВГТУ, 2006. С.360-364.

57. Шляхов С.М. Напряженно-деформированное состояние полого цилиндра при термодиффузии углерода в его стенку / С.М. Шляхов, A.B. Минов // Инженерно-физический журнал. Минск : ИТМО, 2000. Т. 73. №5. С. 10421049.

58. Шляхов С.М. Напряженно-деформированное состояние стержня постоянного поперечного сечения при его поверхностном науглероживании в условиях ползучести / С.М. Шляхов, A.B. Минов //

59. Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Саратов : СГТУ, 2000. С.32-39.

60. Шляхов С.М. Оценка НДС полого вала, цементированного по контуру, с переменной по длине цементацией/ С.М. Шляхов, И.А. Казаковцев // Известие вузов машиностроения. М. : МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. С.33-40.

61. Шляхов С.М. Оценка НДС сплошного вала, цементированного по контуру/ С.М. Шляхов, И.А. Казаковцев // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Саратов : СГТУ, 2007. С.47-51.

62. Шляхов С.М. Оценка НДС сплошного вала, цементированного по контуру, с переменной по длине цементацией/ С.М. Шляхов, И.А. Казаковцев // Вестник СГТУ. Саратов : СГТУ, 2008. -№2 (32). С. 19-25.

63. Шляхов С.М. Собственные изгибные колебания консольного цементированного бруса. Метод Граммеля / С.М. Шляхов, И.А. Казаковцев//Вестник СГТУ. Саратов : СГТУ, 2008. -№3 (35) С. 18-24.

64. Шляхов С.М., Об оценке параметров распухания цементированного слоя по уровню остаточных напряжений / С.М. Шляхов, A.B. Шлехер // Труды 7-ой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара : СамГТУ, 1997. С. 153-154.

65. Шляхов С.М. Потери на внутреннее трение при крутильных колебаниях (при чистом сдвиге) цементированных валов / С.М. Шляхов, И.А. Казаковцев // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Саратов : СГТУ, 2008. С.60-66.

66. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности / П. Шнейдер М.: Изд-во И. Л. 1960.479 с.