Конечно-элементное решение некоторых трехмерных задач упругопластического деформирования и устойчивости стержней и оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛАПТЕВ ПАВЕЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ И ОБОЛОЧЕК

Специальность 01.02.06-Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2004

Работа выполнена в Нижегородском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Н.И. Лобачевского

Научные руководители:

Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Баженов В.Г., доктор физико-математических наук, с.н.с. Кибец А.И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, с.н.с. Абросимов Н.А.

кандидат физико-математических наук, с.н.с. Столов В.П.

Ведущая организация - Казанский государственный университет

Защита состоится «М • сшиЛ^ 2004 года в часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н. Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Автореферат разослан "М- пи*лл,- 2004г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.09 кандидат технических наук, доцент

Б.В. Трухин

Актуальность темы.

Появление и интенсивное развитие вычислительных машин оказали существенное влияние на характер и точны развития методов решения задач прочности. Распространение получили численные методы, позволяющие значительно расширить класс и постановку решаемых задач за счёт более полного учбта реальных форм исследуемых конструкций и взаимного влияния входящих в них элементов, условий нагружения и свойств конструкционных материалов. Использование методов численного моделирования систем автоматического проектирования и созданных на их основе расчетных комплексов дает возможность существенно сократить затраты ресурсов и времени на решение задач, связанных с деформированием элементов конструкций и деталей машин. В тех случаях, когда натурный эксперимент трудно осуществим, а применение аналитических методов ограничено рамками грубой идеализации, численное моделирование становится практически единственным инструментом исследования.

Оболочки, пластины, стержни, являются основными элементами конструкций авиационной, автомобильной, атомной, космической техники. В процессе эксплуатации они подвергаются импульсным и ударным воздействиям. Необходимость обеспечения надежности и безопасности конструкций с одной стороны, и их рациональное проектирование с другой стороны, требуют учета различного рода нелинейных эффектов деформирования.

В связи с изложенным выше, представляются актуальными теоретические и экспериментальные исследования процессов нестационарного деформирования трехмерных оболочечных и стержневых элементов конструкций при учете больших формоизменений, нелинейных свойств материала, контактного взаимодействия, краевых эффектов и т.д. Важным, при этом, является изучение областей применимости современных численных методов решения упомянутых задач и их развитие в соответствии с требованиями инженерной практики.

Цели диссертационной работ ы формулируются следующим образом. • Совершенствование конечно-элементной методики решения трехмерных нестационарных задач упругопластического деформирования конструкций с целью повышения се точности в зонах локальных формоизменений и контактного взаимодействия. Реализация модифицированной методики в рамках пакета программ «Динамика 3», анализ точности и устойчивости разработанных численных схем, определение области их эффективной применимости;

• Теоретическое и экспериментальное исследование трехмерных задач упругопластического деформирования потери устойчивости и закритического поведения оболочечных и стержневых элементов конструкций под действием динамических нагрузок с учетом геометрической и физической нелинейности.

Научная новизна.

Развита конечно-элементная методика решения трехмерных упруг о пластических задач динамики с уточненной схемой вычисления моментных компонент пластических деформаций и напряжений в конечных элементах сплошной среды и оболочки. На ряде линейныхч и нелинейных: задач динамики исследованы точность и устойчивость модифицированных конечных элементов (КЭ). Проведен теоретический и экспериментальный анализ процессов упругопластического выпучивания цилиндрических оболочек под действием осевого сжатия с учетом краевых и нелинейных эффектов взаимодействия осесимметричных и неосесимметричных форм. Исследована потеря устойчивости пластического деформирования и закритическое поведение упругопластических стержней с прямоугольной формой поперечного сечения при растяжении, вплоть до момента разрушения. Оценена роль скорости нагружения, начальных несовершенств и краевых эффектов.

Достоверность полученных результатов подтверждается решением большого числа тестовых задач, исследованием сходимости.численного решения при последовательном сгущении конечно-элементной сетки, сопоставлением результатов расчетов с известными теоретическими и экспериментальными данными, проведением внутреннего контроля ряда диагностических функционалов численного решения.

Практическая ценность._

Применение разработанных методик позволяет расширить класс решаемых задач в расчетах на прочность сложных, составных конструкций. Приведенные в диссертации результаты решения исследовательских и прикладных задач использовались на этапе роект

На защиту выносятся:

1. конечно-элементная методика численного решения трехмерных задач нестационарного деформирования упруг о пластических пространственных конструкций при конечных деформациях и больших формоизменениях;

2. обоснование достоверности разработанной методики, решение тестовых задач;

3. результаты экспериментального и теоретического исследования процессов упругопластического деформирования и закритического поведения стержней, оболочек и составных конструкций в трехмерной постановке. Анализ роли краевых и нелинейных эффектов.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и симпозиумах: VII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошных сред» памяти академика РАН И.И.Воровича, Ростов-на-Дону, 2001г. Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Молодая наука - XXI веку. Физика. Математика. Информатика Иваново, 2001 г, VI Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки), г. Сэров, 2001 г., II научно-технической конференции, посвященной 15-летию Нф ИМАШ РАН. Нижний Новгород, 2001г., Международной молодежной научной школе-конференции. Казань, 2001г., VII нижегородской сессии молодых учёных (Математические науки), г. Саров. 2002г., VIII, IX Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец 2002, 2003г.г., XII нижегородской сессии молодых учёных (Технические науки), г. Дзержинск, 2003г., Международной конференции V Харитоновские тематические научные чтения. «Вещества, материалы и конструкции при интенсивных динамических воздействиях», г. Саров, 2003г. Публикации.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1-14] Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, и приложения. Основной печатный текст составляет 91 страница, 24 страницы иллюстраций (71 рисунок), 20 страниц - список цитируемой литературы (183 наименования) Краткое содержание работы.

Во введении рассмотрена актуальность темы, сформулированы основные направления исследований, составляющих содержание диссертации.

В первой главе дается краткий обзор численных методов решения задач нестационарного упругопластического деформирования сплошных сред и тонкостенных конструкций. Рассматриваются результаты решения трехмерных задач при действии ударных и импульсных нагрузок, формулируются основные цели и задачи диссертационной работы.

Обзор основных подходов к численному решению нестационарных задач механики сплошных сред можно найти в работах В.Н.Кукуджанова, В.Г.Баженова, А.И.Рузанова, А.Г.Угодчикова. А.Г.Горшкова, КЛ.ВаШе, T.Belytschko, TJ.R.Hughes, O.CZienkiewicz и других отечественных и зарубежных авторов. Из всего многообразия численных методов, применительно к рассматриваемому классу задач можно выделить методы конечных разностей и конечных элементов. .

Среди работ, посвященных конечно-разностному решению трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических сред, следует отметить работы МЛ.Уилкинса. Им предложена конечно-разностная методика, основанная на явной схеме интегрирования по времени типа "крест" и "естественной" аппроксимации градиента скорости перемещений в шестигранных ячейках. Как показали результаты расчетов, схема Уилкинса в ряде случаев допускает искажение численного решения - неустойчивость типа "песочных часов", приводящее к перехлесту ячеек разностной сетки. Различные способы устранения этого недостатка были предложены в работах Ю.Г.Коротких, А.И.Сааырина, А.Б.Киселева, В.Д.Кошура, А.И.Гулидова, В.М.Фомина, А.И.Корнеева, В.Г.Баженова и др.

Метод конечных элементов развивался в работах В.А.Постнова, СА.Капустина, А.С.Сахарова, А.И.Голованова, О.Зенкевича, К^Ва^, T.Belytschko, TJ.R.Hughes, R.L.Taylor и др. Разработанный для решения задач статики, в последующем метод конечных элементов был применен и для анализа процессов нестационарного деформирования (В.Е.Хорев, Н.Т.Югов, G.RJohnson, T.Belytschko, .1.1 Ыкцпч! и др.). Поведение КЭ в нелинейных задачах нестационарного деформирования зависит от гладкости искомых решений. В случае достаточно гладко протекающих процессов предпочтительнее использование КЭ с высокой степенью аппроксимации, т.к. они в этом случае имеют более высокую скорость сходимости решения по сравнению с КЭ - с низкой степенью аппроксимации. При сильном искажении конечного элемента его точность падает и, все преимущества высокого порядка аппроксимации исчезают. Поэтому, как правило, при решении нелинейных трехмерных задач динамики применяют наиболее простые типы конечных элементов: тетраэдры с линейной аппроксимацией перемещений или 8-узловые КЭ ("кубики"). Как и в конечно-разностном методе, при решении нестационарных задач методом конечного элемента, в ряде случаев возможно развитие неустойчивости типа "песочных часов" или мод нулевой энергии. Подробные обзоры по этой проблеме можно найти в работах А.И.Голованова, T.Belytschko, O.CZienkiewicz и др. Другой серьезной проблемой, с которой приходиться сталкиваться при построении КЭ являются эффекты так называемого запирания. Суть их заключается в том, что КЭ в процессе деформирования демонстрирует сильно завышенную жесткость. Наиболее распространенными являются

объемное и сдвиговое запирание. Таким образом, построение КЭ, удовлетворяющего всем предъявляемым требованиям по точности, устойчивости и сходимости, является достаточно сложной проблемой, которая применительно к трехмерным нелинейным задачам нестационарного деформирования остается до сих пор открытой. '

Развитие численных методов для решения нелинейных задач нестационарного деформирования оболочек и тонкостенных конструкций изложено в работах В.Г. Баженова, НААбросимова, В.И.Дресвянникова, БАЛюкшина, Е.АУитмера, КЛ.Ва1Ье, Т.Ве^БсЬко и др. В целом .нужно отметить, что, несмотря на положительный накопленный опыт использования всех упомянутых выше методик в описании процессов нестационарного деформирования оболочек, границы их применимости для решения геометрически и физически нелинейных задач динамики и потери устойчивости оболочечных конструкций еще недостаточно исследованы. В силу этого представляются актуальными экспериментально-теоретические исследования в этой области, позволяющие не только анализировать закономерности развивающихся процессов, но и верифицировать существующие математические модели и разрабатываемые методы решения рассматриваемого класса задач.

Во ВТОРОЙ главе излагается определяющая система уравнений и конечно-элементная методика решения трехмерных геометрически и физически нелинейных задач деформирования конструкций.

Предположим, что конструкция состоит из ^элементов £2Д/ = 1,Л0 и занимает в пространстве на текущий момент времени г область = (^£2,), ограниченную

поверхностью Элемент может представлять собой массивное тело или

оболочку. На граничной поверхности конструкции в общем случае может действовать распределенная нагрузка, часть поверхности Г движется с заданной скоростью. Межяу отдельными элементами области (назовем их подобластями) возможно контактное взаимодействие, характеризуемое контактным давлением. Деформирование конструкций рассматривается с позиций механики сплошных сред без введения упрощающих гипотез теории оболочек в тонкостенных элементах. Введем следующие обозначения:

{*}=[*, ад]7" - неподвижная система ортогональных координат;

локальный ортогональный базис, отслеживающий движение частицы как жесткого целого;

{С/} = [¿/¡¿Л^з!^' {и} — * перемещения вобщей{^}и подвижной {х} системах

координат: {р} = [Т^/г^зГ" - распределенная нагрузка; - давление в области контакта деформируемых тел; Г^, зоны' приложения {Я}, {р^ Р' • плотность,

{г} = {£11 ^22 ¿33 е\г еп ^Г- {°) = {°и °22 °33 °12 °23 СТ3|Г - м^трим-столбцы, составленные из компонент, тензоров деформаций и напряжений, точка над

переменной означает частную производную по времени, т - операцию транспонирования, /Э/£>/ - производная в смысле Яумана. Система уравнений, определяющая динамическое деформирование упругопластической среды, формулируется в переменных Лагранжа. Движение среды описывается исходя вариационного принципа Журдена

Я<т}г№}^ + \pWS\J\iv = яР}т3$\1у+. (1)

Кинематические соотношения формулируются в текущей метрике

Уравнения состояния устанавливаются раздельно для шаровых и девиаторных, составляющих скоростей деформаций и напряжений Зависимость шаровых компонент деформаций и напряжений предполагается баротропной. Для связи девиаторных составляющих тензоров напряжений и скоростей деформаций используются соотношения теории течения с линейным кинематическим и изотропным упрочнением Гипотезы, принятые в теории тонкостенных элементов конструкций (стержней, пластин и оболочек), вводятся на этапе дискретизации определяющей системы уравнений. Начальные значения задаются для всех компонент граничные условия - для

Положение контактной поверхности и контактные усилия в общем случае неизвестны и определяются в ходе решения поставленной задачи Рассматривается следующая постановка граничных условий на контактирующих поверхностях:

• жесткое соединение подобластей,

• непроникание по нормали и свободное скольжение вдоль касательной к поверхности контакта

Для дискретизации определяющей системы уравнений по пространственным переменным применяется метод конечных элементов, а их дискретизация по времени основана на явной конечно-разностной схеме типа "крест". Деформируемая конструкция заменяется латранжевой сеткой из 8-узловых конечных элементов. В узлах сетки

определяются перемещения^}, скорости ||[/] и ускорения {¿/| в общей системе

коо|>дииа| {Л'} = Х-1 Хг используемой для стыковки конечных элементов (КЭ). В

каждом элементе вводится локальный прямоутольный базис и с помощью

полилинейното изопараметрическото преобразования он отображается на куб

нА^ем'Ь+ыегЬ+еЯг)* <з>

тде - координаты узлов в базисе {х },{£}. Компоненты скорости перемещений

аппроксимируются внутри элемента с помощью функций формы N1 из (3)

(4)

В соответствии с (4) скоростидеформаций е аппроксимируются в следующем виде

й = {¿О }+{ё I }£ .+{¿2 к2+ {¿3 }£ 3

(5)

где

{¿о}={$ ¿22 ¿33 ¿12 ¿23 ¿13 } =fc}fi«ii=ij=0* значения компонент скорости деформаций в центре КЭ, {¿|}={0 ¿22,1 ¿33.1 ® ¿33.1

градиент скорости деформаций в центре КЭ ¿¿j —const во всем КЭ. Чтобы

не завышать сдвиговую жесткость элемента в Е/, оставлены только компоненты, соответствующие изгибающим и крутящим моментам в теории оболочек Значения

безмоментных и моментных составляющих скорости деформаций в центре конечного элемента вычисляются с помощью обратной матрицы Якоби и соотношений (2),(3),(4).

Далее в ряде точек КЭ определяются скорости деформаций и из уравнений состояния находятся компоненты напряжений. Численное интегрирование (1) осуществляется с помощью квадратурных формул Гаусса-Лежандра или Ньютона-Котеса. Для одномерного интеграла эти формулы имеют вид:

|/(д:)Л=|;Я,/(х') (6)

где X1 и Н1 соответственно абсциссы и весовые коэффицие_н(пгы) 1н а ч е н и е подынтегральной функции в квадратурной точке. В случае трехмерного интеграла формула будет выглядеть следующим образом:

11 |/<*|.*2.*з)А|А2А1 -¿ХЕВД^Л*'.* 2'4) (7)

Число квадратурных точек определяет точность вычисления интеграла. Если подынтегральная функция полином степени л, то для точного вычисления интеграла от него необходимо взять, по крайней мере, 2п+1 квадратурных точек. Таким образом, для полилинейной функции минимально необходимым являются две точки интегрирования в каждом направлении. Значения весовых коэффициентов в формуле Гаусса-Лежандра в этом случае будут

На основе такого подхода были разработаны следующие модификации конечных элементов.

КЭ сплошной среды. Подставляя в (5) координаты квадратурных точек Гаусса

(рис. 1а) получим значения компонент скорости

деформаций М= Й ¿22 ¿33 ¿/2* ¿23* ¿8 Г'

+{¿3$ • (8)

Для устранения эффекта объемного запирания на каждом временном шаге осуществляется коррекция приращений нормальных компонент скоростей деформаций:

= + Ф • ^пм = ^п + Ф . Д^зм = А*ээ +Ф' (9)

ф = д¿и•'t Дё^ = 1 (ц** + + )

где приращение шаровой компоненты в центре КЭ, приращение шаровой

компоненты в квадратурных точках, модифицированные приращения нормальных

компонент в квадратурных точках. В результате корректировки (11) шаровая компонента становится постоянной во всем КЭ. После вычисления скоростей деформаций, в квадратурных точках вычисляются напряжения

И=Й? < °?2к «¡?Г и.^и

Оболочечный КЭ Предполагается, что ось ¿¡^ совпадает с .Х3 и направлена по

нормали к срединной поверхности. Поскольку изменение напряжений вдоль толщины оболочки из-за пластических деформаций может быть нелинейной, каждый элемент разбивается вдоль на ряд подслоев. Вычисление скоростей деформаций в подслоях

осуществляется в квадратурных точках Гаусса (рис 16) по формуле (8), в которой к - номер подслоя. Для улучшения сходимости численного решения деформации обжатия

корректируются по толщине исходя из условия

В каждом конечном элементе мощность виртуальной работы в (1) выражается через матрицу масс т, узловые ускорения {и}, статически эквивалентные узловые {/"}. и виртуальные скорости перемещения

¿{¿}(т{й} -{/}) = 0 (10)

В соответствии с аппроксимацией скорости деформации (5) в конечных элементах сплошной среды и оболочки узловые силы вычисляются по формулам:

М-1Л}+{ЛМДМЛ}

В (И) ВI - матрицы, представляющие дискретный аналог дифференциального оператора из (2), устанавливающие связь межяу узловыми значениями компонент скоростей перемещений и скоростей деформаций. Для конечных элементов сплошной среды в (11) N равен 2. Н^ - весовые коэффициенты Гаусса-Лежандра (равны 1) Для КЭ оболочечного типа интегрирование по толщине выполняется с помощью формулы Ньютона-Котеса, N -число подслоев по толпщне оболочки. Узловые силы {/} проецируются в общую систему координат {X}. Заменяя интегрирование по областиЕй^ммированием по элементам, получим ттскпегнмй аналог уравнений движения

мРЬи <12>

где [Л/]-матрица м а с^^^^-г р и ц ы - столбцы, составленные из ускорений узлов КЭ-сетки и результирующих узловых сил в общей системе координат {ЛТ}. Разрешая (14) относительно ускорений получим систему обыкновенных- дифференциальных

уравнений:

(13)

которая интегрируется по явной конечно-разностной схеме типа "крест".

Если в процессе деформирования конструкции не испытывает локальных интенсивных воздействий, роль моментных составляющих напряжений и деформаций может быть незначительной. Поэтому разработанные модификации КЭ целесообразно применять совместно с конечными элементами сплошной среды и оболочки [1], которые требуют меньших вычислительных затрат. Экономия ресурсов в [1] достигается за счет сокращенного интегрирования (1) и использования моментных составляющих в качестве регуляризаторов численной схемы. В этих элементах в формулу аппроксимации скорости деформаций (5)

вводятся весовые коэффициенты

{¿\^{е0} + а^е1}41+аг{£г}42+аг{£3}43 ^ (14)

Варьируя весовыми коэффициентами СС/ и корректируя в соответствии с ними аппроксимацию можно получить набор конечных элементов для исследования

динамики сплошной среды и оболочек.

Так, в КЭ сплошной среды моментные составляющие {¿| Ц^},^} используются для подавления мод с нулевой энергией и вводятся в схему с малыми коэффициентами а^б[0.01,0.1],/ = 13- Это позволяет аппроксимировать напряжения линейными функциями -

{т,}=|з <х22, ст33>| о. ст23| of, {т2}={т1и 0 (ТП2 0 0 сг,3.2}Г.

{=гз}={т11,з °"22,з 0 ст12.з 0 о}Т . <T?k= const, 0lkj=<?crlk/dZl = const;

Компонен1ы {(Г/} определяются подстанов^йв уравнения состояния. В силу малости коэффициентов at связь {и^^}), 1 = 1,3 предполагается линейно упругой, а пластические свойства материала учитываются в центре КЭ при • вычислении (сГд}. Компоненты узловых сил {/j} в (11) в конечном элементе при аппроксимации (14),(15) вычисляются аналитически [1].

В оболочечном КЭ предполагается, что в тонкостенных элементах конструкций поперечные сдвиговые и изгибные деформации малы, а смещения и углы поворота поперечного сечения произвольны. Деформации и напряжения определяются в локальном базисе {*}. Моментные составляющие деформаций и напряжений в срединной поверхности вводятся, как и в предыдущем случае, для обеспечения устойчивости счета.

При этих условиях можно положить, что ось совпадает с Xj и направлена по

нормали к срединной поверхности. Тогда а напряжения

аппроксимируются следующим образом

+ (16)

где {'"j^^ll &Т1 °33 распределение напряжений • по

толщине оболочки Компоненты определяются по упрощенным

формулам. Каждый элемент разбивается вдоль на ряд подслоев и изменение напряжений в этом направлении аппроксимируется кусочно-постоянной функцией,

определяемой из уравнений состояния, исходя из линейного распределения полных

деформаций

и их

скоростей' {¿}= {¿о|+{^31»3- Деформации

в

элементе корректируются из условия tTjj = const — О33 • Компоненты узловых

применением формулы Ньютона-Котеса.

Перечисленные конечные элементы объединены в библиотеку, в которой принята следующая классификация:

• КЭ сплошной среды типа А (моментные составляющие скоростей деформаций и напряжений используются для стабилизации I численной I схемы, их вычисление осуществляется по упрощенным аналитическим формулам);

• КЭ оболочки типа В (моментные составляющие деформаций и напряжений по толщине берутся полностью, а в срединной поверхности используются в качестве регуляризатора численного, решения; при интегрировании по толщине применяются. формулы Ньютона-Котеса);

• КЭ сплошной среды типа С (напряжения определяются в точках интегрирования представленных на рис. 1а, для вычисления узловых сил применяются формулы Гаусса-Лежандра);

• КЭ оболочки типа Э (вычисление напряжений осуществляется в точках интегрирования, изображенных на рис.1б; в процессе построения дискретного аналога уравнений движения применяются квадратурные формулы Гаусса-Лежандра при интегрирование внутри подслоя и формулы Ньютона-Котеса при интегрировании по толщине).

В третьей главе описана программная реализация разработанной методики, а также излагаются результаты исследования точности предлагаемых численных схем на ряде тестовых задач. Для сравнения использовались расчетные и экспериментальные данные других авторов.

Рассмотрены в трехмерной постановке следующие задачи:

• поперечные, упругие колебания балки, шарнирно опертой на торцах; круглой упругой пластины, жестко защемленной по контуру;

• упругопластическое деформирование алюминиевого цилиндра при продольном ударе по жесткой преграде;

• динамический упругопластический изгиб вытянутой балки-полоски, круглой пластины, цилиндрической панели,

продольной удар по жесткой преграде тела вращения, включающего в себя цилиндрическую оболочку с присоединенными на торцах массивными элементами В целом проведенные исследования подтвердили эффективность разработанной методики. Установлено, что при интенсивных локальных воздействиях на грубых сетках использование моментных составляющих в качестве регуляризатора численного решения не всегда обеспечивает устойчивость счета. В таких задачах требуется линейная аппроксимация скорости деформаций (5) с определением напряжений в точках интегрирования > и -последующим применением формул численного интегрирования при вычислении узловых сил (11).

Так, на рис.2 приведены результаты решения задачи о поперечных колебаниях шарнирно опертой на торцах упругой балки

В начальный момент времени задано распределение скорости перемещений следующего вида:

Уо = х„ = 0, ¿0 = ис = ^¡фгх,/¿1),А = \0м с Решение осуществлялось на различных сетках КЭ: 4x1x1 («крупная» сетка) и 1бх4\4 («мелкая» сетка). На рис.2а,б представлены зависимости от времени

в центре балки, полученные с

использованием конечных элементов различных модификаций. Как видно из графиков, значения прогибов, рассчитанных с применением уточненных элементов типа С. D на «крупной» и «мелких» сетках, совпадают и хорошо согласуются с аналитическим решением. Элементы типа А, В на «крупной» сетке дают некорректный результат. Это объясняется тем. что в этом случае все компоненты моментных составляющих деформаций и напряжений играют существенную роль. Поэтому в этом случае для весовых коэффициентов а) ,а,,С1, в (14) нельзя задавать малые значения.

В четвертой главе приводятся результаты численного и экспериментального исследования нестационарного упругопластического деформирования стержней, оболочек и тонкостенных конструкций.

Рассмотрена задача об упругопластическом деформировании стальной цилиндрической оболочки под действием динамического осевого сжатия. Оболочка ^=9 2 СМ, 11/11=14 5, Ь=0.1 см) выполнена из стали Х18Н10Т. Один из торцов оболочки смещается с постоянной скоростью, а другой торец считается жестко заделанным. Исследовано влияние на выпучивание оболочки скорости нагружения. Расчеты показали, что при меньших

скоростях сжатия (У=20м/с), процесс выпучивания характеризуется развитием складки вблизи неподвижно опертого торца, с увеличением скорости нагружения напряжения на ударяемом торце возрастают, что приводит к росту прогибов на стороне, примыкающей к подвижному торцу, и в средней части оболочки. При этом в области неподвижно опертого торца наблюдается уменьшение амплитуды гофров. На рис.3 приводится сравнение с экспериментальными данными результатов численного решения задачи неосесимметричного выпучивания цилиндрической оболочки при ударном нагружении. Эксперимент на ударное сжатие выполнялся сотрудником НИИ механики ННГУ Деменко П.В. Удар по торцу оболочки наносился стальным цилиндрическим ударником массой 5.4 кг, имевшим скорость 12 м/с. В расчете для инициирования образования неосесимметричных гофров задавалось

геометрическое несовершенство в виде начальной погиби

координата по углу поворота, - координата вдоль

образующей, I- длина выпучины из осессимметричного расчета. Как видно из рис.3 отклонение результатов расчета от экспериментальных данных по остаточной форме не превышает 10%. На рис.4 представлена кинограмма процесса неосесимметричного выпучивания этой же оболочки, при импульсном осевом сжатии. Геометрическое

несовершенство задавалось в виде начальной погиби, имеющей вид где

координата по углу поворота, - координата вдоль

образующей, Ь- длина оболочки. С одного торца оболочка сжималась жестким массивным телом, двигающимся с постоянной скоростью 60 м/с. Другой торец опирался на жестко заделанную плиту. Сжатие производилось до величины осадки Д£ = 4.2 см. Контактное взаимодействие при замыкании гофров, наличие оболочечных элементов конструкций и массивных тел, геометрических несовершенств усложнило решение задачи. Существенно возросла роль моментных составляющих напряжений и применение их в качестве регуляри штора при не позволило получить приемлемых результатов расчета

из-за развития, мод нулевой энергии. Задание а, равными 0.1 при использовании. оболочечною конечного элемента типа В стабилизировало численное решение. Конечные элементы типа Э обеспечивают устойчивость счета, однако увеличивают вычислительные затраты.

Проведен численный анализ больших/ деформаций, предельных состояний и закритического поведения упругопластических стержней круглого, квадратного и прямоугольного поперечного сечения (рис.5а,б,в) при растяжении. В качестве граничных

м> = А со5(/?)з1п( , где

условий на концах стержней задается изменение продольных перемещений во времени таким образом, чтобы инерционные силы были малы. На рис. 6в представлены зависимости осевых усилий от продольного смещения торца стержня с квадратным сечением, полученные из численных расчетов с КЭ типа А, С и эксперимента. На до критической стадии кривые полностью совладают с экспериментальными данными. Различие появляется в моменте потери устойчивости, что обусловлено сильной чувствительностью решения к диаграмме деформирования. Как показали исследования, незначительное изменение диаграммы может приводить к значительному расхождению моментов начала локализации На закритическом этапе деформирования (ниспадающие части графиков) наклон кривой, полученной из расчета с элементом типа С, совпадает с наклоном экспериментальной кривой, что не наблюдается для решения с КЭ типа А Предельные нагрузки и момент образования шейки совпадают для стержней различного поперечного сечения. Расхождение появляется после начала локализации деформаций, когда вид НДС в месте образования шейки существенно зависит от формы поперечного сечения. В стержнях прямоугольного сечения после образования шейки боковые поверхности стержней становятся криволинейными и втягиваются вовнутрь (рис 6а,б). Изменение формы поперечного сечения этих стержней, вызвано трехмерностью напряженно-деформированного состояния в области шейки

Анализ НДС показывает, что в случае квадратных стержней нормальные к оси растягивающие напряжения достигают 24% по отношению к осевым в центре сечения шейки. В прямоугольных стержнях максимальные в сечении шейки растягивающие напряжения действуют вдоль большей стороны и достигают 13% от продочыюй компоненты, тогда как в круглом стержне радиальные и кольцевые напряжения достигают 30%. Полученные результаты хорошо согласуются с установленным экспериментально фактом о предельных деформациях стержней с различной формой поперечного Сечения Максимальная - степень объемности НДС достигается в стержне круглого сечения, минимальная - в прямоугольном стержне. В квадратном стержне степень объемности НДС занимает промежуточное значение. В соответствии с этим максимальная осевая деформация до разрушения в шейке достигается в прямоугольном стержне и минимальная - в круглом. При растяжении стержня имеет место неодноосное напряженное состояние не только в шейке, но и в местах сопряжения рабочих и опорных частей образца, где возникает краевой эффект, вызванный изменением толщины стержня. С увеличением степени деформации этот краевой эффект распространяется вовнутрь стержня и при деформациях более 10% наблюдается значительная переменность толщины, нарушающая однородность НДС еще до момента образования шейки. Распространение краевого эффекта зависит от формы

поперечных сечений, поэтому величина осевых деформаций в шейке при одних и тех же удлинениях стержней будет различной, так как жесткость стержней будет переменной по длине. Для того чтобы уменьшить роль краевых эффектов необходимо выбирать длину рабочей части образцов тем больше, чем выше степень деформации до разрушения. Обычно принимаемая длина рабочей части составляет 10-12 диаметров, при деформациях более 100% этот стержень весь будет находиться в условиях неоднородного НДС и при отсутствии шейки.

С помощью усовершенствованного варианта вычислительного комплекса «Динамика-3» совместно с сотрудниками РФЯЦ-ВНИИЭФ (г. Саров) А А. Рябовым, В И. Романовым, Г И Сотсковым проанализировано динамическое деформирование упаковочного комплекта для авиационной транспортировки ядерного топлива АЭС при осевом и боковом соударении с жесткой преградой со скоростью 90 м/с. Проведено сопоставление данных вычислительных и натурных экспериментов по уровням перегрузок и остаточных формоизменений конструкции, возникающих в результате удара. По результатам исследований были сделаны следующие выводы.

• При осевом и боковом соударении упаковочного комплекта с жесткой преградой со скоростью 90 м/с корпусные секции в целом сохраняют прочность. При этом возможно образование локальных разрывов корпусов, не приводящих к образованию магистральных трещин. Опорные стойки при боковом ударе разрушаются.

• Торцевой амортизатор при осевом ударе практически не выполняет функцию демпфирования и нуждается в доработке.

• В рассмотренных аварийных ситуациях возможно разрушение шпилек крепления крышек контейнера.

Основные выводы.

I. Разви га конечно-элементная методика решения трехмерных упругопластических задач динамики с уточненной схемой вычисления моментных компонент пластических деформаций и напряжений в конечных элементах сплошной среды и «оболочки. Методика основана на явной схеме интегрирования по времени типа "крест" и 8-узловом конечном элементе с полилинейной аппроксимацией скоростей перемещений. На ряде задач нестационарного деформирования элементов конструкций исследована точность и устойчивость модифицированных КЭ. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением с данными вычислительных и натурных экспериментов

2. В геометрически и физически нелинейной постановке решены новые трехмерные исследовательские и прикладные задачи:

• Задача упругопластического выпучивания цилиндрической оболочки при статическом и динамическом осевом сжатии с учетом контактного взаимодействия образующихся осесимметричных и неосесимметричных складок. Рассчитанные формы выпучивания, осевые силы и остаточные прогибы хорошо согласуются с экспериментальными данными для оболочки из стали 12Х18Н1 ОТ.

• Проанализированы большие деформации, предельные состояния и закритическое поведение упругопластических стержней квадратного и прямоугольного поперечного сечения при растяжении с учетом краевых эффектов и неоднородности НДС. Результаты расчетов хорошо согласуются по формоизменениям и усилиям в испытуемых образцах из стали 12Х18Н10Т и красной меди.

• Изучено динамическое деформирование и проведена оценка прочности упаковочного комплекта для авиационной транспортировки ядерного топлива при осевом и боковом соударении с жесткой преградой со скоростью 90 м/с. Результаты численного моделирования продольного соударения удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными по остаточным прогибам и уровням перегрузок.

3. Новые типы элементов включены в библиотеку КЭ пакета программ "Динамик.а-3" и могут быть использованы в различных подконструкциях в зависимости от характера НДС. Развиты пре- и постпроцессорные средства пакета программ Модифицикацня вычислительного комплекса позволила расширить класс решаемых упругопластических задач при больших формоизменениях и контактных взаимодействиях элементов конструкций. Разработанная методика, ее программная реализация и результаты расчетов используются в расчетной практике РФЯЦ ВНИИЭФ и ОКБ Машиностроения Минатома.

Автор выражает благодарность д т н. Братову A.M., Деменко П В., к.т.н. Казакову Д.А., к.т.н. Крамареву Л Н. за проведение экспериментальных исследований.

Основные результаты и защищаемые положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. В.Г. Баженов, Е.В Игоничева., А.И. Кибец, П.В. Лаптев, В.К. Ломунов Выпучивание упругих и упругопластических оболочек вращения при осевом ударном нагружении //Известия Академии инженерных наук РФ. Волго-вятское региональное отделение.

Юбилейный том, посвященный 85-летию академика A.M. Прохорова, Москва -Н.Новгород. 2001 с. 7-23.

2. Кибец А.И, Жегалов Д.В., Лаптев П.В., Ломунов В.К. Численное моделирование больших формоизменений упругопластической цилиндрической оболочки при осевом сжатии// Проблемы прочности и пластичности. Межвузовский сборник. 2001г. Вып. 63, С. 132-137

3. Баженов В.Г., Кибец А.И., Лаптев П.В., Ломунов В.К., Осетров С.Л., Садырин А.И. Моделирование деформирования и предельных состояний упругопластических цилиндрических стержней и оболочек при осевом растяжении и сжатии// Тезисы докладов VII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошных сред» памяти академика РАН И.И.Воровича. 22 - 25 октября 2001г. Ростов-на-Дону 2001г. т. 1 С.46-51

4. Лаптев П.В. Численное исследование процесса выпучивания цилиндрической оболочки при осевом сжатии//Тезисы докладов Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Молодая наука - XXI веку. Часть VI. Физика. Математика. Информатика. Иваново: Иван. гос. ун-т2001.С.29-30

5. Лаптев П.В. Численное исследование процесса выпучивания цилиндрической оболочки при ударном осевом нагружении// Тезисы докладов Шестой Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки), г. Саров, 13-17 мая 2001 г, Нижний Новгород 2001 г. с.61

6. Баженов В.Г„ Кибец А.И., Лаптев П.В., Ломунов В.К. Численное решение задачи унругопластического выпучивания цилиндрической оболочки при осевом нагружении// Проблемы машиноведения/ Тезисы докладов 2-ой научно-технической конференции, посвященной 15-летию Нф ИМАШ РАН. Нижний Новгород, 2001, с. 11

7. Лаптев П.В. Численное решение задачи деформирования упругопластической цилиндрической оболочки при осевом сжатии с учетом больших формоизменений// Материалы международной молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения - 2001/ Казанское математическое общество. Казань: Издательство «ДАС». 200I.T.12C.96-97

8. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И., Лаптев П.В. Разработка методических и программных средств расчета ударопрочных контейнеров нового поколения для транспортировки и хранения РАО// Сборник научных трудов научно-технической конференции «Научно-инновационное сотрудничество» МИФИ - 2002. Москва 2002. 4.1 с.58-59

9. Лаптев П.В. Выпучивание упругопластической цилиндрической оболочки пол действием внутреннего давления и осевого сжатия//Лезисы докладов седьмой нижегородской сессии молодых учёных (Математические науки). 19-23 мая 2002г. г. Саров. Н.Новгород, 2002г. с.55.

10. Баженов В.Г., Зефиров СВ., Кибец А.И., Крамарев Л.Н., Лаптев П.В, Осетров СЛ. Экспериментальное и теоретическое исследование больших деформаций и предельных состояний упругопластических стержней и цилиндрических оболочек// Тезисы докладов IX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», МАИ, 2003г. с.88-91

11.Лаптев П.В. Численное моделирование потери устойчивости упругопластических цилиндрических оболочек при ударном осевом на1ружении// Тезисы докладов седьмой нижегородской сессии молодых учёных (Технические науки). 10-14 февраля, 2003 г. г. Дзержинск. Н.Новгород. 2003 г. с. 16-17

12. Баженов В.Г., Жегалов Д.В., Кибец А.И., Крамарев Л.Н., Лаптев П. В., Осетров СЛ. Образование шейки и закритическое поведение упругопластических стержнем с различным профилем поперечного сечения// Вестник ННГУ.' Серия механика. 2003г. Вып. 1(5).с.84-88.

13. Баженов В.Г., Кибец А.И., Лаптев П.В., Осетров СЛ. Экспериментально теоретическое исследование предельных состояний упругопластических стержней различного поперечного сечения при растяжении// Проблемы механики. Сборник статей к 90-летию со дня рождения А.Ю.Ишлинского. Москва 2003 с. 115-122

14.Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И. Лаптев П.В., Рябов АА.. Романов В. И., СЬтсков Г.И. Конечно-элементный анализ высокоскоростного удара о преграду транспортного упаковочного комплекта// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004г. №2 с.118-125

а) б)

Рис.1

Поперечные перемещения середин* стержня

а)'

Поперечные перемещения середине стержня

б) Рис.2

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЫПУЧИВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРНОМ НАГРУЖЕНИИ (V,, = 12м/с)

в) *

- Максимальны* прогибы иа выпучит

ум,-:—-

О 02 04 06 08 1 »Л-

Г) Рис.3

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ВЫПУЧИВАНИЕ СТАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СЖАТИИ " ,

400 мкс 500 мкс 700 мкс

Рис. 4

Рис.5а.

Рис.5б

'11,1 \

1ГГГ

1

1 1 1

I 1 1 --Ц

1 1

1 г ... г.

1 "ГТм

1 1

1 1 1

Рис.ба

Рис.66

Зависимость осевого усилия от смещения торца \'

о . -Тип А'ь —Тип С" — ЕхрептеШ

0.3

0.4)

_1

05 Д|Л

Рис.бв

Подписано в печать 18 05.2004. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тир. 100 экз. Зак. 671.

Типография Нижегородского госуниверситета. Лицензия №18-0099. 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

И1411

Введение

1. Состояние вопроса. Цели работы и ее содержание.

ЛЧисленные методы решения нелинейных нестационарных задач деформирования элементов конструкций

1.20бзор результатов исследований деформирования и устойчивости стержней и оболочек вращения

1.3 Выводы из обзора, цели и структура диссертационной работы

2. Конечно-элементная модель нестационарного упругопластического деформирования конструкций

2.1 Определяющая система уравнений.

2.2Методика численного решения и ее программная реализация

2.2.1 Восьмиузловые конечные элементы для решения трехмерных задач динамики сплошных сред и оболочек

2.2.2 Методы численного интегрирования

2.2.3 Применение квадратурных формул для повышения точности вычисления в зонах интенсивных локальных формоизменений

2.2.4 Интегрирование определяющей системы уравнений по времени

2.2.5 Численное моделирование контактного взаимодействия деформируемых тел.

2.2.6 Алгоритм консервативного сглаживания численного решения

2.2.7 Программная реализация методики численного решения трехмерных задач динамики конструкций

3. Решение тестовых задач. Оценка эффективности разработанной методики.

3.1 Поперечные колебания упругой балки

3.2Поперечный изгиб круглой упругой пластины

3.3Продольный удар цилиндрического алюминиевого стержня о жесткую преграду

3.4Изгиб упругопластической балки под действием взрыва ВВ

3.5Динамический изгиб упругопластической круглой пластины, жестко защемленной по контуру ^

З.бДеформированиё упругопластической цилиндрической панели, ^нагруженной импульсом давления 17Г

-3.7Деформирование '^цилиндрической оболочки с присоединенными "" массами на торцах при ударе по жесткой преграде.

Экспериментально-теоретическое " исследование деформирования "стержней, оболочек и тонкостенных конструкций^

4.1Потеря устойчивости и закритическое поведение упругопластических цилиндрических оболочек при осевом сжатии

4.2Потеря устойчивости упругопластического деформирования и закритическое поведение стержней с различной формой поперечного сечения при растяжении ;.„.'. . 80^

4;3 Конечно-элементный анализ ' высокоскоростного удара о преграду транспортного упаковочного комплекта для радиоактивных материалов :

4.3.1 Продольное соударение ТУ К с жесткой преградой.

4.3.2 Боковое соударение ТУК с жесткой преградой : 88 Заключение 90 Список литературы . 92 Приложение

-■fn*'

Появление и интенсивное. развитие вычислительных машин оказали существенное влияние на характер и темпы развития методов решения задач ~ прочности. Наряду с повышением скорости и точности вычислений происходит постепенный отказ от классических подходов составления расчётных схем, в которых несущие конструкции разделялись на балки, пластинки, оболочки, анализ напряженно-деформированного состояния которых производился изолированно, простейшими методами строительной механики и сопротивления материалов. Интенсивное развитие получили численные методы, позволившие значительно расширить класс и постановку решаемых задач за счёт более полного учёта реальных форм исследуемых конструкций и- взаимного влияния входящих в них элементов, условий - нагружения и свойств используемых материалов. При решении задач, связанных с деформированием элементов конструкций и деталей машин проведение натурных испытаний часто вызывает значительные трудности и большие материальные затраты. В тех случаях, когда натурный эксперимент трудно осуществим, ^применение аналитических методов ограничено рамками грубой идеализации, численное моделирование становится практически единственным инструментом исследования.

Оболочки, пластины, стержни, являясь основными элементами конструкций авиационной, автомобильной, атомной, космической техники, в процессе эксплуатации подвергаются импульсным и ударным воздействиям. Необходимость обеспечения надежности и безопасности конструкций с одной стороны, и их рациональное проектирование с другой стороны, требует учета различного рода нелинейных эффектов деформирования. В связи с изложенным выше, представляются актуальными теоретические и экспериментальные исследования процессов нестационарного деформирования трехмерных оболочечных и стержневых элементов конструкций при- наличии больших деформаций и формоизменений," нелинейных свойств материала, контактного взаимодействия, краевых г эффектов и т.д. Важным, при этом, является изучение областей -- применимости современных численных методов и алгоритмов решения упомянутых задач прочности и их развитие в соответствии с требованиями

- Заключение

Развита конечно-элементная методика решения трехмерных .упругопластических задач динамики с уточненной „схемой вычисления "моментных"компонент пластических деформаций и напряжений в конечньВГЗЛементах сплошной среды и оболочки. Методика основана на явной5® схеме интегрирования по времени типа "крест" и 8-узловом конечном элементе с полилинейной аппроксимацией скоростей перемещений. На ряде задач нестационарного деформирования элементов конструкций исследована точность и устойчивость модифицированных КЭ. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением с данными вычислительных и натурных экспериментов. В геометрически и физически нелинейной постановке решены новые трехмерные исследовательские и прикладные задачи: ' • Задача упругопластического выпучивания цилиндрической оболочки при статическом и динамическом осевом сжатии с учетом контактного взаимодействия образующихся осесимметричных и неосесимметричных складок. Рассчитанные формы выпучивания, осевые силы и остаточные прогибы хорошо согласуются с экспериментальными данными для оболочки из стали 12X18Н1 ОТ. ' Проанализированы большие деформации, предельные состояния и У закритическое поведение упругопластических стержней квадратного и прямоугольного поперечного сечения при "растяжении с учетом краевых эффектов и неоднородности НДС. Результаты расчетов хорошо согласуются по формоизменениям и усилиям в испытуемых образцах из стали 12X18Н1 ОТ и красной меди. • - Изучено динамическое деформирование ,и проведена оценка прочности упаковочного комплекта для авиационной транспортировки ядерного топлива. :при осевом и боковом соударении с жесткой преградой со скоростью 90 м/с. Результаты численного моделирования продольного . *хоударения удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными по остаточным прогибам и уровням перегрузок. ^ 3. Новые типы элементов^, включени е библиотеку КЭ 'пакета программ "Динамика-З" и могут быть использованы в различных подконструкциях в зависимости от характера НДС. Развиты пре- и постпроцессорные средства пакета программ. Модифицикация вычислительного комплекса - позволила расширить класс решаемых упругопластических задач при больших формоизменениях и контактных взаимодействиях- элементов конструкций. Разработанная методика, ее программная реализация и результаты расчетов используются в расчетной практике РФЯЦ ВНИИЭФ ~ и ОКБ Машиностроения Минатома.

Г. ; tL.

91