Конечно-элементное моделирование процессов деформирования, потери устойчивости и закритического поведения упругопластических сферических оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

005057177

ШОШИН ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ, ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ И ЗАКРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 01.02.06-Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 3 ДЕК 2012

Нижний Новгород - 2012

005057177

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте механики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Научные руководители:

Заслуженный деятель науки РФ, д. ф.-м.н., проф. Баженов Валентин Георгиевич д. ф.-м.н., проф. Кибец Александр Иванович

Официальные оппоненты:

Садырин Анатолий Иванович, д. ф.-м.н., проф., НИИМ Нижегородского университета, главный научный сотрудник

Шклярчук Федор Николаевич, Заслуженный деятель науки РФ, д.т.н., проф., Институт прикладной механики РАН, главный научный сотрудник

Ведущая организация - Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева

Защита состоится "27"декабря 2012 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, проспект Гагарина, 23, корпус 6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Автореферат разослан " ноября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.09 доктор физико-математических наук профессор

Актуальность темы

Сферические оболочки находят широкое применение в ряде важнейших отраслей -нефтяная и химическая промышленность, ядерная энергетика, приборостроение, авиастроение, судостроение и т.д. Возрастающие требования к уменьшению материалоемкости и увеличению степени надежности ставят перед теорией все новые и новые задачи. Поэтому усилия исследователей направлены на дальнейшее уточнение существующих методов расчета конструкций на базе более глубоких познаний процессов, происходящих в них, с одной стороны, и разработке новых приближенных достаточно простых и обоснованных методов решения, с другой стороны. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость. Первые математические модели для исследования устойчивости сферических оболочек (сферических куполов) были опубликованы в начале XX века. Однако в большинстве случаев теоретические оценки на устойчивость значительно завышают величины критических нагрузок, которые способны вынести конструкции на самом деле. Причины данного явления кроются в несовершенствах формы, материала, закрепления оболочки или самой нагрузки. Учет неправильностей при математическом моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции. Решение задачи усложняют конструктивные неоднородности (ребра жесткости, отверстия, разнотошщшносгь и т.д.). За исключением очень тонких оболочек {R/h >200) потеря устойчивости происходит в упругопластической области. При потере устойчивости элементы конструкций работают, как правило, в условиях сложного напряженного состояния. Методики решения таких начально-краевых задач мало изучены, что и обуславливает актуальность темы диссертационной работы.

Цель диссертационной работы - разработка вычислительной модели и численный анализ нелинейного деформирования, потери устойчивости и закритического поведения подкрепленных сферических оболочек при квазистатическом и динамическом нагружении.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.

1. Развитие на базе метода конечных элементов (МКЭ) и явной схемы интегрирования по времени численной методики решения задач нелинейного деформирования, потери устойчивости и закритического поведения подкрепленных оболочек при квазистатическом и динамическом нагружении.

2. Реализация методики в рамках вычислительной системы (ВС) «Динамика-3».

3. Верификация разработанной методики и ее программной реализации.

4. Численное исследование процессов деформирования и предельных состояний

сферических оболочек, сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными.

Научная новизна

Развита конечно-элементная методика решения нелинейных задач нестационарного деформирования элементов конструкций. В основе методики лежит моментная схема МКЭ и явная конечно-разностная схема интегрирования по времени типа «крест». На основе метода продолжения по параметру, в качестве которого используется время, разработана и верифицирована численная методика решения двумерных и трехмерных задач нелинейного деформирования, потери устойчивости и закритического поведения оболочек с учетом возможного подкрепления. Получены новые результаты при анализе процессов упругопластического деформирования, предельного состояния и закритического поведение сферических оболочек при квазистатическом и динамическом нагружении.

Достоверность полученных результатов подтверждается их хорошим соответствием известным теоретическим и экспериментальным данным.

Практическая пепность

Разработанные методика и алгоритмы позволяют существенно расширить класс задач при исследовании процессов упругопластического деформирования и предельных состояний тонкостенных элементов конструкций. Применение предлагаемой методики и вычислительной системы в расчетах на прочность и устойчивость повышает уровень обоснованности и безопасности проектируемых тонкостенных конструкций разного назначения. Разработанные методики, их программная реализация и результаты исследований внедрены в расчетную практику ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, ОАО «ОКБМ Африкантов».

Диссертационная работа выполнена пни поддержке:

ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 годы, гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-4807.2010.8), грантов РФФИ (проекты №08-01-00500-а, 08-08-00560-а, 09-08-97034-р_поволжье_а, 11-08-00557-а, 11-08-97023-р_поволжье_а).

На защиту выносятся:

1. Методика и алгоритм численного решения двумерных и трехмерных задач упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения подкрепленных тонкостенных элементов конструкций.

2. Программная реализация методики на базе ВС «Динамика-3».

3. Результаты численного исследования процессов деформирования, предельных состояний и закритического поведения сферических оболочек.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и симпозиумах: Международном семинаре «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек», посвященный памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. A.B. Саченкова (Казань, 2008), XXXVIII Уральском семинаре по механике и процессам управления ( г. Миасс, 2008г.), XVI и XVII Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2009, 2011 Алушта, Крым, 2009г., 2011г.), XXIII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов (Санкт-Петербург, 2009г.), II Международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 2009г.), XXXIX Уральском семинаре по механике и процессам управления, посвященноом 85-летию со дня рождения академика В.П. Макеева (г. Миасс, 2009г.), VII школе-семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, (2010г.)> XVII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 2011г.), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Н.Новгород, 2011, 16-ой Нижегородской сессии молодых ученых (технические науки) ("Красный плес" Нижегородской области, 2011г.), Пятой молодежной научно-инновационной школе "Математика и математическое моделирование" (г. Саров Нижегородской области, 2011г.), 16-й Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) ("Красный плес" Нижегородской области, 2011г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10], 5 из которых статьи в журналах и сборниках, рекомендуемых ВАК.

Личный вклад соискателя.

Соискателем осуществлены: а) разработка алгоритмов и программная реализация моментной схемы метода конечных элементов решения двумерных нелинейных задач динамики конструкций; б) верификационные расчеты и в) численные исследования упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения сферических оболочек. Баженову В.Г. принадлежит постановка задач и руководство исследованиями. Кибец А.И руководил реализацией численной методики в виде

программных модулей для ВС «Динамика-3» и их верификацией.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Основной печатный текст составляет 109 страниц. Для иллюстрации методики и результатов решения в диссертации приведены 76 рисунков и 4 таблицы. Список цитируемой литературы (164 наименования) занимает 16 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы и сформулированы основные направления исследований.

В первой главе дается краткий обзор математических моделей и методов решения задач устойчивости сферических оболочек, упругопластического деформирования материалов, результатов теоретических и экспериментальных исследований в этой области, формулируются основные цели и задачи диссертационной работы.

Первая теоретическая работа в области расчета тонких упругих сферических оболочек на устойчивость в линейной постановке была опубликована в диссертации Р. Цоли, в которой была получена формула для наименьшего критического давления. В последующем исследования в этом классе задач проводили Е. Шверин, С.П. Тимошенко, Т. Карман, Ш. Цзян, В.И. Феодосьев, Е. Рейс, Р. Симоне, Г. Вейничке, Б. Будянский, Э.И. Григолюк, A.C. Вольмир, Н.В. Валишвили, М.С. Кармишин, И.И Ворович и др. Экспериментальному исследованию устойчивости сферических оболочек посвящены работы Б.А. Болея, Э.Э Секлера. Г. Цзяна. К. Клёппеля, О. Юнгблата, А. Каплана, Й. Фунта, М. Сунагавы, К. Ичиды и др. Обстоятельные обзоры и анализ отечественных и зарубежных публикаций по устойчивости сферических оболочек приведены в книгах A.C. Вольмира, Э.И. Григолюка, И.И Воровича, С.П. Тимошенко, Н.В. Валишвили, B.C. Гудрамовича и других авторов.

Сопоставление экспериментально и теоретически полученных значений критических нагрузок для сферических куполов, находящихся под действие равномерного давления показало их значительное расхождение, что обусловлено как несовершенными условиями экспериментов, так и неадекватностью математических моделей оболочки. В первую очередь сюда относятся неправильности формы оболочки и начальные напряжения в ней, неидеальность условий нагружения и закрепления, неоднородность свойств материала, неосесимметричность ее деформирования и т.д. Попытки учесть в расчетах эти особенности реального сферического купола, способов его нагружения и закрепления не увенчались успехом. До сих пор не существует набора параметров математической модели оболочки, с помощью незначительного варьирования которых

можно было бы получить весь спектр экспериментально найденных значений верхней критической нагрузки. Поэтому для инженерных расчетов предлагается применять коррекцию теоретически полученных значений критической нагрузки с учетом имеющихся экспериментальных данных (В.Г. Дегтярь, В.В. Чеканин).

При решении задач устойчивости оболочек особое внимание требует выбор критериев потери устойчивости. В статике предел устойчивости определяется как бифуркационная нагрузка Эйлера, при которой решение уравнений равновесия перестает быть единственным. Оболочки, как чувствительные к несовершенствам конструкции, могут терять устойчивость как в эйлеровых точках бифуркации типа ветвления, так и в предельных точках для несовершенных систем. При анализе устойчивости оболочек за критическую нагрузку можно принять максимальную нагрузку, которую она выдерживает перед наступлением катастрофического выпучивания. Такой подход был предложен В.Т. Койтером и развит в работах Б. Будянского, Дж. Хатчинсона, М.А. Лаврентьева, А.Ю. Ишлинского, В.М. Даревского, А.Д. Кузнецова, Клоснера, R.S. Roth и др. Наиболее общие и чаще всего употребляемые динамические критерии основаны на использовании графиков зависимости максимальной амплитуда перемещений от величины нагрузки. Критической считается та нагрузка, при которой происходит резкое возрастание амплитуд перемещений.

При решении нелинейных задач устойчивости с учетом особых точек необходимы алгоритмы, предусматривающие регуляризацию уравнений. Базовым в этой области является алгоритм на основе методов продолжения по параметру, сформулированный М. Лаэем (М. Lahaye) и Д. Ф. Давиденко. В основе метода лежит идея движения вдоль множества решений с использованием на каждом шаге информации о решении, полученном на предыдущих шагах. Зная начальное состояние конструкции и распределения поля скоростей в последующие моменты времени можно восстановить процесс деформирования. Значительный вклад в развитие этого метода внесли И.И. Ворович, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, В.И. Мамай, В.И. Шалашилии, Е.Б. Кузнецов, С.С. Гаврюшин, В.М. Никиреев, Е. Рикс и другие авторы.

Применение методов численного моделирования позволяет изучать процессы деформирования и устойчивости оболочек при достаточно сложной геометрии тел с учетом эффектов геометрической и физической нелинейности, сложного нагружения, неоднородности напряженно-деформированного состояния (НДС) без привлечения упрощающих предположений и априорных гипотез силового и кинематического характера.

Обзор основных подходов к численному решению задач механики сплошных сред

можно найти в работах С.К. Годунова, Н.С. Бахвалова, Г.И. Марчука, В.Н. Кукуджанова, Б.Е. Победри, В.Г. Баженова, С.А. Капустина, А.И. Гулидова, А.И. Рузанова, А.И. Садырина, А.И. Корнеева, А.Б. Киселева, A.C. Сахарова, K.-Y. Bathe, Т. Belytschko, О.С. Zienkievicz и других авторов. Для приведения континуальной задачи к дискретной используют следующие основные подходы: метод конечных разностей (МКР), вариационно-разностный метод (ВРМ) и метод конечных элементов (МКЭ). В настоящее время при решении нелинейных задач нестационарного деформирования упругопластических сред и тонкостенных конструкций наибольшее распространение получил метод конечных элементов (В.Г. Баженов, Н.Г. Бураго, А.И. Гулидов, В.Е.Хорев, Н.ТЮгов, G.R.Johnson, K.-Y. Bathe, Т. Belytschko, J.C. Nagtegaal, J. Barlow и др.). Как правило, при решении нелинейных задач динамики применяют наиболее простые типы конечных элементов: В ряде случаев возможно развитие мод нулевой энергии (неустойчивости типа "песочных часов"), объемное и сдвиговое «запирание», в результате чего невозможно получить сходимость решения. Подробные обзоры по этим проблемам можно найти в работах А.И.Голованова, K.-Y. Bathe, Т. Belytschko, О.С. Zienkievicz.

Применению численных методов решения задач к исследованию упругопластического деформирования и устойчивости сферических оболочек посвящены работы H.A. Абросимова, В.Г. Баженова, B.C. Гудрамовича, В Л. Якушева, A.C. Сахарова,

A.И. Гуляра, В.Н. Кислоокого, Н.Г. Бураго, Д.Т. Чекмарева, A.A. Рябова, D.P. Updike, F.N. Kinkead, A. Jennings, J. Newell, J.C. Leinster, N.K. Gupta, M. Shariati, H.H. Ruan , Y. Seishi, V. Kazuo, Y. Motohiko и др. Известно, что выпучивание сферических оболочек при квазистатическом и динамическом сжатии происходит по осесимметричным или неосесимметричным формам. Реализация той или иной формы волнообразования зависит от условий закрепления и нагружения (в частности, скорости изменения нагрузки), геометрии и материала оболочки. Одним из главных параметров, определяющих форму потери устойчивости сферических оболочек, является отношение радиуса кривизны срединной поверхности к толщине оболочки R/h . Выпучивание достаточно толстых оболочек сопровождается образованием пластических деформаций. В зонах складкообразования реализуется сложное напряженное состояние.

Вопросам построения математических моделей в теории пластичности посвящены работы A.A. Ильюшина, В.В. Новожилова, Ю.Н. Работнова, И.А. Биргера, B.C. Бондаря, P.A. Васина, В.Г. Зубчанинова, Ю.И. Кадашевича, JI.M. Качалова, Ю.Г. Коротких, И.В. Кнетса, H.H. Малинина, Б.Е. Мельникова, Ю.М. Темиса, С.А. Шестерикова,

B.Н.Кукуджанова и многих других ученых. Наибольшее распространение в практических расчетах нашли дифференциальные теории пластического течения. Однако для

обоснования применимости в задачах устойчивости и закритического поведения тонкостенных конструкций требуются теоретические и экспериментальные исследования их точности в условиях сложного нагружения.

Во второй главе приводится определяющая система уравнений для описания процессов деформирования упругопластических элементов конструкций и конечно-элементная методика ее решения.

Деформирование оболочечной конструкции описывается в переменных Лагранжа с позиций механики сплошных сред. Наряду с общим базисом X =[Х1Х2Х3] введем местную (сопутствующую) систему координат х = [х1х2х3] с направляющими косинусами п^ : лг, = п^ Х1, = 1,3 (по повторяющимся индексам ведется суммирование). Здесь х3 -координата, отсчитываемая от срединной поверхности оболочки и нормальная к ней, х,,х2— ортогональны к х3. Формоизменения полагаем большими, а деформации -малыми, что позволяет считать местный базис ортогональным в течение всего процесса деформирования. Компоненты тензора скоростей деформаций в местном базисе ¿у

выражаются через компоненты ё:1 скорости деформаций в общем базисе

которые определяются в метрике текущего состояния.

, У,/ = й) Х, = Х.\1тО + '\0,Л (2)

о

В (2) и, - перемещения в общей декартовой системе координат X, индекс после запятой означает частную производную по соответствующей пространственной переменной, точка над символом частную производную по времени г..

Уравнения состояния устанавливаются раздельно для шаровых ё^ , <х"и девиаторных ¿,' , <т,' составляющих скоростей деформаций и напряжений (¿у = е'ч + дцёц , = - 5чстУ ). Зависимость шаровых компонент скоростей деформаций и напряжений имеет вид:

&у=-3 Кёу е" =(е'п+е'22,+е3'3)/3 (3)

где К - коэффициент объемного сжатия. При упругопласгическом деформировании девиаторные составляющие скорости деформации ¿':1 раскладываются на пластические

¿¡/ и упругие е" компоненты:

% =%+£>,', ¿,','+¿£+¿£=0. (4)

Девиаторные составляющие тензора напряжений вычисляются с помощью соотношений теории течения с кинематическим и изотропным упрочнением:

&lj =2Ge';, ¿•¡=*Sij, S-:j= ct'j — ptj, p^gtf-g^p^

ат=<гт( ж,4), p, = j>.rfi (5)

3 о

Здесь G — модуль сдвига, S,j — компоненты тензора активных напряжений, ptj - тензор микронапряжений, определяющий координаты центра поверхности текучести, g, = const и g2 = - модули кинематического упрочнения, ж - параметр Одквиста. Параметр Я тождественно равен нулю при упругом деформировании и определяеется при упругопластическом деформировании из условия прохождения мгновенной поверхности текучести через конец вектора догрузки. Соотношения (5) основаны на гипотезе Ильюшина: упрочнение зависит от истории деформирования лишь на некоторой ближайшей части траектории (запаздывание векторных свойств) и моделируют исчезающую память внутренней переменной p:J . Скорость изменения p:j является

разностью между двумя составляющими и g2 (ж)/гж. Первый член пропорционален скорости пластических деформаций ё' и представляет анизотропную часть упрочнения, а второй - пропорционален полной величине рц и представляет потерю памяти.

Уравнение движения выводится из баланса виртуальных мощностей работы: JGySSydV +\pUi6UidV = fp.t%/,dy + f P-SU,dy , (i, j = 0), (6)

no /> rq

где p — плотность; P? — контактное давление; P: — распределенная нагрузка; il — исследуемая область; — поверхность контакта; Гр — зона действия внешнего давления; 8ё,у, 8 U, — вариации ¿,у, (J, (на поверхности с заданными кинематическими граничными условиями 51/ = 0).

В осесимметричной постановке задачи Xi — ось вращения, Хг~ радиус, дг, -меридиональная координата, х} - азимут. Скорости деформаций ¿v определяются следующим образом

¿11 =йи ¿27 =¿2,2 . e3i = UJX2 , еп = (01Л +01л)/2 , ¿,,=¿,,=0 (7)

Уравнение баланса виртуальных мощностей работы записывается в следующем виде

£[, + <тпд ё22 + <тъъ3 ¿33 + 2ст12<5£п)Х2б(П + + р0230г)х2(Ю =

а а

[{Р^и, + Р2Яи2)х2с1г+ЦР^01 + Р^02)х2с1у (8)

Гр Гр

Для определения критической нагрузки применяется метод продолжения по параметру, суть которого сводится к пошаговому пересчету напряженно-деформированного состояния конструкции при последовательном увеличении нагрузки, характерных смещений или иного параметра продолжения решения. Критической считается нагрузка, начиная с которой резко возрастают перемещения оболочки, ее кинетическая энергия или некоторый интегральный параметр, характеризующий формоизменение в целом.

В зоне контакта рассматривается непроникание по нормали и свободное скольжение вдоль касательной к поверхности контакта. Положение контактной поверхности и контактные усилия в общем случае неизвестны и определяются в ходе решения поставленной задачи. Система уравнений (1)—(8) дополняется начальными и граничными условиями.

Решение определяющей системы уравнений (1)-(8) основано на методе конечных элементов и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа "крест" [1,3]. Расчетная область покрывается лагранжевой сеткой из 4-узловых (двумерная задача) или 8-узловых (трехмерная задача) конечных элементов. В узлах сетки определяются перемещения С/, скорости 0 и ускорения 0 в общей системе координат X, используемой для стыковки конечных элементов (КЭ). В каждом элементе вводится локальный прямоугольный базис х, отслеживающий его вращение как жесткого целого пошаговым пересчетом направляющих косинусов осей. Конечный элемент, в общем случае искаженный, с помощью полилинейного изопараметрического преобразования отображается в зависимости от размерности задачи на единичный квадрат -1 51

Л^О + ^.'Х^^К ¿ = 1,2 , (9)

1-1

или куб

к= 1

В (9) х.,^ - координаты узлов в базисе Компоненты скорости перемещений

аппроксимируются внутри элемента с помощью функций формы Л^

й, =¿£/,'N,(£,£2) (двумерная задача) (10)

к=1

8

(трехмерная задача)

JU1

Компоненты скорости деформаций в локальном базисе х в соответствии с (1,2,7) аппроксимируются в КЭ линейными функциями:

¿:j = ¿1 + ¿1& + ¿l^i. (двумерная задача)

ёа =¿1 + + (трехмерная задача) (И)

В (11) е° — значения компонент скорости деформаций в центре КЭ (безмоментные составляющие), а ё* = dktj / д%к = const — их градиенты (моментные составляющие). Чтобы не завышать сдвиговую жесткость элемента, в (11) учитываются только компоненты ¿*, соответствующие изгибающим и крутящим моментам в теории оболочек типа Тимошенко [1]. Пластические и упругие компоненты деформаций могут иметь в пределах конечного элемента нелинейную зависимость от пространственных координат. В соответствии с этим значения пластических деформаций и напряжений определяются из уравнений состояния (3-5) в выбранных фиксированных точках конечного элемента исходя из линейного распределения полных деформаций. Для улучшения сходимости численного решения деформации обжатия оболочки по толщине в элементе корректируются из условия сг33 3 = 0 . Для выполнения интегрирования в уравнении баланса виртуальных мощностей (6,8) применяются квадратурные формулы Ньютона -Котесса. После замены интегрирования по области £2 суммированием по конечным элементам получается дискретный аналог уравнений движения:

[M]{i/} = {F}, (12)

где [м] — диагональная матрица масс; — вектор, составленный из ускорений узлов КЭ-сетки , {f} — результирующие узловых сил в общей системе координат X, статически эквивалентные напряжениям в КЭ и внешней нагрузке на их гранях. Система обыкновенных дифференциальных уравнений (12) интегрируется по явной конечно-разностной схеме типа «крест». Шаг интегрирования во времени Ati+1 определяется из условия устойчивости. Для подавления нефизических осцилляции, возникающих в среде при использовании схемы «крест» на разрывных решениях, применяется процедура консервативного сглаживания.

Численное определение контактного давления в зонах взаимодействия деформируемых тел и статически эквивалентных ему сил в узлах КЭ-сетки осуществляется из условий непроникания и законов сохранения массы и количества движения.

В третьей главе излагаются алгоритм и программная реализация разработанной численной методики в рамках вычислительной системы «Динамика-3», приводится ее верификация в задачах деформирования конструкционных элементов при больших формоизменениях (изгиб балки, круглой пластины и т.д.). Достоверность результатов расчетов оценивается соответствием с расчетными и экспериментальными данными других авторов.

Так, рассмотрена задача упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения жестко защемленной по контуру полусферической оболочки (Л=1,443см, Л=0,1см) при равномерном сжатии внешним давлением. Оболочка выполнена из сплава АД1. При равномерном сжатии сферической оболочки ее поведение после достижения давлением критической величины, будет зависеть от его изменения на закритическом этапе. В настоящей работе принимается:

где a=const - скорость нарастания внешнего давления во времени, Р, = P(tc) - критическая нагрузка, tc - время достижения внешней нагрузкой критического значения, f(t) -монотонно убывающая функция, задаваемая в соответствии с экспериментальными данными.

Скорость нарастания внешнего давления а в (13) до момента потери устойчивости tc выбиралась из условия малости динамических эффектов. Устойчивость оболочки оценивалась по графику временной зависимости прогиба в полюсе и формоизменениям оболочки. По расчетным данным потеря устойчивости в рассматриваемом варианте задачи происходит при достижении интенсивностью напряжений предела текучести и составляет 7,6МПа. Достоверность остаточной формы оболочки (рис.1а) и значения критической нагрузки с точностью до 5% подтверждается расчетными данными B.JI. Якушева (Якушев B.JI. Применение метода дополнительной вязкости для решения нелинейных задач устойчивости оболочек//Изв. АН. МТТ. 1992, N 1, с. 153-163.). Если в (13) не учитывать снижение внешнего давления на закритической стадии, формоизменение оболочки будет иным - добавляются более высокие формы потери устойчивости (рис. 16).

Проведен конечно-элементный анализ потери устойчивости и упругопластического

,t<tc >'>tc

(13)

выпучивания медной сферы (йо/йо = 23.4) при линейном увеличении сжимающего давления, равномерно распределенного по внешней поверхности. Для инициирования потери устойчивости на части оболочки задавался начальный прогиб, линейно распределенный по углу поворота с максимальным значением 0,01Ло . Результаты численного решения задачи представлены на рис. 2-4. На рис. 2,3 изображены КЭ-сетки оболочки и контуры верхней половины образующей для различных временных слоев, отсчитываемых от начала потери устойчивости. На рис. 3 сравниваются остаточные конфигурации верхней половины оболочки, полученные в расчете (пунктирная линия) и в эксперименте [4] (сплошная линия). В рассматриваемой задаче на начальном этапе узлы конечно-элементной сетки оболочки смещаются во внутрь исходной сферы. Когда максимальный прогиб оболочки достигает, приблизительно, гА начального радиуса , под действием меридиональных напряжений изгиба сегмент оболочки за точкой перегиба вне вмятины выходит за пределы начальной конфигурации, что подтверждается экспериментом. Анализ напряженно - деформированного состояния выявил значительное искривление траектории деформаций в пространстве Ильюшина в области перегиба образующей. Следовательно, изгиб сферического купола в этой зоне происходит в условиях сложного нагружения. Из рис.2-4 видно, что в процессе деформирования произошло значительное изменение формы оболочки. Расхождение расчетного и экспериментального значений максимального прогиба в остаточном положении не превышает 6%. Таким образом, соотношения (3-5) теории течения, явная схема интегрирования по времени и предлагаемая моментная схема МКЭ позволяют с достаточной степенью точности описывать потерю устойчивости и захритическое деформирование оболочек при задании начальных несовершенств формы.

Решены задачи выпучивания сегментов сферической оболочки при контактном взаимодействии с плитой (рис.5а). В расчетах варьировались радиус Л, высота Н и толщина А оболочки, рассматривались квазистатический и ударный режимы нагружения. Результаты конечно-элементного решения задачи позволили оценить величину критической нагрузки и остаточную форму оболочки.

Так, в частности, проведено численное исследование выпучивания полусферической алюминиевой оболочки (рис.5а, /?= 7,8см, й/й=33,4) при падении на нее плиты массой 34,75кг с начальной скоростью, значение которой варьировалось от 0,8м/с до 7,1 м/с. Нижний край оболочки свободно опирается на неподвижную недеформируемую плиту. По экспериментальным данным потеря устойчивости оболочки при таких размерах и условиях нагружения происходит по осесимметричной форме. При падении плиты с высоты Зсм, соответствующей начальной скорости У0 =0,8м/с, 14

деформирование оболочки происходит в основном упруго и только в зоне контакта возникают пластические деформации не превышающие 5%. Оболочка при таком нагружении не теряет устойчивости (вмятины в зоне контакта не образуется).

При увеличении высоты падения плиты до 78,4 см (Уо=3,92м/с) и выше оболочка при соударении выпучивается (центральная часть оболочки отходит от плиты) и зона контакта ее с плитой приобретает форму кольца. На рис. 56 изображена конечно-элементная сетка оболочки в остаточном положении для начальной скорости падающей плиты 6,6м/с. В табл.1 сопоставляются результаты расчетов и экспериментов по величине радиуса контактной зоны (Д* , см. рис.5б) и глубины вмятины ( г ) в остаточном положении.

Табл. 1

Vo, м/с Rt (расч/эксп), см ((расч/эксп), см Д Rk,% Äf,%

0,8 - -

6,6 5,4/5,55 2,18/2,22 2,7 1,8

7,1 5,9/6,02 2,3/2,3 2 0

Табл. 2

h R R/h Я Vo, At, см ДRt, см At,% ARk,%

м/с расчет эксп расчет эксп

1 0,239 3,936 16,47 3,85 4,45 0,89 0,871 3,25 3,25 2 0

2 0,249 6,392 25,67 6,05 4,85 1,53 1,618 4,1 4,15 5,4 1,2

3 0,244 7,8071 31,99 7,25 7,21 3,26 3,23 6,3 6,4 0,9 1,6

5 0,199 7,879 39,59 7,3 4,8 1,85 1,89 5,1 5,3 2 3,8

7 0,244 10,117 41,46 9,35 7,67 3,68 3,764 7,4 7,5 2 1,3

9 0,246 8,938 36,33 4,45 4,2 1,62 1,577 4,9 4,81 2,7 1,9

В табл.2 приведено сопоставление результатов расчетов и экспериментов по этим же параметрам для сегментов алюминиевой сферической оболочки при разных исходных значениях радиуса R, толщины h и высоты Я (рис.5а) при квазистатическом сжатии между двумя плитами. Максимальное расхождение расчетных и экспериментальных данных не превышает 6%. Принимая во внимание сложность рассматриваемой задачи, следует признать точность результатов расчетов удовлетворительной.

Хорошее качественное и удовлетворительное количественное согласование расчетных и экспериментальных данных в рассмотренных задачах по величине критической нагрузки и остаточной форме указывает на то, что вычислительная система «Динамика-3», реализованные в ней математические модели и конечно-элементная методика, позволяют с достаточной степенью точности описывать упругопластическое деформирование, потерю устойчивости и закритическое поведение сферических оболочек (R/h = 15-5-50, R/H = l-i-6) в условиях непропорционального деформирования и больших формоизменений.

В четвертой главе приведены результаты численного исследования процессов нелинейного деформирования, потери устойчивости и закритического поведения сферических оболочек при динамическом и квазистатическом сжатии.

Проведено конечно-элементное моделирование упругопластического деформирования и выпучивания полусферической стальной оболочки (11=5,1см, Я/й=63,75), расположенной на неподвижной плите при вдавливании стержня с квадратным поперечным сечением, цилиндра (г=1,25см) со сферическим оголовком и цилиндра с плоским торцом. Скорость смещения идентора — 3м/с. Результаты решения приведены на рис.6,7 в виде остаточных форм оболочки и графиков изменения контактной силы в зависимости от смещения идентора.

Как видно из рис.6 осесимметричные условия нагружения могут приводить к неосесиммтеричной форме выпучивания. При вдавливании цилиндра со сферическим оголовком, осесимметричная на начальном этапе вмятина со временем приобретает пирамидальную форму с треугольным в горизонтальной плоскости основанием. Достоверность результатов расчетов подтверждается экспериментальными данными. Увеличение скорости смещения цилиндра препятствует развитию неосесимметричной формы потери устойчивости. Так, при скорости движении цилиндра со сферическим оголовком 30м/с неосесимметричная форма потери устойчивости не успевает развиться. Аналогичная картина наблюдается при увеличении в 2 раза радиуса цилиндра или при жесткой заделке нижнего края сферической оболочки.

При внедрении стержня прямоугольного поперечного сечения и цилиндра с плоским торцом потеря устойчивости оболочки сопровождается «прощелкиванием». На графике зависимости F ~ и (рис.ба) образование вмятины отмечается временным спадом контактной силы после достижения критического значения. При внедрении цилиндра со сферическим оголовком «прощелкивания» оболочки не наблюдается. Зона контактного взаимодействия постепенно нарастает, отрыва оболочки от идентора не происходит. Контактная сила монотонно нарастает (рис.6.6). Образование выпучины в оболочке отмечается на графике и изменением угла наклона к оси ординат.

Рассмотрена задача потери устойчивости и закритического поведения замкнутой сферической оболочки при ее сжатии между двумя недеформируемыми плитам, сближающимися с заданной скоростью. Проведено исследование влияние отношения радиуса оболочки к ее толщине на форму потери устойчивости и на величину критической нагрузки. На рис.8 представлены графики изменения силы сопротивления в зависимости от сближения плит для оболочек с параметрами ¡Ш=7,5; 15 и 30. Анализ результатов расчетов показал снижение контактной силы и ее критического значения при

уменьшении толщины оболочки и неизменном радиусе. Падение силы после достижения критического значения и ее последующий рост вызваны образованием и замыканием складок. Конечно-элементное моделирование позволило подобрать оптимальные размеры сферической оболочки для проведения исследований ее выпучивания на экспериментальной установке с заданными ограничениями по нагружающему усилию.

Как видно из представленных результатов при деформировании сила реакции сферических оболочек на сближение плит ведет себя нелинейно, что характерно для пористых структур. Благодаря этому сферические оболочки обладают хорошими энергопоглощающими свойствами и могут применяться для демпфирования удара в защитных элементах современных контейнеров для транспортировки радиоактивных материалов и других потенциально опасных грузов (рис.9). В связи с этим были проведены численные исследования демпфирующих свойств сферических оболочек при ударном нагружении. В расчетах варьировались начальная скорость ударяющей плиты, количество оболочек и их размеры. На основе расчетов получены графики временной зависимости перегрузки на падающей плите для начальных скоростей соударения, предусмотренных правилами МАГАТЭ.

В частности, была рассмотрена задача падении плиты на демпфер в виде: а) четырех сферических оболочек (R=9см, R/h = 7,5); б) четырех сферических оболочек (R=9см, R/h = 4,5) и в) шести сферических оболочек (/?=9см, R/h = 7,5). Оболочки расположены друг над другом, нижняя оболочка опирается на неподвижную плиту. Масса падающей плиты - 296кг, начальная скорость- 90м/с. На рис.10 приведены графики временной зависимости контактной силы на плите. Как видно из этих графиков увеличение толщины оболочек (второй вариант задачи) или их количества (третий вариант) улучшают энергопоглощающие качества демпфера: на графике временной зависимости контактной силы отсутствует пик (»2000т), возникший в первом варианте задачи перед остановкой плиты.

В проведенных расчетах вне зон контактного взаимодействия сферических оболочек друг с другом и с плитами задавались условия свободной поверхности. Поэтому смещения сферических оболочек не были ограничены в горизонтальной плоскости. При их использовании в качестве демпфера в контейнере (рис.9) оболочки взаимодействуют друг с другом в процессе деформирования и частично ограничивают горизонтальные смещения, что влияет на величину контактной силы. Для оценки этого влияния были проведены расчеты сжатия сферической оболочки (R=2,61cm, R/h=32,5) между двумя недеформируемыми плитами, сближающимся с постоянной скоростью 40м/с. Рассматривались варианты: оболочка без обоймы, в цилиндрической обойме и в обойме с

квадратным поперечным сечением. На рис. 11,12 сравниваются конечно-элементные сетки оболочки в момент времени t=lmc и графики временной зависимости контактной силы, действующей на плиту. Пунктирная, сплошная и штриховая линии соответствуют перечисленным выше вариантам граничных условий. Судя по полученным результатам решение осесиметричной задачи выпучивания сферической оболочки без обоймы и в цилиндрической обойме, позволяют получить нижнюю и верхнюю оценку ускорения падающей плиты.

В трехмерной постановке решена задача локальной устойчивости сферического сегмента 1 (рис.13) постоянной толщины R/h = 400, усиленного опорным кольцом 2. Нижняя часть опорного кольца взаимодействует с круговым ложементом 3, угол обхвата которого у менялся в расчетах от 3" до 120". В верхней части к подкрепляющему кольцу была приложена сжимающая нагрузка, линейно возрастающая по времени до потери устойчивости оболочки. Оболочка и опорное кольцо выполнены из алюминиевого сплава АМГ-6М. Согласно результатам расчетов критическая нагрузка уменьшается с увеличением угла в. Угол ложемента у существенно влияет на форму волнообразования (рис.10): при малых у образуется одна вмятина, а при больших - две вмятины в зонах, близких к краям площадки контакта. Достоверность результатов расчета подтверждают экспериментальные данные (рис.14).

В заключении приводятся основные результаты и выводы диссертационной работы.

1. Развита методика численного решения нелинейных задач нестационарного деформирования, потери устойчивости и закритического поведения оболочек. В основе методики лежат моментная схема МКЭ и явная схема интегрирования по времени типа «крест». Разработаны алгоритмы и программные модули, реализующие данную методику в рамках ВС «Динамика-3». Эффективность предложенной методики и программных средств подтверждается хорошим соответствием результатов верификационных расчетов теоретическим и экспериментальным данным других авторов.

2. Рассмотрены задачи упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения замкнутых и незамкнутых сферических оболочек при обжатие равномерным внешним давлении и соударении с иденторами различной формы в квазистатическом и динамическом режимах нагружения. По расчетным данным при осесиметричном пагружешш возможна неосесимметричная форма потери устойчивости. Условия закрепления оболочки и скорость нагружения существенно влияют на форму ее выпучивания. При обжатии внешним давлением для адекватного 18

описания деформирования оболочки необходимо правильно смоделировать условия нагружения на закритической стадии.

3. Проведены численные исследования зависимости формы потери устойчивости замкнутой сферической оболочки, сжатой между двумя плитами, от геометрических параметров. Показано, что с увеличением радиуса и толщины оболочки сила сопротивления сжатию возрастает пропорционально геометрическому параметру. С уменьшением толщины оболочки процесс потери устойчивости приобретает многостадийный характер. Результаты расчетов легли в основу рекомендаций для экспериментальных исследований в РФЯЦ - ВНИИЭФ.

4. Проведен конечно-элементный анализ демпфирующих свойств сферических оболочек при их использовании для снижения перегрузок в противоударных транспортных контейнерах. С это целью рассмотрена задача падения плиты на ряд оболочек. В расчетах менялись количество оболочек, их геометрия, масса и скорость падения плиты. Исследовалось влияние жесткой обоймы, ограничивающей смещения оболочек. Показано, что варьирование количества оболочек и их геометрии позволяет подобрать оптимальные параметры демпфирующего устройства. Наличие обоймы повышает сопротивление оболочки внешнему воздействию. Решение задачи о падении плиты на свободную оболочку и оболочку в цилиндрической обойме позволяют получить нижнюю и верхнюю оценки ударной нагрузки.

5. Проведенные численные исследования и верификационные расчеты позволяют сделать обоснованный вывод о применимости развитой выше методики и пакета программ для анализа упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического деформирования сферических оболочек при динамических и квазистатических нагружениях.

6. Разработанная методика внедрена в расчетную практику Российского Федерального Ядерного Центра РФЯЦ - ВНИИЭФ, г. Саров, Нижегородской области, ОАО «ОКБМ Африкантов», г. Нижний Новгород.

Основные результаты и защищаемые положения диссертации опубликованы в следующих работах.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК 1.Артемьева A.A., Баженов В.Г., Кибец А.И., Лаптев П.В., Шошин Д.В. Верификация конечно-элементного решения трехмерных нестационарных задач упругопластического деформирования, устойчивости и закритического поведения оболочек//Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т.З, №2. С.5-14.

2.Артемьева A.A., Кибец А.И., Кибец Ю.И., Шопшн Д.В. Конечно-элементное решение задачи упругопластического выпучивания сферической оболочки при квазистатическом сжатии в трехмерной постановке//Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сб. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ. 2011. Вып. 73. С.45-50.

3.Баженов В.Г., Кибец А.И., Петров М.В., Федорова Т.Г., Шопшн Д.В., Артемьева A.A. Экспериментально-теоретическое исследование нелинейного деформирования и потери устойчивости оболочек вращения при изгибе//Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сб. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ. 2010. Вып. 72. С.80-85.

4.Артемьева A.A., Баранова М.С., Кибец А.И., Романов В.И., Рябов A.A., Шопшн Д.В. Конечно-элементный анализ устойчивости упругопластической сферической оболочки при всестороннем сжатии// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Механика. Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 2011. №3 (1). С.158-162.

5.Артемьева A.A., Кибец А.И., Кибец Ю.И., Шопшн Д.В. Численное исследование процессов упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения сферических оболочек при сжатии// Вестник Нижегородск ого университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1357-1358

В других изданиях

6.Баженов В.Г., Артемьева A.A., Гордиенко A.B., Кибец А.И., Шопшн Д.В. Вычислительный комплекс «Динамика-3» и его применение для исследования задач устойчивости и закритического поведения элементов конструкций при динамическом и квазистатическом нагружении// Материалы XVII Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011) 25-31 мая 2011 г. Алушта, Крым. С.280-281.

7. Баженов В.Г., Артемьева A.A., Гордиенко A.B., Кибец А.И., Шопшн Д.В. Моделирование упругопластического деформирования и выпучивания полусферических оболочек МКЭ/ЛГезисы докладов XIII Международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование», г. Саров Нижегородской обл., 3-7 октября 2011г. Саров. Издательско-полиграфический комплекс ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ». 2011г. С.30-31.

8.Шошин Д.В. Численное исследование процессов упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения сферических оболочек при сжатии// Материалы к 16 нижегородской сессии молодых ученых (технические науки). ДЮООЦ "Красный плес" (Семеновский р-н)- 14-17 февраля 2011.С.82-85.

9.Шоппга Д.В. Численный анализ локальной устойчивости сферических оболочек //Материалы к пятой молодежной научно-инновационной школы «Математика и математическое моделирование». 11-14 апреля 2011. г.Саров Нижегородской обл. С. 105108.

10. Шошин Д.В. Упругопластическое деформирование, потеря устойчивости и закритическое поведение сферической оболочки при ее сжатии между двумя плитами//Материалы XVI Нижегородской сессии молодых учёных. Математические науки, 23 - 26 мая 2011, 2011, Красный плес, Семеновкий р-н. С.55-56.

зге

¿/=0,75мс

шла

/!г=1,25мс

1

Рис.1

б)

Лг=1

Рис.2

' ч ✓

\

Ах=\аж

Д!=1.6мс

Рис. 3

Рис. 4

34,75кг

¡ТТЛ 1»

я

а)

Рис.5

2К1

б)

Р, кМ

расчет ВС «Динамика-3»

эксперимент Рис.6

»»

1 А\ ^^ а)

0 12 3 1А,СМ

эксперимент — —Динамика-3

- - АВАСШЭ

Я Ш 6 3

о

Внедрение стержня с квадратным поперечным сечением

в)

б)

и, СМ

О 1 2 4

эксперимент — —Динамика-3

- - - АВАОив

Рис.7

Внедрение цилиндра со сферическим оголовком

т

600 400 200 0

0 0,25 0.5 0,75 (о0-О)Ю0

Рис.8

А 1!: <;

-ИИ=7,5 --ИИ=15 ----ГОЬ=30 1'

/ / |' (

у?

Г-'" .<

Рис.9 Рис.10

Транспортируегиыи ФЯ_

Демпфер из сферических оболочек

Сфера без обоймы

Сфера в цилиндрической Сфера в обойме с квадратным обойме поперечным сечением

Рис.11

1 1, мс

Рис.13

у = 3°

у = 60°

эксперимент

Рис.14

расчет

Подписано в печать 20.11.2012. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1. Заказ № 885. Тираж 100.

Отпечатано в РИУ Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Введение

1. Состояние вопроса.

1.1 Обзор математических моделей и результатов исследований деформирования и устойчивости сферических оболочек

1.2 Численные методы решения нелинейных нестационарных задач деформирования элементов тонкостенных конструкций

1.3 Выводы из обзора. Цели и структура диссертационной работы

2. Конечно-элементная модель упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения тонкостенных конструкций

2.1 Определяющая система уравнения упругопластического деформирования конструкций

2.2 Методика численного решения задачи

2.2.1 Конечные элементы для решения трехмерных нелинейных задач динамики оболочек

2.2.2 Конечные элементы для решения двумерных нелинейных задач динамики оболочек

2.2.3 Численное моделирование контактного взаимодействия деформируемых тел

2.2.4 Интегрирование определяющей системы уравнений по времени

2.2.5 Консервативное сглаживание численного решения

2.3 Метод численного исследования устойчивости и закритического поведения тонкостенных оболочек

2.4 Программная реализация конечно-элементной модели

3. Решение тестовых задач.

3.1 Анализ точности численного решения задач нестационарного деформирования элементов конструкций

3.2 Численное моделирование упругопластического деформирования стальных образцов при сложном нагружении

3.3 Устойчивость полусферической оболочки при упругопластическом деформировании

3.4 Устойчивость и закритическое поведение упругопластической сферической оболочки при равномерном сжатии 73 4. Численное исследование устойчивости упругопластических сферических оболочек

4.1 Расчетно-экспериментальный анализ квазистатического и ударного сжатия полусферических куполов

4.2 Конечно-элементный анализ устойчивости и демпфирующих свойств сферических оболочек при квазистатическом и ударном сжатии

4.3 Численное исследование устойчивости усиленного шпангоутом сегмента сферической оболочки при локальном нагружении 90 Заключение 92 Список литературы 94 приложение

Сферические оболочки находят широкое применение в ряде важнейших отраслей - нефтяная и химическая промышленность, ядерная энергетика, приборостроение, авиастроение, судостроение и т.д. Возрастающие требования к уменьшению материалоемкости, увеличение степени надежности, более полному использованию прочностных характеристик материала ставят перед теорией все новые и новые задачи. Поэтому усилия исследователей направлены на дальнейшее уточнение существующих методов расчета конструкций на базе более глубоких познаний процессов, происходящих в них, с одной стороны, и разработке новых приближенных достаточно простых и обоснованных методов решения, с другой стороны. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость. Первые математические модели для исследования устойчивости сферических оболочек (сферических куполов) были опубликованы в начале XX века. Однако в. большинстве случаев теоретические оценки на устойчивость значительно завышают величины критических нагрузок, которые способны вынести конструкции на самом деле. Причины данного явления кроются в несовершенствах формы, материала, закрепления оболочки или самой нагрузки. Учет неправильностей при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции. Решение задачи усложняют конструктивные неоднородности (ребра жесткости, отверстия, разнотолщинность и т.д.). За исключением очень тонких оболочек (R/h >200) потеря устойчивости происходит в упругопластической области. При потере устойчивости элементы конструкций работают, как правило, в условиях сложного напряженного состояния. Методики решения таких начально-краевых задач мало изучены, что и обуславливает актуальность темы диссертационной работы.

1. Состояние вопроса

1.1 Обзор математических моделей и результатов исследований деформирования и устойчивости сферических оболочек

Обстоятельные обзоры и анализ отечественных и зарубежных публикаций по устойчивости сферических оболочек приведены в книгах A.C. Вольмира [22], Э.И. Григолюка [31], И.И Воровича [24], С.П. Тимошенко [87], Н.В. Валишвили [18], B.C. Гудрамовича [42,43,123] и других авторов.

История рассматриваемой проблемы исчисляется с начала 20 столетия. Первым экспериментальным исследованием, в котором было обнаружено, что при некотором внешнем давлении сферическая оболочка оказывается неустойчивой, по-видимому, является работа Баха [101] 1902 г. Через 13 лет, в 1915 г., выходит в свет первая теоретическая работа в области расчета тонких упругих сферических оболочек на устойчивость в линейной постановке, опубликованная в диссертации Р. Цолли [164], в которой была получена формула для наименьшего критического давления. В 1922 г. Шверином [148] была предпринята попытка уточнить приближенную формулу Цолли на основе точного аналитического решения линейных осесимметричных уравнений непологой сферической оболочки. Однако получилось так, что формула Цолли была подтверждена - расчеты по ней и по формулам Шверина дают различие в значениях наименьшей критической нагрузки только в третьем знаке. В 1939 г. в [131] опубликовали результаты тщательного эксперимента с медной полусферой и показали, что критическое давление в четыре раза меньше теоретического значения, соответствующего формуле Цолли.

Дальнейшее развитие исследований в этой области характеризуется, с одной стороны, постоянным увеличением экспериментально полученного материала о значениях критических нагрузок для разнообразных сферических оболочек, а с другой - нескончаемыми попытками подвести под них теоретическую базу. Для этого проводились расчеты по линейной теории, учитывалось моментное напряженно-деформированное состояние оболочки перед потерей устойчивости, использовались геометрически нелинейные уравнения теории оболочек, рассматривались оболочки с начальными несовершенствами формы, контурных условий и способов нагружения, оболочки с возможностью упругопластического деформирования материала и т.д. [24,40,84,132, 155].

Попытки уточнить значения верхней критической нагрузки пологого сферического купола посредством рассмотрения его осесимметричного закритического поведения представлены работами [39,140]. В расчет была введена малая начальная неправильность, пропорциональная прогибу купола, что позволило понизить его верхнюю критическую нагрузку. Однако это понижение осталось в рамках десятков процентов.

Первыми работами, в которых были рассмотрены конечные неосесимметричные прогибы пологого, жестко заделанного по контуру сферического купола, находящегося под действием равномерного давления, являются исследования [115] 1960 г. Через два года после этого вышли в свет работы [114,157], где авторы привели результаты расчета неосесимметричных критических нагрузок для такого же купола. Однако достоверность этих результатов вызвала сомнения. Только в 1963 г. удалось получить достоверные значения неосесимметричных критических нагрузок [122], хотя и здесь автор оказался незастрахованным от ошибки. Было показано [34], что из-за упрощенного описания радиальных и окружных усилий он получил завышенную асимптотическую оценку наименьшего критического давления для тонкой оболочки с большим количеством волн по окружности. Приемлемый компромисс между расчетными и экспериментальными данными был найден группой японских авторов, которые при постановке экспериментов [159,160] помимо прогибов оболочки и соответствующих им нагрузок замеряли начальный прогиб каждой ненагруженной оболочки, появлявшийся после ее закрепления на испытательном стенде и представлявший собой случайную неосесимметричную функцию координат точек поверхности оболочки. Эти данные о начальном прогибе оболочки использовались для расчета процесса изначально неосесимметричного деформирования оболочки с ее прощелкиванием и последующим полным выворачиванием. В результате была получена высокая степень согласованности теоретических и экспериментальных значений верхней критической нагрузки.

В связи с вышеизложенным была представлена работа [35], цель которой состояла в решении полной задачи о геометрически нелинейном деформировании пологого сферического купола с учетом возможности его неосесимметричной потери устойчивости и закритического поведения и в нахождении тех форм начальной неправильности, с помощью которых можно было бы получить весь диапазон экспериментально найденных критических нагрузок.

Решение полной задачи о процессе деформирования тонкостенных конструкций при действии статических нагрузок включает в себя три этапа: определение нелинейного напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкции до потери ею устойчивости, решение проблемы устойчивости конструкции при наличии у нее предварительного нелинейного НДС и нахождение возможных неустойчивых состояний равновесия конструкции после потери устойчивости с последующим выходом на устойчивое послекритическое нелинейное НДС.

Выход в свет работы СП. Тимошенко [153] посвященной прощелкиванию пологого шарнирно опертого стержня при поперечном давлении и определению в явной форме его верхней и нижней критических нагрузок, позволил по-иному взглянуть на существовавшую постановку проблемы потери устойчивости оболочек и понять необходимость привлечения нелинейных уравнении к ее исследованию. Кроме того, С.П. Тимошенко в своей статье обратил внимание на возможность обобщения его результатов на пологие оболочки. Модель СП. Тимошенко способствовала разработке нелинейной теории оболочек.

В работе A.C. Вольмира [22] подробно рассмотрены различные подходы к решению динамической задачи - о поведении оболочек различной формы при быстром монотонном возрастании нагрузки. Был сделан вывод, что характер выпучивания оболочки при динамическом нагружении является иным, чем при статическом. Это позволяет проектировать облегченные тонкостенные конструкции, заранее предусматривая их перегрузку в короткий период приложения сил.

В работе Э.И. Григолюка [33], посвященной конечным осесимметричным прогибам тонких коротких оболочек вращения дано обобщение кольцевой расчетной схемы на осесимметричные задачи изгиба круговых оболочек канонической формы. Гипотеза Тимошенко о недеформируемости радиального поперечного сечения короткой оболочки распространяется на упругие конические, сферические, цилиндрические оболочки и кольцевые пластины конечного прогиба. С помощью принципа Лагранжа получены нелинейные соотношения для определения прогибов, деформаций и напряжений в оболочке через ее геометрические характеристики и величину и вид внешней нагрузки. Было показано, что описанный алгоритм соответствует решению уравнений Маргерра или Рейсснера вариационными методами с одночленной аппроксимацией перемещений оболочки.

В следующей работе Э.И. Григолюка [35] рассматривалось неосесимметричное закритическое поведение упругого, пологого сферического купола, жёстко заделанного по контуру и нагруженного равномерным поперечным давлением. Решение задачи строилось методом Релея - Ритца на основе уравнений Маргерра с аппроксимацией перемещений рядом Фурье в окружном направлении и функциями Бесселя в радиальном. Получающаяся система нелинейных алгебраических уравнений решалась методами продолжения [41]. Впервые было показано, что оболочка имеет закритические неосесимметричные состояния равновесия с нагрузками значительно меньшими как верхней критической нагрузки, так и нагрузок, соответствующих точкам бифуркации. Было высказано предположение о том, что учёт форм этих состояний равновесия в качестве начальных неправильностей сферического купола должен позволить смоделировать разброс его экспериментально найденных критических нагрузок.

В работе Э.И Григолюка [32] в рамках предположения о конечности и осесимметричности прогибов упругого, пологого сферического купола, жестко защемленного по контуру и нагруженного равномерным поперечным давлением, производилось исследование его закритического поведения после потери устойчивости. Было проанализировано влияние параметра тонкостенности купола на его деформационную кривую. Обнаружены явления зарождения на траектории нагружения предельных точек, их слияния и последующего исчезновения, а также явления присоединения изолированных петель к основной ветви траектории нагружения и отрыва их от нее. Была показана высокая чувствительность купола к отклонениям от идеальности формы.

В работе N.K. Gupta [117] проводилось исследование влияния отношения кривизны срединной поверхности к толщине оболочки на форму потери устойчивости и на ее энергопоглощающую способность. Тонкостенные оболочки, такие как сферические купола, цилиндрические и конические оболочки обычно используются в качестве энергопоглощающих элементов противоударных конструкций. Последние четыре десятилетия изучению их поведения при потери устойчивости уделяется значительное внимание. Экспериментальные и аналитические исследования тонкостенных оболочек были проведены при квазистатическом и динамическом нагружение в осевом и боковых направлениях. Джонсон и Рид (1978) [129] рассмотрели формы потери устойчивости различных тонкостенных оболочек и соответствующие им кривые сжатия.

Большие формоизменеия тонкостенной сферы или сферической оболочки, известны как типичная проблема закритического поведения, привлекшая внимание с 1960-ых годов. Leckie и Penny [135] выполнили ряд испытаний на тщательно изготовленных полусферических оболочках, которые были нагружены по центру твердым бруском. Эти эксперименты сопровождались теоретическим исследованием Morris'а и Calladme [141], благодаря которым авторы повысили уровень понимания потери устойчивости и закритического поведения упругих оболочек. Их исследования показывают, что область пластических деформаций заключена относительно узким кольцом или сегментом тороидальной поверхности, расширяющейся в процессе деформации.

Большие деформации жесткопластической сферической оболочки при сжатии между жесткими плитами были впервые изучены D.P. Updike [156], который предложил выражение, связывающее критическую нагрузку на сферической оболочке с ее деформацией. В этом анализе выяснилось, что поведение нагрузки - деформации не зависит от кривизны срединной поверхности сферической оболочки.

Деформация образцов, симметричных и несимметричных относительно оси, были изучены аналитически и экспериментально для сферических оболочек, соотношения кривизны срединной поверхности, к толщине которых лежали в диапазоне между 36 и 460 Китчингом и соавт. [134].

Осевую потерю устойчивости пластичных полусферических металлических оболочек при сжатии между двумя параллельными пластинами также изучали Кинкед и др. [133]. Отношение радиуса кривизны срединной поверхности к толщине лежали в диапазоне от 8 до 32. В этих исследованиях ученые, проводя эксперименты, предлагали, применяя различные аналитические модели, прогнозировать энергопоглощающие способности сферических оболочек, связанные с процессом деформации оболочек при различных видах потери устойчивости. Было сделано предположение, что деформация происходит в два этапа. На первом этапе происходят локальные уплощение (сплюснутость) оболочки в зоне контакта с жесткой плитой, а на втором имеет место осесимметричное углубления этих сплюснутых зон. В статическом анализе также учитывалось деформационное упрочнение.

Квазистатическое сжатие сферической оболочки между жесткими плитами было также исследовано De Oliveira и Wierzbicki [111]. Они сравнили результаты отношения нагрузки к деформациям с результатами Updike [156]. Было отмечено, что их соотношения нагрузки к перемещению не зависят от кривизны срединной поверхности сферической оболочки.

Анализ квазистатических испытаний сферических оболочек (отношение радиуса кривизны срединной поверхности к толщине R/h лежали в диапазоне от 15 до 240), их формы потери устойчивости и нагрузки проводились Gupta [116-119].

Стержневая модель СП. Тимошенко была использована при анализе нелинейного осесимметричного поведения пологих сферических оболочек [153]. Однако только опубликование Маргерром [139] дифференциальных уравнений для тонких упругих пологих оболочек конечного прогиба, являющихся естественным обобщением уравнений Бубнова-Фёппля-Кармана, позволило получить классическую компактную систему уравнений для описания процесса нелинейного деформирования оболочки. В результате появилась возможность учесть нелинейность в процессе деформирования оболочки и получить аналитическое описание процесса ее прощелкивания и закритического поведения. Эта возможность была использована для решения уравнений Маргерра в случае пологого сплошного сферического купола при равномерном поперечном давлении методом Бубнова при однопараметрическом представлении функции прогиба и анализа осесимметричного нелинейного поведения для четырех вариантов контурных условий. Впоследствии Рейсснером [145] была дана более точная система дифференциальных уравнений конечных прогибов пологих оболочек по сравнению с классическими уравнениями Маргерра.

В рамках кольцевой расчетной схемы, разработанной А. Рато [144] , СП. Тимошенко [154], Дж. Альменом и А. Ласло [100], были проведены расчеты, иллюстрирующие ее применение к описанию осесимметричного поведения коротких круговых конических, цилиндрических, сферических оболочек и узких кольцевых пластин конечного прогиба под действием статических нагрузок различного вида. Было рассмотрено влияние вида опирания оболочки, степени ее пологости и переменности толщины, которая может быть линейно-переменной вдоль образующей, на ее верхнюю и нижнюю критические нагрузки. Численно показаны рамки применения уравнений пологих оболочек конечного прогиба для расчета непологих оболочек.

Сопоставление экспериментально и теоретически полученных значений критических нагрузок для сферических куполов, находящихся под действие равномерного давления показало их значительное расхождение. Причины для такого расхождения результатов обусловлены как условиями экспериментов, так и неадекватностью математических моделей оболочки. В первую очередь сюда относятся неправильности формы оболочки и начальные напряжения в ней, неидеальность условий нагружения и закрепления, неоднородность свойств материала, неосесимметричность ее деформирования и т.д. Попытки учесть в расчетах эти особенности реального сферического купола, способов его нагружения и закрепления не увенчались успехом. До сих пор не существует набора параметров математической модели оболочки, с помощью незначительного варьирования которых можно было бы получить весь спектр экспериментально найденных значений верхней критической нагрузки. Поэтому для инженерных расчетов применяется коррекция теоретически полученных с помощью формулы Цолли значений критической нагрузки посредством коэффициентов в виде множителей, определяемых экспериментально и обуславливающих учет начальных прогибов оболочки, вида граничных условий, возможности работы материала оболочки в упругопластической зоне [45]

Основные результаты и выводы диссертационной работы формулируются следующим образом.

1. Развита методика численного решения нелинейных задач нестационарного деформирования, потери устойчивости и закритического поведения оболочек. В основе методики лежат моментная схема МКЭ и явная схема интегрирования по времени типа «крест». Разработаны алгоритмы и программные модули, реализующие данную методику в рамках ВС «Динамика-3». Эффективность предложенной методики и программных средств подтверждается хорошим соответствием результатов верификационных расчетов теоретическим и экспериментальным данным других авторов.

2. Рассмотрены задачи упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения замкнутых и незамкнутых сферических оболочек при обжатие равномерным внешним давлении и соударении с иденторами различной формы в квазистатическом и динамическом режимах нагружения. По расчетным данным при осесиметричном нагружении возможна неосесимметричная форма потери устойчивости. Условия закрепления оболочки и скорость нагружения существенно влияют на форму ее выпучивания. При обжатии внешним давлением для адекватного описания деформирования оболочки необходимо правильно смоделировать условия нагружения на закритической стадии.

3. Проведены численные исследования зависимости формы потери устойчивости замкнутой сферической оболочки, сжатой между двумя плитами, от геометрических параметров. Показано, что с увеличением радиуса и толщины оболочки сила сопротивления сжатию возрастает пропорционально геометрическому параметру, С уменьшением толщины оболочки процесс потери устойчивости приобретает многостадийный характер. Результаты расчетов легли в основу рекомендаций для экспериментальных исследований в РФЯЦ - ВНМИЭФ.

4. Проведен конечно-элементный анализ демпфирующих свойств сферических оболочек при их использовании для снижения перегрузок в противоударных транспортных контейнерах. С это целью рассмотрена задача падения плиты на ряд оболочек. В расчетах менялись количество оболочек, их геометрия, масса и скорость падения плиты. Исследовалось влияние жесткой обоймы, ограничивающей смещения оболочек. Показано, что варьирование количества оболочек и их геометрии позволяет подобрать оптимальные параметры демпфирующего устройства. Наличие обоймы повышает сопротивление оболочки внешнему воздействию. Решение задачи о падении плиты на свободную оболочку и оболочку в цилиндрической обойме позволяют получить нижнюю и верхнюю оценки ударной нагрузки.

5. Проведенные численные исследования и верификационные расчеты позволяют сделать обоснованный вывод о применимости развитой выше методики и пакета программ для анализа упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического деформирования сферических оболочек при динамических и квазистатических нагружениях.

6. Разработанная методика внедрена в расчетную практику Российского Федерального Ядерного Центра РФЯЦ - ВНИИЭФ, г, Саров, Нижегородской области, ОАО «ОКБМ Африкантов», г. Нижний Новгород.

Заключение

1. Абросимов H.A., Баженов В.Г. Исследование динамического деформирования упруго-пластических сферических оболочек при тепловом ударе // Изв. АН СССР. МТТ, 1978. № I. С. 139-143.

2. Абросимов H.A., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций: Монография. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2002. 400с.

3. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем /H.A. Алфутов. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

4. Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях // Прикл. пробл. прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1981. Вып.18. С. 57-66.

5. Баженов В.Г., Зефиров C.B. О консервативном сглаживании разрывных волн напряжений в МКЭ/ //Вестник ННГУ. Серия Механика. 2001. Вып. 1. С.166-173.

6. Баженов В.Г. Численное исследование нестационарных процессов деформации упругопластических оболочек//Проблемы прочности. 1984. №11. С. 51-54.

7. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечного элемента // Изв. РАН. МТТ. 1994. №1. С. 52 59.

8. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Выпучивание упругопластических сферических куполов под действием импульса давления//Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб./Горьк. ун-т, Горький. 1982. Вып.21. С.77-81.

9. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Численные методы решения нестационарных задач динамики тонкостенных конструкций// Известия РАН, МТТ 2001. - №5. - С. 35-49.

10. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И. Лаптев П.В., Рябов A.A., Романов В.И., Сотсков Г.И. Конечно-элементный анализ высокоскоростного удара о преграду транспортного упаковочного комплекта//Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004г. №2 С.118-125.

11. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Численный метод решения геометрически нелинейных осесимметричных задач для упругопластических оболочек вращения (URL: http://www.ipmnet.ru/~burago/papers/buckl76.pdf).

12. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

13. Васин P.A., Ленский B.C., Ленский Э.В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями//Проблемы динамики упругопластических сред. М: Мир, 1975. С. 7-38

14. Васин, P.A. Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических процессов / P.A. Васин // Пластичность и разрушение твердых тел. М., 1988. - С. 40-57.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек. М.- Л.: 1949. 785 с.

16. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

17. Вольмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем. /A.C. Вольмир. М.: Наука, 1967. - 984с.

18. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек // Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1973. Т. 7. С. 5-86.

19. Ворович И.И., Минакова Н.И. Устойчивость непологого сферического купола//ПММ. 1968. т.32. Вып.2. С.332-338.

20. Галилеев М.М. Схема смешанного метода конечных элементов для пластин и оболочек // Прикладное и теоретическое исследование строительных конструкций. М, 1981, с.26-30.

21. Галимов Н.К. К устойчивости трехслойных конических и сферических оболочек// Исслед. по теор. пластин и оболочек. Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1966. Вып. С. 184-194.

22. Галимов Н.К. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1975.

23. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

24. ЗО.Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 391 с.

25. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.

26. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные осесимметричные прогибы тонких коротких оболочек вращения/ЯТроблемы машиностроения и надежности машин. 1996г. №4. С. 39-46.

27. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Расчет конечных осесимметричных прогибов тонких коротких оболочек вращения//Проблемы машиностроения и надежности машин. 1996г. №5. С. 36-45.

28. Григолюк Э.И., Липовцев Ю.В. Локальная устойчивость упругих оболочек вращения // МТТ. Инж. ж. 1968. № 6. С. 134-138.

29. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Неосесимметричное закритическиое поведение пологих сферических куполов//ПММ. 2003. Т.67. Вып. 6. С.921-932.

30. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Неосесимметричное поведение пологой сферической оболочки при конечных прогибах//Докл. РАН. 2003. Т.388. №4. С.477-481.

31. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Об однозначности и полноте описания осесимметричного закритического поведения полого сферического купола//Докл РАН 2001. Т.378. №6. С.758-762.

32. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Об одной модификации метода дискретного продолжения по параметру//ПМТФ.1990. №5. С.95-99.

33. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Осесимметричное закритическое поведение пологих сферических куполов//ПММ. 2002. Т.66. Вып. 4. С.621-634.

34. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек. М.: Изд-во МГУ, 1983. 114 с.

35. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука. 1988. 232с.

36. Гудрамович B.C. Устойчивость упругопластических оболочек/В. С. Гудрамович. К. : Наук.думка, 1987. - 216 с.

37. Гудрамович B.C., Дисковский И.А. О локальной устойчивости сферических оболочек//ДАН СССР. 1977. - 232, №6. С.1285-1288.

38. Дегтярев, В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций / В.П. Дегтярев. М.: Машиностроение, 1967. - 131 с.

39. Дресвянников В.И. О численной реализации нелинейных уравнений динамики упруго-пластических оболочек//Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. Горький, 1976. Вып. 3. С. 82-90.

40. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. / Пер. с англ. под ред Н.С. Бахвалова. М.: Мир, 1986, 318 с.

41. Зубчанинов В. Г. Об устойчивости пластин за пределами упругости; (обзор). В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971,. вып. 2, 145 с.

42. Зубчанинов, В.Г. Экспериментальное исследование и обоснование теории упругопластических процессов / В.Г. Зубчанинов // Устойчивость и пластичность в МДТТ. Мат. III симпоз. / Тверь: ТвеПИ. 1992. - Ч. 1. - С. 94-158.

43. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310.

44. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

45. Казаков Д.А., Капустин С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций. Монография / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. 226 с.

46. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с./52

47. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига: Зинатне, 1971. 147 с.

48. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 262 с.

49. Коротких Ю.Г., Волков И.А. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с поврежденями. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2008. - 424с.

50. Коротких Ю.Г., Волков И.А., Маковкин Г.А. Математическое моделирование процессов деформирования и разрушения конструкционных материалов. Н. Новгород.: ВГАВТ, 1996. - 345с.

51. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред. // Успехи механики. Т. 8. № 4. 1985. С. 21-65.

52. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела. // Проблемы динамики упругопл. сред. М.: Мир, 1975. С.39-85.

53. Курант Р., Фридрихе, Леви Г. О разностных уравнениях математической физики // Успехи математических наук, 1940. Вып. 8. С. 112-125. /59

54. Левитас В.И. Большие упруго-пластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова думка, 1987.

55. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1986.

56. Майнчен Дж., Сак С. Метод расчета "Тензор" // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 185-211.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики./М.Наука,1980.

58. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек средней толщины//Докл. АН СССР, 1959. Т. 123, № 6. С. 1144-1147.

59. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. M.-JL: Гостехиздат, 1948.

60. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951.

61. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

62. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений//Пер. с англ. Под ред. A.A. Абрамова М.: Наука. 1986г. 288с.

63. Охлопков, Н.Л. К вопросу проверки физической достоверности частных вариантов теории пластичности при сложном деформировании / Н.Л. Охлопков // Устойчивость и пластичность при сложном нагружении / Тверь: ТГТУ. 1994. - С. 46-49.

64. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. - 232 С./146

65. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.418 с.

66. Рузанов А.И. Численное моделирование процессов высокоскоростного проникания и пробивания с использованием бессеточных лагранжевых методик// Проблемы прочности и пластичности. М.1999 с. 122-124.

67. Рузанов А.И. Численное моделирование процессов разрушения твердых тел при импульсных нагрузках. // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Статика и динамика деформируемых систем: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1980. С. 38-53.

68. Садырин А.И. Применение треугольных сеток к решению динамических упругопластических задач. // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Статика и динамика деформируемых систем: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. 1983. С. 39-46.

69. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

70. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975.

71. Сахаров A.C., Гуляр А.И., Кисловкий В.Н. Исследование устойчивости осесимметричных оболочек при больших перемещениях с учетом физической нелинейности//Пробл. прочности. 1974. - №6. - С.42-47.

72. Сахаров A.C., Кисловский В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах И., Габберт У., Данкерт Ю., Кепплер X., Кочык 3. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев. Вища школа. 1982. 480 с.

73. Сунагава Мэгуми, Кумаи Нори. Сопротивление элементов конструкций динамическому нагружению // J. Jap. Soc. Aeronaut, and Space Sei. 1970. V. 18. № 195. P. 154-166.

74. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1955.

75. Тимошенко С.П. К вопросу о расчете сферических оболочек//Вестник общества технологов. 1913. Т.20. №17. С. 549-557.

76. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 808 с.

77. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967.

78. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. / Под ред. Бабенко К.И. М.: Наука. 1979.

79. Уилкинс М, Френч С., Сорем М. Конечно-разностная схема для решения задач, зависящих от трех пространственных координат и времени // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. - С. 115-119.

80. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / М.: Мир, 1967. С.212-263.

81. Феодосьев В.И. Об устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внешнего равномерно распределенного давления// Прикл. мат. и мех.— 1954. Т. 18, №1. - С. 35-42.

82. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.:Из-во ЛГУ, 1988.

83. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. М.: Эдиториал УРСС. 1999.

84. Шульц У.Д. Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лаграгнжа//Вычислительные методы в гидродинамике / М.: Мир, 1967. С.9-54.

85. Якушев В.Л. Применение метода дополнительной вязкости для решения нелинейных задач устойчивости оболочек //Изв. АН. МТТ. 1992, N 1, с. 153-163.

86. Якушев В.Л. Потеря устойчивости полусферических оболочек при пластических деформациях//Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. 29 сентября 4 октября 1997. Саратов, Т.2. 1997. С.136-141.

87. Ahmand В.М., Irons О.С., Zeniewicz О. Analysis of thick shell structures by curved finite elements //Int. J. Num. Methods Eng. 2. 1970. P. 419 451.

88. Alghamdi A.A.A. Collapsible impact energy absorbers: an overview//Thin Walled Structures. 2001. №.39. P. 189-213.

89. Bathe K.-Y. Finite element procedures. New Jersey: Upper Saddle River «Prentice Hall», 1996. - 1037p.

90. Bauer F., Keller H.B., Reiss E.L. Boundary imperfections in the buckling of spherical caps//SIAM J. Appl. Math. 1967. V.15. № 2. P.273-283.

91. Bauer F., Reiss E.L., Keller H.B. Axisymmetric buckling of rigidly clamped hemispherical shells//Intern. J. Non-Linear Mech. 1973. V.8. № 1. P. 31-39./94

92. Belytschko T., Liu W.K., Moran B. Nonlinear finite elements for continua and structures. New York: John Wiley & Sons, 2000. - 600 p.

93. Belytschko T., Tsay C.S. A stabilization procedure for the quadrilateral element with one point quatrature // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 1983 V.19N3. P.405-419.

94. Belytschko T., Tsay C.S., Liu W.K. A stabilization matrix for the bilinear Mindlin plate element//Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 1981 V.29. №3. P.313-327.

95. Belytschko, T., and Bindeman, L. P., Assumed Strain Stabilization of the 4-Node Quadrilateral with 1-Point Quadrature for Nonlinear Problems// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1991 V.88. P.311-340.

96. Caty O., Maire E., Bouchet R. Fatigue ofMetal HollowSpheres Structures// ADVANCED ENGINEERING MATERIALS. 2008, 10, No. 3. P. 179-184.

97. Caty O., Maire E., Douillard T., Bertino P., Dejaeger R., Bouchet R. Experimental determination of the macroscopic fatigue properties of metal hollow sphere structures// Materials Letters. 63 (2009) P. 1131-1134.

98. Flanagan D.P., Belytschko T. A Uniform strain hexahedron and quadrilateral with orthogonal hourglass control // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1981. V. 17. -P. 679-706.

99. Gjelsvik A., Bodner S.R. Nonsymmetrical snap buckling of spherical caps // J. Engng. Mech. Div. 1962. V. 88. №5. P. 135-167.

100. Grigoljuk E.I. On the unsymmetrical snapping of shell of revolution//Proc. IUTAM Sympos. on the Theory of Thin Elastic Shells. Delft, 1959. Amsterdam: North-Holland, 1960. P. 112-121.

101. Gupta N.K., Venkatesh Experimental and numerical studies of dynamic axial compression of thin walled spherical shells//Int. J. of Impact engineering, 2004. V.30, pp 1225-1240.

102. Gupta NK, Eswara Prasad GL, Gupta SK. Axial compression of metallic spherical shells between rigid plates//Thin Walled Struct. 1999. V.34 P.21-41.

103. Gupta P.K., Gupta N.K. A study of axial compression of metallic hemispherical domes//Journal of materials processing technology. 2009 V.209. P. 2175-2179.

104. Gupta, N.K., Easwara Prasad, G.L., Gupta, S.K. Large deformation plasto-mechanics of thin walled domes and frusta//International Journal of Crashworthiness. 1998. V. 3. P. 543-556.

105. Hallquist John O. LS-DYNA theoretical manual. Livermore Software Technology Corporation. — 2006.

106. Hartzman M., Hutchinson J.R. Nonlinear Dynamics of Solids by the Finite Element Method//Computers & Structures. 1972, Vol. 2. pp.47-77.

107. Huang N.-C. Unsymmetrical buckling of thin shallow spherical shells//AIAA J. 1963. V. 1. № 4. P. 945; Trans. ASME, Ser. E. 1964. V. 31. № 3. P. 447-457.

108. Hudramovych V. S. Features of nonlinear deformation and critical states of shell systems with geometrical imperfections//Int. Appl. Mech. 2006. - 42, No. 12.-P. 1323-1355.

109. Hughes T.J.R, Cohen M., Haroun M. Reduced and selective integration techniques in the finite element analysis//Nuclear Engineering and Design. 1978. V.46.N1 P.203-222.

110. Hughes T.J.R., Liu W.K. Implicit-explicit finite elements in transient analysis: stability theory//! Appl. Mech. ASME. 45. 1978. P. 371-374.

111. Hughes T.J.R., Liu W.K. Implicit-explicit finite elements in transient analysis: implementation and numerical examples // J. Appl. Mech. ASME. 45. 1978. P. 375-378.

112. Hughes T.J.R., Prister K.S., Taylor R.L. Implicit-explicit finite elements in nonlinear transient analysis//Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1979. - V. 1718, №1. - P.159-182.

113. Johnson G.R. Analysis of elastic-plastic impact involving severe distortions// Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1977. V. 43. - P. 439-444.

114. Johnson W., Reid S.R. Metallic energy dissipating systems//Applied Mechanics Review. 1978. V.31, 277-288.

115. Karagiozova, D., Yu, T.X., Gao, Z.Y. Modeling of MHS cellular solid in large strains// Int. J. Mech. Sci. 2006. V.48. P. 1273-1286.

116. Karman Th. von, Tsien S. The buckling of spherical shells by external pressure//J. Aeronaut. Sc. 1939. V. 7, № 2. P. 43-50.

117. Karman Th., Kerr A.D. Instability of spherical shells subjected to external pressure//Topics Appl. Mech. Amsterdam, etc.: 1965. P. 1-22.

118. Kinkead A.N., Jennings A., Newell J., Leinster J.C. Spherical shells in inelastic collision with a rigid wall tentative analysis and recent quasi-static testing//Joumal of Strain Analysis. 1994. V.29. P.7-^11.

119. Kitching R, Houston R, Johnson W. A theoretical and experimental study of hemispherical shells subjected to axial loads between flat plates//Int J Mech Sci. 1975. V.17.P.693-703.

120. Lekie F.A., Penny P.K. Plastic instability of a spherical shell. In Heyman J, Leckie F.A., editors. Engineering Plasticity. 1968.p. 401-411.

121. Lhuissier P., Fallet A., Salvo L., Brechet Y. Quasistatic mechanical behavior of stainless steel hollow sphere foam: Macroscopic properties and damage mechanisms followed by X-ray tomography/VMaterials Letters. 2009. V. 63. P. 1113-1116.

122. Lim, T.J., Smith, B., McDowell, D.L.: Behavior of a random hollow sphere metal foam//Acta Materialia. 2002. V. 50. P. 2867-2879.

123. Lu G.X., Yu T.X. Energy absorption of structures and materials. Woodhead Publishing Ltd, Cambridge; 2003.

124. Marguerre K. Zur Theorie der gerkriimmten Platte grower Formänderung // Proc. 5th Intern. Cong Appl. Mech. Cambridge, Massachusetts, 1938. New York: Wiley, 1939. P. 93-101.

125. Mescall J. Numerical solutions of nonlinear equations for shells of revolution //AIAA J. 1966. V. 4. № 11. P. 2041-2043.

126. Morris A, Calladine CR. The local strength of thin spherical shell loaded radially through a rigid boss//In: Berman I, editor. Roceeding of the first international conference on pressure vessel technology 1969. p. 35—4-4.

127. Ortiz M., Nour-Omid B. Unconditionally stable concurrent procedures for transient finite element analysis // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 58. P. 151174.

128. Pian T. H. H., Sumihara K.: Rational approach for assumed stress finite elements//Inter. J. Numer. Meth. Engrg. 20 (1984), 1685-1695.

129. Rateau A. Formule pratique pour le calcul des rondelles Belleville // Comptes Rendus hebdomadaires des Seances de l'Academie des Sciences. 1887. V. 104. № 24. P. 1690.

130. Reissner E. On axisymmetrical deformation of thin shells of revolution // Proc. 3rd Sympos. Apj Math. N.Y.: McGraw-Hill, 1950. V. 3. P. 27-52.

131. Ruan H.H., Gao Z.Y., Yu, T.X. Crushing of thin-walled spheres and sphere arrays// Int. J. Mech. Sei. 48, (2006). P. 117-133.

132. Sanders, W.S., Gibson, L.J.: Mechanics of hollow sphere foams//Mat. Sei.

133. Eng. A 347, (2003). P. 70-85.

134. Schwerin E. Zur Stabiiitat der dünnwandigen Hohlkugel unter gleichmafflgem Aufiendruck // ZAMM. 1922. B. 2. H. 2. S. 81-91.

135. Shariati M , Allahbakhsh H.R. Numerical and experimental investigations on the buckling of steel semi- spherical shells under various loadings//Thin-Walled Structures. 2010. vol. 48 issue 8 August, p. 620-628.

136. Simo, J. and M. Rifai A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes//International Journal of Numerical Methods in Engineering, 1990. 29. P. 1595-1638.

137. Simons R.M. A power series solution of the nonlinear equations for axi-symmetncal bending shallow spherical shells//J. Math, and Phys. 1956. V. 35, №2. P. 164-176.

138. Stephens W.B., Fulton R.E. Axisymmetric Static and Dynamic Buckling of Spherical Caps due to Centrally Distributed Pressures// AIAA Journal, vol. 7, issue 11, pp. 2120-2126.

139. Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. N.Y.: McGraw-Hill, 1959 = Тимошенко СП., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

140. Updike D.P. On the large deformation of a rigid-plastic spherical shell compressed by a rigid plates//J. Eng. Ind. 1972. V. 94. P. 949-955.

141. Weinitschke H.J. Asymmetrie buckling of clamped shallow spherical shell // NASA Techn. Notes. 1962. № D-1510. P. 481-490.

142. Wilkins M.L. Use of artificial velosity in multidimensional fluid dynamics. //J. Comp. Phys. 1980. V. 36. № 3. p. 281-303.

143. Yamada M., Yamada S. Agreement between theory and experiment on large-deflection behaviour of clamped shallow spherical shells under external pressure // Collapse / Ed. J.M.T. Tompson and J.W. Hant. Cambrige: Univ. Press, 1983. P. 431-441.

144. Yamada S., Uchiyama K., Yamada M. Experimental investigation of the buckling of shallow spherical shells //J. Non-Linear Mech. 1983. V. 18. № 1. P. 37-54.

145. Ying Liu , He-Xiang Wu, Bin Wang Gradient design of metal hollow sphere (MHS) foams with density gradients// Composites: Part B. 2012. V.43. P.1346-1352.

146. Zhao, H., Elnasri, I., Abdennadher, S. An experimental study on the behavior under impact loading of metallic cellular materials//Int. J. Mech. Sei. 2004. V.47. P.757-774.

147. Zienkievicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. - V. 1. - 689 p.; V. 2. - 459 p.

148. Zolly R. Uber ein Knickungsproblem an der Kugelschale. Promotionsarbeit. Zurich: Technische Hochschule, 1915. 84 S.