Выпучивание и устойчивость упругопластических прямоугольных пластин и цилиндрических панелей с учетом сложного нагружения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Лосев Юрий Анатольевич

На правах рукописи

ш

□03055Э57

ВЫПУЧИВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ С УЧЕТОМ СЛОЖНОГО НАГРУЖЕНИЯ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тверь 2007

003055957

Работа выполнена на кафедре «Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности» в Тверском государственном техническом университете

Научный руководитель

кандидат технических наук, доцент Володин В.П.

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Поспелов И.И.

доктор технических наук, профессор Трещев А.А.

Ведущая организация

ЗАО «Тверской институт вагоностроения»

Защита состоится 16 марта 2007 г. в 15.00 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.262.02 при Тверском государственном

техническом университете по адресу: 170026, г. Тверь, набережная Афанасия Никитина, 22, ауд. Ц-120.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного технического университета.

Автореферат разослан «14» февраля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационногс доктор технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время одной из важнейших задач в современной технике является снижение материалоемкости конструкций и машин. Конструкции, элементами которых являются пластины и оболочки, в течение длительного времени остаются предметом многочисленных исследований на прочность и устойчивость. Во второй половине 20 века сформировался новый методологический подход к решению проблемы уп-ругопластической устойчивости сжатых элементов конструкций, в основе которого лежит исследование процессов нагружения и деформирования. Исходя из этого В.Г.Зубчаниновым, была построена современная концепция устойчивости и общая теория устойчивости упругопластических систем при сложном нагружении. Существенным в последней является то, что анализ устойчивости упругопластических систем не может быть ограничен только решением бифуркационной проблемы. Необходимы исследования устойчивости или неустойчивости процессов послебифуркационного выпучивания. Практическая реализация таких исследований весьма актуальна, но связана с трудностями, обусловленными необходимостью отразить в расчетах реальные упругопластические свойства материалов в условиях сложного нагружения. Современная вычислительная техника позволяет решить данную актуальную проблему.

Целью работы является исследование процесса выпучивания и устойчивости упругопластических шарнирно опертых по контуру пластин и цилиндрических панелей под действием равномерно распределенной продольной сжимающей нагрузки методом конечных элементов (МКЭ) с общих трехмерных позиций.

В задачи исследования входило:

- определение нагрузок бифуркации касательно-модульного типа и исследование формы волнообразования при этих нагрузках;

- разработка алгоритма и программного комплекса, позволяющего эффективно решать трехмерные краевые задачи механики упругопластических пластин и цилиндрических панелей методом конечных элементов;

- анализ особенностей процессов упругопласгического выпучивания пластин и цилиндрических панелей под действием продольной нагрузки.

В качестве объектов исследования рассматриваются сжатые прямоугольные пластинки и цилиндрические панели.

Научная новизна. Получены уравнения связи между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения и сжимаемости материала для пространственного напряженно-деформированного состояния. Уравнения получены на базе теории упругопластических процессов (ТУПП) Ильюшина- Зубчанинова.

В уравнениях связи между напряжениями и деформациями применены аппроксимации для функционалов процесса, описывающие векторные и скалярные свойства материала, предложенные В.Г. Зубчаниновым. Эти аппроксимации существенно упрощают решение задач, поскольку не тре-

буют определения границы раздела зон активного и пассивного нагруже-ния, так как эти функционалы имеют одинаковую структуру в обеих зонах.

Исследование процесса выпучивания и устойчивости цилиндрических панелей выполнено на основе современной концепции устойчивости, в соответствии с которой судить о надежности конструкций можно имея представление о ее работе на всех этапах нагружения, что и иллюстрируется конкретными расчетами.

Численное исследование процесса нагружения панелей проводится методом конечных элементов (МКЭ). Для этого сконструирован объемный восьмиузловой изопарамепгрический конечный элемент (КЭ), в котором поле перемещений описывается квадратичным полиномом. Использование такого КЭ позволяет вести расчет не вводя традиционных для пластин и оболочек упрощающих гипотез Кирхгофа-Лява. Связь между деформациями и перемещениями нелинейная и представляется тензором Лагранжа-Грина.

Для решения системы уравнений, полученной на основе МКЭ, разработан программный комплекс (ПК), в котором учитывается, что коэффициенты системы уравнений зависят от характеристик напряженно деформированного состояния во всех узлах конечных элементов. Система уравнений решается по шагам по схеме прогноз-коррекция.

Впервые решены задачи о выпучивании и устойчивости шарнирно опертых по контуру упруго пластических цилиндрических панелей под действием равномерно распределенной по краям продольной нагрузки на базе теории упругопластических процессов. Исследовано влияние на процесс выпучивания стрелы подъема оболочки £7Ь и гибкости Ь/Ь. Здесь а и Ь - размеры пластин и панелей в плане. Ь - их толщина, Г - стрела подъема панелей.

Для оценки достоверности результатов проведено исследование влияния густоты сетки МКЭ на точность решения и сравнение экспериментальной и полученной кривых выпучивания для квадратных пластин. Показано, что без большой погрешности можно ограничиться сеткой 10X10X2. Эксперимент качественно и количественно подтверждает численный результат.

Достоверность результатов обеспечена применением в расчетных алгоритмах традиционных вычислительных схем, хорошо зарекомендовавших себя в решении задач подобного класса. Описание упругопластических свойств материалов соответствует известным данным, полученным на расчетно-экспериментальном комплексе СН-ЭВМ в Тверском государственном техническом университете. Полученные для тестовых задач рас-четно-теоретические результаты полностью соответствуют известным теоретическим и экспериментальным результатам.

Научная и практическая ценность. Проведенные исследования представляют собой дальнейшее развитие теории устойчивости тонкостенных элементов конструкций за пределом упругости. Разработанные алгоритмы и программы формирования матриц жесткости конечных элементов пла-

стин и цилиндрических панелей могут быть применены для использования в практических инженерных расчетах.

Внедрение результатов. Полученные в работе теоретические и расчетные результаты используются в учебном процессе при подготовке магистров техники и технологии по специальности «Теория и проектирование зданий и сооружений». Приведенные в диссертации алгоритмы внедрены в расчетной практике ООО ГОШ «Монтажпроект» для обоснованной оценки допускаемых нагрузок на подкрановые балки исходя из устойчивости их стенок за пределом упругости.

Апробация работы. Результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на постоянно действующем межвузовском научном семинаре кафедры сопротивления материалов, теории упругости и пластичности Тверского государственного технического университета (Тверь, 2001-2006 гг.) и ежегодном региональном межвузовском семинаре «Тверские научные чтения в области механики деформируемого твердого тела», руководимом д.т.н., профессором В.Г.Зубчаниновым, (Тверь, 20012006 гг.); на региональной научно-практической конференции «Научно-технические проблемы обеспечения качества производства товаров и услуг в Тверском регионе» (Тверь, 2003 г.); на VI симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, 2006 г.); на VI Международной конференции «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (Санкт-Петербург, 2005 г.); на VI, VII Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2005,2006 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации, результаты и выводы опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, содержащего основные результаты и выводы, библиографического списка из 167 источников. Общий объем работы 182 страницы текста, включая 58 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность выполненных в диссертации исследований, сформулированы цели и задачи исследований, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе дан обзор современного состояния проблемы устойчивости сжатых элементов конструкций за пределом упругости. В связи с тематикой работы основное внимание в обзоре уделяется той части общей концепции устойчивости, которая относится к деформированию упругонластических систем.

Согласно современной концепции, при расчете упругопластических систем необходимо исследовать устойчивость не состояний их равновесия,

а устойчивость процесса их нагружения, разворачивающегося во времени. Потеря устойчивости при этом, согласно В.Г. Зубчанинову, происходит в предельных точках. Соответствующие нагрузки называют критическими или пределами устойчивости. В работе рассматриваются медленные процессы нагружения пластин и панелей, характеризуемые некоторым монотонно изменяющимся параметром прослеживания процесса т (обобщенное время). В качестве такого параметра принималось сближение поперечных краев пластины или панели.

Основы теории упругой устойчивости, заложенные в 18 и 19 столетиях Л.Эйлером, ЖЛагранжем, Дж.Брайаном, Ф.С.Ясинским, относились к бифуркационной постановке. В исследованиях С.П.Тимошенко, В.З.Власова и других ученых проблема линейной упругой устойчивости в этой постановке была, по существу, решена. Система нелинейных уравнений для исследования послебифуркационпого поведения упругих прямоугольных пластин впервые была получена Т.Карманом. Нелинейный вариант теории пологих оболочек рассмотрел Маргерр. Общая теория нелинейной устойчивости, в основе которой лежит анализ послебифуркацион-ного поведения, была построена в 1945 г. В.Койтером и развита в работах Б.Будянского, Дж.Хатчинсона, Э.И.Григолюка, И.И.Воровича, Х.М.Мупггари, Дж.Томпсона, В.П.Ильина и других исследователей. Теория устойчивости при пластических деформациях берет свое начало в конце 19-го и первой половине 20-го века в трудах Ф.Энгессера, Т.Кармана, П.Бийлаарда, Е.Хвала, К.Ежека, Ф.Шенли, А.А.Ильюшина и других. Дальнейшие наиболее существенные результаты в развитии теории устойчивости упругопластических систем были получены Е.Стоуэллом, Э.И.Григолюком, Ю.Р.Лепиком, В.Г.Зубчаниновым, В.Д.Клюшниковым, ЛА.Толоконниковым и рядом других авторов.

Современная концепция устойчивости берет свое начало в первоначальных работах Т.Кармана и ФЛЛенли по устойчивости стержня.

Современная математически строгая теория устойчивости неупругих пластин бала создана A.A. Ильюшиным на основе теории малых упруго-пластических деформаций.

В.Г.Зубчаниновым на основе общей математической теории уируго-пластических процессов А.А.Ильюшина разработана теория выпучивания и устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости с учетом сложного нагружения; построена теория устойчивости идеальных пластин и оболочек с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости, как задача о собственных числах ; предложена модифицированная теория устойчивости пластин и оболочек; разработаны концепция устойчивости упругопластических систем, учитывающая историю нагружения.

Вопросы выпучивания упругих оболочек изучали В.З. Власов, Х.М. Муштари, К.З.Галимов Л.Х. Доннел, Ю.Н. Работнов, H.A. Алумяэ.и др.

Различные вопросы расчета геометрически нелинейных упругих оболочек в нашей стране рассматривали В.М. Никереев, В.Л. Шадурский,

Л.А. Назаров, М.С. Корнишин, М.А. Колтунов, В.В. Петров, В.А. Крысько, И.В. Неверов, Амельченко В.В. и др.

Расчетом пологих оболочек из нелинейно-упругого материала под действием поперечной нагрузки занимались П.А. Лукаш, И.Г. Овчинников, В.И. Ярославский.

Исследование закономерностей упругопластического деформирования гибких пологих оболочек при комбинированном нагружении проведено Н.Н. Столяровым и Е.А. Райковым.

Численная модель расчета прочности и устойчивости упругих оболочек и оболочечных конструкций с общих трехмерных позиций представлена в работах В.А. Колдунова, А.Н. Кудинова, О.И. Черепанова.

Во второй главе приводятся основные уравнения задачи. Зависимость между деформациями и перемещениями для решения задачи в геометрически нелинейной постановке описывается тензором Лагранжа-Грина

£у <"*,;)> 0'>.М = 1, 2, 3). (1)

где и, - перемещения в направлении координатных осей; £ц - относительные деформации. Используется индексная система обозначений и правило суммирования по повторяющемуся индексу.

Уравнения связи между напряжениями и деформациями на основе теории упругопластических процессов в рамках гипотезы компланарности имеют вид

= + (2) а

где с1а - вектор приращений напряжений в пятимерном девиаторном пространстве Ильюшина; а - вектор напряжений в пятимерном девиаторном пространстве Ильюшина; с!Э - вектор приращений деформаций в пятимерном девиаторном пространстве Ильюшина; а- модуль вектора напряжений; Ыи Р- функционалы процесса. Для функционалов процесса В.Г. Зубчаниновым предложены такие аппроксимирующие функции

Р - Юк + (20 - 2^)((1 - с<»ф/2)",

N = 2вр + (2в - 2врШ ~ соЩ)/2)", (3)

где С, Ср, Ск - упругий, пластический (секущий) и касательный модули сдвига; рид- экспериментальные константы.

Упругий и пластический модули сдвига определяются на основании универсальной зависимости <т = Ф(Э) (гипотеза единой кривой).

Функции (3) при р = 4 и ¿¡г = 0.3 физически достоверно описывают процессы упругопластического деформирования углеродистой стали, поэтому они используются как основной расчетный вариант.

Для использования выражения (2) в МКЭ, его необходимо записать в приращениях

Аа = ИА Э + (4)

В скалярной форме

;с£,АЭ, + Я2АЭ2 + 53АЭ3 + £4АЭ4 + ^5АЭ5 ^ ^ ¿. = 1>2_5'

(5)

а2

где - компоненты вектора напряжений, тождественные компонентам де-виатора напряжений АЭк- компоненты вектора приращения деформаций, тождественные компонентам девиатораДЭ,у.

Для связи шести компонент тензора приращения напряжений с шестью компонентами тензора приращений деформаций выражения (5) дают только пять соотношений. В качестве дополнительного шестого соотношения принимается закон упругого изменения объема

А<то=*Д0; А<т0ЛАст,,; Ав = Аеи, ^ (6)

К - модуль объемной упругости; в - объемная деформация; сг0 - среднее напряжение.

В итоге получаем следующие выражения, связывающие шесть компонент тензора приращений напряжений с шестью компонентами тензора приращений деформаций:

До-, = КАв + 8^{Аеа-а0)х

х (Аеи - Ае0) + ^(сг22 -а33)(Ае22 - Ае33) + 2аиАеп + (7)

+ 2а23А£23 + 2сг13А£13](<7у -<т0), /,_/= 1,2,3.

где 6:] - символ Кронеккера.

В выражении (3) сое 9Х вычисляется по следующей формуле

с085 _ аЬЭ _ ^1АЭ1 + ^2АЭ2 + ^ДЭ3+^4АЭ4 + 55АЭд

' сгА5 + 8] + Б] + 542 + 5] <>]АЭ? + АЭ2 + ДЭ2 + АЭ] + АЭ2 '

Присоединяя к выражениям (1) и (7) дифференциальные уравнения равновесия

^ = 0 (г, у = 1, 2,3); (9)

получим замкнутую систему уравнений. К ней надо добавить на боковой поверхности пластины или панели краевые условия: - поперечные края

х1 - 0 и а, х, = 2 = 0, Ди, = -—А,, Ди3 = Дм> = 0;

=-Арх, |Дсг21£йг2 = 0; (10)

о о

- продольные края

х2 =0иЬ, х3 =2 = 0, Ди2 =~Д2> Ам3 =Д>у = 0;

а а

=0, |а<Т12й&С1 = 0; (11)

о о

При решении конкретных задач механики деформируемого твердого тела универсальную диаграмму деформирования материала необходимо аппроксимировать некоторой конкретной аналитической зависимостью, которая давала бы возможность учитывать свойства конкретного материала. В качестве такой аналитической зависимости В.Г. Зубчаниновым предложено следующее выражение

а = Ф(Э) = ат + 2в. (Э - Э7") + аа

(12)

где а = 2СЭ =. —<гт, ат- предел текучести при растяжении. При расче-

тах принимается а - сг02, Ю, = а , где а - предел прочности материала

ъ п 2б?'2 — 20, „02

на условной диаграмме а ~ Э, р = —--, 2ак - удвоенный модуль,

соответствующий условному техническому пределу текучести <т[2, ат (1 - 2в, /2в)»сг"-стт. В этой же главе рассматривается вопрос о касательно-модульной нагрузке бифуркации для шарнирно оперной по краям оболочки, сжатой вдоль образующей равномерно распределенными усилиями рх. Эта нагрузка получена А.С. Вольмиром на основании теории малых упругопластиче-ских деформаций, гипотезы о несжимаемости материала, условия отсутствия разгрузки и определяется так

я2Я0„ о ЕЙ3 Рх=—^Рх,о°р=-^-, (13)

где ~О0р жесткость панели;

к'р

Р* = Ртп+---тт-^гт (14)

Ршп+ЧР'Ч"

- безразмерный параметр, от которого зависит форма волнообразования при бифуркации; при этом

1 п* Ь

р„п=-(3р + 1)т1 +2и2+—, т0 = а0т, а0=~, а = ^; (15)

4 та а Ъ

г 3 г г Ь2

ку =—к2, к2 параметры кривизны панели в поперечном на-

правлении;

р = ^-,0<р< 1 ер

(16)

- отношение касательного модуля на диаграмме сг, ~е, к пластическому; m и п - число полуволн синусоиды в продольном и поперечном направлениях соответственно.

Вольмир A.C. не исследует подробно форму волнообразования при изгибе, а приводит формулу для минимального значения напряжений на поперечных краях

, А = -

(17)

3 Л* '

В работе определяется действительное значение нагрузки бифуркации и исследуется картина волнообразования в панели при этой нагрузке. Для минимального значения напряжений получено

2 I УЗ

л2 • (18)

ок и ов совпадают для упругих панелей (р=1). С появлением пластических деформаций и с их ростом разница между ними существенно увеличивается и ок может превышать <тв в несколько раз. Например, при р=0.1 ск=2.87ов.

Полагая в (14) к =к2 =0, получим напряжения при бифуркации для

пластин

о + ь

9Vp Я2 ' h

<yt =

(19)

СБ—ктСК

l=2Ä 1 042

ZtiAdSk

6 031 fc

Рис. 1.

На рис. 1 приведен график, показывающий величину отклонения действительного значения напряжения на поперечных краях при касательно-модулыюй нагрузке буфуркации от минимального значения и иллюстри-

рующий смену числа полуволн в продольном направлении. По оси абсцисс отложен параметр, который одновременно учитывает кривизну панели, ее относительную длину и степень достигнутой пластической деформации. Видно, что максимальное отклонение имеет место при смене одной полуволны синусоиды на две и составляет 25%. Во всех остальных случаях оно не превышает 9% и очень быстро уменьшается с увеличением числа полуволн.

В третьей главе описывается численная реализации процесса выпучивания и устойчивости цилиндрической оболочки на основе метода конечных элементов (МКЭ). Для этого разработан объемный восьмиузловой изопараметрический конечный элемент (КЭ), рис. 2.

Рис. 2. Объемный изопараметрический комплекс элемент Поле перемещений в пределах КЭ аппроксимируется следующим образом

где и] - это глобальные перемещения в j - ом направлении; и1} - перемещения i-го узла в j - ом направлении; N, =-(l + rlr)(l + sls)(l-h/,/),

8

(г = 1,2,3...8), iVg = (l-r2), Nl0 ~{l-s2)-Nu =(l-i2) - интерполяционные функции формы; r,s,t - локальные координаты точек КЭ; rl,s1,il- локальные координаты /' - го узла.

При разбиении трехмерной панели на восьмиузловые элементы она мысленно разрезается взаимно перпендикулярными координатными поверхностями г = const, в = const, z- const (r,6,z - цилиндрические координаты точек тела) рис.3.

Рис. 3. Деление цилиндрической панели на восьмиузловые КЭ Численное решение выполняется по следующему алгоритму. Сначала задаются размеры пластины (цилиндрической панели), густота сетки конечных элементов (КЭ), начальный прогиб (или силовое возмущение), полное кинематическое перемещение нагружаемого края и количество шагов нагружения.

0=1.2,3).

(20)

Z

Исследование процесса нагружения панели сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Внутренние и внешние силы должны удовлетворять уравнениям равновесия. Если перемещения определяются конечным числом (узловых) параметров {и}, то эти уравнения имеют вид:

у

где ({"})} - сумма внешних и внутренних обобщенных сил; - вектор внешних сил.

Существенной трудностью, возникающей при решении этой системы, является то, что ее коэффициенты функционально зависят от искомого решения. В связи с этим система уравнений решается по шагам по схеме прогноз-коррекция. Общая идея метода изложена в работах О. Зенкевича.

Предположим, что решение на шаге с номером п известно. Это значит, что для всех конечных элементов известны: узловые перемещения {и„}; функционалы пластичности и Рп; узловые нагрузки {Т^}; матрица начальных напряжений \кап], учитывающая уровень достигнутых напряжений на шаге с номером п; матрица жесткости, учитывающая изменение геометрии системы и ее механических характеристик \Кп\\ полная

матрица тангенциальных жесткостей [Х-„ ] = [К*] +

Задаем сближение поперечных краев панели {Д„+1} = {Ли + ()}, где {Л„} - сближение этих краев на шаге п. Используя полную матрицу тангенциальных жесткостей находим прогнозируемые усилия в этих узлах = С помощью соотношения (21) определяется прогнози-

руемый вектор После этого определяются прогнозируемые пере-

мещения узлов, отсчитываемые от деформированного состояния на шаге п = (22) По найденным значениям |дм^,} в каждом КЭ находятся прогнозируемые приращения деформаций

{¿С,}=К]{/ЧТ,}, (23)

где \В„\ - блочная матрица, частных производных от функций форм на шаге п и прогнозируемые модули векторов деформации Э^,. По найденным значениям , в соответствии с ТУПП, находятся прогнозируемые

приращения напряжений и их прогнозируемые полные значения

ДС,}, {^Н^ + КЬ (24)

где {сг„}- начальные напряжения, достигнутые на шаге п; [£>гл] - матрица упруго-пластических свойств материала на шаге п. Используя полные

значения тензора напряжений {с^,}, находим полные значения модулей векторов напряжений ст^, в этих точках и прогнозируемый косинус угла сближения сово,^,. По диаграмме деформирования находятся прогнозном

руемые скалярные характеристики материала 2 = —

2 Q("P) =

рп+1 ^(лр) :

dcт

d3

Фг)

и функционалы пластичности N^, а затем их

j\f + р + p^v)

средние значения на шаге n+1 N^ = " , = " "fl .

Теперь делается коррекция решения. Для этого заново строится матрица жесткости [ЛТ^] и полная матрица тангенциальных жесткостей

= + Далее пересчитывается вектор узловых сил

[F^} = ^кТпср j {А„,,}. С помощью соотношения (21) определяется вектор

{vZi}- После этого опять решается система уравнений и находятся искомые перемещения узлов, отсчитываемые от деформированного состояния на шаге п

{МЧ^ГМ- (25)

Пересчитываются координаты узлов. По найденным значениям {Ли„+1} находятся приращения деформаций

л+1 (26)

модули векторов деформаций Эл+1, приращения напряжений и их полные значения

{До^НА-.]^,}, K+1}={Acr„+1} + {(Tn}, (27)

Используя полные значения тензора напряжений jc„4l} в каждом КЭ, находим полные значения модулей векторов напряжений сг„+1 и cos цлЦ. По диаграмме деформирования находятся скалярные характеристики материала

/т Агг

; (28)

2G,n+1 - , 2- ^

функционалы пластичности ЛГл+1, РяЛ. На этом коррекция заканчивается. В итоге мы имеем решение на шаге п+1. Далее указанный процесс повторяется, т.е. аналогично находятся решения на всех других шагах процесса на-гружения.

Так, как на шаге делается только одна коррекция, то в результате этого в решении может накапливаться погрешность, которая при данном подходе практически не контролируется. Чтобы снизить указанную по-ipeuiHocTb, решение каждой задачи повторялось с вдвое меньшим шагом и прекращалось тогда, когда максимальная разность между найденными значениями нагрузки не превышала пяти процентов.

В четвертой главе представлены результаты численных исследований процесса выпучивания и устойчивости упругопластических прямоугольных в плане пластин и цилиндрических панелей.

Численное исследование проводилось при помощи программного комплекса (ПК) разработанного автором на кафедре «Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности» (СМТУиП) Тверского государственного технического университета (ТГТУ).

Для исследования принимались упругие и упругопластические прямоугольные в плане пластины и пологие цилиндрические панели, шарнир-но опертые по контуру. В качестве параметров исследования принимались относительный подъем fib и относительная гибкость blh. Относительный

подъем принимался равным /= т.е. принимались граничные зна-

чения для пологих оболочек и среднее между ними. Относительная гибкость принималась равной Ы й = 100,50,33. Все расчеты выполнены для различных сочетаний этих параметров.

В качестве материала была принята сталь 40. Величины ст0г2, аь, Е задаются из экспериментальной диаграммы. При расчетах приняты следующие значения механических характеристик стали 40: сг12= 206 МПа, о-4 = 580 МПа, Е = 2.06-105 МПа, оу=0.001, ц=0.3.

Для оценки достоверности, в данной работе проведено сравнение полученных результатов для упругих и упругопластических пластин и цилиндрических панелей с результатами A.C. Вольмира. На рис. 4 приведены результаты сравнения кривых выпучивания для квадратной упругой цилиндрической панели шарнирно опертой по контуру у которой ^ = 100,

= 0.015. На всех графиках по вертикальной оси отложена безразмерная равномерно распределенная погонная нагрузка, действующая на единицу ширины срединной поверхности px = {pxbiy{Ghi}, где рх- внешнее

усилие, действующее на единицу ширины срединной поверхности панели (пластины).

Рх,

6 3

°0 0.5 1 1.5 2 22 Рис. 4. Сравнение кривых выпучивания На рис. наблюдаются верхняя критическая нагрузка, нижняя критическая нагрузка, после прохождения которых кривые устремляются вверх. Начальные докритические участки практически совпадают. На всем протяжении послекритического процесса выпучивания численная кривая лежит выше теоретической. Максимальное расхождение составило 21%.

Для проверки теоретических результатов проведено сравнение с экспериментальными данными по двухосному равномерному сжатию квадратных шарнирно опертых пластин. Образцы для испытаний представляли собой квадратные пластинки с размерами 150X150X5.75 мм. Пластины изготовлялись из листов сплава АД. Основные механические характеристики сплава АД следующие: £ = 72.7-103М7а, ау = 80 МПа, ат=\05МПа,

предел упругости по деформациям е =1.1-10~3. Эксперименты проводились на машине гидравлического типа ЦДМУ-30 в специальной установке, позволяющей осуществить равномерное двухосное сжатие.

— Сопоставление результатов эксперимента с теоретическими расчетами

45 4

35;

3

2.5 2

1 5 1

05 0

Рис. 5. Сравнение теоретической (ТМУПД), численной (МКЭ с использованием теории упругопластических процессов) и экспериментальной кривых выпучивания На рис. 5 представлены кривые выпучивания, полученные на основе теории квазипростых процессов нагружения с учетом разгрузки материала (теория малых упругопластических деформаций - ТМУПД ); на основе

Сопоставление результатов эксперимента с теоретическими расчетами

0 02 04 06 08 1

Относительный прогиб в центре,

теории упругопластичееких процессов (ТУПП) и МКЭ; экспериментально. Максимальное расхождение по нагрузке между численной (ТУПП) и экспериментальной кривой составило 12%.

Основные результаты исследования процесса нагружения квадратных пластин и цилиндрических панелей приводятся ниже. Для численного решения задачи необходимо введение начального несовершенства формы или нагружения. В работе в качестве несовершенства выбран начальный прогиб срединной поверхности. Как оказалось, начальный прогиб влияет не только на поведение пластин и панелей, но и на устойчивость численного решения задачи при подходе нагрузки к нагрузке бифуркации. В связи с этим для каждой задачи определялось свое минимальное значение начального прогиба, при котором не было срыва численного решения. При исследовании влияния какого-либо параметра на поведение рассматриваемых элементов конструкций начальный прогиб принимался одинаковым, равным наибольшему из найденных для них значений.

Сначала проведено исследование влияния стрелы подъема на поведение упругопластичееких шарнирно опертых по контуру пластин и цилиндрических панелей, выполненных из стали 40.

На рис. 6 приведены кривые выпучивания для квадратных шарнирно опертых цилиндрических панелей. На каждом из рисунков изменяется только подъем панели. Видно, что при увеличении подъема несущая способность панелей возрастает.

Из рис. следует, что и для квадратных пластин, и для квадратных панелей с начальными несовершенствами критические нагрузки (пределы устойчивости) не превышают касательно-модульной нагрузки. Поэтому несущая способность этих пластин и панелей определяется указанной нагрузкой бифуркации.

Далее проведено исследование влияния относительной гибкости ЫЪ на поведение квадратных упругопластичееких шарнирно опертых по контуру пластин и цилиндрических панелей. На каждом из рисунков стрела подъема имеет постоянные значения, изменяется только относительная гибкость панели.

Влияние гибкости панели Влияние гибкости панели

Рис. 7. Влияние гибкости панели Для рассмотренных на рис. 7 панелей нагрузка бифуркации лежит за пределом упругости. Имеющиеся предельные точки во всех случаях расположены ниже уровня нагрузки бифуркации. С уменьшением отношения b/h значения критических нагрузок возрастают.

Основные результаты, выводы и рекомендации

1. В результате анализа общего выражения для касательно-модульной нагрузки бифуркации, предложенной A.C. Вольмиром, получены точные выражения для минимального значения нагрузки и соответствующих напряжений. Проведен анализ форм волнообразования при изгибе пластин и панелей в момент бифуркации. Получены формулы для предельных гибкостей, при которых напряжения и деформации при касательно-модульной нагрузке не превышают пределов упругости по напряжениям и деформациям.

2. Показано, что уровень пластических деформаций и картина волнообразования у пластин и цилиндрических панелей могут существенно отличаться. При одних и тех же отношениях b/h деформации в пластине при нагрузке бифуркации могут быть упругими, а в панелях в несколько раз превосходить предел упругости по деформациям. В отличие от прямоугольных пластин, в панелях при бифуркации в поперечном направлении может образоваться не одна, а несколько полуволн. При возрастании кривизны панели число полуволн в продольном направлении увеличивается по сравнению с пластинами.

3. Уравнения связи между напряжениями и деформациями записаны для пространственного напряженно-деформируемого состояния на основе теории упругопластических процессов Ильюшина-Зубчанинова. В них используются аппроксимации для функционалов процесса, предложенные В.Г. Зубчаниновым. Эти аппроксимации существенно упрощают решение задачи, поскольку имеют одинаковую структуру в зонах активного и пассивного нагружения.

4. Разработан программный комплекс (ПК) на основе метода конечных элементов (МКЭ) для проведения численного исследования процесса нагружения пластин и цилиндрических панелей. В ПК используется объемный изопараметрический конечный элемент, что позволяет вести расчет без введения гипотез Кирхгофа-Лява и рассматривать панели любой кривизны.

5. Получены кривые процесса нагружения квадратных шарнирно опертых по контуру упругопластических пластин и цилиндрических панелей под действием равномерно распределенной по поперечным краям сжимающей нагрузки. Исследовано влияние на процесс выпучивания относительного подъема оболочки f/b и гибкости b/h. Показано, что с увеличением отношения f/b и с уменьшением отношения b/h значения критических нагрузок возрастают. Во всех рассмотренных случаях, критические нагрузки (пределы устойчивости) не превышают касательно-модульной нагрузки бифуркации. Поэтому несущая способность рассмотренных пластин и панелей определяется указанной нагрузкой.

6. Показано, что цилиндрические панели очень чувствительны к начальным несовершенствам. Начальный прогиб существенно влияет на процесс нагружения оболочки и это влияние возрастает с увеличением ее гибкости. И всегда существует такое минимальное значение прогиба, при котором численное решение является устойчивым.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Лосев Ю.А. О применении метода конечных элементов для расчёта прямоугольных пластин и цилиндрических панелей (тезисы) // Научно-технические проблемы обеспечения качества производства товаров и услуг в Тверском регионе. Тезисы региональной научно-практической конференции (Тверь, 15-16 декабря 2003 г.). Тверь: ТГТУ, 2003. 52 с.

2. Володин В.П., Шабанов П.Г., Лосев Ю.А., Синев B.C. Пространственный упругий восьмиузловой изопараметрический геометрически нелинейный несогласованный конечный элемент // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения : Труды VI Междунар. конф. СПб.: Изд-во Полинехн. ун-та, 2005. 582 с. С 131 - 136.

3. Володин В.П., Шабанов П.Г., Лосев Ю.А., Синев B.C. Выпучивание цилиндрической панели при поперечном изгибе с учетом геометрической нелинейности // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения : Труды VI Междунар. конф. СПб.: Изд-во Полинехн. ун-та, 2005. 582 с. С 136- 138.

4. Шабанов П.Г., Лосев Ю.А. Влияние густоты сетки конечных элементов на точность решения // Вестник Тверского государственного технического университета: Научный журнал. Тверь: ТГТУ, 2005. Вып. 6. 152 с. С. 7-11.

5. Володин В.П., Лосев Ю.А., Зайцев А.В. Расчет жестко защемленной по контуру пластины, загруженной сосредоточенной силой методом конечных элементов // Вестник Тверского государственного технического университета: Научный журнал. Тверь: ТГТУ, 2005. Вып. 6. 152 с. С. 78-81.

6. Володин В.П., Шабанов П.Г., Лосев Ю.А. Пространственный вось-миузловой изопараметрический несогласованный конечный элемент // Сборник материалов VI Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" (30 июня - 2 июля 2005 г.). Тула: ТулГУ, 2005. 84 с. С. 6 -7.

7. Володин В.П., Лосев Ю.А. Выпучивание и устойчивость упругих цилиндрических панелей, сжатых в продольном направлении, с учетом геометрической нелинейности и больших деформаций // Тезисы докладов VI Международного научного симпозиума "Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела" (1 - 3 марта 2006 г.). Тверь: ТГТУ, 2006. 69 с. С. 15 -17.

8. Зайцев А.В., Лосев Ю.А. Нагрузки бифуркации для пологих цилиндрических панелей // Тезисы докладов VI Международного научного симпозиума "Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела" (1-3 марта 2006 г.). Тверь: ТГТУ, 2006. 69 с. С. 22 - 23.

9. Володин В.П., Лосев Ю.А. Исследование процесса выпучивания и устойчивости упругопластических цилиндрических панелей на базе современной концепции устойчивости В.Г. Зубчанинова // Сборник материалов VI Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" (29 июня -1 июля 2006 г.). Тула: ТулГУ, 2006. 60 с. С. 4 -5.

10.Лосев Ю.А. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения па базе теории упругопластических процессов В.Г. Зубчанинова // Вестник Тверского государственного технического университета: Научный журнал. Тверь: ТГТУ, 2005. Вып. 9. 180 с. С. 110-114.

П.Лосев Ю.А., Володин В.П. Программный комплекс для исследования выпучивания и устойчивости упругопластических систем // Программные продукты и системы: Международный научно-практический журнал. НИИ «Центрпрограммсистем», 2006. Вып. 4. 50 с.

Подписано к печати 7.02.07

Физ. печ. л. 1,25 Усл. печ. л.1,16 Уч. изд. л. 1,09

Тираж 100 экз._Заказ № 17_

Типография Тверского государственного технического университета. 170026, Тверь, наб. А. Никитина, 22

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР НАУЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА.

1.1. Развитие теории выпучивания и устойчивости сжатых элементов конструкций.

1.2.Обоснование выбора варианта теории пластичности для решения практических задач.

1.3.Современная концепция устойчивости В.Г. Зубчанинова.

2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ

2.1 .Варианты связи между деформациями и перемещениями.

2.2.Гипотеза компланарности. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения на базе теории уп-ругопластических процессов В.Г. Зубчанинова.

2.3.Постановка задачи.

2.4.Гипотеза единой кривой Роша и Эйхингера. Диаграмма деформирования материала.

2.5.Касательно-модульная нагрузка бифуркации для цилиндрических панелей.

3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ВЫПУЧИВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ).

3.1 .МКЭ. Основная концепция МКЭ. Преимущества и недостатки.

3.2.Дискретизация области. Разбиение области на конечные элементы. Нумерация узлов.

3.3.Конечный элемент. Аппроксимация поля перемещений.

ЗАУравнения метода конечных элементов. Матрица жесткости, узловых перемещений и усилий. Алгоритм численного исследования.

3.5.Реализация МКЭ на ЭВМ. Построение глобальной матрицы жесткости. Система линейных уравнений.

З.б.Общая блок-схема вычислений.

3.7. Применение численного интегрирования при определении матриц элемента.

4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЫПУЧИВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ПАНЕЛЕЙ.

4.1.Описание программного комплекса (ПК).

4.2.Решение тестовых задач

4.2.1. Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругих пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру.

4.2.2. Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости уп-ругопластических пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру.

4.3.Экспериментальное исследование выпучивания и устойчивости упругопластических квадратных пластин.

4.3.1. Образцы для испытаний, механические свойства материала испытуемых пластин.

4.3.2. Методика проведения экспериментальных исследований. Сопоставление результатов эксперимента с теоретическими расчетами.

4.4. Результаты численного исследования процесса выпучивания и устойчивости упругих и упругопластических прямоугольных в плане пластин и пологих цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру.

4.4.1. Исследование влияния густоты сетки КЭ на точность численного решения задачи.

4.4.2. Исследование влияния начального прогиба на поведение пластин и цилиндрических панелей.

4.4.3. Исследование влияния стрелы подъема на поведение пластин и цилиндрических панелей.

4.4.4. Исследование влияния гибкости на поведение пластин и цилиндрических панелей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ.

В условиях современной рыночной экономики большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности научно-исследовательских работ, ускорению внедрения их результатов в промышленное производство. Главной целью научных исследований должно быть повышение несущей способности элементов конструкций и сооружений, снижение их материалоемкости и себестоимости при одновременном обеспечении надежности и долговечности. Одним из путей для достижения этой цели является усовершенствование методов расчета, т.к. все создаваемые инженерные сооружения требуют предварительного расчета, обеспечивающего надежность и долговечность их эксплуатации.

На решение этих задач направлено современное развитие и совершенствование механики деформируемого твердого тела (МДТТ).

Современные конструкции, применяемые в строительной индустрии, машиностроении, авиастроении, кораблестроении и т.п. состоят, как правило, из основных конструктивных элементов: стержней, пластин и оболочек (в частности цилиндрических панелей). Пологие цилиндрические панели входят в состав различных конструкций (крыла самолета, корпуса корабля, кузова вагона и т.д.) обычно в виде панелей обшивки, усиленных подкрепляющими ребрами. Обшивка в этих конструкциях воспринимает вместе с другими элементами основные усилия (от общего изгиба крыла самолета, корпуса судна или вагона и т.п.). Во многих случаях эти усилия могут вызвать сжатие, изгиб либо сдвиг панели в ее плоскости и привести, при известных условиях, к ее выпучиванию и потере устойчивости. Поэтому расчет цилиндрических панелей на устойчивость представляет собой неотъемлемую часть общего расчета конструкции.

Цилиндрические панели, подкрепленные по краям, способны и после начала выпучивания нести возрастающую нагрузку. Следовательно, инженера должно интересовать не только явление начала выпучивания панели, но и ее дальнейшее поведение, поскольку при возрастании нагрузки основная ее часть начнет передаваться на подкрепляющие элементы, что вызовет в них быстрый рост напряжений.

Многие цилиндрические панели, входящие в состав конструкций и сооружений (при значительной пологости эти оболочки применяются в качестве междуэтажных перекрытий), имеют относительно небольшие размеры в плане и относительно большую толщину. Исследование устойчивости таких пластин может быть проведено лишь с использованием теории пластичности. Учет упругопластической стадии деформирования значительно повышает надежность инженерного расчета даже тогда, когда панель работает в пределах упругости.

Таким образом, исследование процесса выпучивания прямоугольных упругопластических цилиндрических панелей имеет весьма важное практическое значение для выяснения их истинной несущей способности и поэтому является актуальным. Это и является целью данной работы.

Поставленная задача решается на базе концепции устойчивости, разработанной В.Г. Зубчаниновым. Поэтому при решении исследуется процесс на-гружения панели, начиная от исходного состояния и вплоть до момента потери устойчивости. Для исследования процесса нагружения производится учет геометрической нелинейности и больших деформаций. Геометрическая нелинейность учитывается при помощи использования тензора Лагранжа-Грина, который связывает деформации точек конструкции с их перемещениями.

В качестве основного варианта, связь между напряжениями и деформациями описывается на базе теории упругопластических процессов Ильюшина - Зубчанинова в рамках гипотезы компланарности. Все зависимости гипотезы компланарности записываются для общего случая объемного напряженно-деформированного состояния (НДС). В этом случае выявлена необходимость учета сжимаемости материала в виде гипотезы об упругом изменении объема.

Учет геометрической нелинейности имеет ряд преимуществ. Во-первых, в отличие от линейной задачи, в которой по существу определяются только бифуркационные значения нагрузок, нелинейный подход позволяет исследовать процесс нагружения. Во-вторых, в отличие от линейной задачи, в которой рассматриваются только идеальные конструкции, нелинейный подход позволяет исследовать конструкции любой конфигурации с любыми начальными несовершенствами. В-третьих, именно нелинейная постановка дает возможность получить максимально приближенные к действительности значения критических нагрузок, что имеет большое значение для инженерной практики.

Решение геометрически и физически нелинейных задач о нагружении оболочек возможно только численными методами. Поэтому рассматриваемая задача решается методом конечных элементов (МКЭ) как пространственная задача МДТТ [20, 21, 22, 24, 25]. Для ее решения сконструирован пространственный восьмиузловой изопараметрический геометрически нелинейный конечный элемент [23, 25]. МКЭ на сегодняшний день является одним из наиболее эффективных методов решения задач механики деформируемого твердого тела, который позволяет моделировать конструкции практически любой конфигурации.

Применение МКЭ, в котором используется объемный КЭ, дает возможность отказаться от традиционных в таких задачах гипотез Кирхгофа-Лява. В этом случае имеет место общее объемное НДС, при котором в тензорах напряжений и деформаций присутствуют все компоненты. Присутствие всех компонент значительно усложняет задачу и увеличивает объем вычислений. Кроме того, в этом случае необходимо учитывать сжимаемость материала, что вносит дополнительные трудности.

Таким образом, в работе предпринята попытка подойти к задаче о выпучивании и устойчивости конструкций с общих позиций, привлекая минимум упрощающих гипотез и используя по возможности самые общие соотношения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

1. В результате анализа общего выражения для касательно-модульной нагрузки бифуркации, предложенной А.С. Вольмиром, получены точные выражения для минимального значения нагрузки и соответствующих напряжений. Проведен анализ форм волнообразования при изгибе пластин и панелей в момент бифуркации. Получены формулы для предельных гибкостей, при которых напряжения и деформации при касательно-модульной нагрузке не превышают пределов упругости по напряжениям и деформациям.

2. Показано, что уровень пластических деформаций и картина волнообразования у пластин и цилиндрических панелей могут существенно отличаться. При одних и тех же отношениях b/h деформации в пластине при нагрузке бифуркации могут быть упругими, а в панелях в несколько раз превосходить предел упругости по деформациям. В отличие от прямоугольных пластин, в панелях при бифуркации в поперечном направлении может образоваться не одна, а несколько полуволн. При возрастании кривизны панели число полуволн в продольном направлении увеличивается по сравнению с пластинами.

3. Уравнения связи между напряжениями и деформациями записаны для пространственного напряженно-деформируемого состояния на основе теории упругопластических процессов Илыошина-Зубчанинова. В них используются аппроксимации для функционалов процесса, предложенные В.Г. Зубчаниновым. Эти аппроксимации существенно упрощают решение задачи, поскольку имеют одинаковую структуру в зонах активного и пассивного нагружения.

4. Разработан программный комплекс (ПК) на основе метода конечных элементов (МКЭ) для проведения численного исследования процесса нагружения пластин и цилиндрических панелей. В ПК используется объемный изопараметрический конечный элемент, что позволяет вести расчет без введения гипотез Кирхгофа-Лява и рассматривать панели любой кривизны.

5. Получены кривые процесса нагружения квадратных шарнирно опертых по контуру упругопластических пластин и цилиндрических панелей под действием равномерно распределенной по поперечным краям сжимающей нагрузки. Исследовано влияние на процесс выпучивания относительного подъема оболочки f/b и гибкости b/h. Показано, что с увеличением отношения f/b и с уменьшением отношения b/h значения критических нагрузок возрастают. Во всех рассмотренных случаях, критические нагрузки (пределы устойчивости) незначительно отличаются от касательно-модульной нагрузки бифуркации. Поэтому несущая способность рассмотренных пластин и панелей определяется указанной нагрузкой.

6. Показано, что цилиндрические панели очень чувствительны к начальным несовершенствам. Начальный прогиб существенно влияет на процесс нагружения оболочки и это влияние возрастает с увеличением ее гибкости. И всегда существует такое минимальное значение прогиба, при котором численное решение является устойчивым.

1. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояний равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии // Прикл. ма-тем. и мех. 1949. Т. 13, № 1, с. 95-106.

2. Алумяэ Н.А. О представлении основных соотношений нелинейной теории оболочек//Прикл. матем. и мех. 1956. Т.20, №1. с. 136-139.

3. Алумяэ Н.А. Об аналогии между геометрическими и статическими соотношениями нелинейной теории оболочек. // Изв. АН ЭстССР. 1955. Т.4, №2. с. 230-232.

4. Арбузов В.Н. Устойчивость сжатых прямоугольных пластинок с различными граничными условиями за пределом пропорциональности // Изв. вузов. Авиац. техн. 1958. - №4. - C.36.-50.

5. Бийлаард П. Теория пластической устойчивости и ее приложение к тонким стальным пластинкам//Теория пластичности: Сб. статей. М.: ИЛ, 1948.-С. 392-404.

6. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. М.: Физматгиз, 1959.- 544 с.

7. Болотин В.В. О понятии устойчивости в строительной механи-ке//Пробл. устойч. в строит, мех,- М.: Стройиздат, 1965.-С.6-27.

8. Болотин В.В., Григолюк Э.И. Устойчивость упругих и неупругих систем //Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1972. - Т. 3. - С. 325-363.

9. Бондарь B.C., Фролов А.Н. Математическое моделирование процессов неупругого поведения и накопления повреждений материалов при сложном нагружении //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. -№ 6.-С. 99-107.

10. Броуде Б.М. Потеря устойчивости как предельное состояние//Строит. мех. и расчет сооруж. 1970. - № 6.

11. Броуде Б.М. Теория устойчивости и принципы расчета конструкций // Пробл. устойч. в строит, мех. М.: Стройиздат, 1965. - С. 28-43.

12. Будянский Б., Хатчинсон Дж. Выпучивание: достижения и проблемы //Механика деформируемых твердых тел. Направления развития: Сб. статей. М.: Мир, 1983. - С. 121-150.

13. Вавакин А.С., Васин Р.А., Викторов В.В. и др. Экспериментальное исследование упругопластического деформирования стали при сложном нагружении по криволинейным пространственным траекториям. -М.: 1986.-67 с. Деп. в ВИНИТИ, 16.10.86, №7298-В86.

14. Васин Р.А. Определяющие соотношения теории пластичности//Итоги науки и техники МДТТ. Т. 21. - М: ВИНИТИ, 1990. - С. 3-75.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Гостехтеориздат, 1949 г. - 784 с.

16. Власов В.З. Общая теория оболочек. М.: Гостехиздат, 1949. Избранные труды. Т.1. Ч.Ш. - М.: АН СССР, 1962.

17. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикл. матем. и мех. 1944. Т.8, №2, с. 109 140.

18. Володин В.П. Выпучивание и устойчивость прямоугольных упругопластических пластин. Канд. дисс., Калинин, 1986.

19. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: ГИТТЛ, 1956.-419 с.

20. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. - 984 с.

21. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

22. Гараников В.В. Упругопластическая устойчивость прямоугольных пластин при сложном нагружении. Канд. дисс., Калинин, 1982.

23. Гараников В.В., Зубчанинов В.Г., Лотов В.Н. Влияние докритического пути нагружения на устойчивость упругопластических пластин//ХП Всес. конф. по теории оболочек и пластин, Ереван, июнь 1980г. Ереван, 1980. - Т.2. - С.25-30.

24. Гараников В.В., Зубчанинов В.Г., Охлопков H.JI. Сложное деформирование металлов по плоским криволинейным траекториям переменной кри-визны: материалы 4 международного симп. Тверь, 16 19 июня 1998 г. - Тверь, ТГТУ, 1999. - С. 77-87.

25. Гараников В.В., Лотов В.Н. Экспериментальное исследование процесса выпучивания пластин//Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела: Материалы Всес. симп. Калинин: КГУ, 1982.-С. 33-39.

26. Григолюк Э.И. Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.,: Наука, 1997. - 272с.

27. Григолюк Э.И. О выпучивании тонких оболочек за пределом упругости //Изв. АН СССР,ОТН.- 1957.-№ 10.-С. 3-11.

28. Григолюк Э.И. Теоретические и экспериментальные исследования устойчивости оболочек за пределом упругости//Итоги науки. Механика: Упругость и пластичность, 1964. М.: ВИНИТИ, 1966. - С. 7-80.

29. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-360 с.

30. Гудрамович B.C. Устойчивость и несущая способность пластических обо-ло-чек//Прочность и долговечность конструкций. Киев: Наукова Думка, 1980.-С. 15-32.

31. Гудрамович B.C. Устойчивость и предельные состояния упругопластических систем // Устойчивость и пластич. В мех. деформир. тверд, тела: Ма-тер. 3 Симп., Тверь, 3-5 сент., 1992. Ч. 1. Тверь, 1992. - С. 159-178.

32. Давранов Ю. Численные эксперименты в методе СН-ЭВМ//Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1983. - 171 с.

33. Давыдов B.C. Выпучивание упругих и упругопластических стержней при переходе в пространственные закритические формы: Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1978. - 176 с.

34. Дао Зуй Бик. Экспериментальная проверка упрощенных вариантов теории пластичности//Вестник МГУ. Математика, механика. 1966. - № 1. -С. 107-118.

35. Доннелл Л.Г. Балки, пластины, оболочки. М.: Наука, 1982,- 567 с.

36. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ. под ред. Б.Е. Победри. М., "Мир". 1975. 543 с.

37. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. /Пер. с англ. под ред Н.С. Бахвалова. М.: Мир, 1986, 318с.

38. Зубчанинов В.Г. К проблеме неустойчивости упругопластических систем // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. - № 2. - С. 109115.

39. Зубчанинов В.Г. , Гараников В.В., Лотов В.Н. Влияние сложного док-ритического пути нагружения на устойчивость упругопластических пластин//Труды XII Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван, 1980.-С.-25-30.

40. Зубчанинов В.Г. Актуальные проблемы теории пластичности и устой-чивости//Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого те-ла: Материалы 3 симп. Ч. 1. Тверь: ТвеПИ, 1992. - С. 1094.

41. Зубчанинов В.Г. К вопросу использования общей математической теории пластичности в теории устойчивости//Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Материалы Всес. симп. Калинин: КГУ, 1982.-С. 100-117.

42. Зубчанинов В.Г. Математическая модель пластического деформирования материалов при сложном нагружении // Проблемы прочности и пластичности, Межвуз. сб. ННГУ. 2005, вып. 67. С. 5-13.

43. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности. Тверь: ТГТУ, 2002. - 300 с.

44. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. Тверь: ТГТУ, 2000. - 703 с.

45. Зубчанинов В.Г. Модифицированная теория устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости/УАктуальные проблемы механики оболочек: Сб. научн. тр. Казань: КАИ, 1985. - С. 20-29.

46. Зубчанинов В.Г. О законах теории упругопластических процессов при сложном нагружении в плоских задачах//Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. Киев: НауковаДумка, 1986.-С. 110-117.

47. Зубчанинов В.Г. О концепции неупругой устойчивости//Упругость и неупругость. М.: МГУ, 1975. - Вып. 4. - С. 267.

48. Зубчанинов В.Г. О процессе выпучивания цилиндрических оболочек при осевом сжатии//Вопросы механики: Труды Калининского политехи. ин-та. 1972. Вып. 15(13). - С. 91-99.

49. Зубчанинов В.Г. О современных проблемах неупругой устойчиво-сти//Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Материалы Всес. симп. Калинин: КГУ, 1981. - С. 12-60, 139-158.

50. Зубчанинов В.Г. Об определяющих соотношениях теории упругопластических процессов//Прикл. мех. 1989. - Т. 25- С. 3-12.

51. Зубчанинов В.Г. Об определяющих функциях процессов пластического деформирования//Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении. Тверь: ТГТУ, 1998. - С. 3-26.

52. Зубчанинов В.Г. Об у пругоп ласти ческой устойчивости пластин//Инж. журнал. 1965. - Т. 5, вып. 2. - С. 299-305.

53. Зубчанинов В.Г. Обзор исследований по устойчивости элементов конструкций за пределом упругости//Вопросы механики: Труды Калининского политехи, ин-та. 1974. Вып. 26(13). - С. 3-14, 21 - 28.

54. Зубчанинов В.Г. Общая теория устойчивости оболочек и пластин за пределом упругости при сложном нагружении//Современные проблемы прочности, пластичности и устойчивости: Материалы V международного научного симп. Тверь: ТГТУ, 2001. - С. 3-18.

55. Зубчанинов В.Г. Определяющие соотношения общей теории пластич-ности//Устойчивость и пластичность при сложном нагружении: Меж-вуз. сб. научн. тр. Тверь: ТГТУ, 1994. - С. 14-37.

56. Зубчанинов В.Г. Определяющие соотношения теории упругопластических процессов//Прикл. мех. 1991.-Т. 27.- С. 3-13.

57. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

58. Зубчанинов В.Г. Послебифуркационное поведение прямоугольной пластинки за пределом упругости//Теория пластин и оболочек. М.: Паука, 1971.-С. 85-89.

59. Зубчанинов В.Г. Сложное нагружение в пластинах при выпучивании за пределом упругости//Теория оболочек и пластин: Труды VIII Всес. конф. по теории оболочек и пластин (Ростов-на-Дону, 1971). М.: Наука, 1973. - С. 130-133.

60. Зубчанинов В.Г. Теория выпучивания и устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости при сложном нагружении//Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела: Мат-лы 3 симп. Ч. 2. -Тверь: ТвеПИ, 1993.- С. 3-33.

61. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и выпучивание упругопластических систем при сложном нагружении // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Материалы 2 Всес. симп. Калинин: КГУ, 1986. -С. 10-54.

62. Зубчанинов В.Г. Устойчивость. 4.1. - Тверь: ТвеПИ, 1995. - 200 с. -4.2. - Тверь: ТГТУ, 1996. - 192 с.

63. Зубчанинов В.Г. Экспериментальное исследование и обоснование теории упругопластических процессов//Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела: Материалы 3 симп. Ч. 1. -Тверь: ТвеПИ, 1992. С. 94-159.

64. Зубчанинов В.Г. Экспериментальное исследование процесса потери устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии//Инж. журнал. 1965. - Т. 5, вып. 3. - С. 583-586.

65. Зубчанинов В.Г., Охлопков H.JI. Об устойчивости тонкостенных оболочек при сложном докритическом нагружении//Изв. вузов. Строительство. 1997.-№6.-С. 27-34.

66. Зубчанинов В.Г., Охлопков H.J1. Устойчивость цилиндрических оболочек при сложном нагружен и и//Труды XV Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Казань: КГУ, 1990. - С. 426-431.

67. Зубчанинов В.Г., Охлопков H.JL, Субботин C.JI. Устойчивость тонкостенных элементов конструкций за пределом упругости с учетом сложного нагружения//Изв. вузов- 1995. № 11.-C. 26-32.

68. Ивлев. Д.Д. О деформационных теориях пластичности//Проблемы гидродинамики и мех. сплош. среды. М., 1969. - С.233-239.

69. Игнатьев О.В., Туруева М.А Устойчивость пологих сферических оболочек, подкрепленных часто расположенными ребрами рассматривается // Мех. деформир. сред. 1993. -№ 11. - С. 113-119.

70. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1971. - 248 е.; 3-е изд.-М.: МГУ, 1990.-310 с.

71. Ильюшин А.А. О связи между напряжениями и деформациями в механике сплошных сред//Прикл. матем. и мех. 1954. - Т. 18, № 6. - С. 641-666.

72. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: АН СССР, 1963.-272 с.

73. Ильюшин А.А. Пластичность. Упругопластические деформации. М.-JI.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

74. Ильюшин А.А. Вопросы общей теории пластичности //Прикл. матем. и мех. 1960.-Т. 24, №3.-С. 399-411.

75. Ильюшин А.А. Метод СН-ЭВМ в теории пластичности//Проблемы прикл. математики и механики.-М.: Наука, 1971.-С. 166-179.

76. Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории пластично-сти//Вопросы теории пластичности. М.: АН СССР. - 1961.

77. Ильюшин А.А. Общая характеристика проблемы неупругой устойчивости в механике деформируемого твердого тела // Устойчивость в мех. деформирем. тв. тела: Матер. Всес. симпоз., Калинин, сент. 1981 г. -Калинин, 1981.-С.4-11.

78. Ильюшин А.А. Упругопластическая устойчивость пластин//Г1рикл. матем. и мех. 1946. - Т. 10, № 5-6. - С. 623, 638.

79. Ильюшин А.А. Устойчивость пластинок и оболочек за пределом упругости // ПММ. 1944. - Т.8. - №5. - С.337-360.

80. Ильюшин А.А., Зубчанинов В.Г. Пластичность и устойчивость// Мех. деформ. тв. тела. Тула, 1983. - С. 8-21.

81. Ильюшин А.А., Ленский B.C. О соотношениях и методах современной теории пластичности // Успехи механики деформируемых сред. М., 1975. - С.240-255.

82. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения //Прикл. матем. и мех. 1958. - Т. 22, № 1.-С. 78-89.

83. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - 420 с.

84. Клюшников В.Д. Устойчивость упругопластических систем. М.: Наука, 1980.-240 с.

85. Клюшников В.Д. Бифуркация процесса деформирования и концепция продолжающегося нагружения//Изв. АН СССр. Мех. ТВ. тела. 1972. -№5.-С. 16-20.

86. Клюшников В.Д. Неустойчивость пластических конструкции/Механика: Новое в зарубежной науке. Проблемы пластичности. -М.: Мир, 1976. № 7. - С. 148-177.

87. Клюшников В.Д. Особые точки процессов деформирования сложных сред//Изв. АН СССР. МТТ. 1980. - № 1. - С. 95-102.

88. Клюшников В.Д. Устойчивость процесса сжатия идеализированной пластинки // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1966. - № 4. - С. 28-36.

89. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М., Наука, 1964. 192 с.

90. Коротких Ю.Г., Маковкин Г.А Анализ непропорциональных упругопластических процессов пластинах и оболочках.// Тр. 16 Междунар. Конф. По тео-рии оболочек и пластин, Нижний Новгород, 21-23 сент., 1993. Т.З. Н.Новгород, 1994. - С. 118 - 123.

91. Кравчук А.С. О методе последовательных приближений в теории пластичности при сложном нагружении//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1970.-№4.- С. 188-191.

92. Кудинов А.Н., Васильев А.А. Однополевые модели устойчивости подкрепленной шпангоутами цилиндрической оболочки при внешнем давлении //Физ. мех./ ТГУ. Тверь, 1993. - С. 50-53.

93. Куршин JI.M. О постановках задачи устойчивости в условиях ползучести (Обзор)//Механика. Новое в зарубежной науке. Проблемы теории пластичности и ползучести. М.: Мир, 1979. - С. 246-302.

94. Куршин JI.M. Устойчивость при ползучести//Изв. АН СССР. МТТ. -1978. -№3. С. 125-160.

95. Ленский B.C. Введение в теорию пластичности. М.: МГУ. - Т.1, 1968. - 109 с.-Т. 2, 1969.-91 с.

96. Ленский B.C. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности //Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. - № 5. - С. 154-158.

97. Лепик Ю.Р. О равновесии гибких пластинок за пределом упругости //Прикл. матем. и мех. 1957. - Т. 21, № 6. - С. 833-842.

98. Лепик Ю.Р. Об устойчивости упругопластической прямоугольной пластинки, сжатой в одном направлении//ПММ. 1957. - Т.21. - Вып.5. -С.722-724.

99. Лепик Ю.Р. Равновесие гибких упругопластических пластинок при больших прогибах//Инж. сб. 1957. - Т. 24. - С. 37-51.

100. Лепик Ю.Р., Сакков Э.Э. Исследование закритической стадии пластин, потерявших устойчивость за пределом упругости//Механика полимеров. 1968.-№5.

101. Лотов В.Н. Установка для испытания на устойчивость прямоугольных пластинок при сжатии в двух направлениях. В кн.: Вопросы механики. Калинин, 1979, вып.9, с. 149-153.

102. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М., Стройиз-дат, 1978.-208 с.

103. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения//Собрание сочинений. Т. 2. М.: АН СССР, 1956. - С. 13-14.

104. Малмейстер А.К. Основы теории локальности деформаций //Мех. полимеров.- 1965.-№4. -С. 12-27.

105. Малый В.И. Об упрощении функционалов теории упругопластических процессов //Прикл. мех. 1978. - Т. 14, № 3. - С. 19-27.

106. Малый В.И., Аляутдинов М.И., Куликов В.Л. Задача о повышении предельной нагрузки для центрально сжатых двутавровых стержней/АГез. докл. VIII Всес. конф. по прочности и пластичности. Пермь, 1983. - № 2.-С. 114.

107. Мильцин A.M. Нелинейное взаимодействие технологических несовершенств и их влияние на устойчивость тонкостенных оболочек // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1993.-№ 1.-С. 178-184.

108. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Ка-зань: Таткнигоиздат, 1957.

109. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: Иностранная литература, 1954. - 647 с.

110. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. JL-М.: Госстройиздат, 1966. 303с.

111. Никиреев В.М., Шадурский B.J1. Практические методы расчета оболочек. М.: Госстройиздат, 1966. 271с.

112. Николаев А.П. К исследованию устойчивости прямоугольной пластинки с учетом сжимаемости материала за пределом упругости//Прикл. мех. 1968. - Т.4. - Вып.З. - С.65-69.

113. Новожилов В.В. О классе сложных нагружений, который характеризуется сохранением направления главных осей//ПММ. 1954. - Т. 18. -Вып.4.-С415-424.

114. Овчинников И.Г., Федоров М.В. Циклическое деформирование пологих оболочек в условиях коррозионного износа/ Сарат. гос. тех. ун-т. -Саратов, 1993.-22 с.

115. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М., Изд-во Мос-ковск. ун-та, 1969. 695 с.

116. Онат Е., Друкер Д. Неупругая потеря устойчивости и теория течения/Механика. Период, сб. перев. ин. статей. 1955. - №3. - С.21.

117. Охлопков H.JI. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек при сложном докритическом нагружении//Актуальные проблемы теории пластичности и устойчивости. Тверь: ТвеПИ, 1991. - С. 86-92.

118. Панкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля: В 4-х кн. -JI.: Судпромгиз, 1962-1963. Кн.4.: Устойчивость стержней, перекрытий и пластин. 1963. - 551 с.

119. Побежимова Т.Д. Применение метода вариационных суперитераций к исследованию упругопластического деформирования пологих оболочек.// Побл. Теории пластин, оболочек и стержневых систем/Сарат. Политехи. Ин-т. Саратов, 1992. - С. 41 - 47.

120. Прагер Н. Новая математическая теория пластичности //Прикл. матем. и мех. 1941.-Т.24,№3.

121. Работнов Ю.Н. Локальная устойчивость оболочек. // Докл. АН СССР. Но-вая серия. 1946. Т.52, №2. с. 111-112.

122. Райков Е.А. Упругопластическое деформирование гибких панелей при комбинированном нагружении. Диссертация на соискание ученой степени к.т.н. Куйбышев, 1990 г. 174с.

123. Рангелов Н. Поведение в предельном состоянии сжатых стальных пластин с начальными несовершенствами/ Год. Висш. инст. архит. и строит., София. 1993. - 37 № 5. - С 107-123.

124. Рейсе Е. Учет упругой деформации в теории пластичности//Теория пластичности. М.: Иностранная литература, 1948. - С. 206-222.

125. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

126. Столяров Н.Н., Тарасов А.П. Единообразное представление и аппроксимация экспериментальных данных по связи напряжений и деформаций на двузвенных траекториях // Прочность и надежность конструкций. Куйбышев, 1981. - С. 111-127.

127. Сторожук Е.А. О применении метода конечных элементов к решению двумерных упругопластических задач для оболочек с отверстиями / Докл. АН Украины. 1993. - № 10. - С. 79-83.

128. Стоуэл Э., Хаймерль Д., Либав Ш., Ландквист Е. Критические напряжения для плоских пластинок и профилей // Механика, период, сб. пе-рев. ин. статей. 1952. - №3(13). - С.92-113.

129. Субботин С.Л. Выбор метода решения уравнений равновесия в задачах упругопластического деформирования //Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела: Материалы 3 симп. Ч. 3. -Тверь: ТвеПИ, 1993. С. 136-140.

130. Субботин С.Л. Проблема сходимости метода СН-ЭВМ в численном эксперименте//Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении: сб. научн. тр. Тверь: ТГТУ, 1998.-С.68-75.

131. Тетере Г.А. Об устойчивости пластинок, работающих за пределом упругости в условиях сложного нагружения // Изв. АН Латв. ССР. 1963. -№3.-С.87-94.

132. Тетере Г.А. Сложное нагружение и устойчивость оболочек из полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1969. - С.340-348.

133. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972.- 508 с.

134. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.- 808 с.

135. Тимошенко С.П. К вопросу об устойчивости сжатых пластинок//Изв. Киевского политехи, ин-та. 1907. - Кн. 2. - С. 35-94.

136. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М. - JI.: ГИТТЛ. 1946.- 532 с.

137. Толоконников Л.А. О влиянии сжимаемости материала на упругопла-стическую устойчивость пластин и оболочек//Вестник МГУ. Сер. матем., мех., астрономия. 1949. - № 6. - С. 71-78.

138. Толоконников Л.А. Теория устойчивости пластинок при упругопластических деформациях// Уч. зап. Ростовского-на-Дону гос. ун-та. 1955. -Т. 32, вып. 4.-С. 105-129.

139. Толоконников Л.А., Ульченков В.Э. Устойчивость пластин, подвергающихся воздействию агрессивных сред // Исслед. в обл. теории, тех-нол. и оборуд. штамповоч. пр-ва/ Тул. политехи, ин.-т Тула. 1992. - С. 46-50.

140. Томпсон Дж. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985.- 254 с.

141. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем // ПММ. -1963. Т.27. - Вып.2. - С.265-274.

142. Феодосьев В.И. Применение шагового метода к анализу устойчивости сжатого стержня // ПММ. 1963. - Т.27. - Вып.5. - С.833-842.

143. Фын Юань-Чжен, Секлер Е. Неустойчивость тонких упругих оболо-чек//Упругие оболочки.-М.:Иностранная лит-ра,1962.-С.66-150.

144. Хатчинсон Дж., Койтер В. Теория послекритического поведения конструкций// Механика. Период, сб. перев. ин. статей. - 1971. - №4. -С. 129-149.

145. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968.-400 с.

146. Хилл Р. О единственности и устойчивости в теории конечных упругопластических деформаций // Механика: Сб. перев. 1958. -№ 3(49). - С. 53-65.

147. Хофф Н. Обзор теорий выпучивания при ползучести//Механика. Сб. перев. 1960. - № 1.

148. Хофф Н. Продольный изгиб и устойчивость. М.: Иностранная литература, 1955. - 154 с.

149. Шабанов П.Г., Лосев Ю.А. (науч. рук. доцент Володин В.П.) Влияние густоты сетки конечных элементов на точность решения // Вестник Тверского государственного технического университета: Научный журнал. Тверь: ТГТУ, 2005. Вып. 6. 152 с. С. 7 - 11.

150. Эдельман Ф. О совпадении решений теории пластичности, основанных на теории приращения деформаций и теории деформаций//Механика. Период, сб. перев. ин. статей. 1954. - №3. - С. 113-122.