Предельные состояния и оптимальное проектирование неоднородных элементов конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

СП СП

!

На правах рукописи

ВОХМЯНИН Иван Тимофеевич

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

/Я- -

НОВОСИБИРСК - 1998г.

Работа выполнена в Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете.

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор Немировский Ю.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Терегулов И.Г.

доктор технических наук, профессор Кабанов В.В.

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Шваб A.A.

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред УрО РАН

Защита состоится " ptals " г. в 14-00 на заседании

диссертационного совета Д 003.22.01 в Институте теоретической и прикладной мехалики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1, ИТПМ СО РАН. Факс: (3832) 35-22-68

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного сове'

д.ф.-м.н.,

ст. научн. сотр. Самсонов В.И.

Актуальность проблемы. Развитие современной техники невозможно без полного использования ресурсов прочности создаваемых конструкций. Ограниченность механических характеристик, дефицит и дороговизна материалов вызывают необходимость исследований предельных состояний и создания на их основе методов оптимального и рационального проектирования неоднородных изотропных и анизотропных элементов конструкций (оболочек, пластин, стержней). В новейших областях техники и отраслях стройиндустрии все больше применяются, с целью повышения несущей способности, конструктивно-неоднородные оболочки и пластинки, структурные элементы которых выполнены из разных, по механическим свойствам, материалов. В связи с запросами практики авиастроения, ракетостроения, возведения космических объектов, судостроения, энергетического и транспортного машиностроения, промышленного и гражданского строительства, возникает потребность разработки новых теорий устойчивости, несущей способности и оптимального проектирования упругих и неупругих физически неоднородных и конструктивно-неоднородных элементов конструкций.

Состояние исследования проблемы. В настоящее время достигнуты значительные успехи в исследованиях основных предельных состояний, положенных в основу методов расчета конструкций. Несущая способность и устойчивость упругих и неупругих оболочек в предположении безмоментностя докритического состояния изучены в работах Кармана Т., Шенли Ф., Ильюшина A.A., Работнова Ю.Н., Григолюка Э.И. Теория предельного равновесия жесткопластических пластин и оболочек развита Гвоздевым A.A., Марковым A.A., Праге-ром В., Ходжем Ф.Г., Друкером Д., Шилдом Р., Работновым Ю.Н., Ильюшиным A.A., Ивлевым Д.Д., Немировским Ю.В. и другими учеными. Созданию теории оптимального проектирования слоистых упругих элементов конструкций по критерию равнопрочности посвящены исследования Немировского Ю.В. Общие теории устойчивости, с учетом моментности докритичсхого напряженного состояния, несущей способности и оптимального проектирования физически неоднородных и конструктивно-неоднородных упругих и неупругих элементов конструкций отсутствуют.

Цель настоящей работы состоит в создании: 1) теории устойчивости, несущей способности и выпучивания упругопластических конструктивно-неоднородных оболочек и пластин, с учетом моментности

дохритического состояния; 2) теорий предельного равновесия и оптимального проектирования жесткопластических элементов конструкций минимального объема с учетом всех компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций; 3) теории оптимального проектирования равнопрочных слоистых упругих балок минимального веса или стоимости.

Научная новизна. Разработаны новые завершенные теории: несущей способности, устойчивости и выпучивания конструктивно-неоднородных пластин и оболочек за пределом упругости, с учетом мо-ментности докритического состояния; предельного равновесия жесткопластических однородных и неоднородных пластин и оболочек; оптимального проектирования жесткопластических однородных и неоднородных изотропных и анизотропных пластин и оболочек минимального объема; оптимального проектирования слоистых равнопрочных упругих балок минимального веса или стоимости.

Практическую ценность составляют: 1) методы определения критических нагрузок конструктивно-неоднородных упругопластиче-ских пластин и оболчек для применения их в новейших областях техники и отраслях стройиндустрии; 2) условия текучести в координатной форме в пространстве обобщенных усилий и моментов, а также критерии, постановки и методы решения задач предельного равновесия и оптимального проектирования жесткопластических однородных и неоднородных пластин и оболочек; 3) методы оптимального проектирования равнопрочных слоистых статически неопределимых упругих балок минимального веса или стоимости.

Основная часть работы выполнена в Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете по госбюджетным темам: "Разработка численных методов решения задач изгиба и устойчивости конструктивно-неоднородных пластин и оболочек за пределом упругости" (N0. ГР 74010735); "Исследование напряженно-деформированного состояния сыпучей среды, строительных конструкций и оборудования" (N0. ГР 2880016155); "Разработка метода расчета и исследование напряженно-деформированного состояния изотропных и композитных линейчатых оболочек и балок" (N0. ГР 01940009350, Государственная программа "Строительство") и др.

Достоверность основных результатов обеспечена: 1) корректностью постановок рассматриваемых задач и методов их решения; 2) предельными переходами от предложенных моделей физически неоднородных и конструктивно-неоднородных оболочек к известным рас-

четным моделям в теории тонких однородных оболочек; 3) согласованием полученных теоретических результатов определения предельных нагрузок и оптимальных проектов с известными в научной литературе экспериментальными данными; 4) использованием апробированных численных методов решения задач математической физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 7-ой Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Днепропетровск, 1969), научном семинаре по теории упругости и пластичности НГУ (Новосибирск, 1971), 27-54 научно-технических конференциях НГАСУ (Новосибирск, 1971-1997), 13-ой Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 1994), конференции "Расчетные методы механики деформируемого твердого тела" СГУПС (Новосибирск, 1995), межрегиональном семинаре "Проблемы оптимального проектирования сооружений" (НГАСУ, Новосибирск, 1996), Всероссийском семинаре " Проблемы оптимального проектирования сооружений" (НГАСУ, Новосибирск, 1997), региональной научно-технической конференции КрасГАСА (Красноярск, 1997), 15-ой Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 1997), научно-технической конференции "Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций" (Новосибирск, Государственный Сибирский научно-исследовательский институт авиации имени академика С.А.Чаплыгина, 1997), научном семинаре НГТУ (Новосибирск, 1997), научном семинаре СГУПС (Новосибирск, 1997), научном семинаре ТГАСУ (Томск, 1997), научном семинаре Института гидродинамики имени академика М.А.Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 1997), научном семинаре "Модели механики сплошной среды" НГАСУ (Новосибирск, 1997), научном семинаре "Теоретическая и прикладная механика" ИТПМ СО РАН (Новосибирск, 1997).

Публикации. По теме диссертации опубликована 41 печатная работа. В автореферате отражены 30 основных публикаций.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, графического материала и библиографического списка, включающего 286 наименований, изложена на 398 страницах машинописного текста, содержит 2 таблицы и 106 рисунков.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую признательность и благодарность д.ф.-м.н., профессору Ю.В.Немировскому за консультации и постоянное внимание к настоящей работе.

Во введении обоснована актуальность разработок проблем определения предельных состояний и оптимального проектирования неоднородных элементов конструкций, сделан краткий критический обзор имеющихся публикаций по данной тематике, сформулированы цели и задачи исследования, изложено краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе определены новые кинематические и физические соотношения, используемые в разработке теорий предельных состояний и оптимального проектирования однородных, физически неоднородных и конструктивно-неоднородных оболочек. За основу построения теории пластин и оболочек принята гипотеза Нагди: параллельно перенесенные в базис на отсчетной поверхности оболочки касательные перемещения (скорости перемещений) есть линейные функции, а нормальные перемещения (скорости перемещений) являются квадратичными функциями нормальной координаты. При использовании такой гипотезы в теории оболочек проведены предварительный параллельный перенос перемещений (скоростей перемещений) в переменный базис по толщине оболочки, последующее ковариантное дифференцирование, параллельный перенос полученных деформаций (скоростей деформаций) в пространственный базис на отсчетной поверхности и линеаризация. В результате получены линейные соотношения для всех компонент тензора деформаций (скоростей деформаций), содержащие, в частности, гипотезы Кирхгофа-Лява, С.П. Тимошенко и ломаной нормали.

В качестве физических соотношений для изотропных однородных материалов оболочек и пластин использованы законы Гука, малых упругопластических деформаций A.A. Ильюшина, течения Сен-Вена-на - Мизеса идеально-пластического материала с гладкими или сингулярными условиями текучести и Дюамеля-Неймана для температурных напряжений.

Законы малых упругопластических деформаций представлены в единообразной форме для применения метода упругих решений задач теории пластичности. Для этого введены три целочисленные функции, принимающие значения нуль или единца в зависимости от реализации состояний упругости, активных пластических деформаций (догрузки), упругой разгрузки и вторичных пластических деформаций. Приведены выражения законов малых упругопластических деформаций однородных изотропных оболочек с традиционными допущениями на деформации и напряжения.

Рассмотрена конструктивно-неоднородная трехслойная оболочка, состоящая из двух внешних несущих слоев и среднего слоя, представляющего собой набор ребер, направленных вдоль линий главных кривизн отсчетной поверхности и соединенных в узлах, причем несущие слои, ребра и узлы изготовлены из различных упругопластических упрочняющихся изотропных материалов (рис. 1). В предположении, что ребра расположены достаточно часто (при условии предотвращения местного разрушения), впервые получены зависимости деформаций анизотропного однородного материала среднего слоя, эквивалентного конструхтивно-ортотропному неоднородному среднему слою, от деформаций ребер и узла оболочки. На основе законов малых упруго-пластических деформаций, полученных деформационных зависимостей, с учетом всех геометрических параметров и физических характеристик материалов конструктивно-неоднородного слоя, определен осред-ненный закон деформирования эквивалентного однородного анизотропного слоя, зависящий от девяти целочисленных функций. Последние принимают значения нуль или единица, в зависимости от состояния догрузки, разгрузки или вторичных пластических деформаций в ребрах и узле. Осредненный закон деформирования составляет основное содержание сформулированной новой физико-математической модели рассмотренной оболочки. Показаны предельные переходы от сформулированной модели к частным моделям: оболочки с ребрами, не соединенными в узлах; однородных изотропных оболочек из материалов элементов композиции (несущих слоев, ребер или узла); упругой изотропной оболочки и др.

На основе линейной гипотезы для скоростей деформаций, ассоциированного закона с условием текучести Мизеса в напряжениях, дис-сипативной функции в обобщенных усилиях, моментах и скоростях деформаций получено дифференциальное уравнение поверхности текучести для осесимметрично нагруженных тонких оболочек вращения в пространстве обобщенных усилий н моментов. Определена начальная поверхность Коши для такого дифференциального уравнения и получено координатное уравнение поверхности текучести (условия текучести) Мизеса оболочек вращения в пространстве обобщенных усилий и моментов, а так же в пространстве их квадратичных форм. Условие текучести оболочек вращения в координатной форме содержит функцию, которая является корнем уравнения четвертой степени с коэффициентами, зависящими от обобщенных усилий и моментов. Координатная форма условия текучести позволяет более полно изу-

чить поверхность текучести, представить закон течения в координатной форме, а также более корректно поставить задачи о несущей способности и оптимальном проектировании жесткопластичесхих элементов конструкций. Зависимости т^тп^) для «! = 0 и тг| = 0.2/л, (ц — 0,1,2,3,4) показаны кривыми р. на рис. 2, а для С2п = 0.4 в случаях: 1)щ = 0, п22 - 0.4; 2)п\ - п\ = 0.4; Ъ)п\ = 0.4, щ = 0,- кривыми 1,2,3, соответственно, на рис. 3.

Численно выявлено, что параметрические конечное соотношение А.А.Ильюшина и условие текучести Ф.Г.Ходжа выражают найденное условие текучести оболочек вращения в координатной форме. Как частные случаи условия текучести для оболочек вращения, получены координатные условия текучести цилиндрической оболочки, криволинейных стержней (балок), безмоментного и чисто моментного состояний осесимметричных оболочек и пластин.

На основе линейной гипотезы для всех компонент тензора скоростей деформаций, условия текучести оболочек вращения, анализа параметрических зависимостей обобщенных усилий и моментов определено координатное условие текучести произвольных тонких пластин и оболочек, как в пространстве обобщенных усилий и моментов так и в пространстве их квадратичных форм. Найдена система из четырех линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка такой поверхности текучести. Получена инволюционная система из семи дифференциальных уравнений, соответствующая неполной системе четырех дифференциальных уравнений поверхности текучести. Инволюционная (якобиева) система проинтегрирована методом Майера. Показано, что для определения поверхности текучести (условия текучести) произвольных пластин и оболочек необходимо и достаточно знать поверхность Коши решения дифференциального уравнения поверхности текучести осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Координатное условие текучести произвольных пластин и оболочек имеет в пространстве квадратичных форм такой же вид, как и для оболочек вращения, причем квадратичные формы составлены из всех компонент тензоров обобщенных усилий и моментов. Выявлено, что пренебрежение какой-либо обобщенной скоростью деформаций в дифференциальных уравнениях поверхности текучести приводит к противоречию с ассоциированными законами течения в напряжениях или в обобщенных усилиях и моментах.

Предложено аппроксимирующее условие текучести Мизеса-Хилла в напряжениях анизотропного однородного и неоднородного деформи-

руемого твердого тела, совпадающее при исчезающей анизотропии с условием текучести Мизеса.

На основе предложенного аппроксимирующего условия текучести в напряжениях и условия текучести в обобщенных усилиях и моментах произвольных тонких пластин и оболочек получено аппроксимирующее условие текучести анизотропных тангенциально неоднородных пластин и оболочек, как в пространстве обобщенных усилий и моментов так и в пространстве их квадратичных форм. Условие текучести анизотропных неоднородных пластин и оболочек в пространстве квадратичных форм совпадает с условием текучести произвольных изотропных однородных пластин и оболочек (и оболочек вращения). При этом переменные квадратичных форм в аппроксимирующем условии текучести анизотропных тангенциально неоднородных пластин и оболочек определены линейными выражениями через обобщенные усилия и моменты.

Во второй главе получены основные уравнения и поставлены задачи для определения предельных состояний физически неоднородных и конструктивно-неоднородных пластин и оболочек.

Условие текучести оболочки не зависит от ее геометрии и содержит все компоненты тензоров обобщенных усилий и моментов. Поэтому получены геометрически линейные и геометрически нелинейные основные уравнения оболочек, учитывающие все обобщенные усилия и моменты. Для этого проведен параллельный перенос тензоров напряжений и скоростей деформаций (деформаций), вектора скорости перемещения (перемещения) в пространственный базис на отсчетной срединной поверхности с координатными линиями, направленными вдоль ее линий главных кривизн. При этом тензор скоростей деформаций (деформаций) определен, согласно гипотезе Нагди. На основе удельной объемной диссипативной функции в напряжениях и скоростях деформаций (деформациях) оболочки определена удельная поверхностная диссипативная функция в размерных обобщенных усилиях, моментах и скоростях деформаций (деформациях). Уравнения равновесия и граничные условия оболочки получены на основе вариационного уравнения Лагранжа. Система уравнений равновесия состоит из семи уравнений. Показано, что найденные пять геометрически линейных уравнений равновесия в физических составляющих совпадают с точностью порядка квадрата толщины оболочки с уравнениями равновесия оболочек Ван Цзи-де, если пренебречь обобщенными усилием Щ3 и моментами влиянием кривизн оболочки на компоненты главного

момента и учесть формулы Кодацци. Шестое геометрически линейное уравнение равновесия отличается от классического, а седьмое уравнение и обобщенные усилие Л'ц3 и моменты М^ (г = 1, 2, 3) являются дополнительными, вследствие принятой гипотезы о непостоянстве нормальных скоростей перемещений (перемещений) по толщине оболочки.

Поставлена геометрически линейная задача о несущей способности жесткопластических пластин и оболочек на основе полученного условия текучести в обобщенных усилиях и моментах. Система уравнений для решения задачи предельного равновесия оболочки (в общем случае, анизотропной и неоднородной) содержит условие текучести в обобщенных усилиях и моментах, двенадцать уравнений закона течения, семь геометрически линейных уравнений равновесия - всего двадцать уравнений. Из этих уравнений требуется найти двенадцать обобщенных усилий и моментов, семь скоростей перемещений и параметров скоростей перемещений, а также множитель в законе течения - всего двадцать неизвестных. Предельная нагрузка определяется с помощью одного из геометрических или статических граничных условий. Сформулированы условия для определения границ жестких зон, возможных в предельном состоянии оболочки.

С помощью вариационного принципа Лагранжа, на основе гипотезы ломаной нормали получены дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия краевой задачи о продольно-поперечном изгибе, устойчивости и выпучивании трехслойной конструктивно-неоднородной оболочки при конечных перемещениях (прогибах). Показаны предельные переходы к частным видам уравнений и граничных условий для слоистых, подкрепленных, биметаллических и других пластин и оболочек. С учетом полученных законов деформирования упругопла-стических слоев, уравнения и граничные условия оболочки записаны в виде, предназначенном для решения их методом последовательных приближений, аналогичным методу упругих решений при каждом малом приращении параметра нагрузки, пропорционально которому изменяются все действующие на оболочку нагрузки. В результате поставлена задача о несущей способности, устойчивости и выпучивании улругопластических конструктивно-неоднородных оболочек с учетом моментности их докритического напряженного состояния. Решение поставленной задачи состоит в определении при каждом значении параметра нагружения пяти функций смещений, шести целочисленных функции для несущих слоев и девяти целочисленных функций для ре-

бер и узла среднего слоя. При этом целочисленные функции принимают значения нуль или единица в каждой точке оболочки в зависимости от деформированного состояния в ней. Для определения неизвестных служат пять геометрически и физически нелинейных дифференциальных уравнений равновесия в смещениях, шесть статических граничных условий на каждом краю оболочки и условия догрузки, упругой разгрузки и вторичных пластических деформаций. Сформулированная постановка задачи служит для определения напряженно-деформированного состояния, процесса деформирования, в зависимости от параметра нагружения, и критической нагрузки устойчивости оболочки.

В третьей главе проведен анализ устойчивости и выпучивания сжатых неоднородных стержней за пределом упругости.

На модели неоднородного стержня, являющейся обобщением модели однородного стержня Шенли, выявлены основные качественные особенности поведения неоднородных пластин и оболочек за пределом упругости. Элементы (полки) модели предположены изготовленными из различных материалов с изотропным упрочнением. Выполнен анализ статического равновесия сжатой элементарной модели неоднородного стержня за пределом упругости, причем линия действия сжимающего усилия и параметры модели выбраны так, чтобы прямолинейный стержень оставался упругоустойчивым до перехода какого-либо его элемента в пластическое состояние.

На основе линейного уравнения совместности деформаций и в предположении, что материалы элементов модели линейно-упрочняющиеся, выяснено, что в общем случае выпучивание неоднородного стержня происходит при нагрузке (первая критическая нагрузка), соответствующей переходу одной из полок в пластическое состояние. Поведение за пределом упругости зависит от параметров стержня, причем реализуется одна из трех критических нагрузок - первая, вторая или третья критическая нагрузка.

Поскольку реальные диаграммы не имеют угловых точек, то для подтверждения правомерности предположения о кусочноливейности диаграмм в линейном анализе выполнен физически нелинейный анализ выпучивания рассмотренной модели стержня на основе линейного уравнения совместности деформаций в предположении гладкости диаграмм в окрестности предела упругости (текучести).

В случае пропорциональных диаграмм материалов элементов стержень остается прямым и после перехода в пластическое состояние.

Поэтому выполнен анализ устойчивости и выпучивания неоднородного стержня с пропорциональными диаграммами на основе линейного уравнения совместности деформаций в предположении, как линейности так и криволинейности диаграмм.

Анализ выпучивания стержня с пропорциональными диаграммами методом "проб", основанным на линейном уравнении совместности деформаций не является достаточно строгим. С помощью диаграммы Ньютона выполнен более строгий анализ условий ветвления от прямолинейного состояния стержня с пропорциональными диаграммами на основе нелинейного уравнения совместности деформаций в предположении кусочнолинейности диаграмм материалов элементов модели.

Выполнен линейный анализ поведения стержня при циклических нагружениях, имеющих место в реальных условиях эксплуатации конструкций.

Выявлены следующие особенности поведения неоднородного стержня.

Если материал полки, первой перешедшей в пластическое состояние, имеет достаточно малое упрочнение, то статическое равновесие при нагрузках больших t^ невозможно, а с уменьшением нагрузки от значения ¿1 возможны две ветви равновесных форм (бифуркация). Такой вывод подтверждается и анализом с учетом физической нелинейности и гладкости диаграммы. Критическая нагрузка является нагрузкой исчерпания несущей способности стержня.

Если упрочнение материала полки, первой перешедшей в пластическое состояние, достаточно большое, то выпучивание стержня сначала происходит при возрастающей нагрузке, а затем, в зависимости от его физических и геометрических характеристик, могут реализоваться два возможных случая. В первом случае возрастание прогиба возможно только с возрастанием нагрузки, причем обобщенная касательно-модульная нагрузка (вторая критическая нагрузка) <„, является критической в том смысле, что с возрастанием нагрузки до такого значения прогиб увеличивается до бесконечности. Во втором случае равновесие стержня с возрастанием нагрузки возможно только до некоторого ее критического значения (третья критическая нагрузка, ¿10, ¿¡"о> ¿и, £ц или ¿2), которое в одних подслучаях равно значению нагрузки, соответствующей переходу одной из полок в пластическое состояние при растяжении после разгрузки (вторичные пластические деформации), а в других - значению нагрузки, соответствующей переходу другой полки в пластическое состояние при сжатии. Дальнейшее

возрастание прогиба возможно только при уменьшающейся нагрузке. Третья критическая нагрузка является критической в том смысле, что последующее уменьшение нагрузки влечет разветвление равновесных форм (бифуркация). Величина третьей критической нагрузки зависит от всех геометрических и физических характеристик стержня. Во всех случаях, с изменением нагрузки до критического ее значения, имеют место различные пути деформирования полок. В случае первой критической нагрузки в обеих полках происходит упругая догрузка. В случае второй критической нагрузки в каждой из полок могут иметь место или только пластическая догрузка или последовательно пластическая догрузка, разгрузка и вторичные пластические деформации. Такой же вывод следует и в случае третьей критической нагрузки. Прогиб с увеличением нагрузки до второго или третьего критического ее значения может как возрастать так и уменьшаться, (выпрямление, кривые FUG и FT на рис. 4 ).

В случае пропорциональных диаграмм материалов полок классическую постановку задачи об устойчивости стержня за пределом упругости можно сохранить, с учетом некоторых особенностей его поведения. Прямолинейная форма равновесия стержня с пропорциональными диаграммами, перешедшего в пластичесхое состояние, устойчива при нагрузках меньших касательно-модульной нагрузки (обобщенной) <„ в том смысле, что малое поперечное вынуждающее возмущение с продолжающимся продольным нагружением (сжатием) не приводит к большим отклонениям стержня от прямолинейного состояния, происходит выпрямление стержня; при сжатии нагрузкой меньшей, чем касательно-модульная нагрузка, прямолинейная форма равновесия является единственной.

Если сжимающая нагрузка равна касательно-модульной нагрузке, то с продолжающимся нагружением (сжатием) происходит разветвление форм равновесия; при этом устойчивой является отклоненная форма равновесия в том смысле, что малое вынуждающее поперечное возмущение ведет к малым изменениям отклоненной формы равновесия. Разветвление форм равновесия может произойти при любой нагрузке i+, большей касательно-модульной нагрузки, но меньшей нагрузки Эйлера, если до того, как она была достигнута, стержень оставался прямым. Если сжимающая нагрузка прямолинейного стержня, перешедшего в пластическое состояние, больше касательно-модульной нагрузки и меньше критической нагрузки Кармана (обобщенной), то реализуются отклоненные формы равновесия с возрастающей нагрузкой,

Увеличение сжимающей нагрузки в этом случае возможно до третьей критической нагрузки, соответствующей возникновению в одной из полок вторичных пластических деформаций с первичной пластической догрузкой в другой полке. Третья критическая нагрузка здесь также характеризуется ветвлением равновесных форм и для = определяет несущую способность стержня. Если же выпучивание начинается с нагрузки большей нагрузки Кармана и меньшей нагрузки Эйлера, то реализуются отклоненные формы равновесия с уменьшающейся нагрузкой. Таким образом, обобщенная приведенно-модульная нагрузка является верхней оценкой несущей способности стержня. Закритиче-ское выпучивание происходит с различными путями деформирования полок. В стержнях с одной областью физических и геометрических параметров имеет место необратимый переход от первичной пластической догрузки к разгрузхе, а с другой областью изменения тех же параметров - обратный переход от разгрузки к первичной пластической догрузке (напряжение вг сначала уменьшается, а затем увеличивается) в одной и той же полке, рис. 5. Последующее увеличение прогиба с уменьшением сжимающей нагрузки происходит с пластической догрузкой в одной полке и вторичными пластическими деформациями - в другой полке. Существуют две обобщенные нагрузки Кармана. При одной из них отклонение стержня может происходить в одну сторону, а при другой - в противоположную сторону. В интервале изменения сжимающего усилия, заключенного между этими нагрузками Кармана, стержень отклоняется от прямолинейного состояния в одну сторону с уменьшающейся нагрузкой и с возрастанием нагрузки -в противоположную сторону. В случае, когда сжимающая нагрузка превышает значение нагрузки Эйлера, отклоненные статические равновесные формы стержня не существуют или имеют место только при удерживающем поперечном возмущении.

Полученные на основе линейной теории, выводы относительно условий выпучивания и равновесных форм стержня остаются верными и с точки зрения геометрически нелинейной теории.

Проведенный анализ показывает, что выводы относительно условий выпучивания сжатого стержня остаются верными и с точки зрения физически нелинейной теории с учетом гладкости диаграмм.

В случае гладких нелинейных пропорциональных диаграмм материалов полок величина касательно-модульной критической нагрузки зависит от величины нагрузки ¿1, соответствующей переходу полок в пластическое состояние. При этом всегда > ¿1, что не все-

гда выполняется при использовании кусочно-линейной теории. Если радиус закругления г,- кусочно-линейной диаграммы мал и величина касательного модуля линейного участка диаграммы равна нулю, то касательно-модульная нагрузка практически совпадает с нагрузкой ¿1, а в пределе —+ ¿1 при г; —* 0. Закритическое выпучивание с уменьшающейся нагрузкой происходит за счет уменьшения касательного модуля в догружаемой полке и без вторичных пластических деформаций в разгружаемой полке, рис. 6.

Исследование устойчивости сжатого однородного стержня при циклическом нагружении показывает, что стержень может приспособиться и увеличить свою несущую способность вплоть до нагрузки Кармана без применения поддерживающих связей и до нагрузки Эйлера с применением таких связей. В общем случае эксплуатационных нагрузок приспособляемость стержня возможна, если справедлив принцип Мазинга. Иначе, стержень становится неоднородным и для определения его несущей способности необходим соответствующий анализ.

В четвертой главе решены некоторые задачи предельного состояния упругонластических конструктивно-неоднородных пластин и оболочек.

Выявлены характерные особенности методов решения задач устойчивости и выпучивания рассматриваемых оболочек по сравнению с упругими. Показано, что, в общем случае, решение таких задач принципиально невозможно без применения метода последовательных приближений. Использована конечно-разностная дискретизация дифференциальных уравнений и граничных условий. Определены условия сходимости итерационных процессов и существования решения.

Сущность предложенного общего метода решения краевой задачи об устойчивости и выпучивании конструктивно-неоднородной оболочки за пределом упругости состоит в следующем. Предположим, что метод решения геометрически и физически нелинейной задачи об изгибе и выпучивании упругой конструктивно-неоднородной оболочки известен. При каждом последующем малом приращении параметра нагрузки с известными целочисленными функциями решаем задачу для упругой оболочки, определяем смещения, деформации, интенсивности деформаций в несущих слоях и интенсивности напряжений в ребрах и узле. Сравнивая интенсивности деформаций и напряжений с соответствующими величинами этих интенсивностей перед последним приращением параметра нагрузки, уточняем значения целочисленных функций. Снова при известных значениях целочисленных функций

и неизменном значении параметра нагрузки воспользуемся решением задачи для упругой оболочки и, сравнивая полученные интенсивности деформаций и напряжений с соответствующими величинами этих интенсивностей перед последним приращением параметра нагрузки, уточняем значения целочисленных функций. Уточнение целочисленных функций повторяем, пока полученные величины смещений в оболочке не будут достаточно близки по норме к величинам смещений в предыдущей итерации при одной и той же нагрузке. Затем придаем параметру нагрузки следующее малое приращение и производим определение целочисленных функций тем же итерационным методом, как при предшествующем приращении того же параметра нагрузки. Подобный процесс используем и при уменьшающемся параметре нагрузки. Критические нагрузки определяем в одних случаях в смысле бифуркации, когда равновесие оболочки или пластинки при дальнейшем возрастании параметра нагрузки невозможно и имеет место раздвоение форм равновесия с уменьшающимся параметром нагрузки (первая и третья критические нагрузки, как для модели стержня). В других случаях - в смысле неограниченного возрастания характерных прогибов с увеличением параметра нагрузки до его критического значения (вторые критические нагрузки, имеющие место также для модели стержня). Предложенный метод позволяет исследовать процесс деформирования с определением напряженно-деформированного состояния и развития зон догрузки, разгрузки и вторичных пластических деформаций в каждом из несущих слоев, ребер и узлов оболочки. Аналитические решения таких задач крайне редки. В числовых примерах использованы дробно-линейные диаграммы материалов, гладко сопряженные с диаграммами соответствующих упругих материалов на пределах текучести.

Получено впервые аналитическое решение практически важной задачи о продольно-поперечном изгибе и устойчивости шарнирно опертой по нагруженным краям упругопластической широкой трехслойной пластинки с легким заполнителем и выполненными из разных материалов мембранными несущими слоями под действием поперечного разномерно распределенного давления и сжимающих усилий в ее плоскости. Причем плоскость действия сжимающих равномерно распределенных по краям сил (отсчетиая плоскость) и параметры пластинки выбраны так, чтобы до перехода несущих слбев в пластическое состояние в ней сохранялось безмоментное состояние и она не теряла упругой устойчивости. Кроме того, принято, что- с начала пропорционального

нагружения первым переходит в пластическое состояние второй слой. Зависимости параметра пропорционального нагружения /х от координаты т}, определяющей границу между областями упругих и пластических деформаций, изображены кривыми аа на рис. 7, причем а — О для пластинки под действием только сжимающих усилий и а = 1 -для пластинки при сжатии и давлении. Зависимости интенсивности деформаций е;о(£) от координаты £ по длине пластинки показаны кривыми Ьт при сжатии и давлении (/х = 0.98 — 0.04г, г = 0,1,2) и кривыми Се только под действием сжимающих усилий (ц = /х» — 0.1е, е = 1, 2, 3, • • •) на рис. 8. Величина /<♦ - это значение параметра /х, до которого возможно равновесие пластинки с возрастанием этого параметра. В случае только сжатия /х„ = 1 и в случае сжатия совместно с давлением /х* — 1.015. Переход второго слоя в пластическое состояние начинается, когда ц = 1. Зависимости прогиба и/о в середине пластинки от параметра нагрузки /х изображены кривыми ¿а на рис. 7. Полученные зависимости, Ьг, С^, характерны, когда пластинка упругоу стойчив а до перехода ее в пластическое состояние и материал второго слоя имеет малое упрочнение.

Следовательно, в пластинке с малоупрочнянмцимся вторым слоем при сжатии после достижения предела текучести (пропорциональности) сразу образуется конечная область пластических деформаций, активно расширяющаяся с последующим уменьшением параметра нагрузки. Соответствующее значение праметра нагрузки р = /х* = 1 носит характер первой критической нагрузки для модели стержня, и определяет несущую способность пластинки. В случае совместного сжатия и давления изгиб пластинки начинается с самого начала нагружения, при значении /1 — 1 зарождается пластическая область, активно расширяющаяся затем с возрастанием параметра нагрузки до критического значения /х,. Эта пластическая область продолжает активно расширяться и с уменьшением параметра нагрузки. В таком случае критическое значение параметра нагрузки /х» носит характер третьей критической нагрузки для модели стержня и определяет несущую способность пластинки. Значение параметра /1. является критическим в смысле ветвления равновесных форм, как и для модели стержня. Если материал второго слоя обладает достаточно большим упрочнением, то для ц > /х(л"/2) > 1 весь второй слой деформируется пластически и »о оо при /х —> /х,„. Зависимость и>ц(/х) в случае большого упрочнения материала второго слоя пластинки под действием только сжимающих усилий приведена кривой %и+ на рис. 7. Кри-

тическое значение параметра нагружения имеет характер второй критической нагрузки для модели стержни и может служить верхней оценкой несущей способности пластинки. Параметр нагрузки ц*, соответствует приведенно-модулъной критической нагрузке (нагрузке Кармана), определенной из решения задачи на собственные значения уравнений устойчивости пластинки. В случае малого упрочнения материала второго слоя, при tt < 1 нагрузка <» может служить нижней оценкой несущей способности пластинки. Проведенный анализ равновесия пластинки под действием только сжимающих сил в ее плоскости показывает, что в общем случае выпучивание начинается при нагрузке, соответствующей переходу одного из слоев в пластическое состояние. Поэтому использование классических теорий упругопластической или чистопластической устойчивости, основанных на предположении о безмоментности докритического состояния, для определения критических нагрузок рассмотренной конструктивно-неоднородной пластинки является несостоятельным. Если материалы слоев имеют пропорциональные диаграммы, то классическую постановку задачи об устойчивости пластинки можно сохранить.

Получены численные решения задач о продольно-поперечном изгибе, устойчивости и выпучивании шарнирно опертых по краям прямоугольных упругашастических трехслойных конструктивно-неоднородных пластинок с мембранными несущими слоями и легким заполнителем под действием продольных сжимающих усилий и поперечного давления с параметром пропорционального нагружения дь

В первых трех числовых примерах рассмотрены пластинки, материалы несущих слоев которых имели достаточно большое упрочнение (пределы прочности в два раза превышали пределы текучести). Отношение Л длины (вдоль оси £) пластинки к ширине принято в первом примере А = 1, во втором А = 1.2 и в третьем А = 1.5. Результаты численного решения в третьм примере приведены на рис. 9. Переход первой пластинки в пластическое состояние происходит при ql — 9.8, второй - для 31 = 11 и третьей, когда 51 = 12.6. Пластическое деформирование начинается в центрах пластинок и развивается далее только в одном несущем слое, со стороны приложенной поперечной нагрузки. Развитие пластических зон показано на рис. 9 для четверти пластинки при различных параметрах нагружения. Пластическая зона заключена внутри наименьшего замкнутого контура, содержащего цифру 1, зона разгрузки - внутри наименьшего замкнутого контура, содержащего цифру 2, области вторичных пластических деформаций

отсутствуют. Значениями параметра нагружения, до которых существуют численные решения данной задачи являются: для первой пластинки дн = 10.4, для второй qu = 11.7, для третьей ди = 13.3. Зависимость прогиба в центре пластинки от параметра пагружения приведена на рис. 9. Как следует из этих зависимостей, рост прогибов в центрах пластинок продолжается и при уменьшении параметра нагружения от достигнутых наибольших значений. Кроме того, продолжается и развитие пластических зон с уменьшением параметра нагружения от наибольших значений до значений: для первой пластинки = 9.6, для второй ?! = 10.9, для третьей д\ = 12.5. Дальнейшее уменьшение параметра 91 приводит к разгрузке во всей пластической области, что можно объяснить малой устойчивостью ветви с уменьшающейся нагрузкой в вычислительном смысле. Факт существования численного решения в определенных интервалах уменьшающегося параметра нагружения с развитием пластических деформаций косвенно указывает на то, что выбранный метод численного решения данной задачи позволяет приближенно определить границу области существования решения краевой задачи об изгибе и устойчивости рассматриваемых трехслойных пластин за пределом упругости по нагрузке. На этом же основании можно заключить, что значения параметра нагружения <71, являются критическими в смысле ветвления равновесных форм. Они также определяют и несущую способность пластинок.

В четвертом числовом примере рассмотрена трехслойная пластинка, материалы несущих слоев которой имеют малое упрочнение, по сравнению с материалами в первых трех примерах.

Из вычислений следует, что с возрастанием параметра нагрузки в пределах 0 < д1 < 6.28 первый слой остается всегда, а второй слой остается упругим до значения параметра нагрузки 171 = 6.1, после которого в нем в середине пластинки возникает пластическая зона. Пластическая зона быстро расширяется и при дх = 6.16 (с изменением параметра нагрузки на 1 Ус) весь второй слой переходит в пластическое состояние. Равновесие пластинки с возрастанием параметра нагрузки возможно до значения 171 = 91» = 6.28, при котором резко возрастает (в 3 раза) число итераций. Производная от прогиба по параметру нагрузки при = <7и имеет значение меньше, чем 0.001. Далее возможно равновесие пластинки с уменьшением нагрузки, причем второй слой остается пластическим с изменением параметра нагрузки от значения дн до значения = 5.98. При дальнейшем уменьшении параметра нагрузки на краю пластинки возникает зона разгрузки. Последую-

щие вычисления показывают, что ветвь решения без разгрузки во всех точках пластической области пластинки неустойчива в вычислительном смысле, то есть наблюдается тенденция к переходу на устойчивую ветвь решения с разгрузкой.

Полученные значения параметра нагрузки qu во всех четырех примерах являются критическими в смысле ветвления равновесных форм пластинок. Поведение прямоугольной пластинки с малым и большим упрочнением имеет такой же характер, как в случае выпучивания широкой пластинки и модели стержня.

Численно решены задачи о продольно-поперечном изгибе, устойчивости и выпучивании шарнирно опертых по краям осесимметрично нагруженных упругопластических трехслойных конструктивно-неоднородных цилиндрических оболочек под действием осевых сжимающих усилий и внешнего разномерного давления.

В числовых примерах рассмотрены три трехслойные подкрепленные соединенными в узлах продольными (стрингерами) и кольцевыми (шпангоутами) ребрами цилиндрические оболочки.

В первых двух (коротких) оболочках несущие слои, ребра и узлы изготовлены из одного материала с достаточно большим упрочнением (малоуглеродистой конструкционной стали). Для первой оболочки отношение тд радиуса к длине оболочки го = 4 и для второй го = 6, при остальных одинаковых параметрах. Исследовано поведение первой оболочки в одном случае в состоянии осевого сжатия, в другом -при осевом сжатии и радиальном внешнем давлении и второй оболочки - под действием сжимающей осевой силы. Внешние силы изменялись пропорционально одному положительному параметру д.

Результаты вычислений приведены для первой оболочки при радиальном давлении - на рис. 10, 11. Зависимости прогиба в середине оболочки (£ = 0) от параметра нагрузки q изображены кривой I, для f = 1/3 - кривой II и когда f = 4/9 - кривой III. Зависимости прогиба от координаты при различных значениях q для первой оболочки показаны на рис. 11 с указанием величин параметра нагрузки. Развитие зон пластичности показано на соответствующих рисунках с указанием величин параметра нагрузки. При этом пластические зоны во внешнем несущем слое обозначены 1, во внутреннем несущем слое - 2, в узлах - 3, в узлах и стрингерах - 4, в узлах и ребрах обоих направлений - 5, зона разгрузки во внутреннем несущем слое оболочки при сжатии и радиальном давлении - 6. Зоны с обозначениями заключены внутри наименьших замкнутых контуров. Зоны вторичных пластиче-

ских деформаций отсутствуют.

Из анализа полученных результатов вычислений следует, что после перехода оболочек при д = до в пластическое состояние (50 = 0.99 для первой оболочки при сжатии, до — 0.501 - под действием сжимающей осевой силы с радиальным давлением и до — 0.84 - для второй оболочки) скорости роста величин прогибов в серединах оболочек сначала уменьшаются, а затем с переходом в пластическое состояние элементов подкрепления возрастают, что можно объяснить перераспределением напряжений в слоях. Для более длинной первой оболочки при сжатии выявлено менее интенсивное развитие пластических зон в среднем слое, особенно в продольных ребрах, чем у второй, что вызвано влиянием поперечных сил. Со значений параметра нагрузки д, = 1.245, д, = 1.087, соответственно, для первой и второй оболочки при осевом сжатии, а также д, = 0.567 для первой оболочки под действием осевого сжатия и радиального давления, итерационные процессы с догрузкой расходятся, как с возрастанием так и с уменьшением параметра д. Полученная ветвь равновесных форм при уменьшающейся нагрузке с разгрузкой всех элементов оболочки из пластического состояния на рис. 10 не нанесена. Для обеих оболочек в окрестностях определенных значений параметра нагрузки д, происходит резкое расширение зон пластических деформаций в каком-либо одном или во всех элементах подкрепления. Так, для первой оболочки при сжатии, наряду с расширением пластических зон в несущих слоях, продольных ребрах и узлах, резко, с увеличением параметра нагрузки на 0.8%, переходит в пластическое состояние более половины кольцевых ребер. Во второй оболочке при сжатии с изменением нагрузки на 1% в пластическое состояние переходит 33% узлов ( причем все узлы деформируются пластически практически по всей высоте среднего слоя) и продольные ребра на 3/4 длины оболочки; внешний несущий слой и кольцевые ребра остаются упругими. В первой оболочке при сжатии и давлении с изменением параметра нагрузки на 0.4% становятся пластическими 22% узлов, продольные ребра на 1/5 длины оболочки и 40% кольцевых ребер.

Можно предположить, что более быстрое развитие зон пластических деформации в оболочках происходит вследствие того, что значения параметра нагрузки приближаются к критическим значениям бифуркационного типа. Такое явление наблюдается, например, для шарнирно опертых трехслойных пластин с легким заполнителем. Поэтому величины д, можно принять как нижние оценки критических

значений параметра нагрузки устойчивости оболочек, полученные на основе деформационной теории.

Длина третьей оболочки (при сжатии и внешнем давлении) в 8 и 12 раз больше, соответственно, длин первой и второй оболочки. Кроме того, принято, что материалы всех элементов оболочки имеют малое упрочнение и отношения пределов их прочности к пределам текучести равно 1.1. Остальные параметры приняты такими же, как для первых двух оболочек.

Зависимости прогиба IV от координаты £ для д — 0.506 и д = 1.13 изображены на рис. 12. При значении параметра д = 0.504 несущие слои, а затем (д = 0.506) и продольные ребра оболочки переходят в пластическое состояние. Дальнейшее возрастание параметра нагрузки влечет интенсивное развитие деформаций (выпучивание) на краю и незначительное изменение величин прогибов в остальной части оболочки. Пластические зоны локализованы для несущих слоев и продольных ребер в окрестности точки £ = 8/9, (вблизи краев оболочки). Узлы и кольцевые ребра в пластическое состояние не переходят. Зоны разгрузки и вторичных пластических деформаций не возникали. Счет выполнен до значения ( критического) парметра нагрузки д = д„ = 1.236, после которого итерационные процессы расходятся.

Таким образом, поведение третьей оболочки характеризуется интенсивным выпучиванием вблизи краев оболочки. Форма выпучивания имеет вид внешних и внутренних складок (рис. 12). Отметим, что качественно аналогичная картина деформирования получена в известных экспериментах по устойчивости цилиндрических оболочек за пределом упругости.

Получено численное решение задачи об устойчивости и выпучивании шарнирно опертой осесимметрично нагруженной упругопластиче-ской трехслойной конструктивно-неоднородной цилиндрической оболочки с легким заполнителем под действием сжимающих осевых усилий и внешнего равномерного поперечного давления пропорционально параметру д.

В примере рассмотрена длинная оболочка с мало упрочняющимися несущими слоями. При д = 1.502 несущие слои вблизи краев оболочки переходят в пластическое состояние. Последующее возрастание параметра нагрузки д > 1.504 ведет к изменению формы выпучивания. Наиболее интенсивное формоизменение происходит вблизи краев, приблизительно на 1/8 половины длины оболочки. В результате интенсивного выпучивания вблизи краев оболочки образуются складки. Счет

проведен до критического значения параметра нагрузки q — 1.562, при котором происходит быстрый рост прогибов w(q) в точках ( = 8/9 и { = 17/18.

Впервые решена задача об оптимальном (рациональном) проектировании армированных трехслойных пластин, теряющих устойчивость. В числовых примерах метод рационального проектирования проиллюстрирован для шарнирно опертой по краям прямоугольной трехслойной пластинки с легким заполнителем и несущими армированными слоями. В первом примере пластинка армирована и сжата в направлениях осей х и у вдоль ее сторон. Полученные кривые, /п» /21, /i2> /з2> /зз5 разделяющие различные области потери устойчивости пластинки, изображены на рис. 13. В области OABCDE потеря устойчивости происходит при всех упругих элементах; в области ABFJHG - при пластических волокнах обоих направлений и упругом связующем заполнителе; в области CFJDC - при пластических волокнах в направлении у, упругих волокнах в направлении х и упругом связующем заполнителе. В области FBC потеря устойчивости сопровождается пластическим деформированием волокон направления х при упругом связующем заполнителе и упругих волокнах направления у; для значений параметра гибкости I (wj— плотность волокон направления х) выше кривой GH - пластическим деформированием всех элементов. Значение I на кривой GH, соответствующее максимальной критической нагрузке, можно считать оптимальным, тая как при этом потеря устойчивости пластинки сопровождается исчерпанием несущей способности всех ее элементов. Если по каким-либо соображениям переход тех или иных элементов композиции в пластическое состояние недопустим, то рациональными следует считать проекты, соответствующие кривым ABCD или ABFJ на рис. 13.

В другом примере проведено рациональное проектирование пластинки, армированной волокнами в направлениях х и у, а также волокнами, составляющими углы оц. (к = 1, 2) с направлением х, при сжатии или сдвиге в предположении, что потеря устойчивости происходит с упругими элементами. Полученные в этом случае зависимости критических нагрузок сжатия р. или сдвига t. при — 0.1 И7г (и = 0, 1, 2, 3, 4) от угла армирования «] изображены, соответственно, кривыми p/t, t„ на рис. 14. Как видно, для принятых значений параметров армирования критические нагрузки в случае сжатия максимальны при углах армирования приблизительно равных «i = аг = ir/4 и «i/З = «2 — ir/4, причем в последнем случае достигается абсолютный

максимум.

Критические нагрузки при сдвиге для рассмотренной пластины достигают максимального значения при значениях а\ приблизителънс равных 27г/3. Величины напряжений в армирующих волокнах и связующем увеличиваются при максимальных критических нагрузках, каь в случае сжатия, так и в случае сдвига. Отметим, что максимальные значения напряжений и критических нагрузок, как правило, достигаются при различных значениях параметров углового армирования Выбрав материалы волокон и связующего с пределами пропорциональности, равными соответствующим напряжениям в критическом состоянии, получим рациональный проект пластинки, теряющей устойчивость при исчерпании несущей способности. Как и в первом примере, можно продолжить это решение, допустив до потери устойчивости существование пластических деформаций в некоторых элементах композиции.

Проведенные исследования устойчивости и выпучивания неупругиз пластин и оболочек свидетельствуют о решающей роли пластических деформаций в определении их предельных состояний. Причем, чем меньше упрочнение материалов элементов конструкций тем эта роль пластических деформаций становится более определяющей их несущую способность. Поэтому для определения нагрузок исчерпания несущей способности пластин и оболочек естественно обратиться к модели жесткопластического материала.

Получено впервые точное аналитическое решение задачи о несущей способности гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек из жесткого идеально-пластического материала. Приведено сравнение полученного решения с известными приближенными решениями этой задачи Ф.Г. Ходжеми В.Л. Фоминым. Для подкрепленной цилиндрической оболочки предельная нагрузка общего разрушения определена с учетом условия недопустимости местного разрушения между подкрепляющими ребрами.

В пятой главе разработана теория оптимального проектирования жесткопластических тонкостенных элементов конструкций переменной толщины минимального объема.

Предварительно кратко изложены основные определения, теоремы и следствия теории идеальной пластичности, использованные в разработке теории оптимального проектирования. Показано, что теорема Шилда о верхнем пределе нагрузки является альтернативной формулировкой теоремы о кинематической оценке предельной нагруз-

ки жесткопластического тела. Проведен критический анализ методов оптимального проектирования. Подробно проанализирован метод оптимального проектирования элементов конструкций минимального объема, основанный на критерии Шилда, с последующим применением этого метода к балкам. Из полученных решений следует, что в некоторых случаях существуют разные критерии, позволяющие определить оптимальные проекты балки с объемами, не различающимися между собой. В ряде случаев оптимальные или рациональные проекты следуют из вырожденных решений дифференциальных уравнений. В результате такого решения статически неопределимая балка представляет собою одну статически определимую или несколько не взаимодействующих статически определимых балок. На рис. 15, 16 приведены результаты оптимального проектирования несимметрично (рис. 15, 16) и симметрично (рис. 16) нагруженной двумя равными сосредоточенными силами статически неопределимой балки. На рис. 15 кривыми 1 и 4 показаны, соответственно, распределения скорости прогиба и толщины оптимальной балки, а кривыми 2 и 3 распределения скоростей прогибов при значениях реакции в средней опоре близких к значениям этой же реакции в вырожденном решении. На рис. 16 представлены зависимости объема балки от значения реакции в средней опоре кривой 2 (несимметричное нагружение) и кривой 4 (симметричное нагружение). Зависимости скорости прогиба в середине от реакции средней опоры балки показаны кривыми 1 (несимметричное нагружение при постоянстве диссипативной функции), 3 (симметричное нагружение при постоянстве диссипативной функции) и 5 (симметричное нагружение при постоянстве отношения диссипативной функции к толщине балки). В случае нагружения балки равномерно распределенным давлением вырожденных решений не обнаружено. Выполненные исследования по оптимальному проектированию балок минимального объема привели к выводу, что критерий Шилда требует дальнейшего изучения.

Сформулированы и доказаны следующие теоремы оптимального проектирования об оценках минимального объема произвольной тонкой жесткопластической оболочки.

Теорема 1. При заданных базовой нагрузке р, поверхности 5 и кинематически допустимом поле скоростей й добавление (удаление) материала к объему (из объема) V влечет увеличение (уменьшение) параметра нагрузки ро оболочка.

Теорема 2. При любом заданном кинематически допустимом поле

скоростей перемещений и заданной нагрузке poiР наименьшая кинематическая оценка объема не больше объема оптимального проекта Иь (Vkl < V0).

Теорема 3. Статическая опенка объема Vcm не меньше минимального объема Vq при одной и той же нагрузке pop (V'cm > Vq). .

Как следствие теорем получено, что объем оптимального проекта Vq равен наибольшей из наименьших кинематических оценок, определенных по всевозможным кинематически допустимым полям скоростей перемещений, и наименьшей из статических оценок, определенных по всевозможным статически допустимым полям напряжений.

Доказанное свойство кинематической оценки объема, позволило сформулировать изопериметрическую вариационную задачу: найти минимум функционала, равного объему материала элемента конструкции, при условии выполнения уравнения для кинематической оценки предельной нагрузки. Решение такой вариационной задачи выражает критерий: частная производная удельной поверхностной диссипатив-ной функции D\ по толщине оболочки равна произвольной положительной постоянной. Отсюда следует, что критерий Шилда, в случае строгого неравенства, является критерием относительного минимума кинематической оценки объема для произвольного, в том числе оптимального, кинематически допустимого поля скоростей перемещений.

Из требования, чтобы кинематически допустимое поле скоростей перемещений было совместным со статически допустимым полем напряжений, впервые получено выражение для множителя А] в законе течения, ассоциированном с условием текучести произвольных тонких оболочек в обобщенных усилиях и моментах.

В результате, поставлена задача определения минимального объема, согласно постановке задачи о несущей способности жесткопла-стической оболочки, состоящая в решении двадцати одного уравнена с двадцатью одним неизвестным. Поскольку поле обобщенных усилий и моментов (Nij, М,у) статически допустимо, то минимальная кинематическая оценка является также и статической оценкой абсолютно минимального объема Поэтому из теорем 2 и 3 следует, что полученная в результате решения сформулированной задачи кинематическая оценка объема оптимального проекта равна наибольшей из наименьших кинематических его оценок, определенных по всевозможным кинематически допустимым полям скоростей перемещений, равна наименьшей из статических его оценок, определенных по всевозможным статически допустимым полям напряжений, и равна минимально-

му объему. Доказало, что решение поставленной задачи определения минимального объема материала оболочки единственно. Таким образом, задача оптимального проектирования жесткопластических оболочек минимального объема приведена к задаче физически нелинейной теории определения напряженно-деформированного состояния упругих оболочек переменной толщины.

В первом примере получено аналитическое решение задачи оптимального проектирования трехслойной балки с мембранными несущими слоями и легким заполнителем под действием равномерного поперечного давления. Оптимизация объема проведена для трех случаев опираяия: жестко заделанные концы, шарнирное опирание на концах и в середине, жесткая заделка на одном конце балки. Во всех случаях определенные по критерию оптимальности минимальные объемы в точности совпали с их наименьшими статическими оценками. Наименьшие кинематические оценки, найденные для различных кинематически допустимых полей скоростей, во всех примерах меньше соответствующих объемов оптимальных проектов.

В другом примере проведена минимизация объема шарнирно опертой на концах и в середине однородной балки под действием равномерно распределенного давления. Использовано аппроксимирующее с запасом прочности до 9% условие текучести, с учетом поперечных сил. Найденные зависимости безразмерных величин минимального объема vq от парамера ц, равного отношению ширины балки к ее длине, Vq(/í) и наименьшей статической оценки vcm от того же параметра vcml(p) показаны на рис. 17 одной линией, так как отличие этих объемов -порядка погрешности численного решения уравнений. Зависимости наименьших кинематических оценок Vki(fi), найденные по полям прогибов упругой балки постоянной толщины и упругой балки переменной толщины оптимального проекта показаны на рис. 17 кривыми Ще и vív, соответственно. Получены численные решения задач определения минимального объема балок различной степени статической неопределимости под действием равномерно распределенной нагрузки. Выявлено, что в рамках упругого деформирования при любом варианте нагружения и опирания максимальный прогиб упругой балки с переменной толщиной оптимальной балки на 26% — 50% меньше максимального прогиба балки постоянной толщины с теми же объемом, нагружением и закреплением.

Получено выражение для множителя в законе течения с аппроксимирующим гладким условием текучести без определения соответству-

ющего условия текучести в напряжениях для арки. На основе аппроксимирующего условия текучести численно решены задачи оптимального проектирования круговых арок с шарнирно опертыми и защемленными краями под действием гидростатического давления, а также арки и.рамы с шарнирно опертыми краями под действием сосредоточенных сил. Показано, что в оптимальных проектах арок, полученных на основе аппроксимирующего условия текучести, под действием гидростатического давления реализуется напряженное состояние, близкое к безмоментному. Определены наименьшие статические оценки минимальных объемов, близость (до 10-9%) которых к объемам оптимальных проектов подтверждает правомерность постановки задачи оптимального проектирования жесткопластических элементов конструкций.

Определены условия текучести балок сложного поперечного сечения (трехслойных, двутавровых, коробчатых и трубчатых) с учетом поперечных сил. С помощью полученных условий текучести разработан метод оптимального проектирования рассматриваемых балок минимального объема, как нижней статической его оценки. Предложена также методика рационального выбора параметров таких балок постоянного сложного сечения. Для иллюстрации метода оптимального проектирования численно определены проекты минимального объема один раз статически неопределимой балки с двумя равными пролетами под действием равномерно распределенной нагрузки. В рассмотренных примерах проведено сравнение жесткостей оптимальных балок в рамках упругого деформирования и балок постоянного сечения, при одинаковых объемах, закреплениях и нагружениях, с такими же качественными результатами, как и для однородных балок.

В шестой главе разработана теория оптимального проектирования равнопрочных статически неопределимых трехслойных упругих балок минимального веса или стоимости. Слои выполнены из различных материалов с механическими характеристиками, в общем случае, зависящими от температуры. Использован критерий равнопрочности, состоящий в том, что на внешних поверхностях наружных слоев напряжения достигают предела текучести. Предположено, что боковая поверхность наружных слоев изменяется по заданному закону с варьируемыми параметрами. Задача оптимального проектирования заключается в нахождении минимума интеграла веса V или стоимости с, зависящего от шести варьируемых параметров: толщины 6о и высоты На среднего слоя, высот первого /ц и второго Аг наружных слоев, а

также параметров, i/¡ и v?, характеризующих форму боковой поверхности балки. Для решения такой задачи определения относительного минимума веса или стоимости необходимо предварительно знать распределение поверхностных зон растяжения или сжатия наружных фибр внешних слоев на пределах текучести. Определение этих поверхностных зон осуществлено с помощью расчета эталонной балки, выполненной из материала наименее прочного среднего слоя. В примерах рассмотрены балки с внутренним слоем из стали СТОС, первым наружным слоем - из дюралюминия Д1JI и вторым наружным слоем -из титанового сплава ВТЗ. Найдены оптимальные проекты минимального веса или стоимости следущих равнопрочных слоистых балок при номинальной температуре (20°С): 1) жестко заделанная одним концом и шарнирно опертая на другом конце балка под действием равномерно распределенной нагрузки и растягивающего усилия; 2) такая же балка, как в первом примере, но без растягивающего усилия; 3) такая же балка, как в первом примере, но под действием треугольной нагрузки с наибольшей интенсивностью у заделки; 4) защемленная одним концом подвижно опертая в середине консольная балка под действием равномерно распределенной нагрузки; 5) шарнирно опертая на концах и в середине балка под действием равномерно распределенной нагрузки в одном пролете и сосредоточенной силы в середине другого пролета. Вид оптимальной равнопрочной балки минимального веса в примере 5 (7 = 40, параметр j равен отношению длины к высоте эталонной балки) со стороны титанового слоя показан на рис. 18.

Полученные результаты оптимального проектирования при номинальной температуре позволяют сделать следующие выводы:

1) Вес оптимальных равнопрочных балок не менее, чем в 14.7 раза, а стоимость не менее, чем в 3.63 раза меньше веса и стоимости эталонной балки (v -— 1), выполненной из материала среднего слоя и рассчитанной по допускаемым напряжениям.

2) Вес оптимальных равнопрочных балок на 31% (5-й пример) -230% (4-й пример), а стоимость на 56% — 235% меньше, чем вес и стоимость оптимальных проектов с постоянными по длине и высоте параметрами, полученных методом допускаемых напряжений.

3) Профилирование оптимальных проектов, полученных методом допускаемых напряжений, малоэффективно по сравнению с оптимальным проектированием равнопрочных балок - уменьшение веса на 2% — 26% и стоимости на 8% - 33%.

4) Оптимальное проектирование равнопрочных балок в условиях

продольно-поперечного изгиба приводит к "вытеснению" (уменьшению высоты) наиболее плотного материала в проектах минимального веса и "вытеснению" более дорогого материала в проектах минимальной стоимости, а также к исчезновению внутреннего, как наименее прочного слоя.

Оптимальное проектирование равнопрочных слоистых балок, эксплуатируемых в условиях повышенной температуры, проведено, в основном, по той же методике, как и при номинальной температуре. Вводятся только дополнительные неравенства, выражающие недопустимость превышения напряжений на граничных поверхностях слоев их соответствующих пределов текучести, и все неравенства должны выполняться во всем диапозоне температур, включающем расчетную стационарную температуру. В решенных задачах оптимального проектирования материалы балок выбраны такими же, как в первых пяти примерах.

В первом примере рассмотрена шарнирно опертая по концам и в середине балка под действием равномерно распределенной нагрузки. Виды балки со стороны титанового слоя при различных температурах показаны на рис. 19, причем толщинам Ьн отвечают температуры Т{ = 20"С + 200°С(» - 1), (к = 1, 2; » = 2, 3).

Анализ зависимостей от температуры приводит к выводу, что нагрев балки оказывает большое влияние на объем и стоимость оптимального проекта. Различный характер зависимостей механических характеристик материалов слоев от температуры (например, модулей упругости е\ и ег) может привести к немонотонности зависимости объема или стоимости от температуры. Для оптимальных проектов рассматриваемой балки высота внутреннего слоя оказалась практически равной нулю. Интересно отметить, что минимальный объем равнопрочной балки и минимальный объем, определенный по допускаемым напряжениям, при температуре Т — 340°С практически равны между собой. С повышением температуры толщина дюралюминиевого слоя на краю балки возрастает, как будто там возникает заделка. В титановом слое с повышением температуры происходит гребнеобра-зование.

В другом примере рассмотрена защемленная по концам трехслойная балка под действием равномерно распределенной нагрузки. Виды оптимальных проектов балки при температурах 20°С и 420°С со стороны титантвого слоя показаны на рис. 20. Отсюда следует, что высота дюралюминиевого слоя в заделке уменьшается интенсивнее с

повышением температуры, чем высота титанового слоя. В последнем около заделки при всех температурах сохраняется гребнеобразная форма, а толщина средней части увеличивается с повышением температуры. Для температуры 420"С весь дюралюминиевый слой имеет гребнеобразную форму.

В заключении изложены основные результаты и выводы по диссертации:

1. Разработана теория несущей способности, устойчивости и выпучивания упругопластических конструктивно-неоднородных тонкостенных элементов конструкций, с учетом моментности докритиче-ского состояния. В основу теории положена сформулированная новая физико-математическая модель оболочки, состоящей из двух несущих слоев и среднего слоя, представляющего собой набор ребер, направленных вдоль линий главных кривизн отсчетной поверхности и соединенных в узлах. Несущие слои, ребра и узлы предполагаются выполненными из различных изотропных однородных материалов.

2. В результате аналитического исследования устойчивости и выпучивания модели неоднородного стержня и широкой трехслойной пластинки с мембранными несущими слоями, выявлены качественные особенности поведения конструктивно-неоднородных оболочек и пластин за пределом упругости. Определены три типа критических нагрузок, качественно различных по сравнению с известными критическими нагрузками однородных стержней, пластин и оболочек.

3. На основе разработанной теории численными методами решены практически важные задачи о несущей способности, устойчивости и выпучивании шарнирно опертых трехслойных подкрепленных цилиндрических оболочек, цилиндрических оболочек с легким заполнителем, трехслойных прямоугольных пластин с легким заполнителем и мембранными несущими слоями. Исследовано влияние на критическую нагрузку потери устойчивости за пределом упругости краевого эффекта трехслойной подкрепленной цилиндрической оболочки. Получено аналитическое решение практически важной задачи о рациональном (оптимальном) проектировании слоистых упругих и неупругих армированных пластин, теряющих устойчивость.

4. На основе условий Мизеса и Мизеса-Хилла определены в координатной форме условия текучести и законы течения в обобщенных усилиях и моментах для произвольных по геометрии, однородных и неоднородных изотропных и анизотропных пластин и оболочек,

5. Разработана замкнутая теория предельного равновесия однород-

ных и неоднородных изотропных и анизотропных жесткопластических тонких оболочек и пластин на основе определенных условий текучести в обобщенных усилиях и моментах, с учетом всех компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций. Получено точное аналитическое решение задачи о несущей способности гладких и подкрепленных жесткопластических цилиндрических оболочек.

6. Построены наименьшая кинематическая и статическая опенки минимального объема тонкостенных жесткопластических элементов конструкций. С помощью минимального свойства кинематической оценки объема, на основе уравнения для кинематической оценки предельной нагрузки впервые поставлена и решена изопериметрическая вариационная задача для определения (формулировки) критерия минимального объема материала оболочки.

7. Создана завершенная теория оптимального проектирования жесткопластических равнопрочных пластичных оболочек переменной толщины, выполненных из материалов, удовлетворяющих условиям текучести в обобщенных усилиях и моментах, на основании сформулированного критерия минимального объема. В результате, задача оптимального проектирования жесткопластических тонкостенных конструкций сведена к задаче физически нелинейной теории определения напряженно-деформированного состояния упругих пластин и оболочек переменной толщины.

8. На основе сформулированной теории, аналитически и численно решены практически важные задачи оптимального проектирования жесткопластических элементов конструций переменной толщины минимального объема (статически неопределимых балок, арок и рам, круглых пластин и цилиндрических оболочек). Показано, что возможно достигнуть существенной экономии (до сотен процентов) материала по сравнению с традиционным проектированием жесткопластических элементов конструкций постоянной толщины по шарнирно-пластическим схемам.

9. Разработана теория оптимального проектирования слоистых (в частности, трехслойных с дюралюминиевым, титановым и стальным слоями) упругих статически неопределимых балок минимального веса или стоимости, на основе критерия равнопрочности с учетом стационарных температурных воздействий на элементы конструкций. В числовых примерах выявлено значительное снижение веса (более, чем до тысячи процентов) и стоимости (до сотен процентов) оптимальных проектов по сравнению с весом и стоимостью эталонной однород-

ной балки постоянного сечения, выполненной из материала наименее прочного слоя и рассчитанной по допускаемым напряжениям на пределе текучести в одной точке, при одинаковых длинах, нагружениях и закреплениях.

Основные положения диссертации содержатся в следующих публикациях:

1. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. Несущая способность гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек // Прикладная меха-ника.-1967. -Т.З, вып. 1. -С. 18-23.

2. Вохмянин Й.Т., Немировский Ю.В. Об устойчивости и выпучивании неоднородных стержней за пределом упругости // Журнал приладной механики и технической физики. -1969. -N0. 2. -С. 129-135.

3. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. Уравнения изгиба и выпучивания конструктивно-неоднородных пластин и оболочек за пределом упругости //Материалы к VII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. -Днепропетровск. -1969. -С. 649.

4. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. Об устойчивости упруго-пластического стержня при циклическом нагружении // Динамика сплошной среды. -Вып. 6. -Новосибирск. -1970. -С. 117-126.

5. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. О рациональном армировании пластин, теряющих устойчивость // Прикладная механика. -1971. -Т. 7, вып. 11. -С. 70-77.

6. Вохмянин Й.Т. Об оптимальном проектировании армированных пластин // Краткое содержание докладов XXVII научно-технической конференции. -Новосибирск: НИСИ, 1971. -С. 36-37.

7. Вохмянин Й.Т., Немировский Ю.В. Изгиб и выпучивание конструктивно-неоднородных пластин и оболочек за пределом упругости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1971. -N0. 2. -С. 42-52.

8. Вохмянин И.Т. Об изгибе и устойчивости трехслойных подкрепленных цилиндрических оболочек за пределом упругости // Прикладная механика. -1978. -Т. 14, вып. 6. -С. 26-30.

9. Вохмянин И.Т. К условию текучести Мизеса для тонких оболочек вращения // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1983. -N0. 7. -С. 37-41.

10. Вохмянин И.Т. Уравнения предельного равновесия пластин // Пути снижения материалоемкости строительных конструкций и интенсификация строительного производства. Тезисы докладов научно-технической конференции. -Новосибирск: НИСИ, 1983. -С. 85.

11. Вохмянин И.Т. Уравнения предельного равновесия оболочек

// Пути экономии ресурсов в строительстве в условиях Сибири. Тезисы докладов областной научно-технической конференции. -Новосибирск: НИСИ, 1984. -С. 33.

12. Вохмянин И.Т. Условие текучести Мизеса для произвольных тонких пластин и оболочек // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1985. -N0. 2. -С. 29-33.

13. Вохмянин И.Т. Уравнения предельного равновесия тонких оболочек и пластин // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1987. -N0. 7. -С. 18-23.

14. Вохмянин И.Т. Об оптимальном проектировании пластин и оболочек // Тезисы докладов научно-технической конференции. -Новосибирск: НИСИ, 1990. -С. 226.

15. Вохмянин И.Т. Об одном условии текучести и предельном равновесии анизотропных пластин и оболочек // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1991. -N0. 3. -С. 41-45.

16. Вохмянин И.Т. О проектировании равнопрочных балок и рам // Архитектура и строительные конструкции. Тезисы докладов научно-технической конференции. -Новосибирск: НИСИ. -1991. -С. 58-59.

17. Вохмянин И.Т. О проектировании идеальных жесткопласти-ческих неразрезных равнопрочных и ступенчатых балок // Изв. вузов. Строительство. -1992. -N0. 5-6. -С. 47-51.

18. Вохмянин И.Т. О критериях оптимального проектирования жесткопластических элементов конструкций // Архитектура и строительные конструкции. Тезисы докладов научно-технической конференции. -Новосибирск: НИСИ. -1992. -С. 77-78.

19. Вохмянин Й.Т. Определение безопасных путей нагружения идеально-пластических равнопрочных и ступенчатых балок при поперечном изгибе // Сборник тезисов докладов научно-технической конференции. -Новосибирск: НИСИ. -1993. -С. 70-71.

20. Вохмянин И.Т. Об оценках объема оптимальных идеальных жесткопластических элементов конструкций // Сборник тезисов докладов научно-технической конференции. -Новосибирск: НГАС. 1994. -С. 7.

21. Вохмянин И.Т. Некоторые вопросы проектирования и оптимизации идеально пластических равнопрочных тонкостенных элементов конструкций. // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 13-й Всесоюзной конференции. -Новосибирск: ИТПМ. -1994. -С. 11.

22. Вохмянин И.Т. Об одном критерии и постановке задачи проек-

тирования жесткопластических элементов конструкций минимального объема // Расчетные методы механики деформируемого твердого тела. Тезисы докладов научно-технической конференции. -Новосибирск: СГАПС. -1995. -С. 19-20.

23. Вохмянин И.Т. Условия текучести и оптимальное проектирование жесткопластических балок сложного поперечного сечения минимального объема // Строительные конструкции и расчет сооружений. Сборник тезисов докладов научно-технической конференции (часть 1). -Новосибирск: НГАС. -1995. -С. 60-61.

24. Вохмянин И.Т. Аппроксимация условия текучести и критерий оптимального проектирования арок и рам // Строительные конструкции и расчет сооружений. Сборник тезисов докладов научно-технической конференции (часть 1). -Новосибирск: НГАС, 1996. -С. 80.

25. Вохмянин И.Т. Аппроксимация условия текучести и критерий оптимального проектирования жесткопластических арок и рам

// Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады 1-го межрегионального семинара. -Новосибирск: НГАС, 1996. -С. 23-32.

26. Вохмянин И.Т. Оптимальное проектирование жесткопластических балок сложного поперечного сечения // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады 1-го межрегионального семинара. -Новосибирск: НГАС, 1996. -С. 33-41.

27. Немировский Ю.В., Вохмянин И.Т. Оценки и критерий оптимального проектирования жесткопластических элементов конструкций минимального объема // Изв. вузов. Строительство. -1996. -N0. 3. -С. 16-25.

28. Вохмянин И.Т., Немировский Ю.В. Оптимальное проектирование равнопрочных слоистых статически неопределимых упругих балок // Изв. вузов. Строительство. -1996. -N0. 12. -С. 19-27.

29. Немировский Ю.В., Вохмянин И.Т. О проектировании равнопрочных слоистых упругих балок минимального веса и стоимости с учетом температуры //Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады Всероссийского семинара в двух частях. Часть 2. -Новосибирск. НГАС. -1997. -С. 59-67.

30. Вохмянин И.Т. Устойчивость и выпучивание упругопластиче-ских прямоугольных трехслойных пластин // Изв. вузов. Строительство. -1997. -N0. 9. -С. 112-117.

/ "a I \ ■й/ s' ■аг^-— /\/ / J/m±

-i Jl / -a.* - o.a^ О.Ч o s i -02 //V - aC \

Рис.3

t 2А Z3

г.г и-

lo ISIS-it-16-, 'т— i 111 y-v-v1 i ■ i g ■ t — -■^■■»■■i ..i..»...»»

-э -s -9 -6 -f -ч -i -i -¿ à i ¿ i м

Рис.4

ш*

1905 Í36b i.Soi US9 i.%9f U9Ï

V- — . — --

—-- 7-- ¿i . -11». — Sx — ~ — —

V

V

V

\

ft.34 ST0 ЧО \ ьо zo -a

Рис. 7

5

g?

6 5 1 3

г i

0 &ï aï, Äff ai Tô Jz 7?

аэЗ аЫ abx

Рис.9

О. S

О. к

аз 02 ai

.у

ц, УЧ i /í

г 1

(passif

г-

9

о o.i o.z о.з 0.4 as

ЪТ

as

л 4 а з о. г

Q£

— ?= о. so{> i - h-

ч

-1— Ç^O.i ■f rep \

bSSTZI

1 --- —J_L_ г ч

Рис. И

8

а

---H J

Г__.—— f,2

А о

£

3

Рис. 13

IQ-'fp.U

-,

4

/ 1 к V*

I ^

/

t,

13

tí

ti

to

в /Л»,

Рис. 15

Рис. 16 43

V

М6-

Ô.iZ • 0.08 o.oÀ

о 0.01 от йоь

Рис. 17

4

«

О6

0.45Г

о. з a/s о

-а ist -аз ■ о. 4S -0.6

АЛ Л

0 2, 0. 4 0.6

Рис. 19

as

и

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант доктор физико-математические ттячгрг профессор Ю.В. Немировс

На правах рукописи

Вохмянин И.Т.

Новосибирск - 1997

СОДЕРЖАНИЕ Введение .................................................................................... 6

Глава 1. Основные кинематические и физические соотношения теории оболочек..........................................................................17

1.1. Кинематические соотношения................................. 17

1.2. Физические соотношения для однородных изотропных оболочек..................................................... 21

1.3. Законы деформирования конструктивно-неоднородных оболочек........................................... 27

1.4. Условие текучести Мизеса осесимметрично-нагруженных однородных изотропных оболочек вращения................................................................... 38

1.5. Условие текучести Мизеса произвольных тонких однородных изотропных пластин и оболочек........ 47

1.6. Условие текучести однородных анизотропных пластин и оболочек................................................... 55

1.7. Об условиях текучести неоднородных и конструктивно-неоднородных пластин и оболочек.............. 61

Глава 2 Основные уравнения предельных состояний неоднородных и конструктивно-неоднородных оболочек и пластин................................................................... 64

2.1. Геометрически линейные уравнения предельного равновесия тонких оболочек и пластин................... 64

2.2. Геометрически нелинейные уравнения предельного равновесия тонких оболочек и пластин................... 72

2.3. Уравнения изгиба и выпучивания упругопластиче-ских конструктивно-неоднородных пластин и оболочек .......................................................................... 75

2.4. Частные виды уравнений изгиба и выпучивания упругопластических конструктивно-неоднородных пластин и оболочек................................................... 85

2.5. Постановка задачи несущей способности жестко-пластических пластин и оболочек............................ 92

Глава 3 Анализ предельного состояния сжатых неоднородных стержней за пределом упругости.................. 104

3.1. Об устойчивости и выпучивании неоднородных

стержней за пределом упругости.............................. 105

3.2. Об устойчивости и выпучивании неоднородных стержней с пропорциональными диаграммами...... 119

3.3. Об устойчивости неоднородных стержней с учетом геометрической нелинейности и малых возмуще-

^ ний.............................................................................. 128

3.4. Об устойчивости и выпучивании неоднородных стержней с учетом физической нелинейности и гладкости диаграмм.................................................. 136

3.5. Об устойчивости упругопластического стержня

при циклических нагружениях................................. 142

3.6. Об устойчивости и выпучивании конструктивно-неоднородных стержней за пределом упругости..... 151

3.7. Основные особенности предельных состояний неоднородных стержней за пределом упругости........ 153

Глава 4 Некоторые задачи предельного состояния неупругих конструктивно-неоднородных пластин и оболочек .............................................................................. 157

4.1. Характерные особенности метода решения задач устойчивости упругопластических конструктивно-неоднородных оболочек по сравнению с упругими. 158

4.2. Цилиндрический изгиб и устойчивость упруго-пластической трехслойной пластинки с легким заполнителем ................................................................ 169

4.3. Устойчивость и выпучивание упругопластической прямоугольной трехслойной пластинки с мембранными несущими слоями и легким заполнителем под действием продольных и поперечных нагрузок ........................................................................ 178

4.4. Устойчивость и выпучивание упругопластической трехслойной подкрепленной осесимметрично нагруженной цилиндрической оболочки................... 198

4.5. Устойчивость и выпучивание упругопластической

трехслойной осесимметрично нагруженной цилин-

(k

дрической оболочкй с легким заполнителем........... 216

4.6. Устойчивость, несущая способность и рациональное проектирование армированных упругопластических пластин.......................................................... 220

4.7. Несущая способность гладких и подкрепленных жесткопластических цилиндрических оболочек...... 233

Глава 5 Оптимальное проектирование жесткопластических

элементов конструкций минимального объема........ 242

5.1. Основные теоремы и следствия теории идеальной пластичности............................................................. 243

5.2. О проектировании жесткопластических неразрезных равнопрочных и ступенчатых балок................ 248

5.3. О проектировании и оптимизации жесткопласти-ческих равнопрочных тонкостенных элементов конструкций.............................................................. 257

5.4. Оценки и критерий оптимального проектирования жесткопластических элементов конструкций минимального объема................................................... 269

5.5. Аппроксимация условия текучести и критерий оптимального проектирования.................................... 287

5.6. Оптимальное проектирование жесткопластических балок сложного поперечного сечения...................... 300

5.7. Устойчивость и оптимальное проектирование жесткопластических элементов конструкций.......... 315

Глава 6 Оптимальное проектирование равнопрочных упругих балок................................................................... 321

6.1. Условие равнопрочности и основные уравнения оптимального проектирования слоистых упругих

V*

балок.......................................................................... 322

6.2. Оптимальное проектирование равнопрочных слоистых статически неопределимых упругих балок

при номинальной температуре (20° С )..................... 329

6.3. Оптимальное проектирование равнопрочных слоистых статически неопределимых упругих балок

при повышенных температурах............................... 341

Заключение....................................................................................345

Литература.....................................................................................376

ВВЕДЕНИЕ

Прочность элементов строительных конструкций была и остается предметом исследований крупнейших ученых (Галилей, Гук, Эйлер, Максвелл, Мизес, Кирхгоф, Работнов Ю.Н., Ильюшин A.A.). Вследствие ограниченности прочностных физических характеристик строительных материалов, внимание исследователей устремлено на создание новых методов расчетов, позволяющих выявить все ресурсы надежной эксплуатации инженерных сооружений. В этом направлении, в условиях все возрастающих дефицита и дороговизны строительных материалов важное практическое значение имеет разработка методов рационального и оптимального проектирования элементов конструкций по их предельным состояниям. В нашей стране расчеты по предельным состояниям приняты в качестве основных с 1955 года. Упругая и неупругая устойчивость, упругопластическая и жесткопластиче-ская несущие способности, жесткопластическая устойчивость - это те основные предельные состояния, изучению которых посвящена масса научной литературы в механике деформируемого твердого тела. На настоящем этапе научно- технического прогресса, когда все большее применение находят конструкции из различных материалов (подкрепленные, слоистые, вафлеобразные, композитные), разработка и развитие методов оптимального проектирования по предельным состояниям приобретают актуальное научное и практическое значение.

Исследования продольно - поперечного изгиба и связанного с ним явления потери устойчивости оболочек и пластин в пределах упругости основаны на использовании различных критериев устойчивости - динамического, статического, энергетического и критерия начальных несовершенств [1]. Первоначальный подход в таких исследованиях, восходящий к работе Эйлера [2] и ставший классическим, основан на статическом критерии устойчивости, применяемом к пластинкам и оболочкам в предположении безмоментности их исходного деформированного основного состояния. Предположение о безмоментности

основного состояния связано с идеализацией реальной конструкции и условий нагружения. Такая идеализация, пренебрежение анизотропией, эксцентриситетом приложенных нагрузок, начальными прогибами, в некоторых случаях оправдана и получаемые при этом путем решения проблемы собственных значений дифференциальных операторов критические нагрузки экспериментально хорошо подтверждаются [1,3].

Систематические отклонения теоретических значений критических нагрузок, полученных классическим методом, от экспериментальных ( в особенности, для оболочек [3]) вызвали в настоящее время необходимость учета моментности докритического состояния, возникающей в реальных конструкциях уже в начале нагружения, и рассматривать при изучении устойчивого равновесия с математической точки зрения нелинейные дифференциальные операторы. Вследствие моментности докритического состояния значительно усложняются методы определения критических нагрузок. Главное затруднение происходит от того, что заранее неизвестно то основное состояние, при котором впервые возникают смежные формы равновесия. Для того, чтобы найти такое основное состояние необходимо решить краевую задачу о продольно -поперечном изгибе и задачу о собственных значениях дифференциальных операторов во всем интервале значений нагрузок, включающем критическое.

Сущность метода определения критических нагрузок заключается в следующем [1,4]. Пусть Ь(ги, А) - действующий в пространстве смещений нелинейный дифференциальный оператор, включающий уравнения равновесия и граничные условия задачи о продольно - поперечном изгибе оболочки, и пусть Л - числовой параметр, пропорционально которому изменяются все действующие на оболочку нагрузки. Пусть и)1 - решение операторного уравнения Ь(\и, Л) = 0 при Л = А1 ; такое решение существует и может быть получено методами теории упругости, по крайней мере, для значений Л в окрестности нуля. Далее проверяется, имеется ли при полученном основном состоянии смежная форма равновесия + бт . Для этого определяется разность Ь(и)\ + 6ги,\{) — Ь(гиьА^ = Ьг(8т, А1) и решается проблема собственных значений для Ь\(8ш, А1) или для соответствующего

ему линеаризированного оператора. Если А1 равно собственному значению, то А1 является критическим значением параметра нагрузки, иначе находится новое основное состояние и/2 при Л = Л2 и процедура определения собственных значений повторяется для нового оператора £>2 (<$«;, Л2) . Применение такой процедуры от нулевого значения параметря Л с последующими малыми его приращениями позволяет определить наименьшую критическую нагрузку.

Использование такого метода определения критических нагрузок ведет к сложной ситуации. С одной стороны, невозможно решить задачу о собственных значениях дифференциального оператора без знания основного докритического состояния, с другой стороны,- существование, единственность и методы решения краевой задачи для определения основного состояния в значительной степени зависят от искомых собственных значений. Нахождение критических нагрузок, в общем случае, принципиально невозможно без применения метода последовательных приближений. Существенное упрощение в нахождении критических нагрузок достигается, когда основное моментное состояние является аналитическим решением краевой задачи [5,6]. В большинстве случаев практическое осуществление рассмотренного метода невозможно без применения мощных ЭВМ.

Имеет смысл определять только деформированное состояние пластинки или оболочки без обращения к проблеме собственных значений в интервале значений параметра нагрузки до тех его значений, при которых предпочтенный метод решения краевой задачи уже не позволяет найти новую конфигурацию конструкции. В математической формулировке краевой задачи о продольно - поперечном изгибе пластинки или оболочки параметр нагружения Л формально ничем не отличается от других параметров конструкции, фигурирующих в исходных дифференциальных уравнениях и граничных условиях. Расчет оболочки или пластинки недостаточно вести для одних фиксированных значений параметров. Необходимо учитывать, как возможные отклонения значений параметров от расчетных при изготовлении конструкций (допуски) так и неточность измерения. Если конфигурации конструкции мало различаются в малой окрестности какой-либо точки области из-

менения параметров, то она в этой точке устойчива в малом. Для значений параметров, при которых предпочтенный метод не обеспечивает решения краевой задачи, требуется рассмотреть проблему о собственных значениях. Если соответствующая нагрузка не является критической, то следует изменить метод дальнейшего решения. Если доказано, что при некоторых значениях параметров решение краевой задачи о статическом равновесии оболочки или пластинки в условиях продольно-поперечного изгиба не существует, то необходимо перейти к исследованию динамического поведения (хлопков). Метод исследования устойчивости пластин и оболочек в указанном смысле примыкает к методу, основанному на критерии начальных несовершенств. Такой метод предлагался и применялся рядом авторов, как для исследования устойчивого равновесия так для исследования закритического поведения (выпучивания) [7-11]. Обширные исследования, посвященные устойчивости тонких упругих оболочек и пластин отражены в многочисленных обзорах и монографиях [1,3,12,13].

Полное изучение поведения пластин и оболочек невозможно без учета пластических свойств материалов. Влияние пластичности проявляется в виде остаточных вмятин даже в экспериментах, поставленных у

для подтверждения теории устойчивости упругих пластин и оболочек №

С самого начала в исследованиях продольно-поперечного изгиба стержней, пластин и оболочек за пределами упругости наблюдается стремление к обобщению появившихся ранее методов решения в пределах упругости. Теория устойчивости неупругих стержней, развитая Ф.Энгессером [14] , является обобщением теории устойчивости упругих стержней. При этом в выражении для критической нагрузки Эйлера, [15], модуль Юнга заменяется касательным модулем. В поссле-дующих исследованиях принимается во внимание открытый Ф.Герст-нером,(1831г.), закон разгрузки и создается теория Энгессера-Ясинс-кого-Кармана-Ильюшина, в которой для определения критической нагрузки стержня модуль Юнга заменяется приведенным модулем [1618]. Затем эти теории распространяются на пластинки и оболочки. Теория упругопластической потери устойчивости, (теория приведен-

ного модуля), тонких оболочек и пластин для несжимаемого материала с произвольным упрочнением и основанная на деформационной теории пластичности была разработана А.А.Ильюшиным [19-20] и обобщена впоследствии на оболочки и пластинки для сжимаемого материала в работе [21]. Появившаяся раньше, чем теория приведенного модуля, теория чистопластической потери устойчивости,(теория касательного модуля), получила широкое развитие только после работ Ф.Шенли [22-23]. Теория чистопластической потери устойчивости тонких обо-очек и пластин была разработана Р.Бижляром [24], Г.Джерардом [25], Э.И.Григолюком [26-27] и явилась основой для решения большого числа задач. В большинстве работ использованы деформационная теория или теория течения. Общая теория чистопластической потери устойчивости неоднородных тонких оболочек построена Э.И.Григолюком [28]. Теория чистопластической потери устойчивости конструктивно-неоднородных пластин и оболочек развита в работах [29-32]. Многочисленные исследования по устойчивости пластин за пределами упругости отражены в монографии [1] и обзоре [33].

Теория приведенного модуля и теория касательного модуля основаны на статическом^критерии устойчивости в предположении безмо-ментности основного состояния. При этом, так же как и в классической теории упругой устойчивости, критические нагрузки определяются решением проблемы собственных значений. В большинстве задач об устойчивости реальных неупругих оболочек и пластин предположение о безмоментности основного состояния является необоснованным, так как уже в начале нагружения возникает моментное состояние, вызываемое, как теми же причинами, что и для упругих конструкций, так и вследствие пластичности их материалов. Для конструктивно-неоднородных оболочек и пластин предположение о безмоментности основного состояния можно сохранить только в некоторых частных случаях [34].

При решении задач о критических нагрузках моментных неупругих оболочек и пластин естественно использовать метод, являющийся обобщением метода теории устойчивоси моментных упругих оболочек и пластин. Существенной особенностью таких задач является

и

физически- и геометрически нелинейный характер исходных дифференциальных операторов. При этом заранее неизвестны области действия закона упругости и законов пластичности - пластической догрузки, разгрузки и вторичных пластических деформаций. Чтобы определить критическое