Оптимизация слоистых элементов конструкций

Алёхин, Владимир Витальевич

Оптимизация слоистых элементов конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Алёхин, Владимир Витальевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Оптимизация слоистых элементов конструкций»

Автореферат диссертации на тему "Оптимизация слоистых элементов конструкций"

Алёхин Владимир Витальевич

ОПТИМИЗАЦИЯ СЛОИСТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск-2003

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской Академии наук

член-корреспондент РАН

доктор физико-математических наук

профессор Б. Д. Аннин

доктор физико-математических наук профессор И. О. Вогульский

доктор физико-математических наук профессор В. И. Самсонов

доктор физико-математических наук профессор A.M. Хлуднев

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред УрО РАН,

г. Пермь

Защита состоится 17 ноября 2003 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 003.054.02 в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, пр-т академика Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан "_" октября 2003 г.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

М.А. Леган

\ ОБ1ЧАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

( Актуальность темы. В последние годы интенсивно развиваются исследования по оптимальному проектированию слоистых конструкций и покрытий различного назначения. Под слоистыми конструкциями понимаются не только механические системы, испытывающие силовые и деформационные возмущения, но также любые узлы, детали, среды, покрытия, подверженные воздействию различных физических и механических полей. Это связано как с развитием методов механики неоднородных сред, математического программирования, вариационного исчисления и оптимального управления, так и с потребностями техники в снижении материалоемкости, габаритов, стоимости и других характеристик конструкций.

Выделение задач оптимального проектирования слоистых конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов, в отдельный класс имеет следующие причины.

Слоистые среды являются частным случаем неоднородных сред, свойства которых изменяются лишь вдоль одной координаты. Поэтому они технологичны и просты в изготовлении. Слоистые конструкции широко используются при создании звуковой и вибрационной защиты, волноводов, согласующих переходных слоев, фильтров продольных или поперечных волн, эффективных демпфирующих покрытий. В механике деформируемого твердого тела с помощью многослойных сред моделируются поведения сосудов высокого давления, слоистых и волокнистых композитов, неоднородных преград, препятствующих прониканию ударников. В оптике и радиофизике с помощью слоистых покрытий управляют спектром электромагнитных волн. В теплофизике используются многослойные теплоизоляционные ограждения. Поэтому создание единого подхода к исследованию и решению задач оптимального проектирования слоистых конструкций представляет большой научный и практический интерес.

Ряд причин, позволяющих выделить в отдельный класс задачи оптимизации слоистых конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов, связан также с общностью их математических постановок и с характерными особенностями, предъявляемыми к методам решения соответствующих задач на экстремум.

Структура слоистой среды определяется количеством, размерами и порядком расположения слоев, физико-механическими характеристиками материалов, составляющих структуру системы, а также ее общей толщиной / и массой, которые либо фиксированы, либо находятся из решения задачи. Эта структура однозначно определяется распределением некоторого характерного свойства материалов или характеристической функции а(х) вдоль координаты х €Е [0,/], перпендикулярной слоям. Задача

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 БИБЛИОТЕКА

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.Петербургу ^ ^

09 20$

оптимального синтеза слоистой системы сводится к нахождению пары {"ор^Мор!,}) минимизирующей целевой функционал при различных локальных и интегральных ограничениях на поведение конструкции.

Другая существенная особенность рассматриваемых задач связана с конечностью набора материалов, из которых синтезируется слоистая конструкция. Такой подход с практической точки зрения вполне естественен, так как реально в распоряжении проектировщика всегда имеется определенная ограниченная номенклатура материалов. При формулировке задачи проектирования в рамках теории оптимального управления эта особенность проявляется в том, что класс управляющих функций а(х) состоит из кусочно постоянных функций, область значений и которых является конечным дискретным множеством. Такие функции не имеют малых вариаций, на которых основано большинство методов построения минимизирующей последовательности управлений. Эта особенность не позволяет использовать для вывода необходимых условий оптимальности и организации вычислительных процедур большинство известных методов. Для исследования и численного решения рассматриваемого класса задач потребовались методы, использующие конечные вариации управления на множестве малой меры, так называемые игольчатые вариации. Конструирование методов последовательных приближений с использованием игольчатых вариаций управления основано на принципе максимума Понтрягина. Интерес к этим методам вызван тем, что они позволяют решать задачи оптимального управления с невыпуклым множеством V. В случае оптимального проектирования конструкций из конечного набора материалов множество и является конечным точечным множеством, и поэтому также невыпукло.

До начала 80-х годов не было известно практически ни одной работы из области оптимизации конструкций, где бы рассматривались задачи проектирования из конечного набора материалов и использовались численные методы, основанные на игольчатом варьировании.

Все эти причины вызвали необходимость: выделить в отдельный класс задачи оптимального проектирования слоистых конструкций из конечного набора материалов; разработать на основе принципа максимума Понтрягина методику теоретического исследования и вычислительные процедуры решения данного класса задач; на основе проведенных исследований с единых позиций сформулировать и решить ряд новых оптимизационных задач из разных разделов механики деформируемого твердого тела.

Цель работы. В диссертации ставились следующие основные цели исследований:

• На основе принципа максимума Понтрягина разработать общий метод

получения и исследования необходимых условий оптимальности в задачах оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, рассматриваемых в механике деформируемого твердого тела.

• На основе конечных вариаций управления на множестве малой меры для задач оптимального проектирования слоистых конструкций разработать вычислительные процедуры построения минимизирующей последовательности управлений.

• В области механики деформируемого твердого тела исследовать необходимые условия оптимальности и создать расчетные методы для задач минимизации массы: защитного сферического экрана с заданными пропускающими характеристиками; свободно колеблющихся сферы и цилиндра при ограничении на основную частоту собственных колебаний; слоистых элементов конструкций (стержня, двумерной криволинейной балки, сферических и эллипсоидальных включений в матрице) при различных температурных и силовых воздействиях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние. Во всех задачах исходный набор материалов конечен.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются:

1. Единый подход к решению для широкого класса задач оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов, сводящийся к исследованию и решению задачи оптимального управления с дискретной областью значений управляющих переменных.

2. Способ предварительного отбора материалов, которые могут войти в оптимальную структуру.

3. Вычислительные алгоритмы построения минимизирующей последовательности управлений, основанные на конечных вариациях управления на множестве малой меры.

4. Новые постановки задач о минимизации массы слоистых элементов конструкций (стержней, балок, сферических и эллипсоидальных включений в матрице) при различных волновых, температурных и силовых воздействиях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное Л состояние.

Достоверность полученных в работе результатов обосновывается соответствием выбранных математических моделей изучаемым физическим процессам, корректным использованием математических методов, использованием результатов исследований другими авторами.

Практическая ценность. Предложен единообразный подход к решению задач оптимального проектирования слоистых конструкций, сиц-тезируемых из конечного набора материалов. Проведенный теоретический анализ позволяет составить представление о возможной структу-

ре оптимальных слоистых сред. Предложен ряд новых вычислительных процедур для решения задач синтеза слоистых конструкций из конечного набора материалов. Для рассмотренных в работе задач составлены вычислительные программы на персональном компьютере, позволяющие находить оптимальные проекты при различных входных данных.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 1984), пятом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Болгария: Варна, 1985), VI Международном симпозиуме о композиционных материалах (Чехословакия: Высоки Татры-Стара Лесна, 1986), на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), шестом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Болгария: Варна, 1989), Сибирской школе по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Якутск, 1990), Международном симпозиуме "Composites: Fracture mechanics and technology" (Черноголовка, 1992), на X Международной конференции по композитным материалам (Канада: Whistler, B.C., 1995), II Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), а также на семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела НГУ (руководители академик Е.И. Шемякин, член-корреспондент РАН Б.Д. Аннин), семинарах лаборатории механики композитов ИГиЛ СО РАН (руководитель член-корреспондент РАН Б.Д. Аннин), семинарах отдела механики деформируемого твердого тела ИГиЛ СО РАН (руководитель профессор О.В. Соснин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах [1—22], включая две монографии.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, изложенных на 199 страницах, включает 26 рисунков, 6 таблиц и список литературы из 171 наименования.

Работа выполнялась в рамках плановой тематики отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, частично при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 96-01-01527, 99-01-00556, 02-01-00649, 03-01-00124) и конкурса грантов по фундаментальным исследованиям в области естественных наук Министерства образования РФ (проект 2000.4.120).

Автор выражает глубокую признательность и благодарность члену-корреспонденту РАН, д.ф.-м.н., профессору Б.Д.Аннину за постоянное внимание к работе и ценные замечания.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели исследования, приведено краткое содержание работы и дан краткий обзор современного состояния исследований по теме диссертации. Отмечено, что большой вклад в развитие постановок и методов решения задач оптимального проектирования конструкций внесли отечественные и зарубежные ученые Б.Д.Аннин, Н.В.Баничук, Г .Д. Бабе, В.В.Васильев, В.Б.Гринев, Е.Л.Гусев, М.А.Каниболотский, К.А.Лурье, В.П. Малков, Ю.В. Немировский, И.Ф. Образцов, Л.В. Петухов, М.И. Рейт-ман, Р.Б.Рикардс, Г.А.Тетере, В.А.Троицкий, А.Г.Угодчиков, Ю.С. Ур-жумцев, А.П. Филиппов, Г.С. Шапиро, Ж.-Л.П. Арман, Я.С. Apopa, Н. Оль-хофф, В. Прагер, Д. Рожваны, Э.Д. Хог и другие. Разработке методов приближенного решения задач оптимального управления также посвящены работы Р.Ф.Габасова, Ф.М.Кирилловой, И.А.Крылова, Н.Н.Моисеева, В.А.Срочко, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько, А.Е. Брайсона, Ф. Гилла, У. Мюррея, М. Райта, Д. Химмельблау и других.

Особенно следует отметить работы Г.Д. Бабе, Е.Л. Гусева, М.А. Ка-ниболотского и Ю.С. Уржумцева, в которых впервые были поставлены и решены задачи оптимизации слоистых конструкций (теплозащитных панелей и волновых отражающих экранов), синтезируемых из конечного набора материалов.

Анализ рдбот, посвященных задачам оптимального проектирования конструкций и методам их решения, показал, что задачи оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, синтезируемых из конечного множества материалов, можно сформулировать в рамках теории оптимального управления системами с дискретной областью значений управляющих переменных. При этом наиболее подходящими для качественного исследования и численного решения данного класса задач являются методы теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина, аппарат игольчатого варьирования), теоретические и практические аспекты которой развивались в трудах Л.С. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, Р.П. Федоренко, К.А. Лурье и других исследователей.

В первой главе приведена общая постановка задачи оптимального проектирования слоистых конструкций с дискретной областью значений параметров управления и получены необходимые условия оптимальности.

Постановка задачи оптимального проектирования осуществляется в рамках теории оптимального управления и включает описание управляемой системы, множества допустимых управлений и функционалов, служащих критерием качества и ограничениями на управляющие и фазовые переменные.

Роль управления играют структура и общая толщина слоистой среды. Для описания этой структуры каждому материалу в исходном наборе ставится в соответствие его порядковый номер и вводится в рассмотрение характеристическая функция слоистой среды а(х), которая в каждой точке х G [О, Î] принимает целочисленное значение, равное номеру материала. Функция а(х) принадлежит классу кусочно-постоянных функций

а(х) = {а, | х,_i < х х„ s = 1,..., п, х0 = 0, х„ = I}, (1)

область значений которых является конечным множеством U

a. €tf={l,...,*}, (2)

где х, — границы раздела слоев, п — число слоев, к — число исходных материалов, I — толщина слоистого пакета. С помощью а (¡г) и / однозначно определяются число, размеры и материалы слоев, т. е. структура слоистой среды. Таким образом, в качестве параметров проектирования выбирается пара {a(z),/}, включающая как распределенный параметр проектирования а[х), так и числовой параметр I. Множество функций, определяемое (1), (2), содержит всевозможные слоистые структуры, которые можно составить из имеющегося набора материалов.

Класс управляющих функций, задаваемых выражениями (1), (2), имеет специфическую особенность, связанную со структурой множества U в (2). Эта особенность состоит в том, что функции а(х) не имеют вариаций, малых в норме ||ia|| = max|<5a(x)|. При выводе необходимых уело-

ЯГ

вий оптимальности и построении минимизирующей последовательности управлений исследуются малые окрестности оптимальных или текущих решений. Большинство методов анализа и расчета используют для этого как раз малые вариации управления. Все эти методы, естественно, нельзя применить для рассматриваемого класса задач.

В теории оптимального управления используется другое определение близости двух функций, основанное на понятии конечных вариаций управления на множестве малой меры, или так называемых игольчатых вариаций. Конечная вариация определяется парой {М, с помощью которой возмущенное управление принимает вид:

"•(*)={'№ хеЛ,Нх)еи' (»>

v ' ^ щх), х £ М.

Здесь M € [0, i] — множество малой меры ц = mes M I, играющей роль малой величины первого порядка; t?(x) — любая [/-допустимая функция, которая может на множестве M отличаться от а(х) на конечную величину. Множество M может иметь достаточно разнообразную структуру в зависимости от применяемых методов решения.

В задачах оптимального проектирования слоистых конструкций аппарат игольчатых вариаций впервые был использован в работах Г.Д. Бабе, Е.Л.Гусева, М.А.Каниболотского, Ю.С.Уржумцева для получения необходимых условий оптимальности и создания вычислительных алгоритмов.

Роль управляемой системы играют уравнения физического процесса. Пусть х = (х1,12,хз) — пространственные переменные и а = «(11). Будем считать, что управление 0(3:1) и фазовые переменные у (ж!, Х2, £3,1) связаны операторным уравнением

Л{у(а51,х2>Жз,<),о;(а:1),аг1,Х2,а:з,«] 0. (4)

По отношению к фазовым переменным Л является линейным дифференциальным по пространственным и временной переменным оператором. Кроме того, оператор Я включает краевые и начальные условия для у(х, <), а также, в силу разрывности управления 0(11), условия сопряжения на границах слоев. Известно, что трудность решения задач оптимизации резко возрастает с увеличением числа независимых переменных. Так как искомое управление 0(2:1) зависит от одной пространственной переменной, то естественно попытаться с помощью интегральных преобразований или разложения в ряды «свернуть» независимые переменные Х2, хз,1 и получить вместо уравнения (4) новое операторное уравнение

л*[у.(а:»»х).а(®1).®1.х] = 0. (5)

где у, — изображение вектора фазовых переменных после всех преобразований, х — вектор параметров преобразований по времени и координатам Х2, Х3. По отношению к-у» оператор Я* является обыкновенным дифференциальным оператором по пространственной переменной коэффициенты которого зависят от исходного управления 0(11) и параметров преобразований.

Вид оператора Я* определяется структурой исходных уравнений. В диссертации рассмотрены вопросы, связанные с задачами оптимального проектирования слоистых элементов конструкций для процессов теплопроводности, распространения упругих волн, процессов деформирования, которые описываются соответственно линейными уравнениями теплопроводности и теории упругости. Переменные коэффициенты этих уравнений зависят от свойств среды, т.е. от управления 0(11). Все эти уравнения имеют похожую структуру, так как являются следствием дивергентных законов сохранения и некоторых линейных феноменологических соотношений таких, как закон Гука в теории упругости или закон Фурье в теплопроводности. С учетом этого, для всех рассмотренных физических

процессов оператор R* можно записать в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (индекс * у величин опускается)

= Г(у) = 0, arefO.i], (6)

где компоненты вектора у(х, х) являются изображением тех параметров физического процесса, которые остаются непрерывными при переходе через границы слоев; х = Г(у) = 0 — общая запись граничных условий при 1 = 0и1=1;Л(а,х) — квадратная матрица, элементы которой зависят от управления а{х) и являются кусочно-непрерывными функциями переменной х. Система (6) играет роль управляемой системы.

Функционалы, входящие в формулировку задачи оптимального проектирования, могут быть двух типов. К первому относятся функционалы, описывающие интегральные характеристики конструкции (массу, толщину и т.д.):

F(a,l) = Jt[a(x),x]dx. (7)

Эти функционалы зависят только от управления. Второй тип — функционалы, содержащие характеристики физического процесса

F(a,l) = j jG(y,a,X)dxdx. (8)

х о

С помощью них задаются ограничения на параметры физического процесса.

Математически задачу оптимального проектирования можно сформулировать следующим образом. Среди кусочно-постоянных функций а(х), определенных выражениями (1), (2), и чисел I > 0 найти управление {aopt(a:)i'opt}i минимизирующее функционал

F0(a,l} -> min (9)

при ограничениях

F,(a,/K 0, i = 1,... ,ш. (10)

При этом фазовые переменные у(х, х), входящие в выражения для функционалов (8), удовлетворяют управляемой системе (6). Вид функционалов F{, i=0,... , ш, задан выражениями (7), 1(8).

Для формулировки необходимых условий оптимальности сделаем замену координат х = lx* t х* € [0,1], переводящую переменную область [0,/], занятую телом, в постоянную [0,1] (ниже индекс * у координаты

х* опускается), введем сопряженные вектор-функции ф{{х), 1 = 0,... , т, удовлетворяющие сопряженным системам

ф! + А*(а, I, Х)Ф> = - а, , = 0, (И)

(явный вид граничных условий ГуЧ/>,- = 0 приведен в диссертации), векторы g = (—1, </1,... ,3т)т и а = (а0,... ,ат)т с компонентами

-Д/[тг+*1М4* ,=0.......

X О

и гамильтониан

- т

Я(а,/,у,^)= / Ея[&(У,а.х) + *7А(а,1,х)у]<1х- (12)

х -

Справедливо утверждение (необходимое условие оптимальности):

Пусть {аор1{х),1ор1} — оптимальное управление, а у(х) — вектор фазовых переменных, определяемых из системы (6). Тогда существует вектор g = (-1,0!,... ,дт)т и вектор-функция ф{х) = Тл^аШФМ, определяемая из системы (11), такие, что составленная с их помощью функция Гамильтона (12) достигает своего максимального значения по аргументу а на оптимальном управлении почти при всех х € [0,1], т. е.

Я(а0р1,/0р1,у)^) = тахЯ(1?,/орЬу,^). (13)

и выполнено условие трансверсальности

(8,а) = 0, (14)

где (•, •) означает скалярное произведение.

Условие (13) выражает принцип максимума Понтрягина, а условие трансверсальности (14) появляется из-за наличия независимого управляющего параметра /.

Во второй главе подробно исследованы задачи оптимального проектирования сферически слоистых упругих элементов конструкций при волновых воздействиях. Решены задача синтеза отражающего сферически слоистого экрана минимальной массы, подверженного волновым механическим воздействиям, при заданном энергетическом коэффициенте прохождения волновой энергии и задача синтеза свободно колеблющихся многослойных сферы и цилиндра минимальной массы при ограничении на основную частоту собственных колебаний.

Задача оптимального проектирования сферического экрана формулируется следующим образом. Пусть го, I — радиусы внутренней и внешней поверхностей слоистого экрана. Внутреннюю область г < го занимает среда с акустическими свойствами ра, С|а и с1а, а внешнюю область г > / — среда с акустическими свойствами рь, с и, и сц,, где р, с; и С( — плотность среды и скорости продольных и поперечных волн соответственно. Из источника, расположенного в центре координат, падает на

экран сферическая волна, содержащая весь частотный спектр (рис. 1). Требуется из имеющегося конечного набора материалов спроектировать слоистый экран минимальной массы с заданным энергетическим коэффициентом прозрачности экрана т} и при ограничении на внешний радиус экрана / 6 [а, 6], где а, Ь — заданные константы. Минимизируемая величина имеет вид:

Рис. 1.

I 1

/¡о(а,/) = 4тг^/)(а)г2</г=

Го О

где переменные г и х связаны соотношением

г = го + х(/-г0), 16 [0,1].

ПИП,

(15)

(16)

Ограничение на поток энергии, проходящей в область г > /, можно записать в виде функционала

оо оо

^(а,I) = 2тг\<т„(1,ч,)\2К- /^ 0, (17)

где (Ггг(х,и>) — спектральная плотность нормальных напряжений, Ь(ы) — амплитуда потенциала падающей сферической волны. Спектральные плотности радиальной скорости уг(х,ш) и напряжения еггг(х,ш), играющие роль непрерывных фазовых переменных у(х, ш) = (иг,<ггг)т1 находятся из краевой задачи

у'(х,и,) = Л(а,/)у(х,Ц, (18)

511«г(0,ш) + Д120>г(О,и) = 013, 921Уг(1,Ш) + <?22^гг(1,^) = 0,

где штрих обозначает производную по х. Коэффициенты ду задаются выражениями

9\1 - раС1аш2г1 г 4рас]а{с1а + iшro), (19)

.2„2

I ш

gl7 = twr0C|a - Ы*г5, ¡>13 = 26(w)p0row4 ехр(

\ Cla

.2|2

?)■

921 = РЬЧЬм'Р - 4pbcfb{cib - ш1), 322 = iwlcib + W2/2, а матрицу A(a, l) можно представить в виде:

1 х ,2

A{a,l) =

_(4|-2)(/-Г„) -^(f-r„)

Функция Гамильтона для задачи (15)—(20) имеет вид:

оо

Н(а,1, у, V) = -Go(«,0 - A, JRe(l>TA(a,l)y)du>,

(20)

(21)

где ф(х,и}) = , — вектор-функция сопряженных переменных. Функцию Я из (21) можно также представить в виде:

Н(<*,1, У,Ф) = ¿л(У,*)А(в) + ЩУ,Ф) = Я(/?1(Р(),

(22)

i=i

где Рх = Р, р2 = 1/(/5с,2), /?3 = cf/cf, /34 = /?с2(3 — 4с2/с2). На рис. 2 в координатах {/?,} каждому материалу исходного набора соответствует точка. Эти точки образуют множество, выпуклой оболочкой которого является многогранник. При каждом фиксированном х G [0,1] поверхности уровня H(0i,pi) = const представляют параллельные гиперплоскости, а вектор v — grad Я указывает направление наибольшего возрастания функции Я. Отсюда справедливо: Следствие 1. Из всех исходных материалов в оптимальную конструкцию могут входить только материалы, которые соответствуют вершинам многогранника (рис. 2). Остальные материалы из исходного набора можно заранее исключить из рассмотрения.

Рис. 2.

При непрерывном изменении х будут непрерывно меняться у и ф, а значит и направление вектора и = ¿гавЯ. Если в некоторой точке х* € [0,1] оптимальной слоистой структуры максимум Н достигается на некотором материале, соответствующем точке А (рис. 2), и вектор и не ортогонален ни одному из ребер, выходящих из вершины А, то этот же материал будет доставлять максимум гамильтониану на некотором конечном интервале, содержащем точку х*. Отсюда вытекают:

Следствие 2. Оптимальная конструкция содержит конечное число слоев конечной толщины.

Следствие 3. В оптимальной конструкции рядом могут находиться только материалы, соответствующие смежным вершинам многогранника.

Приведем пример расчета экрана минимальной массы для следующих параметров задачи: волна сферическая монохроматическая с частотой / = 10 кГц; круговая частота и» = 2тг/; области г < го и г > / занимает воздух; внутренний радиус го экрана равен 1 м; внешний радиус I может изменяться в пределах 1,014 Ч- 1,015 м; коэффициент прозрачности экрана т) = Ю-8. Свойства исходного набора материалов приведены в табл. 1.

Таблица 1 Акустические свойства материалов

Материал р, кг/м3 С|, м/с С|, м/с

Сферопластик 650 2278 1279

Дюралюминий 2800 6129 3087

Титановый сплав 4600 6110 3143

Сталь 7800 6020 3218

Медь 8930 4394 2163

Свинец 11340 1956 727

Каучук 930 72 17

Олово 7290 3188 1606

Стекло 2400 5292 3055

На рис. 3 представлен разрез по толщине оптимального трехслойного экрана с внешним радиусом I = 1,014687 м, массой Ро = 1762,938 кг и со слоями: [го,Г1] и [гг,/] из свинца и [г^гг] из меди, где го = 1м, п = 1,001175 м и г2 = 1,012925 м. Сеткой заштрихованы слои из свинца и косыми линиями — из меди. Самым легким однородным экраном,

Рис. 3.

удовлетворяющим всем ограничениям, является экран из свинца с внешним радиусом / = 1,014 м и массой ^ = 2023,098 кг. Относительный выигрыш по массе для оптимального экрана по сравнению с наилучшим однородным экраном составил (1 — Ро/^о) • 100% = 12,9%.

Во второй главе также решена задача оптимального проектирования свободно колеблющихся многослойных сферы и цилиндра минимальной массы при ограничении на основную частоту собственных колебаний и размеры тела. Минимизируемый функционал имеет вид:

го 1

*Ь(а, 1)=1 р(а)гтЛг = I С0(а, /) <Ь, (23)

I о

где I и го — радиусы внутренней и внешней поверхностей рассматриваемых элементов конструкций; I € [а, 6], где а, Ь — заданные константы; т = 2(1) для сферы (цилиндра); переменные г их связаны соотношением г = I + х(го — /), х £ [0,1]. Ограничение на частоту ш собственных колебаний можно записать в виде

Р1(а,1) = ш1-и>2(а,1)^0, (24)

где ыо — заданная величина. После отделения времени по формулам иг(х,<) = и(х) ехр(ги^), <тГГ(ж,/) = сгг(х) ехр(г'ш<) амплитуды радиального перемещения и (ж) и напряжения 0>(х), играющие роль непрерывных фазовых переменных у(х) = («,<гг)т, находятся из краевой задачи

у'(х) = А(а,1)у{х), у2(0) = у2(1) = 0, (25)

где матрица А(а,1) зависит от структуры слоистой среды:

А(а,1) =

r(v-l У" ' Е{ 1-1/)

[mE(l — u + mv) 2

г2(1 - „2)

-рш'

т(1 — 2i/) (Го_/) г(«/-1) (Г0_,)

Уравнения (25) вытекают из закона Гука и уравнения движения. Величину w2 из (24) можно выразить через фазовые переменные у(х) по формуле Релея u2(a,l) = ¡^Ji(a,l, y)dx ■ (/¿^(а,I,y)dx)~! Вид J\ и J2 приведен в диссертации.

Математически задача оптимального проектирования формулируется следующим образом. Среди кусочно-постоянных функций а(х) из (1), областью значений которых является конечное дискретное множество U из (2) , и чисел I € [а,6] найти пару {aopt(x)i'opt}, минимизирующую функционал (23) при ограничении (24) на основную частоту собственных колебаний ш. Входящая в (24) величина у(х) находится из решения управляемой системы (25). Вывод необходимых условий оптимальности в данной задаче имеет характерную особенность, заключающуюся в том, что

гамильтониан в принципе максимума не содержит сопряженных переменных. Это является свойством задач на собственные значения. На основе полученных условий оптимальности построен и реализован эффективный вычислительный алгоритм построения минимизирующей последовательности управлений.

Приведем пример синтеза свободно колеблющейся сферы минимальной массы из материалов с безразмерными характеристиками

р 6 {1; 2; 4}, Е € {15; 40; 85}, * € {0,25; 0,25; 0,25}.

Величина ш2 = 65, внешний радиус сферы го = 1, а внутренний радиус I может изменяться в пределах 0,6 4- 0,9. На рис. 4 представлен разрез по толщине оптимальной трехслойной сферы с внутренним радиусом / = 0,7718, массой ^о = 0,23735 и со слоями: [/, п] из 3-го материала, [п, гг] из 2-го материала и [гг, 1] из 1-го материала, где гх = 0,7901 и гг = 0,82657.

Сеткой заштрихован слой из 3-го материала, косыми линиями — из

' Рис 4 Г° и точками — слой из 1-го ма-

териала. Самой легкой однородной сферой, имеющей заданную собственную частоту с^о, является сфера из 2-го материала с внутренним радиусом I = 0,81 и массой Рд = 0,312. Относительный выигрыш по массе для оптимальной сферы по сравнению с наилучшей однородной сферой составил (1 — ^о/^о) • 100% = 23,9%.

В третьей главе решены задачи минимизации массы слоистых элементов конструкций при ограничениях на напряженно-деформированное состояние. Такие ограничения являются локальными и при формулировке задачи оптимизации заменяются эквивалентными интегральными ограничениями. Исследованы постановки задач и построены вычислительные алгоритмы оптимального синтеза для таких элементов конструкций, как сжатый поперечно-слоистый стержень при ограничении на критическую силу потери устойчивости и подвергаемая изгибу равномерно распределенной нагрузкой цилиндрически слоистая анизотропная балка при заданных ограничениях на ее прочность и толщину.

Задача о стержне ставится слеНующим образом. Прямолинейный стержень длины I и постоянного сечения находится под действием осевой сжимающей силы Р (рис. 5). На концах стержня могут быть заданы

РазличныекРаевыеУ™*: шаР> • I ' I I I Ы I I 1.м ¡1 Ы \? х нирное опирание, жесткое защем-|2 ление и другие. Требуется из за-

^>ис" данного конечного набора матери-

алов спроектировать поперечно-слоистый стержень минимальной массы при ограничении на критическую нагрузку потери устойчивости. Целе-

вой функционал имеет вид:

F0{a) = Jß(a)dx —t min, (26)

а ограничение на критическую силу потери устойчивости

F1(a) = Po - Р(а) ^ 0, (27)

где Pq — заданная величина. Вектор непрерывных фазовых переменных у(х) = (w, w', М, Q)T, где tu, и/, М = —Ew" и Q = —М' — прогиб, поворот, изгибающий момент и перерезывающая сила соответственно, находится из краевой задачи

У'(») = ¿(<*)У(*). »(0) = У4(0) = Уi(l) = Уз(0 = 0, (28)

где для определенности взяты граничные условия, которым отвечает собственная функция прогиба w(x) при потере устойчивости шарнирно-опер-того стержня удвоенной длины. Уравнения (28) получены из уравнения изгиба стержня (Ew")" + Pw" = 0. Величину Р из (27) можно выразить через у(х) по формуле Релея Р(а) = fQy\E~l(a)dx/ f^y^dx.

Математически задача оптимального проектирования формулируется следующим образом. Среди кусочно-постоянных функций а(х) (1) с областью значений U из (2) найти управление aopt(x), минимизирующее функционал (26) при ограничении (27) на критическую силу потери устойчивости Р. Входящая в (27) величина у(х) находится из решения управляемой системы (28). Гамильтониан в задаче (26)-(28) имеет вид:

H(a>y) = -p(a)-\-j^)/Jyldx. (29)

Как и в задаче о свободных колебаниях сферы, гамильтониан (29), входящий в условие оптимальности, не содержит сопряженных переменных.

Приведем пример синтеза оптимального стержня из материалов с безразмерными механическими характеристиками

р 6 {0,65; 2,85; 4,6; 7,8; 8,93}, Е € {270; 7100; 12000; 21000; 11200},

которым соответствуют сферопластик, дюралюминий, титановый сплав, сталь и медь соответственно. Величина Pq = 18000, длина стержня I = 1. На рис. 6 представлен оптимальный трехслойный стержень массы Fq = 2,814 с критической нагрузкой Р = 18219 и слоями: [0, xi] из титанового

сплава, из дюралюминия и [жг, 1] из сферопластика, где »1 = 0,08

и Х2 = 0,92. Сеткой заштрихован слой из титанового сплава, косыми линиями — из дюралюминия и точками — слой из сферопластика. Самым легким однородным стержнем, удовлетворяющим ограничению (27),

является стержень из титанового

сплава массы = 4,6. Относите-

Рис. 6.

/ льный выигрыш по массе для оптимального стержня по сравнению с данным однородным стержнем составил (1—)' Ю0 % = 38,8 %. В задаче оптимального проектирования изгибаемой цилиндриче-г\ ски слоистой балки (рис. 7) управляемая систе-

ма описывает двумерное напряженно-деформированное состояние. Оптимальная структура балки, выбирается из условия минимума массы тела при заданных ограничениях на прочность и толщину балки. Материалы, из которых синтезируется балка, являются упругими однородными анизотропными материалами. Целевой функционал задачи имеет вид:

r jQ

\\ <p / / * ¡» '

/' ' r /

\ß\ Р/ У

Рис. 7.

i и--х

F0(a,l) = 2(pjp{a)rdr = jG0{a,l)dx

mm,

(30)

где переменные г и х связаны соотношением г = / + х(го — I), х € [0,1], а ограничение на прочность является локальным ограничением

т)(х,9,иг,ив,агг,<ггв,а,1) ^ 0.

(31)

В качестве (31) рассмотрен критерий прочности Хоффмана для однонаправленных композитов в случае плоского напряженного состояния

Г) = <Г»в[{(Геб - Ott)/(^вСГв) + (°7 ~ + (°>«/°Н>)2 +

+ агг[агг/(*+*;) + (а- - а+)/(<г+а~)] - 1 < 0,

где a'g , erg, <r+, а~, (т% — пределы прочности материалов при растяжении, сжатии в направлении осей 0, г и при сдвиге. В силу симметрии задачи рассматривается только половина балки. В каждом однородном слое балки компоненты перемещений и напряжений ищутся в виде:

ttr(x,0) = гп(а:) + u2(x) cos0 + w3(z)0sin0, <тгв{х,в) = т{х)втв, (32)

ид(х,в) = Vi(x)0 + t>2(x)sin0 + U3(x)0COS0, <Trr (Ж,0) = *!(*)+ Г(*) COS 0.

Вектор непрерывных фазовых переменных у(ж) = («1, «1, , «г, г, «з)т определяется из краевой задачи

у'(х) = А{а,1)у(х), уз(0) = у5(0)*= у6(0) = 0, у3(1) = -?, у6(1) = 0, (33)

/*(п,-1)*» = /узг(го-0^ = 1

7 совр У I созр 1

о о

где интегральные условия задают главный вектор и главный момент сил на торце балки (в = <р). Уравнения (33) вытекают из закона Гука, двумерных уравнений равновесия и специального представления решения (32).

Математически задача оптимального проектирования формулируется следующим образом. Среди кусочно-постоянных функций а(х) (1) с областью значений II из (2) и чисел / 6 [а, Ь], где а, Ь — заданные константы, найти пару {аг0рь(а:)>'ор1}» минимизирующую функционал (30) при ограничении (31) на прочность. Входящая в (31) величина у(х) находится из решения управляемой системы (33). При выводе необходимых условий оптимальности и построении вычислительного алгоритма локальное ограничение (31) заменяется на эквивалентное интегральное

(«, о = 0,5 ..) + \т,(... )|}<н/ = (а, I, у) Ах = 0, (34)

V о

где V — объем оптимизируемого элемента конструкции (балки). Вид гамильтониана в задаче (30)-(34) в зависимости от управления, сопряженных и фазовых переменных приведен в диссертации.

Приведем пример расчета балки минимальной массы для следующих безразмерных параметров задачи: внутренний радиус / может изменяться в пределах 0,75 -г 0,9; внешний радиус го = 1; нагрузка 9 = 2; угол раствора балки <р = 45е; угол шарнирной опоры ¡3 = 30°. Свойства исходного набора материалов приведены в табл. 2. 11а рис. 8 представлен разрез по толщине оптимальной семислойной балки с внутренним радиусом I = 0,80432, массой ^ = 1,4258 и со слоями: [/, п] и [г5,гв] из углепластика, [г1, гз] из стали, [гг, гз] и [г^, Г5] из дюралюминия, [гз, гц] из титанового сплава и [г6,1] из сферопластика, где п = 0,82389, г2 = 0,8278, г3 = 0,84345, г4 = 0,84737, г5 = 0,96086 и гб = 0,99609. Сеткой заштри-

....„.............................. хован слой из титанового сплава,

ШШШШШШШЩ^ косыми линиями-из дюралюм»: I рис д гч ния, точками — из сферопластика,

прямыми линиями — из стали и звездочками — слои из углепластика. Самой легкой однородной балкой,

удовлетворяющей всем ограничениям, является балка из титанового сплава с внутренним радиусом I = 0,78831 и массой Ед = 2,7354. Относительный выигрыш по массе для оптимальной балки по сравнению с наилучшей однородной балкой составил (1 - ^о/^о)' Ю0% = 47,9%.

Таблица 2

Механические свойства материалов_

Материал Р в, Ег ивг

Стеклопластик 2,13 6070 2488 1197 0,23

Углепластик 1,61 18140 1035 686 0,28

Боропластик 2,02 20130 2172 538 0,17

Органопластик 1,36 8430 484 284 0,32

Сфероп л асти к 0,65 270 270 106,3 0,27

Дюралюминий 2,85 7100 7100 2669,2 0,33

Титановый сплав 4,60 12000 12000 4545,5 0,32

Сталь 7,80 21000 21000 8076,9 0,30

Медь 8,93 11200 11200 4210,5 0,33

Материал 'в

Стеклопластик 129 100 4,6 13 4,60

Углепластик 149,4 110 4 18,6 6,76

Боропластик 137,3 120 5,6 20 6,30

Органопластик 118,6 30 1,1 12 2,76

Сферопластик 4,5 4,5 4,5 4,5 2,60

Дюралюминий 44 44 44 44 25,40

Титановый сплав 80 80 80 80 46,19

Сталь 120 120 120 120 69,28

Медь 20 20 20 20 11,55

В четвертой главе развитый в диссертации подход применяется к задачам синтеза слоистых сферических включений минимального веса при различных температурных и силовых нагружениях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние. Исследованы задачи оптимального проектирования: слоистых сферы и цилиндра минимальной массы, подверженных всестороннему сжатию, при заданных ограничениях на прочность и толщину тел; сферической оболочки минимальной массы, подверженной силовому и температурному воздействиям, при заданных ограничениях на прочность, критическую нагрузку потери устойчивости и толщину сферы; сферического включения минимальной массы, находящегося в матрице, подвергаемой трехосному растяжению на бесконечности, при ограничениях на прочность и размеры

включения. Для всех исследуемых задач получены необходимые условия оптимальности и на их основе построены экономичные численные алгоритмы расчета оптимальных структур.

Первая задача о сфере (цилиндре) ставится следующим образом. Сфера (цилиндр) с радиусами I и го нагружена давлениями р\ и р2 (рис. 9).

В силу симметрии все входящие в задачу величины зависят только от г. Задача оптимального проектирования слоистой сферы или цилиндра минимальной массы заключается в следующем. Требуется среди кусочно-постоянных функций а (ж) (1) с областью значений U (2) и чисел I G [а, 6], где а,Ь — заданные константы, найти пару {aoptfcMopt}! минимизирующую функционал

Рис. 9. го 1

Fo(a,l) — Jp(a)rmdr = J Go(a,l)dx, (35)

i о

при локальном ограничении на прочность (условии Мизеса) для сферы т)(х, иг, агг,а, I) = (оуг - ав$)2 - <г2 ^ 0 (36)

и для цилиндра

i)(x, иг,<тгг,а, I) = (1 - v + v2)(<rrr -I- сгвв)2 - Ъ(тгг<твв - о] ^ О,

где переменные г их связаны соотношением г = / + x(ro ~ /), х 6 [0,1}. Используя соотношения закона Гука, неравенства (36) можно записать в терминах непрерывных фазовых переменных у(х) = (ur, <тгг)т, которые находятся из краевой задачи

у'(х) = A(a,l)y(x), у2(0) = -Р1, у2(1) = -р2. (37)

Система (37) следует из уравнений равновесия. При выводе необходимых условий оптимальности и построении вычислительного алгоритма локальное ограничение (36) заменяется на эквивалентное интегральное ограничение (34), и гамильтониан в задаче (35)-(37) принимает вид

Н{а, 1,у,ф) = - Go (а, /) - Л(Сх(а, /, у) + фтА(а, I) у),

где переменные ф(х) находятся из сопряженной системы вида (11).

Приведем пример синтеза оптимальной сферы из материалов с безразмерными механическими характеристиками

р е {0,65; 2,85; 4,4}, Е € {270; 7100; 10500},

1/ е {0,27; 0,3; 0,3}, <г, 6 {4,5; 40; 60},

которым соответствуют сферопластик, алюминиевый и титановый сплавы. Внутренний радиус I может изменяться в пределах 0,7 4-0,9, внешний радиус го = 1, внутреннее давление р\ = 0 и внешнее р2 = 6. Из нескольких начальных приближений был получен ряд стационарных оптимальных решений. Хотя по структуре сферы заметно отличались, по целевому функционалу Ро их отличие не превышало 1,5%. На рис. 10 представлен разрез по толщине оптимальной четырехслойной сферы с внутренним радиусом I = 0,8997, массой /"о = 0,2152 и со слоями: [/, п] из титанового сплава, [г2,гз] из сферопластика, [г!,г2] и [гз, 1] из алюминиевого сплава, где п = 0,9097, г2 = 0,9719 и гз = 0,998. Сеткой заштрихован ц&ьм////////^^^ слой из титанового сплава, косы-

^ ми линиями — из алюминиевого I Га -

Рис 10. сплава и точками — слои из

сферопластика. Наиболее легкой однородной сферой, удовлетворяющей всем ограничениям, является сфера из алюминиевого сплава с внутренним радиусом I = 0,9 и массой ^ = 0,25745. Относительный выигрыш по массе для оптимальной сферы по сравнению с данной сферой составил (1 — ^о/^о) • 100% = 16,4%.

Во второй задаче главы сферическая оболочка с радиусами I и го, находящаяся в стационарном температурном поле, нагружена внутренним р\ и внешним рг давлениями (рис. 9). Для определенности на границе г = I считается известной температура 7\, а на внешней границе г = го задается теплообмен по закону Ньютона. Задача оптимального проектирования заключается в следующем. Среди кусочно-постоянных функций а(х) (1) с областью значений I/ (2) и чисел I 6 [а, Ь], где а, Ь — заданные константы, требуется найти управление {«орЬ^Морь}» минимизирующее функционал

го 1

Р0(а,1) = 4тг 1р{а)г2с1г = (38)

I о

ии на прочность (условии I

» (Ь-чг).^*

1 — У \ Г ) 1 — V

ескую нагрузку потери уст 1

1) = Р»-Р1~ 0 = Р2 - Р1 ~ /СгК 0 ¿х $ 0, (40)

где переменные г и х связаны соотношением г = / + ж(го — /), х £ [0,1]. В качестве д(а,1) в (40) взята величина д(а,1) = 1зН2Ес1\г2с^Ц\ - и?)}, ко-

при локальном ограничении на прочность (условии Мизеса)

-IV

т)(х,иг,<тгг,Т,а,1) =

а, ^ 0 (39)

и ограничении на критическую нагрузку потери устойчивости

торая представляет произведение внешнего критического давления для однородной изотропной сферической оболочки на некоторый коэффициент з < 1. Здесь Н = (го — /) — толщина оболочки; гс = (I + Го)/2 — радиус ее срединной поверхности; Ес, ис — модули упругости материала многослойной оболочки. В качестве Ее и ис берутся осредненные по толщине модули упругости пакета ис = £>2/1^1, Ес = — "сАг)/'1« где Г>! = ¡¿Е(а)(1-»\а))-\г0-1)<1х и Г>2 = 1(г0-1)Л.

С помощью замены Т(г) = сТо(х) + Т\ из стационарного уравнения теплопроводности и краевых условий получается задача Коши для определения температуры Т0(х)

Г0(х) = (г0-1)/(г*\(х)), 7Ь(0) = 0. (41)

При этом с = кг1(Т2 - Тх)/(кг1То(1) + 1), где а0(х), А (я) — коэффициенты теплового расширения и теплопроводности материалов слоев, Т2 — температура внешней среды, к — коэффициент теплопередачи. Используя соотношения закона Дюамеля-Неймана, неравенство (39) можно записать в терминах непрерывных фазовых переменных у(ж) = (иг, <тгг,То)т, которые находятся из краевой задачи

у'(х) = А{а,1)у(х) + Ъ(а,1), у2(0) = -рь у3(0) = 0, у2(1) = -р2. (42)

Система (42) получается из уравнений равновесия и (41). При выводе необходимых условий оптимальности и построении вычислительного алгоритма локальное ограничение (39) заменяется на интегральное ограничение типа (34), и гамильтониан в задаче (38)-(42) принимает вид

Я(а, /, у, ф) = -С0(а, 0-Л1(С1(а, I, у )+фт[А(а, I) у+В(а, /)])+А2С2(а, /),

где переменные -ф(х) находятся из сопряженной системы вида (11).

Приведем пример расчета оптимальной сферической оболочки из материалов, безразмерные свойства которых приведены в табл. 3.

Таблица 3

Механические свойства материалов_

Материал Р Е V <Г» Л с*о • Ю6

Сферопластик 0,65 270 0,27 4,5 0,07 100,0

Дюралюминий 2,85 7100 0,30 40 155,4 21,94

Титановый сплав 4,4 10500 0,30 60 8,4 8,4

Сталь 7,8 21000 0,30 120 45,4 15,0

Медь 8,93 11200 0,33 20 386,6 16,7

Внутренний радиус / может изменяться в пределах 0,7 -т- 0,91, внешний радиус го = 1, внутреннее давление р\ = 0, внешнее р2 = 6, внутренняя температура Tj = 0, внешняя Т2 = 100, коэффициент теплопередачи к = 23,26, коэффициент s — 0,1. Изнутри и снаружи сфера покрыта тонкими, толщиной 0,002, неварьируемыми защитными слоями из титанового сплава. На рис. 11 представлен разрез по толщине оптимальной четырнадцатислойной сферической оболочки (в число слоев включены и два неварьируемых защитных слоя) с внутренним радиусом I = 0,9015 и массой Fo = 2,5384. Сеткой заштрихованы слои из титанового сплава, косыми линиями — из дюралюминия и точками — из сферопластика.

Самой легкой «однородной» сфе-

Рис. 11.

рической оболочкой с защитными слоями из титана, удовлетворяющей ограничениям на прочность, устойчивость и толщину, является трехслойная сфера с радиусом I = 0,91 и массой ^о* = 3,0134, внутренняя область которой состоит из дюралюминия. Относительный выигрыш по массе для оптимальной сферы по сравнению с данной «однородной» сферой составил (1—^/.Ро)-100% = 15,8%.

В отличие от первых двух задач в задаче о трехосном растяжении сферического включения управляемая система описывает трехмерное напряженно-деформированное состояние. Задача оптимального проектирования ставится следующим образом. Полое сферическое включение с радиусами / И го, подверженное внутреннему давлению р, находится в матрице, растягиваемой на бесконечности тремя равномерными осевыми усилиями и д3

(рис. 12). Требуется из конечного набора однородных изотропных материалов спроектировать слоистое сферическое включение мини-

-Lx, q}

мальнои массы

Го 1

F0(a,l) = 4wjp(a)r2dr = J G0(a, l) dx

min

i о

при заданных ограничениях на прочность включения

,<p,Ur,U$, Uip, <тгг,

(43)

(44)

и его толщину / €Е [а, 6], где а, 6 — заданные константы. Переменные г и х связаны соотношением г = 1 + х(го — 1), х £ [0,1]. В качестве локального ограничения (44) рассмотрено условие Мизеса

т] = {а„ - стве)2 + {<тее - <^)2 + (<г^ - <г„)2 + Ц^в + + - 2<г? ^ 0.

Неравенство (44) можно записать в терминах непрерывных фазовых переменных «Г) ug, uv, arr, аг$ и (rrtp, используя соотношения закона Гука.

В силу линейности уравнений теории упругости и сферической симметрии области, занимаемой включением, решение данной задачи можно представить в виде суперпозиции четырех решений. Первое решение описывает поведение слоистой сферы в бесконечной матрице под действием равномерного внутреннего давления р. При этом вектор непрерывных фазовых переменных у (я) = (ur,<rrr)T определяется из краевой задачи

у'(х) = Л(а,0у(х), 1/2(0) = -р, ^Ш + О.бгоСИ-^^угС^^О, (45)

где Ет, ит — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала матрицы. Система (45) получается из уравнения равновесия и закона Гука.

Каждое из оставшихся трех решений определяет двумерное осесим-метричное напряженно-деформированное состояние включения в матрице при действии на бесконечности равномерного одноосного усилия q¡ вдоль каждой из осей х,- декартовой системы координат {х\,Х2, х3). С помощью специального разложения по меридиональной координате 0,- в сферической системе координат (г, 6¡, у>,), где угол 0,- отсчитывается от оси х,-,

иг(х,в{) = g,[«i(x) + u2(ж)сов20,], щ(х,в{) = g,tt3(x)sin20,-, (46)

0>г(*. 0.) = 9i[<7i(z) + <r2(x)cos20.], агв(х, 0i) = 9«r3(®) sin20,-, управляемые системы в данных задачах записываются в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для непрерывных фазовых переменных z(x) = («i, u2, «з, a¡, a¡, <гз)Т- С использованием известного решения для матрицы граничные условия с бесконечности сносятся на внешнюю поверхность включения, и вектор z(x) находится из краевой задачи

z'(s) = B{a,l)z(x), z4(0) = *5(0) = z6(0) = 0, (47)

z;(l) = C{Em,vm)zi(l) + D{Em,vm),

где Zj(x) = (zi,z2,z3)T, zj(x) = (*4, 2б)т- Матрицы B(a,l), C{Em,vm) и вектор D(£m,i/m) приведены в диссертации. Непрерывные переменные «г, uj, Up, <тгг, агв и аГ1р исходной задачи, входящие в ограничение (44), выражаются через у(х), z(x) и преобразования поворотов систем координат (г, e¡,ip¡) при переходе к системе (г,0,у>). При выводе необходимых условий оптимальности и построении вычислительного алгоритма локальное ограничение (44) заменяется на интегральное ограничение типа (34), и гамильтониан в задаче (43)-(47) принимает вид:

H(ú, I, у, z, ф, ф) = -G0(a, 1) - AfG^a, у, z) + фтА(а, 1)у + фтВ(а, I)z],

где переменные ф[х) и ф(х) находятся из сопряженных систем вида (11).

Приведем пример расчета оптимального сферического включения из материалов, безразмерные свойства которых приведены в табл. 4.

Таблица 4 Механические свойства материалов

Материал Р Е V

Сферопластик 0,65 270 0,27 4,5

Дюралюминий 2,85 7100 0,33 44

Титановый сплав 4,6 12000 0,32 80

Сталь 7,8 21000 0,30 120

Медь 8,93 11200 0,33 20

Внутренний радиус I может изменяться в пределах 0,75 4- 0,95, внешний радиус го = 1, внутреннее давление р = 0,01. Матрица, содержащая включение, состоит из сферопластика и нагружается на бесконечности равномерными осевыми усилиями 91 = 4, д2 = 0 и 93 = —4. На рис. 13 представлен разрез по толщине оптимального четырехслойного включения с внутренним радиусом I = 0,75123, массой Го = 8,16 и со слоями: [?,гх] и [г2,гз] из титанового сплава, [г!,г2] из сферопластика и [г3,1] из дюралюминия, где п = 0,77611, г2 = 0,82088 и г3 = 0,92537. __Сеткой заштрихованы слои из ти-

танового сплава, косыми линиями ' Рис 13 Г° — иэ Дюралюминия и точками —

слой из сферопластика. Самым легким однородным включением, удовлетворяющим всем ограничениям, является включение из титанового сплава с внутренним радиусом I = 0,80813 и массой Рд = 9,099. Относительный выигрыш по массе для оптимального включения по сравнению с данным однородным включением составил (1 - /У-Ро*) • = 10,3%.

Пятая глава посвящена решению новой задачи оптимального проектирования: синтезу из конечного набора материалов слоистого эллипсоидального включения минимальной массы при двуосном растяжении пространства и при заданных ограничениях на прочность и размеры включения. Главное отличие данной задачи от рассмотренных выше состоит в том, что область тела не обладает сферической симметрией, так как само включение и его однородные слои представляют соосные эллипсоиды вращения. Хотя, как и ранее, функция управления зависит лишь от одной пространственной координаты, управляемая система в данной задаче описывает существенно неодномерную механическую задачу, решение которой невозможно непосредственно свести к суперпозиции решений одномерных задач, для которых управляемые системы записывались бы в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сама задача ставится следующим образом. Полое эллипсоидального включение, нагруженное внутренним давлением р, находится в матрице, растягиваемой на бесконечности двумя взаимно перпендикулярными равномерными усилиями q^ и (рис. 14). Внутренней поверхностью включения является эллипсоид вращения

т2 х2

Р(1 + <М)2 ' /2(1 + 5d)2 l2(l-öd)2

= 1,

где 6 > 0 — малый параметр, а внешней поверхностью — сфера радиуса го. Границы слоев включения ищутся среди эллипсоидов вращения

х'(/а2 + х\/а2 + х\/с2 = 1

(48)

с полуосями а = а(х) и с — с(х), где а(х) = /(1 + 5^)(1 —х) + гох = Л(х)[1 + ч(х)<Ц, с{х) = 1(1 - <М)(1 - х) + гож = /г(х){1 - 7(х)<Ц, Цх) = / + х(г0 - /), •у(х) = /(1 — х)/Л(х), х 6 [0,1]. При х = 0 из (48) получаем внутреннюю, а при х = 1 — внешнюю поверхности включения. В сферической системе координат уравнение (48) можно записать в виде:

г(х, в) = Л(х)[1 - {i(x)6d)] [1 + 2-y(x)6dcos 20 + (7(z)M) ]

2-1-0,5

(49)

где, радиус-вектор r(x, 0) при фиксированном значении х,- € [0,1] определяет границы слоев включения. Требуется из конечного набора материалов

спроектировать слоистое включение минимальной массы

F0{a,l) = Jp(a)dV = jG0{a,l)dxтin (50)

v о

при заданных ограничениях на прочность включения

ч(х,0,иг,щ,<Ггг,<Гге,<х,1) ^ 0 (51)

и его размеры / £ [а, 6], где а, 6 — заданные константы. Так как границами однородных слоев включения являются эллипсоиды вращения (48), функция Go(a,l) в (50) имеет вид Go(a,l) = 47гр(ог)(а2(х)с(х))'/3. В качестве ограничения (51) рассмотрено условие Мизеса

г] = (о>г - агвв)2 + (<г$в ~ *vv)2 + (<rvv - 0Vr)2 + 6а2в - 2er2 ^ 0.

Решение задачи ищется методом малого параметра в виде ря,дов по степеням S. Линеаризация по параметру S заключается в разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия, соотношений закона Гука, краевых условий, уравнений границ слоев (49) в ряды по этому

параметру. Таким образом, все соотношения, краевые условия и условия сопряжения на границах слоев записываются на сферических границах г = h(xi). Были построены нулевое и первое приближения задачи

«г(г, = «(«)(г, в) + 5иЫ(г, в), и,(г, 9) = и(в0)(г, в) + Su<t\rt в), (52) а„(г, в) = «г£)(г, в) + Л#>(г, в), сггв(г, в) = в) + 6*%(г, в).

За нулевое приближение задачи принимается напряженно-деформированное состояние пространства со сферическим включением размера г € [I, го], растянутого на бесконечности усилиями q\, g2 и нагруженного на внутренней поверхности г = I давлением р. Исходя из вида граничных условий, нулевое приближение в (52) ищется в виде:

4°)(г,в) = „$(*) +U(°2)(x)P2(coS0), uW(r,fl) = ug>(x)^Pa(cos0),

o£)(r,0) = *l°J(x) + *<${x)P2(CO80), ^(r,0) = т?\х)±Р2(cose),

где P„ (cos в) — полиномы Лежандра n-го порядка, а г и х связаны соотношением г = /»(х), х € [0,1]. Для определения непрерывных фазовых пе-

\ ( (°) (О)чТ 10), v / (0) (0) (0) (0)\Т

ременных у\ '(х) = (и).0', <r).Q') и у^ '(х) = («^ . . °г2 > г2 ) из УРав" нений равновесия получены соответствующие краевые задачи, вид которых приведен в диссертации. Первое приближение в (52) ищется в виде:

и^м) = «$(*) + osff) + c°s0)>

и^(г,в) = и^{х)^Р2{совв) + и^(х)^Р4(совв), <£>(г, в) = сг%(х) + <г<1а>(*)Ра(сов*) + ^(x)PA(cos9), = r2(l)(x)^P2(cos<?) + г<!>(х)^Р4(совв).

Для нахождения разрывных переменных yj^(x) = (uj.^,y2^(x) =

(«iMW^F и У^О-О = из уравнений равно-

весия и условий сопряжения получены соответствующие краевые задачи.

Для сформулированной задачи получены необходимые условия оптимальности и построен эффективный численный алгоритм расчета, использующий игольчатые вариации.

Приведем пример расчета оптимального эллипсоидального включения из материалов, безразмерные свойства которых приведены в табл. 4 на стр. 26. Внутренний размер I может меняться в пределах 0,7 -т- 0,95, внешний радиус го = 1, внутреннее давление р = 0,1. Матрица, содержащая включение, состоит из сферопластика и нагружается на бесконечности равномерными осевыми усилиями 91 = 2 и д2 = 4. Значения

малого параметра 6 = 0,1 и коэффициента <1 = 1. На рис. 15 представлен разрез по толщине оптимального семислойного включения с внутренним размером I = 0,70444, массой Ро = 3,1443 и со слоями: [п,^] и [г5,гв] из титанового сплава, [гз, г4] из дюралюминия и [I, п], [г2, г3], [г4, гв] и [гб, 1] из сферопластика, где п = 0,734, г2 = 0,77537, г3 = 0,82266, г4 = 0,82858, Г5 = 0,8404 и гв = 0,84631. Сеткой заштрихованы слои из титанового сплава, косыми линиями — из

_| дюралюминия и точками — слои

пш

I рис ^ « из сферопластика. Самым легким

однородным включением, удовлетворяющим всем ограничениям, является включение из титанового сплава с внутренним размером I = 0,89599 и массой Р$ = 4,1753. Относительный выигрыш составил (1 — Ро/^о)' 100% = 24,7%.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Для широкого класса задач оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, синтезируемых из конечного множества материалов, предложен единый подход, сводящийся к исследованию и решению задачи оптимального управления с дискретной областью значений управляющих переменных.

2. В рамках принципа максимума Понтрягина исследованы необходимые условия оптимальности в задаче оптимального проектирования с дискретной областью значений управляющих параметров. С помощью необходимых условий оптимальности предложен способ предварительного отбора материалов, которые могут войти в оптимальную конструкцию, и выявлены такие качественные особенности структуры оптимальных систем, как возможное взаимное расположение материалов слоев.

3. Предложены эффективные вычислительные алгоритмы построения минимизирующей последовательности управлений в задачах оптимального проектирования слоистых конструкций, основанные на конечных вариациях управления на множествах малой меры.

4. Даны новые постановки задач о минимизации масс отражающего сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии и свободно колеблющейся сферической оболочки при ограничении на основную частоту собственных колебаний.

5. Сформулированы и решены задачи оптимизации структуры сжатого поперечно-слоистого прямолинейного стержня при ограничении на критическую силу потери устойчивости и цилиндрически слоистой анизотропной балки при ограничении на прочность. В задаче о балке управляемая система описывает двумерное напряженно-деформированное состояние. .

6. Решен ряд новых задач оптимального проектирования слоистых/ сферических включений минимальной массы при различных температур-

но-силовых воздействиях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние. Впервые исследована пространственно трехмерная задача синтеза оптимального слоистого включения, находящегося в бесконечной матрице.

7. Решена задача оптимизации структуры эллипсоидального включения при двуосном растяжении пространства. Управляемая система в данной задаче описывает существенно неодномерную механическую задачу, решение которой невозможно непосредственно свести к суперпозиции решений одномерных задач. Методом малого параметра построены нулевое и первое приближения задачи, для которых получены необходимые условия оптимальности.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Алёхин В. В. Оптимизация слоистых цилиндра и сферы минимального веса при наличии ограничений // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1984. Вып. 65. С. 3-9.

2. Алёхин В. В. Оптимизация слоистых тел при ограничении на основную частоту собственных колебаний // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1984. Вып. 66. С. 138-145.

3. Алёхин В. В., Воеводин А. Ф., Воронко И. П. Алгоритм оптимизации многослойного цилиндра // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы VIII Всесоюзной конференции. Новосибирск, 1984. С. 3-6.

4. Алёхин В. В., Аннин Б. Д. Оптимизация упругих слоистых тел // Тезисы пятого национального конгресса по теор. и прикл. механике. Варна: изд-во Болг. АН, 1985. С. 100.

5. Алёхин В. В., Аннин Б. Д. Синтез слоистых композитов // Труды VI Международного симпозиума о композиционных материалах. Высоки Татры-Стара Лесна, ЧССР, 1986. Т. 1. С. 206-210.

6. Алёхин В. В., Каниболотский М. А. Оптимизация массы слоистой сферы из конечного набора материалов // Механика композит, материалов.1986.№ 2. С. 302-307.

7. Алёхин В. В., Колпаков А. Г. Синтез упругих слоистых тел и материалов // Тезисы докл. VI Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. Ташкент, 1986. С. 30.

8. Алёхин В. В., Аннин Б. Д., Колпаков А. Г. Синтез слоистых материалов и конструкций. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1988. 130 с.

9. Алёхин В. В., Аннин Б. Д. Оптимизация термоупругих слоистых тел // Прикл. механика и техн. физика. 1989. №2. С. 156-163.

10. Алёхин В. В., Аннин Б. Д., Колпаков А. Г. Синтез слоистых материалов // Тезисы шестого национального конгресса по теор. и прикл. механике. Варна: изд-во Болг. АН, 1989. С. 56.

11. Алёхин В. В., Брошкин А. М. Оптимальное проектирование многослойного диска // Тезисы докладов Сибирской школы по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Якутск, 1990. С. 5-6.

12. Annin В. D., Alyokhin V. V. A problem of optimal design of a laminated sphere // Proc. of the Int. Symp. "Composites: Fracture mechanics and technology". Chernogolovka, 1992. P. 1-10.

13. Алёхин В. В. Оптимизация слоистого сферического включения в бесконечной матрице при одноосном растяжении // Прикл. механика и техн. физика. 1994. Т. 35, № 1. С. 115-120.

14. Alyokhin V. V., Annin В. D. Design of a laminated curvilinear squared beam of minimum weight bent by a distributed load // Proc. of the Tenth Int. Conf. on Composiie Materials. Whistler, B.C., Canada, August 1995 / A. Poursartip, K. Street (Eds). Woodhead Publishing LTD, 1995. V.6. P. 167-174.

15. Алёхин В. В. Проектирование слоистой анизотропной криволинейной балки минимального веса // Прикл. механика и техн. физика. 1997. Т. 38, № 1.С. 128-135.

16. Алёхин В. В., Баев JI. В. Проектирование поперечно-слоистого стержня минимального веса при ограничении на устойчивость// Тезисы докладов II Международной конференции по математическому моделированию. Якутск, 1997. С. 121-122.

17. Алёхин В. В., Баев JI. В. Оптимизация слоистого сферического включения при трехосном растяжении на бесконечности // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, N° 1. С. 145-153.

18. Алёхин В. В., Баев JI. В. Проектирование поперечно-слоистого стержня минимального веса при ограничении на устойчивость // Прикл. механика и техн. физика. 1999. Т. 40, № 1. С. 207-211.

19. Алёхин В. В. Минимизация массы сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии // Прикл. механика и техн. физика. 2000. Т. 41, №5. С. 217-222.

20. Алёхин В. В., Уржумцев Ю. С. Оптимальное проектирование слоистых элементов, конструкций // Тезисы докл. VIII Всероссийского съезда по теор. и прикл. механике. Пермь, 2001. С. 41.

21. Алёхин В. В., Уржумцев Ю. С. Оптимизация слоистых систем. Якутск: ЯФ Издательства СО РАН, 2002. 178 с.

22. Алёхин В. В. Оптимизация слоистого эллипсоидального включения в матрице при двуосном растяжении пространства // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. T. VI, №2(14). С. 3-14.

5 5 2 ?

Подписано к печати 30.09.2003. Заказ № 90. Формат 60x84/16. Объем 2 п. л. Тираж 100 экз. Отпечатано в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН. 630090, г.Новосибирск, пр-т акад. Лаврентьева, 15.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Алёхин, Владимир Витальевич

Введение.

Глава 1. Оптимальное проектирование слоистых конструкций из конечного набора материалов.

§1. Элементы теории оптимального управления

§2. Постановка задачи оптимального ^ проектирования слоистых конструкций

Глава 2. Оптимальное проектирование слоистых конструкций при волновых воздействиях

§3. Уравнения распространения волн в изотропных упругих слоистых средах

§4. Минимизация массы звукозащитного сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии.

§5. Минимизация масс слоистых сферы и цилиндра при ограничении на основную частоту собственных колебаний.

Глава 3. Минимизация массы слоистых элементов конструкций

• §6. Минимизация массы поперечно-слоистого стержня при ограничении на устойчивость

§7. Минимизация массы анизотропной криволинейной балки

Глава 4. Оптимальное проектирование слоистых сферических включений при механических воздействиях.

§8. Минимизация массы слоистых сферы и цилиндра, подверженных сжатию.

§9. Минимизация массы сферической оболочки, подверженной силовому и температурному воздействиям.

§10. Минимизация массы сферического включения в матрице при трехосном растяжении на бесконечности

Глава 5. Оптимальное проектирование эллипсоидального включения при двуосном растяжении пространства

§11. Постановка задачи оптимального проектирования слоистого эллипсоидального включения.

§12. Линеаризация общих соотношений, краевых условий и условий сопряжения в методе малого параметра.

§13. Необходимые условия оптимальности, вычислительный алгоритм и пример расчета.

Введение диссертация по механике, на тему "Оптимизация слоистых элементов конструкций"

Актуальность темы. В последние годы интенсивно развиваются исследования по оптимальному проектированию слоистых конструкций и покрытий различного назначения. Под слоистыми конструкциями понимаются не только механические системы, испытывающие силовые и деформационные возмущения, но также любые узлы, детали, среды, покрытия, подверженные воздействию различных физических и механических полей. Это связано как с развитием методов механики неоднородных сред, математического программирования, вариационного исчисления и оптимального управления, так и с потребностями техники в снижении материалоемкости, габаритов, стоимости и других характеристик конструкций.

Слоистые среды являются частным случаем неоднородных сред, свойства которых изменяются лишь вдоль одной координаты. Поэтому они технологичны и просты в изготовлении. Слоистые конструкции широко используются при создании звуковой и вибрационной защиты [94, 102, 136, 158, 165, 168-170], волноводов [43], согласующих переходных слоев [65, 66, 70-72], фильтров продольных или поперечных волн [73, 125], эффективных демпфирующих покрытий [40, 53, 98, 99, 155]. В механике деформируемого твердого тела с помощью многослойных сред моделируются поведения сосудов высокого давления [110, 115], слоистых и волокнистых композитов [39, 115, 137], неоднородных преград, препятствующих прониканию ударников [25-30]. В оптике [35, 60, 62, 127-129, 140] и радиофизике [118] с помощью слоистых покрытий управляют спектром электромагнитных волн. В теплофизике используются многослойные теплоизоляционные ограждения [41, 104, 105, 138, 157]. Поэтому создание единого подхода к исследованию и решению задач оптимального проектирования слоистых конструкций представляет большой научный и практический интерес.

Структура слоистой среды определяется количеством, размерами и порядком расположения слоев, физико-механическими характеристиками материалов, составляющих структуру системы, а также ее общей толщиной / и массой, которые либо фиксированы, либо находятся из решения задачи. Эта структура однозначно определяется распределением ем некоторого характерного свойства материалов и(х) или характеристической функции а{х) вдоль координаты х £ [0, /], перпендикулярной слоям. Задача оптимального синтеза слоистой системы сводится к нахождению пары {a0pt(s),'opt}5 минимизирующей функционал Fo(a,l), являющийся критерием качества или целевым функционалом.

В качестве ограничений выступают уравнения рассматриваемого физического процесса, коэффициенты которых зависят от структуры слоистой среды, ограничения на параметры этого процесса и условия, • накладываемые на множество допустимых управлений U, откуда выбирается функция а(х).

В рамках теории оптимального управления пара {а(х),1} играет роль управления, уравнения физического процесса — роль управляемой системы, а параметры физического процесса — роль фазовых переменных. В общем случае нестационарных неодномерных процессов управляемая система описывается уравнениями в частных производных. Ее решение является функцией времени и трех координат, а задача нахождения ос{х) относится к задачам оптимального управления с распределенными параметрами. Упростить задачу можно, используя тот факт, что искомое управление а (ж) зависит только от одной пространственной координаты. Как правило, это можно сделать с помощью различных интегральных преобразований, разложения решения в ряд или введения пробных функций по координатам хч и В результате исходную задачу оптимального проектирования можно свести к задаче оптимального управления системой из обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой зависит только от координаты х, параметров преобразований и исходного управления а(х).

Другая существенная особенность рассматриваемых задач связана с конечностью набора материалов, из которых синтезируется слоистая конструкция. Такой подход с практической точки зрения вполне естественен, так как реально в распоряжении проектировщика всегда имеется определенная ограниченная номенклатура материалов. При формулировке задачи проектирования в рамках теории оптимального управления эта особенность проявляется в том, что класс управляющих функций состоит из кусочно-постоянных функций, область значений которых является конечным дискретным множеством. Такие функции не имеют малых вариаций, на которых основано большинство методов построения минимизирующей последовательности управлений. Эта особенность не позволяет решать соответствующие задачи на экстремум с помощью методов вариаций в фазовом пространстве, например, метода локальных вариаций [153], и методов математического программирования. Поэтому для вывода необходимых условий оптимальности и построения вычислительных алгоритмов используются конечные вариации управления на множестве малой меры, так называемые игольчатые вариации.

Конструирование методов последовательных приближений с использованием игольчатых вариаций управления основано на принципе максимума Понтрягина. Интерес к этим методам вызван тем, что они позволяют решать задачи оптимального управления с невыпуклым множеством U. В случае оптимального проектирования конструкций из конечного набора материалов множество U является конечным точечным множеством, и поэтому также невыпукло.

Все эти причины вызывают необходимость: выделить в отдельный класс задачи оптимального проектирования слоистых конструкций из конечного набора материалов; разработать на основе принципа максимума Понтрягина методику теоретического исследования и вычислительные процедуры решения данного класса задач; на основе проведенных исследований с единых позиций сформулировать и решить ряд новых оптимизационных задач из разных разделов механики деформируемого твердого тела. Этим объясняется актуальность темы диссертации.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена развитию на основе принципа максимума Понтрягина методов получения и исследования необходимых условий оптимальности в задачах оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, рассматриваемых в механике деформируемого твердого тела, и их численной реализации. В соответствии с этим в работе были поставлены следующие основные задачи:

• на основе принципа максимума Понтрягина разработать общий метод получения и исследования необходимых условий оптимальности в задачах оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, рассматриваемых в механике деформируемого твердого тела;

• на основе конечных вариаций управления на множестве малой меры для задач оптимального проектирования слоистых конструкций разработать вычислительные процедуры построения минимизирующей последовательности управлений;

• в области механики деформируемого твердого тела исследовать необходимые условия оптимальности и создать расчетные методы для задач минимизации массы: защитного сферического экрана с заданными пропускающими характеристиками; свободно колеблющихся сферы и цилиндра при ограничении на основную частоту собственных колебаний; слоистых элементов конструкций (стержня, двумерной криволинейной балки, сферических и эллипсоидальных включений в матрице) при различных температурных и силовых воздействиях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются:

2. Способ предварительного отбора материалов, которые могут войти в оптимальную структуру.

Практическая ценность. Предложен единообразный подход к решению задач оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, синтезируемых из конечного набора материалов. Проведенный теоретический анализ позволяет составить представление о возможной структуре оптимальных слоистых сред. Предложен ряд новых вычислительных процедур для решения задач синтеза слоистых конструкций из конечного набора материалов. Для рассмотренных в работе задач составлены вычислительные программы на персональном компьютере, позволяющие находить оптимальные проекты при различных входных данных.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 1984), пятом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Болгария: Варна, 1985), VI Международном симпозиуме о композиционных материалах (Чехословакия: Высоки Татры-Стара Лесна, 1986), на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), шестом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Болгария: Варна, 1989), Сибирской школе по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Якутск, 1990), Международном симпозиуме "Composites: Fracture mechanics and technology" (Черноголовка, 1992), на X Международной конференции по композитным материалам (Канада: Whistler, B.C., 1995), II Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), а также на семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела НГУ (рук. академик Е.И.Шемякин, чл.-корр, РАН Б.Д. Аннин), семинарах лаборатории механики композитов ИГиЛ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин), семинарах отдела механики деформируемого твердого тела ИГиЛ СО РАН (рук. проф. О.В. Соснин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах [4-23, 159, 160], включая две монографии.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 199 страницах, включает 26 рисунков, б таблиц и список цитируемой литературы из 171 наименования.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Заключение

Диссертационная работа посвящена развитию на основе принципа максимума Понтрягина методов получения и исследования необходимых условий оптимальности в задачах оптимального проектирования слоистых элементов конструкций, рассматриваемых в механике деформируемого твердого тела, и их численной реализации. Учет конечности набора исходных материалов, из которых синтезируется конструкция, — отличительная особенность настоящего исследования. Для решения рассматриваемых задач используется математический аппарат конечных вариаций, редко применяемый в исследованиях приложений (в частности, при оптимальном проектировании конструкций) за рамками собственно теории оптимального управления. В соответствии с этим в работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

4. Даны новые постановки задач о минимизации масс отражающего сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии и свободно колеблющейся сферической оболочки при ограничении на. основную частоту собственных колебаний.

6. Решен ряд новых задач оптимального проектирования слоистых сферических включений минимальной массы при различных темпе-ратурно-силовых воздействиях и локальных ограничениях на их напряженно-деформированное состояние. Впервые исследована пространственно трехмерная задача синтеза оптимального слоистого включения, находящегося в бесконечной матрице.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Алёхин, Владимир Витальевич, Новосибирск

1. Адамова К. С., Каниболотский М. А., Яковлева JI. П. Минимизация массы цилиндрически слоистой теплозащитной оболочки // Инж.-физ. журн. 1987. Т. 53, №4. С. 636-642.

2. Адамова К. С., Каниболотский М. А., Яковлева Л. П. Минимизация толщины звукоизолирующего слоя //Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1987. Вып. 18, №5. С. 30-35.

3. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

4. Алёхин В. В. Оптимизация слоистых цилиндра и сферы минимального веса при наличии ограничений // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1984. Вып. 65. С. 3-9.

5. Алёхин В. В. Оптимизация слоистых тел при ограничении на основную частоту собственных колебаний / / Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1984. Вып. 66. С. 138-145.

6. Алёхин В. В. Оптимизация слоистого сферического включения в бесконечной матрице при одноосном растяжении // Прикл. механика и техн. физика. 1994. Т. 35, №1. С. 115-120.

7. Алёхин В. В. Проектирование слоистой анизотропной криволинейной балки минимального веса // Прикл. механика и техн. физика. 1997. Т. 38, №1. С. 128-135.

8. Алёхин В. В. Минимизация массы сферического экрана с заданным уровнем прохождения волновой энергии // Прикл. механика и техн. физика. 2000. Т. 41, №5. С. 217-222.

9. Алёхин В. В. Оптимизация слоистого эллипсоидального включения в матрице при двуосном растяжении пространства / / Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. VI, № 2(14). С. 3-14.

10. Алёхин В. В., Аннин Б. Д. Оптимизация упругих слоистых тел // Тезисы пятого национального конгресса по теор. и прикл. механике. Варна: изд-во Болг. АН, 1985. С. 100.

11. Алёхин В. В., Аннин Б. Д. Синтез слоистых композитов // Труды VI Международного симпозиума о композиционных материалах. Высоки Татры-Стара Лесна, ЧССР, 1986. Т. 1. С. 206-210.

12. Алёхин В. В., Аннин Б. Д. Оптимизация термоупругих слоистых тел // Прикл. механика и техн. физика. 1989. N° 2. С. 156-163.

13. Алёхин В. В., Аннин Б. Д., Колпаков А. Г. Синтез слоистых материалов и конструкций. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1988.

14. Алёхин В. В., Аннин Б. Д., Колпаков А. Г. Синтез слоистых материалов // Тезисы шестого национального конгресса по теор. и прикл. механике. Варна: изд-во Болг. АН, 1989. С. 56.

15. Алёхин В. В., Баев JI. В. Проектирование поперечно-слоистого стержня минимального веса при ограничении на устойчивость// Тезисы докладов II Международной конференции по математическому моделированию. Якутск, 1997. С. 121-122.

16. Алёхин В. В., Баев JI. В. Оптимизация слоистого сферического включения при трехосном растяжении на бесконечности // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, №1. С. 145-153.

17. Алёхин В. В., Баев JI. В. Проектирование поперечно-слоистого стержня минимального веса при ограничении на устойчивость // Прикл. механика и техн. физика. 1999. Т. 40, №1. С. 207-211.

18. Алёхин В. В., Воеводин А. Ф., Воронко И. П. Алгоритм оптимизации многослойного цилиндра // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы VIII Всесоюзной конференции. Новосибирск, 1984. С. 3-6.

19. Алёхин В. В., Брошкин А. М. Оптимальное проектирование многослойного диска // Тезисы докладов Сибирской школы по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Якутск, 1990. С. 5-6.

20. Алехин В. В., Каниболотский М. А. Оптимизация массы слоистой сферы из конечного набора материалов / / Механика композит. материалов. 1986. №2. С. 302-307.

21. Алёхин В. В., Колпаков А. Г. Синтез упругих слоистых тел и материалов // Тезисы докл. VI Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. Ташкент, 1986. С. 30.

22. Алёхин В. В., Уржумцев Ю. С. Оптимальное проектирование слоистых элементов конструкций // Тезисы докл. VIII Всероссийского съезда по теор. и прикл. механике. Пермь, 2001. С. 41.

23. Алёхин В. В., Уржумцев Ю. С. Оптимизация слоистых систем. Якутск: ЯФ Издательства СО РАН, 2002.

24. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978.

25. Аптуков В. Н. Взаимодействие ударника с преградой как игровая ситуация // Аннот. докл. 5-го Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. Алма-Ата, 1981. С. 29.

26. Аптуков В. Н. Оптимальная структура неоднородной пластины с непрерывным распределением свойств по толщине // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1985. №3. С. 149-152.

27. Аптуков В. Н., Белоусов В. JI., Каниболотский М. А. Оптимизация структуры слоистой плиты при проникании жесткого ударника // Механика композит, материалов. 1986. №2. С. 252257.

28. Аптуков В. Н., Петрухин Г. И. Принцип максимума Понтря-гина в задачах о динамическом взаимодействии твердых тел // Численное моделирование и оптимизация процессов импульсного деформирования твердых тел. Свердловск, 1983. С. 3-19.

29. Аптуков В. Н., Петрухин Г. И., Поздеев А. А. Оптимальное торможение твердого тела неоднородной пластиной при ударе по нормали // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1985. №1. С. 165-170.

30. Аптуков В. Н., Поздеев А. А. Некоторые минимаксные задачи технологии и прочности конструкций // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1982. №1. С. 47-55.

31. Арман Ж.-Л. П. Приложения теории оптимального управления системами. М.: Мир, 1977.

32. Арутюнян Н. X., Майборода В. П., Трояновский И. Е. Динамика и динамическая устойчивость неоднородных вязкоупругих систем // Тр. Всесоюзного симпозиума "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела". Калинин, 1981. С. 102-105.

33. Бабе Г. Д., Гусев Е. J1. Оптимальное проектирование многослойных теплозащитных полимерных конструкций // Механика композит, материалов. 1981. №3. С. 480-485.

34. Бабе Г. Д., Гусев Е. JI. Оптимизация многослойных структур при прохождении волн // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268, №6. С. 1354-1358.

35. Бабе Г. Д., Гусев Е. JI. Математические методы оптимизации интерференционных фильтров. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1987.

36. Бабе Г. Д., Каниболотский М. А., Уржумцев Ю. С. Оптимизация многослойных конструкций, подверженных периодическим температурным воздействиям J j Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, №2. С. 311-314.

37. Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях. М.: Наука, 1974.

38. Баничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986.

39. Баничук Н. В., Кобелев В. В., Рикардс Р. Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988.

40. Боголепов В. А., Чернышев В. М. Условия максимального демпфирования колебаний механических систем // Изв. вузов. Машиностроение. 1977. №1. С. 28-31.

41. Боголепов И. И., Афренюк Э. И. Звукоизоляция на судах. Л.: Судостроение, 1970.

42. Богословский В. Н. Строительная теплофизика. М.: Высш. шк., 1982.

43. Богомолов С. И., Симеон Э. А. Оптимизация механических систем в резонансных режимах. Харьков: Изд-во ХГУ, 1983. Высш. шк., 1982.

44. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

45. Бондарев Э. А., Будугаева В. А., Гусев Е. JI. Оптимальное проектирование слоистых оболочек из конечного набора вязкоупру-гих материалов // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. №3. С. 5-11.

46. Б рай с он А. Е., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

47. Бреховских JI. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

48. Бреховских JI. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989.

49. Бреховских JI. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982.

50. Будугаева В. А. Оптимизация декремента затухания свободных колебаний вязкоупругой слоистой сферы при ограничении на массу // Прикл. механика и техн. физика. 2000. Т. 41, №2. С. 161-165.

51. Васильев О. В., Тятюшкин А. И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1981. Т. 21, №6. С. 1376-1384.

52. Величенко В. В. К задаче о минимизации максимальной перегрузки // Космич. исслед. 1972. Т. 10, вып. 5. С. 700-710.

53. Витт Д. В. Колебание сферической оболочки с вибродемпфирую-щим слоистым покрытием // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1980. №4. С. 134-142.

54. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974.

55. Габышева Л. Н., Каниболотский М. А. Оптимизация массы слоистой сферической оболочки, синтезируемой из конечного набора материалов // Общие задачи и методы исслед. пластич. и вязкоупр. материалов и конструкций. Свердловск, 1986. С. 29-35.

56. Габышева Л. Н., Каниболотский М. А. Оптимизация теплозащитных конструкций из конечного набора материалов / / Материалы VII Всесоюзной конф. по тепло- и массообмену. Минск, 1984. Т. 7. С. 19-23.

57. Габышева Л. Н., Каниболотский М. А. Синтез слоистой теплоустойчивой сферы минимальной толщины из конечного набора материалов // Инж.-физ. журн. 1985. Т. 29, №6. С. 998-1001.

58. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975.

59. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

60. Гласко В. В., Тихонов А. Н., Тихонравов А. В. О синтезе многослойных покрытий // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1974. №1. С. 135-144.

61. Гринев В. В., Филиппов А. П. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам. Киев: Наук, думка,1975.

62. Гусев Е. JI. Математические методы синтеза слоистых структур. Новосибирск: Наука. Сиб. издат. фирма, 1993.

63. Дианов Д. В., Задириенко И. М. Расчет слоистой согласующей структуры стержневого преобразователя методами оптимизации параметров // Акуст. журн. 1981. Т. 27, №2. С. 104-108.

64. Дмитриев В. И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычисл. методы и программир. М.: Изд-во МГУ, 1968. Вып. 10. С. 55-65.

65. Дорот И. Д., Мачевариани М. М. Аппроксимации распределений показателя преломления в неоднородном поглощающем слое, близком к оптимальному в заданной полосе частот // Акуст. журн. 1977. Т. 23, вып. 4. С. 576-583.

66. Дорот И. Л., Мачевариани М. М. Минимизация модуля коэффициента отражения полигармонической волны от неоднородного поглощающего слоя // Журн. прикл. механики и техн. физики.1976. №3. С. 169-174.

67. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982.

68. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.

69. Ивлев Д. Д., Ершов JI. В. Метод возмущений в теории упруго-пластического тела. М.: Наука, 1978.

70. Ильин В. О., Именитова Е. В., Чернышев К. В. Расчет непрерывных акустических согласующих систем // Акуст. журн. 1983. Т. 29, вып. 4. С. 483-488.

71. Именитова Е. В. О синтезе непрерывных согласующих систем // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1978. Т. 19, № 1. С. 42-46.

72. Именитова Е. В., Чернышев К. В. Синтез непрерывных согласующих переходов между стержневыми волноводами // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1981. Т. 22, №4. С. 37-43.

73. Исакович М. А. Применение слоев, устраняющих возникновение поперечных волн при отражении продольной волны от границы твердого тела // Акуст. журн. 1956. Т. 2, вып. 2. С. 150-152.

74. Каниболотский М. А. Оптимальное проектирование вибро- и звукозащитных слоистых сред // Исслед. систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1986. С. 30-38.

75. Каниболотский М. А. Оптимизация слоистых теплозащитных конструкций при наличии ограничений // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1983. Вып. 61. С. 49-61.

76. Каниболотский М. А. Оптимизация слоистых конструкций из дискретного набора материалов. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1983.

77. Каниболотский М. А., Уржумцев Ю. С. Оптимальное проектирование слоистых конструкций из конечного набора материалов // Тезисы докл. VI Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. Ташкент, 1986. С. 326.

78. Каниболотский М. А., Уржумцев Ю. С. Оптимизация слоистых конструкций // Сб. докладов I конференции по механике академий наук соц. стран / Под ред. JI. Немца, Р. Скруцаного. Прага, 1987. С. 226-229.

79. Каниболотский М. А., Уржумцев Ю. С. Синергизм в механике многослойных конструкций // Общие задачи и методы ис-след. пластич. и вязкоупр. материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ, 1986. С. 54-60.

80. Каниболотский М. А., Уржумцев Ю. С. Эквивалентность задач оптимального проектирования конструкций в макро- и микрослоистой постановках // Механика композит, материалов. 1986. №6. С. 1049-1058.

81. Каниболотский М. А., Уржумцев Ю. С. Оптимальное проектирование слоистых конструкций. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989.

82. Кашина В. И., Тютекин В. В., Шкварников А. П. Синтез и исследование поглотителей продольных волн в стержнях и пластинах // Акуст. журн. 1970. Т. 16, вып. 2. С. 257-263.

83. Клюкин И. И. Борьба с шумом и звуковой вибрацией на судах. JL: Судостроение, 1971.

84. Ковинская С. И., Никифоров А. С. О волноводной изоляции изгибных волн // Акуст. журн. 1982. Т. 28, вып. 6. С. 792-798.

85. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: Изд-во иностр. лит., 1955.

86. Композиционные материалы: Справочник / Под ред. Д. М. Кар-пиноса. Киев: Наук, думка, 1985.

87. Композиционные материалы: Справочник / Васильев В. В., Протасов В. Д., Болотин В. В. и др. М.: Машиностроение, 1990.

88. Кравчук А. С., Майборода В. П., Уржумцев Ю. С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985.

89. Крылов И. А., Черноусько Ф. Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1962. Т. 2, №6. С. 1132— 1138.

90. Крылов И. А., Черноусько Ф. Л. Алгоритм последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1972. Т. 12, № 4. С. 14-34.

91. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехтеоретиз-дат, 1957.

92. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955.

93. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

94. Лурье К. А., Мачевариани М. М. Минимизация толщины неоднородного слоя при заданном коэффициенте отражения монохроматической волны // Прикл. механика и техн. физика. 1969. №1. С. 44-50.

95. Лыков А. В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1972.

96. Любушин А. А., Черноусько Ф. Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления: Обзор // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. №2. С. 147-159.

97. Мазалов В. Н., Немировский Ю. В. Оптимальное проектирование конструкций: Библ. указатель за 1948-1974 гг. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1975.

98. Майборода В. П. Динамика неоднородных вязкоупругих систем // Изв. АН УзССР. 1982. №5. С. 29-32.

99. Майборода В. П., Трояновский И. Е. Собственные колебания неоднородных вязкоупругих тел // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982. № 2. С. 49-56.

100. Малков В. П., Угодчиков А. Г. Оптимизация упругих систем. М.: Наука, 1981.

101. Математическая теория оптимальных процессов / Понтря-гин JI. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В. и др. М.: Наука, 1976.

102. Мачевариани М. М., Миронова В. В. Оптимальное распределение показателя преломления в неоднородном слое, обеспечивающее заданную звукоизоляцию монохроматической волны // Акуст. журн. 1975. Т. 21, вып. 4. С. 583-590.

103. Мачевариани М. М., Тютекин В. В., Шкварников А. П.

104. Импедансный метод расчета характеристик упругих слоисто-неоднородных сред // Акуст. журн. 1971. Т. 22, вып. 1. С. 97-102.

105. Мерич Р. А. Оптимизация коэффициентов теплопроводности изотропных и ортотропных тел // Тр. Амер. общества инж.-ме-хаников: Теплопередача. 1985. №3. С. 1-7.

106. Михайлов В. В. Оптимизация многослойной теплоизоляции // Инж.-физ. журн. 1980. Т. 39, №2. С. 286-291.

107. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

108. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

109. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

110. Молотков JI. А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. JI.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1984.

111. Немировский Ю. В., Хейнлоо М. JI. Одномерная задача прочности и оптимального проектирования неоднородных многослойных сферических и цилиндрических сосудов или круглых дисков // Прикл. пробл. прочности и пластичности. 1976. Вып. 5. С. 3-14.

112. Никитина JI. М., Тимошенко А. Т., Попов Г. Г. и др.

113. Эффект повышения теплоустойчивости легких ограждающих конструкций при сочетании утеплителей // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1980. №6. С. 99-103.

114. Никифоров А. С., Будрин С. В. Распространение и поглощение звуковой вибрации на судах. Л.: Судостроение, 1968.

115. Ниордсон Ф. И., Педерсен П. Обзор исследований по оптимальному проектированию конструкций // Механика: Период, сб. пер. 1973. №2. С. 136-152.

116. Оберет Г. Резонансные звукопоглотители // Некоторые вопросы прикл. акустики. М.: Наука, 1962. С. 265-300.

117. Образцов И, Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977.

118. Оравский В., Маркуш Ш. О проектировании слоистых балок с оптимальным демпфированием // Виброзащита человека-оператора и колебания в машинах. М.: Наука, 1979. С. 255-259.

119. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир, 1981.

120. Пирогов Ю. А., Тихонравов А. В. Резонансное поглощение волновой энергии в несимметричных многослойных структурах / / Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1978. №3. С. 15-20.

121. Поляк Б. Т. Метод сопряженных градиентов в задачах на экстремум // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. Т. 9, №4. С. 807-821.

122. Прагер В. Основы оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977.

123. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

124. Рейтман М. И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976.

125. Рейтман М. И., Шапиро Г. С. Оптимальное проектирование деформируемых твердых тел // Механика деформируемого твердого тела: Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 12. С. 590.

126. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем. М.: Стройиздат, 1980.

127. Рыбак JI. М., Тартаковский Б. Д. Об одном случае полной звукоизоляции при прохождении звука через слоисто-симметричную перегородку // Акуст. журн. 1961. Т. 7, вып. 4. С. 497-499.

128. Сагомонян А. Я. Пробивание плиты тонким твердым снарядом // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1975. №5. С. 104110.

129. Свешников А. Г., Тихонравов А. В., Яншин С. А. Некоторые задачи проектирования многослойных оптических покрытий // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1983. №4. С. 3-7.

130. Свешников А. Г., Тихонравов А. В., Яншин С. А. Синтез оптических покрытий при наклонном падении света // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1983. Т. 23, №4. С. 929-935.

131. Свешников А. Г., Фурман Ш. А., Тихонравов А. В., Яншин С. А. Общий метод синтеза оптических покрытий // Оптика и спектроскопия. 1985. Т. 59, вып. 5. С. 1161-1163.

132. Сизов В. П. Динамическая концентрация напряжений в поглощающей двухслойной конструкции // Изв. Сев.-Кав. науч. центра высш. шк. Естеств. науки. 1985. №1. С. 30-32.

133. Сизов В. П. Расчет динамической концентрации напряжений в слоистой конструкции при импульсных нагрузках // Изв. вузов. Машиностроение. 1985. №2. С. 22-25.

134. Сизов В. П., Шумарин С. И. Напряженно-деформированное состояние многослойных конструкций, подвергающихся воздействию импульсной нагрузки // Изв. вузов. Машиностроение. 1983. №7. С. 13-17.

135. Срочко В. А. Применение принципа максимума для численного решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями // Кибернетика. 1986. №1. С. 73-77.

136. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000.

137. Степанов В. Б., Тартаковский Б. Д. Интерференционное ви-бропоглощающее покрытие // Акуст. журн. 1986. Т. 32, вып. 1. С. 87-92.

138. Тартаковский Б. Д. Звуковые переходные слои // Докл. АН СССР. 1950. Т. 75, №1. С. 29-32.

139. Тетере Г. А., Рикардс Р. Б., Нарусберг В. J1. Оптимизация оболочек из слоистых композитов. Рига: Зинатне, 1978.

140. Тимошенко А. Т. Теплозащита и теплоустойчивость легких ограждающих конструкций жилых зданий на Севере. Якутск, 1981.

141. Тихонов А. Н., Ильинский А. С., Свешников В. Г. Математические модели электродинамики излучающих систем / / Проблемы вычисл. математики. М., 1980. С. 82-108.

142. Тихонравов А. В. О принципиально достижимой точности решения задач синтеза // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1982. Т. 22, №6. С. 1421-1433.

143. Троицкий В. А., Петухов Л. В. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982.

144. Уржумцев Ю. С., Каниболотский М. А. Эффект синергизма в механике многослойных конструкций: Оптимизация полимерных конструкций, подверженных периодическим температурным воздействиям // Механика композит, материалов. 1984. Ч. I, №2. С. 289-295.

145. Уржумцев Ю. С., Каниболотский М. А. Оптимизация слоистых систем при воздействии температурных и звуковых волн / /

146. Тезисы докл. V нац. конгр. по теор. и прикл. механике. София, 1985. С. 47.

147. Уржумцев Ю. С., Никитина JI. М., Бабе Г. Д. Оптимизация многослойных ограждающих конструкций по теплоустойчивости // Механика композит, материалов. 1981. №6. С. 689-695.

148. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

149. Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965.

150. Фурман Ш. А. Тонкослойные оптические покрытия. JL: Машиностроение, 1977.

151. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

152. Хог Э. Д., Арора Я. С. Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции. М.: Мир, 1983.

153. Черноусько Ф. JT., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления: Численные методы. М.: Наука, 1973.

154. Черноусько Ф. JT., Колмановский В. Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Математический анализ: Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1977. Т. 14. С. 101-166.

155. Чернышов В. М. Вибропоглощающие свойства металлополи-мерных оболочек // Изв. вузов. Машиностроение. 1986. №8. С. 38-43.

156. Чжу С. О., Прагер В. Последние достижения в области оптимального проектирования конструкций // Механика: Период, сб. пер. 1969. №3. С. 129-142.

157. Шкловер А. М. Теплопередача при периодических тепловых воздействиях. М.; JL: Госэнергоиздат, 1961.

158. Щевьев Ю. П. Анализ и синтез неоднородных акустических сред. JL: Изд-во ЛГУ, 1984.

159. Annin B. D., Alyokhin V. V. A problem of optimal design of a laminated sphere // Proc. of the Int. Symp. "Composites: Fracture mechanics and technology". Chernogolovka, 22-25 September, 1992. P. 1-10.

160. Bryant G. F., Mayne D. Q. The maximum principle // Intern. J. of Control. 1974. V. 20, N6. P. 1021-1054.

161. Ewing W. M., Jardetzky W. S., Press F. Elastic waves in layered media. N.Y.: Mc. Graw Hill, 1957.

162. Halkin H. Mathematical foundations of system optimization // Topics in Optimization. N.Y.: Acad. Press, 1967. P. 197-262.

163. Kanibolotsky M. A. Optimal design of layered structures // Modelling Simulation & Control. 1989. V.22, N4. P. 21-32.

164. Lay Y.-S., Achenbach J. D. Optimal design of layered structures under dynamic loading // Computers &; Structures. 1973. V. 3, N3. P. 559-572.

165. Matonis V. A., Small N. C. A macroscopic analysis of composites containing layered spherical inclusions // Polymer Eng. and Sci. 1969. V. 9, N2. P. 90-99.

166. Mayne D. Q., Polak E. First order strong variation algorithms for optimal control // J. of Optimizat. Theory and Appl. 1975. V. 16, N3-4. P. 277-301.

167. Narayanan S., Shanbhad R. L. Sound transmission through a damped sandwich panel // J. of Sound and Vibration. 1982. V. 80, N3. P. 315-327.

168. Scharnhorst K. P. Optimal distribution of density and dilatation modulus in inhomogeneous layers // J. of the Acoust. Soc. of Amer. 1979. V.66. P. 1526-1535.

169. Stepanishen P. R., Stozeshi B. Reflection and transmission of acoustic wideband plane waves by layered viscoelastic media // J. of the Acoust. Soc. of Amer. 1982. V. 71, N1. P. 9-21.

170. Ursin B. Review of elastic and electromagnetic wave propagation in horizontally layered media // Geophysics. 1983. V.48, N8. P. 10631081.