Оптимальное проектирование анизотропных неоднородных слоистых цилиндрических оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

П и им

I / 1:1;) ' —^

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АРМЕНИИ

Ереванский государственный университет

на правах рукописи

ГРИГОРЯН АЛВАРД АСОЕВНА УДК 539.3

ЭПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СЛОИСТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1993

Работа выполнена на кафедре механики сплошной среды Ереванского государственного университета

Научный руководитель - член корр. HAH Армении, доктор физш

математических наук, заслуженный деятель науки Армении, профессор САРКИСЯН B.C.

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

ГНУШ В.Ц.

кандидат физико-математических наук доцент АТОЯН Л.А.

Ведущая организация - Ереванский архитектурно-строительны:

институт

Защта состоится " М " CJfytyTl^SjuX, 1993г. в час в аудитории n 22 на заседании Специализированного СоЕе К 055.01.02, по присуждению ученой степени кандидата физико - мат матических наук в Ереванском государственном университете адресу: 375049, г. Ереван - 49, ул. А. Манукяна I.

С диссертацией можно. ознакомиться в библиотеке Ереванско государственного университета.

Автореферат разослан " /3 " cJ&^&frisa^ 1993 г.

."■ оный секретарь ' iоанализированного Совета

пцшат физико-математических наук ДЖШ1АВЯН С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена задачам оптимального проектирования неоднородных анизотропных слоистых цилиндрических зболочек.

Актуальность теш.

В настоящее время одним из интенсивно развивающихся направ-юшШ в механпко деформируемого твердого тела является теория зптимизэции конструкций. Это обусловлено тем, что задачи создания оптимальных конструкций возникают в самых различных прилюдных областях: в авиациошюй и космической технике, в ;удостроешш, в машшюстроенш, в строительстве сооружений и т.д. 1а основе оптимального проектирования достигается снижение гатериалоемкости конструкций, улучшение их физико-механических :арактористга< и т.д. Развитие теории оптимизации конструкций тесно ¡вязано с появлением мощной электронно-вычислительной техники и юзвитием математических методов оптимизации с методов вариацион-юго исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного . рогракмировашм и др.з. Задача оптимизации приобретает особое начешге в связи с недостаточностью ресурсов, "а также с уве-ичением стоимости материалов и изделий. ' •

В совремегаюй технике все более широкое , распространение олучают конструкщш, изготовленные из композиционных материалов, бладающие. неоднородностью и анизотропией, так' как они наиболее олно удовлетворяют требованиям работы в экстремальных условиях повышение и понижение температуры, воздействие, различных сред, злучение и др.э. в связи с эти.!, становятся актуальными вопросы птимального проектирования анизотропных неоднородных слоистых онструкций. В, частности, представляют, интерес отыскание о игральной формы упругих • анизотропных тел, оптимальное распреде-вние модулей жесткости по деформируемому телу, проблема совестной оптимизации формы и внутренней -структуры конструкций.

Интерес исследователей к задачам оптимального проектирования ¡¡изотропных неоднородных конструкций обусловлен также возрастающий возможностями .современной технологи! создания материалов с эзличными видами конструктивной анизотропии и неоднородности.

Задачи отыскания оптимальных форм анизотропных конструкций являются естественным обобщением соответствующих задач для изотропных конструкций. К задачам оптимизации внутренней структуры. конструкций относятся задачи оптимального распределения коэффициентов жесткостей, отыскания оптимальной ориентации осей анизотропии конструкций.

В развитии теории оптимального проектирования конструкци большой вклад внесли Н.В.Баничук. Э.В.БелуСекян, А.С.Братусь, B.I] Гнут. В.Б. Гринев, P.M. Киракосян, Ю. Лепик, Н.А.Лурье, B.I) Малков, Ю.В. Немировский, И.Ф. Образцов, Л.В. Петухов, Р.Б Рикардс, B.C. Саркисян, А.П. Сейранян, А.Г. Угодчиков, В.А Троицкий, Ж-Л.П. Арман, Ф.И. Ниордсон, Н. Ольхофф, В. Прагер другие. -

Цель работы.

1. Решение задач оптимизации жесткости, устойчивости и чаете колебаний анизотропных неоднородных слоистых цилиндрически оболочек.

2. рывод условий оптимальности и численная реализация рассмотренных оптимизационных задач.

3. Применение и обоснование метода малого параметра npi решении задач оптимизации жесткости, устойчивости ,и частот колебаний анизотропных неоднородных слоистых оболочек, изготовленных из материала со слабой неоднородностью.

Научная новизна.

Поставлены и решены ряд задач оптимизации жесткости, усто! чивости и частот колебаний анизотропных неоднородных слоист! цшпшдрических оболочек с учетом анизотропии и неоднородное: материала каадого слоя оболочки: минимизация максимально] прогиба, максимизация основной частоты свободных колебаний и. критической силы потери устойчивости при фиксированной мае« ооолочки. Управляющими параметрами оптимизационных задач являют! функции неоднородности упругих свойств каждого слоя оболочки. ¡» осмотренных задачах на управляющие параметры и фазовые пер мшшв наложены ограничения, которые обусловлены требованиям; предъявляемыми к конструкциям с физико-механические свойства ко: струкции, технологические возможности ее создания, ограничения :

¡тоимостьэ.

Обоснован метод малого параметра для поставленных задач и грименением малого физического параметра получены приближённые политические решения в задачах оптимального проектирования «изотропных неоднородных слоистых оболочек и необходимые 'словия оптимальности.

Практическая ценность.

Результата, получешшо в диссертационной работе, могут быть :спользованы при проектироваюш элементов неоднородных конструк-лй типа слоистых оболочек в машиностроении, в строительстве, в виациношюй технике и во многих других областях.

Достоверность.

При решении поставленных оптимизационных задач применяются ариационные метода, метод малого параметра.

Полученные результаты в некоторых случаях сравнены с извест-ыми результата™ С.Л. Лмбарцумяна, Ж.-Л.П. Армана, Н. Баничука, • С. Братуса, С.Г. Лехшщкого, B.C. Саркисяна и Н. Ольхоф|>а.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационно!! работы докладывались а следующих конференциях и семинарах: и • Всесоюзная конференция о "Механика неоднородных структур" сЛьвов, iss7 г.э; vi сесоюзная конференция по композиционным материалам с Ленинакан, эв7 г.э; Всесоюзная конференция по "Актуальные проблемы механики золочек" сказань, lesa г.э; xv Всесоюзная конференция по теории Золочен и пластин сКазань, íeso r.i; научные семинары кафедры эханшш сплошной среды Ереванского' государственного университета, негодные научные конференции профессорско-преподавательского эстава и аспирантов Ереванского государственного университета Ереван, 1987-91 гг.5.

Публикации.

По материалам диссертации опубликованы семь работ.

Структура я об'ем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех' глав, включения, списка литературы, приложений, рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введен™ приведен краткий обзор работ по оптимизаци конструкций, определены цель, характер, актуальность работы Вкратце изложено содержание выполненной диссертационной работы.

В первой главе описываются основные уравнения и соотношеш; неоднородных анизотропных слоистых цилиндрических оболочек.

В первых двух параграфах приводятся основные уравнения соотношения, граничные условия технической теории цилиндрически оболочек, составленных из произвольного числа анизотропных неод породных слоев.

В третьем параграфе, введением двух функций: фушсци напряжения рСа.^э и перемещения ыса./ъ разрешающая систем анизотропных неоднородных слоистых цилиндрических оболоче приводится к .двум уравнениям относительно введенных функций, последнем параграфе данной главы рассматриваются свободны колебания анизотропной неоднородной слоистой цилиндрическо оболочки'.

Во второй главе рассматривается применимость метода малог параметра для решения задач шшзотропных неоднородных слоисты цилиндрических оболочек. Вводятся два малых параметра с и и Введением малого параметра с неоднородная задача анизотропии цилиндрических слоистых оболочек приводится к ряду ашкзогропны однородных задач, а с помощью малого параметра м анизотропия однородная задача приводится к ряду ортотропных задач. Эти вопросам посвящены первые два параграфа главы.

В третьем параграфе исследуется вопрос существования единственности решения задачи анизотропной неоднородной слоист оболочки. Рассматривается ' круговая цилиндрическая оболочл собранная из произвольного числа неоднородных анизотропных слое Предполагается, что в каждой точке каждого слоя оболочки имеет лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная координат! поверхности оболочки.

Уравнения технической теории анизотропных слоистых цилиндр ческих оболочек приводятся к следующей разрешающей системе да дифференциальных уравнений относительно двух искомых функщ

Е,[А)" + Е„Н---- 0

где С1 = 1. г. зэ-линейные дифференциальные опоратори 4-го порядка с переменными коэффициентами, (п./^-жесткости

оболочки, • с1)к[.)•>« " хорактиризуют упругие

свойстве! слоистой оболочки и представляются через жесткостой оболочки, я-радиус кривизны координатной поверхности. нормально приложенная нагрузка. Рассматривается жестко закрепленная оболочка.

Пусть п область, зашшаемая координатной поверхностью оболочки, а г-граница области п.

Доказывается,'что разрешающая система С1Э теории анизотропных слоистых неоднородных цилиндрических оболочек при рассмотренных граничных условиях, сильно эллиптическая*.

Пользуясь теоремами вложений С.Л.Соболева9 и некоторыми результатам! работ В.С.Саркисяна4 доказывается, что если граница г , достаточно гладкая, с7 раз непрерывно дифференцируемая, то краевая

задача со однозначно разрешима в классе [о] для любой функции а.^ е ьДп} и решение допускает оценку:

I 2

Более того, если граница г области о С7 + яо ст = 1, г, . ..э раз непрерывно дифференцируема, то для любой - « у^4>(°]

*Амбариумян С. А. Общая теория аниэотропньы оболочек. - М. . Наук». 1074, 449 с. «

*Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференцмальньве уравнения.- Математический сборник. 1S31, т. 29С71Э, N Э, с. ei 4-в7в.

'Соболев С. Л. Некоторое применение функционального анализа в математической физике, Л. , иэд. ЛГУ, 1950 , 256 с.

*Саркисян B.C. Некоторые оадачи теории упругости аниэотропногс тела. Ереван, ирд-во ЕГУ. 1970. 443 с.

решение е {п} допускает оценку:'

сопзЪ^ с:

г г

В четвертом параграфе главы решение разрешающей систем! анизотропных неоднородных слоистых оболочек представляется в вид; ряда по степеням малого параметра с.

Допускаэтся, что материалы слоев обладают неоднородное!!

вида0

В^уСа.(П » + c/^|tCa>f?зj, 1 =Г7п С-

где г> число слоев оболочки, ** 1>2.е:> постоянны

характеризующие ^-ые анизотропные свойства материала 1-го ело, о<&<1 ■ малый . физический параметр, . а /^с«,/» функцн, характеризующая неоднородность Jк-ого упругого свойства 1-го ел

и 1.

. Разложив • жесткости ' и приведенные жесткое

изгиба • (о.,^ ^.к -,1.2,е} оболочки в ряды по мало

параметру с и удерживая члены порядка °(сг}» подставляя полученн выражения в разрешающую систему дифференциальных уравнешй С1 получим '.'".'

Е«»[х] .¿^'[Х] Л' »»»

где ею,= { е1"'} матрица дифференциальных операторов

по с тоянными коэффициентами не выше четвертого, порядка.

Матрицы е""« ( е'^Ч с к = 1.35 являются матрицами да I- и*»,г

ференциальных операторов не выше четвертого порядка с пе] манными коэффициентами, которые зависят от Функций неоднородно«

а х = , 2 = о}. Матрица е'°' совпадает с мат]

цей задачи теории однородной анизотропной цилиндрической оболоч!

аСаркисян В. С. Некоторые задачи математической Теории упруго анизотропного тела, Ереван, иэд. ЕГУ, 1976, 536 с.

- о -

Ищем решение системы аз в виде ряда по степеням малого параметра с, т.е.

*[«.ft) - ^¡Г e'x^ja.fîj С63

Подставляя в систему уравнений сээ, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра с, получаем рекуррентную

систему краевых задач относительно приближений х fa.iO

Х.1 = 2. . С 73

2о = z. z.= -е'1' X. t - Е,г> Х._г . Ci = 1,г,...з

где х^0«/3] = о- когда ко.

Тагам образом задача теории неоднородных анизотропных слой-стих цилиндрических оболочек сводится к ряду задач сходных с задачей теории однородных анизотропных слоистых оболочек.

Доказывается, что существует решение основной краевой задачи с13 имеющее вид

-» -» 00 ^

Х[сс.л] - + ^Гй'Х. («,/?]. С83

j=»

причем при

* < Т5Г С93

^q, ы' постоянные величины, зависящие от области, занимаемой координатной поверхностью оболочки и от упругих характеристик материалов слоев], ряда

' . со

сходятся равномерно в замкнутой области й по « и р, ряды третьих производных по а и fl сходятся в любом пространстве Lp [nj С р>13 ,

а ряды четвертых производных сходятся в

В третьей главе рассматриваются задачи оптимального проектирования анизотропных неоднородных слоистых цилиндрических оболочек на жесткость и прочность. В первом параграфе приводятся по. становки этих задач: минимизация максимального прогиба и максими-

зация основной частоты свободных колебаний при фиксированной массе оболочки. Управляющими параметрами в обоих задачах являются функции неоднородности каждого упругого свойства каждого слоя оболочки. Предполагается, что управляющая функция принадлежит

пространству С.Л. Соболева т.е. имеет суммируемые с квад-

ратом производные второго порядка в области о. Кроме того, предполагается, что в каждой точке каждого слоя оболочки известна зависимость функции распределения плотности материала 1-го слоя

р^о.а] и функцией неоднородности С-Ьк = • Тогда

масса оболочки выражается через функции неоднородности. В рассмотренных задачах оптимизации на допустимые функции неоднородности и на рост их производных первого порядка наложены ограничения. При минимизации максимального прогиба, используя известные соотношения между нормами в пространстве непрерывных функций и в пространстве функций, интегрируемых с р-й степень, поставленная оптимизационная задача с локальным критерием качества аппроксимируется задачей с интегральным функционалом цели. Ограничиваясь точностью первого порядка малого физического параметра с оптимизируемый функционал примет вид:

'А'*-.....с)- ЫИ ЯКМГ'^М^"'ср>"

р о

где «0 (а/^. соответственно первое и второе приближения

прогиба оболочки.

Во второй части параграфа ставится следующая оптимизационная задача: управлять неоднородностью материала каждого слоя оболочки так. что при фиксированной массе оболочки первая собственная частота свободных колебаний достигла максимального значения.

Доказывается, что спектральная задача имеет полную систему

собственных функций и счетное множество собственных чисел

таких, что первая собственная функция разрешает вариационную задачу о нахождении минимума отношения Рэлея.

Во втором параграфе приводятся решения поставленных задач оптимального проектирования. Получено необходимое условие оптимальности в виде уравнений в частных производных относительно управляющих функций, т.е. функций неоднородности. Линеаризация пос-

тавлэшшх задач обеспечивает достаточность условия оптимальности. В задачах оптимального проектирования для первой поправки к

вычислению первого собственного значения \ [/'к. /*к..... /"к} и

для максимального прогиба оптимизируемый фушшонал имеет вид:

=Ш^'И * ыы * 1=1 ^

В обоих задачах оптимального проектировашш оптимизируемые

функционалы линейны относительно управляемых функций /*к(а-'?]>

..........• Функции (31,1г>известные функции,

которые определяются жесткостными характеристикам! 1-го слоя и через нулевое приближение прогиба.

Общий вид необходимого . условия экстремума для каждой

управляющей функции имеет вид:

да

Л*'

'V

(14 Г

^) к 'с1 т .. (21)

сх=о;а

/?=о;ь

О С1 = 1,п; j. к - 1.2,в:>, ОЭ)

о постоянные , - неопределешше множители Лагранжэ. Решение краевой задачи С1гз-С1эз имеет вид:

со

I, в , т , П3|

(О

- .....»¡««(х^^е,.!^^)/^^ *

I , • , т,п>1

о"»

1,9, т,г>=1

ГДв £ пО/а; X . «пСв±Ю/'Ь; и.« -1 в 1 ; и «

« 1*ГП П J^ ОО

а .э.т.п} известные величшш и вычисляются заранее.

В обоих задачах неопределенные множители находятся из условий | - 1 •

Гак как функционалы (<=>./»]. /^[«.гз].....и

'»М* .....] лин0«11111 относительно

.....и экстремальные значения ищутся

на выпуклых и замкнутых множествах, то они достигают на этих множествах экстремального значения, и всякий локальный экстремум является и глобальным.

Численные расчеты- показывают, что функции неоднородности'

/»1 ["'^З * при изотропных СЛОЯХ ИМ6ЮТ ВИД

срис. 15, а /^Да,^ имеет ВИД срйс. 25. При ортотропных слоях

функция неоднородности /\г ^ в зависимости от физико-моханичес-

ких параметров слоистой оболочки, меняется от слоя к слою, т.е. имеет вид: срис. 15 иди срис. 25 . вычислен относительный-выигрыш по оптимизируемому функционалу.

Численная реализация рассмотренных оптимизационных задач проводилась на ПК хвм^ат, в приложении приведены соответствующие, программы, написанные на языке программирования Паскаль.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Поставлены и решены ряд задач оптимального проектирования анизотропных неоднородных слоистых, цилиндрических оболочек с учетом анизотропии и неоднородности, материала каждого слоя. .

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 ■О. 0 •„0.2 -0.4

' ............................

0 10 20 25 30 ' 40 Рис. i

50

..,., а = 25

......... а = 20

а = 15

— а = 10

— а = 0

О 10 20 25 30 40 50 Рис. г

а = 25 а = 20 а = 15

а - 10

а = О

г. Получена разрешающая система анизотропных неоднородных слоистых цилиндрических оболочек в рамках технической теории.

Доказывается, что рассматриваемая задача при жестко закрепленной границе является сильно эллиптической и получена оценка решения, когда правая часть системы принадлежит определенному классу функций.

3. вводится малый физический параметр с. Решение задачи представляется в виде ряда по степеням малого .параметра, вследствие которого задача анизотропных неоднородных слоистых цилиндрических оболочек сводится к ряду рекуррентных задач анизотропных однородных слоистых цилиндрических оболочек. Обосновывается представление решения этих задач в виде .ряда по степеням малого параметра с и доказывается сходимость этих рядов и их производных до четвертого порядка. Вводится также малый параметр и. С помощью м задача анизотропных однородных слоистых цилиндрических оболочек сводится к ряду рекуррентных задач ортотропных 'однородных слоистых цилиндрических оболочек. Сходимость по параметру ц исследован численно.

4. применением малого параметра с получены приближенные аналитические решения в'задачах оптимального проектирования неодно- . родных анизотропных слоистых оболочек и необходимые условия оптимальности. .......

5. Результаты численных расчетов'показывают, - что ■ функции .

неоднородности /jk(a>p] [j 1 'г-6; 1 = ^Тп- где п число слоев]

при изотропных слоях имеют качественно одинаковые поведения. При

ортотропных слоях только функция неоднородности '] в зави-_

симости от физико-механических характеристик оболочки качественно меняется от слоя к слою. Вычислен относительный выигрыш . по' функционалу.

Основные результаты , диссертационной работы опубликованы в следующих работах.-

1. Гукасян Г.М., Григорян A.A. Об одной задаче оптимального проекирования анизотропных неоднородных цилиндрических слоистых оболочек, Тезисы докладов и всесоюзной конференции по "Механика неоднородных структур?*, Львов,'iss7, с. 84-es.

- IS -

2. Григорян А.А'. К оптимизации жесткости анизотропной неоднородной слоистой цилиндрической оболочки, Материалы vi Всесоюзной конференции по композиционным материалам, Ереван, i9S7,

С.. 83-84.

3. Григорян A.A., .Гукасян Г.М. Оптимизация- основной частоты свободных колебаний анизотропных неоднородных слоистых цилиндрических оболочек. Тезисы докладов "Актуальные проблемы механики оболочек", Казань, 1988, с. эз.

4.Саркисян B.C., Гукасян Г.М.. Григорян A.A. Оптимизация жесткости анизотропной неоднородной слоистой цилиндрической оболочки, Мехашша, межвузовский сборшш научных трудов, вып. 7, Ереван, с. зэ-48.

s. Григорян A.A., Григорян К.А., Дкулакян Г.М., Саркисян B.C. Оптимальное проектирование анизотропных неоднородных слоистых щшшдрических оболочек, Труды xv всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Казань, 1зэо, с. 625-взо.

6. Саркисян B.C., Гукасян Г.М., Григорян A.A., Ловашек Я. Об одной задаче оптимального проектирования анизотропных неоднородных СЛОИСТЫХ цилиндрических оболочек, Slovencky casopis, N 40, Vydava-

telstvo SlovenskeJ akademie Vied, Bratislava, 19Э1 , p. 13-24.

7. Саркисян B.C., Григорян A.A. Об одном методе решения задачи анизотропной неоднородной слоистой цилиндрической оболочки.-Ученые записки ЕГУ, н i, юээ, с находится в печатиэ.