Исследование геометрически нелинейного напряженно-деформированного состояния анизотропных оболочек вращения методом конечных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ I.I. Простейший осесимметричный вариант нелинейных деформационных соотношений в цилиндрических координатах.

§ 1.2. Обобщенный закон Гука для однонаправленно армированного композита

§ 1.3. Вариационная формулировка задачи

ГЛАВА П. ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ

§ 2.1. Аппроксимация поля перемещений и поля деформаций.

§ 2.2. Энергия деформации оболочки

§ 2.3. Работа внешних сил.

§ 2Л. Уравнения Эйлера вариационной задачи.

Квазилинеаризация.

§ 2.5. Матрица жесткости, матрица-якобиан, вектор нелинейных частей и вектор приведенных нагрузок.

§ 2.6. Определение напряженно-деформированного состояния

ГЛАВА Ш. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ И АЛГОРИТМЫ

§ 3.1. Общая схема решения геометрически нелинейной задачи теории упругости

§ 3.2. Алгоритм корректировки правых частей линеаризованной системы уравнений

§ 3.3. Аппроксимация кинематических граничных условий.

§ 3.4. Решение больших систем линейных алгебраических уравнений симметричной ленточной структуры

ШВА 1У. ТЕСТОВЫЕ РАСЧЕТЫ

§ 4.1. Напряженное состояние однородного анизотропного цилиндра

§ 4.2. Трехслойная цилиндрическая оболочка

§ 4.3. Геометрически нелинейное деформированное состояние цилиндрической оболочки

ГЛАВА У. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЕРЕКРЕСТНО

АРМИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК

§ 5.1. Эффект анизотропии в двухслойной цилиндрической оболочке

§ 5.2. Анизотропная круговая торообразная оболочка вращения

ГЛАВА У1. РАСЧЕТ АВТОМОБИЛЬНЫХ РАДИАЛЬНЫХ ШИН .1X

§ 6.1. Напряженно-деформированное состояние легковой шины.

§ 6.2. Напряженно-деформированное состояние крупногабаритной автомобильной шины.

Широкое внедрение в народное хозяйство тонкостенных слоистых конструкций, наиболее полно удовлетворяющих условиям максимальной прочности и жесткости при минимальном весе и оптимальных размерах, выдвигает требование разработки надежных расчетных методик, позволяющих еще на стадии проектирования достаточно точно охарактеризовать напряженно-деформированное состояние оболочечных элементов. Удовлетворительное решение задач прочности слоистых анизотропных оболочек возможно лишь при наиболее полном учете их особенностей, к которым можно отнести неоднородность строения, анизотропию упругих свойств слоев, низкую сдвиговую жесткость, а также работу конструкций в области деформаций, когда пренебрежение геометрической нелинейностью становится недопустимым. Это придает большое значение исследованиям, направленным на создание новых и совершенствование известных методов расчета анизотропных оболочек.

Разработка достаточно универсальных, теоретически обоснованных численных алгоритмов расчета слоистых анизотропных оболочек позволит прогнозировать и активно улучшать прочностные и эксплуатационные свойства тонкостенных конструкций, что делает данную проблему актуальной и перспективной.

Поскольку получение точного аналитического решения задачи теории упругости о напряженно-деформированном состоянии неоднородных анизотропных оболочек в практически интересных случаях невозможно, исследования проводятся с использованием различных упрощающих предположений и численных методов. Основным направлением такого рода работ является сведение задачи теории упругости к двумерным, в случае осевой симметрии - одномерным задачам теории оболочек, основанным на применении различных кинематических и статических гипотез. Здесь можно выделить два основных подхода, наиболее широко применяемых на практике [17]. Первый, связанный с теорией многослойных оболочек, в которой деформации сдвига описываются функциями, произвольными для каждого слоя, для геометрически нелинейной оболочки был предложен Э.И.Григолюком и П.П.Чулковым в [24,25] . Общая теория слоистых конструкций, состоящих из чередующихся мягких и жестких слоев, разработана в [и] . Дальнейшее развитие этого подхода нашло отражение в работах [40,87] . Необходимо отметить, что порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений, полученных в результате применения рассматриваемого подхода, существенно зависит от числа слоев. Это является сдерживающим фактором в практическом использовании такой теории при рассмотрении оболочек с большим числом слоев; наиболее распространено применение данного подхода к исследованию трехслойных оболочек. Геометрически нелинейная задача о напряженно-деформированном состоянии трехслойных оболочек вращения и пластин в рамках подхода [24,25] решена методом конечных элементов в [107,109] .

Второй подход в теории многослойных оболочек связан с принятием единых кинематических и статических гипотез для всего пакета слоев. Здесь порядок уравнений сохраняется постоянным и зависит лишь от характера принятых исходных допущений. Работы, относящиеся к этому направлению, подробно обсуждаются в известных обзорах [6,17] , поэтому рассмотрим наиболее характерные исследования, не вошедшие в [б,17] . Одной из наиболее поздних является работа [29] , в которой рассчитываются анизотропные оболочки вращения с позиций геометрически нелинейного варианта теории оболочек типа Кирхгофа-Лява. Более общая постановка осуществляется в [20] , где решение строится на основе кинематических гипотез типа Тимошенко с независимой аппроксимацией напряжений поперечного сдвига по параболическому закону. Разработанный в [20] устойчивый алгоритм решения осе-симметричных геометрически нелинейных задач позволил провести исследование эффекта анизотропии в перекрестно армированных оболочках [38] и нашел применение к расчету радиальных автомобильных шин [21] . Линейные задачи для оболочек вращения решаются в [ПО] методом конечных элементов, с использованием оболочечных элементов, учитывающих поперечный сдвиг. Различные типы конечных элементов применены к расчету оболочек вращения и некруговых цилиндров в [28] .

Несколько в стороне от рассмотренных подходов, но ближе ко второму, находится работа [77] , где реализован метод конечных элементов с использованием "вырожденного" трехмерного элемента, полученного в результате пренебрежения нормальной к срединной поверхности составляющей напряжения в обобщенном законе Гука. Однако,после применения вариационного принципа Лагранжа и проведения интегрирования по объему оболочки, полученные в [77] соотношения вполне соответствуют теории оболочек типа Тимошенко.

Уточненный подход, связанный с асимптотическим методом в теории оболочек [15] , реализован в [92] . Приведение трехмерной задачи теории упругости к двумерной для метода конечных элементов с использованием в качестве координатных функций интегральных полиномов Лекандра совместно с интерполяционными полиномами Лагранжа разработано в [56-58] . Этот подход может рассматриваться как некоторое развитие методов [12J . В момент-ной схеме метода конечных элементов [56] учтены перемещения конечного элемента как твердого тела. Однако вследствие однослойной аппроксимации оболочки конечными элементами, подходы, развитые в [56-58],более применимы к расчету однородных или близких к ним оболочек.

Ко второму подходу примыкает и теория оболочек, развитая в [52] , также нашедшая реализацию на основе метода конечных элементов применительно к расчету ортотропных пластин [51] .

Таким образом, в настоящее время существует большое число работ, посвященных исследованию слоистых анизотропных оболочек с использованием различных вариантов перехода к двумерным задачам. Но в случае большой неоднородности упругих свойств слоев и структуры оболочки, первый, а тем более второй и смежные с ним подходы, в силу принятых гипотез могут дать значительную погрешность при оценке напряженно-деформированного состояния. Указанное обстоятельство отмечено в работах [74-76, 94] , в которых для различных частных случаев анизотропных слоистых оболочек удалось получить точные аналитические решения задачи теории упругости. В работах [74,75] , в частности, из сравнения полученного в обобщенных степенных рядах решения задачи теории упругости о напряженно-деформированном состоянии бесконечно длинной цилиндрической оболочки, нагруженной осе-симметричной радиальной нагрузкой в среднем сечении, с решением на основе уравнений типа [1б] показаны достаточно узкие границы применимости оболочечной теории. В [7б] аналогичные выводы делаются для случая оболочки, собранной из двух трансверсально изотропных слоев с сильно отличающимися упругими характеристиками. В работе [94] подробно исследованы двухслойная и трехслойная цилиндрические оболочки, собранные из первоначально одинаковых ортотропных слоев перекрестным образом так, что главные оси упругой симметрии составляли с меридианальным направлением некоторый угол. Такие оболочки обладают свойствами цилиндрической анизотропии, упругие характеристики слоев на границе контакта меняются скачкообразно. Для шарнирно опертых по торцам, нагруженных равномерным внешним давлением оболочек решение получено в рядах Фурье. В [94] установлено, что напряжения поперечного сдвига в рассмотренных случаях имеют непараболический характер распределения по толщине, тангенциальные напряжения терпят разрывы на границах слоев и в пределах одного слоя могут быть распределены по закону, отличающемуся от линейного.

Следовательно, при исследовании целого ряда практически важных оболочечных конструкций возникает необходимость решения задачи теории упругости. Проведение такого рода расчетов возможно лишь на основе численных методов, главное место среди которых в настоящее время занимает метод конечных элементов.

Одной из первых работ, посвященных расчету осесимметрично нагруженных композитных оболочек вращения с позиций теории упругости является работа [99^ . Здесь решена геометрически линейная задача, применительно к ортотропному телу. В работе [iOl] метод конечных элементов впервые распространен на исследование анизотропных тел вращения, также в осесимметричной и линейной постановке. При этом,в связи с целевым назначением для расчета длинных труб, в этой работе сделаны некоторые упрощающие предположения. В наиболее общей постановке линейная задача теории упругости об осесимметричном напряженно-деформированном состоянии слоистой анизотропной оболочки вращения решена в [ill] . Здесь использован б-ти узловой треугольный в сечении кольцевой элемент, разработанный в [69] .

Решение геометрически нелинейной задачи о напряженно-деформированном состоянии ортотропного тела вращения, выполненного из несжимаемого материала, получено в [93] . В работе используются физические соотношения типа Муни-Ривлина, система нелинейных алгебраических уравнений решается методом Ньютона[35].

Наиболее общая постановка конечноэлементного подхода к решению геометрически нелинейных задач теории упругости анизотропного тела осуществлена Аргирисом в работах [67-69] . Практическая же реализация этих подходов не была произведена до последнего времени [91] . Первой работой, где достаточно корректно сформулирована и решена задача о геометрически нелинейном осесимметричном напряженно-деформированном состоянии слоистой анизотропной оболочки вращения является [97] . Здесь задача решается в глобальной цилиндрической системе координат с использованием конечного элемента типа [69] . Разработанная методика применена к расчету радиальной автомобильной шины. Полученные в [97] результаты свидетельствуют о плодотворности подхода, предпринятого в работе. Однако использование при исследовании тонких оболочек общих квадратично-нелинейных деформационных соотношений не только приводит к большой громоздкости разрешающих уравнений и неоправданному увеличению времени решения задачи на ЭВМ, но и содержит в себе некоторое противоречие, поскольку в этом случае удлинения и сдвиги являются малыми величинами по сравнению с единицей [30] . Кроме этого, в работе [97] не решена проблема исключения поворота конечного элемента как твердого тела.

Подход, позволяющий учесть тонкостенность оболочки при решении геометрически нелинейной задачи теории упругости,реализован в предлагаемой диссертации и впервые предложен в [50]. Решение осуществляется в глобальной цилиндрической системе координат; для конечного элемента с линейной аппроксимацией поля перемещений получена простая формула, позволяющая учесть поворот элемента как твердого тела с погрешностью, не выходящей за рамки точности исходных соотношений.

Большой теоретический интерес представляет исследование эффекта анизотропии в композитных материалах и оболочках. Постановка такого рода задач восходит к Сен-Венану, который впервые описал явление цилиндрической анизотропии и построил для частных случаев упругой симметрии ряд решений [105] . Ро-доначальной является также работа Фойгта [H4J . Значительный прогресс в этой области связан с работами С.Г.Лехницкого [39}. Однако получение аналитических решений задачи теории упругости возможно лишь в линейной постановке и для узкого круга задач. Поэтому более широко эффект анизотропии исследовался с позиций теории оболочек и пластин [2,3,6,26,27,37,38,43,44,71,78,81, 90,120] . В работе [б] на основе исследования перекрестно армированных пластин показано, что в случае малослойных композитов (с числом слоев меньше 10) необходим учет анизотропии. В [37] дана постановка задачи о рациональном армировании пластин. В работе [2] показано, что пренебрежение явлением обжатия при исследовании анизотропных неоднородных оболочек может дать погрешность, соизмеримую, а в ряде случаев и превосходящую вклад учета поперечных сдвигов. В рамках линейной теории оболочек типа Кирхгофа-Лява эффект анизотропии исследовался в [43J. С позиций теории типа Тимошенко, учитывающей поперечный сдвиг, линейная задача решается в [78,81,90] , в работе [90] рассмотрены различные типы симметрии анизотропных оболочек.

Наибольший интерес представляют работы, где эффект анизотропии изучается с позиций теории упругости. Значительное развитие получило решение плоских задач теории упругости для слоистых композитов [95,98,112,119] . При этом основное внимание уделяется исследованию сдвигов, обусловленных наличием анизотропии. С позиций линейной теории упругости эффект анизотропии в цилиндрических оболочках исследуется в обсужденных выше работах [94,III] .

Совместное влияние геометрической нелинейности и анизотропии на напряженно-деформированное состояние оболочек вращения в рамках теории оболочек типа Тимошенко исследовано в [38] . При этом использование предположения о параболическом законе распределения напряжений поперечного сдвига, противоречащего результатам [94-] , и пренебрежение эффектом обжатия накладывает ограничения на выводы, полученные в [38] .

Таким образом, в настоящее время в теории упругости остался неисследованным вопрос о влиянии геометрической нелинейности и эффекта анизотропии на напряженно-деформированное состояние композиционных оболочек вращения. В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе разработанной автором методики [49] .

Одной из наиболее сложных по строению среди анизотропных оболочек вращения является конструкция современной автомобильной шины. Это обусловило тот факт, что значительный прогресс в области теории оболочек достигнут в связи с решением задач прочности пневматических шин. Первой в области механики шин является работа [Юб] , где диагональная шина рассмотрена как безмоментная оболочка сетчатого строения. Дальнейшее развитие этого подхода к рассмотрению диагональных шин получено в [Ю4] , а в наиболее завершенной форме теория сетчатых оболочек сформулирована В.Л.Бидерманом [9] . На основе этой теории найдена равновесная конфигурация диагональной шины [9] ; подходы, разработанные в этой работе, находят широкое применение [lI5] . В настоящее время наибольшую актуальность приобретает разработка методик расчета радиальных шин, конструкция которых при меньшем весе обладает более высокими эксплуатационными качествами. Наличие жесткого брекерного пояса делает неприменимыми методы [9] к расчету этого типа шин, в частности, из-за предположения безмоментности. Попытка учесть это обстоятельство простейшим способом предпринята в работах ^31 ] , где боковина шины моделируется криволинейным стержнем типа Тимошенко, а также в [83,121,122] - здесь шина представлена кольцом на упругом основании. Более совершенная модель шины разработана в [10] , где боковина шины рассмотрена как трансверсально изотропная оболочка, а беговая часть - как состоящая из двух безмоментных ортотропных слоев (каркас и брекер) с несжимаемой резиновой прослойкой между ними. Такая постановка задачи позволила оценить величину поперечного сдвига в прослойке. Вместе с тем, расчет радиальных и диагональных шин на основе теории безмоментных ортотропных оболочек все еще находит широкое применение [46,80,102,103] . Сюда же можно отнести и работу [1161 , где подробно обсуждены зависимости приведенных упругих характеристик от типов резинокордных материалов. Б работе [sol на основе такого подхода получены простые аналитические формулы, характеризующие поведение шины. Расчет на основе теории ортотропных оболочек типа Кирхгофа-Лява производится в работах [72,73,82] . Более общая постановка задачи, учитывающая явление поперечного сдвига осуществлена в[54,55] , численное решение задачи здесь производится методом локальных вариаций, ранее предложенным применительно к расчету шин в [62] .

Из оболочечных подходов наиболее совершенным является предложенный в работе [2l] , где разработана математическая модель шины, как анизотропной оболочки вращения с учетом поперечного сдвига на основе гипотезы Тимошенко. Дальнейшее совершенствование этого подхода дано в [18,19] . На основе разработанных алгоритмов удалось оценить ряд явлений, не описанных ранее/ например, установлен эффект перераспределения напряжений в четырехсложном брекере.

В настоящее время получил развитие подход к исследованию пин на основе решения задачи теории упругости. Как геометрически нелинейное ортотропное тело вращения шина рассмотрена в [lI3,117] , при этом методика расчета шины совпадает с обсужденной выше [93] .

Как ортотропное тело вращения шина рассматривается в [86] . Здесь предпринята попытка решения геометрически нелинейной задачи методом последовательных нагружений с корректировкой напряжений на каждом шаге, согласно [47J .

Наиболее совершенная методика расчета радиальных шин разработана в рассмотренной ранее работе [97] . Отметим, что полученные в ней результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными в [84] . Это касается в первую очередь высокого уровня сдвиговых деформаций в зоне окончания брекера. Дополнительные сведения о методах исследования шин можно получить в работах обзорного характера [8,79,100,118] .

В диссертации развит новый подход к расчету радиальных шин на основе решения геометрически нелинейной задачи теории упругости, учитывающий, кроме анизотропии и неоднородности строения, тонкостенный характер шины [23] . При этом предложено использование комбинированного метода решения задачи, с получением первого приближения на основе [18] и уточнением напряженно-деформированного состояния элементов шины методом конечных элементов.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-технической конференции МАМИ, посвященной 60-летию образования СССР (октябрь 1982 г.), научной конференции "Ломоносовские чтения" (МГУ, апрель 1983 г.), Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, июнь 1983 г.), семинаре по механике твердого деформируемого тела под руководством чл.-корр. АН СССР Э.И.Гри-голюка (МАМИ, май 1984 г.)» на Всесоюзной конференции "Разработка и внедрение конструкций из эластичных материалов в народном хозяйстве" (Севастополь, май 1984 г.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получен простейший осесимметричный вариант квадратично нелинейных деформационных соотношений применительно к изгибу тонких анизотропных оболочек, обобщающий известные уравнения теории деформаций оболочек на случай цилиндрической системы координат. При этом дополняется геометрический смысл теории деформирования оболочек вращения, подвергнутых сильному изгибу, поскольку установлено, что утверждению "углы поворота нормали к исходной недеформированной поверхности, образованной линиями главных кривизн оболочки, превосходят углы поворота вокруг этой нормали", аналогично следующее: "углы поворота отрезка радиуса, принадлежащего оболочке в недеформированном состоянии, превосходят углы поворота вокруг отрезка радиуса".

Для случая осесимметричного геометрически нелинейного напряженно-деформированного состояния слоистых анизотропных оболочек вращения построена дискретная схема решения задачи теории упругости методом конечных элементов, основанная на вариационном принципе Лагранжа. Для простейшего треугольного элемента, используемого в работе, получена формула, определяющая поворот конечного элемента как твердого тела. Геометрически нелинейная проблема сводится к последовательности линеаризованных на основе метода Ньютона. Линейная матрица жесткости, вектор нелинейных частей и матрица-якобиан линеаризованной задачи получены в аналитической форме, что обеспечивает высокую точность решения.

Разработаны эффективные алгоритмы и программы на языке Фортран-П, позволяющие получать решение геометрически нелинейной задачи теории упругости для слоистых анизотропных и композитных оболочек и линейной - для тел вращения. Достоверность результатов, получаемых с помощью этих алгоритмов, установлена путей сравнения с имеющимися в литературе аналитическими решениями некоторых частных задач.

На основе решения задачи теории упургости проанализирован эффект анизотропии в перекрестно армированной цилиндрической оболочке с учетом геометрической нелинейности, исследовано напряженно-деформированное состояние круговой торообразной оболочки, нагруженной внутренним давлением и силами инерции от вращения. При этом установлено:

1) напряжения поперечного сдвига, обусловленные наличием анизотропии, имеют значительную величину и распределены по толщине оболочки сложным образом, существенно отличающимся от параболического закона и зависящим от числа слоев;

2) наличие анизотропии в сочетании с моментностью вызывает перераспределение напряжений в слоях; этот эффект не монет быть обнаружен из решения задач для ортотропного материала, а также анизотропного, но в случае безмоментной оболочки;

3) деформации тангенциального сдвига, связанные с наличием анизотропии, имеют нелинейный характер распределения по толщине, :л эта нелинейность увеличивается в случае решения задачи в геометрически нелинейной постановке;

4) тангенциальные составляющие напряжений, имеющие в геометрически линейной постановке характер распределения по толщине, близкий к линейному в каждом слое, при учете геометрической нелинейности проявляют существенные отклонения от линейного закона распределения.

Таким образом, разработанная методика позволяет производить уточненный расчет геометрически нелинейных слоистых анизотропных оболочек вращения, не зависящий от априори принятых гипотез о характере напряженно-деформированного состояния, типичных для различных оболочечных теорий.

На основе разработанных алгоритмов предложена новая методика определения напряженно-деформированного состояния радиальных автомобильных шин. В качестве примера рассмотрены легковая шина 175/70 - R 13 и крупногабаритная шина 2I.00-33P, нагруженные эксплуатационным давлением. Анализ полученных результатов и сопоставление их с полученным на основе наиболее совершенных методик расчета шин,из существующих в нашей стране, показывают несомненные преимущества разработанной математической модели радиальной шины. Лишь на ее основе удается получить значительное снижение в расчетных значениях усилий в нитях корда на конце брекера. Получено, что деформации сдвига в этой зоне достигают больших значений, для легковой шины максимальными являются С= 10,2%, обусловленные наличием анизотропии; для крупногабаритной шины эти компоненты дефорjстох мации являются еще более значительными: СГ7 = 29,5%, с mat. с тах

С г& = 19,1% и С = 7%. Это хорошо согласуется с имеющимися экспериментальными данными [*84j , а также данными по причинам разрушения шин (до 17% радиальных шин начинают разрушаться из-за расслаивания в зоне брекера). Решение задачи теории упругости подтверждает эффект перераспределения напряжений в четырехслойном брекере.

1. Аболиньш Д.С. Тензор податливости однонаправленно-армированного упругого материала. - Мех. полимеров, 1965, №4, с. 52-59.

2. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. - 448 с.

3. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. О некоторых особенностях деформирования упругих и вязкоупругих безмоментных армированных и ослабленных оболочек. Изв. АН АрмССР, Механика, 1972, №4, с. 68-77.

4. Бердичевский В.Л. Основные соотношения теории анизотропных неоднородных оболочек. Линейное и квадратичное приближения.-В кн.: Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982, с. 74-88.

5. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 448 с.

6. Берт Ч. Расчет пластин. В кн.: Композиционные материалы, т.7. - М.: Машиностроение, 1978, с. 154-209.

7. Бесселинг Й.Ф. Методы конечных элементов. В кн.: Механика v деформируемых твердых тел: Направления развития. - М.: Мир, 1983, с. 22-51.

8. Бидерман В.Л., Бухин Б.Л. Теория и практические методы расчета пневматических шин. В кн.: Пневматические шины.-М.: Химия, 1969, с. 12-25.

9. Бидерман В.Л., Гуслицер Р.Л., Захаров С.П. и др. Автомобильные шины. М.: Гостехиздат, 1963. - 384 с.

10. Бидерман В.Л., Левковская Э.Я. К расчету радиальных и опоясанных диагональных шин. В кн.: Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. - М.: НИИШП, 1974, с. 7-II.

11. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

12. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 288 с.

13. Вильсон Е.Л. Расчет на прочность осесимметричных тел. Ракетная техника и космонавтика, 1965, т.3, М2, с. I24-I3I.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Гостехиздат, 1954. -491 с.

15. Гольденвейзер A.J1. Асимптотический метод в теории оболочек.-Успехи механики, 1982, т.5, вып. 1/2, с. 137-182.

16. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем. Изв. АН СССР, отд. техн. наук, 1957, №1,с. 77-84.

17. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек. Прикл. мех., 1972, т.8, №6, с. 3-17.

18. Григолюк Э.И., Корнейчук Л.Г., Куликов Г.М., Носатенко П.Я. Напряженно-деформированное состояние современных шин. -Мех. композитных материалов, 1984, №2, с. 296-307 .

19. Григолюк Э.И., Корнейчук Л.Г., Куликов Г.М., Носатенко П.Я. и др. Разработка алгоритмов и вычислительных программ для расчета автомобильных шин. Отчет №14-83. - Москва-Днепропетровск: НИИКГШ-МАМИ, 1983. - 129 с.

20. Григолюк Э.И., Куликов-Г.М. Численное решение задач статики геометрически нелинейных оболочек вращения. Мех. композитных материалов, 1981, №3, с. 443-452.

21. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Приложение моментной теории слоистых анизотропных оболочек к задачам расчета радиальных шин. Депон. в ВИНИТИ АН СССР 7.04.1981 г., №1541 Деп. 16 с.

22. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Об одном варианте уравнений теории конечных перемещений непологих оболочек. Прикл. мех.,1974, т.10, с. 3-13.

23. Григолюк Э.И., Носатенко П.Я. Расчет радиальных шин методом конечных элементов. Депон. в ВИНИТИ АН СССР 21.03.1984г., №1527-84 Деп. 24 с.

24. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тонких упругих слоистых анизотропных пологих оболочек с жестким заполнителем. Изв. АН СССР, Механика, 1965, №5, с. 68-80.

25. Григолюк Э.И., Чулков П.II. Нелинейные уравнения пологих многослойных оболочек регулярного строения. Инж. журнал. МТТ, 1967, Ы, с. 163-169.

26. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973. - 228 с.

27. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. К решению задач осесиммет-ричной деформации слоистых анизотропных оболочек вращения.

28. Прикл. мех., 1971, т.7, №8, с. 3-8.

29. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П., Панкратова Н.Д. К исследованию напряженного состояния анизотропных оболочек с переменными параметрами. Мех. композитных материалов, 1982, №2, с. 253-257.

30. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Крюков Н.Н. Численное решение задач осесимметричной деформации слоистых анизотропных оболочек вращения. Мех. композитных материалов, 1983, №6, с. I023-1028.

31. Гузь А.Н. О возможности обобщения нелинейной теории малых деформаций. Прикл. мех., 1984, т.20, М, с. 3-13.

32. Гуральник В.Е., Мухин О.Н. Теоретическое исследование распределения напряжений и деформаций в боковой стенке радиальных шин. В кн.: Механика пневматических шин. - М.: НИИШП, 1976, с. 82-102.

33. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. - 333 с.

34. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. М.: v/ Мир, 1975. - 541 с.

35. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика. Успехи математических наук, 1948, т.З, вып.6,с. 89-185.

36. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

37. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1965. - 272 с,

38. Куликов Г.М. Об эффекте анизотропии в перекрестно армированных оболочках. Депон. в ВИНИТИ АН СССР 7.04.1981 г., М542-81 Деп. 16 с.

39. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела, изд.2.-М.: Наука, 1977. 416 с.

40. Либреску Л. Нелинейная теория упругих анизотропных многослойных оболочек. В кн.: Избранные проблемы прикладной механики. - М.: Наука, 1974, с. 453-466.

41. Лукомская А.И. Механические свойства резинокордных систем.-М.: Химия, 1981. 277 с.

42. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.512 с.

43. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление жестких полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1972. -498 с.

44. Мовсисян Л.А. К расчету анизотропной (неортотропной) цилиндрической оболочки вращения. Изв. АН АрмССР, сер. физ.-мат. наук, 1959, т.12, №4, с. 89-107.

45. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигиздат, 1957. - 432 с.

46. Николаев И.К. Математическая модель и численный метод для расчета шин на неосесимметричную нагрузку. В кн.: Международная конференция по каучуку и резине. Секция В, вып.г.Киев, 1978, Препринт BI9, 15 с.

47. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.: Гостехиздат, 1948. - 211 с.

48. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951. - 344 с.

49. Носатенко П.Я. Исследование геометрически нелинейного напряженно-деформированного состояния анизотропных оболочек вращения методом конечных элементов. Депон. в ВИНИТИ АН СССР 21.03.1984 г., №1526-84, Деп. 38 с.

50. Пелех Б.Л., Марчук М.В. Метод конечных элементов при решении краевых задач для анизотропных пластин из композитных материалов. Мех. композитных материалов, 1983, №1, с. 7179.

51. Пелех Б.JI., Сухорольский М.А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. - 216 с.

52. Победря Б.Е. Об упругих композитах. Мех. композитных материалов, 1983, №2, с. 216-222.

53. Прусаков А.П., Растеряев Ю.К. и др. Расчет радиальных, диагональных и диагонально-опоясанных крупногабаритных автомобильных шин на действие внутреннего давления и местные эксплуатационные нагрузки. Отчет №26-80. - Днепропетровск: НИИКГШ, 1980. - 158 с.

54. Сахаров А.С. Моментная схема конечных элементов МСКЭ с учетом жестких смещений. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: БудГвельник, 1974, вып.24,с. 147-156.

55. Сахаров А.С., Кислоокий В.Н. Применение МКЭ для расчета оболочек. В кн.: Актуальные проблемы механики оболочек: Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов. - Казань: КАИ, 1983, с. 184-187.

56. Сахаров А.С., Кислоокий В.Н. и др. Метод конечных элементов v в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982. - 479 с.

57. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.2, 3-е изд. М.: Наука, 1976. - 576 с.

58. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: V Мир, 1977. - 352 с.

59. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.-М.: Мир, 1980. 512 с.

60. Фотинич О.В. Метод локальных вариаций для расчета шин. -В кн.: Всесоюзная научн.-техн. конф. по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов. Рига, 1977,с. 69-71.

61. Фаддеев Ф.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. м.: Физматгиз, I960. - 656 с.

62. Ченцов Н.Г. Исследования фанеры, как анизотропной пластинки. Технические заметки ЦАГИ, №91, 1936, с. 1-27.

63. Шамина В.А. Двумерный вариант нелинейных соотношений теории деформации сплошной среды. В кн.: Актуальные проблемы механики сплошных сред. - Л.: ЛГУ, 1980, вып.13, с. 82-89.

64. Шаповалов Л.А. Об одном простейшем варианте геометрически нелинейной теории тонких оболочек. Инж. журнал. МТТ, 1968, Ы, с. 56-62.

65. Argyris J.H. Recent advances in matrix methods of structural analysis. Oxford etc.: Pergamon Press, 1964. - 187 p.

66. Argyris J.H. Three-dimensional anisotropic and inhomogeneous elastic media matrix analysis for small and large displacements. Ingenieur-Archiv, 1965, vol.34, N 1, p. 33-55.

67. Argyris J.H. Matrix analysis of three-dimensional elastic media: small and large displacements. AIAA J., 1965, vol.3, N 1, p. 45-51.

68. Argirys J.H. The triax 6 element for axisymmetric analysis by matrix displacements method. J. Roy. Aero. Soc., 1966, vol.70, N 12, p. 1102-1106.

69. Ashton J.E., Whitney J.M. Theory of laminated plates. -Stamford: Technomic, 1970. 153 p.

70. Bohra F. Computing and measurements of the handling quali-tis of the belted tyre. In book: The dynamics of vehicle on roads and tracks. - Amsterdam: Swets and Zeitlinger 3.7., 1978, p. 85-ЮЗ.

71. Chandrashekhara K., Bhimaraddi A. Elasticity solution for a long circular sandwich cylindrical shell subjected to axisymmetric load. Int. J. Solids and Struct., 1982, vol. 18, N 7, p. 611-618.

72. Chandrasekhara K., Gopalakrishnan P. Elasticity solution for transvercely isotropic circular cylindrical shell. -Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1982, vol. 4-9, N 1, p.108-114.

73. Chang T.Y., Sawamiphakdi K. Large deformation analysis of laminated shells by finite element method. Comput. and Struct., 1981, vol. 13, N 3, p. 331-340.

74. Cohen G.A. FASOR a second generation shell of revolution code. - Comput. and Struct., 1979, vol.10, N 1-2, p. 301309.

75. Frank F., Hofferberth W. Mechanics of the pneumatic tire.-Rubber Chem. and Technol., 1967, vol.4-0, N 1, p. 271-322.

76. French R.W., Gardner J.D. The distribution of the inflation forces on the structural members of a radial tire. SAE Techn. Pap. Ser., 1982, N 820814, 8 p.

77. Gulati S.T., Essenburg F. Effects of anisotropy in axisymmetric cylindrical shells. Trans. ASME, 1967, vol. E34, N 3, p. 659-666.

78. Hunckler C.J., Yang T.Y., Soedel W. A geometrically nonlinear shell finite element for tire vibration analysis. -Comput. and Struct., 1983, vol. 17, N 2, p. 217-225.

79. Jankins J.T. A theoretical determination of the contact pressure across the central meridian of the belted radial tire. Int. J. Mech. Sci., 1980, vol. 22, N 9, p. 575-581.

80. Janssen M.L., Walter J.D. Stress and strains in tires. -Tire Sci. and Technol., 1975» vol.3, N 2, p. 67-81.

81. Jobson D.A. Determination of stress at nodel points from finite element solutions to elastic problems. J. Roy. Aero. Soc., 1971, vol. 75, N 723, p. 194-196.

82. Kaga H., Okamoto K., Tozawa Y. Stress analysis of a tire under vertical load by a finite element method. Tire Sci. and Technol., 1977, vol. 5, N 2, p. 102-118.

83. Librescu L. Elastostatics and kinetics of anisotropic and heterogeneous shell-type structures. Leydena Noordhoff int. publ., 1975. - 598 p.

84. Navaratha D.R. Computation of stress resultans in finite element analysis. AIAA J., 1966, vol. 4," N 11, p. 20582060.

85. Noor A.K., Camin R.A. Symmetry consideration for anisotropic shells. Comput. Meth. Appl. Eng., 1976, vol. 9, N 3,1. P. 317-335.

86. Norrie D., Vries G. Finite element bibliography. New York: Jfi/Plenum, 1976. - 686 p.

87. Pipes R.B., Pagano N.J. Interlaminar stress in composite laminates under uniform axial extension. J. of Composite Materials, 1970, vol. 4, N 4, p. 538-548.

88. Rashid Y.R. Analysis of axisymmetric composite structures by the finite element method. Nuclear Engng and Design, 1966, vol. 3, N 1, p. 163-182.

89. Ridha R.A. Computation of stresses, strains, and deformations of tires. Rubber Chem. and Technol., 1980, vol. 53, N 4, p. 849-902.

90. Rizzo R.R., Vicaro A.A. A finite element analysis of laminated anisotropic tubes. J. of Composite Materials, 1970, vol. 4, ы 3, p. 334-359.

91. Robecchi E. Mechanics of the pneumatic tire. Part 2. The laminar model under inflation and rotation. Tire Sci. and Technol., 1973, vol. 1, N 4, p. 382-438.

92. Robecchi "В., Amici L. Mechanics of the pneumatic tire. Part 1. The tire under inflation alone. Tire Sci. and Technol., 1973, vol. 1, N 3, p. 290-345.

93. Rotta G. Zur Static des Luftreifens. Ingenieur-Archiv, 1949, vol. 17, N 1-2, S. 129-141.

94. Ю5. Saint-Venant B. Memoire sul les divers geres d'homogeneite des corps solids. Journal de math, pures et appl., 1865, N 10, p. 297-349.

95. Schippel H.F. Fabric stresses in pneumatic tires. Industrial and Engng Chem., 1923, vol. 15, N11, p. 11211131.

96. Schmit L.A., Jr., Monforton G.R. Finite deflection discrete element analysis of sandwich plates and cylindrical shells with laminated faces. AIAA J., 1970, N 8,p. 1454-1461.

97. Sequi W.T. Computer programs for the solution of systems of linear algebraic equations. Int. J. Numer. Meth. Engng, 1973, vol. 7, N 4, p. 479-490.

98. Sharifi P., Popov E.P. Nonlinear finite element analysis of sandwich shells of revolution. AIAA J., 1973, vol.11, N 5, p. 715-722.

99. Sheinman I. Application of DSISR program to recessed shells of revolution. Comput. and Struct., 1981, vol.14, N 5-6, p. 361-368.

100. Stalnaker D.0., Kennedy R.H., Ford J.L. Interlaminar shear strain in a two-ply balanced cord-rubber composite.-Exp. Mech., 1980, vol. 20, N 3, p. 87-94.

101. Walter J.D. Centrifugal effects in inflated, rotating bias-ply tires. Text. Res. J., 1970, vol. 40, N 1, p.1-7.

102. Whicker D., Rohde S.M. Modelling tire deformation for power loss calculations. SAE Technol. Pap., 1981,1. N 810161, 6 p.

103. Whitcomb J.D., Raju I.S., Goree J.G. Reliability of the finite element method for calculating free edge stresses in composite laminates. Oomput. and Struct., 1982, vol. 15, N 1, p. 23-37.

104. Whitney J.M., Pagano N.J. Shear deformations in heterogeneous anisotropic plates. Trans. ASME, 1970, vol.E37, N 4, p. 1031-1036.

105. Yamagischi K., Jenkins J.T. The circumferential contact problem for the belted radial tire. Trans. ASMS. J. Appl. Mech., 1980, vol. 47, N 3, p. 513-517.

106. Yamagischi K., Jenkins J.T. Singular perturbation solution of the circumferential contact problem for the belted radial truck and bus tire. Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1980, vol. 47, N. 3, P- 519-524.