Численный анализ задач неклассических теорий анизотропных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГО^/ддрСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК.

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ЕРМАКОВ Андрей Михайлович

1 9 МАЙ 2011

Санкт-Петербург, 2011

4846749

Работа выполннена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор БАУЭР Светлана Михайловна

Официальнные оппонненты: доктор физико-математических наук,

профессор КОЛПАК Евгений Петрович (Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, профессор СМОЛЬНИКОВ Борис Александрович

(Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)

Ведущая организациия: Южный Федеральный Университет.

(Ростов-на-Дону)

Защита состоится 9 июня 2011 г. в 0 0 часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 1998504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет,

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д.7/9

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного соовета, /

доктор физико-математических наук, профессор Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известно, что гипотезы классической теории оболочек Кирхгофа-Лява приводят в уравнениях к погрешности порядка ¡г/Я, где /г — толщина оболочки, Я — характерный размер. Существуют оболочки, в первую очередь изготовленные из неметаллических материалов, где точность классической теории становится недостаточной. Например, многие биологические и синтетические материалы обладают повышенной податливостью на мсжслосвой сдвиг и потому даже сравнительно небольшие по величине касательные напряжения, вызывающие сдвиг параллельных слоев, заметно влияют на общую деформацию оболочки, а у некот-рых оболочек велико отношение толщины к радиусу. Теория изгиба таких оболочек требует введения более строгих гипотез, чем гипотезы Кирхгофа-Лява.

В связи с этим имеется ряд уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории - гипотезы недеформируемых нормалей.

Последнее время учеными активно обсуждается возможность применения методов классической механики к нанообъектам. Отмечается, что механические характеристики, соответствующие наноразмерным структурным элементам, таким как балки и пластинки могут отличатся от механических характеристик, соответствующих структурам из того же материала, имеющим "обычные"геометрические размеры. Кроме размерных эффектов возможно проявление анизотропии нанообъектов. В работе на основе неклассических теорий балок и оболочек проводится анализ экспе-рементальных данных, полученных при исследовании жесткости мостиков из нано-трубок, перекрывающих отверстия пористой подложки. Для этого построена модель длинной слоистой трубки, находящейся под действием локального давления.

В работе так же изучаются некоторые математические модели био- и наномеха-ники, построенные на базе неклассических теорий: теории изгиба балок Тимошенко-Рсйснера, уточненной итерационной теории оболочек Родионовой-Титаева-Черныха и теории анизотропных оболочек средней толщины Палия-Спиро.

В качестве биомеханического приложения рассматриваются модели корнеоскле-ральной оболочки глаза. Новые знания в офтальмологии помогают более качественно диагностировать ряд заболеваний и разрабатывать эффективные методы их лечения.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является построение моделей нано- и биомеханических структур с использованием неклассических теорий балок и оболочек, а так же разработка программ для решения систем дифференци-

альных уравнений, описывающих эти модели.

Результаты работы вошли в выполняемые на математико-механическом факультете конкурсные темы Российского фонда фундаментальных исследований: «Модели механики деформируемого твердого тела в задачах офтальмологии», грант N 09-01-00140-а, «Влияние наноразмерности на деформационные, прочностные и физико-механические свойства объектов», грант N 09-01-00623-а, «Неклассические модели в механике тонкостенных конструкций», грант N 10-01-00244.

Основные методы исследований. Для достижения поставленной цели использованы некоторые неклассические теории балок и оболочек, созданы программы для построения численных решений на базе пакета Mathematica 7.0. Ряд результатов получен с помощью программной системы конечно-элементного анализа ANS YS 11.

Научная новизна.

Решена задача о деформации толстой цилиндрической трубки под действием локального нагружения. Трубка моделируется при помощи метода разбиения на слои, для описания каждого из которых применяются неклассические теории оболочек. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием различных неклассических теорий оболочек. В случае однослойной оболочки проведена оценка влияния отношения h/R на соответствие результатов для неклассических теорий с результатами, полученными при использовании трехмерной теории упругости в пакете ANSYS 11.

Для ортотропных эллипсоидальных оболочек вращения с использованием уточненной итерационной теории анизотропных оболочек Родионовой-Титаева-Черныха решена задача о деформации под действием нормального давления. Проведен анализ влияния степени анизотропии и отклонения от сферичесской формы на величину и форму деформации оболочек.

Аналогичная задача решена для сопряженных эллипсоидальных оболочек.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математически корректной постановкой задач, использованием строгих аналитических методов, сравнением аналитических и численных результатов, а также согласованностью с экспериментальными данными.

Научная и практическая ценность. С использованием неклассических теорий оболочек решена задача о напряженно - деформированном состоянии многослойной цилиндрической оболочки. Проведена оценка влияния отношения h/R на достоверность полученных результатов. Представляемые решения помогают оценить возможность применения методов классической механики к нанообъектам. Построенные мо-

дели фиброзной оболочки глаза позволяют оценить зависимость "объем-давление". Зависимость внутриглазного объема от внутриглазного давления в офтальмологии связывают с понятием ригидности глаза, которое лежит в основе клинической тонометрии, топографии и эластометрни. Рассмотренные задачи так же могут моделировать деформации корпеосклеральной оболочки глаза, приводящие к развитию миопии(близорукость) и гиперметропии (дальнозоркость).

Апробация работы.

Результаты работы обсуждались: на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики мат-мех ф-та СПбГУ, на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (Санкт-Петербург 2009, 2010), на международной научной конференции по механике "Пятые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург 2009), на конференциях Ассоциации по исследованиям в области зрения и офтальмологии (США, Флорида 2009, 2010), на X Всеросийской конференции по биомеханике (Саратов 2010), на XIV Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Азов 2010).

Список публикаций.

По материалам работы опубликовано 11 статей и тезисов докладов, в том числе 4 работы [1-4] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. В работах [7,8,9] соавторам Бауэр С.М. и Воронковой Е.Б. принадлежит постановка задачи, а Ермакову A.M. разработка метода решения и анализ полученных результатов. В работе [8] соавтору Котляру К.Е. принадлежат экспериментальные данные. В работах [4,11] Ермакову A.M. принадлежит вывод разрешающих уравнений с использованием неклассических теорий оболочек Палия-Спиро и Родионовой-Титаева-Чсрныха и сравнение полученных результатов, соавторам Бауэр С.М. и Морозову Н.Ф. принадлежит постановка задачи. Расчеты по теории Тимошенко-Рейснера выполнены Каштановой С.В. Эксперименты, описанные в работе [11], выполнены Анкундиновым A.B.

Результаты, выносимые на защиту:

1. С использованием неклассических теорий балок и оболочек проведен анализ напряженно-деформированного состояния многослойных шарнирно опертых цилиндрических оболочек под действием локального давления. Проведено сравнение с результатами, полученными при решении этой задачи с использованием конечно-элементного пакета Ansys 11.

2. На основе задачи о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки, находящейся под действием локального давления, проведено сравнение теорий Родионовой-Титаева-Черныха и Палия-Спиро с результатами трехмерной теории

полученными при использовании Апэув 11. Проведена оценка влияния сотношения /г/й на сходимость полученных результатов.

3. С использованием уточненной итерационной теории анизотропных оболочек решен ряд задач о напряженно-деформированном состоянии ортотропных эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Проведен анализ влияния геометрических и механических свойств оболочек на изменение их объема. Построены зависимости "объем-давление"дая склеральной ткани глаза.

4. Решена задача о напряженно-деформированном состоянии сопряженых неоднородных ортотропных сферической и эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Проведен анализ влияния геометрико-физических параметров на изменение длины передне-задней оси глаза. Эти модели описывают механизмы развития миопии-гиперметропии глаза.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 93 наименований. Число иллюстраций равно 64. Общий объем работы 89 страница.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, приводится краткая история развития неклассических теорий оболочек, дается обзор литературы, формулируются цели и задачи работы, а также результаты, выносимые на защиту.

В первой главе исследуется напряженно-деформированное состояние многослойных анизотропных цилиндрических оболочек, находящихся под действием локального давления. Такая задача моделирует эксперемент, в котором определяется прогиб нанотрубки, находящейся над порой лавсановой мембраны. На трубку воздействует исследовательский зонд. Слоистая структура нанотрубок позволяет рассматривать их как трансверсально-изотропные. Каждый слой может не менять своей структуры, но модуль сдвига в поперечном сечении С может существенно меняться в зависимости от наполнителя.

Задача о деформации нанотрубок решалась с использованием неклассических теорий анизотропных оболочек, которые кроме поперечных сдвигов позволяют учесть слоистую структуру и цилиндрическую анизотропию. Использовались уточненная итерационная теория оболочек Родионовой-Титаева-Черныха и теория оболочек средней толщины Палия-Спиро, а так же неклассической теории балок Тимошенко-Рейс-снера.

Рис. 1. Локальная нагрузка.

Теория оболочек Родионовой-Титаева-Черныха - это линейная теория однородных анизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малой податливости поперечным сдвигам и деформированию в направлении нормали к срединной поверхности, а также поперечных нормальных напряжений и нелинейного распределения компонент вектора перемещения по толщине оболочки. Эта теория позволяет учесть повороты волокон, их искривление, а также изменение длины. В основе теории лежат следующие гипотезы:

1) Статическая гипотеза о распределении по толщине оболочки поперечных касательных и нормальных напряжений по закону соответственно квадратной и кубической пораболы.

2) Кинематическая гипотеза о распределении по толщине оболочки тангенциальных и нормальных составляющих вектора перемещения по закону соответственно кубической и квадратной пораболы.

В теории оболочек средней толщины Палия-Спиро, так же учитываются поперечный сдвиг и поперечные нормальные напряжения. Однако нормаль после деформации остается прямолинейной, но меняется угол наклона и длина, т.е. в основе этой теории лежат следующие гипотезы:

1). прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными;

2). косинус угла наклона оболочки таких волокон к срединной поверхности деформированной оболочки равен осредненному углу поперечного сдвига.

Для решения задачи о деформациях трубок по теории Родионовой-Титаева-Чер-ныха и по теории Палия-Спиро используется система уравнений в перемещениях. После последовательного преобразования основных положений в обеих теориях получена система из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с 5-ю неизвестными функциями.

Для ее разрешения используется следующий численный метод. Перемещения срединной поверхности ¿-ой оболочки задаются в виде рядов:

Эти формулы учитывают симметрию деформации оболочки относительно плоскости а = 0 и обеспечивают нулевые перемещения и, 71 и и; при /3 = О, L . Выражения для и,72 не удовлетворяют нулевым краевым условиям, однако, когда деформации не доходят до края участка, эти перемещения малы. Внешние и внутренние силы, действующие на поверхности оболочки, представляются в виде произведения разложенных в ряд сил. Локализованная на маленькой прямоугольной области нагрузка представляется в виде произведения двух рядов Фурье функций нагружения в продольном и поперечном сечениях. Нагрузка прикладывается к внешней поверхности трубки. Расчеты показывают, что влияние давления, вызванного наполнителем, на внутренней поверхности трубки пренебрежимо мало, поэтому в окончательных расчетах оно принимается равным нулю. Подставляя эти зависимости в систему уравнений равновесия оболочки и в условия жесткого защемления слоев, получим систему из 5N алгебраических уравнений относительно компонентов деформаций оболочек и систему из 3(N-1) уравнений относительно сил взаимодействия между слоями оболочек.

Каждый ИЗ полученных коэффициентов Unm, "nm, wim, jlnm, i Ifim> щ, ХЗnm будет общим членом ряда Фурье функций деформаций и напряжений. Для реализации приведенного численного метода была разработана программа на основе пакета Mathematica 7.0

В работе представленны деформации накотрубки при следующих параметрах: внутренний радиус трубки R=2.5 нм, внешний R=16 нм, длина трубки L=500 нм, значения модуля упругости оболочки £1,2,3 = 1-75 * 1011 Па, коэффициенты Пуасона i/у = 0.3 и сравнительно малые значения модуля сдвига G¡j = 2.3 * 107 Па. Сила вне-шего воздействия Fv = 10 нН, площадь области приложенной нагрузки [40*40] нм2, Lv - координата приложения силы на внешней поверхности оболочки. Ясно, что соотношение h/R рассматриваемой нанотрубки существенно превосходит область применимости теории оболочек, и если рассматривать ее как однослойную, то будут получен-ны некорректные результаты. Поэтому для решения поставленной задачи проводится разбиении трубки на п слоев. Расчеты показывают, что при следующем разбиение n=100, h — 0.135 нм значения прогибов оказывается очень близким к результатам,

Í

v

и

полученным с использованием трехмерной теории. Дальнейшее увеличение числа слоев к уточнению результатов не приводит.

Таблица 1: Сравнение величин прогибов многослойной трубки.

L„ . 250 220 200 170 150 120 100 70 40

TRI (beam) 60.61 59.7 58.07 54.14 50.52 43.65 38.12 28.47 17.24

TR2 (beam) 59.2 58.31 56.72 52.87 49.34 42.62 37.22 27.79 16.82

RTCH (shell) 57.79 56.86 55.21 51.22 47.56 40.62 35.07 25.45 14.4

PS (shell) 57.54 56.62 54.97 51 47.35 40.45 34.92 25.34 14.34

Ansysl (solid) 54.11 53.26 51.7 48.3 45.1 39.02 34.07 25.37 15.37

Ansys2 (solid) 52.39 52.38 50.12 46.77 43.71 37.81 33.02 24.6 14.91

В таблице [1] приводятся результаты, полученные по теории Тимошенко-Рейснера [TR], В этом случае трубка рассматривалась как балка при локальной нагрузке. А так же в таблице приводятся результаты, полученные по теориям оболочек Родионовой-Титасва-Черныха [RTCH], Палия-Спиро [PS], и результаты, получающиеся при тех же параметрах МКЭ в пакете ANSYS 11, где был использован 3-х мерный 20 узловой элемент Solid 186.

Строка "TRI "соответствует значениям прогиба балки с кольцевым сечением; строка "TR2—сплошной балке. Строки "Ansysl"H "Ansys2"cooTBeTCTByioT прогибу трубки с ответстием и сплошной трубки.

Видно, что все теории дают близкие результаты. Однако результаты, полученные с использованием теорий оболочек, ближе к результатам трехмерной теории, что может быть объяснено более точным учетом цилиндрической структуры трубки, а так же области приложения внешней нагрузки.

Таблица 2: Сравнение величин прогибов для однослойной оболочки.

h/R 1/15 1/10 1/5 1/4 1/3 1/2

TRI 46.33 31.91 17.55 14.71 11.88 9.13

RTCH 78.09 52.64 27.14 22.13 17.31 12.98

PS 75.28 49.82 24.29 19.26 14.39 9.9

Ansysl 76.36 46.44 20.37 15.9 11.95 8.92

В заключении проводится сравнение результатов, которые дает трехмерная тео-

рия в пакете АпэуБ 11 с результатами, получающимися по изложенным неклассическим теориям для однослойной цилиндрической оболочки с постоянным внешним радиусом Л = 16 нм и постепенно увеличивающейся толщиной оболочки (как следствие происходит уменьшение радиуса срединной поверхности оболочки). В таблице приведены величины прогибов в центре рассматриваемых оболочек, внешняя сила Г„ = 1нН.

Результаты, представленные в таблице [2] показывают, что теории оболочек Ро-дионовой-Титаева-Черныха и Палия-Спиро дают близкие значения прогибов. Так же близки и другие величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние оболочек. При увеличении относительной толщины оболочки величины прогиба, получаемые по теории Палия-Спиро ближе к значениям, получаемым методом конечных элементов. Чем ближе цилиндрическая трубка к сплошной, тем лучшие результаты дает формула, получающаяся по теории Тимошенко-Рейснера для прогиба балки.

Во второй главе решаются линейная и нелинейная задачи о напряженно-деформированном состоянии ортотропных эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Такая задача может моделировать поведение кор-неосклеральной оболочки глаза при увеличении внутриглазного давления. Задача решается с использованием новой уточненной итерационной теории анизотропных оболочек Родионовой-Титаева-Черныха.

В силу симметрии сечения вдоль главных осей решается одномерная задача, в которой все функции зависят от координаты а е [0,7г/2] (рис. 2). Задача решается в перемещениях. После преобразования основных соотношений теории оболочек полученна система из трех дифференциальных уравнений 6-го порядка с 6 гранич-

ными условиями и тремя неизвестными функциями - ю (нормального прогиба), и (касательного смещения) и 71 (угла наклона нормали к срединной поверхности). Коэффициенты системы зависят от модулей упругости в тангенциальных направлениях Е\,Е2 и модуля упругости Е3 в нормальном направлении. Для ее решения используется конечно-разностный численный метод. На интервале [0,7г] изменения а вводится равномерная сетка, содержащая п узлов. Производные функций аппроксимируются с помощью разностных коэффициентов. В результате этого метода задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений порядка (3п — 3)(3п — 3), которая решается в пакете МаЛетаУса 7.0.

Пусть Я2, <^1 длины се главных полуосей (рис. 2). Параметр К = ха-

рактеризует форму рассматриваемого эллипсоида. Предполагается, что при отсутствии внутреннего давления начальные объемы оболочек равны. На рис. 3 представ-

0.5 1.0 1.5 2.0

Рис. 3. Изменение объема в зависимости от R2/R1.

лены изменения внутреннего объема для различного соотношения главных полуосей трансверсально-изотропной эллипсоидальной оболочки, находящейся под действием внутреннего давления Р=100 мм. рт. ст. (Е\ = £2 = 1-43 МПа, Ез = 0.0143 МПа, i/ij=0A) Начальный объем равен объему сферической оболочки радиуса R= 12 мм и толщины /i=0-5 мм. Наибольшее относительное изменение внутреннего объема происходит в случае, когда оболочка имеет форму сплюснутого эллипсоида. Наименьшее изменение объема соответствует сферической форме. Для эллипсоидальной вытянутой оболочки характерно незначительное возрастание значения изменения объема при увеличении соотношения главных полуосей.

Для изотропного или трансверсально-изотропного материалов сферической оболочки результатом воздействия внутреннего давления будет абсолютно симметричное расширение рассматриваемой сферы. В случае же существенного различия между тангенциальными модулями упругости расширение теряет свой равномерный харак-

тер. В работе рассматриваются модели ортотропии для каждой из которых выполняется следующее соотношение Ei * Е2 — Е2 ( Е — модуль упругости трансверсально-изотропной сферы)

Показано, что при одном и том же внутреннем давлении анизотропия материала существенно увеличивает изменение внутреннего объема по сравнения с изотропным случаем. Если для сферической оболочки модуль упругости склеральной оболочки в направлении линий широты Ei, больше модуля упругости в направлении линий долготы Ei, то под действием внутреннего давления оболочка стремится принять форму вытянутого эллипсоида. В случае, когда Е2/Е1 > 1, сферическая оболочка стремится принять форму сплюснутого эллипсоида.

Проведено исследование поведения ортотропных эллипсоидальных оболочек под действием внутреннего давления. Исследуется случай, когда отношение модулей упругости для эллипсоидальной оболочки удовлетворяет условию Е2/Е1 > 1. Полученный результат для сплюснутого эллипсоида R2/R1 < 1 показывает, что прогиб в полюсе становится больше, а уменьшение оси экватора остается столь же малым. Во втором случае, когда R2/R1 > 1, под воздействием внутреннего давления область в окрестности полюса эллипсоида становится более гладкой.

В случае ортотропии, когда Е2/Е1 < 1, эллипсоидальная сплюснутая оболочка R2/R1 < 1 принимает еще более сплюснутую форму. Прогиб на экваторе при такой же нагрузке гораздо больше, чем в рассмотренных выше случаях, а смещение точки полюса будет минимальным. Полученный результат для вытянутой эллипсоидальной оболочки R2/R1 > 1 показывает что, эллипсоид принимает более вытянутую форму.

В заключении главы решается нелинейная задача о напряженно-деформированном состоянии ортотропных сферических оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Моделирование производится с использованием метода последовательных нагружений — дельта метода. В дельта-методе на каждом из этапов учитывается, что оболочка меняет свою форму и дальше на каждом шаге решается задача линейной теории оболочек.

При малых деформациях линейная теория дает удовлетворительные результаты. При больших деформациях в окрестности точки полюса линейная теория дает некорректное решение. Использование дельта метода позволяет получить более точное и корректное решение при существенно больших деформациях.

В третьей главе с использованием теории оболочек Родионовой-Титаева-Черны-ха исследовано напряженно деформированное состояние сопряженных анизотропных эллипсоидальной и сферической оболочек, находящихся под действием внутреннего

давления. Анализируются результаты для различных соотношений величин полуосей эллипсоида и модулей упругости орторопного материалла.

Такая задача может моделировать деформации корнеосклеральной оболочки глаза, приводящие к развитию миопии(близорукость) и гиперметропии (дальнозоркость). Внешняя оболочка глаза - корнеосклеральная (фиброзная) оболочка состоит из роговицы и склеры. Известно, что изменение длины переднезадней оси глаза только на 0,3 мм изменяет зрение на 1,0 диоптрию. Для нормального зрения человека необходимо, чтобы отраженные от объекта лучи, попадающие в глаз, фокусировались строго на сетчатке. Миопия (близорукость) чаще всего связана с тем, что склера имеет форму вытянутого эллипсоида, а гиперметропия (дальнозоркость) может быть вызвана тем, что форма глаза близка к форме сплюснутого эллипсоида. Это приводит к тому, что фокусная точка располагается за сетчаткой.

Исследуется модель, приведенная на рис. 4, и в силу симметрии сечения вдоль оси АС, рассматриваются лишь 2 соединенные дуги АВ и ВС с введенными на их концах А и С условиями симметрии. В точке их соединения — В должны выполняться соответствующие условия сопряжения. Таким образом, для каждой из дуг АВ, ВС, можно рассматривать отдельно 2 одномерные задачи теории оболочек. На свободных концах дуг А,С (рис. 4) для компонентов смещения должны выполняться 6 условий симметрии. В точке сопряжения дуг должны выполняться 6 условий непрерывности перемещений, моментов, усилий и угла поворота. Таким образом, получена система из шести дифференциальных уравнений 12-го порядка с 12 граничными условиями и 6-ю неизвестными функциями. Для ее решения используется конечно-разностный численный метод. В результате этого метода задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (3п(2' -ЬЗп'1) — 3) * (Зп'2' -НЗп^1' — 3), которая разрешается в пакете Майгетайса 7.0.

Показано, что усилия, возникающие в сопряженных оболочках, вследствие воз-

А.

Рис. 4. Геометрическая модель глаза

действия внутреннего давления приводят к существенному прогибу роговицы. Максимальный прогиб для обеих оболочек происходит в окрестности точки сопряжения. Исследовано влияние на форму прогиба отношения модулей упругости, действующих в тангенциальных направлениях оболочки моделирующей склеру Е^ /Е.

На рис 5. представлен случай, когда в сферической системе .координат модуль

упругости склеральной оболочки в направлении линий широты, больше модуля упру-

(21 (21

гости б направлении линий долготы Е\ /Е\ > 1.

Рис. 5. Деформация составной оболочки, соответствующая состоянию миопии глаза (из книги Lang, Ophthalmology, 2000)

Видно, что влияние анизотропии в значительной степени усилило прогиб в полюсе склеральной оболочки, и глаз стал приобретать форму вытянутого эллипсоида. Принятая в модели более мягкая оболочка роговицы > 0.2 под действием

внутреннего давления стала более острой, что тоже может приводить к миопии (Lang, Ophthalmology, 2000).

Рис. 6. Деформация составной оболочки, соответствующая состоянию гиперметропии глаза

(21 (21

В случае Е\ /Е\ < 1, под действием внутреннего давления (рис. 6) склеральная оболочка принимает форму сплюснутого эллипсоида, и усилия, возникающие на линии сопряжения, делают склеральную оболочку более пологой. Полученная картина соответствует форме глаза с развившейся гиперметропией.

В заключении главы проводится исследование сопряженных неоднородных сферических оболочек. Известно, что одним из факторов вызывающих миопию является то, что склеральная оболочка в тыльной части глаза становится существенно более мягкой (Duke-Elder. Diseases of the eye. 1956). Этот случай можно описать моделью, когда материя склеральной оболочки является неоднородной и ее упругие свойства начинают резко уменьшаться при приближении к нижнему полюсу.

Рис. 7. Деформация неоднородной оболочки, соответствующая состоянию миопии глаза (из книги Duke-Elder. Diseases of the eye. 1956)

Уменьшение величины модуля упругости склеры приводит к существенному увеличению прогиба склеры, в окрестности полюса. Видно, что существенные деформации, вызывающие изменение переднезадней оси глаза происходят именно в тыльной части с более мягкой материей.

В заключении представлены результаты выносимые на защиту.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние склеры и роговицы, как ортотропных неоднородных сопряженных сферических оболочек. // Российский журнал биомеханики. No.l, 2009, с. 49-60

2. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние сопряженных транс-версально-изотропных эллиптических оболочек под действием внутреннего давления. // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. вып.З, 2009. с. 110-118.

3. Ермаков A.M., Большие деформации ортотропной сферической оболочки под действием внутреннего давления. // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. вып.4, 2010. с.

4. Бауэр С.М., Ермаков A.M., Каштанова C.B., Морозов Н.Ф. Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных нанотрубок. // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. вып.1, 2011. с. 22-30.

119-126.

Другие публикации:

5. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние ортотропных неоднородных сопряженных эллиптических оболочек, находящихся иод действием внутреннего давления. // Труды семинар "Компьютерные методы в механике сплошного те-ла"за 2008-2009. Издательство СПБГУ, 2009, с. 4-16.

6. Ермаков A.M. К вопросу о деформировании склеры. // Международная научная конференция ¡ю механике "Пятые поляховские чтения."3-6.02.2009, Санкт-Петербург, Россия, Тезисы докладов. 2009. с. 207.

7. Bauer S.M., Ermakov A.M., Voronkova E.B., Tonometric Estimation of Mechanical Properties of a Cornea and Sclera. // The Association for Research in Vision and Ophthalmology. (ARVO) Annual Meeting 2009. 3-7.05.2009. Fort Lauderdale, Florida. Program 1756. Poster A385.

8. Bauer S.M., Ermakov A.M., Kotliar K.E., Voronkova E.B., Biomechanical Analysis of Parameters Influencing Pressure-Volume Relationship in the Human Eye. // The Association for Research in Vision and Ophthalmology. (ARVO) Annual Meeting 2010. 26.05.2010. Fort Lauderdale, Florida. Program 5557. Poster A612.

9. Бауэр С.M., Ермаков A.M., Воронкова Е.Б., О моделях фиброзной оболочки глаза для анализа зависимостей "объем-давление". // X Всероссийская конференция. "Биомеханика 2010". 16-22.05.2010, Саратов, Россия, 2010 Тезисы, с. 36

10. Ермаков A.M., О деформации склеральной оболочки под действие высокого внутриглазного давления. //X Всероссийская конференция. "Биомеханика 2010". 1622.05.2010, Саратов, Россия, 2010 Тезисы, с. 72

11. Анкудинов A.B., Бауэр С.М., Ермаков A.M., Каштанова C.B., Морозов Н.Ф. О механических параметрах асбестовых нанотрубок. // XIV Международная конференция "Современные проблемы механики сплошного тела."19-24.06.2010, Азов, Россия, 2010. с. 35-38

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Подписано к печати 27.04.11. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 2.80. Тираж 100 экз. Заказ 5141.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

ВВЕДЕНИЕ

1 Глава. Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных нано-трубок.

1.1 Введение.

1.2 Постановка задачи.

1.3 Соотношения теории оболочек.

1.4 Численный метод.

1.5 Результаты расчета.

2 Глава. Напряженно-деформированное состояние ортотропной эллипсоидальной оболочки, находящейся под действием внутреннего давления.

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.3 Численный метод.

2.4 Сферическая трансверсально-изотропная оболочка.

2.5 Сферическая ортотропная оболочка.

2.6 Эллипсоидальная трансверсально-изотропная оболочка.

2.7 Эллипсоидальная ортотропная оболочка.

2.8 Большие деформации ортотропной эллипсоидальной оболочки под действием внутреннего давления.

3 Глава. Напряженно-деформированное состояние ортотропных неоднородных сопряженных эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления.

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи.

3.3 Численный метод.

3.4 Деформация корнеосклеральной оболочки глаза.

3.5 Зависимость прогиба роговицы от механических параметров оболочек.

3.6 Сопряженные оболочки, сферическая и имеющая форму вытянутого эллипсоида.

3.7 Сопряженные оболочки, сферическая и имеющая форму сплюснутого эллипсоида.

3.8 Деформация оболочек, приводящая к миопии.

3.9 Деформация оболочек, приводящая к гиперметропии.

3.10 Исследование сопряженных неоднородных сферических оболочек.

3.11 Выводы.

Уравнения теории упругости в криволинейной системе координат позволяют исследовать деформации произвольной упругой оболочки, но решение задач о напряженно-деформированном состоянии тонкостенных конструкций в рамках трехмерной теории упругости сопряжено с большими трудностями. Однако такая особенность оболочек, как малая толщина по сравнению с остальными размерами, открывает перспективы заметного упрощения исходных зависимостей без ощутимой потери точности в окончательных результатах. Очевидно, имеется много возможных путей приведения задач теории упругости к двумерным задачам для тонкостенных объектов типа пластинок и оболочек. Основные, относящиеся к этому вопросу результаты, освещены в обзорах И. И. Воровича [21] с упором на задачи статики; состояние проблемы приведения уравнений теории упругости к двумерным уравнениям при решении динамических задач изложено в работах Л. Я. Айнолы [2, 5]

Весьма условно методы получения уравнений теории оболочек можно разделить на следующие основные группы: (1) асимп тотические методы, (2) вариационные методы, (3) аналитические методы.

Первый из них предполагает использование чисто математических приемов - разложение всех компонент перемещений и деформаций в ряды по тем или иным функциям координаты малого параметра ъ (толщина оболочки), последующее удержание ограниченного числа членов и использование асимптотических методов решения. Метод асимптотического интегрирования, использующий малость относительной толщины оболочки, не только приводит к приближенным двумерным уравнениями, но и дает асимптотический порядок их погрешности. Для линейных конструкций этот метод успешно использовался во многих работах ([27, 29] и др.), подробно данный метод представлен в монографии А.Л. Гольденвейзера [27]. Для нелинейных задач применение метода асимптотического интегрирования наталкивается на существенные трудности. В работе П.Е. Товстика [93] при некоторых предположениях дается вывод двумерных нелинейных уравнений теории оболочек асимптотическим методом. Материал оболочки предполагается нелинейно-упругим и изотропным. Метод представления решения трехмерных уравнений упругости в виде степенного ряда по нормальной к срединной поверхности координате изложен в монографии [19].

Исторически оправдана высокая оценка роли вариационных методов для вывода краевых условий к системе дифференциальных уравнений, моделирующих тонкое упругое тело сложной конфигурации и строения. Одной из основных в области применения вариационных методов в линейной теории пластинок и оболочек можно считать монографию Л. С. Лейбензона [63]. Данное в ней изложение методов Лагранжа, Кастильяно и Трефтца для случая пластинки открыло также возможности обобщения этих результатов и на линейную теорию оболочек. Подлинное значение вариационных методов выявилось при дальнейшем развитии теории оболочек, в связи с постановкой новых задач нелинейной теории, созданием теории анизотропных и слоистых оболочек, попытками усовершенствовать линейную теорию оболочек. Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес. Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек [4, 22]. Первые вариационные формулировки нелинейной теории оболочек были построены по интуиции. Среди них можно назвать вариационные уравнения смешанного типа обобщенной теории Кармана [4], а также уравнения общей нелинейной теории [23]. Немного позже [1] на примере уравнений типа Кармана было показано, что при помощи метода неопределенных множителей Лагранжа можно из вариационной формулы возможных перемещений вывести замкнутую (с возвращением в исходную) систему вариационных формул; в случае уравнении Кармана число различных формул оказалось равным 181. В общей нелинейной теории это число может оказаться еще больше. К. 3. Галимов, разрабатывая в своих трудах вариационные формулы общей теории (точной в рамках гипотез Кирхгоффа), не обращал внимания на промежуточные результаты - вариационные формулы, а стремился к узловым точкам замкнутой цени этих формул. Основные результаты этой работы приведены в монографии [72]. Весьма полный набор известных в теории изотропных оболочек вариационных формул обобщен Н. К. Галимовым [24] на нелинейную теорию трехслойных оболочек.

Третий подход, нашедший широкое применение в теории изгиба балок, пластин, оболочек, основан на чисто физическом анализе задачи. Принимаются кинематические и силовые гипотезы. При построении их широко привлекаются известные точные решения задач теории упругости, экспериментальные данные, хорошо зарекомендовавшие себя гипотезы, принятые в теории более простых сооружений.Построенные методом гипотез теории называют иногда [5, 39] полуобратным методом теории упругости. Они являются наглядными и часто позволяют получить простые разрешающие соотношения. Однако такой подход не обладает возможностью построения процесса для уточнения получаемых результатов, и иногда возникают трудности при оценке погрешности принятых аппроксимаций. Классическая теория тонких оболочек основывается на известных гипотезах Кирхгоффа-Лява, которые формулируются следующим образом: Предполагается, что прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными и перпендикулярными к изогнутой срединной поверхности. Длина волокон, перпендикулярных к срединной поверхности, остается неизменной в процессе деформации и нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями. Как показано в [67] эти гипотезы приводят в исходных уравнениях к погрешности порядка h/R по сравнению с единицей. Такая погрешность вполне приемлема при расчете многих конструкций, встречающихся в различных областях техники, особенно металлических конструкций. Классическая теория пластин и оболочек, разработанная сначала для изотропных однородных структур, получила широкое применение и в механике анизотропных конструкций [5, б, 7, 64, 65]. При такой постановке задачи отличие теории анизотропных пласгин и оболочек от теории изотропных заключается только в соотношениях упругости. При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого подхода обсуждался в [11, 18]. Для ряда ортотропных объектов (прямоугольных и круглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными, при определенных механических параметрах такой подход дает хорошие результаты [5, 6, 18, 64]. Однако существует достаточное количество оболочек, в первую очередь изготовленных из неметаллических материалов, где точность классической теории становится недостаточной. У таких оболочек велико отношение толщины к радиусу. Кроме того, многие синтетические материалы обладают повышенной податливостью на межслоевой сдвиг и потому даже сравнительно небольшие по величине касательные напряжения, вызывающие сдвиг параллельных слоев, заметно влияют на общую деформацию оболочки. Теория изгиба таких оболочек требует введения более строгих гипотез, чем гипотезы Кирхгоффа-Лява. В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории - гипотезы недеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига. Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко - гипотезе прямолинейного элемента [69, 77]. В монографии [69] последовательно изложены основы теории оболочек на базе этой гипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных к срединной поверхности независим от модуля Юнга в срединной поверхности, и таким образом фактически учтена трансверсальная изотропия материала оболочки. В ряде работ [35, 36] теорию, изложенную в [69], называют теорией грансверсально-изотропных оболочек. Развивались также модели теории оболочек и пластин, в которых задавались законы распределения касательных напряжений, согласованные с условиями нагружения лицевых поверхностей. Таким уточненным теориям анизотропных пластин и оболочек, посвящены монографии С.А. Амба рцумяна [11,18]. Для уточнения классической теории оболочек он предложил задавать распределение поперечного сдвига но параболе; это положение заменяет гипотезу Кирхгоффа-Лява о сохранении нормали к срединной поверхности после деформации. Построение теории на основе этой гипотезы несколько сложнее, чем по энергетическому методу, примененному Э. И. Григолюком, но в более или менее существенной мере это проявляется только в нелинейных задачах. Основная из теорий С.А. Амбарцуияна, названная общей уточненной теорией, основана на гипотезах Новожилова В.В. [67]: нормальное к срединной поверхности перемещение не изменяется по толщине, а касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной поверхности пластины, изменяются по толщине пластины по квадратичному закону. Эта теория позволяет получить более точное значение нормальной к срединной поверхности составляющей вектора перемещений. В монографии [11] на основе общей уточненной теории представлены решения задач об изгибе прямоугольных ортотропных пластин и симметрично нагруженных круглых пластин при различных условиях опирания краев. В работе Палия О.М., Спиро В.Е. [68] для оболочек средней толщины были,предложены следующие уточняющие гипотезы: прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными и косинус угла наклона таких волокон к срединной поверхности деформированной оболочки равен осреднен-ному углу поперечного сдвига. Так же при построении теории оболочек средней толщины учитываются напряжения, путем введения сложной функции изменения длины нормали к поверхности. Новая уточненная итерационная теория деформаций анизотропных пластин, удобная для разработки алгоритмов численных решений краевых задач, представлена в монографии В.А.Родионовой, Б.Ф.Титаева, К.Ф.Черныха [73]. Методом гипотез построена линейная теория неоднородных анизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малой податливости поперечным сдвигам и деформированию в направлении нормали к срединной поверхности, поперечных нормальных напряжении и нелинейного распределения компонент вектора перемещения по толщине оболочки. Предложенную теорию можно трактовать как первое приближение при приведении краевой задачи трехмерной теории упругости к двухмерной методом взвешенных невязок. Вводятся статические гипотезы о распределении но толщине оболочки поперечных касательных и нормального напряжений по закону соответственно квадратной и кубической параболы и кинематические гипотезы о распределении но толщине оболочки тангенциальных и нормальной составляющих вектора перемещения по закону полинома соответственно третьей и второй степени от z. Функции, описывающие деформацию слоя оболочки по теории Ро-дионовой -Титаева- Черныха предлагается искать в виде рядов по полиномам Лежандра от координаты z. Вопросам нелинейной теории оболочек посвящены труды И.И.Воровича, A.C. Вольмира, Э.И. Григолюка, К.З. Галимова, К. Ф. Черныха, С. А. Кабрица и др. В работе [81] предложен вариант нелинейных уравнений К.Ф. Черныха, учитывающий "кинематическое"обжатие. Еще один вариант нелинейных уравнений, учитывающих поперечные сдвиги по модели Тимошенко, представлен в работе [56]. Анализ осесимметричного деформирования полусферы, находящейся под действием внешнего давления, проведен в работе [55] на основе моделей, преложенных в [56, 81]. Отмечается, что обе теории дают близкие результаты на начальном участке диаграммы деформирования и на участке зеркального выворачивания, но дают существенно разные результаты в "критической"области. Различные подходы к исследованию нелинейных задач о деформировании тонкостенных конструкций деформирования тонкостенных конструкций произвольного вида обсуждаются в монографии [33]. Кроме квадратичных вариантов нелинейных уравнений пластин и пологих оболочек, представлены варианты квадратичных уравнений не пологих оболочек Э.И. Григолюка, в частности вариант теории непологих многослойных анизотропных оболочек произвольного вида. Методы решения геометрически нелинейных задач рассматривались в работах Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Мяченкова В.И., Григорьева И.В. [35, 36, 37, 38, 39]

При расчете напряженно-деформированного состояния составных оболочек вращения ко всем другим сложностям добавляются трудности, связанные с выполнением кинематических и статических условий в месте контакта оболочек. Более ранние работы, посвященные расчету составных оболочек вращения, выполнены в линейной постановке при осесимметричном нагружении [70], линейные неосесимметричные задачи представлены в работе [74], осесимметричные физико-нелинейные задачи - в [31], геометрико-физические нелинейные задачи - в работе [54]. В статьях [59, 62] предложена методика расчета неосесимметрич-ного термоупруго-пластического НДС оболочек вращения с разветвляющимся меридианом при использовании полуаналитического метода конечных элементов. Задача решается в рамках линейной теории оболочек Кирхгоффа-Лява. В качестве примера рассмотрено неосесимметричное НДС цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми пластинами. В работе [26] представлена методика расчета напряженно-деформированного состояния в линейной постановке составных разветвленных оболочек вращения, основанная на применении методов строительной механики.

В большинстве работ, посвященных исследованию напряженно - деформированного состояния слоистых структур, рассматриваются модели, в которых полагается, что контакт между смежными слоями является идеально жестким, и компоненты вектора перемещений остаются непрерывными по толщине. Однако в ряде случаев представляет интерес ослабленный контакт слоев. В работе [18] изучаются малые осесимметричные деформации оболочек вращения из слоистого материала при наличии упругого проскальзывания по поверхности контакта между слоями. Расче г проведен для двуслойной цилиндрической оболочки. В монографии [42] 'рассмотрен ряд задач о деформировании цилиндрических и сферических оболочек при идеальном проскальзывании слоев. В работе [40] • анализируются различные модели деформирования слоистых оболочек с различными условиями контакта слоев, а также рассмотрены различные модели расслоений - одного из наиболее распространенных дефектов в конструкциях из слоистых материалов. В ряде работ классический подход использован для решения задач об осесимметричном изгибе круглых изотропных пластин в случае, когда модуль упругости или толщина оболочки являются функциями радиальной координаты. Расчету многослойных пластин и оболочек посвящено большое число работ, которые можно подразделить на две группы. Отличительной чертой первой группы является принятие гипотез, характеризующих поведение всего пакета в целом. В этом случае порядок системы уравнений не зависит от числа слоев. Для второй группы характерно то, что гипотезы формулируются для каждого слоя отдельно. Теории, основанные на гипотезе ломаной линии, применяемые для многослойных оболочек, представлены в работах Э.И. Григолюка [32]. В связи с тем, что линейное распределение перемещений по толщине не всегда согласуется с решением трехмерных задач, получили развитие и другие модели. В работе [41] представлен обзор исследований, посвященных физически и геометрически линейным анизотропным неоднородным оболочкам. Рассматриваются особенности, которыми обладают неоднородности, вызванные различными способами изготовления и температурными воздействиями. Проведено сравнение решений, полученных на основе некоторых уточненных теорий и в пространственной постановке. При решении задач о напряженно - деформированном состоянии конструкций, состоящих и из массивных частей и из тонкостенных элементов, также не всегда удобно везде применять трехмерные уравнения теории упругости. Работа [51] посвящена построению гетерогенной линейной математической модели теории упругости, то есть теории, в которой одновременно используются модели разной мерности. Общие уравнения теории упругости используются для более массивных составных частей конструкции, для тонкостенных областей используется теория оболочек типа Тимошенко.

Целью данной работы является построение моделей сложных биомеханических и нано объектов; исследование влияния геометрии и физических свойств материала (степени анизотропии) на напряженно-деформированное состояние объектов.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе моделируется воздействие зонда на асбестовую на-нотрубку, лежащую над порой лавсановой мембраны. Вторая глава посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления, исследованию зависимости "объем-давление" которая в офтальмологии характеризует стенерь ригидности глаза человека. В третьей главе для глаза рассматривается более сложная модель. Оболочка глаза рассматривается как составная.

3.11 Выводы.

При моделировании склеральной оболочки глаза как трансверсально-изотропной оболочки отмечено, что воздействие внутреннего давления не существенно влияет на изменение передпее-задней оси глаза. Эллипсоидальные оболочки под действием внутреннего давления стараются принять сферическую форму, наибольший прогиб происходит в более пологой части. Так прогиб в окрестности нижнего полюса для вытянутой эллипсоидальной оболочки существенно меньше по сравнению со сферической, а в случае сплюснутой оболочки существенно больший. Угол между касательными к оболочкам на линии сопряжения увеличивается с ростом давления, а окрестность точки сопряжения становится более гладкой. Следует отметить, что оболочка, имеющая форму вытянутого эллипсоида, менее деформируется под действием внутреннего давления, чем обоочка, имеющая форму сплюснутого эллипсоида. При исследовании ортотронных оболочек отмечено, что в случае, когда Е^/Е^ > 1 картина деформации оболочки будет соответствовать состоянию миопии. В обратном же случае, когда Е^/Е^ < 1 картина деформации соответствует состоянию гиперметропии. В случае неоднородной трансверсально-изотропной материи, модули упругости которой уменьшаются при приближении к точке нижнего полюса, максимальный прогиб происходит в тыльной части глаза, картина деформации соответствует состоянию миопии.

1. Айнола Л. Я. Вариационные задали в нелинейной теории упругих оболочек. ПММ. 1957. Т .21. 3.

2. Айнола Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек, Изв.АН Эст.СССР, Сер.физ.-мат.и техн.н., 1965, т.14, с.337-344

3. Айнола Л. Я. О геометрически нелинейной теории динамики упругих пластин.- Прикл.мех., 1965, т.1, вып,8, 7-16.

4. Алумяэ, Н. А. Одна вариационная формулировка для исследования тонкостенных упругих оболочек в после критической стадии / Н. А. Алумяэ // ПММ. 1950.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Наука, 1987. 360 с.

6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М. 1961. 384 с.

7. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. 1974. 446 с.

8. Андриевский P.A. , Глезер A.M. Прочность наноструктур // УФН 2009, т. 179(4), с. 337.

9. Анкундтюв А. В., Вауэр С. .М., Ермаков А. М., Каштанова С. В., Морозов Н. Ф. О механических параметрах асбестовых нанотрубок Современные проблемы механики сплошной среды, Труды конференции, т.1, с.35-38

10. Аргатов И.И. Оценка погрешности расчета линейно-упругого композита симметричного строения как изотропной пластины Вестник С.-Петербургского ун-та. 1993, Nol. С. 61-66.

11. Бауэр С.M., Воронкова Е.Б., Ермаков А.М. О моделях фиброзной оболочки глаза для анализа зависимости "объем-давление". Биомеханика 2010, X Всероссийская конференция. Тезисы доклада. Саратов

12. Бауэр С.М., ' Замураев Л.А., Котляр К.Е. Модель трансверсально-изотропного сферического слоя для расчета изменения внутриглазного давления при интрасклеральных инъекциях, Российский журнал биомеханики, 2006, N 2, с. 43-49

13. Бауэр, С.М., Б.А. Зимин, П.Е Товстик. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 92 с.

14. С.М. Бауэр, А.М. Ермаков, C.B. Каштанова, Н.Ф. Морозов Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных ианотрубок. Вестник СПБ ГУ №1, издательство СПБГУ, Санкт-Петербург, 2011г

15. Белотоцкий В.И., Кумзеров Ю.А., Фокин A.B. Генерация второй оптической гармоники в нанопроволоках сегнетоэлектрических материалов // письма в ЖЭТФ, 2008, т. 87, с. 465.

16. Василенко А. Т. Осесимметричная деформация слоистых оболочек вращения с различными условиями контакта слоев. Прикладная механика, 1997, т.33, No 9. С. 50-55.

17. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. Машиностроение, 1988, 272 с.

18. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982. 286 с.

19. Волков В.В, Вяземский С., Малышев Л., Мамаев О., Павилайиен В.Я., Саулгозол Ф.Ж.Исследование напряженного состояния роговицы живогоглаза человека методом фотоупругости. Известия А.Н. ЭССР. Физика, математика 1988 т. 37 с. 76-84

20. Ворович И. И. Общие проблемы теории пластин и оболочек: обзорный доклад]. Труды "У1 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Баку 1966; М.: Наука, С. 896-903.

21. Галимов К. 3. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях // ПММ. Т. XV. - Вып. 6. - 1951. - С. 723-742.

22. Галимов К. 3. К вариационным методам решения задач нелиней ной теории пластин и оболочек. Известия АН СССР, серия физ.-мат. наук,. 1956, вып. 10

23. Галимов Н. К. "К устойчивости трехслойных цилиндрических оболочек Исслед. по теор. пластин и оболочек, 3, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1965, 157-172

24. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М. Изд-во Физ-Мат. лит., 1959. - с. 14-24

25. Гнитъко В. И. Расчет неосесимметричного термоупругопластического состояния разветвленных оболочек вращения полуаналитическим методом конечных элементов / В.И. Гнитько, В.А. Мерзляков // Прикл. мех., 2002, №8. 105-115.

26. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., 1976. 512 с.

27. Гольденвейзер А.Л Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана, ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 96-108.

28. Гольденвейзер А.Л Асимптотический метод в теории оболочек, Успехи механики, 1982. Т.5. С. 137-182. М.: Наука, 1976. 512 с.

29. Григолюк Э.И., Селезов И. Т. Неклассические модели колебаний стержней, пластин и оболочек. М.1973, 274 с.

30. Григолюк Э.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши / Э.И. Григолюк., В.И. Мамай // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Горький, 1979. 3-19.

31. Григолюк Э.И. Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. М.:Машиностроение, 1988. 288 с.

32. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М., Наука, 1997. 272 с.

33. Григолюк Э.И., Коган Е.А., Мамай В.И. Проблемы деформирования тонкостенных слоистых конст-рукций с расслоениями. Изв. РАН. Мех. твердого тела, 1994, N0,2. С. 6 -32.

34. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев, Наукова думка, 1973. 223с.

35. Григоренко Я.М., Василенко А. Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных неоднородных пластин.// Прикл. ме-ханика, 1997, т. 33.N0,11. С. 3 -37.

36. Григоренко Я.М., Василенко А. Т. Панкратова Н.Д. Задачи теории упругости неоднородных тел. К., Наукова думка, 1991, 216 с.

37. Григоренко Я.М., Василенко А. Т. Теория оболо-чек переменной жесткости. К., Наукова думка, 1981, -544 с. (Методы расчета оболочек, в 5 т.,т.4)

38. Григоренко Я.М., Савула Я.Г. Коссак О. С Иссле-дование напряженно -деформированного состояния упругих тел на основании гетерогеннойматемати-ческой модели.// Прикладная механика, 2000, т. 36. Nol2. С. 71 -77.

39. Гузъ А.Н., Кнюх В.И., Назаренко В.М, Расслаивание композиционных материалов при сжатии вдоль внутренних и приповерхностных макротрещин/ / Прикладная механика 1986, т.22, №11. 40-46.

40. Егоров Е. А. Диагностическая ценность побледнения диск а зрительного нерва при глаукоме. / / Вестн. офтальмологии. 1978, №3. 6-8

41. Екимов A.C. Витрэктомия па "сухом глазу "в лечении посттравматических отслоек сетчатки. Автореф. дис. канд. мед. наук. Красноярск, 1997. 19 с.

42. Елецкий А В. Механические свойства углеродных структур и материалов на их основе // УФН 2007, т. 177(3), с. 233.

43. Еремеев В.А., Е.А.Иванова Е.А., Морозов Н.Ф. Механические проблемы в нанотехнологии // Известия Саратовского ун-та, Серия Математика, Механика, Информатика, 2008, т. 8(3), с. 25.

44. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние трансверсально-изотропных сопряженных эллиптических оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. Вестник СПБГУ №3, издательство СПБГУ, Санкт-Петербург, 2009г

45. Ермаков A.M. Напряженно-деформированное состояние склеры и роговицы как ортотропных неоднородных сопряженных сферических оболочек. Российский Журнал Биомеханики, №1 издательство ПГТУ, Пермь, 2009 г

46. Ермаков A.M. К вопросу о деформировании склеры. Межд. Научная конф. по механике. Пятые Поляховские чтения, Тезисы докладов, С.Петербург, 2009,

47. Ермаков A.M. О деформации ортотропных склеральных оболочек при большом внутриглазном давлении. Биомеханика 2010, X Всероссийская конференция. Тезисы доклада. Саратов

48. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф. К вопросу об изменении параметров жесткости // ЖТФ 2006, т. 76(10), с. 74.

49. Иомдина E.H. Механические свойства глаза человека. Современные проблемы биомеханики. Выпуск 11. Изд-во ММГУ 2006. с. 183-201

50. Кабанов В. В Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесим-метричном давлении / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Расчет элементов конструкций летательных аппа-ратов. М.: Машиностроение, 1982. 83-85.

51. Кабриц С.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом попе-речного сдвига Механика твердого тела. 1996, No,l. С. 124 -136.

52. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К. Ф., Шамина

53. B.А. Общая нелинейная тео-рия упругих оболочек. (Под ред. Черныха К.Ф., Кабрица С.А.) СПб, Изд-во СПбГУ, 2002, 386 с.

54. Краковская Е.В Приложение теории сопряженных оболочек к задачам офтальмологии. Семинары труда "Компьютерные методы в механике сплошной среды "Изд-во СПбГУ 2006 с. 5-19.

55. Кривцов А. М., Морозов II. Ф. Аномалии механических характеристик на-норазмерных объектов// Доклады Академии Наук, 2001, т.381, Вып.З,1. C.345-347

56. Кузнецов В. В. Исследование нелинейного на-пряженно- деформированного состояния разветв-ленных оболочек/ В.В. Кузнецов, СВ. Левяков // Строит, механика и расчет сооруж. 1992, №1.-С.10-14. )s V

57. Кумзеров Ю.А., Парфеньева Л.С., Смирнов И.А., Кривчаков А.И., Звягина Г.А., Филъ В.Д., Мисиорек X., Муха Я., Ежювский А. Тепловые и акустические свойства хризотилового асбеста // ФТТ, 2005, т. 47, с. 357.

58. Лавендел Э.Э. Расчет резино-технических изделий. М., Машиностроение, 1997. - с. 146-154

59. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство / К. Ланцош. М.: Физматгиз, 1961. -524с. ЗВ.Лебедев Н.Н, Температурные напряжения в теории упругости /' H.H. Лебедев.- Л., М.: ОНТИ, 1937. - 110 с.

60. Лейбензон, Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости / Л. С. Лейбензон. М-Л. : ОГИЗ, 1943. - 228 с. 3.

61. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.;Л: Гостехиздат: 947. 355 с.

62. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.;Наука, 1977. 415 с.

63. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости.//М: Гостехиздат, 1955. 492 с.

64. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромгиз, 1962. 431с.

65. Палий О. М., Спиро В. Е. Анизотропные оболочки в судостроении. Теория и расчет. Л.: Судостроение. 1977г. с. 20-32

66. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиго-вой жесткостью. Киев, "Наукова думка 1973, 248 с.

67. Мслан Э. Термоупругие напряжения, вызы-ваемые стадион арными температурными полями / Э. Мелан, Г. Паркус. Пер. с нем. М.: Физматгиз, 1958. - 167 с.

68. Морщинина A.A. К вопросу о математическом моделировании глаукомы./ / Компьютерные методы в механике сплошной среды: сб. трудов. Изд-во СПбГУ, 2009. - с. 76-97

69. Муштари X. М., Галимов К. 3., Нелинейная теория упругих оболочек, Казань, 1957

70. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболо-чек. СПб.: Изд-во С.-Пстерб. ун-та. 1996. 280 с.

71. Рогалевич В.В. Решение краевых задач теории пластин и оболочек методом коллокации / В . В . Рогалевич // Прочность и устойчивость оболочек: Труды семинара. Казанск. физ.-техн. ин-т, 1980 ,№13 . -С . 5-20.

72. Саулгозис Ю.Ж. Особенности деформирования склеры. Механика композитных материалов. №3. с. 505-514

73. Сомов Е.Е. Клиническая анатомия органа зрения человека. М.: Медпресс-информ., 2005, 136 с.

74. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки., M.-JL, 1948. 480 с.

75. Товстик П. Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек // Вестник С.-Пб. Ун-та. Сер.1, 2007, т. 3, с. 49.

76. Филин А.П. Элементы теории оболочек. JI. Стройиздат, 1975. - с. 29-31

77. Филипов С.В. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. Изд-во СПБГУ 1999, 196 с

78. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.,"Машиностроение 1986, 336 с.

79. Bauer S.M., Ermakov A.M. Voronkova E.B. Tonometric Estimation of Mechanical Properties of a Cornea and Sclera. ARVO 2009 Annual Meeting, Fort Lauderdale, Florida, 2009

80. Bauer S.M., Ermakov A.M. Voronkova E.B., Kotliar K.E. Biomeclianical Analysis of Parameters Influencing -Pressure-Volume Relationship in the Human Eye. ARVO 2009 Annual Meeting, Fort Lauderdale, Florida, 2010

81. Changgu Lee, Xiaoding Wei, Jeffrey W. Kysar, James Hone Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolayer graphene / / Science 2008, v. 321, c. 385.

82. L.H. Donnell Beams, Plates and Shells. McGraw-Hill Book Company, 1976.

83. Duke-Elder. Diseases of the eye, twelfth edition by sir Stewart, London,1956 443 p

84. Jean-Paul Salvetat, G. Andrew, D. Briggs, Jean-Marc Bonard, Revathi R. Bacsa, Andrzej J. Kulik, T. Stockli, N. A. Burnham, L. Forro Elastic and

85. Shear Moduli of Single-Walled Carbon Nanotube Ropes // Phys. Rev. Lett 1999, v. 84, c. 944.

86. G. Y. Jing, H. L. Duan, X. M. Sun, Z. S. Zhang, J. Xu, Y. D. Li, J. X. Wang, and D. P. Yu Surface effects on elastic properties of silver nanowires: Contact atomic-force microscopy // Phys. Rev. B 2006, v. 73, c. 235409.

87. John E. Sader, James W. M. Chon and Paul Mulvaney Calibration of rectangular AFM cantilevers 11 Rev. Sci. Instr. 1999, v. 70, p. 39-67.

88. Lang O.K. Ophthalmology, Stugart New York, Thieme, 2000, 566 p.

89. Ronald E. Miller, Vijay B. Shenoy Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements // Nanotechnology 11. 2000. pp. 139-147.

90. D.M. Schaefer, A. Patil, R.P. Andres, R. Reifenberger Elastic properties of individual nanometer-size supported gold clusters // PRB 1995, v. 51, p. 5332.

91. Toustik P.E. Derivation of two-dimensional equa-tions of shells od revolution from three-dimensional eq-uations of nonlinear theory of elasticity // Strength problems of deformed bodies, St.Petersburg, (1),189-201, 1997t