Применение неклассических моделей пластин и оболочек к задачам устойчивости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукппип^

005005645

ПЛАТОНОВ Виктор Викторович

ПРИМЕНЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК К ЗАДАЧАМ УСТОЙЧИВОСТИ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

-8 ДЕК 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург, 2011

005005645

Работа выполнена на кафедре теории упругости математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент СЕМЕНОВ Борис Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ФИЛИППОВ Сергей Борисович (Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент ЕРШОВА Зинаида Георгиевна (Тутаевский филиал ФГБОУ ВПО "РГАТА имени П.А. Соловьева")

Ведущая организация: Петербургский государственный

университет путей сообщения

Защита состоится 2011 г. в _[5^часов на заседа-

нии совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, ^

профессор

Е. В. Кустова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современных конструкциях в качестве конструкционных материалов широко используются композитные, синтетические и другие неметаллические материалы. Отличительной особенностью этих материалов является повышенная податливость на межслоевой сдвиг. Дня них даже небольшие по величине касательные напряжения существенно влияют на обшую деформацию. Поэтому расчет пластин и оболочек из таких материалов с использованием теории Кирхгофа-Лява может приводить к большим погрешностям.

В качестве элементов конструкций все чаще используются нанообьек-ты, и одной из задач наномеханики является необходимость расчета деформации, прочности, устойчивости нанообъектов. Проблема состоит в том, что свойства наноразмерных структурных элементов отличаются от свойств в классической континуальной механики. Эти различия зависят от размера структурного элемента.

Для расчета напряженно-деформируемого состояния, решения задач устойчивости нанообъектов точность классической теории пластин и оболочек становится недостаточной. В связи с этим используются неклассические теории, построенные как и классическая теория методом гипотез, но менее жестких, чем гипотезы Кирхгоф а-Лява.

В работе рассматриваются некоторые задачи устойчивости пластин и оболочек на основе неклассических теорий: теории изгиба пластин Тимошенко-Рейсснера, теории анизотропных оболочек С.А. Амбарцумяна.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является решение некоторых задач устойчивости трансверсально-изотропных пластин и оболочек на основе неклассических теорий: теории Тимошенко-Рейсснера, уточненной теории С.А. Амбарцумяна.

Научная новизна. Для сжатой в продольном направлении пластинки, находящейся в канале с жесткими стенками, получены критические значения сжимающего напряжения и длины прямых участков налегания на каждом этапе нагружения по классической теории и теории Тимошенко-Рейсснера.

Проведен анализ результатов, полученных при аналитическом решении при использовании трехмерной теории упругости в пакете АЖУЯ.

Для трансверсально-изотропной сферической оболочки под действие нормального давления с использованием уточненной теории С.А. Амбар цумяна получена критическая нагрузка, определены формы потери устой чивости. Выполнено сравнение величины нормального давления, получен ного при использовании некоторых неклассических теорий оболочек.

Для трансверсально-изотропной цилиндрической оболочки при осе вом сжатии на основе теории С.А. Амбарцумяна получена критическ; нагрузка, проведено сравнение с результатами, полученными по теорш Тимошенко-Рейсснера.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математиче ски корректной постановкой задач, использованием строгих аналитиче ских методов, сравнением аналитических и численных результатов.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано научных статей и тезисов докладов, в том числе 4 работы опубликованы рецензируемых журналах и изданиях.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались: на семи нарах кафедры теории упругости математико-механического факультет СПбГУ, на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды"(Санкт-Петербург, 2009), на XVIII Все российской школе-конференции молодых ученых и студентов "Математи ческое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2009).

Результаты, выносимые на защиту:

1. Для сжатой в продольном направлении пластинки, находящейся канале с жесткими стенками, получены критические значения сжимающи напряжений и длины участков налегания на каждом этапе нагружения п классической теории и теории Тимошенко-Рейсснера.

2. Выполнен анализ задачи методом конечных элементов, которь показал, что порядки сжимающих напряжений, полученные при решенш

задачи в пакете ANSYS, совпадают с порядками, полученными в аналитическом решении, причем расчеты по теории Тимошенко-Рейсснера дают более точные результаты, чем расчеты по классической теории.

3. Для трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием нормального давления, по уточненной теории С.А. Амбарцумяна определены формы потери устойчивости, критическая нагрузка.

4. Для цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия, по классической теории и теории С.А. Амбарцумяна определены критические нагрузки для трансверсально-изотропного и изотропного материалов, проведено сравнение с результатами, получающимися по теории Тимошенко-Рейсснера.

Структура диссертации и объем работы. Диссертация изложена на 75 страницах машинописного текста и состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы, включающего 115 источника. Диссертация иллюстрирована 18 рисунками и содержит 6 таблиц.

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, содержится обзор литературы по теме диссертации, сформулированы цели и задачи работы и приведены результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию устойчивости системы, показанной на рисунке 1. Конструкция моделируется тонкой пластинкой длиной о, шириной h, защемленной между двумя жесткими основаниями с зазором Д. Пластинка сжимается в продольном направлении напряжением ах. При достижении напряжением первого критического значения пластинка теряет устойчивость и начинает прогибаться. После соприкосновения с основанием начинает образовываться участок налегания пластинки к жесткому основанию. Когда участок налегания становиться до-

статочно большим, он тоже теряет устойчивость. Пластинка "прощелки-вается"второй раз и образуются три зоны прилегания пластинки к основаниям. При последующем нагружении участки налегания также теряют устойчивость. По такому алгоритму получается гофрированная система, показанная на, рисунке 1.

Рис. 1: Гофрировка с фиксированной амплитудой и периодом.

Данная задача решалась с использованием классической теории. Дифференциальное уравнение изгиба пластинки в этом случае имеет следующий вид:

Также задача решалась по уточненной теории Тимошенко-Рейсснера:

¿А1У _ о к'2 2 — У ¿У

ах4 _ 9 + ю 1 - и ¿х'2'

( д2™\ , д. Г) Ш3

где = - I СТХ-^-у \ к — фиктивная поперечная нагрузка, V = ^^ _ ^

— цилиндрическая жесткость пластинки.

Для первого критического напряжения получаем:

КЬ 4тг2Д

<?кг1 =

ко?

4тт21>

'К2

где ¡3 — малый параметр порядка О

Второе критическое значение и длины участков налегания, которые теряют устойчивость:

_ а КЬ _ 64тг2Д

О! - кг2 - Ы2 ,

/1 + л/1 - 647Т2р(а)\ тп 4тг2£>, 2 .

<»1=1---§-~ К =

На рисунке 2 показаны основные формы равновесия пластинки, в таблице 1 даны интервалы изменения напряжения при нагрузке по классической теории и теории Тимошенко-Рейсснера.

Рис. 2: Основные формы равновесия пластинки. Таблица 1. Интервалы изменения напряжения при нагрузке.

Классическая теория Теория Тимошеико-Рейссиора

^ Л„2

АжлБ ^ ^ Ъп2 — Ьп2 ^(1 - 4*)) < а. < ^(1 - 16*))

^ ^ 64тг"£> /га2 ~ " х ~ 1га2 ^(1 - 1б7г2/?(а)) < а, < ^(1 -.4*0)

^ „ Штт'В /га2 — ~ 1га2 - 4*0) < <т, < ^(1 - 4*а))

144тт*£> ^ ^ /га2 — — (1 4тг2/3(а2)) < <тж < (1 16тг2/?(а2))

Сравнение выражений для соответствующих значений критических напряжений в теориях Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснера показывает, что напряжения в уточненной теории меньше напряжений, полученных по

л

классической теории на величину порядка 1 — 1 .А дайны прямых участков при использовании теории Тимошенко-Рейсснера больше на величину порядка

Расчет задачи методом конечных элементов производился с помощью пакета ANS YS. Теоретическое решение было получено в рамках линейной теории упругости. В пакете ANS YS решалась задача потери устойчивости по нелинейной теории и контактная задача. Рассматривалась тонкая пластинка, защемленная между двумя жесткими основаниями с зазором. Пластинка сжималась в продольном направлении и теряла устойчивость. При постепенном увеличении нагрузки был реализован алгоритм, рассмотренный в аналитическом решении. Анализ результатов показывает, что порядки сжимающих напряжений, полученных при решении задачи в пакете ANSYS, совпадают с порядками, полученными в аналитическом решении, причем модель Тимошенко-Рейсснера дает более точные результаты, чем классическая теория.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости

трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием нормального давления. Задача рассматривается с использованием уточненной теории, учитывающей поперечные деформации сдвига согласно С.А. Амбарцумяну. Разрешающее уравнение данной уточненной теории, относительно нормального перемещения w имеет вид

D2

[с2(Д + I)2 + 1 - /г* А] (Д + 2)w = —(1 - h*A)(A + 1 - v)Z, (1)

Eh где

2 _ h2 А* _ E R2

С — j ' ч } ft — 1 лМ 2 \ D2 5

Ikx \Ада) + dß \Bdß

12(1 -1/)Д2' 10(1 - р2)В? С' АВ

Е — модуль Юнга в тангенциальных направлениях, р — коэффициент Пуассона, С' — модуль сдвига для плоскостей, нормальных к поверхности оболочки, А и В — коэффициенты первой квадратичной формы.

Для определения критического давления рассматривается основное напряженное состояние оболочки, которое до потери устойчивости является безмоментным, тогда в этом случае уравнение устойчивости сферической оболочки примет вид

[с2(Д + I)2 + 1 - к* А] (Д + 2)« + ^-(1 - Ь*А)(А + 1 - 1/)(Д + 2)«, = 0.

Решение уравнения должно удовлетворять условиям непрерывности и однозначности на сфере. В силу малости параметров оболочки с2 < 1, Н* < 1

и с принятой здесь точностью, следуя В.З. Власову, ограничимся классом решений, являющихся решениями дифференциального уравнения:

Дад + Лгу — 0.

Нетривиальное ограниченное решение этого уравнения существует только при Ап = п(п+1). Минимизируя функцию q — д(Л), с принятой точностью

/Л т/

— 1 , определяем критическое значение д^:

= (2)

При значении Ь* =~ 0 получим выражение критического давления для изотропной сферической оболочки:

г 2ЕН „ л. = ~~Я~ ~ 2г/с ).

Для решения той же задачи в классической постановке рассматривается уравнение устойчивости сферической оболочки:

т^гД3^ + + = 0.

ПК' /Л

Критическое давление в этом случае имеет вид:

КЬ _ -""0-

Выражение (2) при этом можно переписать в следующем виде:

2ЕН,

г I _ Л _ " ^ _ (3)

\ 2^/3(1 10(1-1/2) дс?'У"

Из формулы (3) для трансверсально-изотропного материала видно, что при некоторых значениях отношений /¿/Л, Е/С' величина критического давления, найденная с учетом влияния поперечного сдвига, может существенно отличаться от критического давления, найденного по классической теории. Учет поперечных сдвигов снижает величину критического давления. Условие применимости формулы (3):

В случае невыполнения этого условия уточненная теория является асимптотически противоречивой.

В случае выполнения условия (4) будет автоматически выполняться

условие (-ту, из чего следует, что напряжение в оболочке в момент

\Л/ Ь потери устойчивости

сг < (?',

что необходимо для использования двумерной теории оболочек.

Таблица 2. Влияние параметра поперечной жесткости на сдвиг.

ЧьрЫкр к/Я = 0.05 Якр /Чкр1 к/Л = 0.01 Е/в' в'/Е

0.91 0.98 5 0.2

0.83 0.97 10 0.1

0.75 0.95 15 0.07

0.66 0.93 20 0.05

0.58 0.92 25 0.04

0.50 0.90 30 0.03

0.18 0.83 50 0.02

В таблице 2 показано влияние параметра поперечной жесткости на сдвиг при расчете статической критической нагрузки в сравнении с классической теорией пологих оболочек. Как видно из таблицы 2, теория, учитывающая влияние поперечного сдвига, уточняет классическую теорию для трансверсально-изотропных материалов. Чем больше отношение Н/ Я и меньше отношение С'/Е, тем существеннее уточнение. Так же из таблицы 2 можно проверить условие применимости (4). Например, для к/Я = 0.05 можно рассматривать отношение &/Е, величина которого больше 0.05, т. е. С'/Е > 0.2. Для К/Я = 0.01, как следует из таблицы 2, нужно использовать величины С'/Е > 0.07. В противном случае будет нарушаться

условие (4). С принятой здесь точностью {^¡^ члены большего порядка

были отброшены. Это означает, что в случае нарушения условия (4) следующий член асимптотического разложения может иметь большее влияние на величину критического давления, чем оставленные.

Для определения форм потери устойчивости решение уравнения (1)

представляется в виде

ги(а, ß) = P{oí) cos kß, k = 0,1,2,...

Полная система, решений уравнения представлена, в таблице 3, где PJJ а = а). Полиномы Лежандра Pn¡a в интервале изменения 0 < а < тг имеют п нулей. Собственные функции Лежандра Р* имеют п — к нулей. Функции sin nß и cos nß обращаются в нуль на меридианах. Функции Р* обращаются в нуль на п — к широтах. Таким образом, этими меридианами и широтами оболочка разбивается на участки, на которых wn не обращается в нуль. Это означает, что параметр Хп определяет вид формы потери устойчивости оболочки. Чем больше параметр Л■ ¡. тем меньше размеры полуволн. Любая форма потери устойчивости может быть выражена через эту систему. Таким образом, из представленного анализа следует, что для трансверсально-изотропной сферической оболочки иод воздействием нормального давления учет поперечного сдвига не приводит к появлению новых форм потери устойчивости.

Таблица ,?. Полная система решений уравнения.

к wn{a,ß) Первые члены ряда

0 w0(a,ß) = Pn¡a 1, cosa, 0.5(3cos2a — 1), ...

1 w-i{a,ß) = P¿iCtsin/? 0, sin a sin ß, 3 sin a cos a sin ß, ...

m{a,ß) = Píi,a cosß 0, sin a eos /3, 3 sin a cos a cos ß, ...

2 W-i{a,ß) = P„,a sin2/3 0, 0, 3 sin2 a sin 2/3, ...

w2{a,ß) = P2,a cos2/3 Ü, 0, 3 sin2 a eos 2/3, ...

п W-n(ct,ß) = Pn,a Sin nß

Wn(a,ß) — Pn,a COS nß

В третьей главе с использованием классической теории и уточненной теории С.А. Амбарцумяна рассматривается трансверсалыю-изотропная цилиндрическая оболочка при осевом сжатии. Уравнения устойчивости цилиндрической оболочки для этих теорий соответственно:

ДД4И> + _ Л" = (1 - /г** Д)Д2

где

h** =

Eh2

10(1 - v2)G''

Z - нормальная составляющая внешней нагрузки, Е - модуль Юнга в тангенциальных направлениях, и - коэффициент Пуассона, G' - модуль сдвига для плоскостей, нормальных к поверхности оболочки. Решение ищется в виде:

_ . тжа . п(3 w — С sin —-— sin —.

L Н.

Выражения для определения критической нагрузки по классической и уточненной теорий соответственно:

tf А2

р

kl

= -Е

-Е

Л2 + (А2 + п2)2

(Л2 + п2)2 Л2

+ ■

где

Л =

mirR

Л2 (1 + /г*(Л2 + п2)) (А2 + п2)2 h2 .. Eh2

h* =

Ь ' " ~ 12(1 — и2)В?' " 10(1 - и2)В?С ' Минимизируя выражения для нагрузки по переменным А и п находим соответствующие значения критической нагрузки:

р«? = —2сЕ,

Ркг

-2cE + h*E.

На Рис. 3 показан график сжимающей нагрузки. Верхняя ветвь соответствует классической теории, остальные ветви соответствуют уточненной теории и построены при разных отношениях (?'/Е. Минимум соответствует критической нагрузке. Видно, что чем меньше отношение С'/ Е, тем меньше критическая нагрузка и тем существеннее уточнение результатов, получающихся по классической постановки. Выражение для критической нагрузки, найденной на основе уточненной теории С.А. Амбарцумя-на, полностью совпадает с нагрузкой, найденной с использованием модели Тимошенко-Рейсснера.

В заключении представлены результаты выносимые на защиту.

1>....... С

¿г*1ЙЧ.

6.1 £-ч с-:-,

■ : ■' а {14!*-

БйЧО-'"

ЪМ'ЯЪг-

■■■■■■ '.'.>

........-СС5:5'...........,0'СЙ-:.......- С.СЕ^Е ;;.....СК5 ■■—•■С.ОЕЙ;:; ;-;:;.(!.СЕ6':.-.....;МК5„........... -X :

Рис. 3: График зависимости сжимающей нагрузки ры и ра от параметра Л при разных значениях отношения С /Е.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Платонов В. В. Устойчивость наногофрированной пластинки. // Вестник СПбГУ. - 2008. - С. 1, № 1. - С. 118-125.

2. Платонов В. В. Устойчивость трансверсалыю-изотропной сферической оболочки под действием нормального давления. // Вестник СПбГУ. - 2010. - С. 1, № 2. - С. 140-143.

3. Платонов В. В. Устойчивость трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием динамического нормального давления. и Вестник СПбГУ. - 2010. - С. 1, № 3. - С. 105-110.

4. Платонов В. В. Устойчивость и колебания цилиндрической оболочки при осевом сжатии в неклассической постановке. // Вестник СПбГУ.

-2011. - С. 1, № 1. - С. 132-137.

5. Платонов В. В. Применение уточненной теории к исследованию трансверсально-изотропной сферической оболочки. // Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды"за 2009-2010. Издательство СПбГУ, - 2011. - С. 67-80.

6. Платонов В. В. Применение уточненной теории пластин к задачам формирования гофрированных нанообъектов. // XVIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". — 07-09.11.2009, Пермь, Россия. Тезисы. С. 27.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 09.11.11 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ ЛЪ 1347. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

0.1 Актуальность темы.

0.2 История вопроса.

1 Устойчивость наногофрированной системы

1.1 Постановка задачи.

1.2 Решение по теории Кирхгофа-Лява.

1.3 Разрешающее уравнение теории Тимошенко-Рейсснера'.

1.4 Учет деформации поперечного сдвига.

1.5 Расчет задачи методом конечных элементов.

1.6 О величине зазора Д

2 Устойчивость трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием нормального давления

2.1 Постановка задачи.

2.2 Разрешающее уравнение теории С.А. Амбарцумяна.

2.3 Статическое критическое давление.

2.4 Определение форм потери устойчивости.

2.5 Теории оболочек Палия-Спиро и Родионова-Титаева-Черныха.

2.6 Сравнение значений нормального давления для различных уточненных теорий.

3 Устойчивость и колебания цилиндрической оболочки при осевом сжатии в неклассической постановке

3.1 Постановка задачи.

3.2 Основные уравнения уточненной теории.

3.3 Критическая нагрузка.

3.4 Сравнение с моделью Тимошенко-Рейсснера.

0.1 Актуальность темы.

В современных конструкциях в качестве конструкционных материалов широко используются композитные, синтетические и другие неметаллические материалы. Отличительной особенностью этих материалов является повышенная податливость на межслоевой сдвиг. Для них даже небольшие по величине касательные напряжения существенно влияют на общую деформацию. Поэтому расчет пластин и оболочек из таких материалов с использованием теории Кирхгофа-Лява может приводить к большим погрешностям.

В качестве элементов конструкций все чаще используются нанообъекты, и одной из задач наномеханики является необходимость расчета деформации, прочности, устойчивости нанообъектов. Проблема состоит в том, что свойства наноразмерных структурных элементов отличаются от свойств соответствующих структур из того же материала, имеющих "обычные" размеры. Эти различия зависят от размера структурного элемента. Сейчас активно обсуждается вопрос применения методов классической механики к расчету нанообъектов. Например, в работе [87] P.E. Миллер и В.Б. Шеной предлагают учитывать влияние поверхностного натяжения, которое проявляется у нанообъектов, для уточнения их свойств.

Для расчета напряженно-деформируемого состояния, решения задач устойчивости нанообъектов точность классической теории пластин и оболочек становится недостаточной. В связи с этим используются неклассические теории, построенные как и классическая теория методом гипотез, но менее жестких, чем гипотезы Кирхгофа-Лява.

В работе рассматриваются некоторые задачи устойчивости пластин и оболочек на основе неклассических теорий: теории изгиба пластин Тимошенко-Рейсснера, теории анизотропных оболочек С.А. Амбарцумяна, теории анизотропных оболочек средней толщины Палия-Спиро и итерационной теории оболочек Родионовой-Титаева-Черныха.

0.2 История вопроса.

Теорию оболочек, построенную на основе гипотез Кирхгофа-Лява, принято считать классической. Построение этой теории было завершено в 50-х годах прошлого столетия. Основной вклад в развитие теории оболочек внесли такие ученные, как В.З. Власов, A.C. Вольмир, А.Л. Гольденвейзер, А.И. Лурье, В.В. Новожилов и многие другие. Но классическая теория имеет ряд известных недостатков. В частности, система дифференциальных уравнений классической теории обеспечивает выполнение только четырех граничных условий вместо пяти. Так же использование классической теории при определения компонентов напряженно-деформированного состояния анизотропных пластин и оболочек приводит к существенным погрешностям.

Первым попытался уточнить уравнения Кирхгофа-Лява в 80-х годах XIX века британский физик и математик Лорд Рэлей (Джон Уильям Стретт). В работе [85] он при выводе дифференциального уравнения поперечных колебаний стержня включил новые члены, учитывающие влияние инерции вращения поперечного элемента стержня.

Впервые на необходимость учета влияния поперечного сдвига в задаче о колебаниях стержня было указано С.П. Тимошенко в 1921 году [115]. Им было получено дифференциальное уравнение гиперболического типа, которое описывало поперечные колебания стержня с учетом влияния поперечной деформации сдвига [57, 49, 50].

В более широком плане эту проблему можно назвать проблемой перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным задачам математической физики с использованием гипотез менее жестких, чем гипотезы Кирхгофа-Лява. Общая идея такого перехода состоит в начальной аппроксимации некоторых из величин: перемещении ?/, у, ы и напряжении (тц в виде конечных рядов

N N иг = ^2игк(х,УЛ)Фгк{г)] СГгз = ^ > У^)'Фгк(г) к=0 к=0 и определением оставшихся величин из трехмерных уравнений теории упругости.

Число уточненных теорий достаточно велико. В данном обзоре будут рассмотрены только некоторые из них. Как показал в 60-х годах XX века Д.М. Клоснер в обзорных статьях [81, 82], не существует универсальной уточненной теории, дающей одинаково приемлемые результаты для всех типов задач. Поэтому можно считать, что для каждого конкретного типа задач подходит определённая теория.

Теория Тимошенко-Рейсснера. В 1944 году Э. Рейсснер представил линейную теорию изгиба пластин [102, 103], основанную на гипотезах Тимошенко, которая качественно уточняла теорию Кирхгофа-Лява. Следует отметить, что одновременно с Рейсснером аналогичную теорию предложил Л. Болле [60].

Рейсснер рассмотрел тонкую пластинку постоянной толщины, нагруженную нормальными силами переменной интенсивности. Из вариационного принципа Ка-стильяно, применяя метод неопределенных коэффициентов Лагранжа, были получены новые дифференциальные уравнения изгиба пластинки и соответствующие граничные условия. Учет влияния поперечного сдвига повысил порядок системы до шестого, что позволило удовлетворить трем граничным условиям. В работах [71, 104, 105] полученная система уточняется и распространяется на случай неоднородной пластины, уравнения представляются в полярных координатах и решается известная задача об изгибе консольной пластинки.

Суть теории заключается в следующем: отказавшись от гипотезы нормальности прямолинейного элемента к срединной поверхности, Тимошенко предложил заменить ее гипотезой прямолинейности этого элемента и ввести закон изменения напряжений по толщине пластинки

12 М13 г

Касательные и нормальное поперечное напряжения выводятся из уравнений равновесия трехмерной теории упругости.

В работах Э. Рейсснера [106] и В.М. Шаафера [113] рассматривается свободно опертая по всем четырем краям пластинка под действием нормального давления.

Способ решения выбирается такой же, как метод Новье в классической теории для h изотропной пластины. В данных работах показано, что при — < 0.1 влиянием поа перечной деформации сдвига можно пренебречь. Эта же задача, но с граничными условиями в виде комбинации свободного края и свободного опирания представлена в работе B.JI. Салерно и М.А. Голденберга [112].

В работе P.C. Коллера и М.А. Эссенбурга [69] рассматривается задача об изгибе пластинки под действием переменной нагрузки при различных граничных условиях. Показано, что теория Тимошенко-Рейсснера не дает в этом случае конечного решения в точке приложения силы (w —> оо). Но если нагружать пластинку по небольшой прямоугольной площадке, то результаты будут намного точнее, чем в классической теории.

Жестко защемленная пластинка под действием нормального равномерного давления исследовалась в работе Д. Рюдигера [111]. Для решения системы дифференциальных уравнений автор строит частные решения для случая сосредоточенной нагрузки и решает однородную систему. Числовой расчет показывает, что учет деформации поперечного сдвига существенно влияет на прогиб пластины.

Применению уточненной теории Тимошенко-Рейсснера к расчету круглых пластин посвящены работы М.А. Эссенбурга [66-68]. В работе [68] рассматривается осе-симметричный изгиб круглой пластины, часть которой помещается между двумя жесткими плоскостями по кольцевой области. В классической теории в силу принятых ограничений напряжение изгиба терпит разрыв, что противоречит физическому смыслу. Использование теории Рейсснера позволяет добиться неразрывности величин ß и Мг на границе, где ß — средний по толщине угол поворота сечения. Это дает существенную поправку для прогибов даже для тонких пластин. В работах [66, 67] рассматриваются заделанные по контуру круглые однородные пластины, часть поверхности которых нагружена жестким телом — плоскостью, параллельной неде-формированной срединной поверхности и жестким параболоидом вращения, соответственно. Автор доказывает, что в подобных задачах применение теории Тимошенко-Рейсснера необходимо. Использование уточненной теории в данной задаче приводит к существенной поправке при вычислении перемещений и напряжений даже для достаточно тонких пластин. Так же использование уточненной теории позволяет выполнить условие непрерывности перерезывающей силы на границе пластины.

В приведённых выше работах представлено применение теории Тимошенко-Рейсснера к конкретным задачам об изгибе пластины, в которых авторы выясняют влияние поперечного сдвига на величину прогиба. Следует так же отметить ряд работ, в которых авторы пытаются уточнить уравнения данной теории.

В работе [20] А.Л. Гольденвейзер показывает, что теория Тимошенко-Рейсснера может давать большую погрешность вблизи границы пластинки. Это является следствием линейного закона распределения напряжений по толщине. Автор предлагает задавать распределение напряжений по нормали в виде произвольной нечетной функции ф(г). В дальнейшем идею Гольденвейзера развил Айнола [1], определив эту функцию в ходе решения задачи. Конечное уравнение изгиба пластинки отличается от уравнения Рейсснера постоянными коэффициентами. Аналогичные уравнения получены в работе С. Фершта [70]. Нелинейный закон распределения напряжений по толщине рассматривался в работе Е. Коппе [83]. Отметим, что в работах [30, 75, 9799] так же исследуются вопросы изгиба пластинок и используется обобщение теории Тимошенко-Рейсснера, подробно разбирается вопрос о влияние краевого эффекта на напряжённое состояние центральной зоны пластины.

Теория Тимошенко-Рейсснера была обобщена и на теорию упругих оболочек. В этой связи следует отметить работы Э. Рейсснера [76, 107, 108-110], которые посвящены выводу соотношений упругости с использованием вариационных принципов. Выводам дифференциальных уравнений для конкретных оболочек посвящены так же работы П.М. Нагди [91-94] и К.Н. Де Сильва [63, 64].

Соотношения, полученные Рейсснером и Нагди для статики оболочки, совпадают, но получены они разными путями. Если Рейсснер аппроксимирует напряжения и применяет вариационный принцип Кастильяно, то Нагди аппроксимирует напряжения и перемещения и использует вариационный принцип Рейсснера—Хеллингера, в котором независимо варьируются перемещения и напряжения. В работе Рейсснера [107] показано, что уравнения, принятые в работах [72, 76, 109], можно получить, используя вариационное уравнение в напряжениях и перемещениях с применением аппроксимаций в виде

U = и + ßxz, V = у + ßyz, 1У = u; + w'z + ]rw"z2.

Обзор основных результатов Рейсснера и его учеников представлен в работе [110], в которой приводится вывод уравнений равновесия оболочки, с использованием асимптотического и вариационного методов.

Используя вариационный принцип Рейсснера—Хеллингера, Нагди формулирует в произвольных ортогональных координатах линейные соотношения упругости и соответствующие граничные условия для тонких оболочек постоянной толщины [92]. Аналогичные уравнения для пологой оболочки в декартовых координатах представлены в статье Нагди [91] и используются P.M. Купером для расчета цилиндрической оболочки, нагруженной продольной линейной нагрузкой [61].

В работе Нагди [95] установлено, что в теории осесимметричных оболочек вращения решение сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Общий интеграл однородного дифференциального уравнения в комплексных переменных, который соответствует данной системе, определяется методом асимптотического интегрирования. Аналогичные результаты для параболических оболочек вращения и эллиптических торообразных оболочек постоянной толщины получены в работах Де Силва [63, 64], для круговой осесимметричной торообразной оболочки — в работе B.C. Чернина [57]. Сферическая оболочка переменной толщины исследуется в работе Де Силва [65]. В перечисленных выше работах решение получено асимптотическим методом с удержанием двух членов в рядах по толщине оболочке.

Численные примеры определения компонентов напряженно-деформируемого состояния оболочек показывают, что для достаточно тонких изотропных оболочек h < 0,02) результаты, полученные по классической и уточненным теориям прак-R. тически совпадают. В случае же толстых оболочек (— > 0,1) расхождение в резульR татах довольно существенно [73, 77].

Использованию теории Тимошенко-Рейсснера при расчете цилиндрических оболочек посвящены работы П. М. Нагди и Р. М. Купера [62, 96], Т. К. Лином и Г. В. Морганом [84], Г. Германом и И. Мирским [74]. А. Калнинс, К. Прасада, А. Джейхен-шейх применили данную теорию к исследованию пологих и непологих сферических оболочек [78-80, 100].

Лин и Морган [84] рассматривали осесимметричные колебания цилиндрической оболочки. Перемещения были аппроксимированы в виде и(х, г, z, t) = и0(х, г, t) + гфх(х, г, t), w = w(x, г, t).

Далее использовались уравнения равновесия элемента оболочки в усилиях с учетом инерционных членов. С помощью полученных уравнений авторы изучали зависимость частоты колебаний от скорости распространения волн. Результаты, полученные с использованием теории Тимошенко-Рейсснера, сравнивали с результатами, полученными по теории Кирхгофа-Лява.

Аналогичную задачу рассматривали Герман и Мирский в работе [74], в которой авторы получают двумерные уравнения из уравнений трехмерной теории упругости и сравнивают результаты с решением трехмерной задачи.

В работе [88] Герман и Мирский рассматривали несимметричные колебания бесконечной цилиндрической оболочки. Для распространения волн выбирается закон w — w0 ехрш1~ах cos пв и строятся кривые фазовых скоростей.

У. Спиллерс [114] рассматривал распространение волн в тонкой цилиндрической оболочке, к концу которой была приложена динамическая нагрузка. В работе установлено, что полученные с использованием теории Тимошенко-Рейсснера результаты, значительно отличаются от соответствующих данных, рассчитанных по классической теории.

В работах [89, 90] на основе принципа Остроградского-Гамильтона получено более высокое приближение теории Тимошенко-Рейсснера. Используя аппроксимацию перемещений в виде иг{х, 0, z, t) = u0l(x. в, t) + гфг(х, в, t), г — 1,2,3 получена система дифференциальных уравнений в перемещениях двенадцатого порядка. В работе Германа и Мирского [89] рассматриваются осесимметричные колебания бесконечной толстой цилиндрической оболочки. В работе Мирского [90] найдены шесть форм колебаний толстой неограниченной цилиндрической ортотропной оболочки. В указанных работах дополнительно учитывается нормальное поперечное напряжение аг. Результаты сравниваются с результатами решения задачи трехмерной теории упругости для изотропного материала. Автор делает вывод, что теории, учитывающие влияние инерции вращения и сдвига, удовлетворительно предсказывают четыре низшие моды для относительно толстых оболочек, при относительно низких частотах и длинных волнах.

Уточненные динамические теории, основанные на модели С.П. Тимошенко, представлены в обзоре [22]. Эти теории отличаются от классической наличием дополнительных членов, которые позволяют учитывать взаимодействие движений по переменной координате. В данном обзоре проведен анализ результатов различных динамических теорий стержней, пластин и оболочек.

Неклассические задачи устойчивости оболочек рассмотрены в работе [24]. Были построены уточненные уравнения теории нетонких оболочек переменной толщины, используя проекционный метод редукции уравнений теории упругости. Для решения поставленных задач использовался метод конечных разностей в сочетании с методами тензорного анализа.

Теории анизотропных оболочек. В настоящее время широкое распространение получили полимерные, синтетические и другие анизотропные материалы. Все эти материалы имеют слабую сопротивляемость сдвигам в поперечных направлениях. Даже небольшие касательные напряжения существенно влияют на общую деформацию оболочки. Поэтому расчет анизотропных пластин и оболочек требует введения менее жестких гипотез, чем гипотезы Кирхгофа-Лява. С этим связано развитие уточненных теорий анизотропных пластин и оболочек.

Одни из первых работ по теории анизотропных оболочек представлены С.Г. Лехницким. Плоская задача теории упругости представлена в его монографии [29]. Автор применял классическую теорию к анизотропным пластинам, внеся поправку в закон Гука. С.Г. Лехницкий применил теорию функции комплексной переменной в задаче о концентрации напряжений около отверстий в анизотропных пластинках, в задачах о кручении и изгибе анизотропных стержней. В этих задачах автор получил фундаментальные результаты, а введенные им функции стали известны как комплексные потенциалы С.Г. Лехницкого.

Классическая теория не рассматривает трансверсальную изотропию материала, т.е. она индифферентна к отношениям Ех/Спз (где Ех — модуль упругости в тангенциальном направлении, Спз — модуль сдвига для поверхности, перпендикулярной поверхности изотропии). Для случая изотропного материала теории, учитывающие сдвиг, несущественно уточняют классическую теорию. Но в случае оболочек из трансверсально-изотропного материала, у которых параметр поперечной жестко

9 1 9 ^ ^13 сти на сдвиг ц << д « 1, где /г = — и д — -—, теории, учитывающие сдвиг, л. Е\ существенно уточняют теорию Кирхгофа-Лява и дают следующее ассимптотическое приближение трехмерной теории [51].

Большое применение получили две теории, предложенные С.А. Амбарцумя-ном. Первая теория, основанная на гипотезах, предложенных В.В, Новожиловым представленна в монографиях [6, 7]. Так же ряд задач, использующих данную теорию, представлен в работах [2-5, 8, 9, 54, 58]. Метод перехода от трехмерных уравнений теории упругости к двумерным состоит в следующем: касательные напряжения задаются в виде ЬШ(<*,Р) + + х-)1 + х+~х ,

Чу = /2(7Жа,/3) + + У~)\ + а нормальное напряжение <т7 определяется из трехмерных уравнений равновесия. В приведенных формулах к — толщина оболочки, Х±, У± — составляющие внешней нагрузки. Функции /Дг) характеризуют законы изменения касательных напряжений Гц и Т2.ч по толщине оболочки, также считается /г(±~) — 0. Для аппроксимирующих функций ф(а, ¡5) и ф(а, /3) выводятся дифференциальные уравнения путем интегрирования трехмерных уравнений равновесия теории упругости по толщине. Граничные условия формулируются по Рейсснеру.

В работах [4, 5, 9, 39, 55, 58, 61] теория Амбарцумяна использовалась при решении конкретных задач статической и динамической устойчивости, прочности и колебаний анизотропных пластинок и оболочек. Решение этих задач проводилось в линейной и нелинейной постановках. В работах [39, 40] из общих нелинейных уравнений теории упругости В.В. Новожилова выводятся соответствующие уравнения для исследования больших прогибов анизотропных пластин. Изгиб полубесконечной трансверсально-изотропной пластины, нагруженной по одному краю изгибающим, крутящим моментом и перерезывающей силой, рассмотрен в работе A.A. Хачатряна [55]. В работе Т.Т. Хачатуряна [56] предложен способ определения уточненных величин в виде суммы: решение по классической теории плюс некоторая поправка. Там же рассматривается вопрос о формулировке граничных условий в случае защемленного края.

Работа Розе A.B. [43] посвящена исследованию влияния поперечного сдвига на прогиб пластины из существенно анизотропного материала при изгибе, т.е. материала с низкой сдвиговой жесткостью. Проведенные исследования показывают, что в данном случае важную роль играет закон распределения поперечных касательных напряжений по толщине, поэтому автор предлагает определять этот закон в ходе решения задачи. Недостатком такого подхода является то, что в этом случае оказывается сложно удовлетворить граничным условиям на краях пластины.

Исследованию устойчивости пластинок и оболочек из армированного материала посвящены работы [13, 31, 45, 46].

В работе [86] рассмотрена полубесконечная пластина под действием тангенциальной нагрузки. Выполнено сравнение влияния учета поперечной деформации сдвига для теории Амбарцумяна и теории Тимошенко-Рейсснера с классической теорией Кирхгофа-Лява.

Вторая (итерационная) теория Амбарцумяна, которая основывается на более жестких гипотезах, представлен в работах [2, 3, 8]. В ней пренебрегается поперечной деформацией и поперечным нормальным напряжением, а при определении деформаций сдвига eQ7 и е^7 используются такие же касательные напряжения аау и сга7, как при решении задачи в классической постановке. Эта теория, в частности, применялась при построении теорий двуслойных оболочек [2, 3], геометрически нелинейной теории ортотропных оболочек [8] и теории несимметрично собранных трехслойных оболочек [54].

Большое количество работ посвящено исследованию многослойных пластин и оболочек. Подробный анализ полученных результатов представлен в обзорах В.В. Болотина и Ю.Н. Новичкова [14], Э.И. Григолюка и Ф.А. Когона [21]. В настоящее время для расчета слоистых оболочек, составленных из анизотропных слоев, применяются два подхода: численное решение, когда каждый слой рассматривается отдельно и способ осреднения характеристик всех слоев. Отметим здесь широко применяющуюся теорию А.Т. Василенко и Я.М. Григоренко, построенную по второму подходу [15]. Авторами построена модель, которая учитывает неоднородность деформации поперечного сдвига. Неоднородность же вызвана различными коэффициентами упругости материалов слоев оболочки.

Новая уточненная итерационная теория оболочек В.А. Родионовой, Б.Ф. Титаева и К.Ф. Черныха, представлена в [42]. Эта теория основана на следующих гипотезах:

1. Поперечные нормальные и касательные напряжения распределены по толщине по кубическому и квадратичному законам соответственно.

2. Нормальные и тангенциальные составляющие вектора перемещений распределены по толщине оболочки по законам полинома второй и третьей степени соответственно. Данная теория учитывает повороты, искривление и изменение длины волокон. Напряжения и перемещение определяются в виде рядов по полиномам Лежандра, от к 1г координаты ——<£<—, отсчитываемой вдоль нормали к срединной поверхности. и

Теория оболочек средней толщины представлена в работе О.М. Палия и В.Е. Спиро [32]. В этой теории приняты следующие гипотезы:

1. Прямолинейные волокна оболочки, которые до деформации были перпендикулярны срединной поверхности, после деформации остаются тоже прямолинейными.

2. Косинус угла наклона таких волокон к срединной поверхности после деформации равен осредненному углу поперечного сдвига.

Математическая формулировка этих гипотез выглядит следующим образом: а* — и 4- гд, и* = V + гф, ш* — ъи + д = $о + Ъ, Ф = Фо + Ъ, где и, и, ш — перемещения срединной поверхности; т9, ф — углы поворота прямолинейных волокон оболочки в плоскостях перпендикулярных плоскости изотропии; т9о, 0о — углы поворота нормали и 71, 72 — углы сдвига в тех же плоскостях; Е(г) — неизвестная функция, характеризующая изменение прогиба по толщине.

Применению неклассических теорий оболочек к исследованию механических параметров многослойных нанотрубок посвящена работа [59]. Деформация многослойной нанотрубки, находящейся под действием локально приложенной нагрузки, решается с помощью теории Палия-Спиро. Проводится сравнение результатов с результатами, полученными по теории Родионовой-Титаева-Черныха и с результатами, полученными при тех же параметрах МКЭ в пакете ANSYS.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является решение некоторых задач устойчивости трансверсально-изотропных пластин и оболочек на основе неклассических теорий.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Для сжатой в продольном направлении пластинки, находящейся в канале с жесткими стенками, получены критические значения сжимающих напряжений и длины участков налегания на каждом этапе нагружения для классической теории и для теории Тимошенко-Рейсснера.

2. Выполнен анализ задачи методом конечных элементов, который показал, что порядки сжимающих напряжений, полученные при решении задачи в пакете ANS YS, совпадают с порядками, полученными в аналитическом решении, причем модель Тимошенко-Рейсснера дает более точные результаты, чем классическая теория.

3. Для трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием нормального давления, по уточненной теории С.А. Амбарцумяна, определены формы потери устойчивости, критическая нагрузка.

4. Для трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием нормального давления выполнено сравнение величин нормального давления, полученного при использовании некоторых неклассических теорий оболочек: теории оболочек средней толщины Палия-Спиро и теории анизотропных оболочек Родионовой-Титаева-Черныха.

5. Для цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия, по классической теории и теории С.А. Амбарцумяну, определены критические нагрузки для трансверсально-изотропного и изотропного материалов, проведено сравнение результатов с теорией Тимошенко-Рейсснера.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано б научных статей и тезисов докладов, в том числе 4 работы опубликованы в рецензируемых журналах и изданиях.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались: на семинарах кафедры теории упругости математико-механического факультета СПбГУ, на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды "(Санкт-Петербург, 2009), на XVIII Всероссийской школе-конференции молодых ученых и студентов "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2009).

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 75 страницы, 18 рисунков, 6 таблиц и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 115 наименования. Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, содержится обзор литературы по теме диссертации, сформулированы цели и задачи работы и приведены результаты, выносимые на защиту. В первой главе рассматривается устойчивость сжатой в продольном направлении пластинки, защемленной между двумя жесткими основаниями с зазором. Определяются критические значения сжимающих напряжений и длины прямых участков налегания на каждом этапе нагружения. Сравниваются соответствующие выражения для классической теории и уточненной теории Тимошенко-Рейсснера. Приводится анализ задачи методом конечных элементов. Во второй главе исследуется устойчивость трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием нормального давления. Определяются формы потери устойчивости, статическое критическое давление с использованием уточненной теории Амбарцумяна. Приводится сравнение нормального давления для теории оболочек средней толщины Палия-Спиро и теории анизотропных оболочек Родионовой-Титаева-Черныха. В третьей главе рассматри

Заключение

В представленной работе были рассмотрены несколько задач устойчивости трансверсально-изотропных пластин и оболочек с учетом поперечной деформации сдвига. Были получены следующие результаты:

1. Для сжатой в продольном направлении пластинки, находящейся в канале с жесткими стенками, были найдены выражения для критических значений сжимающих напряжений и длин прямых участков на каждом этапе нагружения по теории Кирхгофа-Лява. Аналогичные выражения были получены для уточненой теории Тимошенко-Рейсснера. Сравнение соответствующих выражений показал, что учет поперечной деформации сдвига уменьшает значение критического напряжения на величину порядка к?/а2 и увеличивает длину прямого участка на величину порядка к/а, где к — толщина и а — длина пластинки, по сравнению с классической теорией.

2. Анализ задачи методом конечных элементов показал, что порядки сжимающих напряжений, полученные при решении задачи в пакете А^УБ, совпадают с порядками, полученными в аналитическом решении, причем модель Тимошенко-Рейсснера дает более точные результаты, чем классическая теория.

3. Для трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием нормального давления, по уточненной теории С.А. Амбарцумяна, определены формы потери устойчивости.

4. Для трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием статического нормального давления определено критическое значение давления, используя уточненную теорию, которая учитывает поперечные деформации сдвига согласно

Амбарцумяну. Для трансверсально-изотропного материала было показано, что при некоторых значениях отношений к/Я,, Е/й' величина критического давления, найденная с учетом влияния поперечного сдвига, может существенно отличатся от критического давления, найденного по классической теории. Учет поперечных сдвигов снижает величину критического давления. Условием применимости данного подхода является: к Е яа<<1

В случае невыполнения этого условия уточненная теория будет асимптотически противоречивой.

5. Анализ значений нормального давления для случая трансверсально-изотропной сферической оболочки показал, что теория оболочек средней толщины Палия-Спиро и теория анизотропных оболочек Родионовой-Титаева-Черныха уточняют значения нормального давления в классической постановке, причем чем больше анизотропия и толще оболочка, тем существеннее уточнение. Так же отметим, что более существенную поправку дает теория Палия-Спиро особенно для достаточно толстых оболочек.

6. Для трансверсально-изотропной цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия, используя теорию, учитывающую поперечные деформации сдвига согласно С.А. Амбарцумяну, определены критические нагрузки для трансверсально-изотропного и изотропного материалов. Было показано, что учет поперечного сдвига снижает значение критической нагрузки, и чем больше отношение Е/С тем существеннее уточнение.

7. Для критической нагрузки было проведено сравнение результатов с теорией Тимошенко-Рейсснера, которое показало, что модель Тимошенко-Рейсснера и уточненная теория Амбарцумяна приводят в данной задачи к одинаковым результатам.

1. Айнола J1. Я. Об уточненных теориях пластинок типа Рейсснера. — Теория оболочек и пластин, Ереван, 1964.

2. Амбарцумян С. А. К расчету двухслойных ортотропных оболочек. — Изв. АН СССР, ОТН, № 7, 1957. 103.

3. Амбарцумян С. А. О двух методах расчета двухслойных ортотропных оболочек. Изв. АН Арм. ССР, сер. ф.-м. н., 1957, 10, № 2.

4. Амбарцумян С. А. К теории изгиба анизотропных пластин. — Изв. АН СССР, ОТН, 1958, № 5 (69-77).

5. Амбарцумян С. А. К общей теории анизотропных оболочек. — ПММ, 1958, 22, № 2 (226-237).

6. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. — М.: Наука, 1974. 446 с.

7. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. — М., Наука, 1987, 360 стр.

8. Амбарцумян С. А. Пештмалджян Д. В. К нелинейной теории пологих ортотропных оболочек. — Изв. АН Арм. ССР, серия ф.-м. н., 1958, 11, № 1.

9. Амбарцумян С. А. Пештмалджян Д. В. К теории ортотропных оболочек и пластин. — Изв. АН Арм. ССР серия ф.-м. н., 1959, 12, № 1.

10. Бауэр С. М., Воронкова Е. Б. Неклассические теории анизотропных оболочек в задачах о деформации трансверсально-изотропных сферических и цилиндрических слоев под действием нормального давления. — СПб.: .

11. Бауэр С. М., Клец О. Г., Морозов Н. Ф. О поведении трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек при динамическом приложении радиального давления. — Известия РАН, Механика твердого тела, 2008, Вып. 4, с. 19-25.

12. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. — М., Тех. Теор. Лит., 1953, 856 стр.

13. Болотин В. В., Москаленко В. Н. Теория пластин и оболочек из армированных материалов. — V Всесоюзная конф. по теории пл. и об., М., 1965. Аннотации докладов.

14. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. —М., 1980, 375 с.

15. Василенко А. Т., Григоренко Я. М. Теория оболочек переменной жесткости. — Киев, 1981. 411 с.

16. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2000, 399 с.

17. Власов В. 3. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек. — Прикл. мат. и мех., Сер. 8, № 2, 1944.

18. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. — М.: Физматлит, 1963., 880 с.

19. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. — М., Наука, 1972, 432 с.

20. Гольденвейзер А. Л. О теории изгиба пластинок Рейсснера. — Изв. АН СССР ОТН, 1958, № 4.

21. Григолюк Э. И., Коган Ф. А. Современное состояние теории многослойных оболочек. — Прикл. мех., 1972, Т. 8, № 6, с. 3-17.

22. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. — Итоги науки и техники, Сер. Механика деформируемых твердых тел, Т.№ 5, 1973, 273 С.

23. Григолюк Э. И, Толкачев В. М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. — М., Машиностроение, 1980, 411 стр.

24. Гуляев В. И. Баженов В. А. Лизунов П. П. Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач. — Львов, издательство "Вища школа 1978, 192 С.

25. Каудерер Г. Нелинейная механика. — М., Изд. Ин. Лит., 1961, 778 стр.

26. Конюхов А. В. Основы анализа конструкций в АКБУБ. — Казань, 2001, 102 стр.

27. Лаврентьев М. А., Ишлинский А. Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем. — ДАН Россия, Т. ЬХГ/, 1949, с. 779-781.

28. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. — М., Физматлит., 2003, 264 стр.

29. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М., 1977. 416 с.

30. Медовиков А. И. К вопросу об учете деформации сдвига при изгибе плит. — Конф. по теории оболочек и пластин, Баку, 1966.

31. Остерник Э. С, Барг Я. А. Инженерный метод расчета многослойных анизотропных пластин. — Теория оболочек и пластин, Ереван, 1964.

32. Палий О. М., Спиро В. Е. Анизотропные оболочки в судостроении. — Л., 1977. 392 с.

33. Платонов В. В. Устойчивость наногофрированной пластинки. — Вестник СПб-ГУ, 2008, Сер. 1, № 1, С. 118-125.

34. Платонов В. В. Устойчивость трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием нормального давления. — Вестник СПбГУ, 2010, Сер. 1, № 2, С. 140-143.

35. Платонов В. В. Устойчивость трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием динамического нормального давления. — Вестник СПбГУ, 2010, Сер. 1, № 3, С. 105-110.

36. Платонов В. В. Устойчивость и колебания цилиндрической оболочки при осевом сжатии в неклассической постановке. — Вестник СПбГУ, 2011, Сер. 1, № 1, С. 132-137.

37. Платонов В. В. Применение уточненной теории к исследованию трансверсально-изотропной сферической оболочки. — Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды"за 2009-2010, Издательство СПбГУ, 2011, С. 67-80.

38. Пештмалджян Д. В. К нелинейной теории круглой пластинки. — ДАН Арм. ССР, 1960, 31, № 2.

39. Пештмалджян Д. В. К нелинейной теории прямоугольных ортотропных пластин. — Изв. АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1961, № 5.

40. Принц В. Я. Трехмерные самоформирующиеся наноструктуры на основе свободных напряженных гетероструктур. — Известие вузов "Физика 2003, с. 46(6).

41. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. — СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1996. 280 с.

42. Розе А. В. К изгибу пластин из ориентированных стеклопластиков. Механика полимеров, 1965, № 3.

43. Светлицкий В. А. Механика стержней. — М.: Высш. шк., 1987, 320 с.

44. Тарнопольский Ю. Н., Розе А. В., Поляков В. А. Учет сдвигов при изгибе ориентированных стеклопластиков. — Механика полимеров, 1965, № 2.

45. Терегулов А. Г. Изгиб тонкой прямоугольной пластины из ориентированного стеклопластика. — Исследования по теории пл. и об., вып. 4, изд-во КГУ, 1966.

46. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. — Физматгиз, М., 1959.

47. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М., Физматгиз., 1963, 636 стр.

48. Тимошенко С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости. — Киев:Наукова думка, 1975, 563 с.

49. Тимошенко С. П. Янг Д. X. Уивер У. Колебания в инженерном деле. — М.¡Машиностроение, 1985, 472 с.

50. Товстик П. Е. Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек. — Вестник СПбГУ, Сер. 1, 2007, вып. 3.

51. Товстик П. Е. Устойчивость трансверсально изотропной цилиндрической оболочки при осевом сжатии. — Известия РАН, Механика твердого тела, 2009, № 4, С. 70-83.

52. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. — М., Наука, 1973, 400 стр.

53. Хачатрян А. А. К расчету трехслойной ортотропной оболочки. — Изв. АН Арм. ССР, серия ф.-м. н., 1959, 12, № 5.

54. Хачатрян А. А. Об изгибе полубесконечной пластинки нагрузкой, распределенной по краю. — Изв. АН Арм. ССР, серия ф. м. н., 1965, 18, № 2.

55. Хачатурян Т. Т. Об учете влияния касательных напряжений в теории изгиба плит. — Изв. АН Арм. ССР, серия ф. м. н., 1961, 14, № 1.

56. Чернина В. С. Напряженное состояние торообразой оболочки средней толщины. Изв. АН СССР ОТН, мех. и машиностр., 1959, № 3.

57. Ambartsumian S. A. On the theory of anisotropic shells and plates. — Non — Homogeneity in Elasticity and Plasticity, London — New-York — Paris — Los Angeles, Pergamon Press, 1959, 83—94.

58. Bauer S. M., Ermakov A. M., Kashtanova S. V., Morozov N. F. Evaluation of the mechanical parameters of nanotubes by means of nonclassical theories of shells. — Shell-line structures non-classical theories and applications, 2011, p. 519-530.

59. Bolle L. Contribution on probleme lineaire de flexion d'une plaque elastique. — Bull. Technique de la Suisse Romande, 1947, vol. 73, 281-285, 293-298.

60. Cooper R. M. Cylindrical shell under line load. — J. Appl. Mech., 1957, vol. 24 (553-558).

61. Cooper R. M., Naghdi P. M. Propagation of nonaxially symmetric waves in elastic cylindrical shells. — J. Acoust. Soc. Amer., 1957, vol. 29, No. 12.

62. De Silva C. N. Deformation of elastic paraboloidal shells of revolution. — Univ. of Mich. Engng Res. Inst., Techn. Rep. 5. Project 2150, Feb., 1956.

63. De Silva C. N. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic shells of revolution. — Quart. Appl. m. Math., 1957, vol. 15, No. 1. vol. 12, No. 2.

64. De Silva C. N., Cohen H. Some remarks on spherical shells. — J. Appl. Mech., 1965, vol. 32, No. 1.

65. Essenburg F. On a class of nonlinear axisymmetric plate problems. — J. Appl. Mech., 1960, vol. 27, 677-680.

66. Essenburg F. On surface constraints in plate problems. — J. Appl. Mech., 1962, vol. 29, 2.

67. Essenburg F., Koeller R. C. On a type of clamped edge condition for plate problems. — J. Aero/Space Sci., 1961, vol. 28, 10.

68. Essenburg F., Koeller R. C. Shear deformation in rectangular plates. — Proc. 4th U. S. Congr. Appl. Mech., 1962, vol. 1.

69. Fersht S. An extended Reissner thin plate theory. — Israel J. Technol. 1964, vol. 2, No. 3.

70. Goodier. I. N. J. Appl. Mech., 1946, vol. 13, 251-252.

71. Green A. E., Zerna W. The equilibrium of thin elastic shells. — Quart. J. Mech. Appl. Math., 1950, vol. 3, No. 1 (9-22).

72. Hamada Mikoru, Morita Yoshiyasi. On the numerical solutions of the Naghdi's equations for the axially symmetric shells. — Bull. ISME, 1965, vol. 8, No. 32.

73. Herrann G., Mirsky I. Three-dimensional and shelltheory analysis of axially symmetric motion of cylinders. — J. Appl. Mech., 1956, vol. 23, No 4.

74. Hert J. Priblizni ressni pruhybu silnych desek. — Strojnicky casop, 1964, 15, No. 3.

75. Hildebrand F. B., Reissner E., Thomas G. B. Notes on the foundations of the theory of small displacements of orthotropic shell. — NACA TN, 1949, No. 1833.

76. Hribar John A., Au Tung. An evalution of the general theory of thin elastic shells of revolution. — Development Mech., vol. 1, New-York, 1961.

77. Jahanshahi A. Equations of motion of spherical shells. — J. Acoust. Soc. Amer., 1965, vol. 38, No. 5.

78. Kalnins A. On vibrations of shallow spherical shells. — J. Acoust. Soc. Amer., 1961, vol. 33, No. 8.

79. Kalnins A., Wilkinson J. P. On nonsymmetrical dynamic problems of elastic spherical shells. — J. Appl. Mech., 1965, vol. 32, No. 3.

80. Klosner J. M., Levine H. S. Further comparison of elasticity and shell theory solutions. — Polytechnic Inst, of Brooklyn Aerospace Lab., P. I. BAL Rep. 689, July, 1964.

81. Klosner J. M., Levine H. S. Further comparison of elasticity and shell theory solutions. — AJAA Journal, 1966, vol. 4, № 3.

82. Koppe E. Die dicke Platte mit nichtlinearer Spannungsvertulung. — ZAMM, 1957, 37, No. 1-2.

83. Lin T. C, Morgan G. W. A study of axisymmetric vibrations of cylindrical shells as affected by rotatory inertia and transverse shear. — J. Appl. Mech., 1956, vol. 23, No 2.

84. Lord Rayleigh. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. — Proc. London Math. Soc, 1889, 20.

85. Martirosyan K. I. Effect of the tangential loads on the bending of elastic plates. — Shell-line structures non-classical theories and applications, 2011, p. 75-82.

86. Miller R. E., Shenoy V. B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements. — Nanotechnology, 11, 2000, pp. 139-147.

87. Mirsky I., Herrmann G. Nonaxially symmetric motions of cylindrical shells. — J. Appl. Mech., 1957, vol. 29, No 10.

88. Mirsky I., Herrmann G. Axially symmetric motions of thick cylindrical shells. — J. Appl. Mech., 1958, vol. 25, No 1.

89. Mirsky I. Vibrations of orthotropic, thick, cylindrical shells. — J. Acoust. Soc. Amer., 1964, vol. 36, No 1.

90. Naghdi P. M. Note on the equations of shallow elastic shells. — Quart. Appl. Math., 1956, vol. 14, No. 3.

91. Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shell. — Quart. J. Appl. Math., 1957, vol 14, No. 4.

92. Naghdi P. M. On thermoelastic stress-strain relations for thin isotropic shells. — J. Aero/Space Sci., 1959, vol. 26, No. 2.

93. Naghdi P. M. A note on rigid body displacements in the theory of thin elastic shells. — Quart. Appl. Math., 1960, vol. 18, No. 3.

94. Naghdi P. M. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic shells of revolution. — Quart. Appl. m. Math., 1957, vol. 15, No. 1.

95. Naghdi P. M., Cooper R. M. Propagation of elastic waves in cylindrical shells including the effects of transverse shear and rotationally inertia. — J. Acoust. Soc. Amer., 1956, vol. 28, No.l.

96. Pane V. Verschaft Theorie der elastischen Platte. — Ingr-Arch., 1964, 33, No. 6.

97. Pane V. Theorie der schubweichen Kreisplatte auf elastischer Unterlage. — Acta mech., 1965, 1, No. 3.

98. Pane V. Drehsymmetrische Spannungszusande der schubweichen Kreisplatte. — Aplicate matematiky, 1965, 10, No. 5.

99. Prasad C. On vibration of spherical shells. — J. Acoust. Soc. Amer., 1964, vol. 36, No. 3.

100. Prinz V. Ya. A new concept in fabrication building blocks for nanoelectronic and nanomechanic device. — Microelectronic Engineering, 2003, p.69(2-4).

101. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates. — J. of Math, and Phys., 1944, 23 (184-191).

102. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. — J. Appl. Mech., 1945, vol. 12, 1.

103. Reissner E. On bending of elastic plates. — Quart. Appl. Math., 1947, vol. 5, 1.

104. Reissner E. Finite deflection of sadnwich plates. — J. Aeronautical ScL, 1948, vol. 15, 435-440.

105. Reissner E. Small bending and stretching of sandwich-type shells. — NACA Report 975, 1950.

106. Reissner E. Stress strain relations in the theory of thin elastic shells. — J. Math, and Phys., 1952, vol. 31, No. 1.

107. Reissner E. On some problems in shell theory. — Struct. Mech., Proc. I Symp. on Naval Struct. Mech., 1960.

108. Reissner E. Variational consideration for elastic beams and shells. — J. Engng Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs, 1962, 88, No. 1. Discussion: 1962, 88, No. 5; 1963, 89, No. 2.

109. Reissner E. On the form of variationally derived shell equations. — J. Appl. Mech., 1964, vol. 31. No. 2.

110. Rudiger D. Eingespannte Rechteckplatten mit Schubverzerrungen. — ZAMM, 1963, 43, 1-2.

111. Salerno V. L., Goldberg M. A. Effect of shear deformation on the bending of rectangular plates. — J. Appl. Mech., I960, vol. 27, 1 (54—58).

112. Schafer W. M. Uber eine Verfeinerung der Klassischen Theorie dunner schwach gebogener Platten. ZAMM, 1952, 32, 161-171.

113. Spillers W. R. Wave propagation in a thin cylindrical shell. — Trans. ASME, 1965, E32, 2.

114. Timoshenko S. P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars. — Phil. Mag., 1921, vol. 41, 744-746.