Математическое моделирование в задачах статики и динамики конструктивно неоднородных термоупругих оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение (краткий исторический обзор по теме диссертации)

ГЛАВА 1. Математическое моделирование в задачах устойчивости и колебаний для пологих оболочек и пластин

§1.1. Качественное исследование связанных задач термоупругости в рамках классических гипотез теории оболочек и пластин.

1.1.1. Качественное исследование эволюционных уравнений классической теории оболочек с параболическим уравнением теплопроводности и без учета инерции продольных перемещений

1.1.2. Качественное исследование эволюционных уравнений теории пластин с гиперболическим уравнением теплопроводности.

1.1.3. Качественное исследование эволюционных уравнений трехслойных оболочек с параболическим уравнением теплопроводности.

§ 1.2. Численное исследование связанных задач термоупругости для пологих оболочек "в перемещениях" с параболическим уравнением теплопроводности.

§ 1.3. Исследование сходимости одного итерационного алгоритма решения стационарных задач в теории пологих оболочек.

Выводы по главе

ГЛАВА 2. Неклассические модели и устойчивость многослойных ортотропных термоупругих оболочек в рамках модифицированных гипотез Тимошенко.

§ 2.1. "Проекционные" условия движения термоупругого деформируемого твердого тела и их применение в теории многослойных ортотропных оболочек

§ 2.2. Примеры согласованных, асимптотически согласованных и несогласованных моделей (теорий) многослойных ортотропных термоупругих пологих оболочек.

2.2.1. Модели согласованные, континуальные в перемещениях" с учетом обжатия.

2.2.2. Модели несогласованные континуальные в перемещениях" с учетом обжатия.

2.2.3. Модели асимптотически согласованные континуальные "в перемещениях" и "смешанной" форме без учета обжатия

2.2.4. Модели асимптотически несогласованные континуальные "в перемещениях" и "смешанной" форме без учета обжатия.

§ 2.3. Качественное исследование асимптотически согласованных и несогласованных моделей термоупругих оболочек.

2.3.1. Качественное исследование эволюционных уравнений теории оболочек "в перемещениях" с параболическим уравнением теплопроводности . 184 2.3.2. Качественное исследование эволюционных уравнений теории оболочек в "смешанной" форме с параболическим уравнением теплопроводности

2.3.3. Качественное исследование эволюционных уравнений уточненной теории пластин с гиперболическим уравнением теплопроводности ■.

2.3.4. Качественное исследование стационарных уравнений уточненной теории пластин.

§ 2.4. Результаты численных экспериментов по исследованию статической устойчивости многослойных ортотропных оболочек в рамках различных уточненных моделей . . 224 Выводы по главе

ГЛАВА 3. Обобщенные задачи дифракции в теории конструктивно неоднородных оболочек и пластин, локально взаимодействующих с температурным полем

§3.1. Качественное исследование обобщенных задач дифракции для оболочек и пластин "в перемещениях"

3.1.1. Связанная обобщенная задача дифракции для термоупругой оболочки, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и гипотез Кирхгофа-Лява

3.1.2. Связанная обобщенная задача дифракции для термоупругой оболочки, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и гипотез Григолюка-Чулкова.

§ 3.2. Качественное исследование обобщенных задач дифракции для оболочек и пластин в "смешанной" форме.

3.2.1. Связанная обобщенная задача дифракции для термоупругой оболочки, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и гипотез Кирхгофа-Лява

3.2.2. Стационарная обобщенная задача дифракции для термоупругой пластины переменной толщины.

Выводы по главе.

краткий исторический обзор исследований по теме работы)

Достижения современной материальной культуры во многом определяются успехами научных исследований в области механики сплошных сред — и одно из востребованных практикой направлений таких исследований связано с математическим моделированием различных эволюционных изменений в конструктивно неоднородных оболочках и пластинах.

Термин "математическое моделирование", в узком смысле, подразумевает изучение объекта научных исследований с помощью компьютерных технологий — однако, в данной работе этот термин употребляется в широком смысле и подразумевает наличие четырех этапов научного исследования: первый этап — построение математической модели объекта; второй — качественное исследование корректности построенной модели и свойств модельного объекта; третий — применение компьютерных технологий к изучению модельного объекта; четвертый — сопоставление качественных и количественных характеристик модельного объекта с реальным. Результатом математического моделирования является либо внедрение модельного объекта в прикладные исследования, либо его модификация с последующим повторением всех четырех этапов исследования.

Основополагающие работы по формированию математических моделей конструктивно неоднородных оболочек и пластин принадлежат таким ученым как И.Г.Бубнов, С.П.Тимошенко, В.З.Власов, Т.Карман,

B.В.Новожилов, Х.М.Муштари, К.З.Галимов, Н.А.Алфутов,

C.А.Амбарцумян, А.Н.Андреев, В.Н.Бакулин, В.Г.Баженов,

A.Е.Богданович, В.В.Болотин, Н.А.Буяков, А.Т.Василенко, В.В.Васильев,

B.Е.Вериженко, И.И.Ворович, Э.И.Григолюк, М.С.Ганеева, Я.М.Григоренко, В.Г.Карнаухов, Ю.Г.Коноплев, В.И.Королев, 6

В.А.Крысько, Н.Д.Кузнецов, В.А.Лазько, Н.Ф.Морозов, Н.Н.Москаленко, Ю.В.Немировский, Ю.Н.Новичков, И.Ф.Образцов, В.Н.Паймушин, Б.Л.Пелех, В.В.Пикуль, В.Г.Пискунов, А.П.Прусаков, Б.Е.Победря, И.Н.Преображенский, А.О.Рассказов, А.Ф.Рябов, В.С.Сипетов, А.В.Саченков, А.Г.Терегулов, И.Г.Терегулов, В.П.Тамуж, П.Е.Товстик, К.Ф.Черных, Н.А.Шульга, Р.Кристиансен, Э.Рейсснер и др. Итогом деятельности нескольких поколений ученых являются различные дискретные и континуальные модели оболочек, при этом, в последнее время отчетливо наблюдается объективная тенденция к отказу от построения "универсальной" двумерной модели в пользу построения моделей, воспроизводящих лишь некоторые количественные и качественные характеристики оболочек. Проявление такой тенденции наблюдается и в теории многослойных оболочек: дискретные модели целесообразно применять при исследовании НДС оболочек, а континуальные — при исследовании устойчивости. Кроме того, проведенные исследования убедительно показали необходимость учета сдвиговых напряжений и обжатия при построении моделей многослойных оболочек.

Результаты проведенных исследований, касающиеся многослойных оболочек и уточненных теорий оболочек, с достаточной полнотой изложены в обзорах Григолюка Э.И., Когана Ф.А. [78], Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцова И.Ф. [94], Григоренко Я.М., Василенко А.Т. [83], Григолюка Э.И., Селезова И.Т. [81], Григоренко Я.М., Гуляева В.И. [85], Кубенко В.Д., Ковальчука П.С. [160], а также в монографиях Амбарцумяна С.А. [19,20], Болотина В.В., Новичкова Ю.Н. [33], Васидзу К. [39], Галимова К.З. [68], Григолюка Э.И., Чулкова П.П. [82], Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратовой Н.Д. [84], Григолюка Э.И., Куликова Г.М. [79], Перцева А.К., Платонова Э.Г. [206], Родионовой В.А. [230], Бердичевского В.Л. [28], Алфутова H.A., Зиновьева П.А., Попова Б.Г. [18], Пискунова В.Г., Вериженко В.Е. [213], Пикуля В.В. [210],

Рассказова А.О., Соколовской И.И., Шульги H.A. [227], Пискунова В.Г., Вериженко В.Е., Присяжнюка В.К., Сипетова B.C., Карпиловской B.C. [212], Вольмира A.C. [51-54], Крысько В.А. [155], Бакулина В.Н., Образцова И.Ф., Потопахина В.А. [25], Григолюка Э.И., Мамая В.И. [80], Векуа И.Н. [43], Воровича И.И. [55], Хорошуна Л.П., Козлова C.B., Иванова Ю.А., Кошевого И.К. [263] и др.

Касаясь конкретного содержания полученных результатов выделим следующие положения: 1) согласно Воровичу И.И. [57] методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным распадаются на три группы — метод гипотез, аналитический метод и асимптотический метод; 2) метод гипотез характеризуется физической наглядностью и возможностью непосредственного использования основных уравнений термодинамики для сплошной среды — подчеркнем, что для соблюдения "физической корректности" метод гипотез следует рассматривать только по отношению к вариационным уравнениям термодинамики, напротив, аналитический и асимптотический методы могут иметь в своей основе как трехмерные дифференциальные уравнения теории упругости (возможно и в обобщенной форме) [43, 249], так и вариационные уравнения [28]; 3) согласно Григолюку Э.И., Когану Ф.А. [78], теория слоистых оболочек развивается в двух основных направлениях — к первому направлению относятся работы, в которых для вывода уравнений применяются кинематические гипотезы для каждого отдельного слоя (дискретные модели), а ко второму те, в которых вывод уравнений дается на основе гипотез, привлекаемых для всего пакета слоев в целом (континуальные модели); 4) в рамках метода гипотез возможен максимальный учет априорной информации (экспериментальных и расчетных данных) об особенностях НДС неоднородных оболочек; 5) наличие в многослойных оболочках "мягких" и "жестких" слоев [33] приводит к необходимости учета сдвиговых напряжений и обжатия; 6) гипотезы, определяющие НДС многослойных (неоднородных) оболочек, в общем, сводятся к определению бесконечномерных аппроксимаций (но конечномерных по выделенной "поперечной" переменной), определяющих функций — наиболее популярными аппроксимациями продольных компонент вектора перемещений являются многочлены первого и третьего порядков, относительно "поперечной" переменой (конечно, используются многочлены и более высоких порядков [212]); 7) модели разных авторов отличаются, во-первых, эвристическими посылками, оправдывающими сделанный выбор аппроксимаций, а, во-вторых, методикой получения разрешающих уравнений [19, 20, 23, 28, 33, 74, 79, 82, 106, 202, 210, 212, 227, 261,262].

Остановимся подробнее на некоторых публикациях последних лет. В работе Паймушина В.Н., Луканкина С.А. [203], с помощью аппарата бескомпонентных тензорных преобразований выводятся уравнения нелинейной дискретно-структурной теории среднего изгиба многослойных оболочек с жесткими несущими слоями и трансверсально-мягкими заполнителями, имеющими переменную толщину с большой изменчивостью; при выводе основных уравнений к несущим слоям привлекаются гипотезы Киргхгофа-Лява, а для заполнителей — усредненные (по толщине слоя) соотношения трехмерной теории упругости.

В работе Хомы И.Ю. [262] получены уравнения обобщенной теории оболочек с начальными напряжениями — в основе методики разложение искомых (определяющих) функций в ряд Фурье по полиномам Лежандра относительно поперечной координаты.

В работе Каплунова Ю.Д., Нольде Е.В. [105] рассмотрена упругая тонкая оболочка при действии поверхностной нагрузки — с помощью асимптотического анализа трехмерных динамических уравнений теории упругости определяется область параметров задачи, при которых нельзя пренебречь влиянием поперечного обжатия.

В работе Андреева А.Н. [22] проведен сравнительный анализ результатов расчета собственных частот и форм колебаний слоистых упругих композиционных оболочек вращения, найденных на основе классических и неклассических дифференциальных уравнений движения — отмечается, что неучет поперечных сдвиговых деформаций приводит к завышению расчетных значений собственных частот, притом тем большему, чем больше порядковый номер определяемой частоты и чем больше номер рассматриваемой окружной гармоники.

В работе Гуртового А.Г., Пискунова В.Г. [88] рассмотрена проблема сравнительного анализа уточненных моделей слоистых ортотропных пластин — на баз^ предложенной методики "вариационного сопоставления" оцениваются две континуальные модели изгиба пластин с ортотропными слоями. Однако, в предлагаемой методике заложен "дефект", связанный с тем, что сопоставляются свойства (в смысле включения одного в другое) одной модели по отношению к другой, но не по отношению, например, к исходным трехмерным моделям, основным уравнениям термодинамики сплошной среды или экспериментальным данным.

В работе Пискунова В.Г., Рассказова А.А. [214] построена сдвиговая модель (теория "второго приближения") для многослойных пологих оболочек, позволяющая рассчитывать НДС существенно неоднородных по слоям оболочек с повышенной податливостью поперечному сдвигу. Известно, что гипотезы о квадратичном распределении поперечных сдвигов в слоях не учитывают, с требуемой точностью, неоднородности распределения деформаций по толщине пакета [20, 84, 213, 227], поэтому в модели используются новые аппроксимации тангенциальных перемещений и поперечных касательных напряжений: эвристической посылкой гипотез для напряжений служит вид касательных напряжений, получаемый из трехмерных уравнений равновесия пологих оболочек с учетом тангенциальных компонент тензора напряжений для модели [227] "первого приближения"; соответственно, гипотезы для перемещений определяются с помощью соотношений Коши и закона Гука для полученных касательных напряжений (в полученной модели закон распределения перемещений по толщине определяется многочленом пятой степени относительно "поперечной" переменной). Построение итоговых уравнений равновесия и граничных условий производится с помощью вариационного уравнения Рейсснера. Обратим внимание на следующее обстоятельство: промежуточным этапом в методике построения моделей "первого" и "второго приближения" является использование трехмерных уравнений равновесия для аппроксимаций определяющих функций, но, в общем, эти аппроксимации не являются решением указанных уравнений, следовательно, требуется обоснование возможности их применения (заметим, что аналогичная проблема возникает во многих работах [19, 210, 212]).

В серии работ Васильева В.В., Лурье С.А., Шумовой Н.П. [40, 41, 171] определяются энергетически согласованные модели балок, пластин и оболочек. Анализ этих работ показывает, что по сути авторы добиваются совпадения проекционных уравнений Бубнова-Галеркина для трехмерных уравнений теории упругости (соответственно определяющих балки, пластины и оболочки), с уравнениями Эйлера-Лагранжа, для вариационного уравнения Лагранжа, при заданной аппроксимации компонент вектора перемещений относительно "поперечной" переменной (в классы "совпадающих уравнений" входят как уравнения равновесия, так и граничные условия) — найденные "условия совпадения" реализуются через "условия согласования" для коэффициентов при "поперечной" переменной в аппроксимациях. Следствием полученных результатов является весьма примечательный факт: дополнительная априорная информация об аппроксимациях определяющих функций, реализуемая через "условия согласования" и наполняющая, с одной стороны, физическим содержанием проекционные уравнения Бубнова-Галеркина (эти уравнения теперь определяют необходимые условия экстремума для функционала потенциальной энергии), и формальным математическим смыслом уравнения Эйлера-Лагранжа с другой ("привязывая" эти уравнения непосредственно к исходным трехмерным уравнениям равновесия) — ведет к уточнению получаемых количественных результатов.

В работах Пикуля В.В. [208-209] исследуется проблема приведения уравнений теории упругости к двумерным уравнениям механики оболочек — одним из центральных моментов в предлагаемой методике выступает условие ортогонализации (ранее "минимизации" [210]) невязки приближенного представления поперечных компонент тензора деформаций. В связи с этим отметим такое обстоятельство: при формировании "невязки" автор использует трехмерные уравнения упругости и получает аппроксимацию сдвиговых компонент тензора напряжений в виде многочлена относительно "поперечной" переменной, однако, порядок этого многочлена не совпадает с порядком многочлена, определяющего заданную аппроксимацию сдвиговых компонент тензора деформаций (например, достаточно сравнить аппроксимации (2.2) и (3.6) из работы [209]), но тогда используемое "условие ортогональности", в общем, не является таковым (условие (2.3) из [209]) даже для однородных оболочек (используемое "условие ортогональности" может "связывать" не ортогональные по сути элементы) — тем более это требует дополнительного обоснования для неоднородных по толщине оболочек, так как в этом случае одно из слагаемых в невязке может определяться многочленом сколь угодно большого порядка (все зависит от характера неоднородности).

В работах Вериженко В.Е., Пискунова В.Г., Присяжнюка В.К., Табакова П.Я. [44, 45] обобщается методика, описанная в монографиях [212, 213], на случай динамической теории многослойных оболочек и пластин — эвристической посылкой гипотез для сдвиговых компонент тензора напряжений служит вид таких напряжений, получаемый из трехмерных уравнений движения пологих оболочек с учетом тангенциальных напряжений для классической модели в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, с последующим определением на их основе перемещений. Отличительной особенностью получаемых моделей оболочек является зависимость компонент вектора перемещений и тензора напряжений от динамических факторов — сил инерции в нормальном и тангенциальном направлениях, инерции вращения; при этом, итоговые компоненты тензора напряжений определяются путем подстановки найденных компонент тензора деформаций в закон Гука, а уравнения движения следуют из вариационного уравнения Рейсснера. В работе Танеевой М.С., Каюмова Р.А., Косолапова Л.А. [72] приводятся результаты сравнения двух моделей оболочек вращения, с учетом сдвига и геометрической нелинейности (теория Тимошенко), при исследовании НДС — отмечается, что на результаты расчета по различным теориям влияет вид нагрузки.

В работе Бабича Н.Ю, Семенюка Н.П. [24] произведен анализ погрешности, сопровождающей модели оболочек типа Тимошенко ъ задачах устойчивости и сделан вывод, что такие модели могут использоваться для оболочек из композиционных материалов, если механические характеристики слоев не отличаются более, чем на порядок.

В обзорах Григоренко Я.М., Гуляева В.И. [85] и Кубенко В.Д., Ковальчука П.С. [160] рассмотрены исследования в области нелинейных задач теории оболочек и методов их решения. Из сделанных авторами выводов отметим следующие: 1) необходима разработка общих методологических подходов к построению адекватных нелинейных расчетных динамических моделей оболочек; 2) актуальной представляется проблема расчета колебаний с большими прогибами при учете различных типов нелинейности; 3) перспективными продолжают оставаться задачи о хаотических колебаниях оболочек при детерминированных вибрационных воздействиях на них — в теоретическом плане необходимо глубже изучить влияние как линейного, так и нелинейного демпфирования оболочек на механику хаоса, области его существования, сценарии перехода от регулярных режимов к нерегулярным, спектральные свойства.

Многие методологические приемы, используемые для обоснования корректности математических моделей оболочек, разработаны в трудах отечественных математиков и механиков: С.Л.Соболева, В.Н.Кондрашова, С.М.Никольского, О.А.Ладыженской, М.М.Вишика, И.И.Воровича, С.Г.Михлина, Н.Ф.Морозова и др. При этом, центральным понятием в обосновании стало понятие обобщенного решения краевых задач, тесно связанное с вариационными уравнениями в механике сплошных сред. К настоящему времени для краевых задач, определяющих классические модели оболочек (в рамках гипотез Кирхгофа-Лява), исследованы многие вопросы о существовании и единственности решения. Что касается нелинейных задач теории пологих оболочек, то здесь в первую очередь следует отметить выдающиеся работы И.И.Воровича [55-66], методика которых лежит в основе подавляющего числа работ по указанной тематике — в своей монографии [55] И.И.Ворович сформулировал основные нерешенные проблемы математической теории оболочек, из которых выделим следующие (имеющие отношение к тематике данной диссертационной работы): 1) построение математической теории краевых задач для вариантов оболочек типа Тимошенко, Рейсснера, учитывающих, наряду с геометрической нелинейностью, сдвиговые напряжения; обоснование приближенных методов; 2) выделение класса нелинейных краевых задач математической физики, для которого априорная оценка решения может быть дана развитым в книге [55] методом. Фундаментальные результаты в этом же направлении получены Н.Ф.Морозовым [181-185], который впервые исследовал вопросы единственности и обобщенной диссипативности для нелинейных задач теории пологих оболочек и пластин.

Различные подходы к обоснованию и решению нелинейных краевых задач классической теории оболочек представлены в работах Ляшко А.Д. [173-174], Качуровского Р.И. [113], Ляшко А.Д., Карчевского М.М. [175], Волошановской С.Н., Заботиной Л.Ш., Карчевского М.М. [50,101,110], Сьярле Ф., Рабье П. [249], Ж.-Л.Лионса [169], Дубинского Ю.А. [92-93], Скрыпника В.И. [242], Сьярле Ф. [248], Дюво Г., Ж.-Л.Лионса [96], Березовского A.A., Жария Ю.И. [29] и др. Остановимся на некоторых публикациях последних лет.

В работе Карчевского М.М. [109] разрешимость геометрически нелинейных моделей непологих оболочек, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, доказывается с помощью аналогов теоремы о неявной функции. В работе Тимергалиева С.Н. [252] исследована разрешимость сформулированной И.И.Воровичем [55] задачи о свободной пологой оболочке, не подчиненной никаким геометрическим граничным условиям — методика исследования основана на решении задачи в деформациях. В серии публикаций Седенко В.И. [233-236] исследованы вопросы единственности и существования классических решений начально-краевых задач для уравнений Маргера-Власова в нелинейной теории колебаний пологих оболочек — основным инструментом доказательства служат оценки типа неравенств вложения. Отметим, что результаты Седенко В.И. являются важным и естественным обобщением результатов И.И.Воровича [58] и Н.Ф.Морозова [184]. В работе Воровича И.И., Лебедева Л.П. [63] рассматривается общая краевая задача нелинейной теории упругих оболочек среднего изгиба в рамках гипотез Кирхгофа-Лява и доказывается непрерывность зависимости неособого решения задачи от малых возмущений размеров и формы оболочки, а также от малых изменений частей границы, вдоль которой реализуется тот или иной вид краевых условий. Следствием полученного результата является возможность обоснования сходимости метода конечного элемента, когда граница области не является многоугольником. В работе Лебедева Л.П. [168] доказаны теоремы разрешимости для нелинейных краевых задач о равновесии пологих оболочек, срединная поверхность которых имеет устранимую особенность.

Исследование корректности уточненных моделей оболочек является, согласно И.И.Воровичу [55], во многом открытой проблемой. В этом направлении, особенно для нелинейных задач, получены отдельные результаты — отметим ряд публикаций. В работе Пантелеева А.Д., Медведева Н.Г. [205] изучается коэрцитивность оператора в случае линейной теории трехслойных пологих оболочек с легким заполнителем и внешними слоями из ортотропного материала. В работах Власова В.Ф., Юркевича A.A. [47, 48] исследована разрешимость и единственность решения краевых задач, определяющих условия равновесия трехслойных оболочек (модель Григолюка-Чулкова [82]) несимметричной структуры с трансверсально изотропным заполнителем и несущими изотропными слоями — используется система уравнений в "смешанной" форме. На базе вариационного метода (используемый функционал определяет обобщенную энергию трехслойной оболочки), теми же авторами [49] исследована разрешимость и получены оценки собственных чисел системы стационарных нелинейных уравнений Григолюка-Чулкова в "смешанной" форме. В работе Григолюка Э.И., Власова В.Ф., Юркевича A.A. [76] исследована разрешимость граничных задач равновесного состояния трехслойных оболочек с жестким заполнителем (передающим поперечный сдвиг) — как для уравнений равновесия в "перемещениях" (при этом используется методика доказательства из работы Воровича И.И., Лебедева Л.П. [64]), так и для уравнений в "смешанной" форме (используется вариационный метод). В работе Голованова А.Н. [73] исследована разрешимость и единственность решения нелинейных уравнений движения пологих трехслойных оболочек в "смешанной" форме (модифицированная модель Григолюка-Чулкова); в основе доказательства — метод компактности [169]. В работе Карчевского М.М., Ляшко А.Д., Паймушина В.Н. [111] рассмотрены вопросы существования и единственности критических точек смешанного функционала, определяющего — как уравнения Эйлера-Лагранжа — уравнения равновесия и кинематические условия сопряжения слоев по тангенциальным перемещениям на границах их контакта, для многослойных оболочек с трансверсально-мягкими заполнителями (для несущих слоев использованы гипотезы Кирхгофа-Лява в рамках геометрически нелинейной теории среднего изгиба, а для заполнителя используется модель трансверсально-мягких слоев); кроме того показано, что линеаризованная задача на собственные значения имеет вещественный чисто дискретный спектр. Отметим, что вопросы разрешимости линейных граничных задач для пластин Рейсснера рассмотрены в монографии Морозова Н.Ф. [181].

Начиная с середины XX века наблюдается стремительное развитие механики сопряженных полей, то есть таких разделов механики сплошных сред, в которых учитывается взаимодействие полей различной физической природы — предпосылкой такого развития явились прикладные исследования в области авиационной, космической, электронной и ядерной техники [14, 25, 193, 240]. Остановимся подробнее на задачах взаимодействия температурного и деформационного полей.

Впервые задачу теории упругости с учетом температурных напряжений описал J.M.C. Duhamel [9], который, также впервые, ввел в уравнение теплопроводности член, учитывающий взаимосвязь изменения объема и температуры исследуемого тела. Однако дальнейшие исследования, в течение более чем 100 лет, велись в основном по двум непересекающимся направлениям — теории теплопроводности и теории температурных напряжений. В работах Г.Карслоу и Д.Егера [108], А.В.Лыкова [172], А.И.Вейника [42], С.С.Кутателадзе [164]. Л.А.Коздобы [141], Н.И.Мусхелишвили [187], А.Д.Коваленко [140], В.Новацкого [196] описаны различные вопросы становления теории теплопроводности и температурных напряжений.

Определяющее значение для становления методологических основ термоупругости имеет феноменологическая термодинамика необратимых процессов, одним из источников которой явилось обобщение идей Навье по решению задач гидродинамики вязких жидкостей. Фундаментальную роль в теории необратимых процессов сыграли работы Л.Онсагера, сформулировавшего общий принцип наименьшего рассеяния энергии [95]. Дальнейшее развитие этой теории связано с работами голландско-бельгийской школы (И.Пригожин, С.деГроот, П.Мазур и др.). И.Пригожин предложил новый общий принцип наименьшего производства энтропии, оказавшийся более удобным для решения прикладных задач. Венгерский физик И.Дьярмати [95] решил вопрос о соотношении между принципами Онсагера и Пригожина и получил интегральные формы этих принципов. Основные положения (и глубокие обобщения) термодинамики сплошных сред изложены в работах Седова Л.И., Цыпкина А.Г. [237-240], Ильюшина

A.A. [102], Новацкого В. [196], Толмачева В.В., Головина A.M., Потапова

B.C. [254], Колтунова М.А., Кравчука A.C., Майбороды В.П. [145] и др.

В 1956 году вышла работа М.Вио [1, 32], где впервые, на базе термодинамики необратимых процессов, дано обоснование основных соотношений и уравнений линейной теории связанной термоупругости. При таком подходе твердое деформируемое тело рассматривается как термодинамическая система, находящаяся в условиях локального квазиравновесия, то есть принимается такое допущение: для всякого физически малого подобъема исследуемой системы справедливы удельные соотношения равновесной термодинамики [83, 95, 196]. Уравнение баланса для энтропии такой системы позволяет записать обобщенное уравнение теплопроводности, в котором учитывается взаимосвязь температурного и деформационного полей. Уровень исследований связанных и несвязанных задач термоупругости в значительной степени отражен в монографиях Новацкого В. [194-196], Грибанова В.Ф., Паничкина Н.Г. [75], Подстригача Я.С., Ломакина В.А., Коляно Ю.М. [222], Мотовиловца И.А., Козлова В.И. [186], Бакулина В.Н., Образцова И.Ф., Потопахина В.А. [25]. Остановимся на некоторых публикациях. В работе Козлова В.И. [142] рассмотрена задача о тепловом ударе для линейных связанных уравнений термоупругости пластины в рамках модели Кирхгофа-Лява. В качестве метода решения использовалось преобразование Фурье. Итогом исследований явилось подтверждение эффекта затухания термоупругих колебаний при учете "эффекта связанности". Отметим отсутствие в работе гипотез о распределении температурного поля по толщине пластины.

В серии работ [3-5] решены, с помощью преобразования Фурье, различные линейные связанные задачи для оболочек вращения, при этом, на базе обычных упрощений теории тонких оболочек (приняты гипотезы о линейном распределении температурного поля по толщине оболочки) трехмерное уравнение теплопроводности сведено к системе двумерных. Предположение о линейном законе распределения температуры по толщине оболочки использовали: Швец Р.Н., Лунь Е.И. [265], при выводе уравнений связанной линейной задачи термоупругости для ортотропных оболочек в рамках модели типа Тимошенко; Флячок В.М. [257], при формулировке вариационного принципа для динамической связанной задачи анизотропных оболочек; Болотин В.В., Новичков Ю.Н. [33], при решении задач для многослойных конструкций и др. В публикации Швеца Р.Н., Флячка В.М. [267] получены, с учетом кубического распределения температуры по толщине, теоремы единственности, взаимности и вариационный принцип для связанной линейной задачи термоупругости анизотропных оболочек. Различные методы сведения трехмерной задачи теплопроводности для тонкостенных элементов конструкций к двумерной, проанализированы в сообщении Подстригача Я.С., Чернухи Ю.А. [223]. В монографиях Подстригача Я.С., Швеца Р.Н. [224] и Коваленко А.Д. [140] изложены термодинамические основы линейных связанных задач термоупругости для тонкостенных элементов конструкций, описаны основные методы решения и приведена библиография. Отметим, что исчерпывающая библиография по задачам термоупругости на 1980 год приведена в справочнике [147, 148]. Вопросам термоустойчивости пластин и оболочек, с учетом геометрической нелинейности, посвящена монография Огибалова П.М., Грибанова В.Ф. [201]. В работе Сипетова B.C. [241] исследованы двумерные и трехмерные модели слоистых анизотропных пологих оболочек и пластин при комплексом термосиловом воздействии. В монографии Танеевой М.С. [71] изучена термосиловая задача в геометрически и физически нелинейной теории нетонких и тонких оболочек. В статье Немировского Ю.В., Самсонова В.Н., Шульгина А.В.

192] предложен вариант расчетной модели термоупругого деформирования слоистых оболочек из композиционных материалов — на базе полученных эволюционных уравнений связанной задачи термоупругости, исследуется процесс выпучивания цилиндрической трехслойной оболочки при апериодических силовых и температурных воздействиях. В статье Пикуля В.В. [211] предложен дифференциальный аналог смешанного функционала Рейсснера для термоупругих оболочек, однако конкретные модели таких оболочек не построены. Исследованию геометрически и физически нелинейных связанных задач термоупругости посвящены работы Крысько В.А., Сопенко A.A., Егурнова Н.В. [97, 159].

В работе Конюхова A.B., Жигалко Ю.П., Бережного Д.В. [150] отмечается, что использование метода конечных элементов в связанной задаче термоупругости может приводить к жесткой системе обыкновенных дифференциальных уравнений — для решения таких систем предлагается использовать метод трапеций.

Учет членов тепловой инерции в уравнении теплопроводности приводит к новой модели динамической термомеханики — обобщенной и предполагает конечную скорость распространения тепла. Исследованию задач обобщенной термомеханики посвящена монография Подстригича Я.С. и Коляно Ю.М. [221], в которой изложены основы теории, дано решение ряда практических задач, отмечены эффекты учета конечной скорости распространения тепла (в частности отмечено, что при движении плоской гармонической волны в неограниченном термоупругом слое наблюдается, с ростом частоты, значительное влияние конечной скорости распространения тепла на относительное приращение фазовой скорости) и приведена библиография по указанным вопросам. В статьях Новацкого В. [193, 195] обсуждаются проблемы связанной термоупругости, термодиффузии и электромагнитотермоупругости на базе модифицированного закона Фурье. В работе Швеца Р.Н. и Лопатьева A.A. [265] изучены особенности динамических процессов при высоких частотах на основе линейных трехмерных уравнений обобщенной термомеханики, в частности, исследование распространения плоской гармонической волны (с использованием асимптотического разложения для выражений корней характеристических уравнений) показало, что при частоте колебаний меньшей некоторой характеристической частоты исследуемого материала, можно использовать параболическое уравнение теплопроводности. В статье Коляно Ю.М. и Штера З.И. [149] при получении связанных уравнений обобщенной термомеханики для анизотропных тел использованы методы идентификации, закон сохранения энергии и постулат Клаузиуса-Дюгема. Публикация Кильчинской Г.А. [114] посвящена распространению принципа наименьшего принуждения Гаусса на уравнения обобщенной термомеханики. В статье Коляно Ю.М. [146] выведены уравнения обобщенной термомеханики термочувствительных однородных и кусочно-однородных массивных тел, а также тонких пластин и оболочек.

В работах Барана В.П., Грилицкого Д.В., Мокрика Р.И. [27] и Мокрика Р.И., Пырьева Ю.А. [179, 180] проведен анализ различных динамических моделей линейной термоупругости с точки зрения удовлетворения их принципу причинности. В частности, последние две публикации, уточняя результаты первой, позволяют надеяться на физическую целесообразность рассмотрения связанной динамической задачи термоупругости с параболическим уравнением теплопроводности.

В статьях [6, 7] исследуется возможность аппроксимации решения исходной связанной задачи термоупругости некоторыми вспомогательными, в общем не связанными задачами.

Отметим, что в связанных задачах термоупругости оболочек и пластин пока нет работ, выявляющих границы применимости классических и уточненных моделей. Близкой, к указанной тематике, является работа Рогачевой H.H. [229] о свободной термоупругой оболочке, где показана неудовлетворительность гипотезы Кирхгофа о неизменности длины нормали при нелинейном законе изменения температурного поля по толщине.

Значительный интерес в последние 30 лет вызывают исследования в области термовязкоупругости [103, 107, 217, 219, 220], что диктуется широким использованием в технике полимерных материалов. Важные результаты в области связанных задач термовязкоупругости получены в работах Победри Б.Е. [215-220], Воровича И.И. и Сафроненко В.Г. [67], Булгару O.E. [38], Громова В.Г. и Мирошникова В.П. [86] и др. В статье Победри Б.Е. [216] получены основные соотношения связанной термоупругости для ряда конкретных сред, в том числе с учетом физической нелинейности и термовязкоупругости, доказано существование классического решения полученной системы уравнений, решена задача о простом растяжении теплоизолированого стержня и задача о полом цилиндре, армированном снаружи тонкой упругой оболочкой. В монографии Карнаухова В.Г. [107] описан широкий класс связанных задач термовязкоупругости, включая задачи теории пластин и оболочек с учетом как физической, так и геометрической нелинейности и приводится обширная библиография по указанным вопросам (там же обсуждаются различные численные методы решения поставленных задач). В монографии Энгельбрехта Ю.К. и Нигула У.К. [269] исследованы, на базе лучевого метода, нелинейные волны деформации в упругой, вязкоупругой и термоупругой средах. Там же проведен анализ влияния физической и геометрической нелинейности на процесс распространения волн в задачах связанной термоупругости. Отмечается, что основная трудность непосредственного исследования уравнений, полученных на основе пространственно-временного описания, связана с исключительной сложностью имеющих математических моделей связанной термоупругости. В работе Немировского Ю.В. [191] построена теория термочувствительных слоистых полиармированных оболочек.

Фундаментальные результаты по вопросам существования и единственности решения линейных связанных задач термоупругости в трехмерной постановке получены, на базе метода потенциалов и теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, в работах Купрадзе

В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О. и Бурчуладзе Т.В. [161-163]. В указанных работах исследованы классические решения как внешних, так и внутренних задач термоупругости, получены условия термоупругого излучения на бесконечности, предложены эффективные подходы к численному решению связанных задач. Применению метода Бубнова-Галеркина к доказательству разрешимости трехмерной динамической связанной задаче термоупругости в пространстве Соболева посвящена статья [13]. В публикации Новик О.Б. [197] исследована устойчивость конечно-разностной схемы для линейной связанной (т.е. рассмотрена система из гиперболического и параболического уравнений) задачи, доказано существование и единственность решения исходной системы при определенной гладкости начальных данных. Вопросы математического описания волновых явлений и доказательства существования решения задачи Коши в связанной термоупругости рассмотрены в публикациях Смирновой М.Н., Михайловской И.Б., Новик О.Б. [244], Михайловской И.В. и Новик О.Б. [176]. Описание работ по математическому обоснованию связанных линейных задач термоупругости на 1970 год дано в приложении Шачнева В.А к монографии [194]. В работе Боценюка А.Н., Панкова A.A. [34] изучен, на базе метода Бубнова-Галеркина, класс абстрактных линейных систем дифференциальных уравнений, частным случаем которых является связанная задача термоупругости для трехмерной пластины. В работах [10, 12] доказывается существование, единственность и регулярность решения задач для уравнений термических напряжений классической и обобщенной термомеханики в пространствах Соболева.

Что касается нелинейных связанных задач термоупругости, то здесь проблема корректности используемых моделей во многом открыта. Однако заметим, что методика исследования нелинейных краевых задач, изложеная в трудах Воровича И.И. [58], Морозова Н.Ф. [184], Лионса Ж.-Л. [169], Темама Р. [250], Ладыженской O.A. [165, 176], Вильке В.Г. [46] и др., безусловно может применяться и для указанного класса задач. Примером такого подхода к обоснованию корректности в связанных задачах термоупругости являются исследования, представленные в работах [2, 16, 119, 131]. В публикациях Дафермоса K.M. [8, 90] исследуются начально-краевые задачи для одномерных нелинейных уравнений термовязкоупругости — доказано существование "в целом" гладкого решения для системы уравнений баланса массы, количества движения и энергии.

Большое прикладное значение, особенно при оптимальном проектировании деформируемых конструкций, имеют задачи дифракции (трансмиссии) и декомпозиции для оболочек и пластин. Традиционно, под задачей дифракции (трансмиссии) в математической физике понимают краевые задачи в областях, состоящих из двух или более разнородных сред [165, 167, 170, 200], при этом, на границе раздела этих сред должны выполняться определенные условия сопряжения — как правило, эти условия гарантируют отсутствие разрывов среды и равновесие сил, действующих на границе раздела. С формальной точки зрения задачи дифракции сводятся к краевым задачам для систем дифференциальных уравнений, имеющим разрывные коэффициенты — проблемы корректности и сходимости численных методов для таких задач рассмотрены в монографиях [165, 167, 170, 200, 248, 256]. Очевидно, к классу задач дифракции относятся краевые задачи, определяющие континуальные математические модели неоднородных (в частности, многослойных) оболочек. Однако дискретные модели многослойных оболочек, в общем, не сводятся к задачам дифракции, так как в последних предполагается структурная (по типу и размерности) идентичность дифференциальных уравнений для различных сопряженных подобластей — это условие и может нарушаться для дискретных моделей. Подобные модели, с нарушением условия "идентичности", возникают при декомпозиции деформируемых конструкций на подсистемы в рамках "контактной задачи" теории упругости [77, 104, 153, 154, 189, 202, 260] и определяются на базе системного анализа исследуемой конструкции [199]. Особенно продуктивно метод декомпозиции используется при анализе конструкций с помощью метода конечных элементов [70, 199] — в этом случае он называется методом суперэлементов. Заметим, что непосредственно примыкают к задачам декомпозиции задачи, определяющие математические модели ребристых оболочек [21] и многослойных оболочек (модели Григолюка Э.И., Чулкова П.П., Куликова Г.М. [79, 82], Болотина В.В., Новичкова Ю.Н. [33]) на базе комбинированных гипотез — однако эти задачи вырождаются в обычные задачи дифракции из-за принятия различных вариантов гипотезы "о ломаной линии".

В общем, предпосылкой использования метода декомпозиции является необходимость описания эволюции подобластей деформируемой конструкции на базе различных гипотез, учитывающих влияние геометрии, материала конструкции и локального воздействия различных физических полей [25]. Остановимся на некоторых публикациях в этом направлении. В работе [15] развита глобально-локальная конечноэлементная модель слоистой композитной пластины, при этом, аппроксимация поля перемещений производится на двух уровнях: на элементном (метод декомпозиции) и на уровне сетки. Приводятся примеры расчета слоистых пластин, содержащих подобласти, в которых существенным является трехмерное поле напряжений. В работе Колпакова А.Г. [144] отмечается существенное влияние микроструктуры термоупругой балки на ее макроскопические свойства, что приводит к необходимости дополнительного асимптотического анализа задачи термоупругости в областях малого диаметра. В работе Григоренко Я.М., Василенко А.Т. [83] рассмотрен класс задач для теории многослойных оболочек с учетом пространственных эффектов и указывается, что модели, в которых для всего пакета слоев используется единая система гипотез, с допущением идеального контакта слоев (такие модели определяют задачу дифракции), не учитывают ослабленный контакт слоев, приводящий к ухудшению их адгезионной связи. В работе Алдошиной И.А., Назарова С.А. [17] изучается явление пограничного слоя, возникающее при соединении пластин встык. Отмечается, что обычно условия сопряжения (трансмиссии) заключаются в непрерывности поперечного и продольного смещений, перерезывающей и продольной сил, а также поворота и изгибающего момента, однако, при учете новых малых параметров (в дополнение к относительной толщине пластины) могут возникать нестандартные условия сопряжения — такие условия имеют место при соединении пластин разной толщины встык и при наличии "дефектов" в пластине типа сварного шва, ребра жесткости, несквозной трещины и т.д. Приводятся результаты численного эксперимента по анализу составной конструкции громкоговорителя (допускающей декомпозицию на "толстую мягкую" и "тонкую жесткую" оболочки), подтверждающие проделанный асимптотический анализ условий сопряжения. В работе Емельянова Н.Г. [99] предложена схема декомпозиции деформируемой конструкции, типа многослойной оболочки вращения с учетом одностороннего характера контактного взаимодействия ортотропных слоев — для каждого слоя предлагается использовать "свои" гипотезы. Поверхности разделов слоев моделируются адгезионными прослойками с различными коэффициентами постели, с различными толщинами и характером работы на отрыв. С помощью принятой схемы декомпозиции конструкции, определяется неизвестная область контакта между слоями, распределение контактного давления и НДС каждого слоя. В работе Саитова И.Х. [231], на базе дискретно-структурной теории (метод декомпозиции), определяется математическая модель многослойной оболочки со слоями сложной геометрии — каждый слой рассматривается как изолированная оболочка сложной геометрии с соответствующей ей системой гипотез и условий сопряжения. В работе Постнова В.А., Таранухи Н.А. [225] определяется схема декомпозиции (метод модуль-элементов) оболочечных конструкций, заключающаяся в расчленении конструкции набором поперечных сечений. На базе предложенной схемы выполнен ряд практических расчетов прочности, устойчивости и НДС корпусов танкера, лихтеровоза, судов с большим раскрытием палубных люков. В последних работах Паймушина В.Н., Галимова М.К., Иванова В.А., Луканкина С.А., Булашова Д.А. [69, 203, 204], Саитова И.Х., Рахманкулова Н.У., Блинова Д.Н. [232], Якупова Н.М., Хисамова Р.З. [270], описаны различные задачи дифракции и декомпозиции для деформируемых конструкций.

Отметим, что указанные задачи (для составных конструкций, ребристых и многослойных оболочек и т.д.), обычно не рассматриваются в рамках единого класса задач, однако, вариационные уравнения, определяющие эволюцию и равновесие деформируемых конструкций, дают почти очевидную методическую основу для их объединения в один класс — это "объединение" позволяет сформировать концепцию общего дедуктивного подхода к решению такого класса задач и выявить новые качественные свойства их решений, в первую очередь, по отношению к явлениям устойчивости и неустойчивости тонкостенных деформируемых конструкций.

В завершение обзора заметим, что проблема обоснования корректности схем декомпозиции относится к классу нерешенных проблем [260] — особенно это касается методов решения динамических задач для деформируемых конструкций, подвергающихся воздействию различных физических полей.

Проведенный информационный анализ показал актуальность и необходимость исследования следующих проблем:

1) обоснование возможности построения непротиворечивых, по отношению ко всем постулатам термодинамики, неклассических моделей неоднородных оболочек, взаимодействующих с различными физическими полями;

2) обоснование корректности неклассических (уточненных) моделей термоупругих оболочек, включая исследование нелинейных связанных задач термоупругости;

3) определение, на базе вариационных уравнений термодинамики сплошных сред, различных схем декомпозиции деформируемых конструкций, подвергающихся локальному воздействию физических полей; обоснование корректности используемых схем;

4) качественное и количественное сопоставление различных математических моделей неоднородных оболочек и пластин.

Цель работы. Построение неклассических математических моделей конструктивно неоднородных термоупругих пологих оболочек с дополнительным требованием инвариантности всех основных уравнений термодинамики, для конечных трехмерных объемов сплошной среды, относительно используемых приближенных уравнений состояния при независимой аппроксимации определяющих функций; исследование корректности построенных моделей, эволюционных уравнений для оболочек Рейсснера и для трехслойных оболочек Григолюка-Чулкова; обоснование сходимости численных методов и проведение на их основе численных экспериментов по исследованию устойчивости оболочек в рамках различных моделей.

Научная новизна. В работе развивается новое научное направление, связанное с разработкой теории и методов решения неклассических задач термоупругости для конструктивно неоднородных пологих оболочек и пластин.

Впервые доказана разрешимость геометрически нелинейных связанных задач термоупругости для пологих оболочек, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, с учетом трехмерного уравнения теплопроводности параболического типа.

Впервые доказана разрешимость геометрически нелинейных связанных задач термоупругости "в перемещениях" для трехслойных оболочек, в рамках гипотез Григолюка-Чулкова.

Предложены универсальные "проекционные" условия движения и равновесия деформируемых твердых тел, взаимодействующих с температурным полем. Основой "проекционных" условий являются фундаментальные постулаты термодинамики и вариационные уравнения для конечных объемов сплошной среды. Указанные условия позволяют отказаться, на этапе построения математических моделей оболочек, от использования "смешанных" вариационных уравнений при независимой аппроксимации определяющих функций.

Построены, на базе "проекционных" условий, непротиворечивые с точки зрения фундаментальных постулатов термодинамики геометрически нелинейные варианты уточненных моделей многослойных ортотропных термоупругих оболочек. При этом, эволюцию оболочек определяют неклассические системы дифференциальных уравнений различного типа и размерности.

Впервые, с помощью построенных моделей многослойных оболочек, выявлена неоднозначность в определении НДС таких оболочек — установлено, что статические условия идеального контакта слоев не относятся к классу необходимых условий в континуальной теории многослойных оболочек.

Впервые исследованы вопросы существования и единственности решения для связанных и несвязанных геометрически нелинейных задач термоупругости в уточненной теории пологих оболочек и пластин Рейсснера. К изученному классу задач относятся краевые задачи, определяющие модели многослойных оболочек в рамках обобщенных гипотез Тимошенко, Пелеха-Шереметьева, Амбарцумяна, Григолюка-Куликова.

Впервые исследована частичная диссипативность эволюционных уравнений в связанных задачах термоупругости для пластин — рассмотрены классические и уточненные модели пластин. Проведенные исследования обобщают известные результаты Н.Ф.Морозова.

Определен новый класс задач в теории оболочек — обобщенные задачи дифракции — характерной особенностью которых является учет локальной, по "объему" оболочки, аппроксимации определяющих функций и локального взаимодействия с температурным полем.

Впервые доказана разрешимость связанных и несвязанных обобщенных задач дифракции для термоупругих пологих оболочек переменной толщины; тем самым, доказана корректность предложенного способа декомпозиции оболочек.

Впервые исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина при решении линейных связанных задач термоупругости для пластин, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява и Рейсснера, с учетом конечной скорости распространения тепла.

Достоверность результатов, с одной стороны, обеспечивается их полным соответствием всем основным уравнениям термодинамики для конечных объемов сплошной среды, а с другой - гарантируется доказанными в работе теоремами и проведенными численными экспериментами, включая сопоставление с известными и экспериментальными результатами.

Практическая ценность полученных результатов заключается в использовании, при проектировании и оценке качества новых деформируемых конструкций, построенных корректных моделей оболочек и алгоритмов. Некоторые из разработанных моделей многослойных оболочек и алгоритмов внедрены в расчетную практику НПЦ "АЛМАЗ-ФАЗОТРОН" — соответствующий документ прилагается к диссертации. Кроме того, результаты работы используются: 1) в учебном процессе при чтении авторского спецкурса "Математическое моделирование" по теме "Теория экстремальных задач и вариационные принципы в механике" (опубликовано три пособия по данной тематике [127, 138, 139]); 2) при подготовке кандидатских диссертаций соискателей (подготовлено три кандидата наук [100, 153, 247]).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Республиканской школе по оптимальному управлению тепловыми процессами в механических системах (Тернополь, 1981); на Всесоюзном симпозиуме "Актуальные проблемы нелинейной теории упругости" (Ленинград, 1983); на Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Москва, 1983); на IV Всесоюзной конференции "Проблемы научных исследований в области изучения и освоения мирового океана" (Владивосток, 1983); на VIII и IX Всесоюзных конференциях "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (Новосибирск, 1983), (Саратов, 1985); на II Всесоюзном симпозиуме "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела" (Калинин, 1986); на II Всесоюзной конференции

Механика неоднородных структур" (Львов, 1988); на XV, XVIII, XIX Международных конференция по теории оболочек и пластин (Казань, 1990; Саратов, 1997 — сделан пленарный доклад; Нижний Новгород,

1999); на симпозиуме "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках" (Воронеж, 2000); на Межвузовской научной конференции "Современные проблемы нелинейной механики конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами" (Саратов,

2000); на семинаре по теории оболочек Казанского государственного университета (Казань, 1986).

В целом работа докладывалась на научном семинаре по теории пластин и оболочек кафедры "Высшая математика" СГТУ, под руководством профессора Крысько В.А. и на научном семинаре по теории пластин и оболочек КГУ, под руководством академика Коноплева Ю.Г.

На защиту выносятся: "проекционные" условия движения и равновесия деформируемых твердых тел, позволяющие построить согласованные, с основными уравнениями термодинамики, варианты уточненных моделей многослойных ортотропных оболочек; новые уточненные модели многослойных ортотропных термоупругих пологих оболочек; доказательства разрешимости связанных и несвязанных задач термоупругости для классических и уточненных моделей оболочек, в том числе для оболочек Рейсснера; доказательства частичной диссипативности эволюционных уравнений в связанных задачах термоупругости для пластин; определение и доказательство корректности обобщенных задач дифракции в теории конструктивно неоднородных оболочек; модифицированный итерационный алгоритм решения уравнений типа Кармана; результаты численных экспериментов по исследованию динамической и статической устойчивости "в большом" пологих оболочек в рамках различных моделей.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 28 работ [35, 36, 98, 115-126, 128-137, 156-158] автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, содержащего 270 наименований литературных источников. Диссертация содержит 328 страниц машинописного текста, 2 таблицы и 11 страниц иллюстраций.

Выводы по главе

1. На базе основных вариационных уравнений термомеханики пологих оболочек — уравнений Гамильтона-Остроградского, Онсагера и принципа виртуальных работ — определен новый класс обобщенных задач дифракции в теории оболочек, который, в отличие от классических задач дифракции, определяется системами дифференциальных уравнений различного типа, размерности и с разной областью определения.

2. Класс обобщенных задач дифракции позволяет использовать, при проектировании технических изделий, дополнительную априорную информацию о локальном взаимодействии конструктивно неоднородных оболочек с различными физическими полями и учитывать, в измеримых подобластях таких оболочек, особенности их НДС, не допускающие единой аппроксимации вектора перемещений (или иных определяющих функций) для всей оболочки.

3. Доказано существование обобщенного решения и доказана возможность использования метода Бубнова-Галеркина, в обобщенной задаче дифракции для пологой оболочки переменной толщины, локально взаимодействующей с температурным полем, и при локальной аппроксимации вектора перемещений в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и Кирхгофа-Лява — рассмотрены связанные задачи термоупругости оболочек для систем уравнений "в перемещениях" и в "смешанной" форме.

4. Доказано существование обобщенного решения и доказана возможность использования метода Бубнова-Галеркина в связанной обобщенной задаче дифракции для многослойной термоупругой оболочки переменной толщины, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и Григолюка-Чулкова — рассмотрена система уравнений движения "в перемещениях" при локальном взаимодействии с температурным полем.

5. Доказано существование обобщенного решения и доказана возможность использования метода Бубнова-Галеркина в стационарной обобщенной задаче дифракции для термоупругой оболочки переменной толщины, определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и Кирхгофа-Лява — рассмотрена система уравнений равновесия в "смешанной" форме при локальном взаимодействии с температурным полем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ (основные результаты работы и краткие выводы)

1. Для геометрически нелинейных связанных задач термоупругости пологих оболочек и пластин, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, с учетом трехмерного уравнения теплопроводности параболического типа и малости инерции продольных перемещений точек срединной поверхности, получены доказательства существования решения и слабой компактности множества, определяемых с помощью метода Бубнова-Галеркина, приближенных решений; доказана диссипативность указанных эволюционных уравнений по отношению к функции прогиба (частичная диссипативность).

2. Для геометрически нелинейных связанных задач термоупругости трехслойных пологих оболочек в рамках гипотез Григолюка-Чулкова, с учетом трехмерного уравнения теплопроводности параболического типа и без учета малости инерции продольных перемещений точек срединной поверхности, получено доказательство существования решения и слабой компактности множества, определяемых с помощью метода Бубнова-Галеркина, приближенных решений — система эволюционных уравнений рассмотрена "в перемещениях". Предложенная схема доказательства может быть основой при исследовании сходимости конечно-разностных методов и различных вариантов проекционных методов для указанного класса задач.

3. Для геометрически нелинейных связанных задач термоупругости пологих оболочек, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, с учетом трехмерного уравнения теплопроводности параболического типа и без учета малости инерции продольных перемещений точек срединной поверхности проведены численные эксперименты на базе метода Бубнова-Галеркина. в результате которых установлено: а) в рамках допустимой для пологих оболочек 5%-ой погрешности учет "инерции вращения" не оказывает влияния на "динамическую критическую нагрузку" (по А.С.Вольмиру); б) учет "эффекта связанности" температурного и деформационного полей приводит к изменению указанной нагрузки на 6-7% при неоптимальном, с точки зрения "эффекта связанности", выборе материала оболочки — за основу, при определении безразмерных параметров, был взят алюминий.

4. Предложена и теоретически исследована модификация итерационного алгоритма для численного решения уравнений типа Кармана, позволяющая исследовать смежные формы равновесия пологих оболочек и пластин при продольном нагружении — проведенные численные эксперименты подтвердили эффективность модификации для определенного класса параметров цилиндрических панелей и пластин.

5. Определены новые "проекционные" условия движения и равновесия деформируемых твердых тел, взаимодействующих с температурным полем: указанные условия представляют собой совокупность интегральных уравнений энергетического баланса, Гамильтона-Остроградского (или принципа виртуальных работ), Онсагера, для конечных объемов сплошной среды, а также экстремальных задач для определения наилучших аппроксимаций компонент тензора напряжений, вектора теплового потока, энтропии и начальных условий. Сформулированные условия допускают естественное обобщение на случай взаимодействия с различными физическими полями —- для этого достаточно учесть "энергетический" вклад новых физических полей и воспользоваться "проекционной" формой записи дополнительных уравнений состояния.

6. Построены на базе "проекционных" условий новые континуальные модели многослойных, ортотропных, термоупругих пологих оболочек с учетом и без учета терминальных условий для сдвиговых компонент тензора напряжений — одно из отличий получаемых моделей от известных заключается в новых уравнениях состояния для указанных компонент, при этом, выполняется дополнительное требование инвариантности основных уравнений термодинамики (в интегральной форме) относительно таких уравнений состояния.

7. С помощью новых моделей многослойных оболочек, без учета и с учетом обжатия, доказана неединственность НДС для рассматриваемого класса оболочек — этот факт является следствием интегрального характера уравнений теории оболочек относительно "поперечной" координаты. В свою очередь, следствием "неединственности" НДС является возможность нарушения статических условий идеального контакта слоев в континуальных моделях многослойных оболочек.

8. С помощью новой методики получения априорных оценок, в основе которой интегродифференциальная (трехмерная) форма записи исследуемых эволюционных и стационарных уравнений, доказана разрешимость связанных и несвязанных задач термоупругости для пологих оболочек, в рамках обобщенных гипотез Тимошенко (модель Пелеха-Шереметьева) с учетом геометрической нелинейности и трехмерного обобщенного уравнения теплопроводности параболического типа. Исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина (доказана слабая компактность множества получаемых приближенных решений) и установлена диссипативность эволюционных уравнений по отношению к функции прогиба (частичная диссипативность). Доказательства приведены для систем уравнений движения в "смешанной" форме и "перемещениях", то есть с учетом и без учета малости инерции продольных перемещений. Частным случаем изученных моделей являются модели оболочек Рейсснера.

9. Проведено численное исследование, на базе метода конечных разностей, статической устойчивости "в большом" для многослойных ор-тотропных пологих оболочек в рамках семи уточненных моделей, в частности, исследованы континуальные модели Тимошенко, Пелеха-Шереметьева, Григолюка-Куликова и новые модели, построенные в работе. Полученные результаты подтвердили установленную теоретически неоднозначность в определении НДС для многослойных оболочек и выявили эффективность, по отношению к точности получаемых результатов, новых моделей и модели Пелеха-Шереметьева.

10. Определена, на базе вариационных уравнений Гамильтона-Остроградского и Онсагера, связанная обобщенная задача дифракции для пологой оболочки переменной толщины, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко (модель Пелеха-Шереметьева) и гипотез Кирхгофа-Лява, при локальном взаимодействии с температурным полем. Для систем эволюционных уравнений "в перемещениях" и "смешанной" форме доказана разрешимость поставленных краевых задач и возможность их приближенного решения методом Бубнова-Галеркина.

11. Определена, на базе вариационных уравнений Гамильтона-Остроградского и Онсагера, связанная обобщенная задача дифракции для многослойной пологой оболочки переменной толщины, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и гипотез Гри-голюка-Чулкова, при локальном взаимодействии с температурным полем. Для систем "в перемещениях" и "смешанной" форме доказана разрешимость поставленных краевых задач и возможность их приближенного решения методом Бубнова-Галеркина.

12. Определена, на базе принципа виртуальных работ, стационарная обобщенная задача дифракции для пологой оболочки переменной толщины, локально определяемой в рамках обобщенных гипотез Тимошенко и гипотез Кирхгофа-Лява, при локальном взаимодействии с температурным полем. Для системы уравнений равновесия в "смешанной" форме доказана разрешимость поставленных краевых задач и возможность их приближенного решения методом Бубнова-Галеркина.

1. Biot M.A. Thermoelasticity and Thermodinamics // J. Appl. Phys.- 1956.-V.27, №3.- P.240-127.

2. Chrzeszezyk A. On the regularity, uniqueness and continues dependence for generalized solutions of some coupled problems in nonlinear theory of ter-maelastic shells // Anch. mech. strosow.- 1986.- V.38, №1-2.- P.97-102.

3. Curie R. Coupled thermoelastic vibration of plates // Arch/ mech/ stosow.-1973.- V.25, №3,- P.513-525.

4. Curie R. The thermal shock on the shell of resolution-coupled and uncoupled theory // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn.- 1972.- Y.20, №10.- P.763-770.

5. Curie R. Transversal vibration of the thin shell of revolution produced by the thermal shock // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn.- 1972.- V.20, №10.-P.771-781.

6. Day W.A. Cesaro means and recurrence in dynamic thermoelasticity // Mathematika (Gr.Brit).- 1981.- Y.28, №2.- P.211-230.

7. Day W.A. On the status of the uncoupled approximation within quasi-static thermoelasticity//Mathematika (Gr.Brit).- 1981.- V.28, №2,- P.286-294.

8. Dafermos C.M., Hsiao L. Global smooth thermomechanical processes in one-dinesional nonlinear thermoviskoelectricity // Nonlinear Anal.: Theory. Meth. and Appl.- 1982.- V.b, №5.- P.435-454.

9. Duhamel J.M.C. Second Memoire sur les Phenomens Thermo-Mecanique // J. L'Ecole Poly techn.- 1937.- Y.15, №25.- P.l-57.

10. Gawinecki J. On the first boundary — initial value problem for thermal stresses equation of generalized thermomechanics // Bull acad. pol.sci. Ser. sci. techn.- 1981.- Y.29, №7-8.- P.405-411.

11. Grudzinski J., Styczek A. Zastosowanie pewnej metody numerycznej mechaniki plynow w teorii silnie zginanych plyt // Archiwum budowy maszyn.- 1978,- V.25, №1,- P.205-211

12. Jawinecki J.A. Existence uniqueness and regularity of the first boundary — initial value problem for thermal stress equation of classical and generalized the thermomechanics // Journal of Technical Physics.- 1983.- T.34, 4. -P. 467 479.

13. Kowalski Т., Piskarek A. Existenz der Losung einer Anfangsrandwertaufgabe in der linearen Termoelastizitatstheorie // Z. angew. Math, und Meth. Engng.- 1975.- V.9.- P.337-351.

14. Maruszewski В., Rymarz C. Coupled fields — Modelling of materials fot modern technologies // Mech. teor. i stasow.- 1997.- Y.35, №4,- P.901-914.

15. Robbins D.H. (Jr.), Reddy J.N. Variable kinematic modelling of laminated composite plates // Int. J. Number. Meth. Eng.- 1996.- V.39, №13.- P.2283-2317.

16. Wenk H.-U. On coupled thermoelectric vibration of geometrically nonlinear thin plates satisfying generalized mechanical and thermal conditions on the boundary and on the surface // Appl. Mat.- 1982.- V.27.- Cis6.- S.363-416.

17. Алдошина И.А., Назаров С.А. Асимптотически точные условия сопряжения на стыке пластин с сильно различающимися характеристиками // Прикл. мат. и мех.- 1998.- Т.62, вып.2.- С.272-282.

18. Алфутов Н.А., Зиновьев Т.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов.- М.: Машиностроение, 1984.- 264 с.

19. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость, колебания.- М.: Наука, 1987.- 360 с.

20. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек.- М.: Наука, 1974.488 с. ^

21. Амиро И.Я, Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т.2. Теория ребристых оболочек.- Киев: Наук, думка, 1980.- 368 с.

22. Андреев А.Н. Свободные колебания слоистых упругих композиционных оболочек вращения // Прикл. мех. и технич. физика.- 1995.- Т.36, №5.-С. 145-153.

23. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек // Механика твердого тела.- 1977.- №5.- С.87-96.

24. Бабич И.Ю., Семенюк Н.П. О расчетных моделях в задачах устойчивости оболочек из композиционных материалов // Прикл. мех.- 1998.-Т.34, №10.- С.24-31.

25. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии.- М.: Наука, 1998.-464 с.

26. Баничук Н.В., Иванов С.Ю., Шаранюк A.B. Динамика конструкций. Анализ и оптимизация.- М.: Наука, 1989,- 262 с.

27. Баран В.П., Грилицкий Д.В., Мокрик Р.И. К теории динамической термоупругости // Прикл. мат. и мех.- 1978.- Т.42, №6,- С. 1093-1098.

28. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды,- М.: Наука, 1983.- 448 с.

29. Березовский A.A., Жарий Ю.И. Нелинейные краевые задачи теории гибких пластин и пологих оболочек.- Киев, 1970.- 416 с.

30. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.Н. Интегральные представления функций и теоремы вложения.- М.: Наука, 1975.- 480 с.

31. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций.- М.: Машиностроение, 1977.- 488 с.

32. Био М. Термоупругость и термодинамика необратимых процессов // Сб. переводов и обзоров иностранной периодической литературы: "Механика".- 1957.- №3(43).- С.68-92.

33. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций.- М.: Машиностроение, 1980.- 375 с.

34. Боценюк А.Н., Панков A.A. Некоторые сцепленные системы абстрактных дифференциальных уравнений типа уравнений термоупругости // Докл. акад. наук УССР, 1982.- Сер. А.- С.6-8.

35. Бочкарев В.В., Кириченко В.Ф. Итерационный алгоритм в задачах устойчивости и закритического поведения неоднородных пластин // Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций: Межвуз. на-учн. сб.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989.- С.75-78.

36. Бочкарев В.В., Кириченко В.Ф., Крысько В.А. О некоторых итерационных алгоритмах решения уравнений типа Кармана // Изв. вузов. Математика.- 1989,- № 9.- С.5-14.

37. Бочкарев В.В., Крысько В.А. Об одном подходе к решению геометрически нелинейных задач теории пластинок // Изв. вузов. Строительство и архитектура,- 1981.- №10.- С.30-34.

38. Булгару O.E. Связанная задача термовязкоупругости для полупространства // В сб.: Упругость и неупругость.- М.: Изд-во МГУ, 1978.-Вып.5.- С.121-128.

39. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.-М.: Мир, 1987,-542 с.

40. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин // Мех. твердого тела.- 1990.- №2.- С.158-167.

41. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек // Мех. твердого тела.- 1990.- №6.- С. 139-148.

42. Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности.-М.: Госэнергоиздат, 1959.- 184 с.

43. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек.- М.: Наука, 1982.- 282 с.

44. Вериженко В.Е., Пискунов В.Г., Присяжнюк В.К, Табаков Т.Я. Уточненная динамическая теория многослойных оболочек и пластин. Со-общ. 1. Исходные гипотезы и соотношения моделей // Пробл. прочн.-1996,- №5.- С.91-99.

45. Вериженко В.Е., Пискунов В.Г., Присяжнюк В.К, Табаков Т.Я. Уточненная динамическая теория многослойных оболочек и пластин. Со-общ.2. Система разрешающих уравнений и результаты // Пробл. прочн.- 1996.-№6.-С.61-69.

46. Вильке В.Г. О существовании и единственности решений некоторых классов динамических задач нелинейной теории упругости // Прикладная математика и механика.- 1979.- Т.43, №1.- С. 124-132.

47. Власов В.Ф., Юркевич A.A. О слабом решении уравнений Григолюка-Чулкова для свободно опертых оболочек.- В кн.: Некоторые прикладные задачи теории пластин и оболочек / Под ред. Э.И.Григолюка.- М.: Изд-во МГУ, 1981.- С.130-135.

48. Власов В.Ф., Юркевич A.A. Разрешимость и оценка собственных чисел системы нелинейных уравнений Григолюка-Чулкова // Мех. композитных материалов.- 1982.- №5.- С.844-849.

49. Волошановская С.Н., Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для некоторых задач физически и геометрически нелинейного изгиба пластин // Программирование и числ. методы.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1978.- С.6-18.

50. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек- М.: Наука, 1972.-432 с.

51. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа.- М.: Наука, 1976.416 с.

52. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем.- М.: Наука, 1967.-984 с.

53. Вольмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур.- М.: Машиностроение, 1989.- 248 с.

54. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек.- М.: Наука, 1989.- 376 с.

55. Ворович И.И. Метод Бубнова-Галеркина, его развитие и роль в прикладной математике// Сб.: Успехи механики деформируемых сред.- М.: Наука, 1975.-С. 121-132.

56. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек.- В кн.: Тр. II Всесоюзного съезда по теор. прикладной механики.- М.: Наука, 1966.- Т.З.- С.116-136.

57. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Изв. АН СССР, Сер. математическая.-1957.- Т.21, №6.-С.747-784.

58. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек // Докл. АН СССР.- 1955.- Т.105, №1.- С.42-45.

59. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек // Прикладная математика и механика.- 1956,- Т.20, №4.-с.449-474.

60. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек //Докл. АН СССР.- 1957.- Т.117, №2.- С.203-206

61. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек // Изв. академии наук, Сер. математическая.- 1955.- №19.- С. 173186.

62. Ворович И.И., Лебедев Л.П. О корректности задачи статики нелинейной теории упругих пологих оболочек // Прикл. мат. и мех.- 1998.-Т.68, №4.- С.678-682.

63. Ворович И.И., Лебедев Л.П. О существовании решений в нелинейной теории пологих оболочек // Прикл. мат. и мех.- 1972.- Т.36, №4.- С.691-704.

64. Ворович И.И., Лебедев Л.П., Шлафман Ш.М. О некоторых прямых методах и существовании решения в нелинейной теории упругих непологих оболочек вращения // Прикл. мат. и мех.- 1971.- Т.36, №2.- С.339-348.

65. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек.- В кн.: Механика твердого деформируемого тела.- М., 1973.- Т.7.- С.5-86.- Деп. в ВИНИТИ.

66. Ворович И.И., Сафроненко В.Г. О применении вариационных принципов в связанных задачах термовязкоупругих оболочек // Изв. АН СССР. Сер. механика твердого тела.- 1980.- №4.- С.166-173.

67. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек.- Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1975.- 326 с.

68. Галлагер Р. Метод конечных элементов,- М.: Мир, 1984,- 428 с.

69. Танеева М.С. Термосиловая задача в геометрически и физически нелинейной теории нетонких и тонких оболочек.- Казань, 1985.- С. 125.-Деп. в ВИНИТИ №32792 от 13.06.85.

70. Голованов А.И. Динамическая устойчивость трехслойных оболочек.-Дисс. . канд. физ.-мат. наук.- Казань, 1982.- 116 с.

71. Грибанов В.Ф., Крохин И.А., Паничкин Н.Г., Санников В.М., Фоми-чев Ю.И. Прочность, устойчивость и колебания термонапряженных оболочечных конструкций.- М.: Машиностроение, 1990.- 268 с.

72. Грибанов В.Ф., Паничкин Н.Г. Связанные и динамические задачи термоупругости.- М.: Машиностроение, 1984.- 184 с.

73. Григолюк Э.И. Власов В.Ф., Юркевич A.A. Разрешимость граничных задач равновесного состояния трехслойных оболочек с жестким заполнителем, передающим поперечный сдвиг // Докл. акад. наук СССР.-1989.- Т.305, №4.- С.817-821.

74. Григолюк Э.И., Толкунов В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек,- М.: Машиностроение, 1980.- 411 с.

75. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикл. мех.- 1972.- Т.'VIII, в.6.- С.3-17.

76. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин.- М.: Машиностроение, 1988.- 288 с.

77. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций.- М.: Наука, Физматлит, 1997.- 272 с.

78. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стрежней, пластин и оболочек,- В кн.: Механика твердых деформируемых тел.: М., 1973.- Т.5.- С.5-272.- Деп. в ВИНИТИ.

79. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.- М.: Машиностроение, 1973.- 172 с.

80. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. О некоторых подходах к решению задач статики оболочек неоднородной структуры // Прикл. мех.- 1998.-Т.34, №10.- С.42-49.

81. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек.- Киев.: Вища школа, 1985.- 190 с.

82. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения // Прикл. мех.- 1991.- Т.27, №10.- С.3-23.

83. Громов В.Г., Мирошников В.П. Эффект теормомеханической связанности в теории вязкоупругоэластичности // Докл. АН СССР.- 1978.-Т.240, №4.- С.809-812.

84. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов.-М.: Наука, 1978.- 128 с.

85. Гуртовой А.Г., Пискунов В.Г. О сравнительном анализе уточненных моделей слоистых ортотропных пластин // Прикл. мех.- 1998.- Т.34, №1.- С.79-84.

86. Гусева О.В. О краевых задачах для сильно эллиптических систем // Докл. АН СССР.- Т.102, №1.- С.1069-1072.

87. Дафермос K.M. Разрешимые "в целом" гладкие решения начально-краевой задачи для одномерных нелинейных уравнений термовязкоуп-ругости // SIAM Journal of Mathematical Analysis.- 1982.- T.13, №3.-C.397-408.

88. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964.-456 с.

89. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. В кн.: Современные проблемы математики.- М., 1976.- Т.9.-С.1-130.

90. Дубинский Ю.А. Об одной операторной схеме и разрешимости ряда квазилинейных уравнений механики // Докл. АН СССР.- 1967.- Т. 176, №3.- С.506-508.

91. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки,- В кн. Механика деформируемого твердого тела.- М., 1983.- Т. 15,- С.3-277.

92. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика,- М.: Мир, 1974.- 304 е.

93. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике.- М.: Наука, 1980.-384 с.

94. Егурнов Н.В. Динамическая потеря устойчивости гибких пологих прямоугольных в плане оболочек с учетом связанности полей деформаций и температуры // Автореф. дисс. . канд. техн. наук.- Саратов, 1983.- 16 с.

95. Егурнов Н.В., Кириченко В.Ф., Крысько A.B. Приложение модификаций метода Власова-Канторовича к задачам теории пластин // Температурные задачи и устойчивость пластин и оболочек: Межвуз. научн. сб.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988.- С.79-80.

96. Емельянов И.Т. Об одном подходе к исследованию многослойных оболочек // Тр. XVII Межд. конф. по теор. оболочек и пластин, Казань, 15-20 сентября, 1995.- Казань: Казанский госуд. ун-т, 1996.- С.44-49.

97. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды.- М.: Изд-во МГУ, 1990.310 с.

98. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории тер-мовязкоупругости.- М.: Наука, 1970.- 280 с.

99. Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения,- Киев: Наук, думка, 1990.- С. 136.

100. Каплунов Ю.Д. Нольде Е.В. О роли поперечного обжатия в динамике оболочек // Прикл. мат. и мех,- М., 1996.- Т.60, №4.- С.644-650.

101. Кармишин A.B., Жуков А.И., Колосов В.Г. и др. Методы динамических расчетов и испытаний тонкостенных конструкций.- М.: Машиностроение, 1989.- 288 с.

102. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости.- Киев: Нау-кова думка, 1982.- 280 с.

103. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М.: Наука, 1964.- 487 с.

104. Карчевский М.М. О разрешимости геометрически нелинейных задач теории тонких оболочек // Изв. вузов. Математика.- 1995.- №6(397).-С.30-36.

105. Карчевский М.М О разрешимости вариационных задач нелинейной теории пологих оболочек // Дифференц. Уравнения.-1991.- Т.27, №7.-С.1196-1203.

106. Кахниашвили Н.С. Основные теоремы существования теории термоупругости // Тр. Тбилис. ун-та.- 1974.- Т.А 8, №153,- С.79-91.

107. Качуровский Р.И. Об одном классе нелинейных операторных уравнений и некоторых уравнениях механики // Сиб. матем. ж.- 1971.- Т. 12, №2.- С.353-366.

108. Кильчинская Г.А. Принцип наименьшего принуждения для обобщенной термомеханики. // Докл. АН УССР.- 1977.- Сер А, №2.- С. 10921095.

109. Кириченко В.Ф. "Проекционные" условия движения термоупругого деформируемого твердого тело и их применение к теории многослойных ортотропных оболочек // Труды 18 Международн. конф. по теории оболочек и пластин.- Саратов, 1997.- Т.1.- С. 144-155.

110. Кириченко В.Ф. Математические модели связанных задач термоупругости для пологих оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1992.- Вып. 24.- С.86-91.

111. Кириченко В.Ф. О конечномерности аттрактора для диссипативнойсистемы в уточненной теории пластин // "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках": Тез. докл.- Воронеж: ВГУ, 2000.-С.109.

112. Кириченко В.Ф. О применении метода Бубнова-Галеркина к решению некоторых связанных задач термоупругости // Труды 18 Между-народн. конф. по теории оболочек и пластин.- Саратов, 1997,- Т.2.-С.8-11.

113. Кириченко В.Ф. О применении численных методов типа Канторовича-Власова и Фаэдо-Галеркина к решению краевых и начально-краевых задач теории пологих оболочек и пластин.- Дисс. . канд. физ.-мат. наук.- Казань, 1983.- 259 с.

114. Кириченко В.Ф. О существовании и единственности решения одной связанной задачи термоупругости // Теория и методы расчета нелинейных пластин и оболочек.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981.- С.69-70.

115. Кириченко В.Ф. Обобщенная диссипативность эволюционных уравнений в уточненной теории пластин // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. научн. сб.- Саратов: Изд-во СГТУ, 1999.- С.81-86.

116. Кириченко В.Ф. Разрешимость связанных задач термоупругости пологих оболочек // "Понтрягинские чтения X". Тез. докл.- Воронеж: ВГУ, 1999.-С. 124.

117. Кириченко В.Ф., Бочкарев В.В. Связанные задачи термоупругости для пологих оболочек в рамках обобщенной модели Тимошенко.- Саратов: Изд-во Сарат. гос. тех. ун-та, 1989.- 37 е.- Деп. в ВИНИТИ 17.11.89, №6939-В89.

118. Кириченко В.Ф., Коломоец A.A., Павлов С.П. Элементы теории экстремальных задач. Часть 1. Конечномерные задачи // Учебное пособие.- Саратов, 1999.- 88 с.

119. Кириченко В.Ф., Крысько В.А. К вопросу о решении нелинейных краевых задач методом Канторовича-Власова // Дифференц. уравнения.- 1980.- XVI, № 12.- С.2186-2189.

120. Кириченко В.Ф., Крысько В.А. Метод вариационных итераций в теории пластин и его обоснование // Прикл. мех. (Киев).- 1981.- XVII, № 4.- С.71-76.

121. Кириченко В.Ф., Крысько В.А. О существовании решения одной нелинейной связанной задачи термоупругости // Дифференц. уравнения.-1984,- XX, № 9.- С.1583-1588.

122. Кириченко В.Ф., Крысько В.А., Сурова Н.С. Численное исследование устойчивости многослойных оболочек по уточненным теориям.

123. Саратов: Изд-во Сарат. гос. тех. ун-та, 1995.- 22 е.- Деп. в ВИНИТИ 25.04.95, № 1149-В95.

124. Кириченко В.Ф., Крысько В.А., Хаметова H.A. О влиянии эффекта связанности полей температуры и деформаций на динамическую устойчивость пологих оболочек.- Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1986.14 е.-Деп. в ВИНИТИ 11.04.86, №2611-В86.

125. Кириченко В.Ф., Крысько В.А., Хаметова H.A. О влиянии эффекта термоупругой связанности полей температуры и деформаций на динамическую устойчивость пологих оболочек // Прикл. мех. (Киев).- 1988.-XXIV, № П.- С.46-50.

126. Кириченко В.Ф., Сурова Н.С. Устойчивость неоднородных многослойных пологих оболочек в рамках модели Тимошенко // Тез. докл. II Всесоюзн. конф. "Механика неоднородных структур", Львов, 2-4 сент. 1987.- Т.1.- Львов, 1987.- С.128-129.

127. Кириченко В.Ф., Сурова Н.С. Численные исследования устойчивости "в большом" многослойных пологих оболочек в рамках различных уточненных теорий // // Труды 18 Международн. конф. по теории оболочек и пластин.- Саратов, 1997.- Т.З.- С. 103-107.

128. Кириченко В.Ф., Титаренко В.В. Математическое моделирование. Асимптотические методы в прикладной математике // Метод, указания.- Саратов, 1999.- 40 с.

129. Кириченко В.Ф., Титаренко В.В. Математическое моделирование. Теория экстремальных задач и вариационные принципы в механике // Метод, указания.-Саратов: СГТУ, 1995.-28 с.

130. Коваленко А.Д. Основы термоупругости.- Киев: Наукова думка, 1970.- С.307.

131. Коздоба JI.A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности.- М.: Наука, 1975.- 228 с.

132. Козлов В.И. Термоупругие колебания прямоугольной пластины // Прикладная механика.- 1972.- Т.8, №4.- С.123-127.

133. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1976.- 544 с.

134. Колпаков А.Г. Асимптотическая задача термоупругости балок // Прикл. мех. и техн. физика.- 1995.- Т.36, №5.- С.135-143.

135. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела.- М.: Высш. школа, 1983.- 349 с.

136. Коляно Ю.М. Термомеханика термочувствительных тел // Мат. методы и физико-мех. поля.- Киев: Наук, думка, 1988.- Вып.27.- С.6-11.

137. Коляно Ю.М., Семерак М.М., Яворская O.A. Термомеханика. Библиограф. указат. отеч. и иностр. лит.- Львов: Львов, науч. б-ка, 1980.41.- 360 с.

138. Коляно Ю.М., Семерак М.М., Яворская O.A. Термомеханика. Библиограф. указат. отеч. и иностр. лит.- Львов: Львов, науч. б-ка, 1980.42.- 836 с.

139. Коляно Ю.М., Штер З.И. Термоупругость неоднородных сред // Инж.-физ. ж.- 1980.- Т.38, №6.- С.1111-1114.

140. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения.- М.: Наука, 1964.- 192 с.

141. Корнишин M.С., Рогалевич B.B. Об устойчивости и закритическом поведении прямоугольных пластин и цилиндрических панелей переменной толщины // Изв. вузов. Строительство и архитектура.- 1985.-№8.- С.39-43.

142. Крысько A.B. Комбинированные математические модели контактных задач для теории пластин и оболочек.- Дисс. . канд. физ.-мат. наук.- Саратов, 1995.- 266 с.

143. Крысько В.А. Бабенкова Т.В., Кириченко В.Ф., Крысько A.B. Стационарные контактные задачи теории многослойных неспаянных пластин // Мат. моделир. и краевые задачи: Тр. 7 Межвуз. конф. (Самара), 28-30 мая, 1997.- Ч.1.- 1997,- С.66-68.

144. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек." Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976.- 214 с.

145. Крысько В.А., Кириченко В.Ф., Сурова Н.С. Устойчивость ортотропных многослойных оболочек в рамках модели типа Тимошенко // Изв. вузов. Строительство и архитектура.- 1988.- № 7.- С.42-45.

146. Крысько В.А., Сопенко A.A. Динамическая устойчивость геометрически и физически нелинейных пологих оболочек при учете связанности деформации и температуры // Прикл. мех.- 1989.- Т.25, №11.- С.49-'54.

147. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С. Нелинейные задачи колебаний тонких оболочек // Прикл. мех.- 1998.- Т.34, №8.- С.3-31.

148. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Динамические задачи теории упругости и термоупругости.- В кн.: Современные проблемы математики.-М.: Наука, 1976,-664 с.

149. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Граничные задачи термоупругости // Дифференц. уравнения.- 1969.- Т.5, №1.- С.3-43.

150. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.- М.: Наука, 1976.- 664 с.

151. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена.- Новосибирск: Наука, Сиб. отдел. АН СССР, 1970.- 659 с.

152. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики.- М.: Наука, 1973.-408 с.

153. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.- М.: Наука, 1970.- 288 с.

154. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева И.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, 1967.736 с.

155. Лебедев Л.П. О разрешимости нелинейных задач статики упругих пологих оболочек // Докл. акад. наук.- 1998.- Т.363, №4,- С.486-488.

156. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир, 1972.- 587 с.

157. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложение.- М.: Мир, 1971.- 371 с.

158. Лурье С.А., Шумова Н.М. Кинематические модели уточненных теорий композитных балок, пластин и оболочек // Мех. композ. матер.-1998.- Т.32, №5.- С.612-624.

159. Лыков A.B. Теория теплопроводности.- М.: Высшая школа, 1967.599 с.

160. Ляшко А.Д. Разностные схемы для задач о малых прогибах кольцевидных пластин // Числ. методы механ. сплошной среды.- Новосибирск: ВЦСО АН СССР, 1973.-Т.4, №2,-С.116-131.

161. Ляшко А.Д. Разностные схемы для задачи об изгибе тонких пластин // Числ. методы механ. сплошной среды.- Новосибирск: ВЦСО АН СССР, 1973.- Т.4, №1.- С.71-83.

162. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Нелинейные задачи теории теории фильтрации, упругости и пластичности и их сеточные аппроксимации // Вариационно-разностные методы в матем. физ. м.: ОВМ АН СССР, 1984.- С.160-171.

163. Михайловская И.Б., Новик О.Б. Задача Коши в классе растущих функций для негиперболической эволюционной системы уравнений не являющейся параболической // Сиб. мат. ж.- 1980.- Т.21, №4.- С.228-229.

164. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1983.- 424 с.

165. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука, 1970.- 512 с.

166. Мокрик Ф.И., Пырьев Ю.А. Динамические свойства решения задач термоупругости //Докл. АН УССР.- 1980.- Сер.А, №4.- С.44-47.

167. Мокрик Ф.И., Пырьев Ю.А. Свойства решений динамических задач обобщенной связанной термоупругости // Прикл. мат. и мех.- 1981.-Т.45, №5,- С. 912-918.

168. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости.- Л.: Изд-во Ленинград, унив-та, 1978.- 182 с.

169. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин // Докл. АН

170. СССР.-1957.- Т.114, №5.- С.968-971.

171. Морозов Н.Ф. Нелинейные задачи теории тонких пластин // Вестник

172. Ленингр. ун-та,- 1958.- № 19, вып.4.- С.100-124.

173. Морозов Н.Ф. О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращения // Докл. АН СССР.- 1967.- Т.176, №3.- С. 522-525.

174. Морозов Н.Ф. Существование гладкого решения задачи о нелинейных колебаниях тонкой пластины // ЖВМ и МФ.- 1966,- Т.6, №4.-С.773-776.

175. Мотовиловец И.А., Козлов В.И. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.1. Термоупругость.- Киев: Наук, думка, 1987.264 с.

176. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости,- М.: Изд-во АН СССР, 1954.- 648 с.

177. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек,- Казань: Таткнигоиздат, 1957.- 432 с.

178. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник.- М.: Машиностроение, 1981.- 216 с.

179. Немировский Ю.В. Равнопрочные слоистые и однородные оболочки и пластины // Тр. XVII Межд. конф. по теор. оболочек и пластин, Казань, 15-20 сентября, 1995.- Казань: Казанский госуд. ун-т, 1996,- С.65-70.

180. Немировский Ю.В., Самсонов В.И., Шульгин A.B. Динамическая термоустойчивость композитных оболочек слоистой структуры / Прикл. мех. и техн. физика.- 1995.- Т. 36, №5.- С. 164-172.

181. Новацкий А. Связанные поля в механике твердых тел.- А кн.: Тр. 14-го междунар. конгресса У1ТАМ, Делфт, 30 авг.- 4 сент., 1976.- М., 1979.- С.395-416.

182. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости.- М.: Мир, 1970,256 с.

183. Новацкий В. Проблемы термоупругости // МесИашка 1еоге1усгпа { 8Ю50\¥апа.- 1982.- Т.20, №1-2.- С.5-17.

184. Новацкий В. Теория упругости,- М.: Мир, 1975.- 872 с.

185. Новик О.Б. Задача Коши для системы уравнений в частных производных, содержащей гиперболический и параболический операторы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1969.- Т9, №1.- С. 122-136.

186. Новожилов В.В. Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек.- Л.: Политехника, 1991.- 656 с.

187. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов.- М.: Машиностроение, 1986.- 536 с.

188. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.-М.: Мир, 1977.- 383 с.201.0гибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек.- М.: Изд-во Московского ун-та, 1968.- 520 с.

189. Паймушин В.Н. Обобщенный вариационный принцип Рейсснера в нелинейной механике пространственных составных тел с приложениями к теории многослойных оболочек // Изв. АН МТТ.- 1987.- №2.-С.171-180.

190. Паймушин В.Н., Луканкин С.А. Нелинейная теория многослойных оболочек с жесткими несущими слоями и трансверально мягкими заполнителями переменой толщины // Прикл. пробл. проч. и пластич.-1997.- №56.- С.75-94.

191. Паймушин В.Н., Луканкин С.А., Булашов Д.А. Уточненная теория устойчивости многослойных оболочек с трансверсально-мягкими заполнителями переменной толщины // Механика оболочек и пластин:

192. Сб. докл. XIX Международн. конф. по теории оболочек и пластин, Нижний Новгород, 28-30 сент. 1999.- Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1999.- С.154-160.

193. Пантелеев А.Д., Медведев Н.Г. О разрешимости линейных краевых задач теории трехслойных оболочек // Мат. моделир. нестационар, процессов.- Алма-Ата, 1982.- С.46-51.

194. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин.- Л.: Судостроение, 1987.- 316 с.

195. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений,- М.: Наука, 1964.- 272 с.

196. Пикуль В.В. К проблеме построения физически корректной теории оболочек // Изв. АН МТТ.- 1992.- №3.- С.18-25.

197. Пикуль В.В. К проблеме приведения уравнений теории упругости к двумерным уравнениям механики оболочке // Изв. АН МТТ.- 1999.-№1.- С. 144-152.

198. Пикуль В.В. Прикладная механика деформируемого твердого тела.-М.: Наука, 1989.- 221 с.

199. Пикуль В.В. Физически корректные модели материала упругих оболочек // Изв. АН МТТ.- 1995.- №2.- С.103-108.

200. Пискунов В.Г., Вериженко В.Е., Присяжнюк В.К. и др. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов. Монография.- Киев: Изд-во при Киев, ун-те ИО "Вища школа", 1987,200 с.

201. Пискунов В.Г., Вериженко В.Е. Линейные и нелинейные задачи расчета слоистых конструкций.- Киев: Буд1вельник, 1986.- 176 с.

202. Пискунов В.Г., Рассказов A.A. Сдвиговая теория второго приближения для многослойных пологих оболочек и пластин // Мех. композиционных материалов.- 1998,- Т.34, №3.- С.363-370.

203. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Сб.: Упругость и неупругость.- М.: Изд-во МГУ, 1973,- Вып.З.- С.95-173.

204. Победря Б.Е. О связанных задачах механики сплошной среды // Сб: Упругость и неупругость.- М.: Изд-во МГУ, 1971.- Вып.2.- С.224-253.

205. Победря Б.Е. Связанные задачи термовязкоупргости // Механика полимеров.-1969.- Т.9, №1.- С.415-421.

206. Победря Б.Е. Численные методы в теории вязкоупругости // Механика полимеров.- 1973.- №3.- С.417-428.

207. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.- 344 с.

208. Победря Б.Е. Численный метод решения связанных задач термовяз-коупругости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1974.- №3.-С.88-93.

209. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика.- Киев: Наукова думка, 1976.- 312 с.

210. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры.- М.: Наука, 1984.- 368 с.

211. Подстригач Я.С., Чернуха Ю.А. Об уравнениях теплопроводности для тонкостенных элементов конструкций // В кн.: Теория пластин и оболочек. Тр. IX Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1975.- С.82-85.

212. Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек.- Киев: Наукова думка, 1978.- 344 с.

213. Рассказов А.О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек // Прикл. мех.- 1976.- Т.12, №11.- С.50-56.

214. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга H.A. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек.- Киев: Вища школа, 1986,191 с.

215. Рассказов O.A. Уточненная теория изгиба многослойных пологих оболочек с ортотропными слоями // Расчет пространственных строительных конструкций.- Куйбышев: Изд-во КуИСИ, 1976.- С.73-89.

216. Рогачева H.H. Свободные термоупругие оболочки // Прикл. мат. и мех.- 1980.- Т.44, №3.- С.516-522.

217. Родионова В.А. Теория тонких анизотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия,- JL: Ленинградский ун-т, 1983,- 116 с.

218. Сайтов И.Х. Многослойные оболочки со слоями сложной геометрии и метод их согласованной параметризации II Тр. XVII Межд. конф. по теор. оболочек и пластин, Казань, 15-20 сентября, 1995.- Казань: Казанский госуд. ун-т, 1996.- С.98-102.

219. Седенко В.И. Единственность обобщенного решения начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Докл. акад. наук.- 1991.- Т.316, №6.- С.1319-1322.

220. Седенко В.И. Классическая разрешимость начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Докл. акад. наук.-1993.- Т.331, №3.- С.283-285.

221. Седенко В.И. Существование в целом по времени классических решений начально-краевой задачи для уравнений Маргера-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Докл. акад. наук,-1995.- Т.340, №6.- С.745-747.

222. Седенко В.И. Теорема единственности обобщенного решения начально-краевой задачи нелинейной теории колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений / Изв. АН МТТ.-1991.- №6.- С. 142-150.

223. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред//Успехи мат. наук.- 1965.- Т.20, вып.5.- С. 121-180.

224. Седов Л.И. Механика сплошной среды.- М.: Наука, 1976,- Т.1.- 536 с.

225. Седов Л.И. Механика сплошной среды.- М.: Наука, 1976.- Т.2.- 576 с.

226. Седов Л.И., Цыпкин А.Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма.- М.: Наука, 1989.- 272 с.

227. Сипетов B.C. Слоистые анизотропные пологие оболочки и пластины при термотепловых воздействиях.-Дисс.докт. техн. наук.- Киев, 1990.-415. с.

228. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка.- Киев: Наукова думка, 1973.- 220 с.

229. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- М.: Наука, 1988.- 336 с.

230. Смирнова М.Н., Михайловская И.Б., Новик О.Б. О математическом описании волновых явлений в диссипативных средах // Изв. вузов. Геол. и разведка.- 1977.- №8.- С.128-133.

231. Столяров H.H., Рябов A.A. Устойчивость и закритическое поведение прямоугольных пластин переменной толщины // Исслед. по теории оболочек. Тр. семинара.- 1982.- Вып.15.- С.135-145.

232. Срубщик Л.С. Выпучивание и послекритическое поведение оболочек.- Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского ун-та, 1981.- 96 с.

233. Сурова Н.С. Математическое моделирование многослойных орто-тропных пологих оболочек.- Дисс. . канд. физ.-мат. наук.- Саратов, 1999.- 142 с.

234. Сьярле Ф. Математическая теория упругости.- М.: Мир, 1992.- 472 с.

235. Сьярле Ф., Рабье П. Уравнение Кармана.- М.: Мир, 1983.- 172 с.

236. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный эксперимент." М.: Мир, 1984.- 408 с.

237. Терегулов И.Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности.- М.: Высшая школа, 1984.- 472 с.

238. Тимергалиев С.Н. Доказательство разрешимости одной задачи нелинейной теории пологих оболочек // Изв. вузов. Математика.- 1996.-№9(412).-С.60-70.

239. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы.- М.: Наука, 1995.- 320 с.

240. Толмачев В.В., Головин A.M., Потапов B.C. Термодинамика и электродинамика сплошной среды.- М.: Изд-во МГУ, 1988.- 232 с.

241. Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1980.- 496 с.

242. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости.- М.: Мир, 1974.- 160 с.

243. Флячок В.М. Вариационная теорема динамической взаимосвязанной задачи термоупругости анизотропных оболочек // Докл. АН УССР.-1978,- Сер. А, №7.- С.628-631.

244. Харрик И.Ю. О приближении функций, обращающихся в нуль на границе области, функциями особого вида // Матем. сб.- 1955.- Т.37, №2.- С.353-384.

245. Харрик И.Ю. О приближении функций, обращающихся на границе области в нуль вместе с частными производными, функциями особого вида // Сиб. матем. ж.- 1963.- Т.4, №2.- С.408-425.

246. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций.- М.: Мир, 1988.- 428 с.

247. Хома И.Ю. О разрешимости граничных задач обобщенной теории оболочек / Прикл. мех.- 1982.- Т. 18, №8.- С.78-84.

248. Хома И.Ю. Уравнение обобщенной теории оболочек с начальным напряжением // Прикл. мех.- Киев, 1996.- Т.32, №11.- С.64-70.

249. Хорошун Л.П., Козлов C.B., Иванов Ю.А., Кошевой И.К. Обобщенная теория неоднородных по толщине пластин и оболочек.- Киев: Наук, думка, 1988.- 152 с.

250. Швец Р.Н. Взаимосвязанная задача термоупругости для тонкой пластины // Прикладная механика.- 1965.- Т.1, №3.- С. 107-116.

251. Швец Р.Н., Лопатьев A.A. Об особенностях динамических процессов, протекающих в деформируемых твердых телах, при учете конечной скорости распространения тепла // Инж.-физ. ж.- 1978.- Т.35, №4.-С.705-712.

252. Швец Р.Н., Лунь Е.И. Некоторые вопросы теории термоупругости ортотропных оболочек с учетом инерции поворота и поперечного сдвига // Прикладная механика.-1971.- Т.7, №10.- С.121-125.

253. Швец Р.Н., Флячок В.М. некоторые теоремы термоупругости анизотропных оболочек // Докл. АН УССР.- 1977.- Сер. А, №6.- С.526-530.

254. Шереметьев М.П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж. журн.- 1964.- Т.4, №3.- С.504-510.

255. Энегельбрехт Ю.К., Нигул У.Н. Нелинейные волны деформации.-М.: Наука, 1981.- 256 с.

256. Якупов Н.М., Хисамов Р.З. Моделирование сложных оболочечных систем // // Механика оболочек и пластин: Сб. докл. XIX Международн. конф. по теории оболочек и пластин, Нижний Новгород, 28-30 сент. 1999.- Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1999.- С.203-205.

257. Научно-производственный центр "АЛМАЗ-ФАЗОТРОН"1

258. Заместитель Генерального директора по науке,кандидат технических наук,

259. Цауреат Государственной премии СССР1. Э.В. Мичуринотдела надежности и испытаний,-:1ш$щат физико-математических наук1. Н. М. Обычев