Задачи динамики и устойчивости оболочек вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Черняев Степан Петрович

ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики матема-тико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного уни-

верситета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Товстик Петр Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Мальков Вениамин Михайлович доктор технических наук Господариков Александр Петрович

Ведущая организация:

Саратовский государственный университет

ционного совета Д 212.232 30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198505, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский проспект, 28, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета

С диссертацией можно ознакомился в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу. Университетская набережная, 7/9

Автореферат разослан " " 2006 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212 232.30 доктор физико-математических наук,

профессор С.А.Зегжда

Защита состоится

2006 г. в $

часов на заседании диссерта-

¿РОСА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Оболочечные конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью и поэтому находят широкое применение во многих отраслях промышленности, например в судо- и авиастроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость. Однако в большинстве случаев простой расчет на устойчивость дает значительно большие величины критических нагрузок, чем способна вынести конструкция на самом деле. Причины данного явления кроются в несовершенствах формы, материала или закрепления оболочки или самой нагрузки. В настоящее время расчет на устойчивость произвольной системы одним из численных методов не представляет принципиальных трудностей. Однако аналитические результаты дают качественное понимание вопроса и помогают корректно формулировать задачи при численном моделировании, а также контролировать результаты. С другой стороны, учет неправильностей при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции.

Цель работы. Оценка влияния несовершенств формы и наличия упругого заполнителя на устойчивость оболочек, сравнение разных видов потери устойчивости, построение модели свободных колебаний колокола на основе теории тонких оболочек, разработка алгоритма подбора частот колокола по заданному набору частот.

Методы исследования. Во всех главах настоящей работы используются те или иные асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины оболочки. Для проверки асимптотических результатов применяются различные численные методы, в том числе метод конечных элементов.

Во второй главе обобщены формулы Койтера, Амазиго, Будянски и Тов-стика для оценки чувствительности критической иагрузки к несовершенствам формы. Использованы результы Григолюка, Кабанова и Ширшова, касающиеся локальной устойчивости оболочек.

Для решения задачи об устойчивости оболочек вращения вблизи края использованы уравнения Валишвили, Товстика осесимметричной деформации оболочек вращения при больших поворотах нормали.

В четвертой главе, следуя Амазиго и Будянски, при исследовании чувствительности оболочек к циклическим неосесимметричным неправильно-

рос. национальная 3 библиотека

С.-Петербург ОЭ 200&.КТ /|<] Л

стям рассматриваются неправильности, по форме совпадающие с формой потери устойчивости идеальной оболочки. Полученные результаты продолжают работы Лоренца, Тимошенко, Арбоша (АгЬосг), Бушнелла (ВивЬпеП), Тенга (Тег^), Товстика.

Для решения задач устойчивости используется система уравнений Муш-тари—Доннела— Власова (во 2 и 4 главах).

При исследовании влияния краев на устойчивость оболочек используется обобщение модели Винклера упругого основания, разработанное в книге Гулина, Ильгамова и Иванова.

Для построения математической модели колебания колоколов использованы фундаментальные результаты по динамике тонких упругих оболочек, представленные в работах Лява, Гольденвейзера, Лидского, Товстика, Пове-руса, Нигула, Алумяэ, Срубщика, Болотина и Асланяна.

Результаты, выносимые на защиту.

• Получены асимптотические формулы, описывающие влияние осесиммет-ричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении.

• Проведено сравнение двух видов потери устойчивости оболочек вращения при осевом сжатии и найдены условия, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости.

• Исследована задача о нелинейном деформировании тонких оболочек с учетом несовершенств формы. Получены асимптотические формулы, описывающие чувствительность критической нагрузки к циклическим неосесим-метричным несовершенствам.

• Изучен вопрос о влиянии краев на устойчивости оболочек с упругим наполнителем.

• На основе двумерной теории оболочек построена математическая модель колебаний колокола. Проведено сравнение с экспериментальными данными.

• Построен алгоритм подбора формы колокола по заданному набору частот.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть иснользо-ватты при расчетах на устойчивость широкого класса оболочечттых конструкций. Особую ценность представляют результаты, связанные с оценкой влияния несовершенств формы оболочек, из-за трудностей численного моделирования таких задач.

Построенная математическая модель колебаний колокола может быть использована для частотного анализа колокольного звона. Алгоритм подбора

формы колокола по заданному звучанию напрямую отвечает актуальной сейчас проблеме воссоздания звучания старых русских колоколов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XX международной конференции по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 2002), XXXII International Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics"(Репино, 2004), Третьей конференции молодых ученых научной школы академика В.В. Новожилова (Санкт-Петербург, 2004), объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды"(Computer Methods in Continuum Mechanics).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, включая одну публикацию в зарубежном журнале. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения (глава 1) и двух частей, посвященных устойчивости (главы 2-5) и колебаниям (главы 6,7) упругих оболочек вращения. Все рассмотренные вопросы объединены использованием асимптотических методов.

Общий объем диссертации составляет 77 страниц, включая 15 рисунков, 4 таблицы и 11 страниц библиографии, содержащей 116 наименований.

В первой главе (введении) содержится краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулирована цель работы, перечислены результаты, выносимые на защиту, а также кратко описывается содержание последующих глав.

Во второй главе рассматривается влияние осесимметричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении. Для цилиндрической оболочки при осевом сжатии имеет место классическая формула Койтера

где Р и Р^ критические нагрузки для оболочки с несовершенствами и для идеальной оболочки, £о — глубина неправильности, а коэффициент /3 зависит от формы вмятины.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

Известна также формула, являющая обобщением формулы Койтера (1) на случай осесимметрично загруженных оболочек вращения. Как оказалось, в случае локализованных осесимметричных вмятин чувствительность оболочки к несовершенствам существенно зависит от соотношения между главными кривизнами оболочки вращения и начальными безмоментными усилиями. При равенстве отношения кривизн и отношения усилий (такие параметры назовем особыми) чувствительность оболочки к несовершенствам является наибольшей и описывается формулой (1). Кроме цилиндрической оболочки ири осевом сжатии этому равенству удовлетворяет, например, сферическая оболочка при равномерттом внешнем давлении. В остальных же случаях, когда упомянутое равенство не выполнено, чувствительность к несовершенствам оказывается существенно меньшей. Исследуются задачи, в которых параметры близки к особым, и прослеживается уменьшение чувствительности к несовершенствам по мере удаления параметров задачи от особых.

Для решения задачи бифуркации использовалась система уравнений Муш-тари—Доннела- Власова. После разделения переменных и замораживания коэффициентов, вносящего асиптотически малую погрешность, указанная система уравнений имеет лишь два существенно неременных коэффициента: изменение кривизны образующей при докритической деформации и дополнительное окружное усилие.

С использованием преобразования Фурье и теоремы о вычетах была выведена более общая асимптотическая формула для оценки чувствительности оболочек к несовершенствам

3/2 = 3(1-Е)у^|Г(1)1 , .

4сР[1 + сРк1 + ш^р:2(сР-1)У где е — 1 — Л характеризует отклонение параметра критической нагрузки от классического значения А = 1, множитель |£*(1)| зависит только от формы неправильности, а к\ это кривизна оболочки в направлении образующей. Остальные параметры в этом уравнении выражаются через к\. В особом случае, когда отношения кривизн оболочки равно отношению докритических усилий в ней, параметр <1 — 1, и формула (2) переходит в формулу

3/2 _ ЗАу^|Г(1)|

£ - 4(1 +Ах) ' (3)

которая, в свою очередь, является обобщением формулы Койтера (1) для цилиндрических оболочек на случай к\ > 0.

Для сравнения система уравнений устойчивости была проинтегрирована численно.

Рис. 1: Зависимость параметра чувствительности 6 от к\ и а.

На рис. 1 представлено сравнение численных и асимптотических результатов для четырех значений безразмерной кривизны образующей: fci = О (цилиндрическая или коническая оболочка), fei = 0.2, fei = 0.6 и fei = 1.0 (сферическая оболочка). Здесь через а обозначена разница между отношени-еми главных кривизн оболочки и докритических усилий, то есть величина, характеризующая близость параметров к особым (а = 0). Показан параметр чувствительности к несовершенствам S, определяемый из соотношения А = Xq-S, где Ао — параметр критической нагрузки для идеальной оболочки.

^ _ Г е при а > 0

\ е + ki/ti — 1 при а < 0, Сплошные линии соответствуют численным результатам, а пунктирные — асимптотической формуле (2). При fei > 0 отмечаем хорошее согласие асимптотических и численных результатов, причем параметр чувствительности принимает наибольшее значение при выполнении условия fei = ti-

При fei = 0 согласование асимптотических и численных результатов существенно хуже, поэтому штриховой линией представлены результаты, найденные по немного измененной формуле, где удержаны некоторые асимптотически малые члены.

Рис. 2: Оболочка вращения.

Полученная формула (2) неприменима в области к\ = 0, а < 0. Этот случай требует дополнительного исследования.

Приведенные результаты опубликованы в [1].

В третьей главе сравниваются два вида потери устойчивости оболочек вращения при осевом сжатии.

Оболочки вращения, имеющие на краю угол конусности •у = (¡(з?), отличный от прямого (см. рис. 2), предрасположены к потере устойчивости вблизи этого края в случае его слабого закрепления. Под слабыми закреплениями понимаются такие виды оиирания, при которых край может свободно перемещаться в радиальном направлении. Деформированное состояние в этом случае характеризуются тем, что перемещения точек оболочки затухают при удалении от края. При этом с увеличением полной вертикальной деформации оболочки нагрузка растет до некоторой пределт.пой величины, которую мы обозначим Роа, а потом падает. Это осесимметричная потеря устойчивости. Но критическая нагрузка иногда оказывается меньше, чем Р08. В этом случае бифуркация в неосесимметричную форму предшествует осесимметричной потере устойчивости. Образуется множество мелких вмятин по окружности. В настоящей главе исследуется, при каких условиях бифуркация в неосесимметричную форму предшествует предельной нагрузке.

Для решеттия задачи о бифуркации осесимметричного напряженного состояния в неосесимметричное не удается воспользоваться системой уравнений устойчивости Муштари—Доннела—Власова, поскольку эта система получена в предположении, что ожидаемая форма потери устойчивости имеет большое число волн по окружности. Если по ней рассчитывать критические нагрузки для различного числа волн, то окажется, что ратп.ттте всего происходит бифуркация в форму с одной - двумя волнами, что противоречит допущению. Кроме того, при рассмотрении осесимметричной потери устойчивости при-

ходится исследовать деформированные состояния, у которых угол поворота нормали в направлении образующей не является асимптотически малым. При выводе же упомянутой системы это допущение было сделано. Поэтому для решения поставленной задачи была получена универсальная система уравнений устойчивости, позволяющая рассчитывать формы потери устойчивости с малым числом волн по окружности и пригодная при конечных углах поворота:

Система (4) линейна и вместе с формулами, связывающими деформации с перемещениями и соотношениями упругости является замкнутой относительно основных неизвестных. Все величины, не отмеченные ноликом, являются бесконечно малыми. Дополнительные неизвестные, входящие в систему, выражаются через основные.

Система получена путем варьирования функционала энергии деформации с учетом различия трех состояний оболочки: недеформированное, осесиммет-рично деформированное и неосесимметричное после потери устойчивости.

Численные результаты, представленные на рис. 3, показывают, при каких значениях параметров тот или иной вид потери устойчивости имеет место раньше другого. По оси абсцисс отложен угол наклона образующей (утл конусности). По оси ординат — безразмерная толщина, отнесенная к радиусу нижнего основании на рис. 2. Кривая 1 соответствует случаю контакта двух сопряженных конических оболочек, кривая 2 — случаю свободно скользящего края. Оказалось, что при обоих видах опирапия область параметров делится почти прямой линией на две части: при большой толщине и малом угле конусности имеет место осесимметричная потеря устойчивости, а при малой толщине и для оболочек, близким к цилиндрическим, бифуркация в неосесимметричное положение равновесия предшествует осесиммстричной потере

91

Дх

Г, град

Рис. 3' Сравнение двух видов потери устойчивости.

устойчивости. Кроме того, оболочка со свободно опертым краем менее расположена к бифуркации по сравнению с двумя сопряженными оболочками.

15° 30° 45° 60° 75°

0,0150 - - - - 6 0,6687 0,6767

0,0125 - - 6 0,4238 0,4324 7 0,6425 0,6740

0,0100 - - 5 0,2410 0,2431 6 0,3945 0,4311 7 0,6025 0,6713

0,0075 6 0,2159 0,2427 7 0,3571 0,4299 8 0,5559 0,6689

0,0050 - 6 0,0945 0,1079 8 0,1900 0,2423 9 0,3175 0,4285 9 0,5012 0,6662

0,0025 6 0,0235 0,0270 8 0,0771 0,1079 10 0,1549 0,2418

Таб. 1. Критические нагрузки для свободно опертого края.

В таблице 1 приведены результаты расчетов для свободно скользящего края. В каждой клетке сначала идет число волн формы, по которой оболочка может по терять устойчивость при наименьшей нагрузке. Далее следует соответствующая нагрузка. Внизу же записана критическая нагрузка, отвечающая осесимметричной потере устойчивости. Аналогичные результатты полу-

чены для оболочки с краем, условия на котором соответствуют случаю двух сопряженных конических оболочек.

Таким образом оказалось, бифуркация предшествует выворачиванию лишь для достаточно тонких оболочек или для оболочек, близких к цилиндрическим. Количество волн растет с увеличением угла и с уменьшением толщины. Для пологих толстых оболочек более характерна осесимметричная форма потери устойчивости. Точки, соответствующие наборам параметров, при которых обе формы потери устойчивости происходят одновременно, лежат примерно на одной прямой и характеризуются наименьшим числом волн (5 - 6). Левее и выше этой прямой в плоскости параметров точек бифуркации вообще не наблюдается. При осесиммстричной потере устойчивости с ростом полного вертикального прогиба нагрузка достигает своего максимума, а затем стремительно падает. Возможно, в этой зоне закрити ческой деформации нагрузка оказывается недостаточной для возникновения бифуркации.

При угле конусности большем, чем 90 градусов (то есть когда слабо закреплен верхний край на рис. 2), точек бифуркации также отыскать не удалось. Такие оболочки теряют устойчивость только по осесимметричной форме.

Результаты этой главы опубликованы в [3,4].

Четвертая глава посвящена исследованию влияния регулярных циклически симметричных несовершенств формы срединной поверхности (вмятин) на устойчивость осесимметричного безмоментного равновесия тонкой упругой оболочки вращения. С использованием метода возмущений рассмотрен ряд частных задач, в которых форма вмятины совпадает (или связана) с формой потери устойчивости идеальной оболочки. Получены приближенные формулы для параметра чувствительности к несовершенствам.

На рис. 4 представлены зависимости критических нагрузок для идеальных и неидеальных цилиндрических оболочек различной длины при внешнем давлении. По оси ординат откладывается параметр нагружения Л» умноженный на длину и поделенный на малый параметр с тем, чтобы эта величина была одинаковой для оболочек различной длины. По оси абсцисс откладывается толщина оболочки, отнесенная к радиусу. Кривая 1 соответствует критической нагрузке идеальной оболочки Ао. Остальные кривые соответствуют неидеальным оболочкам различной длины. Амплитуда неправильности равна толщине оболочки.

Решена также задача о влиянии несовершенств формы на устойчивость оболочек вращения при комбинированном нагружении в особом случае.

Для цилиндрической оболочки при внешнем давлении характерна срав-

5 5-

5 4-

53-

5.2

5 1-

Ш

5 О

ООО 0.01 0.02 0.03 0 04 0 05

Рис. 4: Критические нагрузки для оболочек различной дайны

пительно слабая зависимость критической нагрузки от амплитуды вмятины. Параметр чувствительности убывает вместе с относительной толщиной обо-

Для оболочки вращения в особом случае, наоборот, чувствительность к несовершенствам весьма значительна. Параметр чувствительности не зависит от относительной толщины оболочки и убывает вместе с ао как а^3 в общем случае и как о^2 когда форма потери устойчивости имеет одну полуволну в направлении образующей. Отметим, что эти оценки согласуются с результатами, полученными в работах Койтера. Сравнение с результатами главы 2 показывает, что в особом случае чувствительность к локализованным осесимметричным несовершенствам также является наибольшей.

Результаты, представленные в этой главе, опубликованы в работе [6].

В пятой главе рассматривается вопрос об устойчивости тонкой пластины, лежащей на упругом основании. Исследовано влияние краев на устойчивость пластины. Показано, что формы потери устойчивости локализуются вблизи края пластины, поскольку жесткость основания вблизи края ниже, чем вдали от него.

До сих пор большинство моделей упругого основания являлось локальными, то есть были применимы только в достаточно удаленных от краев областях оболочки. Однако ясно, что при любом закреплении края оболочки, упругое основание существенно меняет свои свойства вблизи краев. Исследованию этого вопроса и посвящена пятая глава.

^ШШШШМШШШ^

р

о

ь

р

х

Рис. 5: Пластина под действием боковой сжимающей силы и форма потери устойчивости, локализованная в окрестности края.

Рассмотрена бесконечная в одном направлении тонкая упругая пластинка (двумерная задача, см. рис. 5) с шарнирно закрепленными краями, нагруженная боковой сжимающей силой. Упругое основание предполагалось бесконечно глубоким, а его воздействие на пластину подчиняющимся модели, предложенной Ильгамовым, Ивановым и Гулиным, в которой сила взаимодействия пластинки и заполнителя пропорциональна пормальному смещению точек пластинки с коэффициентом пропорциональности а = +

зависящим от физических характеристик упругого основания — модуль упругости основания, а — зависит только от коэффициента Пуассона основания) и формы волнообразования и — волновые числа формы потери устойчивости). Заметим, что эта модель, равно как и модель Випклера, вблизи краев становится неприменимой.

Была получена аналитическая формула для нахождения критической на-1рузки и соответствующей формы потери устойчивости и проведены численные эксперименты по методу конечных элементов. Оказалось, что при очень мягком основании, когда отношение модулей упругости пластинки и основания Е/Ео = 2 • 106, погрешность в определении соответствующих нагрузок при помощи численного эксперимента не превышает 2%, а формы потери устойчивости такие же, как для пластины без упругого основания.

Для жесткого основания (Е/Е$ — 2-103) форма потери устойчивости локализуется вблизи краев пластины (см. рис. 5). Вследствие этого, критическая нагрузка сильно отличается от своего теоретического значения. Погрешность достигает 10%. Такая локализация форм потери устойчивости связана с тем, что вблизи краев боковая граница упругого заполнителя может свободно перемещаться. Следствием этого является то, что жесткость основания вблизи краев ниже, чем в центре. Чтобы избежать этого, рассмотрена немного усовершенствованная модель, в которой упругое основание простирается за пределы пластины. Эта модель гораздо лучше соответствует теоретическим формулам (погрешность не более 4%), однако при достаточно жестком основании эффект локализации форм потери устойчивости вблизи краев остается.

Результаты этой главы опубликованы в [7].

В шестой главе построена математическая модель свободных колебаний колокола. Колокол моделируется оболочкой вращения переменной толщины, которая в верхней части жестко прикреплена к осесимметричному твердому телу. Используется двухмерная модель теории оболочек типа Кирхгофа-Лява, при которой пормальные до деформации к срединной поверхности волокна после деформации остаются прямолинейными и нормальными к ней. Для повышения точности аппроксимации учитывается инерция вращения поперечных волокон. Рассматриваются малые свободные колебания.

Для различных форм колебаний (вертикальные, крутильные, с различным числом волп в окружном направлении) записаны граничные условия. Кроме того, оиисан алгоритм вычисления частот и форм собственных колебаний.

Построенная модель и соответствующий вычислительный алгоритм обладают (но сравнению с методом конечных элементом) высоким быстродействием, что позволяет, изменяя форму колокола, добиваться желаемого тембра его звучания.

В седьмой главе предложен алгоритм решения обратной задачи выбора геометрической формы колокола по заданному набору первых собственных частот колебаний. Алгоритм использует многократное решение прямой задачи нахождения частот колокола по геометрической форме, описанный в шестой главе. Рассмотрен пример использования алгоритма для построения формы колокола с заданным соотношением первых шести частот. Кроме того проведено сравнение численных результатов, полученных с использованием построенной в шестой главе математической модели, с экспериментально данными.

В последние годы появилась потребность проектировать колокола с заранее заданным соотношением тонов. В работах голландских авторов Lehr, Maas, Schoofe, Asperen эта задача была решена для одного частного случая: спроектирован колокол с мажорной настройкой. Его отличие от традиционной голландской настройки заключается в том, что интервал между второй и третьей частотами равен не малой (минорной) терции, а большой (мажорной). Предложенный метод является более общим и позволяет подбирать колокола с произвольным соотношением частот.

Результаты последних двух глав опубликованы в [2,5,8].

Публикации по теме диссертации

[1] Товстик IIE, Черняев С.П Влияние осесиммегричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении// Вестн. С. Петерб ун^га — Сер. матем., механ., астрон. — 2002. — Вын. 1 (N 1)

[2] Зегжда С.А., Товстик П Е., Черняев С.П. Математическая модель колебаний колокола^/ Вестн. С -Петерб. ун-та — Сер матем., механ , астрон.

- 2002. - Вын. 3 (N 17).

[3] Товсгик П.Е , Черняев С П Устойчивость оболочек вращения при осевом сжатии// Вестн С.-Петерб. ун-та — Сер. матем., механ., астрон — 2003

- Вып 1 (N 5).

[4] Черняев С П Сравнение двух видов потери устойчивости оболочек вращения при осевом сжатии// Вестн. С -Петерб. ун-та — Сер матем., механ., астрон - 2003 - Вып 2 - С. 104-110.

[5] Aldoshma I , Pychkov S., Matcievski I., Nikanorov A , Tovstik P , Chernjaev S The analysis of peculiarities of Russian bells acoustic parameters// Audio Engineering Society Amsterdam. — 2003. — Convention Paper 5794 (Presented at the 114 Convention).

[6] Товстик П.Е., Черняев С П Нелинейное деформирование гонких оболочек с учетом несовершенств формы срединной поверхности// Вестн С Петерб. ун-та — Сер. матем., механ , астрон — 2004. — Вып 3 - С 88-95.

[7] Черняев СП Влияние краев на устойчивость пластины, лежащей на упругом основании// Вестн С.-Петерб. ун-та — Сер матем., механ., астрон

- 2005. - Вып 2. - С. 144-148.

[8] Черняев С П Подбор геометрической формы колокола по заданному звучанию// Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды" 2004-2005 гг. / Под ред А Л.Смирнова, Е.Ф Жигалко - СПб.. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005 - С. 19- 25.

11 0487 ^^

>10 4 й у

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 25.04.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 70 экз., Заказ № 308/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

1 Введение

1.1 Актуальность темы.

1.2 Цель работы.

1.3 Методы исследования.

1.4 Результаты, выносимые на защиту

1.5 Практическая ценность.

1.0 Апробация работы.

1.7 Публикации.

1.8 Структура и объем диссертации.

1.9 Обзор литературы.

2 Влияние осесимметричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении

2.1 Введение

2.2 Постановка задачи.

2.3 Классификация форм потери устойчивости идеальной оболочки

2.4 Интегрирование уравнений устойчивости.

2.5 Сравнение с численными результатами.

3 Сравнение двух видов потери устойчивости оболочек вращения при осевом сжатии.

3.1 Введение

3.2 Осесимметричная потеря устойчивости.

3.3 Бифуркация в неосесимметричное равновесие.

3.4 Вывод системы уравнений устойчивости.

3.5 Численное интегрирование.

3.0 Результаты.

4 Нелинейное деформирование тонких оболочек с учетом несовершенств формы срединной поверхности.

4.1 Введение

4.2 Алгоритм решения.

4.3 Круговая цилиндрическая оболочка при равномерном внешнем давлении

4.4 Оболочка вращения при комбинированном нагружении в особом случае

5.2 Влияние краев на устойчивость пластины, лежащей на упругом основании .47

5.3 Аналитическое решение.47

5.4 Численное решение .49

6 Математическая модель колебаний колокола. 50

0.1 Определяющие уравнения.51

0.2 Граничные условия.54

0.3 Метод прогонки.55

0.4 Алгоритм вычисления частот и форм собственных колебаний.57

7 Подбор геометрической формы колокола по заданному звучанию. 58

7.1 Введение.58

7.2 Алгоритм расчета частот.59

7.3 Сравнение с экспериментом.00

7.4 Алгоритм подбора формы.01

7.5 Пример применения алгоритма.02

7.0 Обсуждение.03

1 Введение

1.1 Актуальность темы

Оболочечные конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью и поэтому находят широкое применение во многих отраслях промышленности, например в судо- и авиастроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении, офтальмологии. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет па устойчивость. Однако в большинстве случаев простой расчет на устойчивость дает значительно большие величины критических нагрузок, чем способна вынести конструкция на самом деле. Причины данного явления кроются в несовершенствах формы, материала или закрепления оболочки или самой нагрузки. В настоящее время расчет на устойчивость произвольной системы одним из численных методов не представляет принципиальных трудностей. Однако аналитические результаты дают качественное понимание вопроса и помогают корректно формулировать задачи при численном моделировании, а также контролировать результаты. С другой стороны, учет неправильностей при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции.

1.2 Цель работы

Оценка влияния несовершенств формы и наличия упругого заполнителя на устойчивость оболочек, сравнение разных видов потери устойчивости, построение модели свободных колебаний колокола на основе теории тонких оболочек, разработка алгоритма подбора частот колокола по заданному набору частот.

1. Товстик П.Е., Черняев С.П. Влияние осесимметричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении// Вестн. С.-Петерб. ун-та — Сер. матем., механ., астрон. — 2002. — Вып. 1 (К 1)

2. Черняев С.П. Сравнение двух видов потери устойчивости оболочек вращения при осевом сжатии// Вестн. С.-Петерб. ун-та — Сер. матем.,мехап., астрон. 2003. - Вып. 2. - С. 104-110.

3. Товстик П.Е., Черняев С.П. Устойчивость оболочек вращения при осевом сжатии// Вести. С.-Петерб. ун-та — Сер. матем., механ., астрон.- 2003. Вып. 1 (N 5).

4. Товстик П.Е., Черняев С.П. Нелинейное деформирование тонких оболочек с учетом несовершенств формы срединной поверхности// Вести. С.-Петерб. ун-та — Сер. матем., механ., астрон. — 2004. — Вып. 3. — С. 88-95.

5. Черняев С.П. Влияние краев на устойчивость пластины, лежащей на упругом основании// Вестн. С.-Петерб. ун-та — Сер. матем., механ., астрон. 2005. - Вып. 2. - С. 144-148.

6. Зегжда С.А., Товстик П.Е., Черняев С.П. Математическая модель колебаний колокола// Вестн. С.-Петерб. ун-та — Сер. матем., механ., астрой. 2002. - Вып. 3 (N 17).

7. Черняев С.П. Подбор геометрической формы колокола но заданному звучанию// Вестн. С.-Петерб. ун-та — Сер. матем., механ., астрон.- 2005

8. Общая нелинейная теория упругих оболочек/ Авт.: С.А. Кабриц, Е.И. Михайловский, П.Е. Товстик, К.Ф. Черных, В. А. Шамина/ Под ред. К.Ф. Черныха, С.А. Кабрица. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. — 328с.

9. Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). — СПб.: Изд-во "СОЛО", 2004. 420с.

10. Тимошенко С.П. К вопросу о деформации и устойчивости цилиндрической оболочки// Изв. Петрогр. электротех. инст., 1914, т.Н, с.267-287; — Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., 1971, с. 457-472.

11. Lorenz R. Die nicht achsensymmetrische Knickung dunnwandiger Hohlzylinder// Physical Zeitschrift. 1911. - Bd. 12, N 7. - S. 241-260

12. Григолюк Э.И., Кабанов B.B. Устойчивость оболочек. — М.: Наука, 1978. 360 с.

13. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. — М.: Стройиздат, 1961.- 306 с.

14. Southwell R. On the collapse of tubes by external pressure. Parts 1,2,3. //Philos. Mag., Ser. 6. 1913. - V. 25, N 149. - P. 687-697; - V. 26, N 153. - P. 502-510; - 1915,- V. 29, N 169. - P. 67-76.

15. Папкович П.Ф. Расчетные формулы для проверки устойчивости цилиндрической оболочки прочного корпуса подлодок.//Бюл. н.-тех. ком. УМВС РККА. 1929. - Выи. 2. - С. 113-123

16. Brayan G.H. Application of energy test to collapse of a thin long pipe under external pressure//Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1988. — V. 6. — P. 287-292

17. Тимошенко П.С. Устойчивость упругих систем. — M.; JL: Госте-хиздат, 1946. — 531 с.

18. Лу, Крейт Г., Шварц Е. Потеря устойчивости тонкостенного цилиндра под действием осевого сжатия и внутреннего давления.// сб. "Вопросы прочности цилиндрических оболочек". — М., 1960. — С. 143-161

19. Моссаковский В.И., Маневич Л.И., Прокопало Е.Ф. Исследование закритического поведения цилиндрических оболочек.// Докл. АН СССР.- 1972. т. 206, N 2. - с. 297-299.

20. Незванов Д.Н. Об устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии и внутреннем давлении.// Труды Куйб. авиац. ин-та. — 1973. Выи. 60. - с. 89-96

21. Маневич Л.И., Красовский В.Л., Кучеренко В.М. Влияние внутреннего давления на устойчивость эксцентрично подкрепленных цилиндрических оболочек при осевом сжатии.// Расчет пространств, конструкций, М., 1973. Вып. 15. - с. 26-35.

22. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1967. 984 с.

23. Zoelly R. Uber ein Knickungsproblein an der Kugelshale. — Zurich, Diss, 1915

24. Работнов Ю.Н. Локальная устойчивость оболочек.// Докл. АН СССР. 1946. - т. 52, N 2. - С. 111-112.

25. Ширшов В. П. Локальная устойчивость оболочек// Тр. II Всесо-юзн. копф. по теории оболочек и пластин. — Киев, 1962 — С. 314-317

26. Погорелов A.B. Геометрическая теория устойчивости оболочек. — М.: Наука, 1966. 296 с.

27. Погорелов A.B. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек.- М.: Наука, 1986. 96 с.

28. Де Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961.

29. Эрдейи А. Асимптотические разложения. — М.: Физматлит, 1962.

30. Аргатов И.И. Введение в асимптотическое моделирование в механике. — СПб.: Политехника, 2004

31. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром// "Успехи математических наук. — 1957. — т. XII, вып. 5 (77)

32. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. — М.: Наука. Физматлит, 1995. — 320

33. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях.- М.: Наука, 1977. 384 с.

34. Товстик П.Е. К вопросу о локальной потере устойчивости оболочек/ / Вести. Ленингр. ун-та. — Сер. матем., механ., астрон. — 1982. — N 3. С. 72-78.

35. Товстик П.Е. Метод ВКБ в двумерных задачах устойчивости и ко-лебанийй тонких оболочек// Тр. 13 Всесоюзн. копф. по теории оболочек и пластин Таллинн, 1983. - Т. 4. - С. 154-159.

36. Михасев Г.И. Локальная потеря устойчивости тонкого усеченного эллипсоида вращения под действием комбинированной нагрузки// Вести. Ленингр. ун-та. — Сер. матем., механ., астрон. — 1984. — N 4.- С. 85-90.

37. Кабанов В.В. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при неоднородном сжатии// Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. - N 1. - С. 181-183.

38. Михасев Г.И. О локальной потере устойчивости замкнутой в вершине некруговой конической оболочки с произвольным краем при равномерном внешнем давлении/ Ленингр. ун-т,— Л.: 1984. — 15с. Деп. в ВИНИТИ. 27.06.84. N4354-84.

39. Михасев Г.И. Локальная потеря устойчивости оболочки, близкой к оболочке нулевой гауссовой кривизны/ Ленингр. ун-т.— Л.: 1984. — 16с. Деп. в ВИНИТИ. 18.05.84. N3233-84.

40. Михасев Г.И. Локальная потеря устойчивости оболочки нулевой гауссовой кривизны с переменными толщиной и модулем упругости// Вести. Ленингр. ун-та.— Сер. матем., механ., астрон. — 1984. — N 2. — С. 104-105.

41. Тимофеева Г.В. Потеря устойчивости цилиндрической оболочки при изгибе силой и моментами// Вестн. Ленингр. ун-та. — Сер. матем., механ., астрон. 1984. - N 4. - С. 99-101.

42. Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек// Прикл. мат. и мех. — 1983. — Т. 47, N5.-0. 815-822.

43. Товстик П.Е. Двумерные задачи устойчивости и колебаний оболочек нулевой гауссовой кривизны// Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 271, N 1.

44. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.М.: Машиностроение, 1976. — 287 с.

45. Лийва Т.В., Товстик П.Е. Об устойчивости в линейном приближении оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны// Проблемыф механики твердого деформированного тела. — Л.: Судостроение, 1970. — С. 231-238.

46. Лийва Т.В., Товстик П.Е. О потере устойчивости оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны при кручении// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — Л.: Судостроение, 1973. — N G. С. 92-98.

47. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек // Механика твердых деформированных тел, 1967: Итоги науки. М.: Изд-во ВИНИТИ СССР, 1969. - 348 с.

48. Nachbar W., Hoff N.J. The buckling of free edge of a axially compressed circular cylindrical shell// Quart. Appl. Math. 1962. - V. 20, N3.-3. 160-172.

49. Товстик П.Е. Потеря устойчивости тонких оболочек, связанная со слабым закреплением края// Вестн. Ленингр. ун-та. — Сер. матем., механ., астрон. — 1991. — N 3

50. Tovstik Р.Е. On forms of local buckling of thin elastic shells// Trans.• CSME. 1991. - V. 15, N 3. - P. 199-211.

51. Donnell L.H. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending// Trans. ASME. — 1934. — V. 56, N 11.

52. Койтер В.Т. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем// Механика, сб. перев. — 1960. — N 5.

53. Budiansky В., Hutchinson J. Buckling of circular cylindrical shells under axial compression// Contrib. to the theory of aircraft struct. — 1972. P. 39-259.

54. Arbocz J. The effect of initial imperfections on shell theory// Thin-Shell Structures: Theory, Experinent, and Design. — Prentics-Hall, Newф Jersey, 1974.

55. Кузнецов В.К., Липовцев Ю.В., Шварц Э.В. Влияние локальных несовершенств и местных напряжений на устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии// Труды VII Всес. конф. по теории оболочек и пластинок. 1970. -С. 323-328.

56. Булыгин А.В. Устойчивость сжатой цилиндрической оболочки, имеющей локальную вмятину// Труды КАИ. 1974. — Выи. 166.

57. Yamaki N. Elastic stability of circular cylindrical shells. —North Holland, Amsterdam, 1984.

58. Amazigo J.C., Fraser W.B. Buckling of cylindrical shells with dimple shaped impefections// Int. J. Solids Struct. — 1971. — V. 7.

59. Budiansky В., Amazigo G.C. Initial post-buckling behaviour of cylindrical shells under external pressure// J. Math. Phys. — 1968. — V. 47.

60. Seleirn S.S., Kennedy J.B. Imperfections sensivity of stiffened cylinderssubjected to external pressure// Computers and Struct. — 1990. — V. 34 (1).

61. Abdelrnoula R. Flambage des coques cylindricues sous pression: influence des conditions aux lirnites et des defauts// These de doctorat, Universite de Metz, 1989.

62. Gusic G., Cornbescure A., Jullien J.F. The influence of circumferential thickness variations on the buckling cylindrical shells under external pressure// Computers and Structures. 2000. - V. 74. - P. 461-467.

63. Товстик П.Е. Устойчивость многослойной цилиндрической оболочки при осевом сжатии// Известия высших учебных заведений, Северокавказский регион, Естественные науки. — 2004. — Спецвыпуск.

64. Tsouvalis N.G., Zafeiratou A.A., Papazoglou V.J. The effect of geometric imperfections on the buckling behavior of composite laminated cylindersф under external hydrostatic pressure// Elsevier Science Ltd. — 2003. — P. 217-22G.

65. Болотин В.В. Статистические методы в нелинейной теории упругих оболочек// Известия АН СССР, Отделение технических наук. — 1958. N 3.

66. Fraser W.B., Budiansky В. The buckling of a column with random initial deflections// J. Appl. Mech. 1969. - V. 36 (2).

67. Hansen J.S. General random impefections in the buckling of axially loaded cylindrical shells// AIAA. 1977. - V. 15 (9).

68. Schenk C.A., Schueller G.I. Buckling analysis of cylindrical shells with random geometric imperfections// Internation Journal of Non-Linear Mechanics. 2003. - V. 38. - P. 1119-1132.

69. Millet 0., Hamdouni A., Cimetiere A. An Eulerian approach on nonlinear membrane shell theory// Internation Journal of Non-Linear Mechanics.2003. - V. 38. - P. 1403-1420.

70. Sang Z.F., Xue L.P., Lin Y.J., Widera G.E.O. Limit and burst pressures for a cylindrical shell intersection with intermediate diameter ratio// Internation Journal of Pressure Vessels and Piping. 2002. - V. 79. - p. 341-349.

71. Evkin A.Y., Kalamkarov A.L. Analysis of large deflection equilibrium states of composite shells of revolution. Part 1. General model and singular perturbation analysis// Internation Journal of Solids and Structures. — 2001. V. 38. - P. 8961-8974.

72. Evkin A.Y., Kalamkarov A.L. Analysis of large deflection equilibrium states of composite shells of revolution. Part 2. Applications and numericalresults// Internation Journal of Solids and Structures. — 2001. — V. 38. — P. 8975-8987.

73. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. — М.: Наука, 1967.

74. Бабенко В.И. Асимптотический анализ транскритических термоупругих деформаций сферических сегментов под действием внешнего давления// Прикладная механика. — 1977. — N 7 (7).

75. Kriegsmann G.A., Lange C.G. On large axisyrnmetrical deflection states of spherical shells// J. Elasticity. — 1980. — V. 10.

76. Weicheng Cui, Junhou Pei, Wei Zhang A simple and accurate solution for calculating stresse in conical shells// Computers and Structures. — 2001.- V. 79. P. 265-279.

77. Иванов В.А. Обзор литературы по устойчивости оболочек с упругим заполнителем // Тр. семинара по теории оболочек. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т. — 1969. — Вып. 1.

78. Ильгамов М.А. Иванов В.А. Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1977. — 331 с.

79. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучивание конструктивно анизотропных и неоднородных оболочек и пластин// Итоги науки и техники. Механика твердого деформируемого тела. — М.: ВИНИТИ, 1976.- Т. 6.

80. Иванов В.А. Определение коэффициента постели в задачах устойчивости оболочек, связанных с упругим заполнителем// Тр. IX Всесо-юзн. конф. по теории оболочек и пластин. — 1973. JL: Судостроение, 1975.

81. Иванов В.А. Реакция деформируемых тел при их статическом взаимодействии// Респ. науч.-техн. конф. Механика сплошных сред: Тез. докл., Набережные Челны, 1982.

82. Божко Н.С. Об устойчивости полосы на упругой полуплоскости// Прикладная механикаю. — 1971. — N 10.

83. Гусев A.M. Экспериментальное исследование устойчивости цилиндрических оболочек с упругим заполнителем// Статика и динамика оболочек: Тр. семинара. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т. — 1977. — Вып. 9.

84. Ariman Т. Buckling of thin plates on an elastic foundation// Bautechnik.- 1969. Vol. 46, N 2.

85. Гольденвейзер A.JI., Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. — М.: Наука, 1979. — 334 с.

86. Алумяэ Н.А. О фундаментальной системе интегралов уравнения малых осесимметричных установившихся колебаний упругой конической оболочки// Изв. АН Эст. ССР. Сер. техн. и физ.-мат. наук. — 1960. т. 10, N 1.

87. Болотин В.В. Теория распределения совственных частот упругих тел и ее применение к задачам случайных колебаний// Прикл. механика.- 1972. -т. 8, вып. 4. С. 3-29.

88. Нигул У.К. Некоторые результаты исследования уравнений собственных колебаний упругой круглоцилиндрической оболочки// Тр. Таллинского политехнического института, сер. А. — 1960. — N 171. — С. 19-36.

89. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. — М.: Наука, 1974.

90. Lehr A. From theory to practice// Music Perception. — 1987. — Vol. 4, N. 3.

91. Schoofs A., F. Van Asperen, Maas P, Lehr A. Computation of Bell Profiles Using Structural Optimization// Music Perception. — 1987. — Vol. 4, N. 3.

92. Houtsma A.J.M., Tholen H.J.G.M. A perceptual evaluation// Music Perception. 1987. - Vol. 4, N. 3.

93. Koiter W. T. On the stability of elastic equilibrium// Thesis. Delft. Amsterdam, 1945.

94. Товстик П. Е. Влияние осесимметричных неправильностей формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения// Вестн. Ленингр. ун-та. — 1974. — N 19.

95. Ширшов В.П. Локальная устойчивость оболочек// Тр. 2 Всесо-юзн. конф. но теории оболочек и пластин — Киев, 1962.

96. Товстик П. Е. Осесимметричная деформация оболочек вращения из нелинейно упругого материала// ПММ. — 1997. — Вып. 61, N 4.

97. Bushnell D. Buckling of shells — Pitfall for designers// AIAA J. — 1981. V. 19, 9.

98. Teng J. G. Buckling of thin shells: Recent advances and trends// Appl. Mech. Rev. 1996. - V 49, 4.

99. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судпромгиз. — 432 с.

100. Гузь А.Н., Макаренков А.Н., Чернышенко И.С. Прочность конструкции ракетных двигателей твердого топлива. — М.: Машиностроение, 1980. 244 с.

101. Исследование ракетных двигателей на твердом топливе. — М.: изд-во иностр. лит. (пер. с англ. под ред. Саммерфилда), 1963. — 440 с.

102. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе. — М.: Наука, 1972. 327 с.

103. Ильгамов М.А., Иванов В.А.,Гулин Б.В. Расчет оболочек с упругим заполнителем. — М.: Наука, 1987. — 260 с.

104. Товстик П.Е. К задаче о колебаниях тонкого упругого слоя, находящегося в контакте с мягким упругим телом// Вестник ЛГУ, Сер. 1. 1986. N 1.