Колебания и устойчивость сопряженных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Осесимметричные колебания тонких оболочек вращения, сопряженных по параллели.

1.1 Основные уравнения.

1.2 Асимптотический анализ.

1.3 Численные результаты.

Глава II Устойчивость непрямой круговой конической оболочки.

2.1 Геометрия косого конуса.

2.2 Исследование устойчивости непрямой круговой конической оболочки. Нулевое приближение.

2.3 Построение первого приближения для параметра нагружения.

Глава III Колебания непрямой круговой конической оболочки.

3.1 Исследование колебаний непрямой круговой конической оболочки.Нулевое приближение.

3.2 Нахождение первого приближения для параметра частоты колебаний.

Глава IV Устойчивость оболочек, сопряженных под углом.

4.1 Условия сопряжения оболочек.

4.2 Устойчивость сопряженных оболочек.

Данная диссертация посвящена главным образом исследованию колебаний и устойчивости сопряженных оболочек. Оболочкой называют тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало, по сравнению с основными размерами тела. Конструкции типа тонкостенных оболочек находят применение в самых разнообразных отраслях промышленности, таких как турбиностроение, судостроение, авиация и реактивная техника. Этим объясняется повышенный интерес к теории оболочек в течение последних пятидесяти лет [2], [И], [16], [22], [27], [47], [48]. За эти годы теория оболочек выделилась в отдельную науку, успешно сочетающую в себе результаты математического анализа, теории функций комплексных переменных, дифференциальной геометрии, теории упругости и ряда других направлений. На кафедре теоретической и прикладной механики Санкт- Петербургского Государственного Университета проблеме оболочек и сопряженных оболочек уделяется достаточно большое внимание. Более двадцати крупных работ было опубликовано только за последние пять лет. Хочется отметить несколько монографий, посвященных теории оболочек, которые нашли свое отражение в данной диссертации и оказали большое влияние на научные взгляды автора, среди них: Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Тов-стик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.,

1979. 384с., Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек М.: Наука. Физматлит, 1995. 320 е., Филиппов С.Б. Теория сопряжённых и подкреплённых оболочек, СПб.: Изд. СПбГУ, 1999. 196 е. Безусловно, это далеко неполный перечень всех многочисленных научных статей и работ, посвященных теории оболочек, и, вышедших в последние годы. Результаты всех этих трудов очень важны не только для дальнейших исследований в теории оболочек, но и для самых разнообразных расчетов, связанных с проектированием тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях техники. Данную диссертацию можно рассматривать как следующий шаг в исследовании колебаний и устойчивости сопряженных оболочек. Корпуса многих видов подводных лодок и самолетов представляют собой систему двух сопряженных оболочек, "носовая" часть которых имеет форму непрямого кругового конуса. Для того, чтобы успешно использовать на практике такую технику, необходимо прежде всего исследовать колебания и устойчивость под действием равномерного внешнего давления оболочек, составляющих основу данной конструкции. Этим исследованиям и посвящена настоящая диссертация.

Прежде чем перейти к изложению основного материала нам представляется важным упомянуть о некоторых достаточно общих предположениях для теории оболочек. В классической теории оболочек справедливы гипотезы Кирхгофа - Лява, состоящие в следующем: нормальный элемент к недеформированной срединной поверхности оболочки остается прямолинейным и нормальным к деформированоой срединной поверхности и не изменяет своей длины; нормальные напряжения <733 = 0 пренебрежимо малы. Предполагается также, что материал оболочки изотропен и подчиняется обобщенному закону Гука, а деформации, перемещения и углы поворота настолько малы, что вторыми степенями этих величин можно пренебречь. Колебания и устойчивость под действием внешнего давления большинства реальных упругих ко-струкций описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных, точное решение которых возможно лишь в некоторых частных случаях. При решении краевых задач теории колебаний и устойчивости оболочек достаточно часто применяются приближенные методы расчета: численные и асимптотические.

Асимптотический метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, в теории оболочек в качестве которого используется малость относительной толщины оболочки. В простейших случаях аналитические методы дают точное решение задачи. Во многих случаях они позволяют существенно упростить численное решение и дают возможность качественно оценить численные результаты. Данная диссертация наглядно иллюстрирует совместное применение численных и асимптотических методов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания и устойчивость сопряженных оболочек.

Основное содержание работы.

Диссертация состоит из пяти глав, последовательных по смыслу. Первая глава посвящена осесимметричным колебаниям двух оболочек вращения, сопряженных по параллели. Основная часть этой главы содержится в публикациях [29], [58]. В работах [49], [50], [51] рассмотрен случай, когда угол сопряжения оболочек не является малым . В этой работе особое внимание уделяется случаю малого угла сопряжения. Граничные условия на линии сопряжения являются достаточно сложными. Проблема разделения таких условий в задачах статики довольно хорошо изучена [21], [48]. Разделение граничных условий на основные и дополнительные в задачах колебаний и устойчивости сопряженных оболочек было впервые проведено в книге [48]. Это позволило решить ряд новых задач, получить интересные качественные результаты, вывести простые приближенные формулы для определения частот колебаний и критического давления.

Характерной особенностью некоторых двумерных задач теории колебаний и устойчивости оболочек является локализация форм колебаний и форм потери устойчивости вблизи некоторых линий на срединной поверхности оболочек [47], [56]. Для решения таких задач П.Е. Товстиком разработаны достаточно эффективные асимптотические методы, которые позволяют не только получить приближенный вид формы потери устойчивости, но и качественно их проанализировать.

В первой главе данной диссертации получена более общая формула (частные случаи рассмотрены в работах [49], [50], [51]) для основных условий на параллели сопряжения. Исследованы колебания двух сопряженых по параллели оболочек вращения (конической и цилиндрической). Приведена зависимость частоты осесимметричных колебаний от угла сопряжения. Исследование этих результатов показали, что при увеличении угла сопряжения двух оболочек, низшие частоты колебаний разделяются на две серии, каждая из которых состоит из значений, близких к частотам колебаний одной из оболочек. Для проверки достоверности полученных асимптотических данных применялись численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений, описыаю-щих колебания сопряженных оболочек, в частности, метод ортогональной прогонки [10] и метод конечных элементов [43].

Во второй главе исследуется устойчивость непрямой круговой конической оболочки под действием равномерного внешнего давления. Получены значения нулевого и первого приближений для параметра нагружения такой оболочки, а также исследованы формы потери устойчивости при различных значениях параметров данной оболочки. Большое количество иллюстраций позволяет представить весь процесс потери устойчивости такой оболочки при действии равномерного внешнего давления.

В третьей главе исследуются свободные колебания непрямой круговой конической оболочки. Получены значения нулевого и первого приближения для частотных параметров и приведены формы колебаний. В зависимости от вида непрямой круговой конической оболочки колебания либо равномерно захватывают всю поверхность оболочки, либо локализуются вблизи наиболее слабой образующей конуса.

В четвертой главе решена задача о потере устойчивости двух сопряженных оболочек. Одна из них является цилиндрической, а вторая - непрямой круговой конической оболочкой. Получены значения нулевого и первого приближений для параметров на-гружений и приведено сравнение различных приближений с результатами численного интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих устойчивость оболочек. Четвертая глава является логическим продолжением исследований, начатых во второй главе данной диссертации. Приводится большое количество иллюстраций, демонстрирующих локализацию форм потери устойчивости в окрестностях наиболее слабых образующих.

Пятая глава посвещена исследованию колебаний двух сопряженных оболочек: цилиндрической и непрямой круговой конической. Получены значения нулевого и первого приближения для параметров частоты колебаний такой конструкции, а также представлены формы колебаний при различных параметрах оболочек.

В каждой главе проведено сравнение различных асимптотических приближений с результатами расчетов, полученных численными методами (методом ортогональной прогонки и методом конечных элементов).

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Проблемы Пространства, Времени, Движения" (Санкт-ПетербургД998), Третьей Санкт-Петербургской Ассамблеи Молодых ученых и специалистов (Санкт-Петербург, 1998), международной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1999), Пятой Санкт-Петербургской Ассамблеи Молодых ученых и специалистов (Санкт-Петербург, 2000), Всероссийской конференции по механике Вторые Поляховские чтения (Санкт-Петербург, 2000), Конкурсе Молодых Ученых Санкт-Петербургского Государственного Университета (Лауреат третьей премии, 1996 и Лауреат второй премии, 1999), а также на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ.

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, включая тезисы докладов. Основные результаты опубликованы в реферируемых журналах (список публикаций приводится в конце автореферата). В работе, написанной в соавторстве, личный вклад соискателя состоял в разработке алгоритмов и проведении численных расчетов на ЭВМ, анализе и интерпретации полученных результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 94 страницах машинописного текста; содержит 30 рисунков, 16 таблиц и список литературы из 59 наименований.

Заключение

Цель диссертационной работы состояла в исследовании колебаний и устойчивости сопряженных оболочек под действием равномерного внешнего давления. Выполнение данных исследований потребовало:

• Разработать геометрические формулы, описывающие поверхность непрямой круговой конической оболочки.

• Разработать и создать компьютерные программы для численного интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания и устойчивость рассматриваемых оболочек.

• Провести аналитический и численный анализ частот и форм колебаний, а также форм потери устойчивости непрямой круговой конической оболочки под действием равномерного внешнего давления.

• Сопоставить данные, полученные приближенными аналитическими методами с данными численного интегрирования поставленных задач.

• Разработать математическую модель, описывающую систему двух сопряженных оболочек.

• Провести аналитический и численный анализ частот и форм колебаний, а также форм потери устойчивости системы двух сопряженных оболочек под действием равномерного внешнего давления.

• Получить оценки точности указанных расчетов.

Научная новизна работы

Исследованы осесимметричные колебания двух сопряженных оболочек. Впервые получена формула, описывающая главное условие сопряжения для безмоментной задачи, при любых значениях угла сопряжения оболочек. С помощью этой формулы проведены расчеты частот осесимметричных колебаний сопряженных оболочек. Для проверки достоверности полученных результатов использовались методы численного интегрирования.

Разработан алгоритм и компьютерная программа для численного интегрирования методом ортогональной прогонки систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания и устойчивость оболочек, сопряженных под углом.

Исследованы колебания и устойчивость непрямой круговой конической оболочки. Асимптотическими и численными методами найдены низшие частоты колебаний, критическое давление, формы колебаний и формы потери устойчивости для различных непрямых конических оболочек.

Исследованы колебания и устойчивость двух сопряженных оболочек, одна из которых является цилиндрической, а другая непрямой круговой конической.

Для различных значений параметров сопряженных оболочек получены значения частот и критического давления, а также представлены формы колебаний и формы потери устойчивости.

Проведены исследования зависимости локализации форм колебаний и форм потери устойчивости вблизи некоторых образующих от геометрических параметров оболочек.

Научная и практическая ценность работы

Полученные формулы позволяют расчитывать частоты колебаний и критические давления для большого класса оболочек.

Представленные формы колебаний и формы потери устойчивости для различных оболочек позволяют судить о реальных повреждениях, происходящих на поверхностях отдельных и сопряженных оболочек.

Созданные в ходе работы алгоритмы и компьютерные программы могут быть использованы при моделировании реальных оболочечных конструкций.

Основные положения, выносимые на защиту

• Результаты исследований осесимметричных колебаний двух оболочек вращения, сопряженных по параллели. Сравнение асимптотических и численных результатов для различных углов сопряжения оболочек.

• Сопоставление асимптотических и численных значений частот колебаний и параметров нагружения для непрямой круговой конической оболочки.

• Оценки погрешности различных методов расчета.

• Результаты исследований колебаний и устойчивости под действием равномерного внешнего давления системы двух сопряженных оболочек (цилиндрической и непрямой круговой конической).

• Анализ форм колебаний и форм потери устойчивости для непрямой круговой конической оболочки и системы двух сопряженных оболочек при различных значениях параметров оболочек.

Апробация работы и публикации

1. Алумяэ Н. А. К определению критической нагрузки замкнутой вверпшне оболочки, находящейся под действием внешнего давления // Труды Талл. политехи, ин-та. Сер. А. 1955. Вып. 65. С. 1-13.

2. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

3. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1974. 156с.

4. Бабаков И.М. Теория колебаний, М., 1968, 559 с.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы, М., Наука, 1973, 631 с.

6. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. - 352 с.

7. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.- 464 с.

8. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. Наук 1957. Т. 12. Вып. 5 (77). С. 3-122.

9. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Физмат-гиз, 1963. - 880 с.

10. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дмфференциальныхуравнений.-Успехи математических наук, 1961, т.16, вып.З, с.171-174.

11. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

12. Гольденвейзер А. Л. Изгибания поверхностей и сверхнизкие частоты колебаний тонких оболочек // Известия АН СССР, Механика твердого тела, 5, 1977, С.106.

13. Гольденвейзер А. Л. Безмоментная теория оболочек, ограниченных по поверхностям второго порядка // Известия АН СССР, Прикладная математика и механика, т. XI, в. 2, 1979, С.285.

14. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М., 1979. 384с.

15. Григолюк Э. И., Кабанов В. В., Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.

16. Кабанов В. В. Устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек. М.: Наука, 1982. 253 с.

17. Кан С. Н. и др. Устойчивость оболочек. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1970. - 154 с.

18. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций- М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

19. Луковенко С.А. Свободные неосесимметричные колебания сопряженных оболочек вращения. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1975. вып.2. С. 163-167.

20. Луковенко С.А., Пшеничнов Г.И. Свободные осесимметрич-ные колебания сопряженных оболочек вращения. // // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1973. вып.6. С. 157-162.

21. Мальков В.М. О расчленении условий упругого сопряжения в линейной теории тонких оболочек // Проблемы механики твердого деформированонного тела. Л. 1970. С.257 263.

22. Маневич А. И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев, Донецк : Вшца школа, 1979.- 152 с.

23. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977. 384 с.

24. Молчанов А.И. Низкочастотные колебания оболочек, близких к оболочкам нулевой гауссовой кривизны. Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. // Л., 1987.

25. Молчанов А. И. Свободные колебания некруговых оболочек, близких к оболочкам ненулевой гауссовой кривизны // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., механ., астрон. - 1986. - 4 - С. 43-45.

26. Музыкин С. Н., Родионова Ю. М. Моделирование динамических систем, Ярославль, 1984, 299 с.

27. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочеч-ных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. 216 с.

28. Наумова Н.В. Вычисление частот колебаний стержней с разными граничными условиями, // Вестник С.-Петербург. Унта, 1998, сер.1, вып.1, с. 78-85.

29. Наумова Н.В. Осе симметричные колебания тонких оболочек вращения, сопряженных по параллели, // Вестник С.Петербург. Ун- та, 1999, сер.1, вып.2, с. 74-80.

30. Наумова Н.В. Устойчивость непрямой круговой конической оболочки // Вторые Поляховские чтения, Избранные труды, С.-Петербург, 2000, с. 314 317.

31. Наумова Н.В. Колебания и устойчивость непрямой круговой конической оболочки // Вестник Молодых Ученых.-2001, Серия прикладной математики и механики, №5, с.40-45.

32. Наумова П.В. Колебания и устойчивость оболочек, сопряженных под углом // Вестник С.-Петербург. Ун- та,4 2001, сер.1, вып.4, с. 51-62.

33. Наумова Н.В. Осесимметричные колебания оболочек вращения, сопряженных под малым углом // Сборник тезисов V Международной конференци "Проблемы пространства, времени, движения", С.-Петербург, 1998, с. 51-52.

34. Наумова Н.В. Применение численных методов для расчета условий устойчивости сопряженных оболочек // Сборник тезисов V Международной конференци "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 1999.

35. Наумова Н.В. Применение численных методов для расчета колебаний и устойчивости непрямой круговой конической оболочки // Сборник тезисов Пятой Санкт Петербургской Ассамблеи Молодых ученых и специалистов, С.-Петербург, 2000, с. 39-40.

36. Наумова Н.В. Численные методы расчета колебаний сопряженных оболочек // Сборник тезисов Третьей Санкт Петербургской Ассамблеи Молодых ученых и специалистов, С.Петербург, 1998, с. 51-52.

37. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. -Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.

38. Образцов И. Ф., Нерубайло Б. В., Андрианов И. В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1991. 416 с.

39. Постнов В. А., Корнеев В. С. Использование метода конечных-элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек // Прикл. механика1976. Т. 12. Вып. 5. С. 44-49.

40. Рыжик И. М,. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.-Л.: 1951. 464 с.

41. Ряямет Р. К. Критическая нагрузка конической оболочки, находящейся под действием равномерно распределенного внешнего давления //Труды Талл. политехи, ин-та. 1955. Сер. А. Вып. 65. С. 76-85.

42. Самарский А. А. Введение в численные методы, М., Наука, 1982, 271 с.

43. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов, М., Мир, 1979, 392 с.

44. Тимошенко С. П., Дж. Гудьер Теория упругости, М., Наука, 1979, 559 с.

45. Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 815-822.

46. Товстик П. Е., Бауэр С. М., Смирнов A. Л., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб. Изд. С-Петербургского ун-та, 1995. - 188 с.

47. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука. Физматлит, 1995. 320 с.

48. Филиппов С. Б. Теория сопряжённых и подкреплённых оболочек, СПб.: Изд. СПбГУ, 1999. 196 с

49. Филиппов С.Б. Осесимметричные колебания сопряженных оболочек вращения. В кн.: Труды 9 Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. JL, " Судостроение",1975, с.230-233.

50. Филиппов С.Б. Свободные осесимметричные колебания сопряженных оболочек вращения в особом случае. В кн.: Прикладная механика. Вып.З, JL, 1977, с.39-49.

51. Филиппов С.Б. Частоты осесимметричных колебаний сопряженных оболочек вращения. В кн.: Прикладная механика, Вып.2, Л., 1975, с.158-171.

52. Anderson, М. S.; Fulton, R. Е.; Heard W. L.; Walz J. Е.: Stress, buckling and vibration analysis of shells of revolution, Comput. and Struct., 11, (1971), 157-192.

53. Bushnell D.: Stress, stability and vibration of complex, branched shells of revolution, Comput. and Struct., 4, (1974), 339-435.

54. Hu W.; Raney J.: Experimental and analytical study of vibrations of joined shells, AIAA Journal, 5, (1967), 976-980.

55. Irie T., Yamada G., Muramoto Y. Free vibration of an oblique circular cylindrical shell // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1985. C51, N 467.-P.1704 1709.

56. Tovstik P.E. On the forms of local buckling of thin elastic shells // Trans.CSME.1991.Vol. 15.N.3.P.199-211.

57. Filippov S.B Low frequency vibration of a cylindrical shells. Part II: Connected shells // Asymptotic methods in mechanics, CRM Proc. And Lect. Notes, AMS, 1993,p. 205 - 215.

58. Filippov S.B., Naumova N.V. Axisymmetric vibrations of thin shells of revolution joint by a small angle // Technische Mechanik, band 18, heft 4, 1998, p. 285 291.

59. S. M. Bauer, S. B. Filippov, A. L. Smirnov and P. E. Tovstik, Asymptotic Methods in Mechanics with Application to Thin Shells and Plates // Asymptotic Methods in Mechanics, CRM Proc. and Lect. Notes, AMS, 1993, 3-139.