Колебания и устойчивость сопряженных и подкрепленных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Филиппов, Сергей Борисович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1994
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Б ОД
^¿ЛН^ПЕТЕРВУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИСТЕТ
На правах рукописи
ФИЛИППОВ Сергей Борисович
УДК 539.3
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СОПРЯЖЕШ1ЫХ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК
01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации па соискание ученой стеаепи доктора физико-математических паук
САНКТ-ПЕТЕРВУРГ - 11)04
Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.
Официальные оппоненты:
Доктор физико-математических наук, профессор
Павел Андреевич Жилип Доктор физико-математических наук, ведущий ваучпмй сотрудник
Вениамин Михайлович Мальков Доктор физико-математических наук, профессор
Евгений Ильич Михайловский
Ведув1ая организация: Сапкт - Петербургский государственный морской технический увиверсистет
Защита состоится "6 " ОкТР&рЯ. 1994 г. в ^часРV мин. на заседании специализированного совета Д 003.57.3-1 но защите диссертаций на соискание ученой стевепи доктора физико-математических наук в Сапкт - Петербургском государственном университете по адресу: И)8904, Сапкт - Петербург, Старый Петергоф, библиотечная ил., 2.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт - Петербургского государственного университета по адресу: 198034, Санкг - Петербург, Университетская набережная., 7/9.
Автореферат рапослав " ОШГЯ^^Л 1994 г.
Ученый секретарь
с.иеци ал изи ров анпого сойот а,
профессор
С. А. Зегжда
ОБШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность. В современной технике наряду с гладкими оболочкаыи широко используются сои ряженные (составные) и подкрепленные (ребристые) оболочки. Б связи с этим актуальными являются разработка новых и совершенствование уже существующих методов расчета, тонкостенных конструкций такого тина, подвергающихся воздействию статических и динамических нагрузок. Об этом свидетельствует ноявлепие в последние годы монографий, полпоегью посвященных задачам теории сопряженных и подкрепленных оболочек.
Необходимым элементом исследования динамики конструкции является определение частот и форм малых колебаний, причем наибольший интерес для приложений представляют, как правило, частоты из пижней части спектра.
При действии на оболочку статических нагрузок се работоспособность зависит от .значений максимальных напряжении и от всличип критических нагрузок, при достижении которых происходит потеря устойчивости. Для тонких оболочек во многих случаях определяющим япляется расчет на устойчивость.
Задачи теории колебаний и устойчивости сопряженных и подкрепленных оболочек являются достаточно сложными, поэтому для их решении обычно применяются приближенные методы расчета: численные, вариационные, асимптотические.
Целью данной работы является разработка асимптотических методой расчета низших частот и соответсвуыших им форм свободных колебаний, а также значений нерхсего критического давления и форм потери устойчивости для тонких упругих сопряженных и подкрепленных оболочек грел пей длипы.
Научная тематика диссертации является составной частью бюджетных тем НИ И ММ при Саикт - Петербургском государственном университете 'Разработка аналитических и чиг.лрнных методов расчета оболочек и пластин с учетом нелинейности при различных иозыущаюшиг. факторах" (I98(i i'lOU, гос. per. N 018(41101 043). "Разработка методов расчета оболочек и пластин при сложных нагружониях с учетом анизотропии и пластичности" (10!)I-I!)Ч-5, гос. per. Л' 01910056* 14).
Отдельные результаты работы пошли в сынолняемую НИИММ
ъ
конкурсную тему Российского фонда фундаментальных исследований "Разработка приближенных аналитических методой расчета тонкостенных конструкций" (1994-1995) и включены в отчет за 1993 год по х/д N 1030 "Исследование локальных форм колебаний и форм потери устойчивости топких оболочек и пластин" с НИИМ и НМ при Ростовском государственном упивер-систете (1992-1995), выполненный в рамках Научно - технической программы ГК НВШ РСФСР "Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций" (Научп. рук. программы акад. И. И. Ворович).
Научная новизна. Для решения задач колебаний и устойчивости сопряженных и подкрепленных оболочек разработаны вовне модификации асимптотических методов, использовавшихся в теории гладких оболочек.
Получены новые простые приближенные решения и качественные результаты для ряда задач теории колебаний и устойчивости подкрепленных и сопряженных по параллели оболочек вращения, рассматривавшихся рапее другими авторами.
Впервые решены актуальные задачи теории колебаний и устойчивости сопряженпых под углом цилиндрических оболочек (трубчатого колена).
Лавы оценки области применимости различных приближенных теорий, широко использующихся в практических расчетах, и новые рекомендации по вопросам оптимального проектирования сопряженных и подкрепленных оболочек.
Достоверность полученных результатов. Достоверность получении х в работе результатов подтверждается
1) соответствием результатов, полученных по асимптотическим формулам с результатами численного интегрирования систем уравнений колебаний и устойчивости сопряженных и подкрепленных оболочек; ,
2) близостью последовательных приближений, найденных с помощью асимптотических методов;
3) сравнениями с результатами других авторов, полученными численными, вариационными и экспериментальными методами.
Теоретическое и практическое значение.
Предложенные методы решения задач теории сопряженных и ■ подкрепленных оболочек отличаются эффективностью и нросто-4
той. Ü ряде случаен для определения частот, форм колебаний, значений критического давления и форм потери устойчиносги получены явные приближенные, формулы. Качественные результаты (разделение собственных эпачепий па серии, локализация собственных функции и др.) и опенка области применимости известных приближешшх подходов, позволяют глубже понять физическую природу рассматриваемых задач.
Основное впимание в работе уделено цилиндрическим и коническим оболочкам, которые наиболее часто встречаются в ре-альпых тонкостенных конструкциях. В задачах теории колебаний исследуется нижняя часть спектра частот, которая обычно иредставляет наибольший интерес для приложений.
Полученные п диссертации результаты могут применяться при расчетах и проектировании тонкостенных конструкций. Часть из них используется в учебном процессе на кафедре теоретической и прикладной механики Сапкт - Петербургского государственного университета при чтении спецкурсов, подготовке курсовых и дипломпых работ и кандидатских диссертаций.
Апробация. Результаты работы регулярно обсуждались на семипарах кафедры теоретической и прикладной механики Саикт - Петербургского государственного университета.
Осповпые результаты диссертации докладывались в Институте проблем механики АН СССР (1988), на XV (Казань, 1990) и XVI (Нижп. Новгород, 1993) конференциях по теории оболочек и пластин, па Первом Европейском математическом конгрессе (Париж, 1992, стендовый доклад), на Международной конференции по крупногабаритным космическим конструкциям (Новгород, 1993), на коллоквиуме "Числеппые решения задач теории оболочек" (Мюпхен, 1993), н Саикт - Петербургском государственном морском техническом университете (199-1).
Структура и объем. Диссертация состоит из пяти глав, первая из которых носит вводный характер, заключении и списка литературы, включающего 115 наименований. Работа содержит 190 странно, 29 рисунков и 25 таблиц.
Результаты, выносимые иа защиту.
1. Разработка асимптотических методов и алгоритмов решения краевых задач на собственные значения для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнепий и
систем уравнений в частных произнодных со сложными граничивши условиями.
2. Получение новых приближенных решений следующих олио мерных задач ко лобан и й и устойчивости оболочек:
вычисление низших частот и форм осесимме.гричпых колебаний сопряженных цо параллели оболочек »ращения;
определение низших частот и форм неосссиммегричиых колебаний, а также критического внешнего давления и формы потери устойчивости для сопряженных но параллели копических оболочек;
вывод формул для нахождения низших частот и форм неосе-симметричных колебаний цилиндрических и конических оболочек, нодкреплепных шпангоутами;
определение критического наешиего давления и формы потери устойчивости для подкрепленной шпангоутами цилиндрической оболочки.
3. Оценка области применимости иол/безмоментной теории и различных упрощающих предположений в задачах о колебаниях и устойчивости нодкренленцых шпангоутами цилиндрических и конических оболочек.
4. Метод определения оптимальных параметров подкрепленной цилиндрической оболочки.
5. Построение следующих приближений для решений двумерных ьраеных задач, оиисыпающих пизкочастотпые колебания и устойчивом!, цилиндрических оболочек с косо срезанным красы.
6. Решение двумерных задач теории низкочастотных колебаний и устойчивости сопряженных под уьчом цилиндрических оболочек (трубчатого колена).
7. Исследование влияния шпангоута, установленного на линии сопряжения оболочек на низшие частоты колебаний и критическое давление.
8. Разделение на серии наименьших, собственных значений н задачах теории колебаний и устойчивости сопряженных оболочек и связанная с этим локализация собственных функций на срсдишю!" поверхности одцой из оболочек.
. к
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Первая глава иосит вводный характер. В пей дано общее описание постановки задач, методов решения и полученпых результатов с указанием их места среди результатов других исследователей.
Как задачи определения частот и ферм колебаний, так и ли-пейтше задачи устойчивости оболочек сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений в частных производных. Характерной особенностью задач теории сопряженных и иодкреиленпмх оболочек япляется наличие сложных граничных услопий на липиях сопряжения и линиях, подкрепленных ребром жесткости. В дальнейшем такие грапичпые условия будем вазывать услоними сопряжения.
В работе: иг.пользуется классическая система уравпений теории оболочек (В.В. Новожилов, А.Л. Гольденвейзер) оспопанпая на гипотезах Кирхгофа - Лява, точность которой оказывается достаточной для вывода всех полученных в работе приближенных формул. При исследовании подкрепленных оболочек стержни рассматриваются в рамках теории Кирхгофа - Клебша.
Уравнения теории топких оболочек содержат безразмерную толщину оболочки, которая является малым параметром. В виду а то го обстоятельства асимптотические методы интегрирования систем дифференциальных уравпений систематически используются для решения разнообразных задач теории топких оболочек (II.А. Алумяэ, В.В. Болотин, И.И. Ворович А.Л. Гольдепвей-зер, В.Б. Лидский, Л.И. Маневич, И.Ф. Образцов, Г.И. Пшеничной, П.Е. 'Говстик, К.Ф. Черпых и др.).
Системы дифференциальных уравпений теории оболочек являются сингулярно возмушеппыми, так как малый параметр входит и уравнении и виде множителя при старшей производной. При обращении в нуль малого параметра получается вырожденная (укороченная) система уравпений, которая имеет меньший порядок, чем исходная.
Решения краевых задач для сингулярно возмущенных систем уравнений теории оболочек в случае регулярного вырождения (М.И. Пищик, Л.А. Люстерник) можно представить в виде суммы основного (главного) состояния и простого краевого аффекта.
Оспоппое состояние определяется при решении вырожденной си стемы уравнений с. главными граничными условиями, а краевой эффект находится при удовлетворении дополнительных граничных условий. В качестве главных и дополнительных условий используются липейные комбинации исходных граничных условий. Иостоение таких линейных комбинаций называется разделением (расщеплением) граничных условий.
Для задач статики, в которых основпое состояпие обычно является безмоментным, проблема разделения сложных граничных условий довольно хорошо изучена (II.Л. Жилип, Ü.M. Мальков, Е.И. Михайлопский, К.Ф. Черных и др.). Гораздо меньше исследована проблема разделения граничных условий в задачах теории колебаний и устойчивости, для которых основное состояпие часто оказывается полубезмомептным. Для гладких оболочек разделение грапичпых условий в одномерных линейных задачах теории колебаний и устойчивости иропедеио в работах H.A. Алумяэ, И.В. Андрианова, В.М. Коряоиа, Л.И. Манеиича, П.Е. Товстика и др.
В дайной работе для ряда задач теории колебаний и устойчивости найдены главпые и дополнительные условия на линиях сопряжения оболочек и линиях, подкрепленных ребром жесткости. Это позвонило получить приближенные формулы для опре деления низших частот и форм колебаний, а также критического внешнего давления и форм лютсри устойчивости.
В диссертации построены формальные асимптотические разложения решений краевых задач. Вопросы, связанные с доказательством асимптотического характера полученных приближений но рассматриваются.
Во второй главе исследованы малые свободные колебания и устойчивость под действием внешнего давления двух тонких упруги* ободочек вращения средней дднпы и одипаконой толщины, сопряженных но параллели.
На срединной поверхности каждой оболочки введена система криволипейпых ортогональных безразмерных координат (л, >р), где а - длина дуги меридиана, -- угол п окружном направлении.. В качестве единицы длины выбран характерный размер оболочки Л. Первой оболочке соответствует иромежуток изменения а от 3i до а,, а второй - от з, МО
в
Рассмотрим случай, когда одна из оболочек является конической, а другая конической или цилиндрической.
Безразмерная система уравнений, описывающая колебании каждой из оболочек, после разделения переменных. может быть представлена в виде:
ти^г.-ък-я + ли = 0, ^+ =
где
<?1 = м\ + ~ + 29/л " ~Т)Мг + 277/л
Штрихом обозначена пропзводпая по л, т - число ноли по параллели, О - расстояние точки с.репишюй поверхности до оси вращения, - главный радиус, крипизпы, V - коэффициент Пуас-сопа, Е - модуль Юнга, р - плотность материала, - частота, колебаний. Беэразмерпыс усилия Г;, в, Л', и моменты Л/,, Я выражаются через проекции перемощений точек срединной поверхности «, о и го но известным формулам теории оболочек (В.В Новожилов, А.Л. Гольденвейзер).
Нулем обозначать величины, характеризующие первую (вторую) оболочку букваии с верхним индексом 1(2). Предполагается, что оболочки изготовлепы из одпого материала К^1' = /¡Я1 = 13, «ДЧ = = г, /»М = рО =' р, а на краях оболочек « = »1 и л = ,ч2 заданы либо условия жесткой заделки
и = о =г и) = «/ = 0, (2)
либо условия свободного опирапия
о = ш = = ЛГ, = 0. (3)
На параллели сопряжения я = должпи быть пынолпены условия ненрерьгнпосш перемещений, усилий, угла поворота и момента Му-.
= 1^цсоз0-О^КтР, С}^ -а^созр + ^ашр, „(2) _ „(1>сор^ _ „/О^,,^ ,„(') _ + Р?П /У,
Здесь /9 - угол поворота касательной, к меридиану в точке сопряжения s - s,. Предполагается, что угол сопряжения 0 ~ 1.
При т. - 0 система(1) распадается па две независимые системы уравнений. Одна из них имеет второй порядок, описывает крутильные колебания и в работе не рассматривается. Вторая система уравнений шестого порядка описывает осесимметрич-ные колебания оболочки. Ее можно представить в виде
h1
Li{u, w) = —Ли, Ь2(и,ш) +/i*N(u,w) = -Аш, = —<1. (5)
где L¡, N - линейные дифференциальные операторы. Граничные условия для системы (5) получаются исключением из (2)-(4) равенств, содержащих v и S. Если параметр частоты Л, удовлетворяет неравепству
V Л . 1-е2
А < Л = шш _ ,
то вырождение системы (5) в безмоментную систему
Xi(u, w) =-Au, Lj(u, ui) = -Ли>. (6)
является регулярным, и решение краевой задачи па собственные значения для двух систем (5), описывающих осесимметричные колебания сопряженных оболочек, можно представить в виде
А = Ао + /1А1 + /í2Aj + • • • j УМ = vít} + VÍ"\ 1,2. (7) Здесь y - любая из неизвестпых переменных. Функции
описывают главное напряженно - деформированное состояние оболочек, причем и^' и являются решениями безмомент-ных систем (6). Показатели интенсивности а(у) имеют разные значения для разных переменных. В частности а(ю) = а(и) = О, a{M¡)-a{Ni) = 4.
Функции ¡/^ описывают простой краевой аффект вблизи краев оболочки л = si, з = sj и параллели сопряжения a = л, и содержат d общей сложности восемь неизвестных постоянных Су4', 7 = 1,2,3,4.
Предположим для определенности, что па краях составной оболочки л = 5] B.i = ¡>t заданы условия жесткой заделки (2). Тогда
ю
главными грапичпыми условиями будут условия «^''(''1) = 0 и и(2'(«2) = 0 и два первых условия (4).
После подстановки (7) в главные грапичпые условия получаем грапичные условия нулевого приближения для двух безмомепт-ных систем (й):
= Зм'М = 0.. = *??(»•) = 0. (8)
Параметр Ло является собственным числом краевой задачи нулевого приближения (6), (8), которая распадается на две независимые краевые задачи. Собственные числа краевой задачи (6), (8) для сопряженных оболочек разделяются па две серии А(0'п' и п = 1,2,..., причем параметры к-ой серии А^' соответствуют безмоментньш колебаниям Ь-ой оболочки с граничным условием 7',=0 на параллели сопряжения.
Осесимметричпыо колебания сопряжении* ио параллели оболочек вращения исследовались с. помощью описанного здесь асимптотического метода и работе С.А. Луковепко и Г.И. Пшепич-вова, где рассматривалось сопряжение оболочек при помощи кругового стержня (шпангоута). При такой постановке, задачи краевая задача нулевого приближения не распадается на две независимых.
Юсли некоторый параметр частоты первой серии А^1' не совпадает ни с одним из параметров второй серии, то краевая задача нулевого приближения для второй оболочки при А0 = А},1' имеет только тривиальное решепие, и соответствующая собственная функция локализована на срединной поверхности первой оболочки.
Если же параметр Х^'' совпадает с каким - либо из 'параметров второй серии (резонансный случай), то отношение г без-момсптных нормированных собственных фуцкций, являющихся решениями двух независимых краевых задач пулевою приближения, определяется при построении первого приближения.
Восемь достоянных о фуикниях краевого эффекта находятся после подстановки (7) в дополнительные условии.
Лля определения «1, 1«! и А| и< пользуется система уравнений первого приближения
I -(«1,1»!) +■ А„и, = -А|«,], :,2(иьЧ>1) + А»!»! = — Л, 11!,,
с неоднородными граничными условиями первого приближения, которые находятся после нодстацопки (7) в глашие граничные условия. Краевая задача мерного приближения является краевой задачей на спектре.
Б нерезонансном случае поправка первого приближения Л] определяется из условия разрешимости краевой задачи первого приближения для нерпой оболочки. В резоцаисиом случае из условий разрешимости двух краевых задач черного приближения цо-лучаем систему двух уравнений для онределения Aj и г, которая сводится к квадратному уравнению.
15сли одна из сопряженных оболочек является цилиндрической, то соответствующая ей серия параметров частоты находится но формуле
а*. = —-2-«п = - 2) г
где п — 1,2,..., I - безразмерная длина цилиндрической оболочки. В верезонаисном случае в явном виде, найдеаы и поправки первого приближения для параметров частоты А0я, соответству-- ющих колебаниям цилипдрической оболочки. Для конической оболочки безмоментная краевая задача решалась численно методом проговки. Аналогичны« результаты получены в диссертации для случая осесимметричных колебаний сопряженных оболочек вращения с произвольной формой меридиана.
Для проверки точности асимптотических формуя в работе нро-ведепо интегрирование системы уравнений (5) методом ортогональной прогонки. Метод ортогональной прогонки использовался для расчета частот и фора колебаний оболочек вращения н работах U.U. Валиашвили, И.В. Григорьева, В.А. Лясковца, . A.B. Кармишина, В.И. Мяченкова, А.Н. Фролова и др. При использовании итого метода не возникает никаких трудностей при нереходе от решения задач для гладких оболочек к решению задач для сопряженных и подкрепленных оболочек. Использование асимитотических методов приводит к более сложным алгоритмам, однако программы, состав лепные па их оспове, требуют в десятки раз меньше машинного времени, чем программы чи-слеццого нитегрировлиия.
В случае неосесимметричных колебаний (in / 0) форма асимптотического разложения решений системы (L) зависит от соот-
и
ношения между параметрами Л, А и т (Гольдеппсйзср А. Л., Лидский В. В., Товстик Г1. Е. "Свободные колебания тонких упругих оболочек" - М.: 1979.) Для оболочек нулевой гауссовой кривизны (конических и цилиндрических) наибольший интерес с точки зрения приложений представляет случай сверхнизких частот А ~ Л, т ~ Л-1'4. Колебания такого типа названы в диссертации низкочастотными. Для достаточно тонких сопряженных конических и цилиндрических оболочек с граничными условиями (2) или (.4) параметры А ~ И составляют нижнюю часть спектра.
Рассмотрим низкочастотные колебания двух тонких конических оболочек (одна из пих может быть цилиндрической) сопряженных но параллели под углом р ~ 1. Решение двух систем (1) с граничными условиями (2) или (3) и (4) ищем б пиле асимптотических разложений по отрицательным степеням большого параметра т
А = т"4(Ао + т~% + •••), у= ¿к\+ * = 1,2. (9) Функции
опигынают главное тюлубезмоментиое папряжеппо - деформированное состояние оболочек, а функции .у^*' - простой краевой аффект.
Н нулевом приближении мы получаем две системы линейных дифференциальных уравнений вида
0>„/Г')' - щ = 0, (1 - 1/'К - Г,п = О, (Ш'ю)' + Я„ = О, + Я'аЧ = 0, (10)
= 11\1Гг( А0-/Лп8/Г1), с граничными условиями
«о = «о = 0 (заделка), .
и» = 7'ю = 0 (свободное опирали«) * '
на параллелях а = ,ч и условиями
Го = Г1(1 = 0 (12)
на параллели <:г>нряж"пия л = .ч,.
Красная задача пулевого приближения (10) - (12) распадается на две независимые краешие задачи для нерпой к = 1 и второй к — 2 оболочек. В соответствии с втим параметры частоты в нулевом приближении разделяются па две серии, каждая из которых соответствует колебаниям одной из оболочек с грапвчными условиями (12) па параллели сопряжения.
Для конической оболочки система (10) не имеет аналитического решения. Для цилиндрической оболочки она сводится к дифференциальному уравнению
da*
- а4ио = 0, а
< _
1
(13).
Если первая оболочка является цилиндрической, а на ее крае a = а 1 заданы условия свободного опирания (3), то
тип
"о»(«)= 8ina„(s- а,),
h
к ■!= ■
а параметры частоты первой серии в нулевом приближении определяются во формуле
ДЙ-О-^К+АЛ "=1,2..........(14)
В нерезонансяом случае найдена поправка первого приближения А[. Попутно определены поправки первого приближения для гладких оболочек.
Результаты, полученные но асимптотическим формулам, хорошо согласуются с результатами из статьи W. Ни and J. llaney.
а оо
400
Рис. 1. Зависимость первой частоты колебаний от т.
На рис. 1 пунктирной линией приведена зависимость наименьшей частоты колебаний / = w/(2<r) цилиндрической оболочки, сопряжепной с усеченной конической оболочкой, от числа волн по параллели m для случая, когда параметр частоты А вычислен с помощью формулы нулевого приближения (14). Сплошной линией изображена зависимость / от т, найденная с учетом шшравки первого приближения Aj. Кружками ланы значения частоты, полученные в статье W. Ни and .1. Raney методом численного интегрирования. При т > 5 погрешность асимптотических формул первого приближения по сравнению с численпьши результатами не превышает 3%,
Рассмотрим теперь задачу об устойчивости безмомептного напряженного состояния двух сопряженных но параллели конических оболочек средней длины и одинаковой толщины ft, находящихся под действием равномерного всестороннего внешнего давления р.
Безразмерные уравнения устойчивости каждой из оболочек можно записать в виде (Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов)
Т[ + |(3\ - Г3) + gs = О, Sf -f 2§S - gr, 4- & = О, Т2 . Гго2К2ш m (BRiu/)'] „
Q> + в+ + x Ы~+ Г - мгт] =
Здесь А = (1 - u^)p/(Eh) - параметр иагружения.
Предположим, что на краях оболочек я — si и а . = д3 заданы условия свободного оииранкя (3), а на параллели s = я, выполнены условия сопряжения (4). Тогда искомому параметру нагружения А ~ Л3'' соответствует форма потери устойчивости с большим числом волн но параллели m ~ Л""1'4.
Для построения приближенного решения используется метод разделения напряженно - деформировавиого состояния па основное (нолубезмоментное) и простой краевой эффект. Спектральный параметр ищется в виде
A =m-6(Ao + m-,Ai+ •••),
Метод решения краевой задачи устойчивости для сопряженных оболочек практически совпадает с методом решения краевой задачи в случае низкочастотных колебапий. В нулевом приближении при f) ~ 1 снова получаются две серии собственных чисел,
каждая из которых находится после решения краевой задачи нулевого приближения для одной из оболочек.
Пусть - наименьший положительный параметр ¿-ой серии. Вез ограничения общности можно считать, что А^1' < Тогда наименьшее приближенное значение параметра критического давления А определяется по формуле
А с* min [пГ'А^п»)] .
Если Ад1' - собственное значение краевой задачи нулевого приближения для цилилдрической оболочки, то
■i.SSL(.«
где I безразмерная длина цшшндричекой оболочки.
Бели Ац1^ является собственным значением краевой задачи нулевого приближения для конической оболрчки, то его можно определить при помощи численного интегрирования системы нулевого приближения (10).
Для сопряженных конических оболочек, находящихся под действием всестороннего внешнего давления, найдена поправка первого приближения Ах в перезопапелом случае. В примере расчета для оболочек с толщиной 1/200 < h < 1/1000 погрешность нулевого приближения по сравнению с первым составила ни более 3%.
При малых углах сопряжения ß-г* т~2 краевая задача нулевого приближения не распадается ва две независимых, однако для случая, когда одна из оболочек является ци ивдрической, удается в явном пиде выписать трансцендентные уравнения для определения величины Ао-
В третьей главе находятся низшие частоты и формы колебаний, а также значения критического внешнего давления для цилиндрических и конических оболочек, подкрепленных круговыми стержнями (шпангоутами).
Теории подкрепленных (ребристых) оболочек посвящено большое число публикаций, что связано как с практической важностью данных исследований, так и со сложностью возникающих в етой области проблем. Общие вопросы теории подкрепленных
оболочек рассмотрены D работах Е.С. Гребпл, П.А., Жилина. Существенный вклад в исследования динамики и устойчивости ребристых оболочек внесли H.A. Алфутои, И.Я. Амиро, И.В. Андрианов, Э.И. Григолюк, В.М. Даревский, В.А.Заруцкмй, П.В. Кабанов, В.А. Лесничг.я, Л.И. Маневич, В.М. Рябов, АЛО. Санников, С. D. Dabcock, D. F. Besfcos, D. BushneU, С. II. Rodges, M. Raheb и мпогие другие.
В задачах теории полкреплепных оболочек используются дпа подхода, отличающиеся способом учета ребер. Первый из них основан на замене ребристой оболочки эквивалентной си гладкой ортотронной (конструктивно - ортотрошгой) оболочкой. При другом, более строгом, подходе принимается so внимание дискретное расположение ребер, что особепно важно для правильного определения форм колебаний и форм потери устойчивости.
Численные методы (метод копечпых элементов, метод конечных разностей) относительно редко применяются и задачах динамики и устойчивости ребристых оболочек. Наибольшее рас-пострапепие получили аналитические и вариационные (внерге-тические) методы. •
Среди многочисленных теоретических исследований последнего времени, выполнепых па основе методик, учитывающих дискретное размещение ребер, сравнительно мало работ по динамике и устойчивости оболочек, в мторых используются асимптотические методы.
В диссертации асимптотический метод разделения напряженно - деформированного состояния оболочки па цолубезмомсптное и краевой эффект применяется для решения задач теории низкочастотных колебаний и устойчивости под действием внешнего давления дискретно подкрепленных цилиндрических и конических оболочек. Основная трудность, возникающая при использовании этого метода, состоит в определении главных и дополнительных граничных условий на подкрепленной параллели оболочки.
Использование асимптотических методов позволило, н частности, проанализировать область применимости раснострапен-ных упрощающих предположений (пренебрежение размерами поперечного сечения ребра, его эксцентриситетом, жесткостями шпангоутов на изгиб из плоскости и кручение, силами ипермии и т.п.). ' :
IT
Рассмотрим тонкую круговую цилиндрическую оболочку средней длины, подкрепленную по краю круговым стержнем прямоугольного поперечного сечения шириной а и высотой Ь (за единицу длины выбрав радиус Я цилиндрической оболочки). Свободные колебания цилиндрической оболочки (В = = 1) описывает система (1) с постоянными коэффициентами.
Пусть на неподкрепленном крае оболочки в = ^ заданы какие-либо четыре однородных граничных условия. На подкрепленной крае 1 = 1, (я, > должны быть выполнены условия сопряжения оболочки и кольца.
тв - <3, + Рс(т2 - 1)(жис + и»с) + Хс(те - mvc) = О,
т<? 1 - (1 + ет1)^ + Jxvli(m'> — 1 )(шт, + «;,.) - Л<!(ти)<: — и„) = О,
М\ + 7} — - т5) + - 1)(тЧ - *?х> - Лс«с = О,
(ет2 -1)7; + О) т(тСЬ - 51) + ш3М1 + Лт'(т2 -1)(ис - ) + Аеис = 0.
(18)
Здесь
и5 = и + , \вс = «и + 011?1, ис = и — <цгтси + етш
- проекции перемещений центра тяжести <7 сечения стержня. Величина а1 и эксцентриситет е определяют положение центра тяжести сечения С относительно края оболочки. Если С совпадает с краем, то в] = е = 0. Внешнему подкреплению соответствует е > 0. Безразмерные параметры ^ и Л характеризуют
жесткость стержня на растяжение, на изгиб в плоскости, из плоскости и па кручение соответственно. Слагаемые с множителем Кс учитывают инерцию кольца.
Рассматриваемая краевая задача имеет точное решение, однако алгоритмы, основанвые на использовании точного решения, применяются редко, п виду сложности их практической реализации.
Найдем приближенное решение с помощью метода разделения напряженно - деформированного состояния на полубезмоентное и простой краевой аффект. Предположим, что
а ~ т"°, Ь ~ 0 <«,/?< 4,
Система дифференциальных уравнений нулевого приближения сводится к урапнению (13). Чтобы получить граничные условия
для уравнения (13) при я = л,, необходимо провести разделение условий (16) на главные и дополнительные.
Трудности разделения условий сопряжения (16) связаны как с их громоздкостью, так и с тем обстоятельством, что порядки коэффициентов зависят от параметров аир. В виду этого в работе построено только нулевое приближение для co6ctbi тых значений и фупкций.
С помощью введенных в диссертации основных и дополнительных переменных и таблиц порядков коэффициентов составлены наборы из двух осповпых и двух дополнительных условий для различных областей квадрата Q = {(л,/?): 0 < а,р < 4}.
Установлено, что п случае а ~ 6 ~ е ~ т~3 ~ Л3'4, для получения главных и дополнительных условий необходимо использовать выражения для функций краевого аффекта. Следовательно, в этом случае задача приближенного определения частот колебаний не может быть решена с помощью полубеямоментной теории, так как в рамках этой теории нельзя построить функции краевого эффекта. Интересно отметить^ что случае е = 0 использование нолубезыомевтной теории дает вполне удовлетворительные результаты.
Подстановка (9) в главные условия сопряжения приводит к следующим условиям пулевого приближения для уравнения (13):
5о + т8Л(«о + a\eiJvJ-xU!Í) - Actn4v0 = 0, а + Р < 3 JT¡o + meJi¡JyU<i + OicjJjS'O = 0, « = а,,
где
s = л -1 í ч J . t\> 4- /х , > J ~ m Jk + elJy, e, = em'-l.
4g3íitme(Jk + qfi*) -Дцт1
В работе определены области квадрата Q, в которых можно пользоваться упрощенными условиями нулевого приближения.
В частности, при е = 0 для достаточно узких шпангоутов (а > 2) получаем условия
■So = — c,v0, T¡o = -c„uo, _ m'JfJk
с, = m J„
Jt + m2Jk'
Условия (17) можпо использовать и в лппсйиой задаче о потере устойчивости нодкреиленной шиаигоутом цилиндрической оболочки под действием внешнего давления.
Если цилиндрическая оболочка с краями в = и * = я3 подкреплена шпангоутом, расположенным па внутренней параллели s — л, (,i| < j, < а2), то необходимо искать решения системы (1) для каждой из двух частей оболочки, разделенных шпангоутом, и удовлетворять восьми граничным условиям па полкренлепной параллели. В ~>тои случае о нулевой приближении вместо условий (17) следует использовать условия
Дио = Avn = 0, Д5о = c»Vo, ДТщ = суи о, (18)
где Ау = j/<J> - «/').
Первые три условия (18) приведены в монографии H.A. Алфу-тсва "Основы расчета на устойчивость упругих систем" - М.: 1978. Вместо четвертого условия H.A. Алфутов использовал условие ДГю = 0, так как не учитывалась жесткость шпангоута па изгиб аз плоскости и кручение.
В качестве примеров в диссертации рассмотрены колсбапия и устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной по внутренней параллели одним симметрично расположенный шпангоутом. Установлено, что оптимальпыми с точки зрения максимального увеличения первой частоты или критического давления при сохранении общей массы подкрепленной оболочки являются размеры поперечного сечения шпангоута а ~ Ь ~ Л3'4. Для таких шпангоутов можпо не учитывать н .емкость шпангоута на изгиб из плоскости и кру чение и считать, что с, — 0.
Для проверки точности асимптотических формул в работе проведено iiivierphpoiianue системы уравнений (1) с граничными условиями (16) методом ортогональной прогонки.
Получено точное решение задачи пулевого приближения для цилиндрической оболочки подкрепленной » одинаковыми равноотстоящими шпангоутами в случае с, = 0. Для приближенного решения последней задачи использован метол осреднения упругих характеристик (Н.С. Бахвалов, Г.Н. Папасеико), с помощью которого, в частности, получена формула
Уд) .. f VTTi?, 0<т)<,,„ . .
Ао(0)-\(п + 1)1, {iJ>
где A0(rj) и Ао(0) - наименьшие параметры частоты для подкрепленной и пеподкрепленпой оболочек. Безраэмерьый иараметр г/ пропорционален отношению изгибпой жесткости шпангоута к из-гибной жесткости оболечки. Величина »;.(«) = (n+1)' -1 называется эффективной жесткостью шыапгоута (H.A. Алфутов). Увеличение жесткости шпангоута г) после достижения сю зпа ения г/, не приводит к увеличепию паимепыкего иараметра частоты.
В задаче устойчивости
,,.(п) = (п+1),/3-1. (20)
Несмотря на то, что приближенные формулы (19), (20) были выведены в предположении n » 1, ех ~ 1/п, они дают хорошее приближение к точному значению А0 даже при наличии всего одного шпапгоута и при сравнительно больших значениях параметра сг. Так, например, значения tj.(l) =1.52, >}.(2) = 3.33, полученные по формуле (20) хорошо согласуются с результатами »7,(1) = 1.5, v«(2) = 3.2. приведенными в монографии H.A. Алфутова.
Лриближепные формулы, полученные метолом осреднения упругих характеристик, использованы для определения параметрон подкрепленной цилиндрической оболочки с фиксированной массой, имеющей максимальную иервую частоту или критическое давление.
Обозначим ад наименьшую частоту колебаний цилидрической оболочки со свободно опертыми краями, имеющей безразмерную длину L и толщину h0. Предположим, что за счет уменьшения толщины оболочки до величины h па пей установлено п шпангоутов прямоугольного поперечного сечения ширипой а и высотой Ь = ка. Пусть шпангоуты установлены без эксцентриситета (е = 0) на равном расстоянии I = L/{n+\) друг от друга и от краев оболочки. Лля определения первой частоты колебаний подкрепленной оболочки <i>t воспользуемся формулой (19).
Оптимальные значения ширины шпапгоута о и толщины h подкрепленной оболочки определяются из системы двух алгебраических уравнений
шЛЬ = ¿(Ло-А), Л3.Ь((» + I)4 - 1) = (1 - + 1),
которая сводится к кубическому уравпению.
В таблице 1 приведены оптимальные значения Л, о и значения г =ъ>1/и>(, Для различного числа шпангоутов п при к = 1. •
Таблица 1
п Л а г
1 0.00881 0.0689 1.88
2 0.00689 0.0788 2.46
4 0.00402 0.0773 3.17
6 0.00255 0.0705 3.53
10 0.00128 0.0591 3.93
При п > 1 имеем г ~ п1'6, поэтому чем больше шпангоутов установлено на оболочке, тем выше ее первая частота. Полученные в диссертации результаты согласуются с выводами работы Э.И. Волынского, В.А. Зарудкого, Ю.М. Почтмапа, в которой для определения оптимальных параметров использовался метод нелинейного программирования.
В диссертации показано, что для аналогичной задачи устойчивости может существовать некоторое оптимальное число шпангоутов, которое обеспечивает наибольшую величину критического внешнего давления.
Исследования динамики и устойчивости подкрепленных конических оболочек проводились главным образом на оспове кон-, структивно - ортотропноЙ модели. При решении задач с учетом дискретного расположения ребер использовались вариационные методы.
В диссертации низшие частоты и формы колебанй тонкой конической оболочки, подкрепленной дискретно расположенными ншангоутамн, находятся с помощью асимптотического метода разделения напряженно - деформированного состояния па полу-безмомептвое и простой краевой эффект. Получены главные и дополнительные условия на подкрепленной параллели. Для решения краевой задачи нулепого приближения использован численный метол интегрирования. Результаты, полученные при помощи асимптотических формул сравниваются с результатами . численного интегрирования исходной системы (1) методом ортогональной прогонки.
В статьях С.А. Луковснко и Г.И. Пшеничнона с помощью асимптотического метод* исследовались колебания двух оболочек вра-
щения, подкреплелпых кольцом по параллели сопряжения. Рассмотрены осесимметричные колебания и неосссимметричаые колебания в случае А ~ т ~ 1.
D дапвой работе рассмотрены низкочастотные колебания дпух конических оболочек, сопряженных но параллели, подкрепленной шпангоутом. Получены и проанализированы условия i пряжения нулевого приближения для двух систем вида (10). Установлено, что для существенного увеличения низших частот колебаний, на параллели сопряжения следует устанавливать массивные ('.олстые) шпангоуты, в то время как па гладких участках наиболее аффективны тонкие шпангоуты.
В четвертой главе в липейной цостаиовке исследована потеря устойчивости безмоменгиого напряженного состояния тонких упругих цилиндрических оболочек с косыми краями под действием однородного внешнего бокового давлепия. Характерной особенностью этих задач является локализация форм потери устойчивости в окрестностях наиболее длинных образующих цилиндрических оболочек.
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку средней длины, один из краен которой (ирлмой край) совпадает с параллелью оболочки, а другой образован пересечением оболочка с плоскостью, паклонеипой к оси оболочки под углом тг/2—ß. В дальнейшем для краткости такая оболочка называется оболочкой с косым краем. Предполагается, что угол ß не является малым (ß ~ 1). Вели ß = 0, то оба края будут прямыми.
Приближенное решение задачи о потере устойчивости цилиндрической оболочки с косым краем под действием однородного внешнего давления получено » работах П.Е.Товстика. Найдены два черных числа асимптотического разложения для параметра критического давления и определена часть поupai/ки второго приближения, учитывающая влияние краевых вффектов. В данном разделе иолучена полная поправка второго приближения для параметра критического давления. Для »того вместо системы урав-вений теории пологих оболочек, которая использовалась U.E. Товстиком, оказалось необходимым исследовать более точную систему уравнений устойчивости оболочек.
Па срединной поверхности оболочки введем систему безраз-
мерных ортогональных, криволинейных координат
х €¡0,!(<?)], ^£{0,2*), i(Y>) = i„ + tgi8cos<p,
где 1Г. - безразмерная длина осевой линии оболочки. За едипиду длины ныбран радиус оболочки R.
Липойная задача устойчивости начального безмоментиого напряженного состояния цилиндрической оболочки под действием равномерного виешнего бокового давления сводится к красной задаче на собственные значения для системы линейных уравнений в частных производных с постоянными коэфипиенгами
7i,x + = 0, Т2 - - + - n,v) = О,
Sa + 7'3,v> + Q, - 0, Qj = My,, Qi - M,,x + 2//,v,
АЛ = ¿"C«>t.x + 1'#гЛ Afs = + II = (l- f)fX*.
2(1 + = u,x + И,»,, (1 -V)Ti = U,r 4 i/(u> + i>,„).
(1 - fs)'/j = w + + tfi = = + v. (21)
Здесь e8 = /s1/jl2(l - i ?)| - малый параметр, A = p/(Ehc9) - искомый параметр нагружепия,
Рассмотрим оболочку со свободно опертыми краями. Собственные значения краевой задачи для системы (21) будем искать н виде
А = А0 + еА) + ejA3 + • • •. (22)
Ограничимся определением наименьшего положительного соб-стнснного значения, которому соответствует верхнее критическое давление.
Форму потери устойчивости представим в пиде суммы у — t/„ f Уь- Функция
tin = Eo(y,wexp ^ jf q(<p) ilifij ,
где
DO
У = £>!/»(*,¥>). (23)
n=o
/»»{y(0))=G, Im{q,v{0)} > 0, (24)'
описывает основное полубешоментное напряженно - деформированное состояние оболочки, а фуикция гл - простой красной вффект вблизи краен г. = 0 и х = 1(<р)-
Функция ш удовлетворяет уравнению
/ \
Ош- \ю = сгЯй, N = + 2- Л„Ф~2 / 1 + 2--- I , (25)
Здесь - формальный асимптотический ряд, ~ у.
Оператор О разложим п ряд по степени« параметра с:
с = —+ Т2- (2«)
п»0
Подставив (22), (23) и (26) н (25), мм получим последовательность уравнений для определения А„ и п\,(г,<р).
Решение кравой задачи нулевого приближения для оболочки со свободно опертыми краями
(<?о - Ло)ч!о = 0, г«о = тоо^» = 0 при ж = 0, х — I, (27)
ищем в виде
Функция №0 удовлетворяет уравнению
-ГГ - = 0, а4 = К'," - ч\ (28)
а параметр А0 определяется по формуле
где ¿о = '(0) - 1с + - длина наибольшей образующей. Соответствующая А(, форма потери устойчииосги имеет вид
ш ~ ЛДу^И^х.^ехр ^ , (30)
где
Функция (30), описывающая основное состояние, как и и одномерном случае (1 = 0, бистро осциллирует при нзмепении окружной координаты <р, однако в отличие от случая ¡1 ~ 0, при ¡3 ~ I
Рис. 2. Форма потери устойчивости
в силу (24) амплитуда этой функции быстро убывает при удалении от наиболее длинной образующей <р = 0 цилиндрической оболочки с косым краем.
Иа рис. 2 приведена зависимость симметричной формы потери устойчивости Яс(и>) от ц> ири фиксированном х = 2 для оболочки со свободно опертыми краями при 10 = 4, Д = 45", и = 0.3. Кривые 1 я 2 соответствуют А-1 = 200 и Ьг1 = 800.
Характер изменения ш как функции продольной координаты в нулевом цриближенки совпадает г характером изменения соответствующей функции в одномерной случае 0 = 0. Это приводит к некоторым аналогиям между решениями двумерной (/? ~ I) и одномерной {р - 0) задач. В частности, и.» формулы (29) следует формула (15) для оболочки длиной 10.
Поправка первого приближения А) = 2у/Х<,1 %Р1к определяется из условия разрешимости краевой задачи ва спектре первого приближения
(С0-Л0)ы?г = - А,)и\ь
ч>1 = ш>гХХ = 0 ври х = 0, Щ = т^х - 4гч~'1,ги10<ххх = 0 ври г. = 1
Поправка
Л г = Л} + А20 + Аг,
где
\ = 4
