Колебания и устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Низкочастотные колебания и устойчивость тонкой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами

1.1. Уравнения, описывающие колебания и устойчивость круговой цилиндрической оболочки.

1.2. Асимптотические разложения решений.

1.3. Подкрепленная цилиндрическая оболочка

Глава 2. Оптимизация параметров цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами

2.1. Уравнения для нахождения собственных частот колебаний и критического давления.

2.2. Влияние жесткости подкрепления на оптимальное расположение шпангоутов.

2.3. Оптимизация расположения шпангоутов по оболочке с целью максимального увеличения первой частоты.

2.4. Оптимизация расположения шпангоутов по оболочке с целью максимального увеличения критического давления.

2.5. Приближенные формулы для вычисления параметра частоты и критического давления.

2.6. Оптимизация распределения массы подкрепленной оболочки между обшивкой и шпангоутами с целью максимального увеличения первой частоты колебаний и критического давления.

Глава 3. Устойчивость тонкой цилиндрической оболочки с косым краем под действием кручения

3.1. Начальное напряженное состояние.

3.2. Постановка задачи.

3.3. Асимптотическое разложение решений.

3.4. Нулевое приближение.

3.5. Первое приближение.

3.6. Второе приближение.

3.7. Результаты расчетов.

Глава 4. Кручение тонкой ребристой цилиндрической оболочки с косым краем

4.1. Кручение оболочки, подкрепленной стрингерами. Постановка задачи.

4.2. Нулевое приближение.

4.3. Первое приближение.

4.4. Кручение оболочки, подкрепленной шпангоутами. Постановка задачи.

4.5. Нулевое приближение.

4.6. Первое приближение.

Тонкостенные цилиндрические оболочки находят широкое применение в самых разнообразных областях современной техники. Образованные из тонких оболочек конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью, что объясняет широкое применение оболочек в судостроении, авиа- и ракетостроении, химическом машиностроении, в строительстве и многих других отраслях.

В настоящее время теория гладких оболочек представляет собой хорошо разработанный раздел механики деформируемого твердого тела. Значительный вклад в фундаментальные исследования в этой области был внесен В.З. Власовым [17], A.JI. Гольденвейзером [21], А.И. Лурье [46], Х.М. Муштари [54], В.В. Новожиловым [57] и другими учеными. Успехи в развитии теории оболочек послужили надежной основой для построения различных точных и приближенных методов расчета оболочек.

Стремление к снижению веса и увеличению жесткости оболочек привело к применению различного рода подкреплений. Наиболее распространенный класс такого рода конструкций составляют ребристые цилиндрические оболочки. В связи с этим актуальными являются разработка новых и совершенствование уже существующих методов расчета тонкостенных конструкций такого типа, подвергающихся воздействию статических и динамических нагрузок.

Необходимым элементом исследования динамики конструкции является определение частот и форм малых колебаний. При действии на оболочку статических нагрузок ее работоспособность зависит от значений критических нагрузок, при достижении которых происходит происходит потеря устойчивости. Для тонких оболочек во многих случаях определяющим является расчет на устойчивость.

Как задачи определения частот и форм колебаний, так и линейные задачи устойчивости оболочек сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Обзоры работ по динамике и устойчивости подкрепленных оболочек содержатся в [6, 9, 11, 43].

На практике часто при расчете ребристых оболочек переходят к схеме однородной анизотропной оболочки. Жесткостные и инерционные свойства подкрепляющих элементов "размазываются" по поверхности оболочки, которая затем рассматривается как однородная, но наделенная некоторыми новыми свойствами в соответствии с конструктивными особенностями объекта (конструктивная ортотропия) [11, 12, 20]. Введение конструктивной ортотропии дает возможность отвлечься от особенностей силового взаимодействия между ребрами и обшивкой и сильно упростить задачу. Такой подход использован в работах [6, 26, 36, 50, 51, 53] и др.

Конструктивно-ортотропная теория позволяет с достаточной точностью находить низшие частоты колебаний и значения критических нагрузок. Однако этот подход применим только в тех случаях, когда подкрепляющие оболочку ребра расставлены достаточно часто, и при этом трудно указать простые и строгие критерии, позволяющие в каждом конкретном случае оценить правомерность равномерного распределения ("размазывания") жесткости ребер.

Более общий подход основан на учете дискретного размещения подкрепляющих оболочку ребер. Вывод уравнений с учетом дискретности ребер начался с основных идей теории ребристых оболочек, высказанных В.З. Власовым [18] и А.И. Лурье (доклад "Уравнения равновесия оболочки, подкрепленной ребрами вдоль линий главных кривизн", прочитанный на семинаре Ленинградского политехнического института 28 октября 1948 г. [12]). Предполагалось, что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из обшивки и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов. Допускалось, что обшивка и ребра взаимодействуют вдоль линии пересечения осевого сечения ребра и поверхности обшивки и что перемещения обшивки и ребер вдоль линии контакта равны.

При построении уравнений равновесия ребристых оболочек В.З. Власовым влияние ребер учитывалось в виде их реакций, действующих на обшивку, которые затем с помощью уравнений равновесия ребер исключались из уравнений равновесия обшивки. А.И. Лурье для вывода уравнений равновесия использовал принцип возможных перемещений. В этом случае нет необходимости вводить усилия взаимодействия ребер и обшивки и из вариационного уравнения можно получить как уравнения равновесия, так и естественные граничные условия.

В работах, выполненных после 1964 года, для построения уравнений равновесия, как правило применялся метод Лурье [4]. Он использован для вывода уравнений равновесия ребристой цилиндрической оболочки и формулировки естественных граничных условий в работах [34, 35]. Уравнения равновесия для ребристой оболочки произвольного очертания выведены в работах [37-40]. В работах [23-25] метод Лурье использован для построения системы уравнений равновесия технической и общей теории ребристых оболочек. В работах [34, 80] учтено, что обшивка и ребра взаимодействуют вдоль поверхности контакта.

Теории подкрепленных оболочек посвящено большое число публикаций. Подробные обзоры методов вывода уравнений ребристых оболочек и их решения и обширная библиография приведены в работах [4, б, 7, 9, 28, 40, 59]. В отличие от других разделов теории оболочек, численные методы (метод прогонки, метод конечных элементов, метод конечных разностей) [42, 55, 87, 88] применялись в этой области относительно редко. Наибольшее распространение получили аналитические и вариационные методы [2, 6, 29, 49, 62, 65] и др. В настоящее время существуют мощные пакеты программ для численных расчетов ребристых оболочек. Однако численные методы не лишены недостатков: с их помощью сложно понять механизм потери устойчивости, они не являются универсальными, требуют достаточно много времени для подготовки начальных данных и больших вычислительных мощностей, их применение затруднено при расчетах систем, в которые входят очень большие или очень маленькие величины.

В теории оптимального проектирования конструкций большое место занимают вопросы расчета подкрепленных оболочек минимального веса. Вопросы оптимального проектирования в теории устойчивости и колебаний подкрепленных оболочек рассмотрены в работах [19, 30, 41, 44, 56, 60, 63, 64].

Асимптотические методы, основанные на разложениях решений в ряд по степеням малого параметра, занимают ведущее место среди методов построения приближенных аналитических решений. Систематическое применение асимптотических методов в теории тонких оболочек началось с известных монографий А.И. Лурье [46] и А.Л. Гольденвейзера [21]. Ряд результатов для общего случая анизотропии приведен в монографии С.А. Амбар-цумяна [3].

Уравнения теории тонких оболочек содержат естественный малый параметр — безразмерную толщину оболочки. Малый параметр входит в уравнения теории оболочек в виде множителя при старшей производной. При обращении в нуль малого параметра получается порождающая (укороченная) система уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Системы дифференциальных уравнений такого типа называются сингулярно возмущенными.

При решении краевых задач для сингулярно возмущенных систем уравнений теории оболочек в случае регулярного вырождения в смысле Вишика—Люстерника [16, 74] удается разделить напряженно-деформированное состояние оболочки на основное и простой краевой эффект. В задачах, рассмотренных в диссертации, основное состояние является полубезмоментным. Функции краевого эффекта вносят существенный вклад в решение только вблизи краев оболочек и линий их сопряжения или подкрепления.

Характерной особенностью некоторых двухмерных задач теории колебаний и устойчивости оболочек является локализация полубезмоментных форм колебаний и форм потери устойчивости вблизи некоторых линий на срединной поверхности оболочек [73, 89]. Для решения таких задач П. Б. Товстиком разработаны весьма эффективные асимптотические методы [68-70, 72], которые позволяют свести решение исходной краевой задачи к последовательности одномерных краевых задач.

Основное состояние определяется путем решения вырожденной системы уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Вследствие этого основное состояние вообще говоря не удовлетворяет всем граничным условиям. Метод разделения напряженно-деформированного состояния на главное и краевой эффект можно использовать только в том случае, когда удается разделить граничные условия на главные и дополнительные. С помощью главных условий определяется основное состояние, а с помощью дополнительных находится простой краевой эффект. В некоторых случаях для получения главных и дополнительных условий необходимо составлять линейные комбинации исходных граничных условий. Разделение простых граничных условий заделки, шарнирного края и др. на главные и дополнительные в задачах теории колебаний и устойчивости проведено в работах [1, 22, 72] и др.

Для сопряженных и подкрепленных оболочек использование метода разделения напряженно-деформированного состояния на главное и краевой эффект осложняется в виду необходимости разделения на главные и дополнительные громоздких граничных условий на линиях сопряжения и подкрепления оболочек. Проблема разделения таких условий в задачах статики довольно хорошо изучена [39, 48, 52, 58, 81, 82].

Разделение граничных условий на главные и дополнительные в задачах колебаний и устойчивости сопряженных и подкрепленных оболочек впервые проведено в работе [78]. Ребра рассматривались в рамках теории Кирхгофа—Клебша, предполагалось, что ось ребра является плоской кривой. При выводе условий сопряжения учитывались деформации растяжения, изгиба в нормальной и касательной плоскостях, кручение ребра, а также его ширина и эксцентриситет расположения. В [32] получены главные и дополнительные условия сопряжения для цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами произвольного направления.

В диссертации исследуются низкочастотные колебания и устойчивость подкрепленных тонких упругих цилиндрических оболочек средней длины. Используется классическая система уравнений теории оболочек [22], основанная на гипотезах Кирхгофа— Лява, точность которой оказывается достаточной для вывода всех полученных в работе приближенных формул. При исследовании подкрепленных оболочек ребра рассматриваются как стержни в рамках теории Кирхгофа—Клебша.

Данная работа состоит из четырех глав. В первых двух главах рассмотрена цилиндрическая оболочка с прямыми краями, подкрепленная по параллелям тонкими круговыми стержнями (шпангоутами), для которой краевые задачи с помощью разделения переменных сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что при ограничении на минимальные частоты, оптимальной по весу является оболочка, усиленная только кольцевыми ребрами [30]. Поэтому, оболочки, подкрепленные только продольными ребрами (стрингерами) в первых двух главах не рассматриваются.

Третья и четвертая главы посвящены исследованию устойчивости цилиндрической оболочки с косым краем. В этом случае разделение переменных в системе дифференциальных уравнений провести не удается, и краевые задачи являются существенно двумерными.

Первая глава носит вводный характер. Изложен метод построения асимптотических разложений в задаче о низкочастотных колебаниях и устойчивости цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами. Рассмотрен пример оболочки, подкрепленной по середине одним шпангоутом. Приводятся зависимости первой частоты колебаний и критического давления от величины жесткости и эксцентриситета расположения шпангоута.

Во второй главе рассматриваются задачи о низкочастотных колебаниях и устойчивости под действием равномерного внешнего давления цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами, неравномерно расположенными вдоль образующей. Найдены оптимальные расположения шпангоутов, соответствующие максимальному увеличению первой частоты колебаний и критического внешнего давления для цилиндрической оболочки с прямыми краями при различных граничных условиях. Исследовано влияние жесткости подкреплений на оптимальное расположение ребер. Определены оптимальные параметры подкрепленной цилиндрической оболочки, позволяющие получить наибольшее значение первой частоты и критического внешнего давления при фиксированной массе конструкции. Исследовано влияние эксцентриситета подкреплений на первую частоту колебаний и критическое внешнее давление.

В третьей главе метод [70, 72] используется при определении критического значения усилия сдвига и форм потери устойчивости для тонкой цилиндрической с косым краем. Формы потери устойчивости локализованы в окрестности наиболее длинной образующей оболочки и являются быстро осциллирующими функциями. Амплитуда осцилляций экспоненциально убывает при удалении от наиболее слабой образующей. Скорость затухания формы потери устойчивости возрастает с уменьшением длины и толщины оболочки и при увеличении угла среза косого края. Построено второе приближение, что позволило уточнить значения критического усилия и формулы для собственных функций.

В четвертой главе решены задача об устойчивости цилиндрической оболочки с косым краем при кручении, подкрепленной только стрингерами и только шпангоутами. Для получения приближенных уравнений равновесия оболочки, усиленной ребрами использовался метод осреднения [14], основанный на выделении в решении медленной (конструктивно-ортотропной) и быстрой (периодической) составляющих [12]. Полученная система уравнений конструктивно-ортотропной теории решалась методом, применявшимся в третьей главе. Форма потери устойчивости также является локализованной в окрестности наиболее длинной образующей. Приведено сравнение влияния указанных способов подкрепления на величину критической нагрузки.

Полученные в главе результаты могут быть использованы в качестве начальных приближений при расчете цилиндрической оболочки с косым краем, подкрепленной перекрестной системой ребер с использовании метода, предложенного в работе [79]. В основу указанного метода положен принцип последовательных приближений [38, 61]. На первом этапе решается задача для оболочки с ребрами только одного направления при заданных граничных условиях и нагрузке. Параллельно решается аналогичная задача для оболочки с ребрами только другого направления. На втором этапе в уравнения для оболочки с ребрами первого направления вводится дополнительная нагрузка — реакции ребер второго направления, найденные на первом этапе. Аналогично уточняется решение задачи для оболочки с ребрами второго направления путем введения в функцию внешней нагрузки реакций от ребер первого направления. Затем процесс снова повторяется.

Основные результаты исследования, выносимые на защиту: Определение оптимальных расположений шпангоутов, соответствующих максимальным значениям первой частоты колебаний и критического внешнего давления для цилиндрической оболочки с прямыми краями при различных граничных условиях. Исследование влияния жесткости подкреплений на оптимальное расположение ребер.

Вычисление оптимальных значений параметров подкрепленной цилиндрической оболочки с фиксированной массой, для которых первая частота колебаний и критическое внешнее давление имеют наибольшую величину. Исследование влияния эксцентриситета подкреплений на первую частоту колебаний и критическое внешнее давление.

Уточнение приближенных асимптотических формул для определения критической нагрузки и формы потери устойчивости в задаче о кручении цилиндрической оболочки с косым краем. Сравнение полученного решения с известным ранее менее точным решением показало, что найденные в работе дополнительные члены асимптотических разложений существенно влияют на величину критической нагрузки.

Решение задачи об устойчивости при кручении цилиндрической оболочки с косым краем, подкрепленной стрингерами или шпангоутами. Сравнение влияния указанных способов подкрепления на величину критической нагрузки.

Основные результаты исследований, представленные в диссертации, были опубликованы в работах [83—86].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе исследовано влияние параметров подкрепления на низкочастотные колебания и устойчивость ребристых цилиндрических оболочек под действием равномерного внешнего давления и при кручении.

Основными результатами, выносимыми на защиту, являются:

Определение оптимальных расположений шпангоутов, соответствующих максимальным значениям первой частоты колебаний и критического внешнего давления для цилиндрической оболочки с прямыми краями при различных граничных условиях. Исследование влияния жесткости подкреплений на оптимальное расположение ребер.

Вычисление оптимальных значений параметров подкрепленной цилиндрической оболочки с фиксированной массой, для которых первая частота колебаний и критическое внешнее давление имеют наибольшую величину. Исследование влияния эксцентриситета подкреплений на первую частоту колебаний и критическое внешнее давление.

Уточнение приближенных асимптотических формул для определения критической нагрузки и формы потери устойчивости в задаче о кручении цилиндрической оболочки с косым краем. Сравнение полученного решения с известным ранее менее точным решением показало, что найденные в работе дополнительные члены асимптотических разложений существенно влияют на величину критической нагрузки. Решение задачи об устойчивости при кручении цилиндрической оболочки с косым краем, подкрепленной стрингерами или шпангоутами. Сравнение влияния указанных способов подкрепления на величину критической нагрузки.

1. Алумяэ Н. А. К определению критической нагрузки замкнутой в вершине оболочки, находящейся под действием внешнего давления // Тр. Тал. политехи, ин-та. Сер. А. 1955. Вып. 65. С. 1-13.

2. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.

4. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев: Наукова думка, 1973. 248 с.

5. Амиро И. Я., Заруцкий В. А. Экспериментальное и теоретическое определение собственных частот колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек // Прикл. механика. Т. 13. Вып. 10. 1977. С. 6—13.

6. Амиро И. Я., Заруцкий В. А. Методы расчета оболочек. Том 2: Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. 368с.

7. Амиро И. Я., Заруцкий В. А. Исследования в области динамики ребристых оболочек // Прикл. механика. Киев, 1981. Т. 19. Вып. 11. С. 3—20.

8. А миро И. Я., Заруцкий В. А. Исследования в области устойчивости ребристых оболочек // Прикл. механика. Киев, 1983. Т. 17. Вып. 11. С. 3—20.

9. А миро И. Я., Заруцкий В. А. Паламарчук В. Г. Динамика ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1983. 204 с.

10. Амиро И. Я., Грачев О.А., Заруцкий В. А., и др. Устойчивость ребристых оболочек вращения. Киев: Наукова думка, 1987. 160 с.

11. Андрианов И. В., Лесничая В. А., Лобода В. В. и др. Расчет прочности ребристых оболочек инженерных конструкций. Киев—Донецк: Вища школа, 1986. 104с.

12. Андрианов И.В., Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985. 224 с.

13. Андриевская С.И. Влияние эксцентричного расположения шпангоутов на величину критического давления цилиндрических оболочек // Изв. вузов. Машиностроение. 1969. Вып. 1. С. 31—35.

14. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

15. Биргер И.А., Пановко Я.Г. и др. Справочник в трех томах: Прочность. Устойчивость. Колебания. М.: Машиностроение, 1968.

16. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравненийс малым параметром // Успехи мат. наук, 1957. Т. 12. Вып. 5. С.3-122

17. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. ГИТТЛ, М.-Л., 1949. 784 с.

18. Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. М.: Госстройиздат, 1958. 502 с.

19. Волынский Э.И., Заруцкий В.А., Почтман Ю.М. Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек при заданных ограничениях на собственные частоты колебаний // Строительная механика и расчет сооружений. 1977. Вып. 5. С. 17— 21.

20. Волъмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

21. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Го-стехиздат, 1953. 544 с.

22. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.

23. Гребень Е. С. Основные уравнения теории ребристых пологих оболочек и пластинок. В кн.: Расчет пространственных конструкций. М.: Госстройиздат, 1965. Вып. 10.

24. Гребень Е. С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Вып. 3. Механика, 1965.

25. Гребень Е. С. О деформациях и равновесии подкрепленных ребрами тонких оболочек // Мех. тверд, тела. Вып. 5. 1969.

26. Григолюк Э.И. К теории круговых цилиндрических оболочек с жестким продольным набором // Изв. АН СССР. ОТН, 1954. Вып. 11.

27. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.

28. Григолюк Э. ИТолкачев В. М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 411 с.

29. Даревский В. М., Кшнякин Р. И. Устойчивость подкрепленной кольцами цилиндрической оболочки под действием внешнего давления // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134. Вып. 3. С. 548-551.

30. Диамант Г. И., Заруцкий В. А., Сенченко Л. А. Оптимизация параметров ребристых цилиндрических оболочек по минимальной собственной частоте колебаний // Сопрот. мат. и теория сооружений. 1978. Вып. 32. С. 48-50.

31. Диамант Г. И., Заруцкий В. А., Сивак Э.Ф. Исследование влияния ребер на собственные частоты и формы колебаний цилиндрических оболочек // Строит, механика и расчет сооружений. Вып. 3. С. 48-50.

32. Дмитриева М.Л. Двумерные задачи колебаний подкрепленной цилиндрической оболочки // Прикл. мех., J1. Вып. 7. 1988. С. 153—159.

33. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки // пер. с англ. Л. Г. Корнейчука. Под ред. Э. И. Григолюка. М.: Наука, 1982. 568 с.

34. Заруцкий В. А. Равновесие ребристых цилиндрических оболочек // Прикл. механика. Киев, 1965. Т. 1. Вып. 11.

35. Заруцкий В. А. К расчету подкрепленных оболочек // Инженерный журнал, 1965. Т. 5. Вып. 5.

36. Заруцкий В. А. Приближенные формулы для вычисления минимальных собственных частот колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек // Прикл. механика. Киев, 1977. Т. 13. Вып. 5. С. 43—51.

37. Жилин П. А. К анализу краевых задач для ребристых оболочек. В кн.: Прочность гидротурбин, 72. JL: Изд-во ЦКТИ, 1966.

38. Жилин П. А. Общая теория ребристых оболочек. В кн.: Прочность гидротурбин, 8. Л.: Изд-во ЦКТИ, 1968.

39. Жилин П. А., Кизима Г. А. Сферический пояс с меридиональными ребрами // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1969. Вып. 5. С. 97-105.

40. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. Ан СССР. Мех. тверд, тела. Вып. 4. 1970. С. 150—163.

41. Завьялов В. Н., Кадисов Г. М. Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек // Тр. 15-й Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Казань. 1990. Т. 1. С. 685.

42. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

43. Колебания ребристых оболочек вращения. Под ред. И. Я. Ами-ро. Киев: Наукова думка, 1988. 172 с.

44. Лопатухин А. Л. Определение оптимальных параметров подкрепленных оболочек // Вестник молодых ученых. Сер. прикл. матем. и мех., 2000. Вып. 4. С. 83-91.

45. Лопатухин А. Л., Филиппов С. В. Низкочастотные колебания и устойчивость тонкой цилиндрической оболочки, подкрепленной конечным числом шпангоутов // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2001. Вып. 2. С. 83—90.

46. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. M.-JL: Гостехиздат, 1947. 252 с.

47. Ляв А. Математическая теория упругости. М., JL: ОНТИ, 1935. 674 с.

48. Мальков В. М. О расчленении условий упругого сопряжения в линейной теории тонких оболочек // Проблемы механики тверд, деф. тела. Л. 1970. С. 257-263.

49. Маневич А. И. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами и нагруженной внешним давлением // Изв. АН СССР. Механика. 1965. Вып. 6. С. 106-110.

50. Маневич А. И. Устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек с учетом эксцентриситета ребер. В кн.: Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1971. Вып. 14.

51. Маневич А. И., Павленко А. В. Асимптотический анализ уравнений теории эксцентрично подкрепленных цилиндрических оболочек. В кн.: Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. С. 185-190.

52. Михайловский Е. И. Прямые, обратные и оптимальные задачи для оболочек с подкрепленным краем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 220 с.

53. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

54. Мяченков В. И., Григорьев И. В. Расчет составных оболочеч-ных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. 216 с.

55. Николаенко Т.И., Филиппов С.В. Определение оптимальных параметров подкрепленной цилиндрической оболочки // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 1995. Вып. 3. С. 88-91.

56. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.

57. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Д.: Политехника, 1991. 656 с.

58. Основы строительной механики ракет / Балабух Л. И., Колесников К. С., Зарубин В. С., Алфутов Н. А. и др. М.: Высшая школа, 1969. 494 с.

59. Почтман Ю. М. Оптимальное проектирование подкрепленных оболочек и многослойных пластин и оболочек. Днепр.: ДГУ, 1987. 76 с.

60. Рябов В. М. Применение метода последовательных приближений при расчете ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1963. Вып. 6.

61. Рябое В. М. "Устойчивость подкрепленной поперечным набором цилиндрической оболочки при внешнем давлении и осевом сжатии // Расчет пространственных конструкций. Вып. 12. 1969. С. 150-167.

62. Рейтман М. И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976. 268 с.

63. Сергеев Н. Д., Богатырев А. И. Проблемы оптимального проектирования конструкций. Л.: Стройиздат, 1971. 136 с.

64. Сердюков В. В., Федоров JI. А. Приближенный метод определения собственных частот колебаний однослойных составных оболочек вращения // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1971. Вып. 4. С. 113-116.

65. Тимошенко П. С., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 486 с.

66. Тимошенко П. С. Устойчивость стержней, пластинок и оболочек. М.: Наука, 1971. 808 с.

67. Товстик П.Е. Двумерные задачи устойчивости и колебаний оболочек нулевой гауссовой кривизны // Докл. АН СССР. 1983. Т. 271. Вып. 5. С. 69-71.

68. Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 815—822.

69. Товстик П.Е. Полубезмоментные формы потери устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Тр. 14-й Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Тбилиси. 1987. Т. 2. С. 501-506.

70. Товстик П.Е. Влияние граничных условий на устойчивость цилиндрических оболочек // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. ма-тем., механ., астрон. 1989. Вып. 3. С. 66-71.

71. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Физматлит: Наука, 1995, 320 с.

72. Товстик П.Е., Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. 184 с.

73. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника—Вишика // Успехи мат. наук. 1970. Т. 25. Вып. 4. С. 123—156.

74. Филиппов С. Б. Свободные колебания и устойчивость круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Прикл. механика. Л. Вып. 6. 1984. С. 153-160.

75. Филиппов С. Б. Низкочастотные колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной эксцентрически расположенным шпангоутом // Прикл. механика. Л. Вып. 7. 1988. С. 141153.

76. Филиппов С. Б. Низкочастотные колебания и устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 4. С. 77-82.

77. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. 196 с.

78. Хитрое В. Н. Определение деформаций и усилий в оболочке, подкрепленной ребрами в двух направлениях // Прикл. механика. Киев, 1971. Т. 7. Вып. 1.

79. Хитрое В. Н. Упругое равновесие ребристых оболочек // Прикл. механика. Киев, 1971. Т. 7. Вып. 4.

80. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, Ч. 1. 1962. 274 е.; 4.2. 1964. 395 с.

81. Черных К.Ф. Простой краевой эффект и расчленение граничных условий в линейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР. Механика. Вып. 1. 1965. С. 89—98.

82. Шарыпов Д. В. Низкочастотные колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Вестн. Ленингр. унта. Сер. 1. 1997. Вып. 3. С. 102-108.

83. Шарыпов Д.В. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 4. С. 132-136.

84. Шарыпов Д. В. Кручение тонкой цилиндрической оболочки с косым краем // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Научн. изд-во ТВП, 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 378-379.

85. Шарыпов,Д.В. Кручение тонкой ребристой цилиндрической оболочки с косым краем // С.-Петербург, 2001. Деп. в ВИНИТИ 03.10.2001, №2080-В2001.

86. Anderson M. S., Fulton R. E., Heard W. L. et. at. Stress, buckling and vibration analysis of shells of revolution // Comput. Struct. 1971. Vol. 1. N 1-2. P. 157-192.

87. Bushnell D. Stress, stability and vibration of complex, branched shells of revolution // Comput. Struct. 1974. Vol. 4. N 2. P. 399435.

88. Tovstik P. E. On the forms of local buckling of thin elastic shells // Trans. CSME. 1991. Vol. 15. N. 3. P. 199—211.