Колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной на части длины ребрами жесткости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО КОЛЕБАНИЯМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК С ПРОДОЛЬНЫ!® РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ

ГЛАВА 2. МАТРИЦА ГРИНА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ.IV

2.1. Матрица Грина колебаний бесконечной и свободно опертой оболочек.

2.2. Главное значение матрицы Грина.

ГЛАВА 3. МЕТОД РАСЧЕТА ВЫНЛЩЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ПРОДОЛЬНЫМИ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ.

3.1. Функции Грина колебаний стержня.

3.2. Интегральные уравнения контактной задачи

3.3. Численное решение системы интегральных уравнений.

ГЛАВА 4. КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОДНИМ И ДВУМЯ ПРОДОЛЬНЫМИ РЕБРАМИ

4.1. Колебания изотропной оболочки с одним ребром.

4.2. Колебания конструктивно ортотропной оболочки с одним ребром.

4.3. Колебания конструктивно ортотропной оболочки с двумя ребрами.IOI

Подкрепленные оболочки широко применяются в качестве элементов конструкций в авиа- и судостроении, в химическом, транспортном и энергетическом машиностроении, в строительстве. В процессе эксплуатации оболочки могут подвергаться динамическим воздействиям, среди которых широко распространены гармонические нагрузки, В реальных конструкциях усилия передаются на оболочку, как правило, через продольные и поперечные подкрепления. В этом случае необходим учет совместной работы всех элементов - оболочки (обшивки) и ребер жесткости (стержней). Актуальность динамических расчетов, учитывающих совместные колебания оболочек и стержней, диктуется еще и тем, что подкрепления увеличивают вес и повышают жесткость оболочки, что приводит к изменению спектра частот и форм колебаний.

Среди тонкостенных конструкций наибольшее распространение получили подкрепленные круговые цилиндрические оболочки. Поперечные ребра жесткости (шпангоуты) не нарушают осесимметричнос-ти конструкции и не приводят к принципиальным трудностям при расчетах. Наличие продольных ребер (стрингеров) значительно усложняет задачу, особенно для подкреплений с различными геометрическими и механическими характеристиками (нерегулярный набор), а также в случае, когда стрингеры не достигают границ оболочки. В связи с этим возникает необходимость в разработке метода, который позволил бы эффективно рассчитывать на колебания оболочки с дискретными продольными ребрами произвольной длины.

Цель работы. Разработка метода расчета колебаний круговых цилиндрических оболочек, подкрепленных на части длины ребрами жесткости с произвольными геометрическими и механическими параметрами; изучение влияния подкреплений на собственные частоты и формы вынужденных колебаний; расчет конкретных элементов конструкций.

Научная новизна. Построено фундаментальное решение уравнений колебаний цилиндрической оболочки. Получена матрица Грина колебаний цилиндрической оболочки, шарнирно опертой на краях. Разработан метод расчета вынужденных колебаний цилиндрических оболочек с дискретными продольными ребрами. Исследовано влияние параметров продольных подкреплений (длина, масса, жесткость) и расположения ребер на оболочке на собственные частоты и формы вынужденных колебаний. Проведен анализ реакций взаимодействия между оболочкой и ребрами жесткости.

Практическое значение. Создан пакет программ для расчета колебаний реальных элементов конструкций, моделируемых подкрепленными цилиндрическими оболочками.

Построенная в работе матрица Грина гарлонических колебаний является математическим аппаратом для решения контактных задач теории круговых цилиндрических оболочек и стержней, а также позволяет рассчитывать оболочки на произвольные гармонические, в том числе, локальные и сосредоточенные нагрузки. Разработанный метод может быть использован для случая стрингеров во всю длину оболочки (при соответствующих краевых условиях). Не представляет трудностей обобщение метода расчета в применении к дискретным поперечным подкреплениям. Выражения для функции Грина, основные соотношения в работе приведены в удобном для использования виде и могут быть реализованы для расчета на колебания гладких и продольно подкрепленных изотропных, ортотропных и конструктивно ортотропных цилиндрических оболочек.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Фундаментальное решение уравнений колебаний цилиндрической оболочки.

2. Матрица Грина гармонических колебаний свободно опертой цилиндрической оболочки.

3. Метод расчета вынужденных колебаний цилиндрических оболочек с нерегулярным набором продольных ребер.

4. Анализ влияния продольных подкреплений, не достигающих краев оболочки, на собственные частоты и формы вынужденных колебаний.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались:

- на П Всесоюзном съезде по теории машин и механизмов (г. Одесса, сентябрь 1982 г.);

- на семинаре по механике твердого деформируемого тела под руководством члена-корреспондента АН СССР Э.И.Григолюка в Московском автомеханическом институте (октябрь 1982 г.);

- на семинаре по механике оболочек и пластин под руководством С.А.Алексеева, А.Л.Гольденвейзера, В.И.Феодосьева в Институте проблем механики АН СССР (апрель 1983 г.);

- на УТ конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций" (г. Ленинград, май 1983 г.);

- на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Актуальные проблемы механики оболочек" (г. Казань, июнь 1983 г.);

- на межотраслевом семинаре "Виброакустические исследования" (г. Суздаль, ноябрь 1983 г.);

- на семинаре по прикладной теории упругости и теории колебаний под руководством В.Л.Бидермана, В.А.Светлицкого в МВТУ им. Н.Э.Баумана (февраль 1984 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется четыре публикации / 41-44 /.

Общая характеристика работы. Рассматриваются колебания упругой круговой цилиндрической оболочки с условиями шарнирного опирания на краях. Оболочка подкреплена на части длины ребрами жесткости, которые различаются геометрическими и механическими параметрами и расположены на оболочке неравномерно. Для расчета гармонических колебаний решается контактная задача. Предполагается, что оболочка и стержни взаимодействуют по отрезкам образующих. На линиях контакта вводятся усилия взаимодействия между ребрами и оболочкой. Смещения оболочки и стрингеров представляются в виде интегралов от произведений матрицы Грина колебаний оболочки и функций Грина колебаний стержней на соответствующие векторы нагрузок. Из кинематических условий совместности перемещений оболочки и ребер на линиях контакта получаются интегральные уравнения для определения контактных сил и моментов.

Разработанный метод является обобщением идей, которые использовались в / 20 / для решения статических задач.

Перемещения, усилия и моменты в срединной поверхности оболочки, а также внешние нагрузки и контактные усилия при гармонических колебаниях представляются в виде X ( оЦ , oL2t t ) = = X ( об, , &г ) » где оЦ , ciz- продольная и окружная координаты соответственно, t - время, СО - частота вынуждающих сил. В качестве заданных и неизвестных функций в работе рассматриваются их амплитудные значения.

Все исследования выполнены на основе уравнений теории оболочек, построенной на гипотезах Кирхгофа-Лява. При изучении колебаний ребер использованы уравнения в форме Бернулли-Эйлера.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературных источников и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан метод расчета вынужденных колебаний цилиндрических оболочек, подкрепленных на части длины ребрами жесткости.

2. Построено фундаментальное решение уравнений колебаний круговой цилиндрической оболочки. Получена матрица Грина гармонических колебаний цилиндрической оболочки, шарнирно опертой на краях. Выделено в замкнутом виде главное значение функции Грина.

3. Получены функции Грина уравнений продольных, крутильных и изгибных колебаний стержней со свободными краями.

4. Создан пакет программ для ЭВМ БЭСМ-6 для расчета вынужденных колебаний и для определения собственных частот цилиндрических оболочек с дискретными продольными ребрами.

5. Численно исследованы точность, устойчивость, сходимость предложенного метода.

6. Проведено исследование влияния параметров продольных подкреплений (длина, масса, жесткость) и расположения ребер на оболочке на собственные частоты и формы вынужденных колебаний.

Разработанный метод расчета может быть использован для расчета колебаний цилиндрических оболочек с поперечными ребрами жесткости, накладками и т.д.

Построенная в работе матрица Грина позволяет исследовать вынужденные колебания цилиндрических оболочек под действием произвольных нагрузок. Решение для перемещений в этом случае получается простым интегрированием.

Все выражения приведены в удобном для использования виде и могут быть реализованы при расчете колебаний цилиндрических оболочек в проектных и конструкторских бюро, в научно-исследовательских институтах.

1. Авербух А.З., Вейщан Р.И., Генкин М.Д., Глущак Б.П. Колебания подкрепленных цилиндрических оболочек в вакууме и в жидкости. В кн.: Вопросы судостроения. Сер. Технологияи организация производства судового машиностроения. Л., 1983, вып. 33, с. 25-33.

2. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т. 2. Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова Думка, 1980. -368 с.

3. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области динамики ребристых оболочек. Прикладная механика, 1981, т. 17,1. II, с. 3-20.

4. Вейцман Р.И., Генкин М.Д., Дейнеко П.П., Тарханов Г.В. Исследование колебаний элементов редуктора, выполненных в виде тонкостенных цилиндрических оболочек. В кн.: Акустическая динамика машин и конструкций. М., 1973, с. 18-26.

5. Вейцман Р.И., Генкин М.Д., Дейнеко П.П., Тарханов Г.В. Расчет колебаний соединительной муфты планетарного редуктора. В кн.: Колебания механизмов с зубчатыми передачами. М., 1977, с. 66-73.

6. Вибрации в технике. Т. I. Колебания линейных систем / Под ред. Болотина В.В. М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.- 113

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967.- 436 с.

8. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.- 2-ое изд., испр. и доп. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 320 с.

9. Галака П.И., Заруцкий В.А., Мацнер В.И., Носаченко A.M. Свободные колебания ребристых цилиндрических оболочек. Прикладная механика, 1974, т. 10, № 7, с. 49-55.

10. Галака П.И., Заруцкий В.А., Капля П.Г., Мацнер В.И., Носаченко A.M. Исследование влияния осевых сжимающих сил на частоты и форш колебаний ребристых цилиндрических оболочек. Прикладная механика, 1975, т. II, J& 8, с. 41-48.

11. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1977. - 640 с.

12. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. М.: Физ-матгиз, 1958. - 440 с.

13. Генкин М.Д., Тарханов Г.В. Вибрация машиностроительных конструкций. М.: Наука, 1979. - 165 с.

14. Гольденвейзер A.I., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 384 с.

15. Гонткевич B.C. Собственные колебания цилиндрических оболочек, подкрепленных стрингерами. В кн.: Динамика и прочность машин. Харьков, 1965, вып. I, с. 47-52.

16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений 5-ое изд., стереотип. - М.: Физматгиз, 1971. - 1108 с.

17. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. К расчету цилиндрических оболочек, загруженных по линиям, Доклады АН СССР, 1965,т. 163, В I, с. 43-45.

18. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. 0 расчете цилиндрических оболочек, загруженных по линиям. Прикладная математика и механика, 1967, т. 31, вып. 6, с. II4I-II46.

19. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. - 411 с.

20. Даревский В.М. К вопросу о действии на цилиндрическую оболочку сосредоточенной нагрузки. Доклады АН СССР, 1950, т. 75, № I, с. 7-10.

21. Даревский В.М. К вопросу о действии на цилиндрическую оболочку некоторых нагрузок. Доклады АН СССР, 1950, т. 75, Л 2, с. 169-172.

22. Даревский В.М. К теории цилиндрических оболочек. Прикладная математика и механика, 1951, т. 15, вып. 5, с. 531-562.

23. Даревский В.М. Решение некоторых вопросов теории цилиндрической оболочки. Прикладная математика и механика, 1952, т. 16, вып. 2, с. 159-194.

24. Даревский В.М. Определение перемещений и напряжений в цилиндрической оболочке при локальных нагрузках. В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М., 1964, вып. I, с. 23-83.

25. Диамант Г.И., Заруцкий В.А. Об определении собственных частот колебаний продольно подкрепленных цилиндрических оболочек. Прикладная механика, 1978, т. 14, $ I, с. 53-58.

26. Дмитриева Л.М. Исследование колебаний пластин и оболочек при локальных динамических воздействиях. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань, 1979, 154 с.

27. Жигалко Ю.П. Расчет упругих цилиндрических оболочек на локальные нагрузки (обзор литературы, методы и результаты). -В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1966, вып. 4, с. 3-41.

28. Жигалко Ю.П., Дмитриева Л.М. Динамика ребристых пластин и оболочек. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1978, вып. 13, с. 3-30.

29. Жигалко Ю.П. Колебания тонкой упругой оболочки произвольной формы, подкрепленной вязкоупругими ребрами жесткости,

30. В кн.: Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань, 1980, с. 41-47.

31. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 4, с. I50-I6I.

32. Игл, Сьюолл. Исследование свободных колебаний цилиндрических оболочек с ортогонально расположенными подкрепляющими элементами, рассматриваемыми как дискретные. Ракетная техника и космонавтика, 1968, т. 6, № 3, с. 167-177.

33. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

34. Карпов Н.И. Свободные колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. В кн.: Теория оболочек и пластин. Труды 1У Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ереван, 1964, с. 495-500.

35. Карпов Н.И. Об определении собственных частот колебаний цилиндрической оболочки, подкрепленной разноудаленными ребрами жесткости. Прикладная механика, 1964, т. 10, № I,с. 32-39 (на укр.).- 116

36. Карпов Н.И. Анализ спектра частот цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами жесткости. Прикладная механика, 1965, т. I, №12, с. 9-14.

37. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-ое изд., доп. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 500 с.

38. Лесничая В.А., Маневич Л.И. Колебания подкрепленных цилиндрических оболочек. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск, 1974, вып. 18, с. 95-102.

39. Лесничая В.А., Маневич Л.И. Асимптотическое исследование собственных колебаний цилиндрических оболочек, подкрепленных продольными ребрами. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск, 1975, вып. 19, с. II5-I25.

40. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир, 1982. - 544 с.

41. Мавлютов И.Г. Метод расчета тонкостенных цилиндрических продольно подкрепленных элементов машин,-В кн.: Второй Всесоюзный съезд по теории машин и механизмов: Тез. докл. Киев: Наукова думка, 1982, ч. 2, с. 64.

42. Мавлютов И.Г. Вынужденные колебания продольно подкрепленных цилиндрических оболочек. В кн.: Актуальные проблемы механики оболочек. Тез. докл. Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов. Казань, 1983, с. 115 (Казан, авиац. ин-т).

43. Мавлютов И.Г. Колебания круговой цилиндрической оболочки с продольным ребром жесткости. В кн.: Труды 9-й науч.конф.- 117 молодых ученых Ин-та машиноведения АН СССР (г. Москва, март1983 г.) / АН СССР. Ин-т машиноведения. М., 1983, с. 67-71.

44. Рукопись деп. в ВИНИТИ 29.08.83, № 4787-83 Деп.

45. Макдональд. Задача о свободных колебаниях подкрепленных цилиндрических оболочек. Ракетная техника и космонавтика, 1970, т. 8, В 2, с. 75-84.

46. Максименко В.Н., Фильштинский Л.А. Упругое поведение анизотропных оболочек под действием нагрузок, сосредоточенных на линиях. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1974,is 5, с. 57-66.

47. Максименко В.Н., Фильштинский Л.А. Упругое равновесие анизотропных оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. Прикладная математика и механика, 1975, т. 39, вып. 5, с.900-908.

48. Мацнер В.И. Колебания и устойчивость цилиндрических оболочек с эксцентричными ребрами. Дисс. канд. техн. наук. Киев, 1978, 137 с.

49. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C., Макеев Е.М. Контактные задачи теории оболочек и стержней. -М.: Машиностроение, 1978. 248 с.

50. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1966. - 707 с.

51. Мяченков В.И., Григорьев И,В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1981. - 216 с.

52. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1969. - 528 с.

53. Насыров А.Х., Соболева О.Н. Вынужденные колебания круговых цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости.- В кн.: Теория пластин и оболочек. М., 1971, с. 288-294.

54. Немиров В.Г, 0 фундаментальных решениях в теории круговой цилиндрической оболочки. Прикладная математика и механика, 1969, т. 33, вып. 6, с. II05-IIII.

55. Немчинов Ю.И., Толбатов Ю.А. Свободные колебания пологих цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. -Строительная механика и расчет сооружений, 1975, № 3,с. 55-57.

56. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. 2-ое изд., доп. --Л.: Судпромгиз. Государственное издательство судостроительной литературы, 1962. - 431 с.

57. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 384 с.

58. Попов Г.Я. Об одном приближенном способе решения некоторых плоских контактных задач теории упругости. Доклады АН Арм. ССР, Серия физ.-мат. наук, 1961, т. 14, № 3, с. 81-96.

59. Попов Г.Я. 0 методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости. Прикладная математика и механика, 1969, т. 33, вып. 3, с. 518-531.

60. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы», 1982. - 344 с.

61. Развитие теории контактных задач в СССР / Под ред. Галина Л.А.- М.: Наука, 1976. 493 с.

62. Рыбников М.С. Некоторые контактные задачи для тонких круговых цилиндрических оболочек. Дие. канд. физ.-мат. наук. Симферополь, I978f-I33 с.

63. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. I. -- М.: Издательство иностранной литературы, 1953. 346 с.

64. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971. - 558 с.

65. Соболев СЛ. Уравнения математической физики. 4-ое изд., стереотип. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966. - 444 с.

66. Соболева О.Н. Вынужденные колебания круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами жесткости, при действии сосредоточенных сил и моментов. Науч. тр. / Моск. ин-т инж. железнодорожного транспорта, 1975, вып. 476,с. I0I-III.

67. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. 2-ое изд., доп. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 416 с.

68. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / Под ред. Бабенко К.И. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 296 с.

69. Толбатов Ю.А. О колебаниях пологих цилиндрических оболочек, подкрепленных эксцентричными ребрами жесткости. В кн.: Строительные конструкции, основания и фундаменты. Киев, 1974, с. 17-25.

70. Толкачев В.М. Некоторые контактные задачи теории оболочек. Дисс. д-ра физ.-мат. наук. М., 1973. 402 с.

71. Умушкин Б.П. Колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной регулярным продольным набором. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 5, с. 87-92.

72. Уорбартон. Гармонические колебания цилиндрических оболочек.- Конструирование и технология машиностроения, 1974, т, 96, № 3, с. 180-186.

73. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. 8-е изд., стереотип. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 560 с.

74. Фильштинский Л.А. О передаче нагрузки от упругого ребра к полубесконечной анизотропной оболочке. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1982, J£ I, с. 150-158.

75. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. - 379 с.

76. Чернышев Г.Н. О действии сосредоточенных сил и моментов на упругую тонкую оболочку произвольного очертания. Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, вып. I, с. 126-134.

77. Чернышев Г.Н. Прогиб под сосредоточенной силой в оболочках положительной кривизны. Прикладная математика и механика, 1967, т. 31, вып. 5, с. 883-886.

78. Чернышев Г.Н. Представление решений типа Грина уравнений оболочек методом малого параметра. Прикладная математика и механика, 1968, т. 32, вып. 6, с. 1083-1089.

79. Швейко Ю.Ю., Брусиловский А.Д. 0 собственных колебаниях цилиндрических оболочек, подкрепленных поперечными ребрами жесткости. В кн.: Расчеты на прочность. М., 1971, вып. 15, с. 312-327.

80. Шевченко В.П. К решению граничных задач круговых цилиндрических оболочек при локальных нагрузках. В кн.: Теория оболочек и пластин. М., 1973, с. 763-767.

81. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. 2-ое изд., стереотип. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968. - 344 с.

82. Bray F.M., Egle D.M. An experimental investigation of the free vibration of thin cylindrical shells with discrete longitudinal stiffening. Journal of Sound and Vibration, 1970, v. 12, N 2, pp. 153-164.

83. Cottis M.G. Green's function technique in the dynamicsof a finite cylindrical shell. The Journal of the Acoustical Society of America, 1965, v. 37, N 1, pp. 31-42.

84. Cottis M.G. On the dynamic response of an orthotropic finite cylindrical shell to an arbitrary pressure field. -Journal of Sound and Vibration, 1968, v. 7, N 1, pp. 31-38.

85. Harari A., Baron M.L. Analysis for the dynamic response of stiffened shells. Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics, 1973» v. 40, N 4, pp. 1085^1090.

86. Rinehart S.A., Wang J.T.-S. Vibration of simply supported cylindrical shells with longitudinal stiffeners. Journal of Sound and Vibration, 1972, v. 24, N 2, pp. 151-163.

87. Sen G.G. Natural frequencies of periodic skinstringer structures using a wave approach. Journal of Sound and Vibration, 1971, v. 16, N 4, pp. 567-580.

88. Wang J.T.-S., Rinehart S.A. Free vibrations of longitudinally stiffened cylindrical shells. Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics, 1974, v. 41, N 4,pp. 1087-1093.