Устойчивость и колебания сопряженных тонких оболочек и пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Макаренко Ирина Николаевна

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ СОПРЯЖЕННЫХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

01.02.04- механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

сМ&УЪ

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Ганкт-ТТетербурггкого государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

ФИЛИППОВ Сергей Борисович.

доктор физико-математических наук, профессор

МИХАСЕВ Геннадий Иванович;

кандидат физико-математических наук ЕРШОВА Зинаида Георгиевна

Саратовский государственный университет

Защита состоится "ЗУ " -

2005 г. в /~т часов на заседании диссертационного совета Д '212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский проспект, 28, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

С диссертаций можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор С. А. Зегжда

*ее£1. 1ПШ1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тонкостенные оболочки широко используются в различных областях современной техники. Образованные из тонких оболочек конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью, что объясняет широкое применение оболочек в судостроении, авиа- и ракетостроении, химическом машиностроении, в гражданском и промышленном строительстве и многих других отраслях.

Стремление к снижению веса и увеличению жесткости оболочек привело к применению различного рода подкреплений. Из оболочек различного очертания, широко применяемых в качестве несущих элементов конструкций, наиболее распространенными являются ребристые цилиндрические оболочки. Наряду с подкрепленными оболочками, в современной технике широко используются также и сопряженные (составные) оболочки.

В связи с этим актуальными являются разработка новых и совершенствование уже существующих методов расчета тонкостенных конструкций такого типа, подвергающихся воздействию статических и динамических нагрузок.

Некоторые результаты данной работы вогпли в отчет по гранту 01-01-00327 РФФИ.

Цель работы заключается в разработке приближенных аналитических и численных методов расчета критического внешнего давления и частот свободных колебаний для сопряженных тонких оболочек и пластин.

Методы исследования. При исследовании устойчивости и колебаний сопряженных тонких оболочек и пластин использованы асимптотический метод разделения напряженно-деформированного состояния оболочки на полубезмоментное и простой краевой эффект и численный методод ортогональной прогонки (С- К. Годунов).

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Получены простые приближенные асимптотические формулы и качественные результаты в задаче устойчивости сопряженных конических оболочек и цилиндрической оболочки, сопряженной с пластиной. Предложен алгоритм численного решения задачи о колебаниях цилиндрической оболочки, подкрепленной произвольным числом пластин.

Практическая и теоретическая ценность. Рассмотренные в работе оболочки наиболее часто используются в реальных тонкостенных конструкциях. Решения, полученные асимптотическими методами, являются ценными с теоретической точки зрения. В ряде случаев найдены явные приближенные формулы. Задача оптимизации представляет несомненный интс приложений. Создан-

КИВЛ ПОТЕКА

аде т?ю4}ц

ные в ходе работы алгоритмы и компьютерные программы могут быть использованы при расчетах и проектировании реальных оболочечных конструкций.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета, докладывалась на Международной научной конференции по механике "Третьи Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2003) и международном семинаре "Computational Mechanics of Solids" (Санкт-Петербург, 2005).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано четыре работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 95 наименований. Работа содержит 130 страниц, 21 рисунок и 11 таблиц.

Основные результаты, выносимые на защиту.

Получены приближенные асимптотические формулы для определения параметра критического давления в задаче об устойчивости двух сопряженных по параллели тонких конических оболочек, находящихся под действием равномерного внешнего давления для случая жестко заделанных краев конструкции.

Численным методом ортогональной прогонки найдены значения параметра нагружения и формы потери устойчивости сопряженных оболочек. Полученные результаты подтвердили локализацию формы на поверхности одной из оболочек. Исследована зависимость формы потери устойчивости от толщины оболочек и угла сопряжения

Получено приближенное выражение для жесткости кольцевой пластины в ее плоскости. Построено асимптотическое решение задачи об устойчивости цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной и находящейся под действием равномерного бокового внешнего давления.

Для той же задачи методом численного интегрирования определены значения критического давления. Исследована зависимость результатов, полученных с помощью стержневой и пластиночной модели, от ширины шпангоута.

На основе метода ортогональной прогонки разработан алгоритм численного решения задачи о малых свободных низкочастотных колебаниях цилиндрической оболочки, подкрепленной по внутренним параллелям произвольным числом кольцевых пластин.

Численным методом найдены оптимальные параметры подкрепленной кольцевыми пластинами цилиндрической оболочки, позволяющие получить наибольшее значение первой частоты при фиксированной массе конструкции. ( "" 7>. ".

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дастся обзор литературы по томе решаемых в диссертации -задач, обсуждается актуальность темы диссертации и кратко формулируются основные результаты работы.

Первая глава посвящена задаче устойчивости сопряженных конических оболочек, находящихся под действием равномерного бокового внешнего давления р (рис. 1). Для случая жестко заделанных краев тонкостенной конструкции критическое давление и форма потери устойчивости определены асимптотическим методом и численным методом ортогональной прогонки. Найдены поправки первого приближения для величины параметра критического давления.

На срединной поверхности введена система безразмерных ортогональных криволинейных координат я, <р, где я — длина дуги меридиана, ¡р — угол в окружном направлении. Считается, что оболочки имеют одинаковую безразмерную толщину Л, длины ¡1 ~ /2 ~ 1, а угол сопряжения ¡3 не является малым.

Безразмерная система уравнений, описывающая устойчивость каждой из оболочек, берется в виде (Э. И. Григо-люк)

Т{ +

В' В

Рис. 1. № - Т2) + ЩЯ : В'

О, Я' + 2^5 - Т2 + ^ + = О,

(1)

Штрихом обозначена производная по«; ш —■ число волн по параллели; Я(я) — расстояние от точки срединной поверхности оболочки до оси вращения; Яг^) — главный радиус кривизны срединной поверхности оболочки; А = (1 — ¡у2) р/{ЕК) — искомый параметр нагружения; Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона.

Безразмерные усилия 7}, 5, (3, и моменты М{, Н выражаются через проекции перемещений точек срединной поверхности оболочки и, V, и; по известным формулам оболочек, а функция <7(.ч) в системе (1) зависит от безмоментных усилий.

На краях .ч — .ч |, .<> = .ч2 составной оболочки задаются условия жесткой заделки

и = V = ю = = 0 (2)

или шарнирного опирания

ь = ю = Ъ = М1 = 0.

(3)

На параллели сопряжения я = я* должны быть выпотнены устовия непрерывности перемещений, усилий, угла поворота f>] и момента М\-

м'2) =t/'>cos/9-M;(1>sinJ3, w(2) = v(1>, = vP ' cos :1 + м'1' sin /J,

rf^T/^cos^-Q^sin/?, (^P^Q^cos/J+r^sin/i, (4)

i?(,2) = ,Vi,(2) = Afi1», S<2> + 2 tf(2>/42) = +

Собственные значения и функции краевой задачи (1)-(4) ищем в виде асимптотических рядов

A = m-6(Ao+m-2A, + ...), «/*> = y<*> + у™, (о)

где у — любая из искомых функций в (1). Величины с верхним индексом (к) соответствуют fc-ой оболочке. Функции

описывают главное полубезмоментное напряженно-деформированное состояние оболочек, а функции

4

¿'=1

— простой краевой эффект вблизи краев = «х, я = и я = в«.

При достаточно малой безразмерной толщине оболочек к искомому параметру нагружения А ~ /г3/2 соответствует форма потери устойчивости с большим числом волн по параллели т ~ /г-1/4. В задаче устойчивости практический интерес представляет только определение наименьшего значения параметра А.

Асимптотический анализ показал, что, как и в задаче о малых свободных колебаниях сопряженных оболочек, краевая задача нулевого приближения распадается на две независимые задачи для первой и второй оболочки. В соответствии с этим, значения параметра нагружения разделяются на две серии, каждая из которых соответствует потере устойчивости одной из оболочек, а формы потери устойчивости локализуются на поверхности одной из оболочек.

В нулевом приближении система линейных дифференциальных уравнений для каждой из оболочек имеет вид

В2(ь0В~')'-и0 = 0, (1 -^К-7*10 = 0, (егг0)' + 50 =0,

(я^о)' + ВЧ0га = 0, к0 = || (а0Я2 - - (6)

Здесь мо, "п, Т1 о и 5п — главные члены в асимптотических разложениях перемещений и полубезмоментных усилий.

Для цилиндрической оболочки система уравнений нулевого приближения (6) сводится к одному дифференциальному уравнению вида

4 « а Ао — /14т8

— -а «0=0, а = , (7)

по форме совпадающему с уравнением поперечных колебаний балки.

Наименьшее значение параметра критического давления в -»том случае определяется по формуле

А-штр1'^' +/тЛ, (8)

т ^ т' )

где Л) = 1г/1\ в случае шарнирного опирания и О] ~ Зтг/2/) в случае заделки.

Пусть Ао — наименьшее положительное собственное число к-ой краевой задачи нулевого приближения. Вез ограничения общности можно считать, что Ао = А^ < А^ (резонансный случай Ац1 ^ = А^ в работе не рассматривался). Тогда краевая задача нулевого приближения для второй оболочки имеет только тривиальное решение, и форма потери устойчивости сосредоточена на срединной поверхности первой оболочки.

Система уравнений первого приближения имеет вид + + ^ = д, -«1 + 7?^ = Л. Ти + + ^ = /з, + 2^5, + *0г/, = и - А, фг>0, = ,

гдо Д, к = 1,2,3,4 зависят только от функции ?;0, ее производных и Ао-

Условия разр>ешимости =>той системы позволяют найти поправку первого приближения для параметра критического давления:

А, = Ап + Аи + Аь (9)

где Ац пр»едставляет собой значение внеинтегрального члена на краю первой оболочки, А], является его значением на параллели сопряжения, а А] зависит только от величин нулевого приближения. Для случая шарнирного опирания краев я = и а = »2 сопряженных оболочек поправки первого приближения были найдены С. Б. Филипповым.

При вычислении поправок Ац и А1* используются граничные условия (2), (4) и значения функций простого краевого эффекта при в = Я) и я = я». В результате найдена следующая приближенная формула для составляющей Ац в случае жесткой заделки краев сопряженных конических оболочек: _ _

Ац =

(1-^)5(1)^0

(10)

Для вычисления параметра критического давления нужно найти минимум величины А яй т~в(Ао + т~2\\) как функции целого числа т. Формулы (9), (10) позволяют определить критическое давление для двух сопряженных конических оболочек с точностью до величин 0(т~4) в нерезонансном случае Для конструкции, в которой первая оболочка является цилиндрической, решение найдено в явном виде.

Численное определение критического давления и форм потери устойчивости сопряженных конических оболочек проводилось методом ортогональной прогонки. В таблице I сопоставляются значения I0F'-A, полученные асимптотическим методом (ДМ) и численным интегрированием системы устойчивости методом ортогональной прогонки (OTT) для составной оболочки со следующими параметрами: безразмерная длина цилиндрической оболочки 1\ = 3, конической Ii — 1, v — 0,3. Края конструкции жестко заделаны. В скобках указано число волн по параллели т, соответствующее найденному минимальному значению А.

Таблица 1.

\/h 200 400 600 800 1000

£ = 10° AM 11,74(7) 4,21 (8) 2,31 (9) 1,51(10) 1,080(10)

ОП 12,04(6) 4,26(8) 2,34(9) 1,56(10) 1,084(10)

0 = 30° AM 12,06(7) 4,30(8) 2,35(9) 1,55(10) 1,092(10)

ОП 12,51(7) 4,33(8) 2,37(9) 1,57(10) 1,096(10)

£ = 50° AM 12,17(7) 4,32(8) 2,35 (9) 1,53(10) 1,095 (10}_

ОП 12,56(7) 4,35(8) 2,38(9) 1,58(10) 1,099(10)

Для случая шарнирно опертых краев составной оболочки найденные численно значения параметра нагружения А практически совпали с асимптотическими результатами, полученными С. Б. Филипповым.

Проведенные расчеты показывают малую погрешность формул первого приближения в рассмотренном диапазоне параметров. Погрешность вычисления параметра нагружения убывает с уменьшением толщины оболочек.

Рис. 2 иллюстрирует как меняется меридиональная форма нормального перемещения (прогиба) оболочек при изменении толщины.

а) б)

ш h=l 1200 w h=H1000

Риг. 2.

По оси абсцисс откладывалось расстояние я по меридиану, по оси ординат — значения нормального перемещения ю. Вид графиков позволяет сделать вывод о том, что форма потери устойчивости локализована на поверхности цилиндра. Изменение угла сопряжения оказывает более существенное влияние на форму прогиба. Изменение толщины не дает таких сильных изменений нормального перемещения. Как и следовало

ожидать, при уменьшении тонщины оболочек Л и при увеличении угла () локализация формы потери устойчивости на поверхности цилиндра становится более ярко выраженной.

Во второй главе решена задача об устойчивости цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной и находящейся под действием равномерного бокового внешнего давления (рис. 3). Предложена модель потери устойчивости, когда достаточно широкий подкрепляющий элемент — шпангоут — рассматривается как кольцевая пластина, а не как стержень. Предполагается, что оболочка и кольцевая пластина изготовлены из одного и того же материала, кольцо имеет прямоугольное поперечное сечение.

Получены асимптотические формулы для определения жесткости кольца в его плоскости, которые использованы для оценки критического давления подкрепленной цилиндрической оболочки. С помощью уже известных асимптотических формул для цилиндрической оболочки, подкрепленной круговым стержнем (С. Б. Филиппов), проведено сравнение минимальных значений параметра нагружения, найденных для двух различных моделей подкрепляющего элемента- стержневой и предложенной в данной работе модели пластины при постепенном увеличении ширины кольца.

При асимптотических расчетах использовались уравнения устойчивости сопряженных оболочек (1) из первой главы, причем кольцевая пластина рассматривалась как "развернутый" конус с углом 0 = — ж/2. Цилиндрическая оболочка имеет безразмерную толщину Л, кольцевая пластина — толщину а.

На крае я = «1 цилиндрической оболочки заданы условия жесткой заделки (2). На свободном крае х = ] + Ь кольцевой пластины выполнены условия

Т<2) = М\*> = = Я\2) = 0. (11)

Отметим, что метод решения задачи об устойчивости цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцом, предложенный во второй главе диссертации, можно использовать при любых однородных граничных условиях на краях я = я-\ и х = 1 + 6.

Условия на параллели сопряжения я = я?, х = I с учетом разницы в толщине цилиндрической оболочки и кольцевой пластины имеют вид

«<а) = и^>, ,»(») = -«('), 7Ч2) = &дО)| =

х

Решение краской задачи ищется в виде асимптотических рядов (5), причем А ~ Л3/2 ~ /Iя ~ т-й, т ~ ~ > I.

Система уравнений нулевого приближения для определения критического внешнего давления цилиндрической оболочки сводится к дифференциальному уравнению четвертого порядка (7). Для определения Ао нужно задать граничные условия для этого уравнения.

Когда Ь 1 кольцо, изображенное на рис. 3, можно рассматривать как круговой стержень прямоугольного поперечного сечения. Условия нулевого приближения на параллели сопряжения в = вг, г = 1 для этого случая получены С- Б. Филипповым в виде

7™ = 0, 5<1> + Сгг;^ = 0. (12)

Постоянная сх характеризует жесткость шпангоута на изгиб в радиальной плоскости с учетом его размеров и эксцентриситета расположения е.

Если ширина кольца Ь ~ 1, то шпангоут следует рассматривать как кольцевую пластину, а не как стержень. Жесткость тонкой пластины на изгиб из плоскости мало влияет на величину критической нагрузки, поэтому ограничимся исследованием уравнений, описывающих деформацию пластины в се плоскости:

Т'\ + г (Т1 - т2) + ^5 = 0, Я' + - Щт2 = о,

Ъ =и' + и + г, = + а + „„', (13)

5 = 7 = V-

Эта система сводится к системе дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций ?/ и и. Решение системы (13), локализованное вблизи линии сопряжения, и с учетом того, что т» I, найдено в виде

«(») = Сх«-»"1 + С2 (1 + х-т+1,

«(») = 1 +С, (1 - г-т+\

где Си Сг — произвольные постоянные.

Используя решения (14), получаем четыре граничных условия на краю « = я^ цилиндрической оболочки. Граничные условия нулевого приближения для уравнения (7) при я = в 2 находятся после выделения из этих четырех условий двух главных и двух дополнительных. В рассматриваемой задаче главные условия имеют вид

7*) = 0, 5^1)+С41) = 0, (15)

где с = 2тат5/(1 + 7)^-

Таким образом, условия сопряжения (15) цилиндрической оболочки с пластиной оказываются такими же; как условия сопряжения (12)

цилиндра го стержнем, только жесткость г в тгом случае имеет другой вид и не зависит от ширины пластины. Для стержневой модели при увеличении ширины шпангоута жесткость стержня сх стремится к бесконечности.

Стержневая модель подкрепления позволяет оценить площадь поперечного сечения шпангоута, но с ее помощью невозможно найти оптимальные размеры поперечного сечения кольца Более точная пластиночная модель может быть использована для нахождения оптимальной формы поперечного сечения шпангоута для подкрепленной цилиндрической оболочки.

Общее решение уравнения (7) для обеих моделей находилось в виде

«о =А5(г) +ВУ{г) + Си(г) + ПТ(г), г = а{а-8г), (16)

где 5", V, 1/, Т — балочные функции. Подстановка (16) в граничные условия (2) и условия сопряжения (15) или (12) дает следующее уравнение для определения а:

с^Ь а/соя а/ — зш ос1) — а3(1 — и2) {сояа1 + Л =

\ сп а1)

О,

(17)

где для пластиночной модели с — с, для стержневой с = сх. После вычисления наименьшего положительного корня уравнения (17) находим искомое значение параметра критического давления по формуле (8).

Результаты расчетов наименьшего параметра нагружения А для цилиндрической оболочки безразмерной длины /, подкрепленной пластиной, приведены на рис. 4. Край цилиндра жестко заделан, край пластины свободен. По оси абсцисс откладывалось отношение к = Ь/а (Ь — безразмерная ширина кольцевой пластины, а — ее безразмерная толщина), по оси ординат — значения величины 105 • А для различных значений к. Параметры конструкций следующие: I — 3,0, V — 0,3, Л = 0,01, а = 0,002 (рис. 4, а), а = 0,001 (рис. 4, б).

б)

_ . г

2 ' ^^

. / /

У /

1/3

Ч

//

25 50 75 100 125 150 175 200

100 Рис. 4.

Кривая 1 показывает зависимость значений Ю5 • А от к, найденных для стержневой модели с учетом эксцентриситета шпангоута с = 6/2,

что соответствует его внешнему расположению. Линия 2 соответствует величинам минимального параметра нагружения, полученным по асимптотическим формулам для цилиндрической оболочки,, подкрепленной кольцевой пластиной И, наконец, кривая 3 — ^то результат решения краевой задачи методом ортогональной прогонки. Излом, который виден на кривой 3 (см. рис. 4), характеризует переход от одного числа волн по параллели т, при котором параметр нагружения А оказывается наименьшим, к другому.

При малых к результаты расчета методом прогонки близки к асимптотическим, полученным для подкрепленной цилиндрической оболочки с использованием стержневой модели шпангоута. При росте к, что соответствует увеличению ширины шпангоута, они практически совпали со значениями параметра критического давления, которые были найдены по асимптотическим формулам для цилиндра, подкрепленного кольцевой пластиной. Сравнение асимптотических и численных результатов демонстрирует достаточно высокую точность полученных аналитических формул.

В третьей главе численным методом найдены низшие частоты колебаний тонкой круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной по внутренним параллелям кольцевыми пластинами Определены оптимальные параметры подкрепленной цилиндрической оболочки, позволяющие получить наибольшее значение первой частоты при фиксированной массе конструкции.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку, сопряженную с одной пластиной. Пусть цилиндрическая оболочка имеет безразмерную толщину И, кольцевая пластина — толщину а. Разделим кон-

(2)

(3) —»

Т^Ог струкцию на три части: первую цилиндри-

I \ ческую оболочку, кольцевую пластину и

~ вторую цилиндрическую оболочку (рис. 5).

Система уравнений, описывающая малые свободные неосесимме-тричные колебания каждой из частей, записывается в безразмерном виде

ТУ + - Т3) + + А« = О, + + ^! + 2^ + А„ = 0, (18)

0\ + + - + =

Здесь штрих обозначает дифференцирование по я для цилиндров (по вр для пластины); А = 4тг2(1 — 1/2)рш2/?2//? — искомый параметр частоты; р — плотность материала оболочки; ш — частота колебаний. Остальные обозначения совпадают с обозначениями в задаче о потере устойчивости.

На краях цилиндра я — Я] Л « - заданы либо условия шарнирного опирания (3) либо условия жесткой заделки (2), край круговой пластины яр = I + Ь свободен (II)

На параллели сопряжения я = яр = I должны быть выполнены условия непрерывности перемещений, усилий, угла поворота I?] и момента М\, которые для трех сопряженных оболочек (двух цилиндров и пластины) записываются следующим образом:

„,(!) = _„(»), и(1)=и,(2)> ш(3) = _и(2)) и(3) = 1|>(2)1

= 0<2) = ,?(3\ „I'>=„<»>, „(» = „(3),

м^ + ^Л/р> - л/<я> = о, ту> + - г<3> = о, (19) 0(»> _ «т,(2) - = О, + £5<2> - 5Р) = 0.

Для численного определения наименьших частот и форм колебаний цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной, введем обозначения

У\ = «, 2/2 = V, 2/3 = ™, У4 = 01, ?/5=Ть у6 = 5, ?/7 =Мь у8 = Ф 1 и преобразуем систему (18) для каждой из трех частей конструкции к нормальной форме

^ = А(в,ц,\)у, у = (уь у2, ••• ,У8)Т,

где Л — матрица размера 8x8. В результате получим три системы линейных дифференциальных уравнений, каждая из которых имеет восьмой порядок.

Предложенный алгоритм численного интегрирования, основанный на методе ортогональной прогонки, вкратце можно описать так: выбираются четыре линейно-независимых решения » = 1, 2, 3, 4, удовлетворяющие граничным условиям на левом конце цилиндрической оболочки, и четыре решения у£2\ г = 1, 2, 3, 4, удовлетворяющие граничным условиям на крае пластины. Вид у/г\ У^ зависит от способа закрепления краев. Эти векторы используются как начальные условия для интегрирования по первому цилиндру и пластине на интервалах ®г]| [1 + Ь, 1] соответственно.

В точке сопряжения составляются четыре новых линейно-независимых вектора, которые используются как начальные при интегрировании по следующей цилиндрической оболочке. Они являются столбцами матрицы

С?2 = //21 — #22^12 #11-

Здесь (?2, Н21, #22 имеют размер 8x4, Н\\, Н12 — 4 х 4, и элементы матриц Нп, Н\2, #21, #22 представляют собой линейные комбинации компонентов векторов и 2^(1).

Со< тар. тонные векторы используются при интегрировании по вт<»-рой цилиндрической оболочке, т.е на промежутке [.«2. ¿а]- На крае второй (болочки, приравнивая нулю определитель системы однородных алгебраических уравнений, находим наименьшее собственное значение частотного параметра А и соответствующую ему первую частоту колебаний конструкции.

Если рассматривается цилиндрическая оболочка, подкрепленная двумя или более пластинами, то в каждой из точек сопряжения ис пользуем алгоритм составления новых линейно-независимых векторов, описанный выше.

На рис. 6 сопоставляются результаты расчетов методом ортогональной прогонки и асимптотическим методом для цилиндрической оболочки длины Ь, сопряженной с одной (рис. 6, .4) и двумя (рис. 6, Б) пластинами. По оси абсцисс откладывалось отношение к = Ь/а, по оси ординат — значения первой частоты колебаний конструкции (в герцах) для значений А: от 0 до 70. Параметры конструкции следующие: Я = 0, I м, I = 4,0, к = 0,01, а = 0,01, Е = 3 • 109 кг/(м с2), и = 0,3, р = 730 кг/м3.

При малых к и цилиндрическая оболочка, и пластины колеблются с числом волн по параллели т ф 0. При больших к колеблется в основном пластина, в то время как цилиндрическая оболочка остается практически неподвижной, и колебания являются осесимметричны ми (то = 0).

А) Б)

а ы

Рис. 6.

Кривая / на рис. 6 — это результат решения краевой задачи методом прогонки. Кривая 2 показывает значения наименьшей частоты конструкции, соответствующие стержневой модели. Они получены по асимптотическим формулам, предложенным в работах С. Б. Филиппова. Кривая 5 описывает колебания пластины с жестко заделанным (яр — 1) и свободным (яр = 1+6) краем. Значения, по которым строилась кривая, также вычислялись методом прогонки.

Первая частота стержневой модели (кривая 2) хорошо совпадает с первой частотой более точной модели кольцевой пластины (кривая /) только для Аг < 30. С увеличением к наименьшая частота цилиндри-

ческой обо ¡точки, подкрепленной одной ичи двумя пластинами (кривая I) приближается к первой частоте пластины с жестко чадо чанным (яр = I) и свободным {яр = I + Ь) краем (кривая 3)

Численные результаты показывают, что собственная частота ш(к) цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми пластинами, достигает максимальной величины при некотором к = к*. Это оптимальное значение к* мало отличается от значения к, соответствующего точке пересечения кривых 2 и 3 (см. рис. 6). Следовательно, приближенное значение к* можно брать как корень уравнения

и»б(*)=«р(А), (20)

i где uib[k) — частота, соответствующая стержневой модели шпангоута,

и/р(к) —■ частота пластиночной модели шпангоута.

Уравнение (20) использовалось при вычислении оптимальных параметров цилиндрической оболочки, подкрепленной пластинами, в работах С. В. Филиппова. В данной работе задача оптимизации решается с использованием численного метода ортогональной прогонки.

Пусть неподкрепленная оболочка имеет безразмерную длину 1, и толщину ho. Масса гладкой оболочки Mo = M(ha) = 2тг R^phgL, wo — ее наименьшая частота колебаний. Допустим, что за счет уменьшения толщины оболочки до величины h < ho на оболочку установлен п — 1 шпангоут прямоугольного поперечного сечения безразмерной ширины а и высоты Ь = ка, к = const. Причем масса подкрепленной оболочки М, = M(h) -f Мь, где M{h) = 2irR*phL — масса обшивки, Mh = 2тг R3p( п — i)a2k — масса шпангоутов, совпадает с массой гладкой оболочки.

Для стержневой модели оптимальные значения ширины шпангоута о» и толщины подкрепленной оболочки h, определяются из системы двух алгебраических уравнений

(hQ-h)L = (n-l)a2k, (n4 - i)Lh3 ~ (1 - и2)па4к3. (21)

Первое соотношение следует из условия равенства масс М, = Л/о • Второе вытекает из условия, что жесткость шпангоута т) должна быть оптимальной: rj = rf.

* Используя при малых к стержневую модель подкрепления, а при

больших к модель пластины, можно определить оптимальное значение kt с помощью уравнения (20). Тогда, вместо множества кривых, соответствующих различным к, мы получим одну кривую, соответствующую наиболее точному решению ш* и оптимальное к = к*.

В таблице 2 приведены оптимальные параметры подкрепленной цилиндрической оболочки длины L — 4 при усилении одной (п = 2) и двумя (п = 3) пластинами, найденные описанным выше методом.

п Л* а* к* 1+6- и)" /и>0

2 0,00979 0,00439 43,6 1, 192 1,98

3 0,00905 0,00894 23,9 1,213 2,85

При определении оптимальных параметров численным методом прогонки варьируются значения я и А-, а толщина обшивки К определяется из первого уравнения системы (21). В таблице 3 приведены оптимальные значения величин для указанных конструкций, полученные численным методом, основанным на ортогональной прогонке и приведенным в этой главе. Для каждого фиксированного значения а, кото- ; рое плавно менялось в интервале от 0 до 0, 01, разыскивались частоты конструкции при числе волн по параллели т от 0 до 9 и различных к и, затем, определялся максимум отношения Ш] (о)/о»о

Значения частоты колебаний о/*, соответствующие оптимальным параметрам, в таблице 3 близки к асимптотическим значениям из таблицы 2. В тоже время, величины оптимальных параметров к*, Ь*, для которых достигается максимальное значение частоты, в этих таблицах довольно сильно отличаются. Это связано с тем, что вблизи точки, где первая частота колебаний достигает своего максимального значения, существует довольно широкая область, в которой функция (£)

меняется очень медленно (см. рис. 6). (

Т а б л и ц а 3.

п Ь* а* к* 1 +ь* А* ш" тп*

2 0,00987 0,0040 32 1,128 0,01294 377,993 5 2,02

3 0,00922 0,0072 30 1,216 0,02818 567,791 6 3,03

В заключении изложены полученные в работе результаты, выносимые на защиту.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Макаренко И. Н. Устойчивость сопряженных оболочек вращения // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2001. Вып. 3 17). С. 61-69.

2. Макаренко И. Н. Колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми пластинами // С.-Петербург, 2003. Дсп. в ВИНИТИ 23.05.2003, Л'а 1005-В2003.

3. Макаренко И. И. Колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной пластинами // Третьи Поляховские чтения- Избранные труды международной научной конференции по механике. — СПб.: Изд-во НИИХ С.-Петербургского ун-та. 2003. С. 275-280.

4. Макаренко И. Н. Устойчивость подкрепленной кольцом цилиндрической оболочки под действием внешнего давления //С -Петербург, 2004. Деп. в ВИНИТИ 09.07.2004, //- 1180-В2004.

Подписано в печать 03.02 2005 i Формат бумаги 60X84 1/16 Бумаш офсетная. Печать ричографическая. Объем 1 уел и л Тираж 100 ж i Заказ 3477 Отпечатано в отделе опера ihbhoü поли1 рафии НИИХ СПбГУ с орш инаи-макета 1ака>чика 198504, Санкт-Петербур!, Старый Пегергоф Университетский пр 26

I

I

i I

f-3 1 94

РНБ Русский фонд

2006-4 14721

Введение.

Глава 1. Устойчивость тонких оболочек вращения, сопряженных по. параллели

1.1. Гладкие оболочки вращения

1.2. Устойчивость сопряженных по параллели конических оболочек под действием равномерного внешнего давления.

1.3. Численное интегрирование уравнений устойчивости сопряженных оболочек.

1.4. Сравнение асимптотических и численных результатов в задаче устойчивости сопряженных конических оболочек.

Глава 2. Устойчивость сопряженной с кольцом цилиндрической оболочки под действием равномерного внешнего давления

2.1. Основные уравнения в задаче устойчивости цилиндрической оболочки, сопряженной с пластиной

2.2. Подкрепленная цилиндрическая оболочка. Стержневая модель шпангоута.

2.3. Граничные условия в задаче об устойчивости цилиндра, сопряженного с пластиной.

2.4. Решение краевой задачи нулевого приближения с помощью балочных функций.

2.5. Численное интегрирование уравнений устойчивости

2.6. Сравнение результатов для стержневой модели и модели пластины с численными значениями параметра нагружения

Глава 3. Низкочастотные колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми пластинами

3.1. Постановка задачи и основные уравнения для цилиндра, подкрепленного одной пластиной.

3.2. Численное интегрирование уравнений колебаний оболочек.

3.3. Алгоритм решения краевых задач методом прогонки

3.4. Уравнения для нахождения собственных частот колебаний подкрепленной оболочки в случае стержневой модели шпангоута.

3.5. Результаты асимптотических и численных расчетов

3.6. Оптимизация распределения массы подкрепленной оболочки между обшивкой и шпангоутами с целью максимального увеличения первой частоты колебаний.

Тонкостенные оболочки широко используются в различных областях современной техники. Образованные из тонких оболочек конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью, что объясняет широкое применение оболочек в судостроении, авиа- и ракетостроении, химическом машиностроении, в гражданском и промышленном строительстве и многих других отраслях. Расчеты оболочек на устойчивость имеют существенное значение при проектировании надводных и подводных кораблей, летательных аппаратов, тепловозов, трубопроводов, резервуаров, куполов и перекрытий в инженерных сооружениях.

На сегодняшний день теория гладких оболочек является хорошо разработанным разделом механики деформируемого твердого тела. Значительный вклад в фундаментальные исследования в этой области был внесен В. 3. Власовым [15], А. С. Вольмиром [18], А. Л. Гольденвейзером [21], А. И. Лурье [49], X. М. Мушта-ри [61], В. В. Новожиловым [64], создавшими собственные научные школы. Благодаря успехам этих и многих других ученых к настоящему моменту теория оболочек располагает большим количеством различных точных и приближенных методов расчета оболочек.

Тонкостенные оболочки, как правило, редко используются без подкрепляющих элементов, позволяющих ужесточить конструкцию, не увеличивая ее материалоемкости. Из оболочек различного очертания, широко применяемых в качестве несущих элементов конструкций, наиболее распространенными являются ребристые цилиндрические оболочки. Наряду с гладкими и подкрепленными оболочками, в современной технике широко используются также и сопряженные (составные) оболочки. В связи с этим актуальными являются разработка новых и совершенствование уже существующих методов расчета тонкостенных конструкций такого типа, подвергающихся воздействию статических и динамических нагрузок.

Необходимым элементом исследования динамики конструкции является определение частот и форм малых колебаний. При действии на оболочку статических нагрузок ее работоспособность зависит от значений критических нагрузок, при достижении которых происходит происходит потеря устойчивости.

Как задачи определения частот и форм колебаний, так и линейные задачи устойчивости оболочек сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Обзоры работ по динамике и устойчивости подкрепленных и сопряженных оболочек содержатся в [5, 7, 9, 13, 42, 43].

Несмотря на большое количество публикаций, посвященных решению задач статики и динамики ребристых и составных оболочек, запросы практики во многом еще не удовлетворены. Это связано с использованием в современных конструкциях новых материалов и усложнением самих конструкций, а также с необходимостью учета все более разнообразных воздействий на них.

При исследовании напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек при статическом и динамическом нагру-жении применяются два подхода, отличающиеся способом учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый из них основан на сведении рассматриваемой ребристой оболочки к конструктивноортотропной модели и использовании хорошо развитой теории ор-тотропных оболочек. Жесткостные и инерционные свойства подкрепляющих элементов "размазываются" по поверхности оболочки, которая затем рассматривается как однородная, но наделенная некоторыми новыми свойствами в соответствии с конструктивными особенностями объекта (конструктивная ортотропия) [9, 10, 19]. Введение конструктивной ортотропии дает возможность отвлечься от особенностей силового взаимодействия между ребрами и обшивкой и сильно упростить задачу. Такой подход использован в работах [5, 27, 40, 55-58, 60] и др.

Конструктивно-ортотропная теория позволяет с достаточной точностью находить низшие частоты колебаний и значения критических нагрузок. Однако этот подход не дает возможности выявить выявить ряд важных закономерностей деформирования оболочек, связанных с наличием ребер, в частности наблюдающееся в экспериментах выпучивание обшивки между ребрами при потере устойчивости, и применим только в тех случаях, когда подкрепляющие оболочку ребра расставлены достаточно часто. При этом трудно указать простые и строгие критерии, позволяющие в каждом конкретном случае оценить правомерность равномерного распределения ("размазывания") жесткости ребер.

Более общий подход основан на учете дискретного размещения подкрепляющих оболочку ребер. Основы теории ребристых оболочек с учетом дискретности ребер были заложены в работах В. 3. Власова [16] и А. И. Лурье (доклад "Уравнения равновесия оболочки, подкрепленной ребрами вдоль линий главных кривизн" на семинаре Ленинградского политехнического института 28 октября 1948 г), которые построили уравнения равновесия продольно подкрепленной цилиндрической оболочки в перемещениях. Ребристую оболочку предложено было рассматривать как конструкцию, состоящую из обшивки и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов (ребер). Принималось, что обшивка и ребра взаимодействуют вдоль линии пересечения осевых (нормальных к срединной поверхности обшивки) сечений ребер и поверхности обшивки, и что перемещения обшивки и ребер вдоль линий контакта равны.

При построении уравнений равновесия ребристых оболочек В. 3. Власов учитывал влияние ребер в виде их реакций, действующих на обшивку, которые затем с помощью уравнений равновесия ребер исключались из уравнений равновесия обшивки. А. И. Лурье для вывода уравнений равновесия использовал принцип возможных перемещений. В этом случае нет необходимости вводить усилия взаимодействия ребер и обшивки и из вариационного уравнения можно получить как уравнения равновесия, так и естественные граничные условия.

В работах, выполненных после 1964 года, для построения уравнений равновесия, как правило применялся метод Лурье [4]. Он использован для вывода уравнений равновесия ребристой цилиндрической оболочки и формулировки естественных граничных условий в работах [39, 82]. Уравнения равновесия для ребристой оболочки произвольного очертания выведены в работах [34, 35, 37]. В работах [24-26] для произвольного размещения ребер построены системы уравнений равновесия на основе технической и общей теории оболочек. В работах [4, 38] учтено взаимодействие обшивки и ребер по поверхностям контакта.

Теории подкрепленных оболочек посвящено большое число публикаций. Подробные обзоры методов вывода уравнений ребристых оболочек и их решения и обширная библиография приведены в работах [4-8, 30, 37, 67]. В отличие от других разделов теории оболочек, численные методы (метод прогонки, метод конечных элементов, метод конечных разностей) [42, 62, 88, 89] применялись в этой области относительно редко. Наибольшее распространение получили аналитические и вариационные методы [2, 5, 31, 55, 69, 73] и др. Асимптотические разложения использовались в основном при исследовании конструктивно-ортотронных оболочек [9, 40, 66].

В настоящее время существуют мощные пакеты программ для численных расчетов ребристых и составных оболочек. Однако численные методы не лишены недостатков: с их помощью сложно понять механизм потери устойчивости, они не являются универсальными, требуют достаточно много времени для подготовки начальных данных и больших вычислительных мощностей, их применение затруднено при расчетах систем, в которые входят очень большие или очень маленькие величины.

В теории оптимального проектирования конструкций большое место занимают вопросы расчета подкрепленных оболочек минимального веса. Вопросы оптимального проектирования в теории устойчивости и колебаний подкрепленных оболочек рассмотрены в работах [17, 32, 41, 45, 63, 68, 70, 72].

При решении краевых задач теории колебаний и устойчивости сопряженных оболочек использовались численные методы (метод прогонки, метод конечных разностей) [29, 42, 62, 71, 88, 89], вариационный метод [73]. В [44] метод начальных параметров в матричной форме распространялся с балочных систем на оболочки вращения, что позволило использовать его для проведения статического расчета и определения частот и форм колебаний сложных оболочечных систем. В работах [47, 48] асимптотическим методом определялись частоты и формы колебаний составной конструкции, состоящей из произвольного числа упругих оболочек вращения и сопряженных между собой при помощи колец жесткости.

Асимптотические методы, основанные на разложениях решений в ряд по степеням малого параметра, занимают ведущее место среди методов построения приближенных аналитических решений. Систематическое применение асимптотических методов в теории тонких оболочек началось с известных монографий А. И. Лурье [49] и А. Л. Гольденвейзера [21]. Ряд результатов для общего случая анизотропии приведен в монографии С. А. Амбар-цумяна [3].

Система уравнений теории оболочек является довольно громоздкой системой уравнений в частных производных. Она содержит естественный малый параметр, связанный с относительной толщиной оболочки, поэтому асимптотическое представление решений является необходимым элементом качественного анализа, а также может дать существенное упрощение при построении приближенных численных решений, сэкономить машинное время. Приближенные аналитические решения, полученные с использованием асимптотических методов, позволяют наиболее просто проанализировать влияние различных параметров на поведение тонкостенной конструкции. Ясное осознание асимптотической природы упрощений позволяет определить область их применимости, а в случае необходимости — уточнять приближенные решения. Таким образом, асимптотические и численные методы являются взаимно дополняющими.

Малый параметр входит в уравнения теории оболочек в виде множителя при старшей производной. При обращении в нуль малого параметра получается порождающая (укороченная) система уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Системы дифференциальных уравнений такого типа называются сингулярно возмущенными.

При решении краевых задач для сингулярно возмущенных систем уравнений теории оболочек в случае регулярного вырождения в смысле Вишика—Люстерника [14, 75] удается разделить напряженно-деформированное состояние оболочки на основное и простой краевой эффект. Регулярное вырождение имеет место, как правило, для нижней части спектра собственных значений, определение которой представляет наибольший интерес для практических приложений. В задачах, рассмотренных в диссертации, основное состояние является полубезмоментным. Функции краевого эффекта вносят существенный вклад в решение только вблизи краев оболочек и линий их сопряжения или подкрепления.

Основное состояние определяется путем решения вырожденной системы уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Вследствие этого основное состояние, вообще говоря, не удовлетворяет всем граничным условиям. Метод разделения напряженно-деформированного состояния на главное и краевой эффект можно использовать только в том случае, когда удается разделить граничные условия на главные и дополнительные. С помощью главных условий определяется основное состояние, а с помощью дополнительных находится простой краевой эффект.

В некоторых случаях для получения главных и дополнительных условий необходимо составлять линейные комбинации исходных граничных условий. Разделение простых граничных условий заделки, шарнирного края и др. на главные и дополнительные в задачах теории колебаний и устойчивости проведено в работах [1, 23, 74] и др.

Для сопряженных и подкрепленных оболочек использование метода разделения напряженно-деформированного состояния на главное и краевой эффект осложняется в виду необходимости разделения на главные и дополнительные громоздких граничных условий на линиях сопряжения и подкрепления оболочек. Проблема разделения таких условий в задачах статики довольно хорошо изучена [36, 54, 59, 65, 84, 85].

Разделение граничных условий на главные и дополнительные в задачах колебаний и устойчивости сопряженных и подкрепленных оболочек проведено в работе [81]. Ребра рассматривались в рамках теории Кирхгофа—Клебша, предполагалось, что ось ребра является плоской кривой. При выводе условий сопряжения учитывались деформации растяжения, изгиба в нормальной и касательной плоскостях, кручение ребра, а также его ширина и эксцентриситет расположения. В [33] получены главные и дополнительные условия сопряжения для цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами произвольного направления.

В диссертации исследуются устойчивость и низкочастотные колебания сопряженных и подкрепленных тонких упругих цилиндрических и конических оболочек средней длины. Используется классическая система уравнений теории оболочек [23], основанная на гипотезах Кирхгофа—Лява, точность которой оказывается достаточной для вывода всех полученных в работе приближенных формул. При исследовании подкрепленных оболочек ребра рассматриваются как стержни в рамках теории Кирхгофа—Клебша, либо как пластины в рамках теории Кирхгофа. Для определения собственных значений и функций во всех главах диссертации систематически используются асимптотические методы.

Данная работа состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются сопряженные конические и цилиндрические оболочки. Во второй главе содержится исследование устойчивости цилиндрической оболочки, сопряженной с пластиной. В третьей главе численным методом решается задача о низкочастотных колебаниях цилиндрической оболочки, подкрепленной пластинами по внутренним параллелям. Все рассмотренные в диссертации задачи являются линейными, в которых с помощью разделения переменных систему уравнений теории оболочек удается свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Первая глава посвящена практически важной и достаточно сложной задаче устойчивости сопряженных оболочек вращения. Рассмотрен случай двух конических или конической и цилиндрической сопряженных оболочек, находящихся под действием равномерного бокового внешнего давления. Предполагается, что угол сопряжения не является малым.

Задача сводится к решению краевой задачи на собственные значения для двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями на краях оболочки и на параллели сопряжения. Для случая жестко заделанных краев тонкостенной конструкции критическое давление и форма потери устойчивости определены асимптотическим методом разделения напряженно-деформированного состояния оболочки на полубез-моментное и простой краевой эффект, а также численным методом ортогональной прогонки [12, 20]. Найдены поправки первого приближения для величины параметра критического давления. В случае шарнирно опертых краев проведены численные вычисления и сравнение с асимптотическими результатами, полученными ранее С. Б. Филипповым [80, 81].

Асимптотический анализ показал, что краевая задача пулевого приближения распадается на две независимые задачи для первой и второй оболочки. В соответствии с этим, значения параметра нагружения разделяются на две серии, каждая из которых соответствует потере устойчивости одной из оболочек. В отличие от случая колебаний в задаче устойчивости практический интерес представляет только определение наименьшего значения параметра Л. Краевая задача нулевого приближения для цилиндрической оболочки имеет решение в явном виде.

Аналогичная картина наблюдается и в задаче о малых свободных колебаниях сопряженных оболочек. Там частоты колебаний также распадаются на две серии для первой и второй оболочек соответственно. Впервые, этот результат был отмечен именно для колебаний в статьях [83, 93], где теоретически и экспериментально исследовались частотные характеристики составных оболочек, представляющих собой комбинацию цилиндра и конуса.

Асимптотический анализ позволил дать объяснение этому факту, также как и факту локализации формы колебаний или формы потери устойчивости на поверхности одной из оболочек.

По результатам численных расчетов построены формы потери устойчивости составной оболочки и проведена оценка влияния толщины оболочек и угла сопряжения на форму потери устойчивости. Численное определение форм потери устойчивости подтвердило наличие локализации формы на поверхности одной из оболочек.

Во второй главе решена задача об устойчивости цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной и находящейся под действием равномерного бокового внешнего давления. Следует отметить, что почти во всех в работах о подкрепленных оболочках используется стержневая модель шпангоута [46, 63, 77, 79, 87, 90, 94, 95]. Такая модель хорошо работает для узкого шпангоута, но она не подходит для случая, когда шпангоут достаточно широк. В диссертации предложена модель потери устойчивости, когда достаточно широкий подкрепляющий элемент — шпангоут — рассматривается как кольцевая пластина, а не как стержень. При асимптотических расчетах использованы уравнения устойчивости сопряженных оболочек из первой главы, причем кольцевая пластина рассматривается как "развернутый" конус.

Получены асимптотические формулы для определения жесткости кольца в его плоскости, которые использованы для оценки критического давления подкрепленной цилиндрической оболочки.

Для стержневой модели при увеличении ширины шпангоута жесткость стержня стремится к бесконечности. Это не позволяет найти оптимальные размеры поперечного сечения кольца. Для пластиночной модели жесткость стремится к конечному пределу. Формула, представляющая это предельное значение, выведена во второй главе диссертации. Таким образом, более точная пластиночная модель шпангоута позволит определить оптимальную форму поперечного сечения шпангоута для подкрепленной цилиндрической оболочки.

С помощью уже известных асимптотических формул [81] для цилиндрической оболочки, подкрепленной круговым стержнем (так называемая стержневая модель шпангоута), проведено сравнение минимальных значений параметра нагружения, найденных для двух различных моделей подкрепляющего элемента: стержневой и предложенной в данной работе модели пластины при постепенном увеличении ширины кольца.

Кроме того, методом прогонки построено численное решение задачи. Сравнение асимптотических и численных результатов демонстрирует достаточно высокую точность полученных аналитических формул.

В третьей главе методами численного интегрирования исследуются низкочастотные колебания тонкой круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной по внутренним параллелям кольцевыми пластинами. Предложен новый подход к численному решению системы уравнений колебаний, основанный на использовании ортогональной прогонки и позволяющий определить низшие частоты колебаний для оболочки, подкрепленной любым числом пластин.

В качестве примера проведены расчеты частот для случаев подкрепления оболочки одной и двумя равномерно расположенными вдоль образующей кольцевыми пластинами. Приведены зависимости первой частоты колебаний конструкции от ширины пластин. Достоверность результатов подтверждается их сравнением с результатами приближенного анализа данной задачи методами асимптотического интегрирования, полученными ранее [81, 90].

С использованием численного метода ортогональной прогонки определены оптимальные параметры подкрепленной цилиндрической оболочки, позволяющие получить наибольшее значение первой частоты при фиксированной массе конструкции. Использование стержневой модели позволяет определить только оптимальную площадь поперечного сечения шпангоута, в то время как пластиночная модель дает возможность найти размеры этого сечения. Проведено сравнение с значениями оптимальных параметров, полученными асимтотическими методами в работах других авторов [91, 92]. Приведенные в главе результаты могут быть использованы для определения оптимальных параметров подкрепленных оболочек, применяющихся в технике.

Основные результаты исследования, выносимые на защиту:

Получены приближенные асимптотические формулы для определения параметра критического давления в задаче об устойчивости двух сопряженных по параллели тонких конических оболочек, находящихся под действием равномерного внешнего давления для случая жестко заделанных краев конструкции.

Численным методом ортогональной прогонки найдены значения параметра нагружения и формы потери устойчивости сопряженных оболочек. Полученные результаты подтвердили локализацию формы на поверхности одной из оболочек. Исследована зависимость формы потери устойчивости от толщины оболочек и угла сопряжения.

Получено приближенное выражение для жесткости кольцевой пластины в ее плоскости. Построено асимптотическое решение задачи об устойчивости цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной и находящейся под действием равномерного бокового внешнего давления.

Для той же задачи методом численного интегрирования определены значения критического давления.

Исследована зависимость результатов, полученных с помощью стержневой и пластиночной модели, от ширины шпангоута.

На основе метода прогонки по Годунову разработан алгоритм численного решения задачи о малых свободных низкочастотных колебаниях цилиндрической оболочки, подкрепленной по внутренним параллелям произвольным числом кольцевых пластин. Сравнение полученных значений первой частоты с уже известными результатами приближенного анализа данной задачи методами асимптотического интегрирования подтверждает их достоверность

Численным методом найдены оптимальные параметры подкрепленной кольцевыми пластинами цилиндрической оболочки, позволяющие получить наибольшее значение первой частоты при фиксированной массе конструкции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе исследуются устойчивость и низкочастотные колебания сопряженных и подкрепленных тонких упругих цилиндрических и конических оболочек средней длины.

Основными результатами, выносимыми на защиту, являются:

Получены приближенные асимптотические формулы для определения параметра критического давления в задаче об устойчивости двух сопряженных по параллели тонких конических оболочек, находящихся под действием равномерного внешнего давления для случая жестко заделанных краев конструкции.

Численным методом ортогональной прогонки найдены значения параметра нагружения и формы потери устойчивости сопряженных оболочек. Полученные результаты подтвердили локализацию формы на поверхности одной из оболочек. Исследована зависимость формы потери устойчивости от толщины оболочек и угла сопряжения.

Получено приближенное выражение для жесткости кольцевой пластины в ее плоскости. Построено асимптотическое решение задачи об устойчивости цилиндрической оболочки, сопряженной с кольцевой пластиной и находящейся под действием равномерного бокового внешнего давления.

Для той же задачи методом численного интегрирования определены значения критического давления.

Исследована зависимость результатов, полученных с помощью стержневой и пластиночной модели, от ширины шпангоута.

На основе метода прогонки по Годунову разработан алгоритм численного решения задачи о малых свободных низкочастотных колебаниях цилиндрической оболочки, подкрепленной по внутренним параллелям произвольным числом кольцевых пластин. Сравнение полученных значений первой частоты с уже известными результатами приближенного анализа данной задачи методами асимптотического интегрирования подтверждает их достоверность

Численным методом найдены оптимальные параметры подкрепленной кольцевыми пластинами цилиндрической оболочки, позволяющие получить наибольшее значение первой частоты при фиксированной массе конструкции.

1. Алумяэ Н. А. К определению критической нагрузки замкнутой в вершине оболочки, находящейся под действием внешнего давления // Тр. Тал. политехи, ин-та. Сер. А. 1955. Вып. 65. С. 1-13.

2. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

3. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.

4. Амиро И. Я., Заруцкий В. А., Поляков П. С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев: Наукова думка, 1973. 248 с.

5. Амиро И. Я., Заруцкий В. А. Методы расчета оболочек. Том 2: Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. 368 с.

6. Амиро И. Я., Заруцкий В. А. Исследования в области динамики ребристых оболочек // Прикл. механика. Киев, 1981. Т. 19. Вып. И. С. 3-20.

7. Амиро И. Я., Заруцкий В. А. Паламарчук В. Г. Динамика ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1983. 204 с.

8. Амиро И. Я., Грачев О. А., Заруцкий В. А., и др. Устойчивость ребристых оболочек вращения. Киев: Наукова думка, 1987. 160 с.

9. Андрианов И. В., Лесничая В. А., Лобова В. В. и др. Расчет прочности ребристых оболочек инженерных конструкций. Киев—Донецк: Вища школа, 1986. 104 с.

10. Андрианов И. В., Лесничая В. А., Маневич Л. И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985. 224 с.

11. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек // М.: Наука, 1974. 156 с.

12. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1973. Т. 1. 590 с.

13. Валишвили Н. В. Расчет оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 287 с.

14. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук, 1957. Т. 12. Вып. 5. С. 3-122.

15. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. ГИТТЛ, М.-Л., 1949. 784 с.

16. Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. М.: Госстройиздат, 1958. 502 с.

17. Волынский Э. ИЗаруцкий В. А., Почтман Ю. М. Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек при заданных ограничениях на собственные частоты колебаний // Строительная механика и расчет сооружений. 1977. Вып. 5. С. 17-21.

18. Волъмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

19. Волъмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

20. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук, 1961. Вып. 3. С. 177-174.

21. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953. 544 с.

22. Гольденвейзер А. Л. Изгибания поверхностей и сверхнизкие частоты колебаний тонких оболочек // Изв. АН СССР. Механика тверд. тела. 1977. Вып. 5. С. 106-117.

23. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. В., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.

24. Гребень Е. С. Основные уравнения теории ребристых пологих оболочек и пластинок. В кн.: Расчет пространственных конструкций. М.: Госстройиздат, 1965. Вып. 10. С.81-91.

25. Гребень Е. С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Вып. 3. Механика, 1965. С. 124-135.

26. Гребень Е. С. О деформациях и равновесии подкрепленных ребрами тонких оболочек // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. Вып. 5. 1969. С. 106-114.

27. Григолюк Э. И. К теории круговых цилиндрических оболочек с жестким продольным набором // Изв. АН СССР. ОТН, 1954. Вып. И.

28. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.

29. Григолюк Э. И., Мальцев В. П., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Об одном методе решения задач устойчивости и колебаний оболочек вращения // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1971. Л/М.

30. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 411 с.

31. Даревский В. М., Кшнякин Р. И. Устойчивость подкрепленной кольцами цилиндрической оболочки под действием внешнего давления // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134. Вып. 3. С. 548-551.

32. Диамант Г. И., Заруцкий В. А., Сенченко Л. А. Оптимизация параметров ребристых цилиндрических оболочек по минимальной собственной частоте колебаний // Сопрот. мат. и теория сооружений. 1978. Вып. 32. С. 48-50.

33. Дмитриева М. Л. Двумерные задачи колебаний подкрепленной цилиндрической оболочки // Прикл. мех., Л. Вып. 7. 1988. С. 153-159.

34. Жилин П. А. К анализу краевых задач для ребристых оболочек. В кн.: Прочность гидротурбин, 72. Л.: Изд-во ЦКТИ, 1966. С. 26-40.

35. Жилин П. А. Общая теория ребристых оболочек. В кн.: Прочность гидротурбин, 8. Л.: Изд-во ЦКТИ, 1968. С. 46-70.

36. Жилин П. А., Кизима Г. А. Сферический пояс с меридиональными ребрами // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1969. Вып. 5. С. 97-105.

37. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. Ан СССР. Мех. тверд, тела. Вып. 4. 1970. С. 150-162.

38. Заруцкий В. А. Уравнения равновесия ребристых цилиндрических оболочек В кн.: Теория пластин и оболочек: Тр. II Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек, Львов, 1961. Киев: Изд-во АН УССР. 1962. С. 396-400.

39. Заруцкий В. А. Равновесие ребристых цилиндрических оболочек // Прикл. механика. Киев, 1965. Т. 1. Вып. 11. С. 28-38.

40. Заруцкий В. А. Приближенные формулы для вычислеиия минимальных собственных частот колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек // Прикл. механика. Киев, 1977. Т. 13. Вып. 5. С. 43-51.

41. Завьялов В. Н., Кадисов Г. М. Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек // Тр. 15-й Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Казань. 1990. Т. 1. С. 685.

42. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

43. Колебания ребристых оболочек вращения. Под ред. И. Я. Ами-ро. Киев: Наукова думка, 1988. 172 с.

44. Лиходед А. И. Колебания и статика составных оболочечных систем // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1972. Вып. 3. С. 92-97.

45. Лопатухин А. Л. Определение оптимальных параметров подкрепленных оболочек // Вестник молодых ученых. Сер. прикл. матем. и мех., 2000. Вып. 4. С. 83-91.

46. Лопатухин А. Л., Филиппов С. Б. Низкочастотные колебания и устойчивость тонкой цилиндрической оболочки, подкрепленной конечным числом шпангоутов // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2001. Вып. 2. С. 83-90.

47. Луковенко С. А. Свободные неосесимметричные колебания сопряженных оболочек вращения // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1975. Вып. 2. С. 163-167.

48. Луковенко С. А., Пшеничное Г. И. Свободные осесимме-тричные колебания сопряженных оболочек вращения // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1973. Вып. 6. С. 157-162.

49. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 252 с.

50. Макаренко И. Н. Устойчивость сопряженных оболочек вращения // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2001. Вып. 3 17). С. 61-69.

51. Макаренко И. Н. Колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми пластинами // С.-Петербург, 2003. Деп. в ВИНИТИ 23.05.2003, Л/^ 1005-В2003.

52. Макаренко И. Н. Колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной пластинами // Третьи Поляховские чтения: Избранные труды международной научной конференции по механике. — СПб.: Изд-во НИИХ С.-Петербургского ун-та. 2003. С. 275-280.

53. Макаренко И. Н. Устойчивость подкрепленной кольцом цилиндрической оболочки под действием внешнего давления // С.-Петербург, 2004. Деп. в ВИНИТИ 09.07.2004, 1180-В2004.

54. Мальков В. М. О расчленении условий упругого сопряжения в линейной теории тонких оболочек // Проблемы механики тверд, деф. тела. Л. 1970. С. 257-263.

55. Маневич А. И. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами и нагруженной внешним давлением // Изв. АН СССР. Механика. 1965. Вып. 6. С. 106-110.

56. Маневич А. И. Устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек с учетом эксцентриситета ребер. В кн.: Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1971. Вып. 14.

57. Маневич А. И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев; Донецк: Вища школа, 1979. 152 с.

58. Маневич А. И., Павленко А. В. Асимптотический анализ уравнений теории эксцентрично подкрепленных цилиндрических оболочек. В кн.: Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. С. 185-190.

59. Михайловский Е. И. Прямые, обратные и оптимальные задачи для оболочек с подкрепленным краем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 220 с.

60. Муштари X. М.} Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

61. Мяченков В. И., Григорьев И. В. Расчет составных оболочеч-ных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. 216 с.

62. Николаенко Т. ИФилиппов С. Б. Определение оптимальных параметров подкрепленной цилиндрической оболочки // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1995. Вып. 3. С. 88-91.

63. Новоэюилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.

64. Новожилов В. В., Черных К. Ф., Михайловский Е. И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.

65. Образцов И. Ф., Нерубайло В. В., Андрианов И. В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1991. 416 с.

66. Основы строительной механики ракет / Балабух Л. И., Колесников К. С., Зарубин В. С., Алфутов Н. А. и др. М.: Высшая школа, 1969. 494 с.

67. Почгпман Ю. М. Оптимальное проектирование подкрепленных оболочек и многослойных пластин и оболочек. Днепр.: ДГУ, 1987. 76 с.

68. Рябов В. М. Устойчивость подкрепленной поперечным набором цилиндрической оболочки при внешнем давлении и осевом сжатии // Расчет пространственных конструкций. Вып. 12. 1969. С. 150-167.

69. Рейгпман М. И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976. 268 с.

70. Свирский И. В. Метод прогонки для расчета конструкций, состоящих из оболочек //В сб.: Теория пластин и оболочек. М.; Наука, 1971. С. 252-256.

71. Сергеев Н. Д., Богатырев А. И. Проблемы оптимального проектирования конструкций. Л.: Стройиздат, 1971. 136 с.

72. Сердюков В. В., Федоров Л. А. Приближенный метод определения собственных частот колебаний однослойных составных оболочек вращения // Изв. высш. учеб. заведений. Авиационная техника. 1971. Вып. 4. С. 113-116.

73. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Физматлит: Наука, 1995, 320 с.

74. Треногин В. А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника—Вишика // Успехи мат. наук. 1970. Т. 25. Вып. 4. С. 123-156.

75. Филиппов С. Б. Частоты осесимметричных колебаний сопряженных оболочек вращения // Прикл. механика, Л. Вып. 2. 1975. С. 158-171.

76. Филиппов С. Б. Свободные колебания и устойчивость круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Прикл. механика. Л. Вып. 6. 1984. С. 153-160.

77. Филиппов С. Б. Низкочастотные колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной эксцентрически расположенным шпангоутом // Прикл. механика. Л. Вып. 7. 1988. С. 141-153.

78. Филиппов С. Б. Низкочастотные колебания и устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 4. С. 77-82.

79. Филиппов С. Б. Низкочастотные колебания сопряженных конических оболочек // Прикл. механика, Л. Вып. 8. 1990. С. 188-199.

80. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. 196 с.

81. Хитрое В. Н. Упругое равновесие ребристых оболочек // Прикл. механика. Киев, 1971. Т. 7. Вып. 4. С. 110-115.

82. Ху В., Рейни И. Экспериментальное и теоретическое исследование колебаний сопряженных оболочек. Ракетн. техн. и космонавтика. 1967. Т. 5. Вып. 5. С. 182-186.

83. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, Ч. 1. 1962. 274 е.; 4.2. 1964. 395 с.

84. Черных К. Ф. Простой краевой эффект и расчленение граничных условий в линейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР. Механика. Вып. 1. 1965. С. 89-98.

85. Шарыпов Д. В. Низкочастотные колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 3. С. 102-108.

86. Шарыпов Д. В. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 4. С. 132-136.

87. Anderson M. S., Fulton R. E., Heard W. L. et. al. Stress, buckling and vibration analysis of shells of revolution // Comput. Struct. 1971. Vol. 1. N 1-2. P. 157-192.

88. Dushnell D. Stress, stability and vibration of complex, branched shells of revolution // Comput. Struct. 1974. Vol. 4. N 2. P. 399-435.

89. Filippov S. B., Haseganu E. Low-frequency vibrations of a thin cylindrical shell joined with an annular thin plate // Trans, of CSME. 2003. Vol. 27. No. 3. P. 183-192.

90. Filippov S.B. Optimal design of stiffened cylindrical shells based on an asymptotic approach // Technische mechanik. Band 24. Haft 3-4. 2004. P. 221-230.

91. Hu W., Raney J. Experimental and analitical study of vibrations of joined shells // AIAA J. 1967. Vol 5. N 5. P. 967-980.

92. Swaddiwudhipohg S., Tian J., Wang C. M. Elastic buckling analysis of ring-stiffened cylindrical shell under general pressure loading via ritz method // Thin walled structures. 1999. Vol. 35. P. 1-24.

93. Yang. B., Zhou J. Analysis of ring-stiffened cylindrical shells // Journal of Applied Mechanics. 1995. Vol. 62. P. 1005-1014.