Метод решения краевых задач механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОДНОСЛОЙНЫХ И

МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК.

1.1. Нелинейные и линейные геометрические соотношения.

1.2. Соотношения упругости для различных моделей механики деформирования

1.3. Основные вариационные принципы получения дифференциальных уравнений статики, динамики и устойчивости

1.3.1. Принцип возможных перемещений

1.3.2. Смешанный вариационный принцип

1.3.3. Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского

1.4. Уравнения динамической устойчивости для ортотропных оболочек вращения в рамках гипотезы Кирхгофа-Лява

1.5. Нелинейные уравнения движения для многослойных оболочек с учетом поперечных сдвиговых деформаций при кубической аппроксимации тангенциальных перемещений

1.6. Нелинейные уравнения движения для многослойной оболочки с использованием гипотезы ломаной линии при учете изменения метрики по толщине оболочки

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Метод последовательных приближений для определения решения системы дифференциальных уравнений.

2.1.1. Нормированное решение системы однородных дифференциальных уравнений

2.1.2. Частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений

2.2. Вычисления с помощью интеграла Вольтерра. Бином Ньютона

2.3. Особенности решения задач динамики и устойчивости

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ

ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

3.1. Алгоритм определения нормированного решения для расчетного участка

3.2. Формирование разрешающей системы алгебраических уравнений для задач статики, динамики и устойчивости

3.3. Геометрические характеристики оболочек вращения, используемые в вычислительных процедурах

3.4. Условия сопряжения оболочек с упругими кольцами

3.5. Введение граничных условий

3.6. Априорные и апостериорные оценки погрешностей счета

3.7. Результаты расчета тестовых задач.

ГЛАВА 4. ПРОЧНОСТЬ, ДИНАМИКА, УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК, ПЛАСТИН И КОЛЕЦ

4.1. Анализ переходного процесса при вынужденных колебаниях сферической оболочки

4.2. Контактная задача устойчивости тонкой упругой пластины, связанной с круговым кольцом, при действии сосредоточенных радиальных сил

4.2.1. Уравнения устойчивости и граничные условия

4.2.2. Определение усилий в начальном состоянии.

4.2.3. Определение критических сил

4.3. Напряженно-деформированное состояние многослойного кольца при импульсном нагружении

ГЛАВА 5. ПРОЧНОСТЬ, КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

5.1. Приведение канонических уравнений движения оболочек к глобальным координатам конструкции

5.2. Колебания оболочек вращения с присоединенным твердым телом

5.3. Колебания шахты ядерного реактора энергетической установки

5.3.1. Определение жесткостей упругого элемента в радиальном и поперечном направлениях

5.3.2. Расчет собственных частот и форм колебаний шахты с внутренними конструкционными устройствами

5.3.3. Результаты расчета

5.4. Определение собственных частот и форм колебаний модели отсека ракеты

5.4.1. Описание объекта исследования, экспериментальной установки, аппаратуры возбуждения

5.4.2. Порядок проведения эксперимента

5.4.3. Численный расчет собственных частот и форм колебаний

5.4.4. Сравнение численных и экспериментальных данных по частотам и формам колебаний

5.5. Напряженно-деформированное состояние обтекателя под действием аэродинамической нагрузки

5.6. Определение собственных частот и форм колебаний многослойного обтекателя.

5.7. Устойчивость и динамика многослойных конструкций при начальных напряжениях

ГЛАВА 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

6.1. Устойчивость кольца при существенно неосесимметричном нагружении

6.2. Нелинейное поведение и устойчивость тонких сферических оболочек при неосесимметричном нагружении

6.3. Исследование напряженно-деформированного состояния арочных амортизаторов

6.3.1. Выбор расчетной схемы арочного амортизатора

6.3.2. Получение системы нелинейных дифференциальных уравнений

6.3.3. Анализ результатов численного решения

6.3.4. Построение упругих характеристик амортизатора

6.3.5. Исследование деформированного состояния амортизаторов

6.3.6. Исследование напряженного состояния амортизаторов.

6.4. Экспериментальное исследование деформированного состояния арочных амортизаторов

Тонкостенные конструкции находят широкое применение в различных отраслях современной техники. Внедрение композитов в несущие конструкции различного назначения требует разработки расчетных моделей механики деформирования, учитывающих особенности структуры и поведения этих материалов. К числу таких особенностей, как известно, относятся их анизотропия, слоистый характер и сравнительно низкая прочность и жесткость в направлениях, не совпадающих с направлением армирования. Поскольку достоверное прогнозирование поведения конструкций немыслимо без детальных и достаточно точных расчетов на прочность, жесткость и устойчивость, роль отмеченных факторов на этапе проектирования существенно возрастает. Математическое моделирование поведения конструкций с учетом условий их эксплуатации позволяет ускорить и удешевить процесс проектирования изделий.

В современной механике деформирования пластин и оболочек можно выделить важное научно-практическое направление по прочностному анализу, определению характеристик собственных и вынужденных колебаний, устойчивости и динамической реакции элементов конструкций. Учет отмеченных характеристик позволяет проектировать оптимальные конструкции, в которых удовлетворяются требования по максимальным напряжениям, резонансным режимам и потере устойчивости в процессе эксплуатации.

Актуальные проблемы развития теории тонкостенных конструкций рассмотрены в работах академиков А.Н. Гузя [1], В.В. Новожилова [2], И.Ф. Образцова [3], А.А. Самарского [4], Г.П. Свищева [5]. В упомянутых публикациях отмечается, что точность теоретического исследования НДС, собственных колебаний, устойчивости и переходных процессов при динамическом нагружении конструкции зависит от соответствия расчетной схемы реальной конструкции, математических моделей деформирования и методов решения краевых задач. К актуальным проблемам механики > деформирования относятся вопросы устойчивости и динамики конструкций сложной формы, вопросы повышения точности в описании их геометрии и ряд других проблем, решение которых невозможно без создания эффективных и экономичных расчетов на ЭВМ.

Отметим, что при использовании уточненных моделей деформирования для конструкций сложной формы не представляется возможным получить разрешающую систему дифференциальных уравнений в аналитическом виде. Поэтому важным представляется разработка алгоритмов, позволяющих по исходным геометрическим и физическим соотношениям получать необходимые дифференциальные уравнения с помощью ЭВМ.

Анализ математических методов, используемых при расчете сложных структур, к которым относятся составные оболочечные конструкции, позволяет сделать вывод, что не существует ни одного метода, обладающего бесспорным преимуществом при решении данного класса задач. К такому выводу приходит академик A.A. Самарский [4]: ". По-прежнему актуальной остается задача создания эффективных дискретных моделей, разработка методов их реализации на ЭВМ, развитие численных методов", а по мнению академика И.Ф. Образцова ". основная проблема при рассмотрении сложных конструкций - создание эффективных математических моделей деформирования, которые не только обеспечивают выполнение заданных требований к информативности и точности исследований, но и одновременно являются экономичными, способствующими, в частности, минимизации затрат машинного времени и памяти ЭВМ".

Представленные в работе результаты относятся к двум актуальным направлениям развития механики деформирования тонкостенных конструкций:

- исследованию и развитию различных моделей деформирования многослойных конструкций;

- разработке метода расчета напряженно-деформированного состояния, собственных частот и форм колебаний, в том числе и предварительно напряженных конструкций, статической устойчивости и переходных процессов для тонкостенных составных конструкций. Предлагаемый метод обладает простотой численной реализации, высокой точностью получаемых результатов, малыми затратами машинного времени и оперативной памяти ЭВМ, универсальностью к различным моделям деформирования и типам решаемых задач.

Подчеркнем, что большая часть разработанных математических моделей, алгоритмов, пакетов прикладных программ для ЭВМ и исследований были вызваны потребностями практики, а некоторые разделы выполнялись по комплексным научно-техническим программам с предприятиями НПО "Машиностроение", КБ им. С.А. Лавочкина, ГНИП "Вымпел" и другими. Результаты диссертационной работы используются в практической работе при проектировании изделий, что свидетельствует об актуальности темы, научном и практическом значении результатов исследований.

Для более полного обоснования актуальности и научной новизны представленных в работе результатов и определения их места в ряду исследований, выполненных на аналогичную тему, приведем обзор литературы и рассмотрим некоторые научные проблемы по теме диссертации. Известно, что теория пластин и оболочек, в том числе и из композитных материалов, в настоящее время является хорошо разработанной областью механики деформируемого твердого тела. К основополагающим трудам по теории пластин и оболочек относятся работы [6-99]. Большой вклад в создание теории пластин и оболочек внесли такие отечественные ученые, как Н.П. Абовский, А.Я.Александров, H.A. Алфутов, С.А. Амбарцумян, В.Г. Баженов, B.JI. Бидерман, И.А. Биргер, В.В. Болотин,

A.Т. Василенко, В.В. Васильев, И.Н. Векуа, В.З. Власов, A.C. Вольмир, »

И.И. Ворович, К.З. Галимов, A.JI. Гольденвейзер, А.Г. Горшков, Э.И Григолюк, Я.М. Григоренко, Н.Г. Гурьянов, А.Н. Гузь, A.A. Ильюшин,

B.В. Кабанов, A.B. Кармишин, H.A. Кильчевский, Ю.Г. Коноплев, М.С. Корнишин, Х.М. Муштари, Ю.В. Немировский, Б.В. Нерубайло, Ю.Н. Новичков, В.В. Новожилов, И.Ф. Образцов, П.М. Огибалов, В.Н. Паймушин, Б.Л. Пелех, A.B. Погорелов, А.П. Прусаков, Г.И. Пшеничнов, А.О. Рассказов, A.B. Саченков, И.Г. Терегулов, А.Г. Угодчиков, А.П. Филин, К.Ф. Черных, П.П. Чулков и другие.

Модели деформирования оболочек, используемые для расчетов, достаточно разнообразны, начиная от классической с гипотезами Кирхгофа-Лява, уточненной типа С.П. Тимошенко с обжатием и без, и кончая различными схемами многослойных оболочек.

Прочностной анализ тонкостенных конструкций из композиционных материалов на стадии проектной разработки приводит к решению задач механики деформирования пространственных оболочечных систем весьма большой размерности. Развитие моделей и методов механики деформирования слоистых неоднородных конструкций на макро- и микроуровнях позволяет создавать эффективные расчетные схемы, имитирующие реальные условия функционирования таких сложных конструкций. Однако тенденция к получению уточненных результатов заставляет уделять внимание более глубокой детализации расчетных схем рассматриваемого класса конструкций при максимально полном учете специфики их работы в нормальных и экстремальных условиях.

Приведенные причины стимулируют интенсификацию исследований в области теории и методов расчета механики деформирования многослойных пластин и оболочек.

Теория многослойных пластин и оболочек сформировалась как логическое и естественное обобщение теории однослойных и трехслойных пластин и оболочек на более широкие классы исследуемых объектов. Теория многослойных пластин и оболочек, отраженная в нескольких тысячах и. публикаций, отличается не только большим объемом, н6"разновариантностью представления, что обусловливается наличием множества систем исходных гипотез и подходов.

Рассмотрим наиболее характерные результаты. Подход, основанный на применении общих соотношений теории упругости в трехмерной постановке и решении уравнений теории упругости, представляет собой весьма сложную проблему. Ее трудоемкость возрастает с увеличением числа слоев и соответствующих им уравнений теории упругости, причем решение должно удовлетворять как условиям на кромках и лицевых поверхностях оболочки, так и условиям межслоевого контакта. Среди весьма ограниченного числа решенных на основе этого подхода задач следует отметить результаты С.Г. Лехницкого [100], И.И. Воровича, И.Г. Кодомцева, Ю.А. Устинова [101] и ученых института механики АН Украины [102, 103]. Различные решения можно найти в работах [104-107]. Подробный анализ рассматривается в обзоре [108].

Точные решения, полученные в рамках трехмерных задач, имеют большое теоретическое и практическое значение как эталонные для оценки точности и пределов применимости результатов, полученных различными приближенными методами теории пластин и оболочек. К сожалению, точные решения получены лишь в простейших случаях.

Обычно для расчета многослойных оболочек, как и однослойных, в большинстве работ используются различные методы приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным. Большой вклад в разработку теоретических и практических аспектов проблемы внесли такие ученые, как И.Н. Векуа [109], В.В.Власов [30,] В.В.Васильев [110], А.Л.Гольденвейзер [111], Н.А. Кильчевский [58], Ю.Г. Коноплев [61], А.И.Лурье [112], Х.М. Муштари и И.Г.Терегулов [ИЗ], Э.Рейсснер [114], А.П. Прусаков [115] и другие. Описанию этих методов и сравнению их друг с другом посвящены работы И.И. Воровича [118], А.Л. Гольденвейзера [117], Н.А. Кильчевского [110].

Воспользуемся классификацией методов приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной задаче теории оболочек, предложенной А.Л. Гольденвейзером [117]. В соответствии с этой классификацией методы приведения делятся на три группы: 1) метод разложения по толщине; 2) асимптотический метод и 3) метод гипотез.

Метод разложения по толщине заключается в том, что искомые величины раскладываются в ряды по координате z, отсчитываемой по нормали к координатной поверхности, и для нахождения коэффициентов этих разложений строятся последовательности двумерных краевых задач. Метод имеет интересную историю, начатую работами Пуассона и Коши, которые для определения напряженно-деформированного состояния пластинки раскладывали в степенные ряды по координате z компоненты тензора напряжений. В дальнейшем этот способ оказался эффективным средством построения теории толстых плит.

В большинстве работ, посвященных этому методу, используются степенные ряды или ряды по полиномам Лежандра. Так, для однослойных пластин и оболочек искомые компоненты напряженно-деформированного состояния раскладываются в степенные ряды по координате z в работах

119, 120, 121], для многослойных оболочек - в [58, 122] и др. Ряды по полиномам Лежандра используются в [123, 58, 124]; в [96,97] - для многослойных. К этому же направлению примыкают работы [125, 126], в которых строится уточненная теория трехслойных пластин и оболочек, при этом метод разложения перемещений по толщине в ряды по полиномам Лежандра применяется только к слою заполнителя, а для несущих слоев используется гипотеза Кирхгофа-Лява.

Метод разложения можно применять и тогда, когда толщина пластины или оболочки не мала. К преимуществам этого метода можно отнести также и то, что в нем не делается заранее никаких предположений о характере искомого напряженного состояния и можно повышать точность расчета (или, другими словами, степень приближения к решению исходной трехмерной задачи), не выходя за рамки выбранных процедур.

В асимптотическом методе, как и в методе разложения по толщине, решение трехмерной задачи заменяется решением регулярной последовательности двумерных краевых задач; отличие же состоит в том, что асимптотический метод существенно опирается на малость толщины оболочки. В этом методе искомые величины раскладываются в ряды по степеням малого параметра, пропорционального толщине оболочке. Двумерные краевые задачи в асимптотическом методе имеют итерационный характер. Как указано в [36], метод асимптотического интегрирования впервые, по-видимому, применил к оболочкам В.Т. Койтер, но он ограничился лишь нулевым приближением, то есть построил вариант уравнений теории оболочек, соответствующий гипотезам Кирхгофа-Лява.

Заметное развитие асимптотический метод в теории однослойных пластин и оболочек получил в работах А.Л.Гольденвейзера [41, 111], который предложил два итерационных процесса: основной - для построения внутреннего напряженного состояния, которое вызывается внешними поверхностными нагрузками и несамоуравновешенной по толщине оболочки частью краевых сил, и вспомогательный - для построения быстрозатухающего от края напряженного состояния погранслоя, которое вызывается самоуравновешенной по толщине оболочки частью краевых сил. Применение асимптотического метода к теории однослойных пластин и оболочек можно также найти в работах [127 - 131].

В значительно меньшей степени используется асимптотический метод в теории анизотропных и многослойных пластин и оболочек, что связано, по-видимому, с необходимостью громоздких преобразований исходных уравнений. Здесь можно указать на работы [101, 132-135]. Особенно интересна работа М.И Гусейн-Заде [135], в которой исследуется напряженное состояние погранслоя в многослойных оболочках. В частности, показано, что зона затухания погранслоя в слоистых оболочках в несколько раз может превышать зону затухания в изотропных, а в некоторых случаях погранслой распространяется на всю оболочку в целом. Наибольшее влияние оказывает погранслой на напряженное состояние трехслойных пластин и оболочек.

Как следует из предыдущего изложения, асимптотический метод, в отличие от метода разложения по толщине, хорошо описывает не только внутреннее напряженное состояние, но и погранслой. Недостатки этого метода заключаются в том, что в нем заранее содержатся предположения о малости толщины оболочки и, в скрытом виде, о характере искомого напряженного состояния.

Метод гипотез составляет самую многочисленную группу подходов приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным задачам теории пластин и оболочек. В методе гипотез делается предположение о распределении некоторых компонент тензоров напряжений или деформаций по толщине оболочки, в результате чего исходная трехмерная краевая задача приводится не к регулярной последовательности двумерных задач, а к некоторой вполне определенной краевой задаче. С.А. Амбарцумян [13] отмечает, что метод гипотез обладает не только чрезвычайной наглядностью, но относительно быстро и просто приводит, к окончательным результатам и прикладным рекомендациям. Благодаря этим преимуществам метод гипотез применяется для решения подавляющего большинства практически важных задач теории как однослойных, так и многослойных пластин и оболочек. Рассмотрим применение метода гипотез в теории многослойных оболочек.

Описание различных гипотез, сравнение их между собой и обширная библиография приведены в обзорах [45, 136]. Э.И. Григолюк и Ф.А. Коган в обзоре [45] выделяют два направления в теории многослойных оболочек. К первому направлению относятся теории, основанные на привлечении единых гипотез для всего пакета слоев; порядок системы уравнений при этом не зависит от их числа. В научной литературе такие теории получили название непрерывно-структурных [25]. Ко второму направлению относятся дискретно-структурные теории, то есть теории многослойных пластин и оболочек, предполагающие послойное принятие системы гипотез; здесь порядок системы уравнений определяется количеством слоев в пакете.

Среди научных трудов первого направления следует отметить работу С.А. Амбарцумяна [137], где для всего пакета слоев принимались гипотезы Кирхгофа-Лява. Предложенная теория вполне оправдана для тонких и слабоанизотропных пластин и оболочек, у которых жесткости слоев отличаются незначительно. Классическая теория получила развитие в работах В.В. Васильева [138], Э.И. Григолюка [139], Б.Г. Газизова [140], A.B. Саченкова [141] и была обобщена в монографиях С.А. Амбарцумяна [13] и Я.М. Григоренко [49]. Библиографию по этому вопросу можно найти в [45].

Применение в машиностроительных конструкциях композиционных материалов, обладающих малой сдвиговой жесткостью, вызвало необходимость учета поперечно-сдвиговых деформаций. К числу первых работ этого направления следует отнести работы А.Н. Елпатьевского и

B.В. Васильева [142], Б.Л. Пелеха [79], Р.Б. Рикардса и Г.А. Тетерса [143], К.З. Галимова [144], в которых используются кинематическая гипотеза

C.П. Тимошенко [145], обобщенная на задачи теории пластин и оболочек. При этом, как правило, вводятся допущения о характере распределения поперечных касательных напряжений или соответствующих им деформаций поперечного сдвига по толщине пакета.

Для однородных и слоистых тонких пластин и оболочек подобные допущения были введены С.А. Амбарцумяном, результаты подробно описаны в его работах [13, 153, 154]. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек и вклад в эту теорию научной школы С.А. Амбарцумяна отражены в обзоре [154]. Работы С.А. Амбарцумяна строятся, в основном, на базе двух гипотез [154].

Первая группа гипотез включает в себя следующие предположения: 1) оболочка не деформируется по толщине; 2) поперечными нормальными напряжениями пренебрегают; 3) распределение поперечных касательных напряжений по толщине находится из решения по классической теории, то есть с использованием классической гипотезы Кирхгофа-Лява [13]. Эта группа гипотез вносит изменения лишь в грузовую часть основных дифференциальных уравнений, оставляя неизменными однородные уравнения. Теория, построенная на базе этой группы гипотез, является, по существу, теорией второго приближения по отношению к классической теории.

Вторая группа базируется на предположении о недеформируемости оболочки по толщине и на задании распределения деформаций поперечного сдвига или соответствующих им касательных напряжений по толщине в виде определенного закона. Распространение общей теории С.А. Амбарцумяна на случай многослойных ортотропных пластин симметричной структуры дано в работе [155].

И Г. Терегуловым в работе [156] вариационным методом получены уравнения равновесия и устойчивости тонких упругих многослойных анизотропных оболочек со слоями различной толщины; при этом для оболочек из ортотропных материалов главные направления упругости отдельных слоев могут быть произвольно ориентированы относительно линий главных кривизн по координатной поверхности. В работе принимались следующие допущения: нормальными напряжениями G33 можно пренебречь; прогиб постоянен по толщине оболочки; распределение поперечных касательных напряжений по толщине задается в виде, аналогичном [14].

В работах А.П. Прусакова [157, 158] на основе принципа возможных перемещений получены геометрически нелинейные уравнения изгиба слоистых пологих оболочек несимметричного строения с трансверсально изотропными слоями. Распределение поперечных касательных напряжений по толщине слоев принималось таким же, как в классической теории. Предполагалось также, что нормальными напряжениями G33 можно пренебречь, поперечные деформации слоев равны нулю, коэффициент Пуассона для всех слоев одинаков.

А.Ф. Рябов [159, 160] получил уравнения неоднородных пологих многослойных оболочек средней толщины. Сформулированная в этих работах теория является теорией второго приближения, в которой распределение касательных и нормальных напряжений по толщине задается в форме, найденной из уравнений равновесия в классической теории. В результате закон изменения тангенциальных перемещений по толщине оказывается нелинейным. Учет деформаций поперечного сдвига производится при помощи некоторой скалярной функции, одинаковой для всех слоев.

В работе [161] рассмотрен изгиб многослойных пластин несимметричной структуры с ортотропными слоями на базе гипотез, аналогичных [159, 160]. С помощью вариационного принципа, кроме обычных, получены дополнительные силовые факторы типа моментов высшего порядка и соответствующие им уравнения равновесия, которые затем сведены к обычным силовым факторам и уравнениям.

Нелинейные уравнения статики многослойных оболочек вращения с учетом деформаций поперечного сдвига получены вариационным методом в работе [162]. Рассматривалась геометрическая нелинейность в предположении, что деформации удлинения и сдвига малы по сравнению с углами поворота элемента оболочки. Деформации поперечного сдвига считались постоянными по толщине многослойного пакета, распределение же соответствующих им касательных напряжений принималось таким же, как в классической теории. Это противоречие между законами распределения по толщине деформаций поперечного сдвига и соответствующих им касательных напряжений устранялось тем, что при выводе соотношений упругости использовалось условие эквивалентности, выражающееся в равенстве работы перерезывающих усилий работе поперечных касательных напряжений.

Теория многослойных оболочек переменной жесткости разработана в работах Я.М. Григоренко и А.Т. Василенко [49, 163 - 166], которые в основу подхода и построения уточненной модели слоистой оболочки положили предположение о наличии в слоях оболочки локальных углов поворота, обусловленных поперечными сдвигами, и обеспечение непрерывности перемещений и напряжений на поверхности контакта смежных слоев. Это дает возможность получить уравнения, порядок которых не зависит от числа слоев оболочки [166].

В рамках рассматриваемого направления практический интерес представляет теория многослойных оболочек, в основе которой лежит подход к формированию основных соотношений уточненной теории однослойных оболочек, предложенной Б.Я. Кантором и В.В. Науменко [167], а для произвольных перемещений - В.Н. Паймушиным [168]. Указанная теория базируется на гипотезах типа С.П. Тимошенко с явным выделением угла поперечного сдвига, что позволяет достаточно просто, без дополнительных дифференциальных преобразований, получать соотношения как уточненной, так и классической теории многослойных оболочек.

Рассмотрены и другие варианты непрерывно-структурных теорий многослойных оболочек с применением тех или иных допущений относительно характера изменения перемещений, поперечных касательных и нормальных напряжений по толщине пакета.

Теории подобного рода, помимо вышеупомянутых, рассмотрены и развиты в работах А.И. Андреева и Ю.В. Немировского [15], В.Г. Назаренко [169], М.С. Танеевой [40], В.И. Самсонова [170], В.В.Пикуля [81], В.Г. Пискунова [82], А.О. Рассказова [171, 172], А.Р. Ржаницина [173], H.A. Ульяшиной [174] и других авторов [66,146 - 152, 176 - 178].

Подведем итог рассмотрению работ первого направления. При использовании метода гипотез тангенциальные напряжения не терпят разрыва на границах слоев вследствие того, что их распределение по толщине пакета задается заранее в виде функций, удовлетворяющих условиям контакта на границах смежных слоев. Недостатком теорий этого направления является невозможность учесть влияние произвольного распределения краевой нагрузки по толщине на напряженно-деформированное состояние многослойной оболочки. Введение в рассмотрение дополнительных силовых факторов типа моментов высшего порядка не меняет сути дела, так как конкретному закону распределения тангенциальных перемещений по толщине соответствует вполне определенное распределение краевой нагрузки, причем любое другое распределение краевой нагрузки противоречит уравнениям равновесия. Закон распределения тангенциальных перемещений по толщине многослойного пакета в теориях этого направления задается как исходная гипотеза, либо определяется из условия работы слоев без скольжения, если в качестве исходной гипотезы принимается закон распределения по толщине поперечных касательных напряжений.

Дискретно-структурный подход используется для многослойных оболочек, слои которых имеют существенно различающиеся физико-механические характеристики, в частности, для расчета трехслойных конструкций. В работе [179] Е. Reissner впервые использовал дискретно-структурный подход для расчета трехслойных пластин. Значительный вклад в развитие этого направления внесли работы Э.И. Григолюка по трехслойным оболочкам [139, 180], В.В. Болотина [181, 105], а также работы их учеников: П.П. Чулкова, Ю.Н. Новичкова, Г.М. Куликова, JI.B. Баева и других.

В связи с огромным количеством опубликованных работ, посвященных теории пластин и оболочек, особое значение приобретают обзоры. Такие обзоры содержатся в работах [136, 182, 183].

Вопросы устойчивости трехслойных оболочек исследовались в работах Л.М. Куршина [184], В.Н. Паймушина [177, 185], вопросы колебаний - в работах М.А. Ильгамова, А.И. Холода [187, 188]. Нелинейная теория трехслойных оболочек была развита В.Н. Паймушиным [168, 186] и Н.К. Галимовым [189]. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек изложена в монографии A.C. Вольмира [190].

Специфика расчета трехслойных конструкций состоит в необходимости учета в заполнителе деформаций поперечного сдвига и поперечного обжатия. Заполнитель, работающий только на поперечный сдвиг и поперечное обжатие, называется "легким". Если в заполнителе учитываются нормальные напряжения, параллельные срединной поверхности, такой заполнитель называют "жестким".

Различные варианты приближенных теорий трехслойных пластин и оболочек исследовались в работах Л.Э. Брюккера [191, 192], Л.М. Куршина [184], Х.М. Муштари [193], а также в трудах [106, 194- 198]. Опыт, накопленный при расчете трехслойных конструкций, позволил разработать дискретно-структурные модели для многослойных оболочек.

В настоящее время можно отметить два основных подхода. Первый из них был разработан и развит в работах В.В. Болотина и его учеников [105, 181,199-202].

При рассмотрении конструкции, состоящей из чередующихся мягких и жестких слоев, жесткие слои рассматриваются в рамках гипотезы Кирхгофа-Лява, а заполнители работают только на поперечный сдвиг и поперечное обжатие.

Для случая большого количества слоев используется принцип континуализации [105], позволяющий переходить к рассмотрению квазиоднородной оболочки, которая энергетически эквивалентна исходной слоистой. При этом суммирование по слоям в выражениях для потенциальной и кинетической энергии заменяется интегрированием по поперечной координате. Принцип континуализации, предложенный В.В. Болотиным, получил дальнейшее развитие в работах [203 - 207]. Результаты исследований обобщены в монографии В.В. Болотина и Ю.Н. Новичкова [25].

Второе направление дискретно-структурного подхода к расчету многослойных пластин и оболочек связано с именами Э.И. Григолюка. П.П. Чулкова, Г.М. Куликова и других. Способ построения теории многослойных оболочек, когда кинематические гипотезы принимаются для каждого отдельного слоя, впервые был предложен П.П. Чулковым [208, 209].

Построенная теория многослойных оболочек базируется на привлечении для пакета слоев гипотезы ломаной линии Григолюка-Чулкова, согласно которой для каждого слоя многослойной оболочки используется гипотеза типа С.П. Тимошенко. Такой подход позволяет максимально алгоритмизировать задачу при получении основных разрешающих уравнений.

Аналогичный подход к построению различных вариантов теории многослойных оболочек используется в работах [97, 147, 186, 210]. Многочисленные исследования в области построения и практического применения разнообразных вариантов теории многослойных оболочек, имеющих в своей основе подход Григолюка-Чулкова, выполнены Г.М. Куликовым и обобщены в монографии [46]. При выводе основных зависимостей используется смешанный вариационный принцип, что позволяет обеспечить равенство поперечных касательных напряжений на границах слоев и удовлетворить граничным условиям на лицевых поверхностях. Обсуждаются новые подходы к учету локальных эффектов, основанные на послойном привлечении как гипотез С.П. Тимошенко, так и гипотез о нелинейной зависимости тангенциальных перемещений от поперечной координаты. Это позволяет освободиться от недостатков теории ломаной линии в отношении равномерности распределения поперечных сдвигов и, как следствие, поперечно-касательных напряжений по толщине слоя. Обобщенный закон Гука соблюдается интегрально как по толщине каждого слоя, так и в целом по пакету.

Анализ существующей литературы по разработке моделей деформирования многослойных конструкций позволяет сделать вывод, что существующие теории многослойных . неоднородных оболочек не удовлетворяют с достаточной степенью полноты всей совокупности основных требований прочностного анализа сложных конструкций с точки зрения единого методологического подхода; универсальности при выборе расчетных схем подструктур; обеспечения требуемой детализации реальной структуры и расчетной модели; возможности как непосредственного анализа многослойной конструкции, так и последовательного уточнения расчетной модели или создания ее новых вариантов. Вывод основных разрешающих уравнений связан с весьма сложными математическими выкладками, которые желательно возложить на вычислительную технику. В связи с этим разработка вопросов общей теории многослойных оболочек, направленных на формирование эффективных расчетных моделей сложных конструкций, является актуальной задачей.

Как было отмечено выше, не менее актуальной задачей является разработка прикладных методов расчета для исследования прочности, динамического поведения и устойчивости пластин и оболочек, так как аналитические методы имеют весьма ограниченную область применения.

К числу аналитических методов можно отнести метод разложения решения в двойные тригонометрические ряды [13, 20, 25, 252, 257] при выполнении на торцах условий свободного опирания. Некоторые точные решения для цилиндрической, конической и сферической оболочек приведены в работе [254]. Решение для цилиндрических оболочек постоянной толщины получено в работах [20, 75, 255, 256] с помощью представления решения в виде экспоненциальных функций. При решении задач о сосредоточенном нагружении и контактных задач используются функции Грина. Фундаментальное исследование о применении метода Грина к определению НДС цилиндрической оболочки при сосредоточенной нагрузке приведено в [47]. В работе дано общее интегральное представление решения уравнений равновесия с помощью матрицы Грина. Матрица Грина, в свою очередь, определена с помощью разрешающей (скалярной) функции Грина, через которую, в конечном счете, выражаются деформации, смещения, удельные усилия и моменты в срединной поверхности оболочки.

Дано фундаментальное решение основного разрешающего уравнения для функции Грина. Это решение представлено в виде тригонометрического ряда по окружной координате. Подобное решение получается путем использования интеграла Фурье для решения обыкновенных дифференциальных уравнений по продольной координате, получающихся после разделения переменных. Отмечается, что компоненты матрицы Грина для мембранных усилий и изгибающих моментов могут неограниченно возрастать в окрестности точки приложения сосредоточенного фактора. Для построения функции Грина для оболочки конечной длины берется суперпозиция бесконечного числа фундаментальных решений, каждое из которых, в свою очередь, выражается тригонометрическим рядом. Получается двойной ряд, который, в отличие от обычного двойного тригонометрического ряда, очень быстро сходится.

Решение задачи о свободных колебаниях предварительно нагруженных гофрированных оболочек вращения с помощью функции Грина получено О.С. Нарайкиным [259]. Поведение оболочки вращения под локальными нагрузками с помощью функции Грина исследовано в работах Н.Г. Гурьянова [263], Ю.П. Жигалко [264, 265], В.А. Никитина [266], Н.Г. Чернышева [267], L. Ting, S.W. Yuan [269, 270]. Контактные задачи взаимодействия оболочек и стержней освещается в работах Ю.П.Артюхина [260, 261], И.А. Биргера [262], Э.И. Григолюка [47], ВМ. Моссаковского и B.C. Гудрамовича [268].

Решение вышеупомянутых задач строится путем перехода с помощью функций Грина к интегральным уравнениям относительно неизвестных контактных усилий взаимодействия с последующим отысканием приближенного решения методами ортогональных многочленов, механических квадратур, последовательных приближений и различных вариантов метода граничных элементов [225, 271 -275]. Применение такой постановки, несмотря на привлекательное снижение размерности задачи, затруднено для сложных конструкций из-за необходимости вычисления в явном виде функций Грина.

Очевидная ограниченность аналитических подходов к решению задач для сложных конструкций стимулирует широкое применение приближенных методов и, в частности, метода асимптотического интегрирования, основанного на выделении малоизменяющегося основного напряженного состояния и его быстроизменяющейся составляющей в областях резкого изменения НДС (точки приложения сосредоточенной нагрузки, сопряжение оболочек различной геометрии, подкрепляющие элементы и т.п.)

Теоретическое обоснование методов изложено в работах О. Блюменталя [276], В. Вазова [277], М.И. Вишика [282], A.JI. Гольденвейзера [278], H.H. Моисеева [279], М.В. Федорюка [280], Г.Н. Чернышева [281]. Дальнейшее развитие применительно к решению задач теории пластин и оболочек метод получил в трудах Д.В. Бережного, А.И. Голованова, И.Ю. Красновского [283], Т.В. Виленской, И.И. Воровича [128], A.JI. Гольденвейзера [41], В.М. Даревского [284], В.Ю. Ольшанского [285], К.Ф. Черных [286]. Вопросы динамики и устойчивости оболочек рассмотрены в работах [287 - 291]. Итоги развития асимптотических методов подведены в монографии И.Ф. Образцова, Б.В. Нерубайло, И.В. Андрианова [251], где изложены асимптотические методы регулярных и сингулярных возмущений, осреднения, возмущения формы границы и размера области; развиты методы возмущения вида граничных условий, составных уравнений, синтеза напряженного состояния. Вместе с тем, следует отметить, что при расчете сложных оболочечных конструкций асимптотические методы не нашли широкого применения из-за трудностей математического характера.

Наряду с асимптотическими методами для расчета пластин и оболочек используется весь арсенал приближенных численных методов дискретизации краевых и вариационных задач. Следуя [72], эти методы можно условно

разделить на три класса - континуальные, дискретные и дискретно-континуальные. К континуальным методам будем относить методы, согласно которым рассчитываемая система рассматривается как сплошная среда (континуум), причем описывающие ее поведение функции, например, перемещения, аппроксимируются гладкими функциями координат. Дискретные методы, интенсивное развитие которых. в последние годы связано с совершенствованием вычислительной техники, основаны на замене задачи об определении непрерывных искомых функций задачей о приближенном отыскании значений этих функций в конечном числе точек рассчитываемой конструкции. И, наконец, дискретно-континуальные методы совмещают дискретное описание искомых функций по одной координате с построением непрерывного решения по другой.

Теоретические основы численных методов изложены в монографиях И.С.Березина, Н.П.Жидкова [118], И. Бабушки, Э. Витасека, М. Прагера [211], Н.С. Бахвалова, Н.П.Жидкова, Г.М. Кобельникова [223], С.К. Годунова, B.C. Рябенького [243], Б.П. Демидовича, И.А. Марона [175, 234], JI.B. Канторовича, В.И. Крылова [236], Д. Мак-Кракена, У. Дорна [214], Г.И. Марчука [231], С.Г. Михлина [232], Б.Е. Победри [219] и других [215, 218, 225, 227,228, 230, 233, 237].

На основе теоретических исследований в последние десятилетия интенсивно развиваются прикладные численные методы по расчету оболочек и оболочечных конструкций на прочность, устойчивость и колебания. Среди многочисленных публикаций на эту тему отметим только часть наиболее известных работ A.B. Александрова, Б.Я. Лащенкова, H.H. Шапошникова [7], Л.В. Андреева, А.Л. Дышко, И.Д. Павленко [16], В.Г. Баженова, Е.В. Игоничевой [18], М.Б. Вахитова [217], Ю.И.Виноградова [249, 250], Н.В. Валишвили [252], A.C. Вольмира [33, 34], А.И. Голованова, М.С. Корнишина [244], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Е.И. Беспаловой

226], О. Зенкевича [245], A.B. Кармишина, В.И. Мяченкова [57, 66], Б.В. Нерубайло [67], И.Ф.Образцова [71-73], П.М. Огибалова, М.А. Колтунова [75], В.Г. Пискунова, В.Е. Ворожейко [82], Б.Г. Попова [83], Р.Б. Рикардса, Г.А. Тетерса [147, 243], А.П. Филлипова [248].

Постановка задач теории упругости и механики деформирования оболочек как вариационных задач позволяет использовать прямые методы решения, с помощью которых можно получить приближенное решение с наперед заданной точностью любой задачи теории упругости и пластичности, т.е. определить перемещения по заданным внешним силам, удовлетворяющие заданным граничным условиям.

Идея прямых методов в теории оболочек состоит в отыскании экстремальных значений функций непосредственно из функционала энергии. Основополагающими в развитии прямых методов явились исследования Ритца, С.П. Тимошенко, И.Г. Бубнова, Б.Г. Галеркина, П.Ф. Папковича, В.З. Власова и других.

В работе Ритца [292] дано математическое обоснование предложенного им метода для некоторых простейших случаев. С.П. Тимошенко [293] развил этот метод при изучении устойчивости упругих систем.

Вопросам теоретического обоснования вариационных методов и их численной реализации посвящено множество работ, например, [71, 239, 294, 295]. Анализируя современную литературу по механике деформирования пластин и оболочек, можно утверждать, что в большинстве работ, рассматривающих вопросы собственных колебаний и устойчивости, численное решение строится на основе метода Ритца. Рассмотрим результаты некоторых исследований.

В работе Д.В. Хронина [296] рассмотрены колебания лопатки турбины переменного сечения с учетом действия центробежных сил. К С. Колесниковым [297] с помощью метода Ритца исследованы осесимметричные колебания упругих баков с жидкостью. Для более удобной численной реализации используется матричная формулировка данного метода. Приближенный расчет прочности многослойных пластин с помощью метода Ритца приведен в работе В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [25]. Там же приведены оценки частот собственных колебаний многослойных плит, полученные методом Релея-Ритца. В работе ХЬоске [298] в рамках модели Кирхгофа-Лява определяется нелинейная реакция прямоугольных пластин, состоящих из чередующихся слоев с различными углами укладки волокон, при больших прогибах при совместном воздействии статической, акустической нагрузок и теплового поля. Показано, что предварительное статическое нагружение может оказывать существенное влияние на общее НДС пластин. Оценки точности данного метода и способы улучшения сходимости приведены в работах И.В. Свирского [299] и С.Н. Кукуджанова [300].

Ключевым вопросам этого метода, построению специальных систем базисных функций, посвящены исследования [301 -303].

Применение вариационных методов для расчета пространственных конструкций рассмотрено в работе И.Ф. Образцова [71].

Эффективное использование вариационных методов для решения задач механики деформирования составных конструкций в рамках оболочечных моделей, вообще говоря, возможно только при применении тех или иных вариантов метода декомпозиции и структурного способа организации вычислений.

Один из эффективных вариантов декомпозиции, базирующийся на контактной формулировке задач механики линейно-упругих составных тел, и соответствующая ему вариационная формулировка смешанного ' типа, предложены В.Н. Паймушиным [304]. В дальнейшем, базируясь на основополагающих идеях работы [304], им построены вариационные формулы, относящиеся к классу обобщенных вариационных формул типа Рейсснера, предназначенные для решения линейных и нелинейных задач статики однослойных [305] и многослойных [306] оболочек. Дальнейшее развитие метод В.Н. Паймушина получил в работах Ю.Я. Петрушенко [307, 308], в которых на основе метода Ритца разработан численный метод решения задач упругой устойчивости и собственных колебаний предварительно нагруженных слоистых оболочечных фрагментов сложной геометрии.

Теоретические основы и области применения метода Бубнова-Галеркина изложены в монографиях [299, 309]. Данный метод нашел широкое применение для расчета оболочек и тонкостенных конструкций на прочность, динамику и устойчивость.

Л.Г. Агеносовым и A.B. Саченковым в работе [310], в предположении, что оболочка находится под действием неоднородного внешнего давления и равномерно распределенного по торцу сжимающего усилия, изучены собственные колебания подкрепленных и гладких цилиндрических и конических оболочек. Начальное напряженное состояние определялось по безмоментной теории, а решение задачи строилось методом Бубнова с введением в него экспоненциального множителя с неизвестным параметром, определяемым из условия минимума частоты. В работе Н.В. Колкунова [255] рассмотрен приближенный способ решения, позволяющий рассчитать пологую оболочку при любых граничных условиях на произвольную внешнюю нагрузку, - вариационный метод Бубнова-Галеркина в форме, разработанной для оболочек В.З. Власовым. Отмечается, что применение метода приобретает особую простоту в том случае, когда функции, аппроксимирующие решение, удовлетворяют всем граничным условиям задачи и заданы в форме ряда.

Изгиб прямоугольной многослойной плиты рассмотрен В.В. Болотиным и Ю.Н. Новичковым [25]. Задача сводится к системе разностных уравнений путем представления решений в виде рядов, по некоторым системам координатных функций с дальнейшим применением метода Бубнова-Галеркина. В результате авторы получают одну или несколько групп разностных уравнений с постоянными, коэффициентами. В качестве аппроксимирующих функций принята система балочных функций, обладающая свойством полноты.

С.Н. Кукуджановым [309-313] предложен способ нахождения оптимальных приближений в рамках рассматриваемого метода. Применение этого способа позволяет избежать значительных трудностей, связанных с учетом в общем решении большого числа членов используемого ряда. Исследованы собственные колебания цилиндрических оболочек с учетом действия неоднородного в окружном направлении внешнего давления [315] и поперечной силы [314, 315]; и конических оболочек под действием изгибающего момента.

В работе [316] на основе соотношении Кирхгофа-Лява построена модель колебаний некруговых цилиндрических оболочек с начальными напряжениями, вызываемых осевой нагрузкой, кручением и нормальным давлением. Рассмотрены собственные колебания цилиндрической оболочки с поперечным сечением в виде овала. При этом решение ищется методом Бубнова с представлением искомых перемещений в виде двойных тригонометрических рядов.

В работе [317] проведено обстоятельное исследование влияния угла ориентации волокна на частоту тонкой перекрестно-армированной панели при осевом сжатии и поперечном давлении. Для описания механики ее деформирования привлекаются уравнения типа Доннела, которые решаются методом Бубнова-Галеркина.

Примеры использования данного метода можно найти также в работах [318-321]. В.Н. Паймушиным и И.Х. Саитовым [322-325] разработан интегрально-проекционный метод, где средством дискретизации дифференциального представления двумерной краевой задачи по одной из независимых переменных в рамках подхода Л.В. Канторовича служит проекционно-сеточный метод Галеркина-Петрова [301], а по другой - метод механических квадратур в варианте метода конечных сумм с определенными модификациями. Отличительными особенностями предлагаемого метода является выбор в качестве неизвестных старших производных кинематических функций в силовых факторах; приближенное решение интегральных уравнений имеет, несомненно, более устойчивый характер и увеличенную скорость сходимости по сравнению с приближенными решениями эквивалентных дифференциальных уравнений. Использование результатов В.Н. Паймушина [326 - 328], предложившего новый численно-аналитический метод параметризации поверхностей сложной формы, позволило решать задачи для конструкций с большим разнообразием пространственных форм и произвольными схемами (топологией) объединения в конструкцию.

Метод локальных вариаций, представляющий численную реализацию вариационных подходов, используется в работах [379 - 381] для определения НДС оболочки при силовом и температурном воздействии и при расчете устойчивости пластин и оболочек.

Необходимо отметить, что в задачах определения НДС при нестационарном нагружении применение методов Ритца и Бубнова-Галеркина, базирующееся на глобальных базисных функциях, обладает существенными недостатками. Поскольку решения, получаемые с помощью этих методов очень сильно зависят от конкретного вида базисных функций, аппроксимирующих перемещения, необходимость удержания того или иного количества членов разложения до сих пор не получила строгого обоснования.

Метод Власова-Канторовича в сочетании с численными методами используется в работах [20] для расчета пластин с произвольным очертанием контура, в [323] рассматривается неравномерный нагрев крыла большого удлинения. Применение данного метода для более сложных задач рассмотрено в монографии Я.М. Григоренко [213], где определяется НДС для незамкнутых оболочек вращения, механические характеристики и толщина которых изменяются в направлении меридиана и параллели. Аппроксимирующие функции по окружной координате выбираются таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям на меридиональном контуре. Применение метода интегральных преобразований [320] приводит к одномерной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для оболочек Кирхгофа-Лява порядок такой системы будет 8М, где М - число удерживаемых членов разложения. Рассмотрено решение задач для замкнутых оболочек вращения с изменяющимися характеристиками. Используется метод последовательных приближений, где в качестве нулевого приближения принимается решение для оболочек с осесимметричными характеристиками.

Весьма эффективным численным методом исследования механики деформирования оболочек произвольной геометрии и составных конструкций является широко используемый в последние годы, как в нашей стране, так и за рубежом метод конечных элементов (МКЭ). Основные фундаментальные результаты в теории МКЭ получены в работах О. Зенкевича [245], С.Г. Михлина [232, 239], К. Ректориса [241], J.T.Oden [242]. Широкому распространению МКЭ способствовала его простая механическая интерпретация, которая дает возможность использовать процедуру метода не только для решения математических задач, но и для непосредственного построения расчетных схем исследуемых объектов.

Теоретические основы МКЭ и его приложения подробно изложены в работах К. Бате, Е. Вилсона [233], Р. Галлахера [331], А.И.Голованова, М.С. Корнишина [244], О. Зенкевича, И. Чанга [332], И.Ф. Образцова [333], В.А. Постнова [334], Л.А. Розина [335], Г. Стренга, Дж. Фикса [336], I. Babuska, A.K.Aziz [337], J.T.Oden, G.F.Carey [242]. Особенности применения МКЭ в нелинейных задачах рассмотрены Д. Оденом [338]. В работах А.И. Голованова [339, 340], М.С. Корнишина, В.И. Савинова [341], В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева [66] МКЭ использовался для расчета составных упругих конструкций. Для решения задач большой размерности в последнее время получил развитие метод суперэлементов (МСЭ), где наряду с обычными конечными элементами рассматриваются подструктуры различной иерархии. К этому направлению относятся работы З.И. Бурмана [342], Б.А. Куранова С.С. Гусева [343], В.А. Постнова, A.A. Родионова [344]. Конечные элементы на основе смешанного вариационного принципа получены в работах Е.В. Быкова, Б.Г. Попова [345], С.В. Ли, Т.Х. Пиана [346]. Как отмечается в работе Е. Ramm [347], благодаря менее жестким требованиям к функциям формы, смешанный подход при использовании двумерных изопараметрических элементов является более перспективным.

Для расчета незамкнутых многослойных оболочек по уточненным теориям, учитывающим деформации сдвига и растяжения-сжатия в поперечном направлении, существенную анизотропию упругих свойств, к настоящему времени разработано мало конечных элементов. Среди исследований в этом направлении следует отметить работы Дж. Веббера и П. Холта [348], А. Нура и С. Андерсена [349], В.Н. Бакулина и В.И. Демидова [350], B.C. Кривцова [351], Р.Б. Рикардса [247].

Кратко охарактеризуем современные достижения в области создания конечных элементов общего вида (кольцевые, конечные элементы оболочек вращения в обзор не включены). На рис. 1 представлена классификация конечных элементов по способу аппроксимации оболочек [331].

Рис. 1. Классификация конечных элементов по способу аппроксимации оболочек

Несмотря на многообразие разработанных конечных элементов для расчета сложных тонкостенных конструкций, заметим, что большая их часть ориентирована на исследование либо пластинчатых пространственных конструкций, либо структур, образованных из пологих оболочек, а применение высокоточных КЭ, построенных на основе сложных тензорных соотношений теории оболочек и аппроксимации высокой степени, дает хорошую точность на редких сетках, но требует от пользователя высочайшей квалификации, что ограничивает их использование в прикладных исследованиях механики деформирования конструкций, так как, например, наличие в КЭ в качестве узловых степеней свободы первых и, особенно, вторых производных от компонент вектора перемещений затрудняет формулировку граничных условий и условий сопряжения оболочек с изломом срединной поверхности, и поэтому на практике предпочитают работать с такими КЭ и схемами их реализации, в которых все узловые неизвестные имеют ясный физический смысл. Кроме того, вопросы существования, единственности и сходимости решений, полученных МКЭ, для разнообразных вариационных формулировок краевых задач математической физики не получили окончательного решения. Помимо этого, при применении элементов различного типа могут возникать "ложные" деформации при смещении элемента как жесткого целого, эффекты "ложных" поперечных сдвигов, элементы с низким порядком аппроксимации могут накапливать "лишнюю" энергию мембранной деформации.

В последние годы получили широкое распространение численные методы, основанные на дискретном представлении рассчитываемой конструкции и соответствующих математических зависимостей.

Одним из таких методов, используемых для решения двумерных задач теории пластин и оболочек, является метод конечных разностей (МКР). Теоретическое обоснование метода дано в работах Л.В. Канторовича,

В.И Крылова [236], С.К. Годунова, B.C. Рябенького [243], A.A. Самарского

352]. В монографии Э.И. Григолюка и В.М. Толкачева МКР использован для приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых изменяется по длине. Исследована точность метода на конкретном примере. Изгиб двухслойной пологой оболочки исследован Н.Г. Гурьяновым

353]. Прочность составной оболочечной конструкции рассмотрена в работе В.И. Моссаковского [354]. Расчету больших прогибов сферической панели под действием сосредоточенной нагрузки посвящена работа М.С. Корнишина [355]. Устойчивость оболочек исследована в трудах Ю.В. Липовцева [356]. В работе К.А. Жекова [357] исследовано напряженно-деформированное состояние пластины, имеющей вырез и лежащей на упругом основании. Отмечается, что жесткость упругого основания существенно влияет на деформируемость панели, особенно в районе выреза. Собственные колебания составной оболочки рассмотрены в работе Д.И. Макаревского [358]. Для нахождения наименьшей частоты собственных колебаний и соответствующей формы использовался метод итерации обратной матрицы с применением "сдвига" для ускорения процесса сходимости. В работе A.B. Колодянского и В.И. Севрюкова [359] исследовано динамическое поведение свободно опертых конических оболочек. Используются три различные модели деформирования: классическая, безмоментная и теория типа Тимошенко. Оболочки нагружены по внутренней поверхности равномерно распределенным давлением, а в качестве нестационарной нагрузки принималась сферическая ударная волна. Решение системы уравнений во всех трех случаях находилось с помощью явной трехточечной схемы. В работах В.И. Гуляева и его учеников [360, 361] разработаны методы решения линейных и нелинейных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии на основе метода конечных разностей и соотношений теории оболочек Кирхгофа-Лява, формулируемых в произвольной метрике.

Фундаментальные исследования по применению МКР для расчета прочности, устойчивости и динамики многослойных оболочек выполнены М.А. Ильгамовым, В.А. Ивановым, Б.В. Гулиным [187]. Для задач с концентраторами используется метод сгущающихся сеток. При решении систем алгебраических уравнений высокого порядка предлагается использовать метод матричной прогонки [243]. Отмечены особенности применения МКР в задачах при импульсном нагружении. Нелинейные задачи рассмотрены в [362, 363].

Во многих работах отмечается, что комбинированные методы, основанные на подходе Л.В. Канторовича, показывают большую эффективность, чем универсальные. Аналогичное преимущество проявляется и в методах частичной дискретизации, реализующих конечно-разностную аппроксимацию одного их координатных направлений. Вариационно-разностный метод применен в работе В.Г. Баженова, Е.А. Журавлева [364] для решения нелинейных осесимметричных задач динамики слоистых оболочек. Дифференциально-разностный метод (метод прямых) используется в трудах Я.М. Григоренко, H.H. Крюкова [365], Ю.П. Петрова [366] и других. В работах М.Б. Вахитова [217, 367 - 369] изложен эффективный метод интегрирующих матриц для решения дифференциальных уравнений строительной механики. Комбинация метода конечных разностей (МКР) и метода конечных сумм (МКС), получившая название интегрально-разностного метода (ИРМ), изложена в работах В.Н. Паймушина, В.А. Фирсова, В.И. Халилулина и других [370 - 392]. Метод применяется как в дифференциальной, так и в вариационной постановке задач. Наряду с ИРМ известны и другие комбинированные с МКС методы, как, например, матричная форма интегрально-разностного метода [373], дифференциальная форма МКЭ [374].

Среди экспериментальных работ, посвященных исследованию оболочечных систем, отметим работы Ю.Г. Коноплева, А.В. Саченкова, А.К. Шалабанова [64, 61, 88, 375, 376]. Эффективный и экономичный теоретико-экспериментальный метод, основанный на комбинации экспериментальных и аналитических подходов, изложен в работе [88]. Моделированию в задачах механики деформирования элементов конструкций посвящена монография Л.А. Шаповалова [377]. Геометрические подходы в нелинейной теории упругих оболочек развиты в работе [378].

Анализ литературы по численным методам, применяемым для расчета оболочек и составных оболочечных конструкций, позволяет сделать вывод, что основной проблемой при этом является решение одномерной краевой задачи. Обычно двумерная краевая задача сводится к одномерной с помощью разложения в ряды Фурье, методом Канторовича, представлением функций по одной из координат конечными разностями и другими способами. Ниже обсуждаются численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений краевой задачи для оболочек и пластин.

Наиболее простым (но не всегда применимым) способом сведения краевой задачи к задаче Коши является метод начальных параметров. При его использовании в начале интервала интегрирования задается матрица линейно независимых векторов, удовлетворяющих краевым условиям, затем уравнения интегрируются одним из численных методов (чаще всего, методом Рунге-Кутта) и в конце интервала интегрирования в соответствии с граничными условиями определяются недостающие константы.

В работе В.З. Власова [382] приведен расчет цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами, при действии локальных нагрузок. Для ортотропной оболочки получено общее разрешающее уравнение. Общие интегралы для коэффициентов рядов Фурье, через которые выражаются компоненты НДС, строились методом начальных параметров. Л.В. Андреев и другие [383] применили метод начальных параметров к расчету составных систем при осесимметричных нагрузках. В работе A.A. Зотова [384] рассмотрена осесимметричная деформация упругой конструкции, состоящей из оболочек различной геометрии. Приводятся результаты расчета шарнирно опертой цилиндрической оболочки. Примеры использования метода начальных параметров можно найти в трудах [252, 296, 297, 385, 386]. Метод начальных параметров является наиболее простым способом сведения краевой задачи к задаче Коши. Однако, как отмечено в работах [20, 252, 387], он применим лишь тогда, когда система дифференциальных уравнений не имеет одновременно как быстроубывающих, так и быстровозрастающих решений, то есть когда отсутствуют краевые эффекты. В противном случае точность расчета быстро уменьшается с увеличением интервала интегрирования, и часто счет по методу начальных параметров оказывается неустойчивым.

Для преодоления трудностей, связанных с наличием быстровозрастающих и быстроубывающих решений дифференциального уравнения, разработаны специальные методы.

В работе [252] предложен прием деления интервала интегрирования на промежуточные отрезки. При этом возникает необходимость определения констант на каждом выбранном отрезке. При решении сложных задач может потребоваться большое число промежуточных отрезков. С увеличением числа промежуточных отрезков возрастает и число постоянных интегрирования, входящих в решение, что также ограничивает применимость этого метода.

Методы прогонки (методы переноса граничных условий) связаны с перестройкой исходной системы уравнений. На практике применяют два метода: факторизации (разработан И.М. Гельфандом и О.В. Локуциевским [387]) и встречной прогонки A.A. Абрамова [388]. Первый вариант проще второго, но он не всегда применим, особенно при расчетах колебаний и устойчивости, так как элементы прогоночной матрицы могут неограниченно возрастать, что затрудняет расчет. Метод A.A. Абрамова этого недостатка не имеет, но требует существенно большего по объему счета, так как число дифференциальных уравнений возрастает вдвое, а правые части уравнений представляют весьма сложные математические функции.

Наиболее распространенным в настоящее время методом решения одномерных краевых задач является метод ортогональной прогонки, предложенный С.К. Годуновым [387]. Применению этого метода к расчету прочности, динамики и устойчивости оболочек и составных упругих конструкций посвящены фундаментальные работы В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [25], Э.И. Григолюка, Г.М. Куликова [46], ЯМ. Григоренко,

A.Т. Василенко, Е.И. Беспаловой [226], В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева,

B.П. Мальцева [66, 246] и других. Можно утверждать, что для решения одномерных задач теории пластин и оболочек этот метод является основным. Его широкое применение обусловлено и тем, что созданы и опубликованы пакеты прикладных программ, позволяющие с успехом решать практические задачи.

Не отрицая очевидных достоинств, отметим недостатки, присущие данному методу. Метод использует процедуру численного интегрирования, что, как отмечено в работах И. Бабушки, Э. Витасека, М. Прагера [211], для жестких систем дифференциальных уравнений может вызвать большие вычислительные трудности. Решения на последующем участке интегрирования связаны с решениями на предыдущем участке, поэтому приходится вводить операцию ортонормирования. Для уравнений с постоянными коэффициентами необходимо интегрировать весь интервал. При решении задачи используются конкретные граничные условия. При других граничных условиях расчет необходимо производить заново. При определении собственных значений в задачах устойчивости и колебаний требуется проводить многократный счет при вычислении нуля определителя для каждого собственного значения. Результат ортогонализации существенно зависит от выбора масштабов отдельных компонентов вектора состояния. Данный метод весьма затруднительно использовать для исследования переходных динамических процессов.

В заключение обзора, не претендующего на исчерпывающую полноту, можно сделать вывод, что, несмотря на разработанность многих вопросов механики деформирования оболочек, исследований по статике, динамике и устойчивости составных и пространственных конструкций довольно мало, а численные результаты, в основном, относятся к отдельным оболочкам. В связи с этим разработка общей теории и методов расчета многослойных оболочек, направленных на формирование эффективных расчетных моделей сложных конструкций, является актуальной задачей.

Целью работы является:

- развитие математических моделей механики нелинейного деформирования оболочек и пластин, адекватно отражающих физико-механические свойства слоев и структуру многослойного пакета в целом;

- обобщение и завершение построения эффективного численного метода их анализа и построение универсального алгоритма решения краевых задач механики деформирования тонкостенных пространственных конструкций осесимметричной формы из изотропных и композиционных материалов;

- исследование на основе полученных уравнений и построенного метода напряженно-деформированного состояния, свободных колебаний, статической устойчивости и переходных процессов при вынужденных колебаниях тонкостенных конструкций. л

А «*СТ8 ЕНШ^

Для достижения поставленных целей необходимо решить задачи:

- построить и обосновать различные математические модели деформирования многослойных оболочек из композиционных материалов в зависимости от физико- м ех&нических характеристик слоев и структуры пакета;

- разработать надежный и эффективный численный метод решения построенных математических моделей механики деформирования многослойных оболочек, обеспечивающий высокий уровень автоматизации расчетов на ЭВМ;

- обосновать методологию единого подхода к решению задач строительной механики однослойных и многослойных тонкостенных конструкций и построить алгоритм решения краевых задач статики, устойчивости и колебаний тонкостенных пространственных конструкций осесимметричной формы.

Научная новизна работы

1. Получены нелинейные уравнения движения слоистых оболочек с учетом поперечных сдвиговых деформаций на основе непрерывно- и дискретно-структурного подходов. В первом случае использован вариационный принцип Лагранжа при кубической аппроксимации тангенциальных перемещений; во втором - смешанный вариационный принцип с учетом изменения метрики по толщине пакета.

2. Построен эффективный численный метод решения краевых задач теории пластин и оболочек, алгоритм которого повторяет алгоритм аналитического решения и является совершеннее его при численных расчетах.

3. Построен матричный автоматизированный алгоритм получения на ЭВМ дифференциальных уравнений теории оболочек в канонической форме, удобной для использования предложенного численного метода.

4. Построены вычислительные процедуры определения значений интегралов для канонической формы однородных обыкновенных дифференциальных уравнений теории пластин и оболочек, полученных методом Фурье разделения переменных. Вычислительные процедуры для определения значений интегралов однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами построены на основе матричного ряда Тейлора и матричного бинома Ньютона. Для уравнений с переменными коэффициентами вычислительные процедуры построены на перемножении рядов Тейлора и определении интеграла по Вольтерра. Построены вычислительные процедуры для определения частных решений дифференциальный уравнений с помощью так называемой матрицы Коши.

5. Обоснована простота реализации построенного численного метода и эффективность вычислительных . процедур в сравнении с пошаговыми методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений по затратам машинного времени, оперативной памяти ЭВМ и контролю за погрешностью счета.

6. Показано, что метод обладает свойствами, которые позволяют решать задачи с произвольными краевыми условиями для конструкций с произвольными кольцевыми подкреплениями и произвольно присоединенными твердыми телами для один раз полученных значений интеграла дифференциальных уравнений и исследовать переходные процессы при вынужденных колебаниях тонкостенных конструкций.

7. Предложены априорные и апостериорные методы контроля за погрешностями счета при решении краевых задач теории оболочек и строительной механики тонкостенных конструкций.

8. Построены алгоритмы с устойчивым счетом для решения краевых задач статики, устойчивости и колебаний тонкостенных пространственных конструкций осесимметричной формы из изотропных и композиционных материалов.

9. Выполнено исследование напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций при использовании различных моделей механики деформирования оболочек и пластин, в том числе, и предварительно напряженных, в линеаризованной постановке, а также переходных процессов при вынужденных колебаниях.

10. На основе построенного метода и метода продолжения решения исследованы физически и геометрически нелинейные задачи.

Практическая ценность работы состоит в предложенном алгоритме получения разрешающих уравнений в канонической форме с помощью ЭВМ для различных моделей механики деформирования оболочек; в построенном численном методе решения краевых задач; предложенных и реализованных на его основе алгоритмах исследования механики деформирования широкого класса однослойных и многослойных тонкостенных конструкций; в исследовании колебаний ядерного реактора Калининской АЭС; в исследовании прочности, колебаний и устойчивости обтекателей боевых частей ракет и других типовых конструкций с линейным и нелинейным деформированием их тонкостенных элементов.

Результаты работы составили основу восьми учебных пособий, изданных в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Они используются при изучении теоретических курсов, выполнении домашних заданий, курсовых и дипломных проектов по специальности "Ракетостроение", "Космические летательные аппараты", "Аэрокосмические системы", "Динамика и прочность машин".

Достоверность результатов работы обеспечивается непротиворечивостью принятых гипотез при разработке моделей деформирования пластин и оболочек; строгим математическим обоснованием построенного численного метода; сравнением полученных результатов с результатами других авторов; решением ряда тестовых задач, имеющих аналитическое решение; сравнением результатов, полученных расчетным путем, с экспериментальными. Эксперименты проводились для определения критической сосредоточенной нагрузки, действующей на круглую пластину, подкрепленную кольцом по внешнему контуру; для определения собственных частот и форм колебаний конструктивно подобной модели отсека ракеты; для определения упругих характеристик и напряженно-деформированного состояния резино-металлических коробчатых амортизаторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Ростов-на-Дону, 1973); на Втором Всесоюзном симпозиуме по численным методам и их использованию в строительной механике корабля (Николаев, 1973); на IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Ленинград, 1975); на XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Харьков, 1977); на Всесоюзной конференции: Научно-технический прогресс в машиностроении и приборостроении, посвященной 150-летию МВТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 1980); на Гагаринских чтениях

Москва, 1983); на Всесоюзной конференции "Численная реализация физико-математических задач прочности" (Горький, 1983); на конференции "Современные проблемы механики и прочности летательных аппаратов" (Москва, МАИ, 1984); на Всесоюзной конференции "Современные проблемы машиностроения" (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1988); на научном семинаре института прикладной механики РАН (Москва, 1995); на Международной конференции "Современные проблемы машиноведения" (Гомель, 1996); на Международной конференции по теории пластин и оболочек (Казань, 1998).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [390-415], а также в 8 учебных пособиях и 10 научно-технических отчетах по хоздоговорным темам.

Диссертация состоит из шести глав.

В первой главе рассматриваются новые модели механики деформирования оболочек и пластин. В качестве нелинейных геометрических зависимостей используются соотношения, предложенные В.В. Новожиловым. Нелинейные уравнения движения ортотропных оболочек на основе гипотезы Кирхгофа-Лява получены с помощью вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, в нелинейные геометрические соотношения внесены упрощения, предложенные Л.А. Шаповаловым для тонких оболочек.

Для описания поведения многослойных конструкций используется гипотеза С.П. Тимошенко для каждого слоя. Многослойные конструкции, собранные из слоев, обладающих примерно одинаковыми физико-механическими свойствами, рассматриваются в соответствии с непрерывно-структурным подходом, согласно которому кинематические (деформационные) соотношения принимаются едиными для всего пакета. В отличие от линейного закона изменения тангенциальных перемещений по толщине пакета используется кубическая аппроксимация тангенциальных перемещений. Для получения разрешающей системы нелинейных дифференциальных уравнений используется тот же алгоритм, что и для однослойных оболочек. Нелинейные геометрические зависимости соответствуют соотношениям для оболочек средней толщины, предложенных Х.М. Муштари и К.З. Галимовым.

Модель механики деформирования оболочек, имеющих слои с существенно различными свойствами, построена на основе предложенного Э.И. Григолюком и П.П. Чулковым дискретно-структурного подхода, позволяющего учесть поперечные сдвиговые деформации, удовлетворить условиям межслоевого контакта по перемещениям и сдвиговым напряжениям, а также условиям на граничных поверхностях оболочки. В соответствии с гипотезами для оболочек средней толщины учитывается изменение метрики по толщине пакета.

Для конструкций осесимметричной формы использовано разложение в ряды Фурье по окружной координате. Процесс получения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в канонической форме автоматизирован по единому алгоритму независимо от использования моделей механики деформирования оболочек.

Во второй главе рассматриваются теоретические основы численного метода интегрирования систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для краевых задач механики деформирования оболочек и пластин. Построены вычислительные процедуры определения значений интегралов для канонической формы системы обыкновенных дифференциальных уравнений теории оболочек и пластин, полученных методом Фурье \

разделения переменных. Вычислительные процедуры для определения значений интегралов однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами построены на основе матричного ряда Тейлора и матричного бинома Ньютона. Для уравнений с переменными коэффициентами вычислительные процедуры построены на перемножении рядов Тейлора и определении интеграла по Вольтерра. Приведен алгоритм вычисления частных решений неоднородных дифференциальных уравнений на основе полученных решений однородных дифференциальных уравнений с помощью так называемой матрицы Коши. Предложен прием, не требующий вычисления обратной матрицы, входящей в решение, что позволяет избежать вычислительных трудностей.

При исследовании колебаний и устойчивости матрица системы дифференциальных уравнений представляется в виде разности двух матриц, при этом вторая матрица умножена на скалярный множитель X, характеризующий значение собственной частоты или параметр критической нагрузки. Предложен алгоритм решения. таких уравнений с помощью представления решения в виде матричного ряда, разложенного по степеням параметра X, что позволяет фактически получить матрицы жесткости и масс (начальных напряжений) без априорного задания функций перемещений. При этом время счета по сравнению с обычными пошаговыми методами сокращается на несколько порядков. Аналогичный прием используется при исследовании переходных процессов при вынужденных колебаниях и колебаний предварительно напряженных конструкций.

В третьей главе рассматривается применение построенного метода к решению краевых задач теории пластин и оболочек. Известно, что дифференциальные уравнения теории пластин и оболочек являются жесткими, и устойчивость счета при решении краевых задач обеспечивается специальными математическими процедурами. При использовании предложенного метода весь интервал интегрирования разбивается на участки, на каждом из которых определяется нормированное решение системы дифференциальных уравнений. Длины участков выбираются такими, чтобы в пределах одного участка решения однородной системы дифференциальных уравнений оставались линейно независимыми. Построенный метод отличается тем преимуществом, что нормированное решение на каждом из участков находится независимо от предыдущих, что не приводит к накоплению ошибок при счете и освобождает от необходимости дополнительных операций, свойственных, например, методу С.К. Годунова.

Решение на каждом из участков носит простой физический смысл. Оно устанавливает связь между вектором состояния (обобщенными перемещениями и силовыми факторами) в начальном и конечном сечениях рассматриваемого участка интегрирования. Путем несложных алгебраических преобразований решение приводится к форме, принятой в методе конечных элементов. Для общности считается, что в рассматриваемом сечении оболочка подкреплена шпангоутом, закреплена с помощью расположенных по окружной координате упругими элементами и нагружена распределенными и сосредоточенными нагрузками. Условия сопряжения участков позволяют получить разрешающую систему алгебраических уравнений, неизвестными в которой являются сами исходные функции, а не некоторые вспомогательные величины, например, коэффициенты ряда (вариационные методы), константы интегрирования (метод начальных параметров, С.К. Годунова).

Рассматривается процедура введения граничных условий и способы решения системы алгебраических уравнений с разреженной матрицей коэффициентов. Отмечается, что полученная система алгебраических уравнений не зависит от граничных условий, они используются лишь перед ее решением. Для решения задач на собственные значения предлагается использовать метод итераций в подпространстве, позволяющий экономно и с высокой степенью точности вычислять значения собственных чисел и векторов.

В четвертой главе на основе построенного метода и уравнений для различных моделей механики деформирования оболочек исследуются прочность, динамика и устойчивость оболочек, пластин и колец. Для подтверждения теоретически доказанных положений о достоверности результатов численного счета, получаемых с помощью построенного метода, рассматриваются тестовые задачи статики и динамики оболочек. Численные результаты сравниваются с полученными аналитически и результатами других авторов. Сравнение результатов показывает практически полное совпадение с полученными аналитически и незначительные отличия от результатов, полученных другими методами.

Рассматривается переходный процесс при импульсном нагружении сферического купола. Предложен алгоритм интегрирования по времени на основе построенного метода. Дополнительно используется прием, позволяющий ускорить время счета и избавиться от высокочастотных составляющих решения дифференциальных уравнений, которые адекватно в реальных конструкциях демпфируются. Физический смысл такого приема заключается во введении в исходную математическую модель своеобразного фильтра частот, который пропускает полосу частот с заданной верхней границей. Приведены результаты расчета, сравнение с результатами других авторов.

Исследована устойчивость тонкой круглой пластины, подкрепленной по внешнему контуру круговым кольцом, при действии радиальных сил. Основные разрешающие уравнения сформулированы в рамках гипотезы Кирхгофа-Лява. Задача решена в линеаризованной постановке. Рассмотрено два вида контакта пластины и кольца: шарнирное опирание и жесткое соединение; и четыре вида граничных условий по окружности при г = го.

Анализ численных результатов показал, что для пластины, жестко соединенной с кольцом, значение критических нагрузок примерно в два раза больше, чем для шарнирно опертой пластинки. Значения критических нагрузок, полученных для различных граничных условий при г = г<>, различаются не более, чем на 10%. Полученные численные результаты подтверждены экспериментальными данными.

Исследован переходный процесс колебаний многослойного кольца при приложении нагрузки, произвольно меняющейся по окружной координате и времени. Для получения основных дифференциальных уравнений используется гипотеза "ломаной линии", для каждого из слоев принята гипотеза С.П. Тимошенко. При интегрировании по времени используется построенный метод. Разработан алгоритм, который приводит к сокращению времени интегрирования на несколько порядков по сравнению с традиционными пошаговыми методами.

Решена задача об определении максимальных эквивалентных напряжений в двухслойном кольце при приложении внешней нагрузки в виде кусочно-постоянной функции по окружной координате, амплитуда которой изменяется по времени по закону параболы. Получены численные результаты.

В пятой главе исследуются прочность, устойчивость и колебания тонкостенных пространственных конструкций, в том числе и предварительно напряженных. При рассмотрении тонкостенной конструкции, состоящей из оболочек различной геометрии, коэффициенты системы дифференциальных уравнений, записанных в локальной системе координат, терпят разрыв в точках, где скачком меняется кривизна меридиана. Эти трудности можно обойти, если перейти к глобальным координатам, единым для всей конструкции. В глобальной системе координат соответствующие перемещения и силовые факторы проектируются не на касательную и нормаль к меридиану, а на нормаль к оси симметрии и саму ось. Предложен матричный алгоритм преобразования дифференциальных уравнений при переходе к глобальной системе координат.

Основным преимуществом системы уравнений в этой форме является то, что компоненты вектора состояния остаются непрерывными при произвольной форме меридиана, в том числе и для составных оболочек. Силовые факторы испытывают разрывы заранее известной величины только там, где к оболочке приложены сосредоточенные нагрузки.

Во втором разделе рассмотрены колебания конструкций с осесимметрично присоединенными твердыми телами. Расчетная схема конструкции включает тонкостенные оболочки различной геометрии, подкрепленные шпангоутами, с жестко или упруго присоединенными твердыми телами, масса которых может быть соразмерша с массой оболочечной конструкции или превосходить ее.

Присоединение твердого тела к оболочке приводит к элементарным операциям над соответствующими блоками матриц, входящих в систему алгебраических уравнений.

Определены собственные частоты и формы колебаний консольной цилиндрической оболочки с твердым телом, жестко закрепленным на свободном краю оболочки. Исследована зависимость собственных частот и форм колебаний от положения центра масс твердого тела (внутри оболочки, на граничном контуре, вне оболочки).

В результате проведенных расчетов установлено, что частоты крутильных и осесимметричных {к = 0) колебаний не зависят от положения центра масс. Низшими частотами колебаний конструкции являются изгибные (к = 1) колебания; при этих колебаниях положение центра масс твердого тела оказывает существенное влияние на значения собственных частот. Для длинных оболочек {ИЯ > 4) с присоединенным по торцу твердым телом, масса которого сопоставима с массой оболочки, частоты, полученные по балочной модели, приближаются к частотам, полученным по оболочечной модели. При оболочечных колебаниях (к = 2) в месте присоединения твердого тела реализуются условия жесткого защемления.

В третьем разделе приведены результаты расчета и экспериментального определения собственных частот и форм колебаний конструктивно подобной модели отсека ракеты. Отсек представляет собой конструкцию, включающую цилиндрическую оболочку с присоединенным твердым телом, подкрепленную шпангоутами и сферическими днищами. Теоретические и экспериментальные результаты показали хорошее совпадение.

В четвертом разделе рассматриваются собственные колебания упругой конструкции, состоящей из массивного цилиндрического корпуса ядерного реактора с расположенной внутри шахтой, представляющей тонкостенную цилиндрическую оболочку с присоединенным по торцу твердым телом. На одном из торцев шахта соединена с корпусом крышкой БЗТ (блока защитных труб), разделительным кольцом между корпусом и шахтой в средней части их длины и дискретными упругими связями, расположенными у свободного торца шахты;с присоединенным к нему твердым телом.

Рассмотрены особенности применения построенного метода к расчету колебаний тонкостенных конструкций с упругими дискретными связями. Показано, что система дифференциальных уравнений в частных производных при использовании разложения Фурье распадаются на несколько групп обыкновенных дифференциальных уравнений, включающих определенное сочетание гармоник, зависящее от количества упругих связей. Определено количество гармоник, удерживаемых в расчетах, для получения с допустимой погрешностью собственных частот и форм колебаний. Проведено сравнение результатов, полученных для конструкций с дискретными упругими связями с результатами для конструкций с упругими элементами, жесткость которых равномерно распределена по окружной координате.

В пятом разделе определено напряженно-деформированное состояние головного обтекателя ракеты при действии аэродинамической нагрузки. Обтекатель изготовлен из многослойного композиционного материала с симметричным расположением слоев. Обтекатель представляет конструкцию из последовательно соединенных между собой сферической, конической, торовой и цилиндрической оболочек. Задача решалась с использованием уравнений, полученных на основе непрерывно-структурного подхода при кубической аппроксимации тангенциальных перемещений. Получены перемещения, силовые факторы и напряжения по длине обтекателя и окружной координате.

В шестом разделе приведены результаты расчета собственных частот и форм колебаний обтекателя, полученных на основе использования гипотез Кирхгофа-Лява и С.П. Тимошенко. Для заданных характеристик материала обтекателя получено практическое совпадение результатов.

В седьмом разделе решена задача статической устойчивости и колебаний предварительно напряженных конструкций. Задача решается в линеаризованной постановке. Рассмотрены устойчивость и колебания обтекателя при действии осесимметричной составляющей аэродинамической и инерционной нагрузок. В середине конической части обтекателя по кольцевой линии закреплена полезная нагрузка. Исследовано изменение собственных частот колебаний при изменении перегрузки от 0 до 10. Величина критической нагрузки определяется значением перегрузки, при которой обращается в нуль значение собственной частоты. В результате проведенных расчетов установлена толщина конструкции, обеспечивающая запас по устойчивости при максимальной перегрузке.

В шестой главе на основе построенного метода решены физически и геометрически нелинейные задачи.

Исследована устойчивость кольца при нагружении его четырьмя сосредоточенными силами, направленными к центру. Докритическое состояние рассматривается в геометрически нелинейной постановке Анализируется влияние точности определения начального состояния на величину критической нагрузки. Отличие значения критической нагрузки, полученное по нелинейной теории, от полученного на основании моментной теории, составляет 10%, а от уточненного линеаризованного - менее 5%. Проведенное экспериментальное исследование показало совпадение полученных результатов с теоретическими.

Во втором разделе исследуется поведение упругой тонкостенной конструкции, состоящей из двух одинаковых непологих сферических сегментов, соединенных круговым кольцом, к которому приложена радиальная неосесимметричная самоуравновешенная нагрузка. Для сведения задачи к одномерной используется разложение в ряды Фурье по окружной координате. Размерность вектора-столбца неизвестных функций определяется числом удерживаемых членов ряда, поскольку, в силу нелинейности задачи, разделения решения по гармоникам не происходит. При интегрировании нелинейных уравнений используется построенный метод в сочетании с методом продолжения решения по параметру. Для случая локального нагружения кольца двумя сосредоточенными радиальными силами критическое значение нагрузки отличается от значения, полученного с помощью линеаризованного подхода, на 12%.

В третьем разделе исследовано напряженно-деформированное состояние и упругие характеристики резино-металлических амортизаторов арочного типа при произвольных по величине деформациях в физически и геометрически нелинейной постановке. Основные нелинейные уравнения получены на основе вариационного принципа Лагранжа методом Канторовича. Интегрирование системы нелинейных дифференицальных уравнений выполнено построенным методом в сочетании с методом последовательных нагружений. Проведено экспериментальное исследование 7 типоразмеров арочных амортизаторов. Хорошее совпадение теоретических и экспериментальных результатов подтверждает возможность использования построенного метода при решении нелинейных задач.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по работе.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

- математические модели механики нелинейного деформирования элементов тонкостенных конструкций из изотропных и анизотропных материалов;

- численный метод решения краевых задач теории пластин и оболочек, алгоритм которого повторяет алгоритм аналитического решения и является совершеннее его при численных расчетах; матричный автоматизированный алгоритм получения на ЭВМ дифференциальных уравнений в канонической форме, удобной для использования предложенного численного метода;

- вычислительные процедуры определения интегралов системы однородных и неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений теории пластин и оболочек, обладающие простотой реализации и эффективностью по сравнению с пошаговыми методами по затратам машинного времени, оперативной памяти ЭВМ и контролю за погрешностями счета;

- априорные и апостериорные методы контроля за погрешностями счета;

- алгоритмы с устойчивым счетом для решения краевых задач статики, устойчивости и колебаний тонкостенных пространственных конструкций;

- результаты исследования напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний реальных конструкций;

- результаты исследования физически и геометрически нелинейных задач, полученные с помощью построенного метода.

9. Результаты работы внедрены в учебный процесс по специальностям "Ракетостроение", "Космические летательные аппараты", "Динамика и прочность машин", "Аэрокосмические системы" в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Теоретические основы метода, алгоритмы вычислительных процедур и практические рекомендации по их использованию опубликованы в учебно-методических пособиях, которые используются в курсах лекций, выполнении домашних заданий, курсовых и дипломных проектах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.ГузьА.Н. О современных направлениях механики твердого деформируемого тела // Прикл. механика. - 1985. - т.21, - №9. - С.3-11.

2. Новожилов В.В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1970. Вып. 6-7: С.3-22.

3. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное проектирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1977. - 144 с.

4. Самарский A.A. Всесоюзная школа молодых ученых. Теория и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики // Ж.ВМ и МФ. 1983. - 23, №1. - С.246-247.

5. Свищев Г.П. Актуальные проблемы машиностроения // Вестник АН СССР. 1985. - №8. - С.72-73.

6. Абовский Н.П. и др. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 287 с.

7. Александров A.B., Лащенков Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

8. Александров А.Я., Бородин М.Я., Павлов В.В. Конструкции с заполнителем из пенопластов. М.: Машиностроение, 1972. - 211 с.

9. Александров А.Я., Куршин JI.M. Многослойные пластины и оболочки // Тр.VII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1970. -С.714-721.

10. Александров А.Я., Трофимов Э.П. Местная устойчивость трехслойных пластин при продольном сжатии // Расчеты элементов авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1965. - Вып. 4. С. 5-18.

11. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. - 312 с.

12. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. -264 с.

13. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-268 с.

14. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. -268 с.

15. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1977. -№5. - С.87-96.

16. Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами. М.: Машиностроение, 1988. - 220 с.

17. Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Статика и динамика деформируемых систем. Горький. 1981. С. 57-66.

18. Баженов В.Г., ИгоничеваЕ.В. Нелинейные процессы ударного выпучивания упругих элементов конструкций в виде ортотропных оболочек вращения. Н. Новгород: Изд-во Нижегородск. ун-та, 1991. -132 с.

19. БалабухЛ.И., Алфутов Н.А., УсюкинВ.И. Строительная механика ракет: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1984. - 392 с.

20. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.

21. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980.-408 с.

22. Биргер И.А. Вариационные методы в строительной механике турбомашин. М.: Оборонгиз, 1959. - 283 с.

23. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3 т. / Под ред. БиргераИ.А. и ПановкоЯ.Г. М.: Машиностроение, 1968. т.1. 813 е., -II. 463 е.,-III. 541с.

24. Болотин В.В., Григолюк Э.И. Устойчивость упругих и неупругих систем // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1972. - Т.З. - С. 325-363.

25. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

26. Болотин В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости // Проблемы механики твердого деформируемого тела. Д.: Судостроение, 1973.-С.83-88.

27. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

28. Векуа И.Н. Теория тонких и пологих оболочек переменной толщины. Новосибирск, 1963. 28 с.

29. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины // /рруды Тбилисского математического ин-та. 1965. - 103 с.

30. Власов В.3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

31. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М.: Гостехиздат, 1958.-472 с.

32. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. -419 с.

33. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

34. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. М.: Наука, 1976. -416 с.

35. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 376 с.

36. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Обзорные доклады. Механика твердого тела. М.: Наука, 1966. Вып. З.-С. 116-136.

37. Галимов К.З. Основы нелинейной теории пологих оболочек. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. - 325 с.

38. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. (Геометрические вопросы теории оболочек). Казань: Изд-во Казанск. унта, 1985. - 164 с.

39. Галимов К.З. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. - 211 с.

40. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения. М.: Наука, 1992. - 161 с.

41. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953.-544 с.

42. Гольденвейзер A.JL, Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука. Главная ред. физ.-мат. литературы, 1979. - 384 с.

43. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие слабых ударных волн с упругими конструкциями. М.: Изд-во МГУ, 1971. - 180 с.

44. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение). Л.: Судостроение, 1976. - 199 с.

45. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикл. механика. 1972. - Т.8 - Вып. 6 - С. 5-17.

46. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. -М.: Машиностроение, 1988. 288 с.

47. ГриголюкЭ.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. - 411 с.

48. ГриголюкЭ.И., ШалашилинВ.И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988. - 231 с.

49. Григоренко ЯМ. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973. - 228 с.

50. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Колебания предварительно напряженных оболочечных конструкций // Прикладная механика. 1986. - Т.22. - №2. - С. 24-29.

51. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных тонкостенных оболочек. Киев: Вища школа, 1985. - 109 с.

52. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1971.-275 с.

53. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. - 270 с.

54. Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. - 567 с.

55. Жигалко Ю.П. Вынужденные колебания оболочек и пластин. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1990. - 104 с.

56. Ингульцев В.П., Кан С.Н. Уравнения многослойных оболочек с заполнителями, сжимаемыми в поперечном направлении // Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1970. - С.256-262.

57. Кармишин A.B., Лясковец В.А., МяченковВ.И , Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

58. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Наукова думка, 1963. - 353 с.

59. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983. - 349 с.

60. Коноплев Ю.Г. Устойчивость цилиндрических панелей. Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 1976. - 20 с.

61. Коноплев Ю.Г., СаченковА.В. Теоретико-экспериментальный метод в задачах устойчивости цилиндрических оболочек эллиптического сечения // Исследования по теории пластин и оболочек. Тр. Семинара. Казань, 1984. -Вып. 17. -ч.1. - С.135-152.

62. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. М.: Наука, 1968. - 259 с.

63. Корнишин М.С. ПаймушинВ.Н., Снегирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 228 с.

64. Лехницкий С.Г. Теория упругого анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -415 с.

65. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

66. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. - 216 с.

67. Нерубайло Б.В. Локальные задачи прочности цилиндрических оболочек. -М.: Машиностроение, 1983. 248 с.

68. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л. - М.: Гостехиздат, 1948. - 212 с.

69. Новожилов В .В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. - 432 с.

70. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. - 656 с.

71. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета пространственных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. - 190 с.

72. Строительная механика летательных аппаратов: Учебник для авиац. спец. вузов / Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др.; Под ред. Образцова И.Ф. М.: Машиностроение, 1986. - 536 с.

73. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных систем. -М.: Машиностроение, 1973. 659 с.

74. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В. Об одном классе решений краевых задач для анизотропных оболочек // Докл. АН СССР. 1986. - Т.291. - №2. -С. 306-309.

75. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969. - 695 с.

76. Ониашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М.: Изд-во АН СССР, 1957. - 195 с.

77. Паймушин В.Н. Вариационная постановка задач механики тел кусочно-однородной структуры // Прикл. механика. 1985. - Т.21. - №1. - С. 27-34.

78. Паймушин В.Н. Нелинейная теория тонких оболочек, пологих относительно поверхности отсчета // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - №3. -С. 184.

79. ПелехБ.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

80. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев: Наукова думка, 1982. - 295 с.

81. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.: Наука, 1985. -182 с.

82. Пискунов В.Г., Вереженко В.Е. Линейные и нелинейные задачи расчета слоистых конструкций. Киев: Бущвельник, 1986. - 176 с.

83. Попов Б.Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами. М.: Изд-во МГТУ, 1993. - 293 с.

84. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. -М.: Наука, 1982.-352 с.

85. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.-711 с.

86. Рейсснер Э. О некоторых вариационных принципах теории упругости // Проблемы механики сплошной среды. М., 1961. - С. 57-61.

87. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л., 1978.-223 с.

88. Саченков A.B. Теоретико-экспериментальный метод исследований устойчивости пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань, 1970. - Вып. 6-7. - С.391-433.

89. Саченков A.B., Шалабанов А.К. Исследования свободных колебаний секториальных пластинок и конических панелей теоретико-экспериментальным методом // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1972. - Вып. 9. - С. 339-346.

90. Терегулов И.Г. К вариационным методам в нелинейной теории упругости // ДАН СССР. 1962. - 142. - №3.

91. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек // Прикладная математика и механика. 1962. - Т.26. - №2. - С. 346-358.

92. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Гос. Изд-во физ.-мат. литературы, 1963. - 635 с.

93. ТовстикП.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Прикл. математика и механика. 1983. - Т.47. - №5. -С. 815-822.

94. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат: 1975. - 256 с.

95. ФлюггеВ. Статика и динамика оболочек. М.: Госстройиздат, 1963. -306 с.

96. Чепига В.Е. О построении теории многослойных анизотропных оболочек с заданной условной точностью порядка // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1977. - №4. - С. 113-120.

97. Чепига В.Е. Линеаризованные уравнения устойчивости толстых многослойных оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1971. -№2. -С. 33-41.

98. Шалабанов А.К. Исследование собственных колебаний конических оболочек теоретико-экспериментальным методом // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1981. - №16. - С. 197-202.

99. Шапошников H.H. и др. Расчет машиностроительных конструкций на прочность и жесткость. М.: Машиностроение, 1981. - 333 с.

100. Лехницкий С.Г. Уточненная теория неоднородных трансверсально-изотропных плит несимметричной структуры // Изв АН СССР: Механика. 1965.-№1,-С. 81-88.

101. Ворович И.И., Кодомцев И.Г., Устинов Ю.А. К теории неоднородных по толщине плит // МТТ. 1975. №3. - С. 119-129.

102. Механика композиционных материалов и элементов конструкций / Под общ. ред. АН УССР. Киев: Наукова думка, 1983. - Т.2. -463 с.

103. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций / Григоренко Я.М. и др. Киев: Наукова думка, 1986. - 172 с.

104. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наукова думка, 1987. -216 с.

105. Болотин В.В. Об изгибе плит, состоящих из большого числа слоев // Изв. АН СССР: Механика и машиностроение. 1984. №1. - С. 61-66.

106. Ju J.J. Flexural vibrations of elastic sandwich plates // Journal Aeronautical Science, 1960. v.27. - P. 272-282.

107. Srinivas S., Rae A.K., Joga Rao C.V. Flexure of simple supported thick homogeneous and laminated rectangular plates // Zeitshrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 1969. v.49. - №6. - P. 449-458.

108. Немиш Ю.И., ХомаИ.Ю. Напряженно-деформированное состояние нетонких оболочек и пластин. Трехмерная теория (обзор). // Прикладная механика. 1991. Т.27. - №11. - С. 3-27.

109. ВекуаИ.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 288 с.

110. Васильев В.В. Прикладная теория композитных оболочек // Механика композитных материалов. 1985. - №5. - С. 843-852.

111. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории пластин методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ, 1962.-Т.6.-№4.-С. 668-686.

112. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. - 296 с.

113. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. Теория пологих ортотропных оболочек средней толщины // Изв. АН СССР. ОТН: Механика и машиностроение, 1959. -№6.-С. 60-67.

114. Reissner Е. On the derivation of boundary conditions for plate theory // Proceedings Royal Society, 1963. A 276. №1365. P. 187-188.

115. Прусаков А.П. О построении теории изгиба пластин средней толщины энергоасимптотическим методом // Прикладная механика. 1975. - Т.П. -№10.-С. 44-51.

116. Кильчевский H.A. Анализ различных методов приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным и исследование постановки краевых задач теории оболочек // Теория пластин и оболочек: Тр II Всесоюзной конф. Киев, 1962. - С. 58-69.

117. Гольденвейзер A.JI. Методы обоснования и уточнения теории оболочек // ПММ. 1968. - Т.32. - №4. - С. 684-695.

118. БерезинИ.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1962, Т.2. - 639 с.

119. Лурье А.И. К теории толстых плит // ПММ. 1942. - Т.6. - Вып. 2. -С. 151-168.

120. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. 1940. - Т.4.- Вып. 2. С. 7-34.

121. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек средней толщины // ДАН СССР. 1959. - Т. 128. - №6. - С. 1144-1147.

122. Кристинсен Р. Введение в механику композитов. М.: мир, 1982. - 334 с.

123. ВекуаИ.Н. Об одном методе расчета призматических оболочек // Труды Тбилисского матем. ин-та. 1955. - Т.21. - С. 191-259.

124. Понятовский В.В. К теории пластин средней толщины // ПММ. 1962. -Т.26.-Вып. 2.-С. 335-341.

125. Галимов Н.К. О применении полиномов Лежандра к построению уточненной теории трехслойных пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1973. - Вып. 10. - С. 371-385.

126. Галимов Н.К. К построению уточненной теории трехслойных пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1980. -Вып. 15.-С. 57-70.

127. Аксентян O.K., Ворович И.И. Напряженное состояние плиты малой толщины // ПММ. 1963. - Т.27. - Вып. 6. - С. 1057-1074.

128. Виленская Т.В., Ворович И.И. Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для сферической оболочки малой толщины // ПММ. 1966. - Т.ЗО. - Вып. 2. - С. 278-295^

129. Green А.Е. On the linear theory of thin elastic shells // Proc. Roy. Soc. Ser. A.- 1962. v.266. - №1325. - P. 143-160.

130. Reiss E.L. On the theory of cylindrical shells // Quart. J. Mech. And Appl. Math. 1962. - v.15. - №3. - P. 325-338.

131. ReissnerE. On the derivation of the theory of thin elastic shells // J. Math. And Phys. 1963. - v.42. - №4. - P. 263-277.

132. Агаловян JI.A. Применение метода асимптотического интегрирования к построению приближенной теории анизотропных оболочек // ПММ. 1966. - Т.30. - Вып. 2. - С. 388-398.

133. Ворович И.И. Об общих представлениях решений уравнений теории многослойных анизотропных оболочек // ПММ 1965. - Т.29. - Вып. 4. -С. 690-700.

134. Гусейн-Заде М.И. К построению теории изгиба слоистых пластинок // ПММ 1983. - Т.32. - Вып. 2. - С. 233-244.

135. Гусейн-Заде М.И. Напряженное состояние погранслоя для слоистых пластинок // Труды VII Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок. Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970. - С. 638-643.

136. Александров А.Я., Куршин Л.М. Трехслойные пластинки и оболочки // Прочность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968. - Т.2. -С. 243-326.

137. Амбарцумян С.А. Некоторые основные уравнения теории тонкой слоистой оболочки // ДАН Арм. ССР. 1948. Т.8. - №5. - С. 203-210.

138. Васильев В.В. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки из стеклопластика // Изв. ВУЗ. Авиационная техника, 1969. №1. С. 8-13.

139. ГриголюкЭ.И. О выборе исходной поверхности в теории неоднородных оболочек // Из АН СССР. ОТН, 1956, №8. С. 120-122.

140. Газизов Б.К. К теории пологих многослойных пластин и оболочек // Изв. ВУЗ. Авиационная техника, 1959. №4. С. 79-86.

141. Саченков A.B. Некоторые уравнения теории многослойных оболочек // Теория пластин и оболочек. АН УССР, 1962. С. 137-141.J / A

142. Елпатьевский A.H., Васильев B.B. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов. М.: Машиностроение, 1972. - 168 с.

143. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композиционных материалов. Рига: Зинантне, 1974. - 311 с.

144. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига / Под ред. Галимова К.З. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. 212 с.

145. Timoshenko S.P. On the correction for shear the differential equation for transverse vibrations of the prismatic bars // Philosophical Magazine and Journal of Science, 1921. V.21. Ser.6. №41. P. 744-746.

146. Гурьянов Н.Г. Уточненные соотношения для клеевой прослойки слоистой пологой оболочки // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1990. Вып. 22. - С. 69-75.

147. Либреску Л. Нелинейная теория упругих анизотропных оболочек // Избр. проблемы прикл. механики. М., 1974. - С. 453-466.

148. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко // Механика композ. материалов, 1981. №5. - С. 815-820.

149. Шнеренко К.И. Напряженное состояние многослойных анизотропных оболочек с отверстиями // Прикладная механика, 1978. Т.76. - №10. -С. 57-61.

150. Dong S.В., TsoF.W. One laminated ortotropic shell theory including transverse shear deformation // Trans. ASME, 1972. E 39. - №4. - P. 10811087.

151. Reddy T.N., Chao W.C. Large-deflection and large-amplitude free vibrations of laminated composite-material plates // Comput. and struct., 1981. №13. -P. 341-342.

152. Sun С.Т., SunP.W. Laminated composite shells under axially symmetrical dynamic loading // J. Sound and Vibr., 1974. v.35. - №3. - P. 395-415.5/5

153. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физматгиз, 1961.-384 с.

154. Амбарцумян С.А. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек // Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1964. - Т.17, №3.-С. 23-53.

155. Остерник Э.С., БергЯ.А. Инженерный метод расчета многослойных анизотропных пластин // Труды IV Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Ереван, 1962. Ереван, 1964. - С. 758-763.

156. Терегулов И.Г- К теории многослойных анизотропных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1971. - Вып. 6-7. -С. 762-767.

157. Прусаков А.П. Конечные прогибы многослойных пологих оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1971. - №3. - С. 119-125.

158. Прусаков А.П. Нелинейные уравнения изгиба пологих многослойных оболочек // Прикладная механика. 1971. - Т.7, №3. - С. 3-8.

159. Рябов А.Ф. Основные уравнения теории многослойных оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд1вельник, 1965. - Вып. 3. - С. 17-27.

160. Рябов А.Ф. К теории многослойных пологих оболочек с заполнителем // Самолетостроение и техника воздушного флота. Харьков, 1967. - Вып. 11.-С. 97-104.

161. Рябов А.Ф., Рассказов А.О. К теории многослойных пластин несимметричной структуры с ортотропными слоями // Прикладная механика. 1974. - Т. 10, Вып. 2. - С. 62-68.

162. Раман Э.В. Нелинейные уравнения статики стеклопластиковых оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига // Труды МВТУ. 1975. - №206. -С. 107-118.

163. Василенко А.Т. К расчету по уточненной модели ортотропных слоистых оболочек переменной толщины // Прикладная механика. 1977. - Т. 13, №7. - С. 28-36.

164. Василенко А.Т. К оценке некоторых допущений теории оболочек // ДАН УССР. Сер. А. 1978. - №4. - С. 306-309.

165. Василенко А.Т., Голуб Г.П., Григоренко Я.М. Определение напряженного состояния многослойных ортотропных оболочек переменной жесткости в уточненной постановке // Прикладная механика. -1976. Т.12, №2. - С. 40-47.

166. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Об учете неоднородности деформаций поперечного сдвига по толщине в слоистых оболочках // Прикладная механика. 1977. - Т.13, №10. - С. 36-42.

167. Кантор Б.Я., Науменко В.В. Об одном варианте теории оболочек средней толщины // проблемы машиностроения. Киев: Наукова думка, 1980. -Вып. 12.-С. 3-7.

168. Васильев В.В., Назаренко В.Г. Вариант теории толстых многослойных цилиндрических оболочек // Механика полимеров, 1974. №6. - С. 10711078.

169. Немировский Ю.В., Самсонов В.И. Устойчивость упругих и вязкоупругих армированных оболочек и пластин с учетом деформаций поперечного сдвига // Механика полимеров, 1976. №4. - С. 671-680.

170. Рассказов А.О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек // Прикладная механика, 1976. Т.12, №11. - С. 50-56.

171. Рассказов А.О. Уточненная теория изгиба многослойных пологих оболочек с ортотропными слоями // Расчет пространственных строительных конструкций. Куйбышев, 1976. - Вып. 6. - С. 73-89.

172. Ржаницын А.Р. Расчет составных пластинок с абсолютно жесткими поперечными связями // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1976. - Вып. 2. - С. 120-133.

173. Ульяшина А.Н. Напряженно-деформированное состояние ортотропных слоистых пластин // МТТ, 1979. №1. - С. 145-154.

174. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. - 664 с.

175. Кузнецов Н.Д. и др. Собственные колебания слоистых анизотропных пластин и пологих оболочек // Прикладная механика, 1981. Т.17, №4. -С. 31-37.

176. Паймушин В.Н., Петрушенко Ю.Я. Теория и программное обеспечение для исследования устойчивости и колебаний слоистых оболочечных элементов сложной геометрии // Труды XIV Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек. Кутаиси, 1987. - С. 303-308.

177. Пискунов В.Г., Гуртовой А.Г., Семенов B.C. К уточнению теории анизотропных пластин // Прикладная механика, 1984. Т.20, №5. - С. 8287.

178. Reissner Е. Finite deflection of sandwich plates // Journal of Aeronautical Sciences, 1948. v.15, №7. - P. 435-440.

179. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем //Изв. АН СССР. ОТН, 1957, №1. С. 77-84.

180. Болотин В.В. О теории армированных тел // Изв. АН СССР. Механика, 1965, №1,-С. 74-80.

181. Куршин JI.M. Обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек // Расчет пространственных конструкций. М. - 1962. - Вып. 7. - С. 163-192.

182. Хэбин Л.M. Обзор современного состояния по трехслойным конструкциям // Механика: Сб. переводов и рефератов период, .литературы. -М.: Мир, 1966. -№2. С. 119-130.

183. Куршин Л.М. Некоторые задачи устойчивости трехслойных оболочек // Теория оболочек и пластин: Тр. IV Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: АН Арм. ССР, 1964. - С. 626-633.

184. Паймушин В.Н., Петрушенко Ю.Я. К вариационным методам в теории оболочек сложной геометрии с приложениями к задачам сопряжения составных оболочек // Исследования по теории оболочек: Тр. Семинара в 2ч. Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КФ.

185. Ильгамов М.А., Иванов В.А., ГулинБ.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1977. - 351 с.

186. Холод А.И. Свободные колебания трехслойных цилиндрических панелей с легким заполнителем // Изв. ВУЗ. Строительство и архитектура, 1969, №4. С.51-54.

187. Галимов Н.К. Осесимметричный изгиб и устойчивость трехслойных круговых пластин с легким заполнителем // Прикл. мех., 1965. Т.1, Вып. 1. -С.47-56.

188. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. -984 с.

189. Брюккер Л.Э. О приближенных универсальных формулах для расчета трехслойных пластин с легким и жестким заполнителем // Теория пластини оболочек: Тр. II Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек. Киев: Изд-во АН УССР, 1962. - С.141-146.

190. Брюккер Л.Э. Некоторые варианты упрощения уравнений изгиба трехслойных плит // Расчеты элементов авиационных конструкций. М., №7, 1965. Вып. 3. - С.12-19.

191. Муштари Х.М. К общей теории пологих оболочек с заполнителем // Изв. АН СССР. ОТН: Механика и машиностроение, 1961. №2. С.24-29.

192. Gerard G. Linear bending theory of isotropic sandwich plates by order of magnitude analysis // Journal of Applied Mechanics, 1952. V.19. P.13-15.

193. Green A.E. On Reissner's theory of bending of elastic plates // Quart. Appl. Mathem., 1949. T.7. P.223-228.

194. Mindlin R.D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates // Journal of Applied Mechanics, 1951/.- V.73, №18. -P.31-38.

195. Padova I., Koplik B. Vibrations of closed and open sandwich cylindrical shells using refined theory // The Journal of the Acoust. Soc. of Amer., 1980. V.47, №3. - P.862-869.

196. SunC.T. On the equations for composite beams under initial stress // International Journal of Solid and Structures, 1972. V.8, - P.385-389.

197. Болотин В.В. К теории слоистых плит // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, №3. С.65-72.

198. Новичков Ю.Н. О краевых эффектах в слоистых плитах и оболочках // Труды моек, энерг. ин-та, 1972, Вып. 101. С.55-60.

199. Новичков Ю.Н., Федосеев Г.Н. Исследование термоупругих краевых эффектов в толстых многослойных оболочках // Изв. АН СССР. МТТ, 1972, №4. С.145-151.3/8

200. Петровский A.B. Локальная устойчивость многослойных цилиндрических оболочек // Труды Моск. энерг. ин-та, 1973, Вып. 164. -С.53-60.

201. Болотин В.В., Москаленко В.И. Пластины и оболочки из армированных материалов основные уравнения, количественные результаты // Динамика и прочность машин: Докл. научно-техн. конф. МЭИ. - М., 1967. - С.26-45.

202. Bolotin V.V. Vibration of layered elastic plates // Proceeding of Vibrations Problems, 1963, V.4. P.331-346.

203. Москаленко В.И. Основные уравнения теории оболочек из слоистых материалов // Сборник докладов научно-техн. конф. по итогам научно-иссл. работ за 1964-65 МЭИ. М., 1965. - С.43-63.

204. Новичков Ю.Н. Изгиб, устойчивость и колебания многослойных оболочек // Теория оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1975. - С.142-145.

205. SunC.T., Achenbach Т.D., Hermann G. Continuum theory for a laminated medium // Journal of Applied Mechanics, 1968. V.90. - P.467-475.

206. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения пологих оболочек регулярного строения//МТТ, 1967. №1. - С.163-169.

207. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тонких упругих слоистых анизотропных пологих оболочек с жестким заполнителем // Изв. АН СССР, Механика, 1965. №5. - С.68-80.

208. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. К теории упругих слоистых анизотропных оболочек // Докл. АН СССР, 1984. Т.275, №5. - С.1077-1079.

209. Бабушка И., ВитасекЭ., ПрагерМ. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. - 368 с.

210. Авдонин A.C. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1969. - 402 с.

211. Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек методом численного анализа // Прикладная механика. К., 1978. - Т.20. - №10. - С.3-22.

212. Мак-Кракен Д., ДорнУ. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977. - 584 с.

213. Ортега Дис., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. - 287 с.

214. Абовский Н.П. и др. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1986. 384 с.

215. Вахитов М.Б., Фирсов В.А. Численные методы решения одномерных задач строительной механики летательных аппаратов. Казань: КАИ, 1985. -66 с.

216. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы: в 2 т. М.: Наука, 1976. Т.1. - 304 с.

217. ПобедряБ.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во МГУ, 1981. 344 с.

218. Постнов В.А., Суслов В.П. Строительная механика корабля и теория упругости. В 2 т. JI. Судостроение, 1987. Т.1: Теория упругости и численные методы решения задач строительной механики корабля. - 288 с.

219. Постнов В.А., Ростовцев Д.М., Суслов В.П., Кочанов Ю.П. В 2 т. Л.: Судостроение, 1987. Т.2: Изгиб и устойчивость стержней, стержневых систем, пластин и оболочек. - 416 с.

220. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2-х т.: Т.2.-М.: Мир, 1991.-552 с.

221. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 600 с.

222. Бублик Б.Н. Численное решение задач динамики пластин и оболочек. -К.: Наукова думка, 1969. 147 с.

223. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

224. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Беспалова Е.И. и др. Численное решение краевых задач статики ортотропных оболочек с переменными параметрами. Киев: Наукова думка, 1975. - 183 с.

225. ДжорджА., Лео Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. - 309 с.

226. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1986. -584 с.

227. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. -М.: Наука, 1988.- 160 с.

228. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1986. - 503 с.

229. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. -608 с.

230. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.-432 с.

231. Бате К., ВилсонЕ. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 494 с.

232. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967.-368 с.

233. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. - 279 с.

234. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962. - 695 с.

235. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. -М.: Наука, 1981.- 688 с.

236. Кармишин A.B., Жуков А.И., Колосов В.Г. и др. Методы динамических расчетов и испытаний тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1990.-288 с.

237. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

238. Розин Л.А. О связи метода конечных элементов с методами Бубнова-Галеркина и Ритца // Строительная механика сооружений. Л., 1971. - С.6-27.

239. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.-589 с.

240. Oden J.T., Carey G.F. Finite elements. Mathematical aspects. Englwood Cliffs, N.Y. Prentice-Hall. - 1983. - vol.4. -195 p.

241. Годунов C.K., Рябенький B.C. Разностные схемы. M.: Наука, 1973. -400 с.

242. Голованов А.И., КорнишинМ.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань, 1989. 270 с.

243. Зенкевич О. Применение метода конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.-541 с.

244. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение, 1984. -280 с.

245. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинантне, 1988. 284 с.

246. Филлипов А.П., Кохманюк С.С., Янютин Е.Г. Деформирование элементов конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. К.: Наукова думка, 1978. 184 с.

247. Виноградов Ю.И. Особенности одного метода решения задач о локальном нагружении замкнутых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1980, №3. С. 188.

248. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций / Образцов И.Ф. Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. М.: Машиностроение, 1991. - 416 с.

249. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

250. Жигалко Ю.П., Гурьянов Н.Г. Определение прогибов свободно опертой цилиндрической оболочки, находящейся под действием сосредоточенной нагрузки // В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек, №3. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1965. С. 17-23.

251. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения. М.: Наука, 1968.-455 с.

252. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1987.-256 с.

253. Одиноков Ю.Г. К вопросу интегрирования систем обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Труды Казанского авиационного института, 1949, №23. С.18-30.

254. Амиро И.Я., ЗаруцкийВ.А., Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки. К.: Наукова думка, 1973. - 248 с.

255. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. К теории оболочек вращения с меридианальными ребрами // Труды VII Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Днепропетровск. М.: Наука, 1970. - С.25-31.

256. Нарайкин О.С., Иванов И.П. Численный расчет свободных колебаний предварительно нагруженных гофрированных оболочек вращения // Изв. Вуз. Машиностроение. 1986. - №2. - С.42-46.

257. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин, подкрепленных упругими ребрами, методом граничных элементов // Актуальные проблемы механики оболочек. Тез. докладов III Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых. Казань: КИСИ, 1988. - С.11.

258. Артюхин Ю.П., КарасевС.Н. Некоторые контактные задачи теории тонких пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 10. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1973. С.159-166.

259. Биргер И.А. Контактные задачи теории стержней, пластин и оболочек // теория оболочек и пластин. Труды IX Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. 1973. Л.: Судостроение, 1975. - С.23-25.

260. Гурьянов Н.Г. Замкнутая цилиндрическая оболочка под действием сосредоточенной силы // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1970. №6. - С.29-36.

261. Жигалко Ю.П. Расчет тонких упругих цилиндрических оболочек на локальные нагрузки // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1966. №4. - С.37-45.

262. Жигалко Ю.П., Гурьянов Н.Г. Свободно опертая цилиндрическая оболочка под действием локальных нагрузок // Исследования по теории оболочек и пластин. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1963. - №3. - С. 1724.

263. Никитин В.А. Приближенное решение задачи о действии сосредоточенных сил на цилиндрическую оболочку // Уч. запискиУ/енингр. ун-та, 1960.-№35,-С.15-22.

264. Чернышев Г.Н. Представление решений типа Грина уравнений оболочек методом малого параметра // Прикладная математика и механика. 1968. -Т.32, Вып. 6. - С. 1083-1089.

265. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C., Макеев Е.М. Контактные задачи теории оболочек и стержней. М.: Машиностроение, 1978. - 248 с.

266. Yuan S.W. Thin cylindrical shell subjected to concentrated loads. Quart. Appl. Math., 1946. - vol.4, №1. - P. 13-26.

267. Ting L, Yuan S.W. On radial deflection of a cylinder of finite length with various end conditions. Journal of the Aeronautical Sciences, 1958. - vol.25, №4. - P.230-234.

268. Гавеля С.П., Незнакина JI.A., Зуева И.Н., Головченко В.И. Упругое деформирование составных цилиндрических оболочек // Прикладные задачи мат. физики, Киев, 1983. С.50-75 (Рукопись депонирована в УкрНИИТИ 27.09.83., №1059 УкД83).

269. Крауч С., Старфилд А. Методы конечных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

270. Линьков A.M. Плоские задачи о статическом нагружении кусочно-однородной линейно-упругой среды // Прикладная математика и механика. 1983. - Т.47, Вып. 4. - С.644-651.

271. Попов Г.Я. Методы ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости // ПММ. 1969. - Т.ЗЗ, Вып. 3. - С.543-547.

272. Суслова Н.Н. Методы решения пространственной задачи теории упругости для тела в форме параллелепипеда // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Мех. деформ. твердого тела, 1979.

273. Blumental О. Uber asimptotische Integration linear Differential gleichugen mit Anwendung auf eine asimptotische Teorie der Kugelshalen. Arhiv. die Mattematik und Phisik, 1912, №3. - S. 136-174.

274. Вазов В. Асимптотическое разложение решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464 с.

275. Гольденвейзер A.JI. Исследование напряженного состояния сферической оболочки // ПММ. 1944. - Т.8, Вып. 6. - С. 13-18.

276. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. - 379 с.

277. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. - 352 с.

278. Чернышев Г.Н. Асимптотические методы в теории оболочек // Труды VJ Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Баку, 1966. С.799-810.

279. ВишикМ.И., Люстерник JI.A. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими и быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями // Успехи математических наук. 1960. - Т.15, Вып. 4194. - С.5-48.

280. Даревский В.М. Контактные задачи теории оболочек (действие локальных нагрузок на оболочки) // Труды VI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Баку, 1966. - С.927-935.

281. Ольшанский В.Ю. Асимптотическое исследование напряженно-деформированного состояния многогофровых пологих оболочек // Изв. ВУЗ. Машиностроение, 1987, №11. С.21-24.

282. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во ленингр. ун-та, 1964. 4.2.-395 с.

283. Болотин В.В. О влиянии безмоментного напряженного состояния на спектры собственных колебаний тонких упругих оболочек // ПММ 1963. -Т.27, Вып. 2. - С.362-364.

284. Корнеев В.М. О реализации асимптотических методов при колебаниях и устойчивости упругих пластин и оболочек // Труды VIII Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок. 1969. М.: Наука, 1970. - С.304-309.

285. Товстик П.Е. Полубезмоментные формы потери устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Труды 14-ой Всесоюзной конф. по теории пластин и оболочек. Кутаиси, 1987, Т.2. - С.501-506.

286. Хроматов В.Е. Плотность частот собственных колебаний тонких сферических оболочек при безмоментном напряженном состоянии // Тр. моек, энерг. ин-та. 1972. - Вып. 101. - С. 148-153.

287. Maymon G. Modal densities of stiffened, axially loaded cylindrical shell // J. Sound and Vibr. 1975. - vol.42, №1. - P.l 15-127.

288. Ritz W.H. J. Reine angew. Math. T.135,1908; Ann Physik, IV, 28, 737, 1909; Gesamm Werke, 1941, S.228.

289. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.-807 с.

290. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. - 248 с.

291. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. - 360 с.

292. Хронин Д.В. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1970. - 412 с.

293. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980. - 376 с.

294. Locke James. Nonlinear random response of angle-ply laminates with static and thermal preloads // AIAA Journal. -1991. v.29, №9. - P1480-1487.

295. Свирский И.В. Методы типа Бубнова-Галеркина и последовательных приближений. М.: Наука, 1968. - 200 с.

296. Кукуджанов С.Н. О наилучших начальных приближениях в проблеме собственных числе в методе Ритца и Бубнова-Галеркина // Труды IV Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Ереван, 1964. - С. 136143.

297. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981. -416 с.

298. Рвачев B.JL, КурпаЛ.В., СклепусН.Г., УчишвилиЛ.А. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. -Киев: Наукова думка, 1973.-121с.

299. Халилов С.А. Полные системы ортонормированных степенных полиномов для решения некоторых краевых задач линейной теории оболочек и пластин // Численные методы решения задач строительной механики: Сб. статей. Киев, 1978. - С.98-102.

300. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел // ДАН СССР. -1983. Т.273, №5. - С.1083-1086.

301. Паймушин В.Н. Вариационная формулировка задач сопряжения односвязных составных пологих оболочек // Акт. проблемы мех. оболочек: Межвуз. сб., Казань: КАИ, 1985. С.77-85.

302. Паймушин В.Н., Андреев C.B. К нелинейной теории трехслойных оболочек со слоями переменной толщины и сложной геометрии // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 1981. - Вып. 16. - С.29-36.

303. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - 352 с.

304. Агеносов Л.Г., СаченковА.В. Устойчивость и свободные колебания тонких цилиндрических и конических оболочек кругового сечения при различных краевых условиях // Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань, 1964. - №2. - С.111-126.

305. Кукуджанов С.Н. О влиянии неоднородного кручения и нормального давления на собственные колебания цилиндрической оболочки // Строит, мех. и расчет сооруж. 1987. - №3. - С.43-47.

306. Кукуджанов С.Н. О влиянии нормального давления на частоты свободных колебаний цилиндрических оболочек // Инж. журнал АН СССР.- 1968.-№3.-С.140-144.

307. Кукуджанов С.Н. О влиянии предварительно напряженных состояний на собственные колебания конических оболочек // Докл. расш. засед. сем-ра ин-та прикл. мат. им. И.Н. Векуа. Тбилиси, 1986. - Т.2. - №2. - С.76-79.

308. Кукуджанов С.Н. О свободных колебаниях цилиндрической оболочки, предварительно загруженной поперечной силой. // Строит, мех. и расчет сооружений. 1984. - №4. - С.41-44.

309. Кукуджанов С.Н. О собственных колебаниях цилиндрической оболочки с учетом действия начального неоднородного по окружности внешнего давления // Прикл. мех. 1984. - Т.20. - №10. - С.53-59.

310. Elsbemd G.F. Leissa A.W. The vibration of non-circular cylindrical shells with initial stresses // J. Sound and Vibr. 1973. - 29. - №3. - P.309-329.

311. Du I., Hui D. Frequency-load interaction of imperfect angle-ply cylindrical panels under compression and pressure // AIAA Journal. 1977. - 25. - №3. -P.484-491.

312. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981. -191 с.

313. Котов Е.А. Построение базисных функций для решения осесимметричных задач нелинейной теории оболочек вращения методом Бубнова-Галеркина // Прочность материалов и элементов судовых конструкций. JL: Наука, 1985. - С.50-57.

314. Бастатский Б.И. Модификация метода Бубнова-Галеркина в задачах теории пологих оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. -М.: 1985. №5. - С.4-8.

315. Рвачев B.JI. Об удовлетворении краевым условиям в методе Бубнова-Галеркина с помощью R-функций // Успехи механики деформируемых сред: Сб. статей. М.: Наука, 1975. - С.488-501.

316. Паймушин В.Н., Сайтов И.Х., Рахманкулов Н.У. Интегрально-проекционный метод и его сходимость в задачах статической прочности элементов конструкций // Прочность элементов авиационных конструкций. Межвуз. научн. сб. Уфа, 1990. С.72-80.

317. Сайтов И.Х. Матричная форма интегральных операторов в задачах статики и термоупругости многоопорных пологих оболочек вращения. // Вопросы прочности констр. летат. аппаратов. Межвуз. сб. Казань, 1979. -С.107-117.

318. Корнишин М.С., Паймушин В.Н. К вопросу о параметризации срединной поверхности пластин и оболочек со сложной границей // Прочность и устойчивость оболочек. Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КФ АН СССР. Тр. Семинара. - Вып. 9. - 1977. - С.17-25.

319. Паймушин В.Н. Задачи параметризации срединной поверхности оболочек со сложным контуром в плане и об одном методе ее решения // Исследования по теории оболочек. Казань: Казанский физ.-техн. ин-т КФ АН СССР. Тр. семинара. - 1978. - Вып. 10. - С.66-78.

320. Паймушин В.Н. К задаче параметризации срединной поверхности оболочек сложной геометрии // Прочность и надежность сложных систем. -Киев: Наукова думка, 1979. С.26-33.

321. Феофанов А.Ф. Строительная механика авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1964. - 284 с.

322. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И. Решение двумерных задач теории оболочек методом интегральных соотношений // Аннотации докладов Всесоюзной конф. по применению ЭЦВМ в строительной механике. -Тбилиси, 1968.-С.12.

323. Галлахер Р. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -428 с.

324. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. - 239 с.

325. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.

326. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 342 с.

327. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

328. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

329. Babuska I., Aziz А.К. Survey lectures on the mathematical foundation of the finite element method with application to partial differential equations / Edt. A.K. Aziz New York: Academic Press, 1972. - p.359.

330. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.:Мир, 1976.-464 с.

331. Голованов А.И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Способы построения // Прикладные проблемы прочности и пластичности. -Н.Новгород, 1991. С.58-65.

332. Голованов А.И. Расчет составных оболочек произвольной геометрии // Проблемы механики оболочек. Калинин, 1988. - С.33-40.

333. Корнишин М.С., Савинов В.И. Расчет гибких составных конструкций методом суперэлементов // Прочность и устойчивость оболочек. Казань. Казанский физ.-техн. ин-т КФ АН СССР. 1986. Труды семинара. Вып. 19 4.1. С.94-102.

334. Бурман З.И. и др. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек. -М.: Машиностроение, 1982. 256 с.

335. Куранов Б.А., Гусев С.С. Применение метода суперэлементов для расчета сложных машиностроительных конструкций // расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1983, Вып. 26. - С. 174-182.

336. Постнов В.А., Родионов А.А. Метод суперэлементов в расчете инженерных сооружений. Д.: Судостроение, 1979. - 288 с.

337. Быков Е.В., Попов Б.Г. Конечный элемент многослойной оболочки // Изв. ВУЗ. Машиностроение. 1984. - №10. - С.14-17.

338. Ли С.В., Пиан Т.Х. Усовершенствование метода расчета конечных элементов для пластинок и оболочек с помощью смешанного подхода // РТК. 1978. - Т.16, №1. - С.38-45.

339. Ramm Е., Stegmuller Н. The displacement finite element method in nonlinear buckling analysis of shells // Buckling of shells / Edt. E. Ramm. SpringerVerlag, 1982. - P.201-235.

340. Holt P.J., Webber J.P. Finite element for honeycomb sandwich plates and shells // Aeron. J. 1980. - vol.84., №831. - P.113-123; №832. - P.157-167.

341. Noor A.K., Anderssen C.M. Mixed models and reduced selective integration displacement models for nonlinear shell analysis // Proc. ASME winter annual meeting. Washington: AMD, 1981. - vol.48. - P.l 19-146.

342. Бакулин B.H., Демидов В.И. Трехслойный конечный элемент естественной кривизны // Изв. ВУЗ. Машиностроение. 1978. - №5. - С.15-20.

343. Кривцов B.C. Численный анализ напряженного состояния слоистых анизотропных оболочек // Теория автоматизированного проектирования. -Харьков, 1981. Вып. 3. - С.119-122.

344. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. -552 с.

345. Гурьянов Н.Г. Об изгибе пологой оболочки, состоящей из двух слоев, склеенных между собой // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань, 1990. Вып. 20. - С.140-150.

346. Моссаковский В.И., Макаренков А.Г., Никитин П.И. и др. Прочность р&кетных конструкций. М.: Высшая школа, 1990. - 359 с.

347. Корнишин М.С. Большие прогибы сферической панели под действием сосредоточенной силы // Исследования по теории оболочек и пластин. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1966. Вып. 4. - С.45-51.

348. Липовцев Ю.В. Аналитические решения разностных уравнений устойчивости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1972. - №1. -С.77-81.

349. Жеков К.А. Изгиб пластины, имеющей вырез и лежащей на упругом основании. // Прикладные методы расчеты строительной механики, экспериментальные исследования. М.: Изд-во МАИ, 1982. - С. 19-23.

350. Макаревский Д.И. Собственные колебания составной оболочки // Прикладные методы расчета строительной механики, экспериментальные исследования. М.: Изд-во МАИ, 1982. - С.38-44.

351. Колодянский A.B., Севрюков В.И. Определение нестационарной реакции конической оболочки на основе различных теорий // Вопр. механики деф. твердого тела. 1985. - Вып. 6. - С. 19-24.

352. Гуляев В.И., Баженов В.А., ГоцулякЕ.А. Устойчивость нелинейных механических систем. Львов: Вища школа, 1982. - 225 с.

353. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.А. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. М.: Высшая школа, 1989. -383 с.

354. Бинкевич Е.В., Дудник И.Ф., Савченко В.А. К расчету цилиндрической оболочки с жесткой площадкой загружения // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд1вельник. - 1973. - Вып. 31. - С. 17-23.

355. Бинкевич Е.В., Савченко В.А. К расчету цилиндрических оболочек переменной толщины // Прикладная механика. 1973. - Т.9, Вып. 5. - С. 1520.

356. Баженов В.Г., Журавлев Е.А. Вариационно-разностный метод решения нелинейных осесимметричных задач динамики слоистых оболочек //Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький. 1979. -Вып. 13. - С.36-45.

357. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Решение линейных и нелинейных задач теории пластин и оболочек на основе метода линий // Прикл. механика. -1993. Вып. 29, №4. - С.3-11.

358. Петров Ю.П. Расчет на прочность некруговых цилиндрических оболочек дискретным методом // Сопротивление матер, и теория сооруж. Киев: Бущвельник, 1970. - Вып. 10. - С. 10-22.

359. Вахитов М.Б., Сафарнев М.С., Халилулин В.И. Расчет консольных пластин методом прямых // Труды КАИ, вып. 166, Казань, 1974. С.52-61.

360. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Изв. ВУЗ. Авиационная техника. -1966. - №3. - С.50-61.

361. Вахитов М.Б., Халилулин В.И., Рахманкулов Н.У. К расчету составных конструкций летательных аппаратов. Темат. сб. научных трудов. Вып. 7. -Харьков, 1984. С.46-53.

362. Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф., Галимов Н.К. Поперечный изгиб консольных трехслойных пластин // Труды семинара по теории оболочек. Казань, 1974. Вып. 4. - С.117-121.

363. Фирсов В.А. Аппарат метода конечных сумм на основе сплайн-аппроксимации // Актуальные проблемы механики оболочек: Межвузовский сб. Казань: КАИ, 1985. - С.124-132.

364. Халилулин В.И., Рахманкулов Н.У. К расчету монолитных крыльев с произвольно расположенными подкрепляющими элементами // Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций: Межвуз. сб. Куйбышев, 1983. С.З-10.

365. Сайтов И.Х. Метод декомпозиции оболочечных систем применительно к интегральной формулировке решения фрагмента // Теория и методыисследования пластин и оболочек сложной формы: Межвуз. сб. Казань: КАИ, 1987,- С.69-75.

366. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Об одном способе математического описания и решения краевых задач механики деформирования оболочек, лежащих на сплошном или дискретном упругом основании // Пробл. Машиностроения, 1982. Вып. 16. - С. 18-23.

367. Коноплев Ю.Г. Экспериментальные исследования устойчивости цилиндрической оболочки, ослабленной круговыми отверстиями // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1970. №6; 7. - С.481-484.

368. Коноплев Ю.Г., Шалабанов А.К. Голографическая интерферометрия и фототехника. Казань, 1990. - 100 с.

369. Шаповалов JI.A. Моделирование в задачах механики элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1990. - 288 с.

370. Погорелов A.B. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967. - 279 с.

371. Кузьмин В.В. К определению деформации оболочки вращения при силовом и температурном нагружении // Прикладные методы расчета строительной механики экспериментальные исследования. М.: Изд-во МАИ, 1982. - С.34-38.

372. Морозов B.C. О возможности численной реализации метода Тимошенко в задачах устойчивости пластин и оболочек // Прочность конструкций. -Уфа: Изд-во УАИ, 1976. Вып. 1. - С.35-42.

373. Морозов B.C. Численный расчет на устойчивость круглых пластин, нагруженных сосредоточенными нагрузками // Прикладные метод расчета строительной механики, экспериментальные исследования. М.: Изд-во МАИ, 1982. -С.49-55.

374. Власов В.З. Контактные задачи теории оболочек и тонкостенных стержней // Изв. АН СССР. ОТН. 1949. - Т.6. - С. 18-26.

375. Андреев JI.В., ЗюзинВ.А., МулярЮ.М. Применение метода начальных параметров к расчету сложных оболочечных конструкций // Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского ун-та, 1971. - С. 17-23.

376. Зотов A.A. К расчету оболочек вращения методом прогонки // Прикладные методы расчета строительной механики, экспериментальные исследования. М.: Изд-во МАИ, 1982. - С.23-29.

377. ИвовичВ.А. Переходные матрицы в динамике упругих систем. М.: Машиностроение, 1981. - 183 с.

378. Loo Wen-da, Gao Shi-qiao. The effect local geometric imperfections of rotational shell on its natural frequencies and models // Appl. Math. And Mech. -1987. vol.8. - №11. - P.1013-1018.

379. Годунов C.K. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. -1961. T.XVI, Вып. 3(99). - С.171-174.

380. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод "прогонки". Дополнение к книге Годунова С.К., Рябенького B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962. - С.283-309.

381. Абрамов A.A. О переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Журнал вычисл. математики и мат. физики. -1961. Т.1, №3. - С.542-545.

382. Соколов В.Ф., Клюев Ю.И. Определение собственных частот и форм колебаний оболочек с помощью матричных рядов // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1984. - N12. - С.29-36.

383. Алфутов H.A., Клюев Ю.И., Трофимов В.В. Устойчивость кольца при существенно неосесимметричном нагружении // Труды VIH Всесоюзнойконференции по теории пластин и оболочек. Ростов-на-Дону. М.: Наука, 1973. - С.209-213.

384. Клюев Ю.И., Соколов В.Ф. Определение собственных частот и форм колебаний составных конструкций // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. -1973.-N8.-С.28-33.

385. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Матричный алгоритм метода последовательных приближений для решения задач статики и динамики оболочек // Применение численных методов в строительной механике корабля. JL: Судостроение, 1973. - Вып. 198. - С.69-77.

386. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки при сосредоточенном нагружении // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1973. - N11. - С.5-9.

387. Клюев Ю.И., Соколов В.Ф. Решение некоторых задач динамики составных конструкций осесимметричной формы с помощью матричных рядов // Труды IX Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Д.: Судостроение, 1975. - С.223-227.

388. Клюев Ю.И., Костомаров А.Н., Соколов В.Ф. Стационарные колебания оболочечных конструкций с учетом демпфирования // Труды МВТУ.N206. М.: МВТУ, 1976. - С. 78-85.

389. Клюев Ю.И., Павлов Е.В. Собственные колебания подкрепленной цилиндрической оболочки. М.: ВИНИТИ, 1978. - С.25-33.

390. Клюев Ю.И., Павлов Е.В. Колебания оболочек с сосредоточенными массами // Одиннадцатая Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин. Тезисы докладов. М. - 1977. С.30.

391. Клюев Ю.И., Елисеев Д.Н. Колебания оболочек с упругими связями // Расчет тонкостенных элементов конструкций. Труды МВТУ. N342. - М.: МВТУ, 1980.-С.39.

392. Зарубин Б.М., Клюев Ю.И. Неустановившиеся вынужденные колебания составных оболочечных конструкций // Научно-технический прогресс в машиностроении и приборостроении. Тезисы докладов. М.: МВТУ, 1980. - С.15.

393. Зарубин Б.М., Клюев Ю.И. Оптимизация геометрических характеристик пластин с частично заданным спектром частот // Научно-технический прогресс в машиностроении и приборостроении. Тезисы докладов. М.: МВТУ, 1980.-С. 16.

394. Клюев Ю.И., Семенов В.Н., Шаповалов Л.А. Проектировочный расчет на устойчивость сферического бака при комбинированном нагружении // Гагаринские чтения. М., 1983. - С. 14-15.

395. Клюев Ю.И., Никитенко В.И., Тарасов А.А. Анализ динамического поведения оболочечных конструкций при нестационарном внешнем воздействии // Расчеты на прочность. Сб. статей. Вып.24. - М.: Машиностроение, 1983. - С.281-286.

396. Шаповалов Л.А., Клюев Ю.И., Семенов В.Н. Контактная задача упругого диска, связанного с круговым кольцом, при действии сосредоточенных радиальных сил // Расчеты на прочность. Сб. статей. Вып.25. М.: Машиностроение, 1984. - С. 198-209.

397. Шаповалов Л.А., Клюев Ю.И., Семенов В.Н. Нелинейное поведение и устойчивость пологих сферических оболочек при неосесимметричном нагружении // Известия вузов. Сер. Машиностроение, 1984. N1. - С.16-20.

398. Клюев Ю.И., Павлов В.А., Проворов Л.В., Семенов В.Н. Исследование неустановившихся колебаний упругих конструкций // Системы для аналитических преобразований в механике. Тезисы докладов Всесоюзной конференции. Горький, 1984. - С. 106.

399. Клюев Ю.И., Павлов В.А. Расчет вынужденных неустановившихся колебаний упругих конструкций при наличии вязкого демпфирования // Динамика и прочность элементов машин. Сборник межвузовских научных трудов. М.: МИРЭА, 1987. - С.15.

400. Клюев Ю.И., Шаповалов Л.А. Вариационная формулировка нелинейной контактной задачи об изгибе шпангоутов составных оболочек с учетом начального кольцевого сжатия // Труды МВТУ. N502. - М.: МВТУ, 1988. -С.62-68.

401. Клюев Ю.И., Павлов В.А. Колебания многослойных оболочек в упругой среде // Динамика систем и конструкций. Труды МГТУ. N545. - М.: МГТУ, 1990.-С.ЗЗ-41.

402. Клюев Ю.И., Забегаев А.И., Дмитриев С.Н. Упруго-нелинейная деформация амортизатора при динамических нагрузках // Механика в авиации и космонавтике. Сборник статей под редакцией C.B. Челомея. -М.: Машиностроение, 1993. С. 188-200.

403. Клюев Ю.И. Колебания многослойных колец под действием импульсной нагрузки // Современные проблемы машиноведения. Материалы международной научно-технической конференции. Гомель, 1996. - С.45-47.

404. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Нелинейное деформирование многослойных оболочек при кубической аппроксимации тангенциальных перемещений // Механика композиционных материалов и конструкций. ИПМ РАН. 1997. - Т.З. - N4. - С.43-55.

405. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Тонкостенные осесимметричные конструкции из композиционных материалов (численный метод решения задач статики и динамики) // Механика композиционных материалов и конструкций. ИПМ РАН. 1984. - Т.4. - N1. - С.57-72.

406. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Устойчивость и динамика конструкций при начальных напряжениях // Механика композиционных материалов и конструкций. ИПМ РАН. 1988. - Т.4. - N2. - С.49-60.

407. Шаповалов JI.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1968. - №1. - С.56-62.

408. Математическая энциклопедия / Под ред. Виноградова A.M. М.: Изд-во "Советская энциклопедия", 1977. - т. 1.-1151с.

409. Уилкинсон Дж.Х., РайникК. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. - 389с.

410. Peano G. Integration par series des equations differentielles lineaires, Math.Ann. №32. (1888). - C.450-456.

411. Джонсон Д. Доказательство устойчивости метода Хубольта. РТиК. -1966. - т.4. - №8. - С.52-55.

412. Klein S., Sylvester R. The linear dynamic analysis of shells of revolution by the matrix displacement method. Proceeding of the I-st Conference on Matrix Method in Structural Mechanics, AFFDL. - TR 66-80, Wright Patterson AFB, -Ohio, 1995.-P.299-328.

413. Suryotomo H., Gould., Basu P. Direct dynamic analysis of shells of revolution using high-precision finite elements. Computers and Structures, Pergamon Press, 1997. - vol. 7. - P.425-433.

414. Андреев Л.В., Ободан Н.И. Устойчивость цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении / Изв. Вузов. Сер. Машиностроение. -1974. -№2. -С.30-32.

415. Кабанов В.В., Курцевич Г.И. Устойчивость цилиндрической оболочки при неосесимметричном давлении // Прикладная механика. 1977. - т. 13. -№1. - С.21-26.

416. Расчет элементов конструкций летательных аппаратов: Сб. статей / Под ред. В.В. Кабанова. М.: Машиностроение, 1982. - 137с.

417. Фомичев Ю.И. Применение метода конечных элементов к расчету прочности и устойчивости несимметрично нагруженных оболочечных конструкций. В кн.: Труды МФТИ. 25-ая научн. конф. МФТИ. 1975. М.: МФТИ, 1980. - с.7-8.

418. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1978. -431с.

419. Вибрации в технике. Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1978. - т.1. Колебания линейных систем / под ред. В.В. Болотина. - 1978. - 352с.

420. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. -576с.

421. Алфутов H.A., БалабухЛ.И. Энергетический критерий устойчивости упругих тел, не требующий определения начального напряженно-деформированного состояния // ПММ. 1968. - Т.32, вып. 1. - С.5-9.

422. Stain M. Some recent advances in the investigation at large deflections // AIAA. 1969. - №6. - P. 1182-1183.

423. Куршин JI.M. Равновесные состояния цилиндрических оболочек с начальными прогибами при сжатии // ПММ. 1969. - Т.ЗЗ. -Вып. 2. - С.35-39.

424. Попов Е.П. Симметричный изгиб кольца малой жесткости при сосредоточенных нагрузках // ПММ. 1939. - Т.З. - вып. 2. - С.26-32.

425. Arbocz I., Babkok C.D. The effect of general imperfections on the bucling of cylindrical shells || Trans. ASME. Ser.E. 1969. - №1. - P.

426. Da Deppo D.A., Schmidt R. Siderway bucling of deep circular arches under a concentrated load || Trans. ASME. Ser.E. 1969. - №2. - P.353-357.

427. Трелоар Л.Л. Физика упругости каучука. М.: Иноиздат, 1953. - 263с.

428. Смирнов В.И. Курс высшей математики. t.IV. - М.: Физматгиз, 1957. -357с.

429. Сухова Н.А. Особенности приближенного расчета резиновых элементов // Изв. Вузов. Сер. Машиностроение. 1974. - №1. - С.25-31.

430. Пономарев С.Д., БидерманВ.Л. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Т.Ш. -М.: Машгиз, 1958. 1118с.

431. Жуков А.Д. Расчет резино-металлических амортизаторов арочного (мостичного) типа // Расчеты на прочность. Сб. статей. Вып. 14. М.: Машиностроение, 1969. - С.53-58.

432. Бидерман В.Л., Мартьянова Г.В. О применении вариационного принципа Лагранжа к расчету деталей из несжимаемого материала // Известия вузов. Сер. Машиностроение. - 1973. - №6. - С.12-17.