Мультипликативные алгоритмы переноса краевых условий в задачах механики деформирования оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение и краткий обзор литературы.

Глава 1. Решение краевых задач локально нагруженных оболочек методом Годунова.

1.1. Алгоритм переноса краевых условий методом Годунова.

1.2. Система дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек.

1.3. Матричная каноническая форма представления дифференциальных уравнений.

Глава 2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и методы их решения.

2.1. Решение однородных дифференциальных уравнений методом Пикара.

2.2. Мультипликативный интеграл Вольтерра.

2.3. Матричный бином Ньютона.

2.4. Частное решение.

Глава 3.Перенос краевых условий мультипликативным методом.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Алгоритм переноса краевых условий при вычислении значений функций Коши-Крылова в направлении от произвольно выбранной точки краевого интервала.

3.2.1. Алгоритм переноса краевых условий.

3.2.2. Формулы для вычисления функций Коши-Крылова и частного решения.

3.3. Алгоритм переноса краевых условий при вычислении значений функций Коши-Крылова в направлении к произвольно выбранной точки краевого интервала.

3.3.1. Алгоритм переноса краевых условий.

-33.3.2. Формулы для вычисления функций Коши-Крылова и частного решения.

3.4. Ортонормирование краевых условий.

3.5. Контроль погрешностей метода и счета.

Глава 4.Исследование эффективности мультипликативного метода решения краевых задач.

4.1. Сравнительный анализ вычислительных процедур мультипликативного метода и метода Годунова.

4.2. Сравнение эффективности методов решения краевых задач осесимметричного деформирования оболочек.

4.3. Сравнение эффективности методов решения краевых задач деформирования оболочек силами.

Глава 5.Решение краевых задач локально нагруженных оболочек мультипликативным методом.

5.1. Решение краевых задач для изотропных и ортотропных цилиндрических, конических и сферических оболочек, нагруженных по участкам линий главных кривизн.

5.2. Решение краевых задач для слоистых ортотропных цилиндрических, конических, сферических и тороидальных оболочек, нагруженных по площадкам, ограниченными линиями главных кривизн оболочек и очерченными окружностями и эллипсами, оси которых совпадают с направлениями линий главных кривизн.

Проектирование крупногабаритных тонкостенных конструкций выбранной архитектуры сопровождается многовариантными расчетами при параметрических исследованиях их прочности, устойчивости и колебаний. Одним из способов решения проблем механики сплошных сред является вычислительный эксперимент. Он более доступный, дешевый и малозатратный по времени по сравнению с экспериментом физическим. В основе численного эксперимента лежат математические модели рассматриваемых явлений. Фундаментальные исследования, поиск решений проблем и оптимизация без математического моделирования и вычислительных экспериментов невозможны.

Математические модели явлений механики сплошных сред чаще всего выражаются в дифференциальной форме. Таким образом, если первой задачей решения проблем механики является построение математических моделей, наиболее полно отражающих происходящие явления, то второй, не менее важной и сложной, является задача построения методов параметрического анализа дифференциальных математических моделей.

В последнее время быстро развивается вычислительная техника, возрастают ее возможности. В связи с этим постоянно наращивается эффективность известных численных методов. Кроме этого строятся новые более эффективные методы.

Теоретические основы численных методов изложены в монографиях И.С. Березина, Н.П. Жидкова, И. Бабушки, Э. Витасека, М. Прагера, К. Бате, Е. Вилсона, Н.С. Бахвалова, Г.М. Кобельникова, П.М. Варвака, Л.П. Варвака, Д.В. Вайнберга, В.З. Ждана, С.К. Годунова, B.C. Рябенького, Э.И. Григолюка, В.И. Шалашилина, Б.П. Демидовича, ИА. Марона, А. Джорджа, Дж. Лю, О. Зенкевича, В.В. Иванова, JI.B. Контаровича, В.И. Крылова, А.Н. Крылова, JI. Коллатца, В.В. Бобкова, П.И. Монастырского, В.Д. Купрадзе, Д. Мак-Кракена, У. Дорна, Г.И. Марчука, С.Г. Михлина, Э. Митчелла, Р. Уэйта,

В.И. Мяченкова, В.П. Мальцева, Д. Одена, Дж.Ортеги, У. Пула, Б.Е. Победри, Р.Б. Рикардса, В. Ритца, Р. Рихтмайера, К. Мортона, A.A. Самарского, И.В. Свирского, Г. Стренга, Дж. Фикса, И. Чанга, К. Флетчера и др.

Широкое применение при создании высокопрочных и надежных конструкций находят изотропные и анизотропные слоистые оболочки, подвергающиеся действию неравномерно распределенных нагрузок и температурного поля. Для исследования прочности оболочек, используемых в качестве конструктивных элементов, требуется знание их напряженно-деформированного состояния, что приводит к необходимости разработки эффективных методов решения краевых задач теории оболочек.

Особое место занимают оболочки вращения, они находят широкое применение в качестве конструктивных элементов машин, летательных аппаратов, приборов, различных сооружений и т.д.

Основные теоретические результаты, полученные в теории оболочек, приведены в работах С.П.Тимошенко [279], В. 3. Власова [107], А.Л.Гольденвейзера [120], H.A. Кильчевского [Щ6], В.В.Новожилова [219], А.И. Лурье [196], И. Геккелера [116] и других авторов.

Изучение напряженно-деформированного состояния оболочек переменной жесткости при силовых и температурных воздействиях получило развитие в исследованиях Л.И. Балабуха [16], И.А. Биргера [34, 35], И.Н. Векуа [56], А.Д. Коваленко [169,170,171—173], К.Ф. Черных [296,297] и др.

Для решения краевых задач механики деформирования оболочечных конструкций используются прямые методы. Основополагающими в развитии прямых методов явились работы И.Г. Бубнова, Б.Г. Галеркина, В.З. Власова, П.Ф. Попковича, Ритца, С.П. Тимошенко и др. В работе [257] предлагается метод Ритца и дается его математическое обоснование. Этот метод получил свое развитие в работе С.П. Тимошенко [280], посвященной изучению устойчивости упругих систем. Большинство ранних работ, рассматривающих вопросы собственных колебаний и устойчивости, решались на основе метода Ритца. Прочностной расчет многослойных пластин с помощью метода Ритца выполняется в работе В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [37]. Там же методом Релея-Ритца определяются частоты собственных колебаний многослойных плит. Теоретическое обоснование вариационных методов и их численная реализация дается в книгах [113, 129, 212, 224]. Применение вариационных методов для расчета пространственных конструкций рассматривается в работе И.Ф. Образцова [224]. Использование вариационных методов для решения задач механики деформирования тонкостенных конструкций возможно при применении тех или иных методов декомпозиции и структурного способа организации вычислений. Один из таких методов и соответствующая ему вариационная формулировка смешанного типа предложены В.Н. Паймушиным [232]. Им построены вариационные формулы типа Рейснера, предназначенные для решения задач статики однослойных [233] и многослойных [235] оболочек.

Теоретические основы и определение области применения метода Бубно-ва-Галеркина изложены в монографиях [272, 290]. Метод получил широкое применение для расчета оболочек и тонкостенных конструкций на прочность, устойчивость и колебания. Этим методом решались краевые задачи в работах [182, 254].

Необходимо отметить, что в задачах определения напряженно-деформированного состояния при нестационарном нагружении методы Ритца и Бубнова-Галеркина, базирующиеся на глобальных базисных функциях, обладают существенными недостатками. Решения, получаемые с помощью этих методов, сильно зависят от конкретного вида базисных функций, аппроксимирующих перемещения.

Современным, широко распространенным на практике методом исследования механики деформирования оболочек и тонкостенных конструкций является метод конечных элементов (МКЭ). Фундаментальные результаты теории МКЭ получены в работах О.Зенкевича [156], С.Г. Михлина [211, 212], К. Ректориса [255], J.T.Oden [226]. В работах А.И. Голованова [122, 123],

М.С. Корнишина, В.И. Савинова [180] МКЭ использовался для расчета тонкостенных конструкций. Для расчета оболочек по уточненным теориям, учитывающим деформации сдвига и растяжения-сжатия в поперечном направлении, существенную анизотропию упругих свойств КЭ предложены в работах В.Н. Бакулина и В.И. Демидова [15], B.C. Кривцова [184], Р.Б. Рикардса[256].

Другим методом, который наряду с МКЭ принято называть универсальным, получившим широкое применение, является метод конечных разностей (МКР). Теоретическое обоснование МКР дано в работах С.К. Годунова, B.C. Рябенького [119], Л.В. Канторовича, В.Г. Крылова [164], A.A. Самарского [267]. Этим методом решались краевые задачи статики, устойчивости и колебаний пластин, оболочек и тонкостенных конструкций в работах Э.И. Григолюка , и В.М.Толкачева [134], В.И.Гуляева [144], М.А. Ильгамова, В.А.Иванова, Б.В. Гулина [161], Ю.В. Липовцева [194], В.И. Моссаковского [213]. Нелинейные задачи рассмотрены в работах [32, 33].

Достойное место в ряду других и особенно таких общепризнанных методов как МКР и МКЭ занимает метод граничных элементов (МГЭ) при решении задач теории упругости. Достоинствами МГЭ являются понижение размерности решаемой задачи за счет поиска неизвестных только на границе исследуемой области и возможность определения параметров напряженно-деформированного состояния во внутренних точках тела. Применение МГЭ оправдано, если фундаментальное решение имеет компактный явный аналитический вид. В противном случае возникают вычислительные трудности при численном решении граничных интегральных уравнений (ГИУ). Основой МГЭ является интегральное представление решения системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта. Впервые такое представление в теории потенциала было получено Г. Грином [127]. Применительно к задачам теории упругости В.Д. Купрадзе [190] ввел некоторые интегральные уравнения на основе упругих потенциалов простого и двойного слоя, доказал существование решений этих уравнений и предложил приближенный метод решения статических задач для однородных упругих тел. В работах В.З. Партона, П.И. Перлина [231] МГЭ на основе упругих потенциалов получил дальнейшее развитие. Прикладное значение интегрального представления решения уравнений статических задач трехмерной теории упругости определено в работах Cruse T.A., Rizzo F.J. [187, 188]. В монографии [25] суммируется опыт применения МГЭ в самых различных разделах механики.

Во многих работах отмечается, что комбинированные методы, основанные на подходе JI.B. Канторовича, показывают большую эффективность, чем универсальные. Преимущество появляется и в методах частичной дискретизации при конечно-разностной аппроксимации по одному из координатных направлений. Вариационно-разностный метод применен в работе В.Г. Баженова, Е.А. Журавлева [14]. Дифференциально-разностный метод (метод прямых) используется в трудах М.Б. Вахитова [52], Я.М. Григоренко, H.H. Крюкова [140], Ю.П. Петрова [239] и др. Комбинация МКР и метода конечных сумм (МКС), получившая название интегрально-разностного метода (ИРМ), изложена в работе В.А. Фирсова [287]. Дифференциальную форму МКЭ можно найти в работе [237].

Эффективными при решении краевых задач оказались методы, в которых двумерная задача сводится к одномерной путем разделения переменных методом Фурье, методом Канторовича, разностной аппроксимацией производных по одной из координат и другими способами. В результате математическая модель представляется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая затем интегрируются при помощи различных численных методов интегрирования, наибольшее распространенным из которых получили методы Рунге-Кутта различных степеней. Для численного решения краевых задач механики разработаны различные методы, сводящие решение краевой задачи к задаче Коши. Наиболее простым из них является метод начальных параметров. Этот метод использовался В.З. Власовым [106], JI.B. Андреевым и др. [6], A.A. Зотовым [158]. Примеры использования метода начальных параметров можно найти в работе [47]. Однако, как отмечается в работах [30, 47, 118] этот метод является неустойчивым при счете для решения жестких дифференциальных уравнений. Широкое распространение получили и так называемые методы переноса краевых условий, в основе которых лежат численные пошаговые методы интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер [11] отмечают, что при интегрировании жестких дифференциальных уравнении возникают вычислительные трудности, связанные с неустойчивостью счета. Для преодоления этих трудностей, были разработаны специальные методы: факторизации И.М. Гельфанда и О.В. Локуциевского [117] и встречной прогонки

A.A. Абрамова [2]. Первый метод проще в реализации, но не всегда обеспечивает устойчивость счета. Особенно это проявляется при решении задач устойчивости и колебаний оболочек. Недостатком метода Абрамова, который всегда устойчив при решении краевых задач механики, описываемых жесткими дифференциальными уравнениями, является увеличение в два раза порядка разрешающей системы дифференциальных уравнений с появлением сложных математических функций в преобразованных правых частях уравнений и, следовательно, неоправданным ростом времени счета и необходимой оперативной памяти ЭВМ. При этом также теряется простой и понятный физический смысл входящих в разрешающую систему уравнений неизвестных. Наибольшее распространение для решения краевых задач для жестких линейных обыкновенных дифференциальных уравнений теории пластин, оболочек и тонкостенных конструкций получил метод ортогональной прогонки, предложенный С.К. Годуновым [118]. Метод Годунова получил свое развитие применительно к решению задач прочности, устойчивости и колебаний в работах

B.Л. Бидермана [29], В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова [37], Я.М. Григоренко,

A.Т. Василенко, Е.И. Беспаловой [142], В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева,

B.П.Мальцева [66, 214, 215] и др. На основе этого метода были созданы и опубликованы пакеты прикладных программ для решения краевых задач теории оболочек и механики деформирования тонкостенных конструкций. Необходимо отметить, что методы переноса краевых условий при смене последних требуют повторного интегрирования дифференциальных уравнений. То есть требуется заново решать переопределенную краевую задачу для прежней конструкции. В задачах устойчивости и колебаний при определении собственных значений необходимо многократно решать одну и ту же задачу полностью при вычислении нуля определителя для каждого собственного значения. Необходимость проведения процедуры ортогонализации при решении задачи существенно зависит от геометрических параметров, характеризующих тонкостенную конструкцию. Критическая длина интервала устойчивого счета определяется численным экспериментом при изменении параметров жестких дифференциальных уравнений. Не поддаются строгому математическому контролю и погрешности счета, которые также контролируются численным экспериментом при параллельном счете с уменьшением шага интегрирования.

Различные методы решения краевых и начально-краевых задач на ЭВМ совершенствуются и развиваются в следующих направлениях. Универсальные МКЭ и МКР используются при создания программных комплексов для решения линейных и нелинейных многомерных задач параметрического анализа в автоматическом режиме механики сплошных сред путем распараллеливания алгоритма и организации вычислительного процесса в диалоговом режиме с использованием многопроцессорной техники и использованием для решения поставленной задачи различных методов (МКЭ, МКР, итерационных процессов и т.д.), с обработкой многомерных массивов данных и визуализацией результатов счета. Развитие идет в направлении моделирования универсальными методами явлений и объектов с учетом возможно большего количества параметров влияния. Комплексы совершенствуются в направлении расширения их возможностей, упрощения использования. В то же время мало внимания уделяется проблеме контроля за погрешностями счета.

Методы переноса краевых условий, дифференциально-разностный и другие, основанные на численных методах интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, являются менее универсальными и развиваются медленнее. В работах O.A. Дмитриевой [150] строятся новые алгоритмы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности. Предлагается параллельное вычисление интеграла на начальном отрезке (разгонном участке) для блочных многошаговых методов. В работе A.B. Копылова и Е.Б. Кузнецова [177] формулируются условия однозначной разрешимости начальной задачи для смешанного дифференциально-разностного уравнения, и рассматривается вопрос оптимальной параметризации его решения. Однако при совершенствовании и этих методов проблеме контроля за погрешностями счета так же уделяется мало внимания.

За всю историю существования методов решения краевых задач теории оболочек, которая является фундаментом для строительной механики тонкостенных конструкций, важнейшим стимулом для развития строительной механики являлось стремление к весовому совершенству тонкостенных конструкций. Основная проблема теории пластин и оболочек - совершенствование известных и построение новых математических моделей их деформирования. Главным образом, исследования направлены на совершенствование математических моделей с целью наилучшего отражения реального поведения оболочек и, следовательно, составленных из них тонкостенных конструкций. В то же время совершенствование известных и построение новых более эффективных методов решения краевых задач теории пластин, оболочек и тонкостенных конструкций остается не менее важной фундаментальной проблемой. Она тесно связана с постоянным совершенствованием математических моделей их деформирования.

Когда вычислительная техника была еще слабой, исследования математических моделей механики деформирования пластин, оболочек и тонкостенных конструкций развивались в направлении построения приближенных теорий (безмоментных, полубезмоментных, асимптотических с расчленением напряженного состояния на безмоментное, чисто моментное и краевой эффект и др.) с определением областей их применимости. Такое развитие исследований было продиктовано необходимостью решения прикладных краевых задач теории оболочек и механики деформирования тонкостенных конструкций, находящих применение в строительстве летательных аппаратов, снижение веса которых было первостепенной задачей. Теоретическое обоснование приближенных методов решения краевых задач изложено в работах О. Блюменталя, В.В. Болотина, В.З. Власова, И.И. Воровича, В. Вазова, М.И. Вишика, Т.В. Виленской, Н.В. Геккелера, A.JI. Гольденвейзера, В.М. Даревского, В.М. Корнеева, А. Лява, JI.A. Люстерника, H.H. Моисеева, В.В. Новожилова, В.Ю. Ольшанского, П.Е. Товстика, В.Е. Хроматова, В.И. Феодосьева, Г.Н. Чернышева, К.Ф. Черных и др. Итоги развития асимптотических методов подведены в монографии И.Ф. Образцова, Б.В. Нерубайло, И.В. Андрианова.

Несмотря на то, что были получены аналитические решения дифференциальных уравнений линейной моментной теории механики деформирования оболочек, например, замкнутых в окружном направлении, они не использовались для решения прикладных краевых задач. Причиной являлось слишком большое число вычислительных операций, требуемых для их решения, такое, что выполнить эти операции вручную не представлялось возможным, а счет на ЭВМ был неустойчивый.

С увеличением быстродействия ЭВМ и ростом оперативной памяти начали развиваться известные и строится новые более эффективные численные методы с устойчивым счетом и контролируемой погрешностью для решения краевых задач механики деформирования пластин, оболочек и тонкостенных конструкций [84, 89, 91,98,101-104]. При этом быстро определились главные проблемы: простота реализации методов, универсальность их для решения многообразных краевых задач, устойчивость счета, скорость счета и контроль за погрешностями в результатах счета.

Отметим дополнительно природу наиболее распространенных численных методов. Конечно-разностные методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений используют конечно-разностные аппроксимации производных. В основе других, например, метода конечных элементов, метода Бубнова-Галеркина, метода Рэлея-Ритца лежат попытки аппроксимировать решения дифференциальных уравнений конечными линейными комбинациями заданных функций: полиномов, тригонометрических функций, сплайн-функций и т. п. Во всех случаях, в конечном итоге, задача сводиться к решению системы линейных алгебраических уравнений. Хотя для них системы строятся по узловым точкам заданного интервала изменения аргумента, природа решений этих систем совершенно различная. В конечно-разностных методах - это приближения к значениям решения дифференциального уравнения в точках сетки. В других же - это коэффициенты представления приближенного решения.

В смешанных численных методах, например, дифференциально-разностных; численно-аналитических, таких как метод граничных элементов и других, используется различная природа известных подходов с целью объединения их свойств для повышения эффективности решения специализированных задач. Отметим, что прогресс в области построения мощных программных средств не означает, что необходимость в менее сложных специализированных и простых методах отпадает. Проблема создания эффективных численных методов остается актуальной и сейчас и в будущем, И.И. Ворович, A.C. Юдин, В.Г. Сафроненко [111]. Помимо теоретической ценности в части обогащения известных методов методами с иной природой, относительно простые численные методы необходимы для тестирования более сложных, поскольку формализованных доказательств правильности функционирования сложных программ на допустимом поле входных данных не существует. Практика решения краевых задач показывает, что проблемой остается оценка погрешностей при определении напряженно-деформированного состояния пластин, оболочек и тонкостенных конструкций при концентрации напряжений. Избежать этого явления в конструкциях невозможно. Невозможно, например, избежать передачи усилий локально приложенными и часто близкими к сосредоточенным нагрузками. Особенно актуальными такие задачи являются для тонкостенных конструкций из композиционных материалов. После определения потока внутренних сил в сложных пространственных конструкциях с помощью мощных вычислительных комплексов на основе универсальных методов требуется уточненный расчет отдельных наиболее нагруженных тонкостенных элементов конструкций с помощью простых численных методов, погрешности счета которыми поддаются надежному контролю.

Таким образом, актуальной проблемой является совершенствование алгоритмов и вычислительных процедур известных методов, построение на новой теоретической основе и достаточно просто реализуемых численных специализированных методов, эффективных малыми затратами машинного времени, требованиями к оперативной памяти ЭВМ и позволяющих получать результаты счета с априорно контролируемой погрешностью.

Целью работы являются анализ эффективности решения различными методами линейных обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек, построение эффективных мультипликативных алгоритмов переноса краевых условий и решения класса задач о локальном нагру-жении оболочек.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Дана оценка эффективности решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек на основе методов последовательных приближений Пикара, на основе определения интеграла по Вольтерра, бинома Ньютона и порожденных ими общей формулы.

2. Построены эффективные мультипликативные алгоритмы переноса краевых условий в произвольную точку краевого интервала, когда вычисление значений функций Коши-Крылова для дифференциальных уравнений различными методами выполняется в направлениях от произвольно выбранной точки или к ней.

-153. Построенные алгоритмы позволяют априорно оценивать погрешности муль типликативного метода и контролировать погрешности счета. 4. Выполнены исследования механики деформирования изотропных, ортотроп-ных слоистых цилиндрических, конических, сферических и тороидальных локально нагруженных по участкам линий главных кривизн, площадкам, очерченным линиями главных кривизн оболочек, и по площадкам, очерченным окружностями и эллипсами, оси которых совпадают с направлениями линий главных кривизн оболочек.

Достоверность основных научных результатов обеспечивается строгостью математических выкладок, доказательством сходимости решений для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислительными экспериментами и сравнением результатов решения краевых задач механики деформирования оболочек при локальном нагружении с известными.

Прикладная ценность работы состоит в:

- построении эффективных простых в реализации алгоритмов переноса краевых условий при решении краевых задач, которые позволяют сократить затраты машинного времени на два порядка.

- математических априорных оценках погрешностей, которые вносит в результаты метод.

- исследовании концентрации напряжений в оболочках при локальных нагру-жения.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Корректность математических моделей механики деформирования орто-тропных слоистых оболочек.

2. Эффективность вычисления по формулам значений функций Коши-Крылова - решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Эффективность мультипликативных алгоритмов переноса краевых условий.

4. Вычислительные эксперименты сравнительного анализа эффективности построенных алгоритмов решения краевых задач.

-165. Корректность решения класса краевых задач механики деформирования локально нагруженных оболочек.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 2000), конференции, посвященной 40-летию кафедры "Аэрокосмические системы" (СМ-2) МГТУ им. Баумана (Москва, 2000), конференции "Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы" (Москва, 2001), XI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Истра, 2001), Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), 4-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецк, 2001), XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 2002).

По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения и краткого обзора литературы, 5 глав и заключения. Она изложена на 176 страницах машинописного текста. Список аннотированной литературы представлен 307 работами отечественных и зарубежных авторов.

-147-Заключение

1. Освоен метод Годунова переноса краевых условий для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек, который использовался для оценки сравнительной эффективности с переносом краевых условий мультипликативным методом при решении краевых задач локально нагруженных оболочек. •;■■/"

2. Повторным выводом тестированы уравнения механики деформирования слоистых ортотропных оболочек, полученные Я.М. Григоренко. Обнаружено и исправлено 14 существенных неточностей соответствующих уравнений в книгах [135, 137] . Достоверность уточненных результатов подтверждена совпадением с аналогичными для изотропных оболочек, полученных В.Л. Бидерманом в книге [31]. Они получены предельным переходом из уточненных уравнений Я.М. Григоренко.

3. Впервые использованы формулы для определения решения однородных линейных дифференциальных уравнений механики деформирования оболочек в виде матричного ряда Тейлора. Вычислительными экспериментами показана их эффективность.

4. Построены новые формулы определения частного решения для обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывая их мультипликативную структуру.

5. Развиты мультипликативные алгоритмы переноса краевых условий в произвольную точку краевого интервала для решения краевых задач.

6. Вычислительными экспериментами с использованием формул для определения функций Коши-Крылова для линейных обыкновенных дифференциаль- ' ных уравнений на основе метода последовательных приближений Пикара, определении интеграла по Вольтерра, бинома Ньютона и порожденной ими универсальной формулы показано, что по сравнению с методам Годунова с использованием метода Рунге - Кутта интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений построенные алгоритмы мультипликативного метода переноса краевых условий проще в реализации на один - два порядка сокращают затраты машинного времени, требования к оперативной памяти ЭВМ и, что особенно важно, позволяют априорно контролировать погрешности метода и погрешности счета.

7. Получено решение класса задач механики деформирования изотропных, ор-тотропных, слоистых ортотропных цилиндрических, конических, сферических и тороидальных оболочек, локально нагруженных по участкам линий главных кривизн, по площадкам, очерченным линиями главных кривизн, и по площадкам, очерченным окружностями и эллипсами, оси которых совпадают с направлениями линий главных кривизн. Решения получены для многообразия параметров реально используемых оболочек. Построены графики локализации напряжений, которые могут использоваться для оценки прочности оболочек. Пакет прикладных программ позволяет решать краевые задачи механики деформирования оболочек с заданными параметрами нагрузки и, следовательно, позволяет определять локальную прочность оболочек классических форм.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П., Савченков В.И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. -Красноярск: Изд-во Красноярского университета, 1986. 383 с.

2. Абрамов A.A. О переносе граничных условий для систем линейных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки)// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961. -Т.1. -№3. С. 542-545.

3. АлфутовН.А., Попов Б.Г. Использование операторных матриц для расчета трехслойных цилиндрических оболочек, подкрепленных шпангоутами// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1977. -№3. -С.74-80.

4. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. -263 с.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. -М.: Наука, 1987. -360 с.

6. Андреев JI.B., Зюзин В.А., Муляр Ю.М. Применение метода начальных параметров к расчету сложных оболочечных конструкций// Гидроаэромеханика и теория упругости. -Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского университета, 1971.-С. 17-23.

7. Андреев JI.B., Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. -М.: Наука, 1988. -208 с.

8. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Исследования изгиба пластин сложной формы под действием температурного поля и нормального давления методом граничных элементов// Прикладные задачи напряженного состояния упругих тел, Саратов, 1987. -С.50-54.

9. Бабушка И., ВитасекЭ., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1969. -368 с.

10. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. О конечно-разностном решении волновых уравнений теории оболочек типа Тимошенко// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюз. межвуз. сб./Горьковский университет, Горький, 1981. -С.41-50.

11. Баженов В.Г., Шинкаренко А.П. Вариационно-разностный метод решения двумерных задач динамики упругопластических оболочек// Прикладные проблемы прочности и пластичности, Горький, ГГУ, 1976. -Вып. 9 -С. 14-21.

12. Баженов В.Г., Журавлев Е.А. Вариационно-разностный метод решения нелинейных осесимметричных задач динамики слоистых оболочек// Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1979. -Вып. 13. -С.36-45.

13. БакулинВ.Н., Демидов В.И. Трехслойный конечный элемент естественной кривизны// Изв. ВУЗов Машиностроение, 1978. -№5. -С. 15-20.

14. БалабухЛ.И. Изгиб и кручение конической оболочки. В кн.: Труды ЦАГИ, 577. 1946.

15. Бате К.: ВилсонЕ. Численные методы анализа и метод конечных элементов. -М.: Стройиздат, 1982. -494 с.

16. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1984. -496 с.

17. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами// ДАН СССР, 1975. -Т.221. -№3. -С.516-519.

18. Бахвалов Н.С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными и с быстро осциллирующими коэффициентами// ДАН СССР, 1975. -Т.225. -№2. -С.249-252.-15121. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987.-600с.

19. Безухов Н.И. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур. -М.: Машиностроение, 1965.

20. БеллманР. Динамическое программирование. -М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

21. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1976. -352 с.

22. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках.-М.: Мир, 1984.-494 с.

23. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. -М.: Физматгиз, 1962. -Т.1.-464 с.

24. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. -М.: Физматгиз, 1962. -Т.2.-635 с.

25. Бидерман B.JI. Применение метода прогонки для численного решения задач строительной механики// Изв. АН СССР Механика твердого тела. -М.: 1967. -№5. -С.62-66.

26. Бидерман B.JI. Некоторые вычислительные методы решения задач строительной механики, приводимых к обыкновенным дифференциальным уравнениям. -В кн.: Расчеты на прочность. -М.: Машиностроение, 1976. -С.8-36.

27. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций. -М.: Машиностроение, 1977. -488с.

28. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1972.-416 с.

29. Бинкевич Е.В., Дудник И.Ф., Савченко В.А. К расчету цилиндрической оболочки с жесткой площадкой нагружения// Сопротивление материалов и теория сооружений. -Киев: Бущвельник, 1973. -Вып.31. -С.17-23.

30. Бинкевич Е.В., Савченко В.А. К расчету цилиндрических оболочек переменной толщины// Прикладная механика, 1973. -Т.9. -Вып.5. -С.15-20.

31. Биргер И.А. Некоторые математические методы решения инженерныхзадач. -М.: Оборонгиз, 1956. -152 с.

32. БиргерИ.А. Круглые пластины и оболочки вращения. Оборонгиз -М.: 1961.

33. Биргер И.А. Стержни, пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1992. -392 с.

34. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980.-375 с.

35. Бреббия К.: Теллес Ж., Броубел Л. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987.-524 с.

36. Бреббия К.: Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. -М.: Мир, 1982.-248с.

37. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. -М.: Наука, 1986. -С.544с.

38. Бублик Б.Н. Численное решение задач динамики пластин и оболочек. -К.: Наукова думка, 1969. -147 с.

39. БуриевТ. Применение разностных схем повышенной точности к решению краевых задач оболочек, плит, стержней и балок// Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент, 1984. -№75. -С.51-62.

40. Бурман З.И. и др. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек. -М.: Машиностроение, 1982. -256 с.

41. Быков Е.В., Попов Б.Г. Конечный элемент многослойной оболочки// Изв, ВУЗов Машиностроение, 1984. -№10. С. 14-17.

42. Вазов В.Р., Форсайт Г.Е Разностные методы решения дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1969.

43. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988.-272с.

44. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. -М.: Машиностроение, 1976. -278 с.

45. Ван Тассел Д. Стиль, разработка, эффективность, отладка и испытание программ.-М.: Мир, 1985.-332 с.-15349. Вайнберг Д.В., ЖданВ.З. Матричные алгоритмы в теории оболочек. -К.: КГУ, 1967.-165 с.

46. Варвак П.М.: Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М.: Стройиздат, 1977. -159 с.

47. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Расчет оболочек. -К.: Изд-во Госстрой-издат УССР, 1961.-119 с.

48. Вахитов М.Б., Сафарнев М.С., Халилулин В.И. Расчет консольных пластин методом прямых// Труды КАИ, -Вып. 166. -Казань, 1974. -С.52-61.

49. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы аппарат численного решения дифференциальных уравнений строительной механики// Изв. ВУЗов. Авиационная техника, 1966.-№3.-С.50-61.

50. Вахитов М.Б., ФирсовВ.А. Численные методы решения одномерных задач строительной механики летательных аппаратов. -Казань: КАИ, 1985. -66 с.

51. Вахитов М.Б., Халилулин В.И., Рахманкулов Н.У. К расчету составных конструкций летательных аппаратов// Сб. научных трудов. -Харьков, 1984. -Вып.7. -С.46-53.

52. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины. В кн.: Труды Тбилисского математического института, 30. 1965.

53. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. -М.: Наука, 1982. -286 с.

54. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. -М.: -Л.: Гостехиздат, 1948.-296с.

55. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциалов в некоторых задачах прикладной механики. -К.: Вища школа, 1978. -183 с.

56. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Метод решения краевых задач механики деформирования пластин и оболочек для дифференциальных уравнений только с четными производными// Докл. РАН, 1993. -Т.330. -№1. -С.41-42.

57. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Совершенствование метода прогонки Годунова для задач строительной механики// Изв. РАН Механика твердого тела, 1994.-Ш.-С. 187-191.

58. Виноградов А.Ю. Дискретный аналог метода Гельфан-да-Локуциевского для краевых задач теории оболочек и пластин// Труды XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань: Изд-во КГТУ, 1995.

59. Виноградов А.Ю. Численное моделирование краевых условий в задачах деформирования тонкостенных конструкций из композиционных материалов// Механика Композиционных Материалов и Конструкций, 1995. -Т.1. -№2. -С.139-143.

60. Виноградов А.Ю. Модификация метода Годунова// Труды Международной научно-технической конференции "Современные проблемы машиноведения", Гомель: ГПИ им. П.О. Сухого, 1996. -С.39-41.

61. Виноградов А.Ю. Метод решения краевых задач путем переноса условий с краев интервала интегрирования в произвольную точку// Тез. докладов Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек", Казань, 2000.-С. 176.

62. Виноградов Ю.И., Виноградов А.Ю., Гусев Ю.А. Метод переноса краевых условий для дифференциальных уравнений теории оболочек// Тез, докладов Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек", Казань, 2000. -С. 177-178.

63. Виноградов Ю.И., Виноградов А.Ю., Гусев Ю.А. Метод переноса краевых условий для дифференциальных уравнений теории оболочек// Труды Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек", Казань, 2000. -С. 128-132.

64. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Метод переноса краевых условий функциями Коши-Крылова для жестких линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// ДАН РФ, 2000. -Т.373. №4. -С.474-476.

65. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Функции Коши-Крылова и алгоритмы решения краевых задач теории оболочек// ДАН РФ, 2000. -Т.375. -№3. -С.ЗЗ 1-333.

66. Виноградов А.Ю., Гусев Ю.А. Перенос краевых условий функциями Ко-ши-Крылова в задачах строительной механики// Тез. докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001. -С. 109-110.

67. Виноградов Ю.И., Виноградов А.Ю. Перенос краевых условий функциями Коши-Крылова// Тез. докладов Международной конференции "Dynamical System Modeling and Stability Investigation"-"DSMSI-2001", Киев, 2001.-С.

68. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И., Гусев Ю.А, Клюев Ю.И. Перенос краевых условий функциями Коши-Крылова и его свойства// Изв. РАН МТТ, №2. 2003. -С.155-161.

69. Виноградов А.Ю. Дифференциально-разностный метод и его возможности// Тез. докладов 4-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование", Новокузнецк, -Т.2. 2001. -С.31-34.

70. Виноградов Ю.И. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки при сосредоточенном нагружении// Изв. ВУЗов Машиностроение. -М.: 1973. -№11.-С.5-9.

71. Виноградов Ю.И., Клюева Г.П. Матричный алгоритм численного метода решения задач о локальном и сосредоточенном нагружении оболочек вращения. -В кн.: Расчет тонкостенных элементов конструкций. Труды МВТУ. -1976. -№206. -С.67-77.

72. Виноградов Ю.И. Жесткость цилиндрических оболочек при локальном нагружении. -В кн.: Жесткость машиностроительных конструкций: Тез, докладов Всесоюзной научно-технической конференции. -Брянск: 1976. -С.47-51.

73. Виноградов Ю.И., Громыко О.В. Исследование жесткости многослойных анизотропных пластин при локальных воздействиях. -В кн.: Механика конструкций из композиционных материалов: Тез. докладов III Всесоюзного симпозиума. -Ереван: 1979. -С.82-83.

74. Виноградов Ю.И. Особенности одного метода решения задач о локальном нагружении замкнутых оболочек// Изв. АН СССР МТТ. -М.: 1980. -№3. -С. 188.

75. Виноградов Ю.И., Громыко О.В. Матричный алгоритм одного метода решения задач о локальном нагружении пластин и оболочек// Изв. АН СССР МТТ. -М.: 1980. №3. -С.188.

76. Виноградов Ю.И., Бакулин В.Н. Эффективный метод численного исследования локально нагруженных оболочек. -В кн.: Пятый национальный конгресс по теоретической и прикладной механике: Тез. докладов. -Варна, 1985.-С.593.

77. Виноградов Ю.И. Изгиб оболочки и методы его вычисления при сосредоточенном нагружении. -В кн.: Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: Тез. докладов. -Ташкент, 1986. -С. 167.

78. Виноградов Ю.И., Булашевич А.Ю. Напряженно-деформированное состояние конической оболочки, нагруженной сосредоточенными силами// Проблемы прочности. -К.: 1987.-№8. -С.80-84,

79. Виноградов Ю.И. Исследование поведения балок, пластин и оболочек при сосредоточенном нагружении эффективными численными методами. -В кн.: 1-я конференция по механике: Доклады. -Прага, 1987. -С.25-30.

80. Виноградов Ю.И. Методы вычислений и построение алгоритмов решения краевых задач строительной механики// Докл. АН СССР, 1988. -Т.298. -№2. -С.308-313.

81. Виноградов Ю.И., Кочемасова Е.И. Новый метод и алгоритм решения задач теории пластин и оболочек. -В кн.: XIV Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин: Доклады. -Кутаиси, 1987. -С.303-308.

82. Виноградов Ю.И. О некоторых методах решения задач локального деформирования пластин и оболочек// АН УССР ФХММ. -Львов, 1988. -№2. -С.37-44.

83. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Нелинейное деформирование многослойных оболочек при кубической аппроксимации тангенциальных перемещений// Механика композиционных материалов и конструкций. ИПРИМ РАН. -1997.-Т.З.-№4.-С.43-55.

84. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Тонкостенные осесимметричные конструкции из композиционных материалов (численный метод решения задач статики и динамики)// Механика композиционных материалов и конструкций. ИТТРИМ РАН. -1984. -Т.4. -№1.-С.57-72.

85. Виноградов Ю.И., Клюев Ю.И. Устойчивость и динамика конструкций при начальных напряжениях// Механика композиционных материалов и конструкций. ИТТРИМ РАН. -1998. -Т.4. -№2. -С.49-60.

86. Власов В.З. Избранные труды, -М.: Изд-во АН СССР, 1962. -Т.1. -528 с.

87. Власов В.З. Контактные задачи теории оболочек и тонкостенных стержней//Изв. АН СССР. -ОТН, 1949. -Т.6. -С.18-26.

88. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. -М.: Гостехиздат, 1949. -784с.

89. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. -М.: Гостехиздат, 1958. -472 с.

90. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -512с.

91. Гаврюшин С.С., Коровайцев A.B. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ. -М.: Изд-во ВЗПИ, 1991.-159с.

92. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. -М.: Наука, 1971. -248 с.

93. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984. -428 с.

94. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1988. -548 с.

95. Геккелер И. Статика упругого тела. ОНТИ, 1934.

96. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод "прогонки". Дополнение к книге С.К. Годунова, B.C. Рябенького Введение в теорию разностных схем. -М.: Физматгиз, 1962.-С.283-309.

97. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Успехи математических наук, 1961.-Т. 16.-Вып.3.(99).-С.171-174.

98. Годунов С.К.: Рябенький B.C. Разностные схемы. -М.: Наука,1973. -400 с.

99. Гольденвейзер АЛ. Теория упругих тонких оболочек. -М.: Наука, 1976. -510 с.

100. Гольденвейзер А.Л. К вопросу о расчете оболочек на сосредоточенные силы// Прикладная математика и механика. -Т.8. -№2. 1954. -С. 181-186.

101. Голованов А.И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Способы построения//Прикладные проблемы прочности и пластичности. -Н. Новгород, 1991. -С.58-65.

102. Голованов А.И. Расчет составных оболочек произвольной геометрии// Проблемы механики оболочек. -Калинин: 1988. -С.33-40.

103. Голованов А.И., КорнишинМ.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. -Казань: Казанский физико-технический институт, 1989.-269 с.

104. Горбачев К.П., Попов А.Н., Восковщук Н.И., Уложенко А.Г. Вариационно-разностная версия метода конечных элементов. -Владивосток: Изд-во Дальневосточного университета, 1987. -150 с.

105. Горшков С.П., Корольков С.С., МяченковВ.И. Автоматизация конструирования и прочностных расчетов оболочечных конструкций// Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1989. -Вып. 29.

106. Green G. An assay on the application of mathematical analyses to the theory of electricity and magnetism// Nottingham, 1928.

107. Грибанов В.Ф., Крохин И.А., Паничкин Н.Г., Санников В.M., Фоми-чев Ю.И. Прочность, устойчивость и колебания термонапряженных оболочечных конструкций. -М.: Машиностроение, 1990. -363 с.

108. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. -М.: Наука, 1978. -360 с.

109. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. -М.: Машиностроение, 1988. -288 с.

110. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. -М.: Наука, 1988. -231 с.

111. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. О расчете цилиндрических оболочек, загруженных по линиям// Прикладная математика и механика, 1967. -Т.31. -Вып.6.-С.1141-1146.

112. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Равновесие цилиндрических оболочек, нагруженных по линиям. -В сб. Исследование по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казанского университета. -Вып.6-7, 1970. -С.304-312.

113. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек.-М.: Машиностроение, 1980.-415 с.

114. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. -К.: Наукова думка, 1973. -288 с.

115. Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек методом численногоанализа// Прикладная механика. -К.: 1978. -Т.20. -№10. -С.3-22.

116. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек.-М.: Наука, 1992.-336 с.

117. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -К.: Наукова думка, 1987. -216с.

118. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. -К.: Наукова думка, 1988. -261с.

119. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Решение линейных и нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек на основе метода линий// Прикладная механика, 1993. -№4.-С.З-11.

120. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. -К.: Вища школа, 1983. -286 с.

121. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Беспалова Е.И. и др. Численное решение краевых задач статики ортотропных оболочек с переменными параметрами.-К.: Наукова думка, 1975.-183 с.

122. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наукова думка, 1987. -216 с.

123. Гуляев В.И., Баженов В.А., ГоцулякЕ.А. Устойчивость нелинейных механических систем. -Львов: Вища школа, 1982. -225 с.

124. Гурьянов Н.Г. Замкнутая цилиндрическая оболочка под действием сосредоточенной силы// Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 1970. -№6. -С.29-36.

125. Dabrowski Otton, Szmigielski Roman. Solution of shallow shells by boundary element method. Problem of corners. -Mrch. teor.: Stosow. -1988, 26, №4. -P.603-610.

126. Демьянович Ю.С. К вопросу об изгибе цилиндрической оболочки сосредоточенной силой. -В сб. Исследование по упругости и пластичности. -JL: Изд-во ЛГУ, 1968.-Вып.2.-С.121-131.

127. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. -М.: Мир, 1984. -309 с.

128. Жигалко Ю.П. Расчет тонких упругих цилиндрических оболочек на локальные нагрузки (обзор литературы, метод и результаты). -В сб. Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казанского университета, 1966. -Вып.4. -С.3-41.

129. Жигалко Ю.П. Статика оболочек при силовых локальных воздействиях. -В сб. Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казанского университета, 1975.-Вып.11.

130. Жигалко Ю.П., Гурьянов Н.Г. Свободно опертая цилиндрическая оболочка под действием локальных нагрузок// Исследования по теории оболочек и пластин. -Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 1963, -№3. -С. 17-24.

131. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механики сплошных сред. -М.: Недра, 1974. -240 с.

132. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Перевод с английского. -М.: Мир, 1975.-544 с.

133. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986. -318с.

134. Зотов A.A. К расчету оболочек вращения методом прогонки// Прикладные методы расчета строительной механики, экспериментальные исследования. -М.: Изд-во МАИ, 1982. -С23-29.

135. Иванов В.В. Методы-вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. -К.: Наукова думка, 1986.-5 84с.

136. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. -М.: Наука, 1988.-160 с.

137. Ильгамов М.А., Иванов R.A., ГулинБ.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. -М.: Наука, 1977. -351 с.

138. Калиткин H.H. Численные методы. -М.: Наука, 1978. -512с.

139. Kamenskii G.A., Myshkis A.D. On the mixed type functional-differential equations// Nonlinear Analysis. TMA. -1887/ -V.30 , No.5, pp.2577-2584.

140. Канторович JI.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: -Л.: Физматгиз, 1962. -695 с.

141. Кармишин A.B., Лясковец В.А., Мяченков В.П., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. -М.: Машиностроение, 1975.-375 с.

142. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. Изд-во АН УССР, К.: 1963.

143. Кильчевский H.A. О расчете оболочек на сосредоточенные воздействия// Строительная механика и расчет сооружений, 1963. -Вып.4. -С.6-8.

144. Климанов В.П., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. -291 с.

145. Коваленко А.Д. Пластины и оболочки в роторах турбомашин. Изд-во АН УССР, К.: 1955.

146. Коваленко А.Д. Напряженное состояние вращающейся конической оболочки с толщиной стенки, изменяющейся по линейному закону. Инж. сборник, 1951,9.

147. Коваленко А.Д. и др. Расчет конических оболочек при антисимметричных нагрузках. "Наукова думка", -К.: 1966.

148. Коллатц JI. Задачи на собственные значения. -М.: Наука, 1986. -503 с.

149. Conte S.D. The numerical solution of linear boundary vaiue problems. -Siam Review, 1966.-Vol.8.

150. Коноплев Ю.Г. Устойчивость цилиндрических панелей. -Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 1976. -20 с.

151. Корнеев В.Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости// Известия ВНИИГ: Сборник, -Л.: 1967. -Т.83. -С.81-87.

152. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1984. -831 с.

153. Корнишин М.С., Савинов В.И. Расчет гибких составных конструкций методом суперэлементов// Прочность и устойчивость оболочек, -Казань: 1986. -Вып. 19. -4.1. -С.84-102.

154. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. -М,: Наука, 1989. -208 с.

155. Котов Е.А. Построение базисных функций для решения осесиммет-ричных задач нелинейной теории оболочек вращения методом Бубно-ва-Галеркина, -В кн.: Прочность материалов и элементов судовых конструкций, -Л.: Наука, 1985. -С.50-57.

156. Крауч С., Старфилд С. Методы граничных элементов в механике твердого тела.-М.: Мир, 1987.-328 с.

157. Кривцов B.C. Численный анализ напряженного состояния слоистых анизотропных оболочек// Теория автоматизированного проектирования. -Харьков: 1981.-Вып.З.-C.l 19-122.

158. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. -JL: АН СССР, 1931. -154с.

159. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский Т.Н. Вычислительные методы.-М.: Наука, 1976.-Т.1.-304с.

160. Cruse Т.A., RizzoF.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem, -Int. J, Math. Anal. Appics, 1968. 22. -P.244-259.

161. Cruse T.A., Rizzo F.J. (eds.) Boundary integral equations method; computational applications in applied mechanics. ADM 11. -New York: Am Soc. Mech/ Engrs, 1975.

162. Кукуджанов B.H., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого тела// Проблемы динамики упругопластических сред. -М.: Мир, 1975.-С.39-84.

163. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости, -М.: Физматгиз, 1963.-472 с.

164. Куранов Б.А., Гусев С.С., Применение метода суперэлементов для расчета сложных машиностроительных конструкций// Расчеты на прочность. -М.: Машиностроение, 1983. -Вып.26. -С. 174-182.

165. Курант Р., Фридрихе, ЛевиГ. О разностных уравнениях математической физики// Успехи математических наук, 1940. -Вып.8, -С.112-125.

166. ЛиС.В. ПианТ.Х. Усовершенствование метода расчета конечных элементов для пластинок и оболочек с помощью смешанного подхода// РТК, 1978. -Т. 16. -№1. -С.38-45.

167. Липовцев Ю.В. Аналитические решения разностных уравнений устойчивости// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1972. -№1. -С.77-81.-167195. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. -М.: Мир, 1982.-542 с.

168. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат, -М. -Л.: 1947.

169. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. -М.: Мир, 1977. -584с.

170. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. -М.: Наука, 1975. -400 с.

171. Мартыненко С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии// Тезисы докладов ХТ международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Москва-Истра, 2001.-С.260-262.

172. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.-М.: Наука, 1973. -352 с.

173. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. -608 с.

174. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.-М.: Наука, 1981.-416 с.

175. Masataka T. Introduction to boundary element method/ Я. Jap. Soc. Simulât. Technoi.-1987.-6.-№2.-P.77-83.

176. Masinda J. Application of the boundary element method to elasticity and thermoelasticity problems. "Monogr. and Mem. Nat. Res. Inst. Mach. Des/ Praha-Bechavice", 1986. №36.-P.58.

177. Метод конечных элементов в механике твердых тел/Под общей редакцией А.С. Сахарова и И. Альтенбаха. -Киев: Вища школа, головное изд-во, 1982.

178. Методы расчета оболочек. -Т.4. Теория оболочек переменной жесткости/ Под редакцией Григоренко Я.М., Василенко А.Т. -К.: Наукова думка, 1981. -544 с.

179. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. -Серия; Механика. Новое в зарубежной науке. -М.: Мир, 1978. -210с.

180. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1981. -216 с.

181. Mitchell S.A., Vavasis S.A. Quality Mesh Generation in Higher Dimension.tli

182. ACM Symposium on Computational Geometry, 1996. pp.48-57.

183. Михайлов Г.С. Расчет больших упругопластических деформаций балок, арок, колец и панелей на основе волновых уравнений теории тонких оболочек// Методы решения задач упругости и пластичности. -Горький, ГТУ, 1972. -Вып.6.

184. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966. -432 с.

185. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970.-512 с.

186. Моссаковский В.И., Макаренков А.Г., Никитин П.И. и др. Прочность решетных конструкций. -М.: Высшая школа, 1990. -359 с.

187. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник,-М.: Машиностроение, 1981.-216 с. *

188. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. -М.: Машиностроение, 1984. -280 с.

189. Нерубайло Б.В. Локальные задачи прочности цилиндрических оболочек. -М.: Машиностроение, 1983. -248 с.

190. Нерубайло Б.В. Применение вариационного метода В.З. Власова к расчету круговой цилиндрической оболочки на местную нагрузку// Изв. ВУЗов Авиационная техника, 1967.-№1.-С.45-50.

191. Нерубайло Б.В., Сибиряков В.А. Напряжения в круговой цилиндрической оболочке при радиальном локальном воздействии. -В сб. Прочность и устойчивость авиационных конструкций .// Труды МАИ, 1971. -Вып.180. -С.25-44.

192. Новожилов В.В, Теория тонких оболочек. -Л.: Судпромгиз, 1962. -432 с.

193. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. -Л.: Судостроение, 1989. -400 с.

194. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек.-Л.: Политехника, 1991.-656 с.

195. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. -М.: Машиностроение, 1991.-415с.

196. Образцов И.Ф., Савельев Л.М, ХазановХ.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов, -М: Высшая школа, 1985.-392 с.

197. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета пространственных конструкций.-М.: Машиностроение, 1966.-190 с.

198. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

199. Oden J.T., Carey G.F. Finite elements. Mathematical aspects. -Englwood Cliffs, N.Y. Prentice-Hall, -1983. vol.4. -195 p.

200. Ольшанский В.П. Об особенностях напряженного состояния оболочек, нагруженных по линиям главной кривизны// Проблемы прочности, 1978. -№3. -С.58-62.

201. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем.-М.: Мир, 1991.-364 с.

202. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1986.-288 с.

203. Панов Д.Ю. Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных. -М.: Гостехиздат, 1957.

204. ПартонВ.З., ПерлинП.И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977.-312с.

205. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел// ДАН СССР, 1983.-Т 273. -№5. -С.1083-1086.

206. Паймушин В.Н. Вариационная формулировка задач сопряжения одно-связных составных пологих оболочек// Актуальные проблемы механики оболочек; Межвуз. сб., Казань: КАИ, 1985. -С.77-85.

207. Паймушин В.Н., Петрушенко Ю.Я. Теория и программное обеспечение для исследования устойчивости и колебаний слоистых оболочечных элементов сложной геометрии// Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. -Кутаиси: 1987. -С.303-308.

208. Паймушин В.Н., Андреев C.B. К нелинейной теории трехслойных оболочек со слоями переменной толщины и сложной геометрии. -Казань: Изд-во КГУ, 1981.-Вып.16.-С.29-36.

209. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Оболочки из стекла. Расчет напряженно-деформированного состояния. -М.: Машиностроение, 1993. -208 с.

210. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Об одном способе математического описания и решения краевых задач механики деформирования оболочек, лежащих на сплошном или дискретном упругом основании// Проблемы машиностроения, 1982. -Вып. 16. -С. 18-23.

211. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н. Вариант метода граничных интегральных уравнений для решения задач статики изотропных оболочек произвольной геометрии// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1991.-№1 -С. 160-169.

212. Петров Ю.П. Расчет на прочность некруговых цилиндрических оболочек дискретным методом// Сопротивление материалов и теория сооружений. -Киев: Буд1вельник, 1970.-Вып. 10.-С. 10-22.

213. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н., Сулейманов И.М. Построение граничных интегральных уравнений различных вариантов теории оболочек сложной геометрии// Изв. РАН Механика твердого тела, 1997. -№4. -С. 133-143.

214. Петрушенко Ю.Я. Метод конечных сумм, базирующийся на полиномах Лагранжа в задачах механики оболочек вращения// Изв. ВУЗов Авиационная техника, 1993. -С.59-63.

215. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности, -М.: Изд-во Московского университета, 1981. -344 с.

216. Попов Г.Я. Метод ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости// ПММ, 1969. -Т.ЗЗ. -Вып.З. -С.543-547.

217. Постнов В.А., Хархурин И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций, -JI.: Судостроение, 1974. -342 с.

218. Постнов В.А., Численные методы расчета судовых конструкций, -JL: Судостроение, 1977. -280 с.

219. Постнов В.А., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчете инженерных сооружений, -JL: Судостроение, 1979. -288 с.

220. Постнов В.А., Суслов В.П. Строительная механика корабля и теория упругости, В 2-х т. -JI,: Судостроение, 1987. -Т.1: Теория упругости и численные методы решения задач строительной механики корабля, -288 с.

221. Постнов В.А., Ростовцев Д.М.: Суслов В.П., Кочанов Ю.П. в 2-х т. -Л.: Судостроение, 1987. -Т.2: Изгиб и устойчивость стержней, стержневых систем, пластин и оболочек,-416 с.

222. Прокопович М.Е., Слезингер И.Н., ШтейнбергМ.В. Расчет цилиндрических оболочек, -К.: Бущвильник, 1967, -240 с.

223. Пшеничнов Г.И. Метод декомпозиций решения уравнений и краевых задач// ДАН СССР, 1985. -Т.282. -№4. -С.792-794.

224. Пшеничнов Г.И. Решение некоторых задач строительной механики методом декомпозиций// Строительная механика и расчет сооружений, 1986. -№4. -С.12-17.

225. Работнов Ю.Н. Изгиб цилиндрической оболочки сосредоточенной силой// Докл. АН СССР, 1946. -Т.52, -№4. -С.110-114.

226. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник/ В.И. Мяченков, В.П. Мальцев, В.П. Майборода и др.; Под общей редакцией В.И. Мяченкова. -М.: Машиновтроение, 1989. -520 с.

227. Рвачев В.Л. Об удовлетворении краевым условиям в методе Бубнова-Галеркина с помощью K-функций// Сб. статей Успехи механики деформируемых сред, -М.: Наука, 1975. -С.488-501.

228. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике, -М.: Мир, 1985. -589с.

229. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинатне, 1988,-284 с.

230. Ritz W.HJ. Reine angew. Math., 1908. -T.135; Aim Physik, IV, 28, 737, 1909; Gesamm Werke, 1941. -S.228.

231. Рихтмайер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач, -М.: ИЛ, 1960.

232. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.-418с.

233. Розин Л.А., Хархурим И.Я. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов,-Л.: Энергия, 1971.

234. Розин Л.А. О связи метода конечных элементов с методами Бубно-ва-Галеркина и Ритца// Строительная механика сооружений. -Л.: 1971. -С.6-27.

235. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. -129 с.

236. Сайтов И.Х., Ларионов Н.Г. Матричная форма интегрально-разностного метода в решении двумерных краевых задач теории пологих оболочек// Вопросы прочности тонкостенных авиационных конструкций. Межвуз сб.-Казань: КАИ, 1987.-С.109-115.

237. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. -М.: Наука, 1971. -550 с.

238. Светлицкий В.А., Нарайкин О.С. Упругие элементы машин. -М.: Машиностроение, 1989. -261 с.

239. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решений сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-592 с.

240. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -432 с.

241. Самарский A.A. Теория разностных схем -М.: Наука, 1989. -616с, 313. Самарский A.A. Всесоюзная школа молодых ученых. Теория и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики// ЖВМиМФ, 1983. -Т.23.-№ 1 .-С.246-247.

242. Свирский И.В. Методы типа Бубнова-Галеркина и последовательных приближений. -М.: Наука, 1968. -200 с.

243. Skubachevskii A.L. Elliptic functional differential equations and applications. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.

244. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.:Мир,1877. -349 с.

245. Стеклов В.А. Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: -JL: Гос.издательство, 1927. -419 с.

246. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек/ З.И. Бурман, О.М.Аксенов, В.И. Лукашенко, М.Т. Тимофеев. -М.: Машиностроение, 1982. -256 с.-174277. Терегулов И.Г. К вариационным методам в нелинейной теории упругости// ДАН СССР, 1962. -№3. -С.142.

247. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек// Прикладная математика и механика, 1962. -Т.26. -№2. -С.346-358.

248. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. Гостехиздат, -М.: 1948.

249. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.-807С.

250. Ting L., Yuan S.W. On radial deflection of a cylinder of finite length with various end conditions. Journal of the Aeronautical Sciences, 1958. -Vol.25. -№4. -P.23 0-234.

251. Толкачев B.M. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1988. -№1. -С.155-160.

252. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформированного твердого тела. -Казань: Изд-во Казанского университета, 1986. -295 с.

253. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники.-М.: Машиностроение, 1988.-392с.

254. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1983. -352 с.

255. Филин А.П. Элементы теории оболочек. -JL: Стройиздат, 1975. -256 с.

256. Фирсов В.А. Аппарат метода конечных сумм на основе сплайн-аппроксимации// Актуальные проблемы механики оболочек: Межвуз. сб.-Казань: КАИ, 1985.-С.124-132.

257. Флюге В. Статика и динамика оболочек. -М.: Госстройиздат, 1963. -306 с.

258. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. -М.: Мир, 1991. -Т.2.-552с.

259. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. -М.: Мир, 1988. -352 с.

260. Халилов С.А. Полные системы ортонормированных степенных полиномов для решения некоторых краевых задач линейной теории оболочек и пластин// Численные методы решения задач строительной механики. -Киев: 1978. -С.98-102.

261. Хижняк В.К.: Шевченко В.П. Действие сосредоточенных сил на анизотропные оболочки// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1972. -№4. -С.123-128.

262. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975.

263. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. -М.: Мир, 1989. -655 с.

264. Хьюз Д., Мичтом Д. Структурный подход к программированию. -М.: Мир, 1980.-278 с.

265. Черных К.Ф. Уравнение Мейснера в случае обратносимметричной нагрузки. -Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, 1959, 6.

266. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек, ч. I и И. Изд-во ЛГУ.

267. Чернышев Г.Н. О действии сосредоточенных сил и моментов на упругую тонкую оболочку произвольного очертания// Прикладная математика и механика, 1963. -Т.27. -Вып.1. -С. 126-134.

268. Чернышев Г.Н. Расчет сферических оболочек на действие сосредоточенных сил// Изв. АН СССР Механика, 1963. -№1. -С.99-108.

269. Чернышев Г.Н. Асимптотические методы в теории оболочек (Сосредоточенные нагрузки)// Тр. VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Москва.-С.799-810.

270. Чернышев Г.Н. Прогиб под сосредоточенной силой в оболочках положительной кривизны// Прикладная математика и механика, 1967. -Т.31. -№5. -С.883-886.

271. ЧернинаВ.С. Статика тонкостенных оболочек вращения. -М.: Наука, 1968.-455с.

272. Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. Пологая сферическая оболочка под действием сосредоточенных сил и моментов// Прикладная механика, 1965.-Вып.2. -С.74-77.

273. Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. К вопросу о действии сосредоточенных воздействий на пологие оболочки. -В сб. Концентрация напряжений. -К.: Наукова думка, 1965.-Вып.1.-С.326-337.

274. Шевляков Ю.А., Шевченко В.П. О действии сосредоточенных сил и изгибающих моментов на пологую цилиндрическую оболочку// Прикладная механика, 1966, -Т.2. -Вып.1. -С. 120-123.

275. Шевченко В.П. К решению граничных задач круговых цилиндрических оболочек при локальных нагрузках. -В кн. Теория оболочек и пластин. -М.: Наука, 1973.-С.763-767.

276. Шевченко В.П. К вопросу о действии сосредоточенных моментов на упругие тонкие оболочки произвольной кривизны. -В сб. Теоретическая и прикладная механика, -Киев-Донецк: Вища школа, 1977. -Вып. 8. -С.42-47.