Расчет слоистых оболочек в геометрически нелинейной постановке МКЭ тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Список основных обозначений

Глава 1. Моделирование геометрически нелинейного деформирования оболочек малой и средней толщины

§ 1.1. Постановка задачи

1.1.1. Основные положения геометрически нелинейной теории упругости

1.1.2. Методы решения уравнений

1.1.3. Шаговое нагружение

§ 1.2. Модель оболочки малой и средней толщины

1.2.1. Аппроксимация геометрии оболочки и перемещений ее точек

1.2.2.Деформацмя оболочки. Связь между компонентами тензора деформаций в декартовой и криволинейной системе координат

1.2.3. Алгоритм вычисления деформаций и вариаций нелинейных составляющих деформаций

Глава 2. Методика пошагового нагружения многослойной оболочки

§ 2.1. Математическая модель многослойной оболочки со слоями переменной толщины из ортотропного материала

2.1.1. Соотношения закона Гука для слоя

2.1.2. Построение матрицы жесткости

2.1.3. Модификация осредненных жесткостей поперечного сдвига

2.1.4. Вычисление матрицы геометрической жесткости

§ 2.2. Методика вычисления очередного равновестного состояния (шага нагружения)

2.2.1. Алгебраическая задача

2.2.2. Определение текущего напряженно деформированного состояния

§ 2.3. Описание пакета прикладных программ

2.3.1. Исходные предположения

2.3.2. Ввод исходных данных

2.3.3. Пакет программ

Глава 3. Числовые примеры

§ 3.1. Тестовые задачи

3.1.1. Изгиб полосы в цилиндрическую оболочку

3.1.2. Изгиб изотропной цилиндрической оболочки

3.1.3. Ортотропная цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

3.1.4. Деформация однополостного гиперболойда

3.1.5. Изгиб сферической оболочки с отверстием

§ 3.2. Деформация бампера легкового автомобиля

Глава 4. Исследование закритического состояния

§ 4.1. Виды потери устойчивости

§ 4.2. Методы продолжения по параметру

4.2.1. Методы непрерывного продолжения по параметру

4.2.2. Методы дискретного продолжения по параметру

§ 4.3. Метод продолжения по параметру для разработанной конечноэлементной методики пошагового нагружения

§ 4.4. Числовые примеры

Достоинства слоистых материалов начали проявляться с 30-х годов нашего столетия в связи с бурным развитием авиастроения. С тех пор интерес к ним постоянно растет как среди конструкторов, так и специалистов по расчету создаваемых изделий. В настоящее время в авиации, космической технике, в химической промышленности и многих других отраслях народного хозяйства трудно встретить изделия, в которых в той, или иной мере не использовались бы слоистые материалы. Практически во всех ведущих научных школах в области механики твердого тела уделяется внимание расчету слоистых пластин и оболочек.

Несущие слои обычно изготавливаются из конструктивно анизотропного, порой созданного для данной конструкции, материала. Это позволяет добиваться повышения надежности изделий при наименьшей их материалоемкости и весе.

До сих пор актуален расчет слоистых анизотропных конструкций в линейной постановке, когда максимальные прогибы пластины или оболочки не превышают половины ее толщины. Однако особое внимание в последние годы уделяется геометрически нелинейной постановке, когда прогибы, сравнимы с толщиной, а иногда достигают и нескольких толщин. Широко известны расчеты таких конструкций с позиции физически нелинейной теории, когда учитываются пластические свойства материала, реология и т.д.

Для решения нелинейных задач используются, в основном, численные методы. Среди них особое место занимает метод конечных элементов (МКЭ) в силу его универсальности в программной реализации и возможности создания полностью автоматизированного цикла расчета. В настоящее время метод конечных элементов м жен в основу почти всех систем автоматизировангог . струкций во многих отраслях техники: авиастроении, судостроении, машиностроении, промышленном и гражданском строительстве и т.д.

Теории и решению задач деформирования конструкций методом конечных элементов посвящен целый ряд монографий и учебников. Среди них следует отметить работы И.Ф. Образцова, В.А. Постнова, О, Зенкевича, А.И, Голованова, С.А.Капустина, Сахарова A.C., Ро-зина JI.A. Дж. Одена, К. Бате, Э. Вилсона, Р. Галлагера, Г.Стренга, Дж. Фикса и др.

Основные созданные в мире комплексы программ метода конечных элементов отражены в справочнике под редакцией К, Бреббиа.

Настоящая работа посвящена разработке и реализации методики численного исследования напряженно-деформированного состояния слоистых анизотропных оболочек малой и средней толщин при произвольных силовых нагрузках с учетом больших перемещений и конечных деформаций. Решение ведется методом конечных элементов. Используются квадратичные изопараметрические конечные элементы слоистой оболочки, узловыми неизвестными в которых служат проекции вектора перемещений на орты глобальной декартовой системы координат и углы поворота нормального волокна относительно базовых векторов касательной плоскости. Нагружение осуществляется шагами с малыми приращениями нагрузки, и на каждом шаге учитывается изменение геометрии объекта в процессе его деформации.

Слоистые анизотропные оболочки.

Среди множества схем расчета слоистых композитных оболочек особое место занимают схемы, основанные на МКЭ. Главное достоинство подобных методик состоит в возможности расчета оболочек сложной формы с переменными механическими характеристиками под действием произвольных нагрузок. Построение эффективных конечных элементов (КЭ) здесь вызывает ряд затруднений по сравнению с однородными оболочками, т.к. возникают проблемы, связанные с нелинейностью распределения напряжений и перемещений по толщине.

Проблеме исследований в области многослойных оболочек посвящена обширная литература, которая обобщена в обзорах [53], [80], [115] и монографиях [7], [8], [21], [34], [85], [93], [150], [164], [172] и др. Следует заметить, что не все построенные теории удобны для применения МКЭ, поэтому кратко остановимся на возможных вариантах. Основное внимание будет уделено кинематическим гипотезам о характере распределения перемещений по толщине, т.к. именно от этого зависит количество разрешающих функций и порядок их максимальных производных.

1. Гипотезы Кирхгофа-Лява. В этом случае многослойность учитывается заданием более сложных физических соотношений между напряжениями (усилиями и моментами) и деформациями. Конечные элементы такого типа построены в работах [3], [4], [88], [140], [229], [234], [239]. Они применимы лишь к тонким оболочкам с небольшим изменением упругих характеристик по толщине и соизмеримыми значениями модулей упругости и сдвига в каждом слое, что гарантирует малость деформаций поперечного сдвига по сравнению с мембранными.

2. Кинематические гипотезы Тимошенко. Этот подход в настоящее время является наиболее популярным, т.к. здесь с одной стороны достигнуты наибольшие успехи в плане построения эффективных КЭ однородных оболочек, с другой стороны имеется возможность учесть появление значительных деформаций поперечного сдвига, что весьма характерно для армированных композитов. Известно множество КЭ слоистых оболочек, являющихся обобщением соответствующих однородных элементов. Например, в работах - [14], [25], [138], [143], [177], [178] описаны квадратичные треугольные элементы, в [24], [189], [223], [225], [235], [239] представлены четырехугольные 8-ми и 9-ти узловые КЭ изопараметрического типа.

Применение таких КЭ позволяет получить хорошие результаты по перемещениям, мембранным и изгибным напряжениям в каждом слое. С определением поперечных касательных напряжений возникают определенные сложности [7], [26], [172], связанные с тем, что кинематические гипотезы Тимошенко дают постоянные сдвиги по толщине и кусочно-постоянные сдвигающие напряжения, а точное решение приводит к квадратичному или более сложному закону распределения этих напряжений в пределах каждого слоя. С целью исправления этого дефекта в [25], [26], [225] предлагается использовать смешанный функционал Рейсснера с самостоятельным заданием напряжений. Этот подход устраняет эффект "запирания". В работах [24], [189] предлагается строить распределение касательных напряжений по схеме, предложенной в [172], путем интегрирования соотношений упругости, что дает квадратичное распределение их по толщине каждого слоя. В работе [246] используется гибридная схема с заданными усилиями.

3. Обобщенные гипотезы Тимошенко. Этот вариант предполагает априорное задание закона изменения поперечных касательных напряжений по толщине в виде z) = fi(z)iii3 где ¿I; - функции распределения этих напряжений по поверхностным координатам. Интегрируя соотношения Коши для деформаций поперечного сдвига , получаем закон распределения тангенциальных перемещений где Щ = V-Ь^ик - угол поворота нормали, /01з - функции деформаций поперечного сдвига,

-А/2

Подставляя эти функции в соотношения для деформаций, получаем, что мембранные и изгибные деформации тождественно совпадают с соответствующими соотношениями теории оболочек, построенной на основе гипотез Кирхгофа-Лява. Таким образом, при конечно-элементной реализации здесь возникают все трудности, присущие элементам этого типа, в частности, необходимость построения сложных аппроксимации класса

Примеры подобных КЭ описаны в [165] - [167], [170], [171], [173]. Следует заметить, что значительное усложнение решения задач такими элементами по сравнению с КЭ типа Тимошенко не адекватно получаемому при этом уточнению результата.

4. Высокоточное разложение по толщине. В этом случае перемещения по толщине представляются в виде полиномиального разложения с удержанием слагаемых более высоких степеней по сравнению с разложением Тимошенко. Следствием этого является увеличение числа неизвестных функций, что приводит к алгебраическим задачам большей размерности при весьма скромных сетках КЭ. Очевидно, это оправдано лишь при расчете весьма толстых пластин и оболочек. Некоторые элементы такого типа описаны в [160], [247].

К этому же классу следует отнести те теории оболочек, в которых число неизвестных зависит от числа слоев (монографии Болотина В.В., Новичкова Ю.Н. [21], Григолюка Э.И., Куликова Г.М. [85], работы Паймушина В.H. [157], [158]). Как правило, они построены на основе гипотезы ломаной линии для всего пакета и широко распространены при расчете трехслойных оболочек [82], [125], [207].

Резюмируя этот краткий обзор известных КЭ слоистых оболочек, можно утверждать, что наиболее эффективной схемой расчета тонких многослойных оболочек с умеренным градиентом упругих характеристик по толщине с применением МКЭ является схема Тимошенко.

Нелинейная теория оболочек.

Выводы о необходимости учета нелинейных факторов при деформировании пластин и панелей были сформулированы еще в начале XX века (И.Г.Бубновым 1902 г. [22], [23], Карманом 1910 г. [231], С.П. Тимошенко 1915г. [200]). Первые гипотезы для исследования деформирования пластин и оболочек ввели Кирхгоф (1850 г.) и Ляв (1888 г.). В дальнейшем точность так называемой теории оболочек Кирхгофа - Лява (ее основные положения справедливы как для линейных, так и нелинейных постановок) исследовалась большой группой ученых. Ее современное состояние в значительной мере обязано идеям В.З.Власова [37], Вольмира A.C.[38], К.З. Галимова [49] - [51], А.Л. Гольденвейзера, Л.Доннелла, Н. А. Кильчевского, Койтера [232], А.И. Лурье [142], Х.М. Муштари [147] , В. В. Новожилова [153], Флюгге и др.

Л.Доннелл и Х.М. Муштари были первыми, кто построил теорию пологих оболочек.

В дальнейшем различные формы нелинейных соотношений теории оболочек были получены в работах Е.Л. Аксельрада [5], Дани-ельсона [224], Койтера [232], Рейсснера [240], Черныха К.Ф [209], Л.А. Шаповалова [214] и др.

Подробный анализ различных вариантов геометрически нелинейной теории оболочек приведен в обзоре Петрашкевича [238], в статьях И.И. Воровича и Н.И. Минаковой [42], Я.М. Григоренко [92], [99] и И.Г. Терегулова [196].

Монография И.И. Воровича [43] посвящена строгому математическому обоснованию геометрически нелинейной теории пологих оболочек. В ней содержится исторический обзор работ, касающихся этого класса задач.

Различные аспекты формулировки нелинейных соотношений теории оболочек обсуждаются в работах [21], [52], [54], [79], [81], [95], [102], [103], [142], [146], [152], [153], [194], [195], [199], [200].

Методы решения.

При исследовании докритического состояния оболочек при прогибах, сопоставимых с ее толщиной, могут быть использованы простейшие методы нелинейного анализа, легко реализуемые на ЭВМ. Наиболее распространенными среди них является метод простой итерации. Удобство его применения заключается в том, что приведенный к линейному виду оператор в левой части разрешающих уравнений, достаточно обратить только один раз, используя уже обращенный оператор на всех последующих итерациях. Этот метод сходится лишь в случаях малой нелинейности, когда искомое решение строится в окрестности регулярного исходного ненапряженного состояния.

Широко используются другие алгоритмы - метод малого параметра, метод последовательных приближений, метод Ньютона - Канторовича [41], [43], [184].

Общий подход к применению метода, малого параметра в особых случаях заложен A.M. Ляпуновым, Шмидтом и Пуанкаре, создавшими теорию ветвления. Она получила развитие в работах [16], [47], [103], [141], [193]. В теории пластин и оболочек этот подход начал применяться после фундаментальных работ Койтера [126], [232], Э. И. Григолюка [78], И. И. Воровича [43], Каудерера [120]. Ряд интересных результатов получен с помощью этого метода Л. С. Срубщиком [190] - [192], Я. Ф. Каюком [121].

Вариационный метод в нелинейной теории оболочек применялся И. И. Воровичем [39], [43] для доказательства разрешимости краевых задач. Его приложения к решению нелинейных краевых задач [29] с применением прямых методов алгебраизации (метод конечных элементов, конечных разностей, сплайн-аппроксимации и др) имеются в работах К. 3. Галимова [50], Д. Ю. Панова [159] и В. И. Фео-досьева [203]. Вопросам его реализации на ЭВМ посвящены публикации [9], [17], [33], [89], [91], [92], [97], [117], [132], [213]. К числу итерационных алгоритмов, используемых в окрестности регулярных состояний оболочки, относится метод Ньютона - Канторовича (Нью-тона-Рафсона). В его основу положена идея линеаризации [18], [156], [213]. То есть на каждом шаге итерации строится линеаризованный оператор. Сходимость метода Ньютона в значительной мере зависит от того, насколько удачно выбрано начальное приближение. Метод использовался в работах [94], [119], [181], [197].

Установлено, что проблема устойчивости тонкостенных конструкций в полной мере может решаться лишь на базе нелинейных краевых задач. Потеря устойчивости равновесия и движения механических систем представляет собой скачкообразный переход количественных изменений в качественные [6], [20], [30].

Попытки использовать линеаризацию для решения задач устойчивости оболочек не всегда оказываются удачными. Решение можно получить либо линеаризируя задачу в окрестности заранее неизвестного состояния равновесия, либо же отказавшись от линеаризации проводить глобальное исследование нелинейных уравнений.

В настоящее время нет возможности исследования всего спектра задач на базе единых соотношений, не существует единого метода, с помощью которого такой анализ мог быть приведен. Выбор той или иной численной модели связан с рядом факторов, определяющим среди которых является размерность задачи.

Рассмотрим методы, наиболее часто встречающиеся в литературе.

Для большого числа практических задач хорошо зарекомендовали себя методы, основанные на сведении двумерной проблемы к краевой задаче для системы обыкновенных уравнений с последующим решением задачи Коши для начального вектора.

Понижение размерности задачи производится одним из следующих методов: а) разложение искомых функций в ряды по одной из координат [10], [33], [119], [135], [145], [148], [149], [163], [201]; в) конечно - разностная аппроксимация решения по одной из координат [32], [45], [91], [188]; с) сплайн - аппроксимации в одном координатном направлении [100], [101]; d) другие методы [1], [99], [116], [127], [144], [145], [174], [175].

Среди методов непосредственного решения двумерных задач выделим следующие.

Сеточные методы. С помощью этих методов осуществляется переход от континуальной к дискретной модели, в которой искомые функции определяются в узловых точках. Затем осуществляется численное решение системы нелинейных алгебраических уравнений [1], [28], [36], [45], [91], [99], [104] - [107], [113], [127] - [129], [176], [182].

Метод продолжения по параметру. Первые математические приложения метода продолжения по параметру связаны с его использованием для доказательства существования решения нелинейных уравнений [156]. С этой же целью он вначале применялся и в механике твердого деформируемого тела. А.Ф. Давиденко [111] предложил с помощью дифференцирования по параметру перейти от нелинейной задачи для неявно заданной функции к задаче Коши, решение которой может быть построено с помощью явных вычислительных схем. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В. В. Власова, нашла применение в работах В.М. Никиреева [151], В.В. Петрова [162]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем уменьшения величины приращения нагрузки. Имеются такие варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру с применением различных способов улучшения сходимости итерационных процессов типа метода Ньютона—Канторовича (Ньютона-Рафсона) [40], [43], [84], [210].

Когда на каждом этапе приращения варьируемого параметра учитывается не только линейная часть нелинейного оператора, но и последующие члены его разложения в ряд Тейлора, точность вычислений резко возрастает, и шаг приращения варьируемого параметра может быть существенно увеличен. В зависимости от числа удерживаемых членов построенные таким образом алгоритмы получили названия метода касательных парабол, метода касательных гипербол и т. д. В теории оболочек, однако, из-за большой трудоемкости их реализации эти методы практически не применяются.

Отметим работы Рикса [181], в которых были предложены практические приемы и алгоритмы, использующие идею продолжения по параметру при численном счете.

Классификация различных вариантов метода продолжения решения по параметру и обзор работ по их использованию в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела, в том числе и в теории оболочек, выполнены Э. И. Григолюком и В. И. Шалаши-линым в монографии [86]. В ней также построены модификации метода, позволяющие обеспечить наилучшую обусловленность решения линеаризованных систем и унифицировать вычисления, как в регулярных, так и в предельных точках множества решений.

Решение геометрически нелинейных задач методом конечных элементов.

Среди множества подходов, применяемых при конечно-элементных расчетах оболочек с учетом геометрической нелинейности, следует выделить следующие: а) составление нелинейных уравнений равновесия относительно первоначальной метрики и их решение с помощью той или иной итерационной процедуры; б) метод последовательного нагружения, в котором структура разрешающих уравнений принципиально не меняется, т.е. отсчетная метрика определяется по исходной недеформированной поверхности; в) шаговый метод, в котором разрешающие уравнения на каждом этапе нагружения записываются с учетом метрики поверхности деформированного состояния.

Основные положения этих подходов для задач теории оболочек, а также при расчете трехмерных тел, изложены в работах [35], [155],

183], [219], [226]. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки, и ни один из них не может считаться универсальным.

В зависимости от постановки задачи выбирается один из упомянутых выше подходов. При аналитическом задании поверхности оболочки в исходном состоянии или глобальной численной параметризации поверхности [130], [205] обычно используются подходы а) и б). Примерами таких работ служат [2], [15], [27], [44] - [46], [56] -[58], [114], [136], [179], [198], [211], [220], [245], [248], [249] и др.

В последнее время, особенно за рубежом, получили распространение изопараметрические конечные элементы оболочек малой и средней толщины, которые не требуют предварительной параметризации поверхности оболочки, так как основаны на представлении оболочки как трехмерного тела [60]. Проблемам обобщения этой модели на геометрически и физически нелинейные задачи посвящена обширная литература, отметим основополагающие работы [131], [185] - [187], [220], [227], [228], [233], [236], [241], [248], [249]. В рамках такой модели применимы все три подхода. Однако каждый из них требует решения своих проблем. Например, первый подход требует аккуратного моделирования больших поворотов нормального волокна [131], [217], [237], [245], [249]. Второй и третий подходы предполагают, что шаги нагружения достаточно малы, что позволяет ограничиться малыми поворотами при переходе из одного равновесного состояния в последующее, что значительно упрощает модель.

Наиболее привлекательным является использование изопара-метрического конечного элемента в сочетании с третьим подходом решения нелинейных задачи. В этом случае на каждом шаге нагружения самостоятельно формулируется система разрешающих уравнений, в которой фигурируют производные относительно текущей метрики. Это возможно лишь благодаря тому, что изопараметрический конечный элемент не требует высокой точности описания геометрии [59]. Фактически на шаге нагружения ставится задача о предварительно напряженном деформировании тонкостенной конструкции при заданных приращениях нагрузки. Если эти приращения малы, то эта задача становится линейной. Однако такое сочетание в расчетах оболочек встречается сравнительно редко, что связано с трудностями описания напряженного состояния при значительных деформациях. Можно отметить лишь работы [185] - [187] с описанием подобной методики.

Остановимся подробнее на работах отечественных авторов, результаты которых непосредственно примыкают к теме диссертации.

В. В. Петровым [162] с помощью метода последовательных на-гружений и методов Бубнова—Галеркина и Власова—Канторовича проведено исследование деформирования прямоугольных пластин и пологих оболочек в докритической и закритической областях.

В работе [169] В. А. Постновым на основе МКЭ получено решение задач о деформации гибких составных цилиндрических и торо-образных оболочек с помощью метода последовательных нагруже-ний.

В работах А. В. Кармишина, В.А.Лясковца, В. И. Мяченкова и А. Н. Фролова [119] с помощью методов линеаризации и дискретной ортогонализации проведено исследование в докритической и закритической областях осесимметричного деформирования гибких оболочек вращения.

Н. В. Валишвили [31] на основе метода сведения нелинейной краевой задачи к системе нелинейных уравнений и задаче Коши решены задачи о нелинейном деформировании круглых плоских и гофрированных пластин, сферических и конических оболочек. Рассмотрены вопросы о переходе осесимметричных форм равновесия оболочек вращения в неосесимметричные формы и о разветвлении форм равновесия для сферических оболочек.

Я.М. Григоренко [100] исследует слоистые анизотропные оболочки. Рассмотрены подходы к решению одномерных и двумерных краевых задач теории гибких оболочек, которые описываются нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Применяется совместно метод линеаризации и метод дискретной ортогонализации. Для двумерных задач линеаризуют исходные нелинейные уравнения, затем понижают размерность с помощью сплайн-аппроксимации решения в одном координатном направлении и численно решают полученную линейную одномерную краевую задачу методом дискретной ортогонализации на каждой итерации. При решении возникают трудности с выбором начального приближения. Поэтому для закритической области предлагается метод продолжения по параметру.

В статье [90] исходные уравнения нелинейной теории тонких гибких оболочек в квадратичном приближении решаются методом линеаризации в сочетании с устойчивым методом дискретной ортогонализации решения линейных краевых задач.

В [96] на основе совместного использования методов линеаризации дискретной ортогонализации предложена модифицированная вычислительная схема, позволяющая определять осесимметричные равновесные формы гибких упругих систем из слоистых анизотропных оболочек вращения при комбинированном нагружении как в докритических, так и в начальном послекритических областях деформирования.

В работах [94], [98] при помощи сведения двумерных задач к одномерным и их численного интегрирования проведено исследование в докритической и закритической областях напряженнодеформированного состояния гибких ортотропных слоистых оболочек вращения с переменными параметрами в одном и двух координатных направлениях, некруговых цилиндрических оболочек. Также рассмотрены вопросы выбора рациональной формы оболочечной системы и определены неосесимметричных формы равновесия круговых цилиндрических оболочек при осесимметричных нагрузках.

С помощью метода пошагового нагружения в работе В. И. Кли-манова и В. В. Чупина [124] получено решение задачи о деформации упругих гибких неоднородных оболочек вращения при осесиммет-ричном нагружении. Для каждого шага нагружения в координатах деформированной поверхности получена система дифференциальных уравнений 1-го порядка. Для решения краевой задачи на каждом шаге нагружения используется прием сведения исходной задачи к ряду задач Коши, каждая из которых решается методом Рунге-Кутта с использованием приема дискретной ортогонализации.

А. В. Коровайцевым [133] с помощью метода дифференцирования по параметру дано решение задачр о деформировании оболочек вращения при больших перемещениях.

А. С. Сахаров разработал подход, основанный на моментной схеме метода конечных элементов [183], с помощью которого было исследовано закритическое поведение гибких пологих и непологих сферических и цилиндрических оболочек при различных локальных и неравномерных нагрузках.

А. В. Погореловым [168] на основе геометрического подхода получен ряд результатов о нелинейном деформировании оболочек произвольного очертания при различных видах нагружения.

Л. С. Срубщиком в работах [191] рассмотрены вопросы о выпучивании и начальном послекритическом поведении оболочек вращения и исследованы особые случаи ветвления решений уравнений при неосесимметричной деформации.

В обзоре Хатчинсона, Койтера [206] обсуждаются вопросы выпучивания и послекритического деформирования оболочечных конструкций, рассматриваются достижения и направления развития данной проблемы.

В работе[136] исследуется нелинейное деформирование и устойчивость форм равновесия оболочек вращения при больших перемещениях и малых деформациях. Используются гипотезы Кирхгофа-Лява. Применяется двухузловой КЭ дуги меридиана. Решение получено методом дискретного продолжения по параметру с итерационным уточнением на каждом шаге.

В [114] решение нелинейных задач сводится к нахождению итерационным путем уравновешенного состояния на каждом шаге на-гружения. При этом используется линейная зависимость между приращениями тензоров напряжений и деформаций. Связь между тензором деформаций и вектором узловых перемещений так же вычисляется на текущей итерации, причем в случае больших деформаций ее приходится вычислять на каждой итерации дважды ( на полушаге нагружения для вычисления приращений деформаций и на целом шаге для сведения напряжений к внутренним усилиям КЭ).

В монографии Танеевой М.С. [55] разработаны эффективные алгоритмы численного решения нелинейных задач изгиба и устойчивости оболочек вращения.

В работах [87], [139] водится система кинематических и статических гипотез, приводящая к построению внутренне непротиворечивой модели многослойной конструкции. Разработаны на их основе геометрически нелинейные варианты теории многослойных анизотропных оболочек. Исследовано совместное влияние анизотропии и геометрической нелинейности на пространственное напряженно деформированное состояние многослойных армированных цилиндрических и торообразных оболочек.

В работах Скворцова Ю.В., Хазанова Х.С. [185] - [187] предлагается конечноэлементная методика расчета произвольных оболочек при больших перемещениях. Используется теория типа Тимошенко, учитывающая деформации поперечного сдвига и обжатие нормали. Используется модифицированная формулировка Лагранжа, т.е. в качестве отсчетной принимается конфигурация, определенная в конце предыдущего шага. Для исследования закритического поведения оболочки используется обратный метод, т.е. задаются приращения перемещений и определяются соответствующие реакции.

В [27] рассматривается процесс геометрически нелинейного деформирования многослойных оболочек с деформируемой нормалью. На основе соотношений нелинейной теории упругости и кинематических гипотез типа Тимошенко предложен шестимодельный вариант уравнений, связывающий перемещения поверхности приведения многослойной оболочки с тангенциальными и изгибными компонентами тензора деформаций Грина.

В работе [12] Баженов В.Г., Кибец А.И. используют МКЭ для исследования упругопластического деформирования трехмерной конструкции при импульсном и ударном нагружении.

Каюмов P.A. [122] применяет МКЭ для идентификации физических характеристик слоя по результатам испытаний многослойной конструкции.

В [123] исследуется влияние геометрической нелинейности в задачах теории пластичности. Численная реализация осуществляется на основе МКЭ и методов нелинейного программирования. Описание нелинейного деформирования осуществляется как движение сплошной среды в терминах приращений деформаций и напряжений относительно заранее выбранной отсчетной конфигурации твердого тела. Для описания НДС оболочки используется интегральный закон состояния.

В работе Рикардса Р.Б., Чате А.Г. [179] МКЭ в форме принципа минимума потенциальной энергии проводится исследование геометрически нелинейного деформирования анизотропных оболочек переменной жесткости. Деформирование оболочки описывается нелинейной теорией типа Тимошенко, учитывающей поперечные сдвиги и обжатие нормали. Алгоритм определения состояния равновесия основан на квадратичной аппроксимации нелинейного функционала потенциальной энергии с его минимизацией на каждом шаге по нагрузке. Для уменьшения погрешности используется коррекция приращения нагрузки на текущем шаге путем прибавления невязки с коэффициентом коррекции в начале текущего шага.

В работах [56] - [58], [198] при построении конечных элементов использованы два подхода: на основе принятых предположений о характере деформирования оболочек трехмерные уравнения равновесия приводятся к двухмерным аналогам с последующей дискретизацией конечными элементами; конечно-элементной дискретизации подвергаются непосредственно сами уравнения равновесия оболочки как трехмерного деформируемого тела, члены которых в соответствии с принятыми гипотезами выражены через величины поверхности приведения оболочки, в результате получаются так называемые вырожденные конечные элементы.

Первый подход реализован для расчета оболочек вращения на базе гипотез Тимошенко [56]. При этом в кинематических соотношениях деформирования конечного элемента учтены деформации как поперечных сдвигов, так и обжатия, что позволяет применять разработанный конечный элемент для расчетов анизотропных оболочек вращения из композитов. Для решения полученной системы нелинейных уравнений осуществлен переход к эквивалентной системе линеаризованных уравнений равновесия конечного элемента оболочки в приращениях. Решение этой системы для оболочки как "ансамбля" конечных элементов осуществляется применением итерации Ньютона—Рафсона. На полученной кривой равновесных состояний оболочки найдены точки, соответствующие верхней и нижней критическим нагрузкам, а также нагрузки, бифуркации равновесных форм. Для случая осесимметричного деформирования оболочек вращения при бифуркационной нагрузке проявляется неосесим-метричное поле перемещений, которое в процессе эволюции приводит к выпучиванию оболочки. В качестве примера решена задача устойчивости защемленного по краям сферического купола и конической оболочки под воздействием вертикальной сосредоточенной нагрузки, распределенной по окружности. В результате расчетов найдены зависимости верхней и нижней критических и бифуркационных нагрузок от параметров структуры композита, установлена рациональная структура материала с точки зрения несущей способности оболочки.

Второй подход, основанный на рассмотрении так называемых вырожденных конечных элементов оболочек, является более универсальным. Обобщение этого типа элементов по отношению к расчету анизотропных композитных оболочек в геометрически нелинейной постановке проведено в работах [57].

Описание деформирования конечного элемента оболочки в [57] основано на двух гипотезах: элемент, нормальный до деформирования к срединной поверхности оболочки, сохраняет длину и остается прямым, но необязательно перпендикулярным к ней после деформирования. Из принятых гипотез следует, что здесь при деформировании оболочки учитываются деформации поперечного сдвига, а учет обжатия нормальных элементов отсутствует. Для описания перемещений оболочки в каждом узле конечного элемента вводятся пять обобщенных узловых перемещений: три линейных перемещения и два угла поворота. В качестве отчетного состояния оболочки при деформировании выбрано ее начальное недеформированное состояние, а уравнение равновесия конечного элемента оболочки следует из вариационного равенства согласно принципу виртуальных перемещений. В результате получены в матричной записи линеаризованные уравнения равновесия конечного элемента в приращениях. Нахождение точек разветвления (бифуркаций) на равновесной кривой "нагрузка—прогиб" осуществлялось решением обобщенной проблемы на собственные значения. Решенные характерные примеры на основе разработанного 16-уэлового четырехугольного криволинейного вырожденного КЭ показали высокую точность вычисления нагрузок прощелкивания и бифуркации.

Разработанный четырехугольный криволинейный КЭ использовался также для исследования послекритического поведения цилиндрической панели при осевом сжатии [58].

Якушевым В.Л. [215] разработан метод введения дополнительной вязкости для решения нелинейных задач деформирования и устойчивости оболочек на основе которого удается построить сходящиеся итерационные процессы, в том числе и в окрестности критических нагрузок. В этом случае нет необходимости в смене параметров решения и выборе специальных процедур обхода особых точек.

В [211] построен алгоритм решения конечноэлементных уравнений статического нелинейного деформирования методом продолжения по наилучшему параметру. Условия равновесия записаны в форме принципа возможных перемещений и вместе с физическими и геометрическими соотношениями они составляют полную систему нелинейных уравнений МКЭ. Чтобы реализовать метод продолжения по параметру, осуществляется переход к задаче Коши с дифференцированием по этому параметру.

В [48] изложена методика статического и динамического расчета конструкций с учетом геометрической нелинейности. Записывается матричное уравнение виртуальных работ. Это уравнение сводится к кубическому уравнению относительно амплитудного коэффициента при векторе перемещений, полученном из линейного решения.

В [137] предлагается дискретный энергетический метод (ДЭМ) для численного решения геометрически нелинейных задач теории оболочек, который реализует идею совместного использования принципа минимума полной потенциальной энергии, методов дискретизации нелинейной задачи, связанных с теорией тонких оболочек квадратичного приближения, и численных методов решения экстремальных задач. Оказалось возможным решать геометрически нелинейные задачи напрямую без линеаризации, применяя эффективные алгоритмы методов минимизации непосредственно к неквадратичной энергетической функции многих переменных.

Черногубовым Д.Е. [208] рассматриваются слоистые оболочки, состоящие из различных ортотропных слоев с толщиной, плавно меняющейся вдоль образующей. Все слои деформируются без скольжения и отрыва, а компоненты напряжений на площадках, касательных к поверхности контакта, не имеют разрывов. Материал' ортотропных слоев подчиняется обобщенному закону Гука, для всего пакета оболочки выполняется гипотеза Кирхгофа-Лява. Задача рассматривается в координатах деформированной поверхности.

Процесс нагружения оболочек представлен как последовательность этапов нагружения, при этом приращения нагрузки таковы, что решение исходной нелинейной краевой задачи сильного изгиба оболочки заменяется последовательным решением ряда задач среднего изгиба. Используется метод линеаризации Ньютона-Канторовича, причем линейные краевые задачи сводятся к задачам Коши, которые решаются методом Рунге-Кутта 4-го порядка. При исследовании закритических деформаций используется прием смены ведущего параметра.

Крицкий А.Б. [134] из вариационного принципа приходит к системе геометрически нелинейных уравнений равновесия оболочки. Решение ведется методом продолжения по параметру. Нелинейные уравнения решаются методом Ньютона-Канторовича в сочетании с методом возмущений. На каждом шаге производится контроль за наличием особых точек с помощью метода Лагранжа. При обнаружении особой точки выясняется, является ли данная точка предельной или это точка бифуркации. При наличии точки бифуркации предлагается продолжить решение по каждой из ветвей и исследовать устойчивость закритических равновесных состояний.

Коробейниковым С.Н. [131] Предлагается новый вариант изопа-раметрического КЭ, пригодного для геометрически нелинейного анализа оболочек. При формулировке матрицы жесткости элемента учитываются большие повороты вектора нормали к срединной поверхности оболочки.

Исходя из анализа существующих в данном направлении публикаций, перед автором диссертацией были поставлены следующие задачи:

- разработать методику исследования процесса деформирования многослойной оболочки из композиционных материалов произвольной геометрии с переменными физико-механическими параметрами в пределах элемента с учетом геометрической нелинейности на основе пошагового нагружения и линеаризации уравнений равновесия в окрестности текущего напряженно-деформированного состояния;

- построить разрешающие соотношения и уравнения для решения указанного класса задач с использованием конечно-элементной дискретизации на основе биквадратичной аппроксимации по поверхностным координатам и линейной аппроксимацией по толщине для описания кинематики деформирования, в которых используется самостоятельное распределение напряжений по слоям, обеспечивающее непрерывность поперечных касательных напряжений на межслойных поверхностях;

- разработать методику исследования закритических деформаций с прохождением предельных точек кривой "нагрузка-прогиб", основанной на методах продолжения по параметру с использованием в качестве параметра длины касательной к искомой кривой;

- разработать алгоритм и создать программное обеспечение, позволяющее решать задачи указанного класса на базе современной вычислительной техники;

- решить ряд тестовых и прикладных задач нелинейного изгиба однородных и многослойных пластин и оболочек в предположении больших перемещений и конечных деформаций.

Диссертация, в которой реализованы поставленные цели, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 249 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении приведем основные результаты и выводы.

1. Разработана методика исследования изгиба пластин и оболочек с учетом больших перемещений и конечных деформаций. Она основана на пошаговом нагружении и использовании текущей геометрии в качестве отсчетной метрики. Показано, что для исключения накопления погрешности при линеаризации задачи на каждом этапе нагружения необходимо сохранять в уравнении равновесия относительно приращения перемещений невязку от неуравновешенности предшествующего состояния.

2. При определении очередного напряженного состояния, которое описывается в компонентах тензора напряжений Коши относительно площадок, расположенных в координатных плоскостях локальной декартовой системы координат, необходимо выполнять два этапа вычислений. На первом по приращениям напряжений Пиолы-Кирхгофа вычисляются компоненты тензора напряжений Коши относительно исходного базиса, на втором производится пересчет к новому базису следующего состояния равновесия.

3. Построены разрешающие уравнения для слоистых оболочек из композиционных материалов в рамках кинематической гипотезы Тимошенко и предположении о малости напряжений обжатия. Напряжения по толщине распределяются в соответствии с механическими характеристиками каждого слоя: мембранные и из-гибные напряжения - линейны в пределах слоя, напряжения поперечного сдвига - квадратичные и непрерывные на межслойных поверхностях. Информация о напряженном состоянии оболочки в процессе всего нагружения хранятся в виде их узловых значений на межслойных поверхностях, а в случае необходимости в точках срединных поверхностей слоев.

- 1394. Для исследования закритических состояний разработана методика прохождения критических точек на диаграмме "нагрузка-прогиб" на основе метода продолжения по параметру. В качестве этого параметра используется длина отрезка касательной. При надлежащем выборе величины параметра решение получается без итераций на шаге нагружения и сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с матрицей, являющейся суммой матриц жесткости и геометрической жесткости.

5. Разработан алгоритм и создан пакет программ на языке Fortran 77 для транслятора Ms. Power Station 4.0 в среде Windows 95, позволяющие решать задачи указанного класса. Пакет имеет модульную структуру, каждый из модулей выполняет законченный цикл вычислений. В зависимости от поставленной задачи собирается необходимый пакет этих модулей, которые циклически включаются в работу.

6. Приведенные решения задач демонстрируют работоспособность пакета и возможность достижения заданной точности расчетов.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. -288с.

2. Агапов В.П. Основные соотношения МКЭ в статических и динамических расчетах геометрически нелинейных конструкций // Строительная механика и расчет сооружений. 1984. - № 5. -С.43-47.

3. Агапов В.П. Усовершенствованный плоский многослойный треугольный конечный элемент комбинированного типа// Известия вузов. Строительство и архитектура. -1985. -№10. С. 31-34.

4. Агапов В.П. Четырехугольный многослойный конечный элемент для расчета пластинок и оболочек// Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - №1. - с. 74-76.

5. Аксельрад Е. Л. Гибкие оболочки.— М.: Наука, 1976.— 362 с.

6. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. -М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

7. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

8. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-446 с.

9. Амельченко В. В., Неверов И. В., Петров В. В. Решение нелинейных задач теории пологих оболочек путем вариационных итера-ций//Известия АН. Механика твердого тела. 1963.—№ 3.—С. 62—68.

10. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов //Известия АН. Механика твердого тела. 1994. - № 1. - С. 52-59.

11. Бакулин В.Н., Кривцов B.C., Рассоха A.A. Алгоритм получения матрицы жесткости конечного элемента анизотропной оболочки. // Известия вузов. Авиационная техника. 1983. - №4. - С. 14-18.

12. Бакулин В.Н., Рассоха A.A. Метод конечных элементов и голо-графическая интерферометрия в механике композитов. М.: Машиностроение, 1987. - 312 с.

13. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. Об определении напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности // Прикладная механика. 1988. - Т. 24. № 10. - С.46-52.

14. Бахтин И. А., Красносельский М. А. К задаче о продольном изгибе стержня переменной жесткости// Доклады АН СССР. 1955. -105, №4. - С. 621 - 624.

15. Беллман Р. Метод возмущений в приложении к нелинейной меха-нике//Сб. переводов и обзоров иностр. периодической литературы. № 2. Механика. М.: ИЛ, 1957 - С. 154- 59.

16. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеарнзацияи нелинейные краевые задачи. М.: Мир. 1968 - 184 с.

17. Бережной Д.В. Статический расчет трехмерных конструкций методом конечных элементов //Дисс.канд. физ.-мат. наук1. Казань, 1992.

18. Болотин B.B. Нелинейная теория упругости и устойчивость "в большом" // Расчеты на прочность. 1958. - Вып. 3. - С. 310-354.

19. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

20. Бубнов И. Г. Напряжения в обшивке судов от давления воды. -С.-Петербург., Типо-Литография, 1904. 183 с.

21. Бубнов И. Г. Труды по теории пластин. М: ГИТТЛ, 1953. - 424с.

22. Бурман Я.З., Соловьев С.С. К определению напряжений поперечного сдвига в конечноэлементном расчете многослойных пластин и оболочек по модели Тимошенко // Пространственные конструкции в Красноярске крае. Красноярск, 1989. - С.75-81.

23. Быков Е.В., Попов Б.Г. Треугольный конечный элемент многослойной оболочки. // Известия вузов. Машиностроение. 1984. -№10. - С. 14-17.

24. Быков Е.В., Попов Б.Г. Расчет многослойных оболочечных конструкций с учетом деформаций поперечных сдвигов. //Расчеты на прочность. Вып. 30. М.: Машиностроение. - 1989. - С. 66-87.

25. Вагин П.П., Иванова Н.В., Шишкаренко Г.А. Напряженно-деформированное состояние упругих гибких многослойных оболочек // Прикладная механика. 1998. - Т.34. - №8. - С.94-102.

26. Вайнберг Д.В., Синявский A.A. Расчет оболочек. Киев: Гос-стройиздат УССР, 1961.-119с.

27. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. -416с.

28. Валишвили Н.В., Силкин В.В. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики равновесия пологих оболочек //Известия вузов. Механика твердого тела, 1970. №3. -С.140-143.

29. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. -М.: Машиностроение, 1976. 279 с.

30. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

31. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ . М.: Мир, 1987. - 542 с.

32. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Киев: Изд-во АН УССР, 1949-1952,- 4.1. -1949. - 136с.; 4.2. - 1952. - 115с.

33. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. -Д.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

34. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, -1963. - 879 с.

35. Ворович И. И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек // Прикладная математика и механика. 1956. -20, вып. 4. - С. 449-474.

36. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // Прикладная математика и механика. 1965. - 29, вып. 5 - С. 894-901.

37. Ворович И.И., Минакова Н.И. Устойчивость неполого сферического купола // Прикладная математика и механика. 1968. - 32, №2. - С. 332-338.- 144*

38. Ворович И,И., Минакова Н.И. Проблемы устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек//Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика деформируемого твердого тела. -1973. 7. - С. 5-86.

39. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. - 376 с.

40. Гаврюшин С.С. Численное моделирование и анализ процессов нелинейного деформирования гибких оболочек // Механика твердого тела. -1994. №1. - С.109-119.

41. Гаврюшин С.С. Разработка методов расчета и проектирования упругих оболочечных конструкций приборных устройств. Дисс. .д-ра техн. наук -Москва 1994,- 307 с.

42. Гаврюшин С.С. Численное моделирование нелинейного поведения тонких упругих оболочек на основе многопараметрического подхода // Труды 17 Международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань, сен. 15-20,1995. Т.1 Казань, 1996. -С.185-190.

43. Гаидачук В. В., Гоцуляк Е. А., Гуляев В. И. Ветвление решений нелинейных уравнений тороидальных оболочек при действии внешнего давления//Прикладная механика. 1978. - 14, №9 - С. 38-45.

44. Гайнутдинов В.Г., Гайнутдинова Т.Ю. О численном анализе нелинейного деформирования гибких конструкций // Известия вузов. Авиационная техника. 1991. - №3. С. 8-13.

45. Галимов К. 3. Общая теория упругих оболочек при конечных перемещениях// Изв. КФАН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. -1950 Вып. 2. С. 3-38.

46. Галимов К. 3. Применение вариационного принципа возможных изменений напряженного состояния в нелинейной теории пологих оболочек // Известия вузов. Математика. 1958 - №1 - С. 311.

47. Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. - 326 с.

48. Галимов К. 3., Паймушин В. Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. - 163 с.

49. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып.5. Казань, КГУ, 1967. С. 66-92.

50. Танеева М. С. Нелинейная теория и расчет тонких и нетонких оболочек вращения: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1984. - 32 с.

51. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения М.: Наука, 1992. - 159 с.

52. Голдманис М.В., Тетере Г.А. Исследование устойчивости оболочек вращения из волокнистых композитов в геометрически нелинейной конечно-элементной постановке // Механика композитных материалов. 1987. - №2. - с.286-292.

53. Голдманис М.В., Тетере Г.А. Исследование устойчивости анизотропных композитных панелей при помощи вырожденного конечного элемента оболочек в геометрически нелинейной постановке.) // Механика композитных материалов. 1989. - №4. - С. 664-670.

54. Голдманис М.В., Риекстинын А.И., Тетере Г.А. Нелинейный и начальный закритический конечно-элементный анализ композитных цилиндрических панелей при осевом сжатии (англ.) // Механика композитных материалов. 1992. - №1. - С. 73-83.

55. Голованов А.И. Сравнительный анализ различных схем расчета оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов

56. Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. XXI. Часть I. - Казань, - 1989. - С. 104-111.

57. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань, 1989. - 270 с.

58. Голованов А.И., Красновский И.Ю. Изопараметрический конечный элемент композитной оболочки с двойной аппроксимацией деформации // Механика композитных материалов. 1991. - №5. - С. 885-890.

59. Голованов А.И. Расчет однородных и многослойных оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов //Дисс.докт. физ.-мат. наук Казань, 1992.

60. Голованов А.И., Красновский И.Ю. Расчеты композитных оболочек на основе гипотез Тимошенко и метода конечных элементов // Прикладная механика. 1992. - Т. 28. - №8. - С.53-58.

61. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. Изгиб трехслойной круглой пластины с ортотропными несущими слоями // Труды II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. Казань. - Кн. 4. - 1996. - С. 28.

62. Голованов А.И., Гурьянов Н.Г., Гурьянова О.Н. Осесимметричная деформация круглой пластины с ортотропными несущими слоями // Казанский университет. Казань. - 1996. - 33 с. - Деп. В ВИНИТИ № 945 - В96 - 26.03.96 - РЖ "Механика" - 9В 134 ДЕП.

63. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. МКЭ в геометрически нелинейных задачах деформирования слоистых анизотропных оболочек //

64. Тезисы доклада на VII Четаевской конференции " Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Казань.1997. С. 134.

65. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. Исследование нелинейного деформирования слоистых оболочек произвольной геометрии МКЭ // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов. - 1997. - Т. 3 - с. 44 - 48.

66. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. Расчет тонкостенных оболочек с учетом больших перемещений методом конечных элементов // Труды VIII Межвузовской конференции " Математическое моделирование и краевые задачи" Самара. - 1998. - Ч. 1. - С. 41 -43.

67. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. Построение разрешающих матриц в шаговой схеме решения геометрически нелинейных задач для слоистых оболочек МКЭ // Труды Международной конференции " Актуальные проблемы механики оболочек",- Казань.1998. С.47 - 52.

68. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. Исследование больших прогибов слоистых оболочек МКЭ //Труды VII Международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование." Ростов-на-Дону - 1999. - С.142-143.

69. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. МКЭ в исследовании больших прогибов слоистых оболочек //Тезисы докл. V Международногосимпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и слоистых сред". Москва. - 1999. - С.30.

70. Голованов А.И., Гуриелидзе М.Г., Гурьянова О.Н. Расчет однородных и слоистых оболочечных конструкций с учетом больших перемещений МКЭ //Сб. докл. XIX Междун. конф. по теории оболочек и пластин. -Нижний Новгород. 1999. - С. 45-48.

71. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. Исследование МКЭ закритиче-ской деформации слоистых оболочек // Тезисы докладов VI Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и слоистых сред". Москва. - 2000. -С.32

72. Голованов А.И., Гурьянова О.Н. Исследование геометрически нелинейного деформирования произвольных многослойных оболочек малой и средней толщин МКЭ // Известия вузов. Авиационная техника. Казань. - 2000. - № 2. - С.5-8.

73. Григолюк Э. И. К вопросу о поведении круглой пластины после потери устойчивости/ЛВестник инженеров и техников. 1949. -№3. - С. 103-106.

74. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Нелинейные уравнения пологих многослойных оболочек регулярного строения // Известия АН. Механика твердого тела. 1967. - № 1. - С. 163-169.

75. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикладная механика. 1972. - Т. 8. - №6. - С. 3-17.

76. Григолюк Э. И., Мамай В. И., Фролов А. Н. Исследование устойчивости непологих сферических оболочек при конечных перемещениях на основе различных уравнений теории оболочек// Известия АН. Механика твердого тела. 1972. - № 5. - С. 154-165.

77. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. - 170 с.

78. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. - 359 с.

79. Григолюк Э. И., Мамай В. И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши// Прикладные проблемы прочности и пластичности: Методы решения задач упругости и пластичности. Горький, Изд-во Горьк. ун-та, 1979. - С. 3 - 49.

80. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988.- 288 с.

81. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. - 232 с.

82. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Осесимметричное деформирование тангенсально нагруженных многослойных анизотропных оболочек вращения // Механика композитных материалов. 1992. - №4.- С.484-491.

83. Григоренко Я.М., Кокошин С.С. Численный анализ напряженного состояния слоистых анизотропных оболочек на базе смешанной модели КЭ // Прикладная механика. 1982. - Т. 18. - №2. - С. 36.

84. Григоренко Я. М., Тимонин А. М. Численное решение неосесим-метричных задач- нелинейной теории слоистых оболочек враще-ния//Прикладная механика. 1982. - 18, № 5. - С. 43-48.

85. Григоренко Я. М. Решение задач теории оболочек методами численного анализа// Прикладная механика. 1984. - 20, № 10, - С. 3-22.

86. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наукова думка, 1987. -216 с.

87. Григоренко Я. М., Крюков Н. Н. Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. Киев: Наук, думка, 1988. - 264 с.

88. Григоренко Я. М.,Абрамидзе Э. А. Об одном варианте уточненной теории гибких слоистых ортотропных оболочек/Шрикладная механика. 1989. - 25, №8. - С. 44-52.

89. Григоренко Я.М., Крюков H.H., Крижановская Т.В. Численный анализ деформирования гибких оболочечных конструкций из композитных матариалов при комбинированном нагружении // Механика композитных материалов. 1990. - №6. - С.1101-1105.

90. Григоренко Я. М., Тимонин А. М. Численное решение задач о деформации гибких анизотропных пластин сложной геометрии //Доклады АН УССР. Сер. А 1990. - №6. - С.43-47.

91. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1991. - 346 с.

92. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения (обзор) // Прикладная механика. 1991. - Том 27. - №10. - С.3-23.

93. Григоренко Я.М. Некоторые подходы к численному решению линейных и нелинейных задач теории оболочек в классической и уточненной постановках // Прикладная механика. 1996. - Том32. №6. - С.3-39.

94. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Решение задач и анализ напряженно-деформированного состояния анизотропных неоднородных оболочек (обзор) // Прикладная механика. 1997. - Том33. №11. - С. 3-39.

95. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях.—Киев: Наук, думка, 1973. 270 с.

96. Гузь А.Н. О возможности обобщения нелинейной теории малых деформации // Прикладная механика. 1984. - 20, № 1 - С. 3-13.

97. Гуляев В.И., Мельниченко Г.И. Закритическое состояние прямоугольных и цилиндрических панелей // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1975. - Вып. 25. - С. 10-18.

98. Гуляев В.И., Мельниченко Г.И. Формы закритического равновесия оболочки переноса под действием внешнего давления // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1975. -Вып. 25. - С. 26-36.

99. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. Львов: Вища школа. Изд-во Львов, ун-та, 1982. -255с.

100. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдачук В.В. Расчет оболочек сложной формы. Киев: Буд1вельник, 1990. - 192с.

101. Гуриелидзе М.Г. Расчет оболочек средней толщины с учетом геометрической нелинейности методом конечных элементов: Дисс.канд. физ.-мат. наук Казань, 1998.

102. Гурьянова О.Н. Напряженно деформированное состояние трехслойных пластин с анизотропными несущими слоями // В трудах Международной научно - технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию". - Набережные Челны. -Ч. 1. - 1996. - С. 50 - 51.

103. Гурьянова О.Н. Большие прогибы консольной полосы под действием изгибающего момента // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. -Казань. 1998 - С.99-101.

104. Давиденко Д. Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Укр. мат. журн. 1953. - 5, № 2 - С. 196-206.

105. Джорж А., Лю Дж. Численное решение больших разряженных систем уравнений. М.: Мир, 1984.- 333 С.

106. Длугач М.И. К построению систем конечно-разностных уравнений для расчета пластин и оболочек // Прикладная механика. -1978,- Т.8, №1. С.99-103.

107. Дробышевский Н.И. Модифицированный четырехугольный конечный элемент для решения двумерных задач нелинейного деформирования конструкций. //Известия АН. Механика твердого тела. 1996. - №2. - С.152-162.

108. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.:ВИНИТИ. - 1983. -Т.15. - С.3-68.

109. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики: Справ, пособие. Минск: Вышэйшая школа, 1990. -349с.

110. Кантор Б. Я., Каторжной С. И. Вариациоино-сегментовый метод в нелинейной теории оболочек. Киев: Наук, думка, 1982. -136 с.

111. Капустин С.А. Метод конечных элементов в механике деформируемых тел. -4.1. -Н.Новгород, 1997.- 70 с.

112. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

113. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.:ИЛ, 1961. - 767с.

114. Каюк Я. Ф. Некоторые вопросы методов разложения по параметру. Киев,- Наук. Думка, 1980. - 167 с.

115. Каюмов P.A. Идентификация характеристик слоя по результатам испытаний многослойных оболочек //Труды Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек". Казань. - Унипресс. - 1998. - С. 115-119.

116. Кислоокий В.Н., Цыхановский В.К. Нелинейное деформирование облегченных пространственных конструкций // Прикладная механика. 1997 . - Т.33. - №8. - С.49-56.

117. Климанов В.И., Чупин В.В. Осесимметричная деформация гибких неоднородных оболочек вращения// Прикладная механика. -1982. 18, №4. - С.36-40.

118. Коболев В.Н., Коварский Л.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций. М.: Машиностроение, 1984. - 304 с.

119. Койтер В. Т. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем// Период, сб. пер. иностр. ст. Сер. Механика. 1960. - 5. -С. 99-110.

120. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. М. : Наука, 1964. - 192 с.

121. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластинки и панели. -М.: Наука, 1968. 260с.

122. Корнишин М.С., Шихранов А.Н. Нелинейные неосесимметрич-ные задачи изгиба пологих сферических оболочек и круглых пластин // Актуальные проблемы механики оболочек. Казань, 1985. - С.29-35.

123. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. -208с.

124. Коробейников С.Н. Геометрически нелинейный анализ оболочек с учетом больших приращений поворотов // Моделирование в механике. 1990. - Том 4 (21). - № 4. - С.119-126.

125. Коровайцев А. В. Расчет напряженно-деформированного состояния оболочек вращения при больших перемещениях. // Известия вузов. Машиностроение. 1982. - №5. - С.11-16.

126. Коровайцев А. В. О применении метода прогонки в итерационных процессах решения задач нелинейной теории оболочек. // Прикладная механика. 1984. - 20, №2. - С.58-65.

127. Крицкий А.Б. Устойчивость и закритическое поведение тонкостенных конструкций: Автореф. дис. канд. техн. наук. Киев, 1991.-20 с.

128. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.

129. Кузнецов В.В., Левяков С.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости форм равновесия оболочек вращения при больших перемещениях // Доклады Академии Наук. -1997,- т. 357. №2. - С. 187-189.

130. Кузьмин В.В. Эффективный метод решения геометрически нелинейных задач для оболочечных конструкций на основе минимизации энергии // Известия вузов: Авиационная техника. 1999.- №1. с.12-15.

131. Кулагин C.B. Расчет слоистых композитных оболочек МКЭ // Проблемы динамики и прочности машиностроительных конструкций. Казань, 1990. - С.68-83

132. Куликов Г.М. Неосесимметричное деформирование танген-сально нагруженных многослойных анизотропных оболочек вращения // Механика композитных материалов. 1992. - №5. - с. 597-602.

133. Лагундаридзе Г.О., Мяченков В.И. Расчеты конструктивно анизотропных оболочек методом конечных элементов // Расчеты на прочность. Вып. 30. М.: Машиностроение, 1989. - С. 182-201.

134. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. - 587 с.

135. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. -512с.

136. Метод конечных элементов в теории пластин и оболочек. Рига: Зинатне, 1988. - 284с.

137. Методы расчета оболочек. Т.1. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями/ А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, В. Чехов и др.- Киев: Наук. Думка, 1980. 636с.

138. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ: в 2-х частях. М.: Стройиздат, 1976. - 4.1. -1987. -248с.; 4.2. -1987. - 237с.

139. Морозов Н.Ф. Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластин// Известия вузов. Математика. 1960. - № 3. - С. 8-12.

140. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

141. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. -216с.

142. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение, 1984.-280с.

143. Немировский Ю.В., Резников B.C. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск: Наука, 1986.- 165 с.

144. Никиреев В. М. К решению нелинейных уравнений строительной механики методом последовательных нагружений// Строительная механика и расчет сооружений. 1970. - № 3. - С. 61-62.

145. Новичков Ю. Н. Нелинейная теория и устойчивость толстых многослойных оболочек // Прикладная математика и механика. -1973. 37. - Вып. 3. - С. 532-543.

146. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. JL: Гостехиздат, 1948 -212 с.

147. Носатенко П.Я., Омельчанко М.Н. Трехмерный анализ устойчивости слоистых анизотропных оболочек вращения из композитных материалов // Механика композитных материалов. 1992.- №4. С.499-507.

148. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464с.

149. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 588 с.

150. Паймушин В.Н. Вариант уточненной нелинейной теории тонких упругих трехслойных оболочек итерационного типа // Прикладная математика и механика. М. - 1990 - Т. 54. - № 1. - С. 86-92.

151. Панов Д. Ю. О применении метода Б. Г.Галеркина для решения некоторых задач теории упругости//Прикладная математика и механика. 1939.- 3, №2. - С.139-142.

152. Пелех Б.Л., Марчук М.В. Метод конечных элементов при решении краевых задач для анизотропных пластин из композитных материалов //Механика композитных материалов. -1983. №1. -С.71-79.

153. Песошин A.B. Численное и численно-экспериментальное исследование тонкостенных конструкций на основе метода конечных элементов //Дисс.канд. физ.-мат. наук- Казань, 1993.

154. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 173 с.

155. Петров В.В., Неверов Н.В., Амельченко В.В. Некоторые вопросы расчета пологих оболочек при больших прогибах вариационным методом Власова // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1968,- №12. - С. 22-28.

156. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.: Наука, 1985. -182 с.

157. Пискунов В.Г. Построение дискретно-континуальной схемы расчета неоднородных плит на основе метода конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып. 33. -1978. С.78-81.

158. Пискунов В.Г., Карпиловский B.C., Сипетов B.C., Марченко Н.Г. Реализация конечных элементов многослойных конструкций на ЕС ЭВМ // Известия вузов. Строительство и архитектура. -1982. №5. - С.29-33.

159. Пискунов В.Г., Сипетов B.C. Применение метода конечных элементов к расчету неоднородных плит с различными условиями на контуре // Известия вузов. Строительство и архитектура. -1978. №1. - С.55-59.

160. Погорелов A.B. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967. - 279с.

161. Постнов В.А., Слезина Н.Г. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения при использовании метода конечных элементов// Известия АН. Механика твердого тела. 1976. - №6. - С.78-85.

162. Рассказов А.О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек// Прикладная механика. 1976. - Т.12. - №11. - С.50-56.

163. Рассказов А.О. Расчет многослойной ортотропной пологой оболочки методом конечных элементов// Прикладная механика. -1978. Т.14. - №8. - С.51-57.

164. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга H.A. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. Киев: Вища школа, 1986. - 191с.

165. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов. Киев: Вища школа, 1987. - 200с.

166. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник/ В.И. Мяченков, В.П. Мальцев, В.П. Майборода и др. М.: Машиностроение, 1989. - 520с.

167. Расчеты упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л.: Судостроение, 1974. - Т.1. - 1974. - 308с.; Т.2. - 1974. - 312с.

168. Резников P.A. Решение задач строительной механики на ЭЦВМ. М.: Стройиздат, 1971. -310с.

169. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко. 4.1. Матрицы жесткости, масс и геометрической жесткости элемента // Механика композитных материалов. 1981. -№3. - С.453-460.

170. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко. 4.2. Численные примеры// Механика композитных материалов. 1981. - №5. - С.815-820.

171. Рикардс Р.Б., Чате А.Г. Геометрически нелинейное докритиче-ское состояние анизотропных оболочек // Прикладная механика. 1985,- Т.21. №12. - С.68-77.

172. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. - 284с.

173. Рикс Е. Применение метода Ньютона в задаче упругой устой-чивости//Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Прикл. механика. 1972. - 39, № 4. - С. 204—209.

174. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.-432 с.

175. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах И., Габберт У., Данкерт Ю., Кепплер X., Кочык 3. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982. - 480с.

176. Свирский И. В. Методы типа Бубнова-Галеркина и последовательных приближении. М.: Наука, 1968. - 198 с.

177. Скворцов Ю.В., Хазанов Х.С. Нелинейный анализ произвольных оболочечных-конструкции с использованием криволинейного изопараметрического элемента // Известия вузов. Авиационная техника. 1989. - №2. - С.15-19.

178. Скворцов Ю.В., Хазанов Х.С. Конечноэлементный анализ среднего изгиба тонкой оболочки // Известия вузов. Авиационная техника. 1990. - №1. - С.13-17.

179. Скворцов Ю.В., Хазанов Х.С. Расчет многослойных композитных оболочек в геометрически нелинейной конечноэлементной постановке // Известия вузов. Авиационная техника. 1992. - №1. - С.6-9.

180. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта -М.: Мир, 1979. 312с.

181. Соловьев С.С. Конечно-элементная модель многослойной оболочки с анизотропными слоями переменной толщины// Известия вузов. Авиационная техника. 1989. - №4. - С.71-75.

182. Срубщик JI. С., Юдович В. И. Асимптотическое интегрирование системы уравнений большого прогиба симметрично загруженных оболочек вращения // Прикладная математика и механика. 1962. - 26, № 5. - С. 313-332.

183. Срубщик Л. С. Выпучивание и послекритическое поведение оболочек. Ростов: Изд-во Рост, ун-та, 1981. - 96 с.

184. Срубщик Л. С. Неосесимметричное выпучивание и послекритическое поведение упругих сферических оболочек в случае двукратного критического значения нагрузки // Прикладная математика и механика. 1983. - 47, № 4. - С. 662-672.

185. Теория ветвления и нелинейные задачи из собственные значения / Под. ред. Дж. Б. Келлера и С. Антмана. М.: Мир, 1974. -255 с.

186. Теория гибких пластин. М.:ИЛ, 1957. - 208с.

187. Терегулов И. Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести. М.: Наука, 1969. - 186 с.

188. Терегулов И. Г. Развитие нелинейной механики оболочек в трудах казанской школы. Mech. Teoret: Stos. - 1987 - 25, №4. -С. 541-555.

189. Терстон Г. А. Продолжение метода Ньютона через точки бифуркации// Прикладная механика. 1969. - № 3. - С. 44-52.

190. Тетере Г.А., Крегерс А.Ф. Проблемы нелинейной механики композитов (обзор) // Механика композитных материалов. 1993. - т.29. - №1. - С.50-60.

191. Тзяо К. Соотношения между деформациями и смещениями в теории больших прогибов оболочек// Ракетная техника и космонавтика. 1964. - № 11. - С. 236-238.

192. Тимошенко С. П. О больших прогибах круглых пластинок//Сб ин-та инж. путей сообщения. С.-Петербург, 1915. - Вып. 89. - С. 1-10.

193. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. - 635с.

194. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы М.: Наука, - 1995. - 320 с.

195. Феодосьев В. И. К расчету хлопающей мембраны//Прикладная математика и механика. 1946. - 10, №2. - С. 295-306.

196. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 1,- М.: Наука, 1970. -608 с.

197. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1982. -304с.

198. Хатчинсон Дж., Койтер В.Т. Теория послекритического поведения конструкций // Механика. 1971. - 128, №4. - С.129-150.

199. Цурпал И.А., Тамуров Н.Г. Расчет многосвязанных слоистых и нелинейно-упругих пластин и оболочек. Киев: Вища школа, 1977. -224с.

200. Черногубов Д.Е. Сильный изгиб составных оболочек вращения и исследование их поведения в области закритических деформаций: Автореф. дис. канд. техн. наук. Екатеринбург, 1998. -17с.

201. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах JL: Машиностроение, 1986. - 336 с.

202. Шалашилин В. И. Метод продолжения по параметру в задаче больших осесимметричных прогибов оболочек вращения// Тр. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин (Ереван, июнь 1980 г.) Ереван; Изд-во Ереван, ун-та, 1980. - Т.З. - С.264-271.

203. Шалашилин В.И., Костриченко A.B., Князев Э.Н.,Зуев H.H. Продолжение по наилучшему параметру в нелинейных статических задачах решаемых методом конечных элементов // Известия вузов. Авиационная техника. 1997. №4. С. 18-24.

204. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС. 224с.

205. Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. Киев: Наук, думка, 1966. - Ч. 2. 244 с.

206. Шаповалов JI. А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Известия АН. Механика твердого тела. 1968. - N 1. - С.56-62.

207. Якушев В.Jl. Математическое моделирование нелинейных деформаций и устойчивости тонких оболочек // Доклады РАН. -1997. 357. - №3. - С.346-349.

208. Basar Y., Ding Y., Schultz R. Refined finite- element models for the finite-rotation analysis of arbitrary composite laminates //Engineering Systems Design and Analysis. -- 1992. Vol.6. - p.93-100.

209. Basar Y., Ding Y., Schultz R. Refined shear-deformation models for composite laminates with finite rotation. // International Journal of Solids and Structures. 1993,- V.30. - № 19. - P.2611-2638.

210. Basar Y., Montag U., Ding Y. On an isoparametric finite-element for composite laminates with finite rotation. // Computational Mechanics. 1993. - V.12. - P. 329-348.

211. Bathe K.-J., Ramm E., Wilson E.L. Finite element formation for large deformation dynamic analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1975.- V.9. - P.353-386.

212. Bathe K.-J., Bolourchi S. A geometric and material nonlinear plate and shell element. // Computers and Structures. 1980. - Vol. 11, P. 23-48.

213. Bergan P.G., Nygard M.K., Bjaerum R.O. Free formulation elements with drilling freedoms for stability analysis of shells // Computational mechanics of nonlinear response of shell. Kratzing W.B., Onate (Eds.), 1990. - P.164-182.

214. Chang T.Y., Sawamiphakdi K. Large deformation analysis of laminated shells by finite element method. // Computers and Structures. -1981. Vol. 13, P. 331-340.

215. Chao W.C., Reddy J.N. Analysis of laminated composite shell using a degenerated 3-D element // International for Numerical Methods in Engineering.- 1984. V.20. - №10. - P.1991-2007.

216. Damelson D. A. Int. J. of Engng. Sci.- 1970 8, N 3 - P. 251-259.

217. Haas D.J., Lee S.W. A nine node assumed - strain finite element for composite plates and shells // Computers and Structures. - 1987. -V.26. - №3. - P.445-452.

218. Hibitt H.D., Marcal P.V., Rice J.R. A finite element formulation for problems of large strain and large displacement // International Journal of Solids and Structures. 1970. - V.6. - P.1069-1086.

219. Hughes T.Y.R., Liu W.K. Nonlinear finite element analysis of shells: Part I. Three-dimensional shells // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1981. - V.26. - P. 331-362.

220. Hughes T.Y.R., Liu W.K. Nonlinear finite element analysis of shells: Part II. Two-dimensional shells // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1981. - Y.27. - P. 167-182.

221. Jeyachandrabose C., Kirkhoef J. A high precision triangular laminated anisotropic shallow thin shell finite element // Computers and Structures. 1985. - V.21. - №4. - P.701-729.

222. Kant T., Menon M.P. Higher-order theories for composite and sandwich cylinrical shells with finite element// Computers and Structures. Vol. 33.- № 5, 1989. P. 1191-1204

223. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Maschienenbau. Enzkl. Math. Wiss., 1910. p.28.

224. Koiter W. T. Current trends in the theory of buckling// Buckling Structure. Berlin, 1976 - P. 11-16.

225. Liu W.K., Law E.S., Lam D., Belytschko T. Resultant stress degenerated shell element. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1986. - V.55. - P. 259-300.

226. Mukhopadhyay D., Dinker D.K. Isoparametric linear bending element and one-point integration shells // Computers and Structures. -1978. V.9. - №3. - P.365-369.

227. Panda S., Natarajan R. Finite element analysis of laminated composite plate // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1979. - V.14. - №1. - P.69-79.

228. Parisch H. Large displacements of shells including material non-linearity // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1981. - V.27. - P. 183-214.

229. Parisch H. An investigation of a finite rotation four node assumed strain shell element // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1991,- V.31. - P.127-150.

230. Pietraszkiewich W. Non-linear theories of thin elastic shells (in Polish) // Proc. Polish. Symp. shell structures. Theory and Applications (Krakow, May 25—26, 1974). Warsawa: Polish. Sci. Publ., 1978. - P. 27-50.

231. Rao K.P. A rectangular laminated anisotropic shallow thin shell finite element // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1978. - V.15. - P. 13-33.

232. Reissner E. On the equations for finite symmetrical deflections of thin shells revolution //Progress in Applied Mechanics, the Prager Anniversary Volume, 1963. P. 171-178.

233. Rhiu J.J., Lee S.W. A nine node finite element for analysis of geometrically non-linear shells. // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1988.- V.26. - P.1945-1962.

234. Rhiu J.J, Lee S.W. An assumed strain mixed formulation for nonlinear shell // Computational mechanics of nonlinear response of shell. Kratzing W.B., Onate (Eds.), 1990. - P.237-257.

235. Riekstins A. Analysis of the stability and post-buckling of composite shells in geometrically nonlinear finite element formulation. -Riga. 1993, 99c.-166

236. Riks E. Some computational aspect of the stability analysis of nonlinear structures. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1983. - V.47. - P. 219-259.

237. Simo J., Fox D.D., Rifai M.S. On a stress resultant geometrically exact shell model. Part III: Computational aspects of the nonlinear theory. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1990. - V.79. - P. 21-70.

238. Spilker R.L. Hybrid stress formulation for multilayer isoparametric plate element // Finite Element Methods for Plate and shell Structures. Volume 1: Element Technology. Swansea, UK, 1986. - P.175-199.

239. Surana K.S., Sorem R.M. Higher-order completely hierarchical p-approximation curved shell elements for elastic analysis of laminated composite plates and shells // Composite Material Technology. -New York, 1990. P.273-286.

240. Surana K.S. Geometrically nonlinear formulation for the curved shell elements. // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1983,- V.19. - P.581-615.

241. Yeom C.H., Lee S.W. An assumed strain finite element model for large deflection composite shells. // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1989,- V.28. - P.1749-1768.