Анализ напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке при различных вариантах интерполяции перемещений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

005045035

На правах рукописи

Шубович Александр Анатольевич

АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТАХ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 МАЙ 2012

Волгоград-2012

005045035

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» в ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный аграрный университет».

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Клочков Юрий Васильевич. Официальные оппоненты: Серазутдинов Мурат Нуриевич,

доктор физ.-мат. наук, профессор, Казанский национальный исследовательский технологический университет,

зав. кафедрой теоретической механики и сопротивления материалов; Бандурин Николай Григорьевич, доктор технических наук, профессор, Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет, профессор кафедры строительной механики. Ведущая организация Российский университет дружбы народов.

Защита состоится «14» июня 2012 года в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 212.028.04 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ВолгГТУ, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета. Автореферат разослан « 10» мая 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Водопьянов Валентин Иванович

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В условиях продолжающегося экономического кризиса приоритетным является использование надежных, экономичных с точки зрения расхода материала строительных и машиностроительных конструкций и промышленных сооружений. Этим требованиям отвечает применениг оболочечных систем и, в частности, оболочек вращения, определение напряженно-деформированного состояния (НДС) которых представляет собой достаточно сложный и трудоемкий процесс. Трудности нарастают в случаях, когда возникает необходимость учитывать геометрическую нелинейность конструкции, поэтому совершенствование методов расчета таких систем является актуальной задачей и представляет большой практический интерес.

Целью диссертационной работы является":

-создание математических моделей высокоточных элементов дискретизации, позволяющих повысить точность конечно-элементных решений при определении напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в линейной и геометрически нелинейной постановках.

Соответственно поставлены следующие основные задачи исследования:

-разработать на шаге нагружения вариативные соотношения между приращениями компонент тензора напряжений и приращениями компонент тензора деформаций;

- выполнить сопоставительный анализ конечно-элементных решений, полученных при использовании элементов дискретизации, скомпонованный на основе независимой интерполяционной процедуры с решениями, полученными с помощью конечных элементов с векторной интерполяционной процедурой;

- уточнить и дополнить функционал Лагранжа на шаге нагружения с уч етом суммарной невязки, накопленной за предыдущие шаги нагружения;

-разработать математические модели матрицы жесткости одномерного конечного элемента для расчета осесиммметрично нагруженных оболочек вращения и матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента для расчета произвольно нагруженных оболочек вращения при использовании векторной интерполяции полей перемещений в линейной и геометрически нелинейной постановках.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

-разработаны новые вариативные соотношения между приращениями компонент тензора напряжений и приращениями компонент тензора деформаций на шаге нагружения;

- на шаге нагружения разработана и реализована в алгоритмах векторная интерполяционная процедура, выражающая вектор перемещения и его приращение внутренней точки конечного элемента через узловые значения

- в функционале Лагранжа выполнен учет суммарной невязки, накопленно!

векторов перемещений и их приращений;

за предыдущие шаги нагружения, что позволяет получать уточненное решение;

- разработаны новые математические модели формирования матриц жесткостей на шаге нагружения одномерного элемента для расчета осесимметрично нагруженной оболочки вращения и фрагмента срединной поверхности произвольно нагруженной оболочки в виде криволинейного четырехугольника при различных способах интерполяции перемещений. •

Методы исследования. Поставленная цель достигается использованием методов векторного и тензорного анализа, дифференциальной геометрии, механики сплошной среды, вариационного исчисления, теории тонких оболочек, теории аппроксимации функций и численного метода конечных элементов.

В качестве объектов исследования выбраны тонкие оболочки вращения.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на корректной математической постановке решаемых задач и подтверждается сопоставлением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных алгоритмов с результатами, полученными аналитическим путем, результатами исследований других авторов, и решениями, полученными с помощью программного комплекса ANS YS. Анализ сходимости вычислительного процесса при решении геометрически нелинейных задач выполнялся варьированием количества дискретных элементов рассчитываемых конструкций и числа шагов нагружения.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанные конечные элементы могут быть использованы в программных комплексах для определения НДС осесимметрично и произвольно нагруженных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке. Результаты диссертационной работы оформлены в виде пакета прикладных программ по расчету на прочность конструкций из оболочек, который может бьггь использован в научно-исследовательских и проектно-конструкторских организациях, занимающимися проектированием, строительством и эксплуатацией оболочечных конструкций. Использование разработанных алгоритмов позволяет выполнять уточненный расчет на прочность и жесткость конструкций из оболочек, что обеспечивает их надежную работу.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента с вариативной компоновкой матрицы упругости на шаге нагружения при учете суммарной невязки;

-математическая модель формирования матрицы жесткости одномерного конечного элемента с векторной интерполяцией полей перемещений для расчета осесимметично нагруженных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке;

- математическая модель формирования на шаге нагружения матрицы жесткости конечного элемента в виде произвольно ориентированного на срединной поверхности криволинейного четырехугольника с векторной интерполяцией полей перемещений.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-практической конференции «Научное обеспечение национального проекта. Развитие АПК» (Волгоград, 2007); Всероссийской научно-практической конференции «Инженерные системы-2008» (Москва, апрель 2008); научно-практической конференции, посвященной 65-летию образования ВГСХА «Использование инновационных технологий для решения проблем АПК в современных условиях» (Волгоград, 2009); международной научно-практической конференции «Инженерные системы-2009» (Москва, апрель 2009); международной научно-практической конференции, посвященной 45-летию образования ЭМФ ВГСХА (Волгоград,

2009); международной научно-практической конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 2009); международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию Победы в Великой Отечественной войне (Волгоград, 2010); международной научно-практической конференции «Инженерные системы — 2010» (Москва,

2010); международной научно-практической конференции «Интеграционные процессы в науке, образовании и аграрном производстве — залог успешного развития АПК» (Волгоград, 2011); международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2011» (Москва, 2011). Полностью работа докладывалась на совместном заседании кафедр «Высшая математика» и «Водохозяйственное строительство» Волгоградского государственного аграрного университета 21 февраля 2012 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано девятнадцать работ, из них шесть — в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения, изложена на 220 страницах текста, содержит 28 рисунков, 2 гистограммы и 15 таблиц. Список используемой литературы включает 190 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе анализа работ по теме диссертации обосновывается актуальность темы, формулируются задачи исследования, его цель, а также практическая ценность работы.

В первой главе приводится обзор существующих в настоящее время работ по исследуемой теме. Недостатки и проблемы применения метода конечных элементов в определении параметров НДС оболочек выявлены при анализе научных работ различных авторов. В целом ряде работ (Кузнецов В.Б., Голованов А.И., Косицын С.Б. и другие) при расчете оболочек вращения предлагается выполнять учет смещений конечного элемента как жесткого целого в явном виде несколькими способами: строгим соблюдением условий совместности между элементами, включением дополнительных членов в интерполирующие выражения, расширением матрицы жесткости при помощи конгруэнтного преобразования и другие. Однако эти способы не позволяют считать проблему учета смещений конечного элемента как жесткого целого полностью решенной.

Указанную проблему в работах Николаева А.П., Бандурина Н.Г., Клочкова Ю.В. предложено решать в неявном виде на основе векторной интерполяции перемещений, основанной на использовании интерполяционного выражения не для отдельных компонент вектора перемещения, а для самого вектора перемещения в целом

НИгр}> о)

где {У}1 - матрица-строка функций формы; - строка, содержащая

векторы перемещений узловых точек конечного элемента и их производные в локальной системе координат.

Большинство современных конечно-элементных вычислительных комплексов, таких как АКБУБ, ЫАЗТЯАМ, АВА<ЗиБ и других, широко используют в качестве элемента дискретизации четырехугольные фрагменты срединной поверхности оболочки. Однако все современные программные комплексы используют конечные элементы, матрицы жесткости которых формируются на основе скалярной интерполяционной процедуры, когда отдельная компонента вектора перемещения интерполируется через узловые значения этой же компоненты, что может привести к некорректным результатам при расчете оболочек с большими градиентами кривизны меридиана, или допускающих смещение оболочки как жесткого тела под действием заданной нагрузки. Вышеуказанные причины требуют совершенствования алгоритмов конечно-элементного расчета оболочек, основанных на использовании четырехугольных конечных элементов.

Во второй главе с использованием основных соотношений теории тонких оболочек, а также соотношений механики сплошной среды получены геометрически линейные выражения компонент тензора деформаций через перемещения и их производные в точке срединной поверхности оболочки вращения. Приведены геометрические и физические соотношения осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Представлены алгоритмы построения матриц жесткостей осесимметричного и четырехугольного конечных элементов при использовании скалярного и векторного вариантов интерполяции перемещений. Выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений, полученных при использовании векторной интерполяционной процедуры, с решениями, полученными на основе программного комплекса А^УБ.

В качестве примера рассматривалось НДС осесимметричной оболочки вращения, радиус которой задавался зависимостью вида (Рис. 1) г = Л + Всо5(х/С), А = 1,3м, В = 0,4м.

Оболочка нагружена внутренним давлением интенсивности ц = 0,2МПа; толщина оболочки / = 0,01л<; модуль упругости Е = 2,06 • 105 МПа; коэффициент Пуассона к = 0,3. Левый край оболочки шарнирно закреплен, а правый край был свободен.

Первоначально величина параметра С была принята равной С = 0,48м, а осевая координата х изменялась в пределах 0 <х<0,48тгл<.

При этом значении параметра С кривизна оболочки в концевых сечениях

равна

К = УЯ\ = 1.736ЛГ', говорить о том, что рассчитываемая оболочка достаточно

что позволяет пологая.

Расчеты были выполнены в двух вариантах. В первом варианте был реализован алгоритм, основанный на разработанном векторном способе интерполяции перемещений. В качестве второго контрольного варианта использовались решения,, полученные на основе программного комплекса АИБУБ, причем в последнем использовались два типа элемента: «БЬеНбЗ линейный» и «вЬеНЭЗ параболический». Результаты расчета представлены в форме гистограмм, в которых приведены значения меридиональных напряжений на внутренней и наружной поверхностях оболочки в концевых сечениях при различных сетках дискретизации оболочки. Гистограмма 1 соответствует сечению х=0, а 2 - сечению х=0,48я м. Для верификации полученных значений напряжений использовалось условие равновесия, согласно которому меридиональное напряжение в точке шарнирного опирания может бьггь точно вычислено по формуле

Рис. 1

2л г

-ф-

2 л • 1,7

•0,2/0,01 = 12,235 МПа,

где /; и г2 - радиусы вращения в точке шарнирного опирания (х = 0) и в концевом сечении (х = 0,48?гл<) оболочки соответственно.

По данным гистограмм 1

значения меридиональных напряжений,

полученные из условия равновесия, практически совпадают с численными значениями, полученными в процессе конечно-элементного решения в обоих вариантах расчета. Кроме того, следует отметить устойчивую сходимость вычислительного процесса при увеличении числа элементов дискретизации.

Если параметр С уменьшить в 6 раз и принять равным С =0,08 л<, а значение осевой координаты х изменять в пределах 0<х<0,08тгл<, то кривизна оболочки значительно возрастет, и её нельзя уже будет рассматривать как пологую. Однако, расчетная схема оболочки (Рис. 1) останется прежней и для неё также будет справедливо рассмотренное выше условие равновесия.

Результаты конечно-элементных расчетов при уменьшенном значении

параметра С приведены в гистограммах 3 и 4, структура которых аналогична гистограммам 1 и 2.

Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант

12 2 12 2

внутр. внутр. внутр. наружи, наружи, наружи,

shell 63 shell 93 shell 63 shell 93

и Сетка 1 я Сетка 2 ■ Сетка 3 ш Сетка 4 ® Точ, реш.

Гистограмма 1

Гистограмма 2

0,2 0,1 О

ДМИР

"■ЯШ"

-0.1 'Варианттвариант г Вариант! Вариант! Вариант 2 Вариант! внутр. внутр. внутр. наружн. наружи, наружн.

shell 63 shell 93 shell 63 shell 93

я Сетка 1 я Сетка 2

■ Сетка 3

■ Сетка 4

Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант

12 2 12 2

внутр. внутр. внутр. наружн. наружн. наружн.

shell 63 shell 93 shell 63 shell 93

1.5 1 0.5 О -0,5

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 2 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 2 внутр. внутр. внутр. наружн. наружн. наружи.

shell 63 shell 93

shell 63 shell 93

Гистограмма 3

Гистограмма 4

в Сетка 1 т Сетка 2 ■ Сетка 3

Сравнительный анализ численных значений напряжений, приведенных в гистограммах 3 и 4 показывает, что контролируемые параметры напряженно-деформируемого состояния при измененном значении параметра С существенно различаются между собой.

В результатах, полученных на основе программного комплекса А^УБ наблюдаются значительные различия в численных значениях напряжений, полученных при использовании элементов «вЬеИбЗ» и «5Ье1193». Различия отсутствовали при расчете пологой оболочки.

Меридиональные напряжения в точке шарнирного опирания различаются между собой более чем в два раза и не совпадают со значением \2,235МПа, полученным из условия равновесия. Таким образом, при расчете непологих оболочек программный комплекс АКБУБ, основанный на независимой интерполяции компонент вектора перемещения, не позволяет получать адекватную картину НДС. Следовательно, при расчете непологих оболочек необходимо использовать элементы дискретизации, для которых матрицы жесткости формируются на основе векторного способа интерполяции перемещений.

В третьей главе разработан алгоритм формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента на шаге нагружения с вариативной компоновкой матрицы упругости с использованием независимой интерполяционной процедуры. Получены соотношения между компонентами тензора приращений деформаций и компонентами приращений вектора перемещений на 0+1) - м шаге нагружения.

Матрица упругости на шаге нагружения получена в четырех различных вариантах, которые затем сравнивались между собой.

В первом варианте матрица упругости найдена дифференцированием контравариантных компонент тензора напряжений по ковариантным компонентам тензора деформаций

м4|г1'тогда (2)

3x3 1_ Ьп J 3x1 3x3 3x1

где {Лст,у} ={Ло-" Дст12 До-22]7 и {д^} = {д4 2Ае{2 Ае(22}т - векторы - столбцы

3x1 3x1

приращений контравариантных компонент тензора напряжений и приращений ковариантных компонент тензора деформаций на шаге нагружения.

Второй вариант формирования матрицы упругости основан на дифференцировании ковариантных компонент тензора напряжений по ковариантным компонентам тензора деформаций

[С] =

доу

,тогда {Д<7*} = [СЛЖ][С]{А4} = [с;]{Д^}, (3)

где матрица \Смп\ определена выражениями Даи =g'ig-""Дакя.

Третий вариант матрицы упругости получен дифференцированием ковариантных компонент тензора деформаций по контравариантным

компонентам тензора напряжений

= тогда [С;/]=[Л]-. (4)

В четвертом варианте для компоновки матрицы упругости на шаге нагружения использована гипотеза, согласно которой, приращения ковариантных компонент тензора напряжений для упругих оболочек вращения выр ажаются через приращения ковариантных компонент тензора деформаций

Аа-и=Л1,( (5)

что в матричной форме можно записать в виде [Лет } = [С,][Д£|], где первый

3x1 3»3 Зх]

инвариант пр1фащения тензора деформаций может быть представлен ковариантными компонентами приращения тензора деформаций в виде

/,(Д*) = Ае^п + + Д4Я22 + . (6)

Тогда без процедуры дифференцирования можно получить

_ {д<ту}=[сам2[с1]{д4} = [с^]{д<}. (7)

Суммарный V и шаговый и> векторы перемещения произвольной точки срединной поверхности оболочки вращс;ния представляются компонентами, отнесенными к исходному состоянию

- -о -о — -о -о

V = V аа+va ;w = waaa+wa , а— 1;2. (8)

Производные суммарного и шагового векторов перемещений по глобальным криволинейным координатам 5 и в определяются соотношениями

= %аР+1аа; V= %раР + 1ара ; и^, = 1Цар + 1аа\ уорр=1рараР+1ара . (9) При формировании матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента 72 x 72 на 0+1)— м шаге нагружения в качестве узловых неизвестных выбираются компоненты шагового вектора перемещения, его первые и вторые производные в локальной -1 < 77 < 1 и глобальной (5,0) системах координат

К}г=|{<}г{<ГК}г};КГ=|{<Г{<}г{<Г}- (Ю)

1x72 I 1x24 1x24 1x24 J 1x72 I. 1x24 1x24 1x24 J

При независимой интерполяции перемещений отдельная компонента шагового вектора перемещения интерполируется через узловые значения этой же компоненты

{*}=№<}' (ч)

где • {<£'} -строка из 24 функций, которые являются произведениями

полиномов Эрмита пятой степени; под д понимаются тангенциальные или

нормальная компоненты шагового вектора перемещения и\

Матрица жесткости элемента дискретизации на 0+1) —м шаге нагружения получена на основе функционала, выражающего равенство работ внутренних и внешних сил

У Р

где {Я} и {АР} - столбцы внешней поверхностной нагрузки и её приращений на 0+1) - м шаге нагружения соответственно.

Уравнение (12) при значении коэффициента ¿ = 1 представляет собой реализацию принципа возможных перемещений. Если же из всех возможных перемещений принять во внимание только действительный вектор шагового перемещения, соответствующий вектору приращения нагрузок, то значение коэффициента к следует принять равным 1/2.

При конечно-элементной реализации (12) равенство в данном уравнении соблюдается неточно вследствие появления погрешностей вычислений. Обозначая через величину вектора невязок рассматриваемого шага

нагружения, соотношение (12) может быть записано в следующем виде

{ЛГ = + /НГ({Р} + *{ДР})^. (13)

Г р

Величина {Л}',+1 является алгебраической суммой невязок всех предыдущих шагов нагружения

{ЯГ1 = ±{Я}". (14)

т=1

Соотношение (13) можно записать в матричном виде

аз)

К т-1

где \К\, {/} - матрица жесткости и столбец шаговых узловых нагрузок конечного элемента на 0+1)- шаге нагружения; {Л} - поправка Ньютона-Рафсона.

В качестве примера была решена задача по определению НДС жестко защемленной по краям цилиндрической арки, загруженной в середине пролета сосредоточенной силой Р. Были приняты следующие исходные данные: /? = 3,381м; Г = 0,00476м; £ = 7-104МПа; у = 0,2; а=0,128 радиан; Ъ = 0,0254м; Р = \2,7Н.

Вследствие наличия плоскостей симметрии рассчитывалась 1/4 часть конструкции. Расчеты выполнялись в четырех вариантах.

Результаты повариантных расчетов представлены в табл. 1, 2, 3, 4, в которых приведены численные значения прогиба в точке приложения сосредоточенной силы в зависимости от числа шагов нагружения пш. Номер таблицы соответствует номеру варианта расчета.

Первая строка таблиц соответствует реализации принципа возможных перемещений в функционале (12) (А = 1). Вторая строка соответствует использованию равенства возможных и действительных работ на шаге

нагружения (Л = 1/2). Результаты третьей строки соответствуют значению

(¿ = 1/2) при учете суммарной невязки , накопленной за j предыдущих

шагов нагружения. В первых двух строках таблиц суммарная невязка не учитывалась.

Сравнительный анализ табличного материала, основанный на известном решении задачи из монографии Papenhausen J. «Eine energiegrechte, incrementelle for muliemng der geometrisch nichtlinearen Theorie elastischer Kontinua und ihre numerische Behandlung mit Hilfe finite Elemente», 1975г., показывает, что третий и четвертый варианты имеют весьма незначительные преимущества перед первым и вторым вариантом. Сопоставляя между собой третий и четвертый варианты^ можно отметить, что они дают одинаковые результаты.

Однако, четвертый вариант формирования матрицы упругости на шаге нагружения предпочтительнее ввиду значительного сокращения математических выкладок и, как следствие, упрощения процедуры алгоритмизации.

Использование принципа действительных работ на шаге нагружения (£ = 1/2) во всех четырех вариантах позволяет получить более быструю сходимость вычислительного процесса. Учет суммарной невязки, накопленной за j предыдущих шагов нагружения, ускоряет сходимость вычислительного процесса, что особенно заметно при крупных шагах. Так, при использовании суммарной невязки в четвертом варианте., величина прогиба при числе шагов пш равном 20, достигает величины 0,4:304. Для достижения аналогичного уровня точности без учета суммарной невязки, понадобилось уже 100 шагов, т.е. в пять раз больше.

Таблица 1

к »ш Известное решение, см

20 40 60 80 100

1 0,4014 0,4155 0,4211 0,4242 0,4261 0,4369

1/2 0,4141 0,4235 0,4269 0,4287 0,4297

1/2, 0,4295 0,4331 0,4337 0,4340 0,4341

Таблица 2

/с "и, Известное решение, см

20 40 60 80 100

1 0,4022 0,4161 0,4216 0,4246 0,4264 0,4369

1/2 0,4147 0,4238 0,4272 0,4289 0,4299

1/2, {яГ 0,4298 0,4331 0,4338 0,4340 0,4341

Таблица 3

к "ш Известное

20 40 60 80 100 решение, см

1 0,4038 0,4174 0,4226 0,4254 0,4271

1/2 0,4160 0,4247 0,4278 0,4294 0,4304

1/2, {яГ 0,4304 0,4334 0,4339 0,4340 0,4342 0,4369

Таблица 4

к Пш Известное решение, см

20 40 60 80 100

1 0,4038 0,4174 0,4226 0,4254 ' 0,4271 0,4369

1/2 0,4160 0,4247 0,4278 0,4294 0,4304

1/2, {*Г 0,4304 0,4334 0,4339 0,4340 0,4342

Сопоставляя полученное решение 0,4342 (при пш =100) с известным 0,4369, можно отметить, что расхождение составляет всего 0,6%.

На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, чго при расчете оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке предпочтительнее использовать четвертый вариант формирования матрицы упругости (9) на шаге нагружения в сочетании с учетом суммарной невязки (15), накопленной за j предыдущих шагов нагружения.

В четвёртой главе изложен алгоритм расчета оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке при использовании векторной интерполяции полей перемещений.

Для расчета осесимметрично нагруженных оболочек вращения предложен линейный конечный элемент с векторной интерполяцией полей перемещений в виде фрагмента меридиана срединной поверхности с узлами у.

Столбец узловых варьируемых параметров элемента в локальной и глобальной системах координат выбирался в виде

(-/-./-( -) -I _/ ) г)т (-/-у-/ -у \

у/у | =|н- н> IV., и'л,>; Ыу | = Ы IV и-^и'^ |. (16)

—'

где -я , XV — шаговые векторы узловых точек конечного элемента;

-1 -I -1

1^,7, И'Л, —первые и Еторые производные шагового вектора

перемещения узловых точек в локальной системе координат т]; -/ -у -I —1

, IV,,, и»,», — первые и вторые производные шагового вектора

перемещения узловых точек в глобальной системе координат я.

На примере расчета осесимметрично нагруженной оболочки вращения, описанной в первом примере с измененным параметром С=0,1 м, был выполнен

сравнительный анализ конечно-элементных решений, полученных на основе разработанного алгоритма и программного комплекса АШУБ, причем в последнем использовались конечные элементы вЬеПШ и 5Ье11281. Анализ результатов показал, что при наличии значительных градиентов кривизн меридиана предпочтительнее использовать векторную интерполяцию полей перемещений при расчете осесимметрично нагруженных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке.

Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента на шаге нагружения при использовании векторной интерполяционной процедуры.

В качестве узловых неизвестных выбираются матрицы-строки, элементами которых являются шаговые векторы перемещений узловых точек четырехугольного конечного элемента и их производные в локальной и глобальной системах координат:

Г-Л)г (—1 —/ —А: —/ —/ -у -к — / —/ -у-*-/ -I —/ —/ —/ —I 1

|ц>л = <iv уу v/ м w4\v¿w¿w¿wлwлw,чwл^v4f..■w¿sw,m..wлn\v¿ч..w¿ц'>, (.1/,) (-г)7, -*-/-/ -/ -/ -/ -< 1

Вектор шагового перемещения произвольной точки срединной поверхности определяется интерполяционной зависимостью

^ = (19)

Связь между векторами (17) и (18) может быть записана в матричном

виде

= (20)

Столбец векторных узловых неизвестных в глобальной системе координат может бьггь представлен матричным соотношением

{и<;}=[л]{и,}. (го

Используя выражение |ат| =[г]|а| базисных векторов узловых точек

через базисные векторы внутренней точки конечного элемента, матрицу [Л] размером 24 х 72 можно представить в виде суммы

= + + С22)

где элементы матриц [Л,], [Л2], [Л,] являются узловыми скалярными величинами; столбец {и,} 72x1 определяется выражением

{„/ = V ^ м^ и'1' /," /,2' /; 1\> IV Ц 1\к /« /,' IX /,'

и содержит компоненты векторов , , 1с", мГоо и тс"а (т = 1^',к,1) узловых точек.

Столбец можно выразить через обычный столбец узловых

неизвестных (10) в глобальной системе координат

к№1М- - <24>

Последовательно используя равенства (24) и (21), с учетом (20) и (19), можно получить выражение шагового вектора перемещения внутренней точки конечного элемента в виде

(26)

Можно определить матрицу [С], удовлетворяющую соотношению

мр№>]. (27)

С учетом (27) и (22) соотношение (26) примет вид

^ = + + (28)

м}~сь+м>1а\ + м>а° = {(р}Т [Л,] + а°2 + > (29)

откуда можно найти компоненты шагового вектора перемещения

= г=1.2: {А»>г (30)

Дифференцируя (28) по координатам 5 или в, можно получить первую и вторую производные шагового вектора перемещения произвольной точки срединной поверхности оболочки вращения четырехугольного конечного элемента

^(31)

где дифференцирование по индексу а или р обозначает производную по глобальной координате х или в.

Представляя в исходном базисе первые и вторые производные шагового вектора перемещения во внутренней точке четырехугольного конечного элемента, можно определить компоненты производных шагового вектора перемещения и получить зависимости, аналогичные (30), в которых каждая компонента вектора зависит от всего набора узловых варьируемых параметров (10).

В качестве примера был рассчитан эллипсоид вращения, нагруженный внутренним давлением интенсивности ц (Рис. 2). Принимались следующие исходные данные: ц-^МПа, С = 1,2м,параметры эллипсоида Л = 1,3м, В-0,9м, модуль упругости £ = 2• 105МПа, коэффициент Пуассона к = 0,3. Толщина оболочки ¿ = 0,02л<.

На левом краю оболочка имеет пружинные опоры, которые под действием нагрузки позволяют смещаться эллипсоиду в меридиональном направлении как абсолютно жесткому телу. Ввиду наличия осевой симметрии эллипсоид представлялся одной полоской четырехугольных конечных элементов, ориентированных в меридиональном направлении.

Расчет выполнялся в двух вариантах. В первом варианте

использовалась скалярная интерполяционная процедура (11), а во втором варианте реализован векторный способ интерполяции перемещений (19).

Таблица 5

Жесткость пружины СЕ = со Скалярная интерполяция Векторная интерполяция Аналитическое решение, МПа

x, м ^\Сегка, узлов МП а 2x17 2x25 2x17 2x25

0,0 см 95,799 95,806 95,841 95,826 95,858

<7К 178,600 178,597 178,587 178,590 179,017

1,2 0,088 0,068 0,214 0,117 0,0

«к 168,671 168,054 168,546 168,055 167,708

Рис.2

Таблица 6

Жесткость пружины СЕ = 10* кН/м Скалярная интерполяция Векторная интерполяция Аналитическое решение, МПа

x , м ^^Сепса, узлов МПа 2x17 2x25 2x17 2x25

0,0 67,262 29,136 95,841 95,826 95,858

472,04 519,192 178,607 178,611 179,017

1,2 -7,3977 -3,945 0,218 0,121 0,0

-1463,14 99,928 168,563 168,072 167,708

Таблица 7

Жесткость пружины СЕ = 10" кН/м Скалярная интерполяция Векторная интерполяция Аналитическое решение, МПа

X, м ^\Сетка, узлов МПа 2x17 2x25 2x17 2x25

0,0 4,679 -4,501 95,841 95,826 95,858

1057,986 689,205 178,607 178,611 179,017

1,2 <*м -74,494 -8,664 0,218 0,121 0,0

-4640,01 68,503 168,563 168,072 167,708

Первоначально жесткость пружинных опор была принята бесконечности, то есть деформирование оболочки происходило без жестких смещений. Результаты расчета представлены в табл. 5, где приведены численные значения меридиональных и кольцевых напряжений на срединной поверхности оболочки при 10 шагах нагружения в зависимости от числа элементов дискретизации.

Анализ результатов, представленных в табл. 5, показывает, что в обоих вариантах наблюдается сходимость вычислительного процесса к результатам, полученным из условия равновесия и уравнения Лапласа, приведенным в крайней правой колонке.

При уменьшении жесткости пружин оболочка получает возможность смещаться в меридиональном направлении как абсолютно жесткое тело.

Для различных значений жесткостей пружины были вычислены значения меридиональных и кольцевых напряжений в опорном и концевом сечениях оболочки (табл. 6 и 7) при 10 шагах нагружения в зависимости от числа элементов дискретизации.

Анализ табличных данных 6 и 7 показывает существенные различия повариантного расчета. Так, в первом варианте значения контролируемых параметров НДС эллипсоида значительно меняются в зависимости от жесткости пружины и сетки дискретизации. Во втором варианте наблюдалась стабильность вычислительного процесса и соответствие вычисленных параметров НДС точному решению. При увеличении числа шагов нагружения во втором варианте результаты Е1ычислений практически не меняются, и сходимость вычислительного процесса остается прежней.

Таким образом, опираясь на результаты табличного материала, можно сделать вывод, что при расчете геометрически нелинейных оболочек вращения, допускающих жесткие смещения под действием заданной нагрузки, необходимо использовать векторную интерполяцию полей перемещений. Применение скалярной интерполяции к расчету такого рода оболочек не позволяет получать удовлетворительные результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Показано, что конечно-элементный анализ на основе векторной интерполяционной процедуры приводит к повышению точности решений при определении НДС оболочек вращения сложной геометрии в линейной постановке.

2. Конечно-элементная процедура на основе варианта соотношений между приращениями ковариантных компонент тензора напряжений и приращениями ковариангных компонент тензора деформаций приводит к сокращению математических выкладок и упрощению процедуры программирования.

3. Использование суммарной невязки в конечно-элементной процедуре ускоряет сходимость вычислительного процесса, что особенно заметно при крупных шагах нагружения.

4. На примере расчета оболочки вращения, допускающей смещение как абсолютно твердого тела под действием заданной нагрузки, показана высокая эффективность векторной интерполяции в конечно-элементной процедуре, позволяющей автоматически в неявном виде учитывать смещение геометрически нелинейной оболочки как абсолютно твердого тела.

5. Использование векторной интерполяции полей перемещений в процессе формирования матриц жесткостей конечных элементов приводит к получению корректных результатов при расчете оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке в зонах значительных градиентов кривизн срединной поверхности.

6. Разработаны и верифицированы пакеты прикладных программ для расчета на прочность геометрически нелинейных оболочек вращения, реализующие разработанные алгоритмы с целью внедрения их в расчетную инженерную практику.

Результаты диссертационной работы отражены в девятнадцати публикациях.

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей Аттестационной Комиссией России

1. Шубович A.A. Расчет осесимметричных оболочек со значительными градиентами кривизны меридиана на основе метода конечных элементов [Текст] / Ю.В. Клочков, О.В. Вахнина, A.A. Шубович // Вестник ВолгГАСУ. Серия: Естественные науки. - 2007. - Вып. 6 (23). - С. 18-23.

2. Шубович A.A. Совершенствование расчетов геометрически нелинейных оболочек вращения в актуальном базисе деформированного состояния на основе МКЭ. [Текст] / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, A.A. Шубович, Р.И. Маловичко // Известия ВолгГТУ. Серия Проблемы материаловедения, сварки и прочности в машиностроении. Выпуск № 4,2010 г. Волгоград -2010 - № 4. - С. 132-135.

3. Шубович A.A. Совершенствование алгоритма конечно-элементного расчета оболочки вращения в геометрически нелинейной постановке. [Текст] / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, A.A. Шубович // Известия Вузов. Серия Строительство. Выпуск № 7, 2010 г. С. 11-17.

4. Шубович A.A. Сравнительная оценка вариантов интерполяции полей перемещений на примере задачи осесимметрично нагруженной оболочки вращения. [Текст] / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, С.С. Марченко, A.A. Шубович // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Выпуск № 1,2011 г. С. 50-57.

5. Шубович A.A. Анализ геометрически нелинейной оболочки вращения на основе МКЭ с вариативным формированием матрицы упругости на шаге наг|эужения. [Текст] / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, A.A. Шубович // Строительная ме:<аника и расчет сооружений. Выпуск № 3,2011 г. С. 40-44.

6. Шубович A.A. Анализ оболочки вращения с ветвящимся меридианом на основе четырехугольного конечного элемента при различных вариантах интерполяции полей перемещений. [Текст] / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, С.С. Марченко, A.A. Шубович // Известия Вузов. Серия Строительство. Выпуск№ 5,2011 г. С. 3-13.

Публикации в других изданиях

7. Шубович АЛ. Расчет осесим метричных оболочек со значительными градиентами кривизны меридиана на основе метода конечных элементов [Текст] / Ю.В. Клочков, A.A. Шубович // На;лшое обеспечение национального проекта «Развитие АПК». Материалы научно-практической конференции. Волгоград, 2008 С 135-136.

8. Шубович АЛ. Расчёт оболочек вращения на основе МКЭ в геометрически нелинейной постановке [Текст] / Ю.В. Клочков, A.A. Шубович // «Инженерные сисгемы-2008»: Всероссийская научно-практическая конференция: Тезисы докладов М-, РУДН, 2008,- С. 56.

9. Шубович АЛ. Конечно-элемешный анализ оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке [Текст] / Ю.В. Клочков, АЛ. Шубович // Использование инновационных технологий для решения проблем АПК в современных условиях: Материалы научно-пракшческой конференции. Волгоград, 2009. С. 37-43.

10. Шубович АЛ. Конечно-элемешный анализ оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности [Текст] / Ю.В. Клочков, A.A. Шубович // «Инженерные системы-2009»: Всероссийская научно-практическая конференция: Тезисы докладов М., РУДН, 2009.-С. 39.

11. Шубович A.A. Расчет геометрически нелинейных оболочек на основе МКЭ с учетом обжатая по толщине [Текст] / Ю.В. Клочков, A.A. Шз'бович // Труды международной научно-пракшческой конференции «Инженерные системы - 2009» М, РУДН, 2009,- С. 288-294.

12. Шубович A.A. Векторная аппроксимация в конечно-элементном анализе геометрически нелинейных оболочек вращения [Текст] / ЮВ. Клочков, АЛ. Шубович // Международная научно-практическая конференция, посвященная 45-летию образования ЭМФ ВГСХА. Волгоград, ВГСХА, 2009 г. С. 307-310.

13. Шубович АЛ. Конечно-элеменшый анализ геометрически нелинейных оболочек вращения с учетом обжатия по толщине [Текст] / Ю.В. Клочков, A.A. Шубович // Международная научно-практическая конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела». Казань, 8-11 декабря 2039 г стр 215-217.

14. Шубович АЛ. Расчет геометрически нелинейных оболочек вращения на основе МКЭ с учетом изменения толщины. [Текст] / Ю.В. Клочков, ЛА. Шубович // Международная научно-практическая конференция, посвященная 65-летию Победа в Великой Отечественной войне, г. Волгоград, 26-28 января 2010 г. С. 219-223.

15. Шубович А.А. Анализ геометрически нелинейных оболочек вращения при использовании векторной интерполяции перемещений. [Текст] / ЮВ. Клочков, АА. Шубович // Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы -2010». Тезисы докладов. Москва, 6-9 апреля, 2010 г. С. 49.

16. Шубович А.А. Совершенствование расчетов геометрически нелинейных оболочек вращения с обжашем по толщине. [Текст] / Ю.В. Клочков, А.А. Шубович // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы -2010» Москва, 6-9 апреля 2010 г. С. 169-175.

17. Шубович А.А. Особенности формирования матрицы упругости в конечно-элементных расчетах геометрически нелинейных оболочек вращения. [Текст] / Ю.В. Клочков, А.А. Шубович // Материалы Международной научно-практической конференции, Волгоград, ВГСХА, 25-27 января 2011 г. Том 4. Стр. 28-32.

18. Шубович А.А. Сравнение вариантов аппроксимации перемещений на примере четырехугольного криволинейного конечного элемента оболочки вращения. [Текст] / Ю.В. Клочков, АЛ. Шубович Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы—2011». Тезисы докладов. Москва, 5-8 апреля 2011 г.С.42.

19. Шубович А.А. Сравнительный анализ вариантов интерполяции полей перемещений на примере оболочки вращения с ветвящимся меридианом. [Текст] / Ю.В. Клочков, АЛ. Шубович // Труды международной научно-практической конференции «Инженерные системы -2011». Москва, 5-8 апреля 2011 г. С. 341-347.

Личный вклад соискателя по опубликованным в соавторстве научным работам: в работах [1-19] обсуждение вопросов построения дискретных моделей оболочек вращения проводилось совместно с Ю.В. Клочковым. Личный вклад Шубовича А.А. заключается в разработке алгоритмов расчета, создании пакетов программ и выполнении анализа НДС оболочек.

Шубович Александр Анатольевич

АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТАХ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Автореферат Подписано в печать 3.05.2012. Формат 60x84 1Я6. Усл.-печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 147. ИПК ФГБОУ Волгоградской ГАУ «Нива». 400002, Волгоград, пр. Университетский, 26.

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В

РАСЧЕТАХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК

ВРАЩЕНИЯ.

2. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ.

2. 1. Основные геометрические соотношения оболочек вращения.

2. 1. 1. Геометрические параметры оболочки вращения в исходном состоянии.

2. 1.2. Геометрические параметры оболочки вращения в деформируемом состоянии.

2. 1.3. Геометрические соотношения осесимметрично нагруженных оболочек вращения.

2. 1.4. Физические соотношения упругих оболочек.

2. 2. Матрица жесткости осесимметричного конечного элемента

12x12.

2. 2. 1. Матрица жесткости осесимметричного конечного элемента

12 х 12 при использовании интерполяции компонент вектора перемещения как скалярных величин.

2. 2. 2. Матрица жесткости осесимметричного конечного элемента 12 х при использовании векторной интерполяции полей перемещений.

2. 2. 3. Пример расчета.

2. 3. Матрица жесткости четырехугольного элемента дискретизации

72x72.

2. 3. 1. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента 72 х при использовании скалярной интерполяции полей перемещений.

2. 3. 2. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента 72 х при использовании векторной интерполяции полей перемещений.

2. 3. 3. Пример расчета.

2. 4. Выводы по второй главе.

3. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НЕЗАВИСИМОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ.

3.1. Основные соотношения геометрически нелинейных оболочек вращения.

3. 2. Определение приращений деформаций на шаге нагружения.

3.3. Суммарные деформации оболочек вращения за у шагов нагружения.

3. 4. Вариативное формирование матрицы упругости на (у +1) - м шаге нагружения.

3.5. Формирование матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента 12x12 на (у + 1) - м шаге нагружения.

3. 6. Пример расчета.

3. 7. Выводы по третьей главе.

4. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВЕКТОРНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.

4. 1. Формирование матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента 72 х 72 при использовании векторной интерполяции полей перемещений.

4. 2. Пример расчета.

4. 3. Расчет осесимметричных оболочек вращения при использовании одномерного конечного элемента с векторной интерполяции полей перемещений.

4. 3.1. Основные соотношения геометрически нелинейных оболочек вращения.

4. 3. 2. Определение приращений деформаций на шаге нагружения.

4. 3. 3. Суммарные деформации оболочек вращения за у шагов нагружения.

4. 3. 4. Вариативное формирование матрицы упругости на (у+1) - м шаге при осесимметричном нагружении.

4. 3. 5. Формирование матрицы жесткости одномерного конечного элемента 12x12 на (у +1) - м шаге нагружения.

4. 4. Пример расчета.

4. 5. Выводы по четвертой главе.

В условиях продолжающегося экономического кризиса приоритетным является использование надежных экономичных с точки зрения расхода материала строительных конструкций и промышленных сооружений. Этим требованиям отвечает применение оболочечных систем, и в частности, оболочек вращения, определение напряженно-деформированного состояния которых представляет собой достаточно сложный и трудоемкий процесс. Трудности нарастают в случае, когда возникает необходимость учитывать геометрическую нелинейность конструкции, поэтому совершенствование методов расчета таких систем является актуальной задачей и представляет большой практический интерес.

Оболочки вращения при эксплуатации постоянно испытывают воздействие внутренних и внешних нагрузок, а также других элементов конструкций. При этом возникают локальные напряжения, которые могут стать причиной разрушения конструкции или отдельной ее части, что может привести к непоправимым последствиям.

Расчеты на прочность и их постоянное совершенствование чрезвычайно важны для машиностроения, судостроения, авиации и космической техники. Используемые при этом сосуды, патрубки, купола, переходники, сочленение различных конструкций, работающих под постоянным гидростатическим давлением или испытывающим распределенную нагрузку, должны рассчитываться для определения опасных элементов конструкций и предотвращения их разрушения. Особенно трудные задачи возникают при наложении ряда различных факторов. Примером такой задачи может стать расчет на прочность газопровода «Голубой поток» между Россией и Турцией, проложенного по дну Черного моря. Учесть давление на глубине моря на протяжении 396 км с разветвлениями и переходниками при общей протяженности 1213 км - это возможно только с помощью современных методов расчета оболочек. Поэтому в данной работе ставится задача дальнейшего развития численных методов расчета оболочек, которая является весьма актуальной для механики деформируемого твердого тела.

На протяжении последних семидесяти лет была создана общая теория упругих тонких оболочек. Важную роль при этом сыграли российские ученые [22, 28, 32, 33, 34, 35, 44, 47, 48, 62, 93, 94, 99, 122, 128, 140]. При решении поставленных задач получаются достаточно сложные системы уравнений, описывающие процесс деформирования оболочки, поэтому наиболее применимыми ранее являлись приближенные и упрощающие методы [68, 147, 150] решения прикладных задач. В настоящее время с развитием и постоянным повышением производительности компьютерной техники, а также появлением большого количества прикладных программ, все больше используют численные методы расчета оболочек вращения [1, 3, 7, 10, 27, 51].

Наиболее значимым и чаще всего применяемым на практике для расчета тонких оболочек, является МКЭ - метод конечных элементов [17, 38, 51, 57, 61, 96, 124, 131, 132, 133, 135, 136, 137, 143]. Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на конечные элементы, взаимодействующие в конечном числе узловых точек [131], и в дальнейшем описываются с помощью полиномов Эрмита и Лагранжа. В результате минимизации функционала потенциальной энергии и решения системы уравнений, определяются перемещения и напряжения в указанной области.

Метод конечных элементов обеспечивает получение решений на основе единой методики. В сравнении с другими численными методами, МКЭ обладает рядом преимуществ:

- полная автоматизации процесса формирования матриц жесткости отдельных элементов и всей конструкции при помощи компьютерных программ и решения системы линейных уравнений любого порядка;

- возможностью составления алгоритмов расчета, позволяющих изменением исходных данных изменять различные граничные условия и характер внешней нагрузки оболочечной конструкции;

- возможностью учитывать физическую и геометрическую нелинейность оболочки, а также влияние температурных деформаций, которые возникают в процессе эксплуатации объектов [15, 124, 135].

Целью диссертационной работы является:

- создание математических моделей высокоточных элементов дискретизации, позволяющих повысить точность конечно-элементных решений при определении напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в линейной и геометрически нелинейной постановках.

Соответственно поставлены следующие основные задачи исследования:

- разработать на шаге нагружения вариативные соотношения между приращениями компонент тензора напряжений и приращениями компонент тензора деформаций;

- выполнить сопоставительный анализ конечно-элементных решений, полученных при использовании элементов дискретизации, скомпонованный на основе независимой интерполяционной процедуры с решениями, полученными с помощью конечных элементов с векторной интерполяционной процедурой;

- уточнить и дополнить функционал Лагранжа на шаге нагружения с учетом суммарной невязки, накопленной за предыдущие шаги нагружения;

- разработать математические модели матрицы жесткости одномерного конечного элемента для расчета осесиммметрично нагруженных оболочек вращения и матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента для расчета произвольно нагруженных оболочек вращения при использовании векторной интерполяции полей перемещений в линейной и геометрически нелинейной постановках.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработаны на шаге нагружения новые вариативные соотношения между приращениями компонент тензора напряжений и приращениями компонент тензора деформаций.

2. На шаге нагружения разработана и реализована в алгоритмах векторная интерполяционная процедура, выражающая вектор перемещения и его приращение внутренней точки конечного элемента через узловые значения векторов перемещений и их приращений.

3. В функционале Лагранжа выполнен учет суммарной невязки, накопленной за предыдущие шаги нагружения, что позволяет получать уточненное решение.

4. Разработаны новые математические модели формирования матриц жесткостей на шаге нагружения одномерного элемента для расчета осесимметрично нагруженной оболочки вращения и фрагмента срединной поверхности произвольно нагруженной оболочки в виде криволинейного четырехугольника при различных способах интерполяции перемещений.

Методы исследования. Поставленная цель достигается использованием методов векторного и тензорного анализа, дифференциальной геометрии, механики сплошной среды, вариационного исчисления, теории тонких оболочек, теории аппроксимации функций и численного метода конечных элементов.

В качестве объектов исследования выбраны тонкие оболочки вращения.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанные конечные элементы могут быть использованы в программных комплексах для определения НДС осесимметрично и произвольно нагруженных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке. Результаты диссертационной работы оформлены в виде пакета прикладных программ по расчету на прочность конструкций из оболочек, который может быть использован в научно-исследовательских и проектно-конструкторских организациях, занимающимися проектированием, строительством и эксплуатацией оболочечных конструкций. Использование разработанных алгоритмов позволяет выполнять уточненный расчет на прочность и жесткость конструкций из оболочек, что обеспечивает их надежную работу.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента с вариативной компоновкой матрицы упругости на шаге нагружения при учете суммарной невязки;

-математическая модель формирования матрицы жесткости одномерного конечного элемента с векторной интерполяцией полей перемещений для расчета осесимметично нагруженных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке;

- математическая модель формирования на шаге нагружения матрицы жесткости конечного элемента в виде произвольно ориентированного на срединной поверхности криволинейного четырехугольника с векторной интерполяцией полей перемещений.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на корректной математической постановке решаемых задач и подтверждается сопоставлением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных алгоритмов с результатами, полученными аналитическим путем, результатами исследований других авторов, и решениями, полученными с помощью программного комплекса ANS YS. Анализ сходимости вычислительного процесса при решении геометрически нелинейных задач выполнялся варьированием количества дискретных элементов рассчитываемых конструкций и числа шагов нагружения.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы (190 наименований) и приложения, изложена на 220 страницах машинописного текста, содержит 28 рисунков, 2 гистограммы, и 15 таблиц.

Основные результаты и выводы диссертационной работы состоят в следующем:

1. Выполнен сравнительный анализ конечно-элементных решений в линейной постановке, полученных при использовании векторной интерполяционной процедуры с решениями, полученными с помощью программного комплекса ANSYS, конечные элементы которого основаны на скалярной интерполяции перемещений. Показано, что при наличии значительных градиентов кривизн меридиана, оболочек сложной геометрии результаты, полученные с помощью программного комплекса ANS YS, нельзя признать удовлетворительными. При расчете данного типа оболочечных конструкций следует использовать векторную интерполяцию полей перемещений.

2. Разработана математическая модель формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента на шаге нагружения с вариативной компоновкой матрицы упругости. При решении тестовых задач показано, что матрица упругости на шаге нагружения может быть скомпонована на основе гипотезы о возможности компоновки матрицы упругости на шаге нагружения без процедуры дифференцирования компонент тензора напряжений по компонентам тензора деформаций, без снижения точности вычислений.

3. Усовершенствован конечно-элементный алгоритм расчета геометрически нелинейных оболочек путем использования суммарной невязки, накопленной за предыдущие шаги нагружения. Показано, что учет суммарной невязки, накопленной за предыдущие шаги нагружения, ускоряет сходимость вычислительного процесса, что особенно заметно при крупных шагах нагружения.

4. Разработана математическая модель формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента на шаге нагружения при использовании векторной интерполяционной процедуры. На примере расчета оболочки вращения, допускающей смещение как абсолютно твердого тела под действием заданной нагрузки, показана высокая эффективность векторной интерполяции в конечно-элементной процедуре, позволяющей автоматически в неявном виде учитывать смещение геометрически нелинейной оболочки как абсолютно твердого тела.

5. Для анализа НДС осесимметрично нагруженных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке разработана математическая модель формирования матрицы жесткости одномерного конечного элемента на шаге нагружения при использовании векторной интерполяционной процедуры. В результате сравнения конечно-элементных решений по разработанному алгоритму с решениями, полученными на основе программного комплекса АТЧБУЗ, показано, что при наличии значительных градиентов кривизны меридиана предпочтительнее использовать векторную интерполяцию полей перемещений при расчете осесимметрично нагруженных оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке.

6. Разработаны и верифицированы пакеты прикладных программ для расчета на прочность и жесткость геометрически нелинейных оболочек вращения, реализующие разработанные алгоритмы с целью внедрения их в расчетную инженерную практику.

194

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек Текст. / Абовский Н.П., Андреев Н.П., Дерюга А.П. - М.: Наука, 1978.-288 с.

2. Аргирис, Дж. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов Текст. / Аргирис Дж., Шарпф Д. // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., 1974. - т. 1. - с. 179-210.

3. Астрахарчик, С. В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны Текст. / Астрахарчик С. В., Железнов Л. П., Кабанов В. В. // Изв. АН. МТТ. 1994г., №2, с. 102-108.

4. Ахмедьянов, И. С. Расчет оболочек вращения переменой толщины при осесимметричном нагружении по методу квадратур. Текст. / Ахмедьянов И. С. //Вестн. СГАУ. 2007, № 1, с. 228-235.

5. Багмутов, В. П. К определению работоспособности многослойных оболочек вращения с учетом разных типов повреждаемости материалов. Текст. / Багмутов В. П., Белов А. В., Поливанов А. А., Попов А. Г. // Изв. Волгорад. гос. техн. ун-та. 2007, № 1, с. 9-12.

6. Бакулин, В. Н. Построение аппроксимаций для моделирования напряженно-деформированного состояния несущих слоев и слоев заполнителя трехслойных неосесимметричных цилиндрических оболочек. Текст. / Бакулин В. Н. // Мат. моделир. 2006. 18, № 8, с. 101-110.

7. Бакулин, В. Н., Численный расчет устойчивости цилиндрических оболочек, ослабленных вырезами Текст. / Бакулин В. Н., Репинский В. В. // Прикл. методы исслед. прочности ЛА // Моск. авиац. ин-т. М., 1992.-с. 8-13.

8. Бакулин, В. Н. Эффективные модели для уточненного анализа деформированного состояния трехслойных неосесимметричных цилиндрических оболочек. Текст. / Бакулин В. Н. // Докл. РАН. 2007. 414, №5, с. 613-617.

9. П.Бандурин, Н. Г. К расчету сочленных оболочек с помощью четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 Текст. / Бандурин Н. Г., Николаев А. П. // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1980. - Вып. 21.-е. 225-236.

10. Бандурин, Н. Г. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 к расчету непологих произвольных оболочек Текст. / Бандурин Н. Г., Николаев А. П., Апраксина Т. И. // Пробл. Прочности. 1980. - №5. - с. 104-108.

11. П.Бандурин, Н.Г. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов Текст. / Бандурин Н. Г., Николаев А. П., Апраксина Т. И. // Изв. вузов сер. Машиностроение. 1981. - №5. - с. 26-31.

12. Бандурин, Н. Г. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента к расчету тонкостенных оболочек вращения Текст. / Бандурин Н. Г., Николаев А. П., Торунов И. К. // Прикл. механика. 1980. - т. 16. - №3. - с. 50-55.

13. Бандурин, Н.Г. К применению МКЭ для расчета оболочек вращения с учетом пластических свойств материала Текст. / Бандурин Н. Г., Николаев А. П. // Изв. вузов, сер. Строительство и архитектура. -1985. -№3.- с. 24-27.

14. Баничук, Н. В. Оптимизация осесимметричных мембранных оболочек. Текст. / Баничук Н. В. // Прикл. мат. и мех. 2007. 71, № 4, с. 578-586.

15. Бате, К Ю. Методы конечных элементов Текст. / Бате К.Ю.; Шидловский В.П. (пер. с англ.); Турчак Л.И. (ред.). // — М.: Физматлит, 2010. — 1022 с.

16. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Бахвалов Н. С. //- М.: Наука, 1975.-631 с.

17. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов Текст. / Беляев Н. М. //- М.: Наука, 1976. 607 с.

18. Березюк, А. И. Тестовый пример расчета напряжений в сопрягающихся оболочках вращения Текст. / Березюк А. И., Ровный С. И. // Хим. и нефтегаз. машиностр. 2007, № 2, с. 3-7.

19. Бидерман, В. Л. Механика тонкостенных конструкций Текст. / Бидерман В. Л. //- М.: Машиностроение. 1977. - 488с.

20. Богартычук, А. С. Применение метода конечных элементов к расчету трансверсально изотропной цилиндрической оболочки с отверстием Текст. / Богартычук А. С., Шнеренко К. Н. // Прикл. Мех. - 1987. -Т.23. - №12. - с. 125-128.

21. Борискин, О. Ф. Нелинейные трехмерные модели в расчетах колебаний оболочек на базе смешанной аппроксимации перемещений

22. Текст. / Борискин О. Ф., Барышникова О. О. // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 2000г., №4, с. 23-31.

23. Вагин, П. П. Напряженно деформированное состояние упругих гибких многослойных оболочек Текст. / Вагин П. П., Иванова Н. В., Шинкаренко Г. А. // Прикл. Мех. (Киев). - 1998 - 34, №8. - с. 94-102.

24. Вайнберг, Д. В. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел Текст. / Вайнберг Д. В., Городецкий А. С., Киричевский В. В., Сахаров А. С. // Прикл. механика. -1972. т.8. -№8.-с. 3-28.

25. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ Текст. / Валишвили Н. В. //- М.: Машиностроение, 1976. 278с.

26. Векуа, И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек Текст. / Векуа И. Н. // М.: Наука, 1982г., 288 с.

27. Веселое, Ю. А. Формирование гибридной матрицы жесткости трехслойного ортотропного многоугольного конечного элемента Текст. / Веселов Ю. А. // Изв. вузов. Сер. Строительство. 1993. -№11-12.-с. 119-125.

28. Виноградов, Ю. И. Методы исследования концентрации напряжений в оболочках Текст. / Виноградов Ю. И., Гусев Ю. А., Золотухин В. С. // Вестн. Моск. авиац. ин-та. 2005. 12, № 3, с. 61-65.

29. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике Текст. / Власов В. 3. //- М.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

30. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки Текст. / Вольмир А. С. //- М.: Гостехиздат, 1956. 420 с.

31. Вольмир, А. С. Современные проблемы теории пластинок и оболочек в летательных аппаратах Текст. / Вольмир А. С. // Актуальные пробл. авиац. науки и техники. М., 1984. - с. 77-87.

32. Галимов, К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек Текст. / Галимов К. 3. // Казань: Изд. Казан, гос. ун-та, 1975. - 326с.

33. Галимов, К. 3. Некоторые вопросы нелинейной теории тонких оболочек Текст. / Галимов К. 3. // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань, - 1981. - №6. - с. 7-29.

34. Голованов, А. И. Новый конечный элемент для расчета произвольных тонких оболочек Текст. / Голованов А. И. // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. - №4. - с. 21-23.

35. Голованов, А. И. Введение в метод конечного элемента статики тонких оболочек Текст. / Голованов А. И., Корнишин М. С. //- Казань: Изд-во Казан, ун-та 1990г. 269 с.

36. Голованов, А. И. Исследование устойчивости тонких оболочек изопараметрическими конечными элементами Текст. / Голованов А. И. // Строит, механика и расчет сооружений. 1992. - №2. - с. 51-55.

37. Голованов, А. И. Исследование нелинейного деформирования слоистых оболочек произвольной геометрии МКЭ Текст. / Голованов А. И., Гурьянова О. Н. // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин. Саратов, 1997г., Т.З, с. 44-48.

38. Голованов, А. И. Исследование нелинейного деформирования пластин и оболочек из несжимаемых материалов МКЭ Текст. / Голованов А. И., Гуриелидзе М. Г. // В сб. Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж, ВГУ, 1998г., с. 73.

39. Голованов, А. И. Исследование критических деформаций оболочек Текст. / Голованов А. И., Гурьянова О. Н. // Труды международнойконференции «Актуальные проблемы механики оболочек» Казань, 2000г., с. 178-183.

40. Голованов, А. И. Исследование геометрически нелинейного деформирования многослойных оболочек малой и средней толщины МКЭ Текст. / Голованов А. И., Гурьянова О. Н. // Изв. вузов. Сер.: Авиац. Техн. 2000., №2, с. 7-10.

41. Гольденвейзер, А. А. Теория упругих тонких оболочек Текст. / Гольденвейзер А. А. //- М.: Наука, 1976. 512 с.

42. Горлач, Б. А. Исследование поведения цилиндрической в начальном состоянии оболочки при конечных осесимметричных деформациях Текст. / Горлач Б. А., Орлов Н. Н. // Вопр. расчета прочн. конструкций летат. аппаратов. Казань, 1982. - с. 25-31.

43. Горшков, А. П. Конечные элементы на основе полного семейства неполиномиальных определяющих функций формы для произвольного числа граничных узлов Текст. / Горшков А. П., Колесников И. Ю. // Изв. АН. МТТ. 1998г., №1, с. 116-128.

44. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек Текст. / Григолюк Э. И., Кабанов В. В. //- М.: Наука, 1978. 360 с.

45. Григолюк, Э. Н. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций Текст. / Григолюк Э. Н., Мамай В. И. //- М. Наука: Физматлит., 1997. 272 с.

46. Григоренко, А. Я. О напряженно-деформированном состоянии прямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины в уточненной постановке Текст. / Григоренко А. Я., Яремченко Н. П. // Прикл. мех. 2007. 43, № 10, с. 80-91.

47. Григоренко, Я. М. К расчету оболочечных конструкций методом конечного элемента Текст. / Григоренко Я. М., Кокошин С. С. // Прикл. мех. 1979.-т. 15. - №7.-с. 3-10.

48. Григорьев, И. В. Деформирование, устойчивость и колебания оболочечных конструкций Текст. / Григорьев И. В., Прокопьев В. И., Твердый Ю. В. // М.: АСВ. 2007, 208 с.

49. Гуляр, А. М. Влияние учета физической и геометрической нелинейностей на оценку критической нагрузки оболочек вращения сложной формы Текст. / Гуляр А. М., Сахаров А. С. // Сопротивл. материалов и теория сооруж. Киев, 1980. - №37. - с. 8-11.

50. Гуреева, Н. А. Восьмиузловой объёмный конечный элемент оболочки вращения с неизвестными напряжениями и перемещениями в узлах Текст. / Гуреева Н. А. // Изв. вузов. Стр-во. 2007, № 4, с. 33-39.

51. Гуреева, Н. А. Использование аппроксимации тензорных полей в МКЭ при расчете осесимметрично нагруженных оболочек вращения Текст. / Гуреева Н. А. // Изв. вузов. Стр-во. 2009, № 2, с. 17-23.

52. Гурева, Н. А. Расчет осесимметрично нагруженных оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке Текст. / Гурева Н. А., Клочков Ю. В., Николаев А. П. // Строит, мех. инж. конструкций и сооруж. 2007, № 3, с. 23-29.

53. Деклу, Ж. Метод конечных элементов Текст. / Деклу Ж. // М.: Мир, 1976.-96 с.

54. Евзеров, И. Д. Сходимость плоских конечных элементов тонкой оболочки Текст. / Евзеров И. Д., 3Доренко В. С. // Строит, механика и расчет сооружений. 1984. - №1. - с. 35-40.

55. Емельянов, И. Г. Определение напряженного состояния и ресурса обол очечной конструкции Текст. / Емельянов И. Г., Миронов В. И.,

56. Кузнецов А. В. // Пробл. машиностр. и надеж, машин. 2007, № 5, с. 5765.

57. Железное, JI. П. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричным нагружении методом конечных элементов Текст. / Железнов JI. П., Кабанов В. В. // Изв. АН СССР, МТТ. 1981. - №3. - с. 49-54.

58. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике Текст. / Зенкевич О. // М.: Мир, 1975. - 542 с.62.3убчанинов, В. Г. Основы теории упругости и пластичности Текст. / Зубчанинов В. Г. // — М.: Высшая школа, 1990. 368 с.

59. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды Текст. / Ильюшин А. А. // М.: Изд. Моск. ун-та, 1978. - 288 с.

60. Калиниченко, П. М. Напряженное состояние толстостенного цилиндра с концентраторами Текст. / Калиниченко П. М., Лимаренко О. М., Зяблов Ю. В. // Тр. Одес. политехи, ун-та. 2006, № 2, с. 20-23.

61. Кантин (G. Cantin) Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки Текст. / Кантин Д., Клауф Р. // Ракетная техника и космонавтика. 1968, № 6, с. 82-87.

62. Кантин (G. Cantin) Смещение криволинейных конечных элементов как жесткого целого Текст. / Кантин // Ракетная техника и космонавтика. 1970, № 7, с. 84-88.

63. Кармишин, А. В. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций Текст. / Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И. и др. // М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

64. Кей, С. В. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов Текст. / Кей С. В. Бейсенджер 3. Е. // В сб.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., 1974. -т.1.-с. 151-178.

65. Киричевский, В. В. Исследование сходимости при решении трехмерных задач методом конечного элемента Текст. / Киричевский

66. B. В., Сахаров А. С. // Сопротивл. матер, и теор. coop. Киев, 1975. -вып.25. - с. 91-97.

67. Киселев, А. П. Расчет тонких оболочек на прочность в трехмерной постановке без упрощающих гипотез Текст. / Киселев А. П. // Изв. вузов. Стр-во. 2008, № 1, с. 18-23.

68. Кислоокий, В. Н. Моментная схема метода конечных элементов в геометрически нелинейных задачах прочности и устойчивости оболочек Текст. / Кислоокий В. Н., Сахаров А. С., Соловей Н. А. // Пробл. прочности. 1977. - №7. - с. 25-32.

69. Клочков, Ю. В. Сравнительная оценка вариантов интерполяции полей перемещений на примере задачи осесимметрично нагруженной оболочки вращения Текст. / Клочков Ю. В., Николаев А. П., Марченко

70. C. С., Шубович А. А. // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений 2011, № 1, с. 50-57.

71. Клочков, Ю. В. Использование криволинейного четырехугольного конечного элемента к расчету сочлененных оболочек вращения Текст. / Клочков Ю. В., Николаев А, П., Проскурнова О. А. // Изв. вузов. Стр-во. 2007, № 11, с. 16-24.

72. Клочков, Ю. В. Расчет геометрически нелинейных тонких оболочек в базисе деформированного состояния на основе МКЭ Текст. / Клочков Ю. В. // Труды межд. научн. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань. 2000. - с. 251-255.

73. Клочков, Ю. В. О модификации принципа возможных перемещений в итерационном методе расчета конструкций на основе МКЭ Текст. / Клочков Ю. В., Николаев А. П. // Изв. вузов. Сер.: Строительство. -1995.-№3.-с. 33-36.

74. Клочков, Ю. В. Преобразование узловых неизвестных граничных элементов пересекающихся оболочек вращения Текст. / Клочков Ю. В., Николаев А. П. // Волгоград, 1997. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ. 27.03.97, № 986-В97.

75. Клочков, Ю. В. Преобразование узловых векторов перемещений конечных элементов в точках кривой пересечения произвольных оболочек Текст. / Клочков Ю. В., Николаев А. П. // Волгоград, 1997. - 23 с. - Деп. В ВИНИТИ 09.09.97, № 2823 - В97.

76. Клочков, Ю. В. Об учете изменения длины нормали в актуальном базисе нелинейной оболочки Текст. / Клочков Ю. В., Николаев А. П. // Тезисы докладов школы «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж. - 1998. - 142 с.

77. Клочков, Ю. В. Учет изменения длины нормали осесимметрично нагруженной оболочки вращения в нелинейной постановке на основе МКЭ Текст. / Клочков Ю. В., Николаев А. П. // Волгоград, 1998. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.12.98, № 3885 - В98.

78. Клочков, Ю. В. Сравнительный анализ способов аппроксимации МКЭ при расчете оболочки вращения в геометрически нелинейной постановке Текст. / Клочков Ю. В., Николаев А. П. // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 2000. - №5-6. - с. 27-32.

79. Клочков, Ю. В. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 72x72 для расчета оболочечных конструкций Текст. / Клочков Ю. В., Николаев А. П., Киселев А. П. // Строительство. -1998. №4-5. - с. 36-41.

80. Клочков, Ю. В. Расчет сочлененных оболочек вращения за пределом упругости применяемого материала при использовании методаконечных элементов Текст. / Клочков Ю. В., Проскурнова О. А. // Строит, мех. инж. конструкций и сооруж. 2008, № 4, с. 79-81.

81. Клочков, Ю. В. Расчет сочлененных оболочек вращения при упруго-пластическом состоянии материала на основе МКЭ Текст. / Клочков Ю. В., Просурнова О. А. // Вестн. Волгоград, гос. архит.-строит. ун-та. Сер. Стр-во и архит. 2008, № 9, с. 42-46.

82. Ковальчук, Н. В. Исследование напряженно деформированного состояния и устойчивости конических оболочек с отверстиями Текст. / Ковальчук Н. В. // Пробл. прочности. - 1989. - №2. - с. 82-86.

83. Корнишин, М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения Текст. / Корнишин М. С. // М.: Наука, 1964.- 192 с.

84. Корнишин, М. С. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ Текст. / Корнишин М. С., Якупов Н. М. // Прикл. механика. -1989. -№8. -т. 25. с. 53-60.

85. Косицын, С. Б. Метод построения базисных функций для искривленных конечных элементов с учетом жесткого смещения Текст. / Косицын С. Б. // Исследования по строительным конструкциям и их элементам. М.: ЦНИИСК. -1982. С. 17-27.

86. Косицын, С. Б. Расчет стержневых систем, взаимодействующих с упругим основанием, методом конечных элементов с использованиемкомплекса MSC/NASTRAN FOR WINDOWS Текст. / С. Б. Косицин, Д. Б. Долотказин М.: МИИТ, 2004. - 116 с.

87. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек Текст. / Крысько В. А. // Саратов: Изд. Саратовск. гос. унта, 1976.-213 с.

88. Кудряшов, А. В. Конечные упругие деформации тонкой оболочки вращения при произвольных кинематических граничных условиях Текст. / Кудряшов А. В. // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мех. деф. тверд, тела и обраб. мет. давлением. 2005, № 2, с. 131-140.

89. Кузнецов, В. В. Уточненная геометрически нелинейная формулировка треугольного конечного элемента тонкой оболочки Текст. / Кузнецов В. В., Левяков С. В. // Прикл. мех. и техн. физ. 2007. 48, №5, с. 160-172.

90. Кузнецов, О. Р. Расчет прямых замкнутых многостригерных призматических оболочек при конечных перемещениях Текст. / Кузнецов О. Р. // Пробл. прочн. и пластич. 2005, № 67, с. 178-189, 210.

91. Кузнецов, О. Р. Статистический расчет прямых призматических оболочек, усиленных стрингерами, с учетом нелинейных факторов

92. Текст. / Кузнецов О. Р. // 9 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 авг., 2006: Аннотации докладов. Т. 3. Н. Новгород: Изд-во ННГУ. 2006, с. 125-126.

93. Куранов, Б. А. Исследование устойчивости подкрепленных оболочек методом конечных элементов Текст. / Куранов Б. А., Турбаивский А. Т. // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - №3. - с. 38-41.

94. Луговой, П. 3. О численном решении динамических задач подкрепленных оболочек Текст. / Луговой П. 3., Меуш В. Ф., Рыбалкин Б. П., Секриеру Г. В. // Прикл. мех. 2006. 42, № 5, с. 50-56.

95. Ляв, А. Математическая теория упругости Текст. / Ляв А. // М., ОНТИ, 1935.-220 с.

96. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести Текст. / Малинин Н. Н. // М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

97. Мартыненко, Т. М. Безизгибные формы тонкостенных пологих оболочек переноса переменной толщины Текст. / Мартыненко Т. М. // Инж.-физ. ж. 2005. 78, № 3, с. 150-152.

98. Мартыненко, Т. М. Пологие оболочки переноса с чистомоментным напряженно-деформированным состоянием Текст. / Мартыненко Т. М. //Инж.-физ. ж. 2005. 78, № 3, с. 145-149.

99. Мерзляков, В. А. Упругопластическое напряженно-деформированное состояние оболочек вращения переменной в двух направлениях толщины Текст. / Мерзляков В. А. // Прикл. мех. (Киев). -1992. -№11.- с. 44-51.

100. Мяченков, В. И. Алгоритм вычисления матриц жесткости оболочечных конечных элементов в геометрически нелинейной постановке Текст. / Мяченков В. И., Губелидзе 3. Б., Гардаихадзе Т. Г. // Строит. Механика и расчет сооружений. 1989. - №5. - с. 61-65.

101. Николаев, А. П. К расчету оболочек методом конечных элементов Текст. / Николаев А. П., Бандурин Н. Г. // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - №5. - с. 21-25.

102. Николаев, А. П. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48x48 для расчета оболочек вращения Текст. / Николаев А. П., Бандурин Н. Г., Торунов И. К. // Строит, и архитектура 1980. - №5. - с. 44-48.

103. Николаев, А. П. Применение конечных элементов с векторной интерполяцией перемещений к расчету осесиметричных оболочек вращения Текст. / Николаев А. П., Бандурин Н. Г., Клочков Ю. В. // Прикл. механика. 1990. - Т.26. - №11. - с. 110-114.

104. Николаев, А. П. Новый эффективный способ интерполяции перемещений в конечноэлементом анализе оболочек Текст. / Николаев

105. А. П., Бандурин Н. Г., Клочков Ю. В. // Строит, мех. и расчет сооружений. 1991. - №1. - с. 62-66.

106. Николаев, А. П. О принципе возможных перемещений в нелинейных задачах расчета конструкций Текст. / Николаев А. П., Клочков Ю. В., Бандурин Н. Г. // Изв. вузов. Сер.: Строительство и архитектура. 1991. - №4. - с. 20-22.

107. Николаев, А. П. Расчет оболочек на основе МКЭ в двумерной постановке Текст. / Николаев А. П., Клочков Ю. В., Киселев А. П., Гуреева H.A. // Волгоград. 2009. - 196 с.

108. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек Текст. / Новожилов В. В. II- Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.123,Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред Текст. / Оден Дж. // перев. с англ. М.: 1976. - 464 с.

109. Паймушин, В. Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета Текст. / Паймушин В. Н. // ПММ. 1978. - т.42. - №4. - с. 753-758.

110. Панкратова, Н. Д. Напряженно-деформированное состояние открытой сферической оболочки средней толщины Текст. / Панкратова Н. Д., Польчук В. Б. // Пробл. прочн. 2006, № 5, с. 158-159.

111. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек Текст. / Петров В. В. // Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975. - 120 с.

112. Петров, В. В. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного материала Текст. / Петров В. В.,

113. Овчинников И. Г., Иноземцев В. К. //- Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1989.- 158 с.

114. Пикуль, В. В. Теория и расчет оболочек вращения Текст. / Пикуль В. В. // М.: Наука, 1982. - 158 с.

115. Погорелов, А. В. Дифференциальная геометрия Текст. / Погорелов А. В. // М.: Наука, 1974. - 176 с.

116. Полякова, Е. В. Прикладные задачи механики мягких оболочек и тканей Текст. / Полякова Е. В., Чайкин В. А. // Спб: Изд-во СПГУТД. 2006, 194 с.

117. Постнов, В. А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций Текст. / Постнов В. А., Хархурим И. Я. // Д.: Судостроение, 1974. - 344 с.

118. Постнов, В. А. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек Текст. / Постнов В. А., Корнеев В. С. // Прикл. механика. 1976. - т.12. - №5. - с. 44-49.

119. Постнов, В. А. Учет физической и геометрической нелинейнгости в задачах изгиба оболочек вращения Текст. / Постнов В. А., Слезина М. Г. // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. - №6. - с.78-85.

120. Рикардс, Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин Текст. / Рикардс Р. Б. // Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

121. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел Текст. / Сахаров А. С., Кислоокий В. Н., Киричевский В. В. и др. // -Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. 479 с.

122. Сегерминд, Л. Применение метода конечных элементов в технике Текст. / Сегерминд Л. // М.: Мир, 1975. - 541 с. (перев. с англ.)

123. Седов, Л. И. Механика сплошной среды Текст. / Седов Л. И. // — М.: Наука, 1976. т.1. -536 е.; 1976. - т.2. - 574 с.

124. Семенюк, Н.П. Начальное закритическое поведение цилиндрических оболочек из композитов при осесимметричном деформировании Текст. / Семенюк Н. П., Жукова Н. Б. // Прикл. мех. 2006. 42, № 4, с. 108-118.

125. Скопинский, В.Н. Напряжения в пересекающихся оболочках Текст. / Скопинский В.Н. // Монография. Москва: Физматлит, 2008. - 400 с.

126. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов Текст. / Стренг Г., Фикс Дж. // М.: Мир, 1997. - 350 с.

127. Сулейманова, М. Н. К расчету гибких непологих оболочек различного типа методом конечных элементов Текст. / Сулейманова М. Н. // Прикл. механика. 1984. - т.20. - №1. - с. 72-78.

128. Филин, А. П. Элементы теории оболочек Текст. / Филин А. П. //- Л.: Стройиздат, 1975.-256с.

129. Хайруллин, Ф. С. О методе расчета составных тонкостенных конструкций Текст. / Хайруллин Ф. С. // Изв. вузов. Машиностроение. 1992.-№1-3.-с. 20-23.

130. Хечумов, Р. А. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций Текст. / Хечумов Р. А., Кепплер X., Прокофьев В. Н. // -М.: Изд-во АСВ. 1994. - 351 с.

131. Хромов, И. В. Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала Текст. / Хромов И. В. // Пробл. прочн. 2009, № 3, с. 58-65, 148-149.

132. Черных, К. Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек Текст. / Черных К. Ф. // Изв. АН СССР. МТТ. - 1980. - №2. -с. 148-159.

133. Шалашилин, В. И. Расчет нелинейного деформирования методом конечных элементов с использованием метода продолжения по наилучшему параметру Текст. / Шалашилин В. И., Князев Э. Н., Зуев Н. Н. // Изв. Вузов. Сер., Машиностроение. 1997г., №3-1, с. 23-29.

134. Эдельман, (Adelman В. М.) Точность вычисления напряжений методом конечных элементов Текст. / Эдельман (Adelman В. М.), Казеринес (Catherines D. S.), Уолтон (Walton W. С.) // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №3. - с. 102-103.

135. Якупов, Н. М. Дискретные кубические сплайны в методе конечных элементов при расчете оболочек сложной геометрии Текст. / Якупов Н. М., Сунгатуллин И. Я. //- Казань, 1986. Деп. в ВИНИТИ.

136. Якупов, H. M. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии Текст. / Якупов H. М., Серазутдинов M. Н. // Казань: ИМНРАН. - 1993.-206 с.

137. Якупов, H. М. Расчет оболочек средней толщины с учетом обжатия по толщине Текст. / Якупов H. М., Хисамов Р. 3. // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин -Саратов, 1997г., Т. 2, с. 131-136.

138. Якупов, H. М. Моделирование зон концентрации напряжений сложных оболочечных систем Текст. / Якупов H. М., Хисамов Р. 3. // Труды международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» Казань, 2000г., с. 478-483.

139. Aditya, А. К. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / Aditya A. K., Bandyopadhyany J. N. // Comput. and Struct. 1989. - 32. - N2. - p. 423432.

140. Ahmand, S. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / Ahmand Sohrabuddin, Irons Bruce M., Zienkivicz О. С. // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1970. 2. - N3. - p. 419-451.

141. Altman, W. A thin cylindrical shell finite element based on a mixed formulation / Altman Wolf, Fquti Fernando. // Comput. and Struct. 1976. -6.-N2.-p. 149-155.

142. Argyris, J. H. Post-buckling finite elements analysis of circular cylinders under end load / Argyris J. H., Dunne P. // Acta techn. Acad. Sci. hung. -1978.-87.-N1-2.-p. 5-16.

143. Argyris, J. H. Finite element method the natural approach / Argyris J. H., Haase M., Kleiber M., Maleiannakis G. A., Mleignek H. P., Muller M., Scharpf D. W. // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1979. -17-18. -Nl.-p. 1-106.

144. Attia, O. A hihg order shear, element for nonlinear vibration analysis of composite layered plates and shells. / Attia O., Eb-Zafrany A. // Int. J. Mech. Sci. - 1999. - 41, №4-5. - p. 461-486.

145. Basar, Y. Finite element formulation of the Ogden material model wiht application to rubber like shells. / Basar Y., Its R. M. // Numer. Meth. Eng. - 1998. - 42, №7. - p. 1273-1305.

146. Bathe, K. J. A geometric and material non linear plate and shell element / Bathe Klaus - Jurgen, Bolourchi Soid // Comput. and Struct. - 1980. - 11. -№1-2.-p. 23-48.

147. Boisse P. A C three-node shell element for non-linear structural analysis / Boisse P., Daniel J.L., Getin J.C. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. - 37. -N14.-p. 2339-2364.

148. Brebbia, C. A. Analysis of plates and shells using finite elements / Brebbia C. A., Hadid H. A. // Pev. roum. sci techn. ser. mec. appl.- 1973. -18.-N15.-p. 939-962.

149. Camprubi, N. Shape optimization of shells and locking. / Camprubi Natalia, Bishchoff Manfred, Bletzinger Kai-Uwe. // Comput. and Struct. 2004. 82, № 29-30, c. 2551-2561.

150. Celmeti, E. Stiffness matrix for curvede finite element and application to general shell theory / Celmeti E. // Istanbul, techn. univ. bull. Bull. Techn. Univ. Istanbul. 1973.-26.-Nl.-p. 1-10.

151. Chen, W. Refined hibrid degenerated shell element for geometrically nonlinear analysis. / Chen W., Zeng S. // Jut. J. Nunear. Meth. Eng. 1998 - 41, №7.-p. 1195-1213.

152. Cochelin, B. Asymptutic-numerical methods and Pade approximants for non-linear elastic structures / Cochelin В., Damil N., Potier-Ferry M // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. -37. -N7. - p. 1187-1213.

153. Cook, W. A. A finite element model vor nonlinear shells of revolution / Cook W. A. // Trans. Shh. Int. Conf. Struct. Mech. Reacht. Technol. -Berlin, 1979. Vol. M. - Amsterdam e-a. 1979. - m. 4.5/1 - m. 4.5/10.

154. Endou A. Post buckling analysis of elastic shells of revolution by the finite element method / Endou A., Hangai Y., Kawamata S. // Токе дайгаку сейсан гидзюцу кэнкюсехококу. Pept. Inst. Sei. Uniu. Tokyo. - 1976. -28.-№2.-p. 47-81.

155. Mathisen, К. M. Error estimation and adaptivity in explikit nonlinear finite element simylation of quasi-static problems. / Mathisen К. M., Hopperstad О. S., Okstad К. M., Berstad Т. // Comput. and Struct. 1999y. -72,№4-5.-p. 627-694.

156. Nordlang, P. Adaptive mesh updating methods for non-linear finite element analysis of shells. / Nordlang P., Giannakopoulos A. E. // Jut. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 43, №8. - p. 1523-1544.

157. Parich, H. Geometrical non linear analysis of shells / Parich H. // Copput. Meth. Appl. Mach. And Eng. 1978. - 14. -№2. - p. 159-178.

158. Peric, D. Finite element applications to the nonlinear mechanics of solids. / Peric D., Owen D. R. J. // Repts Pragr. Phis. 1998. - 61, №11. - p. 14351574.

159. Rhiu J. J. A nine node finite element for analysis of geometrically nonlinear sells / Rhiu J. J., Lee S. W. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - 26. -N9. - p. 1945-1962.

160. Sabir, A. B. The application of finite element to the large defection geometrically nonlinear Bhavior of cylindral shells / Sabir A. B., Lock A. S. // Var. Meth. Eng. Vol. 2 Prac. Int. Conf. Univ. Southampton. 1973. - 7/66 - 7/75.

161. Stein, E. Different levels of nonlinear shell theory in finite element stability analysis / Stein E., Berg A., Wagner W. // Buckling shells Proc. State of the Art Collog., Univ. Stuttgart. - 1982. - May 6-7. - Berlin e.a. -1982.-p. 91-136.

162. Surana H. S. Geometrically nonlinear formulation for the axisymmetric shells elements / Surana H. S. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. - 18. -№4. - p. 477-502.

163. Tan H.-F. A new geometrical nonlinear laminated theory of large deformation anaysis. / Tan H.-F., Tian Z.-H., Dux.-W. // Int. J. Solids, and Struct. 2000. - 37, №18. - p. 2577-2589.

164. To, C. W. Hybrid strain based geometrically nonlinear laminated composite triangular shell finite elements. / To C. W., Wang B. // Finite elem. Anul. and Das. 1999. - 33, №2. - p. 83-124

165. Tottenham, H. Mixed finite element formulation for geometrically nonlinear analysis of shells of revolution / Tottenham H., Barony S. Y. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1978. - 12. - №2. - p. 195-201.

166. Turner, M. J. Stiffness and defection analysis of complex structures / M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp // J. Aero. Sci. 1958. -23.-№1.-P. 805-823.

167. Wood, R. D. Geometrically nonlinear finite element analysis of beams, frames, arches and axisymmetric shells / Wood R. D., Zienkiewicz O. S. // Comput. and Struct. 1977. - 7. - №6. - p. 725-735.

168. Yuan, K. Y. Nonlinear analysis of an axisymmetric shell using tree noded degenerated isoparametric shell elements / Yuan K. Y., Liang C. C. // Comput. And Struct. 1989. - 32. - №6. - p. 1225-1239.218