Анализ напряженно-деформированного состояния оболочек вращения на основе треугольного конечного элемента при использовании множителей Лагранжа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Вахнина Ольга Владимировна

АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ НА ОСНОВЕ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

ООЗДЫЫ^ю

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград - 2009

003488413

Работа выполнена в ФГОУ ВПО «Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия».

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Клочков Юрий Васильевич.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Овчинников Игорь Георгиевич, доктор технических наук, профессор Бандурин Николай Григорьевич.

Ведущая организация Волгоградский государственный

университет.

Защита состоится «24» декабря 2009 года в 12°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.028.04 в ГОУ ВПО «Волгоградский государственный технический университет» по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ВолгГТУ, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.

Автореферат разослан «20 » ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Водопьянов В. И.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Актуальность проблемы. В настоящее время особую роль приобретает создание технологий, способствующих более экономичному и рациональному использованию конструкционных и строительных материалов. Решению этого вопроса способствует широкое использование тонкостенных оболочечных конструкций. Определение напряженно-деформированного состояния таких оболочек является достаточно сложным и трудоемким процессом, поэтому задача совершенствования расчетов оболочек вращения является актуальной и представляет достаточно большой практический интерес.

Целью работы является разработка алгоритмов расчета оболочек вращения при использовании в качестве элементов дискретизации треугольных конечных элементов (ТКЭ) с применением множителей Лагранжа; анализ эффективности использования корректирующих множителей Лагранжа в расчетах таких оболочек; разработка пакета прикладных программ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработан алгоритм расчета оболочек вращения при использовании ТКЭ, узловые варьируемые параметры которого включают в себя кроме компонентов вектора перемещения и их первых производаых также корректирующие множители Лагранжа;

- выполнено вариативное исследование эффективности использования множителей Лагранжа в ТКЭ оболочки вращения при традиционном способе интерполяции перемещений;

- разработан алгоритм формирования матрицы жесткости ТКЭ с множителями Лагранжа при использовании векторного способа интерполяции перемещений;

- выполнен сравнительный анализ эффективности применения интерполяции полей векторов перемещений в алгоритмах формирования ТКЭ с множителями Лагранжа при расчете оболочек с большими кривизнами меридиана или допускающих жесткие смещения под действием внешней нагрузки.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается кор-рекшой математической постановкой задач с использованием векторного анализа, теории тонких оболочек, теории аппроксимации функций, а также подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанного конечного элемента, с результатами исследований и данными других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что ал-гортмы, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, оформлены в виде пакета прикладных программ для персональных компьютеров то расчету на прочность оболочек вращения, который может быть использован научно-исследовательскими и проекгно-конструкторскими организациями, занимающимися проектированием, строительством и эксплуатацией сложных оболочечных конструкций. Использование указанных алгоритмов позволяет выполнять уточненный расчет на прочность конструкций из оболочек, что обеспечивает их надежную работу.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-пракгаческой конференции (Современные проблемы развития АПК» (Волгоград, февраль 2006), Всероссийской научно-пракгаческой конференции «Инженерные системы-2008» (Москва, апрель 2008), научно-практической конференции, посвященной 65-летию образования ВГСХА «Использование инновационных технологий для решения проблем АПК в современных условиях» (Волгоград, январь 2009), международной научно-практической конференции «Инженерные системы-2009» (Москва, апрель 2009). Полностью работа докладывалась на методологическом семинаре эколого-меяиорашвного факультета Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии (Волгоград, июнь 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ, из них три - в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, изложена на 144 страницах текста, содержит 19 рисунков, 1 график и 25 таблиц. Список используемой литературы включает 204 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе анализа работ по теме диссертации обосновывается актуальность темы, сформулированы задачи исследования, его цель, а также практическая ценность работы.

В первой главе приводится обзор существующих в настоящее время работ по исследуемой теме. Недостатки и проблемы применения метода конечных элементов в определении параметров напряженно-деформированного состояния оболочек выявлены при анализе научных работ различных авторов. В целом раде работ (Кашин Г., Голованов А.И., Кузнецов ЮМ., Косицын СБ. и другае) при расчете оболочек вращения предлагается производапь учет смещений конечного элемента как жесткого целого в явном виде несколькими способами: строгим соблюдением условий совместности между элементами, включением дополнительных членов в интерполирующие выражения, расширением матрицы жесткости при помощи конгруэнтного преобразования. Однако эти способы имеют достаточно узкие границы применения, в результате чего не позволяют считать проблему учета смещений конечного элемента как жесткого целого полностью решенной.

Указанную проблему в работах Николаева А.П., Бандурина Н.Г., Клочкова ЮВ., Киселева А.П. предложено решать в неявном виде на основе векторной аппроксимации перемещений, основанной на использовании интерполяционного выражения не для отдельных компонент вектора перемещения, а д ля самого вектора перемещения в целом.

Большинство современных конечно-злеменгаых вычислительных комплексов, такие как А№ УБ, НАЗЖАН АВ ЛСДО) и другие, широко используют в качестве элемента дисщкшзацин треугольные фрагменты срединной поверхности. Однако, как показал ряд исследований (Клочков Ю.В., Гуреева НА.) ТКЭ имеют ряд существенных недостатков, а именно при локальном характере нагрузок результаты полученных решений не всегда оказываются удовлетворительными. Вышеуказанные

причины требуют совершенствования алгоритмов конечно-элементного расчета оболочек, основанных на использовании ТКЭ.

Во второй главе с использованием основных соотношений теории тонких упругих оболочек и гипотезы прямых нормалей получены соотношения для компонент тензора деформаций точки срединной поверхности оболочки вращения.

В третьей главе изложен алгоритм формирования матрицы жесткости ТКЭ с девятью степенями свободы в узле. Столбец узловых варьируемых параметров данного элемента в локальной (и у} и глобальной {и^} системах координат выбирался в виде

{и;Г={кК<}к}}; {осг={к}{<}М}1, о)

1*27 ( 1x9 1x9 ) \-17 I 1*9 1x9 1x9 )

где

{ч'уГ = {ч'ч'чЧ; ч.{ ч.! ч.', ч4 ч.;}; {яС}т = {ч'ч'чЧз ч,1 <ь! ч,; ч.; ч^};

1x9 1x9

(q = V1, V2, V); Б (дойна дуги меридиана) и <р (угол, отсчитываемый от образующей против часовой стрелки) - глобальные координаты; т] <1 - локальные координаты.

Связь между глобальными Б, <р и локальными Е,, г| координатами осуществляется с помощью зависимостей

З^'М-т^^Ч 9> = 9>'(1-5-гО+^Ч+^П. (2)

Столбец узловых неизвестных в локальной системе координат {и ^ } выражается через столбец узловых варьируемых параметров в глобальной системе координат {и } в виде

(3)

где элементы матрицы [Рк ] определяются дифференцированием (2) по локальным координатам.

При построении конечно-элементной модели важную роль играет выбор функций форм. В главе приводится сопоставительный анализ двух вариантов функций формы: полиномов Зенкевича О.М., записанных в Ь— координатах и полиномов,. основанных на использовании полного полинома третьей степени с привлечением в качестве дополнительного неизвестного смешанной производной с последующим преобразованием ее по методу конечных разностей (МКР).

При решении ряда задач была доказана высокая эффективность полиномиальных функций, основанных на использовании полного полинома третьей степени с привлечением смешанной производной , по сравнению с классическими полиномами Зенкевича ОМ

В данной главе был выполнен сравнительный анализ двух вариантов интерполяции перемещений. В первом варианте использовалась общепринятая интерполяционная проце^^й, согласно которой каждая компонента вектора перемещения интер-

полируется через узловые значения этой же компоненты и не зависит от узловых значений остальных двух компонент

где {у}т = {^1\|/2...\|/к}-ма1рищ-спрока функций формы.

Во втором варианте использовалась предложенная Николаевым А.П., Бабуриным Н.Г.,: Клочковым Ю.В. векторная интерполяция полей перемещений, основанная на использовании интерполяционного выражения непосредственно для самого вектора перемещения внутренней точки ТКЭ

^ = (5)

где {у;)т - столбец векторных узловых неизвестных

1*9

в локальной системе координат.

В результате преобразований (5) можно получил, интерполяционные зависимости, в которых каждая компонента вектора перемещения внутренней точки ТКЭ зависит от полного набора узловых варьируемых параметров {и'у}, в структуру которого входят узловые значения воех трех компонент вектора перемещения и их производных. Принципиальные преимущества векторного способа интерполяции перемещений были подтверждены решением задач по расчету оболочек, допускающих смещение как жесткое целое под действием заданной нагрузки.

Пример 1. В качестве примера было определено напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки радиусом И = 10 см, толщи' ной 1=0,1 см, с модулем упругости Е = 2,1 х 10' Н/см1 и коэффициентом Пуассона V = 0, нагруженной вдоль образующей распределенной нагрузкой интенсивности q = 5 Н/см (рис.1). Пружинные опоры, жесткость которых варьировалась, дают возможность оболочке под воздействием заданной нагрузки перемещаться вертикально вниз как абсолютно твердому телу. Вследствие наличия плоскости симметрии оболочка быта представлена одной полоской элементов в кольцевом направлении.

Рис. 1 Расчеты были выполнены в двух вариантах.

В первом варианте была реализована общепринятая интерполяционная процедура Во втором варианте использовалась интерполяция векторов перемещений (5). Результаты расчета оболочки представлены в таблице 1, в которой приведены величины нормального перемещения и численные значения кольцевых напряжений во внут-

ренних и наружных поверхностях оболочки при сетке узлов 25 х 2 для точек А и В в зависимости от величины смещения оболочки как жесткого тела

Анализ табличного материала показывает, что при отсутствии вертикального смещения оболочки (первая строка таблииы 1) результаты расчета обоих вариантов достаточно близки к точным значениям, вычисленным по формулам сопротивления материалов. В случае наличия жесткого смещения наблюдаются существенные по-вариангаые различия. В первом варианте с увеличением смещения цилиндра как абсолютно твердого тела погрешность вычисления кольцевых напряжений во внутренних и наружных волокнах в наблюдаемых точках стремительно нарастает и достигает совершенно неприемлемых значений. Во втором же варианте расчета при увеличении смещения оболочки как жесткого тела значения кольцевых напряжений оболочки в точках А и В остаются практически неизменными.

Таблица 1

Величина смещения оболочки как жесткого тела, см Вариант расчета 1 Вариант расчета 2

Точка А Точка В Точка А Точка В

„■к Н/см2 0Н"Р, Н/см2 7 Н/см2 Окар, Н/см2 а", Н/см2 Н/см2 Н/см2 о""р, Н/см2

0.0 192.8 -189.5 192.7 -189.4 186.8 -193.6 186.6 -193.8

1.0 212.2 -199.0 172.9 -179.8 186.8 -193.6 186.6 -193.8

5.0 289.5 -236.7 94.3 -141.7 186.8 -193.6 186.6 -193.8

10.0 385.2 -283.5 -3.0 -94.6 186.8 -193.6 186.6 -193.8

50.0 1114.8 -640.0 -745.3 264.9 186.8 -193.6 186.6 -193.8

Точное решение 190.81 -190.81 190.81 -190.81 190.81 -190.81 190.81 -190.81

Отсюда следует вывод» что интерполяция полей векторов перемещений ТКЭ с размером матрицы жесткости 27 х 27 позволяет достаточно корректно учитывать смещения ТКЭ как жесткого тела в неявном виде.

В четвёртой главе описывается вариативное исследование применения множителей Лагранжа при формировании матрицы жесткости и вектора сил ТКЭ. Приводятся примеры решения задач.

Рассматриваемый ниже ТКЭ является совместным по компонентам вектора перемещения, но несовместным по их производным, в силу чего возникает погрешность конечно-элеменшых решений при использовании элементов дискретизации треугольного типа

Принимаем, что на границах межпу смежными элементами должно выполняться равенство между производными нормальной компоненты вектора перемещения в направлении внешней нормали к стороне элемента (рис. 2), которое в силу противонаправленное™ орлов пм и пг-к' можетбьпь записано в виде

ЭуМ сУ<"> глЧ!'1 Ж'"' '

с1Гк=0. (7)

где верхние индексы I, II указывают на номера смежных элементов дискретизации. Однако, равенство (6) в силу несовместности по производным компонент вектора перемещения не выполняется, поэтому для его точного соблюдения предлагается рассмотреть интегральное равенство

¡и [дБ? др*

Здесь /гк - длина дуги стороны к дискретного алемегла; значение множителя Ла-гранжа в произвольной точке дуля .)- к ;<1/'~к-дифференциат дуга ^ к. Для отдельного ТКЭ равенство (7) может бьпь трансформировано к вину

Рис.2

ду

аг

+ | \ '>~к

дм

А1

1-к

д\

=0,

(8)

г ^Ч

/и ^ ¡и с^;" ¡1-, дБ

где V"1, V"" и - значения множителей Лагранжа в произвольных точках соответствующих сторон дискретного элемента.

Множители Лагранжа на фаницах ТКЭ с учетом (2) могут быть выражены через их узловые значения

V"1 (т, = 0> = (1 - + &; (5 = 1 - п)= (1 - т]) V + ;

Эта соотношения можно представить в матричном виде

{г-ЫуМКМ. (10)

1x3 3x3 3,1

Производные нормальной компоненты вектора перемещения в направлении нормалей к сторонам ТКЭ могут быть выражены через стандартный набор узловых варьируемых параметров в локальной системе координат

(9)

ду дБ':'

¿рг^Ми-Л (И)

где функции 1", Г, (г|), Г,(г)) представляют собой полиномы третьей степени. Соотношение (8) с учетом (10) и (11) можно представил, в матричном виде

{ММтЫШ{и;}=о, (12)

1x3 3/3 3. 27 27x1

где }т --= (£,)Г2(г|)Г,(г))}. Столбцы {Ху} и {и",} представляют собой набор уз-

3x27

ловых констант для каждого ТКЭ. Матричное произведение [-/(£, г))] г } зависит от локальных координат (Е, или т]) точек на сторонах ТКЭ, выбранных в качестве точек интегрирования. Интегрирование этого матричного произведения выполнялось по строкам

1-я строка /О-пКОО«"1-1;

/Н /к-1

2-я строка ШО<1/н+ (13)

/• ' /■ >

3-я строка + /^(л)«!/"-'.

" Л-

Дифференциал дуги стороны дискретного элемента определяется выражением, например, для стороны 1 - 3

с!/1"' + х2(А(р1&\)2 (11, (14)

где с^/ск = 0.5(8'- Б'}, с!ср/йХ = 0.5(<р*-<р[)

Равенство (12) с учетом (3), (13) и (14) может бьпь записано в виде

{кУ }=}т №к ]{и; }= }т М{игу }=о. (15)

1x3 3*27 27x1 1x3 3x27 27*27 27x1 1x3 3x27 27x1

Функционал, выражающий равенство работ внешних и внутренних сил на возможном перемещении для ТКЭ, с учетом (15) может бьпь записан в следующем виде

Ф . {игу}т [к]{и'Л- {игу у {11}+ {ху У И{и'Л=О, (16)

1x27 27x27 27x1 1x27 27x1 1x3 3x27 27x1

где [к \ {Я} - матрица жесткости и столбец узловой нагрузки ТКЭ.

Минимизируя этот функционал по узловым неизвестным {иу и узловым значениям корректирующих множителей Лагранжа }т получим систему уравнений

[9Ф/а{игЛт = [к]{иу}~ {я}+ Ит {Ху}=0;

27x27 27*1 27x1 27x1 з*| (17)

'аФ/э{ху}т=И{и^}=о.

3x27 27x1

Эта система может бьпь представлена в расширенной конечно-элементной формулировке в виде

ККЬК}, (18)

30x70 30*) 30x1

где [Кр]- расширенная матрица жесткости ТКЭ; {иур} - вектор искомых узловых неизвестных; } — расширенный вектор узловых усилий. В отличие от стандартной конечно-элементной процедуры при реализации этого алгоритма в каждом узле сетки дискретизации появляется дополнительное узловое неизвестное }.

Если в соотношении (8) вместо корректирующих множителей Лагранжа Х'~' Д>к, А.1"' использовать их значения Х\Хг,Хг в дополнительных узлах 1, 2, 3, расположенных в серединах сторон треугольного элемента дискретизации (рис. 3), то получим следующее выражение

X1 Г -^йГ+Х2 I \ -^-<1/к~'=0. (19)

1чд$>';! ¡ид /к-1 ЗБ'"1

Вычисление интегралов, входящих в (19), выполнялось по формулам

1-я строка Jf,(^)d/H + Jf^^d/^;

¡h A-i"

2-я строка |f,(4)d/'-j+ /f^d/^; (20) /¡-i í¡-b

3-я строка /f2(ri)d/Hi + |f3(n)d/k'', /¡-k /k-,

с последующей заменой переменных и ; Рис.3 использованием квадратуры Гаусса

Дальнейшая процедура получения расширенной матрицы жесткости и столбца узловых нагрузок ТКЭ совпадает с алгоритмом, описанным выше в соотношениях (14)...(18).

Для реализации варианта расчета, представленного соотношениями (19), используется сетка диофетизации с дополнительными узлами, расположенными в серединах сторон ТКЭ (рис. 4)..

В каждом из основных узлов сетки дискретизации, отмеченных на рис. 4 кружками, имеется до 9 (в зависимости сгг заданных граничных условий) узловых неизвестных. В дополнительных узлах, расположенных в серединах сторон ТКЭ (отмеченных квадратами) в качестве дополнительных узловых варьируемых параметров принимаются корректирующие множители Лагранжа X' Д2 Д3.

Пример 2. Задача по определению напряженно-деформированного состояния цилиндра, загруженного двумя противоположно направленными сосредоточенными

Рис. 4 Рис. 5

Расчеты выполнялись в трех вариантах: в первом варианте матрица жесткости ТКЭ формировалась стандартным образом, во втором и третьем вариантах использовались алгоришы с применением множителей Лагранжа в сочетании с процедурой интегрирования по сторонам элемента дискретизации (8) и (19). Разница между вторым и третьим вариантами заключалась в том, что во втором варианте множители Лагранжа по сторонам ТКЭ выражались через их узловые значения в вершинах треугольного элемента, а в третьем варианте использовались корректирующие множители Лагранжа в дополнительных узлах 1, 2, 3, расположенных в серединах сторон ТКЭ. Для каждого варианта были получены численные значения меридиональных и кольцевых напряжений в точке приложения нагрузки на внутренней и наружной поверхностях оболочки.

Анализ полученных результатов показал, чпо во всех трех вариантах наблюдается неудовлетворительная сходимость вычислительного процесса Поэтому можно сделать вывод о том, что использование корректирующих множителей Лагранжа в сочетании с интегрированием полиномиальных функций по сторонам ТКЭ не устраняет погрешностей стандартной конечно-элементной процедуры и данные варианты не могут быть рекомендованы к применению.

В качестве альтернативы рассмотренным выше алгоритмам рассматривается вариант, в котором уравнение (8) записывается непосредственно для узлов 1,2,3, расположенных в серединах сторон треугольного алемента дискретизации (рис. 3) без

процедуры интегрирования по сторонам ТКЭ, как это было выполнено в (8) и (19),

= (21)

звП1

Входящие в (21) производные нормальной компонента вектора перемещения во вновь введенных узлах 1, 2, 3 (рис. 3) в направлении нормалей п,,п2,п, могут быть выражены через столбец узловых неизвестных

(и у}, (22)

где ат и Рт -углы между вектором пт и касательными векторами локального базиса а° и а° узлат(т=1,2,3).

В отличие от функций }, входящих в (11), полиномиальные выражения (22) определяются путем подстановки в интерполяционные полиномы третьей степени {у} координат узлов 1,2,3.

Таким образом, процедура интегрирования по сторонам треугольного элемента дискретизации (13).. .(14) исключается.

Выражение (21) с учетом (22) и И 5) может бьпь записано в виде

№)[РЖМИ№}=0, (23)

1x3 3x27 27*27 27x1 3x27 27x1

Дальнейшая процедура получения матрицы жесткости и столбца узловых усилий аналогична (16).. .(18).

Пример 3. Жеспсозащешекньт по торцам короткий цилиндр, нагруженный внутренним давлением интенсивности q (рис. 6). Исходные данные: Ь=1,0 м; Я = 1,0 м; 1= 0,02 м; Е = 2,0 х 105 МПа; V = 0,3; q = 5 МПа. Расчеты были выполнены в двух вариантах. В первом варианте использовалась стандартная конечно-элемекшая процедура без множителей Лагранжа, а во втором варианте расчета был реализован алгоритм, использующий множители Лагранжа в серединах сторон ТКЭ без процедуры интегрирования по сторонам элемента дискретизации (21).. .(23).

В таблице 2 показаны численные значения меридиональныхсы и кольцевых ок напряжений на внутренней о", наружной а" и срединной аср поверхностях оболочки в жесткой заделке в зависимости от числа узлов сетки дискретизации. Вследствие наличия осевой симметрии рассматривалась 1/4 часть оболочки. Анализ контролируемых параметров напряженно-деформированного состояния оболочки показывает, что при реализации стандартной конечно-элемешной процедуры для ТКЭ (I вариант) численные значения напряжений имеют разноименные знаки лишь при редкой сетке дискретизации, а со сгущением сетки напряжения на внутренней и наружной поверхностях становятся только растягивающими, что противоречит физическому смыслу решаемой задачи. Кроме того, наблюдается неудовлетворительная сходимость вычислительного процесса для значений напряжений на внутренней и наружной поверхностях оболочки.

Таблица2

Рис.6

Численные значения напряжений, МПа Вариант расчета

I 1 и

Число узлов сетки дискретизации

4x9 4x17 4x33 4x49 4x9 4x17 4x33 4x49

222.59 149.91 108.06 93.14 459.99 475.49 479.62 480.40

< -98.43 -24.94 1722 31.99 -339.96 -356.06 -360.26 -361.05

62.08 62.48 62.64 62.56 60.01 59.72 59.68 59.68

а" 67.78 44.97 32.42 27.94 138.00 142.65 143.89 144.12

< -29.53 -748 5.17 9.60 -101.99 -106.82 -108.08 -10831

о? 18.62 18.75 18.79 18.77 18.00 17.91 17.90 17.90

Во втором варианте расчета наблюдается устойчивая сходимость вычислительного процесса уже при достаточно редкой сепсе дискретизации. Кроме того, численные значения напряжений во втором варианте соответствуют физическому смыслу решаемой задачи, так как в жесткой заделке имеет место деформация изгиба т.е. значения напряжений на внутренней и наружной поверхностях оболочки должны иметь разные знаки.

Пример 4. Цилиндр, загруженный двумя противоположно направленными сосредоточенными силами (рис. 5). Исходные данные: Е = 7,38 • 10'Н/см2; у = 0,3; К = 12,58 см; 1 = 0,24 см; Р = 453,6 Н. Вследствие наличия плоскостей симметрии рассматривалась 1/4 часть цилиндра

Расчеты, как и в примере 3, выполнялись в двух вариантах. В первом варианте использовалась стандартная для ТКЭ конечно-элементная процедура без множителей

Лагранжа Во втором варианте использовались корректирующие множители Ла-гранжа в узлах 1,2, 3, расположенных в серединах сторон ТКЭ (21) без процедуры численного интегрирования. Результаты повариантного расчета представлены в таблицах 3-6, в которых приведены численные значения меридиональных и кольцевых напряжений в точках А и В (рис. 5) на внутренней и наружной поверхностях оболочки. При решении задачи допалшггельно варьировалась густота сетки рассматриваемой части оболочки.

Таблица3

Численные значения напряжении в точке В, Н/см2 Вариант 1

Число узлов сетки диск ретизации

5x5 6x6 8x8 10x10 11x11

о» вн 592 1098 1492 1605 1629

нар -916 -1338 -1680 -1773 -1789

вн -2290 -1725 -1228 -1045 -994

нар 2179 1721 1276 1105 1060

Таблица4

Численные значения напряжений в точке В, Н/см2 Вариант 2

Число узлов сетки дискретизации

5x5 6x6 8x8 10x10 11x11

ст„ вн -1111 -1042 -952 -907 -894

нар 1100 1089 1036 998 847

вн -4390 -4347 -4264 -4223 -4210

нар 3743 3827 3823 3801 3792

Видно, что в точке В в первом варианте (таблица 3) наблюдается неудовлетворительная сходимость вычислительного процесса. Во втором же варианте (таблица 4) можно отметить быструю сходимость конечно-элементных решений уже при достаточно редкой сетке дискретизации. Погрешность численных значений кольцевых напряжений достигает лишь 1-2%.

Сравнение данных таблиц 3 и 4 показывает, что напряжения, вычисленные в первом варианте расчета, не соответствуют физическому смыслу решаемой задачи. Вышеупомянутые напряжения на внутренней поверхности оболочки должны быть сжимающими, т.е. имеющими отрицательный знак, а на наружной поверхности -растягивающими, что и наблюдается во втором варианте расчета.

Из рис. 5 видно, что численные значения напряжений в точке приложения нагрузки А, вычисленные с привлечением узловых неизвестных смежных ТКЭ (I) или ТКЭ (II) должны бьпь одинаковыми. Однако из данных, приведенных в таблице 5, т.е. при использовании варианта I, видно, что погрешность конечно-элементных решений в точке приложения узловой нагрузки достигает неприемлемо больших значений. В то же время результаты таблицы 6 показывают, что погрешность вычислений во втором варианте расчета находится в пределах 0,1%-0,5%, т.е. значения напряжений в контролируемой точке А практически совпадают при использовании найденных узловых неизвестных соседних элементов дискретизации I и II (рис. 5).

Таблица 5

Численные значения напряжений в точке А, Н/см2 Вариант 1

Число узлов сетки дискретизации

5x5 (I) 5x5 (II) 8x8 (I) 8x8 (II)

о„ вн 5958 1313 11074 2565

нар -7248 -2602 -13205 -4697

а„ вн 11427 12554 13139 15297

нар -8671 -9798 -14353 -16513

Таблицаб

Численные значения напряжений -- в точке А, Н/см2 Вариант 2

Число узлов сетки дискретизации

5x5 (I) 5x5 (II) 8x8 (I) 8x8 (II)

вн 2620 2626 2578 2583

нар -1986 -1993 -2452 -2458

вн 7660 7665 7172 7175

нар -6049 -6054 -7226 • -7230

Анализ представленных результатов примеров 3 и 4 позволяет сделать вывод о высокой эффективности алгоритма, основанного на применении корректирующих: множителей Лагранжа в дополнительных узлах, расположенных в серединах сторон треугольного элемента дискретизации без процедуры численного интегрирования по сторонам (21).. .(23).

При осуществлении конечно-элементного анализа оболочек неизбежно возникает весьма сложная проблема по учегу смещений используемого алеменга дискретизации как жесткого целого. Данная проблема может бьпь эффективно решена путем использования векторного способа интерполяции перемещений в ТКЭ.

Для реализации векторного способа аппроксимации перемещений равенство (21) записывается в векторной форме

+ + = (24)

дБ дБ дБ

П, ГЬ Л)

Я\/<га) Я\>(™) Ж(т>

38^ дБ дер н у '

Входящие в (25) производные вектора перемещения по глобальным криволинейным координатам Б и ср определяются равенствами гК/1"0 Я\?1т)

"дд-- 1 1 1 1 1 ' 2 ' 2 2 +4 3 Л*0)

где 1:|1т>, ,^, , 1, 1 - многочлены, содержащие компоненты вектора перемещения и их производные в узле ш, расположенном в середине стороны ТКЭ. Например,

_ у ы + ; > = у,^ + Ь^Г . (27)

Здесь Ь, Ь - компоненты тензора кривизны.

Для того чтобы размерность расширенной матрицы жесткости Кр не превышала порядка 30x30 при выполнении скалярного умножения в (24) можно ограни-

читься основной нормальной компонентой множителя Лагранжа, т.е. воспользоваться равенством

Ж111 гл/0)

п, г:. п,

или с учетом (25) и (26)

Г'^СОБ а"' +1<"С05Р(,>)+Х.(:'(1;:)С05 ай) -И?СОБ р®)+ _„

Входящие в (29) многочлены ^"^"'(т = 1,2,3) определяются на основе формул векторной аппроксимации перемещений

1.9 ы 1*9 9x9 9х| 1x9 9x9 ^^ 27x27 9«1 1x9 ^^ 27x27 27x27 9,1

где {Уу}' = {у1 V,' V,' V,') - столбец векторных узловых неизвестных

1x9

в глобальной системе координат; [в]- матрица, определяемая из равенст-ва[Ь]|^А^=^А^[0], где [~Аквазидиагональная матрица, содержащая локальные

М 9x27 9x27 27,27

базисные векторы узловых точек ТКЭ; а®,а°г(,ам,а10',...,а0к могут бьпъ выражены через векторы локального базиса внутренней точки ТКЭ а°, а^, а0

{а»}=[0']{а°}, (31)

3x1 3x3 .1x1

(а°'Г = (а^а^а01}; {а0]т={а;а°а0!;верхшйиндекс с обозначает узлы ТКЭ ¡¿к.

С учетом (31) можно сформировать равенство

[А]=а°[А1]+а:[А2]+а°[А3]. (32)

Выражение (30) с учетом (32) запишется следующим образом

V = МТ(а? [А, ]* а° [А,^ а» [А3])№У}, (33)

9*27 / 27x27 27x1

где{гу}=М{и^}.

27x27

Дифференцируя (33) по глобальным координатам Б и ср, можно получить производные вектора перемещения

=(к Лт ^ + к Г [А, ]+а;[А, ]+а- [а, Кс]{гу}.

Из соотношений (34) можно получить выражения для многочленов 15'">,1:1т)

Равенство (29) с учетом (35) может быть записано в матричном виде

{Х}т[в]{и^}=0,

1x3 3x2 7 27.1 (ь,Г

где [В]= 3*27 &

& . !*27

(37)

Входящие в (37) матрицы-строки Ъга определяются согласно (28).. .(35). Например

(38)

д<р

соэр11

[А,10]{2у

Сопоставляя равенства (23) и (36), следует отметил, весьма существенные различия данных сосгпюшений между собой, которые обусловлены принципиально различными способами аппроксимации полей перемещений в ТКЭ. Так, например, матрица [у] в (23) содержит только третью часть ненулевых элементов, в то время как матрица [в] в (36) является полностью заполненной. Этот факт объясняется тем, что в соответствии с традиционной интерполяционной процедурой каждая компонента вектора перемещения и ее производные зависят от узловых значений только этой же компоненты и ее производных. В соответствии с векторной аппроксимацией потей перемещений отдельная компонента вектора перемещения и ее производные зависят сгг полного набора узловых варьируемых параметров ТКЭ {и [}, в структуру которого входят узловые значения всех трех компонент вектора перемещения и их производных.

Дальнейшая процедура получения расширенной матрицы жесткости Кр и столбца узловых нагрузок {я р} при векторном способе аппроксимации аналогична (16).. .(18) с заменой матрицы [х] на [в] и соответствующей заменой интерполяционных формул, входящих в малрицы [к] и {я}.

Пример 5. Открытая с торцов оболочка в форме эллипсоида вращения, загруженная внутренним давлением интенсивности ц, имеющая на левом краю пружинные опоры, позволяющие сме-

Рис.7

щщься ей под действием заданной нагрузки в меридиональном направлении как жесткому телу (рис. 7). Параметры эллипса а= 1 .Зм; Ь=0.9м; осевая координата х изменялась в пределах 0 < х < 1.2 м. Исход преданные: С[= 5МПа; Е= 2 • 105МПа;г =03; 1= 0.02м.

Расчеты были выполнены в двух вариантах: в первом варианте был реализован алгоршм с множителями Латранжа, описанный соотношениями (21)...(23); во втором варианте при формировании матрицы жесткости ПО с множителями Латранжа использовалась векторная аппроксимация перемещений (24).. .(38).

Результаты расчетов представлены в таблице 7, в которой приведены численные значения меридиональных ом и кольцевых ок напряжений на правом краю оболочки (точки 1 и 2) в зависимости от величины смещения оболочки как жесткого тела

Таблица7

Вариант! Вариант2

смещения Точка! Точка2 Точка! Точка2

обэлочки как жесткого тепа, м о* МПа о: < МПа а" МПа £1 о"' МПа о"' МПа МПа МПа < МПа

0.00 0.02 169.2 0.76 171.6 -0.17 169.2 0.81 171.6

0.71 167.2 0.09 164.9 0.87 167.1 0.50 164.9

0.09 6.2 58.5 7.1 66.1 -0.17 169.2 0.81 171.6

-20.6 46.2 -24.4 37.7 0.87 167.1 0.50 164.9

0.90 62.2 -937.8 64.3 -883.1 -0.17 169.2 0.81 171.6

-212.6 1042.7 -245.1 -1106.1 0.87 167.1 0.50 164.9

9.00 618.5 -10840.8 632.7 -10318.0 -0.17 169.2 0.82 171.6

-2121.2 -11866.3 -2438.7 -12476.0 0.87 167.2 0.49 165.0

Анализ результатов показывает, что при отсутствии жесткого смещения численные значения напряжений для этих двух вариантов практически совпадают. С увеличением смещения оболочки как жесткого целого погрешность первого варианта многократно возрастает. И, напротив, во втором варианте наблюдается полная стабильность контролируемых параметров напряженно-деформированного состояния, несмотря на весьма значшельные смещения эллипсоида как жесткого тела

Основываясь на вышеприведенном примере, можно сделать вывод о необходимости использования векторной аппроксимации полей перемещений в алгоритмах формирования матриц жесткостей ТКЭ с множителями Латранжа при расчете оболочек, допускающих жесткие смещения под действием заданной нагрузки.

Пример 6. Компенсатор, нагруженный внутренним давлением интенсивности Я (рис.8). Исходные данные: я=0.2МПа; Е = 2 • 105МПа; у = 0.3; г = 0.01м. Радиус вращения определялся формулой г = А + Всоз(х/С), где А = 1.3м; В = 0.9м; осевая координата х первоначально изменялась в пределах 0<х<0.54ям. Пара-

г-А+ВсояуО

Рис.8

метр С был принят равным 0.18м. Данная оболочка имеет весьма значительные изменения кривизны меридиана.

Расчеты, как и в предыдущем примере, были выполнены в двух рассмотренных выше вариантах. Вследствие осевой симметрии расчетная схема оболочки бьиа представлена одной лентой ТКЭ в меридиональном направ-

-яении. Результаты представлены в таблице 8, в которой приведены численные значения кольцевых и меридиональных напряжений на свободном краю оболочки (точки 1 и 2) во внутренних волокнах в зависимости от тусклы сетки элементов дискретизации. Как видно из таблицы, результаты расчета существенно различаются между собой по вариантам. В первом варианте отсутствует сходимость вычислительного процесса, меридиональные напряжения на свободном краю оболочки (которые по физическим соображениям должны быть равны нулю) хотя и уменьшаются по величине со сгущением сетки, но остаются весьма далеки от нулевых значений. Во втором варианте наблюдается устойчивая сходимость вычислительного процесса, а меридиональные напряжения монотонно приближаются к нулю.

Если частоту волн компенсатора увеличить (уменьшив значения 0 < х < 0.36л м; С= 0.12м), то кривизны меридиана компенсатора пропорционально возрастут.

Таблица 8

Точка Напряжение Вариант 1 Вариант 2

2x31 2x55 2x73 2X109 2x31 2x55 2x73

I -88.47 -44.09 -18.19 0.89 11.38 11.64 11.63

О» -342.20 -193.79 -104.02 -38.11 -0.96 -0.15 -0.06

2 -121.08 -58.10 -25.68 -2.14 10.89 11.19 11.29

-355.85 -193.16 -100.19 -34.16 -1.04 -0.26 -0.16

Таблица9

Точка Напряжение Вариант! Варианг2

2x73 2x91 2x121 2x145 2x73 2x91 2х 121

1 ак -343.85 -309.58 -198.18 -133.53 3.71 3.70 3.72

-1657.03 -1325.94 -756.51 487.29 -0.91 -0.52 -0.41

2 -625.82 41035 -186.50 -106.32 325 3.57 3.71

-1279.46 -908.09 457.84 -277.79 -1.00 -0.57 -0.36

Результаты расчета при других пределах изменения координаты х и параметра С представлены в таблице 9, структура которой аналогична таблице № 8. Как видно из таблицы, погрешность первого варианта расчета возрастает с увеличением кривизны меридиана оболочки. При отсутствии сходимости вычислительного процесса наблюдается существенная разница в значениях напряжений в точках 1 и 2, которые в

силу осевой симметрии должны совпадать. Во втором же варианте расчета имеет место устойчивая сходимость вычислительного процесса при увеличении числа элементов дискретизации. Значения напряжений в точках 1 и 2 приблизительно совпадают, а меридиональные напряжения монотонно приближаются к нулю, что соответствует физическому смыслу решаемой задачи.

Поэтому можно сделать вывод о необходимости использования векторной аппроксимации полей перемещений в алгоритмах формирования матриц жесгкосгей ТКЭ с множителями Лагранжа при расчете оболочек с большими кривизнами меридиана

В заключении приведены выводы диссертационной работы.

Выводы работы состоят в следующем:

1. Выполнен сравнительный анализ эффективности двух вариантов функций форм (О.Зенкевича и функций форм, основанных на использовании полного полинома третьей степени с привлечением смешанной производной у,^) и способов интерполяции перемещений в ТКЭ с девятью степенями свободы в узле. Доказаны преимущества функций форм, основанных на использовании полного полинома третьей степени с привлечением смешанной производной V,!/ и векторного способа интерполяции перемещений, позволяющего учитывать жесткие смещения ТКЭ в неявном виде.

2. Разработан алгорит формирования матрицы жесткости ТКЭ с включением в число узловых неизвестных корректирующих множителей Лагранжа.

3. Выполнен вариативный анализ эффективности использования корректирующих множителей Лагранжа в ТКЭ оболочки вращения. Доказана высокая эффективность варианта, в котором в число узловых неизвестных дополнительно включаются корректирующие множители Лагранжа в серединах сторон ТКЭ без операции численного интегрирования по сторонам элемента.

4. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости ТКЭ с множителями Лагранжа при использовании векторного способа интерполяции перемещений.

5. Доказаны принципиальные преимущества алгоритма формирования матрицы жесткости ТКЭ с множителями Лагранжа при использовании векторной интерполяции перемещений по сравнению с вариантом, в котором матрица жесткости ТКЭ с множителями Лагранжа формировалась на основе интерполяции компонент вектора перемещений как скалярных величин при расчете оболочек вращения с большими кривизнами меридиана или допускающих жесткие смещения под действием заданной нагрузки.

6. Разработан пакет прикладных программ, реализующих разработанные алгор1лмы с целью внедрения их в расчетную инженерную практику.

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и гаданиях, определенных Высшей Аттестационной Комиссией России

1. Вахнина О. В. Расчет осесимметричных оболочек со значительными градиентами кривизны меридиана на основе метода конечных элементов [Текст] / Ю. В. Клочков, О. В. Вахнина, ААШубович // Вестник ВолгГАСУ. Серия: Естественные науки. - 2007. - Вып. 6 (23). - С. 18-23.

2. Вахнина О. В. Использование множителей Лагранжа при формировании матрицы жесткости треугольного конечного элемента [Текст] / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, О. В. Вахнина // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. М.:-2009-№ 2. - С. 38-43.

3. Вахнина О. В. Расчет оболочек вращения с использованием модифицированного треугольного конечного элемента [Текст]/ Ю.В.Клочков, А.ГЪНиколаев, О. В. Вахнина// Известия вузов. Серия: Строительство. - 2009. - №. 9 - С. 11-16.

Публикации в других изданиях

4. Вахнина О. В. Сравнительный анализ эффективности вычисления геометрических величин в конечно-элементных решениях оболочек, допускающих жесткие смещения [Текст] / Ю. В. Клочков, О. В. Вахнина // Современные проблемы развития АПК: Материалы научно-практической конференции. Волгоград , 2006. С. 155-159.

5. Вахнина О. В. Использование множителей Лагранжа в алгоритмах формирования матриц жесткосгей треугольных конечных элементов ¡Текст] / Ю. В. Клочков, О. В. Вахнина // «Инженерные сисгемы-2008»: Всероссийская научно-практическая конференция: Тезисы докладов. М., РУДН, 2008,-С. 58.

6. Вахнина О. В. Конечно-элементный анализ оболочек на основе элемента треугольной формы с использованием множителей Лагранжа [Текст] / Ю. В. Клочков, О,

B. Вахнина // «Инженерные системы-2009»: Международная научно-прамическая конференция: Тезисы докладов. М., РУДН, 2009.-С. 31.

7. Вахнина О. В. Применение множителей Лагранжа к расчету оболочек с использованием треугольного конечного элеметгга [Текст] / Ю.В. Клочков, О.В. Вахнина // Использование инновационных технологий для решения проблем АПК в современных услов;гах: Материалы научно-пракшческой конференции. Волгоград, 2009.

C. 23-25.

Личный вклад соискателя по опубликованным в соавторстве научным работам

Во всех работах разработка принципиальных положений построения дискретных моделей оболочек вращения на основе ТКЭ проводилось совместно .с Ю.В. Клочковым. Личный вклад Вахниной О. В. заключается в разработке алгорит-. мов расчета, создании пакета программ и выполнении анализа НДС оболочек.

Подписано к печати 18.11.2009. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 488. ИПК ФГОУ ВПО ВГСХА «Нива». 400002, г. Волгоград, пр-т. Университетский, 26

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ

ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

2. 1. Геометрия оболочки вращения в исходном состоянии.

2. 2. Геометрия оболочки вращения в деформированном состоянии.

2. 3. Физические соотношения оболочки вращения в линейной постановке.

3. МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТАХ ФУНКЦИЙ

ФОРМЫ И СПОСОБОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ.

3.1. Основные операции метода конечных элементов.

3. 2. Варианты интерполяции перемещений в методе конечных элементов.

3.2.1 Общепринятый способ интерполяции перемещений.

3.2.2 Интерполяция векторов перемещений.

3.3. Треугольный конечный элемент при использовании интерполяции компонент вектора перемещения как скалярных величин.

3. 4. Матрица жесткости треугольного конечного элемента размером 27x27 на основе векторной интерполяции перемещений.

4. МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МНОЖИТЕЛЕЙ

ЛАГРАНЖА.

4. 1. Выражение множителей Лагранжа на границах треугольного конечного элемента через их узловые значения.

4. 2. Использование множителей Лагранжа в серединах сторон треугольного конечного элемента в сочетании с процедурой интегрирования по сторонам элемента.

4. 3. Использование корректирующих множителей

Лагранжа в серединах сторон треугольного конечного элемента без процедуры интегрирования по сторонам элемента.

4. 4. Применение векторной аппроксимации перемещений в алгоритмах формирования матриц жесткостей треугольных конечных элементов, скомпонованных с использованием множителей Лагранжа.

В настоящее время особую роль приобретает создание технологий, способствующих более экономичному и рациональному использованию материалов и оболочечных конструкций. Достижению этой цели способствует внедрение в инженерную практику оболочек, которые позволяют в полной мере использовать прочностные свойства применяемого материала. Определение напряженно-деформированного состояния оболочек является достаточно сложным и трудоемким процессом, поэтому задача совершенствования расчетов оболочек вращения является актуальной и представляет большой практический интерес.

В настоящее время создана подробная теория тонких оболочек, в развитие которой огромный вклад внесли отечественные ученые [101, 78, 36, 26, 16, 24, 22]. С возникновением и развитием компьютерной техники все большее значение приобретают численные методы расчета [19, 91, 106, 103, 40].

Одним из наиболее широко применяемых методов, используемых при расчете тонких оболочек, является метод конечных элементов (МКЭ) [39, 52, 108, 113, 129]. МКЭ, основанный на мысленном представлении сплошного тела совокупностью дискретных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек [108], в сравнении с другими численными методами обладает рядом преимуществ: возможностью при помощи современных компьютеров автоматизировать процесс формирования матриц жесткости конструкций и решать системы линейных уравнений, достигающие порой порядка нескольких десятков тысяч;

- легкостью составления гибких алгоритмов расчета, позволяющих путем изменения исходных данных изменять различные граничные условия и характер внешней нагрузки оболочечной конструкции;

- возможностью учитывать физическую и геометрическую нелинейность оболочки, а также влияние температурных деформаций, которые возникают в процессе эксплуатации объектов [95, 111].

Цель данной работы заключается в разработке алгоритмов расчета оболочек вращения при использовании в качестве элементов дискретизации треугольных конечных элементов с применением множителей Лагранжа, анализе эффективности использования корректирующих множителей Лагранжа в расчетах оболочек вращения, разработке пакета прикладных программ по формированию матриц жесткостей треугольных конечных элементов с множителями Лагранжа.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработан алгоритм расчета оболочек вращения при использовании треугольного конечного элемента, узловые варьируемые параметры которого включают в себя кроме компонентов вектора перемещения и их первых производных также корректирующие множители Лагранжа.

2. Выполнено вариативное исследование эффективности использования множителей Лагранжа в треугольном конечном элементе оболочки вращения.

3. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента с множителями Лагранжа при использовании векторного способа интерполяции перемещений.

4. Выполнен сравнительный анализ эффективности применения интерполяции полей векторов перемещений в алгоритмах формирования матриц жесткостей треугольных конечных элементов с множителями Лагранжа при расчете оболочек с большими кривизнами меридиана или допускающих жесткие смещения под действием внешней нагрузки.

Практическая ценность работы заключается в том, что алгоритмы, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, оформлены в виде пакета прикладных программ для персональных компьютеров по расчету на прочность оболочек вращения, который может быть использован научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, занимающимися проектированием, строительством и эксплуатацией сложных оболочечных конструкций. Использование указанных алгоритмов позволяет выполнять уточненный расчет прочности конструкций из оболочек, что обеспечивает их надежную работу.

Достоверность научных положений обеспечивается корректной математической постановкой задач с использованием векторного анализа, теории тонких оболочек, теории аппроксимации функций, а также подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, t полученных с помощью разработанного конечного элемента, с результатами исследований и данными других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (204 наименования), изложена на 144 страницах машинописного текста, содержит 19 рисунков, 1 график и 25 таблиц.

Основные выводы диссертационной работы состоят в следующем:

1. Выполнен сравнительный анализ эффективности двух вариантов функций форм (О. М. Зенкевича и функций форм, основанных на использовании полного полинома третьей степени с привлечением смешанной производной v,^) и способов интерполяции перемещений в треугольном конечном элементе с девятью степенями свободы в узле. Доказаны преимущества функций форм, основанных на использовании полного полинома третьей степени с привлечением смешанной производной v,1^ и векторного способа интерполяции перемещений, позволяющего учитывать жесткие смещения треугольного конечного элемента в неявном виде.

2. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента с включением в число узловых неизвестных корректирующих множителей Лагранжа.

3. Выполнен вариативный анализ эффективности использования корректирующих множителей Лагранжа в треугольном конечном элементе оболочки вращения. Доказана высокая эффективность варианта, в котором в число узловых неизвестных дополнительно включаются корректирующие множители Лагранжа в серединах сторон треугольного конечного элемента без операции численного интегрирования по сторонам элемента.

4. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента с множителями Лагранжа при использовании векторного способа интерполяции перемещений.

5. Доказаны принципиальные преимущества алгоритма формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента с множителями Лагранжа при использовании векторной интерполяции перемещений по сравнению с вариантом, в котором матрица жесткости треугольного конечного элемента с множителями Лагранжа формировалась на основе интерполяции компонент вектора перемещений как скалярных величин при расчете оболочек вращения с большими кривизнами меридиана или допускающих жесткие смещения под действием внешней нагрузки.

6. Разработан пакет прикладных программ, реализующих разработанные алгоритмы с целью внедрения их в расчетную инженерную практику.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Агапов, В. П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций Текст. / В. П. Агапов - М.: Издательство АСВ, 2000. - 152 с.

2. Александров, А. В. Об использовании дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин Текст. /

3. A. В. Александров, Н. Н. Шапошников // Тр. Моск. ин-та инж. транспорта. -1966.-Вып. 194.- С. 50-67.

4. Александрович, А. И. Исследование плоской задачи для физически нелинейного упругого тела методами теории функций комплексного переменного Текст. / А. И. Александрович, А. В Горлова // Изв. РАН. Мех. тверд, тела 2007. - С. 63-72.

5. Аргирис, Дж. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов Текст. / Дж. Аргирис Д. Шарпф // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., 1974.-т. 1.-С. 179-210.

6. Астрахарчик, С.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны Текст. / С.

7. B. Астрахарчик., Л. П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. АН. МТТ. 1994г, №2,1. C. 102-108.

8. Баженов, В. Г. Вычислительные модели нелинейных задач динамики пространственных конструкций Текст. / В. Г. Баженов, Д. Т. Чекмарев // Тр. международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» Казань, 2000г. - С. 50-64.

9. Бакушев, С. В. К решению плоской задачи нелинейной теории упругости с использованием функции напряжений Текст. / С. В. Бакушев, В. А. Монахов // Изв. вузов. Сер.: Строительство. 2007. - №6. - С. 12-18.

10. Бандурин, Н. Г. К расчету сочлененных оболочек с помощью четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев // Расчеты на прочность М.: Машиностроение, 1980. - Вып. 21. - С. 225-236.

11. Бандурин, Н. Г. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Изв. вузов сер. Машиностроение. 1981. - №5. - С. 26-31.

12. Бандурин, Н.Г. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 к расчету непологих произвольных оболочек Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев, Т. И. Апраксина // Пробл. прочности. 1980. - №5. - С. 104-108.

13. Бандурин Н. Г. К применению МКЭ для расчета оболочек вращения с учетом пластических свойств материала Текст. / Н. Г. Бандурин, А. П. Николаев // Изв. вузов. Сер. Строительство и архитектура. 1985. -№3. - С. 24-27.

14. Беляев Н.М. Сопротивление материалов Текст./ Н.М. Беляев -М.: Наука. 1976. -607с.

15. Бидерман, В. Л. Механика тонкостенных конструкций Текст. / В. Л. Бидерман М.: Машиностроение. - 1977. - 488с.

16. Борискин, О. Ф. Нелинейные трехмерные модели в расчетах колебаний оболочек на базе смешанной аппроксимации перемещений Текст. / О. Ф. Борискин, О. О. Барышникова // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 2000г., №4-С. 23-31.

17. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ Текст. / Н. В. Валишвили М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

18. Вальтер, А. И. Метод конечных элементов в задачах прочности Текст.: учеб. пособие / А. И. Вальтер, А. А. Баранов Тула: ТулГУ, 2005. -195 с.

19. Виноградов, Ю. И. Методы исследования концентрации напряжений в оболочках Текст. / Ю. И. Виноградов, Ю. А. Гусев, В. С. Золотухин // Вестн. Моск. авиац. ин-та. 2005. - №3. - С. 61-65.

20. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике Текст. / В. 3. Власов М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

21. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки Текст. / А. С. Вольмир М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

22. Галиев, К. С. О построении универсальной матрицы жесткости в МКЭ Текст. / К. С. Галиев, Л. А. Гордон, Л. А. Розин // Известия ВНИИ гидротехники, 1974. - Т.105 - С. 174-188.

23. Галимов, К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек Текст. / К. 3. Галимов // Казань: Изд. Казан, гос. ун-та, 1975. - 326 с.

24. Танеева, М. С. Деформирование оболочек вращения отрицательной и положительной гауссовой кривизны под действием неосесимметричного нагружения Текст. / М. С. Танеева, В.Е. Моисеева // Пробл. прочн. и пластич. 2002. - №64. - С. 46-50.

25. Гладильщикова, К. М. Новая схема МКЭ решения задачи теории упругости Текст. / К. М. Гладильщикова // 12 Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки. Н. Новгород: Гладкова О. В., 2007.-С. 40-41.

26. Голованов, А. И. Новый конечный элемент для расчета произвольных тонких оболочек Текст. / А. И. Голованов // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. - №4. - С. 21-23.

27. Голованов, А. И. Расчет тонкостенных конструкций МКЭ с учетом геометрической и физической нелинейности Текст. / А. И. Голованов, О. Н Тюленева, С.А. Якушин // Проблемы прочности и пластичности. 2002. - №64. - С. 36-40.

28. Голованов, А. И. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций Текст. / А. И. Голованов, А. В. Песошин, О. Н. Тюленева Казань: Изд-во КГУ, 2005. - 442 с.

29. Голованов, А. И. Нахождение динамических характеристик сложных оболочечных конструкций МКЭ Текст. / А. И. Голованов, А.Ф.

30. Шигабутдинов // Мат. 10 Межд. симпоз. «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Ярополец, 2004г., Т. 1. -М: Изд-во. МАИ. 2004. -С. 72-73.

31. Голованов, А. И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций Текст. / А. И. Голованов, О. Н. Тюленева, А.Ф. Шигабутдинов М.: Физматлит, 2006. - 391 с.

32. Головко, К. Г. О решении осесимметричных задач динамики цилиндрических оболочек на упругом основании Текст. / К. Г. Головко, П. 3. Луговой, В. Ф. Мейш // Прикл. механика. 2007. - №12. - С. 103-109.

33. Гольденвейзер, А. А. Теория упругих тонких оболочек Текст. / А. А. Гольденвейзер М.: Наука, 1976. - 512 с.

34. Гордон, Л. А. К расчету пластин и оболочек методом конечных элементов Текст. / Л. А. Гордон // Известия ВНИИ гидротехники, 1972. -Т.99-С. 168-178.

35. Григолюк, Э. Н. Нелинейное деформирование тонкостенных конгструкций Текст. / Э. Н. Григолюк, В. И. Мамай М. Наука: Физматлит., 1997.-272 с.

36. Григоренко, Я. М. К расчету оболочечных конструкций методом конечного элемента Текст. / Я. М. Григоренко, С. С. Кокошин // Прикладная механика 1979.-т. 15. - №7. -С. 3-10.

37. Григоренко, Я. М. Решение задач теории оболочек на ЭВМ Текст. / Я. М. Григоренко, А. П. Мукоед Киев: Вища школа, 1979. - 280 с.

38. Григорьев, И. В. Деформирование, устойчивость и колебания оболочечных конструкций Текст. / И. В. Григорьев, В. И. Прокопьев, Ю. В. Твердый М.: АСВ. 2007. - 208 с.

39. Датт, Д. Эффективный треугольный элемент оболочки Текст. / Д. Датт // акетная техника и космонавтика. 1970. - Т.8, T.l 1 - с. 228-229.

40. Деклу, Ж. Метод конечных элементов Текст. / Ж. Деклу М.: Мир, 1976.-96 с.

41. Евзеров, И. Д. Сходимость плоских конечных элементов тонкой оболочки Текст. / И.Д. Евзеров, B.C. Здоренко // Строит, механика и расчет сооружений. 1984. - №1. - С. 35-40.

42. Ельшмуратов, С. К. Численное исследование тонких оболочек Текст. / С. К. Ельшмуратов // Материалы Международной научно-технической конференции. Омск, 2005. - С. 247-251.

43. Емельянов, И. Г. Определение напряженно-деформированного состояния и ресурса оболочечных конструкций Текст. / И. Г. Емельянов, В. И. Миронов, А. В. Кузнецов // Пробл. машиностр. и надежн. машин. 2007. -№7.-С. 57-65.

44. Железное, , JI. П. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении методом конечных элементов Текст. / Л.П. Железнов, В. В. Кабанов // Изв. АН СССР, МТТ. 1981. - №3. - С. 49-54.

45. Завьялов, В. Н., Деформирование прямоугольных пластин за пределами упругости Текст. / В. Н. Завьялов, Е. А. Мартынов, В. М.

46. Романовский // Материалы Международной научно-технической конференции. Омск, 2005. Кн. 1: Изд-во СибАДИ. - 2005. - С. 247-251.

47. Зенкевич, О. М. Метод конечных элементов в технике Текст. / О. М. Зенкевич М.: Мир, 1975. - 542 с.

48. Зуев, Б. И. Сравнение некоторых моделей конечных элементов при анализе тонкостенных пространственных конструкций Текст. / Б. И. Зуев, С.А. Капустин, JI. К Киселев, В. А. Трубицын // В сб. : Метод конеч. элем, в строит, мех. Горький, 1975. - С. 149-163.

49. Игнатьев, В. А. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики Текст. / В. А. Игнатьев, А. В. Игнатьев, А. В Жеделев : Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. Волгоград: ВолГАСУ, 2006. -172 с.

50. Игнатьев, В. А. Расчет стержневых пластинок и оболочек Текст. / В. И. Игнатьев Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1988. - 180 с.

51. Игнатьев, В. А. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластисто-стержневой структуры Текст. / В. А. Игнатьев, О. JI. Соколов, И. Т. Альтенбах, В. Киссинг. М.: Стройиздат, 1996.-559 с.

52. Кабанов, В. В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета Текст. / В.В. Кабанов // Вопросы прочности и долговечности элементов авиац. конст.- Куйбышев, 1979. №25. - с. 35-43.

53. Кабанов, В. В. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряженном состоянии методом конечных элементов Текст. /В.В. Кабанов, JI. П. Железнов // Прикл. механика. 1978.- Т.14. №3. — с. 45-52.

54. Кабанов, В. В. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при изгибе силой через накладку Текст. / В. В. Кабанов, JI. П. Железнов // Прикл. механика. 1989. - Т.25. - №8. - С. 126-130.

55. Кабанов, В. В. К расчету цилиндрической оболочки методом конечных элементов Текст. / В. В. Кабанов, JI. П. Железнов // Прикл. механика. 1985. -Т.21, Т.9 - С. 35-40.

56. Кан, С. Н. Строительная механика оболочек Текст. / С. Н. Кан -М.: Машиностроение, 1966. -508 с.

57. Кантин, Г. Смещение криволинейных элементов как жесткого целого Текст. / Г. Кантин // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №7. -с. 84-88.

58. Кантин, Г. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки Текст. / Г. Кантин, Р. Клауф // Ракетная техника и космонавтика. -1968. -№6. -с. 82-87.

59. Кей, С. В. Расчет тонких оболочек на основе метода конечных элементов Текст. / С. В. Кей, 3. Е. Бейсенджер // В сб. : Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. JL, 1974. - т. 1. - С. 151-178. (пер. с англ.).

60. Киселев, А. П. Расчет оболочек в трехмерной постановке с учетом геометрической нелинейности на основе метода конечных элементов Текст. / А. П. Киселев, А. П. Николаев // // Строительная механика инженерных сооружений. М.: -2005 № 1. - С. 119-123.

61. Клочков, Ю. В. Деформирование осесимметричной оболочки на основе МКЭ с учетом смещения как жесткого целого Текст. / Ю. В.

62. Клочков, Н. А. Гуреева // Вестник ВолгГАСУ сер. естеств. н. 2004, № 3.- С. 38-41.

63. Клочков, Ю. В. Расчет непологих оболочек на основе МКЭ с учетом изменения длины нормали Текст. / Ю.В. Клочков, А. П. Николаев -Волгоград, 1999. 20с. - Деп. в ВИНИТИ 03.02.99., №370-В99.

64. Клочков, Ю. В. Решение проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого на основе векторной интерполяции полей перемещений Текст. / Ю.В. Клочков, А. П. Николаев, А. П. Киселев // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 1998, №1-3, с.3-8.

65. Клочков, Ю. В. Конечно-элементный анализ оболочек на основе элемента треугольной формы с использованием множителей Текст. / Ю. В.

66. Клочков, О. В. Вахнина // «Инженерные системы-2009»: Международная научно-практическая конференция:Тезисы докладов. М., РУДН, 2009 — С. 31.

67. Ковальчук, Н.В. Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости конических оболочек с отверстиями Текст. / Н. В. Ковальчук // Пробл. прочности. 1989. - №2. - С. 82-86.

68. Корнишин, М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения Текст. / М.С. Корнишин М.: Наука, 1964. -192 с.

69. Корнишин, М. С. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ Текст. / Н. М Якупов, М. С. Корнишин // Прикл. механика. -1989. №8. -т. 25. - С. 53-60.

70. Косицын, С. Б. Метод построения базисных функций для искривленных конечных элементов с учетом жесткого смещения Текст. / С. Б. Косицын // Исследования по строительным конструкциям и их элементам. М.: ЦНИИСК. -1982. С. 17-27.

71. Косицын, С. Б. Расчет стержневых систем, взаимодействующих с упругим основанием, методом конечных элементов с использованием комплекса MSC/NASTRAN FOR WINDOWS Текст. / С.Б. Косицын, С.Б. Косицин, Д.Б. Долотказин М.: МИИТ, 2004. - 116с.

72. Кузнецов Ю. М. НДС эллиптических цилиндрических оболочек под действием локальных и распределенных поперечных нагрузок Текст. / Ю. М. Кузнецов // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. — Вып. XXI. Часть II. Казань - 1988. - с.127-139.

73. Кузнецов Ю. М. Элементы с явным выражением жестких смещений в расчете тонких цилиндрических оболочек Текст. / Ю. М. Кузнецов, А. И. Голованов // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Вып. XIX. Часть II. - Казань - 1986. - №2. - с.83-93.

74. Кузьмин, М. А. Решение задач механики методом конечных элементов: Учебное пособие Текст. / М. А. Кузьмин, Д. JI. Лебедев, Б. Г. Попов М.: Академкнига, 2008. - 160 с.

75. Куранов, Б. А. Температурные напряжения в резервуаре для хранения сжиженного газа Текст. / Б. А. Куранов, Н. И. Кончаков. // Расчеты на прочность. 1980. - №3. - С. 38-41.

76. Куранов, Б. А. Исследование устойчивости подкрепленных оболочек методом конечных элементов Текст. / Б. А. Куранов, А. Т. Турбаивский // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - №3. -С. 3841.

77. Маркол, Р. В. Определение больших прогибов упругопластических оболочек вращения Текст. / Р. В. Маркол // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №9. - С. 113-121.

78. Масленников, А. М. Расчет тонких плит МКЭ Текст. / А. М. Масленников // Сборник трудов ЛИСИ. 1968. - Т. 57. - С. 186-193.

79. Монахов, П. В. Об альтернативном методе вычисления накопленной пластической деформации в пластических задачах с использованием метода конечных элементов Текст. / П. В. Монахов, О. В. Федосеев // Изв. вузов. Сер: Машиностроение 2007. - №7. - С. 16-22.

80. Муртазалиев, Г. М. Деформирование пологих оболочек вращения при несимметричной нагрузке Текст. / Г. М. Муртазалиев, М. М. Пайзулаев

81. Изв. Вузов Сев-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. - №1. -С. 20-22, 108.f

82. Мяченков, В. И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ Текст. / В. И. Мячников, И. В. Григорьев М.: Машиностроение. 1981. - 111 с.

83. Мяченков, В. И. Алгоритм вычисления матриц жесткости оболочечных конечных элементов в геометрически нелинейной постановке Текст. / В. И. Мяченков, 3. Б. Губелидзе, Т. Г. Гардаихадзе // Строит, механика и расчет сооружений. 1989. - №5. - С. 61-65.

84. Немировский, Ю. В. Ползучесть однородных и композитных оболочек Текст. / Ю. В. Немировский // Труды международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» Казань, 2000г., С. 42-49.

85. Никифоров А. К. Четырехугольный плоский конечный элемент оболочки Текст. / А.К. Никифоров // Тр. ЦАГИ. 2004. - № 2664. - С. 199206.

86. Николаев А. П. К расчету оболочек методом конечных элементов Текст. / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин // Строит, механика и расчет сооружений. 1980. - №5. - с.21-25.

87. Николаев, А. П. Новый эффективный способ интерполяции перемещений в конечноэлементном анализе оболочек Текст. / А. П. Николаев, Н. Г Бандурин., Ю. В. Клочков // Строит, мех. и расчет сооружений. 1991. - №1. - С. 62-66.

88. Николаев, А. П. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48x48 для расчета оболочек вращения Текст. / А. П. Николаев, Н. Г. Бандурин, И.К. Торунов // Строит, и архитектура -1980. №5.-С. 44-48.

89. Николаев, А. П. Четырехугольный конечный элемент произвольной оболочки с векторной интерполяцией полей перемещений Текст. / А. П. Николаев Ю. В. Клочков. // Волгоград, 1993. - 15с. - Деп. в ВИНИТИ 28. 04. 93, № 1137 - В. 93.

90. Николаев, А. П. Расчет оболочек на основе МКЭ в двумерной постановке Текст. / А. П. Николаев, Ю.В. Клочков, А. П. Киселев, Н. А. Гуреева Волгоград: ИПК ФГОУ ВПО ВГСХА «Нива», 2009. - 196 с.

91. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек Текст. / В. В. Новожилов JL: Судпромгиз, 1962. - 432 с.

92. Новожилов, В. В. Основы нелинейной теории упругости Текст. /

93. B. В. Новожилов М.: Едиториал УРСС, 2003. - 214 с.

94. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред : перев. с англ. Текст. / Дж. Оден -М.: 1976. 464 с.

95. Петров, В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек Текст. / В. В. Петров Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975. - 120 с.

96. Петряня, Е. Н. Построение конечного элемента сложной формы для дискретизации строительных конструкций Текст. / Е. Н. Петряня, А. А. Петрянин //Изв. вузов, сер. Строительство. 2004.- № 11. - С. 9-15.

97. Пикуль, В. В. Теория и расчет оболочек вращения Текст. / В. В. Пикуль -М.: Наука, 1982. 158 с.

98. Пикуль, В. В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития Текст. / В. В. Пикуль // Изв. АН МТТ. 2000г., №2, с. 153-168.

99. Постнов, В. А., Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций Текст. / В.А. Постнов, И. Я. Хархурим Л.: Судостроение, 1974.-344 с.

100. Постнов, В. А. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек Текст. / В. А. Постнов, В.

101. C. Корнеев // Прикл. механика. 1976. - т. 12. - №5. - С. 44-49.

102. Постнов, В. А. Численные методы расчета судовых конструкций Текст. / В. А. Постнов Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

103. Постнов, В. А. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения Текст. / В. А. Постнов, М. Г. Слезина // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. - №6. - С. 78-85.

104. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел Текст. / А. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. - 479 с.

105. Сахаров, А. С. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек Текст. / А. С. Сахаров, И. А. Соловей // В сб. : Пространств, конструкции зданий и сооруж. М., 1977. -Вып. З.-С. 10-15.

106. Седов, JI. И. Механика сплошной среды Текст. / Л. И. Седов М.: Наука, 1976.-т. 1.-536 е.; 1976.-т. 2.-574 с.

107. Семенюк, Н. П. Об устойчивости цилиндрических оболочек из волокнистых композитов с одной плоскостью симметрии Текст. / Н. П. Семенюк, В. М. Трач, А. В. Подворный // Прикл. мех. 2005. - №6. - С. 113120.

108. Семенюк, Н. П. О канонических уравнениях теории оболочек Кирхгофа-Лява Текст. / Н. П. Семенюк, В. М. Трач, В. В. Мерзлюк // Прикл. мех. 2007. - №Ю. - С. 99-107.

109. Сидоров, В. Н. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений Текст. / В. Н. Сидоров, А. Б. Золотов, П. А. Акимов // Изв. вузов сер. Строительство. 2004.- №10. - С. 8-14.

110. Скопинский, В. Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных криволинейных элементов Текст. / В. Н. Скопинский // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1983. - №5. - с. 16-21.

111. Скопинский, В. Н. Об особенностях напряженного состояния в области пересечения цилиндрических оболочек Текст. / В. Н. Скопинский // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - №2. - с. 19-22.

112. Скопинский, В. Н. Расчетное и экспериментальное исследование напряженного состояния коленных соединений трубопроводов Текст. / В.Н. Скопинский, Г. М. Меллерович // Пробл. прочности. 1988. - №12. -С. 73-76.

113. Скопинский, В. Н. Напряжения в пересекающихся оболочках Текст. / В.Н. Скопинский М.: Физматлит, 2008. - 399 с.

114. Стриклин, Дж. А. Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке Текст. / Дж. А. Стриклин, В. Е. Хеслер, X. Р. Макдуголл, Ф. Дж. Стебинс // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - №12. - С. 82-85.

115. Супоницкий, JI. И. Треугольный конечный элемент естественной кривизны для расчета тонких пологих оболочекТекст. / JI. И. Супоницкий //

116. Большепролетные пространственные конструкции. М: Стройиздат, 1981. -С. 185-195.

117. Сухомлинов, Л/ Г. Численное решение задач о больших пластических деформациях тонких неосесимметричных оболочек под действием заданных нагрузок Текст. / JI. Г. Сухомлинов, Е. В. Генин // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1990. - №1. -С. 16-21.

118. Съярле, Д. Метод конечных элементов для эллиптических задач Текст. / Д. Съярде М.: Мир, 1980. - 512 с.

119. Тимошенко, С. П. Пластины и оболочки Текст. / С. П. Тимошенко-М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

120. Товстик, П. Е. Устойчивость тонких оболочек, Асимптотические методы Текст. / П. Е. Товстик М.: Наука, 1995. - 320 с.

121. Тюкалов, Ю. Я. Расчет цилиндрических оболочек методом конечных элементов в напряжениях Текст. / Ю. .Я. Тюкалов // Изв. вузов. Сер.: Строительство.- 2004. №7. - С. 33-38.

122. Фондер, Д. Явное добавление смещений тела как жесткого целого в криволинейных конечных элементах Текст. / Д. Фондер, Р. Клаф // Ракетная техника и космонавтика. 1973. - Т. 11, Т. 3. - с. 62-72.

123. Хейслер, В. Е. Нелинейное исследование методом конечных элементов учитывающее члены высших порядков в выражении для энергиидеформаций Текст. / В. Е. Хейслер, Д. А. Стриклин // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №6. - с.214-216.

124. Хейслер В. Е. Перемещения недеформируемых криволинейных элементов в расчетах оболочек матричным методом перемещений Текст. / В. Е. Хейслер, Дж. А. Стриклин // Ракетная техника и космонавтика. 1967. -№8. - С. 207-209.

125. Шапошников, Н. Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента Текст. / Н. Н. Шапошников // Тр. Моск. Института инженеров транспорта. 1968. - Вып. 260. - С. 134-144.

126. Шевченко, В. П. Методы фундаментальных решений в задачах концентрации напряжений для тонких упругих оболочек Текст. / В. П. Шевченко // Прикл. механика. 2007. - №7. - С. 3-25.

127. Шмит, Л. А. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементов пластин и оболочек Текст. / JI. А. Шмит, Ф.К. Богнер, P. JI. Фокс // Ракетная техника и космонавтика. 1968. -№5.-с. 17-28.

128. Эдельман, Б. М. Точность вычисления напряжений методом конечных элементов Текст. / Б. М. Эднельман, Д. С. Казеринес, В. С. Уолтон // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №3. - с. 102-103.

129. Эусебио, Н. О. Основные соотношения МКЭ треугольного конечного элемента для расчета прямоугольной пластинки в многопараметрической постановке Текст. / Н. О. Эусебио // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2005. - №1. - С. 126128.

130. Якупов, Н. М. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии / Н. М. Якупов, М. Н. Серазутдинов. Казань: ИМН РАН. - 1993.-206 с.

131. Aditya, А. К. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / A. K. Aditya, J. N. Bandyopadhyany // Comput. and Struct. 1989. - 32. - N2. - P. 423-432.

132. Argyris, J. H. Energy theorems and structural analysis ./ J. H Argyris-London. Batterworth. 1960.

133. Argyris, J. H. Matrix methods of structural analysis / J. H Argyris // Proc. 14-th meeting of AGARD. AGARDograph. 1962. - P. 72.

134. Argyris, J. H. Post-buckling finite elements analysis of circular cylinders under end load / J. H. Argyris, P. C. Dunne // Acta techn. Acad. Sci. hung. 1978. - 87. -Nl-2. - P. 5-16.

135. Ashwell, D. G. A new cylindrical shell finite elements based on simple independent strain function / D. G. Ashwell, A. B. Sabir // International Journal of Mechanical Sciences.- 1972. V.14. - №3. - P. 171-183.

136. Ashwell, D. G. Strain elements, with application to arches, ring and cylindrical shells / D. G. Ashwell II Finite Element for Thin Shells and Curved Members.-New York 1976. - Ch.6.-P. 91-111.

137. Barony S.Y. The analysis of rotational shells using a curved ring element and the mixed variational formulation / S.Y. Barony, H. Tottenham // Int. J. Numer Meth. Eng. 1976. - 10. -N4.-P. 861-872.

138. Bathe, Klaus-Jurgen A geometric and material non linear plate and shell element / Bathe Klaus-Jurgen, Bolourchi Soid // Comput. and Struct. - 1980. - 11. - №1. - P. 23-48.

139. Boyle, J.T. A simple method of calculating lower boind limit loads for aximmetric thin shells / J. T. Boyle, R. Hamilton, J. Shi, D. Mackenzie // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. - 1997. - 119, №2 - P. 236-242.

140. Brank, B. On non linear dinamics of shells: implementation of energymomentum canserving algorithm for a finite rotation shell model / B. Brank, L. Briceghella, N. Tonello, F. B. Damijanic // Jut. J. Numer. Meth. Eng. 1998. -42, №3.-P. 409-442.

141. Chen, W. Refined hibrid degenerated shell element for geometrically non-linear analysis / W. Chen, S. Zeng // Jut. J. Nunear. Meth. Eng. 1998 - 41, №7.-P. 1195-1213.

142. Chinosi, C. Hierarchic finite elements for thin Naghdi shell model / C. Chinosi, L. Delia Crose, T. Scapolla // Jat. J. Solids and Struct. 1998. - 35, №16 -P. 1863-1880

143. Choi Chang-Koon. Nonconforming finite element analysis of shells. / Choi Chang-Koon. Schnobrich William C. // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1975. 101. - N4. - P. 447-464.

144. Clough, R.W. The finite element method in plane stress analysis / R. W Clough // J. Struct. Div.,Asce Proc. 2-d conf. Electronic computation. P. 345378.

145. Delpak, R. A finite element assement of natural frenquencies of undampend elastic (rotational shells) // Appl. Math. Modell. 1980. - 4. - №2. - P. 367-368.

146. Destiuynder, P. A new strategy for improing a finite element method, based on explicit error estimates / P. Destiuynder // Comput. Meth. Appl. Mech. And Eng. 1999. - 176. №1-4. P. 203-213.

147. Dzygadio, Z. Finite element strength analysis of relating shell-plate structures / Z. Dzygadio, I. Nowotarski // J. Techn. Phys. 1981. - 22. - N3. - P. 243-257.

148. Eckstein, A. Zur Theorie und Finite Element - Simulation von Schalen mitgroben inelastiseion Dehnungeu und diktilen Schandgungen / A. Eckstein. // Techn. - wiss. Mitt. / Ruch - Univ. Bochum. Inst, konstr. Ingenierbau. -1999.-№3.-P. 1-208.

149. Fonder, G. A. Studies in doubly-curved elements for shells of revolution / G. A. Fonder // Finite Element for Thin Shells and Curved Members. -New York- 1976. -Ch.7.- P. 113-129.

150. Fraeijs de Veubeke B. An equilibrium model for plate bending / B. Fraeijs de Veubeke, G. Sander // International Journal of Solids and Structures -1968. V.4. - № 5. - P. 447-460.

151. Han, K. J. Shells of revolution with local deviations / P. L Gould // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -20. -N2. - P. 305-313.

152. Harbord R. Finite-Element Metode zur Berechnung dunnwandiger Behalter / R. Harbord, R. Schroder II Schallenbau. 1978. - 47. - №3. - P. 90-96.

153. Hofbauer E. Zur Berechnung von Rotationshhalen mit gemischen variationsprinzipien und RingelementenFur eine Beliebige statische Belastung / E. Hofbauer // Ing. Arch. - 1978. - 47. - №3. - P. 129-137.

154. Jones, D. P. Elastic-plastic dailure analysis of pressure burst tests toroidal shells / D. P. Jones J. E. Holliday, L. D. Larson // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. 1999. - 121, №2. - P. 149-153.

155. Kemp, B. L. A foimode solid shell element formulation with assumed strain / B. L. Kemp, C. Cho, S. W. Lee // Jut. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - 43, №5.-P. 909-924.

156. Ladeveze, P. Local error estimaters for finite element linear analysis / P. Ladeveze, Ph. Rougeot, P. Blanchhard, J. P. Moreau // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1999. - 176, №1-4 - P. 231-246.

157. Li, Y. A convergence analysis of an h-version finite element method with high-order elements for two-dimensional elasto-plasticity problems / Y. Li, I. Babuska// SIAM J. Numer. Anal. 1997. - 34, №3. - P. 998-1036.

158. Makaraci, M. A parametric finite element geometric analysis of a pressurized sphere with cylindrical flush nozzle outlet / M. Makaraci // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol 2005. - 127. - №4. - P. 369-386.

159. Mathisen, К. M. Error estimation and adaptivity in explikit nonlinear finite element simulation of quasi-static problems / К. M. Mathisen, O. Hopperstad, К. M. Okstad, T. Berstad // Comput. and Struct. 1999y. - 72, №4-5. -P. 627-694.

160. Mohan, P. K. Updatet Lagrangian formulation of a flat triangular element for thin laminated shells / P. Mohan, K. Kapania Rakesh // AIAA Journal. 1998.-36, №2.-P. 273-281.

161. Mohr, G. A. Numerically integrated triangular element for doubly curved thin shells / G. A. Mohr // Comput. and. Struct. 1980. - 11. - N6. - P. 565-571.

162. Morley, L. S. D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements / L. S. D Morley // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -20. -N8. - P. 1373-1378.

163. Murthy, S. S. A triangular thin-shell finit element based on discrete Kirchoff theory / S. S. Murthy, R. H. Gallagher // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1983. V.19. - №12. - P. 1805-1823.

164. Murthy, S. S. Anisotropic cylindrical shell element based on discrete Kirchoff theory / S. S. Murthy, R. H. Gallagher // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1986. -V.54. - №2. - P. 195-222.

165. Nath, B. Analysis of anisotroie shells by a mapping finite element method // Eng. Appl. New Composites. Int. Symp. COMP' 86, Patras, Aug., 1986. -Oxon, 1988.-P. 144-152.

166. Nelson R. L. An algorithm for programming the element matrices of doubly curved quadrilateral shell finite elements / R. L. Nelson // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982.-18.-N3.-P. 421-434.

167. Nelson, R. L. Stresses in shell structures // J. Sound and Vibr. 1981. -79. -N3. -P. 397-414.

168. Parich, H. Geometrical non linear analysis of shells // Copput. Meth. Appl. Mach. And Eng. 1978. - 14. -№2. - P. 159-178.

169. Peric, D. Finite element applications to the nonlinear mechanics of solids / D. Peric, D. R. J. Owen // Repts Pragr. Phis. 1998. - 61, №11.- P. 14351574.

170. Rannachez, R. A feed back approach to error control in finite element methods: application to linear elasticity / R Rannachez, F-T. Suttmeler // Computational Mechanics. 1997. №5. - P. 434- 446.

171. Rao, K. A note on the cylindrical shell finite element / Singa, Rao G. Venkateswara, Raju J.S. // Jnt. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - 9.-N1.- P.245-250.

172. Ronnacher, R. A posterior error estimation and mesh adaption for finite element models in elasto-plasticity / R. Ronnacher, F. T. Suttmeier // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1999r. - 176, №1-4. - P. 333-361.

173. Sabir A. B. The application of finite element to the large defection geometrically nonlinear Bhavior of cylindral shells / A. B. Sabir, A. S. Lock // Var. Meth. Eng. Vol. 2 Prac. Int. Conf. Univ. Southampton. 1973. - 7/66 - 7/75.

174. Sansour, C. On hybrid stress, hybrid strain and enhanced strain finite element formulations for a geometrically exact shell theory with obrilling degress of freedom / C. Sansour, J. Bocko // Jut. J. Numer. Meth. Eng. 1998. - 43., №1. -P. 175-192.

175. Sarrazin, M. Axisymmetric shells for non axisymmetric loads an exact conical element approach / Sarrazin Mauricio // Adv. Eng. Software. - 1984. -6. -№3.-P. 148-155.

176. Skopinsky, V. N. Stress analysis of shell intersections with torus transition under internal pressure leading. / V. N. Skopinsky // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. 1997. - 119, №3. - P. 288-292.

177. Surana Harau, S. Geometrically nonlinear formulation for the axisymmetric shells elements / S Surana Harau // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. - 18. -№4.-P. 477-502.

178. Sze, K. Y. Assumed strain and hybrid destabilized ten-node C° triangular shell elements /К. Y Sze, D Zhu //Computational Mechanics. 1998-№2.-P.l 61-171.

179. Talaslidis, D. A simple finite element for elastic-plastic deformations of shells / D. Talaslidis, G. Wepner // Comput. Meth., Appl. Mech. and Eng. -1982. 34. -Nl-3. -P. 1051-1064.

180. Tan, H. F. A new geometrical nonlinear laminated theory of large deformation analysis / H. F. Tan, Z. H. Tian., W. Dux // Int. J. Solids, and Struct. -2000. 37, №18. - P. 2577-2589.

181. Tessler, A. An efficient conforming axisymmetric shell element including transverse shear and rotary inertia // Comput. and Struct. 1982. - 15. — N5.-P. 567-574.

182. Tessler, A. Resolving membrane and shear locking phenomena in curved shear deformable axisymmetric shell elements / A. Tessler, L. Spiridigliozzi // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1988. - 26. - №5. - P. 1071-1086.

183. Turner, M. J. Stiffness and defection analysis of complex structures / M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp // J. Aero. Sci. 1958. - 23. -№1. - P. 805-823.

184. Voros, G. Application of the hybrid-trefetz finite element model to thin shell analysis / G. Voros //Period, polytechn. Mech. Eng.-1991.-35.-Nl-2.-P.23-40.

185. Wendt, W. Explicit dynamic formulation of large strain shell analysis for the Morley triangular element / W. Wendt // 9 th. Nord. Senin. Comput. Mech., Lyngby, Oct. 25-26, 1996. Lyngby, 1996. - P. 153-156.144 ^

186. Wolf, J. P. Alternate hybrid stress finite element model / J. P. Wolf// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1975. - V.9. - №3. - P. 601-615.

187. Xye Ming-De. Theoretical stress analysis of intersecting cylindrical shells subjected to external forces on nozzle / Xye Ming-De, Du Qing-Hai, Li Dong-Feng, Hwang Keh-Chih // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol 2006. -128. -№l.-P.71-83.