Вариационные методы расчета тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций произвольного порядка с конечными носителями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ХАЙРУЛЛИН ФАРИД САГИТОВИЧ

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ НА ОСНОВЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА С КОНЕЧНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ

Специальность 01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань - 2007

003066540

Работа выполнена в Казанском государственном технологическом университете

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор Гаврюшин Сергей Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор Капустин Сергей Аркадьевич

доктор физико-математических наук, профессор Артюхин Юрий Павлович

Ведущая организация Саратовский государственный технический университет

Защита состоится « 25 » октября 2007 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212 081 11 при Казанском государственном университете по адресу:

420008, г Казань, ул Кремлевская, д 18

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ им Н И Лобачевского

Автореферат разослан « /2 » (9 9__2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

кан физ -мат наук, доцент

А А Сачеиков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В современной теории оболочек достигнуты значительные успехи как в развитии теоретических основ, так и в решении конкретных задач Однако, как отмечается в обзорной статье Григоренко Я М., Савулы Я.Г, Мухи И С, «запросы практики в исследовании задач механики деформирования оболочек удовлетворяются еще не полностью» Задачи определения напряженно-деформированного состояния оболочек- сложной геометрии «являются наименее исследованными Разработка методов их решения является одной из важных и актуальных проблем теории оболочек»

Анализ существующих методов расчета показывает, что, хотя и разработаны различные методы расчета тонкостенных конструкций сложной формы, однако универсального метода, применимого для любого случая, нет Каждый из этих методов имеет свои положительные стороны и недостатки, свой круг решаемых задач Даже такой универсальный метод, как метод конечных элементов, нельзя считать полностью сформированным Как отмечено в монографии А.И. Голованова и соавторов, несмотря на большое количество работ по методу конечных элементов и множество предложенных в этих работах конечных элементов, «лишь ограниченное количество их действительно эффективно в расчетах тонких непологих оболочек»

При использовании метода конечных элементов уточнение решения может быть произведено или в результате увеличения количества конечных элементов (сгущение сетки) или в результате увеличения порядка аппроксимирующих функций на элементе Как показывают результаты численных экспериментов, более эффективным является второй способ, который позволяет получить хорошую точность решения на редких сетках Однако при использовании функций высокой степени аппроксимации в узловых точках требуется задавать производные высоких порядков, например, производные второго порядка Это приводит к усложнению формулировки и выполнения граничных условий, а при расчете составных оболочек создает проблемы с выполнением условий сопряжения на изломе срединной поверхности оболочки. В связи с этим является целесообразным разработка методов расчета тонкостенных конструкций, которые с одной стороны позволяли бы использовать аппроксимирующие функции высокой степени, с другой стороны не требовали выполнения граничных условий для производных высоких порядков.

При численной параметризации срединной поверхности оболочки аппроксимирующая функция должна удовлетворять определенным требованиям гладкости функции Например, если используется классическая

теория оболочек, то необходимо обеспечить непрерывность функции класса

Такого рода непрерывность могут обеспечить кубические сплайн аппроксимации Однако в этом случае необходимо задавать значения производных в граничных точках, что сделать с достаточной точностью не очень просто, а в некоторых случаях вообще невозможно.

Для достижения необходимой точности при расчете толстых оболочек - необходимо учитывать нелинейный характер изменения перемещений по толщине оболочки. Этого можно добиться, если использовать, например, трехмерные конечные элементы, основанные на уравнениях теории упругости При использовании же для расчета таких конструкций соотношений теории оболочек количество неизвестных параметров, определяющих искомые функции, будет зависеть от количества слоев, на которые разбивается оболочка, что усложняет решение задачи В связи с этим является целесообразным разработка методов расчета, которые учитывали бы истинную картину распределения напряженно-деформированного состояния по толщине оболочки, но в то же время позволяли использовать уравнения классической теории оболочек

Исходя из выше изложенного можно утверждать, что в настоящее время является актуальной разработка методов расчета тонкостенных конструкций сложной формы, численных методов параметризации срединных поверхностей оболочек сложной геометрии, методов расчета толстых однородных и многослойных оболочек.

Целью работы является разработка вариационных методов определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций, основанных на использовании функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации, позволяющих производить расчеты тонких и толстых оболочек сложной формы, криволинейных стержней, составных оболочек, оболочечно-стержневых конструкций

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

- построить аппроксимирующие функции с конечными носителями иерархического типа,

- разработать вариационный метод определения напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы;

- разработать численный метод параметризации срединных поверхностей и граничных линий оболочек, заданных совокупностью дискретных точек,

- разработать математические модели деформированного состояния составных оболочек, стержневых систем, конструкций, состоящих из оболочечных и стержневых элементов, толстых однородных и многослойных оболочек;

- создать пакеты компьютерных программ по расчету тонких и толстых оболочек сложной формы, стержневых систем, оболочечно-стержневых конструкций

Методы исследования основаны на использовании определяющих уравнений теории оболочек и стержней типа Тимошенко, вариационных принципов механики деформируемого твердого тела, методов вычислительной математики

Научная новизна работы заключается в следующем: ,

Предложен метод построения аппроксимирующих функций с конечньми носителями. Отличительная особенность и новизна метода заключаются в том, что в пределах некоторой подобласти в аппроксимирующих функциях, путем соответствующего преобразования системы координат и выбора вида этих функций, разделяются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее границах. Это позволяет выполнять кинематические условия стыковки подобластей, на которые разбивается оболочка

С использованием данных функций на основе вариационного метода определяются напряженно-деформированные состояния оболочек сложной формы, составных оболочек, стержневых систем, оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, и оболочечно-стержневых конструкций.

Предложены алгоритмы построения аппроксимирующих сглаживающих функций, заданных совокупностью точек, используемых для параметризации срединных поверхностей и граничных линий оболочек. При решении задачи используются функционалы, включающие только первые производные от искомых функций

Разработан вариационный метод расчета толстых однородных и многослойных оболочек, основанный на разбиении оболочек на слои и использовании для описания напряженно-деформированного состояния слоев теории оболочек средней толщины с учетом обжатия Предложенный алгоритм решения задачи позволяет реализовать подход типа метода суперэлемента для расчета толстых оболочек

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов

обеспечивается корректным применением законов и определяющих уравнений механики деформируемого твердого тела, использованием для решения краевых задач строгих математических методов, а также многочисленными сравнениями результатов расчетов с известными теоретическими и экспериментальными данными и хорошей согласованностью с ними.

Практическую ценность диссертационной работы составляют описанные в работе способы построения аппроксимирующих функций с конечными носителями, основанные на вариационных методах математические модели деформированного состояния однородных и многослойных оболочек,

алгоритмы построения сглаживающих функций, созданные на основе этих методов пакеты компьютерных программ, результаты, полученные на основе теоретических и численных исследований

Предложенный в работе метод расчета конструкций является достаточно универсальным и по эффективности сравним с методом конечных элементов.

, Часть из разработанных программ внедрена в заинтересованные организации, что подтверждено соответствующими актами Работа, связанная с расчетом пространственных стержневых систем, внедрена в учебный процесс

Ш защиту выносятся следующие основные результаты диссертации

- метод построения аппроксимирующих функций с конечными носителями иерархического типа, удовлетворяющих условиям согласованности и полноты,

- вариационные методы определения напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы, составных оболочек, стержневых систем и оболочечно-стержневых конструкций;

- алгоритмы построения аппроксимирующих сглаживающих функций, заданных совокупностью точек, используемых для описания линий и поверхностей,

методика расчета толстых однородных и многослойных оболочек, основанная на разбиении оболочек на слои и использовании для описания напряженно-деформированного состояния слоев теории оболочек средней толщины с учетом обжатия,

- представленные в диссертации результаты решения задач

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на III Всесоюзной конференции «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов» (Казань, 1988г),

на III Всесоюзном научно-техническом совещании «Динамика и прочность автомобиля» (Москва, 1988 г),

на Республиканских научно-технических конференциях «КамПИ-КамАЗ» (Набережные Челны, 1988 г , 1990 г ),

на Всесоюзной научно-технической конференции «Повышение качества и надежности продукции программного обеспечения ЭВМ» (Куйбышев, 1990г),

на II Республиканской научно-технической конференции «Динамика и прочность мобильных машин» (Кутаиси, 1990 г);

на Республиканских научно-технических конференциях «Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1987 г, 1995 г, 1997 г),

на Международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 2000 г ),

на Международной научно-технической конференции «Технико-экономические проблемы промышленного производства» (Набережные Челны, 2000 г),

на выездном заседании головного совета «Машиностроение» (Набережные Челны, 2001 г),

на межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2001 - 2003 г ),

на Международной научной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных конструкций сложной формы» (Москва, 2002 г.);

на Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластин (Казань, 1991 г, Нижний Новгород, 1994 г., Казань, 1996 г, Нижний Новгород, 1999г., Нижний Новгород, 2002 г ),

на XX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003 г);

на XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Казань, 2005 г.);

на IX Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г)

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 19 статьях автора

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка, включающего 329 наименований Изложено на 267 страницах машинописного текста, содержит 33 таблицы и 60 рисунков

Диссертационная работа выполнена на кафедре динамики и прочности авгомобильных конструкций Камского политехнического института и на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов Казанского государственного технологического университета

Тема диссертации выполнялась в соответствии с плановыми темами исследований Камского политехнического института и Казанского государственного технологического университета

Авгор считает своим долгом выразить благодарность профессору М Н Серазутдинову, общение и совместная работа с которым определило некоторые из научных направлений, представленных в диссертации, способствовало формированию научного мировоззрения диссертанта

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится постановка задачи и краткая аннотация содержания работы, отражена научная новизна диссертационной работы, дается краткий обзор работ, посвященных затронутым в диссертации вопросам

В первой главе предлагается метод построения аппроксимирующих функций с конечными носителями иерархического типа Отличительная особенность метода заключается в том, что в пределах некоторой криволинейной четырехугольной или треугольной подобласти оболочки в аппроксимирующих функциях, путем соответствующего преобразования системы координат и выбора этих функций, разделяются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее границах Причем, аппроксимирующие функции на границах области являются инвариантными величинами о+носительно преобразования системы координат Это позволяет выполнять кинематические условия стыковки этих подобластей и удовлетворять геометрическим граничным условиям.

В четырехугольной подобласти (рис 1) с гладкими граничными линиями у вводится локальная система координат Р15 Р2> которая связана с системой координат а], «2 следующим образом

А*

7

пк

/

В

т>

о

1

Рис I

«1=/зкз(4э2))(1 -Р1)+/4и(^2))э1+

ОС 2 - Л (ях ))(1 - Р2 ) + Г2 и2 ))Э2

£з(.$зР2)-а21(1-р2) -а23р2 ^(•^-аггО-Рг) ~а24р2

+

(1-Р1) Р1,

где а!,а2 - ортогональная криволинейная система координат в линиях главной кривизны, а2 = /,(0^), ос1 - /,(а2) - уравнения граничных линий,

а,______а2 _;__

а1,2;-1 аЬ <• - '

дуговые координаты, А* - (а12г), 5* = г^(а2/) - длины дуг кривых у,, у , а, = £,(«,), а2 =£,(«_,) - функции обратные к функциям

5, - дДа,]), ^ = Я](а2) У = * + г = 1,2, , Л2г " коэффициенты первой квадратичной формы, вычисленные на линиях уг, (а1(,а2() - координаты угловых точек, г = 1,4, 0 < Р1, р2 < 1.

Система координат (31,Р2 введена таким образом, что на граничных линиях у уравнения (1) переходят в уравнения этих линий Причем, на линиях у координатная сетка является равномерной, тк координаты Р; . Р2 на этих

линиях являются дуговыми безразмерными координатами 1 '' " 1 ~ В подобласти £2^ искомые функции аппроксимируются функциями, заданными в системе координат Р2, следующим образом

МЫ.

и= Е ар.)'«^). (2)

т-1 »г=1

где V = - вектор перемещений и углов сдвига подобласти

Пк> ^п = {октпХ,Пктп2,Вктп " вектор неизвестных

постоянных

Функции формы имеют вид

',(Р,)=1-Рр ^2(Р,)=Рр Фг^Ф&ФхУ"2 (т = хм)- (?)

Перемещения граничных линий подобласти Пк определяются по формулам

to

M N _

tf(Y,)=S0£,'«(Pi). U(yt+2)=Y,DfntM / = 1,2 (4)

m=1 n=1

В угловых точках А, В, С, Д

U(A) = Dlkl, U{B)=D$i, U{c)=Dkn, U(fl)= D&, ^ t i t

те параметры £>11? £>21' Аг> Ай являются значениями искомых функций в угловых точках.

Из формул (4) следует, что на граничных линиях у, искомые функции

определяются одномерными полиномами, являющимися инвариантными величинами относительно преобразования системы координат Это обеспечивает непрерывность искомых функций при переходе из одной подобласти на другую и позволяет легко выполнять геометрические граничные условия и условия стыковки искомых функций на границах подобластей Qk

*

Например, если граница у2 подобласти £2к совпадает с границей у3

подобласти то для обеспечения непрерывности вектора перемещений U достаточно выполнить условия

Vkm2 =£>?*, m = lM,N = M. Если на границе yj подобласти £2к заданы граничные условия U - 0, то необходимо положить

D*a = 0, т = \М В качестве частных случаев из функции (2) можно получить известные аппроксимирующие функции Например, при значениях ЛГ=М=2, если перегруппировать слагаемые и ввести новые обозначения, то получается пробная функция для билинейной аппроксимирующей функции-U = dx+d$x+d$2+d$$2,

где

d2=Dk2l-Dkn,

При значениях N-M=3 имеем пробную функцию для квадратичной аппроксимирующей функции-

u=dl +d2pt +d3p2 +d4p1p2+d5tf+d6p2 +

Если в этом выражении отбросить три последних слагаемых, то получается пробная функция для биквадратичной аппроксимирующей функции

При значениях Ы=-М=4 получается кубическая аппроксимирующая функция

V = йх + + ¿3Р2 + + ¿5Р5Р2 + ¿бР1 + + ^Р2 +

В частности, отметим, что эта пробная функция используется в элементе Галлагера для прямоугольной области для аппроксимации прогиба оболочки Если в этой формуле отбросить четыре последних слагаемых, то получится пробная функция для аппроксимации прогиба оболочки, предложенный Коннором и Бреббиа

Анализ формулы (2) показывает, что она является полной при любых значениях N и М.

Аналогичным образом строятся аппроксимирующие функции для треугольных подобластей 0'к и , представленных на рис.2

Рис 2

Из соотношений (1) путем предельного перехода находим при В —» А для треугольной подобласти £2'к

а1=/зЫ»зЭ2))(1-Э1)+/4М^Э2))р1 +

р2,

^(¿зР^-а^-р,) -амр!

<*2 =а21(1-р2)+/2Ы^р,))р2 +

£з(5зР2)-а21(1-р2) -а23р2 (1 ~ Р[)

^(■Фг^-аиО-Эг) ~а24р2

(5)

Э1.

при 0—>С для подобласти

«1 = /з Ы^О-РО+лЫ^РаЬ» +

+ Г Я, М- «и (1 - Р,) - <х12рЛ(1 - Р2),

а2 = -Р2)+«23 02 +

(Л'зЭ2 )" «210 - Рз ) ~а2зРг (1-3,)

+ Я^РгЬ^-Рг) ~ а2$2 р1

+

+

+

(6)

Для получения аппроксимирующих функций достаточно в формуле (2) положить для подобласти

Таким образом, получены аппроксимирующие функции с конечными носителями для криволинейных четырехугольных и треугольных подобластей иерархического типа, удовлетворяющие условиям согласованности и полноты

Предложенные четырехугольные и треугольные элементы имеют одинаковую структуру, что позволяет автоматически выполнять условия стыковки этих элементов Для этого достаточно в аппроксимирующих функциях задать одинаковые порядки в полиномах, определяющих перемещения на линии стыковки рассматриваемых элементов

Рассмотрим деформирование тонкой оболочки, срединная поверхность которой имеет сложную форму в плане Пусть срединная поверхность оболочки задана в гауссовой ортогональной системе координат в линиях главной кривизны Перемещения и деформации малы, материал оболочки изотропен, справедлив закон Гука

Предположим, что срединная поверхность П оболочки может быть разбита на подобласти видов Ок, и (рис 1,2) В дальнейшем для упрощения записей под подобластью будем подразумевать все три вида введенных подобластей

Для определения напряженно-деформированного состояния оболочек используется вариационный принцип Лагранжа, на основании которого

£>*==£>*!, ¿4=0, т = 2,М, для подобласти

(7)

(8)

К

К

к=1

к=Щк

где Е - полная энергия оболочки, Ек - полная энергия подобласти £2%, П^, 8'Щ - соответственно удельная потенциальная энергия деформации и вариация работы внешних сил на единице площади подобласти £2^

Представляя для каждой подобласти решение в виде (2), подставляя

аппроксимирующие функции в вариационное уравнение (9), удовлетворяя соответствующим граничным условиям и условиям стыковки подобластей, после численного Интегрирования по некоторой квадратурной формуле получается система линейных уравнений относительно неизвестных

постоянных

[К]0 = Р, (10)

где [АГ] - матрица жесткости оболочки, О - вектор неизвестных постоянных, Р - вектор правой части, учитывающий действие внешних нагрузок

Таким образом, основные соотношения и искомые функции задаются в системе координат а^ а2, в которой определяющие уравнения являются наиболее простыми В криволинейной же системе координат ¡31; р2 производится аппроксимация искомых функций (2) и вычисление интегралов, входящих в полную энергию оболочки.

Так как параметры, определяющие перемещения внутренних точек подобласти, не входят в условия стыковки подобластей и не используются для удовлетворения граничных условий, то при формировании локальной матрицы жесткости подобласти эти параметры можно исключать. Следовательно, в глобальной матрице жесткости оболочки будут содержаться только те неизвестные постоянные, которые определяют перемещения граничных линий подобластей Пк

Рассматриваются вопросы создания алгоритма решения и численной реализации задачи Проводится проверка метода на большом количестве тестовых задач

В таблице 1 приведены проценты расхождения максимального прогиба м/, максимального напряжения а в центре пластины и максимального напряжения в центре длинной стороны прямоугольной защемленной

Таблица 1

Ыа 1 2

к=м Л и( (%) Аа (%) Лет, (%) Ам> (%) Аа (%) А а, (%)

3 52 77 1 37 6 12 5 78.2 16.8

4 0.2 20.1 9.7 3.6 10 6 44

5 06 26 12 0 32 06

6 06 1 2 0 0.7 08 0

пластины, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, от соответствующих значений, полученных аналитическим методом. Результаты получены для следующих параметров пластиньг ¡г=1см, а=Ь—\Шсм, Е=ШГПа, у =0.3, кН/м2.

Одним из тестовых задач для проверки конечных элементов непологих оболочек является задача об изгибе круговой замкнутой цилиндрической оболочки со свободными торцами под действием самоуравновешенной системы двух сосредоточенных сил ^ Вследствие симметрии рассматривается четверть оболочки. Результаты даны для следующих числовых параметров: ¿=26.2 см, Л=12.5 см, 52.5, ^=453 я, £=74 ГПа, 1/=0.3125, где£ -длина оболочки.

В таблице 2 приводятся значения максимального прогиба и>тах для различных вариантов разбиения оболочки и различных значений порядков аппроксимирующих функций, а также результаты других авторов В скобках дается число степеней свободы системы

Таблица 2

Сетка КЭ АзИлуеИ аа, БаЫг А.В. Ва\уе ОЛ.

1x1 0 264 (20) 0 269 (72) 0 250(100) 0 279(120) 0.285 (140)

2x2 0 280 (45) 0 284 (162) 0.284 (285) 0.286 (345)

4x4 0 287(125) 0.288 (450)

6x6 0 288(245)

8x8 0 289(405)

Конечно-элементное решение дает и/.пах=0.289см

Численные эксперименты показывают, что при использовании данного метода возникновение таких явлений, как «заклинивание» решения, ложная осцилляция и т.д, происходит при значительно меньших толщинах оболочки, чем при использовании метода конечных элементов Например, для выше рассмотренной квадратной пластины даже при относительной толщине

Ы а = 10-4 наблюдается хорошая сходимость решения как по прогибам, так и по напряжениям.

Показано, что предложенный метод позволяет рассматривать конструкции, у которых один геометрический размер подобласти С2к значительно меньше другого, те можно рассчитывать оболочки с тонкими инородными включениями, с «вырождающейся» областью, можно моделировать различные граничные условия

Предложенный метод является достаточно универсальным и удобным в реализации, позволяет получать хорошую точность решения на малом количестве подобластей, на которые разбивается срединная поверхность оболочки

Во второй главе излагаются алгоритмы построения аппроксимирующих сглаживающих функций, которые используются для описания линий и поверхностей, заданных совокупностью точек.

Для построения сглаживающих функций предлагается использовать функционал, в котором с механической точки зрения в основе условия «изгибания» поверхности лежит теория оболочек типа Тимошенко. Это приводит к уменьшению порядка производных в функционале. В качестве сглаживающих функций берутся функции, предложенные в предыдущей главе для аппроксимации компонентов перемещений оболочек и граничных линий

Пусть в криволинейной системе координат а а 2 требуется построить

аппроксимирующую функцию а2 =/(«}), значения которой а , ] = определены с некоторой погрешностью в точках

11

<«12 <

•<ау =Ь

Для построения одномерной функции /(а|) предлагается использовать функционал

' 1

<М/,ф)= I

А* 4 ¿а,

+ Р

_1 # 4

•Ф

Да ¡ +

(И)

+ ípJ[№lJ)-fJ]\ 7=1

где ф(оС|) - функция, аппроксимирующая первую производную от искомой функции, р, р/ - весовые коэффициенты, А® - параметры Ляме, определенные на линии отсчета а 2 - О

В функционале (11) скомбинированы интерполяционные условия прохождения кривой а 2 = /(ос!) вблизи заданных точек и условие

минимального «изгибания» кривой Весовые коэффициенты р] определяются

из условия выполнения неравенства J

¿"г

где е - малое положительное число

Так как функционал Фт {/, ф) с точностью до множителей совпадает с полной энергией изгиба балки, то коэффициент р можно определить по к0вА

формуле р-

ЕI

-, где Е,0 - модули упругости и сдвига балки, А, I -

площадь и момент инерции поперечного сечения балки, - геометрический параметр, зависящий от формы поперечного сечения балки

Аппроксимирующие функции представляются в виде

/кЬ ЪХкгкШ ф(«х)= Ъ2к 02)

Л=1 к=1

где Ь2к - неизвестные постоянные.

В некоторых случаях бывает проще, а иногда и целесообразнее задавать координаты узловых точек не от оси а 2 - 0, а от некоторой заданной линии

отсчета а 2 = /¿(ее |)» уравнение которой имеет аналитический вид и которая

по форме похожа на искомую кривую При этом точность решения значительно улучшается

Если для срединной поверхности £2 оболочки можно ввести поверхность отсчета ¿20 таким образом, чтобы прямая, проведенная по нормали па к , пересекала поверхность О не более одного раза, то положение точки на срединной поверхности оболочки определяется по формуле г - г 0Л-Кгп 0, где г0~ г 0(а,, а2) - радиус-вектор точки М0 на поверхности отсчета г = г(а1,а2) - радиус-вектор точки М на срединной поверхности оболочки О, лежащей на нормали п „; С, = , а2 ) - расстояние между точками М и М0

Для построения функции ¿¡(о^, а2 ), заданной дискретно, предлагается использовать функционал

Ф Я'

пп

1 д(л02ух) А01А02 да1

1

Фй1У2)

А()гА0 2 да;

+

+ Р

VI ■

1 ас;

А01д а 2

+ Р

Ч>2

+ ■

А§2 ^^ |

'У

где С, = С(а1У'а27) 7 = - значения искомой функции в заданных точках на поверхности О, 4*1 :> 4*2 ~ Функции, аппроксимирующие первые производные от искомой функции; р, р°- весовые коэффициенты, А^, А^ -параметры Ляме, вычисленные на поверхности отсчета £?0 Аппроксимирующие функции представляются в виде:

;(а„а2)= I

т=1 п—\

М0 ЛГ0 _

т-1 п~ 1

1 9

где Втп, Втп, Втп - неизвестные постоянные

Система координат Р15 Р2 вводится на поверхности отсчета по

формулам, аналогичным (1), где функции а2 -/¡(о^), а, -- //(а?)

определяют прообразы граничных линий области О, заданные на поверхности отсчета ¿20 Функции а2 -/¡(а,), а 1 - /Да2) могут быть заданы

аналитически или численно по методу, предложенному в этой главе

Представленные численные результаты показывают, что предложенный алгоритм позволяет строить сглаживающие функции, которые на малом количестве узловых точек позволяют получать достаточно точьые решения как по первым производным от искомых функций, так и по вторым. Причем, точность решения не в узловых точках такая же, как и в узловых точках

При использовании сплайн-функций в качестве аппроксимирующих функций для получения приемлемой точности необходимо удовлетворять граничным условиям для первых производных от искомой функции. Эти условия выполнить, особенно для областей неканонической формы с криволинейными граничными линиями, довольно трудно, часто не возможно Использование же функций (12) или (14) не требует задания значений производных от искомых функций на границах областей. Причем, значения производных на границах области должны задаваться с большой точностью Как показывают численные эксперименты, пяти процентная погрешность в задании первых производных на границе может привести к тридцати шести процентной погрешности во вторых производных от искомой функции Кроме гого, при использовании кубического сплайна сетка разбиения должна быть

сравнительно густой. Это, во-первых, приводит к необходимости задания большой входной информации, во-вторых, система уравнений относительно неизвестных параметров может получиться при этом плохо обусловленной

В таблице 3 представлены результаты аппроксимации функции у = этх на отрезке [0, я/2], полученные на основании предложенной в данной работе методики и с помощью кубической сплайн-функции При этом в первом случае значение производной /'. не задавалось

Таблица 3

К=5 х=1.178 х—Tt/2

Работа f'b f'(x) f"(x) f'(x) f'(x)

- 0 383 -0.92 -0.002 -1.02

Сплайн 0 0 383 -0 925 0 -1 14

0 01 0.38 -0.955 0.01 -0 929

0 1 0.356 -1.16 0.1 -1.41

оИ 0.378 -0 961 0 015 -0.89

Точное - 0.383 -0.924 0 -1

Количество точек аппроксимации выбиралось равным количеству членов в аппроксимирующей функции, т.е ^К, значения функции задавались

—8

с равномерным шагом, 8 = 10

В таблице 4 приводятся значения производных /'(х), /п(х) и их проценты расхождения от точных значений для функции у -- этл; на отрезке [0,2тс], вычисленные не в узловой точке хс = 0.942 В столбцах таблицы I, II, III, IV представлены значения производных, подсчитанные с использованием различных интерполяционных функций по точным узловым значениям

Таблица 4

Точное I II III IV

f'(x) 0.588 0.588 0 559 0 604 0.422 0 608

0% 6% 2.7% 28% 3 4%

f'(x) -0 809 -0.808 -0 770 -0.925 -1.267 -0.951

01% 4.8% 14% 57% 18%

Длина отрезка разбивалась на 10 равных интервалов Значения вычислялись для середины второго интервала в точке хс. Столбец I соответствует линейной интерполяции

f I /2*+/з' f м_ /2"+/з" Je 2 ' Jc 2 '

столбцы II и III - интерполяции с использованием функций формы метода конечных элементов в виде одномерных функций Эрмита

/"(х),-/2'Я1(л-)+/2"Я2(х)+/3'Я3(х) + /з"Я4(4 /"(*) = [/'(*)] ,

/•(*)-1/2 ^М+Л'^Ь/з Яз(дг)+/з'Я4(х)]', /"(*) = [/'(*)]', где

_^ _^ ____~3

Я1(д') = 1-3л:*' + 2х , Н2(х) = х-2х +х ,

Щ{х) = Ъх'-2х , Н^(х)-х3 -х2, х-———.

■*3 ~ х2

Здесь х2 = 0.628, х^ = 1 256 - граничные точки второго интервала, /2'= 0.809, /2"= -0.588, /3'=0.309, /3"=-0951 Столбец IV соответствует интерполяции кубическим сплайном

Результаты аппроксимации эллипсоидальной поверхности, заданной в параметрическом виде

Л: = 50 -вт^! С08Рг»

^бО-эт^ зтр2, 0<РрР2 <тс/2,

2 = 60-СО8р!, представлены в таблице 5.

Таблица 5

a2 a, A, a2 R. R2

Точное Точное Точное Точное

0 78 5 0.02 60 60 12 12 50 49 8 533 50 7

0 40 8 59 2 59 2 23 5 23 5 53 1 51 54 4 50

0.79 5 57 2 57 2 41 41.2 59 5 59 9 56 5 55 2

1 18 55 2 55.2 517 51 9 65 2 64 9 58 3 60 1

1.57 54 3 54 3 55 2 55 3 67 3 69 9 58 9 61 7

За поверхность отсчета принята сфера

л: = 50 smaj cosa2,

y = 50-sinaj sma2, O^a^a^ <я/2 z = 50-cosa1?

Значения функции задавались на равномерной сетке 5x5 в точках с координатами. аг= 0 262, 0 524, 0.785, 1.05, 1.31, а2= 0, 0.393, 0.785, 1.18, 157 Выполнялись граничные условия i|/2=0 при aj =1.57,

=0 при а2 =0, а2 =1 57 Для весовых коэффициентов принимались значения р} ) = , р = (>. Полагалось 8 = 0.15 1СГ3.

При использовании функционалов (11) и (13) первые производные от искомой функции аппроксимируются самостоятельно Это значительно упрощает решение задач, особенно для областей с криволинейными границами, когда требуется удовлетворить граничным условиям для первых производных от искомой функции Как было отмечено выше, эти условия при использовании предложенного метода можно и не выполнять Однако в некоторых случаях выполнение этих условий приводит к уточнению решения

В третьей главе на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями, предложенными в первой главе, разрабатывается математическая модель деформированного состояния составных оболочек

Рассмотрим тонкостенную составную конструкцию, элементами которой являются тонкие оболочки, жестко соединенные между собой по линиям контактов (рис 3)

Данная конструкция разбивается на подобласти Ок таким образом, чтобы они имели однородную структуру, гладкую срединную поверхность и гладкие граничные линии Линии контактов оболочек с различными механическими свойствами и линии разрывов гладкости оболочек должны лежать на граничных линиях подобластей

Рис 3

В вариационное уравнение Лагранжа добавляется дополнительное слагаемое, в результате чего данное уравнение записывается так

5Е* = £ ¡(ЪПк-Шк+ХкдФк)с1П = 0, (15)

к=1 А=\ак

где I] ■= ,,IV,V}/!,\|/2, Уз}5" ' вектор перемещений и углов поворота подобласти О к, заданный в локальной системе координат, V)/3 - средний поворот окрестности рассматриваемой точки срединной поверхности оболочки вокруг нормали, ¡Ц - постоянные коэффициенты;

Уз

1

2 АХА2

^ дА2и2 дА^ ^ дах да2

Дополнительное слагаемое представляется в виде:

¥з'

1

2АХА2

дА2и2 8Ахих дах да2

(16)

(17)

Коэффициенты задаются в пределах. = (0.01 +0.001) Вк, где Вк - жесткость на изгиб подобласти оболочки.

В качестве искомой функции выбирается вектор компонентов перемещений и углов поворота С/ = {й^, и2, , ф 1, ф2»Фз V срединной поверхности оболочки, заданный в глобальной системе координат X,У,2, который

(18)

представляется в виде-М N ,

т-1 п-1

где О"

д

тп 1

т{к г(к т\к Кк Кк у^ ' ^тп2 ' итпЪ > тп4'тп5> тпб)

вектор неизвестных

'нот постоянных

Компоненты перемещения в локальной системе координат определяются через компоненты перемещения в глобальной системе координат.

(19)

где

и=

£/ = [с*] О, [С] 01

.о [с1

№

с

11 '21

с

'12 22

'13

'23

Слл С^

^,/ = 1,3,7=1,3

'31 32 ^33

направляющие косинусы локальной системы координат в глобальной системе координат.

Использование предложенного метода обеспечивает как непрерывность самой составной оболочки на линиях сопряжения, так и непрерывность искомых функций на этих линиях В результате этого обеспечивается высокая точность решения как во внутренних точках оболочки, так и вблизи линий излома срединной поверхности оболочки

На рис 4 приводятся напряжения на нагруженной (кривая 1) и ненагруженной (кривая 2) поверхностях цилиндрической части цилиндрической оболочки, сопряженной с круговым фланцем (рис.5)

Рис 4 Рис 5

На конструкцию действует внутреннее давление интенсивности д, на свободных краях ставятся условия равенства нулю нормальных к краям тангенциальных смещений Координата х направлена вдоль образующей цилиндра от свободного края Расчеты произведены для следующих числовых данных: £=200 ГПа, v - 0.3, q =0.1 МПа Крестиками показаны значения напряжений, приведенные в работе Савулы Я Г, кружечками - результаты, полученные с помощью биквадратичных изопараметрических конечных элементов, построенных на основе уравнений теории упругости.

Показана возможность использования данной методики для расчега оболочек с повреждениями типа «вмятин», которые могут оказать существенное влияние на прочностные свойства конструкции Оболочку с дефектом можно рассматривать как составную конструкцию, состоящую из исходной оболочки с вырезом в виде вмятины и оболочки-вмятины. Причем, если оболочка без дефектов имела первоначально каноническую форму, то при наличии дефектов она становится составной конструкцией сложной формы, т к во-первых, граничная линия вмятины может иметь криволинейную форму, во-вторых, срединная поверхность вмятины может иметь сложную геометрию

Если размеры вмятины малы по сравнению с размерами оболочки, то для получения приемлемых результатов на основе метода конечных элементов потребуется в окрестности вмягины и в самой вмятине использовать достаточно мелкую сетку, сопоставимую с размерами вмятины Кроме того, если вмятина имеет криволинейные границы, то возникает необходимость в использовании криволинейных конечных элементов При этом граничные линии должны быть с аппроксимированы с достаточно большой точностью,

т к вид граничной линии существенно влияет на распределение напряжений в оболочке

Предложенный метод позволяет рассчитывать оболочки с дефектами, размеры вмятины которой могут быть достаточно малыми но сравнению с размерами оболочки. При этом не требуется разбиения срединной поверхности оболочки на большое количество подобластей

В четвертой главе предлагается вариационный метод расчета стержневых систем, элементами которых являются криволинейные стержни

Предположим, что стержневая система может быть разбига на стержневые элементы X оси которых описываются гладкими кривыми В

пределах элемента X, вектор перемещений V оси стержня представляется в виде-

М . .

¥,= ТВ'т М (20)

т=1

где В - вектор неизвестных постоянных, р( =—!-—, а,{, а.л -

а,2-ал

координаты начала и конца оси стержня

Если определить значения искомой функции в узловых точках, то

получим КДО) -= 8р К((1) = ВСледовательно, коэффициенты В\, В'2 равны значениям вектора перемещений соответственно в начальной и конечной точках оси стержня, т.е. узловым значениям Это обстоятельство позволяет легко осуществлять стыковку стержней и удовлетворять геометрическим

г к

граничным условиям Так, если положить Ву = В2, то будет выполнено

условие стыковки начала /-го стержня с концом к-го стержня Чтобы удовлетворить, например, граничному условию жесткого защемления на конце

/-го стержня, т.е. условию ГДО) = 0, следует положить Щ =0

Достоинство метода заключается в том, что он не требует разбиения стержня на большое количество элементов, позволяет при формировании локальной матрицы жесткости путем статической конденсации оставлять для

каждого элемента X, только по два параметра В[, В1^ вне зависимости от

порядка аппроксимирующей функции.

Проводятся исследования в области расчета оболочек, подкрепленных ребрами жесткости Предполагается, что срединная поверхность оболочки может быть разбита на подобласти вида таким образом, чтобы ребра жесткости проходили вдоль граничных линий подобластей Ребра жесткости

жестко контактируют с оболочкой и их оси относительно граничных линий подобластей имеют эксцентриситеты, соизмеримые с размерами поперечных сечений ребер и толщиной оболочки На основании принятых гипотез перемещения оси ребра определяются через перемещения соответствующей граничной линии подобласти :

У1=Щ+Ь2Ц1*2-Т\Ц1*3+22(р2,

У3 = +Т1¥1> (21)

Фз=Ч>з>

где V = [ур- вектор компонентов перемещения и углов

( \т

поворота оси ребра, и ~ул\,и2,у\/ ,М;1 >Ч,2'^з) - вектор компонентов

перемещения и углов поворота точек оболочки на граничной линии подобласти , который задается в системе координат (3, г|, л, связанной с осью ребра, й -толщина оболочки; к2 = /г / 2, = г — /г2

В этих формулах не учитывается связь между углами поворота ф], <р2

ребра и соответствующими углами поворота \\1*2 оболочки Эти углы отличаются между собой на углы, вызванные деформациями сдвига Если деформации от сдвига сравнимы с соответствующими деформациями от изгиба или кручения, то эти углы необходимо рассматривать отдельно Если же углы сдвига граничной линии подобласти оболочки и ребра малы по сравнению с углами поворота, вызванными изгибом или кручением, то можно положить

Ф1 =Ч>1, Ф2=¥2- (22)

В последнем случае задачу расчета оболочки, подкрепленной ребрами жесткости, можно свести только к оболочке с некоторыми обобщенными характеристиками. Если условия (22) не выполняются, то углы поворота

Ф2 аппроксимируются отдельно В этом случае при формировании

глобальной матрицы жесткости путем статической конденсации также можно

освободиться от параметров, определяющих углы поворота ф^, Ф2, и свести

задачу к оболочке.

Численные результаты показывают, что предложенный метод позволяет на малом количестве элементов получать хорошие результаты как в областях оболочки удаленных от ребер, так и непосредственно в зонах, прилегающих к ним

Разрабатываются математические модели совместного деформирования

оболочек и стержней, которые могут контактировать как по линиям (ребра жесткости), так и в точках. Ребра жесткости могут проходить вдоль граничных линий подобластей Ок, контакты стержней с оболочкой могут быть в угловых точках подобластей

Вариационное уравнение Лагранжа в этом случае принимает вид.

где Ек - полная энергия подобласти Ок, Ек} - полная энергия ребра жесткости Хкг, Е31 - полная энергия стержня А,,; и^ - вектор перемещений и углов поворота срединной поверхности подобласти , заданный в системе координат (X), а2, У^ - вектор перемещений и углов поворота ребра жесткости Х/д, заданный в системе координат, связанной с осью ребра, У! -вектор перемещений и углов поворота стержня 'к (. заданный в системе координат, связанной с главными осями инерции поперечного сечения стержня

Если вдоль каких-то граничных линий подобластей нет ребер жесткости, то соответствующие слагаемые исключаются из уравнения (23)

За искомые неизвестные принимаются компоненты перемещений и углов поворота подобластей оболочек и стержней, заданные в глобальной системе координат

Решение таких задач в прямой постановке для сложных тонкостенных конструкций вызывает большие трудности, т.к она сводится к системам уравнений больших порядков В связи с этим является целесообразным при формировании глобальной матрицы жесткости освободиться от некоторых степеней свободы конструкции и свести задачу к последовательному решению систем уравнений меньших порядков Показывается, что в зависимости от поставленной задачи для уменьшения количества степеней свободы

к=1 7=1 1=1

(23)

»7=1 И=1

(24)

от=1

к к] I

где О , , В- вектора неизвестных постоянных тп' т' т г

конструкции в пределах подобластей можно исключать из системы уравнений параметры, определяющие перемещения или стержневых элементов или оболочек. Это позволяет свести задачу или к оболочке, или к стержневой системе с некоторыми обобщенными характеристиками, т е позволяет создавать элементы типа суперэлементов

Составлены пакеты программ и представлены результаты расчетов стержневых систем, оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, и оболочечно-стержневых конструкций

В пятой главе предлагается вариационный метод расчета толстых оболочек, основанный на использовании для описания их напряженно-деформированного состояния теории оболочек средней толщины с учетом обжатия При учете обжатия не учитываются поперечные деформации, возникающие от действия напряжений обжатия, модуль упругости в этом направлении вводится с поправочным коэффициентом.

Толстая оболочка толщиной й разбивается на /* слоев поверхностями эквидистантными к некоторой поверхности приведения (рис 6)

Толщины слоев выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия.

где к1,К,- соответственно толщина и наименьший радиус кривизны г-го слоя

Следовательно, геометрия слоев такова, что они удовлетворяют условиям оболочек средней толщины и для описания их напряженно-деформированного состояния можно использовать теорию оболочек типа Тимошенко.

Искомые функции по толщине оболочки представляются в виде кусочно-линейных функций

2

Рис 6

(25)

2-Я 1

= - и,л-Л--—

К 1+1 К

и,, I = 1,7*

(26)

где и^' -- и^Ки^} (/ = 1,1 ) - вектор перемещения оболочки в

пределах г-го слоя; и{ = {и(1, , (г = 1,0 - вектор перемещения поверхности контакта слоев, г, - координата нижней поверхности г-го слоя;

/ = /*+! Координата г отсчитывается от поверхности приведения, заданной расстоянием «0 от нижней поверхности оболочки

Напряжения в оболочке определяются по формулам.

(27)

где Е, С?, V - соответственно модуль упругости, модуль сдвига и

коэффициент Пуассона, В---8 - постоянный поправочный

коэффициент

Потенциальная энергия оболочки при этом записывается так

П = \ Ми + 4 + 2У8П822)+ о(е2п + в2з + г2п) + ЕЪг\^У, (28)

£ у

где V - объем, занимаемый оболочкой

Если в формуле (28) положить (5 = 0, то получится потенциальная энергия тонкой оболочки без учета обжатия.

С учетом введенных предположений вариационное уравнение Лагранжа принимает вид

®и В В\ 0 0 0 0 е11

ВУ В 0 0 0 0 822

<*12 0 0 в 0 0 0 Б12

0 0 0 в 0 0 813

°23 0 0 0 0 в 0 е23

а33, 0 0 0 0 0 ЕЪ_ .833,

8ЭЦ,г

•,м1

)=0,

т.е. полная энергия записывается через перемещения и1 поверхностей контактов слоев, а также нижней и верхней поверхностей оболочки.

Поверхность приведения разбивается на подобласти , в соответствии

с которыми поверхности контактов также разбиваются на подобласти В

пределах подобластей перемещения м; аппроксимируются

соотношениями вида (2).

В пределах подобластей для каждой поверхности контакта слоев

можно исключать параметры, определяющие перемещения внутренних точек подобластей. В результате этого задача сведется к системе уравнений, в которой останутся только параметры, определяющие перемещения точек, лежащих на граничных поверхностях контактов подобластей О^ Тем самых

создается элемент типа суперэлемента для толстой оболочки.

Предложенный метод используется также для моделирования деформаций многослойных оболочек Предполагается, что слои оболочки ортотропные с различными направлениями ортотропии и для них выполняются условия (25), те слои удовлетворяют условиям, определяющим оболочки средней толщины. Если для какого-то слоя условие (25) не выполняется, то он в свою очередь разбивается на несколько слоев, каждый из которых рассматривается отдельно

Численные эксперименты показывают, что, если не учитывать обжатие оболочки (в формуле (27) положить 8 = О), то данный метод не дает верного решения, т.к. из-за тонкости слоев происходит эффект «заклинивания» решения. Если для слоев использовать выражение для потенциальной энергии, соответствующее трехмерному телу, то из-за тонкости слоев также получается неустойчивое решение. Предложенный метод позволяет рассчитывать по единой методике как достаточно толстые оболочки, так и сравнительно тонкие оболочки. Механические характеристики слоев могут при этом существенно различаться. Использование поправочного коэффициента 5 позволяет уточнять решение задачи В большинстве рассмотренных примеров наиболее точные результаты были получены при значениях 8 = 0.1-0.2. Одним из критериев выбора коэффициента 8 является характер распределения напряжений обжатия по толщине оболочки

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В работе построены аппроксимирующие функции с конечными носителями произвольной степени аппроксимации Отличительная особенность этих функций заключается в том, что в пределах некоторой криволинейной четырехугольной или треугольной подобласти в аппроксимирующих функциях, путем соответствующего преобразования системы координат и выбора этих функций, разделяются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее границах. Предложенные функции с конечными носителями удовлетворяют условиям согласованности и полноты.

2. С использованием данных функций на основе вариационного метода решения задач определяются напряженно-деформированные состояния тонких оболочек сложной формы в плане, составных оболочек, стержневых систем,

оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, и оболочечно-стержневых конструкций.

При расчете сложных оболочечно-стержневых конструкций показана возможность освобождения от «лишних» степеней свободы, что позволяет создавать элементы типа суперэлементов и существенно уменьшать порядок систем уравнений, к которым сводятся решения поставленных задач

Рассмотренные задачи показывают, что предложенный метод имеет широкую область применения, является достаточно универсальным и просгым в численной реализации.

3 Предложены алгоритмы построения двумерных и одномерных сглаживающих функций, заданных совокупностью точек Для построения этих функций используется функционал, содержащий только первые производные от искомых функций, и аппроксимирующие функции с конечными носителями, введенными в данной работе для расчета тонких оболочек.

4. Численные эксперименты показывают, что при использовании предложенного метода построения сглаживающих функций1

- на малом количестве входной информации получаются достаточно хорошие результаты для искомых функций и их производных,

- точность решения одинакова как в узловых точках, гак и в точках, находящихся между ними,

- для аппроксимирующих функций не требуется задания значений производных функций на границах области, что значительно облегчает подготовку входных данных при параметризации срединной поверхности оболочек сложной формы,

- в случае необходимости довольно легко выполнить граничные условия, как для самой аппроксимирующей функции, так и для её первой производной.

5. Разработан вариационный метод расчета толстых оболочек, основанный на разбиении оболочки на слои и использовании для описания напряженно-деформированного состояния слоев уравнений теории оболочек средней толщины с учетом обжатия

При учете обжатия в потенциальную энергию деформации вводится слагаемое с некоторым поправочным коэффициентом, которое рассматривает деформацию в направлении, перпендикулярном к срединной поверхности оболочки, как линейное напряженное состояние

Показана возможность использования предложенного метода для расчета многослойных оболочек

6. На основе изложенных в работе методов составлены пакеты компьютерных программ, позволяющие производить расчеты тонких оболочек, криволинейных стержней, составных оболочек, оболочечно-стержневых конструкций, толстых однородных и многослойных оболочек

7 Анализ результатов численных исследований показывает-

- при использовании предложенного в работе метода для расчета тонких оболочек, находящихся в области практического применения, не возникают такие явления, как «заклинивание» решения, образование «механизмов» и т д,

- для достижения необходимой точности решения задач требуется малое количество элементов;

- при расчете оболочек размеры подобластей, на которые разбивается срединная поверхность оболочки, могут существенно различаться, что позволяет производить расчеты оболочек с небольшими вмятинами или инородными включениями,

- предложенный метод позволяет рассматривать подобласти, у которых один геометрический размер значительно меньше другого, что дает возможность рассчитывать оболочки с тонкими инородными включениями, оболочки с «вырождающейся» областью, позволяет моделировать различные граничные условия

- введение поправочного коэффициента при расчете толстых оболочек позволяет уточнять решение и получать решения для довольно толстых оболочек.

Основные положения диссертации опубликованы в статьях

1 Хайруллин Ф С Об одном подходе к расчету пластин сложной формы // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы Межвузовский сборник - Набережные Челны, 1990 - С 112-117

2 Хайруллин Ф С О методе расчета составных пластинчатых конструкций // Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин Т. 1 - Казань, 1991 -С 573 -578

3. Серазутдинов М Н, Хайруллин Ф С Метод расчета криволинейных стержней // Известия вузов Строительство и архитектура — 1991 - №5 — С 104-108

4. Хайруллин Ф С О методе расчета составных тонкостенных конструкций // Известия вузов Машиностроение - 1992, № 1 - 3 - С 20-23

5 Хайруллин Ф С О численной реализации одного метода расчета тонкостенных конструкций // Расчет пластин и оболочек В химическом машиностроении Межвуз сб научных трудов - Казань КГТУ, 1993 - С 8185

6 Хайруллин Ф, С. О некоторых особенностях реализации одного метода расчета тонкостенных конструкций // Труды XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин. - Нижний Новгород, 1994. - С 242 - 246

7 Хайруллин Ф. С Об одном методе расчета тонкостенных конструкций сложной формы в плане // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин Т. 2 - Казань, 1996 - С 203 - 206

8 Хайруллин Ф С Метод расчета тонких оболочек сложной формы // Известия РАН. Механика твердого тела - 1998, № 3 - С 30-33

9 Хайруллин Ф С О расчете оболочечно-стержневых конструкций // Сборник докладов XIX Международной конференции «Механика оболочек и пластин». - Нижний Новгород, 1999 - С 196 - 200.

10 Хайруллин Ф С О методе расчета рамно-обо точечных конструкций // Труды XI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» 4 1 -Самара, 2001 - С 188-191

11 Хайруллин Ф С О расчете тонких оболочек с ребрами жесткости // Труды XII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» 4 1 -Самара, 2002 - С 190-193

12 Хайруллин Ф С О расчете трехслойных оболочек с очень мягким заполнителем // Сборник докладов XIX Международной конференции «Механика оболочек и пластин» - Нижний Новгород, 2002, - С 304 - 308

13 Хайруллин Ф С Метод расчета стержневых конструкций, несущих тонкостенные перекрытия // Извесгия вузов Строительство - 2002, № 1-2 - С 76-80

14 Хайруллин Ф С, Серазутдинов М Н. О расчете тонкостенных конструкций с дефектами как оболочек сложной формы // Проектирование и исследование технических систем. Вып 1 Межвузовский сборник -Набережные Челны, 2002 - С 17-20.

15 Хайруллин Ф С О построении аппроксимирующих функций для граничных линий оболочек сложной формы // Труды XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» 4.1 -Самара, 2003 - С 210-212

16 Хайруллин Ф С., Серазутдинов М Н. Об использовании конечных элементов высокой степени аппроксимации // Груды XX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред Методы граничных и конечных элементов» - С-Петербург, 2003 - С 184 — 189

17 Хайруллин Ф С Об одном методе расчета толстых оболочек // Сборник трудов XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» - Казань, 2005 - С 27 -28.

18 Хайруллин Ф С Об использовании теории оболочек типа Тимошенко для расчета толегых оболочек // Известия вузов Авиационная техника - Казань, 2005, № 3 - С 67 - 69

19 Хайруллин Ф С, Серазутдинов М Н Метод параметризации срединной поверхности тонкостенного элемента конструкции. // Известия вузов. Авиационная техника - Казань, 2006, №4 - С 14-16

Заказ 240 Тираж 100 экз

Офсет мая лаборатория Казанского государственного технологическою униперешета 470015, Казань, К Маркса,68

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Определение напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы.

1.1. Основные соотношения.

1.2. Аппроксимирующие функции с конечным носителем для четырехугольных подобластей.

1.3. Аппроксимирующие функции с конечным носителем для треугольных подобластей.

1.4. Вариационный метод расчета тонких оболочек сложной формы в плане.

1.5. Алгоритм построения матрицы жесткости конструкции.

1.6. Об особенностях численной реализации задачи.

1.7. Численные результаты.

ГЛАВА 2. Параметризация срединной поверхности оболочки.

2.1 Исходные соотношения.

2.2 Параметризация граничных линий оболочки.

2.3 Построение сглаживающей функции двух переменных.

2.4 Численные результаты.

ГЛАВА 3. Определение напряженно-деформированного состояния составных оболочек.

3.1 Вариационный метод расчета составных оболочек.

3.2 Численные результаты.

3.3 Расчет тонкостенных конструкций с вмятинами.

ГЛАВА 4. Моделирование деформированного состояния оболочечностержневых конструкций.

4.1 Определяющие уравнения для стержней.

4.2 Вариационный метод расчета стержневых систем.

4.3 Основные соотношения для ребер жесткости.

4.4 Расчет тонких оболочек с ребрами жесткости.

4.5 Определение напряженно-деформированного состояния оболочечно-стержневых конструкций.

4.6 Расчет стержневых систем, несущих тонкостенные перекрытия.

4.7 Расчет рамной конструкции, имеющей двухстороннюю обшивку.

ГЛАВА 5. Метод расчета толстых и многослойных оболочек.

5.1 Использование теории оболочек средней толщины для расчета толстых оболочек.

5.2 Определение напряженно-деформированного состояния многослойных оболочек.

Тонкостенные конструкции в настоящее время являются одними из наиболее распространенных элементов конструкций, применяемых в современной технике. По всей видимости, ни одна область человеческой деятельности, связанная с научно-техническим прогрессом или с бытовой жизнью человека, не обходится без соприкосновения с такими объектами, как пластинчатые, оболочечные или стержневые элементы. Даже в природе много объектов имеют форму тонкостенной конструкции. Это связано с тем, что благодаря своей конфигурации такие элементы являются с одной стороны довольно прочными и жесткими, с другой стороны достаточно легкими и экономичными, что делает их в конечном итоге эффективными. Если в начальный период вопросы расчета и использования тонких пластин и оболочек были связаны с потребностями строительства, то в настоящее время наиболее сложные задачи в этой области возникают в связи с потребностями таких областей промышленности, как машиностроение, авиационная и космическая техника, автомобилестроение и медицина.

Большинство разделов классической теории тонкостенных конструкций разработано достаточно полно. Основные положения теории тонких оболочек и пластин изложены в работах и монографиях таких ученых, как Амбарцумян С.А., Бидерман B.JI., Болотин В.В., Власов В.З., Вольмир А.С., Галимов К.З., Гольденвейзер A.JL, Григолюк Э.И., Лурье А.И., Корнишин М.С., Муштари Х.М., Новичков Ю.Н., Новожилов В.В., Паймушин В.Н.,

Пелех Б.Л., Пикуль В.В., Подстригач Я.С., Терегулов И.Г., Тимошенко С.П., Филин А.П., Черных К.Ф., Швец Р.Н. и других [6, 25, 28, 41, 45, 46, 51, 53, 54, 71, 77, 117, 140, 152, 160, 177, 185, 186, 189,248, 249, 251, 252, 260, 282].

По вопросам расчета прямолинейных и криволинейных стержней опубликовано достаточно много работ, в том числе известные учебники и монографии Воробьева Ю. С., Шорра Б. Ф.; Розина JI. А.; Светлицкого В. А.; Тимошенко С.П., Гере Дж.; Филина А. П., Тананайко О. Д., Черневой И. М., Шварца М. А.; Шулькина Ю. Б. [3, 48, 208, 209,224,225, 253, 260, 285].

Однако практическое применение разрешающих уравнений теории тонкостенных конструкций является достаточно затруднительным в виду их сложности, особенно для расчета конструкций сложной формы. Аналитические решения можно получить в основном только для некоторых видов конструкций сложной формы при простых случаях нагружения. Поэтому для решения прикладных задач используются в основном приближенные или численные методы. Ниже кратко излагаются некоторые из этих методов, которые используются для расчета тонкостенных конструкций сложной геометрии, и приводится краткий обзор публикаций по этим методам. Более полные обзоры публикаций по этой теме приведены в работах [52, 79, 85, 117, 120, 165, 206, 288] и др.

В последние десятилетия при решении задач механики деформируемого твердого тела наибольшее развитие и распространение получил метод конечных элементов (МКЭ), который сочетает универсальность и эффективность с простатой и удобством при численной реализации задачи. Фундаментальным исследованиям по МКЭ и вопросам численной реализации метода посвящено большое количество работ, в частности, монографии Бате К., Вилсона Е.; Галлагера Р.; Голованова А. И., Корнишина М. С.; Зенкевича О., Моргана К.; Норри Д., Ж. де Фриза; Образцова И. Ф., Савельева JI.M., Хазанова Х.С.; Сахарова А. С., Киричевского В. В., Кислоокого В. Н.; Сегерлинда JL; Стренга Г., Фикса Дж.; Постнова В.

A. [20, 55, 68, 97, 98, 162, 164, 192, 203, 218, 223, 244]. Различные аспекты создания и применения конечных элементов исследованы в работах [23, 33, 37, 50, 60, 62, 63, 66, 67, 70, 87, 100, 107, 159, 219,232, 246, 293, 294, 298, 301, 306, 307, 312, 318, 327] и др. В работах [44, 110, 126, 127, 166, 194, 196,213,236, 281,287, 289,308,310,313,314] и других данный метод используется для определения напряженно-деформированного состояния оболочек сложной формы. Каталоги наиболее известных конечных элементов тонких оболочек и пластин приведены в [55, 70, 305]. Обзор исследований по методу конечных элементов проводится, например, в работах [299, 324].

Одним из универсальных численным методом расчета некоторых видов конструкций является метод конечных разностей (МКР). При использовании этого метода исследуемая область разбивается на прямоугольные подобласти, в пределах которых производные от искомых функций заменяются разностными отношениями. По данной теме опубликовано довольно много работ. Некоторые проблемы построения и решения разностных схем рассмотрены в работах Баженова В. Г.; Бахвалова Н. С.; Вайнберга Д.Б.; Вольмира А. С.; Гоцуляк Е. А.; Григоренко Я. М., Мукоеда А. П.; Корнишина М. С., Петухова Н. П.; Крысько В. А.; Кармишина А.

B., Скурлатова Э. Д., Старцева В. Г., Фельдштейна В. А.; Положего Г.

Н.; Столярова Н.Н. [15, 16, 21, 35, 46, 72, 73, 84, 117, 123, 131, 132, 155, 183, 190, 241, 243] и др.

В достаточно общей постановке вопросы расчета оболочек сложной геометрии исследовались в работах В.Н. Паймушина и М.С. Корнишина [72, 121, 122, 170 - 173]. В этих работах для оболочек неканонической формы и неканонических очертаний параметризация срединных поверхностей производилась на основе теории конечных деформаций поверхностей.

К одним из первых численных методов расчета тонкостенных конструкций относятся методы коллокации, в которых неизвестные параметры, определяющие искомые функции, находятся из условия удовлетворения исходных уравнений в заданной системе точек. Начиная с первых публикаций М.С. Корнишина [117, 118], методы коллокации успешно использовались при решении задач расчета пластин и оболочек сложной формы, в том числе в работах [31, 57, 80, 102,204, 205,241].

Другим эффективным методом расчета пластин и оболочек сложной формы является метод граничных элементов (МГЭ), в основе которого лежит известный в задачах математической физики метод потенциалов. В отличие от метода конечных элементов в МГЭ дискретизации подлежат лишь границы рассматриваемых объектов и задача сводится к решению граничных интегральных уравнений. По теоретическим основам метода и вопросам его практического применения имеются многочисленные публикации, в том числе разработаны монографии Артюхина Ю. П., Грибова А. П.; Бенерджи П., Баттерфилда Р.; Бреббия К., Теллеса Ж., Броубела JL, Уокера С.; Верюжского Ю.В.; Коренева Б. Г.; Крауча Ч., Старфилда А.; Купрадзе

В. Д.; Смирнова В. А.; Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М. [12, 22, 29,30,39, 115,130, 135,234, 256].

Возможность использования для расчета оболочек при определении деформаций соотношений теории пластин показана в работах Серазутдинова М.Н. [226 - 229].

Для одномерных задач и задач, в которых удается сделать разделение переменных, достаточно эффективным являются численные методы, в которых исходные уравнения сводятся к системе дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши. Изложение этих методов и результатов расчетов произведено в монографиях Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Крюкова Н.Н., Мукоеда А.П.; Мяченкова В.И., Григорьева И.В., Мальцева В.П. [81, 83,84, 153, 154,241].

Также можно отметить следующие методы расчета оболочек сложной формы. В работах Савулы Я. Г. и его соавторов [150, 211 -213] предлагается постановка задачи и метод расчета оболочек с резными срединными поверхностями. Интегрально-проекционный метод для решения задач расчета оболочек используется в работах Паймушина В. Н., Саитова И.Х., Рахманкулова Н.У. [176, 198, 214, 215]. В работах Гузя А. Н., Чернышенко И. С., Чехова Вал. Н., Чехова Вик. Н.; Каюка Я. Ф.; Немиша 10. Н., Блошко Н. М. [88, 103, 146, 157] задачи расчета- пластин и оболочек с отверстиями и выточками решались методами разложения по параметру.

Из экспериментальных методов отметим теоретико-экспериментальный метод, разработанный А.В. Саченковым [220]. С помощью этого метода в работах Саченкова А.В., Коноплева Ю.Г., Митряйкина В.И., Паймушина В.Н., Шалабанова А.К., Шишкина А.Г. [105, 112, 149, 221, 222] и других проведены исследования процессов деформации тонких оболочек и пластин, в том числе сложной формы и с различными конструктивными особенностями. В работах Коноплева Ю. Г., Шалабанова А. К., Смирнова В. А., Нанасова М.П. [111, 113, 235, 236, 283] для решения задач статики и динамики пластин и оболочек используется сравнительно новый экспериментальный метод голографической интерферометрии.

Расчет конструкций, составленных из нескольких видов оболочек или пластин, т.е. составных конструкций, производится в основном вариационными или численными методами, в частности методом конечных элементов или методом суперэлементов. Вопросы постановки и численной реализации данной задачи рассмотрены, например, в монографиях Бурмана З.И., Аксенова О.М., Лукашенко В.И., Тимофеева М.Т.; Постнова В.А., Дмитриева С.А., Елтышева * Б.К., Родионова А.А.; Мяченкова В.И., Григорьева И.В.; Постнова В.А., Таранухи Н.А. [32, 145, 153, 193], а также в работах [19, 56, 64, 65, 86, 114, 128,133, 136,142, 168, 175, 181,233, 147, 289,320].

Для увеличения прочности и жесткости конструкций тонкие оболочки и пластины подкрепляются ребрами жесткости. Исследований, посвященных изучению напряженно-деформированного состояния подкрепленных тонкостенных конструкций, достаточно много. В частности можно отметить следующие монографии Амиро И. Я., Заруцкого В. А., Паламарчука В. Г.; Андрианова И. В., Лесничей В. А., Маневича Л. И.; Власова В. 3.; Климанова В. И., Тимашева С. А. [8, 9, 11, 32, 42, 106]. Если распределение ребер по оболочке носит регулярный характер, то оболочку рассматривают обычно как конструктивно-анизотропную. Здесь же приведем некоторые из тех работ, в которых учитывается дискретное распределение подкреплений: [5, 14, 26, 47, 59, 74, 92, 96,

141, 167, 210, 254, 290]. Обзор работ по теории и методам определения напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек приводится, например, в статьях Жигалко Ю.П., Дмитриевой JI.M. и Заруцкого В. А [91, 95].

Некоторые из методов решения задач механики деформируемого твердого тела основаны на использовании вариационных принципов [1, 36, 147, 148, 163, 188, 250]. Такие методы называются вариационными. К ним относятся метод Ритца, метод Бубнова - Галеркина, вариационно-разностные методы, метод конечных элементов в вариационной постановке и др. При их использовании возникает вопрос выбора аппроксимирующих функций, которые должны обладать определенными свойствами и удовлетворять определенным условиям. Например, при использовании вариационного уравнения Лагранжа, построенного на основе уравнений теории оболочек типа Тимошенко, * аппроксимирующие решение функции должны обладать гладкостью класса Л составлять полную систему функций и удовлетворять геометрическим граничным условиям. Если оболочка имеет сложную форму, то выбор таких функций вызывает определенные трудности. Одним из методов построения аппроксимирующих функций является метод R-функций В.Л. Рвачева [199 - 201].

Опубликовано довольно много работ, посвященных построению аппроксимирующих функций и использованию этих функций для решения задач расчета оболочек сложной формы. В дополнение к тем методам, которые касались этой темы и изложены выше, можно отметить работы [75, 93, 125, 143, 144, 168, 175, 182, 202, 315, 316] и др.

При решении задач расчета оболочек сложной геометрии могут возникнуть вопросы численной параметризации срединной поверхности и граничных линий оболочек. Причем, аппроксимация радиуса-вектора г срединной поверхности оболочки должна производиться с достаточно большой точностью. Как показывают численные эксперименты, возможная осцилляция даже во вторых производных от г может привести к большим погрешностям в решении задачи, т.к. эти производные определяют радиусы кривизны оболочки. Среди основных аналитических и численных методов параметризации срединной поверхности оболочек сложной формы можно выделить следующие: метод деформации поверхности отсчета; использование кубических и других сплайн-аппроксимаций; использование метода конечных разностей и метода конечных элементов; использование сглаживающей аппроксимации и т.д. Эти и другие методы параметризации поверхностей и кривых рассмотрены в монографиях Галимова К.З., Паймушина В.Н.; Григолюка Э.И., Куликова Г.М.; Завьялова Ю.С., Jleyca В.А., Скороспелова В.А.; Корнишина М.С., Паймушина В.Н., Снигирева В.Ф.; Марчука Г.И.; Роджерса Д., Адамса Дж.; Фокса А., Пратта М.; Якупова Н.М., Серазутдинова М.Н. [54, 77, 94, 120, 143, 207, 262, 291], а также в работах [58, 119,169,171,172, 195,212,216, 230, 237-239,287] и др.

При определении напряженно-деформированного состояния толстых оболочек используются или трехмерные уравнения теории упругости или уточненные уравнения теории оболочек, в которых по толщине оболочки аппроксимация искомых функций производится функциями более высокого порядка, чем в классической теории оболочек. В связи со сложностью решения получены аналитическими или аналитико-численными методами только для некоторых типов оболочек и пластин при определенных видах нагружения. Различные вопросы исследования деформаций толстых оболочек рассмотрены, например, в работах [7, 10, 40, 43, 99, 108, 129, 139, 242, 257, 303, 311].

Публикаций, посвященных развитию теории и разработке методов расчета многослойных тонкостенных конструкций, достаточно много. В частности можно отметить следующие монографии Алфурова Н.А., Зиновьева П.А., Попова Б.Г.; Амбарцумяна С.А.; Болотина В.В., Новичкова Ю.Н.; Васильева В.В., Протасова В.Д.; Бакулина В.Н., Григолюка Э.И., Куликова Г.М.; Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуба Г.П.; Немировского Ю.В., Резникова Б.С.; Пикуля В.В. [4, 6, 17, 28, 77, 82, 104, 109, 156, 187]. Расчет многослойных конструкций с использованием теории тонких оболочек или теории оболочек средней толщины производился, например, в работах [2, 18, 34, 89, 134, 137, 203, 240, 302, 304, 317]. В работах [4, 7, 27, 28, 77, 151, 174, 178, 179, 326] проводились исследования, в которых для многослойной оболочки учитывался характер распределения деформаций и напряжений для каждого слоя отдельно. Обзор работ по теории и методам расчета многослойных оболочек приводится в статьях [76,90] и других.

В современной теории оболочек достигнуты значительные успехи как в развитии теоретических основ, так и в решении конкретных задач определения напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций. Однако, как отмечалось в статье Григоренко Я. М., Савулы Я. Г., Мухи И. С. [85], «запросы практики в исследовании задач механики деформирования оболочек удовлетворяются еще не полностью». Задачи механики деформирования оболочек сложной геометрии «являются наименее исследованными. Разработка методов их решения является одной из важных и актуальных проблем теории оболочек».

Анализ приведенных методов расчета показывает, что хотя и существуют различные методы расчета тонкостенных конструкций сложной формы, однако универсального метода, применимого для любого случая, нет. Каждый из этих методов имеет свои положительные и отрицательные стороны, применим для определенных задач. Даже такой универсальный метод, как метод конечных элементов, имеет свои недостатки. Как отмечено в монографии А.И. Голованова и соавторов [70], несмотря на большое количество работ по методу конечных элементов и большое количество предложенных в этих работах конечных элементов, «лишь ограниченное количество их действительно эффективно в расчетах тонких непологих оболочек». Исходя из выше изложенного можно считать, что в настоящее время является актуальной разработка методов расчета тонкостенных конструкций сложной формы.

В работе' Эдельмана, Казаринеса, Уолтона [286] исследуется влияние порядка аппроксимирующей функции на точность решения. На конкретных примерах показывается, что использование высокоточных конечных элементов, использующих полиномы высокого порядка, позволяет на малом количестве элементов получить более точные результаты при меньших размерах матрицы жесткости, по сравнению с применением большого числа более простых конечных элементов. Однако при использовании функций высокой степени аппроксимации в узловых точках требуется задавать производные высоких порядков, например, производные второго порядка. Это приводит к усложнению формулировки и выполнения граничных условий, а при расчете составных оболочек создает проблемы с выполнением условий сопряжения на изломе срединной поверхности оболочки. Поэтому является актуальной создание методов расчета конструкций, использующих в качестве аппроксимирующих функций полиномы высокой степени и не требующих при этом выполнения условий для производных высоких порядков.

В работе В.В. Пикуля [184] отмечается: «.при расчете инженерного сооружения приходится упрощать постановку краевых задач и использовать численные процедуры низкого уровня аппроксимации, что неизбежно ведет к грубому определению местных возмущений напряженного состояния». При расчете численными методами сложных оболочечно-стержневых систем относительно неизвестных параметров, аппроксимирующих искомые функции, получаются системы уравнений большого порядка. Поэтому для решения таких задач используют методы суперэлементов, которые позволяют уменьшать порядки окончательных систем уравнений, к которым сводятся задачи, и решать конкретные практические задачи. В связи с этим является актуальной разработка таких методов расчета сложных оболочечно-стержневых конструкций, которые позволяли бы при формировании матрицы жесткости конструкции в соответствии с поставленной задачей освобождаться от параметров, определяющих перемещения стержневых или оболочечных элементов, т.е. позволяли создавать элементы типа суперэлементов. Это существенно уменьшает порядок окончательной системы уравнений относительно неизвестных параметров.

При численной параметризации срединной поверхности оболочки аппроксимирующая функция должна удовлетворять определенным требованиям гладкости функции. Например, если используется классическая теория оболочек, то необходимо обеспечить непрерывность функции класса сЯ. Такого рода непрерывность могут обеспечить кубические сплайн аппроксимации. Однако в этом случае необходимо задавать значения производных в узловых точках, что сделать с достаточной точностью не очень просто, а в некоторых случаях вообще не возможно. В настоящее время является актуальной разработка численных методов параметризации срединных поверхностей и граничных линий оболочек сложной формы, которые на малом количестве входной информации обеспечивали бы необходимую гладкость и достаточную точность аппроксимирующих функций.

Для достижения необходимой точности при расчете толстых однородных и многослойных оболочек необходимо учитывать нелинейный характер изменения перемещений по толщине оболочки. Для оболочек сложной формы этого можно добиться, если использовать, например, трехмерные конечные элементы, основанные на уравнениях теории упругости. При использовании теории оболочек для расчета таких конструкций обычно оболочка разбивается по толщине на слои и количество неизвестных параметров, определяющих искомые функции, зависит от количества слоев. Является актуальной разработка методов расчета толстых однородных и многослойных оболочек, которые с одной стороны учитывали бы истинную картину распределения напряженно-деформированного состояния по толщине оболочки, с другой стороны позволяли бы использовать уравнения классической теории оболочек.

Целью работы является разработка вариационных методов определения напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций, основанных на использовании функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации, позволяющих производить расчеты тонких и толстых оболочек сложной формы, криволинейных стержней, составных оболочек, оболочечно-стержневых конструкций.

Методы исследования основаны на использовании определяющих уравнений теории оболочек и стержней типа Тимошенко, вариационных принципов механики деформируемого твердого тела, методов вычислительной математики.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложен метод построения аппроксимирующих функций с конечными носителями. Отличительная особенность и новизна метода заключаются в том, что в пределах некоторой подобласти в аппроксимирующих функциях, путем соответствующего преобразования системы координат и выбора вида этих функций, разделяются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее границах. Это позволяет выполнять кинематические условия стыковки подобластей, на которые разбивается оболочка.

Аналогичные функции предложены для расчета криволинейных стержней.

2. С использованием данных функций на основе вариационного метода определяются напряженно-деформированные состояния оболочек сложной формы, составных оболочек, стержневых систем, оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, и оболочечно-стержневых конструкций.

3. Предложены алгоритмы построения аппроксимирующих сглаживающих функций, заданных совокупностью точек, используемых для описания линий и поверхностей. При решении задачи используются функционалы, включающие только первые производные от искомых функций.

4. Разработан вариационный метод расчета толстых однородных и многослойных оболочек, основанный на разбиении оболочек на слои и использовании для описания напряженно-деформированного состояния слоев теории оболочек средней толщины с учетом обжатия. Предложенный алгоритм решения задачи позволяет реализовать подход типа метода суперэлементов для расчета толстых оболочек.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов обеспечивается корректным применением законов и определяющих уравнений механики деформируемого твердого тела, использованием для решения краевых задач строгих математических методов, а также многочисленными сравнениями результатов расчетов с известными теоретическими и экспериментальными данными и хорошей согласованностью с ними.

Практическую ценность диссертационной работы составляют описанные в работе способы построения аппроксимирующих функций с конечными носителями, основанные на вариационных методах математические модели деформированного состояния однородных и многослойных оболочек, алгоритмы построения сглаживающих функций, созданные на основе этих методов пакеты компьютерных программ, результаты, полученные на основе теоретических и численных исследований.

Предложенный в работе метод расчета конструкций является достаточно универсальным и по эффективности сравним с методом конечных элементов.

Часть из разработанных программ внедрена в заинтересованные организации, что подтверждено соответствующими актами. Работа, связанная с расчетом пространственных стержневых систем, внедрена в учебный процесс.

Диссертация состоит из пяти глав и списка литературы, содержащего 329 наименований. Работа изложена на 267 страницах машинописного текста, включает в себя 33 таблицы и 60 рисунков.

В первой главе предлагается метод построения аппроксимирующих функций с конечными носителями иерархического типа. Отличительная особенность метода заключается в том, что в пределах некоторой криволинейной четырехугольной или треугольной подобласти оболочки в аппроксимирующих функциях, путем соответствующего преобразования системы координат и выбора этих функций, разделяются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее границах. Аппроксимирующие функции на границах области являются инвариантными величинами относительно преобразования системы координат. Это обеспечивает непрерывность искомых функций при переходе из одной подобласти на другую и позволяет выполнять кинематические условия стыковки подобластей и геометрические граничные условия.

Построенные аппроксимирующие функции с конечными носителями удовлетворяют условиям согласованности и полноты.

На основе вариационного принципа Лагранжа с использованием предложенных функций с конечными носителями определяется напряженно-деформированное состояние тонких оболочек сложной формы в плане.

Рассматриваются вопросы численной реализации задачи. Проводится проверка метода на большом количестве тестовых задач.

Во второй главе излагаются методы построения сглаживающих функций, которые используются для описания линий и поверхностей, заданных совокупностью точек.

Для построения сглаживающих функций предлагается использовать функционал, в котором с механической точки зрения в основе условия «изгибания» поверхности лежит теория оболочек типа Тимошенко. Это приводит к уменьшению порядка производных в функционале. В качестве сглаживающих функций берутся функции, предложенные в предыдущей главе для аппроксимации компонентов перемещений срединной поверхности оболочки.

В третьей главе разрабатывается математическая модель деформированного состояния составных оболочек. В вариационное уравнение Лагранжа вводится дополнительное слагаемое, определяющее угол поворота бесконечно малого элемента срединной поверхности оболочки вокруг нормали. В качестве аппроксимирующих используются функции с конечными носителями, предложенные в первой главе, что позволяет обеспечивать как непрерывность самих оболочек на линиях сопряжения, так и искомых функций.

Показывается возможность использования данной методики для расчета оболочек с повреждения типа «вмятин», которые могут оказывать существенное влияние на прочностные свойства конструкции. Причем, размеры вмятины могут быть достаточно малыми по сравнению с размерами оболочки.

В четвертой главе предлагается вариационный метод расчета стержневых систем, элементами которых являются криволинейные стержни, оси которых задаются гладкими кривыми.

Проводятся исследования в области расчета оболочек, подкрепленных' ребрами жесткости. Предполагается, что расположение ребер жесткости по оболочке может быть произвольным, напряженно-деформированное состояние оболочки и ребер описывается раздельно.

Рассматривается случай совместного деформирования оболочек и стержней. Показывается, что в зависимости от постановки задачи, можно освободиться от параметров, определяющих перемещения стержневых элементов или оболочек. Это позволяет создавать элементы типа суперэлементов.

Составлены пакеты программ и представлены результаты расчетов стержневых систем, оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, и оболочечно-стержневых конструкций.

В пятой главе предлагается метод математического моделирования деформированного состояния толстых оболочек, основанный на разбиении оболочки на слои и использовании для описания их напряженно-деформированного состояния теории оболочек средней толщины с учетом обжатия. При учете обжатия не учитываются поперечные деформации, возникающие от действия напряжений обжатия, модуль упругости в этом направлении вводится с поправочным коэффициентом.

Показывается, что предложенный позволяет построить элементы типа суперэлементов для толстых оболочек.

Данный метод используется также для расчета многослойных оболочек.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

- метод построения аппроксимирующих функций с конечными носителями иерархического типа, удовлетворяющих условиям согласованности и полноты; вариационные методы определения напряженно-деформированного состояния тонких оболочек сложной формы, составных оболочек, стержневых систем и оболочечно-стержневых конструкций;

- алгоритмы построения аппроксимирующих сглаживающих функций, заданных совокупностью точек, используемых для описания линий и поверхностей; методика расчета толстых однородных и многослойных оболочек, основанная на разбиении оболочек на слои и использовании для описания напряженно-деформированного состояния слоев теории оболочек средней толщины с учетом обжатия;

- представленные в диссертации результаты решения задач.

Основные положения диссертации докладывались: на III Всесоюзной конференции «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов» (Казань, 1988г.); на III Всесоюзном научно-техническом совещании «Динамика и прочность автомобиля» (Москва, 1988 г.); на Республиканских научно-технических конференциях «КамПИ-КамАЗ» (Набережные Челны, 1988 г., 1990 г.); на Всесоюзной научно-технической конференции «Повышение качества и надежности продукции программного обеспечения ЭВМ» (Куйбышев, 1990 г.); на II Республиканской научно-технической конференции «Динамика и прочность мобильных машин» (Кутаиси, 1990 г.); на Республиканских научно-технических конференциях «Механика машиностроения» (Набережные Челны, 1987 г., 1995 г., 1997 г.); на Международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 2000 г.); на Международной научно-технической конференции «Технико-экономические проблемы промышленного производства» (Набережные Челны, 2000 г.); на выездном заседании головного совета «Машиностроение» (Набережные Челны, 2001 г.); на межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2001 - 2003 г.); на Международной научной конференции «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных конструкций сложной формы» (Москва, 2002 г.); на Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластин (Казань, 1991 г., Нижний Новгород, 1994 г., Казань, 1996 г., Нижний Новгород, 1999г., Нижний Новгород, 2002 г.); на XX . Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов». (Санкт-Петербург, 2003 г.); на XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Казань, 2005 г.); на IX Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.).

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях [231,263 -280].

Диссертационная работа выполнена на кафедре динамики и прочности автомобильных конструкций Камского политехнического института и на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов Казанского государственного технологического университета.

Тема диссертации выполнялась в соответствии с плановыми темами исследований Камского политехнического института и Казанского государственного технологического университета.

Автор считает своим долгом выразить благодарность профессору М.Н. Серазутдинову, общение и совместная работа с которым определило некоторые из научных направлений, представленных в диссертации, способствовало формированию научного мировоззрения диссертанта.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В работе построены аппроксимирующие функции с конечными носителями произвольной степени аппроксимации. Отличительная особенность этих функций заключается в том, что в пределах некоторой криволинейной четырехугольной или треугольной подобласти в аппроксимирующих функциях, путем соответствующего преобразования системы координат и выбора этих функций, разделяются параметры, определяющие искомые функции внутри подобласти и на ее границах. Предложенные функции с конечными носителями удовлетворяют условиям согласованности и полноты.

Аналогичные функции построены также для криволинейных стержней.

2. С использованием данных функций на основе вариационного метода решения задач определяются напряженно-деформированные состояния тонких оболочек сложной формы в плане, составных оболочек, стержневых систем, оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, и оболочечно-стержневых конструкций.

При расчете сложных оболочечно-стержневых конструкций показана возможность освобождения от «лишних» степеней свободы, что позволяет создавать элементы типа суперэлементов и существенно уменьшать порядок систем уравнений, к которым сводятся решения поставленных задач.

Рассмотренные задачи показывают, что предложенный метод имеет широкую область применения, является достаточно универсальным и простым в численной реализации.

3. Предложены алгоритмы построения двумерных и одномерных сглаживающих функций, заданных совокупностью точек. Для построения этих функций используется функционал, содержащий только первые производные от искомых функций, и аппроксимирующие функции с конечными носителями, введенными в данной работе для расчета тонких оболочек.

4. Численные эксперименты показывают, что при использовании предложенного метода построения сглаживающих функций:

- на малом количестве входной информации получаются достаточно хорошие результаты для искомых функций и их производных;

- точность решения одинакова как в узловых точках, так и в точках, находящихся между ними;

- для аппроксимирующих функций не требуется задания значений производных функций на границах области, что значительно облегчает подготовку входных данных при параметризации срединной поверхности оболочек сложной формы;

- в случае необходимости довольно легко выполнить граничные условия, как для самой аппроксимирующей функции, так и для её первой производной.

5. Разработан вариационный метод расчета толстых оболочек, основанный на разбиении оболочки на слои и использовании для описания напряженно-деформированного состояния слоев уравнений теории оболочек средней толщины с учетом обжатия.

При учете обжатия в потенциальную энергию деформации вводится слагаемое с некоторым поправочным коэффициентом, которое рассматривает деформацию в направлении, перпендикулярном к срединной поверхности оболочки, как линейное напряженное состояние.

Показана возможность использования предложенного метода для расчета многослойных оболочек.

6. На основе изложенных в работе методов составлены пакеты компьютерных программ, позволяющие производить расчеты тонких оболочек, криволинейных стержней, составных оболочек, оболочечно-стержневых конструкций, толстых однородных и многослойных оболочек.

7. Анализ результатов численных исследований показывает:

- для тонких оболочек, геометрические параметры которых находятся в области практического применения, при использовании предложенного в работе метода не возникают такие явления, как «заклинивание» решения, образование «механизмов» и т.д.;

- для достижения необходимой точности решения задач требуется малое количество элементов;

- при расчете оболочек размеры подобластей, на которые разбивается срединная поверхность оболочки, могут существенно различаться, что позволяет производить расчеты оболочек с небольшими вмятинами или инородными включениями;

- предложенный метод позволяет рассматривать подобласти, у которых один геометрический размер значительно меньше другого, что дает возможность рассчитывать оболочки с тонкими инородными включениями, оболочки с «вырождающейся» областью, позволяет моделировать различные граничные условия;

- введение поправочного коэффициента при расчете толстых оболочек позволяет уточнять решение и получать решения для довольно толстых оболочек.

1. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. -288 с.

2. Агапов В. П. Четырехугольный многослойный конечный элемент для расчета пластинок и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - Т. 1. - С. 74 - 76.

3. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем/ А. П. Филин, О. Д. Тананайко, И. М. Чернева, М. А. Шварц. Л.: Стройиздат, 1983. - 232 с.

4. Алфуров Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

5. Алфуров Н. А., Попов Б. Г. Использование операторных матриц для расчета трехслойных цилиндрических оболочек, подкрепленных шпангоутами // Известия АН СССР. МТТ. 1977. - №3. -С. 74-80.

6. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.: Наука, 1974.-448 с.

7. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987.-360 с. 3

8. Амиро И. Я., Заруцкий В. А. Методы расчета оболочек. Теория ребристых оболочек. Т.2. К.: Наукова Думка, 1980. - 368 с.

9. Амиро И. Я., Заруцкий В. А., Паламарчук В. Г. Динамика ребристых оболочек. К.: Наукова Думка, 1983. - 204 с.

10. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1987. - №5. - С. 37 - 42.

11. Андрианов И. В., Лесничая В. А., Маневич Л. И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985.-224 с.

12. Артюхин Ю. П., Грибов А. П. Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казань: Фэн, 2002. - 199 с.

13. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Некоторые контактные задачи теории тонких пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 10. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1973. - С. 159 -166

14. Баженов В. Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсном воздействии // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем. -Горький, 1981. — С.57-66.

15. Баженов В. Г., Чекмарев Д.Т. Вариационно-разностные схемы в нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек. Монография. Нижний Новгород, 1992. - 159 с.

16. Бакулин В.Н. Метод конечных элементов для исследования напряженно-деформированного состояния трехслойных цилиндрических оболочек. М.: ЦНТИ Информации, 1985. - 140 с.

17. Бакулин В.Н., Рассоха А.А. Метод конечных элементов и голографнческая интерферометрия в механике композитов. М.: Машиностроение, 1987. - 312 с.

18. Бандурин Н. Г., Николаев А. П. К расчету сочлененных оболочек с помощью четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 // Расчеты на прочность. Вып.21. М.: Машиностроение, 1981. - С. 225-236.

19. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

20. Бахвалов Н. С. Численные методы. Т.1. М.: Наука, 1975.632 с.

21. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 496 с.

22. Бережной Д. В. Искривленный конечный элемент пластин и оболочек средней толщины с учетом обжатия // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Казань , 1996,т2.-С. 203-206.

23. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. М.: Физматгиз, 1959. - 464 с.

24. Бидерман В. JI. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.

25. Биргер И.А. Контактные задачи теории стержней, пластин и оболочек // Труды IX Конференции по теории оболочек и пластин. JI., 1975.-С. 23-25.

26. Болотин В. В. К теории слоистых плит // Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, № 3. С. 65 - 72.

27. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

28. Бреббия К., Теллес Ж., Броубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. - 524 с

29. Бреббия К., Уокер С. Применение граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. - 248 с.

30. Бунаков В. И., Корсаков С. Д., Рогалевич В. В. Решение линейных задач изгиба пластин сложного очертания в плане методом переопределенной граничной коллокации // Исследования пространственных конструкций: Межвуз. сб. Вып.5. Свердловск, 1985. -С. 63-72.

31. Бурман З.И., Аксенов О.М., Лукашенко В.И., Тимофеев М.Т. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек. М.: Машиностроение, 1982. - 256 с.

32. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

33. Быков Е.В., Попов Б.Г. Треугольный конечный элемент многослойной оболочки // Известия вузов. Машиностроение. 1984. -Т.10.-С. 14-17.

34. Вайнберг Д.Б. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Будивельник, 1973. - 488 с.

35. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. - 542 с.

36. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Соловьев С.С. Построение и тестирование изопараметрического четырехугольного конечногоэлемента для расчета непологих оболочек средней и малой толщины // Известия вузов. Авиационная техника. 1989. - Т. 1. - С. 17-21.

37. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 288 с.

38. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа, 1978. - 198 с.

39. Влайко Г.Г., Шевченко С.Н. Влияние формы поперечного сечения на напряженно-деформированное состояние некруговых цилиндрических оболочек // Прикладная механика. 1988. - Т. 24. -№3. - С. 117-119.

40. Власов В. 3. Общая теория оболочек и её приложение в технике. Гостехиздат, 1949. - 784 с.

41. Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. М.: Госстройиздат, 1958. - 502 с.

42. Волков А. Н. Расчет толстостенных полых цилиндров. М.: Наука, 1972.-172 с.

43. Волков Ю.А., Постнов В.А. Определение напряженно-деформированного состояния лопастей сложной геометрии с использованием метода конечных элементов // Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Казань, 1990. - С. 486 -491.

44. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Госиздат физ. - мат. лит-ры, 1963. - 880 с.

45. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1972.-432 с.

46. Вольмир А. С., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур. М.: Машиностроение, 1989. - 248 с.

47. Воробьев Ю. С., Шорр Б. Ф. Теория закрученных стержней. -К.: Наукова Думка, 1983. 186 с.

48. Габбасов Р.Ф., Уваров Н.Б. Расчет косоугольных плит и коробчатых конструкций с использованием разностных уравнений МПА // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1983, № 3. - С. 43 -46.

49. Гаврюшин С.С. Численное моделирование и анализ процессов нелинейного деформирования гибких оболочек // Механика твердого тела. 1994.- №1. - С. 109 - 119.

50. Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1975. 328 с.

51. Галимов К. 3. О некоторых направлениях развития механики деформируемого твердого тела в Казани // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 14. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1979. -С.14-82

52. Галимов К. 3. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. - 210 с.

53. Галимов К. 3., Паймушин В. Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1985. - 208 с.

54. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984.-428 с.

55. Ганиев Н. С. Применение метода наименьших квадратов к нелинейной задаче изгиба круглой пластины постоянной и переменной толщины // Исследования по теории оболочек. Вып. 6-7. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1970. - С. 207 - 212.

56. Гарифуллин М. Ф., Селин И. С. Численный метод решения задачи динамики оболочек // Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. Куйбышев: Куйбышев, авиац. ин-т, 1983.-С. 74-78.

57. Гаянов Ф.Ф. Расчет гибких оболочек с ребрами и малыми изломами // Прикладная механика. 1993. - Т. 29. - №8. - С. 32 - 37.

58. Гинесин J1. Ю., Назарова М. М. Треугольный конечный элемент для расчета тонких оболочек// Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек. Ч. II. Таллин, 1983. - С. 13-17.

59. Голованов А. И. Исследование явления потери точности при расчете тонких пластин сдвиговыми конечными элементами // Известия вузов. Математика. 1989. - Т. 8. - С.21- 27.

60. Голованов А. И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Способы построения // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Ниж. Новгород, 1991. - С. 58 - 65.

61. Голованов А. И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Классификация и основные требования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов. Горький, 1990. - С. 89 - 96.

62. Голованов А. И. Расчет составных оболочек произвольной геометрии // Проблемы механики оболочек. Калинин, 1988. - С. 33 -40.

63. Голованов А. И. Расчет трубчатых соединений как составных оболочек // Известия вузов. Авиационная техника. 1992. - Т. 2. - С. 83 -85.

64. Голованов А. И. Универсальный конечный элемент тонкой оболочки // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 25.-Казань:, 1990.-С. 66-83.

65. Голованов А. И., Бережной Д. В. Метод конечных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: «ДАС», 2001. -300 с.

66. Голованов А. И., Корнишин М. С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань: Казане, физ.-техн. ин-т, 1989.-270 с.

67. Голованов А. И., Красновский И.Ю. Расчет композитных оболочек на основе гипотезы Тимошенко и метода конечных элементов // Прикладная механика. 1992. - Т. 28. - №8. - С. 53-57.

68. Голованов А. И., Песошин А. В., Тюленева О. Н. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций. Казань: Казанский государственный ун-т, 2005.-442 с.

69. Гольденвейзер A. JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.-512 с.

70. Гоцуляк Е. А., Паймушин В. Н., Пемсинг К. Расчет фрагмента оболочки вращения с неканоническим очертанием контура // Статика и динамика оболочек: Труды семинара. Вып. 12. Казань, Казане, физ.-тех. ин-т КФАН СССР, 1979. - С. 69-79.

71. Госуляк Е. А., Киричук А. А. Об устойчивости переходных процессов в оболочках сложной формы // Прикладная механика. 1988. -Т. 24.- №6.-С. 48-55.

72. Гребень Е.С. О деформациях и равновесии подкрепленных ребрами тонких оболочек // Известия АН СССР. МТТ. 1969. - №5. - С. 106-114.

73. Грибова В. В., Онищук О. В. Решение задач об изгибе пластин модифицированным методом Треффца // Труды Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 1 Казань , 1990. - С. 506 -510.

74. Григолюк Э. И., Коган Ф. А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикладная механика. 1972. - Т. 8. - № 6. -С. 3-17.

75. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Многослойные армированные оболочки. М.: Машиностроение, 1988. - 288 с.

76. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Наука, 1973. - 180 с.

77. Григоренко Я. М. Решение задач теории оболочек методами численного анализа // Прикладная механика. 1984. - Т. 20. - №10. - С. 3-22.

78. Григоренко Я. М., Беренов М. Н. О численном решении задач статики пологих оболочек на основе сплайн коллокации // Прикладная механика. - 1988. - Т. 24. - №5. - С. 32 - 38.

79. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Методы расчета оболочек. Теория оболочек переменной жесткости. Т. 4. К.: Наукова Думка, 1981. - 544 с.

80. Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. К.: Наукова Думка, 1987. - 216 с.

81. Григоренко Я. М., Крюков Н. Н. Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. К.: Наукова Думка, 1988. - 264 с.

82. Григоренко Я. М., Мукоед А. П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1979. - 280 с.

83. Григоренко Я. М., Савула Я. Г., Муха И. С. Линейные и нелинейные задачи упругого деформирования оболочек сложной формы и методы их численного решения // Прикладная механика. 2000. - Т. 36.-№8.-С. 3-26.

84. Григоренко Я. М., Тимонин А. М. Численное решение краевых задач механики оболочек сложной геометрии с использованием координатных систем общего вида // Прикладная механика. 1992. - Т. 28.-№7.-С. 50-56.

85. Грин Б., Джонс Р., Маклей Р. Обобщенные вариационные принципы в методе конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1969. - Т. 7, Т 7. - С. 47 - 55.

86. Гузь А. Н., Немиш Ю. Н. Методы возмущения в пространственных задачах теории упругости. Киев: Вища школа, 1982. -252 с.

87. Гурьянов Н.Г. Об изгибе пологой оболочки, состоящей из двух слоев, склеенных между собой // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 20. Казань: КГУ, 1990. - С. 140 - 150.

88. Дудченко А. А., Лурье С. А., Образцов И. Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники.

89. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ. - 1983. - Т. 15.-С. 3-68.

90. Жигалко Ю.П., Дмитриева JI.M. Динамика ребристых пластин и оболочек (обзор) // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 13. Казань: КГУ, 1978. - С.З -30.

91. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Известия АН СССР. МТТ. 1970. - №4. - С. 150 - 162.

92. Заволина А. Г. Применение метода множителей Лагранжа к расчету частот и форм колебаний пластин сложной конфигурации // Известия вузов. Машиностроение. 1987. - № 7. - С. 13-17.

93. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.

94. Заруцкий В.А. Теория и методы определения напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек // Прикладная механика. 2000. - Т. 36. - № 10. - С. 3 - 29.

95. Заруцкий В.А. К расчету ребристых цилиндрических оболочек, подверженных действую произвольных нагрузок // Прикладная механика. 1966. - Т. 2. - № 4. - С. 17 - 25.

96. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.-511 с.

97. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. - 318 с.

98. Иванов В.А. Трехмерная задача теории упругости для толстостенного цилиндра конечной длины // Прикладная механика. -1970.-Т. 6, №9. -с. 10-15.

99. Капустин С.А. Исследование процессов упругопластического разрушения оболочек на основе МКЭ. Труды XV Всесоюзнойконференции по теории оболочек и пластин. Казань, 1990. - С. 438 -443.

100. Каюк Я. Ф. Некоторые вопросы методов разложения по параметру. К.: Наукова Думка, 1980. - 167 с.

101. Каюмов Р.А., Нежданов P.O., Тазюков Б.Ф. Определение характеристик волокнистых композиционных материалов методами идентификации. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2005. - 258 с.

102. Климанов В. И., Тимашев С. А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. -219 с.

103. Колдунов В.А., Лейцин В.Н., Пономарев С.В. Некоторые численные методы механики деформируемого твердого тела. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1987. - 148 с.

104. Колтунов М. А., Васильев Ю. Н., Черных В. А. Упругость и прочность цилиндрических тел. -М.: Высшая школа, 1975. 526 с.

105. Композиционные материалы: Справочник / В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др. Под общей редакцией В.В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. -М.: Машиностроение, 1990. 512 с.

106. Коноплев Ю. Г., Голованов А. И., Красновский И. Ю., Бережной Д. В. Численное исследование НДС элементов турбомашин // Газовые турбины теория, конструирование, производство, эксплуатация. Материалы международного семинара. - Казань, 1990. -С. 52-61.

107. Коноплев Ю. Г., Шалабанов А. К. Метод голографической интерферометрии в задачах о действии локальных нагрузок на пластины и оболочки // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 12. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1976. С. 27 - 37.

108. Коноплев Ю. Г., Шишкин А. Г. Свободные колебания пластин и оболочек, ослабленные вырезами или опертых в точках // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 14. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1979. - С. 82 - 99.

109. Коноплев Ю. Г., Шалабанов А. К. Голографическая интерферометрия и фототехника. Казань, 1990. - 100 с.

110. Копытко М. Ф., Муха И. С., Савула Я. Г. Задачи статики и динамики для оболочек сложной геометрии // Труды XIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Таллинн, 1983. - С. 66 -71.

111. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960.-287 с.

112. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М: Наука, 1978. - 832 с.

113. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

114. Корнишин М. С. Применение метода коллокаций к решению некоторых линейных и нелинейных задач теории пластин // Известия КФАН СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук. 1960. - №14.

115. Корнишин М. С., Паймушин В. Н. К вопросу о параметризации срединной поверхности пластин и оболочек со сложной границей // Прочность и устойчивость оболочек: Тр. семинара. Вып. 9. -Казань, Казане, физ.-тех. ин-т КФАН СССР, 1977. С. 17-25.

116. Корнишин М. С., Паймушин В. Н., Снигирев В. Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989.-208 с.

117. Корнишин М. С., Паймушин В. Н., Фирсов В. А. К решению двумерных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1980. Вып.60. С. 70 - 79.

118. Корнишин М. С., Паймушин В. Н., Якупов Н. М. К расчету гибких двухсвязных пластин сложного очертания // Прочность, устойчивость и' колебания тонкостенных и монолитных авиационных конструкций. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1980. С. 48 - 52.

119. Корнишин М. С., Петухов Н. П. К расчету на изгиб гибких пластин и пологих панелей со сложным очертанием контура методомблочной итерации // Труды семинара по теории оболочек. Вып. VI. -Казань, Казане, физ.-тех. ин-т, 1975. С. 34-39.

120. Корнишин М.С., Савинов В.И. Расчет гибких составных тонкостенных конструкций методом суперэлементов // Труды семинара по теории оболочек. Вып. XIX. Казань, Казане, физ.-тех. ин-т, 1986. -С. 94-102.

121. Корнишин М. С., Файзуллина М. А. Большие прогибы и устойчивость пластин и пологих оболочек неканонической формы в плане // Труды XIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Таллинн, 1983. - С. 194 - 199.

122. Корнишин М. С., Якупов Н. М. Сплайновый вариант метода конечных элементов для расчета оболочек сложной геометрии// Прикладная механика. 1987. - Т. 23, № 3. - С. 38-44.

123. Корнишин М. С., Якупов Н. М. К расчету оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта МКЭ // Прикладная механика. 1989. - Т. 25, Т 8. - С. 53 -60.

124. Косицын С. Б. К расчету тонкостенных оболочечных систем методом конечных элементов // Численные методы решения задач строительной механики транспортных сооружений. 1990. - Вып. 27. -С. 25-32.

125. Космодамианский А. С., Шалдырван В. А. Толстые многосвязные пластины. К.: Наукова думка, 1978. - 240 с.

126. Крауч Ч., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

127. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1976.

128. Крысько В. А., Соколов С. С. К вопросу о решении задач теории упругости для областей, произвольных в плане // Устойчивость пластин и оболочек: Межвузовский сборник Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. - С.73-75.

129. Крысько В. А., Шагивалеев К.Ф. Расчет пространственной системы, состоящей из двух замкнутых цилиндрических оболочек // Труды XXI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. -Саратов, 2005.-С. 136- 145.

130. Кулагин С.В. Расчет слоистых композитных оболочек МКЭ // Проблемы динамики и прочности машиностроительных конструкций. -Казань, 1990.-С. 68-83.

131. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. - 306 с.

132. Куранов Б.А., Кончаков Н.И., Игнатьева И.В. Расчет составных конструктивно-анизотропных оболочек // Расчеты на прочность. Вып. 22. М.: Машиностроение, 1981. - С. 247 - 256.

133. Лагундаридзе Г. О., Мяченков В. И. Расчет конструктивно анизотропных оболочек методом конечных элементов // Расчеты на прочность. Вып. 30.-М.: Машиностроение, 1989.-С. 182-201.

134. Лихман В.В., Копысицкая Л.Н., Муратов В.М. Концентрация напряжений в резервуарах с локальными несовершенствами формы // Химическое и нефтяное машиностроение, 1992, № 6. С. 22 - 24.

135. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1955. 454 с.

136. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат, 1947. - с.

137. Максименко В.П., Ковальчук Н.В. Напряженно-деформированное состояние дискретно подкрепленных оболочек под действием продольных и поперечных нагрузок // Прикладная механика. 1989.-Т. 25, №2. - С. 50-57.

138. Манухин В. А., Постнов В. А. Расчет пространственных пластинчатых систем // Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 1 Казань, 1991. - С. 545 - 550.

139. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.-456 с.

140. Марчук Г. И., Агашков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

141. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений/ В.А. Постнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, А.А. Родионов. JL: Судостроение, 1979. 288 с.

142. Методы расчета оболочек. В 5 т.: Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями. Т. 1. / А. Н. Гузь, И. С. Чернышенко, Вал. Н. Чехов, Вик. Н. Чехов. К.: Наукова Думка, 1980. - 636 с.

143. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 512 с.

144. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966.-430 с.

145. Митряйкин В. И., Паймушин В. Н. Применение метода возмущений при теоретико-экспериментальном исследовании механики оболочек и пластин, имеющих сложный контур // Известия АН СССР. МТТ. 1990. - №4. - С. 105 - 112.

146. Муха И. С., Савула Я. Г., Шинкаренко Г. А. К расчету трубчатых оболочек с произвольной криволинейной осью //

147. Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып.ЗЗ. Киев, 1981-С. 71 - 74.

148. Москаленко В. Н., Новичков Ю. Н. Изгиб толстых многослойных оболочек // Механика твердого тела, 1968, № 3. С. 149 -153.

149. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругости оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 432 с.

150. Мяченков В. И., Григорьев И. В. Расчет составных обол очечных конструкций на ЭВМ. Справочник. М.: Машиностроение, 1981. - 216 с.

151. Мяченков В. И., Мальцев В. П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение, 1984.-280 с.

152. Нелинейная аэроупругость тонкостенных конструкций / А. В. Кармишин, Э. Д. Скурлатов, В. Г. Старцев, В. А. Фельдштейн. М.: Машиностроение, 1982. - 240 с.

153. Немировский Ю. В., Резников Б. С. Прочность элементов конструкций их композитных материалов. Новосибирск: Наука, 1986. -165 с.

154. Немиш Ю. Н., Блошко Н. М. Напряженное состояние упругих цилиндров с выточками. К.: Наукова Думка, 1987. - 176 с.

155. Николаев А. П., Бандурин Н. Г. К определению напряжений в зоне пересечения непологих оболочек методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. - Т. 4. - С. 18 -20.

156. Николаев А. П., Бандурин Н. Г. К расчету оболочек методом конечного элемента // Строительная механика и расчет сооружений. -1980.-Т. 5.-С, 21-25.

157. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. JL: Судпромгиз, 1951.-344с.

158. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 260 с.

159. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

160. Образцов И. Ф. Вариационные методы расчета пространственных конструкций. М.: Машиностроение, 1966. - 190 с.

161. Образцов И. Ф., Савельев JI.M., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.

162. Огибалов П. М., Колтунов М.А. Оболочки и пластинки. М.: Изд-во Московского ун-та, 1969. - 695 с.

163. Олсон М. Д. Исследование произвольных оболочек с помощью пологих оболочечных элементов// Тонкостенные оболочечные конструкции. Теория, эксперимент, проектирование. М.: Машиностроение, 1980. - С. 409-437.

164. Паймушин В. Н. Вариационная формулировка задач сопряжения составных пологих оболочек // Актуальные проблемы механики оболочек. Межвузовский сборник Казань: КАИ, 1985. - С. 77-85.

165. Паймушин В. Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел // ДАН СССР. 1983. - Т.273, Т 5. - С. 1083 - 1086.

166. Паймушин В. Н. К задаче параметризации срединной поверхности оболочек сложной геометрии // Прочность и надежность сложных систем. К.: Наукова Думка, 1979. - С. 26 -33.

167. Паймушин В. Н. Некоторые задачи статики незамкнутых оболочек сложной формы и об одном методе их численного решения // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань: Казан, авиац. ин-т, 1979. С. 67 - 74.

168. Паймушин В. Н. Нелинейная теория тонких оболочек сложной формы, пологих относительно поверхности отсчета // Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып.ЗЗ. Киев, 1978. -С. 66-70.

169. Паймушин В. Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета // Прикладная математика и механика. 1978,42, №4. - С. 762-772.

170. Паймушин В. Н., Андреев С. В. К численному исследованию напряженно-деформированного состояния однослойных и трехслойных оболочек сложной геометрии // Прикладная механика. 1983. - Т. 19, №7. -С. 24-30.

171. Паймушин В. Н., Петрушенко Ю. Я. К вариационным методам в теории оболочек сложной геометрии с приложениями к задачам сопряжения составных оболочек. Труды семинара. Вып. 17. Ч.

172. Казань, Казанский физико - техн. ин-т КФАН СССР, 1984. - С. 4 -19.

173. Паймушин В. Н., Сайтов И.Х., Рахманкулов Н.У. Обобщенные схемы решения задач статики теории оболочек типа Тимошенко интегрально-проекционным методом // Проблемы механики оболочек. Сборник научных статей. Калинин, 1988.-С. 103-110.

174. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. К.: Наукова Думка, 1973. - 248 с.

175. Пелех Б.Л., Лазько В А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. К.: Наукова Думка, 1982. -296 с.

176. Пелех Б.Л., Марчук М.В. Метод конечных элементов при решении краевых задач для анизотропных пластин из композитных материалов // Механика композитных материалов. 1983. - Т.1. - С. 71 -79.

177. Перелыгин О.А., Серазутдинов М.Н., Зайнуллин Р.Х., Фокин Д.А. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами формы // Казань: Вестник Каз. гос. технол. ун-та, 1999, № 1-2. С. 44 - 46.

178. Петрушенко Ю.Я. Вариационный метод исследования прочности, устойчивости и динамической реакции пространственных конструкций, составленных из слоистых оболочек сложной геометрии // Прикладные проблемы механики оболочек. Казань, 1989. - С. 76 -84.

179. Петрушенко Ю.Я., Инородцев Н.А. Вариационный метод исследования свободных колебаний многослойных оболочек сложной геометрии // Теория и методы исследования пластин и оболочексложной формы: Межвузовский сборник. Казань, 1987. - С. 61 -66.

180. Петухов Н. П. К расчету на изгиб пластин со сложным очертанием контура // Тр. семинара по теории оболочек. Вып. V. -Казань, Казане, физ.-тех. ин-т КФАН СССР, 1974. С. 30-34.

181. Пикуль В. В. Современное состояние и перспективы развития теории оболочек // Сборник докладов XIX Международной конференции «Механика оболочек и пластин». Нижний Новгород, 2002. - С. 5 - 8.

182. Пикуль В. В. Теория и расчет оболочек вращения. М.: Наука, 1982.- 158 с.

183. Пикуль В. В. Теория и расчет сложных конструкций. М.: Наука, 1985.- 183 с.

184. Пикуль В. В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.: Наука, 1985.- 182 с.

185. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1981. 344 с.

186. Подстригач Я. С., Швец Р. Н. Термоупругость тонких оболочек. К.: Наукова Думка, 1978. - 343 с.

187. Положий Г. Н. Численное решение двумерных и трехмерных задач математической физики и функции дискретного аргумента. К.: Изд-во Киевск. ун-та, 1962. - 163 с.

188. Пономарев С.Д., Бидерман B.JI. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Т.2 -М.: Машгиз, 1958. 974 с.

189. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций. JL: Судостроение, 1977. - 280 с.

190. Постнов В. А., Тарануха Н. А. Метод модуль-элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1990.

191. Постнов В. А., Трубачев М. И. Новая модель изопараметрического конечного элемента для расчета оболочек сложной геометрии // Известия РАН. МТТ. 1995. - №1. - С. 141-146.

192. Постнов В. А., Трубачев М. И. Параметризация криволинейной поверхности методом конечных элементов // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. М.: Товарищ, науч. изд. КМК. - 1995. - Вып. 55. - С. 104 - 112.

193. Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. - 344 с.

194. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трех томах. Т. 1. М.: Машиностроение, 1968. - 832 с.

195. Рвачев В. JI. Методы алгебры логики в математической физике. К.: Наукова Думка, 1974. - 343 с.

196. Рвачев В. JI. Теория R-функций и некоторые её приложения. -К.: Наукова Думка, 1982. 552 с.

197. Рвачев В. JL, Курпа JI. В., Склепус Н. Г. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. К.: Наукова Думка, 1973. - 122 с.

198. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. - 590 с.

199. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

200. Рогалевич В. В. Метод переопределенной внутренней коллокации в задачах прочности, устойчивости и колебаний пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1982. №5. -С. 33 -38.

201. Рогалевич В. В. Метод коллокации в задачах динамики и устойчивости пластин и пологих оболочек // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1984. - №5. - С. 39 - 42.

202. Рогалевич В. В. Решение краевых задач теории пластин и оболочек методом коллокации. Обзор // Прочность и устойчивость оболочек: Труды семинара. Вып. 13. Казань, Казане, физ.-тех. ин-т КФАН СССР, 1980. - С. 5 - 20.

203. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики. -М.: Машиностроение, 1980.-240 с.

204. Розин JI. А. Стержневые системы как системы конечных элементов. JL: Изд-во ЛГУ, 1976. - 232 с.

205. Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. - 223 с.

206. Савинов В.И. К расчету гибких ребристых пластин и оболочек методом конечных элементов // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 15. - Казань, Казане, физ.-тех. ин-т КФАН СССР, 1982.-С. 171 -181.

207. Савула Я. Г. Новые ортогональные криволинейные координаты // Вестн. Львовск. Ун-та. Сер. Механика и математика. -1978. Вып.13. С. 85-90.

208. Савула Я. Г. Представление срединных поверхностей оболочек резными поверхностями // Прикладная механика. 1984. - Т. 20,№12. -С. 70-75.

209. Савула Я. Г., Флейшман Н. П. Расчет и оптимизация оболочек с резными срединными поверхностями. Львов: Вища школа, 1989. -170 с.

210. Сайтов И.Х., Рахманкулов Н.У. Интегрально-проекционный метод построения сеточных схем для решения двумерных линейных краевых задач теории оболочек // Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 1 Казань, 1991. - С. 556 - 562.

211. Санков Е. И. Некоторые вопросы динамики произвольных оболочек // Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. - С. 184 — 189.

212. Сахаров А. С. Моментная схема конечных элементов МСКЭ с учетом жестких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений. Вып.24. Киев, 1974. - С. 147 - 156.

213. Сахаров А. С., Киричевский В. В., Кислоокий В. Н. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища школа, 1982.-480 с.

214. Сахаров А. С., Соловей Н. А. Исследование сходимости метода конечных элементов в задачах пластин и оболочек //

215. Пространственные конструкции зданий и сооружений. Вып. 3. М.: Стройиздат, 1977. С. 10 - 15.

216. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 6 7. - Казань: Изд-во Казанского унта, 1970. -С.391 -433.

217. Саченков А.В., Шалабанов А.К. Исследования свободных колебаний секторных пластин и конических панелей теоретико-экспериментальным методом // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 9. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1972. - С.339 -345.

218. Саченков А.В., Коноплев Ю.Г., Шишкин А.Г. Свободные колебания пластин на точечных опорах // Прикладная механика. . -1975.-Т. 11, №5. С. 62 - 68.

219. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1982.-392 с.

220. Светлицкий В. А. Механика стержней. Часть I. М.: Высшая школа, 1987.-320 с.

221. Светлицкий В. А. Механика стержней. Часть II. М.: Высшая школа, 1987.-304 с.

222. Серазутдинов М. Н. Метод расчета оболочек неканонической формы // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 21. Часть I. - Казань, Казанский физ.-тех. ин-т КФАН СССР, 1988. - С. 6470.

223. Серазутдинов М. Н. Метод расчета элементов конструкций в виде оболочки // Известия вузов. Машиностроение. 1989. - №10. - С. 6 -10.

224. Серазутдинов М.Н. О методе построения аппроксимирующих функций в задачах расчета пластин и оболочек сложной формы // Теория и численные методы расчета пластин и оболочек: Труды Всесоюзного Совещания-семинара в Тбилиси. Т. 2. С. 294 - 304.

225. Серазутдинов М. Н., Недорезов О. А. Метод и результаты расчета статики и динамики оболочек, с использованием соотношений теории пластин // Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 1 Казань, 1990. - С. 70 - 77.

226. Серазутдинов М.Н., Недорезов О.А. Об аппроксимации срединной поверхности оболочки // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 25. - Казань, Казане, физ.-тех. ин-т КФАН СССР, 1990.-С, 97- 102.

227. Серазутдинов М. Н., Хайруллин Ф. С. Метод расчета криволинейных стержней // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1991. - №5. - С. 104 - 108.

228. Скворцов Ю. В., Хазанов X. С. Нелинейный анализ произвольных оболочечных конструкций с использованием криволинейного изопараметрического элемента // Известия вузов. Авиационная техника. 1989. - № 2. - С. 15-19.

229. Скопинский В. Н. Анализ применимости теории тонких оболочек к расчету пересекающихся цилиндрических оболочек // Известия вузов. Машиностроение. 1989. - №2. - С. 12 - 15.

230. Смирнов В. А. Расчет пластин сложного очертания. М.: Стройиздат, 1978.-303 с.

231. Смирнов В. А. Экспериментальное исследование вынужденных колебаний круглой пластины методом голографическойинтерферометрии // Известия вузов. Машиностроение. 1984. - №2. - С. 19-25.

232. Смирнов В. А., Нанасов М.П. О вынужденных колебаниях круглых пластин с поясами жесткости // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1986. - №9. - С.82 - 85.

233. Снигирев В. Ф. Вычисление параметров срединной поверхности оболочки методами сплайн функций // Актуальные проблемы механики оболочек. Казань: КАИ, 1985. - С. 113 - 121.

234. Снигирев В.Ф. Применение функциональных сплайнов для построения поверхностей летательных аппаратов // Известия вузов. Авиационная техника. 1984. - № 4. - С. 77 - 80.

235. Снигирев В.Ф. Численное решение задачи параметризации для оболочек // Пластичность и устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Калинин: Калинин, гос. ун-т, 1984. -С. 102-109.

236. Соловьев С.С. Конечно-элементная модель многослойной оболочки с анизотропными слоями переменной толщины // Известия вузов. Авиационная техника. Казань, 1989, № 4. - С. 71 - 75.

237. Справочник по строительной механике корабля: 3 т. JI.: Судостроение, 1982. Т. 1 -376 с.

238. Статика анизотропных толстостенных оболочек / Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Киев: Вища школа, 1985. -192 с.

239. Столяров Н.Н. Несимметричные задачи упругопластического изгиба гибких пологих оболочек и пластин переменной жесткости // Прочность и устойчивость оболочек: Тр. семинара. Вып. 13. Казань, Казане, физ.-тех. ин-т КФАН СССР, 1980. - С. 47-58.

240. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М.: Мир, 1977.-350 с.

241. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы // А.В. Александров, Б.Я. Лащенков, Н.Н. Шапошников. Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

242. Сулейманова М.М. К расчету гибких непологих оболочек различного типа методом конечных элементов // Прикладная механика. 1984. -Т. 20, № 1. -С. 72-78.

243. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига/ Под редакцией К.З. Галимова. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. - 212 с.

244. Терегулов И.Г. Изгиб и устойчивость пластин и оболочек при ползучести. М.: Наука, 1969. - 206 с.

245. Терегулов И.Г. К вариационным методам в нелинейной теории упругости // ДАН СССР. 1962. - 142, №3. - С.

246. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.-808 с.

247. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. - 636 с.

248. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. М.: Мир, 1976.-672 с. .

249. Ткачишин В.И., Флейшман Н.П. Условия сопряжения оболочек и стержней типа Тимошенко // Доклады АН УССР. Сер. А. -1987. -№Ц.-С. 55-58.

250. Турчак ЛИ. Основы численных методов. М.: Наука, 1987.320 с.

251. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1986. - 212 с.

252. Улитко А.Ф. Напряженное состояние полой сферы, загруженной осесимметричными силами // Прикладная механика. -1968.-Т. 4, №5. -С. 38-45.

253. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М,: Наука, 1979.-560 с.

254. Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов. -Киев: Бущвельник, 1970.- 308 с.

255. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. В 3 т. М.: Наука, 1978, т.2. - 616 с.

256. Филин А. П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987.-384 с.

257. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1982.-304 с.

258. Хайруллин Ф. С. Об одном подходе к расчету пластин сложной формы // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы: Межвузовский сборник Набережные Челны, 1990. - С. 112117.

259. Хайруллин Ф. С. О методе расчета составных пластинчатых конструкций // Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 1 Казань, 1991. - С. 573 - 578.

260. Хайруллин Ф. С. О методе расчета составных тонкостенных конструкций // Известия вузов. Машиностроение. 1992, № 1 - 3. - С. 20 -23.

261. Хайруллин Ф. С. О численной реализации одного метода расчета тонкостенных конструкций // Расчет пластин и оболочек В химическом машиностроении. Межвузовский сборник научных трудов. Казань: КГТУ, 1993. - С. 81 - 85.

262. Хайруллин Ф. С. О некоторых особенностях реализации одного метода расчета тонкостенных конструкций // Труды XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород, 1994. - С. 242 - 246.

263. Хайруллин Ф. С. Об одном методе расчета тонкостенных конструкций сложной формы в плане // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 2. Казань , 1996. - С. 203 - 206.

264. Хайруллин Ф. С. Метод расчета тонких оболочек сложной формы // Известия РАН. Механика твердого тела. 1998, № 3. - С. 30 -33.

265. Хайруллин Ф. С. О расчете оболочечно-стержневых конструкций // Сборник докладов XIX Международной конференции «Механика оболочек и пластин». Нижний Новгород, 1999. - С. 196 -200.

266. Хайруллин Ф. С. О методе расчета рамно-оболочечных конструкций // Труды XI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 4.1. Самара, 2001. - С. 188 -191.

267. Хайруллин Ф. С. О расчете тонких оболочек с ребрами жесткости // Труды XII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 4.1. Самара, 2002. - С. 190 - 193.

268. Хайруллин Ф. С. О расчете трехслойных оболочек с очень мягким заполнителем // Сборник докладов XIX Международной конференции «Механика оболочек и пластин». Нижний Новгород, 2002. - С. 304 - 308.

269. Хайруллин Ф. С. Метод расчета стержневых конструкций, несущих тонкостенные перекрытия // Известия вузов. Строительство. -2002, № 1-2.-С. 76- 80.

270. Хайруллин Ф. С., Серазутдинов М. Н. О расчете тонкостенных конструкций с дефектами как оболочек сложной формы // Проектирование и исследование технических систем. Вып. 1: Межвузовский сборник. Набережные Челны, 2002. - С. 17- 20.

271. Хайруллин Ф. С. О построении аппроксимирующих функций для граничных линий оболочек сложной формы // Труды XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 4.1. Самара, 2003. - С. 210 - 212.

272. Хайруллин Ф. С. Об одном методе расчета толстых оболочек // Сборник трудов XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». -Казань, 2005.-С. 27-28.

273. Хайруллин Ф. С. Об использовании теории оболочек типа Тимошенко для расчета толстых оболочек // Известия вузов. Авиационная техника. Казань, 2005, № 3. - С. 67 - 69.

274. Хайруллин Ф. С., Серазутдинов М. Н. Метод параметризации срединной поверхности тонкостенного элемента конструкции. // Известия вузов. Авиационная техника. Казань, 2006, №4. - С. 14-16.

275. Хечумов Р. А., Кепплер X., Прокофьев В. Н. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд-во АСВ, 1994.-351 с. '

276. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Ч. И. Л.: Изд. Ленинградского ун-та, 1964. - 396 с.

277. Шалабанов А.К. Определение перемещений в оболочках разнообразной геометрии методом голографии // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 18. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1985.-С. 130-151.

278. Шапошников Н.П., Волков А.С. Расчет пластинок и коробчатых конструкций методом конечных элементов // Исследования по теории сооружений. Вып.22. -М.: Стройиздат, 1976. С. 134-146.

279. Шулькин Ю. Б. Теория упругих стержневых конструкций. -М.: Наука, 1984.-272 с.

280. Эдельман (Adelman В.М.), Казаринес (Catherines D.S.), Уолтон (Walton W.C.). Точность вычисления напряжений методомконечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - №3. -С. 102- 103.

281. Якупов Н. М. Об одном методе расчета оболочек сложной формы // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. XVII. Часть И. - Казань, 1984. - С. 4-17.

282. Якупов Н. М. О некоторых работах по расчету оболочек сложной геометрии // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. XXV. - Казань, 1990. - С. 43-55.

283. Якупов Н. М. Суперэлемент сплайнового варианта МКЭ для расчета составных оболочек сложной геометрии // Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. Вып. XIX. Часть I. - Казань, 1986.-С. 80-93.

284. Якупов Н.М., Бакирова А.З. К расчету подкрепленных оболочек сложной геометрии // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы: Межвузовский сборник Набережные Челны, 1990.- С. 118-123.

285. Якупов Н. М., Серазутдинов М. Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии. Казань, 1993. -206 с.

286. Ashwell D. G. Strain elements, with application to arches, ring and cylindrical shells // Finite Element for Thin Shells and Curved Members. -New York, 1976.-Ch. 6.-P.91 111.

287. Ashwell D. G., Sabir A. B. A new cylindrical shell finite elements based on simple independent strain function // International Journal of Mechanical Sciences. 1972. - V. 14.-№3.-P. 171-183.

288. Bonnes G., Dhatt G., Giroux Y. M., Robichand L. P. A Curved triangular elements for the analysis of shells // Proceeding of the 2nd

289. Conference on Matrix Method in Structural Mechanics/ Wright-Paterson A.F.B., 1968.-P. 617-639.

290. Clebsch A. Theorie der Elasticitat fester Korper. Leipzig, 1986. - 160 p.

291. Connor J., Brebbia C. A stiffness matrix for shallow rectangular shell element // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. -1967,- V. 93, № 5. P. 43 - 65.

292. Cowpep G. R., Lindberg G. M., Olson M. D. A shallow shell finite element of triangular shape // International Journal of Solids and Structures. 1970. - V. 6. - №8. - P. 1133 - 1156.

293. Dawe D. J. High-order triangular finite element for shells analysis // International Journal of Solids and Structures. 1975. - V. 11 - № 10. - P. 1097- 1110.

294. Finite element for thin shells and curved members // Ed. Ashwell D. G., Gallagher R. H. London, 1976. - 262 p.

295. Fried I. Shear in C(0) and C(I) bending finite elements // International Journal of Solids and Structures. 1973. - V. 9 - № 4. - P. 449 -460.

296. Gallager R.H. The development and evaluation of matrix methods for then shell structural analusis. New York, 1966.

297. Haas D.J., Lee S.W. A nine-node assumed-strain finite element for composite plates and shells // Computers and Structures. 1987. - V.26. -№3.-P. 445-452.

298. Haldar S., Manna M.C., Sheikh A.H. Static analysis isotropic thick/thin skew plates by finite element method // Int. J. Appl. Mech. and Eng. 2003. - 8. - №2. -P. 245 - 254.

299. Hossain S.J., Sinha P.K., Sheikh A.H. A finite element formulation for the analysis of laminated composite shells // Computers and Structures. 2004. - V. 82. - № 20 - 21. - P. 1623 - 163 8.

300. Hrobok M.M., Hrudeu T.M. A review and catalogue of plate bending finite elements // Computers and Structures. 1984. - V. 19. - № 3. -P. 479-495.

301. Hughes T.J.R., Taylor R.L., Kanoknukulchai W.A. A simple and efficient finite element for plate bending // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1977. - V. 11. - № 10. - P. 1529 -1543.

302. Kanok-Nukulchai W. A simple and efficient finite element for general shell analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering.- 1979.-V. 14.-№2.-P. 179-200.

303. Kikuchi F. On the validity of an approximation available in the finite element shell analysis // Computers and Structures. 1975. V.5. - № 1. -P. 1-8.

304. Lee C.W. A three-dimensional solution for simply thick rectangular plates. Nuclear Engineering and Design. - 1967. - V. 6. - №2. -P. 155 - 162.

305. Lochner N. Die Anwendung des Schalenelements SHEBA // Finite Elem. Statik. e. a. 1973. - P. 353 - 372.

306. Long Zhi-fei, Liu Xue-lin. Zhongguo kuangue daxue xuebao // J. China Univ. Mining and Technol. 2005. - V. 34. - №1. - P. 67 - 70.

307. Mohr G.A. Application of penalty factor to a double curved quadratic shell element // Computers and Structures. 1981. - V. 14. - № 1-2. -P. 15-19.

308. Mohr G.A. Numerically integrated triangular element for double curved thin shells // Computers and Structures. 1980. V.l 1. - № 6. - P. 565 -571.

309. Morley L.S.D. Bending of bilinear quadrilateral shell elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984. - V. 20. -№ 8. - P. 1373- 1378.

310. Narita Y. Free vibration analysis of ortotropic elliptical plates resting on arbitrarily distributed point supports // International Journal of Sound and Vibration. 1986. - V. 108. - № 1. - P. 1 - 10.

311. Narita Y. The effect of point constraints on transverse vibration of cantilever plates // International Journal of Sound and Vibration. 1985. - V. 102.-№3.-P. 305-313.

312. Panda S., Natarajan R. Finite element analysis of laminated composite plates // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1979. - V. 14. - № 1. - P. 69 - 79.

313. Parisch H. A. A critical survey of the 9-node degenerated shell element with special emphasis on thin shell application and reduced integration // Computer Method in Applied Mechanics and Engineering. -1979. V. 20. - № 3. - P. 323 - 350.

314. Pawsey S. F., Clough R. W. Improved numerical integration of thick shell elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1971. - V. 3. -№4. - P. 575 - 586.

315. Preissner E.C., Vinson J.R. Application of theorem of minimum potential energy to a complex structure. Pt. 2. Three-dimensional analysis // International Journal Solids and Structures. 2003. - V. 40. - № 5. - P. 1109 -1137.

316. Reinsh C.H. Smoothing by spline functions // Numerishe Mathematik. 1967, 10, №4. - S. 177 - 183.

317. Reinsh C.H. Smoothing by spline functions 2 // Numerishe Mathematik. 1971, 16, №5. - S. 451 - 454.

318. Reissner E. Effect of transverse shear deformation on bending of elastic plates. Journal Appl. Mech., Trans. ASME. - 1945. V. 12. - №2. - P. A69 - A77.

319. Stolarski H., Belytschko Т., Lee S.W. A Review of Shell Finite Elements and Corotational Theories // Сотр. Mech. Advan. 1995, 2. - P. 125-212.

320. Sugiyama Y., Sekiya T. Approcimate analisis of buckling of plates having arbitrary shape by point-matching method // Proc. 19th. Net. Congr. Appll. Mech., 1969. Tokyo, 1970. - P. 59 -63.

321. Surana K.S., Sorem R.M. Higher-order completely hierarchical p-approximation curved shell elements for elastostatic analysis of laminated composite plates and shells // Composite Material Technology. New York, 1990.-P. 273-286.

322. Thomas G.R., Gallagher R.H. A triangular element based on generalized potential energy concept // Finite Element for Thin Shells and Curved Members. New York, 1976. - Ch. 9. - P. 155 - 169.

323. Wempner G. A., Talaslidis D., Hwang С. M. A simple and efficient approximation of shells via finite quadrilateral elements // Journal of Applied Mechanics.- 1985.-V. 49. № 1.-P. 115 - 120.

324. Zienkiewicz О. C., Taylor R. L., Too J. M. Reduced integration technique in general analysis of plates and shells // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1971. - V. 3. - №2. - P. 275 - 290.