Статика и динамика тонкостенных элементов конструкций сложной геометрии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

КАОАНСКИИ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

СЕРАЗУГДИНОВ Мурат Нуриевич

УЛЧ 539.3

СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого

твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физ;шо- математических наук

КАЗАНЬ - 1991

Работа выполнена на кафедре динамики и прочности автомобильных конструкций Камского политехнического института

Официальные оппоненты:

доктор технических наук,профессор В.А. Крысько;

доктор физико-математических наук.профессор В. II. Паймушин;

доктор физико-математических наук,профессор Г. И. Пшеничнов.

Ведущая организация - Львовский Государственный

университет им. И.Франко

Защита состоится 1932г. ь

на заседании специализированного совета Д. 053.29.01 по эацч-те диссертаций на соискание ученой степени доктора фиэшсо--математическпх наук по механике при Казанском Государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина

С420008, г. Казань,ул. Ленина, 18).

С диссертацией могло ознакомится в научной библиотеке КГУ им. 1!. И. Лобачевского.

Автореферат разослан '_'______199 2 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

' голованов

.."■.м-."'!::] ■

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В диссертации приводятся результаты исследований по развитию математических моделей статического и динамического деформирования тонкостенных элементов конструкций. Представлены исследования, связанные с развитием и применением численных методов в расчетах пластин и оболочек. Основная часть работы ориентирована на развитие методов и моделей, предназначенных для расчета тонкостенных элементов сложной формы, имеющих сложную конфигурацию границы и срединную поверхность, которая не описывается простым аналитическим выражением. Значительное внимание уделено учету различных конструктивных особенностей, связанных с усилением конструкции ребрами жесткости, о наличием отверстий, упругих прокладок, локальных упругих опор. При выполнении работы сделана ориентация на создание методов и алгоритмов расчета пластин и оболочек, которые основаны на простых соотношениях, требуют минимальной информации о геометрии исследуемых объектов .

Актуальность рассмотренных вопросов определяется потребностями проектирования конструкций с учетом различных особенностей, а также логикой развития теории оболочек и методов расчета. В настоящее время продолжается интенсивное развитие и поиск методов расчета, которые отличаются простотой в реализации, обладают необходимой универсальностью и эффективны.

Целью диссертационной работы является развитие математических методов моделирования и исследования статического и динамического деформирования тонкостенных элементов конструкций сложной геометрии, с учетом различных консруктивных особенностей, создание и использование экономичных, универсальных методов расчета, основанных на простых соотношениях, позволяющих снижать затраты времени при реализации алгоритмов на ЭВМ и при подготовке исходных данных.

Научную новизну работы составляют следующие результаты.

Разработан вариационный метод расчета статики и динамики

ребристых оболочек и криволинейных стержней, отличительная особенность и новизна которого заключается в том, что для вычисления компонент деформации получаются простые соотношения, а для описания геометрии расчитываемых элементов конструкций требуется информации меньше, чем в классических теориях оболочек и стержней.

Развит алгоритм построения одномерной и двумерной функций, аппроксимирующих со сглаживанием дискретно заданные функции.

Предложены и использованы в расчетах методы построения систем координатных функций, удовлетворяющих заданным условиям на линиях различной формы. В том числе, получил развитие известный метод использования уравнения контура области; предложен новый метод построения численно-аналитических функций, в котором используется сочетание аналитических и конечно-разностных функций; разработан метод проведения расчетов и получения аппроксимирующих функций, основанный на сочетании вариационного метода и метода граничных элементов.

Получены модели упругих опор, закрепляющих оболочку в точках или по линии, описывающие деформирование прокладок из сжимаемого и несжимаемого материалов.

Разработана итерационная схема решения задач теории пластин и оболочек, оригинальность которой заключается в том, что итерационные параметры выбираются в виде численно-аналитических функций, а не в виде констант, как это обычно делается.

Совокупность представленных исследований квалифицируется как развитие перспективного научного направления в механике деформируемого твердого тела.

Достоверность полученных результатов подтверждается математическим обоснованием некоторых основных разделов исследований, использованием для расчетов строгих математических методов, в сочетании с проверкой правильности их реализации на ЭВМ, многочисленными сравнениями результатов расчеты с известными теоретическими и экспериментальными данными.

Практичную ценность составляют представленные в диссертации вариационный метод расчета тонкостенных элементов конструкций и стержневых систем, алгоритмы построения аппрокси-

мирующих функций, математические модели упругих опор, итерационная схема решения задач теории пластин и оболочек. Созданные на основе этих разработок программы для ЭВМ; результаты исследований по вопросам влияния различных факторов и особенностей на статические и динамические характеристики деформируемых тонкостенных элементов.

Некоторые из разработанных программ внедрены в заинтери-сованных организациях, что потверждено соответствующими актами. Часть работы, связанная с расчетом криволинейных стержней и стержневых систем, внедрена в учебный процесс, по данной теме опубликовано две методических разработки.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

- вариационный метод расчета статики и динамики ребристых оболочек и криволинейных стержней, основанный на численном интегрировании при вычислении вариации функционалов и на использовании для компонент деформации простых соотношений теории пластин и теории прямолинейных стержней;

- методы построения систем координатных функций, удовлетворяющих заданным условиям в точках и на линиях различной формы;

- алгоритмы построения на основе сглаживающего полинома одномерной я двумерной функции, аппроксимирующей дискретно заданную функцию;

- модели упругих опор, закрепляющих оболочку в точках или по линии;

- алгоритмы построения итерационных методов с применением формул ускорения сходимости и с использованием з качестве итерационных параметров численно-аналитических функций;

- представленные в диссертации результаты решения статических и динамических задач.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Республиканской научно- технической конференции "Механика сплошных сред" (Набережные Челны, 1982 г.3;

на Всесоюзных конференциях "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" СМосква,

- б -

1983 г.; Казань, 1988 г.);

на Всесоюзном совещании- семинаре "Теория и численные методы расчета пластин и оболочек" СТбилис-и, 1984 г.);

на Всесоюзных школах молодых ученых и специалистов "Актуальные проблемы механики оболочек" С Казань, 1985 г. ; Казань, 1988 г.);

на Всесоюзных научно- технических совещаниях "Динамика и прочность автомобиля" (Москва, 1985 г.; Москва, 1988);

на Республиканской научно- технической конференции " Механика машиностроения" СБрежнев, 1987 г.);

на Всесоюзной научно технической конференции "Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и технических средств обучения" (Куйбышев, 1989 г.);

на Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1990 г.);

на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1983 г. , 1986 г.);

на итоговых научных конференциях Казанского инженерно -строительного института (1982- 1984 гг.);

на научном семинаре по теории оболочек Казанского физико- технического института КФАН СССР, под руководством профессора Корнишина М.С. (1984 г., 1987 г.);

на научном семинаре "Строительная механика конструкций" под руководством профессора Новичкова Ю. Н. (Москва,1987г.);

на научно- технических конференциях КамПИ- КамАЗ (19811990 гг.);

В целом диссертация докладывалась и получила одобрение на семинаре кафедры, теоретической механики и лаборатории механики оболочек НИИ математики и механики Казанского государственного университета: на семинаре кафедры прикладной математики Львовского государственного университета; на семинаре по механике твердого деформируемого тела под руководством член-корреспондента АН СССР Э.И.ГРИГОЛЮКА (Москва); на семинаре кафедры сопротивления материалов Казанского авиационного института; на семинаре кафедры прикладной математики Саратовского политехнического института; на семинаре кафедры сопротивления материалов Казанского инженерно-строительного инсти-

тута.

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 21 статье автора.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка, включающего 343 наименования. Изложена на 308 страницах машинописного текста, содержит 57 таблиц и 72 рисунка.

Диссертационная работа выполнена на кафедре динамики и прочности автомобильных конструкции Камского политехнического института. Выполнялась в соответствии с планом научно-исследовательских работ института, в частности, в соответстви с темой "Механика тонкостенных конструкций при статических и динамических нагружениях" СИ гос. регистрации 01.85.0019437).

Автор считает своим долгом с благодарностью отметить большую роль заслуженного деятеля науки и техники ТАССР и РСФСР, профессора Корнишина М.С. в формировани его научного мировозрения и темы диссертационной работы.

Автор также считает своим долгом выразить благодарность профессору Артюхину Ю. П. , общение и работа с которым определило ряд конкретных направлений исследований в этой диссертации, способствовало прояснению многих научных вопросов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов. Со ссылками на публикации академиков А.Н.Гузя, В.В.Новожилова, Г.В.Новожилова, И.Ф.Образцова, А.А. Самарского, Г.П. Свищева и на работы известных ученых определяется место диссертационной работы среди актуальных научных исследований в механике твердого тела. Отмечается следующее.

В общем случае, при расчете оболочек сложной формы компоненты тензора деформации определяются достаточно сложными соотношениями и содержат производные до третьего порядка от радиуса вектора поверхности приведения. Если геометрия оболочки описывается достаточно просто, то на указанные особенности можно не обращать особого внимания. В тех случаях, ког-

да оболочка имеет сложную форму и информация о ее геометрии задается дискретно', возникает ряд проблем. При практической реализации алгоритмов на ЭВМ естественным является стремление использовать простые соотношения, поэтому можно считать актуальными исследования по разработке методов расчета оболочек сложной геометрии на основе простых соотношений, с использованием минимальной информации о геометрии сболочки. В целом, в теории оболочек многие разделы достаточно полно исследованы, установлены погрешности и пределы применимости различных теорий. Следовательно, при разработке новых методов расчета желательно сохранить основные положения различных теорий оболочек, касающихся, в частности, кинематических гипотез и допущений.

Учитывая, что стержневые системы - объекты более простые, чем тонколенные конструкции, можно для их расчетов ограничиться уже имеющимися разработками. Однако, при исследовании совместного деформирования криволинейного стержня й оболочки , сложной геометрии требуется использовать сочетание теории оболочек и теории стержней, поэтому возникают такие же проблемы, :сак и для неподкрепленных оболочек сложной формы. Естественным является также стремление использовать простые соотношения как при изложении теории криволинейных стержней, так и при их расчете. Исходя из этого, можно считать целесообразным и актуальным разработку методов расчета криволинейных стержней с использованием простых соотношений.

В настоящее время выходит много публикаций, посвященных вопросу построения систем координатных функций для областей сложной формы. По разным причинам этот вопрос нельзя считать решенным. Исходя из этого, можно считать актуальным создание и развитие методов построения аппроксимирующих функций, удовлетворяющих заданным условиям на линиях контура области сложной формы.

В тех случаях, когда оболочка имеет сложную форму, информация о ее геометрии часто задается дискретно и для расчета оболочки необходимо предварительно решить задачу параметризации, т. е. по данным о радиусе- векторе г .заданным в точках, необходимо построить аппроксимирующую г Функция.

Эта задача не является простой, т. к. в классической теории оболочек, ь общем случае, используются производные от г до третьего порядка включительно, значения которых необходимо вычислять с высокой точностью. На точность вычисления г и производных от г влияют многие факторы, в том числе, используемый алгоритм аппроксимации, количество и точность задания входной информации. Анализ научной литературы и опыт практического использования некоторых из известных методов построения аппроксимирующих функций позволяет сделать следующее заключение. В настоящее время являются актуальными исследования вопросов аппроксимации поверхностей по дискретно заданной информации, создание алгоритмов, позволяющих при небольшой входной инфорации получать данные о радиусе- векторе поверхности и о его производных с требуемой точностью.

Часто определение НДС конструкций сводится к решению систем уравнений. Значительное распространение получили итера-циные методы решения, позволяющие по простым алгоритмам, с использованием небольшой памяти ЗВМ получать решения систем алгебраических уравнений большого порядка. Во многих случаях недостаточно ясными являются вопросы оптимального выбора итерационных параметров и процедур ускорения сходимости. Следовательно, являются актуальными исследования по созданию эффективных алгоритмов итерационных методов решения краевых задач и систем алгебраических уравнений.

В целом , в диссертации представлены результаты исследований по моделировании статического и динамического деформирования пластик и оболочек с учетом различных особенностей, представлены результаты, связанные с развитием и применением численных методов.

В этих областях механики деформируемого твердого тела проведено и проводится достаточно много исследований. Во введении представлен обзор работ по теме диссертации.

Отмечается, что в теории оболочек имеются фундаментальные работы, в том числе и монографии Э. Л. Аксельрада, В.Л. Би-дермана, И. А.Биргера, В.В.Болотина, Ю.Н.Новичкова, В.З.Власова, А.С.Вольмира, К. 3. Галимова, В. К. Паймушина, А. Л. Гольденвейзера, Э. И. Григолюка, П, П. Чуякоза, Л. М. Григоренко, Л. Т. Ва-

силенко, В.И.Гуляева, В.А.Баженова, П. П. Лизунова, А. Н. Гузя, И.С. Чернышенко, Вал.Н.Чехова, Вик. Н. Чехова, X. М. Муштари,

B.В.Новожилова, П. Л. Пелеха, Я.С.Подстригача, Р. Н.Швеца, Г.И.Пшеничного, В.Г.Рекача, С Н. Кривошапко, И.Г.Терегулова,

C.П.Тимошенко,С. Войновского-Кригера, А.П. Филина, К. Ф. Черных. Часто появляются публикации известных ученых,посвященных

уточнению, дополнению и разработке некоторых разделов теории оболочек.В частности, к. этим работам можно отнести публикации В.В. Васильева, А. С. Лурье, М. С. Танеевой, Э. И. Григолюка, Г. М. Куликова, В. В. Пикуля.

С появлением вычислительной техники интенсивно развиваются численные методы. Известны исследования по расчету оболочек численными методами А.В.Александрова, Б. Я. Лащенкова, Н.Н.Шапошникова, В.Г.Баженова, Д.В.Вайнберга, Н. С.Ганиева, А.С.Вольмкра, А.С.Гоцуляка, Э. И. Григолюка, В. И. Шалашилина, Я.М. Григоренко, А.П. Мукоеда, Б.Я. Каьгора, С.А.Капустина,

A. В. Кармишина, И. А. Колесника, М. С. Корнишина, В.А.Крыско,,

B. И. Мяченкова, И. В. Григорьева, В.В. Петрова, Б.И. Победри, В.В.Рогалевича, Н.Н.Столярова и многих других.

Среди работ, посвященных расчету элементов конструкций сложной геометрии,, отмечаются публикации Артюхина Ю. П. , Бублика Б.Н., Вечцеля Э. С., Реряжского Ю. В. , Гавели С. П. , Грибова А.П. .Григолюка Э. И. .Голованова А. И. ,Гуэя А.Н..Гуляева В. И. , Каюка Я.Ф. .Кокоплева D. Г. .Коренева Б.Г..Корнишина М.С..Кулакова В.М., Куликова Г.М. ,Курлы Л. В. ,Немиша Ю. Н. .Онишука 0. В. , Образцова И. Ф. , Онанова Р. М. , Паймушика В.Н.. Петухсва Н.П. , Попова Я.Г., Рвачева В. Л. , Саченкова A.B.. Смирнова В. А. , Савулы Я. Г. , Окнепуоа Н. Г. , Толкачева В. М., Шалабанова А.К. , Шишкина А. Г..Флейшмана Н. П., Файзуллиьий H.A., Якупова Н. М..

Подчеркивается, что в настоящее время значительное распространение получили вариационные методы. Приводятся ссылки на работы Аоовского Н. П. , Андреева Н. П., Деруги А. П., Васид-зу К. ,Паймушина ß.H. ,Петрушенко 10. Я. , Терегулова И. Г. , и др. , в которых приводятся результаты фундаментальных исследований в вариационных методах и их применение в расчетах.

Отмечается,что значительные результаты ь расчетах криволинейных стершей, ребристых оболочек, элементов конструкций

с различными особенностями и подкреплениями получили Ами-ро И.Я, Воробьев Ю. С. , Дмитриева Л. М. , Жигалко Ю. П. , Заруц-кий В.А., Иванов В.А., Климанов В.И., Паламарчук В.Г., Ре-вуцкий В. Н. , Розин Л. А. , Сахаров А.С., Слезингер И. Н. , Свет-лицкий В.А., Тананайко О.Д. , Толок В.А., Филин А. П., Фир-сов В.А., Чернева И. М. , Шварц М.А., Шулькин Ю. Б. и др.

Отмечается, ряд исседований в МКЭ и МГЭ.

В первой главе излагается вариационный метод расчета деформируемых конструкций, который может использоваться в сочетании с численным интегрированием при записи условия стационарности функционалов. Особенность метода состоит в том, что при сохранении основных гипотез используемой теории оболочек или теории стержней, для вычисления компонент деформаций получаются простые соотношения, а для описания геометрии элемента конструкции необходимо задание только радиуса- вектора срединной поверхности оболочки или продольной оси стержня и его первых производных.

Исходным является условие принципа Гамильтона-Остроград-

ского

I,

/ СйК - <5П + б'Ю с11 =0. (1)

I

Здесь

К = К + К + К + К, П = П + П + П + Г1+П + П

о г р т огрЬ1 г

С2)

б'У = б'У + б'У + б'У, ,

Ч с Ь

К , К , К , К - соответственно, кинетическая энергия

о г р т е

оболочки, подкрепляющих ребер, упругих прокладок между оболочкой и ребром, сосредоточенных масс; По , Пг , Пр потенциальные энергии деформации оболочки, подкрепляющих ребер и упругих прокладок; Г^- слагаемое, учитывающее деформацию и воздействие на оболочку локальных опор; П . П ~ слагаемые, учитывающие упругое закрепление оболочки по контуру; б'У , б'У , <5'V/ — работа внешних сил.

Вводится система координат х'хгх3 так, чтобы между координатами х1 , х2 и точками срединной поверхности оболочки

было взаимно-однозначное соответствие.

Положение любой точки оболочки и других деформируемых элементов определяется координатами х1, хг, ( , где ? - координата .отсчитываемая по нормали к П. В этом случае слагаемые входящие в С2) могут быть представлены в следующем виде;

К = Г / К Сх' ,х2ЗбП; П = Г Г П Сх1 ,х2)сЮ;

О »1 Л у ' » О •!•/() ' '

п п

6'М = X X <5'У/*(х' ,хг)сЮ; Кг = 2 X

4 п„ 4 1г/

Ч ' г1

пг = 2 X Кр = 2 X Пр = £ X ПрСБЭбБ; СЗЭ

1 г?! Р 1 гР1Р Р 1

1 1 х у,. '

П2 = I X Й 6'Чс- I X ¿'>£(5)65; б'\= I б'^Сх} ,хр.

1 Гг1 * Гс 1

Используется численное интегрирование. При этом условие 1), с учетом С2),(3), записывается следующим образом;

I 1 л

о

+ I КЧк> - ^гЧк^К + I КЧк3 ' ^рЧ^К -к к

к к 1 + + + ^'ВД.хр^ = о.

к

,1 ,.г

В условии С4) х|,х* - координаты узлов интегрирования, при интегрировании по двумерной области; множители, зависящие от используемой квадратурной формулы и от формы областей

а , пч; эгк, врк, 51к,5гк, эск - координаты узлов, при интегрировании по контурам; - множители,зависящие от используемой квадратурной формулы при интегрировании по контуру.

При расчете стержневых систем в условии (4) следует убрать слагаемые, связанные с оболочкой, прокладками и т.д.

Как видно из (4), при его использовании необходимо вычислять в заданных точках значения вариаций потенциальной и кинетической энергий деформируемых элементов, работу внешних сил. Очевидно, что трудоемкость этих вычислений, а следовательно, трудоемкость получения решения, будут зависеть от того, насколько сложными будут выражения, входящие в (4) и от того, какой сложности вопросы нужно предварительно решить.

Б диссертации предложен метод решения задач теории оболочек и стержневых систем, который основан на предельно простых выражениях для компонент тензора деформации, а также позволяет существенно упростить задачу параметризации средней поверхности оболочки и описание геометрии продольной оси стержня.С использованием этого метода можно рассчитывать оболочки, у которых вектор срединной поверхности описывается функцией класса С1 , т. е. по сравнению с классической теорией оболочек расширяется класс решаемых задач.

Обоснование метода делается с использованием основных методических приемов теории пологих оболочек Маргузра. В соответствии с этой теорией, для пологой оболочки.срединная поверхность которой описывается уравнением т. - 2Сх,у) СРис. 1), при учете сдвигов,условий тонкости и пологости, компоненты де-деформации определяются следующими выражениями:

ди ду 51 дУ1 ду ду 51 да

е = — + 5 —х +--, с - — + £ —у +--,

* дх дх дх дх у ду ду ду ду

ди ду г ду ду ^ 51 д^ 51 дч

у = _ + _ + $[_* + —У] +--+--, (5)

ху ду дх К ду дх } дх ду ду дх

до дг ди 51 ду дч 51 дл 51 ду

~ дх + ** дх дх ду дх ' ~ ду ^ дх ду ду ду '

Чтобы убрать ограничение, связанное с пологостью поверхности 2Чх,у~), предлагается следующее. Кроме системы кооринат Ох1 хг вводится глобальная декартова система координат 0ху2 СРис.1) с ортами , , £ . в которой определяется вектор перемещения точек срединной поверхности оболочки П:

II = иСх1 ,хг)Г + уСх1 ,х2)Т + й(х' ,хг)!с .

о ; I

Рис. *

Также определяется касательный к П вектор поворотов: у = Сх1 ,хг3т + й Сх1 ,хг?т ,

г гх , ту г

где т , т - орты ортогональной системы координат, выбранной на поверхности П.

Для вычисления деформаций в точке оболочки, имеющей координаты х|, х2, ? предлагается следующее. В точке срединной поверхности 0, соответствующей точке С х*, х2), вводится локальная декартова система координат Охуг с осью Ог, перпендикулярной к П (рис. 1, б). При таком выборе системы координат Охуг в окрестности начала координат справедливы соотноше-

61 д1

кия (5),а точке 0 — =0, — =0. Получается,что для вы-

<Эх ду

числения деформаций в любой точке можно ввести локальную де-картову систему координат и использовать простейшие соотноше-

ния теории пластин.

Вектор перемещения в локальной системе координат

-{и.у, у/}-1, связан с вектором перемещения -{0^ {и, V, определенным в глобальной системе координат, зависимостью

т = [Аицо> ,

где СЛи3-матрица направляющих косинусов.

Аналогичная зависимость имеет место и для поворотов:

М = [А^ну* . Здесь ^И^. Уу^-

Используется закон Гука. Напряжения и другие величины, также вычисляются в локальной системе координат Охуг.

Достоинства метода заключаются в следующем:

1. Для вычисления деформаций и напряжений используются простые соотношения, которые обычно применяются при расчете пластин.

2. Геометрия срединной поверхности оболочки определяется направляющими косинусами локальной системы координат. Вследствии этого, для проведения расчетов нужно иметь значения только первых производных от радиуса-вектора срединной поверхности.

Такой же результат получен и при учете гипотез Кирхгофа-Лява.

Показано, что для стержней малой кривизны, определяя векторы перемещения и углов поворота в глобальной декартовой системе координат, можно вычислять деформации и напряжения в локальной декартовой системе координат по соотношении, которые обычно применяются при расчете прямолинейных стержней. Это справедливо как при учете сдвигов,так и при использовании гипотез Бернулли.

Получен результат, аналогичный результату для оболочек:

1. Компоненты деформации стержня в локальной системе координат можно вычислять по простейшим формулам, обычно ис-

пользуемым для расчета прямолинейных стержней

2. При расчетах, для описания геометрии продольной криволинейной оси стержня, необходимо иметь только значения направляющих косинусов локальной системы координат.

Представлены соотношения для слагаемых, входящих в (4). Описаны особенности метода. Приводится описание алгоритмов решения задач'статики и динамики.

Во второй главе описываются модели упругих опорных элементов, с использованием которых часто осуществляется закрепление тонкостенных конструкций. Приводятся модель опоры, которую можно считать локально-соединенной с конструкцией в точке; модель деформируемой опоры, закрепляющей пластину или оболочку по линии; модели упругих узких прокладок из трансверсально мягкого и несжимаемых материалов. Для описания НДС пластин и оболочек используются теория типа Тимошенко и теория, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява.

Рассмотрен случай закрепления оболочки на деформируемой опоре, которая может быть представлена в виде прямолинейного стержня .один конец которого защемлен,а другой соединяется с оболочкой жестко, либо с помощью шарового шарнира в точке О* Для учета таких опор использован следующий подход.

Вводится система координат 0*x*y*z* так,чтобы ось 0*z* была направлена вдоль оси стержня. Перпендикулярным к оси стержня сечением стержень мысленно отделяется от оболочки. Воздействие разделенных частей конструкции друг на друга за- • заменим силами Q*. О*, Q* и моментами М*, М*. М*.

у. у z z г z

С использованием принцип суперпозиции, показано, что для защемленного на одном конце стержня, в соответствии с формулами сопротивления материалов, перемещения u*, v*. w* и углы поворота р*, <р*, р* сечения стержня в точке 0* связаны с силами Q*, Q*, Q^ и моментами И*, t<f, М* соотношениями:

Q* = К и* + С <р* , Q* = К v* + С р* , Q* Л / ,

X X х гу у у у rX Z Z

м! = к v* .+ С р* , М* = К и* + С р* , М* = К р* .

Л IX IX rX у i у »у у 2 I 2 2

Здесь Кх ,К ,...,К, z - коэффициенты, зависящие от механичес-

ких и геометрических характеристик опор.

Таким образом, воздействие локальной опоры на оболочку

заменяется силами и моментами Q*, Q*, Q*, M*, M*, М* , кох у z х у z

торые зависят от перемещений, сдвигов оболочки в точке соединения с локальной опорой. Следовательно, слагаемое <5Г£, учитывающее деформацию локальной опоры , может быть представлено как работа указанных сил на возможных перемещениях:

бП*Сх! ,xf,h*) = Q*<5u*+ Q*dv*+ QW+ M*6ç*

Ъ 1 1 X y Z X rx

C6)

+ M*6ç* + Vl*6<p* .

y ry z z

Перемещения u*, v*, w*'h углы поворота ¡p*. p*, ç* сечения стержня,выражаются через перемещения,повороты оболочки и зависят от принятых кинематических гипотез.

Представлена модель уругой опоры,закрепляющей оболочку по линии.Предполагается, что закрепление можно моделировать набором стержней с некоторыми геометрическими и механическими характеристиками. Используется такая же методика, как и в случае моделирования локальной опоры. Для dnCs^) получается выражение вида (б).

Рассмотрены случаи, когда оболочка закрепляется с использованием упругой прокладки, ширина поперечного сечения которой мала, а боковые грани ненагружены. Вследствие этого полагается, что в прокладке реализуется плоское напряженное состояние.

Модуль упругости прокладки значительно меньше модуля упругости оболочки. Рассмотрены два случая. В первом - материал прокладки является сжимаемым, во втором - несжимаемым, с коэффициентом Пуассона v', величина которого близка к 0.5.

Если материал прокладки является сжимаемым, то прокладка рассматривается как трансверсально мягкий слой и используются результаты хорошо разработанной теории многослойных конструкций. При этом

6П (s . ) = Е'А' «'бе' + G'А' С у' 6у' + у' 6у' ). С7)

2 гк * % z » ' xz ' xz ' yz yz

где Е^, приведенные модули.

Если прокладка сделана из несжимаемого материала,то с использованием равенства нулю объемной деформации получается

6П СБ . ) = 46'А' е'бе' + в'к' С г' ¿Г' +Г' К' Э- С83

2 гк * г х * 'хг ' хг 'ут ' уг

Таким образом, выражение для вариации потенциальной энергии деформации упругой прокладки из несжимаемого материала по форме совпадает с соответствующим выражением С 7), справедливым для трансверсально мягкого слоя. Различаются только множители перед слагаемым, содержащим £^<5г/ .При это различие исчезает. Следовательно,полагая, что для несжимаемого материала Е^ = 40^,можно воспользоваться результатами , полученными для трансверсально-мягкого слоя,

В третьей главе излагаются методы и результаты построения аппроксимирующих функций, используемых для описания геометрии линий и поверхностей, заданных дискретно.

Для построения одномерной функции ГСх), используется усло-ловие стационарности функционала ь N

ФСЮ =Г СГ")=с1х + Т р2 (ГСх ) - 1Г ]2, (9)

■* и *п п п

Л П=1

где а, Ь- координаты границ интервала, на котором определяется аппрксимирующая функция; рп - весовые коэффициенты; -заданные значения функции. Коэффициенты р находятся так,чтобы выполнялось условие 1 м

- У [ ГСх ) - Г }г < ег. до £ П п

п =

Функционал (9) позволяет получить сглаживающую функцию и использовался,в частности, в работах Э.И. Григолюка и Г.М.Куликовым, которые ГСх) представляли в виде сплайна.В диссертации представлены результаты для случая, когда ГСх) выбирается в виде полинома:

к

ГСх) = ^ Скхк-'. СЮ)

к = «

Параметры Ск находятся из условия минимума функционала С9).

Как показывают численные эксперименты, хорошие результаты

получаются, если связать число К членов ряда СЮ) с числом N точек, в которых задаются значения функции. Установлено, что целесообразно полагать К = N. если N <10 и К = 11,если N >10. Такой выбор К позволяет найти ГСх), для которой не выполняются естественные краевые условия функционала (9), а ГСх), Г'Сх), Г"Сх) определяются с достаточной точностью.

Достоинство алгоритма заключается в том, что можно получать достаточно точные результаты, без задания для расчетов краевых значений Г'(а),Г'Св).

На основе одномерной аппроксимации, по известному алгоритму, получается функция, аппроксимирующая поверхность, информация о которой задается дискретно.

Представлен материал по методам построения координатных функций, удовлетворяющих заданным геометрическим условиям на контурах различной формы. Описывается несколько подходов.

Изложен метод построения координатных функций, с использованием уравнения контура области Г . В этом случае, искомая функция в представляется в виде ряда

и(х,у) = \\го(х,у) }> С4 ^Сх.у) , 1

где у/оСх,у)- строго знакопостоянная в П функция, обращающаяся в нуль на Г , имеющая производные первого порядка, равные нулю на тех участках Го, где это необходимо.

Для определения \/о(х,у) используется уравнение контура области. Эта методика известна, математически обоснована и успешно применялась при решении задач теории оболочек. Определенное развитие указанного подхода состоит в том, что в работе область с криволинейными границами,уравнения которых неизвестны, численно отображалась на область каноническую, имеющую простые уравнения границ и эти уравнения границ использовались при построении ио(х,у).

С использованием регионально-структурного метода,основное положение которого заключается в том, что в различных подобластях (регионах) функция имеет различную структуру, построены координатные функции, удовлетворяющие граничным условиям на контуре сложной формы. При этом область определения

решения П разбивается на подобласти По, П1 так, чтобы П1 находилась в окрестности контура, на котором записываются краевые условия.В выбранная система координатных функций доопределяется таким образом,чтобы выполнялись граничные условия. Предлагается два метода.

В первом методе искомая функция представляется так:

и(х,у) = Г°(х,у) I С^Чх.у) + Г°Сх,у). (11)

1

Здесь ^ }■- некоторая полная система функций, С - коэффициенты ряда, подлежащие определению из решения краевой задачи. Г°(х,у) служит для удовлетворения неоднородных краевых условий, а Г°(х,у) - для того, чтобы ряд по системе функций <»> Сх,у1> обращался в нуль на тех линиях, где краевые условия формулируются.

Для построения которые не равны нулю только в

подобласти П .используются функции изопараметрических ' конечных элементов. При этом ограничений, связанны« с формой контура О

не возникает; линия, на которой записываются краевые условия может быть практически любой формы; линии или отрезки линий могут находиться и внутри области П.

Во втором, методе искомая функция представляется виде ряда по некоторой полной системе функций, которые могут не удовлетворять заданным граничным условиям на контуре, но численно доопределяются вблизи контура области так, чтобы эти условия выполнялись. Доопределение функции производится численно на основе конечно-разностных соотношений. Отметим, что функция называется численно-аналитической¡по той причине,что на части области она представлена в виде аналитического выражения, а на другой части области зiaдaнa дискретно. Основное достоинство излагаемой методики состоит в возможности сравнительно просто строить координатные функции, удовлетворяющие сложным краевым условиям на границе области сложной формы.

Искомая функция , представляется в виде ряда

*= 2 С1 'рх^-у^-

С12)

Область П разбивается на подобласти По, П так,чтобы П была областью сравнительно малой ширины Н, граничащей с контуром Г0 (рис. 2,а).

Рис.2

Функции ^Сх.уЗ ряда (123 определяются следующим образом:

^(х.у), х,у 6 0о;

лСх.уЭ = , (13)

1^(х,у), х.у е

Здесь ^(х.у)}- некоторая полная система функций, у* Сх ,у)-функции, которые выбираются так, чтобы ^ (х, у) удовлетворяли краевым условиям.

Полагается, что у*(х,у) являются дискретными функциями и их значения задаются в узлах сетки так, чтобы выполнялись требуемые условия гладкости ^ С х, у) и краевые условия.Указанная сетка выбирается в области П и в ее окрестности таким образом, чтобы можно было по возможности проще, с использованием конечно- разностных соотношений, удовлетворить требуемым условиям на контуре Г0.

Один из возможных вариантов сетки показан на рис.2,6. Сетка выбирается в части области П, вводятся один или два ряда законтурных точек. Число рядов законтурных точек зависит от порядка производной функции и ,в краевых условиях и от используемых формул конечно-разностной аппроксимации произ-

водных V/. В узлах Сх ,у ), отмеченных знаком • (рис. 2,6), полагается у*(х.,у,) = у/(х.,у,3, а в узлах, отмеченных х ,

1 з 3 1 J " J

значения функции у* находятся из краевых условий, записанных в конечно - разностной форме.

Представлена методика построения аппроксимирующих функций с использованием метода граничных элементов. Предлагается представлять искомую функцию и в следующем виде:

и(г) = ¥Сг,С1 ,Сг,... ,(^3 +

(14)

z,C) п -mCOl dsCO,

йп

г <3G(z,t) -,

+ Г GCz,()qC() - -тСШ dscp,

r L /9п J Jo

где; z=x+iy - течки области fl; точки контура ro;q((),

m(() - некоторые функции; G(z,() - фундаментальное решение

бигарминлческого уравнения; F(z,Ct,Сг.....Cj) - некоторая

функция, содержащая неопределенные параметры С.С^,...,^. Можно,в частности, выбрать FCz.C .С.....Cj) в виде ряда:

i

F(z,C,C2.....CI3=^C1^iCz3, (15)

i

Контур области Г0 разобивается на граничные элементы. В пределах каждого элемента q(?3. т(£) аппроксимируются некоторыми функциями и выражаются чере? условные значения q4. п^.

Равенство (14) в этом случае можно записать так:

г!

\vCz3 = Р(г,С ,Сг.....Сх) + £ [чх^(гЗ + т^Сг)].

1 г«

Здесь Г^г), Е^г) - известные функции.

Выражение (16) представляется в следующем виде:

у.'(г) = ,С.....Ст) ч Т X. Н.^),

' 1 2 I £.11

! =1

где

(16)

=

' , ИМ . ш, , 1>М

; Н4 С г) =

' Г, (г), ИМ . Е^г), 1>М

Подставляя выражение С16) в геометрические граничные условия и записывая их по методу коллокации, или с использованием другого метода, получается система уравнений

[АНХГ> + [АаЛХо> + [ДлЦС> = К

где ^ = <Х,.Ха.....<ХС1 = .....Хя|Дт;

{СМС,^,...,^7.

Выразив {Хр}- через К ^С}-, {В^ V, можно записать:

гН

\»Сг) = ?Сг,С ,С .....Ст) + У ХД Сг).

12 I £#12

1 =

Эта Функция удовлетворяет геометрическим граничным условиям и содержит неизвестные параметры С , Х1, которые можно определять с использованием проекционных или вариационных методов. При этом сохраняются основные достоинства МГЭ, связанные с возможностью удовлетворять граничным условиям на линии сложной фомы, а также достоинства ВМ, связанные с их универсальностью при решении задач с различными дифференциальными операторами. Также отметим,что при соответсвующем выборе 6Сг,С), решение исходной задачи может значительно упрощаться, хотя бСг.С) и не будет фундаментальным решением задачи.

Изложен вариационный метод построения функций, удовлетворяющих условиям для Функции и ее производных первого порядка, заданным в точках и на линиях различной формы.

На примерах решения задач изгиба пластин и оболочек со сложной формой в плане показано, что построенные по описанным методам функции являются достаточно универсальными и обладают рядом достоинств.

В четвертой главе представлены результаты расчетов пластин, оболочек. криволинейных стержней V стержневых систем раз-

личной конфигурации.Значительное внимание уделено иллюстрации достоверности расчетов. Приведены многочисленные примеры сравнения численных результатов с данными, полученными другими методами, достоверность которых не вызывает сомнения.

Описанный в первой главе метод применим для расчета статики и динамики оболочек и стержней, оболочек, подкрепленных ребрами. Поэтому рассмотрен каждый из указанных объектов и показана возможность расчета этих элементов конструкций с высокой точностью. Приводятся результаты определения НДС оболочек с учетом сдвигов и на основе гипотезы Кирхгофа- Лява. Описываются результаты моделирования локальных опорных элементов пластин и оболочек, прокладок из сжимаемого и несжимаемого материалов. Представлены данные расчетов частот и Форм собственных колебаний пластин, оболочек, стержней, а также данные о НДС при действии внешней динамической нагрузки.

Отметим,что при построении координатных функций, использованных для аппроксимации перемещений и сдвигов применялись полные полиномы.

С цель» иллюстрации возможностей программы и метода расчета, а также для подтверждения достоверности получаемой информации в различных случаях, правильности работы различных модулей программы, в работе представлены данные расчетов,значительная часть которых сравнивается с имещимися в научной литературе теоретическими и экспериментальными результатами.

Сравнение проведено с результатами, опубликованными или представленными Артохиным Ю. П. ,Ьэреновым М. Н, Гоцуляком Е.А. , Грибовым А. П. , Григоренко Я. М. , Климановым В. И. , Коноплевым Ю. Г., Корнишиным М. С. , Курпой Л. В. , Кухто В.А., Образцовым И. Ф., Паймушинмм В.Н., Петуховнм Н. П., Савельевым Л. М. , Савиновым В. И. .Савулой Я. Г. .Саченковым А.З. , Сахаровым A.C. , Светлицким В.А., Смирновым В. А. , Тимошенко С. П. , Тимаше-вым С. А., Толкачевым В. М. . Шишкиным А. I'. , Файсуллиной М. А. , Фирсовым В.А., Флейшманом Н. П. , Хазановым X. С. , Narita У., Qinghua D. и др.

Приводятся данные решения некоторых новых задач.Сделан анализ влияния различных параметров и условий закрепления на НДС элементов конструкций, на их частоты к формы колебаний.

В пятой главе описаны итерационные методы, использованные для расчета пластин и оболочек методом конечных разностей. Кратко излагаются основные положения выбранного метода нахождения решения по итерационной схеме. Значительное внимание обращено на возможность использования формул ускорения сходимости итерационных процессов.

Для решения краевой задачи,дифференциальное уравнение которой аппроксимируется системой конечно-разностных уравнений,

A w = q, С17)

используется явная двухслойная нестационарная итерационная схема

wk+1 = wk + тк rk, к=0,1,2,... (18)

Здесь гк = А - невязка уравнения; ^тк} - итерационные параметры, которые определяются из условия минимума нормы гк:

Л II А ик+' - ч г = 0.

дтк

Используя известные свойства указанного итерационного процесса., на некоторых итерациях применяются формулы ускорения сходимости:

: / + тк ( / - „к-г ) . (1д)

мк+1 = м к + тк рк + ук д рк . (20)

„к+1 = + тк мк _ (21)

Здесь тк, итерационные параметры, которые определяются из условия минимума нормы невязки системы уравнений (17).

Соотношения (19)-(21), можно представить в общем виде:

w

- tk Fk, (22)

где функция Fk в каждой из указанных формул различна.

Подставив выражение (22) в уравнение (17), получим

тк д р* = _

Из этого уравния видно, что если Ек удовлетворяет уравнению

А Ек = - гк, (23

то положив тк=1 можно определить решение системы уравнений С17) за одну итерацию. Поэтому наряду с формулами (19)-(21), на некоторых итерациях новое приближение вычисляется по формуле (22), в которой берется как приближенное решение системы (23).

Двухслойные итерационные методы вариационного типа обладают отличительной качественной особенностью, заключающейся р том, что скорость сходимости итерационного процесса существенно зависит от начального приближения. С учетом этой особенности, при определении \}к используется последовательное« сгущающихся сеток.

Приводится оригинальная методика построения итерационны* процессов, отличительная особенность которой заключается I том, что итерационные параметры схемы представляются в виде численно-аналитических функций координат х, у, а не в виде констант, как это обычно делается. Очевидно, что если вместе константы тк в формуле С18) использовать функцию тк(х.у), содержащую произвольные параметры, то скорость сходимости итерационного процесса может существенно увеличиться. Использование такого подхода в научной литературе не имеет широкогс распространения. Одна из причин этого заключается в том, чте при этом возникают трудности удовлетворения граничным условиям. При применении описанных во второй главе численно-аналитических функций, таких трудностей не возникает.

В этом случае,вместо (18) следует использовать формулу

№к+1(х,у) = >^к(х,у) + тк(х,у) гк(х,у), к=0,1,2,... (24)

Представляя тк(х,у) в виде ряда с неопределенными коэф-

фициентами Ск

ткСх,у) = 2 Ск р,(х,у), С25) 1 -1

I

ь>к4,Сх,у) = мк(х,у) + ^ С1 С26:>

1 -1

можно записать

I

1 =1

Здесь ГкСх,у) = р4(х,у) г'"Чх,у); \<р{ полная система функций.

Функции ГкСх,у) являются численно-аналитическими и доопределяются по описанной методике численно вблизи контура Г0 таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия.

Для нахождения коэффициентов Ск используется итерационый метод вариационного типа.

Применение описанных процедур и формул ускорения сходимости значительно уменьшает число итераций, необходимых для нахождения решения уравнений С17) и позволяет получать решения задач теории оболочек для областей сложной формы с малыми затратами времени ЭВМ.

Изложенный итерационный процесс используется для расчетов пластин различной формы, цилиндрической оболочки, находящейся на жестком основании, а также многослойного пакета пластин.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1.Представлен вариационный метод расчета статики и динамики ребристых оболочек и криволинейных стержней. Отличительная особенность метода заключается в том, что для вычисления компонент деформаций получаются простые соотношения, а для описания геометрии рассчитываемых элементов конструкций требуется информации меньше, чем в классических теориях оболочек и стержней. Метод базируется на основных гипотезах, принимаемых в теории соолочек и теории стержней. В рамках гипотез теории оболочек и стержней метод является точным. При его использовании, возникающие ошибки будут связаны только с погрешностями реализации вариационных методов.

2.Разработан алгоритм построения одномерной и двумерной

функций, аппроксимирующих дискретно заданные функции.К основным достоинствам этого алгоритма относится следующее:

- для построения аппрскеимируещей функции не требуется задавать значения производных функции на концах интервала аппроксимации, что значительно облегчает подготовку входных данных при расчетах оболочек сложной формы;

- данные о функции и ее производных в узлах и между узлами получаются с одинаковой точностью.

3. Развиты и использованы в расчетах различные методы построения систем координатных функций,удовлетворяющих заданным условиям на линиях различной формы.

Представлен материал по методу получения аппроксимирующих функций с использованием уравнения контура области и отображения исходной области на каноническую.

Описана разработанная методика построения аппроксимирующих функций,основанная на сочетании обычных и финитных функций.

Излагается новый метод построения численно-аналитических координатных фунций, основанный на сочетании аналитических и конечно-разностных функций.

Изложен разработанный метод получения аппроксимирующих функций, основанный на сочетании вариационного метода и МГЭ.

Указанные функции имеют ряд достоинств, являются достаточно универсальными, позволяют удовлетворять различным граничным условиям б точках и на линиях различной формы, при их использовании не возникает явления "ложного сдвига" и "заклинивания", характерного для некоторых расчетов с использованием функций невысокого порядка аппроксимации.

4. Получены модели упругих опор,закрепляющих оболочку в точках или по линии. Представлены соотношения, описывающие деформирование прокладок из сжимаемого и несжимаемого материалов. Использованные модели отличаются простотой описывающих их соотношений и позволяют в различных случаях с достаточной точностью учитывать в расчетах упругость опор.

5. Описываются эффективные итерационные схемы решения задач теории пластин и оболочек и формулы ускорения сходимости итерационных процессов.

С использованием описанного в диссертации метода пост-

роения численно- аналитических функций, излагается оригинальная схема итерационного процесса с параметрами в виде функций, а не в виде константы, как это обычно делается.

6. На основе изложенных в диссертации методов решения задач теории пластин и оболочек составлен пакет программ для ЭВМ, позволяющий расчитывать с высокой точностью элементы конструкций сложной'геометрии с учетом различных особенностей.

7. Составленный пакет программ для ЭВМ позволяет сделать анализ влияния различных геометрических и механических факторов на деформирование элементов конструкций. На основе представленных в диссертации данных расчетов можно сделать, в частности, следующие выводы:

- Геометрия срединной поверхности оболочки должна описываться по возможности точнее, т. к. искажение ее формы оказывает существенное влияние на величину и распределение напряжений в оболочке.

- На собственные колебания тонкостенных элементов существенное влияние оказывают условия их соединения с локальной опорой.

- Закрепление пластины или оболочки в упругую обойму позволяет значительно снизить уровень напряжений.

- При моделировании упругой прокладки важно учитывать свойство несжимаемости материала прокладки.

- На НДС многослойного пакета существенное влияние оказывают условия закрепления каждого из жестких слоев пакета.

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях:

1. Артюхин Ю. П. , Серазутдинов М.Н. О расчете упруго закрепленных пластин различной формы // Строительная механика и расчет сооружений. - 1986. - N 3. - С. 33-36.

2. Артюхин К). П. , Серазутдинов М. Н. , Недорезов 0. Л. Исследование свободных колебаний упруго закрепленных пластин различной формы // Исследование по теории пластин и оболочек. Казань. Иьд-во Казанск. ун-та. 1989. Вып. 21 - С. 142-131.

3. Артюхин Ю. П. , Серазутдинов М. Н. К вопросу расчета многослойных пластин // Исследования по теории пластин и оболо-

чек. Вып. 20. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1990.-С.113-123.

4. Серазутдинов М. Н.0 решении разностных уравнений итерационным методом // Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 15. - Казань, Казанск. физ. -техн. ин-т КФАН СССР. 1982. - С.182-187.

5. Серазутдинов М. Н. О методе построения аппроксимирующих функций в задачах расчета пластин и оболочек сложной формы

// Теория и численные методы расчета пластин и оболочек: Тр.Всесоюзн. совещания-семинара в Тбилиси. Т. 2. С. 294-304

6. Серазутдинов М.Н. Решение задачи об изгибе пластин различной формы на основе численно-аналитического построения координатных функций. М. , 1984. - 24с. - Деп.в ВИНИТИ 21.06.84. N 4856 - 84.

7. Серазутдинов М.Н., Грибов А. П. Расчет тонкостенных элементов констукций с использованием итерационного метода // Известия вузов. Машиностроение. - 1985 - N 3 - С. 6-9.

8. Серазутдинов М. Н. Использование комбинации финитных функций и функций не обладающих конечными носителями в методе Ритца // Прочность и устойчивость оболочек: Тр. семинара. Вып. 19. Ч.I . Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КФАН СССР, 1986. - С. 58- 62.

9. Серазутдинов М.Н. Расчет ребристых упруго закрепленных пластин различной формы // Изв. ВУЗов. Машиностроение. -1986. - N 8. - С.3-7.

10. Серазутдинов М. Н. К методам расчета пологих оболочек со сложной формой контура // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1988. - N 3. - С.144-149.

11. Серазутдинов М.Н., Хайруллин Ф. С. Статика пластин средней толщины с упругими закрепляющими элементами // Прикладные задачи напряженного состояния упругих тел: Межвуз. научн. сб. -Саратов, 1987. -С.106-110.

12. Серазутдинов М. Н. Метод расчета оболочек неканонической формы // Исследования по теории оболочек: Труды семинара. - Вып. 21. ЧастьГ . - Казань. Казанск. физ.-техн. ин-т КФАН СССР. 1988. - С.64-70. •

13. Серазутдинов М.Н., Недореэов 0.А. Вынужденные и собственные колебания ребристых пластин различной формы //

Облегченные металлические и деревянные конструкции. Мжвуз. сб. - Казань, КХТИ им. С.М. Кирова. 1938. - С.75-83.

14. Серазутдинов М. Н. Вариационный метод построения аппроксимирующих функций // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. Изд-во казанск. ун-та. 1990. Вып.21.-С.25-34.

15. Серазутдинов М.Н. Метод расчета элементов конструкций в виде оболочек // Известия вузов. Машиностроение. - 1989.-II 10. - С. 6-10.

16. Серазутдинов М. Н., Недорезов 0. Л. Исследование динамики подкрепленных оболочек на основе соотношений для пластин и прямолинейных стержней // Статика н динамика элементов конструкций сложной фермы: Межвуз. сб. - Казань, КХТИ им.С. М. Кирова, 1990. - С.86-106.

17. Серазутдинов М. Н. 0 возможности расчета оболочек и криволинейных стержней .без использования коэффициентов второй квадратичной формы // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы: Межвуз. сб. - Казань, КХТИ им. С. М. Кирова, 1990. - С.85-95.

18. Серазутдинов М. Н., Недорезов 0.А . Метод и результаты расчета статики и динамики оболочек, с использованием соотношений теории пластин // Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Том. 1. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1990. - С. 70-77.

19. Серазутдинов М. Н., Недорезов 0. А. Использоание ппос-тейших соотношений теории пластин и прямоугольных стержней при расчете динамики ребристых оболочек // Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 25. - Казань, Казанск. физ.-техн. ин-т КНЦ АН СССР, 1990. - С. 90-96.

20. Серазутдинов М.Н., Недорезов 0. А. Об аппроксимации срединной поверхности оболочки // Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Вып. 25.-Казань, Казанск. физ.-техн. ин-т КНЦ АН СССР, 1990. - С.97-102.

21. Серазутдинов М. Н. Хайруллин Ф.С. Метод расчета криволинейных стрржней //Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1991. - II 5 - С. 104-108.