Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера к решению задач статики и динамики тонкостенных стержней

Дьяков, Станислав Федорович

Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера к решению задач статики и динамики тонкостенных стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Дьяков, Станислав Федорович АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера к решению задач статики и динамики тонкостенных стержней»

Автореферат диссертации на тему "Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера к решению задач статики и динамики тонкостенных стержней"

На правах рукописи

ДЬЯКОВ Станислав Федорович

Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера к решению задач статики и динамики тонкостенных стержней

01.02.04 механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г я моя 2013

005540305

Санкт-Петербург 2013

005540305

Работа выполнена и федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

Лалин Владимир Владимирович

Официальные оппоненты: Мельников Борис Евгеньевич,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ СПбГПУ, зав. каф. «Сопротивление материалов»

Редин Дмитрий Геннадьевич,

кандидат технических наук,

ООО «С.-Петербургскпп научно-исследовательский н ироектпо-копструкторскпй институт Атомэперго-проект», ведущий специалист

Ведущая организация: ЗАО «С.-Петербургский проектио-копструкторскпй и научно-исследовательский институт авиацпоппой промышленности Гннроавнанром»

Защита состоится «18» декабря '2013 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.05 при ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет», расположенном но адресу: 195251, Санкт-Петерб.ург, ул. Политехническая, д.29, II учебный корпус, ауд. 205.

С диссертацией можно ознакомит!,ся в фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Автореферат разослан У^ » ¿^ЯР'у^е/' 2013 1\

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф-м.п, доц. --Воробьева Татьяна Владимировна

Общая характеристика работы

Актуальность работы

В механике деформируемого твердого тела для анализа и расчета конструкции и их элементов применяются расчетные схемы реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей. Одним из основных способов построения расчетных схем является приведение геометрической формы тела к схеме стержня или к схеме оболочки в зависимости от соотношения характерыых размеров:

1. У оболочки одно из измерений (толщина) много меньше двух других;

2. У стержня одно из измерений (длина) много больше двух других.

Однако, в некоторых случаях целесообразно выделение еще одной расчетной схемы, промежуточной между двумя вышеназванными схемы тонкостенного стержня. Для тонкостенного стержня характерно существенное различие всех трех характерных размеров: толщина стенки стержня í много меньше протяженности профиля поперечного сечения в, которая, в свою очередь, много меньше длины стержня Ь.

Критерием тонкостенное™, в связи со всем вышесказанным, могут служить следующие условия:

(I Ь

7»1, ^»1, (1)

где (I характерный размер поперечного сечения.

Основываясь на указанных критериях, к тонкостенным относятся не только популярные нынче легкие стальные тонкостенные конструкции (ЛСТК), но н обычный «черный» прокат.

Возобновление интереса к теории тонкостенных стержней в России связано с тем фактом, что повсеместно в строительстве стали использоваться легкие стальные тонкостенные конструкции из тонкостенных холодногнутых профилен.

Они нашли применение в области:

1. малоэтажного и индивидуального строительства;

2. реконструкции кровель с организацией мансардных этажей;

3. производства тсрмопанслсй для каркаено-монолитного строительства;

4. коммерческого строительства (ангары, автомойки, офисы продаж и

Несмотря на то, что ЛСТК пытаются активно внедрить ко многие сферы строительства, несовершенство российской нормативной базы, а также недостаточность опыта проектирования таких конструкций являются причинами, задерживающими более широкое их распространение.

При включении тонкостенного стержня в конструкцию, стержень работает, в том числе, и на стесненное кручение. Это означает, что денланация поперечных ссчсний не происходит равномерно но длине стержня (в отличие от свободного кручения). Неравномерность (стесненность) дспланацпп приводит к тому, что по-разному искривляясь, соседние ссчсния «давят» друг на друга. Из-за этого, при стесненном кручении, в поперечных сечениях возникают дополнительные нормальные секториальныс напряжения, которые могут вносить существенный вклад в суммарные нормальные напряжения.

Видимо, это стало одной из причин, почему в новом СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП П-23-81*» добавлено четвертое слагаемое, отвечающее, как раз, за учет нормальных сск-ториальных напряжений:

где а суммарные нормальные напряжения; N продольное усилия; А площадь поперечного ссчсния; Ми и М: изгибающие моменты относительно осей у и г; В бимомент; и моменты инерции относительно осей у и г; 1и секториальный момент инерции; ш секториальная площадь.

Для численного решения инженерных задач расчета конструкций, включающих в себя тонкостенные стержни, с применением конечноэлементных методик существует два способа: использование оболочечного моделирования или стержневой модели.

Современное положение на рынке конечпоэлементных программ такого, что в расчетных комплексах, реализующих метод конечных элементов

N М„ М, В

(2)

(МКЭ), в элементах тина «стержень» присутствует только шесть степеней свободы в узле. Поэтому компоненты напряжении, связанные с депланациси, которую можно назвать седьмой степенью свободы, не учитываются. Исследователи пока не пришли к единому мнению о реализации седьмой степени свободы в МКЭ.

Использование для тонкостенных стержней оболочечного моделирования хоть и дает достаточно точные результаты, но является очень трудоемким, как для расчетчика, так и для вычислительной техники, т.к. многократно увеличивает количество степеней свободы.

Все вышеперечисленное говорит о том, что требуется разработка новых стержневых конечных элементов, подходящих для расчета тонкостенных конструкции и, соответственно, учитывающих энергию денланации.

Теорию тонкостенных стержней, созданную В.З. Власовым н A.A. Уман-ским, развивали такие ученые и исследователи, как P.A. Ададуров, О.В. Лужин, Д.В. Бычков, Б.И. Горбунов, А.И. Стрельбпцкая, A.A. Захаров, Е.А. Бсплин, Л.К. Мрощинскнй, В.А. Постнов, Г.Ю. Джанплпдзс, Я.Г. Па-новко, В.Б. Мещеряков, А.Р. Туснпн, И.Ф. Дьяков, С.А. Чернов, В.П. Юзп-ков, В.Ф. Оробей, J.M. Gere, W.F. Glien, M.Y. Kim, G.A. Guimlaugsson, J.W. Wckezer, A.G. Razaqpnr и другие.

Исторически для всей теории тонкостенных стержней сложилось разделение на две ветви по типу профиля: открытый и замкнутый. Данное разделение было вызвано двумя причинами:

1. теории стержней открытого и замкнутого профилей строились независимо друг от друга;

2. стержни открытого профиля отождествлялись с бессдвиговой теории, а в стержнях замкнутого профиля учитывались деформации сдвига при кручении.

Со временем такое разделение повлекло за собой необходимость разработки двух различных конечных элементов для проведения численных расчетов тонкостенных стержней в рамках МКЭ, что является крайне неудобным с точки зрения унификации расчетов.

В 2005 г. В.И. Сливкером была предложена теория тонкостенных стерж-

ней, которую можно применять как для расчета тонкостенных стержней замкнутого, так Н открытого профилей. Эту теорию автор назвал иолусдвиго-вой теорией, т. к. изгиб такого стержня описывается в рамках бсссдвпговой теории Бернулли-Эйлера.

В настоящее время «опросы динамики тонкостенных стержней 15 рамках полусдвиговой теории являются неисследованными как в теоретическом плане, так и с точки зрения численной реализации МКЭ.

Все вышеперечисленное свидетельствует об актуальности темы диссертационной работы.

Целями диссертационной работы являются:

1. Аналитическое решение статических задач кручения стержня в рамках нолусдвиговой теории при любых граничных условиях. Сравнение полученных решений с известными решениями аналогичных задач по бсссдвпговой теории Власова;

2. Вывод уравнений динамики тонкостенных стержней в рамках нолусдвиговой теории. Аналитическое исследование крутилыю-дспланацион-ных волн, свойств собственных частот и форм колебаний. Сравнение полученных решений с известными решениями аналогичных задач по бсссдвпговой теории Власова;

3. Получение матриц жесткости и масс тонкостенных конечных элементов с использованием различных функций формы;

4. Разработка конечноэлемеитной программы, позволяющей решать задачи статики и динамики пространственных конструкций, состоящих из тонкостенных стержней.

Научная новизна В диссертационной работе:

1. Получены уравнения динамики тонкостенного стержня в рамках полусдвиговой теории В.II. Сливкера;

2. Построены и проанализированы дисперсионные зависимости и фазовые скорости крутпльно-дспланационных волн в бпсснмстрнчпых тонкостенных стержнях по полусдвиговой теории Сливкера. Произведено сравнение с известным решением аналогичных задач для бсссдвпговой теории Власова;

Получены аналитические решения ряда задач о собственных колебаниях тонкостенных стержней в рамках полусдвиговоп теории, применимые для стержней замкнутого и открытого профилей. Произведено сравнение с известным решением аналогичных задач для бессдвиговой теории Власова;

Построена матрица жесткости конечного элемента тонкостенного стержня открытого н замкнутого профилей по полусдвиговой теории с использованием общего решения однородных уравнении равновесия; Получены согласованные матрицы масс конечных элементов тонкостенного стержня открытого и замкнутого профилей по полусдвиговой теории, основанные на различных видах аппроксимаций функций перемещений. Произведено сравнение их эффективности;

Разработан алгоритм н программа для решения задач статики и динамики пространственных конструкций, состоящих из тонкостенных стержней открытого п (или) закрытого профилей. Практическая значимость работы состоит в следующем: Получены универсальные выражения для функции угла закручивания 0(х) и меры дспланацип Р(х), позволяющие получить решение статических задач для любых граничных условий;

Получены универсальные уравнения, позволяющие получить спектр собственных частот тонкостенного стержня с биссиммстрнчным поперечным сечением для различных граничных условий; Получены общие выражения для геометрических параметров коэффициентов формы ссчснпя ф и позволяющие вычислить их значения для профилей в виде швеллера, двутавра или прямоугольно!! трубы;

Разработаны конечные элементы тонкостенных стержней по иолусдвиговоП теории В.II. Сливкера, позволяющие выполнить статический и динамически» расчеты пространственных стержневых конструкций, состоящих из тонкостенных стержней открытого и (или) закрытого профилей;

5. Приведенные в работе выкладки позволяют разработчикам внедрить конечный элемент, учитывающий стесненное кручение, в любой конеч-ноэлементный расчетный комплекс, при условии, что он может работать с конечными элементами, имеющими семь степеней свободы в узле.

На защиту диссертации выносятся следующие основные результаты п положения:

1. Аналитические решения для функции угла закручивания в(х) и меры дсиланацни (3(х) задач стесненного кручения в рамках иолусдвнгоной теории;

2. Явные формулы, позволяющие вычислить значения геометрических параметров ф и для тонкостенных стержней открытого, а также закрытого профилей;

3. Матрица жесткости конечного элемента, построенная с помощью общего решения однородных уравнений равновесия полусдвиговой теории тонкостенных стержней;

4. Вывод уравнений движения в рамках иолусдвиговой теории, применимых для тонкостенных стержней любого профиля;

5. Построение и анализ дисперсионных кривых крутпльно-дспланацпон-ных волн тонкостенного стержня бисимметрпчного профиля;

6. Матрицы масс конечных элементов тонкостенного стержня произвольного профиля, построенные с использованием различных аппроксимаций для функций перемещений.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: VII Международная конференция по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, ПГУПС, Санкт-Петербург, нюнь 2011 г.; XXIV международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», СПбГАСУ, Санкт-Петербург, сентябрь 2011 г.; Семинар на кафедре строительной механики и теории упругости СПбГПУ, СПбГПУ, Санкт-Петербург, 2012 .г; Научная конференция «Строительство, архитектура, инженерная охрана окружающей среды» в рамках Политехнического молодежного фестиваля науки ФГБОУ ВПО СПбГПУ,

Санкт-Петербург, Mail 2013; XXV международная конференция «Математическое модслиронание в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», СПбГЛС'У, Санкт-Петербург, сентябрь 2013; XLII scientific and practical conference for students, graduate students and young scientists «Week of Scicnce in SPbSPU», Saint-Petersburg, December 2013.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 работах, из них 3 работы в изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов, утвержденный ВАК Российской Федерации.

Личный вклад автора Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Подготовка к публикации полученных результатов частично проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и трех приложений. Общин объем диссертации 119 страниц, включая 32 рисунка и 9 таблиц. Библиография включает 82 наименования.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, отражено краткое содержание глав диссертации.

В первой главе приводится краткий исторический обзор по развитию теории расчета тонкостенных стержней, из которого становится понятно, что исторически теория тонкостенных стержней разделилась нгг две ветви. Первая ветвь включает в себя тонкостенные стержня открытого профиля. Основателем этой теории является В.З. Власов. Вторая ветвь охватывает тонкостенные стержни замкнутого профиля. Здесь в первую очередь следует упомянуть A.A. Уманского а также Г.Ю. Джанелидзе и Я.Г. Пановко.

Отдельно следует упомянуть P.A. Ададурова, который разработал более общий вариант теории тонкостенных стержней, правда не являющейся прикладной. Тонкостенный стержень комбинированного профиля рассматривался О.В. Лужиным п Е.А. Бсйлиным.

Далее в работе рассматривается разработанная В.И. Слнвксром полусдвиговая теория тонкостенных стержней, которая позволяет избавиться от главного недостатка двух предыдущих теорий отсутствия универсальности. Полусдвиговая теория Сливкера, в рамках единой формулировки, позволяет выполнять расчет стержней как открытого, так и замкнутого профилен.

Данная теория положена в основу диссертационной работы, в рамках которой исследуются вопросы статики и динамики как в теоретическом плане, так и с точки зрения численной реализации МКЭ.

Во второй главе рассматриваются вопросы статики тонкостенных стержней. Начинается она с того, что приводится аналитическое решение задачи о стесненном кручении тонкостенного стержня в рамках полусдвиговой теории. В случае если угол закручивания 0(х) и мера деиланации ß(x) являются независимыми функциями, система дифференциальных уравнений равновесия однородного тонкостенного стержня имеет вид:

GIß" -GItJ{0" - ß') =m, Eluß" + GIa{0' -ß) =mb

(3)

где Е модуль Юнга; С = модуль сдвига; и коэффициент Пуассо-

на; /3 функция меры деиланации; 0 угол закручивания; /,. крутильный момент инерции; дспланацпонный момент инерции; тг распределенный крутящий момент; траспределенный бпмомент.

Общим решением системы (3) является:

ß(x) = tti + a2ch(kx) + a-,\s\\(kx) + 0{x) =

r f(g)

-(cli(ks-kx) - 1) ds

т,,(ф - 1) «> " 1) Q„ . ,

+ ß--TTö— ß \dx + ai

Gl.,- 4>k2

где Q'i . .. о ] произвольные постоянные; к = \/ С'1Г, ; Ф безразмерный

ФЕ1„

геометрический параметр, введенный D.II. Сливкером.

Для выделения из общего решения (4) частного, необходимо знать граничные условия закрепления стержня. В связи с этим в работе были рассмотрены основные варианты закрепления и загруженпя стержня. Полученные результаты были сопоставлены с известными выражениями для 0(х) и ß(x), полученными по теории Власова. В результате сравнения видно, что решения, полученные по полусдвпговоп теории, и решения, полученные но классической теории Власова, отличаются только наличием у первых в некоторых из слагаемых в качестве множителя безразмерного коэффициента ф (5). Кроме того, коэффициент ф входит как множитель в выражение для к.

полусдвиговая теория Сливксра

ОН =

ß(x) =

2 GI,M т.,-

кхф(Ь - х) -

2Lsh(f - !f) sh(!f)

sh(f)

Gl,

L Lsh(kx-!f)

I " + 2sh(f)"

бессдвиговая теория Власова (к* = к~ф)

0(х) =

т,.

2GIrki

k\x(L — х)

sh(^)

т,-

ßМ - GL.

L_ Lsh(kxx-u-f) 2 2 sh(^p)

(5)

В связи с этим, проводится анализ степени влияния безразмерного коэффициента ф на разницу в ¡результатах расчета, полученных по обеим теориям. С учетом того что \1 = х'2 = I выражения для ф имеют вид:

для двутавра для швеллера

2 \ 1 \ Н (2 \; + 1) ф = 1 + -;- 5 Х!(72Х1 + 120x1 + 74Х? + 22Xi + 3) Ф = 1+ 5(3xi + 2)2

Так как на величину коэффициента ф влияет лишь форма поперечного сечения стержня, проведен анализ возможных пределов изменения коэффициента ф Для величин, укладывающихся в понятие тонкостенного

(а)

(б)

Рис. 1. Геометрические размеры поперечного сечения («) двутавра; (б) шнеллера;

стержня.

Анализ показал, что величина ф не превышает значения 1.048 для двутавра и 1.093 для швеллера. Тот факт, что для стержней открытого профиля ф оказывается близким к единице говорит нам о том, что уточнения получаемые за счет полусдвиговой теории задачах статики оказываются незначительными. В связи с этим здесь уместно еще раз подчеркнуть, что значимость полуедвнговон теории заключается не в уточнении решения, а в возможности унифицировать расчет стержней открытого и замкнутого профилей.

Далее показано вычисление с-скториальных характеристик для тонкостенных стержней открытого профиля в виде двутавра и швеллера а также закрытого профиля 1! виде прямоугольной трубы. Особенное внимание уделяется безразмерным геометрическим параметрам ф и для которых получены общие выражения, позволяющие вычислить их значения для профилей в виде швеллера, двутавра или прямоугольной трубы.

Затем, основываясь на функционале Лагранжа (6), строятся матрицы жесткости конечных элементов тонкостенных стержней в рамках полусдвп-говой теории.

£(0,Р) = \\ (Е/ш/5'2 + С1,в'2 + С1„ [в' - - 21 К) сЬг,

(6)

где IV работа внешних сил.

Для построения матриц жесткости используется несколько видов аппроксимаций для функций перемещений:

1. Линейные функции формы на конечном элементе, как для угла закручивания 0(х), так и для меры депланации /3(х) (матрица /Сли„);

2. Линейные функции формы на конечном элементе для меры депланации /3(х) и квадратичные функции формы для угла закручивания 0(х) (матрица /Ск|,);

3. Функции формы, полученные с помощью точного общего решения однородных уравнений равновесия тонкостенного стержня (матрица /Спш). Было установлено, что ситуация, когда функции, имеющие разные порядки производных, аппроксимируются полиномами одного и того же порядка, приводит к большим погрешностям при вычислении. Если же аппроксимировать функции, имеющие разный порядок производных, полиномам» разного порядка, то это даст значительное увеличение скорости сходимости.

Наиболее быструю сходимость и наиболее удовлетворительный результат даже при небольшом количестве конечных элементов даст матрица жесткости ЛС,,,м. Кроме того, матрица /СП1М автоматически даст точное решение при любом количестве конечных элементов в том случае, если приложенная нагрузка является узловой.

В завершение первой главы проведен анализ конечных элементов на подверженность их эффекту запирания (Ьсктц-сй'сс!;). Для этого функционал Лагранжа (6) был приведен к безразмерному виду:

х Е1Ш

где £ = у, г] = /ЗЬ, £ = безразмерные переменные.

Ь/ С

Было получено, что при уменьшении размера конечного элемента порядки коэффициентов е и сближаются, тем самым сближаются вклады в общую энергию от энергии деформации и энергии сдвига, и, следовательно, запирания не происходит.

В третьей главе рассматриваются вопросы динамики тонкостенных стержней. За основу берутся выражения для потенциальной (8) и кинстиче-

сЬ]

см\2 1 ив \2

л) + — (зН -21"

¿х, (7)

скоп (9) энергий тонкостенного стержня в рамках полусдвиговои теории: £

V =

ЕАиЩ + ЕЩ« +

+Е1и]р12 + С1хвг1 + а,, {0' - /З)2 с1х, (8)

где С/о.,., 1/[)У, компоненты вектора перемещений.

р'и1 + РЩ, + + рв2 (4 + у;) +

+р021г + рР21и + 2р*г1,и0„в - 2р*у„и0..в] сЬх, (9)

где р* линейная плотность; 1Г = I+ I,, полярный момент инерции; ур , гр координаты центра изгиба..

Формула (8) установлена в работе В.И. Сливкера. Выражение для кинетической энергии (9) получено автором с использованием основных гипотез полусдвиговой теории тонкостенных стержней.

Из выражений (8)-(9), используя вариационный принцип Гамильтона, выводятся уравнения движения тонкостенного стержня в рамках полусдвиговой теории:

Ели;;,. - р*и„, = о

С1хе" - р1гв + а,, {в" - р) - 2р\г1 + у1)о+

-Е1уи$ - р*иа„ + 2р*2рв = О -Е1М1' -Р*йъ- 2р*уРв = О Е1ыр" - Р1шр + С7„ {в' - Р) = О' *{ л

(10)

+2р* (гри0и - уР0^ = 0

где р объемная плотность.

Первое уравнение в (10) не зависит от остальных и описывает продольные колебания стержня. Остальные четыре совместных уравнения образуют систему, описывающую совместные изгибно-крутпльно-дспланационныс колебания стержня.

В случае, если поперечное сечение симметрично относительно осей у п г (в этом случае ур = гр = 0), уравнения движения существенно упрощаются:

ЕАиЦ - р*0{)х = 0 Г -Е1ии$ - р*и0и = 0 { - р*0Ог = 0 (И)

( Е1ир" - р1ир + ац (о' - р) = о

1 а,в" - Р1гв + а,, {в" — /з') = о

Как видно из (11), первое уравнение описывает продольные, второе и третье пзгпбные, а четвертое и пятое крутильно-дспланационные колебания. Уравнения для продольных и поперечных колебаний совпадают с уравнениями для обычного (нстонкостснного стержня). Решение этих уравнений известно, по-этому в диссертации исследуется последняя система.

Было получено общее решение последней системы уравнений в (11):

(3(х) = С\ сЪ(рх) + С-ув 1\(цх) + С-л со${т]х) + С4вт(т]х)

ФЕ1Ш (Ф1и а, \ _ ч, , (12)

0{х) = -—Р(х)ш + ----—

р1гш- I 1Г р1ттл

где р = + + Л = ^-2а\ + -V Аа\\

р1,ти2 р21гъо* \ I С![, ри7~ ()1гти~

сА

фЕ1ш фвЕ^у 1 \фЕ1ш Е фад

С\ ... произвольные постоянные.

Для выделения из общего решения (12) частного, необходимо знать граничные условия закрепления стержня. Для частного случая с граничными условиями 0(0) = 0, /3'(0) = 0, 0(Ь) = 0, /З'(Ь) = 0 было получено аналитическое выражение, позволяющее получить спектр собственных частот колебаний:

/С2 ± ч/С! " 4СгС:»

= У-%-'

р21г РГ)2 р1гт)2 р1г С,1ХТГ

1'ДС С1 = 1Г,г г? С'2 = ~ЕГ + ТпТ + 1~пч~ С:! = , ^т + V

фа^Е Е фа,, фЕ1ш фЕ1ш

В случае с другими граничными условиями, частотное уравнение получается более громоздким, и не имеет такого простого решения, поэтому поиск их решения производился численно с помощью метода Ньютона.

Далее приводятся результаты исследования дисперсионных свойств кру-тильно-депланационных волн в бисиммстрнчном тонкостенном стержне по полусдвиговой теории Сливксра и дастся сравнение полученных результатов с известными теориями Тимошенко и Власова. Необходимо отмстить, что теории Тимошенко и Власова позволяют получить только акустическую дисперсионную ветвь.

Дисперсионное уравнение тонкостенного стержня по теории Сливксра представляет собой биквадратное уравнение относительно частоты т\

р21и1Тш4 - + врфи^р1 + Ер1и1гр2) ш2+

+ С21,,1гР2 + ЕСфи,^ = 0, (14)

из которого была получена зависимость частоты волны ш от волнового числа р, а также фазовая скорость волны г>ф:

I - (В + Ср2) ± у/(В + Ср>У - 4А(Вр1 + ^ -й-. «ф = 7> (15)

где А = р2иВ = -р(Л,1,,: С = -Срфи,, Ери,-, О = С2/,,/,.; Е = Евфи,,.

Соотношение (15) даст две дисперсионные ветви. При этом знак минус соответствует акустической (первой), а знак плюс оптической (второй) ветви дисперсии. Было установлено, что оптической ветви соответствуют чисто денланационные колебания.

В работе была произведена оценка предельных значений фазовой скорости в длинноволновом (р —» 0) и коротковолновом (р —> оо) диапазонах для обеих ветвей дисперсии. Примеры дисперсионных кривых представлены на рис. 2. Для первой дисперсионной ветви при любом значении волнового числа р фазовая скорость распространения волны близка к скорости распространения крутильной волны стержня Ссн-Венана. Для второй ветви дисперсии на

высоких частотах фазовая скорость распространения волны близка к скорости продольной волны в стсржнс Бернулли.

200000-

-акустическая ветвь (теория Сливкера)

— — оптическая ветвь (теория Сливкера) .....теория Тимошенко

— • теория Власова_

-акустическая ветвь (теория Сливкера)

— — оптическая ветвь (теория Сливкера) .....теория Тимошенко

— • ~ теория Власова_

(а) (б)

Рис. 2. (а) Дисперсионные кривые; (б) Зависимость фазовой скорости г)ф от волнового числа р\

Для построения матриц масс на основании выражения кинетической энергии (9)иенользуются несколько видов функций формы, таких же, как и в случае с матрицами жесткости. По аналогии с матрицами жесткости, матрицы масс обозначены как .Мл,,,,, Мкп, ■М,-,,,,. С помощью полученных матриц масс и матриц жесткости определяются собственные частоты, и сравниваются с точным решением.

Сравнение показывает, что матрица масс Л4л,т обеспечивает самую медленную сходимость. Матрицы Л4[ли, и Л4К11 обеспечивают примерно одинаковую скорость сходимости. В практических расчетах рекомендуется использовать Мкк, т. к. элементы матрицы А^Г11М содержат гиперболические функции, что может стать причиной плохой обусловленности.

В четвертой главе приводится описание алгоритма программы, позволяющей выполнять статический и динамический расчеты пространственных стержневых конструкций, состоящих из тонкостенных стержней открытого и (или) закрытого профилей. Кроме того приводится пример расчета строи-

тельной конструкции на статические и динамические нагрузки.

В качестве примера рассмотрен первый блок третьей очереди производственного корпуса по производству растворимого кофе. Рассматриваемый корпус представляет здание из стального каркаса. Колонны установлены с шагом 6 м, пролеты 6 м. Перекрытие на отметке +6000 выполняется из двутавровых балок, по которым укладывается стальной решетчатый настил, рассчитываемый на равномерно распределенную нормативную нагрузку 2 кПа.

Покрытие здания имеет уклон 2%, выполняется из стальных балок с прогонами, по которым уложен профилированный настил, утеплитель из минеральной ваты и мембранное покрытие.

Стены здания выполняются из сэндвич панелей, располагаемых горизонтально. В качестве материала для несущих конструкций принята сталь С245.

В качестве расчетной схемы каркаса здания принята пространственная стержневая модель из тонкостенных стержней, нагруженная как статическими так и динамическими нагрузками. К статическим расчетным нагрузкам можно отнести:

1. вес покрытия 0.81 кПа;

2. снеговая нагрузка 1.80 кПа;

3. ветровая нагрузка 1.56 кПа (для средней колонны);

4. решетчатый настил 0.47 кПа;

5. полезная нагрузка 2.40 кПа;

6. нагрузка от подвесного оборудования 2.00 кПа;

7. вес стеновых панелей 0.34 кПа;

Динамические нагрузки от технологического оборудования возникают из-за установленной на стальных балках перекрытия промышленной центрифуги. Согласно технологической карты амплитуда динамической нагрузки от вращения вала центрифуги из-за эксцентриситетов, вызванных зазором в подшипниках и погрешностью балансировки составляет 17 кН.

Был выполнен динамический расчет каркаса здания на нагрузку от вращения центрифуги. После проведения динамического расчета было определено наихудшее сочетание статических и динамических нагрузок и определены

внутренние силовые факторы для этого сочетания.

Было выполнено два вида расчета: с учетом бнмомента (как рекомендует актуализированный СП 10.13330.2011) по формуле (2) и без учета бнмомента (по старому СНиП Н-23-81*). Результаты расчетов приведены в таблице 1.

Из таблицы видно, что вклад бимоментной составляющей может быть довольно существенным: суммарные напряжения с учетом и без учета бнмомента отличаются в 1.5 раза.

Таблица 1. Соностанленне напряжении

№ СЛ', аю О":, сд, с без (7) /0

МПа МПа МПа МПа учетом учета

бнмо- бнмо-

мента мента

1 2 3 4 5 0 7 8

1 0.361 -11.599 -1.070 -5.282 17.59 12.31 43%

2 0.301 -11.599 +1.070 +5/282 10.17 10.89 49%

3 0.301 -¡-11.599 -1.070 -5.282 7.75 13.03 41%

4 0.301 -11.599 -1.070 +5.282 4.89 10.17 52%

В приложении 1 даны матрицы, с помощью которых можно составить матрицу жесткости, в которой в качестве аппроксимирующих функций для перемещении выступает общее решение однородных уравнений равновесия.

В приложении 2 даны матрицы, с помощью которых можно составить матрицу масс стержня с бнеимметрпчным поперечным сечением, в которой в качестве аппроксимирующих функций для перемещений выступает общее решение однородных уравнений равновесия.

В приложении 3 даны матрицы, с помощью которых можно составить матрицу масс стержня любого поперечного сечения, в которой в качестве аппроксимирующих функций для перемещений выступает общее решение однородных уравнений равновесия.

Заключение

1. Получены уравнения динамики тонкостенных стержней в рамках полусдвиговой теории;

2. Построены и проанализированы дисперсионные зависимости и фазовые скорости крутильно-депланационных волн в бисиммстричных тонкостенных стержнях по нолусдвиговой теории;

3. Получены аналитические решения ряда динамических задач о стесненном кручении тонкостенных стержней в рамках полусдвиговой теории В.И. Сливкера, применимые для стержней замкнутого и открытого профилей;

4. Получены универсальные выражения для функции угла закручивания в(х) и меры деиланации (3(х), позволяющие получить решение статических задач для любых граничных условий;

5. Построена матрица жесткости конечного конечного элемента тонкостенного стержня открытого и замкнутого профилей по полусдвиговой теории с использованием общего решения однородных уравнений равновесия;

6. Построены согласованные матрицы масс конечных элементов тонкостенного стержня открытого и замкнутого профилей по полусдвиговой теории, основанные на различной аппроксимации функций перемещений;

7. Получены общие выражения для геометрических параметров ф и цшш, позволяющие вычислить их значения для любых профилей в виде швеллера, двутавра или прямоугольной трубы;

8. Разработан алгоритм и программа для решения задач статики и динамики пространственных стержневых конструкций, состоящих из тонкостенных стержней открытого и (или) закрытого профилей.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

В изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Дьяков, С.Ф. Сравнительный анализ задачи кручения тонкостенного стержня по моделям Власова и Сливкера/ С.Ф. Дьяков // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2013. №1. - С.24-32

2. Дьяков, С.Ф. Дисперсия крутильной волны, распространяющаяся в тонкостенном стержне/ С.Ф. Дьяков, В.В. Лалпн //Интернет-журнал «Науковедение». 2013. №5(18) |Электронный рссурс| Режим доступа:

http://naukovcdenie.ru/PDF/24tvn513.pdf, свободный

3. Дьяков, С.Ф. Построение и анализ конечного элемента тонкостенного стержня с учетом деформаций сдвига для решения задач динамики/ С.Ф. Дьяков, В.В. Лалпн //Интернет-журнал «Науковедение». 2013. №5(18) |Элсктронный рссурс| Режим доступа:

http://naukovedcnie.ru/PDF/95tvn513.pdf, свободный В других изданиях

1. Дьяков, С.Ф. Построение и анализ конечных элементов тонкостенного стержня открытого профиля с учетом деформации сдвига при кручении / С.Ф.Дьяков, В.В. Лалпн // Вестник Пермского государственного технического университета. 2011. №2. - С.130-140

2. Дьяков, С.Ф. Построение матрицы жесткости тонкостенного стержня открытого профиля с учетом деформаций сдвига при кручении/ С.Ф.Дьяков, В.В. Лалпн //XXIV Международная конференция математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Тсзнсы, СПбГАСУ, СПб, 2011.Т1. - С.42-43

Подписано в печать 13.11.2013. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 1 1235Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.:(812)550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Дьяков, Станислав Федорович, Санкт-Петербург

04201453070

На правах рукописи

ДЬЯКОВ Станислав Федорович

Применение полусдвиговой теории В.И. Сливкера к решению задач статики и динамики тонкостенных стержней

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель д. т. н., проф. Лалин В.В,

Санкт-Петербург - 2013

Содержание

Введение................................... 4

Глава 1. Исторический обзор по развитию теории расчета тонкостенных стержней............................ 11

Глава 2. Статика тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля с учетом деформации сдвига при кручении .... 18

2.1. Аналитическое решение уравнения закручивания стержня. Общее и частные решения.................... 19

2.2. Определение геометрических характеристик тонкостенных стержней..............................26

2.3. Построение матриц жесткости прямолинейных тонкостенных стержней с учетом деформаций сдвига при кручении . . 36

2.4. Исследование влияния геометрического параметра ф на решение задачи кручения......................48

2.5. Возможность возникновения эффекта запирания из-за учета деформаций сдвига........................50

2.6. Выводы............................... 54

Глава 3. Динамика тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля с учетом деформации сдвига при кручении ... 56

3.1. Вывод уравнения движения тонкостенного стержня в рамках полусдвиговой теории....................56

3.2. Крутильно-депланационные волны в тонкостенных стержнях. Математические модели и дисперсионные свойства ... 62

3.3. Аналитическое решение задачи о поиске собственных частот 70

3.4. Построение согласованных матриц масс тонкостенного стержня с учетом деформаций сдвига при кручении..... 74

3.5. Об оптической ветви дисперсии в полусдвиговой теории Сливкера.............................. 87

3.6. Выводы..............................................................91

Глава 4. Практическое применение метода конечных элементов 92

4.1. Матрица преобразования координат ..............92

4.2. Формирование общих матриц жесткости и масс........94

4.3. Пример применения расчетной программы...........94

Заключение.................................109

Литература.................................110

Список иллюстраций ...........................119

Список таблиц...............................121

Приложение А. Выражения для матриц А\ и А™..........122

Приложение Б. Выражения для матриц В1 и В™..........126

Приложение В. Выражения для матриц С,} и С76;2.........132

Введение

Актуальность работы

В механике деформируемого твердого тела для анализа и расчета конструкций и их элементов применяются расчетные схемы — реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей. Одним из основных способов построения расчетных схем является приведение геометрической формы тела к схеме стержня или к схеме оболочки в зависимости от соотношения характерных размеров:

1. У оболочки одно из измерений (толщина) много меньше двух других;

2. У стержня одно из измерений (длина) много больше двух других.

Однако, в некоторых случаях целесообразно выделение еще одной

расчетной схемы, промежуточной между двумя вышеназванными — схемы тонкостенного стержня. Для тонкостенного стержня характерно существенное различие всех трех характерных размеров: толщина стенки стержня £ много меньше протяженности профиля поперечного сечения в, которая, в свою очередь, много меньше длины стержня Ь.

Критерием тонкостенности, в связи со всем вышесказанным, могут служить следующие условия:

в. Ь

т>1, ¿>1, ш

где (1 — характерный размер поперечного сечения.

Основываясь на указанных критериях, к тонкостенным относятся не только популярные нынче легкие стальные тонкостенные конструкции (ЛСТК), но и обычный «черный» прокат.

Они нашли применение в области:

1. малоэтажного и индивидуального строительства;

2. реконструкции кровель с организацией мансардных этажей;

3. производства термопанелей для каркасно-монолитного строительства;

4. коммерческого строительства (ангары, автомойки, офисы продаж и т.д.).

Несмотря на то, что ЛСТК пытаются активно внедрить во многие сферы строительства, несовершенство российской нормативной базы, а также недостаточность опыта проектирования таких конструкций являются причинами, задерживающими более широкое их распространение.

При включении тонкостенного стержня в конструкцию, стержень работает, в том числе, и на стесненное кручение. Это означает, что депланация поперечных сечений не происходит равномерно по длине стержня (в отличие от свободного кручения). Неравномерность (стесненность) депланации приводит к тому, что по-разному искривляясь, соседние сечения «давят» друг на друга. Из-за этого, при стесненном кручении, в поперечных сечениях возникают дополнительные нормальные секториальные напряжения, которые могут вносить существенный вклад в суммарные нормальные напряжения.

Видимо, это стало одной из причин, почему в новом СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП Н-23-81*» добавлено четвертое слагаемое, отвечающее, как раз, за учет нормальных секториальных напряжений:

N Му М2 В а = -±—г±-Гу±-ш, (2)

где а — суммарные нормальные напряжения; N — продольное усилия; А — площадь поперечного сечения; Му и Мх — изгибающие моменты относительно осей у и г; В — бимомент; 1у и /г — моменты инерции относительно осей у и г; 1Ш — секториальный момент инерции; и — секториальная площадь.

Для численного решения инженерных задач расчета конструкций, включающих в себя тонкостенные стержни, с применением конечноэле-ментных методик существует два способа: использование оболочечного моделирования или стержневой модели.

Современное положение на рынке конечноэлементных программ такого, что в расчетных комплексах, реализующих метод конечных элементов (МКЭ), в элементах типа «стержень» присутствует только шесть степеней свободы в узле. Поэтому компоненты напряжений, связанные с деплана-цией, которую можно назвать седьмой степенью свободы, не учитываются. Исследователи пока не пришли к единому мнению о реализации седьмой степени свободы в МКЭ. Существует мнение, что ее реализация невозможна без введения восьмой и девятой узловых степеней свободы, физический смысл которых пока вообще не ясен [44].

Все вышеперечисленное говорит о том, что требуется разработка новых стержневых конечных элементов, подходящих для расчета тонкостенных конструкций и, соответственно, учитывающих энергию депланации.

Теорию тонкостенных стержней, созданную В.З. Власовым и A.A. Уманским, развивали такие ученые и исследователи, как P.A. Ада-дуров, О.В. Лужин, Д.В. Бычков, Б.Н. Горбунов, А.И. Стрельбицкая, A.A. Захаров, Е.А. Бейлин, А.К. Мрощинский, В.А. Постнов, Г.Ю. Джани-лидзе, Я.Г. Пановко, В.Б. Мещеряков, А.Р. Туснин, И.Ф. Дьяков, С.А. Чернов, В.П. Юзиков, В.Ф. Оробей, J.M. Gere, W.F. Chen, M.Y. Kim, G.A. Gunnlaugsson, J.W. Wekezer, A.G. Razaqpur и другие.

1. теории стержней открытого и замкнутого профилей строились независимо друг от друга;

Со временем такое разделение повлекло за собой необходимость разра-

ботки двух различных конечных элементов для проведения численных расчетов тонкостенных стержней в рамках МКЭ, что является крайне неудобным с точки зрения унификации расчетов.

В 2005 г. В.И. Сливкером была предложена теория тонкостенных стержней, которую можно применять как для расчета тонкостенных стержней замкнутого, так и открытого профилей. Эту теорию автор назвал полусдвиговой теорией, т. к. изгиб такого стержня описывается в рамках бессдвиговой теории Бернулли-Эйлера.

В настоящее время вопросы динамики тонкостенных стержней в рамках полусдвиговой теории являются неисследованными как в теоретическом плане, так и с точки зрения численной реализации МКЭ.

Все вышеперечисленное свидетельствует об актуальности темы диссертационной работы.

Целями диссертационной работы являются:

1. Аналитическое решение статических задач кручения стержня в рамках полусдвиговой теории при любых граничных условиях. Сравнение полученных решений с известными решениями аналогичных задач по бессдвиговой теории Власова;

2. Вывод уравнений динамики тонкостенных стержней в рамках полусдвиговой теории. Аналитическое исследование крутильно-деплана-ционных волн, свойств собственных частот и форм колебаний. Сравнение полученных решений с известными решениями аналогичных задач по бессдвиговой теории Власова;

4. Разработка конечноэлементной программы, позволяющей решать задачи статики и динамики пространственных конструкций, состоящих из тонкостенных стержней.

Научная новизна В диссертационной работе:

1. Получены уравнения динамики тонкостенного стержня в рамках полусдвиговой теории В.И. Сливкера;

2. Построены и проанализированы дисперсионные зависимости и фазовые скорости крутильно-депланационных волн в биссиметричных тонкостенных стержнях по полусдвиговой теории Сливкера. Произведено сравнение с известным решением аналогичных задач для бессдвиговой теории Власова;

3. Получены аналитические решения ряда задач о собственных колебаниях тонкостенных стержней в рамках полусдвиговой теории, применимые для стержней замкнутого и открытого профилей. Произведено сравнение с известным решением аналогичных задач для бессдвиговой теории Власова;

4. Построена матрица жесткости конечного элемента тонкостенного стержня открытого и замкнутого профилей по полусдвиговой теории с использованием общего решения однородных уравнений равновесия;

5. Получены согласованные матрицы масс конечных элементов тонкостенного стержня открытого и замкнутого профилей по полусдвиговой теории, основанные на различных видах аппроксимаций функций перемещений. Произведено сравнение их эффективности;

6. Разработан алгоритм и программа для решения задач статики и динамики пространственных конструкций, состоящих из тонкостенных стержней открытого и (или) закрытого профилей.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Получены универсальные выражения для функции угла закручивания 9{х) и меры депланации ¡3(х), позволяющие получить решение статических задач для любых граничных условий;

2. Получены универсальные уравнения, позволяющие получить спектр собственных частот тонкостенного стержня с биссимметричным поперечным сечением для различных граничных условий;

3. Получены общие выражения для геометрических параметров — коэффициентов формы сечения тр и позволяющие вычислить их значения для профилей в виде швеллера, двутавра или прямоугольной трубы;

4. Разработаны конечные элементы тонкостенных стержней по полусдвиговой теории В.И. Сливкера, позволяющие выполнить статический и динамический расчеты пространственных стержневых конструкций, состоящих из тонкостенных стержней открытого и (или) закрытого профилей;

5. Приведенные в работе выкладки позволяют разработчикам внедрить конечный элемент, учитывающий стесненное кручение, в любой ко-нечноэлементный расчетный комплекс, при условии, что он может работать с конечными элементами, имеющими семь степеней свободы в узле.

На защиту диссертации выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Аналитические решения для функции угла закручивания 9{х) и меры депланации ¡3{х) задач стесненного кручения в рамках полусдвиговой теории;

2. Явные формулы, позволяющие вычислить значения геометрических параметров ф и ¡i^ для тонкостенных стержней открытого, а также закрытого профилей;

4. Вывод уравнений движения в рамках полусдвиговой теории, применимых для тонкостенных стержней любого профиля;

5. Построение и анализ дисперсионных кривых крутильно-депланаци-онных волн тонкостенного стержня бисимметричного профиля;

ческое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», СПбГАСУ, Санкт-Петербург, сентябрь 2011 г.; Семинар на кафедре строительной механики и теории упругости СПбГПУ, СПбГПУ, Санкт-Петербург, 2012 .г; Научная конференция «Строительство, архитектура, инженерная охрана окружающей среды» в рамках Политехнического молодежного фестиваля науки ФГБОУ ВПО СПбГПУ, Санкт-Петербург, май 2013; XXV международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», СПбГАСУ, Санкт-Петербург, сентябрь 2013; XLII scientific and practical conference for students, graduate students and young scientists «Week of Science in SPbSPU», Saint-Petersburg, December 2013.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 работах, из них 3 работы — в изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов, утвержденный ВАК Российской Федерации.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и трех приложений. Общий объем диссертации 119 страниц, включая 32 рисунка и 9 таблиц. Библиография включает 82 наименования.

Глава 1

Исторический обзор по развитию теории расчета тонкостенных стержней.

Историю развития теории тонкостенных стержней условно можно разделить на три этапа. Первый этап (1905 - 1940 гг.) - первые экспериментальные и теоретические работы, посвященные, в основном, отклонениям от закона плоских сечений при изгибе балок. Второй этап (1940 - 1970 гг.) связан с разработкой законченной теории тонкостенных стержней с углубленным изучением неразрезных тонкостенных балок, вопросов устойчивости, а также расчетов плоских и трехмерных рам. Третий этап (1970 - по настоящее время) ознаменован появлением и активным развитием вычислительных средств и, в частности, методом конечных элементов [35].

Зарождение теории стесненного кручения тонкостенного стержня открытого профиля связано с работами С.П. Тимошенко [48, 49]. Он исследовал задачу о стесненном кручении консольной двутавровой балки, и выяснил, что для точного нахождения значения угла закручивания следует учитывать не только напряжения свободного кручения, но и напряжения изгиба в полках двутавра.

Немецкий ученый Вебер (С. Weber) [81] обобщил дифференциальное уравнение стесненного кручения, полученное Тимошенко, для стержней с иным поперечным сечением (двутавровое с разыми полками, швеллерного, зетового).

Законченную и обобщенную теорию расчета тонкостенных стержней открытого профиля при стесненном кручении разработал В.З. Власов [13, 14]. Предложенная им теория тонкостенных стержней основывается на двух гипотезах:

1. Тонкостенный стержень открытого профиля рассматривается в виде оболочки с недеформируемым в поперечной плоскости профилем;

2. Деформация сдвига в срединной плоскости профиля равна нулю.

Для ряда геометрических и силовых факторов Власовым были введены новые термины. Власовым получены общие дифференциальные уравнения деформирования тонкостенного стержня под нагрузкой, а также выявлено, что принцип Сен-Венана [41] о быстром затухании по длине стержня местных напряжений от уравновешенной внешней нагрузки практически не действует. A.B. Александров с помощью точного решения теории упругости, полученного с использованием тригонометрических рядов, проверил теорию Власова в работе [2].

В то время как Власов рассматривал тонкостенные стержни только открытого профиля, A.A. Уманский разработал теорию [54, 55] расчета тонкостенных стержней замкнутого профиля. Здесь уместно упо