Устойчивость пластин и тонкостенных стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

В в е д е н и е.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН И

ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРШЕЙ.

1.1. Анализ работы по устойчивости прямоугольных пластин со сложными граничными условиями в линейной постановке.

1.2. Исследования местной потери устойчивости тонкостенных стержней.

1.3. Закритическое поведение пластин и тонкостенных стержней с недеформируемыми кромками с учетом динамики и геометрической нелинейности.

1.4. Цель и задачи исследования.

2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН СО СЛОЖНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ.

2.1. Точный способ решения задач динамической устойчивости пластин.

2.1Л. Дифференциальное уравнение динамическое устойчивости тонких пластин.^.

2.1.2. Определение критических уошшй сжатых пластин.

1 lOJS

2.1.3. Определение частот свободных й'йлебаний незагруженной и загруженной постоянными усилиями пластины.

2.1.4. Параметрические колебания пластин.

2.2. Методы решения задач устойчивости пластин со сложными краевыми условиями на основе энергетического критерия Тимошенко.

2.2.1. Энергетический метод Тимошенко в задачах устойчивости пластин.

2.2.2. Определение критических усилий методом двучленной аппроксимации.

2.2.3. Определение критических усилий модифицированным энергетическим методом.

3. МЕСТНАЯ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ.

3.1. Точный способ решения задач динамической местной потери устойчивости стержней.

3.1Л. Дифференциальные уравнения динамической местной потери устойчивости тонкостенных стержней.

3.1.2. Определение критических усилий тонкостенных стержней.

3.1.3. Определение частот свободных колебаний незагруженных и загруженных продольными усилиями тонкостенных стержней.

3.1.4. Параметрические колебания тонкостенных стержней

3.2. Определение критических усилий тонкостенных стержней на основе решений для пластин, полученных энергетическим методом.

4. ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПЛАСТИН

4.1. Способ решения геометрически нелинейной динамической задачи устойчивости пластин.

4.2. Определение закритических деформаций при статическом нагружении.

4.3. Определение закритических деформаций при динамическом нагружении.

4.4. Напряженное состояние и несущая способность пластин в закритической области.

5. ПОВЕДЕНИЕ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

ПОСЛЕ МЕСТНОЙ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ.

5.1. Способ решения геометрически нелинейной динамической задачи местной потери устойчивости тонкостенных стержней.

5.2. Определение закритических деформаций при статическом нагружении.

5.3. Определение закритических деформаций при динамическом нагружении.

5.4. Напряженное состояние и несущая способность тонкостенных стержней после местной потери устойчивости. б. АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ. НО

В В Е Д Е Н И Е Решения ХХУ1 съезда КПСС требуют дальнейшего ускорения научнотехнического прогресса, более рационального использования производственного потенциала страны, всемерной эконоши всех видов ресурсов. Важную роль при этом играют разработка и внедрение в практику облегченных инженерных конструкций, которые при достаточной прочности и жесткости требуют наименьших затрат материалов. Одниш из распространенных типов конструкций, удовлетворяющих этим требованиям, являются конструкции, состоянии из прямоугольных пластин: тонкостенные стержни, сшогопанельные пластины, пластины с подкрепленияш, сотовые конструкции и другие. G точки зрения практики, для этих конструкций весьма актуальны задачи устойчивости как статические, так и диналические. Причем, задачам местной потери устойчивости тонкостенных конструкций менее исследованныьш по сравнению с задачами общей потери устойчивости, последнее время уделяется все большее внимание. Однако, на сегодняшний день, степень разработки проблем устойт-швости и закритического напряженно-деформированного состояния рассматриваемых тонкостенных конструкций отстает от запросов практики. Целью работы является исследование статической и динаш1ческой устойчивости прямоугольных пластин с упруги1ли граничными условиями и местной устойчивости тонкостенных стержней, а такхе закритического поведения этих конструкций. Для достижения этой цели решены следующие задачи: 1. На основе полученного автором обобщения точного решения П.Тимошенко задач статической устойчивости сжатых прямоугольных пластин с произвольными условиякга на продольных сторонах решена задача динамической устойчивости для таких пластин. 2. Методаш! двучленной аппроксимации и модифицировашлм энергетическим методом, предложенныли Н.Каном для широкого класса задача устойчивости и колебаний упругих систем, определены критические усилия потери устойчивости равномерно сжатых в одном или двух направлениях прямоугольных пластин со сложными упругими граничными условиями, 3. с использованием решенных задач устойчивости для пластин исследованы задачи местной потери устойчивости конструкций типа тонкостенных стержней произвольного профиля, сотовых конструкций, многопанельных пластин. 4. Решены динамические геометрически нелинейные задачи устойчивости прямоугольных пластин с упруго зaщetллeнныш сторонаш, в том числе и с одной свободной стороной, местной потери устойчивости тонкостенных стержней и даны рекомендации для определения их несущей способности в закритической области. Научная новизна работы определяется: разработкой вопросов применения методов исследования задач устойчивости сложных упругих систем: метода двучленной аппроксимации и модифицированного энергетического метода Н.1{ана к новым для них задачам устойчивости прямоугольных пластин и тонкостенных стержней со сложными упругими граничными условияш; способом точного решения статических и динамических линейных задач устойчивости пластин с упруго зaщeмлeнныли продольными сторонами и местной потери устойчивости тонкостенных конструкций, составленных из подобных пластин, заключаюшимпя в задании формы выпучивания комплекснозначныли функцияь1и, что позволило рассмотреть не учтенный в известном решении П.Тимошенко вид корней характеристического уравнения. Эти функции находятся как общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающие при разделения переменных в линейной статической задаче устойчивости; отмеченным в работе совпадением форм выпучивания прямоугольных пластин со свободно опертыми продольными сторонами и произвольными условиями на поперечных сторонах при потере устойчисвости от равномерного сжатия в продольном направлении и свободных колебаниях. Этот факт также имеет место и для тонкостенных стержней со свободно опертыми торцаш, к которым в задаче устойчивости приложена равномерно распределенная осевая сжимающая нагрузка, в условиях местного выпучивания; определение критических усилий и частот собственных колебаний при местном выпучивании тонкостенных стержней, не решением системы трансцендентных уравнений, как обычно, а сведением этой cиcтeлы к одному трансцендентному уравнению относительно искомого собственного числа. Это достигается благодаря рациональному представлению тонкостенной конструкции как состоящей из произвольного числа пластин с упруго защемленныьга сторонаш и имеет место для любого числа пластин; решением геометрически нелинейной динашческой задачи устойчивости тонкостенных стержней методом Бубнова-Галеркина с использованием для аппроксимации закритического прогиба кошлексных функций, отвечающих точно1лу решению соответствующих линейных задач, Достоверность полученных результатов подтверждается их сопоставлением с результатами экспериментальных исследований автора, в которых изучалась местная потеря устойчивости и следующая за ней потеря несущей способности сжатых тонкостенных стер}кней швеллерного и прямоугольного сечений, а также с имеющимися литературными данныли теоретических и экспериментальных исследований. Практическая ценность работы заключается в возмолшости использования разработанных методов расчета и результатов проведенных исследоваш-тй в расчетной практике проектно-конструкторских организаций, научно-производственных объединений и других предприятий при разработке конструкций, элементаш! которых являются прямоугольные пластины и тонкостенные стержни. Основные результаты диссертационной работы внедрены в конструкторско-расчетную практику производственного объединения АвтоКРАЗ и применялись при расчете несущих элементов грузовых платформ большегрузных автомобилей КрАЗ. Энергетические методы решения задач устойчивости используются в учебном процессе в Харьковском институте инженеров коммунального строительства. Результаты внедрения подтверждены актами, На защиту выносится: 1. Методы и результаты решения статических и динаилических задач устойчивости сжатых прямоугольных пластин со сложными упругими граничными условияш и местной потери устойчивости тонкостенных стержней. 2. Методика и результаты решения статических и динaличecкиx геометрически нелинейных задач закритического поведения этих конструкций.I. КРАТШЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН И ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ 1.1. Анализ работы по устойчивости прямоугольных пластин со сложными граничными условиями в линейной постановке Требования проектировщиков и конструкторов в области машиностроения, авиастроения,строительства и других ных стержней. Особое влияние на развитие теории устойчивости таких конструкций вплоть до наших дней оказывают фундаментальные работы выдающегося ученого С,П.Тимощенко,см./1,2/. Им были решены задачи устойчивости однородных и изотропных тонких прямоугольных пластин. При допущении о малости прогибов пластин по сравнению с их толщиной, что обеспечивает недеформируемость срединной поверхности,та кие задачи описываются линейньш однородным дифференциальным уравнением в частных производных. Рассматривая пластины, сжатые в одном направлении равномерно распределенны\!и усилиями, с двумя свободно опертыми поперечными сторонами (Х=0 и Х=С1) и произвольными условиями на продольных сторонах (У=0 и У 0 см.рис,1,1, Тимошенко отметил возможность получения решения этого дифференциального уравнения в виде: отраслей индустрии обусловили интерес к проблемам устойчивости пластин и тонкостенШЗГХ z(a:,y)=Zgjy)5lRf где при выпучивании вдоль оси ОХ, (I.I) ITI число полуволн, на которые разбивается пластинка у (I 4) *У А/ Рис. I.I. Равномерно сжатая в продольном направлении прямоугольная пластина. П,=1,Пк=1 Пп=4,Пк=1 П=2,Пк 1 /Г= If If" П„=:2,Пк=2 П„=3,Пк=2 Пп=3,Пк=2 Рис. 1.2. Возможные формы местной устойчивости швеллера.С*ь2.,с1з,с1- постоянные интегрирования, D 1;илиндрическая жесткость пластинки, NKP критические значения равномерно распределенной сжимающей нагрузки, удовлетворяющие обязательному условию: МкЕ>(Т£ЗГ (1.5) G помощью ставшего традиционным условия существования нетривильных форм выпучивания, удовлетворяющих условиям на продольных сторо*нах, Тимошенко находил величину критических усилий. Однако, с помощью описанного решения можно получить значения N K P большие некоторого положительного числа, определяемого неравенством (1.5). Как мы увидим ниже, этого решения недостаточно для пластин, входящих в состав тонкостенных конструкций в условиях местной потери устойчивости. Большой интерес представляет сформулированный П.Тимошенко энергетический метод решения задач устойчивости упругих систем. Согласно ЭТОМУ методу, критические значения внешних усилий находятся из условия равенства работ внешних и внутренних силовых факто-* ров на перемещениях потери устойчивости. Являясь простым и нагляд»» ным, энергетический метод Тимошенко позволяет приближенно решать задачи устойчивости пластин, для которых невозможно найти точное решение. Интересно, что иногда можно встретить применение этого метода к задачам устойчивости пластин, которые можно решить точным методом интегрирования дифференциального уравнения устойчивости.Например, в работах /3,4/ метод Тимошенко был применен к задаче устойчивости прямоугольной пластинки, поперечные края которой были свободно оперты, а продольные упруго защемлены. Неизвестные функции Qmly) авторы статей представили не в виде аналогичном формуле (1.2), а приближенно, в виде алгебраических полиномов. Естественно, что результат решения задачи был получен с превышением по сравнению с точным решением.Рассмотрим ставшую эталонной задачу устойчивости, которую невозможно решить точно. Это задача устойчивости равномерно сжатой в двух направлениях жестко защемленной квадратной пластинки. Проведем на ее примере сравнительный анализ энергетического метода Тимошенко с методами других авторов. 1кмошенко в работе /I/ приводит значение минимального критического коэффициента К=5,33. В статье Уонга и Беттеса /5/, развивающей идеи Тейлора /б/ и Факсена /7/ о применении приближенного решения уравнения устойчивости в виде рядов тригонометрических и гиперболических функций, получена нижняя граница К 5,3035. Американский математик А.Вайнштейн, иллюстрируя возможности своего метода, разработанного для решения сложных задач математической физики и основанного на аппроксимации заданных граничных условий сходящейся последовательностью более простых, получил значение К с недостатком, равное 5,30362, см. /8/. Решая эту задачу в тригонометрических рядах Даревская в /9/ получила К=5,308, Результат, основанный на применении асимптотического метода Болотина, см. /10/, получил Дикинсон в /II/, он составил 5,3025. Как мы видим, точное значение К находится в пределах между 5,304 и 5,308. Относительная ошибка расчета по методу Тимошенко составила 0,6%. Несмотря на наличие методов, даюший более точный результат, простота и наглядность аналитического решения по энергетическому методу Тимошенко говорит в пользу возможности его применения. Особенно эти качества будут сказываться в сложных задачах устойчивости составных тонкостенных конструкций, где применение упомянутых выше методов, а также метода Ньютона-Канторовича в аналитической форме, см. /12,13/, затруднено вследствие громоздкости аналитического выражения для критического коэффициента, а.. иногда и невозможности его получения. Главной же сложностью в применении энергетического метода Тимошенко является выбор координатных функций. Традиционный путь ее преодоления, которы?л пользевался и сам автор метода, применение балочных функций. Развивая идеи Тимошенко, Н.Кан в работе /14/ применил для аппроксимации прогиба между двумя упруго защемленными сторонами пластинки линейную комбинацию двух балочных функций, казэдая из которых соответствовала одному предельному случаю опирания либо свободному опиранию, либо жесткому защемлению. Применение двучленной аппроксимахи в энергетическом методе Тимошенко дает практически точное решение не только для предельных случаев, но и для случая равных жесткоетей защемления противоположных кромок пластины. Подобная методика в задачах устойчивости прямоугольных пластин с упруго затемненными сторонами применена в работах /15,16/. Модификация энергетического метода Тимошенко, также разработанная Н.Каном, в качестве приближенного выражения для прогиба потерявшей устойчивость пластинки, предлагает использовать не балочные функции, а их высшие производные балочные моменты. Результаты решения задач устойчивости, приведенные в /17/, показывают достаточную точность модифицированного энергетического метода. Дальнейшим развитием статической теории устойчивости тонких пластин является теория динамической устойчивости. Если в статической теории неустойчивость возникает лишь при достижении величиной внешней нагрузки критических значений, то в динамической теории она имеет место в большем числе случаев, зависящих не только от величины критической нагрузки статической потери устойчивости, но и от величин частот свободных колебаний, а также динаш1ческих характеристик нестационарной внешней нагрузки. Первые простые задачи динамической устойчивости были решены И,М,Беляевым, В.А.Боднером, В.Н.Челомеем, теоретические основы этой теории были разработаны В.В.Болотиньм /18/. В этой работе, а также в монографии /19/, задача динамической устойчивости сжатых пластин со свободно оперты\ш сторонами, форму выпучивания которых можно представить в виде оо w(a:,y,t) Z--f„2„,Jx,y) где Tmtv амплитуда колебаний (1.6) сводится точно или приближенно к одному уравнению Матье-ОСилла в обыкновеннык производных второго порядка относительно амплитуды произвольной фopш выпучивания. Уравнение Матье-Хилла есть одно из известных уравнений математической физики. Его теория достаточно полно изложена в трудах Стретта /20/ и Мак-ахлана /21/, а также в современных работах /22«-24/. В.Н.Челомвй /25/ показал, что эта задача в общем случае приводит к системе уравнений с периодичеекили коэффициентами. В.В. Болотиным в /18/ установлен класс задач, которые могут быть точно описаны одним уравнением второго порядка. В частности, параметрические колебания свободно опертых прямоугольных пластин могут быть описаны с помощью одного уравнения Матье-Хилла для произвольной формы выпучивания, В монографии В,В,Болотина /18/ приведены результаты решения динамических задач, приводящих к одному уравнению Матье-Хилла, исследованных А.Н.Марковым, О.Д.Ониашвили, З.И.Халиловы:?л и другими. По мнению автора, менее полно изучен вопрос о возможности точного сведения динамических задач устойчивости сжатых прямоугольных пластин с различными, в том числе и упругими, граничными условиями на продольных сторонах и конструкций из них к решению задачи Коши для одного уравнения Матье-Хилла. Несмотря на то, что задачи определения частот и форм свободных колебаний, включая и высшие, прямоугольных пластин с различными краевыми условиями представлены достаточно полно, как в отечественной /26-29/, так и в зарубежной литературе /30-32/, численных результатов по определению высших критических значений сжимающей нагрузки и форм потери устойчивости недостаточно. Практически все известные автору результаты решения этих задач для пластин с разлихшыми вариантами свободных, свободно опертых и жестко защемленных сторон приводятся у Вольмира в /33/. Также недостаточно полно разработан вопрос о сведении решения динамических задач устойчивости прямоугольных пластин с упруго защемленными сторонами к решению задач Коши для уравнений Матье-Хилла. 1.2. Исследования местной потери устойчивости тонкостенных стержней Тесно связаны с задачами устойчивости тонких прямоугольных пластин со смешанными граничными условиями задачи местной потери устойчивости конструкций типа тонкостенных стержней, постоянного открытого или замкнутого профиля, тонких пластин с подкреплениями, многослойных тонкостенных конструкций с сотовым заполнителем. Это объсняется тем, что, как отмечает Г.Хертель в /3,4/, подобные конструкции в ходе местной потери устойчивости можно условно разделить на отдельные пластины, соединенные по недеформируеьплм продольным прямолинейным кромкам. Согласно Хертелю явление местной потери устойчивости перечисленных выше тонкостенных конструкций обладает следующими свойства»ли. Свойство I. Сохранение углов менуу составляющими конструкцию пластинами Свойство 2. Общие кромки пластин остаются прямолинейныгли вследствие намного большей жесткости пластинок на сдвиг и изгиб в своей плоскости, чем на кручение вокруг этих кромок, Свойство 3, Местная потеря устойчивости распространяется на все сечение так, что все составляющие конструкцию пластичны выпучиваются одновременно и имеют одинаковые числа полуволн выпучивания в продольном направлении, Свойство 4. Продольное напряжение до наступления местной потери устойчивости одинаково по всему сечению. Свойства местной потери устойчивости, сфордулированные Хертелем, подтверждаются экспериментальными исследованиями тонкостенных стержней различных профилей и подкрепленных пластин, результаты которых изложены в /3541/. На рис,1.2 приведены возможные формы выпучивания при местной потере устойчивости поперечного сечения тонкостенного стержня швеллерного профиля. Как отмечает Хертель, развертывание такого профиля дает неразрезную пластинку, которая в местах прежних ребер шарнирно оперта. Такова связь между задача* ми устойчивости развертывающихся профилей и неразрезных пластин, подкрепленных абсолютно жесткиш на изгиб ребрами в направлении сжатия. Задача устойчивости неразрезной пластины была решена П.Ф. Папковичем /42/. Особый интерес представляет подробно разобранные граничные условия на кромках, по которым соединяются пластины. Как пишет Папкович, для корректности решения этой краевой задачи необходимо вьшолнение на каждой кромке условий совместности прогибов, углов поворота и равновесия изгибающих моментов. Условию неразрывности поперечных сил на краях соседних пластин удовлетворять не нужно, так как разность поперечных сил на краях соседних пластин будет воспринимать жесткое ребро. Для тонкостенных стержней в условиях местной потери устойчивости,условия Папковича также имеют шсто с оговоркой, что поперечные силы на краю пластины воспринимает соседняя, работакщая как абсолютно жесткая опора в полном соответствии со вторым свойством Хертеля. Свойства местной устойчивости рассматриваемых тонкостенных конструкций обусловили применение для их расчета результатов реше« ния задач устойчивости тонких прямоугольных пластин. Так Тимошенко в /I/ предложил рассчитывать сжатую пластину, подкрепленную по продольным сторонам ребрами малой ширины как упругозащемленную, причем считал, что сопротивление повороту продольных краев пластины создает крутильная жесткость ребер. Это приближенное представление не удовлетворяет четвертому свойству Хертеля и при определении критической нагрузки дает ошибку, которая возрастает при увеличении ширины ребер. Однако, прямоугольные пластины с упруго защемленны1ли продольными сторонами нашли применение в задачах местной устойчивости тонкостенных стержней. Так, например, швеллер можно представить состоящим из одной пластины с двумя упруго защемленными продольныш сторонами и двух пластин с одной упруго защемленной и одной свободной стороной. В условиях совместности Папковича для общих кромок пластин, согласно Хертелю, входит условие равенства нулю нормальных прогибов пластинок и условие равенства нулю суммы коэффициентов 2 R L упругих защемлений, каждый из которых определяется по формуле: R= где 1; защемления 1фая, U.7) М момент упругого и1 Z угол кручения края. Кстественно, tiro часть этих коэффициентов имеет отрицательвые значения. Физический с?лысл этого факта состоит в том, что упругозащемленная пластинка ослабляется действуюшиш! в направлении угла поворота края моментами защемления с отрицательной жесткостью. Для таких пластинок критические усилия потери устойчивости могут быть малы настолько, что для них невозможно применять решение Тимошенко соответствукщее форь?5|Глам (1.1)-(1.4). В работе /43/, посвященной экспериментальному и теоретическолу определению минимальных критических напряжений местной потери устойчивости сжатых тонкостенных стержней, пластины на которые действуют моменты защешения с R>0 называются жесткими К*и ("stiHened" а те, на которые действуют моменты с нежесткими элементами "unstiene<A elements На наш взгляд, предпочтительнее термины "подкрепленная" и "ослабленная пластинки", которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Аналитический способ определения критических усилий местной потери устойчивости тонкостенных стержней открытого профиля и сотовой конструкции изложен в работе /44/. Благодаря полностью соот« ветствущему вышеприведенным свойствам Хертеля представлению тонкостенного стержня в условиях местной устойчивости как состоящего из абсолютно жестких на сдвиг и изгиб в своей плоскости пластин с упруго защемленными общиш! кромками, задачу оказалось возможным решить точно. На основе решений дифференциальных уравнений устойчивости пластин авторы с помощью дШ получили значения минимальных критических коэффициентов для наиболее распространенных профилей, изготовленных из алюминиевых сплавов. Следует отметить, что при определении исходных данных для машинного счета по методике авторов необходимо вручную найти значения неизвестных углов поворота продольных краев расчетной панели. Их определение состоит из составления и решения линейной алгебраической системы с L I неизвестными, где L число пластин, составляющих стержень. Эти затруднения, связанные с применегтаем методики на практике, авторы преодолели, приведя в своей работе большое количество численных результатов в виде графиков зависимости минимальных критических усилий от геометрических характеристик 4 типов открытых профилей и сотовой пластинчатой конструкции. Влияние жесткости упругого защемления на работу стенок двутавровых металлических колонн исследовано в /45/. Отмечено, что упругие моменты, вызванные наличием подкрепляющих стенку полок, и направленные против поворота краев, повышают критические усилия потери стенкой устойчивости. Отдельные задачи местной потери устойчивости тонкостенных стержней открытого профиля решены в работе /46/, где стержень рассматривается как совокупность пластин с двумя упруго защемленными или с одной упруго защемленной и одной свободной продольной стороной. Пластинки связаны условиями совместимости, подобными приведенным] в /34/, Прогибы выпучивания каждой из пластин заданы в виде аналогичном форлуле 1 Л где д>п(у) выби« рается как прогиб балки от равномерной нагрузки. Задача решается энергетическим методом. Два последних обстоятельства обусловиж приближенный характер полученных автором результатов. Использование решений, полученных для пластин с упруго защемленными сторонами, не единственный способ определения критических напряжений местной потери устойчивости тонкостенных конструкций, составленных из пластин. В работе /47/ изложен способ решения этой задачи устойчивости для тонкостенных стержней коробчатого профиля, равномерно сжатых в продольном направлении, с помощью передаточных матриц. Схожую принципиальную основу имеет метод разработанный английским ученым Уиттриком в работах /48-52/. Он основан на применении точного решения дифференциального уравнен ния устойчивости прямоугольных Пластин со свободно опертыми ш)перечными сторонами, к которым приложена равномерно распределенная нагрузка и имеющими произвольные условия продольными сторонами. В качестве граничных условий на продольных сторонах, по которым пластинки соединяются в тонкостенную конструкцию, Уиттрик предлагает использовать условия непрерывности нормальных и касательных напряжений, в виде заимствованном из монографии В.В.Новожилова /53/. В результате, если для получения критических усилий сжатой пластины Тимошенко необходимо было решать одно трансцендентное уравнение; то Уиттрику для получения критического усилия местной потери устойчивости тонкостенной конструкции нелинейную алгебраическую систему такого порядка, сколько пластин входит в состав конструкции. Это потребовало создание специальных алгоритмов, так как известные итерационные методы см. /54/, а также, как отмечено в /55/, оказались неэффективными. Необходимо заметить, что методика Уиттрика позволяет определить не только критические усилия местной потери устойчивости,но и частоты г>об*ственкых колебаний. Расчетная методика, созданная американским специалистом Пржеминицким, см./55-57/, основана на применении метода конечных элементов с использованием элементов в виде полос конечной ширины. Прогиб такой полосы записывается автором как прогиб пластины, свободно опертой на поперечных и имеющей произвольные условия на продольных сторонах в виде, соответствующем фор{4уле (I.I). Условия контакта между конечными элементами получены на основе условий непрерывности усилий и деформаций как внутри пластин, так и по их кромкам. Метод Пржешницкого позволяет значительно снизить число конечных элементов по сравнению с традиционными методами конечных элементов, используешпли для решения двумерных задач,см.например, /58-60/. Однако,как и для этих методов,так и для метода Пржешницкого,количество необходимого машинного времени является экспоненциальной функцией числа используемых конечных элементов, Пoэтoлy слабым местом этого метода,как и метода Уиттрика, является сложность расчета тонкостенных консгрукций состоящих даже из небольшого числа различных пластин. Во всех рассмотренных выше работах,посвященных местной потере устойчивости тонкостенных стержней,рассматривались лишь условия свободного onnpam-iH их торцов. По Хертелю, влиянием краевых условий на торцах тонкостенных конструкций можно пренебречь и пользоваться вышеупошнутыми решениями, когда длина конструкции более чем в три раза превышает наибольшую ширину пластины, ее составляющих. В других же случаях необходимо разрабатывать специальные решения. В работе /61/ рассмотрена задача местной потери устойчивости сжатого сравнительно короткого щвеллера, один торец которого свободен, а другой JKOCTKO защемлен.Автор находит критические усилия энергетическим методом на основе теории призматических оболочек. Для общего случаях профиля тонкостенной конструкции можно использовать двучленную аппроксимацию или модифицированный энергетический метод Н.Кана. 1.3. Закритическое поведение пластин и тонкостенных стержней с недеформируемыми кромками с учетом динамики и геометрической нелинейности Для рассмотренных выше тонкостенных конструкций несущая способность не исчерпывается с потерей устойчивости,Конструкция в состоянии нести сжимающую нагрузку,большую критической,то есть работать в закритической стадии. Здесь необходимо учитывать конечную величину деформаций срединной поверхности пластин. Соответствующие дифференциальные уравнения были получены -Т.Карманом в I9I0 году, см,/62,63/.Это квазилинейная система дифференциальных уравнений в частных производных относительно прогибов и напряжений в срединной поверхности пластины. Естественно, что для приближенного решения системы уравнений Кармана, которую невозможно решить точно, применялись решения линеаризованных задач. Так, например, П.А.Соколов в работе /64/ применил решение линейной задачи устойчивости свободно опертой квадратной пластинки для аппроксимации закритического прогиба: Метод Бубнова-Галеркина развитый в трудах этих двух советских ученых, см. /65, 66/, находит самое широкое применение в решении подобных задач. В работах А.С.Вольшра и его учеников /19,67/ применен метод Бубнова-Галеркина к решению различных задач устойчивости гибких прямоугольных пластин с краевыш условиями свободного опирания или жесткого защемления, где также были использованы решения соответствующих линейных задач. Более общий случай краевых условий упругое защемление продольных сторон и свободное опирание поперечных, к которым приложена сжимающая нагрузка, рассмотрен в работе /68/, Задача решалась энергетическим методом, причем поверхность прогиба аппроксимировалась приближенным выражением: ZC0C,y)=SlnZAnCl?„+COSYixf) (1.9) где Ап,7»Т коэффициенты, которые находятся в результате взятия интегралов энергетического метода. Разработанное Л.П.Винокуровым /69/ решение плоской задачи теории упругости в полиномах находит широкое применение при решении геометрически нелинейных задач устойчивости пластин, см,,например, /19/, В работе /70/ применение решения линейной задачи устойчивости для решения геометрически нелинейной задачи гибких пластин былр экспериментально обосновано. При исследовании устойчивости тонкой прямоугольной свободно опертой пластинки, форма выпучивания срединной поверхности соответствовала виду форулы (1.8) вплоть до нагрузки в 2,5 раза выше критической. Экспериментально-теоретический способ решения уравнений Феппля-Кармана для пря?лоугольной пластины предложен в работе /71/. Авторы использовали в методе Канторовича-Власова аппроксимацию прогиба в одном направлении балочными функцижли, а вдругом экспериментально определенной кривой. Их результаты имеют один порядок точности с результатами, полученными методом Бубнова-Галеркина. Однако, сложность экспериментального определения приближенного выражения для прогиба говорит не в пользу данной методики. Полученные различными способа!ли решения уравнений Кармана для прямоугольных пластин дают следующую картину деформаций и напряжений срединной поверхности пластин с различными условия»ми на продольных сторонах. Напряжения в срединной поверхности изменяются неравномерно по ширине пластины. Характерное распределение, показанное на рис.1,3, обусловило появление расчетных методик, учитывающих тольку ту часть ширины пластины, которая воспринимает большую часть действующих напряжений. Эти приближенные, оценочного характера, расчеты приведены в работах /63,72/. Нормальный прогиб, по форме соответствующий прогибу линейной задачи, увеличивается с ростом внешней нагрузки. Причем, как отмечено у Вольмира /67/, с увеличением прогиба должна изменяться форма выпучивания пластинки в сторону увеличения числа полуволн выпучивания в направлении сжатия. Анализ явления смены форм выпучивания в закритической стадии содержится в работах /73-75/. Потеря устойчивости по форме, соотЕветствукацей минимальной критической нагрузке возникает первой. В момент прохождения увеличивающейся сжимающей нагрузкой второго по величине критического значения, первая форма вьшучивания сменится второй. Смена форм произойдет резко, хлопком. По предложению Вольмира, редукционный коэффициент, равный отношению максимального напряжения в срединной поверхности к среднему по сечению, увеличивающийся в закритической стадии с ростом внешней нагрузки, также должен скашшобразно измениться. В экспериментальных работах /39,67,76,77/ описаны потеря устойчивости и появление закритических деформаций сжатых пластин при нагрузках, меньших критических. Этот факт объясняется влиянием на устойчивость пластин так называемых начальных несовершенств, теория которых начала свое развитие с исследований В.Т.Койтера, см. /78,79/, а в нашей стране с работ A.G.Вольмира /67/, Н.Кана /80,81/ и других. Рассмотрим, как влияют начальные несовершенства на устойчивость тонкой квадратной пластины, равномерРис. 1.3. Распределение закритических напряжений в срединной поверхности прямоугольной пластинки. из работы в г U5 р а в о т ы 8 3 Рис. 1.4. Закритическая десрормащш геометрически несовершенных пластин, но сжатой в одном направлении. На рис,1.4 приведены результаты решения этой задачи для пластин с синусоидальными несовершенствами различной величины, полученные в работе /82/ аналитически энергетическим методом и в работе /83/ методом конечных элементов. Как видно из рисунка наибольшее влияние оказывают начальные несовершенства на докритическую область работы конструкции. Ког да внешняя нагрузка превосходит критическую всего в 1,2 раза, влияние начальных несовершенств на величину закритического прогиба практически отсутствует. А ведь подкрепленные по продольным краям пластины способны нести нагрузку в нескольк раз превышаюШую критическую, см./84/. С геометрически нелинейными задачами устойчивости прямоугольных пластин, так же как и с линейными, тесно связаны задачи поведения рассматриваемых нами тонкостенных конструкций после местной потери устойчивости. Соединенные по недеформируемым кромкам,работающие совместно пластины и после потери ими устойчивости продолжают нести продольную сжимающую нагрузку.Наличие конечных деформаций вызывает необходимость учитывать не только условия совместности для прогибов и их производных,как в линейных задачах, но и для напряжений в срединной поверхности пластин.Некоторые краевые условия для нормальных и касательных напряжений в срединной поверхности пластин,входящих в состав тонкостенной конструкции, приведены в монографии Папковича /42/ для местной потери устойчивости подкрепленных ребрами пластин. Более подробный их анализ содержится в работе /67/. Однако в этих трудах не содержатся конхфетные рекомендации о том,какие именно краевые условия на общих кромках пластин необходимо использовать в задачах закритического поведения составленных из пластин тонкостенных конструкций. Приближенные решения геометрически нелинейных задач тонкостенных конструкций,в которых используется концепция"приведенной ширины" пластинки содержится в статье Кармана /85/. В более современных работах /86-88/ изложен единый метод решения нелинейной задачи местной потери устойчивости продольно сжатых тонкостенных стержней различного профиля:прямоугольного, двутаврового, крестообразного, уголкового. Используется метод Бубнова-Галеркина, в качестве функции, аппроксимирующей закритические прогибы конструкции, берется приближенное решение линейной задачи, удовлетворякщее условиям совместности деформаций и усилий. В качестве исходного предположения, упростившего и сделавшего возможным аналитический расчет по предлагаемой методике, принято предположение о постоянстве по поперечному сечению стержня напряжений в срединных поверхностях составляющих стержень пластин. Этого недостатка лишена работа /89/, в которой решается такая же задача для системы уравнений Кармана. Используются решения линейных задач устойчивости этих же авторов,приведенные в работах /3,4/. В статье /90/ предлагается для решения задачи закритического поведения составленной из сжатых пластин конструкции использовать метод конечных элементов. Перечисленные выше работы,посвященные решениям геометрически нелинейных задач устойчивости,а также экспериментальные работы /91,92/,дают следущую картину напряженно-дефор{лированного состояния тонкостенных конструкхий после местной потери устойчивости.Когда сжимающая внешняя нагрузка превысит критическое значение пластины,составляющие стержень, выпучиваются по форме,соответствующей этой критической нагрузке.Если же конструкция содер?кит начальные несовершенства,то выпучивание пластин начинается уже в докритической стадии.Однако в дальнейшем,уже при незначительных превышениях действукщей нагрузкой наименьшего критического значения различие между геометрически совершенной и несовершенной конструкциями исчезает.Напряжения в срединной поверхности пласТИН, увеличиваясь распределяются неравномерно, см.рис.1.3. Среднее их значение растет с ростом внешней нагрузки. Наблюдаемая в задачах закритического поведения пластин смена форм выпучивания также имеет место и в тонкостенных конструкциях рассматриваемых типов, см. /93/. В перечисленных выше работах не описана единая методика решения геометрически нелинейной задачи устойчивости для пластин с подкреплениями, пластин с сотовым заполнителем и тонкостенных стержней открытого и замкнутого поперечного сечения, которая бы давала картину напряжений и деформаций в закритической области. Не содержится в них и анализ нелинейных динамических факторов, Поэтощ результаты этих исследований мозшо применять для отдельных типов тонкостенных конструкций при действии статической или квазистатической, в смысле Вольмира /19/, нагрузки. При динамическом расчете, как показано в /18,19, в систему уравнений Кармана необходимо ввести инерционные члены, содержащие производные по времени от неизвестных функций. Как отмечено в /18/, учет сил инерции, возникающих при колебаниях пластин, входящих в тонкостенную конструкцию, приводит к весьма, сложной системе нелинейных дифференциальных уравнений. Существующие нагрузки, за исключением так называемой ударной, позволяют пренебречь конечной скоростью распространвШ1я деформаций в срединных плоскостях пластин. Это позволяет свести решение динамической системы уравнений .Кармана для тонкой прямоугольной пластины к решению нелинейного уравнения Матье-Хилла. Это уравнение отличается от линейного наличием члена, пропорционального кубу амплитуды нелинейных колебаний. Получение и решение таких уравнений приводится в работе /18/ для свободно опертой прямоугольной пластины и в работе /19/ для жестко защемленной по контуру прямоугольной пластины, сжатых в одном направлении. В этих трудах, а также статьях /94-97/ для свободно опертых прямоугольных пластин, сжатых нестационарной гармонической нагрузкой, показано, что коэффициенты нелинейного уравнения Матье зависят от критических значений нагрузки статической потери устойчивости, частот собственно линейных колебаний и динамических характеристик внешней нагрузки. В работе /18/ показано, что коэффициент при нелинейном члене рассматриваемого уравнения можно получить решением статической геометрически нелинейной задачи устойчивости, В этих работах предложено в качестве аппроксима1]5ИИ нелинейных динамических прогибов использовать решение линеаризованной задачи устойчивости свободно опертой прямоугольной пластинки в виде ряда произведений двух гармонических функций. Учет динамических факторов, проведенный в этих работах, позволил ограничить область неустойчивых решений задачи для свободно опертых пластин. Динамическая нелинейная задача позволит найти конечные амплитуды нелинейных установившихся колебаний, которые в линейной динамической и статической нелинейной задачах оставались неопределенными. По аналогии с рассматривавшимися в обзоре работами по линейной и нелинейной задачам потери устойчивости прямоугольных пластин с различными условиями на краях, можно предположить возможность использования этих решений для решения динамической задачи закритического поведения тонкостенных конструкций составленных из таких пластин. Однако подобных работ автору обзора найти не удалось. Возможно их отсутствие объясняется сложностью задачи. Поясним это. Если использовать решение линейной задачи местной потери устойчивости Уиттекера в качестве координатных функций метода Вубнова-Галеркина для решения геометрически нелинейной статической задачи, а затем перейти к динамической задаче так, как это делается у Болотина или Вольмира, то окажется, что динамическое поведение тонкостенной конструкции будет описываться связанной системой нелинейных уравнений Матье-Хилла. Число уравне11ий в системе будет равно- числу различных пластин, составляющих кон струкцию. Как отмечается в работе /98/, решение систем обобщенных уравнений Матье-Хилла в случае произвольного числа уравнений крайне затруднительно. Результаты решения статических или динамических геометрически нелинейных задач устойчивости многие исследователи используют для решешад вопроса о несущей способности тонкостенных конструкций после местной потери устойчивости. При этом наиболее остро встает вопрос о применимости упругой, подчиняющейся закону Гука, модели материала, из которого изготовлена конструкция.Для случая, когда отдельная пластина или конструкция, составленная из пластин, теряет устойчивость и работает в закритической области при возникновении в ней пластических деформаций,физически линейные решения задач устойчивости в принципе теряют смысл. Но физические нелинейные, а особенно физически и геометрически нелинейные задачи устойчивости тонкостенных конструкций очень сложны. В работе /99/ энергетическим методом получено довольно сложное аналитическое решение физически и геометрически нелинейной задачи для свободно опертых пластин лишь в некоторых частных случаях физической нелинейности. Более перспективен путь применения метода конечных элементов для решения подобных задач, см./83,90/, В работе /100/ Б.Я.Кантором предложен эффективный вариационно- сегментный метод для решения физически и геометрически нелинейных задач теории оболочек. Чтобы получить аналитическое решение различными учеными в разное вредя предлагались способы использования решения задач устойчивости,полученные в предположении физической линейности материала для решения физически нелинейных задай,Так, например, т. Карман предлонсил использовать для определения критических напряжений пластин, теряющих устойч11вость за пределом пропорциональности, эффективный модель: ;упругости, учитывающий разгрузку одной из сторон сжатой пластин. Шенли для этой цели использовал касательный модуль, см./101/, Экспериментальные исследования местной потери устойчивости тонкостенных авиационных профилей из алюшниевых сплавов, проведенные Джерардом, см./102,103/, показали неприменимость к подобным конструкциям концепций Кармана и Шенли, Джерардом было предложено использовать секущий модуль. Стоуэлл в работе /101/ на основе теории советского ученого А.А, Ильюшина, см./104/, предложил использовать в качестве приведенного модуля комбинацию секущего и касательного модулей. Для пластин, входящих в состав тонкостенных конструкций в условиях местной потери устойчивости, приведенный модуль Стоуэлла близок к секущему. Вольмир в статье /105/ с помощью энергетического метода обосновал применение секущего модуля для решения задачи устойчивости свободно опертой пластинки в условиях одноосного сжатия. В работах /46,106/ применены фopIyлы Стоуэлла к расчету критических напряжений и несущей способности прямоугольной пластинки и тонкостенного стержня швеллерного сечения, изготовленных из алюминиевого сплава. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данныш из статьи /92/. В описанных выше работах несущая способность тонкостенной конструкции считается исчерпанной, когда в опасных сечениях ее возникают предельные напряжения, равные, например, временному сопротивлению материала. Необходимо заметить, что работы, в которых аналитическое физически линейное решение экстраполируется на нелинейную область с помощью введения приведенных модулей, дают сравнительно простые результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными..4, Цель и задачи исследования Подъитоживая краткий обзор отечественной и зарубежной литературы по проблемам устойчивости прямоугольных пластин со сложными краевыми условиями и местной устойчивости тонкостенных стержней, необходимо сделать следующие выводы. Наиболее разработанной к настоящему времени областью рассмотренных проблем устойчивости являются линейные задачи определения критических усилий для сжатых пластин и тонкостенных стержней. Существуюпше аналитические решения, если они просты, позволяют, как правило, приближенно решить задачу. Более сложные методики дают точный результат, но для них существенной, а подчас и принципиальной сложностью является расчет тонкостенных конструкций из произвольного числа пластин* Исследованию динамической устойчивости таких конструкций посвящено гораздо меньшее число работ, в подавляющем большинстве из них рассматриваются лишь отдельные пластинки. Причиной этому, по-видимому, является сложность анализа связанных систем линейных уравнений Матье-Хилла. Основой исследования закритической работы тонкостенных конструкций в большинстве проанализированных работ, посвященных этой проблеме, служат решения уравнений Кармана методом Бубнова-Галеркина. В литературных источниках приведены результаты статических расчетов лишь для отдельных пластин. Динамика закритического поведения тонкостенных стержней произвольного профиля после местной потери устойчивости практически не исследована. С учетом вышеизложенного, целью данной диссертационной работы было выбрано исследование экономичными и возможно более простыми прикладными методами статической и динамической устойчивости тонкостенных конструкций как в ходе потери ими местной устойчивости так и в закритической области. Для достижения поставленной цели необходимо рассмотреть следующие задачи: Задача статической устойчивости равномерно сжатых пластин с упругими защемлениями сторон, которые позволяют использовать ее решение в задачах местной устойчивости тонкостенных стержней. При этом, когда позволяют краевые условия, необходимо решать задачу ин тегрированием соответствующего дифференциального уравнения. В дру« гих же случаях для того, чтобы просто получить достаточно точное аналитическое решение, необходимо воспользоваться варианташ энергетического метода П.Тимошенко, предложенными Н.Каном: ме-* тодом двучленной аппроксимации, заключающемся в использовании для пластин с упруго защемленными сторонами линейных комбинаций простых балочных функций для предельных случаев жесткостей упругих защемлений ноль или бесконечность, а также модифицированного энеру* гетического метода, заключающегося в использовании аппроксимации форм выпучивания конструкции балочными моментами с их последукшим интегрированием. 2. Точные и приближенные решения задач устойчивости пластин со сложными упругими граничными условиями рационально использовать для определения критических усилий местной потери устойчивости тонкостенных стержней. Благодаря применению условий упругого защемления краев пластин, соединенных по общим кромкам в тонкостенный стержень, решение получится не только обладающее высокой степенью точности, но и достаточно простое. 3. Точные решения задач определения критических значений сжимающих усилий для пластин и тонкостенных стержней можно использовать при решении задач собственнвх колебаний и динамической устойчивости этих конструкций. Ввиду совпадения решений рассматриваемых задач статической устойчивости и свободных колебаний, задача динашческой устойчивости, как будет показано в работе, точно сводится к решению одного уравнения Матье-Хилла для каждой произвольной формы выпучивания пластинки или тонкостенного стержня. Это обстоятельство существенно упрощает, а во многих случаях делает возмоншым решение этих задач, поскольку, как показано в обзоре, интегрирование связанных систем любого числа уравнений Матье-Хилла крайне затруднительно. 4, Точные комплекснозначные решения линейных задач устойчивости пластин и местной устойчивости тонкостенных стержней ввиду простоты их записи могут быть использованы в качестве координатных функций метода Бубнова-Галеркина для решения геометрически нелинейных задач закритического поведения. Как показано в обзоре, подобные решения, в основном для сложных пластинчатых конструкций, практически отсутствуют в научной литературе. Такой способ задания аппроксимирукщих функций даст возможность с достатохшой для инженерных расчетов тошостью в замкнутом ввде получить все параметры статического закритического напряженно-деформируемого состояния не только пластин с упругими граничными условиями, но и тонкостенных стержней произвольного профиля после потери ими местной устойчивости. А для случая динамической задачи даст возможность перейти к решению нелинейного уравнения Матье-Хилла в обыкновенных производных относительно амплитуды закритических колебаний. Таким образом, мы получим логически связанную цепь актуальных с практической точки зрения задач, в которой для решения задачи каждого последующего звена используются решения предыдущих, см. рис.1,5. Решив их, мы будем в состоянии точно или практически точно исследовать особенности напряженно-деформируемого состояния тон»ких прямоугольных пластин с различными упруги1ли граничными условияш и тонкостенных стержней, как при потере ими местной устойчивости, так в закритической области.Нелинейная динамическая задача для пласЕин Нелинейная динамическая задача для тонкостенных стержней L Нелинейная статическая задача для тонкостенных стержней Нелинейная сЕагическая задача для пластин 1ZL Параметрические колебания пластин Собственные колебания пластин Собственные колебания тонкостенные стержней Параметрические колебания тонкое тенны:к] Статическая линейная устойчивость тонкостенных стержней Точные решения Статическая линейная устойчивость тонкостенных стержней Приближенные решения Статическая линейная устойчивость пластин Точные решения Статическая линейная устойчивость пластин Приближенные решения Рйс.1»5« Логическая схема задач, решенных в диссертационной работе» УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН СО С Л О Ш Ш Ш КРАЕВЫМИ У С Л О В Ш Ш 2.1, Точ1Гый способ решения задач динамической устойчивости пластин 2.2.1. Дифференциальное уравнение динамической устойчивости тонких пластин Как известно, дифференциальное уравнение дина?;!ической устойчивости равномерно сжатой нестационарными усилиями прогибов по сравнению с толщиной имеет вид: Nluj тонкой пластинки, изображенной на рис.11 в предположении малости -DuW+N(t)wxx+yWtt=0. где П удельная масса материала пластинки, толщина пластинки. (2.1) Общее решение этого однородного дифференциального уравнения можно представить в следующем виде, см. /18,19/: m,n=i В дальнейшем мы будем рассматривать отдельные частные решения уравнения (2.1), соответствующие определенным значениям ГП и П опуская в форлах индексы. В последующих

8. Результаты работы обсуждались и были одобрены на Ж Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек 1983 года в г.Таллине, на научной сессии городской опорной кафедры "Строительная механика" Харьковского института инженеров коммунального строительства в 1983 году.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исходя из нерешенных проблем устойчивости и закритиче-ского поведения прямоугольных пластин с упруго защемленными сторонами и тонкостенных стержней, вытекающих из обзора литературы, актуальность темы диссертации обоснована:

- сложностью и громоздкостью существующих методов определения критических усилий местной потери устойчивости равномерно сжатых пластин со сложными граничными условиями и тонкостенных стержней с недеформируемыми кромками;

- недостаточной полнотой освещения в литературе вопросов динамической устойчивости таких систем в линейной постановке;

- практическим отсутствием в известной автору литературе результатов исследований закритического напряженно-деформярованно-го состояния пластин с упруго защемленными сторонами и тонкостенных стержней после местной потери устойчивости с учетом факторов динамики и геометрической нелинейности.

2. Научная новизна работы определяется:

- применением к задачам определения критических усилий потери устойчивости пластин со сложными граничными условиями и местной потери устойчивости тонкостенных стержней новых методов выбора аппроксимирующих функций в энергетическом методе Тимошенко: метода двучленной аппроксимации и модифицированного энергетического метода. В первом из них для аппроксимации прогибов между упруго защемленными краями пластинки используется линейная комбинация двух балочных функций, соответствующих более простым предельным случаям жесткостей защемлений (нулю и бесконечности). Соотношение принятых функций определяется условием минимума критических усилий. Модифицированный энергетический метод основан на том, что погрешность приближенного решения может в значительной степени уменьшиться, если в энергетическом методе, исходя из возможной формы выпучивания, задаваться не самими искомыми функциями, а их высшими производными - балочными моментами, удовлетворяющими, в результате, статическим и кинематическим граничным условиям;

- способы решения статических и динамических линейных задач устойчивости пластин с упруго защемленными продольными сторонами и местной потери устойчивости тонкостенных конструкций, составленных из подобных пластин, заключающимся в задании формы выпучивания комплекснозначными функциями, что позволило рассмотреть не учтенный в известном решении С.П.Тимошенко вид корней характеристического уравнения. Эти функции находятся как общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающие при разделении переменных в линейной статической задаче устойчивости;

- отмеченным в работе совпадением форм выпучивания прямоугольных пластин со свободно опертыми продольными сторонами и произвольными постоянными условиями на поперечных сторонах при потере устойчивости от равномерного сжатия в продольном направлении и свободных колебаниях. Это совпадение имеет место и для тонкостенных стержней составленных из таких пластин в условиях местного выпучивания;

- определение критических нагрузок или частот собственных колебаний местной потери устойчивости тонкостенных конструкций не решением системы трансцеендентных уравнений, как обычно, а сведением ее к одному нелинейному уравнению относительно произвольного собственного числа. Это достигается благодаря рациональному представлению тонкостенной конструкции как состоящей из прямоугольных пластин с упруго защемленными продольными сторонами и имеет место для любого числа пластин;

- решением нелинейной динамической задачи устойчивости пластин с упруго защемленными сторонами и местной потери устойчивости тонкостенных конструкций методом Бубнова-Галеркина с использованием комплекснозначны^ координатных функций, отвечающих полному решению соответствующих линейных задач. В результате применения метода получения аналитические выражения для всех параметров закритического напряженно-деформированного состояния конструкций, кроме амплитуд нелинейных колебаний, которые находятся решением несвязанных систем нелинейных уравнений Матье-Хил-ла.

3. Достоверность полученных теоретических результатов была подтверждена сравнением с результатами экспериментальных исследований автора, а также с имеющимися в литературе отдельными теоретическими и экспериментальными результатами отечественных и зарубежных авторов.

4. Использование в энергетическом методе Тимошенко координатных функций приближенно заданных методом двучленной аппроксимации и модифицированным энергетическим методом, а также в методе Бубнова-Галеркина для нелинейной задачи - комплексного решения соответствующей линейной, обусловило некоторое превышение полученных результатов над истинными значениями искомых величин. Однако, как показали сравнения с экспериментальными и теоретическими работами других авторов эти ошибки находятся в пределах допустимых для инженерных расчетов.

5. Практическая ценность работы заключается в возможности использования разработанных методов расчета и результатов проведенных исследований в расчетной практике проектно-конструктор-ских организаций, научно-производственных объединений и других предприятий при разработке конструкций, элементами которых являются прямоугольные пластины и тонкостенные стержни.

1. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ, 1955. - 567 с.

2. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. -М.: Наука, 1971. 805 с.

3. Rhodes 3->UaRvey ЗЖ Q iheoReticat awty-sis of iWm p£crtcs м compression.- Ряосее-dings of 3gd Canadian CongRess of Qp-p£i<ad Mechanics. 4971, p.38>9--399.

4. Rhodes J.?HaRveg a.m. Pbtes in &амаг compRGssioH wi+й various support" соvi-di+ious at +fie Un C-oadsd &ouvida-Ries. d^mailomt о-f tileckanicaC Sciences, 1971, v. 13, nQ} p, 767-802.

5. Wong P.m., fecttes R Elastic -fiuclc^ng of izectungu^qR camped p£a+cs. — Эи+ерисгКоиа£ of- So€iols and

6. S+RUcfuRes, 1979, v. 15, м6 , p. 457-466.

7. G.D. Тйе feuck-6iKg £oad -foR azeetunguiaz p&fte vA/c+ln \ou2 ciomped edges.- Zeitshvi-ft -fuR ctngewandte mat^hiQ+ik und meckcmik , 1933 €.15,1 1 3

8. Heft 2, p. 147-152. 7- Рахек O.H. Vie Knick-fes+igkeit RecM"eclcigeR PtaHen.- Zei+shvi-ft -fuR angewcmd+e

9. Kvia+kemaftk und mecActnik, 198.15, Heft 5, p. 268-277.

10. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Мир, 1970. - 328 с.

11. Даревская Е.В. Устойчивость защемленной по контуру прямоугольной пластинки. Строительная механика и расчет сооружений, 1982, № 3, с.31-35.

12. Асимптотический метод исследования спектра собственных частот упругих пластинок/ В.В.Волотин, Б.П.Макаров, Г.В.Мицен-ков, И.И.Шейко В сб. :Расчеты на прочность. М.,1960,вып.6, с.231—233.

13. Дикинсон С.М. Применение метода Болотина к исследованию выпучивания и поперечных колебаний сжатых пластин. Ракетная техника и космонавтика, 1975, т.13, № I, с.109-110.

14. Е£- Баупаау L. Buckling of c£cimped яесungu£aR p-Cates.- JouRna£ Qf BngeeriRingffl-eckcmick Division. Proceedings of ASME, <971, N/.97, p-4277-1289.

15. Cl^nT., Buckling analysis of plates €>y Kan+oRovich mafkod Jn+eRna+iona€ Jourof ftlecL Sciences, p.-15-24.

16. Кан G.H., Кан G.G., Каплан Ю.И. О модификации энергетического метода в задачах устойчивости. Изв.вузов. Машиностроение, 1979, Jfo II, с.21-26.

17. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ, 1956. - 600 с.

18. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. - 432 с.

19. Стретт М.Д. Функции Лямэ, Матье и родственные им в физике и технике. М.: ДНТВУ, 1935. - 238 с.

20. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. М.: ИЛ, 1953. - 476 с.

21. Hu-H" J т., Safiqin А.Е. Dmamic $fa&ie;+y of p£a+es Finite Elements.- 3ourhcx£ o-f -fke EngineeRing fn^c/nanics Division. Peoc^e-diVigs of ASCE, 1971,v.97, мЗ, p.879-899.

22. Lee T. Q simpCi-f ied cRi+epioR -foR Hi eCLua+tons and i+s QppBications.-TRansac-"htons of ASME,E, v. w3; p 504-505.

23. ExtRom R.E., Booker W.L N/igRQ+ion Qm&y~ sis of p£afe sta&&^.~JnteRm+iona€ Jouena€of mechanics Sciences,<972,v. W,wlO,p.7D1-707.

24. Челомей B.H. Динамическая устойчивость элементов авиационных конструкций. М.: изд-во "Аэрофлот", 1939. - 80 с.

25. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.,изд-во МГУ, 1969. - 696 с.

26. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.,Наука, 1968. - 560 с.

27. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. т.З/Под ред. И.А.Биргера и Я.Г.Пановко. М.:Машиностроение,1968. - 568 с.

28. Вибрации в технике. Справочник. ТД/Под ред. В.В.Болотина. -М. .'Машиностроение, 1978. 352 с.

29. P£ugge W. Hcmdeook of Engineering Ще-ckaHics.— New Уоек: (Пс Grow-t-UCC Book Со, Эис., 1962.31

30. EmmefcfiVig EA. Ei?mi+6ung von Eig^nkR^is

31. R2c^u Q n ^ e n Sc h m i uge n e r Вес Ц+en с к a -++en von bofotine.- St-aheau, 1979, v.-M, p. 327-534.

32. Lciurq PA., Grpssi (?.0. Transverse vi^Ra-+iovi of RQctungu^QR p£a+es wi+Ь egdes e£asttca£6g RestRained agams>t Rotation and jvQnsCaiioyi.-jHieRnctbonaZ Jot(Rna€ of Sound and VtgRQfion, 1981} v. 75, vi, p. 10-M07.

33. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М. :Наука, 1969. - 984 с.

34. Хертель Г. Тонкостенные конструкции. М. '.Машиностроение, 1965. - 527 с.

35. Хохарин А.Х. Экспериментально-теоретические исследования центрально сжатых стержней из алюминиевых сплавов. В кн. Строительные конструкции из алюминиевых сплавов. М.,1962. с.146-167.

36. Иммерман А.Г,,Москвитин B.C. Экспериментальное исследование местной устойчивости уголковых профилей из сплава Д16-Т.

37. В кн. Строительные конструкции из алюминиевых сплавов. М., 1962, с.133-145.

38. Попов С.А. Исследование обшей и местной устойчивости сжатых стержней уголкового профиля из сплавов Д16-Т, АД35-Т1. В кн. Труды Московского института инженеров транспорта.М., 1966, с.107-124.

39. Tedescki R-}Dam\Qv\o б. ExpiRtences sur 1ц sta£i£ite eSastic^ue des pou+Res sounotes. -Bu££etiVte Association "fccUc^ue, maRine et" cteRonQutique, 1972, N72,p.417-W2.

40. Tu£l<! J. D., Wa£lceR А.С. ПHooted gbdies of elastic feuctc&ng of a stiffened p&rtes.-JouR^a£ of Sfgaine A*a£isys, 1976, v.p. 137-443.

41. Fae£2a C., Waz^ofoni F CuRve euzopee d/'ins'fu6('6i+Q acta est^use in da£2umiHioA£6umihio, 4980, w10, p.4 55-471.

42. SfundlclcQ J. mistni a ce£cov/a s+u&iei+Q t^ach-enich pRu+u.~ Staveemclcy casopfs, 1980, v. 26, w 8, p. 587-596.

43. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля. Часть И. Л.: Судостроение, 1941. - 960 с.43. ka^yanaftaman V. LocaC вис being of соЫ--foRmed sfec-6 mem^eRs.-JouRna£ of Stfcuc+urq2 DiVision. PR. of ASCE, 1979, v.40SjM5,P.815-827.

44. Андриенко B.M., Белоус А.А., Нитовщикова JI.А. Критические напряжения местной потери устойчивости профилей панелей. Бюро научной информации ДАГИ, М.,1965. - с.24.

45. Корчак М.Д. О влиянии упругого защемления краев на предельную нагрузку гибких стенок металлических колонн.- Строительная механика и расчет сооружений. 1977, № б, с.65-66.

46. Тихонов М.А. Местная устойчивость стержней из алюминиевых сплавов открытого профиля. Изззстия вузов. Строительство и архитектура, 1970, № 2, с.8-12.

47. Уиттрик В.Г. Замечания к статье "Анализ местной потери устойчивости конструкций методом конечных элементов."-Ракетная техника и космонавтика, 1974, т.12, № I, с.145-146.

48. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. - 211 с.

49. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.:Мир, 1975. - 558 с.

50. Пржеминицкий И.С. Ответ автора Уиттрику. Ракетная техника и космонавтика ,1974, т.12, № I, с.146-147.

51. Pfczeminicky ГПсгЫх analysis of fiocat insfaei6ity /a p£ates>stiffened panels and columns- JnteRna+iona€ JouRnafi of Пите-rqS Dlefhods, 1972, v. 5^2, p. 209-216,

52. Пржеминицкий И.С. Анализ местной потери устойчивости конструкций методом конечных элементов. Ракетная техника и космонавтика, 1973, т.II, № I, с.33-39,

53. Ra€ Methods in Eng., 1975, v.5, h/3> p. 351-356.

54. Столяров Д.А. Местная устойчивость швеллерных профилей,полки которых укреплены отгибами различной величины.-Изв.вузов. Строительство и архитектура, 1978, № 5, с.43-49.

55. KaRman Т. von Fes+igJcReitspRo6£em in ITlachi-пепваи.-Encycfioped/o deR ГПа+hema+ican

56. Wissenfiau, 4910* v.4, p.348-551.

57. KqRman T. von, ShehPeR E.,Donne6 LH. The stRenght of ihin piates in compRessioru-TRcmsac+ions of ASME,E>>1952,v.54,И, p.53-57.

58. Соколов П.A. 0 напряжениях в сжатых пластинах после потери устойчивости. Труды НИССА. Л., 1932, с.32-67.

59. Бубнов И.Г. Избранные труды. Л.:Судпромгиз,1956.- 439 с.

60. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений. Том I. М.:изд-во АН СССР, 1952. - с.184-186.

61. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.:ГШТЛ, 1959, - 419 с.

62. Rhodes HaRvey. 3.I7L The post--бис kr-fitVug. eehas/i'oR of ffun plaies m compassion wi+h unioadad edges e€as+tca££y Res+Rai-r\ed.-Jouzna£ of fTteck Sci.^971,v.«,tf2,p.82-gt

63. Винокуров Л.П. Теория упругости и пластичности. Харьков: изд-во ХГУ, 1965. - 327 с.

64. Suppfie W.3. Pos+-6uclc£iVjg ёеКа\J\or -for -fhm plates. -Jh SfRuctuRaC OnstaSiSi^g, JPC Science and Technology Pr^ss, Gull-foRd, ^973,- 35-1 p.

65. Кучерюк В.И., Лобанок И.В., Заякин В.В. Экспериментально-теоретический метод исследования нелинейной задачи устойчивости пластин. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1979, № 5, с.51-56.

66. IThR^ueRRe К". Die mi-H-RQgenote bBei-fe, des gedRub+en P^attensfReifens.-Luft^aR-+-foRschung, 1937, v. 14, n5, p.47-71.

67. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.:Наука, 1979. - 384 с.flakairiuRQ ГГЦ Uefcmi k. The secondary виск-Sing -BehavioR of Recfungu-CaR p&ftes.—Jnteznaiionat JouRnaC of IYIq-chanicaQ Sciences, <979, p.265286.

68. Rushfon K.R. Post6uck£ing of *tape Red plates.- DnteRna+iona£ JouRna€ of ITl-e-ckmicae Sciences, 4969, v. 41, л/3, p.46<--480.

69. Койтер B.H. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем. Механика: Сб. переводов иностранных статей, I960, № 7, с.99-110.

70. Кан G.H. Несущая способность цилиндрических оболочек вращения при осевом сжатии. В кн.:Труды Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, 1962. Ереван, изд-во АН СССР,1964, с.489-495.

71. Кан G.H. К вопросу об устойчивости круговых цилиндрических оболочек при сжатии. Строительная механика и расчет со— оружений, 1963, № 6, с.31-34.

72. Ефимов И.Б. Местная устойчивость и закритическое состояние некоторых типов профилей сжатых тонкостенных стержней. В кн.: Научные труды Омского института инженеров железно-дорожного транспорта, 1973, с.25-33.

73. Ефимов И.Б. Исследования несущей способности тонкостенных стержней коробчатого профиля. В кн.: Научные труды Омского интститута инженеров железно-дорожного транспорта, 1972, № I, с.24-34.

74. Ефимов И.Б. Напряженно-деформированное состояние сжатых тонкостенных стержней после местной потери устойчивости. В кн.: Научные труды Омского института инженеров железно-до« рожного транспорта, 1973, c.I3-&4.

75. Rhodes Hapvey ГШ. Р£сиие charmeS sections struts in compRession and lending •Beyevag -fbe 6oca£ Suckling ioad.-Ae.RonauUcal Quaef£e£y, 4971, v.22, w4, p. звз388.

76. Эцер А. Конечноэлементный анализ закритического поведенияконструкций. Накетная техника и космонавтика, 1973, т.IX, № II, с.1532-1538.

77. Москвитин B.C. Местная устойчивость уголковых профилей из алюминиевых сплавов. В сб.: Расчет пространственных конструкций. М. ,1962, вып.УП, с.234-250.

78. Москвитин B.C. Местная устойчивость корытных профилей из алюминиевых сплавов. В сб.: Расчет пространственных конструкций. М.,1962, вып.УП, с.281-293.

79. Rhodes J. SecondqRy £oca£ &uc№mg iVjn-Walied sections.-Acta TqcWco 87; 1978 , v. 112, p. 143-453.94. 1аще d<2-formations of toms,Rings,pSates and skeeCs/ Wi+meR EA.,BQ0meR H.ALeech O.W., a.e. A3AA JouRhag, 4963, v. i, мв,p. 1848 -1857.

80. Борисенко В.Г., Чемлаев В.В. Применение рядов Фурье для исследования установившихся нелинейных колебаний панелей,прямоугольных в плане. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1981, № 38, с.16-21.

81. Шмидт Г. Параметрические колебания,- М.:Мир, 1978. 336 с.

82. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. - 208 с.

83. Кантор Б.Я., Катаржанов С.И. Вариационно-сегментный метод в нелинейной теории оболочек. Киев: Наукова думка, 1982, - 135 с.

84. Стоуэлл Э. Обобщенная теория потери устойчивости стержней и пластинок. В сб.: Механика. М.,ГТТИ, 1952, № 2. с.104-118.

85. Ильюшин A.A. Пластичность. M.-JI.:Гостехиздат, 1948, часть I. - 376 с.

86. Вольмир А.С. Об устойчивости пластинок при пластических деформациях. В сб.: Расчет пространственных конструкций. М., Госстройиздат, 196I, вып.УТ, с.149-188.

87. Тихонов М.А. Устойчивость равномерно сжатых в двух направлениях металлических пластин в пределах и за пределом упругости. В сб.: Металлические конструкции. М.,Стройиздат, 1966,с.340-348.

88. Ю7.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

89. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применение в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. -374 с.

90. Форсберг К. Влияние граничных условий на характеристикиформ колебаний тонких цилиндрических оболочек. Ракетнаятехника и космонавтика, 1964, т.2, № 12, с.166-174.t

91. НО. Флюггз В. Статика и динамика оболочек. М.:ГИТТЛ, 1961.- зое о.

92. Справочник по строительной механике корабля. Том 2/Под ред. Ю.А.Шиманского. Л. :Судпромгиз, 1958. -.528 с.

93. Михлин С.Г., Сиолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.:Наука, 1965.- 383 с.

94. Тугаев А.С. Устойчивость многопанельных пластин. В сб.: Вопросы механики деформируемого твердого тела. Харьков, 1981, вып.2, с.63-67.

95. Кан С.Н.,0стровицкий В.Н.,Тугаев А.С. Устойчивость прямоугольных пластин с упруго защемленными сторонами. В кн.: Научно-технический сборник ХВВАИУ, Харьков, 1982,с.25-32.

96. Тугаев А.С. Динамическая устойчивость пластин с упруго защемленными краями в линейном приближении. В кн.: Вопросы механики деформированного твердого тела. Харьков, вып.З,1983, с.25-32.

97. Кан G.H., Тугаев А.С., Цветков А.В. Модифицированный энергетический метод в задачах устойчивости тонкостенных конструкций. В кн.: Труды ХШ Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Часть 3. Таллин, 1983,с.13-18.

98. Кан С.Н.,Тугаев А.С. Модифицированный энергетический метод в задачах устойчивости пластин и тонкостенных стержней. -В сб.: Вопросы механики деформируемого твердого тела. Харьков, 1983, вып.4, с.35-39.

99. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.:Мир, 1980. - 279 с.

100. Kan S.NMTugaev A.S., Cvebcov A.V., Pusiro-vojtov V.P., fciRovic M.S. Modef ikovana en£R-g©lska metoda u ркоЬЫтюа stafei&no-sti i dinomike stolenih e£asticnih sys1984. s. 437- 443.