Математическое моделирование и оптимизация тонкостенных элементов конструкций в условиях теплообмена излучением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ргб од

2 8 шоп 1393- харьковский'политехнический институт

На, правах рукописи

Копылов Дмитрий Вадимович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ и оптимизация тонкостенных ЭЛЕМЕНТОВ конструкций В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА излучением

01.02.06 - динамика, прочность ыавин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание дченой степени кандидата технических наук

Харьков - 1993

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов Харьковского политехнического института

Научные руководители - доктор технических наук,

профессор Гринев В.Б.

- кандидат технических наук, доцент Гарев О.Л.

Официальные оппоненты - член-корреспондент АН Украины,

доктор технических наук, Иацевитьй Ü.M.

- кандидат технических надк, доцент Бутеяко В.В.

Ведшая организация - КБ "Ювное", г.Днепропетровск

Защита диссертации состоится __" ______________ 1993 г.

в ______ чао, на заседании специализированного совета

Д 068,39.06 при Харьковском политехническом институте ( 310002, г.Харьков, ГСП. ул.Фрунзе, 21 )

С диссертацией мо«но ознакомиться в библиотеке института Автореферат разослан "____"__________________ 1993 г.

Учений секретарь .специализированной Бортовой В.В.

совета

общая характеристика работы

Актуальность проблем«. В настоящее время сформировалась устойчивая тенденция смекения центра тяиесги прикладных вычислений в сторона персональных ЭВИ, Программные и аппаратные ресурсы ПЭВМ создают качественно новые возмоиности для создателей конструкций, по которым не накоплен достаточный опыт разработки и эксплуатации. Цикл разработки таких констрцкций предполагает учет самых разнообразных факторов, проведение большого числа экспериментов, как численных, так и натурных, предъявляет повышенные требования к достоверности исследований. Время необходимое для выполнения полного цикла проектирования можно сократить, последовательно реализуя иерархический подход в моделировании и методах расчета. Проектировщик получает возможность ставить и решать задачи анализа и оптимизации в терминах предмета своего исследования для моделей первого приблиаения.- Расчет нескольких выбранных вариантов конструкции и проверка эффекта оптимизации проводится на моделях -с более высокой степенью детализации с дальнейшим экспериментальным подтвервдением, если это возможно.

Настоящая работа посвящена решению задач, связанных с проектированием конструктивных элементов, эксплуатирующихся в условиях интенсивного нагрева, - узлов электровакуумных СВЧ приборов и несущих тонкостенных стеряней космических крупногабаритных конструкций. Общими свойствами математических моделей этих достаточно различных объектов исследования являются определяющий вклад радиационной составляющей в процесс теплообмена и аесткие требования к сохранению геометрической формы в нагретом состоянии при обеспечении прочности. Особое вниыание уделено вопросу идентификации математических моделей и реальных конструкций по имеющимся количественным и качественным экспериментальным данным.

В своей работе автор опирается на методы решения термоапру-гих задач, расчета тонкостенных конструкций И оптимизации, больной -вклад в развитие которых внесли Валиа/вили Н.В., Грига-люк З.И., Гринев В.Б., Коваленко Й.Д., Коляно D.M., Лурье А.И., Мацевитый D.M., Подгорный Й.Н., Подстригач Я.С'., Пшеничный Б.Н, Федоренко Р.П., Филиппов А.П. и др.

Работа выполнена в соответствии с планами научно-исследовательских работ, проводимых в Харьковском политехническом институте.

Целью работы является применение современной методологии вычислительного эксперимента для реиения задач проектирования конструктивных элементов, функциониукщих в условиях неравномерного нагрева вызванного лучистым теплообменом в вакууме. Этот подход предполагает:

- построение эффективна* математических моделей для расчета температурных полей в тонкостенных кострукциях при определяющем влиянии радиационной составляющей теплообмена;

- исследование напряженно-деформированного состояния'этих элементов, вызванного неравномерным нагревом;

- подбор численных методов и алгоритмов, соответствующих математическим моделям различного уровня и ориентированных на проведение большого количества вариантных расчетов При изменении параметров исследуемых объектов в широком диапазоне;

- анализ влияния геометрических и физических параметров конструкций на температурное поле, напряжения и деформации в Них, а такае поиск рациональных конструктивных решений.

Ставится задача выработки практических рекомендаций по проектированию элементов катодно-сеточных узлов СВЧ приборов и крупногабаритных космических конструкций.

Научная новизна. Разработана иерархическая система математических моделей для решения стационарной задачи теплообмена с учетом излучения и задачи термоупругости в тонкостенных элементах конструкций изделий электронной техники. На базе этих моделей ставится и ревается ряд задач рационального и оптимального проектирования узлов электровакуумных приборов. Выработаны практические рекомендации по проектировании элементов катодно-сеточных узлов СВЧ приборов. Предлонен алгоритм'решения нелинейной задачи стационарного теплообменас учетом излучения в замкнутом тонкостенном профиле произвольной формы. На его основе впервые проведен численный анализ влияния пространственной ориентации тонкостенного стержня относительно источника теплового излучения на его температурное поле и тепловые деформации. Получены практические результаты по температурному деформированию стеркневых элементов крупногабаритных космических конструкций.

Достоверность результатов и выводов диссертационной работы обеспечивается: тщательным обоснованием принимаемых допрений при построении математических моделей; непротиворечивостью этих допущений и полученных результатор; последовательной идентификацией модели и реального объекта исследования; построением моделей низшего уровня на основании решений, полученных для моделей с более высоким уровнем детализации объекта; хорошим согласованием результатов численных решений с данными, полученными из специально проведенного эксперимента; качественным совпадением результатов численного анализа модели и поведения реальных объектов; проверкой достинения эффектов оптимизации, а также строгостью математических выкладок и доказательств и использованием апробированных численных методов.

Практическая ценность работы заключается в разработке и обосновании иерархической системы моделей для.решения 'задачи стационарного теплообмена с учетом теплообмена излучением и задачи термоупругости в различных тонкостенных конструктивных элементах, к которым могут быть отнесены несущие стержни крупногабаритных космических конструкций, узлы электровакуумных СВЧ приборов И другие элементы, сходные с ними по условиям эксплуатации. Сформирован комплекс алгоритмов численного решения задач теплообмена и термоупругости для предлояенных математических моделей различного уровня детализации объектов. Применяемые алгоритмы обеспечивают возможность проведения больного числа вариантных расчетов и реиения задач практической оптимизации конструктивных элементов при различных критериях оптимальности и ограничениях на геометрические и физические параметры. Численные эксперименты с использованием разработанных математических моделей позволяют снизить затраты на проектирование и сократить объем экспериментальных работ. Получен также ряд практических результатов и выработаны рекомендации по рациональному проектированию элементов СВЧ приборов и космических стержневых конструкций. В работе аналитически выведена формула для определения лучистого теплового потока от нагревателя кольцевой формы, которая используется при расчетах теплообмена в катодно-сеточных узлах.

На защиту выносятся:

- иерархическая система математических моделей для решения стационарной задачи теплообмена с учетом определяющего вклада его радиационной составляющей и задачи термоупругости в тонкостенных элементах конструкций изделий электронной техники;

- новый алгоритм ревения нелинейной задачи стационарного теплообмена с учетом излучения в замкнутом тонкостенном профиле произвольной формы;

- практические рекомендации по проектированию узлов изделий электронной техники, выработанные в результате решения ряда оптимизационных задач, связанных с улучшением эксплуатационных показателей:

- результаты численного анализа температурных полей и тепловых деформаций тонкостенных стеряневых- элементов крупногабаритных космических конструкций . при различной ориентации их относительно источника излучения.

Апробация работы. Основные половения и результаты работы докладывались и обсуядались на научно-технических конференциях Харьковского политехнического института (Харьков, 1986-1990 гг.), на Второй Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Проблемы оптимизации в машиностроении" (Харьков, Алушта, 1986 г.), на Республиканской научно-технической конференции "Эффективные численные методы реиения краевых задач механики твердого деформируемого тела" (Харьков, 1989 г.). на научной сессии "Динамика и статика тонкостенных конструкций" (Тбилиси, 1990г.), на Меяду-народной конференции по крупногабаритным космическим конструкциям "КОМ^-ЭЗ" (Новгород, 1993г.).

Публикации. Основное содернание работы опубликовано в четырех печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, . четырех разделов и заключения, занимаюиих 113 страниц машинописного текста и содеряащих 23 рисунка и 2 таблицы, списка использованной литературы, включающего 52 наименования и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРГЙ1Щ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, ее нацчная новизна и практическая ценность, приведена краткая характеристика работа.

В первом разделе рассматриваются элемента катодно-сеточных узлов электронных СВЧ приборов, условия их сборки и функционирования, описываются требования к ним и ограничения, накладываемые на параметры температурного поля и напряменно-деформированного состояния. Описываются математические модели различного уровня детализации для анализа процесса теплообмена и напряяенно-дефор-мированного состояния.

Рассматриваемые элемент« представляют собой тонкостенную конструкцию слоиной формы, состоящую из нескольких последовательно соединенных пластин и оболочек переменной толщины, ' во внутренней полости которой располояен нагреватель. Стенки элемента могут быть перфорированы отверстиями (рис. 1), Вся конструкция заключена в герметичную оболочку и находится в вакууме. В качестве математической модели первого уровня для описания процесса стационарного теплообмена выбирается теплопрово-дящая оболочка вращения с произвольным меридианом, нагреваемая тепловым потоком по внутренней -поверхности и совершающая теплообмен излучением с внешней оболочкой. Наличие отверстий учитывается путем сведения перфорированного участка оболочки к эквивалентному сплошному участку переменной тоЛцинн. Для этого вводится специальная функция , характеризующая уменьшение площади поверхностей излучения и теплообмена. Предполагается, что толщина стенок оболочки значительно меныае размеров отверстий, и потому излучением с боковых поверхностей отверстий моино пренебречь.

Из уравнения теплового баланса выводится нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

ш

где .? - криволинейная координата, отсчитываемая вдоль мери-' диана, Т - абсолютная температура, ? - радиус, А - толщина.

Л - теплопроводность, £ - степень черноты поверхности элемента, т0 - температура внешней оболочки, тепловой поток от нагревателя, 6*0 - постоянная Стефана-Больцмана.

• Вашим достоинством уравнения (1) с позиций расчета температурного поля в элементе является универсальность описания конструктивных особенностей. Переход от одного типа конструктивного элемента к другому (коническая оболочка - цилиндрическая оболочка - круглая пластина) 6 рамках уравнения С11 осуществляется достаточно просто путем соответствующего назначения угла наклона нормали к оси симметрии и связанного с ним закона изменения 2(5]. Зто обстоятельство существенно упроцает технологии численной реализации и позволяет создать универсальную программу расчета элементов катодно-сеточного узла.

Граничные условия для уравнения (1).определяются конструкцией элемента. Обычно это условия первого рода:

где г - координата граничной точки, Т^н- температура окружающей среды, а - коэффициент теплообмена.

Для решения задачи (1), (2), (3) используется алгоритм метода пристрелки, сводящий ревшние исходной краевой задачи к последовательному решению ряда начальных задач. На какдом шаге пристрелки подбирается неизвестное начальное значение с целью удовлетворения граничному условию на противоположном краю.

Наряду с описанной выше одномерной, моделью теплообмена предлагается двумерная конечноэлементная модель как стационар-

I

ного, так и нестационарного теплообмена. Конструкция представляется в виде системы плоских либо осесимметричных конечных элементов с учетом теплообмена излучением на границе.

Матричное уравнение нестационарного теплообмена для системы конечных элементовсодержащих }1 узлов, имеет вид:

(2)

или третьего рода

с(т)-т(ь) Г А (т) • Т (I) = О (I)

?

(4)

где С(т)- матрица теплоемкости системы, зависящая от плотности и удельной теплоемкости материала, А(т) - матрица теплопроводности системы, зависящая от температуры тела, Т; Т - векторы узловых температур и их производных по времени, О Щ -зависящий от времени вектор внешних тепловых потоков.

Теплообмен излучением на границе учитывается введением специального двухузлового конечного элемента. Мощность тепловых потоков, излучаемых каядым из узлов I и | . полагается равной половине величины

(Зизл -- £т б'о 8 , (5)

1т - расстояние между точками I и , а Тепловые потоки излучения суммируются с внеиним тепловым потоком. Зто приводит к появлению неизвестных температур в правой части уравнения С4), что делает задачу существенно нелинейной. Для репения матричного уравнения (4), дополненного соответствующими краевыми условиями, применяется метод прямого пошагового интегрирования с итерационным уточнением решения на каждом шаге.

• Проводится сравнение двух предлагаемых моделей для расчета температурного поля. Отмечается, что одномерная модель не поз-, воляет учесть изменение температуры по толщине стенок конструкции, требует упрощений расчетной схемы (например, в точках пайки) и в то ие'время с максимальной точностью описывает теплообмен излучением с поверхности профиля. Конечноэлементная модель позволяет с любой степенью точности описать форму конструкции, однако излучение й внешний тепловой поток здесь учитываются менее точно. Отмечается также, что.численные методы для кавдой из моделей имевт различную степень точности. Таким образом, использование обеих моделей не только оправдано, но и необходимо для обеспечения достоверности результатов численного исследования в целом.

Расчет напряжений деформаций и перемещений, возникающих.в элементах в результате нагрева, предлагается выполнять на основе линейных уравнений осесимметричных оболочек вращения. Задача сводится к системе шести основных дифференциальных уравнений:

аь ? си ЕЙ )

iF - - у (6)

ds EhT~1 1 1 ■ ' ^ " * '

¿M- Ul и - 0 —

ds ~ ?г г г 2

где И , Г - перемещения в направлении оси симметрии облочки и в направлении, перпендикулярном ей; U. , V - силы в направлениях, аналогичных перемещениям; В - угол поворота нормали к срединной поверхности в плоскости меридиана оболочки; М - ме-ридианальный изгибаюций момент; .S - координата, отсчитываемая вдоль меридиана оболочки; У" - угол наклона нормали к оси симметрии; fu- толщина; Е , v' , oL - модуль упругости, коэффициент Пуассона и коэффициент температурного расширения материала; йТ - изменение температуры.

Граничные условия, замыкапцие систему (6), определятся конкретным характером закрепления катодного узла и для различных случаев имеют вид:

- свободный край У" У*Л-0 ;

- весткое защемление и = v^B^O ; (7)

- точка, ленащая на оси симметрииV=B -V ^ О ,

Путем-решения краевой задачи (6i, (7) находятся основные

неизвестные и , v , в ,11 , V и М , с помощью которых могут быть подсчитаны деформации срединной поверхности в ме-ридианальнои и окружном направлениях и £so , а такяе параметры изменения кривизн и эе^ ;

Ек г 2

40

Bh3 г 2

(В)

Напрянения согласно закону Гуна для двухосного напряиенного .

где = £г = £е0 + % а?2 ; координат.а £ отчи-

тывается по нормали к срединной поверхности, -. А/г £ % £ А-/г. .

Особенностью рассмативаемого класса конструкций является отсутствие внешних силовых факторов, вследствие чего удается исключить из рассмотрения первое и четвертое уравнения системы. (6). Интегрирование четвертого уравнения дает V"соп^/^, откуда для лвбого из вариантов граничных условий следует УеО . Поскольку переменная и не входит в оставшиеся четыре уравнения, ее моано вычислить после того как будут определены значения основных переменных и , в , Ц и М .

С точки зрения численной реализации система (6) обладает теми «е достоинствами, что были отмечены для уравнения (1), Кроме того, легко учитывается зависимость механических свойств материалов от температуры,.Задача решается методом ортогональной прогонки. Число точек ортогонализации определяется автоматически путем оценки числа обусловленности матрицы системы алгебраических уравнений, служащих для определения недостающих граничных условий,

Рассматривается вопрос об учете отверстий. Их наличие.нарушает осесимметричность задачи, и поэтому не позволяет получить точное решение в рамках одномерной модели. Предлагается замена участка, содерлащего отверстия, некой эквивалентной сплошной оболочкой с приведенными параметрами. Подбор эквивалентных параметров, определяющих иесткость оболочки на растяжение и изгиб, для участков с отверстиями выполняется путем сопоставления результатов расчета с данными, полученными конечноэлементным анализом пластинчато-оболочечной модели с отверстиями.

В зтаине разделе отмечается возмо«ность применения предлагаемых моделей теплообмена для ра'счета температурных полей в' тонкостенных элементах крупногабаритных космических конструкций.

состояния запишутся в виде:

(9)

- И -

Показано, что процесс стационарного теплообмена в тонкостенных стерянях сложного профиля описывается уравнением (1) в предполо^ яении отсутствия переноса тепла вдоль оси стерння. .

Во втором разделе проводится качественный анализ нелинейного дифференциального уравнения стационарного теплообмена с учетом излучения для тонкостенных стермНей замкнутого профиля, Уравнение (1) записывается в безразмерном виде

^(ЛНф-А^-ф.виа);

(10)

т/т*;

€Го е&*гг*3 . в _ + <

1*1* ' - Х*А.*Г* '

где 5 *, , Т*и характерные величины длины контура, теплопроводности, толщины, температуры И модности внешнего теплового потока, и с помощью замены Х- приводится к нормальной форме

4 в _ /

~ Л(х) ИМ г '

^Га" Тбо?^ •

Функции 9 и *Р представляют собой безразмерные температуру и градиент, а X. - безразмернуи координату. Общее решение системы (11) изсбраяается на фазовой плоскости в системе координат 0 - у> . Ъ общем случае система (11) неавтономна, так как функции X , И и 0. явным образом зависят от X. . Однако для стераня с постоянной теплопроводностью и толщиной при @ = £ она становится автономной и легко поддается качественному анализу:

У

(12)

(здесь для простоты полагается 80~0 ) и на фазовой плоскости (рис. 2) можно выделить две особых точки: центр ( - О ) й седло ( 1>, О ).

Для определения температурного поля в профиле система (И) дополняется краевыми условиями, которые в данном случае являются условиями замкнутости ■

Единственным физически реализуемым решением задачи (12). (13) есть точка фазовой плоскости ( Д О ), поскольку любые другие замкнутые траекторий проходят через область отрицательных температур. Это решение соответствует равномерно нагретому профилю, находящемуся в состоянии теплового равновесия с окружавшей средой.

При переменном внешнем тепловом потоке авто-

номность системы нарушается, но при каждом фиксированном значений У мгновенное смещение от некоторой точки на фазовой плоскости будет осуществляться го фазовой траектории из семейства, аналогичного показанному на рис. 2,. с тем лишь отличием, что значение 1> будет изменяться в зависимости от X • Решение задачи (И), (13) строится как результат серии бесконечно малых перемещений по каждой из таких мгновенных траекторий.

■ Анализируется возможное поведение решения задачи (11), (13), в результате чего выделяется область допустимых значений, за пределы которой не могут выходить точки фазовой траектории, отвечающие физически реализуемому решению. Эта область ограничена кривыми предельных циклов, соответствующими максимальному и минимальному значениям I) (рис. 3).

Раскрывается причина чувствительности численного решения задачи Коши к малому изменения начальных значений. Описывается эффективный алгоритм численного решения задачи (11), (13), опирающийся на выявленные свойства системы. На первом шаге алгоритма осуществляется поиск удовлетворительного начального приближения, под которым понимается некоторая фазовая траектория, полностью принадлежащая области допустимых значений, но не обязательно обеспечивающая выполнение условий замкнутости (13). На втором этапе производится уточнение численного решения методом Ньютона до обеспечения выполнения этих условий с заданной точностью.

В третьем разделе проводится сравнение результатов расчетов с полученными экспериментальными данными, ставится задача идентификации модели и реального объекта исследования, уточняйся параметры моделей, описываются вариантные расчеты, проведенные с целью определения влияния параметров конструкций на температурное поле и напрявенно-деформированнре состояние.

Идентификация математической модели стационарного теплообмена для тонкостенного стеркня сложного поперечного сечения проводится путем сопоставления результатов расчетов с данными, • полученными из специально поставленного эксперимента. Над кон-сольно закрепленным отрезком стерння располагалась нить накаливания, и вся система помечалась в вакуум. В характерных точках профиля устанавливались термопары. После выхода системы на стационарный тепловой реким измерялись значения температуры и прогиб на 1 м длины. Исследовались различные варианты стерхней при различной мощности излучателя. Закон изменения теплового потока, падающего на поверхность профиля, расчитывался в соответствии с геометрией системы стераень - нагреватель. Степень черноты поверхности стераня и коэффициент поглощения измерялись предварительна. Прогиб стермня вычислялся путем замены температурного нагружения эквивалентным силовым, что соответствует чистому изгибу под действием сосредоточенных на концах стериня моментов, величина которых

Мх * { ес^дТ^

^ (14)

]Е ¿¿¿иг;

где Е - модуль упругости, оС ~ коэффициент Температурного расширения, X и у - главные оси сечения. Р - площадь поперечного сечения стерння. Расчетные и экспериментальные данные для профиля, изобраненного на рис. 4 при мощности тока в нити накаливания 1.6 кВт/и-представлены в таблице 1.

Приводятся результаты численного исследования различных вариантов теплозащитных покрытий, которые существенно изменяют степень черноты поверхности стержня. Для уменьшения теплового искривления стеркневых элементов рекомендуется покрывать их поверхность материалами, имеющими малую псглащательную способность

«О

2. Сформирован и программно реализован ориентированный на

. использование ПЭВМ комплекс алгоритмов численного решения задач теплообмена и термоупругостй для предложенных математических моделей различного уровня детализации объектов.-

3. Установлена возможность практической оптимизации рассмотренных классов конструкций rio параметрам температурного поля и напряженно-деформированного состояния при варьировании их размерами и формой на базе разработанных математических моделей. .

. 4. На основе решения ряда оптимизационных задач, связанных с улучшением эксплуатационных показателей изделий электронной техники, выработаны рекомендации по рациональному проектировании катодно-сеточннх узлов.

5. Разработан новый алгоритм решения нелинейной задачи стационарного теплообмена с учетом излучения в замкнутом тонкостенном профиле произвольной формы.

6. Проведен численный анализ температурных полей и тепловых деформаций тонкостенных стераней при различной ориентации их относительно источника излучения.

7. Проведен анализ влияния форма, размеров, механических характеристик материалов и параметров теплообмена на температурное деформирование стержневых элементов крупногабаритных космических конструкций.

f" 1

\

УЧ/////1

1 - катод

2 - сетка

3 - отверстия

4 - держатель

Рис. i. Схема катодно-сеточного узла

Рис. 2.

Рис. 3

1 - излучатель, 2 - профиль, 3 - точки установки термопар Рис. 4.

Рис. 5"

20 г мм

Рис. 6

тъ

350 зоо

250

гоо

Л \

N

ч

\ Ч ч-

V

ч

ч

А -г ■л

го яяя

Ьта 0.5 ОА 0.3 0.2

1 - отверстий нет,

2 - сС - 1 мы,

3 - сС - 2 мм.

Рис, 7.

11)

1 - Ь = ю

7

1

Тт вх~ 300 с

Ттах = 350°С Ттак- ^ОО'С '

10

2.0

Рис. 8

км,

29 2

, 2 - Ь = 4 ым. 3 - Ь = 0 мм.

Рис. 9. - 22 -

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Копылов Д.В. Оптимизация температурного поля в составных тонкостенных осесимметричных конструкциях.//Проблемы оптимизации в машиностроении. Тез. докл. Второй Всесовзной школы молодых ученых и специалистов 16-22 мая 1986 г. Харьков с. 94;

2. Гринев В.Б., Гарев 9.Л., Копылов Д.В. Моделирование температурного поля в элементе типового изделия электронной техники. //Динамика и прочность машин. Вып. 48. Харьков 1988 с. 7-12.

3. Гарев О.Л., Копалов Д.В., Марков A.B. Моделирование поведения крупногабаритных конструкций при стационарном тепловом • воздействии. //Статика и динамика тонкостенных конструкций. Сб. докл. научной сессии, посвященной 75-легия со дня ровдения ака- . демика О.Д.Ониашвили. Тбилиси, 4-8 ивня,. 1990 г. с.-36.

4. Гарев 0.Л., Копылов.Д.В., Марков A.B. Расчет температур-, ных полей в замкнутых тонкостенных профилях.//Статика и динамика тонкостенных конструкций. Сб. докл. научной сессии, посвященной 75-летив со дня рождения академика О.Д.Ониаивили. Тбилиси, 4-8 июня, 1990 г. с.37.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ

Копылов Дмитрий Вадимович

Ответственный за выпуск к.т.к., доц. Хавин В,Л.

Подписано к печати мая 19ЭЗ г. Формат 60x84 1/16.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 1.0 Тирая 100 экз. Заказ N

Харьковское Ме«вузовское арендное полиграфическое предприятие 310093, Харьков, ул. Свердлова, 115.