Нелинейные термоупругие колебания и устойчивость гибкого тонкостенного стержня космического аппарата при солнечном нагреве

Воробьёв, Илья Николаевич

Нелинейные термоупругие колебания и устойчивость гибкого тонкостенного стержня космического аппарата при солнечном нагреве тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Воробьёв, Илья Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нелинейные термоупругие колебания и устойчивость гибкого тонкостенного стержня космического аппарата при солнечном нагреве»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные термоупругие колебания и устойчивость гибкого тонкостенного стержня космического аппарата при солнечном нагреве"

На правах рукописи

ВОРОБЬЁВ ИЛЬЯ НИКОЛАЕВИЧ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕРМОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКОГО ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ СОЛНЕЧНОМ НАГРЕВЕ

01. 02. 04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2012

005049222

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (МАИ).

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Гришанина Татьяна Витальевна Коровайцев Анатолий Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (МАИ), профессор.

Аринчев Сергей Васильевич,

доктор технических наук, доцент, Московский Государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, профессор

Ведущая организация:

Институт прикладной механики Российской Академии Наук (ИПРИМ РАН)

Защита состоится «21» декабря 2012 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (МАИ), по адресу: 125 993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, Д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» (МАИ).

Автореферат разослан

«19» ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Г. В. Федотенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

На космических аппаратах (КА) в качестве удлинителей для различных грузов и приборов, а также штанг гравитационной стабилизации, могут использоваться выдвигаемые тонкостенные стержни, образуемые из предварительно напряженной навитой на барабан металлической ленты. Такие стержни могут иметь большую длину и под воздействием солнечных лучей могут испытывать значительный термоупругий изгиб, вынужденные колебания (при изменении ориентации и освещения) и автоколебания (вследствие динамической неустойчивости, обусловленной влиянием упругих деформаций на углы падения солнечных лучей и приток тепла). Вследствие высокой гибкости таких стержней, они при солнечном нагреве могут испытывать сильный термоупругий изгиб и колебания с большими амплитудами и поэтому для решения этих задач необходимо использовать геометрически нелинейную формулировку. При термоупругом изгибе стержня, ось спутника, к которому присоединен стержень, отклоняется от заданного направления, и при переходных колебаниях и динамической неустойчивости стержня спутник раскачивается, что приводит к нарушению его функционирования и, возможно, к выходу из строя при переворачивании. Поэтому исследование нестационарных колебаний гибких стержней — удлинителей, присоединенных к КА, в геометрически нелинейной постановке и их динамической неустойчивости при солнечном нагреве представляет собой актуальную проблему.

Цель работы

Получение в геометрически нелинейной формулировке численных решений задач термоупругого изгиба и нестационарных колебаний гибкого тонкостенного стержня, прикрепленного к КА, при солнечном нагреве с учетом влияния деформаций на углы падения солнечных лучей; исследование динамической устойчивости нагретого искривленного стержня.

Научная новизна

1. получены уравнения нелинейных колебаний гибкого стержня с произвольными большими амплитудами на основе конечно-элементной модели.

2. получены численные решения связанной нелинейной задачи колебаний, сильного термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного стержня с учетом влияния упругих деформаций на углы падения солнечных лучей.

3. исследована динамическая устойчивость гибкого нагретого и изогнутого стержня в плоскости и из плоскости падения солнечных лучей с учетом влияния внешнего и внутреннего радиационного излучения, при различных вариантах покрытиях поверхностей стержня. Практическое значение работы

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для решения практических задач при проектировании КА со стержнями - удлинителями и штангами гравитационной стабилизации с целью обеспечения их функционирования и устойчивости при солнечном нагреве, а также для оптимизации системы на этапе предварительного проектирования. Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается применением строгих уточненных математических моделей и численных решений, а также сравнением результатов с известными точными решениями тестовых задач.

Апробация работы и публикации

Результаты диссертационной работы докладывались на:

• XVIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А. Г. Горшкова. (Ярополец 13-17 февраля 2012 г.),

• Московской молодёжной научно-практической конференции «Инновации в авиации и космонавтике — 2012» (Москва, 17-20 апреля 2012 г.),

• XVII Международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Крым, Евпатория 1—8 июля 2012 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах, в том числе трех статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и содержит 101 страниц. Список используемой литературы включает 68 наименований (из них 21 на иностранном языке).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы, относящейся к теме диссертации. В статье Etkin В., Hughes Р. С. объясняются причины возникновения аномальных термоупругих колебаний спутника с длинной упругой антенной при солнечном нагреве и дано приближенное решение задачи. Более подробное описание термоупругих колебаний флатгерного типа спутника OVl-lO со штангой гравитационной стабилизации, вызванных солнечным

нагревом на почти круговой орбите, дано в работе Connel G. M., Chobotov V. (1969).

Приближенные линейные модели и аналитические решения для расчета термоупругих колебаний и флаттера для тонкостенного стержня, соединенного со спутником, рассматривались в работах Yu Y. - Y. (1969, 1971 г.), Graham J. D. (1970 г., 1970 г.), Vigneron F. R (1970 г.), Jordan P. (1971 г.), Augusti G. (1971 г.). Во всех этих работах рассматриваются малые изгибные колебания стержня в плоскости падения солнечных лучей. Потеря тепла за счет излучения внутри кругового тонкостенного стержня учитывалась только в работе Graham J. D.

Наиболее строгая нелинейная формулировка связанной статической задачи сильного термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного круглого стержня при солнечном нагреве с учетом влияния деформаций на углы падения солнечных лучей и с учетом внешнего и внутреннего излучения рассмотрена в работе Гришаниной Т.В. и Шклярчука Ф.Н. Решение этой нелинейной задачи получено с использованием метода конечных элементов и метода итераций. Эта же формулировка нестационарной задачи используется в данной диссертации.

Численные методы расчета, уравнения нелинейных колебаний стержней при больших перемещениях и углах поворота рассматривались в работах Светлицкого В.А., Левина В.Е. и Пустового Н.В., Данилина А.Н., Гришаниной Т.В. и Шклярчука Ф.Н., и многих других авторов.

В первой главе диссертации в геометрически нелинейной постановке рассматривается плоская стержневая система, совершающая упругие колебания с большими амплитудами в своей плоскости. С каждым конечным элементом (КЭ) связана своя подвижная система координат начало которой расположено на левом конце упругой оси, а ось rj - в плоскости поперечного сечения деформированного стержня (рис. 1.). Упругие перемещения Аик, Avk и угол поворота Адк правого края относительно левого края к-го КЭ как консоли при растяжении, изгибе и поперечном сдвиге на основании рис. 1 выражаются через абсолютные перемещения и угол поворота:

Рис. 1

Ли, = (Хк -хм)созф,_, + (ук -л.^этф,., -1к;

+(ук-ум)созфы; (1)

ДА* =Ф*-Ф*-р

Потенциальная энергия КЭ записывается через абсолютные перемещения в виде:

пк =

1 12 Е1к --, к*

2 11 к

2 ЕЕ,:

(2)

где

N. =—л

Аи, +-

|ду,2 +Л11+т^

10 * * 24

к, =

, 12 Е1к 1Н—:--—

V Ч

(3)

ЕРк, Е1к, СЕск - осредненные в пределах длины ¿-го КЭ жесткости на растяжение, изгиб и сдвиг.

Потенциальная энергия системы р КЭ получается путем суммирования

как

п=2Х.

Кинетическую энергию системы и вариацию работы внешних нагрузок будем определять по методу сосредоточенных масс и сил:

2 1с=0 *=о

где тк л Зк - сосредоточенная масса и массовый момент инерции, приведенные к £-му узлу; Рхк(0, Мк(0- внешние силы и момент, приведенные к к-му узлу.

Нелинейные уравнения колебаний в обобщенных координатах для

больших перемещений и углов поворота хк,ук,ф* (к = 0,1,...,р) с учетом (1) - (4) записываются в виде:

ткхк + N,005^-N^005^ -&зтф4_, +а+1этфА =Рхк;

ткУк + мкз5п- винр, + а соэф^ -а+1 созф, = Рук;

ЛФ* -&+1(7*+1 +им) + Ьк -Ьы =Мк;

(к = 0,\,...,р).

где

Qk = Av* -ctA^k; h = -скAvk + dkA-dk,

(6)

її L I 5

6K,EL

* V - У

(1 + Зк,Щ

121 5

(7)

Для умеренных перемещений и углов поворота в качестве обобщенных координат в А:-ом узле рассматриваются продольные перемещения ик, поперечные перемещения vk и угол поворота в узлах (к = 0, 1, 2, ...,р), при

■й2

этом угол поворота считается умеренным при sin ^ = , cos "дк = 1 —~.

V*'

к-1 t h, і

а)

Рис. 2

В этом случае по сравнению с (1) надо считать: ф4 = 0, этф4 = 0, соэф* =1; хк=йк, ук=Ук, <рк=Ък-, 5хк = Ъик, Ъук = Ъук, 5ф, = .

Ащ = ик- ; Ду4 = - V,., - 1кЪкч ; = Ък- (8)

С учетом этих выражений на основании (2) - (4) получаются уравнения

»»Л+&-&♦. = Л.*; (к = ох..,р).

(9)

(10)

где

а = К(V, -V,.,)--скЪк\ к = ~ск(V, - V,,,) + екЪк_х +

коэффициенты Ък, ск, <ік определяются по формулам (7), ек — ск1к — с1к. Продольное усилие Ык при конечных деформациях свободного КЭ (рис. 2, б) в отличии от (3) для консольного КЭ с учетом (8) определяется как

(п)

ш Ук

С учетом (3), (7), (8) и (11) в первом уравнении (9) нелинейные члены будут квадратичными, а во втором и третьем - квадратичными и кубическими (третьей степени).

Если продольные силы Ык пренебрежимо малы (например, в случае статически определимого консольного стержня при отсутствии продольных сил Рх)[ = 0) и пренебрежении продольными инерционными силами

ткйк ~ 0, уравнения (9) будут линейными.

В качестве примера рассмотрено динамическое

поведение стержня после потери устойчивости, находящегося под действием силы тяжести ¡> (рис. 3). Поперечное сечение стержня имеет прямоугольную форму ЬхИ: Ь ' 0.06 и, И — 0.02 м. Материал стержня алюминий. Длина КЭ стержня / = 1 м, /7 = 5. В расчетах

принималось /и, = т2 = ги3 = от4 = 4 кг, J1=J2=JІ=JЛ- 0.25 кгм2, т5 =28 кг, 75 =1.5 кгм2, § = 10 м/с2. Расчет выполнен для начального условия, при котором 5-ый КЭ, как консоль, закрепленная в сечении 4, был изогнут без растяжения его оси поперечной силой, приложенной к узлу 5, при различных значениях массы т5 на конце стержня.

77777777777

ГПр, -Зр

>р-1 ГПк, У* & лЗ Л 1)4 V

к-1 >1 XI

Рис. 3

На рис.4-5 приведены графики деформированного состояния стержня при т5 = 28 кг и 35 кг в различные моменты времени t.

Из графиков видно, что перемещения стержня являются большими (порядка его длины), что соответствует геометрически нелинейной постановке задачи.

Во второй главе диссертации сформулирована связанная задача теплопроводности, термоупругого изгиба и колебаний стержня при солнечном нагреве. Рассматривается тонкостенный стержень кругового поперечного сечения, который неподвижно закреплен на одном конце, и его ось в недеформи-рованном состоянии совпадает с осью х. Под действием солнечного нагрева стержень искривляется в плоскости падения солнечных лучей Оху и его поперечные сечения поворачиваются на углы тЗ(-?). Рис- 6. Искривлением кругового контура поперечных сечений будем пренебрегать.

ЧЭ

Рис.6

Для записи уравнения теплопроводности определялись: поток от прямого солнечного излучения на единицу внешней поверхности оболочки, представленный в виде разложения в ряд Фурье

Я* = Ё Я*„ с05! ' Я', = 8Ло соб(7- А),

ёо "К ' 2"' ёп

(12)

при п > 2;

(«2-1)л

плотность теплового потока, теряемого за счет внешнего излучения в космическое пространство, представленная в виде разложения в ряд Фурье

Я' СО5"0<

л=0

Яо

= — |і?о(0)е?0 ^ =— І£о(0)СО5/2в^Є при п> 1, (13) 2 -к І к X

Е0 =с0т4, т = 77100°. с0=5.77 Вт/м2, Г(8,5) - температура стержня в градусах Кельвина, теряемый тепловой поток за счет лучистого теплообмена на внутренней поверхности цилиндрической оболочки при плоской радиации, представ-

ленный в виде разложения в ряд Фурье

2, О4)

^=0, к(0)со5«0с/е при п> 1.

4и -е ^

Из уравнения неустановившейся теплопроводности в окружном направлении тонкой круговой оболочки при солнечном нагреве с учетом внешнего и внутреннего излучения, выражений (12)-(14) с учетом разложения темпера-

туры в ряд Фурье 1 = соблЭ , получается система уравнений теплопро-

п=0

водности с учетом внешнего и внутреннего излучения, для коэффициентов ' •■•' ■

п2Ик\00° ( . , 4п2е' ^

срМ00°т„ +---т„ +с0 е* +

4 Пг-г\ (« = 0,1,..., Л).

где ^ - нелинейные функции, зависящие от Т0,..., Тд,; р, с, X - плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности материала оболочки; г, А - радиус и толщина оболочки; д. = А,801}0 II}, А,- коэффициент поглощения внешней поверхности стержня; £о=1400Вт/м2; Ь0 =149-106 км - среднее расстояние от Земли до Солнца; Ь [км] - расстояние от объекта до Солнца.

Уравнения термоупругого изгиба для консольного стержня записывается в виде:

* 100° а V ,

£ =--Т,(&. (16)

' о

Это уравнение совместно с (15) дает замкнутую систему уравнений для связанной статической задачи термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного стержня при солнечном нагреве с излучением и решается методом итераций.

Также для решения этой задачи на основе МКЭ строилась математическая модель колебаний, термоупругого изгиба и теплопроводности стержня (17) в нелинейной (умеренно-нелинейной и линейной) постановке, которая решалась методом установления (путем интегрирования системы дифференциальных уравнений по времени).

Система уравнений в нелинейной постановке:

срй100°т4 +

ткхк + N. со б - Nk+I соэ ср(. - ()к бш + бш ф* = РхМ; ткук + Ик бш - эт ф, + соб фы - соб ф* = РуМ;

ЛФ* + Л^ы - +Чы)+4 - - Мк; (17) п2ито°

, . 4«V 4

"V Л АР

Системы уравнений в умеренно-нелинейной и линейной постановке, отличаются от (17) только первыми тремя уравнениями колебаний, которые были получены в первой главе диссертации.

В качестве примера рассмотрен тонкостенный стержень (рис. 7), находящийся под действием теплового потока при выходе КА из тени Земли. Стержень жестко прикреплен к симметричному относительно оси х абсолютно

/* * жесткому телу (спутнику), которое может поворачиваться

Ч'чМ1 относительно своего центра тяжести. Вычисления выпол-

нены при следующих значениях параметров: г = 25 мм, /г = 0.1 мм, 4=0.5, Ь0/Ь-\, 100°А, = 5-103Вт/м, 100°а = 1.1-Ю-3, £с=е'=0.56. В качестве абсолютно жесткого тела рассмотрен шар радиуса г0 = 0.5 м, плотность материала шара равна плотности материала стержня р = 2700 кг/м3, длина стержня равна Ь = 30 м, угол ф0 в начальный момент времени равен нулю. Угол падения солнечных лучей у =-30°.

Расчет был проведен для двух вариантов масс груза в узле р на конце стержня. В первом варианте тр = т , а во втором тр = 20т. В данном случае т = 0.0254 кг (р = 50).

На рис. 8 — 10 приведены графики изменения угла поворота ф0 для узла при к = 0 , горизонтального перемещения V (0, для узла при к = р и изменения температуры т(х) по длине стержня, при различных значениях массы тр . 1 — сплошная линия, задача решена в нелинейной постановке при т =т\ 2 —

Рис. 7

пунктирная линия, задача решена в линейной постановке при тр = т ; 3 -сплошная линия, задача решена в нелинейной постановке при тр — 20т ; 4 -пунктирная линия, задача решена в линейной постановке при тр = 20т .

Рис. 9 и [с]

Как видно из графиков температурный нагрев оказывает существенное влияние на динамическое поведение штанги гравитационной стабилизации, что приводит к значительным термоупругим колебаниям, большим перемещениям и углам поворота, как штанги, так и самого КА.

В третьей главе диссертации решена задача о динамической устойчивости трубчатого тонкостенного стержня при солнечном нагреве в плоскости и из плоскости падения солнечных лучей. Для построения математических моделей использовался принцип возможных перемещений и МКЭ.

При рассмотрении динамической устойчивости искривленного нагретого стержня относительно невозмущенного положения равновесия, по изгиб-ным формам колебаний в его плоскости с использованием принципа возможных перемещений, линеаризованное уравнение теплопроводности (сначала

без учета излучения ее — £.' = 0) записывалось в виде (верхним индексом «0» и «1» обозначались невозмущенное состояние и возмущенное движение):

срМООЧ,' . (18)

г 2

Принцип возможных перемещений для возмущенного движения: /

|[Л/'5к' + т{йхЪи1 + у'бу'да = 0, (19)

Перемещения стержня представлялись по методу Ритца в виде разложений:

= u^(s,t) = r£uql(t)■y¡(s), (20)

где фДз) - заданные функции, удовлетворяющие граничным условиям

5 I Е1

(р,=0, ф'=0 при .5=0, 5= — , I-функции выражаются

/ ]т0/

через заданные функции фД?), считая стержень в возмущенном движении нерастяжимым:

\|/,(5) = --П |со5(у-'60)ф,сйг. (21)

где Т| = д.аг/ / 2ЛЛ, / - длина стержня.

На основании (19) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений термоупругих колебаний для обобщенных координат д, (I). Удовлетворяя уравнение теплопроводности (18) по методу Бубнова — Галеркина на совокупности функций 0' =(ф' — 4111/, соэ(у— получаем систему

обыкновенных дифференциальных уравнений для параметров тДГ). Эти две связанные системы уравнений после приведения к безразмерному виду записываются как

^ л2д,

- ' (/ = 1,2,...). (22)

Еаг. л

/2 \tWj- г1 СР №

где г( = а— ¡Г.'Э,^, ^ = —■— .

Г гг I Х\т0

При исследовании динамической устойчивости искривленного в невозмущенном состоянии стержня по изгибно-крутильным формам, движение характеризуется в возмущенном движении

перемещением в

направлении оси г и углом закручивания относительно

искривленной оси рис. 11.

Приращение теплового потока в возмущенном движении без учета излучения:

q' =9,[Vsin(y-'ô0)-91cos(Y-'ô0)]sine при —

, л Л /ч К

д'=0 при ——> 6 >—•

Линеаризованное уравнение теплопроводности без учета излучения ( ее - е' = 0 ) для гармоники п = 1 с учетом (23) имеет вид

срМ00Ч;+^100о х\ = -<?.[У sin(Y-)-ф1005(7-0°)]. (24) г 2

Принцип возможных перемещений для изгибно-крутильных колебаний искривленного стержня с учетом изменений температуры в возмущенном движении записывается в виде

'ГгМ>5(^_ ку) +я'5(^ + к0 WSw'+Jtp'Stp' ]ds = 0, (25)

J Дг2 Их as

где изгибающий и крутящий моменты записываются в виде:

м1=£/[(^_коф1) + 1^х;], Я-СЛ^+к»^) (26) Э5 Г С« СМ

Перемещение и угол закручивания стержня представим по методу Ритца в виде разложений

фЧ*,О=!>.('>,(*), (27) / '

где 5=5//, I = 1^1/т01* ; хД)> - заданные функции, удовлетво-

ряющие граничным условиям ^¡=0, = 0, СО,. = 0 при 5=0.

Также как и для симметричных колебаний задача сводится к уравнениям (22), но с другими коэффициентами; в данном случае неизвестные параметры

г, вводятся как

п = 100°ос- Гт!(хГ-/к°ш,)^ . (28) г J

При рассмотрении задачи динамической устойчивости стержня с использованием МКЭ, изогнутый в плоскости падения солнечных лучей и нагретый стержень в невозмущенном статическом состоянии делился на КЭ в виде дуг окружностей, плавно соединенных между собой в узлах. Сначала были получена матрица жесткости ¿-го КЭ стержня для задачи плоского изгиба (рис. 12).

К4=(АГ]ГКЮАГ (29)

Рис. 12

где

0 0 9, 2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 1 + с4 0 0 »г

0 0 0

к'=2^

с, = СО5(0,), 5, = этСЭ,), Иу = ^ (+ ) = сот!

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1

1 0 0 0 2 0 (31)

Я*-,

1 е, БШ 04 СОБб, 0, вт 6, вт 0, + 04 СОБ 0, СОБ 0, -

0 1 СОБВ, -51П0,

+ 9, соэ - 0, 5т 04

1 2 2 • „

0 0 —соэб. --51ПВ.

л. л. л. К, _

А, =

Матрица жесткости искревленного стержня составляется из матриц К*. Матрица инерции получается из выражения для кинетической энергии системы записанной в форме метода сосредоточенных масс, учитывая дополнительно приведенные к узлам моменты инерции:

Т=!£к(и*2 (32)

к=О

где пгк, Б1к,8ук, Jk - приведенные к к-му сечению сосредоточенная масса, статические моменты относительно оси хи у и массовый момент инерции.

Далее были получены линеаризованные уравнения теплопроводности в возмущениях для к-го сечения с учетом внутреннего и внешнего теплоизлучения:

п2Х ,

2 - Л.*

г с р

срМОО'

6 +-

4 п2г'

Ап — е'

(33)

где

= (со5(у-й°) + а1 втСу- ф)), (и = 0,1; к = 1,...., р).

срМОО" х '

00.А — Чг0,* ^ ° Ч* Ч* ' ^01,* 2 '■* '* '

г' 3 +12т° V • Т1 =4т° 3+9х° х° 2

Эти уравнения решались совместно с линеаризованными уравнениями колебаний стержня, которые получаются на основе уравнения Лагранжа в обобщенных координатах.

Таким образом, связанная задача термоупругих колебаний стержня описывается системой уравнений для векторов = и

■ - [т1 т1 т1 Т1 т1 Xі Т • ' — ІЛ0.1 4,1 0,2 1,2*" 0,р Чр-1 ■

Мя + Юя + Кя-8т = 0; т + Рт - Nq = 0.

(35)

где О - матрица демпфирования, введена пропорционально матрице

жесткости К, по теореме Фойхта. Матрицы М, К, в, Р и N формируются из

соответствующих матриц для КЭ М*, К*, в*, Р* и IV*.

"ООО 0

1дд° 0 -А^ 2

0 0

8» =

аЮО'ЕІ

гЯІ

0 -2(Д 0 -2(ссД^-^)

Ах)] -2(-1 + с>)

-2(-1 + с,-^Ад?)

(36)

Р,=

срАЮО"

С, = 008(0,), ^ = 5Іп(вД = -С,-

Яо

СЬ=Я<18

0 0

срМОО

0 0

срМОО

(37)

(38)

Рис. 13 вается в виде:

Задача динамической устойчивости стержня с использованием МКЭ, из плоскости падения солнечных лучей, математически аналогична задаче колебаний стержня в плоскости (рис. 13).

Матрица жесткости для КЭ записы-

где

к'

(1 + Х)2 д/

о о

о с.^е. о о

■"О )

о о о о

I (1-е.) )

О -GJiЦl + \)si О О -ЕІ sl+GJkX2sl

-GJt$\ + $st

О О

-Е1/к +GJtX2sl

о - -К

1 в,

_1_ Л.

БІП 0, 1

О -^созв.

Я. л,

О 0 -^БІпв^ Л,

I О

__1_

Л,

соэв, —==— вігі 0,

я,

-—совО, —— Л, Л,

0, БІП 9, 1 (БІП 0, + К, [в, собЄ,

шь

О, біпЄ,

_1_ "л.

04 СО50,

.Макв^-Ї Я„ (в, sin0J

ДтаК

04 003 04

(41)

(42)

где тк, Jks, у- приведенные к к-му сечению сосредоточенная масса,

массовые моменты инерции.

Далее были получены линеаризованные уравнения теплопроводности в возмущениях для к-го сечения, с учетом приращения теплового потока в возмущенном движении без учета излучения:

+1 1ті - ё„д. V* 2

г с р

-(V 5Іп(у-й°)-ф' С05(7--д°)}

(43)

срЫОСГ (и = 0,\,к = \,....,р).

Также как и для колебаний стержня в плоскости задача сводится к уравнениям (35), но с другими матрицами. В данном случае

_ 4а100°£/

Ь X, — —.

(1 + Я,)

О О О О

н+с»)

о о о о

При ее=£' =0, Р*=0.

срАЮО

срМОО

(45)

О 8,Я' вт (Ч—&1) срМОО'

Для исследования устойчивости системы однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (22), (35), они преобразовывались к системе уравнений первого порядка:

А— + Сг-0, Л

М 0 о" Б К -в Ч

А = 0 Е 0 ; с = -Е 0 0 ;г = ч

0 0 Е — N 0 р т

(46)

(47)

Здесь Е - единичная матрица.

Решение уравнения (46) имеет вид г(Г) = Ъе* и сводится к проблеме собственных значений пары матриц [АА + = 0 , которая может быть решена с помощью стандартных компьютерных программ.

Собственные значения действительные числа Л.^, = ау или комплексно-

сопряженные А.у = <ху +/юу, А,у=ау—гсоу. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную действительную часть (Ху >0, то система неустойчива по

форме . При 0СУ > 0 и Юу Ф 0 имеет место динамическая неустойчивость. На границе динамической неустойчивости (Ху = 0

и С0У Ф 0, т.е. \ = +/С0У, \ = —/С0У .

Рис. 14

В качестве примера применения МКЭ, была решена задача о термоупругих колебаниях и динамической устойчивости стержня в плоскости и из плоскости падения солнечных лучей (рис. 14). Расчеты проводились при следующих значениях параметров: / = 35 м (длина стержня), г = 0,025 м (радиус поперечного сечения стержня), А = 0.0001 м (толщина стенки стержня), материал стержня алюминиевый сплав, А$ = 0.5 , Ь0/Ь = 1, 100°X = 5• 103 Вт/м, 100°а = 1.110~3, ее = е' =0.025, у=-10\ -30\ -60\ -80°.

На рис. 15-16 приведены графики изменения поперечного прогиба и угла поворота V (/), ФДО при различных углах падения солнечных лучей.

Таблица 3

v у=-10и у=-30и

1 11654417.53 16175014.97

2 11276832.18 0.035 + 2068І

3 8489056.44 З.Обе-Об + 2095І

4 2.9е-07 + 1993і 8.3Є-05 +2107І

5 4.7е-06 + 2038І 1.76е-04 + 2118І

Расчеты на устойчивость колебаний стержня в плоскости падения солнечных лучей показали, что явления динамической неустойчивости возникают при углах падения солнечных лучей у = —10° и у = —30°. При углах падения у = —60°,—80° колебания стержня устойчивые. В таблице 3 приведены собственные значения соответствующие 5-ти формам колебаний Zv, по которым происходит потеря устойчивости.

Также были выполнены расчеты границ динамической неустойчивости на основе двухстепенной модели для длинного тонкостенного стержня при солнечном нагреве при следующих параметрах: г = 25 мм, Л = 0.1 мм,

А =0.5, ЬйИ = \, 100°А, = 5-103 Вт/м, 100оа = 1.1-1(Г\ е£=е'=0,

/ = 100 м .

_ <

-15 И

-45

-60° I/

т|3

у=-30'

На рис. 17 показаны границы устойчивости в плоскости параметров \|/, Т| по изгибным формам, при различных углах падения солнечных лучей у в

диапазоне -75° < у<-5°. Кривые 1|/(Т)) практически не зависят от Г); они весьма слабо зависят от Г) только при малых значениях \|/, как показано на рис. 18 для у = —30°. Области динамической неустойчивости лежат справа от кривых у(т|).

На рис. 19 для у = -15°, -30°, -45°, -60°, -75° и на рис. 20 для у =—30° приведены границы динамической неустойчивости по изгибно-крутильным формам, на плоскости параметров , Т] • Как видно, в данном случае кривые \у(Г|) по характеру зависимости от Г) аналогичны кривым \|/(Т|) для границ устойчивости по изгибным формам (см. рис. 17 - 18). Области динамической неустойчивости лежат справа от кривых \|/(г|).

1 -15 1 1 -45" / 1 -75° > -

-30'

✓ -60°

- -

V? = -30 о

0.9083655 0.908366 0.9083665 0.908367

П___1Л 1

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Разработаны два варианта конечно-элементной модели для расчета поперечных колебаний гибкого стержня в геометрически нелинейной постановке:

• для колебаний с умеренными поперечными перемещениями и угла-

ми поворота с учетом продольных сил;

• для колебаний с произвольными (большими) перемещениями и уг-

лами поворота.

2. Сформулирована связанная нелинейная задача для колебаний тонкостенного стержня круглого поперечного сечения при солнечном нагреве с использованием нелинейных уравнений термоупругих колебаний и уравнения нестационарной теплопроводности стержня с учетом излучения и зависимости углов падения солнечных лучей от упругих деформаций стержня.

3. Получены решения нелинейной статической задачи сильного термоупругого изгиба консольного стержня при солнечном нагреве с использованием конечно-элементной модели.

4. Решена задача о нестационарных нелинейных термоупругих колебаниях космического аппарата как абсолютно твердого тела с упругим стержнем (удлинителем) под воздействием солнечных лучей при выходе космического аппарата из тени. Исследовано влияние на реакцию системы её параметров и коэффициентов черноты внешней и внутренней поверхностей тонкостенного стержня.

5. Получены линеаризованные уравнения термоупругих колебаний предварительно нагретого и изогнутого стержня в плоскости его кривизны на основе конечно-элементной модели для вариаций перемещений, углов поворота и температуры в узлах. Исследована динамическая неустойчивость нагретого изогнутого стержня в его плоскости.

6. Получены линеаризованные уравнения термоупругих колебаний предварительно нагретого и изогнутого стержня на основе конечно-элементной модели для вариаций перемещений и углов поворота в плоскости, перпендикулярной плоскости кривизны, и температуры в узлах. Исследована динамическая неустойчивость нагретого изогнутого стержня из его плоскости.

7. Показано, что при определенной ориентации стержня по отношению к солнечным лучам и при его определенных параметрах может возникнуть динамическая неустойчивость нагретого изогнутого стержня с колебаниями в плоскости падения солнечных лучей или в плоскости, перпендикулярной этой плоскости.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В рецензируемых научных изданиях и журналах:

1. Воробьев И. Н., Гришанина Т.В. «Нелинейная задача динамического изгиба стержня после потери устойчивости»// Труды МАИ 2012, №57, http://www.mai.ru/science/trudy/

2. Воробьев И. Н., Гришанина Т.В., Шклярчук. Ф. Н. «Нелинейные колебания спутника с упругим тонкостенным стержнем при солнечном нагреве»// Вестник МАИ 2012, т. 19, №3, с. 160-170.

3. Воробьев И. Н. «Динамическая неустойчивость тонкостенного трубчатого стержня при солнечном нагреве»// Труды МАИ 2012 № 59, http:// www.mai.ru/ science/trudy/

В других научных изданиях и журналах:

4. Воробьев И. Н., Гришанина Т.В. «Нелинейная динамика упругого стержня после потери устойчивости». В сб. материалов XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец 13-17 февраля 2012 г.). 2012, с. 74.

5. Воробьев И. Н. «Нелинейные колебания тонкостенного стержня при солнечном нагреве с учетом лучистого теплообмена». В сб. материалов Московской молодёжной научно - практической конференции «Инновации в авиации и космонавтике - 2012» (Москва, 17 — 20 апреля 2012 г.) 2012, с. 189

6. Воробьев И. Н. «Колебания и динамическая устойчивость спутника с упругим стержнем при солнечном нагреве». В сб. материалов XVII Международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Крым, Евпатория 1-8 июля 2012 г.) 2012, с 58.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Воробьёв, Илья Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Уравнения нелинейной динамики гибких стержней

1.1 Уравнения колебаний стержневой системы в нелинейной 9 постановке

1.2 Уравнения колебаний стержневой системы в умеренно - 13 нелинейной постановке

1.3 Уравнения колебаний стержневой системы в линейной 16 постановке

1.4 Пример расчета

Глава 2. Связанная задача теплопроводности, термоупругого 29 изгиба и колебаний стержня при солнечном нагреве

2.1 Определение теплового потока

2.2 Распределение температуры по поверхности оболочки

2.3 Уравнения термоупругого изгиба стержня

2.4 Численные решения связанной нелинейной задачи 34 термоупругого изгиба и теплопроводности стержня методом итераций

2.5 Численные решения связанной нелинейной задачи 36 термоупругого изгиба и теплопроводности стержня методом установления

2.6 Пример расчета

Глава 3. Динамическая устойчивость стержня при солнечном 57 нагреве

3.1 Применение принципа возможных перемещений к решению 57 задачи о динамической устойчивости стержня при солнечном нагреве по изгибным формам

3.2 Применение принципа возможных перемещений к решению задачи о динамической устойчивости стержня при солнечном нагреве по изгибно - крутильным формам

3.3 Границы динамической устойчивости двухстепенной модели

3.4 Применение метода конечных элементов к исследованию 67 изгиба криволинейного нерастяжимого стержня в своей плоскости

3.5 Применение метода конечных элементов к исследованию 72 динамической устойчивости кругового нерастяжимого стержня в своей плоскости

3.6 Применение метода конечных элементов к исследованию 75 изгиба и кручения кругового нерастяжимого стержня из плоскости

3.7 Применение метода конечных элементов к исследованию 80 динамической устойчивости кругового нерастяжимого стержня при изгибно - крутильных колебаниях

3.8 Пример расчета

3.8.1 Применение МКЭ к расчету динамической устойчивости 85 трубчатого стержня

3.8.2 Расчет динамической неустойчивости на основе двухстепенной 88 модели

Введение диссертация по механике, на тему "Нелинейные термоупругие колебания и устойчивость гибкого тонкостенного стержня космического аппарата при солнечном нагреве"

Основным критерием устойчивости термоупругих колебаний стержня является его ориентация к Солнцу. В качестве других критериев в статьях, посвященных этой проблеме, рассматривались поглощающие свойства материала и демпфирующие свойства конструкции. Так же следует отметить, что в ряде работ [55, 57, 64, 66] задачи теплопроводности и температурного изгиба рассматривались не связанные между собой.

Впервые задача устойчивости штанги гравитационной стабилизации была рассмотрена в работе Уи У.-У. [67], хотя термически возбуждаемые колебания балки были рассмотрены ранее в статье ВоМу В.А. [47]. В статье [67] на основе принципа Гамильтона, проблема сформулирована для консольно защемленной штанги с массой на конце с учетом изгибных колебаний без кручения. В статье было сделано предположение, что температурная кривизна изменяется по линейному закону и определяется по средствам дифференциальных уравнений первого порядка по времени. В этой работе, как и последующих публикациях на эту тему [46, 48, 49, 52, 53, 68], устойчивость исследовалась на основе одной формы колебаний. В этой статье было установлено, что движение устойчиво если штанга направлена в сторону от солнца и неустойчива если направлена к солнцу, и масса па конце не накладывает значимого эффекта на устойчивость. Так же было отмечено, что внутреннее вязко упругое демпфирование материалов штанги вносит незначительный эффект на исследование устойчивости, но вязко текучий демпфер в виде сферы добавленный на конце штанги может быть эффективным в предотвращении термоупругого флаттера. В статье определены важные конструкционные параметры для демпфера и определены конструкционные критерии для устойчивости. В статье [57] была рассмотренная дискретная модель изгибных колебаний стержня при действии следящей силы и солнечного излучения.

В статье [55] математическая модель рассчитывалась во взаимосвязи между температурной кривизной и изгибными колебаниями штанги. Как и во многих других работах, задача решалась при допущениях, что температура по толщине стенки постоянная, теплопередача по длине стержня отсутствует и внутренней радиации нет. Определены критерии устойчивости в зависимости от солнечной ориентации, от поглощающих свойств материала и степени демпфирования. В этой работе также отмечалось что, когда штанга ориентирована по направлению от солнца, движение устойчиво. Показано, что при учете поглощающей способности и демпфирования, предельные значения устойчивости, в случае, когда штанга ориентирована от солнца, проявляется для штанг покрытых серебром.

Одной из первых работ, где учитывалась потеря тепла за счет внутренней радиации, была статья Graham J.D. [56]. Решение связанной стационарной задача сильного термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного круглого стержня при солнечном нагреве с учетом внутреннего и внешнего излучений приведено в статье Гришаниной Т.В. и

Шклярчука Ф.Н. [17]. В работах [18, 19] этих же авторов рассмотрена задача устойчивости изгибных колебаний в плоскости падения солнечных лучей. Уравнения термоупругих колебаний были получены на основе метода Ритца, а уравнения теплопроводности по методу Бубного-Галеркина. В этих работах использовалось допущение о нерастяжимости упругой оси стержня, а задача устойчивости рассматривалась в линеаризованной постановке.

Следует также отметить, что вследствие высокой гибкости таких стержней их колебания могут быть геометрическими нелинейными и могут иметь большие амплитуды перемещений и углов поворота. Данные явления могут приводить к серьезным проблемам, таким как «раскачивание» спутника па орбите, вследствие сильных термоупругих колебаний штанг гравитационной стабилизации и как следствие вывод данного спутника из строя, что и случилось со спутником ОУ1-Ю, выведенного на круговую орбиту в декабре 1966 г. [49].

Тонкостенный стержень при нестационарных термоупругих колебаниях представляет собой неконсервативную систему. Такие системы при определенных условиях могут быть динамически неустойчивыми [3, 8, 17, 44].

Для неконсервативных систем, за исключением определенных частных случаев [4, 60], невозможно указать на качественное влияние тех или иных параметров и их комбинации на границы динамической устойчивости. Кроме того, неконсервативные системы могут быть весьма чувствительные к изменениям их параметров. Это обусловлено в первую очередь тем, что упругая консервативная система теоретически находится на границе динамической устойчивости (имеет чисто мнимые собственные значения) и может стать динамически неустойчивой («раскачиваться») при весьма малых неконсервативных силах.

Особенностью колебаний гибких стержневых систем задач является то, что для их решения требуется использовать нелинейные уравнения движения, по крайней мере, такие, которые могут описывать конечные перемещения и повороты системы как твердого тела. Теория статики и динамики криволинейных стержней наиболее полно изложены в книгах Светлицкого В.А. [36], Левина В.Е и Пустового Н. В. [31].

Нелинейные задачи динамики различных упругих систем при конечных перемещениях и поворотах рассматривались в разных постановках в ряде работ, из которых отметим следующие: [5, 21, 45, 51] - для КА и больших космических конструкций; [6, 50] - для космических тросовых систем; [20, 39, 48, 51, 61, 62,] - для манипуляционных роботов и кранов.

Также следует отметить, что большой вклад в разработку теории и методов расчета динамики и динамической устойчивости упругих конструкций внесли Н.П. Абовский, Н.В. Баничук, Л.В. Докучаев, К.С. Колесников, A.A. Красовский, Б.И. Рабинович, Ф.Л. Чериоусько, Ф.Н. Шклярчук, E.F. Crawley, P.P. Friedmann, R.T. Hafitka, L. Meirovitch и др.

На основе анализа литературы по теме диссертации определена цель работы: разработать, с необходимым обоснованием уточненные математические модели нелинейного термоупругого изгиба и колебаний тонкостенного стержня. Данные модели должны быть пригодны для расчета колебаний, а также динамической неустойчивости стержня с учетом влияния внешнего и внутреннего теплоизлучения, угла падения солнечных лучей, параметров характеризующих стержень.

В первой главе диссертации получены решения плоских задач динамики гибких стержневых систем при больших углах поворота и конечных упругих деформациях. Уравнения колебаний получены по методу конечных элементов в геометрически нелинейной, умеренно нелинейной и линейной постановках. Приведен пример расчета динамического поведения стержня после потери устойчивости.

Во второй главе решена связанная задача теплопроводности, термоупругого изгиба и колебаний стержня при солнечном нагреве. Записано уравнение теплопроводности, которое решается совместно с уравнениями колебаний, полученных в первой главе. Решения были получены с помощью метода итераций и метода конечных элементов в трех постановках (линейной, умеренно - нелинейной, нелинейной). Приведен пример расчета динамического поведения штанги гравитационной стабилизации космического аппарата под действием температурного воздействия солнечного нагрева.

В третьей главе построены математические модели для расчета динамической неустойчивости стержня в плоскости и из плоскости падения солнечных лучей. Для построения моделей применялся метод конечных элементов. В качестве примера была решена задача о динамической неустойчивости штанги гравитационной стабилизации спутника при разном угле падения солнечных лучей.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов: 09-01-00381-а, 09-08-00602-а, 12-08-00577-а, 12-08-00590-а).

По теме диссертации автором опубликовано 6 работ.

В работах [11, 13] рассмотрены задачи нелинейных колебаний и динамической устойчивости стержня.

В работах [9, 10, 12, 14] решены связанные задачи термоупругости и теплопроводности для сильного изгиба (в нелинейной постановке) и динамической неустойчивости колебаний длинного тонкостенного стержня при солнечном нагреве в условиях космоса.

Указанные выше опубликованные работы составили основу диссертации.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы

1. Разработаны два варианта конечно - элементной модели для расчета поперечных колебаний гибкого стержня в геометрически нелинейной постановке:

1) для колебаний с умеренными поперечными перемещениями и углами поворота с учетом продольных сил;

2) для колебаний с произвольными (большими) перемещениями и углами поворота.

4. Решена задача о нестационарных нелинейных термоупругих колебаниях космического аппарата (КА) как абсолютно твердого тела с упругим стержнем (удлинителем) под воздействием солнечных лучей при выходе КА из тени. Исследовано влияние на реакцию системы её параметров и коэффициентов черноты внешней и внутренней поверхностей тонкостенного стержня.

5. Получены линеаризованные уравнения термоупругих колебаний предварительно нагретого и изогнутого стержня в плоскости его кривизны на основе конечно - элементной модели для вариаций перемещений, углов поворота и температуры в узлах. Исследована динамическая неустойчивость нагретого изогнутого стержня в его плоскости.

6. Получены линеаризованные уравнения термоупругих колебаний предварительно нагретого и изогнутого стержня на основе конечно -элементной модели для вариаций перемещений и углов поворота в плоскости, перпендикулярной плоскости кривизны, и температуры в узлах. Исследована динамическая неустойчивость нагретого изогнутого стержня из его плоскости.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Воробьёв, Илья Николаевич, Москва

1. Авдуевский B.C. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1975, 624 с.

2. Анреянов В.В., Артамонов В.В., Атманов И.Т., Березин В.И., Жукин В.М., Трошин B.C., Черенков В.Б. Автоматические планетные станции. -М.: Наука, 1973.-280 с.

3. Аринчев C.B. Теория колебаний неконсервативных систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002, 264 с.

4. Бабаков И.М. Теория колебаний, изд. 3-е. М.: Наука, 1968, 560 с.

5. Баничук Н.В., Карпов И.И., Климов Д.М. и др. Механика больших космических конструкций. М.: Изд-во «Факториал», 1997, 302 с.

6. Белецкий В. В. , Левин Е. М. Динамика космических тросовых систем. М.: "Наука", 1990, 330 с.

7. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977, 489 с.

8. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматлит, 1961, 340 с.

9. Воробьев И. Н., Гришанина Т.В., Шклярчук. Ф. Н. Нелинейные колебания спутника с упругим тонкостенным стержнем при солнечном нагреве// Вестник МАИ 2012, т. 19, №3, с. 160-170.

10. Воробьев И. Н. Колебания и динамическая устойчивость спутника с упругим стержнем при солнечном нагреве. В сб. материалов XVII Международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Крым, Евпатория 1 8 июля 2012 г.) 2012, с 58.

11. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985, 352 с.1 в.Гришанина Т. В. Задачи по теории колебаний упругих систем. — М.: Изд-воМАИ, 1998.-48 с.

12. Гришанина Т. В., Шклярчук Ф. Н. Связанная задача термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного круглого стержня при солнечном нагреве // МТТ 2000. № 6. с. 161-166.

13. Зигель Р., ХауэллДж. Теплообмен излучением. М.: Мир, 1975.2Ъ.Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел A.C. Теплопередача. М.: Энергоиздат, 1981, 416 с.

14. Коваленко А.Д. Основы термоупругости .- Киев: Наукова думка, 1970. 308 стр.

15. Кондратьев К. Я. Лучистый теплообмен в атмосфере. Л.: Гидрометеорологическое изд-во, 1956, 420 с.2в.Коровайцев A.B. Нелинейное деформирование тонкостенных элементов конструкций при больших перемещениях и поворотах. // Реферат дисс. М.: 1988. 32 с.

16. Коровайцев A.B., Зимин В.Н. Расчет движения многозвенных систем // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1986. -№ 7. - С. 53-56.

17. Кошкин В.К, Калинин Э.К, Дрейцер Г.А., Ярхо С.А. Нестационарный теплообмен. М.: Машиностроение, 1973, 327 с.

18. Марченко В. М. Температурные поля и напряжения в конструкциях летательных аппаратов. М.: Изд-во Машиностроение, 1965. — 298 с.

19. Малоземов В. В. Тепловой режим космических аппаратов М.: Машиностроение, 1980, 232 с.

20. Левин В.Е., Пустовой Н.В. Механика деформирования криволинейных стержней Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008, 208 с.

21. Николаев В. Н. Математическое моделирование теплового состояния отсеков транспортного самолета // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им Н. Э. Баумана. Серия «Машиностроение». 2010. №3. с. 3-14.

22. Николаев В. Н. Математическое моделирование теплового состояния отсеков и систем самолета при проектировании и летных испытаниях. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. 251 с.

23. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1986, 536 с.

24. Образцов И. Ф. , Савельев Л. М. , Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985, 392 с.

25. Светлицкий В.А. Механика стержней. В 2-х ч. Ч. 1. Статика. М.: Высшая школа. - 1987 - 320 с. Ч. 2. Динамика. - 1987 - 304 с.

26. Ъ1.Попов В. И. Системы ориентации и стабилизации космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1986, 184 с.38 .Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988, 402 с.

27. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.II, Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука, 1989, 368 с.

28. Шейдлин А. Е. Излучательные свойства твердых материалов. М.: Энергия, 1974, 471 с.41 .Шклярчук Ф. Н., Гриишнина Т. В. Нелинейные и параметрические колебания упругих систем. М.: Изд-во МАИ, 1993. - 68 с.

29. Шклярчук Ф. Н., Гриишнина Т. В. Динамика упругих управляемых конструкций. М.: Изд-во МАИ, 1997. - 326 с.

30. Шклярчук Ф.Н. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.: Изд-во МАИ, 1983.-80 с.

31. АЛ.Шклярчук Ф.Н., Гриишнина Т.В. Колебания неконсервативных систем. М.: Изд-во МАИ, 1989, 46 с.

32. АЪ.Шклярчук Ф.Н. Нелинейные и линеаризованные уравнения движения упругих космических конструкций // Изв. РАН. МТТ, 1996, №1, с. 161175.

33. Augiisti G. Comment on "Comment on "Thermally Induced Vibration and Flutter of a Flexible Boom" // Journal of Spacecraft and Rockets, 1971, Vol. 8, No. 2, pp. 202-204

34. Al.Bolcly B.A. Thermally induced vibrations of beams // J. of the Aeronautical Scienes, 1956. Vol. 23. No. 2. pp. 179-181.

35. Chan J.K., Modi V.J. A Closed-Form Dynamical Analysis of an Orbiting Flexible Manipulator// Acta Astronáutica, 1991, Vol. 25, No. 2, pp. 67-76.

36. Connel G.M., Chobotov V. Possible Effects of Boom Flutter on the Attitude Dynamics of the OVl-lO Satellite // Journal of Spacecraft and Rockets, 1969, Vol. 6, No. l,pp. 90-92.

37. Etkin. B, Hughes P. C. Explanation of the anomalous spin behavior of the satellites with long flexible antennas. // Journal of Spacecraft and Rockets, 1967, Vol. 4, No. 9, pp. 1139-1145.

38. Florio F. A., Hobls R. B. Jr. An analytical representation of temperature distribution in gravity gradient rods // AIAA J. 1968. V. 6. No. 1. P. 99-102.

39. Foss K.A. Coordinates which Uncouple the Equations of Motion of Damped, Linear Dynamic Systems // Journal of Applied Mechanics, 1958, Vol. 25, No. 7, pp. 361-364.

40. Graham J. D. Solar inducated bending vibrations of flexible member // AIAA J. 1970. V. 8. No. 11. P. 2031-2036.

41. Graham J. D. Radiation heat transfer around the interior of a long cylinder. // Journal of Spacecraft and Rockets, 1970, Vol. 7, No. 3, pp. 372-374.

42. Hcigedorn P. Zum Eigenwertpoblem Diskreter Linearer Mechanischer System mit Schwacher Dämpfung und Kleinen Gyroskopischen Termen // Zangew. Math, und Mech., 1984, 64, N 4, 48-49.

43. Inoiie Y., Fujikawa T. A Complex Modal Analysis Method for Damped Vibration Systems // Trans. ASME: J. Vibr., Acoust, Stress, and Reliab. Des. 1985, Vol. 107, No. l,pp. 13-18.

44. Jordan P.P. Comment on "Thermally Induced Vibration and Flutter of a Flexible Boom" // Journal of Spacecraft and Rockets, 1971, Vol. 8, No. 2, pp. 204-205.

45. Newland D.E. On the Modal Analysis of Non-conservative Linear Systems // Journal of Sound and Vibration, 1987, Vol. 112, No. 1, pp. 69-96.

46. Sikka S„ Iqbal M. Temperature distribution and curvature produced in long solid cylinders in space. // Journal of Spacecraft and Rockets, 1969, Vol. 6, No. 8, pp. 911-916.

47. Sumi S„ Murozono M., Imoto T. Thermally-Induced Bending Vibration of Thin-Walled Boom with Tip Mass Caused by Radiant Heating // Technology Reports of Kyushu University, 1988, Vol. 61, No. 4, pp. 449450.

48. Vigneron F. R. Thermal Curvature Time Constant of thin Walled Tubular Spacecraft Booms. // Journal of Spacecraft and Rockets, 1970, Vol. 7, No. 10, pp. 1256-1259.

49. Yu Y. -Y. Thermally induced vibration and flutter of a flexible boom // J. of Spacecraft and Rockets. 1969. V. 6. No. 8. P. 902-910.

50. Yu Y.-Y. Reply by Author to P.F. Jordan and G. Augusti and New Results of Two-mode Approximation Based on a Vigorous Analysis of Thermal Bending Flutter of a Flexible Boom // Journal of Spacecraft and Rockets, 1971, Vol. 8, No. 2, pp. 205-208.