Расчет слоистых пластин и оболочек вращения на основе трехмерных конечных элементов без предположений о деформировании нормали тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Киселева Румия Зайдуллаевна

Расчет слоистых пластин и оболочек вращения на основе трехмерных конечных элементов без предположений о деформировании нормали

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 5 НОЯ 20Ю

Волгоград 2010

004614245

Работа выполнена в ФГОУ ВПО «Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия».

Научный руководитель кандидат технических наук

Гуреева Наталья Анатольевна.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Овчинников Игорь Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор Козлов Владимир Анатольевич.

Ведущая организация Южно-Российский государственный

технический университет (Новочеркасский политехнический институт).

Защита состоится «25» ноября 2010 года в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 212.028.04 при ГОУ ВПО «Волгоградский государственный технический университет» по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ВолгГТУ, ауд.209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного

«22» октября -!010г.

¿■¿¿у Водопьянов В.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Слоистые оболочки и конструкции широко используются в различных областях современной техники. Использование слоев со специальными свойствами позволяет создавать высокопрочные конструкции, которые обладают хорошей тепло, - агсьтро - и звукоизоляцией, высокой стойкостью к агрессив! 1ым средам.

В составе слоистой конструкции слои из высокопрочных материалов являются несущими и воспринимают основную часть нагрузки, а маложесткие слои связывают между собой несущие и работают в основном на поперечный сдвиг.

В расчетах на прочность конструкции из слоистого материала с использованием упругой модели требуется высокая точность определения всех компонентов её напряженно-деформированного состояния (НДС). В качестве численного метода наиболее удобно использовать МКЭ, позволяющий получать достаточно корректные результата при расчете пространственных трехмерных систем из однородного материала. Обзор литературы, посвященный расчетам слоистых пластин и оболочек, показывает, что эти расчеты основаны на использовании различных гипотез о деформировании нормали к срединной поверхности многослойной конструкции, что неизбежно приводит к нарушению корректности соотношений теории упругости, оценка которой является затруднительной. Использование объёмных конечных элементов в расчетах оболочек позволяет определять напряженно-деформированное состояние таких конструкции без применения каких-либо гипотез о деформировании нормали к срединной поверхности. Поэтому разработка конечных элементов (КЭ) пластин и оболочек в трехмерной постановке и их использование в расчетах слоистых конструкций является достаточно актуальной и представляет практический интерес.

Цель диссертационной работы заключается в разработке и совершенствовании алгоритмов формирования матриц жесткости объемных (КЭ ) с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных; н разработке алгоритмов преобразования матриц жесткости и векторов узловых нагрузок таких (КЭ), примыкающих к границе раздела слоев пластин и оболочек вращения с различными физико-механическими свойствами; в разработке прикладных программ для расчета на прочность конструкций из многосто/гньгс пластин и оболочек и внедрении программ в практику инженерных расчетов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. В разработке алгоритма формирования матриц жесткости (КЭ) с угловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных и способа их преобразования на границе раздела слоев плоско нагруженной многослойной конструкции.

2. В разработке алгоритма адаптации шестигранного восьмиузлсвого конечного элемента для расчета многослойных панелей.

3. В разработке конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных и алгортма преобразования матрицы жесткости

такого элемента на границе слоев с различными физико-мсханическими свойствами для расчета прочности осесимметрично нагруженных многослойных оболочек вращения.

4. В адаптации шестигранного восьмиузлового конечного элемента к расчету многослойной оболочки вращения при произвольной нагрузке и в разработке алгоритма преобразования матриц жесткости (КЭ), примыкающих к границе раздела слоев с различными фгаико-мсхшшческими свойствами.

Практическая ценность. Программные модули, реализующие предложенные алгоритмы, могут бьпь использованы в инженерной практике для расчета реальных конструкций в виде многослойных пластин и оболочек вращения.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании соотношений теории упругости, вариационных методов и алгоритмов метода конечных элементов, на выполнении статических проверок и на сравнении результатов, полученных различными методами.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-пракшческой конференции «Инженерные системы-2008» РУДН г. Москва, 2008 г.; на ежегодных научно-практических конференциях «Проблемы развития АПК» ВГСХА секция "Конструирование и строительная механика инженерных сооружений", г. Волгоград; на международной научно-пракшческой конференции «Инженерные системы 2009», РУДН., г. Москва, 2009г.; на объединенном научном семинаре секции "Конструирование и строительная механика инженерных сооружений", г. Волгоград, 2010г.; а также на расширенном заседании кафедры «Сопротивление материалов» Волгоградского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертационной работы, опубликованы в 15 научных статьях. Из них четыре в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит тшулытый лист, оглааление, введение, пять глав основного текста, заключение, список литературы; - изложена на 174 страницах машинописного текста, содержит 25 таблиц и 62 рисунка; библиографический список включает 147 наименований литературных источников.

Содержание работы

Во введении приведено обоснование актуальности темы диссертации, формулируется цель выполненного исследования, ее научная новизна, практическая значимость диссертационной работы.

В первой главе изложен краткий исторический обзор развшия метода конечных элементов в задачах исследования напряженно-деформированного СОСТОЯ1ШЯ инженерных конструкций.

Отмечается вклад в развитее метода конечных элементов отечественных и зарубежных ученных.

Анализ опубликованных работ показывает, то определение напряженно-деформированного состояния многослойных пластин и оболочек выполнялся с

использованием теории таких оболочек на основе геометрических гипотез, упрощающих расчет.

В заключении формулируется цель исследования, ее новизна, практическая ценность и представлена общая характеристика диссертационной работы.

Во второй главе представлены основные соотношения теории упругости. Дана матричная формулировка соотношений Коши, закона Гука, граничных условий для пластины при плоской и произвольной нагрузках, для оболочки вращения при осесимметричной и произвольной нагрузках.

В третьей главе для решения плоской задачи использован объёмный конечный элемент с поперечным сечением в виде произвольного четырёхугольника с узлами /, / А, /. Для выполнения численного интегрирования произвольный четырёхугольник, определённый в глобальных координатах х о отображается на квадрат с локальными координатами а и Ь, интервалы изменения которых определяются неравенствами -1 <а,Ь<\ [1,13].

Глобальные координаты х, г определялись через локальные координаты а, Ь билинейными соотношениями, из которых определялись производные

В качестве узловых неизвестных конечного элемента приняты перемещения вдоль осей х, г и их первые производные по декартовым координатам.

Для аппроксимации перемещений внутренних точек конечного элемента использовались полиномы Эрмита третьей степени.

При получении матрицы жесткости конечного элемента использовался функционал Лагранжа о равенстве работ внутренних и внешних сил при нагружении.

Если узел конечного элемента находится на границе раздела слоев материала, то узловые неизвестные конечного элемента первого слоя материала в этом узле представляются матрицей

а-6

Аналогично представляются неизвестные конечного атемента второго слоя для этого же узла

Если в узловой точке, расположенной на границе раздела слоев, узловые неизвестные (1) элемента внешнего слоя принять за основные, то узловые неизвестные конечного элемента внутреннего слоя (2) необходимо выразить через основные. Для этого используются следующие условия:

1. Перемещения узловой точки в декартовой системе координат х,: являются одинаковыми, что приводит к равенствам

0)

<2)

1а-6

(3)

3. Равенство углов наклона нормачей к границе раздела слоев га разных материалов приводит к выражениям

(5)

4. Из условия равенства касательных напряжений на границе раздела слоев патаются соотношения

аЩКуЫ^ ^.М), (6)

сгпс/яа получается

Здесь о^и модули сдвига материалов соседних слоев. 5. Равенство нормальных к границе раздела слоев напряжений

(8)

приводит к выражению

• (9)

где Я', //' 0=1,2) - параметры Ламе; / - номер слоя.

На основании соотаошений (3), (4), (5), (7) и (9) формируется матрица преобразования матрицы жесткости и вектора сил конечного элемента, примыкающего к границе раздела слоев.

Для решения трехмерной задачи изгиба слоистой плиты был выбран шестигранный (КЭ) с восемью узловыми точками. Для выполнения численного интегрирования произвольный шестигранник отображается на куб с локальными координатами а,Ь,с, интервалы изменен!и! которых определяются неравенствами -1 < а,Ь,с< 1 [1,14].

Глобальные координаты х, у, г определялись через локальные координагы а, Ь, с грилиненными функциями, из которых вычислялись производные

Для преобразования узловых величии на границе раздела слоев с различными физико-механическими свойствами векторы узловых неизвестных конечных элементов, относящихся к смежным слоям пластинки, представляются в такой последовательности

(10)

1x12

где - номер узла конечного элемента

Из-за различия физико-механических свойств слоев пластины компоненты векшра неизвестных общей узловой точки конечных элементов будут различными.

Если в узловой точке, расположенной на границе раздела слоев, узловые неизвестные элемента внешнего слоя принять за основные, то узловые неизвестные конечного элемента внутреннего слоя необходимо выразить через основные. Д ля получения матрицы преобразования используются следующие условия:

1. Равенство перемещений узловых точек смежных элементов гМ=и(г)\ (11)

где .ч и г - индексы, обозначающие узлы сопрягаемых конечных элементов, причем г -означает номер узла основного элемента, а 5 - номер узла примыкающего цемента.

2. Деформации вдаль координат хну считаются равными

(12)

3. Углы наклона нормалей к граничной поверхности между слоями материалов прштмаются равными

(13)

4. Равенство деформаций сдвига в плоскости, разграничивайте слои пластинки

04)

5. Равенство касательных напряжений ; <Ту2 =стгуг на границах слоев записываются в виде соотношений

(15)

откуда получаются выражения

' НУ' ^ ^ ^ [(16)

- СМ ) J у

6. В каждой узловой точке напряжения, нормальные к границе сопряжения конечных элементов, считаются равными

(17)

что приводит к выражению

1

& =д.м

(18)

На основе полученных соотношений (11), (12), (13), (14), (16) и (18) формируется матрица преобразования матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок конечных элементов внутреннего слоя, граничащих с элементами наружного слоя. Эффективность разработанного алгоритма подтверждается примерами.

Пример 1. Определено напряженно-деформированное состояние трёхслойной плиты на однородном основании, сжатой ленточным равномерным давлением я (рис.1). Были приняты следующие исходные данные: I = 0.1м, ц = 0.6 МН/м2, Л, = 0.07м, Л2 =0.021 м, /¡з -0.07м, £,=£3 =3*104МПа, Ег - ЮОМПа.

На графике (рис. 2) показано распределение прогибов и давления по поверхности контакта плиты с основанием, где кривые 1- значения перемещений и напряжений, полученные методом конечных элементов, а кривые 2 - значения перемещений и напряжений, взятые из журнала Механика композитных материалов - Рига, 2003. - Т.39. - № 2. Видно, что использование

восьмиузлового объемного конечного элемента с первыми призводными перемещений позволяет патучшъ результаты, согласующиеся при минимальном количестве дискретных элементов расчетной модели с решением, взятым из журнала.

(ИОсм

И5см

ПИРСМЕЩЕНИЕ

НАПРЯЖЕНИЯ

л -

'с

I (У Шо.м

Е,гКШПа 1 Ор'*',МПа

Рмс.1 Рис2

Пример 2. Определено напряженно - деформированное состояние трёхслойной пластины, защемлённой на левом конце и загруженной на свободном крае линейной распределённой нагрузкой интенсивности q (рис.3).

I,, Ныли приняты следующие исходные I.; данные: Ь=0.2м; 1 = 0.2м; ц = 100 Н/см; 111=0.002 м; Ь2 =0.006 м; Е=2*105 МПа; £'=2*104 МПа; М = 0.3; //' = 0.25.

Рис.З

В таблице 1 приведены результата численного расчёта, где даны нормальные напряжения доя точек 1,2,... 4 (рисЗ). Штрихами отмечены точки, относящиеся к среднему слою панели.

Таблица 1

Напряжения МПа Точки

I 2 2' 3' 3 4

стл< -151.049 -«5,783 -8.32 8.322 85.783 151.049

° и 1.118 1.163 1.175 -1.163 -1.163 -1.118

Как видно, в граничных точках имеются скачки в значениях нормальных напряжений.

Для кошрешя вычислений выполнена проверка условий равновесия по силам(еу = 0), которая выполняется с точностью 3 = 0 0039 % и по моментам

=о) точность составила 3 = 0.03

В таблице 2 приведены для сравнения результаты численных расчётов пластины при различных значениях модулей упругости слоев. В строках таблицы в числителе представлены нормальные напряжения для точек 1,2,.. .4 (рис.3), полученные с использованием разработанной нами программы, а в знаменателе представлены нормальные напряжения сг для точек 1,2,... 4, полученные на основе конечно -

элементного программного комплекса АВАрШ при модулях упругости слоев материалов, различающихся в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз, в 10000 раз и прн различных отношениях длин пролета к толщине панели.

____ ___ Таблица 2

Напряжения СТуу МПа, прн Отношения длины пролета к толщине панели 1/11=20 для точек

1 2 2' 3' 3 4

Е=2*10'МПа, £'=2*104МПа. Различие, % -151.05 -152.75 1.1 -85.78 -83.69 2.4 -8.32 -8.13 8.32 8.13 85.78 83.76 2.3 151.05 152.68 1

Е=2*10:> МПа, £'=2*103МПа. Различие, % -176.25 -178.23 1.1 -63.63 -59.88 5.9 -1.77 -0.4 1.77 0.3 63.63 60.57 4.8 176.25 177.87 0.9

Е=2М05 МПа, Л" =2* 102МПа. Различие, % -246.02 -258.2 4.7 23.16 33.85 31.6 0.55 0.36 -0.55 -0.48 -23.16 -30.17 23.2 246.02 255.4 5

Е=2*105 МПа, £'=2*10МПа. Различие, % -488.75 -521.8 6.3 300.6 346.89 13.4 0.59 0.2 -0.59 -0.7 -300.6 -330.47 9 488.75 511.85 4.5

Отношения длины пролета к толщине панели 1/Ь=10

Е=2* 103МПа, £'=2*104МПа Различие, % -155,58 -158.75 1.8 -80.54 -77.22 4 -7.52 -7.08 7.52 7.08 80.54 77.49 3.8 155.58 158.66 1.9

Е=2*103 МПа, £'=2*103МПа. Различие, % -198.89 -208.24 4.5 -33.81 -25.49 24.6 0.54 -0.006 0.54 -0.007 33.81 26.61 21.3 198.89 207.56 4.2

Е=2*10:> МПа, £'=2*102МПа. Различие, % -341.34 -368.44 7.3 139.98 163.59 14.4 1.18 1.21 -1.18 -1.49 -139.98 -158.16 11.5 341.34 365.46 6.6

Е=2*103 МПа, Е' =2*10МПа. Различие, % -780.68 -825.412 5.4 660.58 718.28 8 1.18 0.89 -1.18 -1.9 -660.1 -719.98 8.3 780.12 852.13 8.4

Отношения длины пролета к толщине панели 1/11=5

11-2*10'МПа, £'~2*104МПа Различие, % -164.6 -164.24 0.2 -70.11 -65.29 6.8 -5.94 -5.76 5.95 5.77 70.11 65.63 6.3 164.6 164.02 0.3

ММО'МПа, £'=2*103МПа Различие, % -247.22 -254.85 3 25.55 35.03 27 1.99 1.4 -1.98 -1.5 -25.57 -33.08 22.7 247.25 253.56 2.5

£=2" 10' МПа, £'=2*102МПа Различие, % -543.56 -572.6 5 374.49 415.36 9.8 2.44 2.86 -2.44 -3.79 -370.11 -406.65 9 541.3 577.56 6.3

Е=2*10"1 МПа, £'=2*10МПа Различие, % -1064.27 1025.72 2.39 -2.26 -1038 1076.33

По результатам нормальных напряжений сг^, полученных с использованием

разработанной нами программы и по результатам, полученными на основе конечно -элементного программного комплекса АВАОиБ (табл. 2) построены ряд эпюр, при Е=2*105 МПа, £'=2*10гМПа и при 1/Ь=20 (рис.4, рис.4а); при Е=2*105 МПа£' =2*10 МПа и при №=10 (рис.5, рис.5а); при Е=2*Ю5 МПа, Е' =2*102МПа и при 1/Ь=5 (рис.6, рис.ба).

Рлс.4 Рис.4а

Рис.5

Рис.5а

.........................................11-, 60.45 --^"^577,56

......8 ■ -3.79 4,17 ■ . — . -------

..........-7 • 3.56 -- - --------------

■■ —......-6' ■0,14 — ................

-...... £• -Мб— - .....- ".....-.....

■п.ъг з -^4-415,36—.

-1Ю0 <00 -400 -200

200 400 600

Рис.6 Рис.ба

По полученным результатам нормальных напряжений (7}у (табл. 2) с использованием эпюр нормальных напряжений ауу в таблице 3 приведены для сравнения результаты проверки условия равновесия по силам (г у — 0) и по

моментам (Е Му = о). Где в числителе представлены результаты проверки,

полученные с использованием разработанной нами программы, а в знаменателе представлены результаты проверки, полученные на основе конечно - элементного программного комплекса АВАСЗШ при модулях упругости слоев материалов, различающихся в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз, в 10000 раз и при различных отношениях длины пролета к толщине панели.

Таблица 3

Условия равновесия Модули упругости слоев материалов при отношении длины пролета к толщине панели 1/11=20

Е=2*10' МПа, £'=2*104МПа Е=2*103 МПа, £'=2*103МПа Е=2*105 МПа, £'=2*102МПа Е=2* 1МПа, £'=2*10МПа

17 = 0 0.0039 0.5 0.004 0.5 0.004 0.5 0.004 0.5

IМ У = 0 5,% 0.03 0.1 0 08 0.1 0.08 0.7 0.04 1.5

Отношение длины пролета к толщине панели Ш=Ю

1У = 0 6,% 0.0039 3 0004 2 0.004 2 0.056 3

ъМу = о <5, % 003 1 0.09 2 0.05 1 02 1

Отношение длины пролета к толщине панели 1/11=5

хг = о 0.0039 0.5 0.001 1 0.0015 1.3 0.02

тму=о 8,% 0.03 0.1 05 3 0.5 6.4 М

Как видно из таблицы результаты проверки условий равновесий, полученные с использованием разработанной программы более близки к точным, чем результаты, полученные на основе конечно - элементного программного комплекса ЛВАОЬЪ.

Проведенный анализ показывает, что разработанный объёмный конечный элемент приводит к более корректным результатам по выполнению статических условий равновесия, позволяет получение численных результатов при значительных отношениях модулей упругости слоев пластинки и может быть использован в инженерной практике для расчёта многослойных тонкостенных конструкций.

В четвертой главе для расчета осесимметрично нагруженной оболочки вращения используется конечный элемент в виде объёмного тела вращения, поперечным сечением которого является произвольный четырёхугольник в системе координат £ с узлами /,/,£,/.

Вектор перемещения произвольной точки конечного элемента, от стоящей на расстоянии от отчетного меридиана определялся в базисе

соответствующей точки отчетного меридиана {а)1 =[¿¡¡5], в котором а, -вектор, касательный к меридиану, й- нормальный к отсчётному меридиану.

Производные локального базиса {а} по дуге меридиана .у определялись матричным выражением

2x1 2x2 2x1

Для выполнения численного интегрирования произвольный четырёхугольник отображается на квадрат с локальными координатами а,Ь, изменяющимися в пределах -\<а,Ь <1. В качестве неизвестных величин в каждой, узловой точке /, у, к,1 четырехугольника принимаются перемещения и их первые производные.

Для выполнения численного интегрирования произвольный четырёхугольник отображается на квадрат с локальными координатами а,Ъ, изменяющимися в пределах-\<а,Ь <1. В качестве неизвестных величин в каждой узловой точке /, у, к,! четырехугольника принимаются перемещения вдоль осей .г, ¿Г и их первые производные [3,10].

С использованием функционала Лагранжа получена матрица жесткости и вектор нагрузок в глобальной системе координат [3].

Для преобразования матриц жесткости и узловых нагрузок конечных элементов, примыкающих к границам слоев оболочки, рассмотрим пакет конечных элементов, представленных на рисунке 7.

Если на границе 1-1 в качестве основных узловых неизвестных принять узловые неизвестные первого элемента, то при формировании матрицы жесткости второго элемента необходимо выразить неизвестные узлов ¿¿через неизвестные узлов к, I первого элемента. К границе 2-2 (рис.7) второго и третьего слоев примыкают четеертый и пятый элементы. Если принять за основные узловые неизвестные узловые величины пятого элемента, то неизвестные узлов А, / четвертого элемента необходимо выразить через неизвестные величины узлов;, / пятого элемента.

Матрица жесткости и вектор внешних нагрузок третьего элемента используется для ;]юрмирования матрицы жесткости всей системы без граничных преобразований.

Е5ектор неизвесшых узла, расположешого на границе слоев, принятого за основной, обозначим матрицей-строкой

где и1 =К /относится к первому элементу (рис.7) и >1' /,у' к пятому элементу. Вектор узловых неизвестных граничного узла, примыкающего элемента, запи

{5,.s.}=[M]{4

(19)

(20)

(21)

где для второго злемигга и ц-к, /дня четвертого элемента.

с

I_______^

Рис.7

Из условия равенства векторов перемещений в узле, расположенном на границе, получается

(22)

Производные перемещений вдоль дуги граничного слоя должны бьггь равными

(23)

Углы наклона нормали к меридиану раздела слоев оболочки принимаются равными

(24)

Условие равенства напряжений, нормальных к границе раздела слоев, приводит к соотношению

х.Гл"

(26)

- ((« 2", К ""2", )+('"£ <» " & ))"

+Л."' + 2/; ^ + Л^М 22 * }],

где Му-являются элементами матрицы [Л/] (19).

Из условия равенства касательных напряжений на границе раздела

(27)

слоев сг ^ = сг ^

находим искомую величину

■ и- 1

и1'

(28)

На основании зависимостей (22), (23), (24), (26), и (28) формируется матрица преобразования матрицы жесткости и вектора внешних нагрузок конечного элемента примыкающего к границе раздела слоев [3,10,15]. Эффективность разработанного алгоритма подтверждается примерами.

Пример 3. Рассмотрено напряженно-деформированное состояние трёхслойной эллиптической оболочки, находящейся под внутренним давлением интенсивности ц (рис.8).

Были примяты следующие исходные данные: а=0.5м; Ь=0.3м;! = 0.3м; (\ = 2 МПа; 111=0.002 м; Ь2 =0.006 м; Е=2*105 МПа; Е'=2*104 МПа; »' = 0.3; г'= 0.25.

Рис.8

В таблице 5 приведе! н.1 значения меридиональных I юпряжений и кольцевых а(Ю напряжений в точках 1^2,2', 3',3,4 (рис.9).

Таблица 5

Напряжения МПа Точки

1 2 2' 3' 3 4

190453 69.486 4.096 0.435 -19.281 -140.155

с во 57.03 19.82 -1.069 2.132 -2.002 -38.789

Дня контроля вычислений выполнена проверка (хдг-о), которая даетошибку: 8 = {Овтш - вшут ) > Овиеш * 100 % а 0-6"/а>

где QRH¡,Ш = (¡-{яЬ} - 711\^127гЬ - равнодействующая внешних сил; Явнут ~ равнодействующая внутренних сил.

Пример 4. Рассмотрено напряженно-деформированное состояние трёхслойной цилиндрической оболочки, находящейся под внутренним давлением интенсивности я (рис.9).

Были приняты следующие исходные данные: г = 0.3 м; 1 = 0.25м; я = 3 МПа; Ь,=0.002 м; 1ъ =0.006 м; Е=2*105 МПа; Е'=2*104 МПа; V = 0.3; у' = 0.25.

Рис.9

В таблице 6 приведены значения меридиональных напряжений <т„. и кольцевых напряжений в точках 1,2,2' ,3' 3.4. Штрихом ошечены точки, относящиеся к среднему слою оболочки.

Таблица6

Напряжет и МПа Точки

1 2 2' 3' 3 4

332.35 23.74 5.08 -5.35 -26.57 -317.337

а00 108.64 9.98 3.65 -3.71 -10.82 -104.04

Как видно, в граничных точках имеются скачки в значениях меридиональных напряжений.

Для контроля вычислений выполнена проверка (Хл=о), которая выполняется с точностью 3 = 0,02% .

В таблице 7 приведены для сравнения результаты численных расчётов оболочки при различных значениях модулей упругости слоев. В строках таблицы в числителе представлены меридиональные напряжения СГМ для точек 1, 2,... 4, полученные с использованием разработанной нами программы, а в знаменателе представлены меридиональные напряжения сг„ для точек 1, 2, ... 4, полученные на основе конечно — элементного программного комплекса А^УБ при модулях упругости слоев материалов, различающихся в 100 раз, в 1000 раз, в 10000 раз. Штрихами отмечены точки, относящиеся к среднему слою панели.

Таблица 7

Напряжения С хх МПа, при Точки

1 2 V 3' 3 4

Е=2*103МПа, £'=2*103МПа. -330.99 -351.29 166.96 171.73 0.75 1.21 -1.01 -1.59 -195.12 -197.06 368.43 384.41

Различие, % 5.7 2.7 1 4

Е=2*103 МПа, £'=2*102МПа. -250.07 -288.04 226.15 253.18 0.11 0.15 -0.23 -0.34 -345.75 -378.89 372.13 416.31

Различие, % 13.2 10.6 8.7 10.6

Е=2*10ьМПа, £'=2*10МПа. -130,562 -153.29 127.44 145.4 -0.001 -0.003 -0.04 -0.05 -472.56 -525.6 482.08 535.82

Различие, % 14.8 12.3 9.9 10

По полученным результатам меридиональных напряжений (У$5 (табл. 7)

в таблице 8 приведены для сравнения результаты проверки условия равновесия по силам (£ х = 0), где в числителе представлены результаты проверки, полученные с использованием разработанной нами программы, а в знаменателе представлены результаты проверки, полученные на основе конечно - элементного программного комплекса А^УБ при модулях упругости слоев материалов, различающихся в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз, в 10000 раз.

Таблица 8

Условия равновесия Модула упругости слоев материалов, МПа

Е=2*10\ £' =2*104 Е=2*10>, £'=2*103 Е=2*105, £'=2*102 Е=2*103, Е'=2*10

1Х = 0 5,% № 0.2 0.01 0.2 0.03 1 0.06 5

Как видно из таблицы результаты проверки условий равновесий, полученные с использованием разработанной программы более близки к точным, чем результаты, полученные на основе конечно-элементного программного комплекса А N8 У.

Результаты проверки свидегсльсттюг, что разработанная методика использования объемного четырехузлового конечного элемента для расчёта трехслойной оболочки вращения произвольной толщины вполне пригодна для инженерных расчётов.

В пятой гланс для расчета произвольно нагруженной оболочки вращения принят конечный элемент в виде шестигранника в координатной системе . с узлами /.у, к, I на нижней грани по координате £ и узлами т, п, р, И по верхней грани. Для выполнения численного интегрирования шестигранник отображается на куб с локальными координатами я,Ъ,с, изменяющимися в пределах -1 <а,Ь,с<.

Вектор перемещения произвольной точки оболочки определялся в локальном базисе {?}г={?| с2 <?з) соответствующей точки отчетной поверхности, где ^-вектор, касательный меридиану отсчетной поверхности, ё2- вектор, касательный к окружности оболочки, ?з - нормаль к отсчетной поверхности. Производные векторов локального базиса определялись матричными соотношениями

&>)= И й Ы = М И- (29)

3x1 3x3

В качестве узловых неизвестных шестигранного дискретного элемента принимаются перемещения вдоль координатных осей и их первые

производные [4,12,15]. Для аппроксимации перемещений внутренних точек конечного атемента использовались полиномы Эрмита третьей степени.

С использованием функционала Лаг|)анжа определена матрица жесткости и вектор узловых нагрузок в глобальной системе координат .

Для преобразования на границе раздела материалов с различными физико -мехгиическими свойствами вектор узловых неизвестных каждой узловой точки шестигранного дискретного элемента представляется в виде

у [ 1Г 1Г И' 11 Я' 1С И' 11' Ц' Н' И' И' ( /-1А1

? ) =11' V,., V II',5 «-,011',^ |, (Л>)

1x12

где 1С-номер узла конечного элемента

Если на границах раздела слоев за основные неизвестные величины принять перемещения и их производные нижнего и верхнего слоев, то узловые неизвестные конечного элемента среднего слоя необходимо преобразовывать к узловым неизвестным, принятым за основные. Для преобразования узловых неизвестных в точке, расположенной на поверхности раздела слоев, используются следующие условия.

/. Векторы пе/тчиеи/е/шй сопрягаемых элементов в узловой точке равны между собой

„1>.<=у1 у. г,2«=„2у. у3"=„3^ (31)

где II- и у - индексы, обозначающие узлы сопрягаемых (КЭ), причем IV означает номер узла примыкающего элемента, а у- нсмер узла основного элемента.

2. Производные векторов пгремщений вдаль координатных линии, расположенных на поверхностях, раздетощих спои оболочки, равны между собой

^"=5,у,£=у,5, (32)

откуда получается

,, !»'_ ¡у. 2™_ 2у. Зи' 3}\ 1м>_ 2и- 2у. 3» 3у /^ч

3. Касательные напряжения сг "..-аух:; <т", =агу1 в узловых точках на границе раздела сюев должны быть равными между собой, что приводит к соотнои/ениям

0 Ьв +У>С

)=С4,3/+уМ (34)

откуда получаются выражения

V

V,

Зу.

4 Л»' 4

Зу

(35)

С

- ■ V,/ + I--

О"' *

4. В каждой узловой точке нормачьные к поверхности раздела слоев

напряжения (КЭ) равны между собой

<*«=*«> (36)

откуда находим искомую величину

+»<2у}д +пЧ>х'?^ , (37)

где т, - коэффициенты, выражаемые через параметры Ламе.

На основании выражений (31), (33), (35) и (37) формируется матрица преобразования матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок шестигранного элемента, примыкающего к поверхности раздела слоев оболочки [4,12,15].

Пример 4. Рассмотрено напряженно-деформированное состояние трёхслойной параболоидной оболочки, находящейся под внутренним давлением шпенсивностац (рис.10).

Были приняты следующие исходные данные: А=0.3м; 0=0.15м; I = 0.3м; я = 1МПа; Ь,=0.002 м; Ь2 =0.006 м; Е=2*105 МПа; Е'=2*104 МПа; V = 0.3; к' = 0.25. По условиям симметрии рассматривалась четвертая часть оболочки вращения

г- Л

Рис.10

В таблице 9 приведены значения меридиональных напряжений ст„ и кольцевых сгда напряжений в точках 1,2,2', 3'3,4 (рис. 10).

Таблица9

Напряжения Точки

МПа 1 2 2' 3' 3 4

74.72 39.15 3.0. 10.66 1.68 -24.68

а00 26.625 12.0 0.182 0.345 1.070 -6.452

Эпюра меридиональных напряжений в сечении заделки оболочки представлена на рис. 11.

Для контроля вычислений выполнена проверка:(5>=о), которая дает ошибку: <5 = (г2е»е;« "Овнут^еиеш * Ю0% = 0.3%,

™е Явчеш =ЧПх[а2 -£>2) равнодействующая внешних сил; Овнут ~ равнодействующая внутренних сил в ссчении.

Результаты проверки свидетельствуют о корректности разработанного алшр!т™а расчета многослойных оболочек вращения при произвольной нагрузке.

Основные результаты выполненных исследований и выводы по диссертации состоят в следующем.

1. Получены соотношения между узловыми неизвестными на границе слоев материалов с различными физико-механическими свойствами для разработанного объемного конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемиценнй и их первых производных, что позволяет выполнение расчетов многослойных пластин без привлечения дополнительных упрощающих гипотез о деформировании нормали к срединной поверхности пластинки.

2. Получены соотношения между векторами узловых неизвестных на границе раздела слоев оболочки из различных материалов для разработанного объемного конечного элемента с поперечным сечением в форме произвольного четырехугольника с узловыми неизвестными в виде перемещении и их первых производных, которые позволяют расчет слоистых оссспммстричмо нагруженных оболочек вращения без упрощающих геометрических гипотез.

3. Получены соотношения между векторами узловых неизвестных дискретных элементов, расположенных в разных слоях оболочки для адаптированного шестигранного конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещении и их первых производных, что позволяет выполнение расчетов произвольно нагруженных слоистых оболочек вращения.

4. Объемные конечные элементы с узловыми неизвестными в виде перемещении и их первых производных вполне приемлемы для расчета пластин и оболочек произвольной толщины без принятия гипотез о способе деформирования волокна вдоль нормали к срединной поверхности оболочки.

По теме диссертационной работы имеются следующие публикации:

Рис. II

Публикации в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией:

1. Киселева, РЗ. Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности многослойных панелей / РЗ. Киселева, НА. Гуреева, А.П. Киселев / Строит, мех. инжен. констр. и сооруж. Москва. - 2009. - № 4. - С. 37-40.

2. Киселева, Р.З. Расчет многослойных оболочек вращения и пластин с использованием объемных конечных элементов / РЗ. Киселева, H.A. Гуреева, А.П. Киселев/Строительство Новосибирск,- 2010.-№ 1.-С. 106-112.

3. Киселева, РЗ. Получение матрицы жесткости осесимметрично нагруженной оболочки вращения / Киселева, РЗ. / Известия нижневолжского агроунивер.компл.Волгоград.-2010.-№ 1,- С. 135-140.

4. Киселева, РЗ. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента / РЗ. Киселева, НА. Гуреева, АЛ. Киселев / Известия ВолгГТУ. Волгоград.-2010.-№ 4,- С. 125-128.

Публикации в других изданиях

5. Киселева, РЗ. Расчет тонкостенных конструкций ГТС с использованием объемных конечных элементов / Р.З. Киселева, А.П. Николаев / Материалы научно-практической конференции «Проблемы АПК».- Волгоград 2003 г. - С. 172-174.

6. Киселева, Р.З. Расчет многослойных оболочек на основе метода конечных элементов / РЗ. Киселева, А.П. Николаев, А.П.Киселев / Научные сообщения клуба докторов наук. Бюлл. - № 1 4. - г. Волгоград, 2005.-С. 21-23.

7. Киселева, Р.З. Использование объемных конечных элементов в расчетах прочности многослойных оболочек / Р.З. Киселева / Материалы Международной научно-практической конференции молодых исследователей.- Волгоград, 2007. - С. 494-497.

8. Киселева, Р.З. К расчету на прочность многослойных оболочек в трехмерной постановке / Р.З. Киселева, А.П. Николаев / «Развития АПК». Материалы научно-практической конференции. Волгоград, 2007 г. -С. 156- 158.

9. Киселева, Р.З. Исследование напряженно-деформированного состояния достаточно тонких слоистых оболочек на основе МКЭ / Р.З. Киселева, А.Г1. Николаев / Современные проблемы развития АПК. Материалы научно-практической конференции. - Волгоград, 2008. -С. 176-177.

10. Киселева, Р.З. Расчет осесимметрично нагруженных слоистых оболочек вращения на основе МКЭ / Р.З. Киселева, А.П.Киселев / «Инженерные системы-2008»: Всероссийская научно-практической конференция. М., РУДН, 2008,- С. 65-66.

11. Киселева, Р.З. Расчет двуслойных пластин на основе МКЭ в трехмерной постановке / Р.З. Киселева, А.П. Николаев/«Развития АПК». Материалы научно-практической конференции. Волгоград, 2008 г. -С. 183-186.

12. Киселева, Р.З. К расчету слоистых оболочек вращения методом конечных элементов / Р.З. Киселева, А.П.Киселев / «Инженерные системы 2008»: Труды Всероссийской научно-практической конференции. М., РУДН, 2008. - С. 223-226.

13. Киселев;!, Р.З. Плоская задача изгиба слоистой плиты/ Р.З. Киселева, Л.П. Николасв/«Развнтня ЛПК». Материалы научно-практической конференции, Волгоград, 2009 г. С. 20- 23.

14. Киселева, Р.З. Трехмерная задача изгиба слоистой плиты / Р.З. Киселева, А.П.Киселев/ Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2009» Тезисы докладов. Москва, 2009.-С. 33.

15. Киселева, РЗ. Метод koi ie4i !ых элементов в расчете многослойных оболочек вргицения в трехмерной постановке / Р.З. Киселева, H.A. Гуреева/ «Новые направления в разв. пробл. АПК». Материалы научно-практической конференции. Волгоград, 2010 г. С. 287-289.

Подписано в печать 19.10.10. Формат 60х841/|6

Усл. печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 471. ИПК ФГОУ ВПО Волгоградская ГСХА «Нива». 400002, г. Волгоград, пр. Университетский, пр. 26.

§лР

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

2.1. Обозначения и выражения основных величин.

2.2. Соотношения между деформациями и перемещениями.

2.3. Условия равновесия внешних и внутренних сил.

2.4. Связь между напряжениями и деформациями.

2.5. Работа упругих сил. Потенциальная энергия деформации.

2.6. Плоская задача теории упругости.

2.6.1. Плоская деформация.

2.6.2. Плоское напряженное состояние.

2.7. Осесимметрично нагруженные тела вращения.

2.8. Вариационные методы в задачах теории упругости.

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

3.1. Основные операции в процедуре метода конечных элементов.

3.2. Плоская задача изгиба слоистой плиты.

3.2.1. Системы координат конечного элемента.

3.2.2. Матрица жесткости и вектор нагрузок.

3.2.3. Преобразование векторов узловых неизвестных на границах слоев пластинки.

3.3. Расчет многослойной плиты при объемном напряженном состоянии.

3.3.1. Системы координат объемного конечного элемента.

3.3.2. Матрица жесткости и вектор узловых нагрузок.

3.3.3. Преобразование векторов узловых неизвестных на границах слоев пластинки.

3.4. Примеры расчета.

ГЛАВА 4 РАСЧЕТ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СЛОИСТЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

4.1. Геометрия осесимметрично нагруженной оболочки вращения.

4.2. Перемещения и деформации.

4.3. Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука.

4.4. Функционал Лагранжа при осесимметричном нагружении.

4.5. Конечный элемент и аппроксимация перемещений.

4.6. Преобразование матриц жесткости и векторов узловых нагрузок конечных элементов, примыкающих к границам слоев оболочки.

4.7. Примеры расчета.

ГЛАВА 5 РАСЧЕТ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СЛОИСТЫХ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

5.1. Геометрия произвольно нагруженной оболочки вращения.

5.2. Перемещения и деформации.

5.3. Закон Гука. Связь между напряжениями и деформациями.

5.4. Функционал Лагранжа для объемной задачи теории упругости.

5.5. Шестигранный конечный элемент и аппроксимация перемещений.

5.6. Матрица жесткости шестигранника и вектор его узловых нагрузок.

5.7. Преобразование векторов узловых неизвестных на границах слоев оболочки.

5.8. Пример расчета.

Слоистые оболочки и конструкции находят достаточно широкое применение в различных областях современной техники. Чередование высокопрочных слоев с легкими маложесткими слоями придает конструкции высокую прочность и жесткость при относительно небольшой массе. Слоистые конструкции и их фрагменты используются в строительстве, машиностроении, авиации и космонавтике. Использование слоев со специальными свойствами позволяет создавать конструкции, которые могут обладать хорошей тепло-, электро- и звукоизоляцией, радиопрозрачностью, высокой стойкостью к агрессивным средам и др.

В составе слоистой конструкции несущие слои из высокопрочных материалов воспринимают основную часть механической нагрузки! Маложесткие слои связывают между собой несущие и работают в основном на поперечный* сдвиг.

Поэтому слоистые конструкции предопределяют повышенные требования к теории расчета их прочности. Теория должна учитывать неоднородность структуры материала по толщине; обладать повышенной точностью в определении напряженного состояния, особенно в краевой зоне и в районах резкого изменения жесткости конструкции; определять с повышенной точностью поперечные напряжения в маложестких слоях. При учете свойств материала на базе упругой модели требуется высокая точность определения всех компонентов напряженного состояния упругой слоистой конструкции.

Наиболее совершенной теорией расчета на прочность слоистых конструкций является теория упругости трехмерного тела. Однако практическое использование трехмерных уравнений теории упругости для расчета слоистых конструкций до настоящего времени представляло значительные трудности, заключающиеся в практическом использовании вычислительных машин с ограниченным объемом памяти.

В расчетах трехмерных инженерных конструкции, в том числе и слоистых конструкций из оболочек, среди других численных методов особую популярность приобрел метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий достигать достаточно точных результатов при расчете сплошных систем. Дискретная модель конструкции представляется в виде совокупности отдельных объемных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек, и проблема сводится к расчету упругой системы с конечным числом степеней свободы.

В сравнении с другими численными методами данный метод имеет ряд существенных преимуществ:

- возможность полной автоматизации с помощью электронно-вычислительных машин процессов формирования матриц жесткости конструкции и решения систем линейных уравнений;

- легкость компоновки гибких алгоритмов расчета, позволяющих путем замены исходных данных изменять граничные условия и характер внешней нагрузки конструкции;

- возможность учета физической и геометрической нелинейности оболочки, влияние температурных воздействии, возникающих в процессе эксплуатации.

Проблемы, связанные с учетом анизотропии материала и переменности толщин конструкции, при использовании МКЭ становятся несущественными и решаются довольно просто в процессе общей вычислительной программы использования метода.

Цель диссертационной работы заключается в разработке и совершенствовании алгоритмов формирования матриц жесткости объемных конечных элементов (КЭ) с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных; в разработке алгоритмов преобразования матриц жесткости и векторов узловых нагрузок таких (КЭ), примыкающих к границе раздела слоев пластин и оболочек вращения с различными физико-механическими свойствами; в разработке прикладных программ для расчета на прочность конструкций из многослойных пластин и оболочек и внедрении программ в практику инженерных расчетов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. В разработке алгоритма формирования матриц жесткости (КЭ) с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных и способа их преобразования на границе раздела слоев плоско нагруженной многослойной конструкции.

2. В разработке алгоритма адаптации шестигранного восьмиузлового конечного элемента для расчета многослойных панелей.

3. В разработке конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных и алгоритма преобразования матрицы жесткости такого элемента на границе слоев с различными физико-механическими свойствами для расчета прочности осесимметрично нагруженных многослойных оболочек вращения.

4. В адаптации шестигранного восьмиузлового конечного элемента к расчету многослойной оболочки вращения при произвольном нагружении и в разработке алгоритма преобразования матриц жесткости (КЭ), примыкающих к границе раздела слоев с различными физико-механическими свойствами.

Практическая ценность.

Программные модули, реализующие предложенные алгоритмы, могут быть использованы в инженерной практике для расчета реальных конструкций в виде многослойных пластин и оболочек вращения.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании соотношений теории упругости, вариационных методов и алгоритмов метода конечных элементов, на выполнении статических проверок и на сравнении результатов расчета, полученных различными методами.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-практической конференции «Инженерные системы-2008» РУДН г. Москва,2008 г.; на ежегодных научно-практических конференциях «Проблемы развития АПК». ВГСХА секция "Конструирование и строительная механика инженерных сооружений", г. Волгоград; на международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2009», РУДН., г. Москва, 2009г.; на объединенном научном семинаре секции "Конструирование и строительная механика инженерных сооружений", г. Волгоград, 2010г.; а также на расширенном заседании кафедры «Сопротивление материалов» Волгоградского государственного технического университета.

Основные результаты проведенных исследований и выводы по диссертации состоят в следующем.

1. Получены соотношения между узловыми неизвестными на границе слоев материалов с различными физико-механическими свойствами для разработанного объемного конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных, что позволяет выполнять расчеты многослойных пластин без привлечения дополнительных упрощающих гипотез о деформировании нормали к срединной поверхности пластинки.

2. Получены соотношения между векторами узловых неизвестных на границе раздела слоев оболочки из различных материалов для разработанного объемного конечного элемента с поперечным сечением в форме произвольного четырехугольника с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных, которые позволяют производить расчет слоистых осесимметрично нагруженных оболочек вращения без упрощающих геометрических гипотез.

3. Получены соотношения между векторами узловых неизвестных дискретных элементов, расположенных в разных слоях оболочки для адаптированного шестигранного конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных, что позволяет выполнять расчеты произвольно нагруженных слоистых оболочек вращения.

4. Разработанные объемные конечные элементы с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных являются адекватными для расчета пластин и оболочек произвольной толщины без принятия гипотез о способе деформирования волокна вдоль нормали к срединной поверхности оболочки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абовский, Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Дерюга - М.: Наука, 1978 - 288 с.

2. Александров, A.B. Дискретная модель для расчета ортотропных пластин и оболочек / A.B. Александров // Труды моек, ин-та инж. транспорта. -1971.-Вып. 364.-С. 3-10.

3. Амбарцумян, С.А. Общая теория анизотропных оболочек / С.А. Амбарцумян. М.: Наука, 1974. - 446 с.

4. Аргирис, Д. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов / Д. Аргирис, Д. Шарпф // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л., 1974. — Т. 1.-С. 179-210.

5. Бакулин, В.Н. Численный расчет устойчивости цилиндрических оболочек, ослабленных вырезами / В.Н. Бакулин, В.В. Репинский // Прикл. методы исслед. прочности JIA // Моск. авиац. ин-т. М., 1992. - С. 8-13.

6. Бакулин, В.Н. Построение аппроксимаций для моделирования напряженно-деформированного состояния несущих слоев и слоев заполнителя трехслойных неосесимметричных цилиндрических оболочек / В.Н. Бакулин // Мат. моделир. 2006. - Т. 18, № 8, - С. 101 -110.

7. Бандурин, Н.Г. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36x36 к расчету непологих произвольных оболочек / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев, Т.И. Апраксина // Пробл. Прочности. 1980. - № 5. -С. 104-108.

8. Бандурин, Н.Г. К применению МКЭ для расчета оболочек вращения с учетом пластических свойств материала / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев // Изв. вузов, сер. Строительство и архитектура. — 1985. № 3. - С. 24-27.

9. Бахмутов, В.П. К определению работоспособности многослойных оболочек вращения с учетом разных типов повреждаемости материалов / В.П. Бахмутов, A.B. Белов, A.A. Поливанов, А.Г. Попов // Известия ВГТУ. 2007. -Tl.-С. 10-13.

10. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов / Н.В. Беляев. М.: Наука, 1976.- 607 с.

11. Богданович, А.Е. Оценка пределов применимости инженерных моделей расчета слоистых сред в задачах поперечного динамического изгиба / А.Е. Богданович, Э.В. Ярве // Мех. композит, материалов. 1988. - № 4. - С. 1076-1088.

12. Болотин, В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин, Ю.Н. Новиков.- М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

13. Болотин, В.В. Теория армирования слоистой среды со случайными неправильностями / В.В. Болотин // Механика полимеров.- 1966.- № 1.- С. 1119.

14. Борискин, О.Ф. Нелинейные трехмерные модели в расчетах колебаний оболочек на базе смешанной аппроксимации перемещений / О.Ф. Борискин, О.О. Барышникова//Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. 2000. - № 4-С. 23-31.

15. Веселов, Ю.А. Формирование гибридной матрицы жесткости трехслойного ортотропного многоугольного конечного элемента / Ю.А. Веселов // Изв. вузов. Сер. Строительство. — 1993. № 11-12. - С. 119-125.

16. Власов, В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В.З. Власов. -М.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

17. Голованов, А.И. Исследование геометрически нелинейного деформирования многослойных оболочек малой и средней толщины МКЭ / А.И. Голованов, О.Н. Гурьянова // Изв. вузов. Сер.: Авиац. техн. 2000. № 2 -С. 7-10.

18. Гольденвейзер, A.A. Теория упругих тонких оболочек / A.A. Гольденвейзер. М.: Наука, 1976. — 512 с.

19. Григолюк, Э. И. Пути развития теории упругих многослойных пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов // вестник ТГТУ. 2005. -11. -№ 2. - Ч. А. - С. 439-448.

20. Григолюк, Э. И. Сравнительный анализ двух подходов к уточненному расчету слоистых оболочек из композитных материалов / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов, П.Я. Носатенко // Мех. композит, материалов. 1988. - № 6. - С. 1069-1075.

21. Гузь, А.Н. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, В.И. Чехов и др.. Киев. Наук. Думка, 1980. - 635 с.

22. Гуртовой, А.Г. Новые расчетные модели и сравнение приближенных уточненных с точными трехмерными решениями задач изгиба слоистых анизотропных пластин / А.Г. Гуртовой, В.Г. Пискунов // Мех. композит, материалов.- 1988. № 1. - С. 93-101.

23. Демидов, С.П. Теория упругости.- М: Высшая школа, 1979.- 432 с.

24. Жаворонок, С.И. Модели высшего порядка анизотропных оболочек / С.И. Жаворонок // Мех. композ. матер, и констр. 2008. - Т. 14.- № 4. - С. 561571.

25. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975. 542 с. (пер. с англ.).

26. Зубчанинов, В.Г. Основы теории упругости и пластичности / В,Г. Зубчанинов. М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

27. Зуев, Б.И. Сравнение некоторых моделей конечных элементов при анализе тонкостенных пространственных конструкций / Б.И. Зуев, С.А. Капустин, Л.К. Киселев, В.А. Трубицын // В сб.: Метод конеч. элем, в строит, мех. Горький, 1975. - С. 149-163.

28. Игнатьев, В.А. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластисто-стержневой структуры / В.А. Игнатьев, О.Л. Соколов, И.Т. Альтенбах, В. Киссинг. -М.: Стройиздат, 1996. — 559 с.

29. Ильюшин, A.A. Механика сплошной среды / A.A. Ильюшин. М.: Изд. Моск. ун-та, 1978. - 288 с.

30. Кантин, Г. Смещение криволинейных элементов как жесткого целого / Г. Кантин II Ракетная техника и космонавтика. 1970. - № 7. — С. 84-88.

31. Кибец, А.И. Численное решение трехмерных задач динамики конструктивных элементов из ортотропных материалов / А.И. Кибец // Прикл. пробл. проч. и пластич. — 1999. — С. 118-121.

32. Киселев, А.П. Векторная аппроксимация полей перемещений объемного шестигранного конечного элемента / А.П. Киселев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. № 1.- г. Москва. - 2007.

33. Киселев, А.П. Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности с учетом геометрической нелинейности / А.П. Киселев // Изв. вузов, сер. Строительство. — 2007. № 11.

34. Киселев, А.П. Метод конечных элементов в решении трехмерных задач теории упругости / А.П. Киселев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. № 4. - г. Москва. - 2007.

35. Киселев, А.П. Расчет тонких оболочек на прочность в трехмерной постановке без упрощающих гипотез / А.П. Киселев И Изв. вузов, сер. Строительство. 2008. - № 1.

36. Киселев, А.П. К расчету двух пересекающихся оболочек на основе объемных КЭ / А.П. Киселев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. № 1. - г. Москва. - 2008.

37. Киселева, Р.З. Расчет тонкостенных конструкций ГТС с использованием объемных конечных элементов / Р.З. Киселева, А.П. Николаев // Материалы научно-практической конференции «Проблемы АПК». г. Волгоград. - 2003. - С. 172 - 174.

38. Киселева, Р.З. Расчет многослойных оболочек на основе метода конечных элементов / Р.З. Киселева, А.П. Николаев, А.П.Киселев // Научные сообщения клуба докторов наук. Бюлл. № 14. - г. Волгоград. - 2005. - С. 2123.

39. Киселева, Р.З. Использование объемных конечных элементов в расчетах прочности многослойных оболочек / Р.З. Киселева // Материалы Международной научно-практической конференции молодых исследователей, -г. Волгоград. 2007. - С. 494-497.

40. Киселева, Р.З. К расчету на прочность многослойных оболочек в трехмерной постановке / Р.З. Киселева, А.П. Николаев // «Развития АПК». Материалы научно-практической конференции. г. Волгоград. - 2007 г. - С. 156- 158.

41. Киселева, Р.З. Расчет осесимметрично нагруженных слоистых оболочек вращения на основе МКЭ / Р.З. Киселева, А.П.Киселев // «Инженерные системы-2008»: Всероссийская научно-практической конференция. М. РУДН. - 2008. - С. 65-66.

42. Киселева, Р.З. Расчет двуслойных пластин на основе МКЭ в трехмерной постановке / Р.З. Киселева, А.П. Николаев // «Развития АПК». Материалы научно-практической конференции. — г. Волгоград, 2008 г. С. 183- 186.

43. Киселева, Р.З. К расчету слоистых оболочек вращения методом конечных элементов / Р.З. Киселева, А.П.Киселев // «Инженерные системы 2008»: Труды Всероссийской научно-практической конференции. М.- РУДН.2008. С. 223-226.

44. Киселева, Р.З. Плоская задача изгиба слоистой плиты / Р.З. Киселева, А.П. Николаев // «Развития АПК». Материалы научно-практической конференции. г. Волгоград. - 2009. С. 20-23.

45. Киселева, Р.З. Трехмерная задача изгиба слоистой плиты / Р.З. Киселева, А.П.Киселев // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2009» Тезисы докладов. г. Москва.2009.-С. 33.

46. Киселева, Р.З. Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности многослойных панелей / Р.З. Киселева, H.A. Гуреева, А.П. Киселев // Строит, мех. инжен. констр. и сооруж. — г. Москва. 2009. - № 4. -С. 37-40.

47. Киселева, Р.З. Расчет многослойных оболочек вращения и пластин с использованием объемных конечных элементов / Р.З. Киселева, Н.А. Гуреева, А.П. Киселев // Изв. вузов, сер. Строительство. 2010. - № 1. - С. 106-112.

48. Киселева, Р.З. Получение матрицы жесткости осесимметрично нагруженной оболочки вращения / Р.З. Киселева // Известия нижневолжского агроунивер. компл. г. Волгоград. - 2010. - № 1. - С. 135-140.

49. Киселева, Р.З. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента / Р.З. Киселева, Н.А. Гуреева, А.П. Киселев // Известия ВолгГТУ.-г. Волгоград.-2010.-№ 4.- С. 125-128.

50. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. - 720 с.

51. Коротков, А.В. Анализ собственных частот колебаний тонкостенных многослойных труб из армированных пластиков / А.В. Коротков, Ю.А. Куликов // Мех. композ. матер, и констр . 2008. - Т. 14. - № 2. - С. 236-248.

52. Ляв, А. Математическая теория упругости /А. Ляв. М., ОНТИ, 1935. -220 с.

53. Мебейн, П.М. Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейных конечных элементов / П.М. Мебейн (P.M. Mebane), Стирклин (J.A. Stricklin) // Ракетная техника и космонавтика. 1971. - № 2. - С. 206-208.

54. Мяченков, В.И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ / В.И. Мяченков, И.В. Григорьев. М.: Машиностроение, 1981. - 111 с.

55. Немировский, Ю.В. Рациональное и оптимальные проекты гибридных композитных оболочек и пластин / Ю.В. Немировский // Труды 18-й Международной конференции по теории оболочек и пластин. г. Саратов. -1997.-Т. 3. -С. 142-152.

56. Николаев, А.П., Новый эффективный способ интерполяции перемещений в конечноэлементом анализе оболочек / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин, Ю.В. Клочков // Строит, мех. и расчет сооружений. 1991. - № 1. -С. 62-66.

57. Николаев, А.П. К расчету оболочек на основе метода конечных элементов / А.П. Николаев, А.П. Киселев // Вестник Российского университете дружбы народов, сер. Инж. исследования. — г. Москва. 2002. - С. 107-112.

58. Николаев, А.П. Расчет оболочек в трехмерной постановке с учетом геометрической нелинейности на основе МКЭ / А.П. Николаев, А.П. Киселев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. г. Москва. - 2005. -№ 1.

59. Николаев А.П. Функции формы объемных конечных элементов / А.П. Николаев, А.П. Киселев // Сб. междунар. научно-техн. конф.

60. Информационные технологии в образовании, технике и медицине». г. Волгоград. - 2000. - 4.2.

61. Николаев, А.П., Четырехугольный конечный элемент произвольной оболочки с векторной интерполяцией полей перемещений / А.П. Николаев, Ю.В. Клочков // Волгоград, 1993. С. 15. - Деп. в ВИНИТИ 28.04.93. - г. Волгоград. - 1993. - 15 с. - № 1137 - В. 93.

62. Николаев, А.П. Решение проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого на основе векторной интерполяции полей перемещений / А.П. Николаев, Ю.В. Клочков, А.П.Киселев // Изв. Вузов, сер. Машиностроение. 1998. - № 1 - 3.

63. Николаев, А.П. Расчет оболочек на основе МКЭ в двумерной постановке / А.П. Николаев, Ю.В. Клочков, А.П. Киселев, H.A. Гуреева II Волгоград; ИПК «Нива». 2009. - С. 195.

64. Новожилов, В.В. Теория тонких оболочек / В.В. Новожилов. Л.: Судпромгиз, 1962. - 432 с.

65. Образцов, И. Ф.Уточненные модели для исследования напряженно-деформированного состояния трехслойных цилиндрических оболочек / И.Ф. Образцов, В.Н. Бакулин // Докл. РАН. 2006. - 407. - № 1. - С.36-39.

66. Овчинников, И.Г. Расчет напряженного состояния и долговечности цилиндрической оболочки при наличии коррозийного износа / И.Г. Овчинников, Х.А. Сабитов // Статика и динамика сложных строительных конструкций. 1984. - С. 89-95.

67. Огибалов, П.М. Оболочки и пластины / П.М. Огибалов, М.А.Колтунов. -М.: Изд-во МГУ, 1969. 695 с.

68. Павлов, С.П. МКЭ при расчете слоистых конструкций с учетом пластических деформаций / С.П. Павлов, А.Б. Перегудов // В сб.: Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. г. Саратов. - СГТУ. - 1997. -Т. 2.-С. 76-81.

69. Петров, В.В. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного материала /В.В. Петров, И.Г. Овчинников, В.К. Иноземцев. г. Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та. - 1989. - 158 с.

70. Пикуль, В.В. Теория и расчет слоистых конструкций / В.В. Пикуль,-М.: Наука, 1985.-183 с.

71. Пикуль, В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития / В.В. Пикуль // Изв. АН МТТ. 2000. № 2. - С. 153-168.

72. Пискунов, В.Г. Композитные материалы для строительства подогреваемых покрытий дорог и взлетно-посадочных полос аэродромов / В.Г.Пискунов, О.В. Володько, А.И. Порхунов // Мех. композит, материалов.-2008 . Т. 44. - № 3. - С. 317-326.

73. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

74. Постнов, В.А. Численные методы расчета судовых конструкций / В.А. Постнов. Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

75. Постнов, В.А. Новая модель изопараметрического конечного элемента для расчета оболочек / В.А. Постнов, М.И. Трубачев // Изв. АН. МТТ. 1995.-№ 1. - С. 141-146.

76. Рикардс, Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

77. Рикардс, Р.Б. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко / Р.Б. Рикардс, А.К. Чате // Мех. композит, материалов. 1981. - № 3. - С. 453-460.

78. Рикардс, Р.Б. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко 2. Численные примеры / Р.Б. Рикардс, А.К. Чате // Мех. композит, материалов. 1981. - № 5. -С. 815-820.

79. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль . М.: «Высшая школа», 1970. 288 с.

80. Сахаров, А.С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений / А.С. Сахаров // Сопротивления материалов и теория сооружений: Респ. межвед. научно-техн. сборник. Киев: Будивельник, 1974.- Вып. 24.-С. 147-156.

81. Сегерленд, JI. Применение метода конечных элементов в технике / J1. Сегерленд. М.: Мир, 1975. - 541 с. (перев. с англ.).

82. Семенюк, Н.П. Начальное закритическое поведение цилиндрических оболочек из композитов при осесимметричном деформировании / Н.П. Семенюк, Н. Б. Жукова // Прикл. мех,- 2006. Т. 42. - № 4. - С. 108-118.

83. Седов, Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. М.: Наука, 1976.-Т. 1.-536 е.; 1976.-Т. 2.-574 с.

84. Серазутдинов, Н.М. Сравнительный анализ конечных элементов оболочек высокой степени аппроксимации / Н.М. Серазутдинов, Ф.С. Хайруллин // Тезисы докладов международной конференции « Актуальные проблемы механики оболочек» — г. Казань, 2000. С. 231.

85. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. М.: Мир, 1997.-350 с.

86. Сухинин, С. Н. Устойчивость трех и многослойных сферических оболочек из композиционных материалов и критерии применимости математических моделей / С.Н. Сухинин, И.В. Матвеева // Конструкциии из композиц. Матер. 2006. - № 1. - С. 16-25.

87. Тимошенко, С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский- Кригер. ~М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

88. Товстик, П.Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения при осевом сжатии / П.Е. Товстик // Вестник С.-Петербург. Ун-та. -1995.-№ 1.-С. 95-102.

89. Хечумов, Р.А., Кепплер X., Прокофьев В.Н. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций / Р.А. Хечумов, X. Кеплер, В.Н. Прокофьев. М.: Изд-во АСВ. - 1994. - 351с.

90. Хайрулин, Ф. С. Метод расчета двухслойных оболочек с не контактирующими непосредственно между собой слоями / Ф.С. Хайрулин // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. -2006. № 3. - С. 166-170.

91. Черных, К.Ф. Линейная теория оболочек / К.Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962. - Т. 1. - 374 е.; - 1964. - Т. 2. - 395 с.

92. Шапошников, Н.Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента / Н.Н. Шапошников // Труды Моск. Института инженеров транспорта. 1968. - Вып. 260. - С. 134-144.

93. Эдельман, Б.М. (Adelman, В.М.) Точность вычисления напряжений методом конечных элементов / Б.М. Эдельман (В.М. Adelman), Казеринес

94. D.S. Catherines), Уолтон ( W.C. Walton ) // Ракетная техника и космонавтика. 1970. - № 3. - С. 102-103.

95. Якупов, Н.М. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии / Н.М. Якупов, М.Н. Серазутдинов. г. Казань: ИМН РАН. - 1993. -206 с.

96. Якупов, Н.М. Моделирование зон концентрации напряжений сложных оболочечных систем / Н.М. Якупов, Р.З. Хисамов // Труды международной конференции «Актуальные проблемы механики оболочек» — г. Казань. 2000. - С. 478-483.

97. Яровая, А.В. Термоупругий изгиб трехслойной пластины на деформируемом основании / А.В. Яровая // Прикл. мех. — 2006. Т. 42. - № 2. -С. 96-103.

98. Aditya, А.К. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / A.K. Aditya, J.N. Bandyopadhyany // Comput. and Struct. 1989. - Vol. 32. -N 2. - P. 423-432.

99. Ahmand Sohrabuddin. Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / Sohrabuddin Ahmand, Bruce M. Irons, O.C. Zienkivicz // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1970. 2. - N 3. - P. 419-451.

100. Anderheggen, E. A Conforming triangular finite element plate bending solution / E. A. Anderheggen // Int. J. Num. Meth. Eng. 1970. - 2. - P. 259-264.

101. Ambur, Domodar R. Progressive failure analyses of compression- loaded composite curved panels with and without cutouts / Domodar R. Ambur, R. Domodar, N. Jaunky, Mark Hilburger, Carlos G. Daliva // Compos. Struct. 2004. -65.-№2.-P. 143-155.

102. Argyris, J.H. Finite element method the natural approach / J.H. Argyris, M. Haase, M. Kleiber, G.A. Maleiannakis, H.P. Mleignek, M. Muller, D.W Scharpf // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 1979. -17-18. -N 1. - P. 1-106.

103. Attia О Eb-Zafrany, A. A hihg order shear, element for nonlinear vibration analysis of composite layered plates and shells / A.A. Attia О Eb-Zafrany // Int. J. Mech. Sci. - 1999. - 41, № 4-5. - P. 461-486.

104. Bao, Weizhu Error bounds for the finite element approximation of an incompressible metrial in an unbounded demain / Weizhu Bao Han Houde // Numer. Math. 2003. - № 3. - P. 415-444.

105. Basar, Yavuz , Its Rov Mikhail. Finite element formulation of the Ogden material model wiht application to rubber like shells / Yavuz Basar, Mikhail Its Rov. // Numer. Meth. Eng. - 1998. - 42. - № 7. - P. 1273-1305.

106. Baumann, M. An efficient mixed hybrid 4-node shell element with assumed stresses for membrane, bending and shear parts I M. Baumann, K. Schweizerhof, S. Andrussow // Eng. Comput. 1994. - 11. - N 1. - P. 69-80.

107. Berdichevsky, V. Effect of accuracy loss in classical shell theory / V. Berdichevsky, V. Mlsyuria // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1992. - 59. -N 2. - P. 217-223.

108. Bounds, S. A modified affective capacitance method for solidification modelling using linear tetrahedral finite elements / S. Bounds, K. Davey , S. Hinduja // Int. J. Num. Meth. Eng. 1996. - 39. - P. 3195-3215.

109. Bond, T.J. A comparison of some curved two dimensional finite elements / T.J. Bond, J.H. Swannel, K.D. Heshell, G.B. Warburton // J. Strain Anal. 1973. -8.-N3.-P. 182-190.

110. Cai H. Analytical solutions of openings formed by intersection of a cylindrical shell and an oblique nozzle under internal pressure / H. Cai, B. Sun, B. Koplik, J. Tavantzis // Trans, of the ASME. 1999. - 121. - P. 170-175.

111. Cantin G. Rigid body motions in curved finite elements / G. Cantin // AIAA. 1970.-N 8.-P. 1252.

112. Chaudhuri, Reaz A. Effect of thickness on large defection behavior of shells / Reaz A. Chaudhuri, Raymond L. Hsia // AIAA Joirnal. - 1999. - 37. - № 3. -P. 463-465.

113. Dawe, D.J. High-order triangular finite element for shell analysis / D.J. Dawe // Int. J. Solids and Struct. 1975. - 11. -N 10. - P. 1097-1110.

114. Dawe, D.J. Static analysis of diaphragm-supported cylindrical shells using a curved finite strip / D.J. Dawe // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1977. - 11. - P. 1347-1364.

115. Freischlager, C. On a sustematic development of trilinear three-dimensional solid elements based on Simo's enhanced strain formulation / C. Freischlager, K. Schweizerhof // Int. J. Solids Structures. 1996. - 33. -N 20-22. -P. 2993-3017.

116. Gallagher, R.H. Finite element representations for thin shell instability analysis / R. H. Gallagher // Buckling Struct. Berlin e.a. 1976. - P. 40-51.

117. Gellert, M. A new high-precision stress finite element for analysis- of shell structures /. M. Gellert, M.E. Laursen // Int. J. Solids and Struct. 1977. - 13. -N7.-P. 683-697.

118. Haugeneder, E. A new penalty function element for thin shell analysis / E. Haugeneder // Numerical Meth. in Eng. 1982. - 18. - N 6. - P. 845-861.

119. Hellen, T.K. The application of three- dimensional finite elements to a cylinder untersection / T.K. Hellen, H.A. Money // Int. J. Numer. Meth. Eng. -1970.-2.-N3.-P. 415-418.

120. Klisinski, M. On constitutive equations for arbitrary stress-strain control in multi-surfase plasticity /M. Klisinski // Int. J. Solids Structures. 1998. - Vol. -35. -№20. -P. 2655-2678.

121. Lakshmiarayanga, H.V. Finite element analysis of laminated composite shells functions /H.V. Lakshmiarayanga // Comput. and Struct. 1976. - 8. - № 1. — P. 11-15.

122. Lannoy, F.G. Triangular finite elements and numerical integration / F.G. Lannoy // Comput. Struct. 1977. - 7. - P. 613-625.

123. Lee, S.J. A nine node assumed strain finite element for large -deformation analysis of laminated shells / S.J. Lee, W. Konok - Nukulchai // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1998. - 42. - № 55 - P. 777-798.

124. Lo, S. H. 3D mesh refinement in comliance with a specified node spacing function / S.H. Lo // Comp. Mechanics. 1998. - 21. - P. 11-19.

125. Mar, A. A benchmark computational study of finite element error estimation I A. Mar, M. A. Hicks // Int. J. Num. Meth. Eng. 1996. - 39.- P. 39693983.

126. Mehorotra, Bharat. Analysis of three dimensional thin walled structures / Bharat. Mehorotra, Aftab A. Mufti, Richard G. Redwood // J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1969. - 95. - № 12. - P. 2863-2872.

127. Moore, C.J. A new 48 D.O.F. quadrilateral shell element with variableorder polynomial and rational B-spline geometries with rigid body modes / C.J. Moore, T.Y. Yang, D.C. Anderson // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1984. -20. - 11. -P. 2121-2141.

128. Ovesy, H. R. Finite strip buckling analysis of some composite stiffened box sections / H.R. Ovesy, H. Assail // AIAA Journal. 2004. - 42. - № 11. - P. 2382-2384.

129. Pagean, S.S. A finite element approach to three-dimensional singular stress states in anisotropic multi-material wedges and junctions /S.S. Pagean, S.B. Begger // Int. J. Solids Structures. 1996. - 33. - № 1. - P. 33-47.

130. Patel, B. P. Termo-flexural analysis of thick laminates of bimodulus composite materials / B.P. Patel, A.V. Leve, M. Ganapathi, S.S. Gupta, C.T. Sambandam // Compos. Struct. 2004. - 63.- № 1. - P. 11-20.

131. Ronnacher, Roff A posterior error estimation and mesh adaption for finite element models in elasto-plasticity / Roff Ronnacher, Frawz-Theo Suttmeier // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1999. - 176. - № 1-4. - P. 333-361.

132. Sansour, C. Large Viscoplastic deformations of shells. Theory and finite element formulation / C. Sansour, F.G. Kollmann // Comput. Mech. 1998. — 21. -№6.-P. 512-525.m)f

133. Simo, J.C. Improved version of assumed enhanced strain tri-linear elements for three-dimensional finite deformation problems / J.C. Simo, F. Armero, R.L. Taylor // Comp. Meth. appl. Mech. Eng. 1993. - 110. - P. 359-386.

134. Tafreshi, Azam. Efficient modelling of delamination buckling in composite cylindrical shells under axial compression / Azam. Tafreshi // Compos. Struct. 2004. - 64. - № 3-4. - P. 511-520.

135. Wriggers, P. A comparison of three-dimensional continuum and shell elements for finite plasticity / P. Wriggers, R. Eberlein, S. Reese // Int. J. Solids Structures. 1996. - Vol. 33. - N 20-22. - P. 3309-3326.

136. Zienkiewicz, O.C. Finite elements in the solution of field problems / O.C. Zienkiewicz, Y.K. Cheung // The Engineering. 1965. - Vol. 220. - P. 507-510.