Некоторые задачи о свободных колебаниях и динамической устойчивости упругих многослойных композитных оболочек вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Петрушева Ирина Ивановна

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ И ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ МНОГОСЛОЙНЫХ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

01 02 04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2007

003069735

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кузбасский государственный технический университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Андреев Александр Николаевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Гулидов Александр Иванович

доктор физико-математических наук, доцент Голушко Сергей Кузьмич

Ведущая организация Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Защита состоится «25» мая 2007 года в № часов на заседании диссертационного совета Д 003 035 01 Института теоретической и прикладной механики им С А Христиановича СО РАН по адресу 630090, Новосибирск, ул Институтская, 4/1 Факс (383)330-72-68

E-mail shulgin@itam nsc ru; l petrusheva@gmail com

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ СО РАН Автореферат разослан « апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003 035 01 доктор физико-математических наук, профессор ^ В И Самсонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Тонкостенные оболочки из композитных материалов относятся к важнейших конструктивным элементам технических систем Привлечение КМ-материалов позволяет целенаправленно адаптировать характеристики КМ-конструкций к условиям эксплуатации Вместе с тем, композитные тонкостенные оболочки обладают рядом специфических особенностей, как, например, анизотропия де-формативных свойств, существенная неоднородность по толщине, низкая сопротивляемость трансверсальным деформациям, которые вынуждают отказаться от традиционных расчетных схем теории оболочек и использовать уточненные неклассические модечи

Перечисленные выше факторы существенное значение приобретают в задачах динамики В частности, при эксплуатации КМ-оболочек в заданных режимах динамического нагружсния открывается возможность в некоторой степени корректировать положение областей параметрического резонанса Однако исследование параметрических колебаний и потери динамической устойчивости невозможно вне решения задачи о свободных котебаний конструкций В связи с этим одной из важнейших проблем теории оболочек бесспорно, является решение динамических задач в уточненной постановке

Цель диссертационной работы

1 Описание свободных колебаний упругих многослойных ортотропных композитных оболочек вращения с общим типом закрепления кромочных поверхностей в уточненной постановке на основе неклассическои теории Андреева-Немировского Выполнение мно[ опараметрического исследования собственных частот и форм собственных колебаний

2 Разработка способа построения произвольного числа областей динамической неустойчивости (ОДН) упругой многослойной свободно опертой ортотропной цилиндрической оболочки на основе теории Андреева-Немировского Оценка различных факторов, влияющих на положение и размер областей динамической неустойчивости

Научная новизна

1 Модифицирован и апробирован метод определения спектра собственных частот и форм собственных колебаний составных оболочек вращения при произвольных условиях закрепления кромочных поверхностей

2 Построены области динамической неустойчивости многослойной цилиндрической оболочки в уточненной постановке, включающей в себя учет вращения норма-

ли и поперечно сдвиговых деформаций

3 Сделан вывод о границах применимости используемой модели в рассматриваемых задачах динамики оболочек вращения на основе результатов параметрического анализа, представленного в работе

Практическая ценность работы. Полученные результаты исследования спектра собственных частот и собственных форм колебаний упругих композитных оболочеч-ных элементов конструкций, а также результаты исследования областей динамической неустойчивости многослойной цилиндрической оболочки, могут служить основой как при выработке конкретных конструктивно-технологических решений, так и при формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций

Достоверность научных положений и выводов обеспечена корректностью принятых постановок рассматриваемых задач и методов, используемых при их решении, а также согласованностью полученных результатов с результатами, полученными другими авторами

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2003, Бийск, 2005), V Всероссийском семинаре «Проблемы оптимального проектирования сооружений», посвященном 75-летию НГАСУ (Сибстрин) (Новосибирск, 2005), Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (ИГиЛ, Новосибирск, 2006) В полном объеме материалы диссертации докладывались и обсуждались на семинаре в ИТТТМ СО РАН (руководитель - академик РАН В М Фомин, Новосибирск, 2007), на семинаре в НГТУ «Прочность летательных аппаратов» (руководитель - д т н , профессор Н В Пустовой, Новосибирск, 2007) Публикации. По результатам работы опубликовано 8 печатных работ Структура и объем. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка, включающего 417 наименований Общий объем диссертации составляет 270 страниц, включая 128 рисунков и 38 таблиц, расположенных по месту упоминания

Благодарность. В первую очередь автору хочется поблагодарить Александра Николаевича Андреева за терпение, выдержку и время, отданное работе над диссертацией. Его научные указания, рекомендации и поддержка на всех этапах работы были и останутся бесценны Автор с уважением и признательностью просит Юрия Владимировича Немировского и Виктора Ивановича Самсонова принять благодарность за

ценные научные консультации и помощь, оказанную при подготовке работы Кроме того, спасибо Александру Петрушеву за профессиональные рекомендации по вопросам программирования, за мастерски выполненное художественное оформление презентации работы, а также за безапелляционные критические замечания Всем, кто не сомневался в моих силах, спасибо

Содержание работы

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, сформулированы цели и задачи исследования, представлен обзор работ, выполненных другими авторами по данной тематике, приведено краткое содержание диссертации по главам Отмечено, что постановки краевых задач теории многослойных анизотропных пластин и оболочек, а также разработка методов их решения, представлены в работах Н П Абовского, Н А Ллтуфова, С А Амбарцумяна, А Н Андреева, И Ю Бабича, В Н Бакунина, В В Болотина, Г А Ванина, А Т Василенко, В В Васильева, Э И Григолюка, Я М Григоренко, А Н Гузя, А П Деруга, А Н Елпатиевского, Р Ф Емельянова, П А Зиновьева, В В Кабанова, Р Кристенсеиа, В А Крысько, Г М Куликова, А К Малмейстера, В И Мамая, В JI Нарусберга, Ю В Немировского, Ю Н Новичкова, И Ф Образцова, П М Огибалова, В Н Паймушина, Б JI Пелеха, Б Е Победри, Б Г Попова, А О Рассказова, Н П Семенюка, А М Скудры, В П Тамужа, Г А Тетерса, П П Чулкова и многих других Результаты анализа динамической устойчивости и (или) проблемы свободных колебаний оболочек представлены в работах А С Амбарцумяна, А Н Андреева, А А Андронова, Н М Беляева, Н Н Боголюбова, В А Боднера, В В Болотина, А Е Богдановича, А С Вольмира, В Ц Гнуни, И И Гольденблата, A JI Гольденвейзера, В С Гонткевича, Г Ю Джанелидзе, Н М Крылова, Л В Курпа, М А Леонтовича, В Б Лидского, А Лява, В Л Нарусберга, Ю В Немировского, П М Огибалова, В Н Паймушина, М А Радцига, Р Б Рикардса, В И Самсонова, В М Стражинского, Г А Тетерса, П Е Товстика, Г Шмидта, А П Филлипова, В Флюгге, В А Якубовича, а также у R N Arnold, К Forsberg, G В Warburton, V I Weingarten и многих других

Первая глава посвящена общей постановке задачи — в § 1 1 приведено описание структурной модели Ю В Немировского армированного слоя с двумерными волокнами1 На ее основе описаны непрерывно армированные однонаправленные волокнистые композитные слои, составляющие оболочеч-

1 Нечкровский Ю В К теории термоупругого изгиба армированных оболочек а пластин // Механика полимеров - 1972 №5 -С 861-873

ные пакеты, рассматриваемые в работе

— в § 1 2 приведена система нелинейных неклассических уравнений динамики анизотропных оболочек вращения Андреева-Немировского1 и замыкающая ее система краевых условий Постановки всех задач, решаемых в работе, выполнены в рамках пакетной теории Андреева-Немировского, учитывающей деформацию сдвига по толщине оболочки Степень влияния сдвиговых деформаций оценивалась в результате предельного перехода к классической теории Кирхгофа-Лява

Здесь же, по общепринятой методике, получены линеаризованные уравнения свободных установившихся гармонических колебаний и линеаризованные уравнения динамической устойчивости тонких многослойных ортотропных оболочек вращения (в том числе составных)

Задача о свободных колебаниях сформулирована как проблема собственных значений системы уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и записана в виде (х е [0,1], ф е [0,2я], Д , = З/Эср)

A{x,Di9^- = B{x,D<v)y + ca2c{x,D<?)y, (1)

Му{0, ф) = Ош, Ny{ 1, ф) = Обкь у(х, ф) =у(х, ф + 2л) В (1) у безразмерный 12-мерный вектор кинематических и силовых характеристик НДС оболочки, А, В, С — матрицы 12-го порядка с коэффициентами, зависящими от х и Д, = 8/8ф, о - частотный параметр

Задача о динамической устойчивости сформулирована как однородная параметрическая краевая задача с периодическими коэффициентами для системы уравнений в частных производных и представлена в виде (х е [О, 1], ф е [0, 27t], Dx = 8/дх)

a{dx,dJ^ + {b{dx,Dv)+ c{Dx,Do,lx,tJy = о, (2)

Му(0, ф) = 0(„иNy( 1, ф) = ОбхьХ*. ф) = Я*> Ф + 2л) В (2) у - безразмерный 5-мерный вектор вариаций кинематических характеристик НДС оболочки, А, В, С - матрицы 5x5 с коэффициентами, зависящими от 8/8х и 3/йср, /д., /ф - безразмерные силовые характеристики основного состояния оболочки

— в § 1 3 описан метод численного интегрирования краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с переменными коэффициентами Сложность интегрирования рассматриваемых систем заключается в том, что якобиан матрицы их коэффициентов обладает вещественным собственным значением, на

1 Андреев А Н, Немировский Ю В Многослойные анизотропные оболочки и пластины Изгиб, устойчивость,

колебания - Новосибирск Наука, 200! -287 с

два порядка превосходящим длину промежутка интегрирования Такие задачи возникают на одном из этапов решения системы (1) Идея метода свести интегрирование краевой задачи к решению двух задач Коши для матричных ОДУ жесткого типа — в § 1 4 описан алгоритм интегрирования задачи о свободных колебаниях оболочек вращения, который включает в себя постановку и решение следующих проблем

1 Проблема собственных значений и собственных вектор-функций системы уравнений в частных производных (1)

2 Проблема собственных значений и собственных векторов систем ОДУ вида

Л„(х)у'„=В„{х)у„+т2С„(х)у„, Му„(0)=Ш1) = Ом (3)

Переход от (1) к (3) реализован представлением решения в виде

ж,ф)=2>й(*Уйф (4)

п=О

3 Проблема определения характеристических чисел и собственных вектор-функций интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода

1

у„ -со2 \оп(х,р)А~1 (р)С„(р)уп(р)ф = 0 (5)

о

Переход от (3) к (5) осуществлен в результате привлечения матрицы Грина Оп для системы ОДУ (3), полученной на предыдущем шаге

4 Проблема собственных значений и собственных векторов однородной линеи-ной алгебраической системы уравнений (СЛАУ)

" У» )

с,-а2^ск] \0„{х,р)А-\р)Сп{р)ук(р)Лр vl{x)dx = 0,l = \, N (6)

о1о у

СЛАУ (6) получена в результате решения системы интегральных уравнений (5) методом Бубнова-Галеркина при аппроксимации искомой функции у„(х) N непрерывными ортонормированными базисными вектор-функциями { у^х)}

N

(7)

¿=1

Отметим, что при формировании матрицы коэффициентов системы (6) вычисление внутренних интегралов реализовано методом инвариантного погружения (§ 1 3) Вычисление внешних интегралов проведено по квадратурной формуле Симпсона

5 Определение собственных частот и форм собственных колебаний оболочки осуществляется в результате численного решения алгебраической проблемы собственных значений С?!1-алгоритмом Так, если %к и ск - собственные значения и соответ-

ствующие вектор-функции СЛАУ (6), то собственные частоты ак и соответствующие им формы собственных колебаний у* определялись по формулам

Во второй, третьей, четвертой и пятой главах на основе системы (1), следуя изложенному выше алгоритму, решены задачи о свободных колебаниях ортотропных оболочек вращения Во второй главе представлена постановка и потучено решение задачи о свободных колебаниях цилиндрической оболочки (§21) В§22 выполнен обширный параметрический анализ, включающии в себя оценку степени влияния на собственные частоты и формы собственных колебаний поперечных сдвиговых деформаций В третьей и четвертой главах аналогичное исследование проведено для усеченной конической оболочки (см §§3 1, 3 2) и сферического пояса (см §§4 1,4 2) В пятой главе задача о свободных колебаниях решена для составной оболочки вращения, полученной сопряжением сферического пояса и цилиндрической оболочки В § 5 1 для конструкции, состоящей из г оболочек вращения, сформулирована постановка задачи и метод ее интегрирования Указана необходимая модификация схемы решения, используемой во 2-4 главах Отличительной особенностью проблемы описания таких конструкций является наличие г - 1 поверхностей сопряжения, которые определяют г - 1 точек разрыва коэффициентов разрешающей системы (1) В § 5 2 обсуждается влияние параметров оболочки, а также положения поверхности сопряжения, на начальный участок спектра собственных частот и на формы собственных колебаний В различных областях параметров конструкции оценена зависимость расчетных значений собственных частот от поперечных сдвиговых деформаций Проведен сравнительный анализ результатов, полученных для составной оболочки, с соответствующими данными для каждой из сопряг аемых частей

Цели параметрического анализа, представленного во 2-5 главах, заключались в следующем Во-первых, подтвердить корректность расчетов, сопоставляя полученные результаты с результатами других авторов, и, установив их непротиворечивость общепризнанным тенденциям поведения КМ-оболочек Во-вторых, выяснить зависимость между значениями параметров оболочки и значениями ее шести низших собственных частот В-третьих, описать области параметров конструкции, в которых при анализе процесса свободных ко чесании важен учет сдвиговых деформаций Сделаны следующие выводы

1 Независимо от формы оболочки — скорость сходимости метода относительно числа аппроксимирующих решение базисных функций одинакова Значение параметра N в (7), достаточное для стабиль-

(8)

Шо , <В2 1 Юз

242 385 1 "462"* 517

260 405 ] 483 ] 554

298" ] 439 \ 524" t 630

417 554 ' 614 855

650 717 " 892 1319

847 ; 880 ' 1312 * 1773

1017"! 1107 ' 1768 * 2226

ного вычисления частот coq-cos, равно 12 (§§ 2 2 1, 3 2 1,4 2 1, 5 2 1),

— все частоты соо-05, рассматриваемые как функции параметра волнообразования п (см (4)), имеют минимум Отмечено, что учет сдвиговых деформаций может изменить его положение (§§ 2.2 3, 3 2 3,4 2 2, 5 2 2), Зависимость собственных частот '

— значения частот ю0-<о5 увеличиваются по , ..жес_гео защищенного СП от//Л, Гц .

UR

мере увеличения «толщины», или уменьшения , «длины» оболочки (§§ 2 2 4, 3 2 4, 4 2 4, 5 2 4) • , 2 Например, в таблице для жестко защемленного 1 сфсричсского пояса (СП) приведены значения _0 8 частот Шо—Фз, рассматриваемые как функции па- • ® 4 раметра IIR (R - радиус, I - длина меридиана), ' "q 3

— влияние деформаций поперечного сдвига на расчетные значения собственных частот усиливается при увеличении jsi

(

«толщины», или уменьшении 20% -«длины» оболочки (§§ 2 2 2, 3 2 4, 4 2 4, 5 2 4) Например, на рисунке 1 представлены погрешности расчетных значений частот со0-<й5 же- о%- ^g^srgtjiг;-»- —^щт— стко защемленной двухслойной цилиндрической оболочки, рассмат- рис г Погрешности р„-р5 расчетных значений риваемые как функции параметра собственных частот СО0-Ш5, вносимые неучетом сдвигов,

. . как функции параметраR/h (п = 4)

Rlh (R - радиус, h - толщина),

— влияние поперечного сдвига выше в жестко защемленных оболочках, по сравнению с оболочками консольного типа,

— неосесимметричные формы собственных колебаний по типу преимущественно изгибные (§§ 2 2 4,3 2 2,4 2 3, 5 2 3)

2 Дополнительные результаты по цилиндрической оболочке (§2 2 5)

— значения частот Ю0-Ю5 в трехслойных композитных пакетах можно увеличить на 73-102% при изменении интенсивности меридионального армирования несущих слоев, тогда как аналогичное варьирование интенсивности армирования заполнителя дает рост менее 10%,

— значения частот m0, k>i в большей степени определяются способом укладки слоев в пакете и при одинаковом объеме арматуры могут различаться в 2-3 раза Однако значения частот оц, со5 в большей степени определяются объемом арматуры и при одинаковой укладке могут различаться до 1 5 раз,

— значения частот пяти- и трехслойного пакета (со*.$ и со*,;, соответственно) практически совпадают, т. к. фщ/Щу = 0.95 ± 0.07 при к = 1(5. Однако значение частоты w0 в результате увеличения количества слоев можно увеличить на 50%;

— крутильные осесимметричные формы в результате увеличения сдвиговой жесткости пакета могут стать изгибными. Отмечено, что при линейном законе армирования вдоль меридиана наибольшие прогибы наблюдаются в менее жесткой части.

3. Дополнительные результаты но усеченной конической оболочке:

— значения частот шо-со? уменьшаются при увеличении угла раствора конуса а (рассматривался диапазон углов от л/30 до п/3) (§ 3,2.5);

— при вычислении частот coo, Cl)i в диапазоне углов от я/30 до л/3 погрешность от неучета поперечного сдвига составила 4% и 8% соответственно. Для частот к>?, ш5 увеличение угла а приводит к пропорциональному увеличению погрешности от неучета сдвига с 11% до 18% и с 15% до 25% соответственно. В диапазоне углов от jt/ЗО до л/5 значения частоты ы4 при неучете сдвиговых деформаций вычисляются с погрешностью, составляющей 24%, однако при увеличении угла конусности влияние сдвига ослабевает более чем в 3 раза (§ 3.2.5), см. рис, 2;

— при изменении отношения толщин слоев в трехслойных изотропных пакетах, симметричных но физическим характеристикам (Е^Ег - 70), можно добиться увеличения значений собственных частот до 20%. Учет поперечных сдвигов корректирует расчетные значения частот co(J, Ш| на величину от 3—4% до 13-15%, а частот м4, к>; - от 17-20% до 45% (% определяется структурой пакета). Установлено, что изменение отношении жесткости несущего слоя к жесткости заполнителя (при постоянных геометрических параметрах) влияет прежде всего на значения частот Мо-йЬ- Происходит их увеличение в 2-3 раза, а диапазон расширяется более чем в 3 раза. Однако изменение ((толщины» оболочки при постоянном отношении жесткостей прежде всею влияет на значения частот диапазон которых изменяется в 2-2.5 раза (§ 3.2,6),

4. Сравнение частот жестко защемленных 3-слойпых изотропных цилиндрической и усеченной конической оболочек (§ 3,2.7). Цель исследования: Изменить значе-

Рис, 2. Влияние угла конусности на погрешности рс-р;. расчетных значений частот Иа-а^, обусловленные неучетом поперечных сдвиговых деформаций (в = 2),

ния частот в результате изменения формы конструкции при сохранении (максимально точном) всех физических, структурных и части геометрических параметров Сделаны следующие выводы

— при рассматриваемых геометрических параметрах оболочек (радиусы оснований, толщины и длины образующих совпадают) нижний участок спектра цилиндрической оболочки расположен выше и компактней, чем в случае близкой по характеристикам конической оболочки, т е значения частот цилиндрической конструкции составили диапазон, содержащийся в соответствующем диапазоне конической конструкции,

— степень влияния сдвига на расчетное значение частоты возрастает с ростом ее номера Так, погрешность, вносимая в расчет неучетом сдвиговых деформаций, достигает в конической оболочке 20%, а в цилиндрической - 30%,

— максимальное (минимальное) влияние сдвиговых деформаций зафиксировано в пакетах с отношением толщин 13 1(1 13и3 1 1)

5 Дополнительные результаты по сферическому поясу

— для симметричного трехслойного сферического пояса установлено, что увеличение жесткости армирующего по сравнению с жесткостью связующего приводит к уменьшению значений частот (рис 3) и к усилению влияния на них сдвиговых деформаций (рис 4), причем независимо от «длины» {ПК) меридиана Так, учет сдвига на «длинных» оболочках {ИЯ >0 8) вносит корректировку в расчетные значения частот, достигающую 40%, на «коротких» -до 45% (§4 2 5),

— установлена зависимость собственных частот ю0-ы5 от априорного закона распределения сдвиговых деформаций по толщине пакета с функцией распределения /{г) -га+1 -(1 + а-1) Ьга (параметр а = {2, 3, 4}) увеличение а приводит к росту частот и к ослаблению влияния сдвига, причем тенденция ярче выражена на «коротких» оболочках Таким образом, влияние сдвига проявляется сильнее при гипотезе о параболическом

-\л0----\л/1---\д2 \лй--о-~\/А—е—\лб

Рис 3 Значения частот (О0-СЗ5 жестко защемленного СП как функции параметра Е - ЕЧЁ при Д/й = 20, Ш = 1 (л = 2)

30-

рО----Р1---р2 —в—р5

Рис 4 Погрешности ро-рг, Р5 расчетных значений Ш0-Ш2, ©5, вносимые неучетом сдвига, атЕ = ЕН? при ШН = 20, ПК = 1

законе распределения сдвиговых деформаций по толщине пакета (§4 2 6)

6 Дополнительные результаты по составной оболочке (§ 5 2 3)

— при осесимметричных колебаниях жестко защемленной оболочки наибольшие прогибы развиваются в сферической части, тогда как цилиндрическая составляющая прямолинейна Однако с ростом п прогибы сферической составляющей погашаются, а в цилиндрической части нарастают, причем эффект усиливается с ростом и,

— при увеличении длины одной из сопрягаемых частей (с одновременным сохранением длины оболочки) частоты составной конструкции, как и формы ее колебаний, приближаются к частотам (формам) соответствующей предельной конфигурации,

— при изменении положения поверхности сопряжения число изгибных и крутильных форм сохраняется (4 и 2 соответственно) Кроме того, остается без изменений вид крутильных форм, т е положение экстремумов прогиба и амплитуда колебаний,

— при жестком защемлении кромочных поверхностей составной оболочки типы форм не зависят от положения поверхности сопряжения Однако при консольном за-крешении можно указать такое значение параметра «длины» 5» = l/R е [1, 1 5], что при UR < 6. в определении типа формы доминирует цилиндрическая, а при UR > 5. -сферическая составляющая

Решение проблемы собственных колебаний оболочек дает возможность проанализировать проблему динамической устойчивости конструкций В шестой главе представлено решение задачи о динамической устойчивости свободно опертой упругой многослойной ортотропной цилиндрической оболочки Построены ОДН Приведены результаты параметрического анализа, отражающие влияние сдвиговых деформаций, а также инерционных сил различной природы на расположение и размер (площади) ОДН

Задача динамической устойчивости понимается в смысле нахождения областей параметров вибрационного нагружения, в пределах которых заданная форма движения становится динамически неустойчивой, т е возникают колебания с амплитудой, неограниченно растущей во времени

В § 6 1 на основе (2) сформулирована разрешающая система уравнений динамической устойчивости упругой многослойной цилиндрической оболочки, нагруженной по торцам равномерно распределенным осевым усилием, изменяющимся по закону (см рис 5)

U=o,/=-tascóse,) (9)

В (9) Рц = const, к = 0, 1 - амплитуды статической и динамической составляющих нагрузки Армирование слоев пакета проведено вдоль координатных линий с постоянной интенсивностью При перечисленных условиях нагружение (9) инициирует осесимметричные колебания, амплитуда которых при некоторых сочетаниях параметров Рц, Р\, В может неогра-Рис 5 Цилиндрическая оботочка, находя- ниченно возрастать во времени Таким обра-щаяся под действием осевою усилия Г,, зом> решалась проблема устойчивости осе-

симметричных колебаний по отношению к неосесимметричным возмущениям Система неклассических линеаризованных уравнений (2) замыкалась условиями свободного опирания торцов оболочки и требованием 2я-периодичности по угловой координате вариаций всех характеристик напряженно-деформированного состояния

Одной из ключевых проблем, возникающих при решении задачи о динамической устойчивости, является определение уситий tx, 1„ невозмущенного состояния оболочки, от которых зависят коэффициенты (2) Эта задача решена в рамках методики, предложенной А Е Богдановичем1 Для этих величин найдены следующие представ-чения (л0, Я.1 - безразмерные параметры нагружения)

tx(x,t) = -Я0cosGi, /ф(х,0 = а(9) Я,! cosG/«X.] cos6/ (10)

В § 6 1 3 представлен метод определения границ ОДН, заключающийся в выполнении следующих этапов

— формулировка проблемы в виде краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами (2),

— отделение пространственных координат и формулировка задачи для системы ОДУ с периодическими коэффициентами типа Матье2

+ совШ)Стп)утп =0, (11)

dr

где утп - коэффициенты двойных тригонометрических рядов Фурье по пространственным переменным следующего вида (г = 2, 4)

Богданович А Е Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек - Рига Зинатне, 1987 -295 с

2Мак-ЛахланН В Теория и приложения функции Матье - М Изд-воиностр лит, 1953 -475 с

^(х.ф,*^ ^^Л(Г)8Ю(7С1ИХ)С08(ИФ), (12)

т,п=\

со со

у,(х,%1)= у'тп(')со^тх)соэоф), >',+1(х,(?,г) = ^у™ (0-^п(^)5т(«ф)

В результате задача динамической устойчивости осесимметричного состояния (10) сведена к исследованию устойчивости тривиального решения матричного уравнения Матье (11) Из теории уравнений Матье известно, что границам областей устойчивых и неустойчивых состояний соответствуют решения с периодами 7 и 27, где 7= 2л/8 - период возмущающей нагрузки (9) При этом решения одинакового периода ограничивают области неустойчивости, а разных периодов — области устойчивости — вывод уравнений границ ОДН (уравнения критических частот) в форме обобщенной проблемы собственных значений

ае1(л7"-02П™)=0,г = 1, ,4 (13)

В бесконечных определителях Хилла (13) матрицы Л, О. имеют блочную трех-диагональную структуру и формируются из матриц 5-го порядка Ат„, Вт„, Ст„ матричного уравнения Матье (11) Методика вывода (13) заключается в следующем1

1 Представляют решения системы (11) периодов 7 и 27 в виде тригонометрических рядов Фурье с векторными коэффициентами

- решение периода 2Г, т е у„,„(0 = у„т(! + 27)

I + (14)

<1=1,3 ^ / 1 )

- решение периода 7, т е утп{/) =>>„„(/ + Т)

УтМ= X + (15)

*=0,2 ^ 2 2 ^

2 Получают четыре бесконечные системы линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов в результате подстановки (14), (15) в (11)

3 Уравнения критических частот (13) выводятся из условия существования нетривиального решения линейных однородных алгебраических систем, сформированных на предыдущем шаге

Уравнения (13) записаны в виде бесконечных определителей, что ставит вопрос

' Еоютин В В Динамическая устойчивость упругих систем - М Гостехиздат, 1956 -595 с

об их сходимости Решение этой проблемы в случае скалярного уравнения Матье получено В В Болотиным1, показавшим, что определители являются нормальными, следовательно, относятся к классу сходящихся В § 6 1 по аналогичной схеме доказано, что и в случае матричного уравнения (11) определители (13) сходятся

Таким образом, определение возмущающих частот, соответствующих границам ОДН, приводит к решению обобщенной проблемы собственных значений (13), реализация которой осуществлялась методом редукции Следует отметить, что форма уравнения критических частот открывает возможность построения любого количества ОДН В работе использована традиционная нумерация ОДН, при которой номер области совпадает с номером коэффициента к в представлениях (14), (15), т е определяется периодом решения, соответствующего границам ОДН

В § 6 2 указаны переходы к предельным формам проблемы динамической неустойчивости задачи о свободных колебаниях и о статической устойчивости Решения этих задач использованы при построении ОДН В § 6 3 сформулированы дополнительные условия, упрощающие решаемую задачу В дальнейшем оценено их влияние на расположение и размер ОДН В § 6 4 представлены результаты исследования влияния структурных и физико-геометрических характеристик оболочки на расположение и размер первых трех ОДН Проанализирована возможность принятия дополнительных условий, упрощающих построение областей (см § 6 3) Расчет границ ОДН проводился по следующим схемам

(A) с учетом всех сил инерции и деформации поперечного сдвига,

(B) с учетом всех сил инерции, но без учета сдвиговых деформаций,

(C) с учетом лишь изгибной силы инерции при учете поперечного сдвига, (И) с учетом лишь изгибной силы инерции по формулам В В Болотина Обчасти изображались на плоскостях (>ч, 9) при фиксированном А.0 Рассчитывалось отношение площади, занимаемой ОДН, к площади наименьшего прямоугольника, определяемого координатными осями и правой верхней граничной точкой главной области неустойчивости Расчеты проводились для трехслойных композитных оболочек и соответствовали тем коэффициентам волнообразования т, п, при которых достигался минимум низшей собственной частоты

В § б 5 резюмированы результаты параметрического анализа проблемы построения ОДН, реализованной на основе неклассической системы динамики оболочек, при учете всех даламберовых сил инерции, т е (А) В широком диапазоне изменения параметров конструкции выявлены следующие особенности

'БочотинВ В Динамическая устойчивость упругих систем - М Гостехиздат, 1956 -595 с

1. Относительно размеров ОДП; Влияние сдвиговых деформаций, также как и влияние тангенциальных и сдвиговых сил инерции, можно в рассматриваемой постановке считать малозначимым, поскольку как при расчетах по схемам (А) и (В), так и при сравнении (А) с (С), погрешность определений относительной площади в подавляющем большинстве случаев составила менее 2%, Например, на рис. 6 представлены первые три ОДП, построенные для трехслойной жестко защемленной оболочки симметричною строения. Несущие слои армированы в окружном направлении, заполнитель - вдоль меридиана. Отношение толщин слоев принято 3:4:3. Плоскость = 0.

2. Относительно положения ОДН на фазовых плоскостях л.0 = const: Степень влияния поперечных сдвиговых деформаций полностью Определяется аналогичной величиной при расчете частот собственных колебаний (глава 2). Так, при расчете по (А) и (В) наблюдается смешение вершин ОДН вдоль частотной оси 6, при этом погрешность определения местоположения вершины совпадает с погрешностью расчет ного значения низшей собственной частоты, вносимой неучетом сдвига (рис. 6).

3. Относительно числа ОДН: В Предложенном методе (А) нет ограничений на количество ОДН, что существенно отличает его от расчета по (D). При сравнении (А) и (D) отмечено следующее: На первых трех ОДН во всем диапазоне параметров наблюдается совпадение

размеров главной области с

,0, Рис. 6. Области с вертикальной штриховкой рассчитаны по (А),

ТОЧНОСТЬЮ до i/o, суммар- с диагональной - но (В), Параметры оболочки: Я'h = ] 0,1/R = 2.

НОЙ области ДО 10%. Погрешности и параметры обл.: р,„ = 30%, ps < 1%, 50дн = 24%.

Основные результаты работы

1. Поставлены и решены новые краевые задачи расчета свободных установившихся гармонических колебаний упругих многослойных элементов конструкций различных геометрических форм: цилиндрических и усеченных конических оболочек, сферических поясов и комбинированных оболочечных конструкций. Проведен сравнительный анализ их собственных частот при использовании классической и уточненной теорий в геометрически линейной постановке. Показано, что для нижнего

"in :__'sz&ZPZZilA

---ÏTt.ût

MVicr*

участка спектра отличие в результатах может достигать 50% Найдены области параметров, в которых значения частот собственных колебаний, вычисленных по разным обол очечным теориям, отличаются менее, чем на 10%

2 Выполнено комплексное исследование влияния структурных и механических параметров композиционных материалов, порядка расположения армированных слоев, соотношения толщин слоев в пакете, а также их количества, геометрии оболочек и типа закрепления кромочных поверхностей на собственные частоты и на формы собственных колебаний таких конструкций Показано, что в результате реализации другой комбинации перечисленных выше параметров можно изменить значения частот в 2-3 раза Кроме того, указаны комбинации характеристик, позволяющие корректировать типы форм собственных колебаний конструкции

3 Создан программный комплекс, основанный на методе инвариантного погружения, предназначенный для решения многоточечных краевых задач для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, который позволил выполнить анализ собственных частот оболочек вращения, и построить формы их свободных колебаний

4 Поставлена и решена проблема динамической устойчивости упругих многослойных свободно опертых цилиндрических оболочек Получено уравнение критических частот, позволяющее реализовать построение любого числа ОДН Проведен сравнительный анализ размеров и расположения ОДН при использовании линеаризованных динамических уравнений классической и уточненной теорий Показано, что степень влияния поперечного сдвига на расположение вершин ОДН вдоль частотной оси и на расчетные значения низшей собственной частоты одинакова Все выводы, сделанные при изучении спектра частот цилиндрической оболочки, остаются справедливыми и в данном случае

5 Выполнено комплексное исследование влияния структурных и механических параметров композиционных материалов, порядка расположения армированных слоев, соотношения толщин слоев в пакете, а также их количества на размер и расположение ОДН Сделан вывод, что несмотря на изменение расположения областей в фазовых плоскостях, отношение их суммарной площади к площади содержащего их прямоугольника остается неизменным (±2%)

6 Исследована значимость учета инерционных сил различной природы при расчете и построении ОДН Показано, что по сравнению с силой инерции прогиба влиянием остальных сил допустимо пренебречь

7 Проведен сравнительный анализ первых трех ОДН с областями, рассчитанными по приближенным формулам В В Болотина В широком диапазоне параметров конструкции отмечено совпадение размеров главной области неустойчивости с точностью до 2-3%, суммарной - до 10%

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

[1] Андреев А H , Петрушева И И Численное исследование осесимметричного деформирования сложной цилиндрической оболочки // Вестник КемГУ - 2001 -Вып №3(7) - С 205-210

[2] Петрушева И И Свободные колебания слоистой упругой композитной цилиндрической обочочки // Численные методы решения задач упругости и пластичности Тр XVIII Межресп конфер, Кемерово, 1-3 июля 2003 г / Под ред В M Фомина -Новосибирск Изд-во «Нонпарель», 2003 246 с - С 140-145

[3] Петрушева И И Свободные колебания упругой многослойной цилиндрической оболочки//ВестникКузГТУ -2003 №3 -С 9-17

[4] Петрушева И И Свободные колебания упругого многослойного сферического пояса//Вестник КузГТУ -2005 №1(45) - С 10-16

[5] Андреев АН, Петрушева И й Свободные колебания упругой многослойной составной оболочки вращения // Проблемы оптимального проектирования сооружений сб докл V-ro Всероссийского семинара / Новосиб гос архитектур -строит ун-т - Новосибирск НГАСУ(Сибстрин), 2005 361 с - С 23-32

[6] Петрушева И И Определение областей динамической неустойчивости слоистои упругой цилиндрической оболочки // Численные методы решения задач упругости и шастичности Тр XIX Всерос конфер , Бийск 28-31 августа 2005 г / Под ред В M Фомина -Новосибирск Изд-во «Нонпарель», 2005 -С 218-223

[7] Петрушева И И Определение областей динамической неустойчивости слоистой упругой цилиндрической оболочки при осевом нагружении // Вестник КузГТУ -2006 № 1(52) - С 7-14

[8] Петрушева И И Определение областей динамической неустойчивости многослойной композитной цилиндрической оболочки // Всерос конфер «Деформирование и разрушите структурно-неоднородных сред и конструкций», Новосибирск, 9-13 октября 2006 г Тез докл - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2006 143 с - С 100

ПЕТРУШЕВ А Ирина Ивановна

Некоторые задачи о свободных колебаниях и динамической устойчивости упругих многослойных композитных оболочек вращения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 02 04 2007 Формат 60 х 84 1/16 Бумага офсетная Отпечатано на ризографе печ л 1,5 Тираж 100 экз. Заказ № т

ГУ КузГТУ, 650026, Кемерово, ул Весенняя, 28 Типография ГУ КузГТУ, 650099, Кемерово, ул Д Бедного, 4а

Введение.

Цель диссертационной работы.

Научная новизна.

Практическая ценность работы.

Достоверность результатов.

Апробация работы.

Публикации.

Структура и объем.

Содержание работы.

Глава 1. Динамические уравнения теории многослойных композитных оболочек вращения и их численное решение.

1.1. Модель армированного слоя.

1.2. Неклассические нелинейные уравнения динамики многослойных оболочек вращения в системе координат, определяемой линиями главных кривизн.

1.2.1. Уравнения свободных колебаний.

1.2.2. Уравнения свободных колебаний оболочек вращения.

1.2.3. Уравнения динамической устойчивости.

1.3. Численное интегрирование краевых задач методом инвариантного погружения.

1.3.1. Метод инвариантного погружения.

1.4. Численное интегрирование задачи о свободных колебаниях многослойных оболочек вращения.

1.5. Геометрические характеристики некоторых канонических координатных систем.

Глава 2. Свободные колебания многослойной композитной цилиндрической оболочки.

2.1. Постановка и решение задачи.

2.2. Параметрический анализ собственных частот и собственных форм цилиндрической оболочки.

2.2.1. Скорость сходимости численного расчета собственных частот относительно количества функций, используемых при аппроксимации решения.

2.2.2. Собственные формы колебаний как функции параметра волнообразования.

2.2.3. Влияние параметра волнообразования на значения собственных частот. Оценка значимости поперечных сдвигов.

2.2.4. Влияние геометрических параметров оболочки на значения собственных частот. Оценка значимости поперечных сдвиговых деформаций.

2.2.4.1. Варьирование относительной толщины оболочки.

2.2.4.2. Варьирование относительной длины оболочки.

2.2.5. Влияние жесткостных характеристик пакета на значения собственных частот. Оценка значимости поперечных сдвиговых деформаций.

2.2.5.1. Варьирование интенсивности армирования слоев композита при неизменных параметрах его компонент.

2.2.5.2. Варьирование относительной жесткости слоев трехслойного симметричного изотропного пакета.

Глава 3. Свободные колебания усеченной многослойной конической оболочки.

3.1. Постановка и решение задачи.

3.2. Параметрический анализ собственных частот и собственных форм колебаний усеченной конической оболочки.

3.2.1. Скорость сходимости численного расчета собственных частот относительно числа аппроксимирующих функций.

3.2.2. Осесимметричные формы собственных колебаний жестко защемленной оболочки.

3.2.3. Зависимость собственных частот и степени влияния на них поперечных сдвиговых деформаций от параметра волнообразования.

3.2.4. Зависимость собственных частот и степени влияния на них деформаций сдвига от геометрических характеристик.

3.2.4.1. Варьирование относительной толщины.

3.2.4.2. Варьирование относительной длины.

3.2.5 Зависимость собственных частот и степени влияния на них деформаций поперечного сдвига от угла раствора конуса.

3.2.6. Зависимость собственных частот и степени влияния на них деформаций поперечного сдвига от жесткостных характеристик пакета.

3.2.6.1. Изменение жесткостных характеристик пакета вследствие варьирования интенсивности армирования составлящих его слоев.

3.2.6.2. Варьирование относительной жесткости слоев трехслойного изотропного пакета.

3.2.6.3. Изменение жесткости трехслойного изотропного пакета вследствие варьирования толщин слоев.

3.2.7. Сравнение нижнего участка спектра жестко защемленной цилиндрической и жестко защемленной усеченной конической оболочек.

Глава 4. Свободные колебания многослойного сферического пояса.

4.1. Постановка и решение задачи.!.

4.2. Параметрический анализ собственных частот и собственных форм колебаний сферического пояса.

4.2.1. Оценка скорости сходимости численного расчета низших собственных частот относительно числа аппроксимирующих базисных векторов.

4.2.2. Влияние параметра окружного волнообразования.

4.2.3. Формы собственных колебаний сферического пояса.

4.2.4. Влияние геометрических характеристик на значения собственных частот, а также на степень их зависимости от поперечного сдвига.

4.2.4.1. Варьирование относительной толщины.

4.2.4.2. Варьирование относительной длины.

4.2.5. Влияние жесткостных характеристик компонентов композита.

4.2.6. Влияние выбора закона распределения поперечных деформаций по толщине пакета на нижний участок спектра оболочки.

Глава 5. Свободные колебания многослойной составной оболочки вращения.

5.1. Постановка и метод решения задачи.

5.2. Параметрический анализ собственных частот и собственных форм составной оболочки вращения.

5.2.1. Оценка количества аппроксимирующих решение функций при численном расчете нижнего участка спектра собственных частот.

5.2.2. Собственные частоты как функции параметра окружного волнообразования.

5.2.3. Формы собственных колебаний составной оболочки.

5.2.3.1. Зависимость форм собственных колебаний от параметра волнообразования.

5.2.3.2. Влияние положения поверхности сопряжения на формы собственных колебаний при постоянной длине меридиана оболочки.

5.2.3.3. Влияние положения поверхности сопряжения на формы собственных колебаний при постоянном отношении длин меридианов сопрягаемых поверхностей.

5.2.3.4. Влияние положения поверхности сопряжения на формы собственных колебаний при постоянной длине меридиана одной из сопрягаемых частей.

5.2.4. Зависимость значений собственных частот и степени влияния на них поперечного сдвига от геометрических характеристик оболочки.

5.2.4.1. Варьирование относительной длины меридиана оболочки.

5.2.4.2. Варьирование относительной толщины оболочки.

Глава 6. Динамическая устойчивость многослойной композитной цилиндрической оболочки.

6.1. Постановка и решение задачи.

6.1.1. Формулировка разрешающей системы уравнений динамической устойчивости упругой многослойной цилиндрической оболочки.

6.1.2. Определение характеристик невозмущенного осесимметричного состояния оболочки.

6.1.3. Определение границ ОДН с учетом сдвиговых деформаций и всех действующих на оболочку инерционных сил.

6.1.3.1. Некоторые свойства уравнения Матье.

6.1.3.2. Уравнения критических частот.

6.2. Некоторые предельные формы задачи о динамической устойчивости: Задача о свободных колебаниях.

Задача о статической устойчивости.

6.3. Частные формы задачи о динамической устойчивости.

6.3.1. Определение ОДН с учетом лишь инерции прогиба.

6.3.2. Построение ОДН с использованием приближенных формул В. В. Болотина.

6.4. Параметрический анализ положения и размеров ОДН.

6.4.1. Описание принятых при построении ОДН параметров оболочки.

6.4.2. Влияние учета сдвиговых деформаций на положение и размеры первых трех ОДН.

6.4.3. Влияние учета инерционных сил на положение и размеры первых трех ОДН.

6.4.4. Сравнение ОДН, построенных по приближенным формулам В. В. Болотина, с областями, полученными на основе неклассической системы динамической устойчивости.

6.5. Результаты параметрического анализа проблемы динамической устойчивости в принятой постановке.

Разработка, внедрение и постоянное расширение сферы использования композитных материалов стимулируют развитие исследований по методам расчета конструкций из них [247]. В последние десятилетия происходит рост производства искусственных композитов на основе высокопрочных волокон и различных полимерных матриц. Согласно прогнозам [94, 244], такая тенденция сохранится и далее. Интерес к композитным материалам вызван высоким уровнем их конструктивных свойств: прочности, жесткости и т. п. Использование КМ в конструкциях позволяет повысить их надежность и весовую эффективность [244].

Желание облегчить конструкцию, не уменьшив при этом ее несущую способность, привело к использованию тонкостенных элементов в виде оболочек. Оболочки широко распространены в инженерных сооружениях, машиностроении, судостроении, в авиационной промышленности и ракетной технике. В связи с ростом мощностей и скоростей движения механизмов все большую актуальность приобретают задачи динамики оболочек, в частности, исследование свободных, вынужденных и параметрических колебаний.

Проблема надежности тонкостенных элементов конструкций выдвигает на первый план вопрос о повышении точности расчетов. Дело в том, что элементы из композитных материалов обладают рядом особенностей, к которым относят четко выраженную анизотропию деформативных свойств, низкую сопротивляемость трансверсальным деформациям и т. д. (см. например [13, 14, 30, 67, 105, 221, 247, 305]). Использование классической теории оболочек, пренебрегающей этими факторами, в ряде случаев [13, 14, 30, 67, 82, 153, 247, 329, 332 и другие] приводит к существенным погрешностям в расчетах. Следовательно, корректный анализ задач теории оболочек требует привлечения уточненных теории более высокого порядка.

Естественная эволюция классической теории, широко представленной в литературе, в частности [79, 80, 103, 124, 161, 185, 211, 213, 242, 243, 262-264, 266, 268, 277, 321, 335-338, 340, 347, 352, 354, 393], привела к созданию и развитию неклассической теории оболочек. Исследования многослойных анизотропных пластин и оболочек представлено в монографиях Н.П.Абовского, Н.П.Андреева, А.П.Деруга [2], Н.А.Алтуфова, П. А. Зиновьева и Б. Г. Попова [11], С. А. Амбарцумяна [13-16], А. Н. Андреева и Ю. В. Немировского [30], И. Ю. Бабича и А. Н. Гузя [46, 153], В. Н. Бакулина, И. Ф. Образцова и В. А. Потопахина [53], А. Е. Богдановича [67], В. В. Болотина и Ю. Н. Новичкова [83], Г. А. Ван Фо Фы [94], Г. А. Ванина, Н.П. Семенюка и Р. Ф. Емельянова [97], А. С. Вольмира [105, 106], Э. И. Григолюка и В. В. Кабанова [138], Э. И. Григолюка и Г.М. Куликова [141], Э.И. Григолюка и В. И. Мамая [144], Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова [145, 146], Я. М. Григоренко [147], Я. М. Григоренко и А. Т. Василенко [148], А. Н. Гузя [152], А.Н. Елпатиевского и В. В. Васильева [163], В. В. Кабанова [170], С.Н. Канна и др. [174], В. И. Королева [190, 191], А. К. Малмейстера, В. П. Тамужа и Г. А. Тетерса [221, 222], В. JI. Нарусберга и Г. А. Тетерса [247], Ю. В. Немировского и Б. С. Резникова [253], П. М. Огибалова [270, 271], П. М. Огибалова и М. А. Колтунова [273], П. М. Оги-балова и В.Ф. Грибанова [272], Б. J1. Пелеха и М. А. Сухорольского [285], Б. Л. Пелеха и Г. А. Тетерса [286], В. В. Пикуля [292], Б.Е. Победри [295], А. О. Рассказова, И. И. Соколовской и Н. А. Шульги [301], Р. Б. Рикардса [304], Р. Б. Рикардса и Г. А. Тетерса [305], Г. Рейсснера [302, 409, 410], A.M. Скудры и Ф.Я. Булавса [319], В.П. Тамужа и Г. А. Тетерса [327],

Ю.М. Тарнопольского и А. В. Розе [330], Л.И. Шкутина [361] и многих других. В этих работах сформулированы основные постановки краевых задач теории многослойных анизотропных пластин и оболочек, разработаны методы решения и осуществлена их практическая реализация. Информацию об истории развития теории оболочек можно найти, например, в монографиях [83, 144, 186, 345,368].

Современное состояние теории представлено в [13, 30, 61, 125, 139, 140, 162, 258, 293, 294 и другие], где четко выделены два основных метода построения приближенных теорий: метод гипотез и аналитический метод. Аналитический метод использован, например, в работах [18, 46, 82, 112, 152-154, 156,312, 340,401,414]. Остановимся на методе гипотез.

Как отмечено в обзорах, при построении уточненных теорий большее распространение получил подход, основанный на принятии априорных предположений о процессе деформирования изучаемого элемента, т. е. метод гипотез. Этот подход развивается в двух основных направлениях.

Одно из направлений: принятие гипотез для каждого слоя отдельно. Такие модели представлены в работах В. В. Болотина [72-76], В. В. Болотина и Ю.Н. Новичкова [83], Э. И. Григолюка [136], а также с соавторами [137, 138, 141, 143-146], В. В. Кабанова [137, 138], Г.М. Куликова [141], В. И. Мамая [143, 144], П. П. Чулкова [145, 146]. Также А. А. Барышева и П. Ф. Недорезова [54], П. А. Батова [55], А. М. Бутко и П. В. Колочинского [91], В. И. Королева [190], В. А. Крысько и др. [196, 197], В.Ф. Мейша и др. [226-229], В. Л. Нарусберга [245-247], Э.И. Старовойтова и др. [323, 324], В. Н. Паймушина и др. [278-283], Г. А. Тетерса [247] и многих других исследователей. При этом подходе поле напряжений и деформаций аппроксимируется отдельно для каждого слоя, что позволяет описывать локальные эффекты, возникающие при деформировании. К его недостаткам следует отнести зависимость порядка разрешающей системы, как от числа слоев, так и от структуры пакета. Поэтому такие модели используются преимущественно для двух и трехслойных пакетов.

Второе направление связано с принятием системы допущений для пакета слоев в целом. Этот вариант развивался С. А. Амбарцумяном [13-16], А. Н. Андреевым и Ю.В. Немировским [30-34, 252], Г. И. Беликовым [58— 60], М.В. Белубекяном [64, 65], А. Е. Богдановичем [67], Г. А. Ваниным, Н.П. Семенюком и Р.Ф. Емельяновым [96, 97], Г. Д. Гавриленко [ПО], Я.М. Григоренко и А.Т. Василенко [148], P.M. Киракосяном и М.С. Саркисяном [179], Р. Кристенсеном [195], Г.М. Куликовым и Ю.В. Кулешовым [200], Е. И. Михайловским [233, 234], Б. J1. Пелехом [284] в соавторстве с М.П. Шереметьевым [358] и Г. А. Тетерсом [286, 333], В. В. Пикулем [292], А. О. Рассказовым [300, 301], Р. Б. Рикардсом и Г. А. Тетерсом [305], Э. Рейснером [302, 409, 410], А.В. Розе и В.В. Хитровым [297, 307], Н.П. Семенюком [314], А. В. Сибиряковым [317], В. П. Фоминым [348] и другими учеными. При пакетном подходе порядок разрешающей системы не зависит ни от количества слоев, ни от их расположения. В этом направлении выполнены, например, работы, использующие гипотезу С. П. Тимошенко [58-60, 110, 147, 148, 292, 326, 341], С. А. Амбарцумяна [64, 65, 257], А.О. Рассказова [10, 179, 233, 297, 307], А.Н. Андреева и Ю.В. Немировского [26, 30-33,37, 38, 252, 288-291].

В настоящей работе использована модель Андреева-Немировского [30], в основе которой лежит гипотеза о законе распределения сдвиговых деформаций по толщине пакета. Вносимая поправка обусловлена искривлением нормали к слоям в результате деформации. Принятые предположения позволяют удовлетворить условиям межслоевого контакта, а также краевым условиям. На базе этой модели исследованы задачи изгиба и устойчивости многослойных анизотропных балок, стержней, пластин и оболочек [19-22, 28, 34]. О корректности и эффективности используемой модели позволяет говорить обширное сравнение полученных результатов с решениями, полученными на базе приближенных теорий типа прямой и ломаной линии, с учетом обжатия нормали, а также пространственной теории упругости.

Следующей проблемой, требующей решения, является выбор модели армированного слоя. Проблема описания физико-механических характеристик композита достаточно полно освящена в многочисленных статьях и монографиях. Здесь укажем лишь обзорные и итоговые работы [30, 42, 75, 83, 94, 95, 99, 104, 191, 193, 195, 201, 221, 244, 249, 253, 269, 274, 275, 295, 319, 331, 334, 352, 373, 374]. В них можно найти изложение теоретических и экспериментальных исследований в механике композитных материалов, описание физико-химического строения и особенностей механического поведения, а также сведения по истории вопроса.

При описании физико-механических характеристик композита на текущий момент времени можно выделить два основных подхода - структурный и феноменологический. В рамках феноменологического подхода, развитого, например, в работах [104, 201, 221, 267, 322, 331, 334, 359], армированный материал рассматривается как однородная среда с анизотропными свойствами. Уравнения состояния строятся на основе теории анизотропных сред, при этом оставшиеся неизвестными характеристики определяются экспериментальным путем. Следует отметить, что в силу жесткой связи между полученными в результате испытаний характеристиками и конкретной конструкцией, любое изменение структуры элемента или материала, из которого он изготовлен, требует повторения проведенных ранее опытов. Более того, остается невыясненной связь между истинными напряжениями и деформациями компонентов композита и вычисленными средними характеристиками материала, что не позволяет проанализировать механизм возникновения начального разрушения, следовательно, ставить задачи оптимального проектирования. От этих недостатков избавлен структурный подход.

В основе структурного подхода лежит предположение о существовании представительного элемента композита (характерного размера неоднородности гетерогенной среды), позволяющего описать процедуру осреднения. При этом физико-механические свойства выражаются через свойства компонент структуры. Следует подчеркнуть, что основополагающее предположение исключает из области применения этой модели все задачи, связанные с большими градиентами внешних силовых, тепловых и иных полей, когда невозможно пренебречь их изменением в представительном элементе. Структурные модели реализованы как в [30, 95, 99, 119-121, 132, 247, 249-251, 269], так и во многих других исследованиях. В настоящей работе использована структурная модель с двумерными волокнами Ю.В.Немировского [249], детальное описание которой приведено в [30].

Решение задач теории композитных оболочек в уточненной постановке требует привлечения численных методов [12, 30, 108, 119, 121, 132, 189, 367 и другие]. Аналитические и асимптотические методы в основном используются при исследовании однослойных пластин и оболочек, например в [87, 150, 155, 169, 212, 230, 241].

Отметим некоторые обзорные статьи [318, 360, 389], в которых проанализированы работы российских и зарубежных исследователей по численным методам теории оболочек, приведено описание программного обеспечения расчетов конструкций. Обзоры [371, 387, 388, 399] посвящены методам конечных элементов. Основы МКЭ изложены в монографиях [48, 50, 66, 93, 166, 296, 304, 313, 343, 350, 375, 378, 379]. Вариационно-разностные методы широко используются при расчете конструкций из композитных материалов, например, в [41, 51, 52, 71, 164, 168, 172, 181,

210, 232, 342, 390]. Однако отмечается [67, 132], что проблемы, возникающие при использовании МКЭ для расчета оболочек, связаны как с аппроксимацией поверхности, так и с объемом вычислений и с машинными ресурсами. Поэтому при анализе многослойных конструкций часто используют методы типа «пристрелки», изложенные в [118, 237, 320] и реализованные авторами работ [7, 58-60, 84, 119-121, 132, 149, 218, 392 и другие].

Многими специалистами отмечалась необходимость разработки, создания и внедрения новых эффективных численных методов [30, 48, 67, 180, 230 и другие]. Дело в том, что использование при исследовании оболочек уточненной модели не только повышает порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений, но и в ряде случаев изменяет структуру ее решений. Так, учет сдвиговых деформаций и (или) обжатия нормали приводит к появлению краевых эффектов напряженного состояния, связанных с появлением быстропеременных решений. Такие решения существенны лишь в зонах краевых закреплений, в точках приложения сосредоточенных сил и т. п. Это обстоятельство вносит существенные трудности при интегрировании краевых задач традиционными процедурами (перечисленными выше), применяемыми в классической теории оболочек и теории типа Тимошенко. Проблемы, возникающие при численном интегрировании подобных задач, позволяет преодолеть метод инвариантного погружения, используемый в настоящей работе.

Метод инвариантного погружения, разработанный и апробированный в работах А. Н. Андреева и Ю. В. Немировского [23-25, 30, 35, 36] при решении задач статики и динамики теории упругих многослойных композитных пластин и оболочек, обеспечил устойчивое численное интегрирование в широком диапазоне геометрических и физико-механических характеристик. Это дает основание рекомендовать его для эффективного численного решения подобного класса задач. Описание метода приведено в главе 1 § 3.

В заключение, дадим краткий обзор современного состояния задач о свободных колебаниях и динамической устойчивости оболочек. Обзор работ по динамике, выполненных до 1985 года, представлен в статьях и монографиях [67, 69, 80, 105, 106, 128, 176, 305, 362, 368 и другие]. Отметим справочники [129, 273, 370], содержащие результаты по частотам и формам собственных колебаний оболочек и пластин, полученные разными авторами. Работы, опубликованные в период 1989-2000 гг., проанализированы в обширных обзорах [400, 407, 408]. В них представлены методы динамического расчета и экспериментального изучения слоистых композитных и однородных оболочек, отмечена роль таких эффектов как начальные напряжения, присоединенные массы и прочее. Обзор работ по динамической устойчивости оболочек с учетом их реономных свойств представлен в [305], при ударном нагружении - в [49, 106], анализ работ, посвященных распространению волн в [67], где сделан вывод о том, что эффект учета поперечных сдвигов намного превосходит эффект учета инерции вращения. В перечисленных работах можно найти краткие исторические комментарии.

Задачами динамической устойчивости оболочек и проблемой свободных колебаний занимались такие ученые как Р. А. Абдикаримов и Д. Г. Ахмаджонов [1, 364], С. Д. Акбаров [6, 159], И. А. Алейников и Е. В. Власова [8, 9], А. С. Амбарцумян [13, 14], И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий и В. Г. Паламарчук [17], А. Н. Андреев [27, 30], А. А. Андронов и М. А. Леонтович [39], И.Ю. Бабич и Н.П. Семенюк [47], Н.М. Беляев [381], Н.Н, Боголюбов и Н. М. Крылов [382], В. А. Боднер, В. В. Болотин [77-80], А. Е. Богданович [67-70], А. С. Братусь [85], А. С. Вольмир [105, 106], 10. В. Гаврилов [111, 357], Г.З. Геворкян [114, 115], В.Ц. Гнуни [116, 117], И. И. Гольденблат [123], А. Л. Гольденвейзер [126-128, 369], B.C. Гонткевич [129— 131], Г. Л. Горынин [133], Г.Ю. Джанелидзе и М.А. Радциг, А. В. Карми-шин, В. А. Лясковец, В. И. Мяченков и Фролов А. Н. [176], Ю. Г. Коноплев [187], Е.З. Король [192], Г.М. Куликов и Ю.В. Кулешов [200], В. И. Купцов [203, 204], Л. В. Курпа [205-207], В. Кухарский, Г. С. Лейзерович [208, 328], В.Б. Лидский [45, 128], С. А. Лычев [214], А. Ляв [215], A.M. Масленников [224], И. Мирский [403], Г. В. Мишенков [238], Л. А. Мовсисян [239, 240], В.Л. Нарусберг [245-247], Ю.В. Немировский [27, 30, 254], М.В. Никулин [259], П.М. Огибалов [270, 271], В.Н. Паймушина и В. Р. Хусаинов [278, 279, 282], Б. Л. Пелех и Г. А. Тетере [286, 305, 333], А. О. Рассказов и В. Г. Карнаухов [177], Р. Б. Рикардс [305, 333], Р. С. Сабирова [308], В. И. Самсонов [254, 309-311], Л. С. Саркисян [312], 10. Э. Сеницкий и И.Е. Козьма [315, 316], Ф.X. Тазюков [187], Н. А. Тарануха [328], Ю.М. Тарнопольский и Розе А. В. [330], П.Е. Товстик [56, 128, 339], IO.IO. Швейко и А.Д. Брусиловский [357], В.Н. Челомей [351], Г. Шмидт [362], А. П. Филлипов с соавторами [346], В. Флюгге [347], Ю.А. Хамренко [349], Б. X. Эшматов [363], В. А. Якубович и В. М. Стражинский [365, 366]. А также R.N. Arnold и G.B. Warburton [384], C.W. Bert [385, 386], S.B. Dong и F.K.W. Tso [391], К. Forsberg [394], J. В. Greenberg и Y. Stavsky [396, 397], R.M. Jones и H. S. Morgan [398], G.B. Warburton [415], V.I. Weingarten [416] и многие другие. Другими динамическими задачами теории оболочек занимались такие ученые, как В. Н. Бакулин, И. Ф. Образцов и В. А. Потопахин [53], М.В. Вильде [101, 102], 3. Весоловский [100], С.П. Кунцевич [202], 10. В. Немировский и В. И. Самсонов [255], Ю.Н. Новичков [260, 261] и многие другие.

Решение задач о свободных колебаниях конструктивных тонкостенных элементов имеет фундаментальное значение для разработки многих проблем динамики: исследование вынужденных и параметрических колебаний, динамической потери устойчивости и других. То есть при исследовании процессов, использующих информацию о собственных частотах и формах колебаний.

Проблема расчета собственных колебаний тонкостенных оболочек впервые поставлена Лявом (1888 г), получившим уравнения малых колебаний, а так же исследовавшим изгибные колебания цилиндрических оболочек [215]. В 1894 г. Рэлей [303] получил формулу для собственных частот изгибных колебаний цилиндрических оболочек. В 1933 году впервые В. Флюгге [347] установил существование для каждой изгибной формы колебаний свободно опертой цилиндрической оболочки группы из трех собственных частот. Подобную задачу для жестко защемленной оболочки впервые рассматривал А. П. Филлипов в 1937 году.

Собственные колебания изотропных однослойных и многослойных пластин и оболочек изучались в [45, 56, 77, 78, 105, 111, 126-128, 208, 210, 270, 271, 339, 384, 394, 403, 415, 416]. В работе Р. Арнольда и Г. Уорбер-тона [384] (1953 г.) было установлено существование минимума собственных частот относительно номера волнообразования, также приведены материалы экспериментальных исследований колебаний стальных оболочек.

Исследования, проводившиеся в 60-70 годах в рамках классической теории тонких оболочек, преимущественно направлены на изучение влияния условий закрепления кромочных поверхностей на частоты и формы собственных колебаний. Общее решение задачи о собственных колебаниях изотропной цилиндрической оболочки, допускающее рассмотрение любых краевых условий, было предложено К. Форсбергом [394] и Г. Уор-бертоном [415].

Качественный анализ форм и частот собственных колебаний тонких упругих изотропных оболочек проведен А. Л. Гольденвейзером в [126, 127], а также в соавторстве с В. Б. Лидский и П. Е. Товстик [128]. Проблема плотности частот и краевые эффекты, возникающие при колебаниях, изучалась в работах В. В. Болотина [77, 78] и П. Е. Товстика [56, 339].

В это же время развивалась теория собственных колебаний ортотроп-ных однослойных оболочек. К числу первых относятся работы В. С. Гонт-кевича [129-131] (1961 г.), И. Мирского [403] (1964 г.), М.В. Никулина [259] (1965 г.) и Р. С. Сабировой [308] (1965 г.).

В настоящее время теория однослойных оболочек продолжает привлекать внимание исследователей. Построением системы базисных функций и обоснованием возможности ее использования при решении задачи о свободных и вынужденных колебаний однослойных оболочек занимались авторы работ [8, 9, 315, 316]. В качестве таких функций предлагались собственные функции краевых задач, определяемых разрешающей системой.

Колебания однослойных композитных (ортотропных) пластин и оболочек на базе трехмерной теории упругости рассматривались в [3, 4, 6, 7, 159, 164] и с использованием гипотезы Кирхгофа-Лява в [43, 56, 130, 178, 192, 223, 259, 308, 411]. В [3, 4] для тонкой пластины при принятых краевых условиях было установлено существование трех групп собственных чисел, двум из которых соответствуют сдвиговые колебания, а третьей -продольные. Влияние локального искривления на частоты первой гармоники для толстой защемленной пластины изучалось в [6, 159] и для полосы в [164]. Задачи решены численно с помощью трехмерного моделирования методом конечных элементов. В [178] исследованы нелинейные колебания оболочек ступенчато-переменной толщины, разработан вариационно-параметрический метод, позволяющий находить рациональные параметры оболочек. В [223] исследовались собственные поперечные колебания прямоугольной ортотропной пластины, два противоположных края которой неподвижно закреплены, а два другие - свободно оперты, были получены трансцендентные уравнения частот и аналитические представления амплитуд колебаний в направлениях, параллельных координатным осям. В [411] рассматривался резервуар давления в виде композитной цилиндрической оболочки с полусферическими торцами. Уравнения движения были сведены к системе ОДУ для сферического и цилиндрического сегмента, а формы колебаний представлены функциями Лежандра и тригонометрическими функциями.

В статьях, опубликованных в последние годы (преимущественно с 2000 г.), широко представлены результаты, полученные в теории трехслойных пластин и оболочек (в основном, на базе гипотез типа ломаной линии): [47, 151, 209, 276, 278, 279, 282, 312, 391]. В [151] приведено трансцендентное уравнение для собственных чисел и построена фундаментальная система собственных ортонормированных функций. В [278, 279, 282] для оболочек с трансверсально-мягким заполнителем собственные колебания изучены на основе геометрически нелинейных уравнений движения с учетом больших изменений параметров динамического НДС в тангенциальных направлениях.

Не менее полно представлены исследования собственных колебаний ортотропных и анизотропных многослойных элементов. Эти результаты условно разделим на группы относительно учтенных факторов:

Решения, полученные на основе гипотезы плоских сечений [205-207], которые отражают зависимость спектра пологих конструкций от их формы и угла поворота главных направлений слоев при различных условиях закрепления. При решении использован вариационный метод Ритца и теория R-функций.

Исследования, проведенные на основе гипотезы прямых нормалей [47, 67, 165, 200, 286, 305, 310, 330, 342]. Здесь установлены области, где учет поперечного сдвига приводит к снижению собственных частот, даже при определении низших тонов.

Работы, выполненные с привлечением гипотез более высокого порядка [27, 30, 40, 114, 115]. В [114, 115] на основе теории Амбарцумяна исследовано влияние поперечных сдвигов и инерции вращения на свободные поперечные колебания ортотропных пластин линейно-переменной толщины при шарнирном опирании. В работах [27, 30] на базе теории Ан-дреева-Немировского решены задачи для многослойных упругих композитных оболочек вращения при произвольных параметрах армирования и произвольных краевых условиях.

Изучение свободных колебаний выполнялось также на основе трехмерной теории для многослойных балок [133] и пластин [417]. В [417] при рассмотрении толстых слоистых прямоугольных пластин с точечными опорами использована аппроксимация тригонометрическими функциями со степенными добавками. В [133, 134] построена асимптотическая теория свободных и вынужденных поперечных колебаний упругих композитных балок на основе асимптотического расщепления уравнений пространственной теории упругости. Нулевые приближения частот свободных колебаний соответствуют частотам технической теории балки. Метод заключается в расщеплении первоначальной пространственной краевой задачи на систему двумерных краевых задач (в сечении), и двух одномерных краевых задач вдоль образующей. В [100-102, 260, 261] изучалось распространение волн в упругих элементах.

В заключительной части работы рассмотрена задача о динамической устойчивости. При решении задач динамической устойчивости упругих систем фундаментальное значение имеют труды В. В. Болотина [79, 80]. В них сформулированы критерии динамической устойчивости, изложены принципы нелинейных параметрических колебаний систем, получены приближенные расчетные формулы, определяющие границы первых трех областей динамической неустойчивости, установлена допустимость определения этих границ на основе линеаризованных уравнений движения.

Впервые недостаточность линейной постановки задачи определения амплитуд колебаний в резонансных режимах сформулировал в 1948 году И. И. Гольденблат [123]. Нелинейная теория закладывалась и развивалась в середине 60-х годов В. В. Болотиным наряду с В.Ц. Гнуни [116, 117] и Г. В. Мишенковым [238]. Ее дальнейшее развитие в работах А. С. Вольми-ра [105], А.Е. Богдановича [67] и других ученых. В первых работах [116, 117, 238] использовалась аппроксимация прогиба одним членом двойного ряда Фурье, система уравнений движения при этом сводилась к нелинейному ОДУ с периодическими коэффициентами. В [67, 105] динамическая устойчивость стержней и оболочек изучалась на основе гипотезы прямой и ломаной нормали соответственно с аппроксимацией несколькими элементами двойных рядов Фурье. Также нелинейные параметрические колебания шарнирно закрепленных, вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек, нагруженных осевым сжатием, изучались в [1, 363, 364]. В этих работах рассматривалась либо вибрационная [1], либо быстро возрастающая нагрузка типа P(t) = vt, где v - скорость нагружения [363, 364]. Решение строилось на основе модели Тимошенко с применением метода Бубнова-Галеркина. Задача была переформулирована для системы нелинейных ин-тегро-дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно времени.

Задачи о параметрических колебаниях оболочек могут быть сведены (при дополнительных упрощениях) к исследованию устойчивости тривиального решения одного или нескольких дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Отметим основные монографии по теории таких систем: [62, 158,194, 220,216, 231, 355, 366].

Подавляющее число работ по исследованию параметрических колебаний и построению ОДН реализуют схемы, приводящие первоначальные модели к уравнению (или системе) Матье-Хилла. В результате, построение ОДН сводится к решению проблемы (возможно, обобщенной) собственных значений линейной системы. Такой подход реализован, например, в работах [89, 90] для упругих изотропных оболочек, в [29, 184, 240, 406] -для однослойных пластин и оболочек из композита, в [177] - для трехслойных оболочек, а также для многослойных ортотропных пластин и оболочек, например, в [68, 239, 247, 305, 333, 405]. В этих работах могут быть учтены только «главные» (по терминологии, используемой в [365, 366]) резонансы. Прокомментируем некоторые из этих работ:

В работе [184] рассматривались ортотропные круговые конические оболочки, находящихся под действием пульсирующего осевого и гидростатического давления, система разрешающих дифференциальных уравнений выводилась на основе принципа Остроградского-Гамильтона. Этот же принцип был использован в [89, 90] при изучении низкочастотных колебаний тонких упругих изотропных оболочек под действием осесиммет-ричного гармонического возбуждения внешней силой. При построении собственной функции и упрощении системы нелинейных уравнений использован метод асимптотического интегрирования, основанный на малости относительной толщины оболочки. Определены области неустойчивости и амплитуды параметрических колебаний.

В [239] изучена динамическая устойчивость многослойных изотропных пластин с симметричным и антисимметричным расположением слоев. На внешних плоскостях принималась либо сдвигающие напряжения, либо чистый изгиб. Определены области главных параметрических резонансов.

В статье [29] выстроены первые четыре области динамической неустойчивости для свободно опертой трансверсально-изотропной упругой пластинки, нагруженной торцевым сжимающим усилием.

В [240] рассматривалась цилиндрическая оболочка из композита при медленном движении нормального давления с одного конца в другой. Скорость движения позволила отбросить в разрешающих уравнениях инерционные члены, однако были учтены вязкие свойства материала.

В работе [406] представлен анализ динамической устойчивости композитной цилиндрической оболочки. Уравнения Матье-Хилла получены в результате аппроксимации по нормальным формам. Области неустойчивости найдены по методу В. В. Болотина.

В статье [177] на основе гипотезы Кирхгофа-Лява, дополненной гипотезами о распределении электрических полевых величин, разработана модель параметрических колебаний трехслойной композитной оболочки вращения, составленной из пассивного среднего слоя и двух слоев с пьезо-эффектом. Рассматривалась оболочка, находящаяся под действием гармонических нагрузок. При использовании МКЭ исследовалась главная область динамической неустойчивости. В результате проведенного параметрического анализа (структурная неоднородность, диссипация, электрические граничные условия) сделан вывод о существенном влиянии электрических граничных условий на ширину, положение на частотной оси и критический параметр возбуждения, соответствующие ГОДН.

В работах [68, 247, 305, 333] при изучении ортотропных многослойных оболочек использована модель Тимошенко. Установлено [305, 333], что для армированных пластиков неучет поперечных сдвигов при большом значении ЕЮ приводит к существенным качественным погрешностям в задачах длительной устойчивости пластин и оболочек. Сделан вывод о сужении областей неустойчивости в случае вязкого сопротивления. В

247] оценено влияние обжатия нормали при использовании послойной оболочечной модели.

В ряде исследований ставится задача учета не только главных, но и комбинационных резонансов, которые могут возникать в окрестностях возбуждающих частот со значениями кратными линейным комбинациям собственных частот с различными номерами. Теоретическая разработка этого вопроса представлена в монографиях В. А. Якубовича и В.М. Стра-жинского [365, 366]. Ими сформулированы критерии определения «опасных» (возможно резонансных) частот внешней нагрузки. Предложен метод исследования областей параметрического резонанса и построения границ ОДН, который основан на анализе поведения мультипликаторов возмущенной системы. Развитие этого направления представлено в работах [85,214, 217, 395]. Например, в [395] изучена устойчивость бесконечно широкой упругой однослойной композитной пластины при действии сжимающих нагрузок и внезапных температур в геометрически нелинейной постановке. В [214] исследуются нестационарные колебания трехслойных оболочек, учитываются возможные внутренние резонансы, соответствующие кратным собственным частотам. При этом использовано разложение по полной системе собственных функций. Проанализировано влияние кратных форм на динамическую реакцию сталебетонной оболочки.

В работе [217] рассматривалась линейная колебательная система со многими степенями свободы с периодическими коэффициентами, зависящая от трех параметров: частоты, амплитуды периодического воздействия и параметра диссипативных сил, причем последние две величины предполагались малыми. Исследована устойчивость тривиального решения, соответствующая параметрическому резонансу. Получены общие выражения для областей основного и комбинационного резонансов при произвольной матрице периодического воздействия и положительно определенной матрице диссипативных сил.

В [85] исследовалась потеря устойчивости неконсервативной системы. Рассматривался случай, когда при заданном распределении жестко-стей и некотором критическом значении параметра потери устойчивости возникают нулевые частоты свободных колебаний. Показано, что в этом случае нулевая частота свободных колебаний почти всегда является двукратной. Поставлена задача о стабилизации системы за счет выбора подходящих распределений жесткостей при фиксированном (критическом) значении параметра потери устойчивости. В качестве примера рассмотрена свободно опертая труба переменного сечения, внутри которой протекает жидкость, при различных способах задания диссипативных сил.

Проблема динамической устойчивости и колебаний слоистых подкрепленных, перфорированных и ребристых оболочек отражена в [17, 57, 178, 392]. Эти работы, за исключением [57], выполнены на основе классической теории Кирхгофа-Лява.

Динамическое поведение тонкостенных конструкций с начальными несовершенствами рассматривалось, например в [198, 328]. Оболочки, находящиеся под действием ударных нагрузок, изучались, например в [49, 402], где было отмечено превышение критических динамических нагрузок по сравнению со статическими нагрузками. Исследование локальных параметрических колебаний представлено, в частности, в [101, 102, 202].

Задачи термоустойчивости пластин и оболочек представлены, например, в [53, 254, 255, 272, 311, 395].

Проведенный анализ подтверждает, что в целом проблема собственных колебаний оболочек вращения достаточно хорошо разработана. Однако два принципиальных вопроса до сих пор практически не затронуты: проблема колебаний составных оболочек и эффективная реализация уточненной задачи при общем типе краевых условиях.

В отличие от проблемы свободных колебаний, решение задачи об определении границ и построении областей динамической неустойчивости многослойных композитных оболочек развивается недостаточно интенсивно, несмотря на неоспоримую актуальность. Исследования, представленные в данной работе, в некоторой степени восполняют эти пробелы.

Цель диссертационной работы

Описание свободных колебаний упругих многослойных композитных оболочек вращения с общим типом закрепления кромочных поверхностей на базе неклассической теории оболочек высокого порядка в геометрически линейной постановке.

Построение произвольного числа областей динамической неустойчивости (ОДН) многослойных оболочек с учетом всех инерционных слагаемых на основе неклассической теории оболочек.

Оценка степени влияния принятых уточнений на спектр собственных частот и собственные формы колебаний оболочек вращения, а также на положение, форму и размеры областей динамической неустойчивости.

Научная новизна

Модифицирован и апробирован метод определения спектра собственных частот и форм колебаний составных оболочек вращения при произвольных условиях закрепления.

Построены области динамической неустойчивости многослойной цилиндрической оболочки в уточненной постановке. Получена оценка влияния инерционных слагаемых на размер и положение областей динамической неустойчивости.

Проведено обширное параметрическое исследование в рассматриваемых задачах динамики оболочек вращения, по результатам которого сделан вывод о границах применимости используемой модели.

Практическая ценность работы

Полученные результаты исследования спектра собственных частот и собственных форм колебаний упругих композитных оболочечных элементов конструкций, а также результаты исследования областей динамической неустойчивости многослойной цилиндрической оболочки, могут служить основой как при выработке конкретных технологических решений, так и при формулировке общих рекомендаций по вопросам проектирования конструкций. достоверность результатов

Достоверность научных положений и выводов обеспечена корректностью принятых постановок рассматриваемых задач и методов, используемых при решении, а также непротиворечивостью полученных результатов с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XVIII, XIX Межреспубликанских конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2003; Бийск 2005); V Всероссийском семинаре «Проблемы оптимального проектирования сооружений», посвященном 75-летию НГАСУ (Сибстрин) (Новосибирск, 2005); Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006).

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 8 статей в научных журналах и сборниках трудов конференций, а также тезисы докладов на научных конференциях. Список публикаций приведен в библиографическом списке.

Структура и объем

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка, включающего 417 наименований. Общий объем диссертации составляет 270 страниц.

Результаты исследования зависимости от параметра а/b значений собственных частот и значимости учета поперечного сдвига представлены в таблице 3.4 и на рисунках 3.11, 3.12. Рассматривалась жестко защемленная оболочка (3.13)—(3.15). Расчеты проводились при п = 0 (рис. 3.11) и п = 2 (рис. 3.12).

Общая тенденция, отмеченная в поведении значений частот и значений погрешности, вносимой неучетом поперечных деформаций: с ростом параметра а/b, т. е. по мере уменьшения относительной длины, значения частот, как и значения погрешностей увеличиваются.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Поставлены и решены новые краевые задачи расчета свободных установившихся гармонических колебаний упругих многослойных элементов конструкций различных геометрических форм: цилиндрических и усеченных конических оболочек, сферических поясов и комбинированных оболочечных конструкций. Проведен сравнительный анализ их собственных частот при использовании классической и уточненной теорий в геометрически линейной постановке. Показано, что для нижнего участка спектра отличие в результатах, полученных по теориям с учетом и без учета поперечного сдвига, может достигать 50%. Найдены области параметров, в которых значения частот собственных колебаний, вычисленных по разным оболочечным теориям, отличаются менее, чем на 10%).

2. Выполнено комплексное исследование влияния структурных и механических параметров композиционных материалов, порядка расположения армированных слоев, соотношения толщин слоев в пакете, а также их количества, геометрии оболочек и типа закрепления кромочных поверхностей на собственные частоты и на формы собственных колебаний таких конструкций. Показано, что в результате реализации другой комбинации перечисленных выше параметров, возможно добиться изменения значений частот от 70 до 100%. Также указаны комбинации характеристик, позволяющие корректировать тип формы собственных колебаний конструкции.

3. Создан эффективный программный комплекс, основанный на методе инвариантного погружения, предназначенный для решения многоточечных краевых задач для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, который позволил выполнить анализ собственных частот оболочек вращения, и построить формы их свободных колебаний.

4. Поставлена и решена проблема динамической устойчивости упругих многослойных свободно опертых цилиндрических оболочек. Получено уравнение критических частот, позволяющее реализовать построение любого числа ОДН. Проведен сравнительный анализ размеров и расположения ОДН при использовании линеаризованных динамических уравнений классической и уточненной теорий. Показано, что степень влияния поперечного сдвига на расположение вершин ОДН вдоль частотной оси и на расчетные значения низшей собственной частоты совпадают. Следовательно, все выводы, сделанные при изучении спектра частот цилиндрической оболочки, остаются справедливыми и в данном случае.

5. Выполнено комплексное исследование влияния структурных и механических параметров композиционных материалов, порядка расположения армированных слоев, соотношения толщин слоев в пакете, а также их количества на размер и расположение ОДН. Показано, что в подавляющем большинстве случаев, несмотря на изменение расположения областей в фазовых плоскостях, отношение их суммарной площади к площади минимального, содержащего их прямоугольника, остается неизменным (±2%).

6. Исследована значимость учета инерционных сил различной природы при расчете и построении ОДН. Показано, что по сравнению с силой инерции прогиба влиянием остальных сил допустимо пренебречь.

7. Проведен сравнительный анализ первых трех ОДН с областями, рассчитанными по приближенным формулам В. В. Болотина. В широком диапазоне параметров конструкции отмечено совпадение размеров главной области неустойчивости с точностью до 2-3%, суммарной - до 10%.

1. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек М: Наука, 1978. - 287 с.

2. Агаловян JI. А., Гулгазарян JI. Г. О частотах собственных колебаний и пограничном слое для ортотропной пластинки в смешанной краевой задаче // Изв. АН Армении. Мех. 2001. - 54. № 2. - С. 32-41.

3. Агаловян J1. А., Оганесян Р. Ж. Собственные колебания ортотропных пластин при смешанных краевых условиях на лицевых поверхностях // Изв. АН Армении. Мех. 2003. - 56. № 4. - С. 18-28.

4. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа М.: Наука, 1987. - 351 с.

5. Акбаров С. Д., Тарим Е. Т. Анализ напряжений в прямоугольной толстой пластине из композитного материала с пространственной локально искривленной структурой при вынужденных колебаниях // Мех. композит, матер. 2004. - 40. № 6. - С. 779-790.

6. Акуленко JI. Д., Нестеров С. В. Собственные поперечные колебания неоднородного стержня // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2003. - № 3. -С. 179-192.-Рус.

7. Алейников И. А., Власова Е.В. Об одном эффективном подходе к построению систем базисных функций при решении краевых задач //

8. Деп. в ВИНИТИ 13.04.2005, N 493-В2005 Рос. гос. откр. техн. ун-т путей сообщ. - М., 2005. - 11 с.

9. Алейников И. А., Власова Е.В. Метод определения собственных частот тонких прямоугольных пластин // Деп. в ВИНИТИ 11.02.2003, N 275-В2003 Рос. гос. откр. техн. ун-т путей сообщ. - М., 2003. -48 с.

10. Алексеев А. Е. О влиянии поперечного давления на устойчивость пластины // Прикл. мех. и техн. физ. 2005. - 46. № 2. - С. 170-178.

11. Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов М: Машиностроение, 1984. - 264 с.

12. Алфутов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Основы расчёта на устойчивость упругих систем М: Машиностроение, 1991. - 333 с.

13. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек М.: Наука, 1974.-446 с.

14. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость, колебания М.: Наука, 1987. - 360 с.

15. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек М.: Физматгиз, 1961.-384 с.

16. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластинок М.: Физматгиз, 1967.-266 с.

17. Амиро И. Я., Заруцкий В. А., Паламарчук В. Г. Динамика ребристых оболочек Киев: Наук, думка, 1983.-204 с.

18. Андреев А. Н. О напряженном состоянии и устойчивости слоистых балок и стержней // Изв. вузов. Строительство и архит. 1983. № 3. -С. 51-54.

19. Андреев А. Н. Об устойчивость слоистой цилиндрической оболочки при внешнем давлении // Прикл. механика. 1984. - 10. № 10. - С. 59-64.

20. Андреев А. Н. Осесимметричное выпучивание трехслойных круговых пластин // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР СО Ин-т гидродинамики, Новосибирск, 1984. Вып. 66. - С. 3-11.

21. Андреев А. Н. О численном интегрировании уравнений осесиммет-ричного изгиба слоистых оболочек вращения методом инвариантного погружения // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР СО Ин-т гидродинамики, Новосибирск, 1985. Вып. 73. - С. 137148.

22. Андреев А. Н. О численном решении краевых задач статики слоистых композитных оболочек вращения // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы X Всесоюз. конф., Красноярск, 23-27 февр. 1987 г. Новосибирск, 1988. - С. 3-8.

23. Андреев А. Н. О численном решении линейных краевых задач устойчивости слоистых оболочек вращения // Прикл. механика. 1989. -25. №8.-С. 60-66.

24. Андреев А.Н. К оценке прочности упругой слоистой композитной оболочки вращения в геометрически нелинейной постановке // Прикл. механика. 1990. - 26. № 7. - С. 43-49.

25. Андреев А. Н. Свободные колебания слоистых упругих композитных оболочек вращения // ПМТФ. 1995. - 36. № 5. - С. 146-154.

26. Андреев А. Н. Устойчивость многослойной композитной конической оболочки при равномерном внешнем давлении // ПМТФ. 1999. -40. №4.-С. 198-207.

27. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания Новосибирск: Наука, 2001.-287 с.

28. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек // Изв. АН СССР. 1977. № 5. - С. 87-96.

29. Андреев А. Н., Немировский 10. В. Об одном варианте теории упругих многослойных анизотропных пластин // Прикл. механика.1978. -14. №7. с. 55-62.

30. Андреев А. Н., Немировский Ю. В. К теории изгиба и колебаний упругих многослойных анизотропных пластин // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Сб. статей, Горький, 1977. Вып. 7. -С. 29-34.

31. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Устойчивость упругих многослойных армированных оболочек // Механика композ. материалов.1979. № 1.-С. 86-95.

32. Андреев А. Н., Немировский 10. В. Численный анализ напряженно-деформированного состояния слоистых оболочек вращения методом инвариантного погружения // Изв. АН АрмССР. Механика. 1989. -42. № 1.-С. 9-19.

33. Андреев А. Н., Петрушева И. И. Численное исследование осесиммет-ричного деформирования сложной цилиндрической оболочки // Вестник КемГУ. 2001. - Вып. №3(7). - С. 205-210.

34. Андронов А. А., Леонтович М. А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами // Жунал рус. физ.-хим. об-ва. Физика. 1927. Т. 59. - С. 429-443.

35. Андронова 10. В., Назаренко Е. С., Соболева В. А. О влиянии упругого закрепления на собственные колебания круглых пластин по уточненной теории // Прикл. пробл. прочн. и пластич. 2001. № 63. - С. 75-78, 194, 201.

36. Андрюшин В. А., Недбай А. Я. Колебания слоистых цилиндрических оболочек с произвольными граничными условиями // Мех. композ. матер, и конструкций. 2003. - 9. № 3. - С. 287-296.

37. Аннин Б. Д., Каламкаров A. JL, Колпаков А. Г., Партон В. 3. Расчет и проектирование композитных материалов и элементов конструкций Новосибирск: Наука, 1993 .-256 с.

38. Антоненко Э.В., Иванов С. С. Неосесимметричные собственные колебания ортотропных тонкостенных цилиндров переменной толщины // Мат. Мех. 2001. № 3. - С. 152-155.

39. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции 2-е изд. - М.: Наука, 1984. - 384 с.

40. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек М.: Наука, 1974. - 156 с.

41. Бабич И. Ю., Гузь А. Н. Устойчивость цилиндрических оболочек, изготовленных из материала с малой сдвиговой жесткостью Киев: Наук, думка, 1970. - 275 с.

42. Бабич И. 10., Семенюк Н. П. Колебания и устойчивость волнообразных цилиндрических оболочек из композитов // Проблемы механики: Сборник статей к 90-летию со дня рождения А. 10. Ишлинского. -М., 2003. С. 105-114.

43. Баженов В. А., Дащенко А. Ф., Коломиец Л. В., Оробей В. Ф., Сурья-нинов Н. Г. Численные методы в механике Одесса: «СТАНДАРТЪ», 2005. - 563 с.

44. Баженов В. Г., Игоничева Е. В., Кибец А. И., Лаптев П. В., Ломунов В. К. Выпучивание упругих и упругопластических оболочек вращения при осевом ударном нагружении // Изв. Акад. инж. наук РФ. -2001. Юбил. том. - С. 7-23.

45. Баженов В. Г., Чекмарев Д. Т. Вариационно-разностные схемы в нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек -Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1992. 160 с.

46. Бакулин В.Н. Метод конечных элементов для исследования напряженно-деформированного состояния трехслойных цилиндрических оболочек М. ЦНТИ Информации, 1985. - 140 с.

47. Бакулин В.Н. Конечно-элементные модели для расчета слоистых оболочек вращения ненулевой гауссовой кривизны // Мат. моделир. -2002.-14. №8.-С. 37-43.

48. Бакулин В. Н., Образцов И. Ф., Потопахин В. А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии -М. Наука. Физматлит, 1998. 464 с.

49. Барышев А. А., Недорезов П. Ф. Задача об установившихся колебаниях вязкоупругой прямоугольной пластины с двумя шарнирно опертыми сторонами в уточненной постановке // Мех. деформир. сред.-2002. № 14.-С. 18-27.

50. Батов П. А. Оценка пределов применимости технической теории анизотропных пластин в задачах устойчивости: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Тул. гос. ун-т, Тула, 2002. 20 с.

51. Беликов Г. И. Статика, динамика и устойчивость сетчатых и подкрепленных оболочек с учетом поперечного сдвига Волгоград: Изд-во ВолгГАСА, 2003.-297 с.

52. Беликов Г. И. Статика, динамика и устойчивость сетчатых и подкрепленных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью: Автореф. дис.докт. техн. наук. Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т, Волгоград, 2004.-44 с.

53. Беликов Г. И. Свободные колебания упругих подкрепленных оболочек по уточненной модели // Деп. в ВИНИТИ 07,10.2003, N 1776-В2003 Волгогр. гос. архит.-строит. акад. - Волгоград, 2003. - 13 с.

54. Беликов Г. И., Кондратов В. В. Обзор развития теорий и методов расчета сетчатых оболочек из композиционных материалов // Деп. в ВИНИТИ 17.02.2005, N 235-В2005 Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. - Волгоград, 2005. - 47 с.

55. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений-М.: ИЛ, 1954.

56. Белозеров Л. Г., Киреев В. А. Композитные оболочки при силовых и тепловых воздействиях М.:Физматлит, 2003. - 388 с.

57. Белубекян В. М. Локализованная неустойчивость сжатой пластинки // Проблемы механики тонких деформируемых тел: Сборник: Посвящается 80-летию академика НАН Армении С. А. Амбарцумяна / Ин-т мех. НАН Армении. Ереван, 2002. - С. 61-66.

58. Белубекян М. В. Об уравнениях теории пластин, учитывающих поIперечные сдвиги // Проблемы механики тонких деформируемых тел: Сборник: Посвящается 80-летию академика НАН Армении С. А. Амбарцумяна / Ин-т мех. НАН Армении. Ереван, 2002. - С. 67-88.

59. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках -М.:Мир, 1984. 495 с.

60. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек Рига: Зинатне, 1987. - 295 с.

61. Богданович А. Е. Динамическая устойчивость упругой ортотропной цилиндрической оболочки с учетом поперечных сдвигов // Механика полимеров. 1973. № 2.

62. Богданович А. Е., Столярова JI. А. О влиянии граничных условий на частоты собственных колебаний композитных цилиндрических оболочек с заполнителем // Механика композитных материалов. 1980. № 1.-С. 62-72.

63. Бойко Д. В., Железнов Л. П., Кабанов В. В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости некруговых цилиндрических оболочек при кручении // Изв. АН. Мех. тверд, тела. РАН. 2004. №4.-С. 168-176.

64. Болотин В. В. Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин // Расчеты на прочность. М, 1965. № 11. - С. 31-63.

65. Болотин В. В. К теории слоистых сред // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 3. - С. 65-72.

66. Болотин В. В. Об изгибе плит, состоящих из большого числа слоев // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964. № 1. - С. 61-66.

67. Болотин В. В. О теориях армированных тел // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 1.

68. Болотин В. В. Основные уравнения теории армированных сред // Механика полимеров. 1965. № 2.

69. Болотин В. В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек // ПММ. 1963. т. 27. - Вып. 2. - С. 362-364.

70. Болотин В. В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек // ПММ. 1960. т. 24. - Вып. 5. - С. 831-842.

71. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости-М: Гостехиздат, 1961.-339 с.

72. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем М: Гостехиздат, 1956. - 595 с.

73. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Пластины и оболочки из армированных материалов. Основные уравнения, количественные результаты // Докл. научно-тех. конф. по итогам научно-исслед. работ МЭИ за 1966-67 гг. секция энергомаш. -М., 1967.

74. Болотин В. В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций М: Машиностроение, 1980. - 375 с.

75. Бочкарев С.А, Матвеенко В.П Решение некоторых спектральных задач многослойных оболочек вращения в рамках обобщенной теории оболочек Тимошенко // Математическое моделирование. 2000. -12.№5.-С. 55-60.

76. Братусь А. С. Кратные собственные значения в неконсервативных задачах о стабилизации упругих систем // Изв. РАН. Мех. тверд, тела.-2001. № 6.-С. 140-148.

77. Бронштейн И. Н., Семедяев К. А. Справочник по математике для инженеров М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 556 с.

78. Бублик Б.Н. Численное решение динамических задач теории пластин и оболочек Киев: Наук, думка, 1976. - 222 с.

79. Бублик Б. Н. Численное решение задач пластин и оболочек Киев: Издательство Киевского Университета, 1969. - 148 с.

80. Букашкина О. С. Нелинейные параметрические колебания конической оболочки // Вторые Поляховские чтения: Всероссийская научная конференция по механике, Санкт-Петербург, 2-4 февр., 2000: Тезисы докладов. СПб., 2000. - С. 115.

81. Букашкина О. С. Нелинейные параметрические колебания цилиндрической оболочки // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1.-2000. № 2. -С. 45-59, 139.

82. Буштырков А. А., Найда А. А. Поведение стеклопластиковых цилиндрических оболочек при действии внешнего давления // Механика полимеров. 1972. № 2.

83. Вайнберг Д. В., Ждан В. 3. Матричные алгоритмы в теории оболочек вращения Киев: Изд-во при Киев, ун-те, 1967. - 164 с.

84. Ван Фо Фы Г. А. Теория армированных материалов с покрытиями -Киев: Наук, думка, 1971. 232 с.

85. Ванин Г. А. Микромеханика композиционных материалов Киев: Наукова думка, 1985. - 304 с.

86. Ванин Г. А., Семенюк Н.П. Устойчивость оболочек из композиционных материалов с несовершенствами Киев: Наук, думка, 1987. -200 с.

87. Ванин Г. А., Семенюк Н. П., Емельянов Р. Ф. Устойчивость оболочек из армированных материалов Киев: Наук, думка, 1978. - 221 с.

88. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности М.: Мир, 1987. - 542 с.

89. Васильев В. В. Механика конструкций из композитных материалов -М: Машиностроение, 1988. 269 с.

90. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости Киев: Наук, думка, 1981. - 216 с.

91. Вильде М. В., Гуляева И. М. Изгибный граничный резонанс в системе из двух состыкованных торцами полуполос // Математика. Механика: Сборник научных трудов. Вып. 6 / Сарат. гос. ун-т. Саратов, 2004.-С. 174-176.

92. Вильде М. В., Каплунов Ю. Д. Краевой резонанс в оболочках вращений // 8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 23-29 авг., 2001: Аннотации докладов. Екатеринбург, 2001.-С. 153.

93. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике М. JL: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

94. Волков С. Д., Ставров В. П. Статистическая механика композитных материалов Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 208 с.

95. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек М.: Наука, 1972.-432 с.

96. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. 2-е изд. - М.: Наука, 1967.-984 с.

97. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / Пер. с англ. под ред. П. И. Кузнецова. М.: Наука, 1982. - 304 с.

98. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек М., 1989. - 376 с.

99. Ворович И. И., Шленев М. А. Пластины и оболочки // Механика-1963. Итоги науки. М.: ВИНИТИ, 1965. - С. 91-177.

100. Гавриленко Г. Д. Устойчивость оболочек с начальными прогибами переменной амплитуды // Доп. Нац. АН Украши. 2004. № 5. - С. 46-51.

101. Гаврилов 10. В. Определение частот собственных колебаний упругих круговых цилиндрических оболочек // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1961. № 1. — С. 163-166.

102. Галиньш А.К Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории оболочек и пластин. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1970. - Вып. 6-7 - С. 23-64.

103. Геворкян Г. 3. Свободные поперечные колебания прямоугольных ортотропных пластин переменной толщины при учете поперечных сдвигов // Изв. АН Армении. Мех. 2002. - 55. № 1. - С. 55-61.

104. Гнуни В.Ц. Анализ влияния поперечных сдвигов на характеристики жесткости, устойчивости и колебаний пологих оболочек двоякой постоянной кривизны // Изв. АН Армении. Мех. 2003. - 56. № 4. - С. 39-45.

105. Гнуни В.Ц. О параметрически возбуждаемых колебаниях слоистых анизотропных гибких оболочек // Изв. АН АрмССР. Сер. физ.-мат. Наук. 1962. - 15. № 3. - С. 29-36.

106. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1961. - 16. № 3. - С. 171-174.

107. Голушко С. К. Прямые и обратные задачт механики упругих композитных пластин и оболощек вращения: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2005.

108. Гольденблат И. И. Пластинки и оболочки из стеклопластиков М.: Высшая школа, 1970.

109. Гольденблат И. И. Динамическая устойчивость сооружений М.: Строй издат, 1948.

110. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек М.: Наука, 1976.-512 с.

111. Гольденвейзер A.JI. Методы обоснования и уточнения теории оболочек // ПММ. 1968. т. 32. - Вып. 4.

112. Гольденвейзер A. JT. Асимптотические свойства собственных значений в задачах теории тонких упругих оболочек // ПММ. 1961. т. 25. -Вып. 4.-С. 729-741.

113. Гольденвейзер A. JT. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки //ПММ. 1966.т. 30.-Вып. 1.-С. 94-109.

114. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек М.: Наука, 1979. - 383 с. библ. 154

115. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластин и оболочек: Справочник / Под ред. А. П. Филиппова. Киев: Наук, думка, 1964. -288 с.

116. Гонткевич B.C. Собственные колебания ортотропных цилиндрических оболочек // В кн.: Тр. Конф. по теории пластин и оболочек. Казань, 1961.-С. 124-129.

117. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек Киев: Наук, думка, 1964. - 288 с.

118. Горшков В. В. Анализ особенностей осесимметричного деформирования упругих композитных оболочек вращения: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2004. РАН СО Ин-т теоретической и прикладной механики, 20 с.

119. Горынин Г. J1. Метод асимптотического расщепления в задаче о колебаниях композитной балки в трехмерной постановке // Образование, наука и техника: XXI век: Сборник научных статей. Вып. 2 / Югор. гос. ун-т. Ханты-Мансийск, 2004. - С. 100-108.

120. Горынин Г. J1., Немировский Ю.В. Метод асимптотического расщепления в задаче изгиба слоистых балок на упругом основании // Но-восиб. гос. арх.-строит. ун-т (Сибстрин). Новосибирск, 2004. -№12(552).-С. 4-10.

121. Григолюк Э.И, Куликов Г. М. Пути развития теории упругих многослойных пластин и оболочек // Вестник Тамбовского ГТУ, 2005. -Т. 11. № 2А.

122. Григолюк Э. И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем // Изв. АН СССР. Отдел техн. Наук. 1957. № 1. - С. 77-84.

123. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек // Итоги науки. Сер. Механика. Механика твердых деформируемых тел. ВИНИТИ, 1969. - 348 с.

124. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек М.: Наука, 1978.-359 с.

125. Григолюк Э. И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикладная механика. 1972. - 8. № 5. - С. 517.

126. Григолюк Э.И., Куликов Г. М. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек // Механика композитных материалов. 1988. №2.-С. 287-298.

127. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин М.: Машиностроение, 1988. -288 с.

128. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. О коэффициенте сдвига в теории оболочек типа Тимошенко//Докл. РАН.-2001.-381. № 1.-С. 47-49.

129. Григолюк Э. И., Мамай В. И. Исследование статического и динамического поведения систем с пощелкиванием с помощью простейших стержневых моделей // Статика и динамика тонкостенных конструкций / Под ред. Э. И. Григолюка. М.: Изд-во МГУ, 1980. - С. 3-53.

130. Григолюк Э. И., Мамай В. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций М.: Наука. Физматлит, 1997. - 272 с. - ISBN 5-02-015170-Х.

131. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Критические нагрузки трехслойных цилиндрических и конических оболочек Новосибирск: Зап.-Сиб. кн. изд-во, 1966.-223 с.

132. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек-М.: Изд-во МГУ, 1973. -215 с.

133. Григоренко Я. М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости Киев: Наук, думка, 1973. - 228 с.

134. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек М.: Наука, 1992. - 396 с.

135. Григоренко Я. М., Крюков М. М., Иванова 10. И. Решение двумерных задач о напряженно-деформированном состоянии слоистых пологих оболочек с ортотропными слоями // Доп. Нац. АН Украши. -2003. №2.-С. 45-49.-Укр.

136. Громов А.Н. Устойчивость армированных цилиндрических оболочек с упругим заполнителем: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. СПб. гос. ун-т, Санкт-Петербург, 2001. 16 с.

137. Громыко Ю.В. Свободные колебания трехслойной кольцевой упругой пластины // Матер., технол., инструм. 2001. - 6. № 4. - С. 9-12.

138. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел Киев: Наук, думка, 1971.-275 с.

139. Гузь А. Н., Бабич И. Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек Киев: Вища школа, 1980. - 167 с.

140. Гузь А. Н., Максимюк В. А., Чернышенко I I. С. Проблемно-ориентированные функционалы в теории нелинейно-упругих композитных оболочек // Механика композитных материалов. 2002. - 38. №4.-С. 497-506.

141. Гузь А. Н., Чернышенко И. С., Шнеренко К. И., Чехов Вал. Н., Чехов Вик. Н. Цилиндрические оболочки, ослабленные отверстиями Киев: Наук, думка, 1974. - 271 с.

142. Деккер К., Вервер Я. Устойсивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений М.: Мир, 1988. -332 с.

143. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости -2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1998. 480 с. - ISBN 5-211-03641-7.

144. Демириз И. Г., Акбаров С. Д. Анализ напряжений в толстой прямоугольной пластине из композита с пространственной периодически искривленной структурой при вынужденных колебаниях // Механика композитных материалов. 2003. - 39. № 3 - С.353-364.

145. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики вып. 2 / Пер. с англ. под ред. В. Н. Жаркова. - М.: Мир, 1970. - 352 с.

146. Доннелл JT. Г. Балки пластины и оболочки М.: Паука, 1982. - 568 с.

147. Дудченко А. А., Лурье С. А., Образцов И. Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. МДТТ. -М.: ВИНИТИ, 1983.-Т. 15.-С. 3-68.

148. Елпатиевский А. Н., Васильев В. В. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов М: Машиностроение, 1972. -168 с.

149. Заманов А. Д. Собственные колебания полосы из композитного материала с локально искривленной структурой // Мех. композит, матер.-2005.-41. № 1.-С. 71-78.

150. Заруцкий В. А., Прокопенко Н.Я. Собственные колебания ребристых цилиндрических оболочек при низкой сдвиговой жесткости материала // Прикл. мех.: Международный научный журнал. 2005. -41. №4.-С. 66-74.

151. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / Пер. с англ. -М.: Мир, 1975.

152. Иванов В. А. Обзор литературы по устойчивости оболочек с упругим заполнителем // Труды семинара по теории оболочек 2. Казань, 1971.

153. Иванов В.Н., Кристиан Бок К расчету пластин н оболочек с отверстиями вариационно-разностным методом // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов. М., 2004. - Вып. 13. - С. 50-55.

154. Иванов Д. Н. Колебания и устойчивость тонких цилиндрических оболочек с криволинейным краем: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. СПб. гос. ун-т, Санкт-Петербург, 2002. 18 с.

155. Кабанов В. В. Устойчивость неоднородных цилиндрических оболочек- М: Машиностроение, 1982. 253 с.

156. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Черных К. Ф., Ша-мина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек СПб: Изд-во СПбГУ, 2002. - 386 е.: 72 ил., 3 табл. - Рус. - ISBN 5-288-02922-9.

157. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям -М.: Наука, 1971.-576 с.

158. Кан С.Н., Бырсан К. Е., Алифанова О. А. Устойчивость оболочек -Харьков: Изд-во при Харьк. ун-те, 1970. 153 с.

159. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональным анализ 3-е изд., перераб. - М.: Наука, 1984. - 752 с.

160. Кармишин А.В., Лясковец В. А. Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

161. Карнаухов В. Г., Козлов В. И., Рассказов А. О., Карнаухова О. В. Параметрические колебания трехслойной конической пьезооболочки // Мех. композит, матер. 2003 - 39. № 1. - С. 25-38.

162. Карпов В. В., Сальников АЛО. Устойчивость и колебания пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах СПб: Изд-во СПбГАСУ, 2002. - 123 е.: 19 ил., 2 табл. - Рус.

163. Киракосян P.M., Саркисян М.С. Напряженно-деформированное состояние ортотропной пластинки-полосы при учете поперечного сдвига и обжатия // Изв. АН Армении. Мех. 2003. - 56. № 3. - С. 20-29.

164. Киреев И. В. Напряженно-деформированное состояние слоистых композитных оболочек вращения: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1997. 19 с.

165. Клигман Е. П., Клигман И. Е., Матвеенко В. П. Спектральная задача для оболочек с жидкостью // ПМТФ. 2005. - 46. X» 6. - С. 128-135.

166. Кобелев В.Н., Потопахин В. А. Динамика многослойных оболочек / Отв. ред. И. И. Ворович Ростов-на-Дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1985.- 159 с.

167. Ковригин Д. А. Устойчивость упругих систем // Изв. Акад. инж. наук Рос. Федерации. 2001. № 2. - С. 85-95. - Рус.; рез. англ.

168. Козаров М. М. Динамическая устойчивость ортотропных конических оболочек от пульсирующей и гидростатической нагрузки // Теор. и прикл. мех. 1970. - 1. № 2.

169. Колпак Е. П. Устойчивость безмоментных оболочек при больших деформациях СПб: Изд-во СПбГУ, 2000. - 248 е.: ил. - Рус. - ISBN 5-7997-0218-2.

170. Коноплёв Ю.Г., Саченков А. В. Очерки истории ПИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева // Исследования по теории пластин и оболочек. 1989.

171. Коноплев Ю.Г., Тазюков Ф.Х Устойчивость упругих пластин и оболочек при нестационарных воздействиях Казань: Изд-во Казанск. ун-та., 1994.- 124 с.

172. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Под общей редакцией И. Г. Арамановича. М.: Наука, 1973.-832 с.

173. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения М: Наука, 1964. - 192 с.

174. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс М: Машиностроение, 1966. - 272 с.

175. Королев В. И. Упруго-пластические деформации оболочек М: Машиностроение, 1971.-303 с.

176. Король Е. 3. К определению форм и частот собственных колебаний анизотропных конических оболочек // Деп. в ВИНИТИ 04.04.2002, N 609-В2002 Ин-т мех. МГУ. - М., 2002. - 105 с.

177. Кравчук А. С., Майборода В. П., Уржумцев 10. С. Механика полимерных и композитных материалов М.: Наука, 1985. - 304 с.

178. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения -М.: Физматлит, 1959.

179. Кристенсен Р. Введение в механику композитов М.: Мир, 1982. -334 с.

180. Крысько В. А., Щекатурова Т. В. Хаотические колебания конических оболочек//Изв. РАН. Мех. тверд, тела.-2004. № 5. С. 153-163.

181. Кубенко В. Д., Ковальчук П. С. Влияние начальных несовершенств геометрического характера на колебания и динамическую устойчивость упругих оболочек // Прикл. мех.: Международный научный журнал. 2004. - 40. № 8. - С. 26-65.

182. Куликов Г. М. Нелинейные краевые задачи механики тонкостенных анизотропных конструкций: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. Казань, 1990.-39 с.

183. Куликов Г. М., Кулешов Ю. В. Нелинейные колебания многослойных пластин // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. н. 2004. -9. №2.-С. 264-267.

184. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой М.: Наука, 1975.-415 с.

185. Кунцевич С. П. Локальные параметрические колебания тонких оболочек: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. СПб. гос. ун-т, Санкт-Петербург, 2004. 16 с.

186. Купцов В. И. О собственных поперечных колебаниях консольных ортотропных цилиндрических оболочек // Прикладная механика. -1977.- 13. №4.-С. 38-44.

187. Купцов В. И. Об оценке влияния некоторых свойств композиционного материала на динамические характеристики цилиндрических оболочек // Прикладная механика. 1979. - 15. № 6. - С. 123-126.

188. Курпа Л. В., Онуфриенко О. Г., Шматко Т. В. Вынужденные нелинейные колебания ортотропных пластин сложной формы // Доп. Нац. АН Украши. 2005. № 3. - С. 42-46.

189. Курпа Л. В., Чистилина А. В. Исследование собственных колебаний многослойных пологих оболочек и пластин сложной формы в плане // Пробл. прочн.: Международный научно-технический журнал. -2003. №2.-С. 112-123, 157, 158.

190. Курпа Л. В., Шматко А. В. Метод R-функций в задачах о колебаниях пологих оболочек сложной формы в плане // 11аукоем. технол. -2003.-4. №8.-С. 60-67.

191. Лейзерович Г. С. Влияние начальных неправильностей на колебания круговых цилиндрических оболочек: Автореф. дне. докт. техн. наук. Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т, Комсомольск-на -Амуре, 2000.-38 с.

192. Леоненко Д.В Колебания трехслойных стержней и пластин при локальных воздействиях: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Белорус, гос. ун-т трансп., Гомель, 2004 21 с.

193. Леонтьев В. Л. Вариационно-сеточный метод решения задач о свободных колебаниях упругих пластин // Тр. Средпеволж. мат. общ-ва. 2002.-3-4. № 1.-С. 72-78.

194. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. 2-е изд. перер. и доп. -М.: Гостехтеориздат, 1967. -463 с.

195. Лопатухин А. Л. Колебания и устойчивость подкрепленных оболочек, близких к цилиндрическим: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. СПб. гос. ун-т, Санкт-Петербург, 2001. 15 с.

196. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек М.-Л., 1947.

197. Лычев С. А. Нестационарные задачи динамики для трехслойных сферических оболочек Дис. канд. физ.-мат. паук. - Защищена 1999.09.09. УДК 539.3.-261 с.

198. Ляв А. Математическая теория упругости / Пер. с англ. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 475 с.

199. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения М.: Гос-техиздат, 1950.

200. Майлыбаев А. А. Параметрический резонанс в системах с малой диссипацией // 8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 23-29 авг., 2001: Аннотации докладов. Екатеринбург, 2001. - С. 409.

201. Макаренко И. Н. Устойчивость и колебания сопряженных тонких оболочек и пластин: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. СПб. гос. ун-т, Санкт-Петербург, 2005. 17 с.

202. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функции Матье М.: Изд-во иностр. лит., 1953. - 475 с.

203. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения М.: Наука, 1966.

204. Малмейстер А.К, Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление полимерных и композитных материалов Рига: Зинатне, 1980. - 571 с.

205. Малмейстер А.К, Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление жестких полимерных материалов Рига: Зинатне, 1972. - 571 с.

206. Масленников A.M. Основы динамики и устойчивости стержневых систем М.; СПб: Изд-во АСВ: Изд-во СПбГАСУ, 2000. - 203 е.: 115 ил., 7 табл. - Рус. - ISBN 5-93093-071 -6.

207. Матвеев К. А., Пустовой Н. В. Вариационные методы исследования устойчивости анизотропных пластин при темперлтурпо-силовом на-гружении Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. - 368 е.: ил. -(Моногр. НГТУ). - Рус. - ISBN 5-7782-0447-7.

208. Мейш В.Ф., Кравченко Н. В. Неосесимметричпые колебания неоднородных многослойных дискретно подкрепленных цилиндрических оболочек при нестационарных нагрузках // I рикл. мех. (Киев). -2003.-39. №9.-С. 88-95.

209. Мейш В.Ф., Луговой П. 3., Штанцель С.Э. Вынужденные нестационарные колебания трехслойной цилиндрической оболочки с продольно-поперечным дискретным ребристым наполнителем // Прикл. мех.: Международный научный журнал. 2005. - 41. № 2. - С. 60-67.

210. Мейш В. Ф., Хамренко 10. А. Сравнительный анализ динамического поведения трехслойных оболочек в рамках прикладных теорий принестационарных нагружениях // Прикл. мех. (Киев). 2003. - 39. № 7.-С. 123-130.

211. Мейш В.Ф., Шульга Н.А. Вынужденные колебания трехслойных сферических и эллипсоидальных оболочек при осеснмметричных нагрузках // Мех. композит, матер. 2003. - 39. № 5. - С. 659-670.

212. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения 1987.

213. Миргородский А. В. Численное исследование колебаний однослойных и многослойных оболочек в геометрически нелинейной постановке: Автореф. дис. канд. техн. наук. Моск. гос. строит, ун-т, Москва, 2004. 23 с.

214. Михайловский Е.И. Игнорирование гипотез Кирхгофа в нелинейной теории жесткогибких оболочек // Нелинейн. пробл. мех. и физ. де-формир. тверд, тела СПб. гос. ун-т., 2000. 2. - С. 131-160.

215. Михайловский Е. И. Некоторые модели и методы нелинейной механики тонких упругих оболочек // Нелинейп. пробл. мех. и физ. де-формир. тверд, тела СПб. гос. ун-т., 2001. - № 4. - С. 42-56.

216. Михайловский Е.И. , Черных К.Ф. Развитие механики оболочек в трудах школы академика В. В. Новожилова // Успехи механики. -2003. №3.- С. 87-126.

217. Михайловский Е. И., Черных К. Ф. Актуальные задачи нелинейной механики тонких упругих оболочек // Нелинейп. пробл. мех. и физ. деформир. тверд, тела. СПб. гос. ун-т., 1998. - Л1» 1. - С. 234-255, 260, 265.

218. Михлин С. Г. Вариационное методы в математической физике М.: Наука, 1970.-512 с.

219. Мишенков Г. В. О динамической устойчивости пологих упругих оболочек//Инженерный журнал- 1961. 1. № 2. -С. 112-118.

220. Мовсисян JI. А., Нерсисян Г. Г. Об устойчивости вязкоупругой цилиндрической оболочки при движущейся нагрузке // Изв. АН Армении. Мех. 2003. - 56. № 2. - С. 28-32.

221. Муштари X. М. Нелинейная теория оболочек М.: Паука, 1990. -223 с.

222. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек -Казань: Таткнигоиздат, 1957.-431 с.

223. Мэттьюз Ф., Ролингс Р. Композитные материалы. Механика и технология М.: Техносфера, 2004. - 407 с.

224. Нарусберг В. JI. О параметрических колебаниях ортотропной цилиндрической оболочки с упругим заполнителем. I .Постановка задачи // Механика полимеров. 1974. № 3. - С. 470-478.

225. Нарусберг В. JI. Устойчивость и оптимальное проектирование ортотропных цилиндрических оболочек с заполнителем при осевом сжатии: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Рига, 1975. 23 с.

226. Нарусберг В. JI., Тетере Г. А. Устойчивость и оптимизация оболочек из композитов Рига: Зинатне, 1988. - 297 с.

227. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучивание конструктивно анизотропных и неоднородных оболочек и пластин // Итоги науки и техники. МДТТ. -М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 9. - С. 5-154.

228. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин // Механика полимеров. 1972. 5. - С. 861873.

229. Немировский Ю.В. Об упругопластическо.м поведен::;! армированного слоя // ПМТФ. 1969. № 6. - С. 81-89.

230. Немировский Ю.В. Уравнения изгиба и устойчивости армированных оболочек и пластин из вязкоупругого материала // Динамика сплошной среды. Вып. 4. Новосибирск: Изд-во ий-,л гидродинамики СО РАН, 1970. - С. 50-63.

231. Немировский Ю.В., Андреев А.Н. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек // Тр. межд. симпозиума «Тонкостенные элементы и строительные конструкции», Лод-л», 1976. № 5. - С. 191-218.

232. Немировский Ю.В., Резников Б. С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов Новосибирск: Hay; i. Сибирское отделение, 1986.- 165 с.

233. Немировский Ю.В., Самсонов В. И. Устойчивость слоистых композитных оболочек при динамическом нагружен и и // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Мат*, риал и -го Всесоюз. симпоз. Калинин, 1986.-С. 138-143.

234. Немировский Ю. В., Самсонов В. И., Шульгин А. В. Динамическая термоустойчивость композитных оболочек слоистой структуры // ПМТФ. 1995. - 36. № 5. - С. 164-172.

235. Нерубайло А. Б., Нерубайло Б. В. Обобщение уравнении Власова для цилиндрической оболочки на случай трапсверсалыь изотропного материала // Прикл. мех. и техн. физ. 2005. - 46. № 4. - С. 125-132.

236. Никабадзе М. У. Современное состояние многослойпчх оболочеч-ных конструкций //Деп. в ВИНИТИ 30.12.2002. N 228v32002. МГУ. -М., 2002.-80 с.

237. Никулин М.В. Собственные колебания гладких и конструктивно-анизотропных цилиндрических оболочек при наличп: статических нагрузок // В кн.: Прочность и динамика авпап.:онны.\ вигателей. -М.: Машиностроение, 1965.-Вып. 2-С. 52-128.

238. Новичков 10. Н. Нелинейная теория и устойчивость и :стых многослойных оболочек // Прикладная математика и меха! са. 1973. -37. №3.-С. 532-543.

239. Новичков Ю.Н. Распространение волн в слоистых цилиндрических оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. Л1> 2. - С. 51 - ■ ).

240. Новожилов В. В. Краткий очерк развития Teopi.ii обо:; ек в СССР // Исследования по теории оболочек и пластин. Каза;:. : Изд-во Казан. ун-та, 1970. - Вып. 6-7 - С. 5-22.

241. Новожилов В. В. Расчет оболочек тел вращения // ] .', АН СССР, ОТН. 1946. № 7. - С. 949-962.

242. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек 2-е изд. ист. и доп. - JL: Судостроение, 1962.-431 с.

243. Новожилов В. В. Теория упругости -JL: Судпромгиз, 1 • 56. 372 с.

244. Новожилов В. В. Развитие метода комплексного преобразования в линейной теории оболочек за 50 лет // Теория оболоче и пластин. -Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1964. С. 107-115.

245. Новожилов В. В. О перспективах феноменологически о подхода к проблеме разрушений // Механика деформируемых тс. , и конструкций. М.: Машиностроение, 1975. - С. 349-359.

246. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. . шейная теория тонких оболочек- JL: Политехника, 1991. 656 с.

247. Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. Л. Оптимн. ,ное армирование оболочек вращения из композитных материало М: Машиностроение, 1977. - 144 с.

248. Огибалов П. М. Изгиб, устойчивость и колебания пл: тинок М.: Изд-во МГУ, 1958.-389 с.

249. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости с шочек М.: Изд-во МГУ, 1963.-420 с.

250. Огибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчпвость i: лстин и оболочек М.: МГУ, 1968. - 520 с.

251. Огибалов П. М., Колтунов М.А. Оболочки и пластиш М.: Изд-во МГУ, 1969.-695 с.

252. Огибалов П. М., Ломакин В. А., Кишкин Б. П. Механик полимеров -М.: Изд-во МГУ, 1975. 520 с.

253. Огибалов П. М., Суворова 10. В. Механика армирован, ix пластиков М.: Изд-во МГУ, 1965. - 480 с.

254. Окладникова Е. В. Колебания и устойчивость пологих трехслойных оболочек с изломами поверхности: Автореф. дне. . ка: д. техн. наук. СПб. гос. архит.-строит. ун-т, Санкт-Петербург. 2005. 23 с.

255. Павилайнен В.Я. Развитие теории оболочек в трудах ii.B. Новожилова // В сб.: Тр. науч.-техн. конф. «Новожиливские 1: гения». СПб, ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1988. -С.47-53.

256. Паймушин В.Н. Классические и неклассичес;сие зад: чи динамики трехслойных оболочек с трансверсально-мягкпм зш олнителем // Мех. композит, матер. -2001. 37. № 3. - С. 289-306.

257. Паймушин В.Н., Иванов В. И., Хусаинов В. Р. Анализ свободных и собственных колебаний трехслойной пластины на осн. не уравнений уточненной теории // Мех. композиц. матер, и констру • шй. 2002. -8. №4.-С. 543-554.

258. Паймушин В. Н., Луканкин С. А. Классификация мпоп алойных оболочек по геометрическим параметрам, характерпзуь ;цим относительные толщины слоев и их изменяемость // 1-естп. И .жегород. унта. Сер. Мех. 2002. № 1. - С. 86-95. - Рус.; рез. англ.

259. Паймушин В.Н., Хусаинов В. Р. Уточненная теория трехслойных пластин и оболочек для исследования динамических .фоцессов деформирования с большими показателями измен иемост:: // Мех. композиц. матер, и конструкций. -2001. 7. № 2. - С. 215-235.

260. Паймушин В.Н., Хусаинов В.Р. Уравнения и классификация свободных и собственных колебаний симметричных по -i шщине трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполни:елем // Мех. композиц. матер, и конструкций. -2001. 7. Л1' 3. - С. Г 10-317.

261. Паймушин В.Н., Шалашилин В. И. Уточненные ураг.п пия среднего изгиба трехслойных оболочек и сдвиговые фг.шы по ери устойчивости // Докл. АН. 2003. - 392. № 2. - С. 195-200.

262. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью -Киев: Наук думка, 1982. 248 с.

263. Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек Киев: Наук, думка, I ''SO. - 214 с.

264. Пелех Б. Л., Тетере Г. А. О динамическом изгибе пластинок, слабо сопротивляющихся сдвигу // Механика полимеров. 1968. № 4.

265. Петрушева И.И. Свободные колебания упругого многослойного сферического пояса // Вестник КузГТУ. 2005. ,Vi 1(45). - С. 10-16.

266. Петрушева И. И. Определение областей динамической неустойчивости слоистой упругой цилиндрической оболокли при осевом нагру-жении //Вестник КузГТУ. -2006. № 1(52). С. 7-14.

267. Петрушева И. И. Свободные колебания упруi ii .многослойной цилиндрической оболочки // Вестник КузГТУ. 1 ЮЗ. Л!: 3. - С. 9-17.

268. Пикуль В. В. Теория и расчет оболочек враще! ля -М.: Наука, 1982. -158 с.

269. Пикуль В.В. Современные проблемы механик:: оболочек // Проблемы механики тонких деформируемых тел: С.-орник: Посвящается80.летию академика НАН Армении С. А. Амбпрцум.ша / Ин-т мех. НАН Армении. Ереван, 2002. - С. 250-258.

270. Пикуль В. В. Современное состояние и перспективы развития теории оболочек // Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций: Сб. науч. тр. / Ин-т автомат, и процессов yi:p. ДВО РАН. -Владивосток, 1998. С. 27-44.

271. Победря Б. Е. Механика композитных материалов М.: Изд-во МГУ, 1984.-336 с.

272. Победря Б.Е. Численные методы в теории yi; лтосш и пластичности: Учебное пособие. 2-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1995. - 366 с. -ISBN 5-211-03077-Х.

273. Поляков В. А., Розе А. В., Хитров В. В. Осеснмметричиый изгиб и выпучивание круглых пластин, из материалов, армированных волокнами // Тр. VII Всесоюз. конф. по теории плас.пп и оболочек. М., 1970.

274. Прусаков А. П. Основные уравнения изгиба . устойчивости ортотропных трехслойных пластин с легким заполнителем // Изв. вузов. Строительство и архит. 1960. № 5. - С. 9-17.

275. Рассказов А. О. К теории колебаний многое ойпь:х ортотропных оболочек // Прикладная механика. 1977. - 13. ли 8. - с. 23-29.

276. Рассказов А. О., Соколовская И. И., Шульга 1-1. А. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек Киев: З':мца шк., 1986. -191 с.

277. Рейснер Э., Фынь Юань-чжен, Секлер Е. Е. Упругие оболочки М.: Иностранная литература, 1962. - 152 с.

278. Релей Д. В. Теория звука. Т. 1. М.: Гостехиздп v, 1940. - 499 с.

279. Рикардс Р. Б. Методы конечных элементов в теории оболочек и пластин Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

280. Рикардс Р.Б., Тетере Г. А. Устойчивость оболочек из композитных материалов Рига: Зинатне, 1974. - 310 с.

281. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы р.-шепим краевых задач /Под ред. Б.М. Будака и А. Д. Горбунова. Мл Мир, 1972.-418 с.

282. Розе А. В., Хитров В. В. Устойчивость кольцевых трансверсально-изотропных пластин, слабо сопротивляющихся сдвигу // Механика полимеров. 1969. № 5.

283. Сабирова Р. С. Собственные колебания анизофопной цилиндрической оболочки // В кн.: Исследования по теоркл пласлш и оболочек. Казань, 1967. Вып. 5. - С. 424-432.

284. Самсонов В.И. Нелинейное деформирование и устойчивость КМ-оболочек при статических и динамических воздействиях: Автореф. . докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1994. 3- с.

285. Самсонов В. И. Оптимизация частот свободш ч колебаний армированной цилиндрической оболочки //В кн.: Дики мпка сплошной среды. Новосибирск, 1979.-№43.-С. 173-177.

286. Самсонов В. И., Шульгин А. В. Об устойчивости композитных оболочек при термодинамических нагружениях /. Изв. лузов. стр-во. -2001. №2-3.-С. 27-31, 145.

287. Сегерлинд JT. Применение метода конечных элементов / Пер. с англ. -М.: Мир, 1979.-392 с.

288. Семенюк Н. П. Об уравнениях геометрически нелинейной теории оболочек типа Тимошенко // Прикладная механика. 1978. - 14. №2.-С. 128-132.

289. Сеницкий 10. Э. Теорема разложения по собственным вектор-функциям в динамической теории упругости // Вестник СамГТУ, Механика. 2000. № 4.

290. Сеницкий 10. Э., Козьма И. Е. К решению осесммметричной динамической задачи для неоднородной по толщине цилиндрпческой оболочки с конечной сдвиговой жесткостью // Изв. вузов, стр-во. 2005. №2.-С. 8-18.

291. Сибиряков А. В. Динамика слоистых пластин и оболочек при импульсном нагружении: Автореф. дис. докт. техн. наук. МАТИ, Москва, 2003.-29 с.

292. Синицын Е. Н. Методическое и программное обеспечение расчетов на устойчивость // 2 Науч. конфер. по механике и прочности конструкций, посвященная 80-летию академика Е. А. I Гегина. Саров, 10-12 янв., 2001: Сборник докладов. Саров, 2002. - С. 53-63.

293. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Прочность армированных пластиков -М.: Химия, 1982.-213 с.

294. Слепцов А.Г., Шепеленко В.Н. Пакет программ решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Препринт № 8-88. СО АН СССР. ИТПМ. Новосибирск, 1988.

295. Слепян JI. И., Черных К. Ф. Механика сплошных сред и конструкций в трудах академика В. В. Новожилова М.: ! !зд-во Ин-та проблем механики АН СССР, 1985. препринт № 247. - :: 8 с.

296. Соколкин 10. В., Ташкинов А. А. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных сред М.: Наука, 1984. - 115 с.

297. Старовойтов Э.И., Громыко Ю.В. Резонансные колебания кольцевой трехслойной пластины // Матер., технол., лнетрум. 2004. - 9. № 1.-С. 7-10.

298. Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В., Яровая A. Ii. Колебания круглых трехслойных пластин под действием поверхностных нагрузок различной формы // Пробл. прочн. 2003. № 4. - (32-39, 150.

299. Стретт М. Д. О. Функции Ламе, Матье и родст енные им в физике и технике Харьков-Киев: ОНТИ, 1935. - 238 с.

300. Тамуж В. П., Тетере Г. А. Изгиб и устойчивое . i> нелинейно-упругих ортотропных пластинок // Изв. АН ЛатвССР. ( ер. физ. п тех. наук. -1965. №6.

301. Тарануха Н. А., Лейзерович Г. С. Динамика < неправильных оболочек» Владивосток: Дальнаука, 2005. - 423 е.: лл. - Рус.; рез. англ. -ISBN 5-8044-0522-5.

302. Тарнопольский 10. М. Прикладные задачи тесрии упругости конструктивно-анизотропного материала-Докт. дне -М., \\)<-1.

303. Тарнопольский Ю.М., Розе А. В. Особенности расчета деталей из армированных пластиков Рига: Зинатне, 1969.

304. Ташкинов А. А., Соколкин Ю. В., Вильдеман Е. Э. Механика неупругого деформирования и разрушения композит юнных материалов -М.: Наука, Физматлит, 1997. 288 с.

305. Тетере Г. А. Влияние ортотропии материала на устойчивость неупругих пластинок с учетом деформации попере :ных сдвггов // Механика полимеров. 1965. № 2.

306. Тетере Г. А., Пелех Б.Л. Устойчивость анизооопных г ллогих сферических оболочек при ползучести с учетом деформап 1Й поперечных сдвигов // Механика полимеров. 1966. JM1 6.

307. Тетере Г. А. Тамуж В. П., Лагздинь А. Ж., Кре-ерс А.Ф. Метод ори-ентационного усреднения в механике матери .лов Р;: а: Зинатне, 1989.- 189 с.

308. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пл::отин и оболочек. Избранные работы-М.: Наука, 1971. -807 с.

309. Тимошенко С.П. Статические и динамически^ проблем:; теории упругости Киев: Наукова думка, 1975. - 563 с.

310. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов ко .струкций -М.: Наука, 1975.-704 с.

311. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки ; оболочки -Пер. с англ. М.: Наука, 1966. - 635 с.

312. Товстик П.Е. О плотности частот колебании тонких (-Волочек вращения // ПММ. 1972. т. 36. - Вып. 2. - С. 291-300.

313. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптг (ческие методы М.: Наука, 1995. - 320 с.

314. Троценко Ю.В. О применении модели балки Тимошек;•:■•> в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндр: ческой оболочки с присоединенным твердым телом // Акуст. Bicn. 2003. - 6. № 4. - С. 54-64.

315. Трушин С. И. Определение собственных частот и фо; колебаний пластин из композиционного материала методом итер щий в подпространстве // Вестн. Рос. ун-та дружбы народов. Сер. ! иж. исслед. 2002. № 1.-С. 102-106.

316. Угодчиков А. Г., Хуторянский Н.М. Метод конечны;: лементов в механике деформируемого твердого тела 1986. - 295 с.

317. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственны, значений -М.: Наука, 1970

318. Филин А. П. Элементы теории оболочек. 3-е изд. JL: ^тройиздат, 1987.-383 с.

319. Филиппов А.П., Кохманюк С. С., Янютин Е.Г. Деф. рмирование элементов конструкций под действием ударных и им л 'льсных нагрузок Киев: Наук. Думка, 1978. - 184 с.

320. Флюгге В. Статика и динамика оболочек / перевод с не:: под ред. А. П. Филина-М.: Госстройиздат, 1961.-306 с.

321. Фомин В. П. Устойчивость слоистой пластинки. Анал теорий поперечного сдвига третьего порядка // Тр. ЦАГИ. 2002. - № 2658. -С. 173-185.

322. Хамренко К).А Нестационарные колебания трехслойных оболочек вращения при осеснмметричных нагрузках: Автореф. ,с. . канд. физ.-мат. наук. 1н-т мехашки iM. С.П.Тимошенка НАН краши. Киев, 2001. 16 с.

323. Хечумов Р. А., Кепплер X., Прокопьев В. И. Ирименек; метода конечных элементов к расчету конструкций Нз-во АСВ. . '94. - 352 с.

324. Челомей В.Н. Динамическая устойчивость элементов • чационных конструкций Изд-во Аэрофлот, 1939.

325. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость М.: Наука, 1988. -180 с.

326. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек, ч. 2 Некоторые вопросы теории Л.: Изд-во ЛГУ, 1964. - 395 с.

327. Черных К. Ф. Простой краевой эффект и расчленение граничных условий в линейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР. Механика.-1965. № 1.-С. 89-98.

328. Четаев Н. Г. Устойчивость движения М.: Гостехиздат, 1955.

329. Шарыпов Д. В. Колебания и устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. СПб. гос. ун-т, Санкт-Петербург, 2001. 16 с.

330. Шереметьев М. П., Пелех Б. Л. К построению уточненной теории пластин // Инж. журнал. 1964. - 4. № 3.

331. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред М.: Наука, 1977.-339 с.

332. Шиповский И. Я., Хованец В. А., Машков А. В., Лукасик В. А. Численные методы расчета оболочек // Деп. в ВИНИТИ 19.10.2001, N2190-B2001 -Волгогр. гос. техн. ун-т.-Волгоград, 2001.-23 с.

333. Шкутин Л. И. Численный анализ осесимметричных форм выпучивания конических оболочек // Прикл. мех. и техн. физ. 2001. - 42. №6. -С. 159-165.

334. Шмидт Г. Параметрические колебания / Под ред. М. 3. Литвина-Седого. М.: Мир, 1978. - 336 с.

335. Эшматов Б.Х. Динамическая устойчивость вязкоупругих пластин при возрастающих сжимающих нагрузках // ПМТФ. 2006. - 47. №2.-С. 165-175.

336. Якубович В. А., Стражинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах М.: Наука, 1987. - 328 с.

337. Якубович В.А., Стражинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения -М.: Наука, 1972.-718 с.

338. Якушев В. Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек М.: Наука, 2004. - 278 с. - Рус. - ISBN 5-02-032837-5.

339. Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970. - 670 с.

340. Прочность и жесткость тонкостенных конструкций: Сб. трудов / Ред. И. Г. Терегулов. Л., 1975. - 218 с.

341. Вибрации в технике: Справочник в 6 т., Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машинострние, 1978. - 352 с.

342. Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ в 2 т / Под ред. А. П. Филина. Л.: Судостроение, 1974. - Т. 1. - 308 е.; Т. 2. - 312 с.

343. Численные и экспериментальные методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций летательных аппаратов: Те-мат. сб. науч. тр. МАИ / Пред. ред. коллег. И. Ф. Образцов. М., 1983.-85 с.

344. Композитные материалы: в 8 т. Т. 2: Механика композиционных материалов / Под ред. Дж. Сендецки пер. с англ. Под ред. JI. Браутмана. -М.: Мир, 1978.-564 с.

345. Композитные материалы: в 8 т. Т. 2: Механика композиционных материалов / Под ред. В. В. Васильева и Ю. М. Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990. - 510 с.

346. Методы сеток и начальных параметров в задачах устойчивости и колебаний: Учебное пособие / Н. П. Абовский, В. И. Савченков. -Красноярск, 1969.

347. Актуальные проблемы механики оболочек Казань: Нов. Знание, 2000. - 486 е.: ил. - Рус. - ISBN 5-89347-068-0.

348. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций: Учебное пособие / В. П. Агапов. М.: Изд. АСВ, 2000. - 152 с.

349. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов: Учеб. пособие для студентов авиац. спец. Вузов / И. Ф. Образцов, JI.M. Савельев, X. С. Хазанов. М.: Высш. шк., 1985. -392 с.

350. Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток: Учебное пособие / В. В. Чуватов. Свердловск: Издание УПИ, 1972.

351. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: Учебное пособие / С. К. Годунов. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1994. - N. 1: Краевые задачи. - 264 с. - ISBN 5-7615-0014-0.

352. Сборник «Инженерные сооружения и строительная механика», изд-во «Путь», 1924.

353. Сборник «Исследование колебаний конструкций», ДНТВУ, 1935.

354. Труды Азерб. Гос. Ун-та, сер. Матем. 1942. - Вып. 1.

355. Arnold R.N., Warburton G. B. The flexural vibrations of thin cylinders // Proc. Inst. Mech. Eng. Ser. A 1953.-Vol.167. № l.-P. 62-74.

356. Bert C.W. Vibration of composite structures /7 In: Recent advences in structure dynamics. Papers intern, conf. Southampton. 1980. - Vol. 2. -P. 693-712.

357. Bert C. W., Baker J. L., Egle D. M. Free vibrations of multilayer anisotropic cylindrical shells // J. Composite Materials. 1969. - Vol. 3. №3.-P. 480-499.

358. Dong S.B., Tso F.K.W. On a laminared orthotopic shells theory, including transverse shear deformation // J. Appl. Mech. Trans. ASME Ser. E. 1972. - Vol.94. № 4. - P. 1091 -1097.

359. Flugge W. Die Stabilitat der Kreiszylinderschale // Jng. Arch. 1932. - 4. №5.-P. 463-506.

360. Forsberg K. Influence of boundary conditions on the modal characteristics of thin cylindrical shells // AIAA J. 1964. - Vol. 2. № 2. -P. 2150-2157.

361. Greenberg J.B., Stavsky Y. Buckling and vibration of orthotropic composite cylindrical shells // Acta. Mech. 1980. - Vol.36. №1/2-3/4. -P. 15-29.

362. Greenberg J. В., Stavsky Y. Vibrations of laminated filamend-wound cylindrical shells //AIAA J. 1981.-Vol.19. № 8. - P. 1055-1062.

363. Jones R. M. Morgan H. S. Buckling and vibration of cross-ply laminated circular cylindrical shells // AIAA J. 1975. - Vol. 13. № 5. - P. 664-671.

364. Mirsky I. Vibrations of orthotropic, thick, cylindrical shells J. Acoustical Soc. Amer. - 1964. - Vol.36. №1. -P. 41-51.

365. Reisner E. On the theory of bending of elastic plates // J. Math. A. Phys. -23. 1944.-P. 1.

366. Reisner E. Stresses and small displacements of shallow spherical shells // J. Math. A. Phys. 25. 1946. - P. 80-85.

367. Timoshenko S. P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibration of prismatic bars // Rhylos. Mag. 1921. - Vol. 41.-Pp 744-746.

368. Timoshenko S. P. Theory of plates and shells New York. Mc Graw-Hill, 1940.-440 p.

369. Ugrimov S.V. Обобщенная теория многослойных пластин. Generalized theory of multilayer plates // Int. J. Solids and Struct. 2002. -39. №4.-P. 819-839.-Англ.

370. Warburton G. B. Vibrations of thin cylindrical shells // J. Mech. Eng. Sci 1965. - Vol. 7. № 4. - P. 399-407.

371. Weingarten V.I. Free vibrations of multilayered cylindrical shells // Experimental Mech. 1964. - Vol. 4. № 7. - P. 200-205.

372. Zhou D., Cheung Y.K., Kong J. Free vibration of thick, layered rectangular plates with point supports by finite layer method // Int. J. Solids and Struct.-2000.-37. № Ю.-Р. 1483-1499.-Англ.