Изгиб, устойчивость и колебания многослойных анизотропных оболочек и пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО'И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО-ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

/ - • С- ч. ^ ^ — 'С?

Кемеровский государственный университет

На правах рукописи УДК 539.3

АНДРЕЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

ИЗГИБ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

г , , ., ^зидиум ВАК России .1.

[ .Научный консультант:

|! присудил ученую степень ДОКТС

I' / .„ профессор Ю.В.Немировский

^^_наук |

^.изико-математических наук,

I I 1.Л ' I I 1 и.

-тлы-шк управления ВАК России !

Кемерово 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение........................................ 5

Глава 1. ТЕНЗОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК........................ 25

1.1. Элементы теории поверхностей и тензорного исчисления ... 25

1.2. Определяющие уравнения упругих однородных и конструктивно неоднородных армированных сплошных сред.............. 40

1.3. О критериях прочности композитных материалов........ 54

1.4. Кинематика деформирования многослойной анизотропной оболочки. Соотношения между деформациями и перемещениями..... 61

1.5. Уравнения равновесия слоистой анизотропной оболочки. Краевые условия......................................... 74

1.6. Уравнения устойчивости слоистых оболочек . . .......... 93

1.7. Уравнения динамики многослойных оболочек...........104

1.8. Уравнения теории многослойных оболочек в системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности................109

1.9. Осесимметричная деформация оболочек вращения........118

1.10. О некоторых других вариантах неклассических дифференциальных уравнений теории многослойных оболочек.............127

Глава 2. СЛОИСТЫЕ ДЛИННЫЕ ПЛАСТИНКИ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПАНЕЛИ...................................148

2.1. Цилиндрический изгиб длинной прямоугольной пластинки. Сравнительный анализ структуры решений...................149

2.2. Цилиндрический изгиб длинной прямоугольной пластинки. Численные результаты................................ 172

2.3. Устойчивость длинной прямоугольнай пластинки ....... 177

2.4. Изгиб длинной цилиндрической панели.............. 184

2.5. Устойчивость длинной цилиндрической круговой панели ... 194 Глава 3. МНОГОСЛОЙНЫЕ ПЛАСТИНКИ.................204

3.1. Уравнения изгиба слоистых упругих трансверсально изотропных пластин симметричного строения.......................205

3.2. Осесимметричный изгиб слоистой круговой пластинки.....217

3.3. Уравнения устойчивости слоистых упругих трансверсально изотропных пластин.................................. 225

3.4. Устойчивость круговой пластинки................... 231

3.5. Устойчивость круговой пластинки (продолжение)........ 237

3.6. Фундаментальное решение дифференциальных уравнений изгиба

трансверсально изотропной упруглй пластинки.......v.....246

Глава 4. МНОГОСЛОЙНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ . . 254 4.1. Уравнения статики многослойной цилиндрической оболочки . 254 4.2 Осесимметричный изгиб ортотропной цилиндрической оболочки . .

...............................................257

4.3. Устойчивость многослойной цилиндрической оболочки при внешнем давлении.....................................290

Глава 5. МЕТОДЫ ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИКИ, УСТОЙЧИВОСТИ И ДИНАМИКИ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.....................................310

5.1. Предварительные замечания ..........".............310

5.2. Численное интегрирование линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом инвариантного погружения......................................315

5.3. О численном интегрировании линейных краевых задач устойчивости и свободных колебаний слоистых оболочек вращения......328

5.4. Численное определение матрицы Х'рина линеаризованных краевых задач теории слоистых оболочек вращения методом инвариантного погружения ....................................... 336

5.5. Нелинейные задачи............................. 355

Глава 6. МНОГОСЛОЙНЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ...... 358

6.1. Нелинейные уравнения динамики многослойной ортотропной конической оболочки.................................358

6.2. Осесимметричный изгиб многослойной композитной ортотропной конической оболочки............................... 363

6.3. Задача прочности многослойной композитной ортотропной конической оболочки в геометрически нелинейной постановке..... 378

6.4. Свободные колебания слоистой композитной ортотропной конической оболочки..............................«у..... 388

6.5. Устойчивость слоистой композитной конической оболочки при равномерном внешнем давлении....................... 404

6.6. Устойчивость многослойной композитной ортотропной конической оболочки при неравномерном по угловой координате внешнем давлении ........................................... 419

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................. 435

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................ 440

ВВЕДЕНИЕ

В течение последних десятилетий тонкостенные анизотропные слоистые пластинки и оболочки являются объектом многочисленных и разнообразных исследований. Такие пластинки и оболочки представляют собой основные несущие элементы ответственных инженерных конструкций и сооружений, применяемых в современной авиационной и ракетной технике, судостроении, энергетическом и химическом машиностроении и т.д. Жесткие условия их эксплуатации - экстремальные статические и динамические режимы нагружения, химически агрессивные среды, радиационные воздействия и т.д., в сочетании с ограничениями по весу и необходимостью обеспечения полной надежности, предъявляют повышенные требования к используемым конструкционным материалам. Наиболее полно этим требованиям удовлетворяют композитные материалы, широкие возможности варьирования внутренней структуры которых предоставили конструктору эффективный инструмент целенаправленного управления параметрами тонкостенных оболочечных систем и открыли путь к созданию рациональных облегченных конструкций, наилучшим образом отвечающих всем особенностям режима их эксплуатации. Внедрение композитов в тонкостенные несущие элементы конструкций и их широкое использование в разнообразных изделиях современной техники выявили необходимость учета новых факторов и поставили перед учеными и специалистами ряд принципиально новых важных задач как механики композитных материалов, так и механики конструкций на их основе. К таким факторам, в значительной степени определяющим несущую способность композитных оболочек, следует отнести резко выражен-

ную анизотропию деформативных свойств армированного материала и его низкое сопротивление трансверсальным деформациям. Классическая теории оболочек пренебрегает такими деформациями, что потребовало отказа от традиционных расчетных схем и разработки уточненных математических моделей деформирования тонкостенных слоистых систем. Поэтому создание новых и развитие существующих уточненных методов расчета слоистых анизотропных пластин и оболочек, их апробация и определение границ применимости является важной и актуальной задачей.

Построению теории многослойных оболочек и ее применениям к решению разнообразных конкретных задач посвящена обширная литература. Создание и развитие этой теории связано с именами таких ученых, как H.A. Алфутов, С.А. Амбарцумян, И.Ю. Бабич, А.Е. Богданович, В.В. Болотин, Г.И. Брызгалин, Г.А. Ванин, А.Т. Василенко, В.В. Васильев, В.Е. Вериженко, К.З. Галимов, М.С. Танеева, М.С. Герштейн, Э.И. Григолюк, Я.М. Григоренко, А.Н. Гузь, В.М. Корнев, В.И. Королев, В.Д. Кошур, В.А. Крысько, Г.М. Куликов, А.К. Мал-мейстер, B.JI. Нарусберг, Ю.В. Немировский, Ю.Н. Новичков, И.Ф. Образцов, В.Н. Паймушин, Б.Л. Пелех, В.В. Пикуль, В.Г. Пискунов, A.B. Плеханов, Б.Г. Попов, В.Д. Протасов, А.П. Прусаков, А.О. Рассказов, А.Ф. Рябов, В.И. Самсонов, Н.П. Семенюк, В.П. Тамуж, А.Г. Терегулов, Г.А. Тетере, А.Н. Ульяшина, Л.П. Хорошун, В.Е. Чепига, П.П. Чулков, R.M. Christensen, L. Librescu, J.N. Reddy, E. Reissner и многие другие. Ими составлены варианты основных дифференциальных уравнений и соответствующих краевых условий, даны постановки задач прочности, устойчивости, динамики композитных слоистых оболочек, разработаны методы их решения, решены многие конкретные задачи. Результаты исследований по теории слоистых пластин и обо-

лочек обобщены в монографиях H.A. Алфутова, H.A. Зиновьева, Б.Г. Попова [5], С.А. Амбарцумяна [6, 8, 9], А.Е. Богдановича [42], В.В.Болотина и Ю.Н. Новичкова [51], Г.А. Ванина, Н.П. Семенюка, Р.Ф. Емельянова [61], Г.А. Ванина и Н.П. Семенюка [63], В.В. Васильева [68], Ш.К. Галимова [87], Э.И. Григолюка и П.П. Чулкова [107, 108], Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [111], Я.М. Григоренко и

A.Т. Василенко [116], Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Г.П. Голуб [117], Я.М. Григоренко и H.H. Крюкова [118], А.Н. Елпатьевского и

B.В. Васильева [130], В.И. Королева [147], B.JI. Нарусберга и Г.А. Те-терса [181], И.Ф. Образцова, В.В. Васильева, В.А. Бунакова [197], Б.Л. Пелеха [], Б.Л. Пелеха и A.A. Сяського [210], Б.Л. Пелеха и В.А. Лазько [211], В.В. Пикуля [213, 214, 215], В.Г. Пискунова и В.Е. Ве-риженко [218], А.О. Рассказова, И.И. Соколовской, Ж.А. Шульги [243], Р.Б. Рикардса и Г.А. Тетерса [246], А.Ф. Рябова [250], Ю.М. Тарнопольского [271], И.Ю. Хомы [295] и др.

В систематизации и классификации подходов к выводу вариантов уточненных уравнений слоистых анизотропных пластин и оболочек, учитывающих трансверсальные деформации и составленных разными авторами, существенную роль сыграли обзорные публикации А.Я. Александрова и Л.М. Куршина [3], С.А. Амбарцумяна [7], И.И. Воро-вича и М.А. Шленева [82], А.К. Галиныпа [88], Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [101], Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [110], A.A. Дуд-ченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцова [128], Г.А. Тетерса [278]. Авторы обзора [128] выделяют две группы методов получения двумерных уравнений теории пластин и оболочек - аналитические методы и метод гипотез. В свою очередь, группу аналитических методов можно разделить на несколько подгрупп. К первой из них относятся методы асимптотического интегрирования уравнений трехмерной задачи теории

упругбсти, существенно опирающиеся на предположение о наяич:йи малого параметра (относительная толщина, отношения жесткостей). К другой - методы, идея которых заключается в задании характеристик напряженно-деформированного состояния рядами по некоторой системе функций поперечной координаты с последующим выводом уравнений на коэффициенты разложений из трехмерных уравнений теории упругости. Наконец, к аналитическим авторы статьи [128] относят также и те методы, в которых организуется сходящийся итерационный процесс уточнения решения.

Общая характеристика аналитических методов приведения дана в обзорах И.И. Воровича и М.А. Шленева [82], А.К. Галиныпа [88]. Анализ ряда исследований, в которых используются методы этой группы выполнен в обзоре [128]. Здесь ограничимся лишь краткой

U /—' о

характеристикой некоторых публикации, относящихся к данному направлению и не вошедших в этот обзор. К ним относится работа H.A. Никольской и A.B. Проскуры [190], содержащая изложение асимптотического вывода уравнений изгиба тонких слоистых пластин. Асимптотические оценки погрешностей некоторых гипотез теории слоистых оболочек получены В.Е. Чепигой [306]. Ш.К. Галимов [87], в развитие метода И.Н. Векуа [72], строит уточненные уравнения пластин и оболочек, используя разложение в ряды по полиномам Лежандра. A.B. Гондлях [97] предлагает итерационную уточненную теорию, в которой на каждой итерации определяется не только вектор перемещения поверхности приведения, но и закон распределения перемещений по толщине. В результате получаются гипотезы приведения, тождественно удовлетворяющие трехмерным уравнениям теории упругости и всем граничным условиям, принятым на данной итерации. На следующей итерации по полученным функциям производится разложение вектора

»-•ремещений. и уточнение его компонент. Другой вариант итерационной теории получен, в развитие энерго-асимптотического метода [220], A.B. Плехановым [221] на основе разложения перемещений и напряжений в ряды по функциям от поперечной координаты в сочетании с варьированием по определяемому состоянию. Показано, что уже уравнения первого приближения позволяют учесть неоднородность распределения деформаций поперечных сдвигов и нелинейный закон изменения тангенциальных перемещений по толщине.

Подробнее остановимся на подходе, предложенном А.Н. Волковым [80]. В этой работе функции смещений и напряжений разлагаются в пределах каждого слоя в ряды по степеням поперечной координаты. Их подстановка в уравнения пространственной задачи теории упругости, отделение поперечной координаты и использование условий межслоевого контакта приводят к выражениям для коэффициентов разложений через начальные функции, определенные на начальной поверхности. Искомые функции выражаются через начальные при по-

<

мощи матрицы начального преобразования, операторные элементы которой содержат в качестве параметров тепловые члены, механические и геометрические параметры слоев. Система дифференциальных уравнений для определения начальных функций получается путем удовлетворения условиям нагружения на верхней и нижней граничных поверхностях оболочки. Порядок этой системы определяется как числом слоев оболочки, так и числом членов ряда, удерживаемых в разложениях искомых функций, и оказывается достаточно высоким, что ограничивает возможности практического использования метода. Так, если для четырехслойной оболочки в разложениях искомых функций

удерживаются члены до третьей степени включительно, то получаю>

щаяся при этом система дифференциальных уравнений имеет сороко-

вой порядок.

Отметим, что идейно близкий подход к построению уравнений однослойных и двухслойных армированных пластин и оболочек использовался ранее Ю.В. Немировским [183, 334].

Широкое применение при построении уравнений слоистых пластин и оболочек получил и другой метод - метод гипотез. Как отмечалось в обзоре Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [101] в этом методе возможны и фактически используются два подхода. При первом из них, развитом в работах C.B. Андреева и В.Н. Паймушина [33], JI.B. Баева [38], В.В. Болотина [46], В.В. Болотина и Ю.Н. Новичкова [51], М.С. Герштейна [91], Э.И. Григолюка и П.П. Чулкова [106], ЭЛ. Григолюка и Г.М. Куликова [111], Г.М. Куликова [155, 156], В.А. Лазько [157], Л. Либ-реску [160, 161], Ю.Н. Новичкова [193, 194], Г.Н. Ольшанской [201], В.Н. Паймушина и В.Г. Демидова [205], В.Е. Чепиги [304, 305] и других авторов, для каждого слоя в отдельности принимается система кинематических гипотез. Выбор такой системы определяется деформа-тивными и геометрическими параметрами слоя и является достаточно широким - гипотеза жесткой нормали, гипотеза прямой линии, гипотеза о линейном или нелинейном распределении всех компонент вектора перемещений по толщине слоя и др. В рамках этого подхода удается достаточно точно аппроксимировать поле перемещений для каждого слоя и описать тонкие эффекты (см. [111, 156]), связанные с локальными особенностями деформирования отдельных слоев оболочки. В то же время следует отметить, что порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений при таком подходе зависит от числа слоев оболочки и быстро растет при увеличении этого числа, что ограничивает возможности ее практического использования. Кроме того, не всегда оказывается возможным удовлетворить условиям межслое-

вого контакта по поперечным касательным напряжениям; Отметим, наконец, что всякое изменение структуры пакета слоев требует, вообще говоря, изменения системы гипотез и, следовательно, модификации разрешающей системы дифференциальных уравнений и пересмотра процедуры ее численного интегрирования, что вносит в расчет дополнительные трудности. Возможно поэтому в литературе практически отсутствуют публикации численных исследований напряженно-деформированного состояния многослойных оболочек (с числом слоев больше трех), выполненных в такой постановке.

Рассматриваемое направление в механике многослойных оболочек широко представлено в цитированных выше обзорных публикациях. Особо отметим обстоятельный обзор Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [110], в котором даны классификация используемых гипотез и критический анализ работ именно этого направления (авторы цитируемого обзора называют его общим). Наличие данного обзора позволяет не останавливаться на обсуждении конкретных вариантов уравнений слои-

1

стых пластин и оболочек, относящихся к данному направлению. Большее внимание в настоящей диссертации будет уделено лишь одному из таких вариантов, основанному на кинематической модели ломаной линии и получившему (см. [51, 106, 111] и др.) широкую известность и признание - соответствующая система дифференциальных уравнений статики и устойчивости слоистых оболочек сформулирована в гл. 1, п. 10. Эта система используется в последующем при сравнительном анализе результатов расчета слоистых оболочек, полученных с привлечением различных уточненных моделей их деформирования.

Другой подход, получивший развитие в методе гипотез, связан с использованием кинематических и статических гипотез для пакета слоев в целом. К этому направлению относятся работы С.А. Амбарцумяна

[6, 8, 9], А.H. Андреева и Ю.В. Немировского [28, 29, 30, 188], А.Е. Богдановича [42], А.Т. Василенко и Я.М. Гр