Вариант оценки пределов применимости технической теории анизотропных пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Современное состояние прикладной теории пластин и анализ существующих теорий.

1.1. Классическая теория.

1.2. Уточнённые теории.

1.3. Метод минимизации невязок решения общих уравнений.

1.4. Метод разложения по толщине.

1.5. Асимптотические методы.

1.6. Предлагаемая теория.

2. Основные уравнения теории упругости анизотропного тела.

3. Теория пластин средней толщины.

3.1. Аффинное преобразование.

3.2. Основные соотношения для напряжений и деформаций.

3.3. Вариационный принцип возможных перемещений.

4. Осесимметричная задача изгиба круглой трансверсально - изотропной пластины в цилиндрических координатах.

5. Анализ полученных результатов.

5.1. Изгиб квадратной ортотропной пластинки под действием синусоидальной нагрузки.

5.2. Изгиб круглой жёстко защемлённой по конкуру трансверсально изотропной пластины под действием равномерно распределённой нагрузки.

5.2.1. Жёстко защемлённая пластинка.

5.2.2. Свободно опёртая по контуру пластинка.

5.3. Анализ краевого эффекта.

5.3.1.Прямоугольная пластинка.

5.3.2. Круглая пластинка.

6. Оценка пределов применимости уточнённых теорий.

Задачи прочности, устойчивости и колебания пластин издавна привлекали внимание многочисленных исследователей. Тонкие пластины, а также пластины средней толщины находят исключительно широкое применение в конструкциях самых разнообразных инженерных сооружений. По этой причине создание надёжных совершенных конструкций зависит от уровня развития теории пластин средней толщины. Если раньше теория пластин и оболочек решала в основном задачи рационального проектирования инженерных конструкций из готового материала, то сейчас не меньшую роль играют вопросы оптимального проектирования и изготовления материала конструкций. Путём вариации различных материалов, входящих в состав пластинки или оболочки, их взаимного расположения по толщине создаются конструкции, обладающие высокими эксплуатационными характеристиками и оптимальной стоимостью.

В связи с широким применением в последние годы анизотропных материалов, а анизотропными в большей или меньшей степени являются практически все конструкционные материалы, в современной технике особый интерес представляют исследования в области теории анизотропных пластинок. Многочисленные результаты, полученные в этой области, были обобщены и систематезированны в монографиях известных советских учёных С. Г. Лех-ницкого «Анизотропные пластинки», посвященной классической теории анизотропных пластинок [78], и С. А. Амбарцумяна «Теория анизотропных пластинок» [11], в которой рассматриваются различные уточнённые теории анизотропных пластин.

Характерной чертой большинства уточнённых теорий является то, что в математическом отношении они являются лишь вторым приближением к объекту, если при этом в качестве первого приближения считать теорию, основанную на гипотезах Кирхгофа - Лява. Эти теории могут быть применены для получения первой поправки к основному напряжённому состоянию, даваемому классической теорией, и по сути дела представляют собой некоторые приёмы учёта влияния поперечных сдвигов и нормального напряжения az. Величина этой поправки растёт вместе с соотношениями типа Ej/Gi3 (i = 1, 2) или h/a и может стать значительной для сильно анизотропных или для толстых пластин. Попытки построения теории анизотропных пластин в более высоких приближениях обычно приводят к сильному усложнению разрешающих уравнений - число уравнений увеличивается в некоторой пропорциональной зависимости с числом приближений и решение их становится весьма затруднительным.

К настоящему времени развит целый ряд вариантов теорий, базирующихся на различных гипотезах. Общая теория анизотропных пластин и оболочек отсутствует. Неизвестна область наиболее рационального использования тех или иных вариантов теорий.

В настоящей работе предлагается техническая теория ортотропных пластин средней толщины иного рода. Отличительной особенностью предлагаемой теории является возможность построения решения в любом приближении, причем, начиная с третьего приближения и выше, число разрешающих уравнений остаётся постоянным, а структура их оказывается рекуррентной. Такая природа получаемых уравнений данной теории достигается путём использования при построении приближений для перемещений точек пластинки точных интегралов теории упругости по координате, нормальной срединной плоскости пластины.

Решаются задачи поперечного изгиба прямоугольной ортотропной пластины и осесимметричная задача изгиба круглой трансверсально изотропной пластины. Вводится эталонное пространство, позволяющее дать оценку пределов применимости уточнённой теории.

Анализируя результаты, полученные при решении реальных инженерных задач изгиба анизотропных пластин, предлагается метод оценки точности решений, полученных как по рассматриваемой в данной работе теории, так и по любой другой технической теории анизотропных пластин. Даётся численная оценка пределов применимости уточнённой теории.

Хотя это и не является основной темой научной работы, получена вполне пригодная для практического применения техническая теория анизотропных пластин. Не претендуя на то, что эта теория лучше других описывает напряжённо-деформированное состояние изгибаемых анизотропных пластин, а результаты, полученные на её основе не дают наивысшую точность решения, автор отдаёт ей предпочтение, так как предположения, положенные в основу этой теории представляют интерес как с физической, так и с математической точки зрения. Представленная здесь теория может представлять интерес для машиностроения, кораблестроения, строительства и для других отраслей современной техники. Она может служить пособием для инженеров, конструкторов, научных работников, студентов старших курсов и других специалистов, сталкивающихся в своей работе с теоретическими и прикладными вопросами расчёта анизотропных пластин.

Определение грани, разделяющей традиционное классическое решение и аппарат уточнённой теории, при решении конкретных задач позволяет зачастую отказаться от математически довольно сложного решения технической теории и получить результаты с приемлемой для инженерной практики точностью даже "вручную", не прибегая к помощи вычислительной техники.

Заключение.

Итак, из представленного в главах основной части материала можно заключить, что в данной диссертационной работе была достигнута поставленная цель научного исследования, а именно, получена вполне пригодная для практического использования уточнённая теория расчёта ортотропных пластин на прочность под действием поперечной нагрузки. Хотя результаты вычислений, полученные при использовании данной теории, и не были проверены практическими экспериментами и исследованиями, в общем они вполне сопоставимы с результатами, которые дают существующие теории анизотропных пластин, а погрешность не превышает допустимой для инженерной практики величины.

При построении такого рода теории впервые был использован новый подход к представлению основных уравнений теории упругости, а именно, все вычисления и выкладки производились в эталонном пространстве, переход в которое осуществляется формулами аффинного преобразования координат, напряжений, деформаций и перемещений, предложенными профессором Н.М. Матченко. При этом число упругих постоянных для ортотропно-го материала уменьшается с 9 в исходном декартовом пространстве до 6 в модифицированном пространстве, причём модули упругости в каждом из трех направлениях анизотропии оказываются равны между собой и равны единице. Такой подход позволяет значительно упростить как сами промежуточные выкладки, так и конечные уравнения, коэффициенты в которых получаются не слишком громоздкими и сложными. Чтобы не усложнять разрешающие уравнения данной теории обратным переходом в исходное декартово пространство, и более удобно получать численные результаты в модифицированном пространстве и уже эти численные значения для напряжений, перемещений, деформаций или усилий с помощью обратного перехода переводить в обычное пространство, что и было сделано в данной работе при решении тест — задачи. Но при этом не следует забывать, что исходные данные геометрические размеры и нагрузку) также надо переводить из исходного в модифицированное пространство.

Задача об изгибе пластины решается как объёмная задача теории упругости, то есть не отбрасываются ввиду малости или малозначимости по сравнению с прочими какими-либо компонентами напряжений и деформаций. Учитывается как обжатие пластины по толщине (влияние напряжения ), так и искривление нормалей к срединной поверхности пластины (деформации ). Что особенно важно, вертикальное перемещение точек пластины зависит от координаты z. Для пластин большой толщины это может оказать существенное влияние на значения напряжений, деформаций или усилий в точках пластинки, значительно удалённых от срединной поверхности. Данный факт позволяет производить расчёт прямоугольных пластин любых геометрических размеров (кроме мембран), что было также подтверждено соответствующими вычислениями. Таким образом, в первом приближении была получена рекуррентная система из 5 уравнений (в высших приближениях - 7) изгиба пластинки для определения 5 неизвестных чу^и^у^фрЦ/, w,,,uI0,У10,ф,,\|;1,фк,\|/к) и пять (семь) граничных условий. Начиная со второго приближения (к=3, 5, .) - суммирование ведётся только по нечётным индексам) число разрешающих уравнений и условий на контуре для них остаётся постоянным.

Пределы применимости простейшего варианта предлагаемой теории весьма широкие: от однородных до слоистых пластин с лёгким заполнителем. Возможности предлагаемой теории выходят далеко за пределы принятых ограничений в отношении свойств материала и формы пластинок. Теория может найти применение при расчёте пластин и оболочек, материал которых обладает пластичностью, ползучестью и вязкими свойствами. Ввиду сложности исходных уравнений такие задачи сводятся к последовательному решению соответствующих упругих задач. В качестве продолжения данного исследования предложенной в работе подход с некоторыми дополнениями может быть использован также для построения и развития теории устойчивости, колебаний или иных теорий анизотропных пластин, или для пластин с более общим случаем анизотропии.

Разработанная теория может с успехом применяться для решения конкретных прикладных задач строительства, судостроения и других отраслей машиностроения, хотя указать заранее весь возможный спектр её применения, на мой взгляд, не представляется возможным.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Дегура А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 288с.

2. Агаловян JI.A. Об уточнении классической теории изгиба анизотропных пластин // Изв. АН АрмССР. Сер. ф.м.н. 1965. Т.15. №5. с. 16-30.

3. Агаловян JI.A. К теории изгиба ортоотропных пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1966. Т.15. №6. С. 114-121.

4. Агаловян J1.A. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука. 1997. 423с.

5. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек. // Изв. АН ЭстССр. Сер. физ.-мат. и техн. н. 1965. Т. 14. №3. с.337-344.

6. Айнола Л.Я. Уравнение теория типа Тимошенко упругих оболочек в усилиях и моментах. // Изв. АН Эст.ССр. Сер. физ.-мат. и техн. н. 1967. Т. 16. №4. с.463-465.

7. Аксентян O.K., Ворович И.И. Напряженное состояние плиты малой толщины //ПММ. 1963. Т.27. Вып.6 с. 1057-1074.

8. Алфутова Н.Б. Отношение эквивалентности упруго-пластических свойств анизотропных тел. МГУ. М., 1987,18 с. Деп. в ВИНИТИ № 4159-В-87 от 09.06.87.

9. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука. 1974. 446с.

10. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физ.-матгиз, 1961.-268с.

11. Андреев А.Н., Немнровскнй Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. №5. с.77-96.

12. М.Александров К.С. Упругие свойства анизотропных сред., док. дисс., Красноярск. 1967.

13. Бабаджамян В.Г. Метод начальных функций в теории изгиба и колебаний ортотропных толстых плит // Сборник аспирантских работ. Точные науки. Теория пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1972. - выпуск II.

14. Бабаджанян В.Г. Применение метода начальных функций в задаче об изгибе ортотропной плиты // Исследование по теории пластин и оболочек. Сборник статей под редакцией К.З. Галимова. Казань., 1974. - сборник 12. - с. 63-71.

15. Батов П.А. Некоторые рекомендации по оценке теорий расчёта ортотропных пластин. // На пороге третьего тысячелетия: Сб. научн. трудов. Тула: ТулГУ, 1999. - с.31-35.

16. Батов П.А., Батырев К.Г., Матченко Н.М. Применение модифицированного пространства для расчёта ортотропных пластин с использованием ANSYS и аналитических методов. // Сборник материалов II Российско-Украинского симпозиума. Пенза: 2002. - с. 165-167.

17. Батырев К.Г. Изгиб ортотропной пластины средней толщины. // На пороге третьего тысячелетия: Сб. научн. трудов. Тула: ТулГУ, 1999. - с.35-40.

18. Батырев К.Г. Осесимметричная задача изгиба круглой трансверсально-изотропной пластины. // Актуальные проблемы современного строительства. Материалы всероссийской XXXI научнр-технической конференции.

19. Ч. 4. Строительные материалы и изделия.-Пенза: ПГАСА, 2001. с. 1012.

20. Батырев К.Г. Современное состояние прикладной теории пластин. // Сборник материалов к Всероссийской научно-технической конференции. Секция: Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Тула, ТулГУ, 2001.

21. Батырев К.Г. Уточнённые теории изгиба анизотропных пластин средней толщины. // Сборник материалов к Всероссийской научно-технической конференции. Секция: Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии. Тула, ТулГУ, 2000.

22. Бердичевский B.JI. Вариационные методы построения моделей оболочек //ПММ. 1972. Т.36. Вып.5. с.788-804.

23. Бердичевский B.JT. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука. 1983. 446с.

24. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука: В 2ч. -Д.: Литограф, изд. автора, 1925.

25. Болотин В.В. К теории слоистых плит //Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. №3 с.65-72.

26. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение. 1980. 375с.

27. Бутенко Ю.И. Модифицированный метод асимптотического интегрирования при построении теории стержней из ортотропного материала. Ч. 1. // Известия Академии Наук. М.Т.Т. 2001. №4. с. 91-106.

28. Васильев В.В. Классическая теория пластин история и современный анализ. // Механика твёрдого тела. - М., 1998. - №3. - с. 46 - 56.

29. Васильев В.В. К проблеме построения неклассической теории пластин. // Изв. А.Н. СССР. МТТ. 1990. №2. с. 158-167.

30. Векуа И.Н. Об одном способе расчета призматических оболочек // Тр. Тбилисского матем. ин-та им. A.M. Размаде.,1955. Т. 21.

31. Векуа И.Н. Об одном направлении построения теории оболочек. Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1972. - 640с.

32. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука. 1982. 285с.

33. Власов Б.Ф. Об одном случае изгиба прямоугольной толстой пластины // Вестник МГУ. М., 1967. № 2.

34. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости. -ИАН СССР, ОТН №7, 1955, с. 49 69.

35. Власов В.З.Общая теория оболочек. M.-JL: Гостехиздат. 1949.

36. Волков А.Н. Теория толстых оболочек на основе метода начальных функций // Прикладная механика. 1971. Т.7 Вып. 10. с.42-47.

37. Ворович И.И., Кадомцев И.Г.Качественное исследование напряженно-деформированного состояния трехслойной плиты // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 5.

38. Ворович И.И., Малкина О.С. Асимптотический метод решения задачи теории упругости о толстой плите // Тр. VI Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. с.251-254.

39. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек // Тр. VI Всесоюзн. конфер. по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. с.896-903.

40. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек // В сб.: Материалы I Всесоюзн. по теории и численным методам расчета пластин и оболочек. Изд-во Тбилисского ин-та. 1975. с.51-149.

41. Ворович И.И., Шленев М.А. Пластины и оболочки. Итоги науки. Механика. 1963. М.: Изд-во Казан, ун-та. 1985. 164с.

42. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике М.: Наука, 1964. -872с., ил.

43. Галимов К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. №4. с. 155-166.

44. Галимов К.З., Суркин Р.Г. О работах Казанских ученых по теории пластин и оболочек // В сб.: Исследования по теории пластин и оболочек, сборник V. Изд-во Казанского ун-та. 1967.

45. Галимов Ш.К. К расчёту пластин и оболочек средней толщины // Сборник аспирантских работ. Точные науки. Теория пластин и оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1973. - выпуск 3. - с. 78 - 86.

46. Галимов Ш.К. Уточнённые теории расчёта прямоугольной ортотропной пластины при действии поперечной нагрузки плиты // Исследование по теории пластин и оболочек. Сборник статей под редакцией К.З. Галимова. Казань., 1976. - сборник 12. - с. 78 - 84.

47. Галинын А.К. Расчёт пластин и оболочек по уточнённым теориям // Исследование по теории пластин и оболочек. Сборник статей под редакцией К.З. Галимова. Казань., 1970. - сборник 7.

48. Гольденвейзер A.JI. Асимптотическое интегрирование линейных дифференциальных уравнений в частных производных с малой главной частью // ПММ. 1959. Т. 23. Вып.1. с.35-57.51 .Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука. 1976. 510с.

49. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории изгиба плостинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 4. с.668-686.

50. Гольденвейзер A.JI. О двумерных уравнениях общей линейной теории упругих оболочек //В сб.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. М.: Наука. 1968.

51. Гольденвейзер A.JI. Методы обоснования и уточнение теории оболочек // ПММ. 1968. Т.32. Вып. 4. с.684-695.

52. Гольденвейзер A.JI., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука. 1979. 384с.

53. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем //Изв. АН СССР. ОТН.1957. №1. с.77-84.

54. Григолюк Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек жестким заполнителем //Изв. АН СССР. ОТН.1958. №1. с.77-84.

55. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тонких упругих слоистых анизатропных пологих оболочек с жеским заполнителем // Изв. АН СССР. Механика. 1965. №5. с.68-80.

56. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебания стержней, пластин и оболочек. Итоги науки. Механика твердых деформ. Тел Т.5. М.: ВИНИТИ. 1973.

57. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикладная механика. 1972. Т.8. Вып.6. с.3-17.

58. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев. Изд-воНаук. Думка. 1973. 228с.

59. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жескости. Киев. Наук. Думка. 1981. 544с

60. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. . Киев. Наук. Думка. 1971. 276с

61. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев. Вища школа. 1982. 350с.

62. Гусейн-Заде М.И. Построение теории изгиба слоистых пластинок // Тр. VI Всесоюзн. Конф. По теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. с.333-343.

63. Гусейн-Заде М.И. Асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений тонкой пластинки // ПММ. 1974. Т.38. Вып.6. с.1072-1078.

64. Дараган В.И., Саченков А.В. Об одном подходе к теории пластин средней толщины // Исследование по теории пластин и оболочек. Сборник статей под редакцией К.З. Галимова. Казань., 1972. - сборник 8. - с. 96 - 109.

65. Даревский В.М. Об основных соотношениях теории тонких оболочек // ПММ. 1965. Т.29. Вып.4. с.752-759.

66. Ильюшин А.А. Об изоморфизме упруго-пластических свойств анизотропных тел. Тезисы докладов VI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986.

67. Кильчевский Н.А. Обобщение современной теории оболочек // ПММ. 1939. Т.2. Вып.4.

68. Кильчевский Н.А. Анализ различных методов приведения трехмерных задач теории упругости к двухмерным и исследование постановки краевых задач теории оболочек // Тр. II Всесоюзн. конференции по теории оболочек и пластин. Киев. 1962. с.58-69.

69. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. Киев. Изд-во. АН УССР. 1963.354с.

70. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. -М.: Наука, 1968. 720 с.

71. Колос А.В. об уточнении классической теории изгиба круглых пластинок //ПММ. 1964. Т.28. Вып.З. с.582-588.

72. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластины и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение. 1965.

73. Куршин JI.M. Обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек. Расчет пространств. Конструкций. Вып.7. М.: Госстройиздат. 1962.

74. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат, 1947.

75. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957. -625с.

76. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -463с.

77. Лехницкий С.Г. Упругое равновесие трансверсально изотропного слоя и толстой плиты // ПММ. 1962. Т.26. Вып.4. с.687-686.

78. Лурье А.И. К теории толстых плит // ПММ. 1942. Т.6 Вып. 2,3.

79. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1965.

80. Люстинг М.А., Саченков А.В., Тимербаев P.M. К теории пластин средней толщины. // Исследование по теории пластин и оболочек. Сборник статей под редакцией К.З. Галимова. Казань., 1982. - выпуск 18.-е. 17-31.

81. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935.

82. Матченко И.Н., Матчеико Н.М., Матченко О.Н. О множественности модифицированных пространств в анизотропных средах. // Современные проблемы математики, механики, информатики. Тула: ТулГУ, 2000. с.97.

83. Матченко И.Н., Матченко Н.М., Матченко О.Н. О множественности эквивалентных представлений анизотропных материалов. // Сборник материалов «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: ТулГУ, 2000. с.83.

84. Матченко Н.М., Матченко И.Н. Об одном представлении уравнений плоской задачи теории упругости ортотропной среды // Механика деформируемого твёрдого тела. Сборник научных трудов. Тула: Тул. гос. тех. унт, 1994.-с. 80-83.

85. Матченко Н.М., Матченко О.Н. Модифицированное пространство в плоской задаче теории упругости ортотропного тела (асимптотический метод) // Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж: ВГУ, 1998.

86. Матченко О.Н. Основные задачи плоской теории упругости для ортотропной среды (метод малого параметра) // Современные проблемы математики, механики, информатики. Тула: ТулГУ, 2000. с.200.

87. Мелконян А.А., Хачатрян А.А. Об изгибе прямоугольных трансверсально-изотропных пластинок // Изв. АН АрмССР. сер. ф.м.н. 1965. Т. 18. №1.

88. Минкевич Л.М. Представление тензоров упругости и податливости через собственные тензоры // Материалы третьей научной конференции Томского университета по математике и механике. Томск.: Изд. Томского ун-та. 1973. - вып. 2. - с. 115 - 116.

89. Муштари Х.М. Теория изгиба плит средней толщины. Изв. АН СССР, ОТН, №2, 1957.

90. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань. Таткнигоиздат. 1957. 431с.

91. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек средней толщины // ДАН СССР. 1959. Т. 128. №6.

92. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. Теория пологих оболочек средней толщины // Изв. АН АрмССР., Механика и машиностроение. 1959. №6.

93. Немировский Ю.В. Об устойчивости армированных оболочек и пластин за пределом упругости // Изд. АН СССР. МТТ. 1970. №2. с.67-74.

94. Нигул У.К. О применение символического метода А.И. Лурье к анализу напряженных состояний и двумерной теории упругих плит // ПММ. 1943. Т.27. Вып.З. с.583-588.

95. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз. 1963. 431с.

96. Образцов И.Ф., Онанасов Г.Г.Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение. 1973. 659с.

97. Огибалов A.M. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: Изд-воМГУ. 1958.389с.

98. Остросаблин Н.И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния // Динамика сплошной среды. Новосибирск., 1984.-вып. 66. с. 113-125.

99. Паймушин В.Н. К проблеме расчета пластин и оболочек со сложным контуром//Прикл. механика. 1980. Т.16.№4. с.63-70.

100. Паймушин В.Н. Соотношение теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета // ПММ. 1978. Т. 42. №4. с.767-772.

101. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев. Наук.думка. 1973. 248с.

102. Пикуль В.В. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела. -М.: Наука, 1989.-221 с.

103. Пикуль В.В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек. М.: Наука, 1977. 152с.

104. Потяновский В.В. К теории изгиба анизо.тропных пластинок // ПММ. 1964.Т.28. Вып.6. с.1033-1039.

105. Потяновский В.В. Уравнение теории анизотропных пластинок // В сб.: Исследование по упругости и пластичности. №4. Изд-во ЛГУ. 1965.

106. Понятовский В.В. Уточнённая теория трансверсально изотропных пластин // Исследования по устойчивости и пластичности. Сб. 5. JL: Изд-во ЛГУ. 1967. с. 72-92.

107. Прокопов В.К. Применение символического метода к выводу уравнения теории плит // ПММ. 1965. Т.29. Вып.5. с.902-919.

108. Прокопов В.К., Груздев Ю.А. Полимоментная теория равновесия толстых плит // ПММ. 1968. Т.32. Вып.2. с.344-352.

109. Рогачева Н.Н. О соотношениях упругости Рейсснера-Нахди // ПММ. 1974. Т.38. Вып.6. с.1063-1071.

110. Роменская Г.И., Шленев М.А. Асимптотический метод решения трехмерной задачи о трансверсально изотропной плите // Тр. XI Всесоюзн. конф. По теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1973.

111. Рыхлевский Ян. Разложение упругой энергии и критерии предельности, Успехи механики, 1984, 7, вып. 3, с. 51-80.

112. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности: Учебное пособие для студентов вузов. 2-е изд., перераб. - М.: Высш. школа, 1982. -264 е., ил.

113. Саподжян О.М. Изгиб тонких упругих плит. Ереван: Айастан. 1975. 435с.

114. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Изд-во Ереванского ун-та . 1976. 534с.

115. Теребушко О.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Наука, 1984.-320 с.

116. Терегулов И.Г. К построению уточненной теории пластин и оболочек // ПММ. 1962. Т.26. Вып.2. с.346-350.

117. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физ.-матгиз, 1963.

118. Товстик П.Е. Низкочастотные колебания выпуклой оболочки вращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. №6. с. 110-116.

119. Устинов Ю.А. Некоторые свойства однородных решений неоднородных плит//ДАН СССР. 1974. Т.216. №4. с.755-758.

120. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе // ПММ. 1973. Т.37. Вып.4. с.706-714.

121. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Д.: Стойиздат. 1987.384.

122. Хома И.Ю. Некоторые вопросы теории анизотропных пластин и оболочек //В сб.: Материалы I Всесоюзной школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Изд-во Тбилисского ун-та. 1975. с.409-420.

123. Черных К.Ф. Ленейная теория оболочек. 4.1. 1962. 4.II. 1964. JL: Изд-во ЛГУ.

124. Чернышев Г.Н. Асимптотический метод в теории оболочек (сосредоточенные нагрузки) // Тр. VI Всесоюзн. конф. По теории оболочек и пластинок. М.: Наука. 1966. с.799-810.

125. Чулков П.П., Иванов А.В. Учет поперечных деформаций заполнителя в задачах устойчивости трехслойных пластин с различными несущими слоями //Изв. АН СССР. МТТ. 1969. №6. с. 101-107.

126. Шойхет Б.А. Об асимптотических точных уравнениях тонких плит сложной структура//ПММ. 1973. Т.38. Вып.5. с.914-924.

127. Reissner E. On the theory of bending of Elastic plates // J. Math, and Phys. 1944. Vol. 23.

128. Reissner E. The Effects of Transversal-Shear Deformation on the Bending of Elastic plates // J. Appl.Mech. 1945. Vol.12.

129. Thomson W., Tait P. Treatise on Natural Philosophy. P.2. Cambridge: Univ. Press, 1883. 592p.