Приложение метода сингулярных интегральных уравнений к задачам изгиба анизотропных пластин с многосвязным контуром тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОДРУЖИН Евгений Герасимович

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ЗАДАЧАМ ИЗГИБА АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С МНОГОСВЯЗНЫМ КОНТУРОМ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск — 2007

003065948

Работа выполнена на кафедре "Самолето- и вертолетостроение" Новосибирского государственного технического университета

Научный консультант доктор технических наук,

профессор Максименко Вениамин Николаевич

Официальные оппоненты доктор технических наук,

профессор Ахметзянов Марат Халикович

Защита диссертации состоится «22 » октября 2007 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003 054 02 в Институте гидродинамики СО РАН по адресу проспект академика Лаврентьева, 15, г Новосибирск, 630090

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им М А. Лаврентьева СО РАН

доктор технических наук,

профессор Каледин Валерий Олегович

доктор физико-математических наук Шваб Альберт Александрович

Ведущая организация

ОАО ОКБ им А С Яковлева

Автореферат разослан сентября 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

Леган М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Основу конструкций современных летательных аппаратов (JIA) составляют тонкостенные элементы, которые можно классифицировать как пластины и панели. Наряду с использованием традиционных материалов - металлов, закономерной тенденцией в настоящее время является использование для изготовления таких пластин и панелей композиционных материалов (КМ), обладающих существенной анизотропией свойств в различных направлениях. Так, например, хвостовое оперение самолета А-320 фирмы Airbus изготовлено из полимерных композитов, в конструкции планера самолета F-22 фирмы Lockheed используется соответственно 10% термопластических и 12% термореактивных углепластиков Одним из сдерживающих факторов расширения области применения КМ является отсутствие надежных и эффективных методов расчета конструкций из КМ с концентраторами напряжений (КН) В силу сказанного в инженерной практике остро встал вопрос изучения распределения напряжений и деформаций около КН и трещин в широко используемых сложных элементах конструкций из сплавов и КМ Эти исследования являются основополагающими при расчете на прочность и долговечность Простейшей моделью таких элементов являются анизотропные пластинки, поэтому разработка эффективных методов определения напряженно-деформированного состояния (НДС) двумерных изотропных и анизотропных тел {пластины, оболочки) с отверстиями, трещинами и подкреплениями является весьма актуальной проблемой как с теоретической, так и с практической точки зрения Особенно это касается вопросов местной прочности конструкций, так как различные концентраторы напряжений существенно влияют на ресурс летательного аппарата и его остаточную прочность

При всем многообразии существующих методов решения таких задач метод сингулярных интегральных уравнений (СНУ) обладает неоспоримыми достоинствами Так, например, существенно снижается размерность разрешающей системы уравнений (в сравнении, например, с методом конечных элементов (МКЭ)), сокращается объем вводимой информации. При использовании СИУ появляется возможность выделить асимптотики напряжений в точках сингулярности (таковыми являются вершины трещин, жестких включений, угловые точки и точки возврата на контурах, ограничивающих пластину). Кроме того, если в некоторых случаях удается построить сингулярные решения, заранее удовлетворяющие краевым условиям на части контуров, ограничивающих пластину, то эффективность метода возрастает

Цель работы заключается в развитии и разработке аппаратов методов комплексных потенциалов и сингулярных интегральных уравнений для исследования напряженно-деформированного состояния многосвязных анизотропных пластин в условиях поперечного изгиба при различных краевых условиях на внешних контурах и создании на основе этих методов эффекгав-

ных алгоритмов расчета как напряженного состояния в делом, так и в зонах концентрации напряжений.

Научная новизна работы

- Построены новые сингулярные решения теории изгиба анизотропных пластин для полуплоскости с различными условиями на границе, для квадранта при различных краевых условиях на кромках, для неограниченной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, для ортотропных бесконечной полосы и полуполосы, прямоугольной пластины, изотропных пластин в форме равнобедренного прямоугольного и равностороннего треугольников.

- Получено в замкнутом виде решение задачи об изгибе анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, часть контура которого загружена распределенными изгибающими моментами постоянной интенсивности

- С использованием сингулярных решений для пластин различного вида (полуплоскость, квадрант и т п ) построены сингулярные комплексные потенциалы, моделирующие криволинейные сквозные трещины, жесткие включения, гладкие отверстия и двумерные жесткие шайбы

- Сформулированы краевые условия и получены системы сингулярных интегральных уравнений для задач изгиба анизотропных пластин, содержащих трещины, жесткие включения н отверстия.

- Метод сингулярных интегральных уравнений использован в задачах изгиба конечных многосвязных анизотропных пластин.

- Метод сингулярных интегральных уравнений применен в задачах изгиба пластин со смешанными краевыми условиями на контуре (консольные пластины), экспериментально подтверждена высокая эффективность метода (сравнение с экспериментами, проводившимися в NASA)

- Метод сингулярных интегральных уравнений использован в задачах оптимального проектирования многосвязных пластин из слоистых композитов (критерий оптимальности — минимум веса пластины, при одинаковых упругих характеристиках слоев - минимум толщины). Для решения задачи оптимизации предложена оптимизационная процедура, основанная на методе покоординатного спуска

- Сформулирована краевая задача и получены разрешающие сингулярные интегральные уравнения для задачи изгиба анизотропной пластаны, подкрепленной криволинейным кольцевым стержнем постоянной жесткости

Методы исследований основаны на.

- использовании теории функций комплексного переменного (метод комплексных потенциалов С Г Лехницкого, интегралы типа Коши) и построенных в диссертации сингулярных решениях от сосредоточенных воздействий,

- использовании аппарата теории сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и аппроксимации функций подынтегральных плотностей интерполяционными полиномами;

- применении высокоэффективных и апробированных алгоритмов аппроксимации сингулярных интегралов квадратурными формулами Гаусса-Чебышева

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на.

- корректном использовании соотношений механики деформируемого твердого тела;

- использовании проверенных численных математических методов и алгоритмов и исследовании их сходимости;

- сопоставлении результатов расчета по методам, предложенным в диссертационной работе, с известными численными решениями, а также с известными данными экспериментов в этой области.

Практическая значимость и реализация результатов исследований заключаются

- в разработке эффективных численных алгоритмов решения сложных задач исследования напряженно-деформированного состояния анизотропных пластин при локальных и распределенных нагрузках и наличии концентраторов напряжений и дефектов, обуславливающих сингулярность полей напряжений в пластине (трещины, включения, угловые точки, точки со смешанными краевыми условиями);

- в разработке методик оптимального проектирования анизотропных пластин симметричной структуры из слоистых композитов (из условия минимума веса пластины),

- во внедрении результатов, методик и алгоритмов в расчетную практику заинтересованных организаций: Новосибирский филиал АООТ «ОКБ Сухого», ФГУП НПО Прикладной механики имени академика М Ф Решетнева (г. Красноярск),

- во включении основных научно-методических результатов диссертации в рабочие программы учебных планов НГТУ по подготовке инженеров-исследователей,

- в использовании материалов диссертации при написании учебника НГТУ "Теоретические основы методов расчета прочности элементов конструкций из композитов" (авторы В.Н Максименко, И.П. Олегин)

Работа проводилась при поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы 2006-2008» РНП 2 1.2.2676.

На защиту выносятся

- сингулярные решения задач изгиба неограниченных анизотропных пластин с эллиптическим отверстием;

- постановка и решение задачи изгиба неограниченной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, часть края которого загружена изгибающими моментами постоянной интенсивности,

- сингулярные решения для полуплоскости с различными краевыми условиями на прямолинейной кромке,

- сингулярные решения задачи изгиба для ортотропных квадранта, полосы и полуполосы, прямоугольной свободно опертой пластины, периодические сингулярные решения для бесконечной анизотропной пластины, а также для полуплоскости,

- построенные на основе соответствующих сингулярных решений потенциальные представления и сингулярные интегральные уравнения задач изгиба бесконечных и полубесконечных анизотропных пластин, содержащих сквозные криволинейные гладкие разрезы, жесткие включения, криволинейные гладкие отверстия;

- потенциальные представления для задач изгиба конечных многосвязных анизотропных пластин, ограниченных замкнутыми и незамкнутыми гладкими контурами;

- постановка и решение методом сингулярных интегральных уравнений задачи об изгибе анизотропной пластины, подкрепленной кольцевым гладким стержнем постоянной жесткости,

- алгоритм оптимального весового проектирования слоистых композиционных панелей симметричной структуры

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Дальневосточных научно-технических конференциях по повреждаемости и эксплуатационной надежности судовых конструкций (Владивосток, 1981,1984, 1987, 1990 г г ); на IX Бубновских чтениях по эксплуатационной и конструктивной прочности судовых конструкций (Нижний Новгород, 1991 г ), на X Всесоюзной конференции "Конструкция и технология получения изделий из неметаллических материалов" (Обнинск, 1986 г ), на IV Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса, 1989 г.); на научной конференции "Расчетные методы механики деформируемого твердого тела" (Новосибирск, 1995 г), на международных российско-корейских научно-технических симпозиумах CORUS «Научные основы высоких технологий» (Новосибирск, 2002 г, Ульсан, Корея 2003 г, Томск, 2004 г; Новосибирск, 2005 г); на международной конференции "Байкальские чтения — II по моделированию процессов в синергетических системах" (Максимиха, оз. Байкал, 2002г), на международной научно-практической конференции САКС-2002 (Красноярск, 2002 г ), на IX международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 2003 г); на XVIII Межреспубликанской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Кемерово, 2003 г ); на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003 г.); на VII Всероссийской научной конференции, посвященной 10-летию Новокузнецкого филиала-института и 50-летию Кемеровского государственного университета (Новокузнецк, 2004 г ), на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций (Новосибирск, 2005 г ); на XIX Всероссийской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Бийск, 2005 г), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г ), на объединенных семинарах кафедр прочности летательных аппаратов и самолето-и вертолетостроения НГТУ, на семинарах в Сибирском научно-исследовательском институте авиации им С А Чаплыгина

Личный вклад автора диссертации заключается в построении новых сингулярных решений технической теории изгиба тонких анизотропных пластин;

в построении новых потенциальных представлений для задач изгиба многосвязных анизотропных пластин, содержащих гладкие криволинейные трещины, жесткие включения, гладкие отверстия; в приложении метода СИУ к задачам изгиба многосвязных конечных анизотропных пластин,

в построении эффективного алгоритма численной реализации систем СИУ при решении краевых задач теории изгиба анизотропных многосвязных пластин;

в построении алгоритма рационального проектирования многослойных композиционных пластин сложной формы и использовании при этом метода СИУ как эффективного инструмента расчета НДС пластин Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 печатных работы В автореферате приведены 33 основные публикации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (обзор по проблеме), пяти разделов, заключения, списка использованных источников из 222 наименований

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются современное состояние вопроса, существующие методы решения задач поперечного изгиба многосвязных анизотропных пластин, содержащих концентраторы напряжений в виде гладких отверстий, криволинейных сквозных разрезов и жестких включений Приведен обзор работ, относящихся к данному направлению, отмечено, что в отличие от плоской задачи анизотропной теории упругости результаты в данной области исследований значительно скромнее и получены, в основном, для изотропных пластин

Значительный вклад в развитие методов решения задач изгиба изотропных и анизотропных пластин с концентраторами напряжений внесли С А Амбарцумян, ЮП Артюхин, ЛТ Бережницкий, ЭС Венцель, А Г Горбань, Д В Грилицкий, М Ьк1а, С.А Калоеров, IК Кполуек, С А Кулиев, АМ Линьков, С Г. Лехницкий, ВН Максименко, N. НавеЬе, Б.Л Пелех, С А. Пелех, Г .Я Попов, И А Прусов , Е КеЬвпег, Г.Н Савин, М.П. Саврук, В М Толкачев, О. Тат^е, Л А. Филыптинский, Н П Флейшман, М Ь \Vil-ЬагпБ и др В работах перечисленных авторов были получены решения в основном для изотропных неограниченных пластин, содержащих, как правило, прямолинейные трещины, круговые отверстия Практически не рассматривались группы концентраторов и дефектов, не анализировалось взаимное влияние отверстий и дефектов на напряженное состояние в зонах концентрации напряжений. Весьма ограничено число публикаций, посвященных конечным многосвязным анизотропным пластинам Существующие расчетные методы

статической прочности конечных многосвязных анизотропных пластин базируются в основном на МКЭ и их использование эффективно, как правило, в случаях регулярных нагрузок, полей напряжений с небольшими градиентами, гладких контуров, ограничивающих пластину

В первой главе приводятся основные соотношения технической теории изгиба анизотропных пластин, метода комплексных потенциалов С Г Лехницкого, а также сингулярные решения для бесконечных анизотропных пластин (сосредоточенные единичные поперечные силы, изгибающие моменты и дислокации).

о)

2у ~Ту

Бу(гу'т) = АУ 1пОу - ту)> м1(2у,т)--

у=1

-Л-1-А

/1=г^—,/,=0 0=2,4) ¿4=.

2тГ\ 1 •> 1 2лИ\\ 2лг1>22

Здесь ¡Лу - корни характеристического уравнения, гу = х + ¿гуу - обобщенные комплексные координаты, г = х+гу - комплексные координаты.

С помощью решений (1) построены сингулярные решения для анизотропной полуплоскости (х > 0) с различными краевыми условиями на прямолинейной кромке

X СиуВу(к=1,4) У=1 .. (2)

Мг

Му

Фу(гу) = £у(2у,г) = АуЫ + А2»уЩу 1п

; _ АО-у-Й 1у - >

2.x/-Х\!

г -

тугу ~ Т2

+ А\1уву 1п

v

л,=-

„_ _МЪ-у~М2

Пу —

/Лу-ЦЪ-у

5У2У ~ Т1

ж

(V» 1,2),

-ИЗ,

(3)

И2

Му-МЗ-у Му Му-РЗ-у Му

Приведенные здесь выражения для 1у,Пу соответствуют жестко защемленному краю полуплоскости (для свободного и свободно опертого края 1у,Пу имеют другой вид) Получены также сингулярные решения для анизотропной плоскости и полуплоскости с системой периодических сосредоточенных сил

Фу(2у) = Е$(гу,т) = Ау ЬфтОСг^ - тук )]},

со — —, Тук =ту+к! (к = 0,±1,±2, ,,±оо)

(4)

Еу{гу,т) = Ау Ы эт

со

{гу-Тук)

+ А^уву 1п|зт

со

Ж

+А2ПуШу 1п|зт

®(2у-Т2к) М2

л

,ф=— ,Тук = 4 + Цу(л + 21к)

В соответствии с принципом суперпозиции суммированием различных комбинаций сингулярных решений построены решения для пластин канонической формы' квадранта, бесконечной свободно опертой ортотропной полосы, полуполосы со свободно опертыми кромками и свободно опертыми полубесконечными сторонами и жестко защемленной конечной кромкой, ортотропной прямоугольной пластины со свободно опертыми сторонами. На рис 1 показана схема приложения нагрузок в ортотропной плоскости (угол <р между главным направлением ортотропии Е\ и осью х равен нулю) при построении решения для полосы. Осуществлением предельного перехода в параметрах анизотропии к изотропному материалу получены сингулярные решения для изотропных пластан в форме равнобедренного прямоугольного и равностороннего треугольников со свободно опертыми кромками Решения для конечных пластин и полос получены в виде бесконечных рядов

Получены сингулярные решения для неограниченной анизотропной пластины, содержащей эллиптическое отверстие, для первой и второй краевой задачи на контуре эллипса При этом использовалось конформное отображение внешности единичного круга / = = на внешность эллиптических отверстий в плоскостях гу = х + ЦуУ а ~ 1ЦуЬ

: У Ф О Ф 1 р ?,

е

V Ф , о

; : 0 X

Рис 1 Сосредоточенная сипа в бесконечной полосе

и обратные функции

а - 1цуЬ

Здесь а и Ъ - большая и малая полуоси эллипса

Краевые условия на контуре единичной представлены в виде

окружности у были

</\'{сг,т)у)-1уП(<т,щ)-Пу^2(а-,}Г2.) = /у(ег),

(6)

<Ру(Су,Лу) = <Ру(2у,*у\ Лу = Су(ту) В случае приложения сосредоточенного изгибающего момента в пластине комплексные потенциалы разыскивались в виде

<Ру(Су,Пу) = Ву НСу -%) + <РуО(Су>Пу)

*

Здесь <Ру<)(£у,?]у) ~ неизвестные аналитические вне единичного круга у функции.

Из соотношения (6) с помощью процедуры домножения левой и правой его частей на ядро Коши и последующего вычисления интегралов типа Коши

от всех слагаемых по контуру единичной окружности у при решении первой

*

краевой задачи (контур отверстия свободен от нагрузки) для <РуО(£у,%>) получены выражения

<Ру о(£у>Пу) = 1уВ\ * + ПуВ2Ы _

СуЩ СуЛ 2

А/

адз_у+1ЬШ=у МЪ-У)

п РЗ-У

Яу--ЧЪ-у—

МЗ-у Му

Су \-1

(7)

Входящая в выражение (7) неизвестная действительная постоянная определяется из условия однозначности функции прогибов при обходе по замкнутой кривой эллиптического отверстия

-1

У=1

- 'V —

I т

в2

ПУ-

42

2 „ у=\

-¡Му° V_МЪ-у

МЪ~У Му

1у =

Р1 - РЗ-У М\ МЪ-у

Чу

РЪ-у МЪ-у

■ЧЪ-у

Ру Му

=

Р2 - РЪ-у

М2 МЪ-у

Чу

РЪ-у МЪ-у

ЧЪ-У

Ру_ Му

(8)

Решение для жестко защемленного края отверстия получается из формулы (7), для чего следует положить в ней действительную константу С = 0 и записать 1у,Пу из (3)

При приложении сосредоточенной поперечной нагрузки принимается

<Ру(2у) = Ау(гу-Ту) [\п(гу +

После чего функция <Ру{Су,г/у) принимает вид

а~1/иуЪ а + г/ЛуЬ

2 2^уТ]у )

Применением упомянутой процедуры для искомой функции в случае контура отверстия свободного от нагрузки получается выражение

С = 1т£ {АуЦ> - ЬА^у -1

1т I

а - гцуЬ

-1

А/

У=1

а-1/ЛуЬ

(а+1(ХуЬ)

8 п1

у 2 2 к и 2 2 2 1

Для жестко защемленного края пластины следует константу С положить равной нулю, а 1у,пу определять из (3).

На рис. 2 представлено распределение безразмерных нормальных изгибающих моментов по жестко защемленному краю эллиптического отверстия (¿/<з=0.5) в пластине из ортотропного графитоэпоксидного композита (£,=27.610 104 МПа, £,/ Е2=25, в=0 552-Ю4 МПа, ц2=0 25, <р=0). Сосредоточенная сила Р2 приложена в точке с координатами (0; 0 9а)

Подобная процедура использована при получении решения для анизотропной пластинки с эллиптическим отверстием свободным от нагрузки (загруженным изгибающими моментами постоянной интенсивности) или жестко защемленным по контуру при однородном нагружении на бесконечности.

Рис 2 Распределение нормальных изгибающих моментов по контуру эллиптического отверстия в пластине

Построены сингулярные решения для составной анизотропной плоскости, представляющей собой композицию из двух различных анизотропных полуплоскостей На прямолинейной кромке полуплоскостей стыкуются перемещения и усилия

Получены сингулярные решения для соредоточенных дислокаций, трактуемых как разрывы перемещений в пластине

Во второй главе построены решения первой краевой задачи изгиба анизотропных пластин, содержащих криволинейные гладкие сквозные разрезы и гладкие отверстия. При этом предполагается, что известно решение для пластины без разрезов и отверстий и не учитывается контакт берегов разрезов Моделирование трещин осуществляется распределением на линии расположения трещины дислокаций, которые подбираются таким образом, чтобы вызванные ими усилия на берегах разреза равнялись заданным В случае когда распределенная моментная нагрузка, прикладываемая к берегам трещины, несамоуравновешена, при конструировании решения берется суперпозиция комплексных потенциалов, соответствующих дислокациям и непрерывной части напряжений Краевые условия на берегах трещин представляются в виде

М

Р2

Му(0 = Цу со— вш у/,

уМ2(0 уМ2(г) М2 М2 М\

У = Ч2Р2 Ч2Р2 М2 Р2

Здесь через (/(0 обозначен угол между осью Ох и нормалью п к левому берегу разреза в точке * е Ь, знаки ± относятся к левому и правому берегам разреза при движении от его начала к концу, Фу(1у) - предельные значения комплексных потенциалов на левом и правом берегах разреза, С - неизвестные действительные константы.

Для комплексных потенциалов выбраны представления

40)(ги)++фРМ

где Фу^^у) - определяют напряженное состояние в сплошной пластине

(без трещин и отверстий) и считаются известными, - определяют

возмущения НДС, возникающие из-за наличия криволинейных разрезов Фу^[2у) - описывают возмущения НДС, вносимые гладкими отверстиями Л, краевые условия для которых представимы в виде

--т

а(^1'"«1) + Ь(0<г>1Н{<1) + Ф2 С'2) = -Р+(0,'еЛ.Л= у^ (Ю)

г=1

Знак плюс здесь обозначает предельные значения потенциалов на контурах отверстий, за положительное направление обхода которых принимается такое, когда область, занимаемая пластиной, остается справа, нормаль к контуру отверстия при этом направлена влево

Для свободных от нагрузки (либо со статически эквивалентной нулю нагрузкой) контуров отверстий и берегов разрезов неизвестные функции, описывающие возмущения НДС пластины, представляются в виде интегралов типа Коши по соответствующим контурам с неизвестными комплексными функциями подынтегральной плотности

2 т^гу-Ту 2т^гу-ту

Для решения краевой задачи (9), (10) использованы формулы Сохоцко-го, представляющие предельные значения интегралов типа Коши через функции подынтегральной плотности и главные значения сингулярных интегралов в смысле Коши Краевая задача таким приемом приводится к системе сингулярных интегральных уравнений

= П (О,

(И)

§К121{ит)а)(т) + К%1«,т)а(т)\сЬ + (^Г^С^Ж7) + К^.тЩт) Ь Л

= ^2(0, 1еЛ,

и соотношениям между функциями подынтегральной плотности

®(т) = щ(т), 8{т) = д\{т), ®2(г) = ^(т)-а(т)й>(т) - Ь(т)а)(т),

52{т) = -фЖг) - = - ^"(0

Ядра в уравнениях (11) содержат особенность Коши,

К^ 0,т),к\2 (г, г), (Г, г), ^ 1 >1 г^22 ~ функции непрерывные по 1,х на Ь,Л, (/) - непрерывные функции от / на!,/1

Для получения замкнутой системы уравнений необходимо к (И) присоединить условия однозначности прогибов м/ и тангенциальных смещений и + IV при обходе каждого из контуров 1^(/1г).

Яе

Яе

1

= 0, | со{х)с1т\ = 0 (12)

г2-4*2 К»!

= 0, 5(т)с1т\ = О

Л

(13)

Введением параметрических представлений для контуров разрезов = + М < 1, (»7) = Р] [*/ (П) + МуУ] 0?)]> У = \,2

и замкнутых контуров гладких отверстий

(&) = л Iх! (Ф + VI (-9)]. 9 е [0.2*], г„/(0) = Л [хг (5) + ЦуУг (5)] система уравнений (11) с дополнительными условиями (12), (13) приводится к каноническому виду п 1

5=1-1 Г1 (?)

т

' %1 о

т 2яу

Л7 +

(14)

1

-1

Ке |

[2 п 10

2*

(15)

= 1=1, т

Здесь г] - безразмерный параметр, р - характерный размер контура разреза (отверстия) Это может быть полудлина разреза, если разрез - прямолинейный отрезок, или радиус, если разрез имеет форму дуги окружности, и т.д

Для решения (14), (15) был применен метод механических квадратур, при котором исходные СИУ заменяются дискретным аналогом, полученным путем вычислений интегралов при помощи некоторых квадратурных формул с последующим удовлетворением уравнения в необходимой совокупности точек контура интегрирования (точки коллокации) При этом учитывалось, что функции подынтегральных плотностей для разомкнутых контуров имеют особенности в концах отрезка интегрирования

®С/)(|7)-4,)Ц1"'2) 2' (16)

где а>у\т]) - функции класса Н на отрезке [-1, 1]

Функции 8^1\т]) - непрерывные, 2ж периодические функции

Для аппроксимации сингулярных интегралов по незамкнутым контурам использовалась квадратурная формула Гаусса

I—12 X

-1 л/1 — »7

2 ш—1 , , , гх

справедливая для регулярных интегралов при любых а для сингулярных при

¿;г=соз— (г=1,^-1),

где количество узлов ТУ - произвольное натуральное число

Если точки коллокации не совпадают с Чебышевскими узлами * ), то при вычислении сингулярных интегралов с ядром Коши использовалась квадратурная формула

\т,пп " О) Цщю

-ШЧ)^' "Ьх 0 '

где = соз(ЛГагссоз£), £/дг_1(£) = 5т(7Уагссоз£)/л/1-£2 -многочлены Чебышева первого и второго рода, а узлы <от являются корнями многочлена 7М>7) (формула (17)).

Для аппроксимации интегралов по гладким контурам отверстий применена формула

2я- , N , . _

15(5)^,5)^.9 = ^X д{&к)К{в,Эк), Эк=~+р (к = \,Щ О к=\

которая верна для регулярных функций К (в, 3) при любых в, а для сингулярных ядер К{&,5) при

N

Здесь 3{9)тлК{0,Э) - 1к периодические функции, N - натуральное четное число; р - произвольное действительное число

Эта же методика расчета была распространена и на случай кусочно-гладких криволинейных разрезов, а также разрезов, выходящих на край отверстия. Таковыми являются, например, ветвящиеся трещины, когда гладкие разрезы исходят из одной точки. В обоих случаях в ядрах интегральных уравнений появятся неподвижные особенности при ^ = ^ = -1, а функции

«<*>(£) будут иметь в точке # = -1 особенность отличную от корневой, определяемую из анализа интегрального уравнения или другими методами Порядок особенности в угловых точках или точках ветвления всегда слабее

корневой, а потому для приближенного решения неизвестные функции можно представлять в виде (16), считая, что

й>(*)(-1) = 0 (* = Ц) (18)

Здесь речь идет о трещине из « звеньев, исходящих из общей вершины.

Для получения замкнутой системы к сингулярным уравнениям (13) следует присоединить -1) соотношений вида (18), которые с помощью интерполяционного полинома Лагранжа записываются через узловые точки интегрирования (16)

/и=1

Такая схема численного решения системы интегральных уравнений эффективна в том случае, если не требуется определять напряжения в окрестности точек ветвления трещины В практических приложениях при решении задачи роста усталостных трещин анализировать напряженное состояние требуется именно в свободных вершинах ветвящихся трещин Кроме того, следует иметь в виду, что в вершинах клиновидных областей, на которые ветвящийся разрез разбивает пластину, порядок особенности НДС будет ниже, нежели в свободных вершинах

Данный алгоритм расчета был реализован в виде программного комплекса, позволяющего рассчитывать НДС анизотропных пластин, содержащих концентраторы напряжений в виде произвольных гладких отверстий и криволинейных гладких разрезов и изгибаемых произвольными нагрузками, сосредоточенными или распределенными по линиям или площадкам, или однородными изгибающими моментами, прикладываемыми на бесконечности.

В конце главы приводятся решения ряда новых задач изгиба анизотропных пластин, исследуются сходимость результатов численного решения, влияние геометрии пластин и анизотропии материала на характер НДС и КН, проводятся сравнения с известными решениями для изотропных пластин, полученными другими методами

На рис 3 приведены зависимости коэффициента интенсивности напряжений (КИН) для изотропной (у = О 25 ) пластины, содержащей две прямолинейные трещины и нагруженной на бесконечном удалении равномерно

распределенными изгибающими моментами М^ = сотг Коэффициент интенсивности нормальных напряжений К1(А,щ) для вершины А трещины вычислялся в площадках, совпадающих с направлением касательной к вершине Здесь параметр Я = 2а!с1 определяет расстояние между трещинами,

«I - угол ориентации трещин (отменялся от 0° до 60°). Пунктирные линии на рисунке соответствуют результатам, полученным О Тамате, который для решения данной задачи использовал разложение комплексных потенциалов в ряд Лорана. На рис.4 представлены зависимости ЛГ](Л.,а]) для ортотропной пластинки (рис.3) из графитоэпоксидного композита при различных углах

14

10

06

02

в1=0° //

Г 30'

40*

50°

60*

X

00 02 0.4 08 1

Рис 3 Изгиб пластины с двумя наклонными прямолинейными трещинами

Е,

1 4]

1С

06

02

к1 «1=0?,

.. г - — —""

к —" о

--^

- —ч, -ГлО.

60° х

О

02

04 06 08 1 0 Рис 4. КИН в ортотропной пластинке

анизотропии <р Сплошные линии соответствуют <р = 0, штриховые - <р = яг/2 Сходимость результатов вычислений иллюстрируется даннымы таблицы 1, в которой приведены значения К\(Л,а\) (при Я = 0 95 ) для различного числа узлов коллокации

(N = 2,4,12,20,40,60) на контурах разрезов Из таблицы видно, что относительная погрешность в вычислении КИН порядка 0 001 гарантируется уже при задании 20 узловых точек на контурах разрезов, что свидетельствует о высокой эффективности применяемого метода Размерность решаемой при этом системы действительных линейных алгебраических уравнений равна восьмидесяти двум

Третья глава посвящена определению НДС неограниченной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, содержащей криволинейные гладкие жесткие включения и разрезы, неограниченной анизотропной пластины, подкрепленной замкнутыми гибкими кольцевыми стержнями. Дано решение задачи об изгибе анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, часть края которого загружена нормальными погонными изгибающими моментами постоянной интенсивности

С использованием принципа суперпозиции решение первой задачи осуществляется суммированием НДС пластины с эллиптическим отверстием без дефектов (это решение получено в первой главе и считается известным) с возмущениями НДС, вносимыми трещинами и включениями Комплексные

"1 <Р Количество узлов N

60 40 20 12 4 2

0 0 1.7689 1 7689 1.7688 1 7640 1 5010 1 1457

л/2 1 7689 1 7689 1.7688 1 7640 1.5010 1.1457

л/в 0 0 6812 0 6812 0.6812 0 6812 0 6583 06824

л/2 0 9183 0 9183 0 9183 0 9183 0 8999 0 8145

л/3 0 02 02 02 0.2 0.1948 01841

л/2 0 2503 0 2503 0 2503 0 2503 0.2502 02499

потенциалы, описывающие возмущения НДС представляются в виде сингулярных интегралов с неизвестными функциями подынтегральных плотностей по контурам разрезов и включений Ядрами таких интегралов служат сингулярные решения от сосредоточенных дислокаций в анизотропной пластине с эллиптическим отверстием Для криволинейных разрезов со свободными берегами (или загруженными самоуравновешенной нагрузкой) комплексные потенциалы принимают вид

ф (z )= 1 t\a>v{t)dTv 1у<щ(т)с1т\ nv(»2(T)dT2} 2ma{,(Çv)j\ rjy-Cy Cv(l-Çvm) ÇvV'ïvVl)]

Если на контуре эллиптического отверстия решается первая краевая задача, то lv,nv определяются из соотношений (8), когда же на контуре отверстия задаются перемещения, то постоянные lv,nv определяются из (3).

Для абсолютно жесткого криволинейного гладкого включения краевые условия записываются в виде (9) с нулевой правой частью - краевые условия становятся однородными, однако, для множителей a(t),b(t) при предельных значениях функций в левой части краевых условий следует записать другие выражения

Ы-М2) m=MÎU)(Jh-M2)

Комплексные потенциалы для включений задаются в таком же виде, как и для разрезов — в виде сингулярного интеграла по контуру включения Задавая комплексные потенциалы в таком виде, заранее удается выполнить краевые условия на контуре эллиптического отверстия

Аналогично тому, как это сделано во второй главе, краевая задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений Дополнительными условиями для жестких включений является равенство нулю главного момента внутренних сил, действующих со стороны пластины на жесткое включение Данные условия по виду совпадают с первым из соотношений (12) Равенство нулю главного вектора при этом обеспечивается автоматически При обходе по замкнутой кривой контуров жестких включений перемещения точек пластины остаются неизменными, благодаря структуре комплексных потенциалов Точно также при обходе по замкнутой кривой контуров разрезов, к берегам которых приложена статически эквивалентная нулю нагрузка,

автоматически выполняются условия равенства нулю главного момента и главного вектора внутренних сил на замкнутом контуре.

Решение задачи изгиба анизотропных пластин, подкрепленных замкнутыми кольцевыми стержнями постоянной изгибной и крутильной жесткости, сводится к определению контактных усилий, действующих со стороны стержня на пластину и представляющих собою скачки нормальных изгибающих моментов и обобщенных перерезывающих сил при переходе через ось стержня. Комплексные потенциалы, описывающие НДС пластины, задаются также в виде интегралов типа Коши по соответствующему замкнутому контуру. Скачки напряжений в пластине при переходе через ось подкрепляющего стержня выражаются через функции подынтегральных плотностей в потенциальных представлениях. Решаемая при этом краевая задача, в отличие от абсолютно жесткого подкрепления, становится неоднородной и приводится к сингулярному интегральному уравнению с переменным верхним пределом. Уравнение решается численным методом с использованием квадратурных формул для сингулярных и регулярных интегралов и интерполяционного полинома для функций подынтегральных плотностей при вычислении интегралов с переменным верхним пределом.

Решение задачи изгиба неограниченной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, часть края которого загружена нормальными изгибающими моментам и постоянной интенсивности т {рис. 5), строится с использованием конформного отображения эллиптических отверстий а плоскостях - х + /4иу на внутренность единичного круга у = = 1}

{рис. 6)

а + \ЦуЬ а - 1

2 2 С

-<мл |с|<1

и обратных функций

а - 1/ЛуЪ

П

В (ог)

У* (ой

Рис. 5. Анизотропная пластина с эллиптическим отверстием

Рис. 6. Единичный круг

Для определения функций Уу(£) = <ру \_<°у (С)] > голоморфных внутри единичного круга у и удовлетворяющих на его контуре краевым условиям, использована формула Шварца, восстанавливающая функцию аналитическую внутри единичного круга по ее вещественной части, заданой на контуре круга

Поскольку главный момент от нагрузки, приложенной к контуру эллиптического отверстия, не равен нулю, представляются в следующем виде:

ГуЮ-ВуЫС + УуоЮ, (19)

где УуоЮ ~ Функции голоморфные внутри единичного круга (рис 6), а комплексные константы Ву определяются из системы уравнений (2), в которой Мх,Му - проекции главного момента нагрузки, приложенной к

контуру отверстия, на координатные оси.

С использованием данной процедуры из краевых условий на контуре единичного круга получены соотношения

4т 3 а —с, а

Ло(°")=Л(СГ)+1ПСГ

Ш М1 М2 иг

/20(°") = /2(°') + 1по'[«-в1 -Я1В1+Ч2В2-Я2В2] Здесь /¡(с),/2(0") - правые части статических краевых условий на контуре единичной окружности, а(ь/?0 - некоторые действительные постоянные Из соотношений (20) для искомых функций получены выражения

93^/10(0-^-/20(0 МЗ-у

п Ру-п РЪ-У

иу - 13-У--1У-

Ну мз-у

(21)

-С *

где Лу - некоторые комплексные константы, которые не влияют на напряженное состояние.

Из формулы (21) после вычисления интегралов типа Коши в правой части найдены с точностью до комплексной постоянной неизвестные функции

^0(0=7-1-

¡СП Ру_.а РЗ-У

ЧЗ-У Чу

Му МЗ-у

гСЬ рз-у Са

™ у +ЧЗ-у — 2 МЗ-

■V

1

4711

р%-V та гтЪ

\M3-v 2 2

а2 ~а1 +2^1п

а2~С -С

гРЗ—у та 1тпЬЛ

тт^^Г+чъ-у^г

РЗ-у 2 2

С и2 (°"1 ~ О а1а2

РЗ-у

МЗ-У 2

1 ] шЬ <72) 2

<72 —

_1_ а2

I. (о-1-О °"2

В данном выражении содержится неизвестная действительная постоянная С Для ее определения использовано условие однозначности прогибов в пластине при обходе эллиптического отверстия по произвольному замкнутому контуру Ь

{и^ = 2Ке| 2к1 £ Ву{ +

у=1

2 Пу

2тЕу1п— +

+Му - СЕу + тСу

2 2 °1 2

+ 2тН.

а\ °2)

= 0

1т

С = -

а -

у=1

2Д,

2Ру\а^ + ву

_2 ^2 <7, СГ~

VI 2 у

+ 2Я,

_1___1_

щ сг2

М„

Еу а - 1/иуЬ 2

МЗ-у )

аЕЩа2+±_

МЗ-УК °2

- Мз-\

<72--

°2.

8яп

а-РЗ и - ¡Ьд^-у . МЗ-у

, (Зу =

т 8тг г

. МЗ-у

Му -2г

ЧЪ.у 1т| В,в1 + Р2в2

-Р^1т(щВ1 + д2В2) МЗ-у

М2

Напряжения в пластине определяются через функции, получаемые дифференцированием

+21п Ру-

1 1

+ Ну +

В четвертой главе метод СИУ используется в качестве инструмента расчета НДС композитных слоистых панелей в задаче оптимального проектирования композитных панелей Это направление исследований в настоящее время является актуальным и востребованным. При оптимальном проектировании конструкция предполагается заданной до некоторого числа свободных (варьируемых) параметров Эти параметры находятся в процессе решения задачи из условия (критерия) оптимальности Таким условием чаще всего является экстремум целевой функции (функционала) вес, объем конструкции, стоимость и др Задача в этом случае ставится как экстремальная задача вариационного исчисления с использованием методов решений прямых задач и методов математического программирования.

Неоднородная пластинка, состоящая из упругих анизотропных слоев, соединенных между собой с помощью сварки, пайки, склеивания, может быть представлена в некоторых случаях как однородная и анизотропная. Таковыми являются пластинки с симметричной структурой, состоящие из одинакового нечетного числа однородных слоев Слои с идентичными характеристиками располагаются симметрично относительно срединной плоскости. Для таких пластин задачи изгиба и определения мембранных усилий, действующих в срединной плоскости, описываются независимыми системами уравнений. Для пластин с произвольной структурой такого разделения провести нельзя и необходимо решать более сложную задачу об одновременном действии растяжения-сжатия, сдвига и изгиба. Пластина может быть бесконечной, либо конечной и содержать отверстия, трещины, замкнутые и разомкнутые жесткие включения Внешние усилия задаются в виде Р различных вариантов статических изгибающих нагрузок

Задача оптимизации многослойной пластины сформулирована следующим образом при заданных упругих характеристиках материалов слоев, углах укладки и форме отверстий найти такие значения толщин слоев, при которых обеспечивается минимум веса

В качестве ограничений принято условие обеспечения прочности одновременно для всех Р вариантов статических нагрузок и заданном критерии разрушения Варьируемыми параметрами являются толщины слоев йг, укладка слоев <рг считается фиксированной

N N г=1 1=1

Для случая одинаковых слоев задача нахождения минимального веса эквивалентна задаче определения минимальной толщины пластины и целевая функция имеет вид:

N

min

£=1

Для решения задачи о начальном разрушении пластины использован феноменологический критерий прочности, который для j - ого слоя в общем случае плоского напряженного состояния имеет вид

0P = Gjk£j£k+Gjsj-l> = =1,2,6) (22)

ф=гаах|фр|, (/=1,...,ЛГ, р = 1,...,Р). i,p 1 >

Здесь с^ ~ £х>г2 = еУ ,£6 ~ ~ ДеФ°Рмаш1и »акета в системе координат хОу от р-го варианта нагружения. Постоянные вычисляются через упругие и прочностные характеристики материала, а также углы ориентации 1-го слоя (рис. 7). Для решения сформулированной задачи оптимизации предложен алгоритм, основанный на методе покоординатного спуска. В целях создания эффективного алгоритма оптимизации введены новые проектные параметры, область изменения которых - конечный интервал.

h

Значения принадлежат интервалу[0,1]. Фиксируется произвольно некоторый номер j, такой, что J < j<N. Тогда

Рис. 7. Ориентация слоев в пластине

ш" = тах(а>Д й>/ =■—, {*' =).....) ~ 1,7 +

1* у со

Для фиксированных значений h,coj,co^, (г * /) однозначно определяется толщина каждого слоя.

(23)

СОУ +

N

С учетом (23) из формулы (24)следуют соотношения

* 1-й) со =

*— (1-св1)а,к

hJ - (О^к.

(24)

(25)

Е °>1 X ак

Минимизация толщины пластины производится последовательно. Выбрав некоторое значение }, то есть, выделив величину со J, фиксируют соотношение осредненных толщин остальных слоев а>1 , г Ф ] с помощью формулы (23) Минимум толщины пластины достигается варьированием параметра o}J методом "золотого сечения" (рис 8) Выполнение ограничений

(22) обеспечивается методом деления отрезка пополам При этом общая тол-

щина пластины оз,

и толщины или

Ьтп

(»¡опт

Рис 8 Оптимизация толщины пластины

слоев «, увеличиваются уменьшаются пропорционально, пока не будет достигнута заданная точность приближения к огибающей ограничений Ф. При сокращении интервала неопределенности для параметра ю^

до заданных оптимизационных пределов получается новая толщина А и вычисляются значения И1 1 = 1,. по формулам (25)

Меняя значения } от 1 до N и повторяя каждый раз вы-

шеописанную процедуру, получают толщину элемента на данной итерации. Результаты вычислений сравниваются с результатами предыдущей итерации. Работа алгоритма продолжается, пока не будет достигнута заданная погрешность вычислений.

На рис 9 приведены результаты оптимизации для четырехслойных композитных панелей из материала НМ8/3002М, ослабленных эллиптическим отверстием с углами укладки слоев 0°,90°,-45°,+45°, при варьировании внешней нагрузки и параметров отверстия.

В пятой главе метод интегральных уравнений используется для решения задач изгиба конечных многосвязных анизотропных пластин при воздействии произвольной изгибающей нагрузки. Рассмотрены пластины, ограниченные гладкими замкнутыми контурами и содержащие сквозные криво-

линейные гладкие разрезы и криволинейные жесткие включения Подобно бесконечным пластинам НДС конечных многосвязных пластин определяется как сумма НДС бесконечной пластины и возмущений НДС, обусловленных контурами, ограничивающими пластину При этом для внешнего контура пластины определяется возмущение НДС для конечной области, вырезаемой из неограниченной плоскости данным контуром На каждом их контуров пластины решается соответствующая краевая задача Комплексные потенциалы, дающие решение задачи, также задаются в виде интегралов типа Коши по соответствующим контурам с неизвестными функциями подынтегральных плотностей, определяемых в дальнейшем из краевых условий Подобно бесконечным пластинам краевые задачи на контурах конечной пластины сводятся к системе СИУ Дополнительными условиями для внутренних контуров разрезов и отверстий являются условия однозначности перемещений во внутренних точках пластины Для линейных и двумерных жестких включений - это условия равенства нулю вектора главного момента. Если на внешнем контуре пластины заданы статические граничные условия, следует потребовать выполнения условий равновесия пластины (равенство нулю главного момента и главного вектора суммарной нагрузки, прикладываемой к пластине) Следует отметить, что при выполнении условий равновесия пластины, условия однозначности перемещений для точек внешнего контура пластины получаются однородными (смотри соотношения (13)) В случае, когда хотя бы на части внешнего контура пластины заданы перемещения, выполнения условий равновесия не требуется

Для решения полученной системы интегральных уравнений применяется предложенная во второй главе процедура замены сингулярных интегралов конечными суммами с использованием интерполяционного полинома для функций подынтегральных плотностей и специальных квадратурных формул

Предлагаемая в пятой главе методика решения задач изгиба конечных анизотропных пластин протестирована решением ряда известных задач изгиба изотропных пластин, а также применена при решении ряда оригинальных задач На рис. 10 показано изменение КИН в вершинах прямолинейного разреза в круглой пластине, содержащей круговое отверстие, в зависимости от величины перемычки между вершиной разреза и

[кН]

Рис 9 Оптимизация толщины для пластины с эллиптическим отвепстием

Mnfr

кромкой отверстия. Материал пластины графитоэпоксидный композит Сплошная линия на графике соответствует изотропному материалу (V = 0 25)

В таблице 2 приведены результаты вычисления КИН К\ для круглой

изотропной (у = 025) пластины с центральной прямолинейной трещиной (центры трещины и пластины совпадают), изгибаемой равномерно распределенными по внешнему контуру нормальными изгибающими моментами Расчеты проведены для различных соотношений размеров трещины и пластины Решение, полученное методом СИУ, сравнивается с результатами Л Т Бережницкого, полученными разложением комплексных потенциалов по малому параметру За параметр разложения было принято отношение длины трещины к диаметру пластины. Решение методом малого параметра дает удовлетворительные результаты при малых значениях А. С уменьшением перемычки

между контуром пластины и вер" шинами разреза решение по методу малого параметра расходится Сходимость результатов расчета с использованием метода СИУ иллюстрируется таблицей 3, в которой приведены значения КИН в зависимости от числа точек коллохации на контурах разреза и круга Для конечных пластин необходимо увеличивать число точек на контурах, ограничивающих пластину, чтобы получить высокую точность

0 0 25 0 5 0 75

Рис 10 Изгиб круглой пластины с круговым отверстием и прямолинейной трещиной

Í" II >9|- Автор Решение Бережницкого Расхождение (%)

0 05 i ood 1.0006 0 06

01 1.0048 10023 0 25

02 1.0197 1.0097 0.98

04 1 0854 1 0454 3 67

05 1 1433 1 0808 5.47

07 1 3628 1 2370 9 23

08 1 5967 14129 11 51

0.95 3 0621 2 0244 33 89

при определении напряжений. Так в задаче изгиба бесконечной анизотропной пластины с прямолинейным разрезом для получения точности 01% достаточно задать две точки на контуре разреза Для круглой пластины с центральным прямолинейным разрезом при соотношении размеров трещины и радиуса пластины ПК - 0 8 уже необходимо задать не менее чем сорок

Таблица 3

точек коллокации на каждом из контуров, ограничивающих пластину. С уменьшением относительного расстояния между контурами необходимо увеличивать порядок аппроксимации для сингулярных интегралов.

Метод СИУ эффективен и при решении смешанной краевой задачи на контурах, ограничивающих пластину. График на рис 11 иллюстрирует распределение изгибающих моментов в сечении заделки консольной пластины с круговым отверстием (проушина), нагруженной сосредоточенной силой в плоскости симметрии, в зависимости от удлинения проушины Я = В/Я. Ядрами для комплексных потенциалов в данной задаче служат сингулярные решения для защемленной полуплоскости.

Я / / N 160 80 40 20

02 1.0197 1.0197 1 0197 1.0197

04 1 0854 1.0854 1.0854] 1.0854

06 1.2288 1.2288 1 2288 12291

0.8 1.5967 1.5967 1 5975 1 6461

Материал пластины - стеклоэпоксидный

V

B + 09R . ¿=06R

В | *—^

Г

* V14 J pz 1 * nÜL

Мх

15

1 2

09

06

03

25

—1 25 — . 175*\ \

• —. м

I'jQC У/025 V» м \д I» \\ Л N4>

f Я—005 si y/R

-1 0

-05

05

10

Рис 11 Распределение изгибающих моментов в сечении заделки проушины

композит (£,=5 384-Ю4 МПа, E\/Ef=3, G=0 863-104 МПа, ví2= 025, <р= 0) Пунктирная линия (точки на графике для Л=0 25) - это решение, полученное с использованием программного комплекса COSMOS-m (МКЭ) Несамо-уравновешенность момента от внешней нагрузки и изгибающих моментов в сечении заделки пластины при решении задачи методом КЭ составляет 2,5%, а методом СИУ - 0 5%. Размерность решаемой системы алгебраических уравнений для МКЭ - 16134, при использовании СИУ - 322

На рис 12 изображена прямоугольная изотропная (V = 0.3) пластина, защемленная по большей стороне Отношение сторон пластины а/Ь = 0 25 Пластина загружена сосредоточенной силой на середине свободного «рая. График на рисунке 12 показывает распределение изгибающих моментов по сечению заделки (для 20 узлов коллока-

ций) Кружочками отмечены результаты Т. Ка1ауата, полученные с использованием метода граничных элементов. Незаштрихованные кружочки соответствуют разбиению контура пластины на 20 элементов, заштрихованные кружки соответствуют 30 граничным элементам. Следует отметить, что решение по предлагаемой методике (СИУ), хорошо совпадающее с решением МГЭ при 30 элементах, реализуется при меньшем числе узловых точек. Это объясняется тем, что на защемленной части контура пластины, выбранные потенциальные представления автоматически удовлетворяют краевым условиям Крестиками на графике нанесены результаты эксперимента, проведенного Б. ОЫе и М. №$1с1а. Изгибающие моменты в сечении заделки определялись методом фотоупругости Максимальные расчетные напряжения отличаются от полученных экспериментальным путем менее чем на 1%. Ближе к свободному краю это расхождение несколько увеличивается и составляет около 6%. Такое совпадение с результатами эксперимента можно считать очень хорошим.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1 Получены новые сингулярные решения технической теории изгиба анизотропных пластин для полубесконечных областей с различными краевыми условиями на границе, для пластин в форме свободно опертой бесконечной полосы, полуполосы с различными условиями на конечной кромке, для ортотропного квадранта, для неограниченной пластины с эллиптическим отверстием, для прямоугольной ортотропной пластины. Соответствующие решения позволяют построить комплексные потенциалы в виде интегралов типа Коши, ядрами для которых являются соответствующие сингулярные решения, и описывают НДС пластины соответствующего вида, содержащей гладкие отверстия, сквозные трещины, жесткие включения

2 С использованием метода комплексных потенциалов построены потенциальные представления в виде интегралов типа Коши, сформулирована краевая задача и получены системы разрешающих интегральных уравнений с дополнительными условиями, накладываемыми на перемещения, для задачи изгиба неограниченных и полубесконечных анизотропных пластин, содержащих сквозные гладкие криволинейные разрезы и гладкие отверстия.

МХ!Р

Рис 12 Прямоугольная консольная пластина

Реализован эффективный алгоритм численного решения системы сингулярных интегральных уравнений, основанный на аппроксимации криволинейных сингулярных интегралов по разомкнутым и замкнутым гладким контурам специальными квадратурными формулами Подтверждена эффективность этого алгоритма для задач изгиба пластин с ветвящимися трещинами и трещинами выходящими на контур отверстия

3 Сформулирована краевая задача и построены потенциальные представления для неограниченной анизотропной пластины, содержащей абсолютно жесткие криволинейные включения, построены потенциальные представления и получены система разрешающих интегральных уравнений с дополнительными условиями для вектора главного момента, действующего со стороны пластины на включение. Предложен алгоритм численной реализации краевой задачи

4 Сформулирована краевая задача и построены потенциальные представления для неограниченной анизотропной пластины, подкрепленной кольцевыми криволинейными гладкими стержнями постоянной изгибной и крутильной жесткости Показано, что краевая задача в этом случае сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с переменным верхним пределом, предложен алгоритм численного решения, основанный на использовании интерполяционного полинома для функций подынтегральной плотности в регулярных интегралах с переменным верхним пределом.

5 В замкнутом виде построено решение задачи изгиба неограниченной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, часть края которого загружена нормальными изгибающими моментами постоянной интенсивности

6 Построено методом комплексных потенциалов решение задачи изгиба анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, содержащей криволинейные гладкие дефекты и гладкие отверстия, с заранее выполненными на контуре эллиптического отверстия краевыми условиями

7 Сформулирована задача оптимального проектирования для многослойной композитной пластины симметричного строения из условия минимума веса пластины (при одинаковых упругих характеристиках слоев -минимум толщины), предложена численная процедура оптимизационной задачи, получены численные результаты оптимизации толщины для многослойной пластины с эллиптическим отверстием

8 Построены потенциальные представления для задач изгиба конечных анизотропных пластан, ограниченных гладкими контурами и содержащих гладкие криволинейные разрезы и жесткие включения. Показано, что в случае задания на внешнем контуре пластины усилий и моментов (первая краевая задача) необходимым условием однозначности перемещений точек внешнего контура пластины является выполнение условий равновесия пластины (равенство нулю главного момента и главного вектора усилий, прикладываемых к пластине) Проведены анализ результатов численных исследований НДС конечных многосвязных пластин, сравнение с известными результатами для изотропных пластин, полученными альтернативными мето-

дами (МКЭ, метод конечных разностей) Для консольных пластин проведено сравнение результатов расчета с экспериментальными исследованиями, отмечено хорошее совпадение результатов Получены решения ряда новых задач изгиба многосвязных пластин (круглой пластаны с центральной (нецентральной) прямолинейной трещиной, круглой пластины с круговым отверстием и прямолинейной трещиной и др ), исследованы поля напряжений в окрестностях вершин трещин в этих задачах.

9. Получено решение задачи об изгибе консольной пластины с деформированной защемленной кромкой

10 Разработанная методика рационального проектирования и расчета НДС анизотропных композитных пластин использовалась при проектировании и расчете элементов тонкостенных конструкций конкретных изделий авиационно-космической техники, что подтверждено соответствующими актами внедрения результатов диссертационной работы

По теме диссертации опубликовано 43 печатные работы. Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1 Куршин JIM К расчету на изгиб стреловидных консольных пластин / J1М Куршин, К А Матвеев, Е Г Подружин // Прикладные проблемы прочности и пластичности Статика и динамика деформируемых систем Всесоюзн межвуз сб. - Горький: Изд-во ГТУ, 1980 —С 122-126

2 Куршин JIM Изгиб подкрепленной пластины / JIM Куршин, К А Матвеев, Е Г Подружин//Изв вузов. Сер строит и архитект -1982.-№8.-С 35-38

3. Максименко ВН Изгиб анизотропной пластины, ослабленной криволинейным разрезом / В Н Максименко, Е Г Подружин // Прочность конструкций летательных аппаратов Межвуз сб научн трудов. - Казань Изд-во КАИ, 1986.-С 3-8

4 Максименко В Н Изгиб анизотропных пластин, ослабленных отверстием и системой трещин / В Н Максименко, Е Г. Подружин // Динамика и прочн. авиац констр Межвуз сб научн. трудов - Новосибирск Изд-воНЭТИ, 1986 -С 98-103

5 Максименко ВН Решение задачи изгиба анизотропной пластины с гладким отверстием или жестким включением произвольной формы методом интегральных уравнений / В Н Максименко, Е.Г Подружин // Динамика и прочн авиац констр Межвуз сб. научн. трудов - Новосибирск Изд-во НЭТИ, 1986 -С 151-155

6 Максименко ВН. Задачи изгиба анизотропных консольных пластин / В Н. Максименко, Е Г Подружин // Динамика и прочн авиац. констр Межвуз сб научн трудов. - Новосибирск- Изд-во НЭТИ, 1987 - С. 102-106

7 Максименко ВН Определение напряженного состояния консольной пластины произвольной формы / В Н Максименко, Е.Г Подружин // Изв вузов Сер. строит и архитект -1988 -№7 - С 38-42

8. Максименко В.Н Изгиб стреловидных консольных пластин / В H Мак-сименко, Е Г. Подружин // Динамика и прочн. авиац констр - Новосибирск-НЭТИ, 1989 -С 72-75.

9 Максименко В H Изгиб анизотропных пластин при наличии трещин сложной формы / В.Н Максименко, Е Г. Подружин // Ученые записки ЦАГИ— 1989 -Т.20, №3. — С. 81-90.

10.Максименко В H К расчету на изгиб анизотропных консольных пластин / В H Максименко, Е Г Подружин // Изв вузов. Сер Авиац техника. - 1989 -№4. - С. 76-78

11.Максименко В H Изгиб консольных пластин учеб пособие для студентов ФЛА (специальность 1209) / В H Максименко, К А Матвеев, Е.Г Подружин, Новосиб. электротехн ин-т — Новосибирск Изд-во НЭТИ, 1991 -63с.. ил.

12 Podruzhm Е G Fundamental decisions ni problems of anisotropic plates bending / Podruzhm EG// KORUS 2002. The 6 Russian-Korean Intern Symp on Science and Technology Proc - Novosibirsk NSTU, 2002 -Vol 2 -P. 174-177.

13 Максименко В H Изгиб анизотропной пластины, содержащей тонкие жесткие включения / ВН. Максименко, ET Подружин // В сб Материалы международной конференции САКС-2002, Красноярск, 6-7 декабря, 2002 г -Красноярск СибГАУ,2002 -С 338-340.

14 Максименко В H Сосредоточенные нагрузки в задачах изгиба анизотропных пластин / Максименко В.Н, Подружин Е Г // Моделирование процессов в синергетических системах Сб. ст. — Улан-Удэ - Томск, Томск- Изд-во ТГУ, 2002 - С. 115-118

15 Максименко В H Фундаментальные решения в задачах изгиба анизотропных пластин / Максименко В.Н, Подружин Е Г // Приклад механика и техн физика - 2003. - Т. 44, № 4. - С. 135-143.

16 Podruzhm Е G Bending of an anisotropic plate with an elliptical rigid inclusion / Podruzhin E G.//KORUS 2003 Proc of the 7 Korean-Russian Intern. Symp on Science and Technology / Univ. of Ulsan, Republic of Korea. -Ulsan, 2003 -Pt 1.-P. 351-354

17 Подружин ЕГ Метод граничных интегральных уравнений в задачах изгиба многосвязных анизотропных пластин / Подружин Е Г., Рябчиков П.Е. // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Тр 18 Межресп конф., Кемерово, 1-3 июля 2003 г. - Новосибирск, 2003 -С 146-152

18.Подружин ЕГ Изгиб анизотропной пластины, содержащей криволинейные, жесткие включения и трещины / Подружин Е Г, Рябчиков П Е. // Всерос. шк.-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела, Новосибирск, 13-17 окт. 2003 г • Сб докл -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - С 171 -175

19 Подружин ЕГ Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах изгиба анизотропных пластин с многосвязным контуром / Е Г Подружин, П.Е Рябчиков // Моделирование и управление в технических и

экономических системах сб тр. 7 Всерос. науч конф. «Краевые задачи и математическое моделирование», Новокузнецк, 4-5 дек 2004 г - Новокузнецк, 2004. - С 86-87.

20. Подружим Е Г Изгиб анизотропной пластины с эллиптическим отверстием / Е Г. Подружин // Науч вестн НГТУ - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. — № 1 (16) - С 63-74

21 Podruzhin EG Bending of anisotropic plates with stress concentrators / E.G. Podruzhin, P E Ryabchikov // KOR.US 2004. The 8 Korea-Russia intern. symp on science and technology • proc. Tomsk, Russia, 2004 -Tomsk, 2004. - Vol. 3 - P 58-61

22 Максгшенко В H Сосредоточенные нагрузки в анизотропной пластине с эллиптическим отверстием / В.Н Максименко, Е Г Подружин // Сиб журн индустр математики.-2004.-Т.7,№4(20) -С 107-115.

23 Подружин Е Г Сингулярные решения для анизотропных пластин с эллиптическим отверстием / Е.Г. Подружин, В.Н. Максименко II Приклад механика и техн. физика. —2005. —Т. 46, № 1 -С 144-152

24 Подружин ЕГ Изгиб конечной анизотропной пластины, ограниченной многосвязным контуром / Е.Г Подружин // Науч. вестн. НГТУ. -Новосибирск Изд-во НГТУ, 2005. - № 3 (21). - С. 121-130.

25 Подружин ЕГ Изгиб анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, край которого частично загружен изгибающими моментами постоянной интенсивности / Е Г Подружин, П Е Рябчиков // Аэродинамика и прочность конструкций летательных аппаратов тр. всерос науч -техн. конф, посвящ. 60-летию отд-ний аэродинамики летат. аппаратов и прочности авиац конструкций, Новосибирск, СибНИА, 15-17 июня 2004 г - Новосибирск. СибНИА, 2005. - С 257-260

26 Podruzhin Е G Bending of finite anisotropic plates with cracks and holes / E G. Podruzhin, P.E Ryabchikov I I KORUS-2005 The 9 Russian-Korean intern, symp on science and technology . proc., Novosibirsk, Russia, 26 June-2 July 2005.-Novosibirsk NSTU, 2005. - Vol 1 -P. 514-517

27 Optimal design of composite panels with an elliptical hole / V N Mak-simenko, E G Podruzhin, V1 Butynn, L.V Pavshok, P.E Ryabchikov // KORUS-2005. The 9 Russian-Korean intern, symp on science and technology . proc, Novosibirsk, Russia, 26 June - 2 July 2005 — Novosibirsk-NSTU, 2005 - Vol. 1 -P 498-501.

28 Подружин E. Г Изгиб конечных анизотропных пластин с гладким отверстием и криволинейными трещинами / Е.Г Подружин, П.Е Рябчиков // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности тр 19 всерос конф , Бийск, 2&-31 авг. 2005 г - Новосибирск Параллель, 2005 - С. 224-229.

29.Весовое проектирование композитных панелей, ослабленных эллиптическим отверстием, при изгибе моментами / ВН. Максименко, Е.Г Подружин, В И. Бутырин, Л.В. Павшок, П.Е. Рябчиков // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности . тр 19 все-

рос конф , Бийск, 28-31 авг. 2005 г - Новосибирск Параллель, 2005 -С 172-176.

30 Максименко В Н Изгиб конечных анизотропных пластин, содержащих гладкие отверстия и сквозные криволинейные разрезы / В Н Максименко, Е Г Подружин // Сиб журн. индустр математики - 2006 - Т 9, №4 (28) - С 123-135

31 Максименко В Н Сингулярные интегральные уравнения в задачах изгиба конечных и бесконечных анизотропных пластин с многосвязным контуром / В.Н Максименко, Е Г. Подружин // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006г. Аннотации докладов - Нижний Новгород : НГГУ, 2006 -Т III.-С 140

32 Maximenko VN Singular Integral Equations for the Bending Problems of Multiconnected Anisotropic Finite Plates / V.N Maximenko, E.G. Podruz-hm // "IFOST 2006" The 1st International Forum on Strategic Technology "e - Vehicle Technology" Univ of Ulsan, Republic of Korea -Ulsan, Oct 18-20,2006 -P.283-286

33 Максименко В H Напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины, содержащей криволинейные трещины и тонкие жесткие включения / В Н Максименко, Е Г Подружин, П Е Рябчиков // Известия РАН Сер Механика твердого тела. - 2007. - №2 -С 66-74

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20, тел/факс (383) 346-08-57, формат 60x84/16, объем 2,25 п л, тираж 100 экз, заказ № 1162, подписано в печать 7 09 07 г

ВВЕДЕНИЕ.

1. СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ТЕОРИИ ИЗГИБА ТОНКИХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

1.1 Основные соотношения анизотропной теории упругости.

1.2 Бесконечная анизотропная пластина под действием сосредоточенных нагрузок.

1.3 Изгиб анизотропной полуплоскости сосредоточенной нормальной нагрузкой при различных краевых условиях.

1.4 Ортотропный квадрант под действием сосредоточенной нормальной нагрузки при различных краевых условиях на кромках.

1.5 Бесконечная анизотропная пластина и анизотропная полуплоскость под действием периодической системы сосредоточенных нагрузок.

1.6 Бесконечная ортотропная свободно опертая по кромкам полоса под действием сосредоточенной нормальной нагрузки.

1.7 Ортотропная полуполоса, свободно опертая по трем сторонам, под действием сосредоточенной нормальной нагрузки.

1.8 Ортотропная полу пол оса, свободно опертая по полу бесконечным кромкам и жестко защемленная по конечной стороне, под действием нормальной сосредоточенной нагрузки.

1.9 Сингулярные потенциалы, получаемые наложением из решения для ортотропной полу пол осы.

1.10 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием под действием сосредоточенного изгибающего момента при различных краевых условиях на контуре.

1.11 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием (жестким включением) под действием равномерно распределенной изгибающей нагрузки на бесконечном удалении.

1.12 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием под действием сосредоточенной нормальной нагрузки при различных краевых условиях на контуре.

1.13 Дислокации в задачах изгиба анизотропных пластин.

1.14 Составная анизотропная плоскость под действием сосредоточенной силы.

1.15 Выводы по главе 1.

2. ИЗГИБ БЕСКОНЕЧНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ОСЛАБЛЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ И ГЛАДКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

2.1 Бесконечная анизотропная пластина, ослабленная системой криволинейных разрезов.

2.2 Бесконечная пластина с трещинами и отверстиями. Постановка задачи. Запись комплексных потенциалов.

2.3 Сведение краевой задачи к системе интегральных уравнений.

2.4 Приведение системы интегральных уравнений к каноническому виду.

2.5 Численное решение сингулярных интегральных уравнений.

2.6 Случай ветвящихся разрезов. Выход разреза на внешний контур конечной пластины.

2.7 Асимптотическое представление напряжений в окрестностях вершин разрезов.

2.8 Вид комплексных потенциалов для многосвязных областей, ограниченных гладкими контурами и криволинейными разрезами, при несамоуравновешенной краевой нагрузке.

2.9 Физический смысл функций подынтегральной плотности в потенциальных представлениях.

2.10 Примеры решения некоторых задач.

2.11 Выводы по главе 2.

3. ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ, СОДЕРЖАЩЕЙ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СКВОЗНЫЕ ТРЕЩИНЫ И ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ.

3.1 Изгиб анизотропных пластин, содержащих тонкие криволинейные жесткие включения.

3.2 Вид комплексных потенциалов для пластины с эллиптическим отверстием и криволинейными дефектами.

3.3 Анизотропные пластины, подкрепленные упругими кольцевыми стержнями постоянной жесткости.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Некоторые преобразования граничных условий.

3.3.3 Потенциальные представления и сингулярное интегральное уравнение задачи.

3.3.4 Дополнительные условия. Некоторые формулы.

3.4 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием, загруженным по части контура распределенными нормальными изгибающими моментами постоянной интенсивности.

3.5 О вычислении интегралов типа Коши по единичной окружности.

3.6 Выводы по главе 3.

4. ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

4.1 Оптимальное проектирование слоистых композитных панелей.

4.1.1 Определение упругих характеристик многослойных пластинок.

4.1.2 Постановка задачи оптимизации.

4.1.3 Методы оптимизации.

4.1.4 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием.

4.2 Выводы по главе 4.

5. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ КОНЕЧНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ОГРАНИЧЕННЫХ МНОГОСВЯЗНЫМИ КОНТУРАМИ

5.1 Представления комплексных потенциалов для пластин с гладким контуром.

5.2 Представления комплексных потенциалов для пластин, содержащих гладкие отверстия и сквозные криволинейные разрезы.

5.3 Поперечный изгиб анизотропных консольных пластин с многосвязным контуром.

5.4 О характере особенности в угловых точках пластины со смешанными краевыми условиями.

5.5 Изгиб консольных анизотропных пластин с деформированной прямолинейной кромкой.

5.6 Анализ результатов численных исследований конечных многосвязных пластин.

5.6.1 Экспериментальное определение напряжений в консольной пластине.

5.6.2 Многосвязные консольные пластины. Результаты расчетов.

5.6.3 Круговая изотропная пластина с тремя осесимметрично расположенными отверстиями, нагруженная изгибающими моментами постоянной интенсивности по внешнему контуру.

5.6.4 Прямоугольная пластина с круговым отверстием.

5.6.5 Прямоугольная пластина с круговым отверстием и двумя жесткими ребрами.

5.6.6 Кольцевая пластина, нагруженная сосредоточенной силой.

5.6.7 Круглая пластина, ослабленная трещиной.

5.6.8 О произвольной постоянной в первой краевой задаче.

5.7 О границах применимости классической теории изгиба анизотропных пластин.

5.8 Выводы по главе 5.

Интенсивное развитие авиационной и космической техники, машино-и судостроения дало мощный толчок развитию численных методов решения инженерных задач, к каковым относится анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций. Несомненный успех в развитии вычислительной техники во многом стимулировал это развитие. Сегодня существует достаточно мощный аппарат вычислительных методов, и эффективное использование вычислительной техники для их реализации требует расширения границ исследования двумерных задач теории упругости. Метод граничных интегральных уравнений (МГИУ) в настоящее время является одним из современнейших методов решения краевых задач, несомненно, имеет большие перспективы в будущем. При всем многообразии существующих методов решения двумерных задач метод сингулярных интегральных уравнений (СИУ) обладает неоспоримыми достоинствами. Исторический обзор по становлению и развитию метода граничных интегральных уравнений можно найти, например, в монографиях [88,134].

К одной из важнейших сторон современной технологической революции относится создание и широкое использование в технике новых неоднородных анизотропных материалов композиционного строения. Одним из основных преимуществ композиционных материалов (КМ) по сравнению с традиционными сплавами является высокая удельная прочность и жесткость в выбранных направлениях, что обуславливает эффективность их применения в авиакосмических конструкциях. В инженерной практике остро встал вопрос изучения полей напряжений и деформаций в таких широко применяемых сложных элементах конструкций из сплавов и КМ. Эти исследования являются основополагающими при расчете на прочность и долговечность, а потому разработка эффективных методов расчета двумерных изотропных и анизотропных тел - актуальная задача.

К настоящему времени плоская задача теории упругости достаточно полно исследована и методы решения возникающих краевых и контактных задач в анизотропных пластинах с концентраторами напряжений (КН) в виде отверстий, трещин, включений и подкреплений соответственно хорошо развиты. Основополагающие результаты здесь были получены отечественными учеными, академиками АН СССР Н.И. Мусхелишвили, А.Ю. Ишлинским, В.В. Новожиловым, Ю.Н. Работновым, Л.И. Седовым, P.A. Христиановичем. Существенный вклад в развитие этого направления внесли: В.М. Александров, А .Я. Александров, И.И. Ворович, JI.A. Галин, Д.В. Грилицкий, Э.И. Гри-голюк, А.Н. Гузь, С.Е. Инглис, Г. Ирвин, Г.В. Колосов, С.А. Калоеров, A.C. Космодамианский, С.Г. Лехницкий, A.M. Линьков, В.Н. Максименко, Р.Д. Миндлин., Е.М. Морозов, В.А. Осадчук, Б.Л. Пелех, В.В. Панасюк, В.З. Пар-тон, П.И. Перлин, Г.Я. Попов, Г.Н. Савин, М.П. Саврук, Си Г., Л.И. Слепян, Ю.И. Соловьев, О. Тамате, А.Г. Угодчиков, А.Ф. Улитко, А.Ф. Уфлянд, Л.А. Фильштинский, Н.П. Флейшман, В.П. Черепанов, Д.И. Шерман, С.Я. Ярема и др.

Значительно менее исследованной представляется задача изгиба тонких пластин. Прежде всего, это объясняется приближенностью при решении задачи классической теории изгиба Кирхгофа, создающей определенные трудности, несмотря на аналогию с плоской задачей в записи краевых условий. Исследования по теории изгиба тонких плит связаны с работами Амбарцумя-на С.А. [78], Артюхина Ю.П. [81], Бережницкого Л.Т. [85,86,87], Вильямса М.Л. [73], Грилицкого Д.В. [108,109, 110], Исиды М. [29, 30], Калоерова С.А. [124, 125], Лехницкого С.Г. [143,144], Пелеха Б.Л. [177], Пелеха С.А. [178], Максименко В.Н. [45-47,150,160-162 180-187], Попова Г.Я. [192], Прусова И.А. [193, 106], Рейсснера Э. [48], Тамате 0.[64,-67], Филынтинского Л.А. [213,214], Хасебе Н. [17-23] и др.

В настоящей работе развивается приложение метода граничных сингулярных интегральных уравнений к решению задач изгиба бесконечных анизотропных пластин с КН в виде трещин, отверстий, а также имеющих подкрепления в виде абсолютно жестких стержней и стержней с конечными из-гибной и крутильной жесткостями. Отдельно рассматривается приложение

СИУ к задачам изгиба конечных многосвязных (в том числе консольных) пластин из анизотропных материалов. Следующий ниже обзор посвящен задачам изгиба многосвязных анизотропных бесконечных и конечных пластин.

Обзор состояния вопроса. По современным представлениям разрушение высокопрочных материалов и изготавливаемых из них элементов конструкций происходит путем распространения трещин, поскольку в реальном материале всегда имеются или возникают в процессе деформирования дефекты типа трещин (остроконечные полости, жесткие включения и т.п.) Так как предотвращение появления дефектов типа трещин является трудной технологической задачей, то при оценке несущей способности конструкций предполагается наличие трещин, которые имеются в структуре реальных тел и определяют те условия, при которых происходит распространение наиболее опасной трещины, приводящей к локальному или полному разрушению тела.

Основы теории распространения трещины в хрупких материалах были заложены в работах Гриффитса [12,11], где на основе энергетического метода решена задача о необходимой предельной разрушающей нагрузке для бесконечной однородной пластины с прямолинейной макроскопической трещиной фиксированной длины в условиях растяжения.

Упругие напряжения в окрестности концов трещины можно представить в виде К/у/г + О (г), где г - малое расстояние от вершины трещины, К-коэффициент интенсивности напряжений, О (г) - ограниченная величина при г —>0. Согласно Л. Ирвину [28,27], распространение трещины наступает тогда, когда коэффициент упругих напряжений достигает некоторого (постоянного для данного материала при заданных условиях) значения. Таким образом, величина этого коэффициента может служить характеристикой поля напряжений в окрестности вершины трещины.

Первыми работами по расчету пластин, ослабленных дефектами типа трещин, можно считать исследования Колосова [129] и Инглиса [26], впервые рассмотревших задачу о растяжении бесконечной пластины с эллиптическим отверстием, т.к. прямолинейная трещина - частный случай эллиптического отверстия. Для оценки предельного равновесия изгибаемых или растягиваемых пластин необходимо установить распределение напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины. Асимптотические формулы локального поля напряжений вблизи вершины трещины в условиях плоского растяжения впервые даны в работах [26,28,202, 73]. M.JT. Вильяме, исходя из теории Кирхгофа и используя метод собственных функций, дал распределение напряжений вблизи прямолинейной трещины в изгибаемой изотропной пластине [72]. Им было установлено, что в случае изгиба, как и при растяжении, особенность напряжений обратно пропорциональна квадратному корню расстояния от вершины трещины.

Дж. Си и Д. Райе [203] обобщили результаты Вильямса на случай изгиба моментами и поперечной нагрузкой пластин, состоящих из разных материалов, с трещиной на линии соединения. Они показали, что напряжения вблизи вершины трещины обратно пропорциональны корню квадратному расстояния до угловой точки дефекта и имеют осцилирующий характер, причем эти колебания локальны. При одинаковых упругих свойствах материалов результаты Си и Райса сводятся к результатам Вильямса [211].

Асимптотические формулы локального напряженно-деформированного состояния вблизи вершины жесткого остроугольного включения при изгибе пластин Кирхгофа были впервые даны в работе [216] Я.П. Хруща, М.В. Делявского, JI.T. Бережницкого. В работе [175] на основании существующей аналогии между формулировками основных задач плоской теории упругости и классической теории изгиба тонких пластин с единых позиций дано полное распределение напряжений и перемещений возле остроконечного дефекта (трещины или жесткого включения) с точками возврата на контуре.

Ф. Гейдон и В. Шеффелд рассмотрели изгиб перерезывающими силами пластины в форме кардиоиды [8]. Ими было отмечено, что в отличие от тангенциальных смещений прогиб пластины вблизи вершины дефекта прямо пропорционален расстоянию до вершины дефекта в степени три вторых.

В работах Л. Ирвина, Г.П. Черепанова [28,219] доказано, что асимптотическое распределение напряжений не зависит от конфигурации дефекта. Доказательство этого положения можно также найти в монографии [86].

Используя уравнения классической теории Кирхгофа, О. Тамате рассмотрел задачу об изгибе бесконечной изотропной пластины, ослабленной дугообразной круговой трещиной [65]. Изучению напряженно-деформированного состояния (НДС) в вершине трещины, расположенной на контуре кругового включения в бесконечной пластине при изгибе, посвящена статья А. Перельмана и Дж. Си [43].

Г. Рич и Р. Роберте исследовали изгиб бесконечной изотропной пластины, ослабленной круговым отверстием с одной и двумя прямолинейными трещинами, выходящими на его контур [196]. При решении использовался метод полиномиального представления Бови. Однако их решение представляется некорректным с точки зрения учета действительной константы, входящей в граничные условия теории Кирхгофа. Этим же недостатком страдают работы [43,65].

Задача изгиба полубесконечной изотропной пластины, ослабленной треугольным надрезом, от вершины которого распространяется трещина перпендикулярная свободному краю, решена Н. Хасебе в работе [17]. Для решения используется отображение на внешность единичного круга рациональной функцией. С применением метода Н.И. Мусхелишвили получено распределение напряжений и коэффициентов интенсивности для различных углов надреза и различной длины трещины. Задачи для бесконечной изотропной полосы с двумя краевыми трещинами исследованы в работах [23, 18] того же автора. Результаты численного эксперимента для задач об изгибе бесконечной изотропной пластины с трещиной, имеющей ответвления на противоположных концах представлены в [20]; в [23] также рассмотрены задачи о трещинах на линии соединения полуполосы и полубесконечной пластины. В

21] рассматривается изгиб изотропной полосы с уступом и трещиной. В работе [22] проанализирован случай упругой полуплоскости, свободно опертой на прямолинейном крае, с трещиной. Решение во всех работах этого автора строилось с помощью метода комплексной переменной с использованием рациональной отображающей функции. Получены общие решения в замкнутой форме.

Метод конечных элементов используется в работе В. Вильсона и Д. Томпсона, где рассматривается задача изгиба бесконечной изотропной пластины и полосы, ослабленных прямолинейными трещинами [75], такой же подход используется в задаче изгиба конечных пластин, ослабленных трещинами, под действием поперечной нагрузки в статье [4], где прогибы, в пределах сингулярных и регулярных конечных элементов, аппроксимируются по-разному.

В работе [19] исследуется НДС полубесконечной изотропной пластины, вдоль прямолинейного свободного края усиленной ребром конечной длины, у конца которого имеется прямолинейная трещина. Задача решается в комплексных потенциалах, причем область пластины конформно отображается на круг единичного радиуса. Исследуется зависимость коэффициента интенсивности напряжений от отношения длины подкрепляющего ребра к длине трещины.

В работе [221] предложен приближенный способ описания контакта берегов разреза при изгибе изотропной пластины в рамках двумерной теории Кирхгофа. Напряженное состояние пластины, изгибаемой равномерно распределенными на бесконечности моментами, вне прямолинейного разреза описывается парой несвязанных бигармонических уравнений обобщенного плоского напряженного состояния и изгиба пластин. На контактирующих берегах разреза неизвестное контактное давление заменяется статически эквивалентной системой: нормальными усилиями в срединной поверхности пластины и изгибающими моментами. Краевая задача сводится к нелинейному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению, решение которого найдено в замкнутом виде, определены коэффициенты интенсивности усилий и моментов в окрестности концов разреза.

Контакт берегов прямолинейной трещины в анизотропной плите учитывается в работе [24].

Задача изгиба бесконечной микронеоднородной пластины, содержащей макротрещину свободную от усилий, решалась в работе [114]. Предполагалось, что в окрестности вершины трещины всегда можно выделить структурную область, где материал в среднем однородный и изотропный, со свойствами, эквивалентными макроскопическим свойствам пластины в целом.

Метод определения коэффициентов интенсивности напряжений для изгибаемой пластины с трещиной, использующий функцию напряжений Вес-тергарда, предложен в [71].

В работе [115] авторы, используя существующую аналогию между плоской задачей и задачей изгиба пластин Кирхгофа, получили распределение постоянных членов в компонентах напряжений в вершине для любого остроконечного дефекта. На необходимость учитывать не только сингулярные члены в компонентах напряжений, но и постоянные составляющие, указывается, например, в [68].

П. Теокарис использовал экспериментальный метод каустик при определении комплексных коэффициентов интенсивности напряжений у вершины сквозной трещины в пластине при асимметричном изгибе [69] , им же приводятся результаты исследований, проведенных на образцах из плексигласа и стали.

В работах [29,30] рассмотрены задачи об изгибе бесконечных изотропных пластин, содержащих систему прямолинейных разрезов. При решении использован метод разложения комплексных потенциалов в ряд Лорана.

О. Тамате решил в рамках теории Рейсснера задачу об изгибе бесконечной изотропной плиты с круговым отверстием и радиальной трещиной [64], используя для этого метод сингулярных интегральных уравнений.

В работе [32] решена задача изгиба пластины с центральным прямолинейным разрезом распределенными краевыми изгибающими моментами. Авторы, используя МКЭ, сделали попытку учесть влияние берегов разреза в зоне сжатия и пластических деформаций у вершин разреза. Отмечено, что учет смыкания берегов ведет к появлению напряжений в срединной плоскости пластины и возрастанию коэффициентов интенсивности напряжений примерно на 20%, увеличению раскрытия трещины в растянутой зоне. Зоны пластичности в окрестности вершин уменьшаются, что объясняется увеличением изгибной жесткости.

Рядом авторов задача изгиба пластин с дефектами типа трещин решалась на основании уточненных теорий изгиба, поскольку классическая теория (Кирхгофа) является приближенной, вследствие чего распределение напряжений в малой окрестности вершины дефекта будет нарушено.

Д. Ноулз и Н. Ван, исходя из теории Рейсснера ( теория шестого порядка) рассмотрели задачу об изгибе бесконечной пластины с прямолинейной трещиной, на контуре которой все три краевых условия выполняются точно [35]. Ими было показано, что распределение напряжений в пластине с нулевой толщиной совпадает с распределением напряжений в пластине подвергнутой растяжению. А коэффициенты интенсивности напряжений, получаемые согласно теориям Рейсснера и Кирхгофа, отличаются на постоянный множитель. При этом перерезывающие напряжения, в отличие от теории Кирхгофа, остаются ограниченными при подходе к вершине трещины.

С позиции теории Рейсснера решена задача изгиба полосы с двумя прямолинейными разрезами, расположенными симметрично относительно средней линии полосы [3]. Помимо изгиба пластина подвергнута растяжению, исключающему контакт берегов разреза. Решение задачи строится с применением интегрального преобразования Фурье. Получено интегральное уравнение задачи, из которого определены коэффициенты интенсивности напряжений.

С использованием уточненной модели С.П. Тимошенко, учитывающей слабую сдвиговую жесткость материала, решалась задача об изгибе свободно опертой прямоугольной пластинки, содержащей прямолинейную трещину параллельную одной из координатных осей [107]. На берегах разреза действуют изгибающий момент и поперечная сила. Задача сведена к интегральному уравнению, решенному методом ортогональных многочленов.

В рамках теории, учитывающей нелинейность распределения напряжений по толщине пластины, задачи изгиба пластин решались рядом авторов [15,55]. Дж. Си и Р. Хартранфт распространили полученный в работе [35] результат на случай пластины конечной толщины, ослабленной сквозной трещиной [15]. Используя метод интегральных преобразований, они показали, что коэффициенты интенсивности напряжений зависят от отношения толщины пластины к длине трещины, причем незначительное изменение толщины пластины может значительно повлиять на распределение напряжений в окрестности вершин. В работе [55] Дж. Си, используя теорию пластин Гольденвейзера, приводит распределение напряжений в окрестности вершин разреза в неограниченной пластине.

Однако, несмотря на то, что уточненные теории позволяют удовлетворить всем трем краевым условиям на контуре пластины, они являются двумерными, как и теория Кирхгофа. В силу этого они не могут точно описать НДС вблизи вершины трещины. Точная картина распределения напряжений может быть получена лишь с применением трехмерной теории упругости [16].

Несомненно, важным представляется вопрос о влиянии анизотропии упругих свойств материала на НДС в окрестности вершин дефекта. До недавнего времени работы в этом направлении, применительно к теории изгиба пластин, отсутствовали. Впервые изгиб ортотропной пластины с прямолинейной трещиной, расположенной вдоль одного из главных направлений, изучался М. Вильямсом и Д. Энгом [1], где авторами с использованием метода интегральных преобразований определено общее НДС, однако, анализ асимптотических формул в окрестности вершин проведен не был.

Авторами статьи [87] была рассмотрена задача изгиба анизотропной неограниченной пластины, ослабленной прямолинейным разрезом. Комплексные потенциалы С.Г. Лехницкого [143] построены с использованием конформного отображения внешности разреза на внешность единичного круга.

Составная анизотропная пластина с прямолинейными трещинами, лежащими на границе раздела рассмотрена в [14]. Изгиб неограниченных изотропной и анизотропной пластин с эллиптическим отверстием под действием сосредоточенных нагрузок рассмотрен в [25,62].

Задачу об изгибе сингулярными нагрузками бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием исследовали авторы в [160, 180]. Для построения решения используется конформное отображение внешности эллиптического отверстия на внешность единичного круга и обратное преобразование, а также процедура вычисления интегралов типа Коши по контуру единичного круга. Рассмотрены различные варианты краевых условий на контуре отверстия и внешней нагрузки, определены в замкнутом виде выражения для действительных констант в случае решения первой краевой задачи.

JI.A. Филынтинским и В.Н. Хандогиным задача изгиба анизотропной неограниченной пластины, ослабленной системой криволинейных непересекающихся разрезов, нагруженной самоуравновешенными усилиями, приложенными к берегам разрезов, и изгибающими моментами на бесконечности, была сведена к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями, накладываемыми на перемещения в пластине [214]. Подобная же методика использовалась в [213] для решения задачи изгиба анизотропной полуплоскости с разрезами.

Метод сопряжения использовался в [106,193] при решении задачи об изгибе бесконечной анизотропной пластины с прямолинейными трещинами, расположенными на одной прямой.

В работах [168,178] авторами исследовалось влияние анизотропии материала по толщине изгибаемой пластины на интенсивность и распределение напряжений возле прямолинейного сквозного разреза на основе теории трансверсально-изотропных плит шестого порядка.

Обзор работ по изгибу изотропных бесконечных пластин, содержащих тонкие жесткие включения можно найти в монографиях [86, 192,193].

Грилицкий Д.В., Опанасович В.К., Драган М.С. исследовали задачи изгиба и кручения бесконечных изотропных плит с упругими линейными включениями [109, 110]. В работах предложена модель тонкого упругого включения, осуществлена постановка и решение задачи цилиндрического изгиба пластины с системой тонких прямолинейных упругих включений, изгибаемой и скручиваемой моментами на бесконечности. Задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, решаемой методом механических квадратур.

Калоеров С.А., Вакуленко C.B. исследовали задачу об изгибе бесконечной изотропной пластинки, имеющей отверстия, трещины и жесткие включения [125]. В основе метода определения НДС лежит решение в замкнутом виде задачи об изгибе бесконечной плиты с одним эллиптическим отверстием.

Решение задачи об изгибе упругих пластин, подкрепленных тонкими упругими незамкнутыми стержнями, сводится к определению контактных усилий взаимодействия пластины и стержня. Эти задачи приводятся к интегральным уравнениям со специальной характеристической частью [172,173]. Для пластин с упругими линейными включениями переменной жесткости некоторые результаты можно найти в [53,54]. Определение неизвестных контактных усилий здесь также сводится к решению интегро-дифференциального уравнения со специальной характеристической частью.

Из приведенного обзора следует, что в большей части цитированных работ речь идет об изотропных пластинах, при этом рассматриваются одиночные дефекты простой формы - в виде прямолинейных отрезков, дуг окружности. Не исследуется взаимовлияние дефектов, влияние границ пластины на характер НДС

Изгибу конечных многосвязных пластин в литературе уделено мало внимания, что объясняется определенными трудностями, возникающими при решении подобных задач. Большой теоретический и практический интерес представляет исследование влияния внешних границ деформируемого тела на характер изменения интенсивности напряжений вблизи вершин дефекта. В отличие от плоской задачи в теории изгиба пластин перечень работ, посвященных этому вопросу, довольно невелик.

Изгиб изотропной круглой пластины с центрально размещенной прямолинейной трещиной моментами, действующими по внешнему контуру пластины, исследовался в работе [85].

Метод конечных разностей использовался при расчете на изгиб квадратной платины с прямыми разрезами [93]. Прямоугольные изотропные пластины с трещинами параллельными одной или двум сторонам прямоугольного плана под действием поперечной нагрузки рассматривались в работе [167]. Для учета указанных разрезов вводятся обобщенные разрывные функции -как в дифференциальные соотношения теории тонких пластин, так и в искомые решения. С помощью системы разрезов, образующих замкнутый или незамкнутый прямоугольный контур, решается задача для пластины с вырезом или отверстием.

Методом конечного элемента решена задача изгиба квадратной пластины со сквозной трещиной в рамках теории Рейсснера в работе [49]. В окрестности трещины вводились специальные сингулярные элементы, на удалении применялась полиномиальная аппроксимация. Исследовались зависимости распределения напряжений от толщины пластины, от соотношения между длиной трещины и размерами пластины, а также от формы сингулярных элементов.

Метод решения задачи изгиба пластин, ограниченных многосвязными контурами описан в статье [124]. Метод основан на решении задачи сопряжения для разомкнутых контуров многосвязной области. В качестве примера рассмотрена круглая плита с центральной трещиной под действием сосредоточенной силы.

В работе Кулакова В.М., Толкачева В.М. [135] метод компенсирующих нагрузок используется для решения краевой задачи изгиба тонкой упругой изотропной пластинки произвольной формы. Исследуя свойства предельных значений встречающихся интегралов и производя их регуляризацию, авторы получают систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода для определения компенсирующих нагрузок.

В работах [98-100] на основе метода компенсирующих нагрузок построена методика решения задач изгиба конечных изотропных пластинок, имеющих различные условия опирания на внешнем контуре. Определяется общее НДС не только в пластине, но и в окрестности угловых точек. Задача сводится к регулярным интегральным уравнениям, которые решаются численным методом.

М.В. Делявским и Л.П. Мазураком предложена методика приближенного определения коэффициента интенсивности напряжений при всестороннем изгибе треугольной плиты, ослабленной дефектами типа трещин или жесткими остроугольными включениями [116,117]. Внешность дефекта конформно отображается на внешность единичного круга. Краевое условие на контуре дефекта выполняется точно, на сторонах пластины - приближенно. Существенно, что размер дефекта мал по сравнению с размерами пластины.

Г.В. Гапонов дал приближенное решение задачи круглой шарнирно опертой по круговому контуру пластины с центральной трещиной от действия равномерно распределенного давления [102]. Используется метод наложения. Отдельно решается задача изгиба бесконечной пластины с прямолинейным разрезом, загруженным моментами, возникающими по линии разреза в сплошной круговой пластине от действия внешней нагрузки, полученное решение затем корректируется для выполнения условий шарнирного опира-ния по контуру круговой пластины. Полученное решение является приближенным, дан анализ погрешности решения. Круглая изотропная пластинка с центральной трещиной исследовалась в работе [147].

Исследования для кольцевой изотропной пластинки с жестко защемленными внутренним и свободным внешним краями под действием поперечной сосредоточенной нагрузки, приложенной в произвольной точке, проведены в работе [5]. Решение построено с использованием тригонометрических рядов. В работе [205] рассмотрена изотропная пластинка, нагруженная в некоторой точке сосредоточенной силой. Внешний контур плиты несильно отличается от кругового и жестко заделан, а внутренний - круговой, свободен от закрепления. Задача решена методом малого параметра.

В работе [132] решена задача об изгибе тонких изотропных пластин, имеющих форму сектора или кругового прямоугольника. Радиальные края изучаемых пластин упруго оперты, а дуговые края могут иметь любые условия опирания. С помощью метода декомпозиции уравнений получено приближенное аналитическое решение поставленной задачи.

С.А. Кулиев рассмотрел задачу изгиба анизотропной пластинки, ограниченной снаружи эллиптическим контуром, а изнутри круговым с двумя примыкающими разрезами одинаковой длины [136]. При помощи полиномов Фабера задача сводится к решению четырех систем бесконечных линейных алгебраических уравнений.

В работе [190] изучается изгиб шарнирно опертой прямоугольной ор-тотропной пластинки с тонким жестким включением. С помощью преобразования Фурье задача сводится к интегральному уравнению, решение которого ищется в классе функций с неинтегрируемыми особенностями.

Применению метода конечных элементов к задачам изгиба конечных пластин, ослабленных трещинами, посвящена работа [4]. В данной работе использованы специальные сингулярные конечные элементы, причем аппроксимация сингулярных и регулярных конечных элементов осуществляется по-разному.

В.И. Копнина, Е.И. Мельников предложили решение задачи изгиба анизотропной эллиптической плиты с внецентренным эллиптическим отверстием [131]. Внешний контур плиты или закреплен или свободен, а по внутреннему распределен изгибающий момент постоянной интенсивности. Метод решения задачи основан на представлении искомых комплексных функций двумя рядами, один из которых содержит полиномы Фабера.

Как видно из настоящего обзора, задачам изгиба анизотропных пластин, ослабленных трещинами сложной формы, уделено недостаточно внимания, а исследования для ветвящихся и краевых трещин практически отсутствуют.

Практический интерес представляют задачи изгиба пластин с негладким контуром и со смешанными краевыми условиями. Оценка прочности и жесткости инженерных конструкций часто связана с анализом НДС консольных пластин. Консольные пластины с защемленной прямолинейной кромкой могут служить моделями крыла малого удлинения летательного аппарата, оперения реактивных снарядов или ракет. Секториальная пластина с защемленной дуговой кромкой - аналог лопатки рабочего колеса турбины, консольной же пластиной моделируется киль легкого судна. В строительстве -это различного рода козырьки, балконные плиты.

Интегрирование уравнения изгиба пластин при смешанных краевых условиях, когда на части контура заданы прогибы и углы поворота, а на оставшейся части краевая нагрузка (нормальный изгибающий момент и обобщенная перерезывающая сила) до сих пор представляет сложную задачу. Сложности возрастают с появлением на контуре угловых точек. Впервые к задачам изгиба консольных пластин обратились в середине прошлого века [31,36] и, начиная с этого времени, много исследователей трудилось над этой проблемой.

При расчете консольных пластин в ряде работ использовались различные упрощающие гипотезы. В одних случаях [166] - это гипотеза о недеформируемости поперечного сечения консольной пластины, когда функция прогибов может быть представлена в виде = щ (х) + у(р\ (х), что позволяет свести задачу к интегрированию обычных дифференциальных уравнений для функций щ{х),(р\{х). В работе [166] приводятся результаты расчетов по определению центров жесткости крыльев различной формы в плане с жесткими поперечными сечениями. Подобное же допущение используется в [176], где решается задача об изгибе и кручении полосы. В работе [95] М.Б. Вахитов показал, что данная гипотеза в случае пластин переменной хорды и сложного закона распределения поперечной нагрузки приводит к существенным погрешностям, т.к. предполагает линейное распределение поперечной силы в сечении пластины параллельном линии защемления. Методика работ [166,176] применяется при расчете пластины с ортотропной структурой в [52], а также при расчете изотропной консольной пластины под действием равномерной поперечной нагрузки [48]. В ряде работ прогибы в поперечном направлении аппроксимируются параболой [10,59]. Причем в [10] рассматривается изгиб ортотропного крыла и прогиб аппроксимируется полиномом либо вдоль хорды, либо по размаху, при этом подробно рассматриваются два варианта заделки крыла в фюзеляж. В работе [128] получены дифференциальные уравнения изгиба пластины в напряжениях, которые решаются методом Бубнова-Галеркина, при этом автором используется та же гипотеза о недеформируемости контура поперечного сечения. Исследованы случаи прямоугольной пластины, нагруженной равномерным и гидростатическим давлением, получены формулы для напряжений в пластине.

Многими исследователями применялся вариационный подход к решению задач изгиба консольных пластин. В работе [119] использован вариационный метод В.З. Власова. Функционал потенциальной энергии записывается в форме Лагранжа. В качестве примера рассмотрен изгиб пластины в виде прямоугольного треугольника, шарнирно опертой вдоль катетов, от равномерно распределенной нагрузки. Причем один из катетов существенно больше другого, что позволяет аппроксимировать прогибы в направлении перпендикулярном длинному катету линейной функцией от координаты. В статье [140] выводится вариационное уравнение Лагранжа для консольных пластин с угловыми точками на свободной части контура. Для построения общего интеграла используются однородные алгебраические полиномы, удовлетворяющие уравнению изгиба и кинематическим граничным условиям. Решается задача изгиба консольной пластины в виде равнобедренного прямоугольного треугольника, защемленного по гипотенузе и нагруженного сосредоточенной силой в выступающем углу, анализируются полученные результаты. Прием, основанный на вариационном методе В.З. Власова - Л.В. Канторовича, используется в работе [195] при расчете пластин сложной формы и переменной в общем случае толщины. Однако, разрешающие уравнения получены не вариационным путем, а применением процедуры типа Бубнова -Галеркина. После вычисления квадратур задача сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка с переменными коэффициентами. Пластины со сложным контуром разбиваются на простые пластины (прямоугольные, треугольные) и затем решения "склеиваются" вдоль линии разреза, причем, одно из кинематических условий выполняется в интегральном смысле. Получены результаты, приводятся графики прогибов и напряжений для пластин треугольной, трапециидальной и прямоугольной формы. Метод Ритца используется в работе [112] при определении НДС пластины переменной толщины. Рассмотрены прямоугольные пластины с линейно меняющейся толщиной по хорде под действием равномерно распределенной нагрузки. Аналогичная процедура осуществляется в [61], однако, аппроксимирующие функции в выражении для прогибов задаются в виде ортогонализированных полиномов. Приводятся таблицы с вычисленными в них коэффициентами полиномов. Рассмотрена прямоугольная пластина, нагруженная сосредоточенной силой в углу и равномерно распределенной нагрузкой. Вариационный метод используется в работах [137,138], где функционал потенциальной энергии записывается в форме Кастильтяно. Аппроксимирующие функции задаются в виде полиномов Лежандра по хорде и удовлетворяют граничным условиям на продольных кромках пластины. Такой подход позволяет заранее удовлетворить граничным условиям на большей части контура. Метод корректирующей функции используется в [215] при расчете прямоугольных и треугольных пластин. В качестве исходного принимается балочное решение \\?о(х,у), которое затем уточняется слагаемыми вида =/¡(х)-<р{(у). Корректирующие функции щ(у) находятся вариационным методом последовательных приближений. Подход к решению задачи в работе [6] аналогичен используемому в [137] с той лишь разницей, что напряжения по хорде записываются в виде рядов Фурье.

Задача изгиба прямоугольной консольной пластины с толщиной меняющейся по линейному закону в направлении перпендикулярном защемленной кромке решена в работе [206] методом Канторовича для случая постоянной распределенной внешней нагрузки. Для получения системы разрешающих уравнений был использован вариационный принцип Лагранжа.

Довольно часто при решении задачи изгиба консольных пластин используются дискретные методы. Так в [96] решение строится на гипотезе плоских сечений. Решение уравнения изгиба сводится к определению функции закручивания по размаху. Основное дифференциальное уравнение заменяется интегральным с последующим представлением интегралов в виде конечных сумм. Полученное уравнение решается с помощью аппарата интегрирующих матриц. В качестве примера рассмотрены стреловидное и треугольное крыло. В работе [179] рассмотрен изгиб прямоугольной косозащем-ленной пластины с толщиной, меняющейся по размаху. Прогибы аппроксимируются полиномом в продольном направлении х (по размаху), частные производные по у заменяются конечными разностями. В результате от уравнения в частных производных приходят к системе обыкновенных линейных уравнений с постоянными коэффициентами для определения постоянных множителей в полиномиальном представлении. М.Б. Вахитовым был предложен так называемый "метод прямых" [97]. В качестве неизвестных принимаются прогибы вдоль прямых линий параллельных оси направленной по размаху. В выражении для внутренней энергии интегралы по хорде вычисляются по какой-либо интерполяционной формуле, причем производные по оси вдоль хорды заменяются центральными разностями. Используя далее принцип возможных перемещений, получают систему дифференциальных уравнений для определения неизвестных функций. При интегрировании системы применялся аппарат интегрирующих матриц. Такой подход позволяет для каждой прямой выполнять различные краевые условия.

Вариационно-разностный метод применялся при расчете стреловидного крыла со сходящимися кромками в работе [122]. Энергия деформции стреловидного крыла записывается в косоугольно-полярной системе осей координат. Частные производные по угловой координате заменяются конечными разностями, что позволяет перейти к системе функций, зависящих от одной переменной. Далее применяется метод Ритца. В работе того же автора [123] сделана попытка проектирования равнопрочной конструктивно-анизотропной пластины. Неизвестной функцией является толщина пластины. Решение строится по методу последовательных приближений с использованием методики, изложенной в [122].

Конечно-разностная схема применяется в [120,121], где рассматривается задача о стреловидном крыле, принимаемом в виде консольной пластины переменной толщины. Приводятся выражения в конечных разностях для различных узлов сеточной области. Этот же подход использован в [40] для расчета консольной пластины постоянной толщины под действием равномерно распределенной нагрузки. В работе [79] методом сеток решена задача изгиба прямоугольной консольной пластины, нагруженной в выступающем углу сосредоточенной силой, причем автор воспользовался прогибами, вычисленными в [61].

Методом конечных элементов (МКЭ) в работе [204] решается задача о прямоугольной пластине, нагруженной сосредоточенной силой на свободном крае. Для толстых пластин применялся специальный конечный элемент (КЭ), учитывающий сдвиговые деформации. Задача решена в перемещениях. Специальные межфазные КЭ применены при решении задач изгиба стреловидных консольных пластин в [57,58], приводится много иллюстрирующих расчетов, дается сравнение с другими дискретными методами. В работе [218] применением специальных КЭ на довольно грубой сетке получены удовлетворительные результаты для вторых производных от прогиба.

Один из вариантов метода коллокаций (точечного интерполирования) применен в [82] при решении задачи изгиба прямоугольной пластины. Каждое слагаемое функциональной последовательности в представлении для прогиба удовлетворяет уравнению изгиба в области пластины, а неизвестные коэффициенты при них выбираются из условий в точках коллокаций, выбранных на контуре.

Метод итерационного наложения используется при решении задачи изгиба прямоугольной консольной пластины от действия произвольной поперечной нагрузки [207]. Прогиб пластины задается в виде суммы частного решения и двух бесконечных рядов, являющихся бигармоническими функциями. Итерационный процесс наложения решений основан на взаимном поглощении порождаемых невязок выполнения граничных условий задачи.

Уравнения технической теории изгиба пластин в форме Саутвелла решены в [2] методом итераций для случая сосредоточенной и равномерно распределенной нагрузки. Рассмотрены пластины прямоугольной и треугольной формы в плане, результаты расчета представлены в виде графиков напряжений в сечении заделки пластины.

В статье [92] общее решение однородного уравнения изгиба для прямоугольной пластины разыскивается в виде двойного ряда Фурье, для определения коэффициентов которого получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Подобным образом строится решение и в [194,209].

С привлечением аппарата теории функции комплексного переменного решается задача об изгибе консольной пластинки с гладким контуром в работе [212] . Здесь используется идея метода "дополнительных воздействий" [201]. Решение для пластины с гладким контуром строится по методу Н.И. Мусхелишвили [169]. В статье [111] для решения задачи изгиба прямоугольной пластины предлагаются специальные бигармонические функции (однородные решения). При этом граничные условия на свободной кромке выполняются точно, а на двух других приближенно (равенство нулю главного вектора и главного момента).

В работе [191] для прямоугольной пластины используется метод Леви, получены выражения для прогибов и моментов в виде бесконечных рядов.

Консольным пластинам с прямолинейной защемленной кромкой посвящены работы [126,105]. В статье [126] задача изгиба секториальной пластины переменной толщины, защемленной по части дуговой кромки, решается в полярных координатах методом Ритца. Функции, аппроксимирующие профиль задавались в виде степенных рядов по обеим координатам, нагрузка и толщины задавались в дискретном виде (таблицы). Пластина такого типа имитирует лопасть высоконапорной поворотно-лопастной гидротурбины. В работе [105] рассматривается такая же в плане пластина постоянной толщины. Используется прием наложения решений, чтобы удовлетворить статическим граничным условиям. Одно из слагаемых в выражении для прогиба представляется в виде суммы однородных решений рассматриваемой краевой задачи. Решение приводится к вычислению корней трансцендентного уравнения. Граничные условия вдоль защемленной кромки выполняются приближенно. Соответственно числу корней трансцендентного уравнения на прогиб накладываются дополнительные интегральные условия.

Особо следует сказать об изгибе бесконечных консольных пластин-полок. Этим задачам посвящен целый ряд работ [9,101, 31, 80,]. Так в [101] при некоторых упрощающих допущениях методами сопромата вычисляются максимальные изгибные напряжения в сечении заделки такой пластины, нагруженной сосредоточенной силой на свободном крае. В работе [80] тот же самый прием используется для ортотропной пластины. С использованием интеграла Фурье решается задача изгиба клиновидной пластины под действием сосредоточенной нагрузки, приложенной во внутренней точке пластины [127]. Для случая бесконечной консольной пластины-полки постоянной толщины решение тем же методом получено в [31]. Методом конечных разностей предыдущая задача решается в работе [9]. Задачу для бесконечного клина, защемленного вдоль одной стороны и нагруженного сосредоточенной силой на свободном крае, решил Войновский-Кригер [76] с использованием преобразования Меллина.

Важная роль при оценке точности и достоверности в определении НДС пластин отводится эксперименту. Определению НДС консольных пластин посвящен ряд экспериментальных исследований [171,60,189,41,13]. В работе [13] описан эксперимент, посвященный измерению напряжений в непосредственной близости от сечения заделки прямоугольной консольной пластины. Обработанные результаты тензометрии представлены в виде графиков. Для сравнения приводятся напряжения в том же сечении вычисленные по методике работы [61]. Отмечается хорошее совпадение результатов, исследуется влияние нагрузки, удлинения пластины на распределение напряжений в заделке.

Метод муаровых полос используется в [171] для определения поля прогибов прямоугольной консольной пластины, нагруженной сосредоточенной силой в выступающем углу. Проводится сравнение с результатами, полученными при расчете такой пластины с применением МКЭ. Однако погрешности здесь достигают значительных величин, что затрудняет вычисление напряжений.

Экспериментальные исследования для полок двутавровых балок приведены в [171], при этом использовалась тензометрия и метод муаровых полос. Проводилось сравнение с аналитическим решением, выполненным по методике работы [31]. Отмечается влияние изменения толщины полки на распределение напряжений в полке. С помощью электротензометрии проводилось исследование НДС треугольных консольных пластин в работах [36,60]. Такая же методика применялась в [189] при исследовании НДС толстых ортотропных консольных пластин, проводилось сравнение с результатами расчета по теории, учитывающей поперечные сдвиги.

В работе С. Оте и М. Нисиды [41] проведена серия экспериментов по определению напряженного состояния прямоугольных консольных пластин на моделях из оргстекла. Благодаря оригинальной схеме эксперимента удалось практически точно смоделировать условия жесткого защемления вдоль прямолинейной кромки.

Содержательный обзор работ зарубежных авторов по экспериментально-теоретическому исследованию напряженно-деформированного состояния скошенных консольных пластин содержится в работе М. Л. Вильямса [72]. Здесь впервые отмечен тот факт, что при изгибе консольных пластин со скошенной заделкой (т.е. заделка не перпендикулярна оси пластины) появляется существенная концентрация напряжений в окрестности угловой точки (в сечении заделки) со смешанными краевыми условиями. Анализируя НДС изотропного бесконечного клина со свободной и защемленной сторонами, подверженного изгибу, Л.М. Вильяме установил, что для углов раствора клина, превышающих к/2, напряжения в его вершине становятся бесконечно большими [74]. Этот эффект подтверждается работой А .Я. Александрова и Н.И. Назарова [77], в которой построено замкнутое решение для скошенной консольной пластины в предположении, что деформированная срединная поверхность пластины является развертываемой поверхностью (гипотеза недеформируемости поперечного сечения). Приведенные в статье данные эксперимента, проведенного Л.М. Куршиным (тензометрия, метод лаковых покрытий), подтверждают результаты расчета. Однако, использованная авторами упрощающая гипотеза, существенно ограничивает класс нагрузок, приложенных к пластине.

В последние десятилетия для решения задач теории упругости с успехом применяется метод граничных элементов (МГЭ) [88,134]. Появилось много работ и в теории изгиба пластин, и, в частности, консольных пластин. В монографии [88] приводится пример решения задачи изгиба квадратной консольной пластины, нагруженной сосредоточенной силой в центре. Методом граничных интегральных уравнений решается в [33] задача изгиба изотропной консольной пластинки-полки, нагруженной сосредоточенной силой на незащемленной кромке. Этот же метод используется в [7] для решения задачи изгиба квадратной изотропной консольной пластины от действия равномерно распределенной поперечной нагрузки.

Практически отсутствуют в зарубежной и отечественной литературе решения для анизотропных консольных пластин. При реализации же того или иного метода расчета в задаче изгиба изотропных консольных пластин многие авторы сталкивались со значительными трудностями вычислительного характера. Связано это, прежде всего с тем, что выбор подходящих аппроксимирующих функций для прогибов и напряжений в случае применения прямых методов довольно затруднителен. В качестве исключения можно привести, пожалуй, лишь работу [61], где удалось построить систему ортогональных функций для прямоугольной области. Попытка удержать большее число членов в аппроксимирующих рядах приводит к появлению неустойчивости в счете, поскольку вырождается линейная независимость системы аппроксимирующих функций. Кроме того, для консольных пластин со скошенной защемленной кромкой следует учитывать сингулярность, появляющуюся в угловой точке со смешанными краевыми условиями [72,74]. Наличие сингулярности напряжений в вершине защемленной кромки пластины, обладающей стреловидностью, не учитывалось ни в одной из цитированных работ, хотя введение особенности существенно повысило бы эффективность расчета.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Основу конструкций современных летательных аппаратов составляют тонкостенные элементы, которые можно классифицировать как пластины и панели. Наряду с использованием традиционных материалов - металлов, закономерной тенденцией в настоящее время является использование для изготовления таких пластин и панелей композиционных материалов, обладающих существенной анизотропией свойств в различных направлениях. Так, например, хвостовое оперение самолета А-320 фирмы Airbus изготовлено из полимерных композитов, в конструкции планера самолета F-22 фирмы Lockheed используется соответственно 10% термопластических и 12% термореактивных углепластиков. Простейшей моделью таких элементов являются анизотропные пластинки, вследствие чего задача расчета конструкций или их элементов, изготовленных из композитов, является важной и современной. Особенно это касается вопросов местной прочности конструкций, так как различные концентраторы напряжений существенно влияют на ресурс летательного аппарата и его остаточную прочность. На стадии проектирования авиационных конструкций необходимо рассчитывать их НДС, определять зоны концентрации напряжений.

Одним из сдерживающих моментов расширения области применения композиционных материалов оказывается отсутствие надежных методов расчета на прочность конструкций из К!М с КН. При всем многообразии существующих методов решения таких задач метод СИУ обладает неоспоримыми достоинствами. Так, например, существенно снижается размерность разрешающей системы уравнений, например, по сравнению с МКЭ, сокращается объем вводимой информации. При использовании СИУ появляется возможность выделить асимптотики напряжений в точках сингулярности (таковыми являются вершины трещин, жестких включений, угловые точки и точки возврата на контурах, ограничивающих пластину). Кроме того, построение и использование новых сингулярных решений (функций Грина), заранее удовлетворяющих краевым условиям на части контуров, ограничивающих пластину, существенно увеличивает эффективность метода.

Основной целью работы является развитие и разработка аппаратов метода комплексных потенциалов и сингулярных интегральных уравнений для исследования напряженно-деформированного состояния многосвязных анизотропных пластин в условиях поперечного изгиба при различных краевых условиях на внешних контурах.

- Построение новых сингулярных решений (функций Грина) теории изгиба анизотропных пластин для конечных, бесконечных и полубесконечных областей (от сосредоточенных сил, изгибающих моментов, дислокаций);

- Построение замкнутой системы сингулярных интегральных уравнений, описывающих НДС многосвязных анизотропных пластин, ограниченных гладкими разомкнутыми и замкнутыми контурами (отверстия, трещины, линейные жесткие включения, жесткие двумерные шайбы;

- Исследование сходимости и эффективности алгоритмов, предлагаемых для реализации полученной системы сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями на примере решения ряда известных (тестовых задач) и новых задач изгиба анизотропных пластин сложной формы при произвольном нагружении;

Получить подтверждение достоверности результатов расчета в конкретных задачах изгиба пластин путем сравнения их с результатами известных экспериментов, проведенных независимыми исследователями с использованием различных методик;

- Попользовать метод сингулярных интегральных уравнений для расчета НДС при решения задач оптимального проектирования композитных панелей, предполагая конструкцию заданной до некоторого числа свободных варьируемых (свободных) параметров, из условия экстремума целевой функции - веса панели;

Научная новизна работы

- Построены новые сингулярные решения (функции Грина) теории изгиба анизотропных пластин для полуплоскости с различными условиями на границе, для квадранта при различных краевых условиях на кромках, для неограниченной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, для бесконечной полосы, полуполосы, пластин в форме равнобедренного прямоугольного и равностороннего треугольников, прямоугольной пластины.

- Получено в замкнутом виде решение задачи об изгибе анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, часть контура которого загружена распределенными изгибающими моментами постоянной интенсивности.

- С использованием сингулярных решений для пластин различного вида (полуплоскость, квадрант и т.п.) построены сингулярные комплексные потенциалы, моделирующие криволинейные сквозные трещины, жесткие включения, гладкие отверстия и двумерные жесткие шайбы в анизотропных пластинах.

- Сформулированы краевые условия и получены системы сингулярных интегральных уравнений для задач изгиба анизотропных пластин, содержащих трещины, жесткие включения и отверстия.

- Метод сингулярных интегральных уравнений использован в задачах изгиба конечных многосвязных анизотропных пластин

- Метод сингулярных интегральных уравнений применен в задачах изгиба пластин со смешанными краевыми условиями на контуре (консольные пластины), экспериментально подтверждена высокая эффективность метода (сравнение с экспериментами, проводившимися в NASA)

- Метод сингулярных интегральных уравнений использован в задачах оптимального проектирования пластин из слоистых композитов (критерий оптимальности - минимум веса пластины, при одинаковых упругих характеристиках слоев - минимум толщины). Для решения задачи оптимизации предложена оптимизационная процедура, представляющая собою модификацию метода покоординатного спуска.

- Сформулирована краевая задача и получены разрешающие сингулярные интегральные уравнения для задачи изгиба анизотропной пластины, подкрепленной криволинейным кольцевым стержнем постоянной жесткости.

Методы исследований основаны на:

- использовании теории функций комплексного переменного (метод комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого, интегралы типа Коши) и построенных в диссертации новых сингулярных решениях от сосредоточенных воздействий;

- использовании аппарата теории сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и аппроксимации функций подынтегральных плотностей интерполяционными полиномами;

- применении высокоэффективных и апробированных алгоритмов аппроксимации сингулярных интегралов квадратурными формулами Га-усса-Чебышева.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на:

- корректном использовании соотношений механики деформируемого твердого тела;

- использовании апробированных математических методов и алгоритмов и исследовании их сходимости;

- сопоставлении результатов расчета по методам, предложенным в диссертационной работе, с известными численными решениями, а также с известными данными экспериментов в этой области. Практическая значимость и реализация результатов работы заключаются:

- в разработке эффективных численных алгоритмов решения сложных задач исследования НДС анизотропных пластин при локальных и распределенных нагрузках и наличии концентраторов напряжений и дефектов, обуславливающих сингулярность полей напряжений в пластине (трещины, включения, угловые точки, точки со смешанными краевыми условиями);

- в разработке методик оптимального проектирования анизотропных пластин симметричной структуры из слоистых композитов (из условия минимума веса пластины);

- во внедрении результатов, методик и алгоритмов в расчетную практику заинтересованных организаций: Новосибирский филиал АООТ «ОКБ Сухого» (г. Новосибирск), ФГУП НПО Прикладная механика имени академика М.Ф. Решетнева;

- во внедрении основных научно-методических результатов диссертации в рабочие программы учебных планов НГТУ по подготовке инженеров-исследователей;

- в использовании материалов диссертации при написании учебника НГТУ "Теоретические основы методов расчета прочности элементов конструкций из композитов" (авторы В.Н. Максименко, И.П. Олегин) Работа проводилась при поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшее школы 2006-2008» РНП 2.1.2.2676.

На защиту выносятся

- сингулярные решения задачи изгиба неограниченных анизотропных пластин с эллиптическим отверстием;

- постановка и решение задачи изгиба неограниченной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, часть края которого загружена изгибающими моментами постоянной интенсивности;

- сингулярные решения для полуплоскости с различными краевыми условиями на прямолинейной кромке;

- сингулярные решения задачи изгиба для ортотропных квадранта, полосы, полуполосы, прямоугольной свободно опертой пластины, периодические сингулярные решения для бесконечной анизотропной пластины, полуплоскости;

- построенные на основе соответствующих сингулярных решений потенциальные представления и сингулярные интегральные уравнения задач изгиба бесконечных и полубесконечных анизотропных пластин, содержащих сквозные криволинейные гладкие разрезы, жесткие включения, криволинейные гладкие отверстия;

- потенциальные представления и полученные с их помощью сингулярные уравнения для задач изгиба конечных многосвязных анизотропных пластин, ограниченных замкнутыми и незамкнутыми гладкими контурами;

- постановка и решение методом сингулярных интегральных уравнений задачи об изгибе анизотропной пластины, подкрепленной кольцевым гладким стержнем постоянной жесткости;

- алгоритм оптимального весового проектирования слоистых композиционных панелей симметричной структуры.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Дальневосточных научно-технических конференциях по повреждаемости и эксплуатационной надежности судовых конструкций (Владивосток, 1981, 1984, 1987, 1990 г.г.); на IX Бубновских чтениях по эксплуатационной и конструктивной прочности судовых конструкций (Нижний Новгород, 1991 г.); на X Всесоюзной конференции "Конструкция и технология получения изделий из неметаллических материалов" (Обнинск, 1986 г.); на IV Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса, 1989г.); на научной конференции "Расчетные методы механики деформируемого твердого тела" (Новосибирск, 1995 г.); на международных российско-корейских научно-технических конференциях СОЯШ «Научные основы высоких технологий» (Новосибирск, 2002 г.; Ульсан, Корея 2003 г.; Томск, 2004 г.; Новосибирск, 2005 г.); на международной конференции "Байкальские чтения -II по моделированию процессов в синергетических системах" (Максимиха, оз. Байкал, 2002г.); на международной научно-практической конференции САКС-2002 (Красноярск, 2002 г.); на IX международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 2003г.); на XVIII Межреспубликанской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Кемерово, 2003 г.); на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003г.); на VII Всероссийской научной конференции, посвященной 10-летию Новокузнецкого филиала-института и 50-летию Кемеровского государственного университета (Новокузнецк, 2004 г.); на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций (Новосибирск, 2005 г.); на XIX Всероссийской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Бийск, 2005 г.); на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.); на объединенных семинарах кафедр прочности летательных аппаратов и самолето-и вертолетостроения НГТУ, на семинарах в сибирском научно-исследовательском институте авиации им. С.А. Чаплыгина.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 43 печатных работы. В автореферате приведены 34 основных публикации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (обзор по проблеме), пяти разделов, заключения, списка использованных источников из 222 наименований.

Основные результаты, представленные в этой главе, опубликованы в следующих работах автора: [38,47,138,139, 149,154,156-158,164,185,188]

244

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные, по мнению автора, результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Получены новые сингулярные решения технической теории изгиба анизотропных пластин для полубесконечных областей с различными краевыми условиями на границе, для пластин в форме свободно опертой бесконечной полосы, полуполосы с различными условиями на конечной кромке, для ортотропного квадранта, для неограниченной пластины с эллиптическим отверстием, для прямоугольной ортотропной пластины. Соответствующие решения позволяют построить комплексные потенциалы в виде интегралов типа Коши, ядрами для которых являются соответствующие сингулярные решения, и описывают НДС пластины соответствующего вида, содержащей гладкие отверстия, сквозные трещины, жесткие включения.

2. С использованием метода комплексных потенциалов построены потенциальные представления в виде интегралов типа Коши, сформулирована краевая задача и получены системы разрешающих интегральных уравнений с дополнительными условиями, накладываемыми на перемещения, для задачи изгиба неограниченных и полубесконечных анизотропных пластин, содержащих сквозные гладкие криволинейные разрезы и гладкие отверстия. Реализован эффективный алгоритм численного решения системы сингулярных интегральных уравнений, основанный на аппроксимации криволинейных сингулярных интегралов по разомкнутым и замкнутым гладким контурам специальными квадратурными формулами. Подтверждена эффективность этого алгоритма для задач изгиба пластин с ветвящимися трещинами и трещинами выходящими на контур отверстия.

3. Сформулирована краевая задача и построены потенциальные представления для неограниченной анизотропной пластины, содержащей абсолютно жесткие криволинейные включения, построены потенциальные представления и получены система разрешающих интегральных уравнений с дополнительными условиями для вектора главного момента, действующего со стороны пластины на включение. Предложен алгоритм численной реализации краевой задачи.

4. Сформулирована краевая задача и построены потенциальные представления для неограниченной анизотропной пластины, подкрепленной кольцевыми криволинейными гладкими стержнями постоянной изгибной и крутильной жесткости. Показано, что краевая задача в этом случае сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с переменным верхним пределом, предложен алгоритм численного решения, основанный на использовании интерполяционного полинома для функций подынтегральной плотности в регулярных интегралах с переменным верхним пределом.

5. В замкнутом виде построено решение задачи изгиба неограниченной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, часть края которого загружена нормальными изгибающими моментами постоянной интенсивности.

6. Построено методом комплексных потенциалов решение задачи изгиба анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, содержащей криволинейные гладкие дефекты и гладкие отверстия, с заранее выполненными на контуре эллиптического отверстия краевыми условиями.

7. Сформулирована задача оптимального проектирования для многослойной композитной пластины симметричного строения из условия минимума веса пластины (при одинаковых упругих характеристиках слоев -минимум толщины), предложена численная процедура оптимизационной задачи, получены численные результаты оптимизации толщины для многослойной пластины с эллиптическим отверстием.

8. Построены потенциальные представления для задач изгиба конечных анизотропных пластин, ограниченных гладкими контурами и содержащих гладкие криволинейные разрезы и жесткие включения. Показано, что в случае задания на внешнем контуре пластины усилий и моментов (первая краевая задача) необходимым условием однозначности перемещений точек внешнего контура пластины является выполнение

246 условий равновесия пластины (равенство нулю главного момента и главного вектора усилий, прикладываемых к пластине). Проведены анализ результатов численных исследований НДС конечных многосвязных пластин, сравнение с известными результатами для изотропных пластин, полученными альтернативными методами (МКЭ, метод конечных разностей). Для консольных пластин проведено сравнение результатов расчета с экспериментальными исследованиями, отмечено хорошее совпадение результатов. Получены решения ряда новых задач изгиба многосвязных пластин (круглой пластины с центральной (нецентральной) прямолинейной трещиной, круглой пластины с круговым отверстием и прямолинейной трещиной и др.), исследованы поля напряжений в окрестностях вершин трещин в этих задачах.

9. Получено решение задачи об изгибе консольной пластины с деформированной защемленной кромкой.

10. Разработанная методика рационального проектирования и расчета НДС анизотропных композитных пластин использовалась при проектировании и расчете элементов тонкостенных конструкций конкретных изделий авиационно-космической техники, что подтверждено соответствующими актами внедрения диссертационной работы (Приложение).

1. Ang D.D., Williams M.L. Combined stress in a orthotopic plate having a finite crack // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1961. V. 28, № 3. P. 372-378.

2. Bauer F., Reiss E.L. Stress in cantilever plates // Comput. and Sruct. 1972. V. 2, №4. P. 675-691.

3. Boduroglu H., Erdogan F. Internal and edge cracks in plate of finite width under bendidng. // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1983, V. 50. № 3. P. 621-629.

4. Chen-Wen-Hwa, Chen Pei-Yen. A hybrid displacement finite element model for the bending analysis of thin cracked plates // Int. J. Fract. 1984. V. 24, № 2. P. 83-106.

5. Ciavatti V., Dragoni E., Srozzi A. Mechanical analysis of an annular plate transversely loaded at an arbitrary point by a concentrated force// Trans. ASME J. Mech. Des. 1992. V.114, №3. P. 335-342.

6. Coull A. Direckt-stress analysis of orthotropic cantilever plates // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1965. V. 32, № 1. P. 75-79.

7. Du Q. H.,Yao Z.H. Applications of the boundary element method to two and three dimensional stress analysis and plate bending problems in elasticity // Proc. of the 4 th. Int. Semin. Boundary element meth. eng. Southampton Berlin e.a., 1982. P. 269-281.

8. Gaydon F.A. Shepherd W.M. The nature of the displacement in slitplate subject to the transverse forces // Int. J. Eng. Sei. 1971. V. 9, № 7. P. 621629.

9. Gienke E. Momentenbestimmung in einer Kragplatte nach der Differenzenmethode//ZAMM. 1962. V. 42, Sonderheft. S. 100-104.

10. Gienke E. Zur Festigkeitberechnung von Tragflügeln kleiner Strekung mit Hilfe der Plattentheorie // Zeitschrift für Flügwissenschaft. 1961. Heft 3. S. 65-80.

11. Griffith A. A. The phenomena of rupture and flow in solids 11 In: Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1921. № 221. P.163-198.

12. Griffith A.A. The theory of rupture // In: Proc. First. Int. Congr. Appl. Mechanics. Delft, 1924. P. 55-63.

13. Hagenieers O.L., North W.P.T. A Comprehensive Study of the fixed edge bending moments of thin rectangular cantilever plates under point loading // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. B. 1976. V. 98, № 3. P. 766-772.

14. Hartranft R.J., Sin G. C. Effect of plate thickness on the bending stress distributionaround through cracks // J. Math, and Phys. 1968. V. 47, № 3. P. 276-291.

15. Hartranft R.J., Sin G. C. The use eigenfunction expansions in the general solution of three-dimensional cracks problems // J. Math, and Mech. 1969. V. 19, №2. P. 123-138.

16. Hasebe N. A crack originating from a triangular note on rim of a simi-infinite under transverse bending // Eng. Fract. Mechanics. 1979. V. 11, №4. P. 645-652.

17. Hasebe N. Bending of strip with semielliptic notches or cracks // J. Engng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Engrs. 1978. V.104, P. 1433-1450.

18. Hasebe N. mixed boundary value problem of plate with crack // J. Eng. Mech. 1984. V. 110, № l.P. 37-48.

19. Hasebe N., Inohara S. Stress intensity factors at a bilaterally-bent crack in the bending problem of thin plate // Engng. Fract. Mech. 1981. V.14, P. 607-616.

20. Hasebe N., Matsuura S., Kondo N. Stress analysis of a strip with a step and a crack // Engng. Fract. Mech. 1984. V.20, P. 447-462.

21. Hasebe N., Nakamura T., Ito Y. Analysis of the second mixed boundaryvalue problem for a thin plate 11 Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1994. V. 61, №3. P. 555-559.

22. Hasebe N., Takemura M. Cracks occurring at a joint of a strip and a semiinfinite plate under out-of-plane load // Theoretical and Applied Mechanics. 1981.V.29,P. 145-156.

23. Hill D.L., Clements D.L. On deformation of cracked anisotropic slabs // J. Elast. 1984. V.14, №4, P. 401-413.

24. Inglis C.E. Stresses in plate due to presence of cracks and sharp corners // Trans. Inst. Naval. Archit. 1913. V.60. P. 219-230.

25. Irwin L.R. Fracture. In: Handbuck der Physic. Berlin: 1958. Bd. 6. P. 551590.

26. Irwin L.R. Wushington D.C. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1957. V. 24, №3. P. 361-364.

27. Isida M. Bending of plate containing arbitrary array of cracks // Tran. JSME. 1977. V. 43, No. 367. P. 825-837.

28. Isida M. Interaction of arbitrary array of cracks in wide plates under classical bending // In: Mechanics of Fracture (G.C. Sih, ed.). V.3, Plates and Shells with cracks. Leyden: Noordhoff Int. Publ., 1977. P. 1-43.

29. Jaramillo T.I. Deflections and moments due to a concentrated load on a cantilever plate of infinite length // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1950. V. 17, № l.P. 67-72.

30. Jones D.P., Swedlow J.L. The influence of crack closure and elastoplastic flow on the bending of cracked plate // Int. J. Fract. 1975. V.ll, № 6. P. 897-914.

31. Katayama T., Tai H., Sekiya T. Boundary element analysis of bending problems of plates with free or fixed edges // Bull. Univ. Osaka Prefect. 1983. V. A3, №2. P. 93-105.

32. Katsikadelis J.T., Armenakes A.E. Numerical evaluation of double integral with a logarithmic or Cauchy-tipe singularity // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1983. V. 50, №3. P. 682-684.

33. Knowels J.K., Wang N.M. On the bending of an elastic plate containing a crack // J. Math, and Phys. 1960. V. 39, № 3. P. 223-236.

34. Mac Gregor C.W. Deflection of a long helical gear tooth // Mechanical engineering. 1935. V.57, № 4. P. 225-227.

35. Murakami Y. (ed.), Stress Intensity Factor Handbook Russian translation. Moscow: Mir, 1990. Vol. 2.

36. Nach W.A. Several approximate analysis of the bending a rectangular cantilever plate by uniform normal pressure // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1952. V. 19, № 1. P. 33-36.

37. Ohte S., Nisida M. Photoelastic study of rectangular plates under bending // Transactions of the Japan society of mechanical engineers. 1972. V. 38, №314. P. 2475-2482.

38. Ojikutu O., Low R.D., Scott R.A. Stress singularities in laminated composite wedges // Int. J. Solids and Struct. 1984. V. 20, № 8. P. 777-790.

39. Perlman A.B. Sin G.C. Circular-arc cracks in bimaterial plates under bending // Int. J. Fract. Mech. 1967. V. 3, № 3. P. 193-206.

40. Reissner E., Stein M. Torsion and transverse bending of cantilever plates // NACATN. 1951, № 2369. 38p.

41. Rhee H.C., Atluri S.N. Hybrid stress finite element analysis of bending of a plate with a through flaw // J. Numer. Meth. Eng. 1982. V. 18, № 2. P. 259271.

42. Rooke D.P., Cartwright D.J. Compendium of stress intensity factors. London, 1974. 339 p.

43. Rosen J.B. The gradient projection method for nonlinear programming. Part II. Nonlinear constraints // J. Soc. Ind. Appl. Math. 1961 - V.9, №4.- P.514-532.

44. Schürch H. Zur Statik von dünnen Flügzeugtragflächen. Zürich, 1950. 358 s.

45. Shavlakadze N. On singularities of contact stress upon tension and bending of plates with elastic inclusion // Proc. of A. Razmadze Math. Inst. 1999.V. 120. P. 135-147.

46. Shavlakadze N. On some contact problems for bodies with elastic inclusions // Georg. Math. J. 1998. V. 5, No .3. P. 285-300

47. Sih G.C. Distribution of local stresses the thickness of a cracked plates under bending fields // Int. J. Fract. Mech. 1973. V. 39, № 3. P. 311-139.

48. Small N.C. Bending of a cantilever plate supported from an elastic half space // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1961. V. 28, № 3. P. 387394.

49. Somashekar B.R., Murthy A.V., Krishna, Ram Nanjunda C.S.A. Study of swept cantilever wings employing interphase element concept for structural reduction // J. Aeron. Soc. India. 1983. V. 35, № 2. P. 77-105.

50. Somashekar B.R., Prathap G. Stress singularities in swept cantilever plates //J. Aeron. Soc. India. 1983. V. 35, № 2. P. 107-111.

51. Stein M., Andersson J.E., Hedgepeth J.M. Deflection and stress analysis of thin solid wings of arbitrary plan form with particular reference to delta wings//NAC A Rep. 1953. № 1131. 58 p.

52. Stein M., Andersson J.E., Hedgepeth J.M. Deflection and stress analysis of thin solid wings of arbitrary plan form with particular reference to delta wings //NACA TN. 1952. № 2621. 28 p.

53. Szmelter J., SulikowskiT., Lipinski J. Bending of a rectangular plate clamped at one edge // Archivum Mechaniki Stosowanej. 1961. V. 1, №13. P. 63-75.

54. Tamate O. Einfluss einer unendliche Reihe gleicher Kreislocher auf die Durchbiegung einer dunen Platte // Z. angew. Math. u. Mech. 1957. V.37. P. 431.

55. Tamate O. Elastic interaction of a circular hole and a line crack in a plate under flexure. // Trans. JSME. 1978. V. 44, № 383. P. 2200-2208.

56. Tamate O. Flexural problems of a thin plate with curved crack // Ingr. Arch. 1967. V. 35, №5. P. 323-331.

57. Tamate O. Transverse Flexure of a Thin Plate Containing Two Holes // Applied Mechanics Section. 1958. V.80, P.l.

58. Tamate О. Поперечный изгиб упругой пластины, содержащей жесткое лентообразное включение. Нихон кикай гаккай ромбунсю, Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1978. V.44, № 379. P. 790-797.

59. Theocaris P.S. Complex stress intensity factors in bent plates with crack // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1982. V. 4, № 1. P. 87-96.

60. Theocaris P.S. Paipetis S.A. State of stress in homogeneities by the method of caustics // Fibre Sci. and Technol. 1976. V. 9, № 1. P. 19-39.

61. Tsai S.W., Hahn T.T. Introduction to Composite Materials. Connecticut: Technomic Publishing Company, Westport, 1980.

62. Wah Thein. Intensity factors for plates in flexure // Aeron J. 1984. V. 88, №871. P. 444-448.

63. Williams M.L. A review of certain analysis method for swept-wing structures // J. Aeron. Sciences. 1952. V. 19, № 9. P. 615-629.

64. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1957, V. 24. № 1. P. 109-114.

65. Williams M.L. Surface stress singularities resulting from varions boundary conditions in angular corners of plates under bending // Proc. First. U.S.

66. Nat. Congr. Appl. Mech. Publ. Amer. Soc. Mech. Engrs. New-York, 1952. P. 325-329.

67. Wilson W.K., Thompson D.L. On the finite element method for calculating stress intensity factors for cracked plates in bending // Eng. Fract. Mech. 1971. V. 3, № 2. P. 97-102.

68. Woinowsky- Krieger G. The bending of wedge plate // Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E. 1953. V. 20, № 1. P. 77-81.

69. Александров А.Я., Назаров Н.И. Изгиб скошенной консольной пластины // Инженерный сборник. 1959. Т. 25. С. 37-44.

70. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания. М.: Наука, 1987. 360с.

71. Аранович В.М. О напряженном состоянии консольной прямоугольной пластины, нагруженной силой в выступающем углу // Труды Горьковского политехнического института. 1965. Т. 21, №1. С. 4-14.

72. Аранович В.М., Пещеров А.В. Изгиб тонкой консольной ортотропной пластины, нагруженной сосредоточенной силой на свободном крае // Механика полимеров. 1968. №4. С. 739-741.

73. Артюхин Ю.П. Модифицированная теория Голанда-Рейсснера склеенных пластин. // В кн. Исследования по теории пластин и ободочек. Вып. И Казань.: Изд-во Казанского ун-та, 1975. С. 136148.

74. Ахонина С.И. Расчет консольной пластины методом коллокаций // Труды Ленинградского института инженеров железнодорожного транспорта. 1968. Вып. 287. С.285-286.

75. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985.

76. Белубекян Э.В. Изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластинки с внутренней симметричной трещиной. // В кн. Теория оболочек и пластин. -М.: Наука, 1973. вып. 1. С. 33-37.

77. Бережницкий JI.T., Делявский М.В., Мазурак Л.П., Панасюк В.В. Изгиб круглой пластины с трещиной // В кн.: Тезисы докладов XI Всесоюзн. конф. по пластинам и оболочкам. Харьков, 1977. С. 8.

78. Бережницкий Л.Т., Делявский М.В., Панасюк В.В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наук, думка, 1979.

79. Бережницкий Л.Т., Садивский В.М., Онышко Л.И. Изгиб анизотропной пластины с трещиной // Прикл. Механика. 1978. Т. 14, №1. С. 42-49.

80. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.

81. Бурмистров Е.Ф. К вопросу о концентрации напряжений около некруглых отверстий в изгибаемых тонких плитах // Инж. сб. 1960. Вып. 30, №3. С. 99-106.

82. Бурмистров Е.Ф. Некоторые задачи теории изгиба тонких изотропных плит с отверстиями общего вида // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. №8. С. 41-47.

83. Бутырин В.И. Оптимальное проектирование крыльев из композиционных материалов // Динам, и прочн. элем, авиац. констр./ Сб. научн. тр./ Новосибирск: Новосиб. электротехн. ин-т, 1990. С. 1722.

84. Валов Г. М. Изгиб тонкой прямоугольной консольной пластинки произвольно распределенной поперечной нагрузкой // В кн.: Труды конференции по теории пластин и оболочек. Казань, 1961. С. 60-65

85. Варвак П.М., Моянский В.М. Изгиб квадратной щелевой пластинки // В сб.: Исследование тонкостенных пространственных конструкций. 1974. Вып 40. С 35-41.

86. Васильев В.В. Библиотека расчетчика. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

87. Вахитов М.Б. К вопросу поперечного изгиба консольных пластин // Труды Казанского авиационного института. 1959. Вып. 46. С. 5-13.

88. Вахитов М.Б. К численному решению уравнения поперечного изгиба монолитного крыла // Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1960. №4. С. 133-141.

89. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Халиулин В.И. Расчет консольных пластин методом прямых // Труды КАИ. 1974. Вып. 166. С. 3-10.

90. Венцель Э.С. Некоторые вопросы применения метода компенсирующих нагрузок к решению краевых задач изгиба тонких пластинок // Пробл. машиностроения. 1982. №17. С. 54-58.

91. Венцель Э.С., Токаренко В.М. Об одном варианте реализации метода компенсирующих нагрузок к решению краевых задач изгиба тонких пластинок // Строительная механика и расчет сооружений. 1982. №2, С. 21-25.

92. ЮО.Венцель Э.С., Токаренко В.М. Расчет тонких упругих пластин сложной формы с использованием интегральных уравнений 1-го рода // Динамика и прочность машин. 1980. №32. С. 115-119.

93. Верховский A.B., Аранович В.М. О приближенном методе определения напряжений в консольной пластине, нагруженной сосредоточенной силой на свободном крае // Труды Горьковского политехнического института. 1964. Т. 20, №5. С. 41-51.

94. Гапонов Т.В. Определение концентрации напряжений в круглой пластине с разрезом посредине при изгибе давлением // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. №3. С 165-168.

95. ЮЗ.Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1976. 640 с.

96. Гельфанд И.М., Шилов Т.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958.

97. Герман Д.Я., Прокопов В.К. Изгиб равномерно распределенной нагрузкой секториальных пластин с заделанной круговой кромкой // Инженерный сборник. 1955. Т. 21. С. 120-127.

98. Горбань А.Г., Прусов И.А. Об одном новом представлении общих формул изгиба анизотропных пластинок для полуплоскости иплоскости с разрезами // Весці АН БССР. 1976. №5 (фіз.-мат.). С. 9598.

99. Грибияк С.Г., Попов Г.Я. Изгиб свободно опертых пластин при наличии трещин // Прикл. механика. 1983. Т. 19, №11. С. 72-78.

100. Грилицкий Д.В. Вплив точки прикладання сили і моменту на розподіл напружень у безмежній анізотропниій пластинці з еліптичним отвором//Прикл. мех. 1956. Т. 2, № 2. С.159-166.

101. Грилицкий Д.В., Драган М.С., Опанасович В.К. Изгиб плиты с прямолинейным тонкостенным включением// Изв. АН СССР. Механ. тв. тела. 1979. №3. С. 83-88.

102. ПО.Грилицкий Д.В., Опанасович В.К., Драган М.С. Изгиб плиты с системой тонких упругих включений // Прикл. мех. 1984. Т.20, №9. С. 81-86.

103. Ш.Груздев Ю.А., Прокопов В.К. Применение однородных решений к задаче изгиба консольной плиты // Труды Ленинградского политехнического института. 1966. Вып. 266. С.54-63.

104. Даль Ю.М. Об изгибе упругой консольной пластины переменной толщины // Расчет пространственных конструкций. 1974. №16. С. 169178.

105. ПЗ.Даляк Т.М. Изгиб пластины с периодической системой параллельных взаимносмещенных трещин, края которых контактируют// Фіз.-Хім. мех. матер. 2004. Т. 40, №1. С. 115-117.

106. Делявский М.В. Изгиб тонких микронеоднородных пластин с трещинами // Физ.-хим. механика материалов. 1984. Т. 20, № 5. С. 7779.

107. Делявский М.В., Мазурак Л.П. Об одном подходе к решению задач изгиба пластин с остроугольными отверстиями // Физ.-хим. механика материалов. 1977. Т. 13, № 6. С. 96-100.

108. Делявский М.В., Мазурак Л.П., Бережницкий Л.Т., Громяк P.C. Распределение напряжений вблизи остроугольных дефектов // Физ.-хим. механика материалов. 1979. Т. 15, № 3. С. 46-55.

109. И8.Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов. Киев: Наук, думка, 1978. 352 с.

110. Елпатьевский А.Н. К расчету консольных пластин вариационным методом В.З. Власова // Инженерный сборник. 1960. Т. 28. С. 212-219.

111. Жеков К.А. К расчету на прочность крыльев малого удлинения методом сеток. // Вопросы прочности и устойчивости элементов тонкостенных конструкций. Сб. научн. тр. М.: Машиностроение, 1963. С. 195-214.

112. Калоеров С.А. Изгиб многосвязных изотропных плит с трещинами // Теоретич. и прикл. Механика. 1984. № 15. С. 16-22.

113. Калоеров С.А., Вакуленко C.B. Об общих представлениях комплексных потенциалов для изотропных пластинок с отверстиями, трещинами и включениями // Теор. и прикл. мех. (Киев). 2001. №32.1. С. 79-93.

114. Кантор Б.Я., Филиппов А.П., Расчет изгиба секторной пластины переменной толщины, защемленной по части дугового края, на быстродействующей счетной машине // Извести АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. Вып. 1. С. 121-124.

115. Ковальский Б.С., Шун A.M. Изгиб консольной пластинки переменной толщины сосредоточенной нагрузкой // Подъемно-транспортное оборудование. 1977. Вып. 8. С. 6-10.

116. Козаченко А.Б. Расчет консольных пластин постоянной толщины методом напряжений // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 1963. № 2. С. 51-58.

117. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М., Л.: ОНТИ, 1935. 224 с.

118. Кончковский 3. Плиты. Статические расчеты. М: Стройиздат, 1984.

119. Коренева Е.Б. Решение задач об изгибе тонких пластин, имеющих форму сектора и кругового прямоугольника, с помощью метода декомпозиции уравнений // Изв. вузов. Стр-во. 2002. №10. С. 48—51.

120. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. 832с.

121. Крауч. С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. 328с.

122. Кулаков В.М., Толкачев В.М. Изгиб пластин произвольного очертания // Докл. АН СССР. 1976. Т. 230, №1. С. 56-59.

123. Кулиев С.А. Изгиб анизотропной пластинки с центральной круговой полостью и двумя прямолинейными разрезами// Прикладная математика и механика (Москва). 1993. Т. 57, №2. С. 167-175.

124. Куршин Л.М., Матвеев К.А. К применению вариационного метода в задаче изгиба консольной пластины // Труды Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта. 1972. Вып. 137. С. 137-148.

125. Куршин Л.М., Матвеев К.А., Подружин Е.Г. К расчету на изгиб стреловидных консольных пластин // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статика и динамика деформируемых систем: Всесоюзн. межвуз. сб. / Горький, 1980. С. 35-38.

126. Куршин Л.М., Матвеев К.А., Подружин Е.Г. Изгиб подкрепленной пластины // Изв. вузов. Сер. Строит, и архитект. 1982. №8. С. 35-38.

127. Кушуль М.Я. Об изгибе консольных пластин, очерченных кусочно-гладкими кривыми // Известия АН СССР. ОТН. 1958. № 10. С. 133138.

128. Лаврентьев М. А., Шабат В. Б. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1986.

129. Лазарев И.Б. Математические методы оптимального проектирования конструкций. Учебное пособие. Новосибирск: НИИЖТ, 1974. -191с.

130. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехтеориздат, 1957. 464 с.

131. Лехницкий С.Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит // ПММ. 1938. Т.2, №2. С. 181-209.

132. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир, 1982. 544с.

133. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940с.

134. Мазурак Л.П. Об одном методе решения задач изгиба круглой пластины с трещиной // Физ. хим. механика материалов. 1983. Т. 19, №3. С. 106-108.

135. Максименко В.Н., Подружин Е.Г. Задача изгиба анизотропных консольных пластин. // Динамика и прочность авиационных конструкций. Межвуз. сб. научн. трудов. Новосибирск: Новосиб. электротехн. ин-т, 1987. С. 102-106.

136. Максименко В.Н., Подружин Е.Г. Изгиб анизотропных пластин, ослабленных отверстием и системой трещин // Динамика и прочность авиационных конструкций. Межвуз. сб. научн. трудов / Новосибирск: Новосиб. электротехн. ин-т, 1986. С. 98-103.

137. Максименко В.Н., Подружин Е.Г. О влиянии жесткого защемления и анизотропии материала на асимптотику напряжений в окрестности вершины разреза при изгибе пластин // Новосибирск, 1985. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 11.05.85, № 3130-85 Деп.

138. Максименко В.Н. Подружин Е.Г. Определение напряженного состояния консольной пластины произвольной формы // Изв. вузов. Сер. Строит, и архитект. 1988. №7. С. 38-42.

139. Максименко В.Н. Подружин Е.Г. Изгиб анизотропных пластин при наличии трещин сложной формы // Ученые записки ЦАГИ. 1989. Т.20, №3. С. 81-90.

140. Максименко В.Н. Подружин Е.Г. К расчету на изгиб анизотропных консольных пластин // Изв. вузов. Сер. Авиац. техника. 1989. №4.1. С.76-78.

141. Максименко В.Н. По дружин Е.Г. Изгиб стреловидных консольных пластин // Динамика и прочн. авиац. констр. Межвуз. сб. научн. трудов / Новосибирск: Новосиб. электротехн. ин-т, 1989. С. 72-75.

142. Максименко В.Н., Матвеев К.А., Подружин Е.Г. Изгиб консольных пластин. Учебное пособие.- Новосибирск: Изд-во Новосиб. электротехн. ин-та, 1991. 63с.

143. Максименко В.Н. Подружин Е.Г. Изгиб анизотропной пластины с эллиптическим отверстием // Материалы IX международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред"/ М.:- Изд-во МАИ, 2003. С. 78-79.

144. Максименко В.Н., Подружин Е.Г. Сингулярные решения для анизотропной пластины с эллиптическим отверстием // ПМТФ. 2005. Т.46, №1. С. 144-152.

145. Максименко В.Н., Подружин Е.Г. Сосредоточенные нагрузки в анизотропной пластине с эллиптическим отверстием // СибЖИМ. 2004. Т.7, №4(20). С. 107-115.

146. Максименко В.Н., Подружин Е.Г. Фундаментальные решения в задачах изгиба анизотропных пластин // ПМТФ. 2003. Т.44, №4. С. 135-143.

147. Максименко В.Н., Подружин Е.Г., Рябчиков П.Е. Напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины, содержащей криволинейные трещины и тонкие жесткие включения. Известия РАН. Сер. Механика твердого тела. 2007. №2. С. 66-74.

148. Меркурьев В.И., Горлов К.В. Изгиб консольных пластин с жесткими поперечными сечениями // Труды ЦАГИ. 1969. Вып. 1162. 36с.

149. Михайлов Б.К. Исследование изгиба плоскости с разрезами и вырезами // В кн.: Исслед. долговечн. и экон. искусств, сооруж. JI. 1980. С. 150-157.

150. Мочернюк Д.Ю., Пелех С.А., Бережницкий JI.T. Влияние анизотропии материала на коэффициенты интенсивности напряжений при изгибе пластинки с трещиной // Физ. -хим. мех. материалов. 1975. Т. 11, № 4. С. 118-121.

151. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

152. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения: Монография / Н.И. Мусхелишвили. М.: Физматгиз, 1968. 511 с.

153. Панасюк В.В., Бережницкий JI.T., Делявский М.В. О напряженно-деформированном состоянии вблизи остроконечных дефектов // Физ-хим. мех. материалов. 1976. Т12, № 4. С. 67-72.

154. Пановко Я. Г. Изгиб и кручение полосы // Изв. АН Латв. ССР. 1953. №8. С. 79-88.

155. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев: Наукова думка, 1982. 295с.

156. Пелех С.А. Изгибное состояние сложной трансверсально-изотропной плиты с двумя полубесконечными внешними трещинами, расположенными на одной прямой // В кн.: Композиционные материалы и новые конструкции. Киев, 1970. С. 105-108.

157. Петров Ю.П. Расчет на изгиб косозащемленной консольной пластины переменной толщины // Труды Харьковского авиационного института. 1963. Вып. 22. С. 62-78.

158. Подружин Е.Г. Изгиб анизотропной пластины с эллиптическим отверстием // Научный вестник НГТУ. 2004. №1(16). С.63-74.

159. Подружин Е.Г. Ортотропные пластины под действием сосредоточенной силы // Новосибирск, 1985. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 14.01.86. №298-В86.

160. Подружин Е.Г. Изгиб конечной анизотропной пластины, ограниченной многосвязным контуром // Научный вестник НГТУ. 2005. №3(21). С. 121-130.

161. Подстригач Я.С., Пелех Б. Л., Помилуйко А.П. Теоретикоэкспериментальное исследование консольных ортотропных плит // Докл. АН УССР. Сер. А. 1975. № 10. С. 906-909.

162. Поляков В.В., Подалков В.В. Изгиб прямоугольной ортотропной пластинки с тонким включением // Прикл. методы исслед. прочности ЛА. Моск. авиац. ин-т . М.: Изд-во МАИ, 1992. С. 55-60.

163. Попов А.П. Исследование изгибающих моментов и прогибов в консольных пластинах постоянной толщины и ограниченной длины, подвергающихся воздействию произвольной нагрузки // Труды Николаевского кораблестроительного ин-та. 1974. Вып.81. С. 117-124.

164. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344с.193 .Прусов И.А. Метод сопряжения в теории плит. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1975. 256с.

165. Пугач. Е.П. Изгиб плиты-консоли // Труды Ленинградского института инженеров железнодорожного транспорта. 1959. Вып. 164. С. 286-295.

166. Рабинский Н.Л. Расчет консольных пластин // В кн.: Прочность и устойчивость элементов тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1967. С. 58-77.

167. Робертс. Р., Рич Г. Коэффициенты интенсивности напряжений при изгибе пластин // Труды Амер. о-ва инж.-механиков. Сер. Е. Прикл. механика. 1967. Т.34, № 3. С. 348-350.

168. Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. 496с.

169. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888с.

170. Савин Г. Н., Флейшман Н.П. Пластины и оболочки с ребрами жесткости. Киев: Наукова думка, 1964.- 384с.

171. Саврук М.П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка. 1981. 324с.

172. Сапонджян О.М. Применение метода дополнительных воздействий крешению задач об изгибе плит, плоской задачи, и задачи о кручении призматических стержней // ПММ. 1949. Т 13, Вып. 5. С. 5051-512.

173. Си Дж. С., Парис П., Эрдоган Ф. Коэффициенты концентрации напряжений у вершины трещины при плоском растяжении и изгибе пластины // Труды Амер. о-ва инж.-механиков. Сер. Е. Прикл. механика. 1962. Т.29, № 2. С. 123-129.

174. Си Дж. С., Райе Дж. Р. Изгиб неоднородных пластин с трещинами // Труды Амер. о-ва инж.-механиков. Сер. Е. Прикл. механика. 1964. Т.31, № 3. С. 101-108.

175. Сипетов B.C., Емец В.Н. Деформированное состояние консольных пластин под сосредоточенной нагрузкой // Расчет пространственных строительных конструкций. 1977. № 7. С. 89-92.

176. Солянова О.Н., Бондарев Г.Е. Изгиб пластин сложного очертания под действием сосредоточенной силы // Прочность конструкций в экстремальных условиях. Межвуз. науч. сб. Сарат. политех, ин-та. Саратов: Изд-во Сарат. политех, ин-та, 1992. С. 46-50.

177. Сухотерин М.В. Применение вариационного метода к задаче изгиба консольной пластины переменной толщины // Л., 1977. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 11.10.77. № 4012-77 Деп.

178. Сухотерин М.В. Случай произвольной поперечной нагрузки в задаче изгиба консольной пластины // Л., 1985. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 25.02.85. № 1421-85 Деп.

179. Толкачев В.М. Действие острых штампов на бесконечно длинную цилиндрическую оболочку//ПММ. 1971.т.35.вып. 4. С.??.

180. Уильяме M.JI. Распределение напряжений у основания стационарной трещины // Труды Амер. о-ва инж.-механиков. Сер. Е. Прикл. механика. 1961. Т.28, № 1. С. 93-98.

181. Фаерберг И.И. Об изгибе консольной пластины // Труды МФТИ. 1961. Вып. 7. С. 46-57.

182. Филыптинский Л.А., Любчак В. А. Изгиб полубесконечной анизотропной пластины, ослабленной криволинейными разрезами // Прикл. мех. 1982. Т 18, № 10. С. 63-67.

183. Филыптинский Л.А., Хандогин В.Н. Изгиб анизотропной плиты, ослабленной криволинейными разрезами // Прикл. мех. 1980.Т.16, №1. С. 120-124.

184. Фролов В.М. Применение метода корректирующей функции в расчете деформаций консольных пластин // Труды ЦАГИ. 1957. Вып. 705. 36 с.

185. Хрущ Я.П., Делявский М.В., Бережницкий Л.Т. Локальное напряженно-деформированное состояние при изгибе тонких пластин с жесткими остроконечными включениями // Докл. и научн. сообщ. Львовск. политехи, ин-та. 1978. Вып. 9. С. 21-24.

186. Чамис К. Композиционные материалы. Анализ и проектирование конструкций. М.: Машиностроение, 1978. Т. 7, Ч. I. 344 с.

187. Черненко A.C. Численное решение задачи изгиба консольной пластинки методом конечных элементов // В кн.: Оптимизация вычислений и численный анализ. Киев, 1980. С. 70-75.

188. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

189. Шавлакадзе Н. Н. Изгиб анизотропной упругой пластинки с упругим включением // Изв. РАН МТТ. 2003. №6. С. 102-108.

190. Шацкий И.П. Изгиб пластины, ослабленной разрезом с контактирующими кромками // Докл. АН УССР. Сер А. Физ.-мат. и техн. науки. 1988. № 7. С. 51-53.269

191. Шерман Д.И. К решению плоской задачи теории упругости для анизотропной среды // ПММ. 1942. Т. 6, № 6. С. 509-514.

192. УТВЕРЖДАЮ» Зам. генерального конструктора, Директор ОЦ ТМС ФГУП НПО Прикладной механики1. АКТвнедрения результатов работы Е.Г. Подружина «Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах изгиба анизотропных пластин с многосвязнымконтуром»

193. Настоящим актом подтверждается, что в ФГУП НПО ПМ имени академика М.Ф. Решетнева использовались рекомендации и программы расчета по оценке несущей способности плоских композитных элементов конструкций сложной конфигурации, разработанные Е.Г. Подружиным.

194. Разработанное программное обеспечение позволило осуществить рациональный выбор композиционных материалов для ряда проектируемых изделий с учетом особенностей их изготовления и условий эксплуатации.

195. Настоящий акт не является документом для финансовых взаиморасчетов.

196. Замдиректора ОЦ ТМС по науке, д.т.н., профессор

197. УТВЕРЖДАЮ» Началырнс^овосибирского филиалар «ОКБ Сухого», структор, к.т.н. совскии 2007 г.1. АКТ

198. Использования результатов работы Е.Г. Подружина «Приложение метода сингулярных интегральных уравнений к задачам изгиба анизотропных пластин с многосвязным контуром»

199. Настоящий акт не является документом для финансовых взаиморасчетов.1. Начальник отдела

200. Новосибирского филиала ОАО «ОКБ Сухого»1. В.В. Иванов