Напряженно-деформированное состояние анизотропных пластин сложной формы при изгибе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

□ □ЗаБЭ"? 14

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН СЛОЖНОЙ ФОРМЫ ПРИ ИЗГИБЕ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2007

003069714

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель

кандидат технических наук, доцент Подружин Евгений Герасимович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, доцент, Шваб Альберт Александрович

доктор технических наук, доцент, Резников Борис Самуилович

Ведущая организация

Сибирский государственный университет путей сообщения, г Новосибирск

Защита состоится 14 мая 2007 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003 054 02 в Институте гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН по адресу пр-т академика Лаврентьева, 15 г Новосибирск, 630090

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН

Автореферат разослан « » апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

дтн

Леган М А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы.

Представляется актуальным разработка и развитие методов исследования напряженно-деформированного состояния анизотропных пластин, имеющих сложную форму, поскольку пластинчатые элементы являются одними из основных компонентов современных тонкостенных композитных конструкций

В настоящее время существует достаточно мощный аппарат вычислительных методов, и эффективное использование вычислительной техники для реализации этих методов позволяет расширить границы исследования задач теории упругости Необходимость разработки методов определения напряженно-деформированного состояния пластин объясняется не только интересом к решению конкретных задач, но и возможностью применения этих методов для тестирования конечно-элементных вычислительных комплексов Обзор состояния проблемы и обоснование цели исследования. К настоящему времени плоская задача теории упругости достаточно полно исследована и методы решения возникающих краевых и контактных задач в пластинах с концентраторами напряжений в виде отверстий, трещин и включений соответственно хорошо развиты Наибольший вклад в развитие этого направления внесли Грилицкий Д В , Григолюк Э И , Inghs С Е , Irwin G R, Колосов Г В , Калоеров С А, Космодамианский А С , Лехницкий С Г, Максименко В Н, Mindlin R D , Мусхелишвили Н И , Пелех Б JI, Партон В 3 , Попов Г Я, Савин Г Н , Саврук М П, Sih G С , Tamate О , Фильштин-ский Л А , Флейшман Н П , Черепанов В П, Шерман Д И и др

Значительно менее исследована задача изгиба тонких пластин Прежде всего это объясняется приближенностью основных гипотез при решении задачи классической теории изгиба Кирхгофа, создающей определенные трудности Исследования по теории изгиба тонких плит связаны с работами Ам-барцумяна С А , Артюхина Ю П, Бережницкого J1Т, Wilhams М L, Грилиц-кого Д В , Isida М, Калоерова С А, Лехницкого С Г, А М Линькова, Пелеха Б Л , Подружина Е Г , Попова Г Я , Прусова И А , Reissner Е , Tamate О , Тимошенко С П, В М Толкачева, Фильштинского Л А , Hasebe N и др

К недостаткам традиционных методов расчета, используемых многими авторами, можно отнести в большинстве случаев отсутствие универсального подхода при решении конкретных задач (например, при использовании метода конформных отображений), большой объем вычислительных операций (решение с помощью уточненных теорий изгиба), большую размерность разрешающей системы уравнений (метод конечных элементов, метод конечных разностей)

Целью работы является разработка методики определения напряженно-деформированного состояния (НДС) при изгибе анизотропных пластин (АП), имеющих дефекты типа трещин, отверстий и содержащих абсолютно жесткие криволинейные стержни и двумерные жесткие шайбы Научная новизна, состоит в следующем:

— построены комплексные потенциалы и сингулярные интегральные

уравнения задачи изгиба бесконечной анизотропной пластины, содержащей криволинейные жесткие включения, непересекающиеся разрезы и гладкие отверстия,

- получены интегральные представления решений и сингулярные интегральные уравнения для конечных анизотропных пластин с трещинами, отверстиями и жесткими включениями,

- разработан алгоритм численного решения полученных систем сингулярных интегральных уравнений и созданы компьютерные программы, реализующие вычисления,

- решен ряд новых задач изгиба многосвязных бесконечных и конечных анизотропных пластин

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с известными аналитическими и численными решениями для изотропных и анизотропных пластин и экспериментальными данными

Теоретическая значение заключается в дальнейшем развитии метода комплексных потенциалов и в приведении первой и второй краевых задач теории изгиба анизотропных пластин к системе сингулярных интегральных уравнений

Практическая значимость заключается 1) в построении алгоритма решения задач изгиба многосвязных анизотропных пластин и реализации его в виде программного пакета, 2) в решении ряда новых задач изгиба анизотропных пластин, выделении асимптотик напряжений в окрестностях вершин остроконечных дефектов, исследовании влияния геометрии пластин и взаимного влияния дефектов на характер НДС в пластине, подтверждении результатов расчета НДС для конечных пластин данными экспериментов, 3) в разработке и реализации численного алгоритма оптимального весового проектирования многослойных анизотропных пластин

Личное участие автора в получении научных результатов заключается в постановке задачи и в получении разрешающих систем сингулярных интегральных уравнений, к которым приводится задача изгиба многосвязных анизотропных пластин, разработке численного алгоритма и проведении большей части вычислительной работы

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на объединенном научном семинаре кафедр "Прочность летательных аппаратов" и "Самолето- и вертолетостроение" Новосибирского государственного технического университета, на межфакультетском семинаре по прочности Сибирского государственного университета путей сообщения, на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Институт гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН, 2003 г), на Восьмом и Девятом Российско-Корейских Международных Симпозиумах по науке и технологиям (КОЯиБ - 2004, 2005), на Всероссийской конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецкий филиал-институт КемГУ, 2004 г ), на XVIII и XIX Межреспубликанских конференциях "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности " (Кемерово, 2003 г, Бийск, 2005 г ), на Всероссийской научно-

технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций "Аэродинамика и прочность конструкций летательных аппаратов" (СибНИА, 2005 г.), на Межвузовских научных студенческих конференциях "Интеллектуальный потенциал Сибири" (НГТУ, 2003,2004 г )

Публикации. Основные результаты работы изложены в 12 научных публикациях, в том числе в журнале из перечня ВАК для обязательного опубликования результатов диссертации

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 145 страниц, 47 рисунков, 11 таблиц и состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 108 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор литературы, посвященный методам решения задач изгиба пластин с концентраторами напряжений в виде трещин, отверстий, абсолютно жестких и упругих включений

Первая глава содержит общие теоретические положения Здесь приводятся основные формы записи обобщенного закона Гука, базовые соотношения классической теории изгиба Кирхгофа, в том числе и для многослойных пластин, основы приложения теории функций комплексного переменного к решению задач изгиба анизотропных пластин Приводятся сингулярные решения для анизотропных плоскости и полуплоскости Эти решения обобщаются на случай действия распределенной по линиям и площадкам нагрузки

Во второй главе решается задача определения НДС в бесконечных или полубесконечных анизотропных пластинах, ограниченных гладкими замкнутыми и разомкнутыми контурами

Рассмотрена бесконечная пластина, содержащая криволинейные непересекающиеся гладкие разрезы Ху (у= 1, ,к) и гладкие отверстия

Л, (/ = 1, ,т) (рис ]) Берега разрезов не контактируют между собой На берегах отверстий и разрезов заданы статические краевые условия (Мп = т, дН

Qn + —— = р) В области, занимаемой пластиной, приложена произвольная ds

поперечная нагрузка

С использованием метода суперпозиции строятся аналитические в области занимаемой пластиной функции от обобщенных комплексных координат Фу (zv), дающие решение задачи

Фу(гу) = 40)Оу) + + 42)(ЛД

где Фу^(zv) - комплексные потенциалы, определяющие НДС в пластине от действия внешней нагрузки, приложенной во внутренних точках пластины,

- комплексные функции, которые определяют возмущения НДС, возникающие из-за наличия криволинейных разрезов,

- комплексные потенциалы, определяющие возмущения НДС, вызванные гладкими отверстиями

Искомые функции представляются в виде интегра-

лов типа Коши с неизвестными функциями подынтегральных плотностей (г), ду\т) по контурам трещин и отверстий Ядрами этих интегралов

Рис 1 Пластина с дефектами типа трещин и гладких отверстий

являются сингулярные решения для соответствующих областей Если нагрузка, прикладываемая к контурам трещин и отверстий, является самоуравновешенной (приводится к нулевым главному вектору и главному моменту), либо отсутствует вообще (края трещин и отверстий свободны от усилий), то для неограниченной пластины комплексные потенциалы могут быть представлены в виде

i

2mj=UjTv-Zv 1=14 " ^

Функции подынтегральных плотностей удовлетворяют условию Гельдера

Статические краевые условия для криволинейных разрезов и гладких отверстий могут быть приведены к виду

- к

а(1)(0Ф1±(/1) + М1)(г)Ф1±(/1) + ф|(^2) = ^(1)±(0, teL, L=\jLj,

7=1

а^МФ+С'!) + ) + Ф+(/2) = (еЛ, Л=иЛ С1)

/=1

Подстановка предельных значений комплексных потенциалов в статические краевые условия (1) и использование формул Сохоцкого-Племеля сводят краевую задачу к системе сингулярных интегральных уравнений (СИУ) к

у=и,

г=14

Ж = / 6 1с (с = 1, , А)

к

I I

у=и,

(2)

т г -

1=1л,

/е (¿/ = 1, ,тя) и соотношениям между функциями подынтегральных плотностей

(г) = -а(1) (г) (г) - б*1) (г)а>С/) (г), (т) = -а(2) (г) _

Прогибы и тангенциальные смещения в пластине выражаются через многозначные функции (/^(г^) = Фу^у), Ру{гуу^ Для получения замкнутой системы уравнений к системе сингулярных интегральных уравнений необходимо присоединить условия однозначности прогибов и тангенциальных смещений в пластине при обходе контуров трещин и отверстий по замкнутой кривой

Яе

а Р —

Ц--Т2~~П

У Г

с1т\

= 0,

(3)

| \а^Хт),д<г\тУ> с1тх = 0,теЬ,Л (у = 1, ,¿,7 = 1, ,т)

Если края трещин и отверстий свободны от нагрузки или загружены самоуравновешенной нагрузкой, то условия равновесия при обходе контуров

трещин и отверстий по замкнутой кривой выполняются автоматически

Численное решение системы СИУ (2) с дополнительными условиями (3) строится с помощью метода механических квадратур Вводятся параметрические представления для контуров разрезов и отверстий При этом учитывается, что функции плотности имеют на концах разрезов корневую особенность и представимы в виде

1Ф1

VI--г

Для замкнутых гладких контуров - непрерывные 2л - периодиче-

ские функции

Для аппроксимации системы СИУ используются квадратурные формулы Гаусса и Гаусса-Чебышева при вычислении обычных и сингулярных интегралов Таким образом, система СИУ с дополнительными условиями приводится к системе линейных алгебраических уравнений для определения значений неизвестных функций подынтегральных плотностей в точках коллока-ции на контурах разрезов и отверстий

Результаты расчетов по предложенной методике сравнивались с известными решениями для изотропных и анизотропных пластин с дефектами Результаты для изотропных пластин получены предельным переходом в параметрах анизотропии при численном решении

В табл 1 проводится сравнение результатов, полученных с помощью

Таблица 1

Сравнение полученных результатов с известными

Результаты автора Результаты С Г Лехницкого Расхождение

Мд = 1,7378А/ Л/0 =1,738 Ш 0,017%

М@ =5,0534М Мв = 5,0699М 0,325%

Я„^ = 0,780Ш НП0 = О,1Ы9М 0,230%

метода СИУ (для 40 точек коллокации на контуре отверстия) с точным решением С Г Лехницкого на примере бесконечной ортотропной пластинки

(^2 =0,31, Е\ =16,9 Ю^МПа, Е\/Е2 =12,1, <р = 0), ослабленной круговым отверстием и находящейся в условиях всестороннего изгиба В табл 1 представлены тангенциальные изгибающие моменты в точках пересечения осевых линий с краем отверстия и максимальные крутящие моменты Из таблицы видно, что расхождение с замкнутым решением (применялся метод конформных отображений) не превышает 0,4%

На рис 2 приведены зависимости КИН К\ (Л,а\) для изотропной пластины, содержащей две прямолинейные трещины и нагруженной на бесконечном удалении равномерно распределенными изгибающими моментами

М^ На каждом контуре задано по 40 узловых точек Коэффициент интенсивности К\{Л,а\) вершины А трещины вычислялся в площадках, совпадающих с направлением касательной к вершине (ф = а\), Мф = К\ (2г)

(рис 1) Пунктирные линии на фигуре соответствуют результатам Исиды, который для решения данной задачи использовал разложение комплексных потенциалов в ряд Лорана

1,4

1,0

Му

0,5

0

-------^

л/4,5

7Г/ 3 6

яг/з

0,5

Я

1

Рис 2 Бесконечная пластина с двумя прямолинейными разрезами

В третьей главе решается задача изгиба анизотропной пластинки, содержащей абсолютно жесткие криволинейные стержни и двумерные жесткие шайбы Жесткие включения представляются как гладкие нити, расположенные в срединной поверхности пластины и имеющие бесконечные изгибные и крутильные жесткости Замкнутые жесткие включения соответствуют двумерным жестким включениям в пластине

Кинематические граничные условия для контуров, ограничивающих пластину, имеют вид

* дм * у> = \9 , —-а , дп

где м> , а функции прогиба и угла поворота границы

После некоторых преобразований эти условия можно привести к комплексному виду

- /

^3)(/)Ф]±(/1) + й(3)(0Ф1±(^1) + ф|^2) = ^(3)(0, (еГ, Г= и О'

У=1

Л(4)(?)Ф/Ч'1) + В(4\()Ф+(11) + Ф+(/2) = /г(4)М, ГеД П=1)П,

г=1

гСР)(А =

^2(0(^2-/^2)

ds ds

(р = 3,4),

A 'f* Л ^ A 'i* »

.aw aw aw dw

f\ ---sm\j/+-cosy/, /2=-cosy/ч--smy

os ЭЙ ЙУ дп

Прогибы жесткого включения при изгибе пластины представляются в виде

Откуда

w = Ах + By + С

2U 0,^=0

ds ds

и краевая задача становится однородной

С использованием описанной процедуры краевые условия сводятся к системе сингулярных интегральных уравнений Дополнительными будут условия равенства нулю главного момента сил, приложенных к включениям со стороны пластины

\ №(г)Л1=0(у=1, ,/), (г = 1, ,п)

г} п,

Однозначность перемещений в пластине и условие равенства нулю главного вектора выполняются автоматически

На рис 3 представлены зависимости К\(а\) и К2(а1) для неограниченной

«— > Г- My

>а

в, _

У

у

1

К2

20

1,0

-10

____

О л/4 а\ ж)2

Рис 3 Распределение КИН для стеклоэпоксидной пластинки

10

пластины, содержащей жесткое включение в форме дуги полуокружности и изгибаемой равномерно распределенными на бесконечности изгибающими моментами Коэффициенты интенсивности ^(аО, К2{а.\) для вершин а и Ъ жесткого включения вычислялись в площадках, совпадающих с направлением касательной к вершине = , НП(р = | Для

стеклоэпоксидного композита =0,25, Е\ =5,384 Ю^МПа, Е\/Е2=У) расчет проведен для двух случаев <р = 0 - сплошные и пунктирные кривые, (р = к!2 - штриховые и штрихпунктирные линии

В четвертой главе рассматриваются бесконечные и конечные многосвязные пластины, на граничных контурах которых заданы статические или кинематические граничные условия

Решение задачи изгиба конечной АП, ослабленной системой разрезов и отверстий и содержащей замкнутые и разомкнутые абсолютно жесткие включения, записываются в виде

Фу (гу) = Ф*(гу ) + Ф® (гу) + ф\ (гу) + Ф^ (г„) + Ф>1 (*„) + (г„),

где Фу [гу) - это комплексные потенциалы, определяющие НДС в бесконечной АП от внешней нагрузки, приложенной внутри области, занимаемой пластиной, Фу{гу), ф1(гу), Фу(гу), Фу(гу), Фу(гу) - комплексные функции, которые определяют возмущения НДС, вносимые внешним контуром, криволинейными разрезами, гладкими отверстиями, разомкнутыми жесткими включениями и замкнутыми жесткими включениями соответственно

Приняв Фу^(гу) = 0, получим решение задачи изгиба бесконечной АП, содержащей трещины, отверстия, разомкнутые и замкнутые жесткие включения

Первая и вторая краевые задачи имеют одинаковую форму записи (3), (4) Это позволяет свести задачу изгиба АП с многосвязным контуром к единой системе СИУ

Необходимо ввести дополнительные соотношения, чтобы замкнуть систему СИУ и обеспечить однозначное определение искомых функций Для контуров разрезов и контуров отверстий дополнительными будут условия однозначности тангенциальных смещений и прогибов При обходе замкнутых и разомкнутых абсолютно жестких включений необходимо удовлетворить условиям равенства нулю главного момента сил, приложенных к включению со стороны пластины Условия равенства нулю главного вектора обеспечиваются автоматически Если в конечной АП на внешнем контуре заданы статические краевые условия, то главный вектор и главный момент суммарной нагрузки должны равняться нулю (пластина должна находиться в равновесии) В этом случае условия однозначности смещений точек внешнего контура пластины имеют вид

Re

1*(т) ¿0

a B —

n— r r

dv\

= 0, \a{T)d4=0, (TGLQ) ¿0

В случае, когда хотя бы на части внешнего контура заданы кинематические условия, необходимость выполнения условий равновесия отпадает

С помощью метода СИУ можно приближенно определять НДС в пластинах со смешанными краевыми условиями на внешнем контуре Решение для консольной пластины получается суперпозицией решений для жестко защемленной анизотропной полуплоскости и криволинейного разреза, концы которого выходят на защемленный край пластины и выделяют из полуплоскости конечную область При этом используется упрощенная процедура определения напряжений в окрестности угловых точек со смешанными краевыми условиями

На рис 4 сплошной линией показано распределение безразмерных изгибающих моментов для стреловидной консольной пластины из изотропного материала (v = 0,3), нагруженной в свободной вершине сосредоточенной силой Р Кружки на графике - данные эксперимента NASA Штриховой линией на рисунке изображены результаты В М Фролова, где решение построено по методу корректирующей функции Из сравнения графиков видно, что предлагаемый метод дает результаты, которые хорошо согласуются с данными эксперимента, а решение методом корректирующей функции дает значительное расхождение на большей части защемленного края

В следующем примере (рис 5) рассмотрена скошенная изотропная пластина (v = 0,3) в виде параллелограмма, нагруженная в свободной вершине острого угла сосредоточенной силой Кружками на графике показаны данные

Р

4,0

2,0

У / /\ / S зо\ о \

\\ \\ \ \ ; /

\ \ \\

0,5 \ y/b 1

Рис 4 Треугольная пластина

Рис 5 Пластина в виде параллелограмма

эксперимента NASA Сплошная линия соответствует результатам, полученным методом СИУ Штриховой линией показано конечно-элементное решение, полученное с помощью вычислительного комплекса COSMOS Из графиков на рис 5 следует, что оба способа решения задачи достаточно хорошо

совпадают с данными эксперимента, но размерность разрешающей системы уравнений ниже при использовании метода СИУ и составляет 161 в сравнении с 4930для МКЭ

Метод СИУ можно эффективно использовать при определении НДС пластин с многосвязным контуром На рис 6 приводятся результаты расчетов напряжений в сечении заделки проушины Материал пластины — стекло-эпоксидный композит (^=0) Графики на рисунке иллюстрируют влияние удлинения проушины Я = на характер распределения напряжений в сечении заделки Из графиков следует, что при Я, меняющемся в пределах от 0 до 0,25, распределение напряжений достаточно неравномерно Линия, показанная точками (при Я =0,25), - это решение, полученное с использованием

d = 0 6R

. 1,5

1,2

09 0,6 0,3

2,5

(1 ■ _ — —125 — А

-¿У 1/у ),25 \\ \Ч N \\

У\ 1 Я = 0,05 \ *•> и /

40

-0,5

0,5

y/R

1,0

Рис.6 Проушина с круговым отверстием

комплекса COSMOS (МКЭ) Размерность решаемой системы уравнений составляет 16134 (МКЭ) и 322 (СИУ)

На рис 7 представлена круглая пластина, ослабленная прямолинейной центральной трещиной и загруженная по внешнему контуру равномерно распределенными изгибающими моментами Материал пластины изотропный (v = 0,3) График на рис 7 иллюстрирует распределение КИН в вершине прямолинейного разреза (в площадке, совпадающей с продолжением разреза)

в зависимости от соотношения размеров пластины и трещины Пунктирной линией на рис 7 показано решение, полученное Л Т Бережницким Сплошной линии соответствует решение по предлагаемой методике. Из графика видно, что КИН неограниченно возрастает при Л—»1, поскольку ширина перемычки между краем пластины и вершиной разреза стремится к нулю С приближением трещины к

0,25 0,5

Рис 7 Круглая пластина с центральным разрезом

°>75 A=!/R 1

границе наблюдается существенное расхождение в приводимых результатах (до 34%) Очевидно, это объясняется тем, что Л Т Бережницким использовался метод малого параметра, дающий хорошую сходимость лишь при малых значениях Я

В табл 2 анализируется сходимость метода сингулярных интегральных уравнений в зависимости от числа узлов коллокации Результаты численного расчета КИН сходятся достаточно быстро, и уже при 40 узлах коллокации (на

контурах разреза и пластины) относительная погрешность не превышает 0,05 %

Таблица 2

Сходимость метода СИУ

Л #=160 N=80 N=40 N=20

0,2 1,0197 1,0197 1,0197 1,0197

0,4 1,0854 1,0854 1,0854 1,0854

0,6 1,2288 1,2288 1,2288 1,2291

0,8 1,5967 1,5967 1,5975 1,6461

На рис 8 представлена круглая изотропная (у = 0,25) пластина, шарнирно опертая в трех точках, осесиммет-рично расположенных на внешнем контуре пластины Пластина содержит абсолютно жесткое круговое включение радиуса г и нагружена сосредоточенной силой в точке с координатами (а, 0) На рис 8 показано распределение изгибающих моментов по внешнему контуру пластинки в зависимости от координаты приложения сосредоточенной силы Изгибающие моменты имеют логарифмическую особенность в точках, совпадающих с координатами опор

Рис 9 иллюстрирует влияние прямолинейных абсолютно жестких включений на концентрацию напряжений в прямоугольной пластине, ослабленной круговым отверстием Расстояние от оси включения до края отверстия варьируется Приводится распределение тангенциальных изгибающих моментов по контуру отверстия для пластины из графитоэпоксидного композита

(*12 =0,25, Е\ =27,61 104МПа, Е\/Е2 =25) Штрихпунктирные линии на графике - это решение в случае, когда главное направление анизотропии совпадает с направлением оси х (<р = 0), а сплошные линии соответствуют решению для птастинки, в которой волокна направлены вдоль оси у {<р = 7г/2) Как видно из графика, направление ортотропии оказывает сущест-

Рис 8 Круглая пластина с впаянной шайбой

венное влияние на распределение изгибающих моментов С точки зрения снижения коэффициента концентрации напряжений, укладка волокон в направлении действия главных напряжений является более рациональной В дополнение к этому, из рис 9 видно, что жесткие ребра более существенно влияют на концентрацию напряжений при угле анизотропии, равном нулю

Пятая глава посвящена решению задачи оптимального весового проектирования слоистых композиционных панелей Задача оптимизации для пластин из слоистых композиционньгх материалов под действием изгибающих нагрузок формулируется следующим образом при известных упругих и прочностных характеристиках материалов слоев, фиксированных углах укладки и заданной форме пластины найти такие значения толщин слоев и порядок их расположения в пластине, при которых обеспечивается минимум веса Оптимизационная процедура представляет собой комбинацию методов отношения деформаций, проектируемых градиентов и половинного деления Целевая функция и ограничения имеют вид

/(/») = ¿А,-»-пип, СХ(1()е[(х,) + с;£;^)-1<0, /1,>0 ),к= 1,2,6 <=1

Здесь х1 - точки в пластине, где проверяется выполнение критерия прочности

В качестве ограничений принималось условие обеспечения прочности одновременно для всех вариантов нагружения Для пластины, имеющей отверстия, разрезы и абсолютно жесткие включения, напряжения и деформации в каждом слое могут быть найдены с помощью метода сингулярных интегральных уравнений При реализации алгоритма оптимизации, с учетом принятой гипотезы распределения деформаций по толщине пластины, при анализе прочности слоев в критерий прочности подставлялись соответствующие данному слою деформации Значения деформаций вычислялись на поверхности слоя, наиболее удаленной от срединной плоскости пластины Так как НДС пластины при действии изгибающих нагрузок существенно зависит от порядка расположения слоев, алгоритм оптимизации применяется для всех Л" возможных случаев их перестановки За оптимальный принимается вариант, при котором достигается минимальная толщина пластины

Расчеты проводились с использованием деформационного критерия

Рис 9 Ортотропная пластина с отверстием и двумя ребрами

Цая-Ву В работе для четырехслойной пластины с укладкой (0/90/+45/-45) приводятся зависимости значений оптимальной толщины пластины и процентного соотношения слоев от параметров изгибающей нагрузки и формы отверстия, исследуется характер сходимости решения, проводится сравнение с результатами, полученными методом координатного спуска (табл 3, Му = 104 Н, М™ = Н™ = О, углепластик НМБ/3002М)

Таблица 3

Сравнение для разных ориентации_

Градиентный метод Метод покоординатного спуска

Ь/а hoivn , Ориентация, Отношение толщин honm. > Ориентация, Отношение толщин слоев, %

мм ф1ЛР2ДРз/ф4 слоев, % ММ Ч>1ДР2/ФЗАР4

0,2 15,3 45/90/0/-45 6 39 19 36 15,46 -45/45/90/0 6 1231 51

0,6 10,6 -45/90/45/0 6 29 17 48 10,26 45/-45/90/0 7 8 31 54

1,0 8,89 90/-45/45/0 31 3 4 62 8,68 90/-45/45/0 33 21 1 45

1,6 7,79 90/-45/0 38 2 60 7,57 90/-45/45/0 39 23 1 37

2,0 7,3 90/45/0/-45 35 3 28 34 7,1 90/-45/0 42 26 32

В заключении сформулированы основные результаты работы

1 В рамках технической теории тонких пластин решена задача изгиба конечных и бесконечных многосвязных анизотропных пластин Построены комплексные потенциалы, моделирующие гладкие отверстия, криволинейные разрезы и жесткие включения в пластинах

2 Построен и реализован на компьютере в виде программного пакета эффективный алгоритм численного решения системы СИУ, к которой приводится задача изгиба многосвязных анизотропных пластин Показана эффективность предлагаемого метода решения путем сравнения с известными результатами для изотропных пластин и решения тестовых задач

3 С помощью программного пакета решен ряд новых, технически важных задач изгиба анизотропных пластин Проведено сравнение полученных результатов с данными экспериментов, проведенных независимыми исследователями

4 В ряде задач исследовано влияние геометрии пластин, краевых условий на контурах, механических характеристик материала на параметры НДС (коэффициент концентрации напряжений и КИН)

5 Предложен и реализован в конкретной задаче алгоритм рационального весового проектирования пластин из композитных материалов

Основные положения диссертационной работы опубликованы в следующих работах

1 Максименко В Н, Подружин Е Г , Рябчиков П Е Напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины, содержащей криволинейные трещины и тонкие жесткие включения //Изв РАН МТТ - 2007 -№2 - С 66-74

2 Подружин Е Г , Рябчиков П Е Метод граничных интегральных уравнений в задачах изгиба многосвязных анизотропных пластин // Численные

методы решения задач теории упругости и пластичности Труды XVIII Межреспубликанской конференции, Кемерово, 1-3 июля 2003 г - Новосибирск Изд-во ИТПМ СО РАН, 2003 -С 146-152

3 Подружин Е Г, Рябчиков П Е Изгиб анизотропной пластины, содержащей криволинейные, жесткие включения и трещины // Труды Всероссийской школы-семинара по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (13-17 октября 2003г ) Новосибирск НГТУ, 2003 -С 171-175

4 Подружин Е Г, Рябчиков П Е Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах изгиба анизотропных пластин с многосвязным контуром // Краевые задачи и математическое моделирование Сб тр VII Всеросс научн конф , 4-5 декабря 2004 г - Новокузнецк: Изд-во НФИ КемГУ -С 86-87

5 Подружин Е Г, Рябчиков П Е Изгиб анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, край которого частично загружен изгибающими моментами постоянной интенсивности // Аэродинамика и прочность конструкций летательных аппаратов Труды всероссийской научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций, Новосибирск СибНИА, 15-17 июня 2004 г - Новосибирск Изд-во Сиб-НИА, 2005.-С257-260

6 Подружин Е Г, Рябчиков П Е Изгиб конечных анизотропных пластин с гладким отверстием и криволинейными трещинами // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Труды XIX Всероссийской конференции, Бийск, 28-31 августа 2005г - Новосибирск Изд-во Параллель, 2005 - С 224-229

7 Рябчиков П Е Изгиб анизотропных пластин с криволинейными жесткими включениями // Интеллектуальный потенциал Сибири Сборник тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции Новосибирск, Изд-во НГАСУ, 2003 - С 82-83

8 Рябчиков ПЕ Изгиб анизотропных пластин с гладкими отверстиями, криволинейными разрезами и жесткими включениями // Интеллектуальный потенциал Сибири Сборник тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции — Новосибирск Изд-во НГАСУ, 2004 -С 76-77

9 Максименко В Н, Подружин Е Г, Бутырин В И, Павшок JIВ , Рябчиков П Е Весовое проектирование композитных панелей, ослабленных эллиптическим отверстием, при изгибе моментами // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Труды XIX Всероссийской конференции, Бийск, 28-31 августа 2005г - Новосибирск Изд-во Параллель, 2005 -С 172-176

10 Maksimenko V N, Podruzhm Е G, Butyrin V I, Pavshok L V, Ryabchtkov P E Optimal design of composite panels with an elliptical hole // Proceedings The 9 th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology "CORUS-2005". Novosibirsk State Technical University, June 26-July2 ,

2005 Vol 1 -P 498-501

11 Podruzhin E G, Ryabchikov P E Bending of anisotropic plates with stress concentrators // Proceedings The 8 th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology "CORUS-2004" Tomsk Polytechnical University, June 26-July 3, 2004 Vol 1 -P 58-61

12 Podruzhin E G, Ryabchikov P E Bending of finite anisotropic plates with cracks and holes // Proceedings of The 9 th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology "CORUS-2005" Novosibirsk State Technical University, June 26-July2,2005 VI -P 514-517

Подписано в печать 03 04 07 г Формат 84x60x1/16 Бумага офсетная Тираж 100 экз Печ л 1,0 Заказ № ¿О

Отпечатано в типографии

Новосибирского государственного технического университета 630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ И РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ НАГРУЗКИ В АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНАХ.

1.1. Некоторые формы записи закона Гука для анизотропных тел.

1.2. Основные соотношения классической теории изгиба Кирхгофа.

1.3. Слоистые композиционные материалы.

1.4. Применение функций комплексного переменного к решению задач изгиба анизотропных пластин.

1.5. Комплексные потенциалы для бесконечной анизотропной пластины.

1.6. Анизотропная полуплоскость под действием сосредоточенных нагрузок.

1.7. Нагрузки, распределенные по линиям и площадкам.

2. БЕСКОНЕЧНАЯ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ АНИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ГЛАДКИМИ РАЗРЕЗАМИ И ГЛАДКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.

2.1. Постановка краевой задачи.

2.2. Общие представления решения.

2.3. Сведение краевой задачи к системе сингулярных интегральных уравнений.

2.4. Условия однозначности смещений и прогибов анизотропной пластины.

2.5. Приведение системы сингулярных интегральных уравнений к каноническому виду.

2.6. Численная реализация метода сингулярных интегральных уравнений

2.7. Определение коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности вершин криволинейных гладких разрезов.

2.8. Случай ветвящихся разрезов. Выход разреза на край отверстия.

2.9. Результаты расчетов.

3. БЕСКОНЕЧНЫЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ, СОДЕРЖАЩИЕ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Потенциальные представления комплексных функций для контуров, на которых заданы углы поворота и прогибы.

3.3. Система сингулярных интегральных уравнений.

3.4. Условия равенства нулю главного момента сил, приложенных к включению со стороны пластины.

3.5. Асимптотические представления изгибающих моментов в вершинах жестких разомкнутых включений.

3.6. Некоторые численные результаты.

4. КОНЕЧНЫЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ГЛАДКИМИ ЗАМКНУТЫМИ КОНТУРАМИ И СОДЕРЖАЩИЕ СКВОЗНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ РАЗРЕЗЫ И АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Общий вид комплексных потенциалов для конечной анизотропной области, содержащей дефекты типа трещин, отверстий и абсолютно жестких включений.

4.3. Приведение краевой задачи к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями.

4.4. Квадратурные формулы и алгоритм численного решения.

4.5. Экспериментальное определение напряжений в консольной пластине.

4.6. Результаты расчетов.

4.6.1. Многосвязные консольные пластины.

4.6.2. Круговая пластина с тремя осесимметрично расположенными отверстиями, нагруженная изгибающими моментами постоянной интенсивности но внешнему контуру.

4.6.3. Прямоугольная анизотропная пластина с отверстием, изгибаемая моментами постоянной интенсивности, распределенными по торцам.

4.6.4. Кольцевая пластина, нагруженная сосредоточенной силой.

4.6.5. Круглая пластина, ослабленная трещиной.

5. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТНЫХ ПАНЕЛЕЙ.

5.1. Постановка задачи.

5.2. Методы оптимизации.

5.3. Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием.

Сегодня существует достаточно мощный аппарат вычислительных методов, и эффективное использование вычислительной техники для их реализации требует расширения границ исследования двумерных задач теории упругости.

К настоящему времени плоская задача теории упругости достаточно полно исследована, и методы решения возникающих краевых и контактных задач в пластинах с концентраторами напряжений в виде отверстий, трещин и включений, соответственно, хорошо развиты. Наибольший вклад в развитие этого направления внесли Гршшцкий Д.В., Григолюк Э.И., Инглис С.Е., Ирвин Г., Колосов Г.В., Калоеров С.А., Космодамианский А.С., Лехницкий С.Г., Максименко В.Н., Миндлин Р.Д., Мусхелишвили Н.И., Пелех Б.Л., Партон В.З., Попов Г.Я., Савин Г.Н., Саврук М.П., Си Г., Тамате О., Филынтинский Л.А., Флейшман Н.П., Черепанов В.П., Шерман Д.И. и др.

Значительно менее исследованной представляется задача изгиба тонких пластин. Прежде всего, это объясняется приближенностью основных гипотез при решении задачи классической теории изгиба Кирхгофа, создающей определенные трудности и кроме того, при решении задач для пластин с трещинами возникает контакт берегов разреза, что приводит к нбявлению сил в срединной плоскости пластины, т.е. одновременно с задачей изгиба необходимо решать плоскую задачу. Исследования по теории изгиба тонких плит связаны с работами Амбарцумяна С.А. [40], Артюхина Ю.П. [41], Бережницкого Л.Т. [44-47], Вильямса MJI. [32, 53], Грилицкого Д.В. [58, 59], Исиды М. [15, 16], Калоерова С.А. [63, 64], Лехницкого С.Г. [70-72], Пелеха Б.Л. [85, 86], Подру-жина Е.Г. [22-24, 76-80, 87-92], Попова Г.Я. [94], Прусова И.А. [95], Рейссне-ра Э. [38], Тамате О.[30, 31], Тимошенко С.П.- [102], Филыптинского Л.А. [73,103], Хасебе Н. [6-11] и др.

Вильяме МЛ. на основе метода собственных функций исследовал распределение напряжений вблизи вершины прямолинейной трещины в изгибаемой изотропной пластине [53] и доказал, что в случае изгиба, как и при растяжении, особенность напряжений обратно пропорциональна квадратному корню расстояния от вершины трещины. Кроме того, Вильяме M.JI. вместе с Эн-гом Д.Д. впервые рассмотрели изгиб ортотропной пластины с прямолинейной трещиной [1], расположенной вдоль одного из главных направлений. В работе [1] методом интегральных преобразований определено общее напряженно-деформированное состояние (НДС) в рассматриваемой плите, однако анализ асимптотических формул в окрестности вершины трещины выполнен не был.

В монографии [44] с использованием теории Кирхгофа и методов теории функций комплексного переменного систематизированы основные результаты для задач изгиба изотропных пластин с криволинейными вырезами или жесткими прямолинейными включениями, имеющими точки возврата на контуре.

Бережницкий JI.T., Садивский В.М., Опышко Л.И. рассмотрели задачу изгиба бесконечной анизотропной пластины, ослабленной прямолинейным разрезом [47]. Комплексные потенциалы определены с использованием конформного отображения внешности разреза на внешность единичного круга.

В работах Ирвина Л., Черепанова Г.П. [14, 106] доказано, что асимптотическое распределение напряжений не зависит от конфигурации дефекта.

Бесконечные пластины с трсщнтш" и отпсрстиими.

В работах [15, 16] рассмотрены задачи изгиба бесконечных изотропных пластин, ослабленных системой прямолинейных разрезов. Использован метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана.

Горбань А.Г., Прусов И.А. [56] для решения задачи о прямолинейных трещинах вдоль прямой в анизотропной плите использовали метод сопряжения.

Задача изгиба анизотропной неограниченной пластины, ослабленной системой криволинейных непересекающихся разрезов, нагруженной самоуравновешенными усилиями, приложенными к берегам разрезов и изгибающими моментами па бесконечности, была решена Филынтннским Л.А. и Хандоги-ным В.II. [103]. В работе использован метод сингулярных интегральных уравнений. Полученная система уравнений дополняется вспомогательными условиями, накладываемыми па перемещения в пластине. Любчак В.А. совместно с Филыптипским JI.A. опубликовали работу [73], в которой подобным методом решена задача изгиба анизотропной полубесконечной плиты, имеющей криволинейные разрезы. В обеих работах [103, 73] осуществляется предельный переход от ортотроппой среды к изотропной, получены соответствующие интегральные уравнения.

Широкий класс задач решен Хасебе Н. и его соавторами. В работах решены задачи для бесконечной изотропной полосы с двумя краевыми трещинами [6, 8], представлены результаты численного эксперимента для задач изгиба бесконечной изотропной пластины с трещиной, имеющей ответвления на противоположных концах [9]; рассмотрены задачи о трещинах на линии соединения полуполосы и полубесконечной пластины [6], проанализированы изгиб изотропной полосы с уступом и трещиной [10], а также случай упругой полуплоскости, свободно опертой на прямолинейном крае с трещиной [11]. Решение во всех работах этого автора строилось с помощью метода комплексной переменной с использованием рациональной отображающей функции. Получены общие решения в замкнутой форме.

Максименко В.П., Подружин Е.Г. исследовали задачу изгиба бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием [77-79, 92]. Для построения решения используется конформное отображение внешности эллиптического отверстия на внешность единичного круга и обратное преобразование, а также процедура вычисления интегралов типа Коши по замкнутым контурам. Рассматриваются различные варианты краевых условий на контуре отверстия и различные варианты внешней нагрузки, определены в замкнутом виде выражения для действительных констант в случае решения первой краевой задачи.

Ряд задач изгиба бесконечных изотропных и анизотропных пластин решен в работах японских ученых [5, 12, 27]. В работе [5] рассматриваются задачи для пластин с трещинами, являющимися границами раздела материальных сред. Другие работы [12, 27] посвящены задачам изгиба для пластин с эллиптическим отверстием, находящихся под действием сосредоточенного момента ч или изгибающих моментов на бесконечности.

Метод конечных элементов используется в работе Вильсона В. и Томпсона Д. [34], где рассматривается задача изгиба бесконечной пластины и полосы, ослабленных прямолинейными трещинами.

Шацкий И.П. предложил приближенный способ описания контакта берегов разреза при изгибе изотропной пластины в рамках двумерной теории Кирхгофа [107]. В данной работе напряженное состояние пластины, изгибаемой равномерно распределенными на бесконечности моментами, вне прямолинейного разреза описывается парой несвязанных бигармонических уравнений обобщенного плоского напряженного состояния и изгиба пластин. На контактирующих берегах разреза неизвестное контактное давление заменяется статически эквивалентной системой: нормальными усилиями в срединной поверхности пластины и изгибающими моментами. Для построения решения поставленной краевой задачи используется метод интегральных уравнений. В результате задача сводится к нелинейному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению, решение которого найдено в замкнутом виде, определены коэффициенты интенсивности усилий и моментов в окрестности концов разреза.

В работе Даляк Т.М. [60] представлены результаты численных расчетов по определению коэффициентов интенсивности напряжений в пластине с системой параллельных взаимносмещенных трещин, края которых контактируют.

В статье Хилла и Клементса [13] учитывается контакт берегов прямолинейной трещины в анизотропной плите.

Тамате О. решил в рамках теории Рейсснера задачу изгиба бесконечной изотропной плиты с круговым отверстием и радиальной трещиной [30], используя для этого метод сингулярных интегральных уравнений.

Пластины с жесткими н упругими пключеииими.

Изгиб пластин, содержащих тонкое жесткое включение, исследован в монографиях [44, 94, 95].

В монографии Бережницкого JI.T., Делявского М.В. и Панасю-ка В.В. [44] впервые получено распределение напряжений в окрестности вершин прямолинейных жестких включений в изотропной пластине.

Подружип Е.Г. получил решение задачи изгиба для жесткого эллиптического включения в анизотропной пластине под действием сосредоточенной силы [22]. Неизвестные аналитические функции, дающие решение задачи, определяются с помощью конформного отображения внешности эллиптического жесткого включения на внешность единичного круга.

Грилицкий Д.В., Опанасович В.К., Драган М.С. исследовали задачи изгиба и кручения бесконечных изотропных плит с упругими линейными включениями [58, 59, 84]. В работах построена модель тонкого упругого включения, осуществлена постановка и решение задачи цилиндрического изгиба пластины с системой тонких прямолинейных упругих включений, нагруженной изгибающими и крутящими моментами на бесконечности. Задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференцнальных уравнений, решаемой методом механических квадратур.

Решение задачи изгиба упругих пластин, подкрепленных тонкими упругими незамкнутыми стержнями, сводится к определению контактных усилий взаимодействия пластины и стержня. В работах Онищука О.В., Попова Г.Я., Фаршайта П.Г. этн задачи приводятся к интегральным уравнениям со специальной характеристической частью [82, 83]. Для пластин с упругими линейными включениями переменной жесткости некоторые результаты можно найти в [35, 36]. Определение неизвестных контактных усилий сводится здесь к решению интегро-дифференциального уравнения со специальной характеристической частью.

Задача изгиба изотропных пластин, ограниченных многосвязными контурами, решена в статье Калоерова С.А. [63] Метод основан на решении задачи сопряжения для разомкнутых контуров многосвязной области. В качестве примера рассмотрена круглая плита с центральной трещиной под действием сосредоточенной силы.

Калоеров С.А. и Вакуленко С.В. исследовали задачу об изгибе бесконечной изотропной пластинки, имеющей отверстия, трещины и жесткие включения [64]. В основе метода определения НДС лежит решение в замкнутом виде задачи об изгибе бесконечной плиты с одним эллиптическим отверстием.

Основываясь на теории изгиба пластин Рейсснера, в работе [31] решена задача об изгибе упругой пластины, содержащей жесткое лентообразное включение.

В работе Хасебе II. [7] исследуется НДС полубесконечной изотропной пластины, вдоль прямолинейного края усиленной ребром конечной длины, у конца которого имеется прямолинейная трещина. Задача решается в комплексных потенциалах, причем область пластины конформно отображается на круг единичного радиуса. Исследуется зависимость коэффициента интенсивности напряжений от отношения длины подкрепляющего ребра к длине трещины.

Конечные иластнны с дефектами.

Выделим некоторые работы по изгибу конечных изотропных и анизотропных плит, имеющих дефекты.

В работе Кулакова В.М., Толкачева В.М. [66] метод компенсирующих нагрузок используется для решения краевой задачи изгиба тонкой упругой изотропной пластинки. Исследуя свойства предельных значений встречающихся интегралов и производя их регуляризацию, авторы получают систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода для определения компенсирующих нагрузок. В работах [50 - 52] на основе метода компенсирующих нагрузок предложена методика решения задач изгиба конечных изотропных пластинок, имеющих различные условия опирания на внешнем контуре. Определяется общее НДС не только в пластине, но и в окрестности угловых точек. Задача сводится к регулярным интегральным уравнениям, которые решаются численным методом.

В статьях [44-46, 54, 74] рассмотрены различные приближенные методы исследования изгиба круглой изотропной плиты с центральной трещиной. Изгиб защемленной прямоугольной и квадратной пластинки с трещиной рассмотрен в статье [43].

Исследования для кольцевой изотропной пластинки с жестко защемленными внутренним и свободным внешним краями под действием поперечной сосредоточенной нагрузки, приложенной в произвольной точке, проведены в работе [2]. Решение построено с использованием тригонометрических рядов.

В работе [101] рассмотрена изотропная пластинка, нагруженная в некоторой точке сосредоточенной силой. Внешний контур плиты незначительно отличается от кругового и жестко заделан, а внутренний - круговой, свободен от закрепления. Задача решена методом малого параметра.

В работе [62] решена задача об изгибе тонких изотропных пластин, имеющих форму сектора или кругового прямоугольника. Радиальные края изучаемых пластин упруго оперты, а дуговые края могут иметь любые условия опирания. С помощью метода декомпозиции уравнений получено приближенное аналитическое решение поставленной задачи.

Изгиб свободно опертой прямоугольной плиты с трещиной рассмотрен Гребняком С.Т., Поповым Г.Я. [57]. Здесь использовалась теория изгиба пластин Тимошенко С.П., учитывающая слабую сдвиговую жесткость материала. Задача сведена к интегральному уравнению, которое решалось методом ортогональных многочленов.

Кулиев С.А. рассмотрел задачу изгиба анизотропной пластинки, ограниченной снаружи эллиптическим контуром, а изнутри круговым с двумя примыкающими разрезами одинаковой длины [67]. При помощи полиномов Фа-бера задача сводится к решению четырех систем бесконечных линейных алгебраических уравнений.

В работе [93] изучается изгиб шарнирно опертой прямоугольной орто-тропной пластинки с тонким жестким включением. С помощью преобразования Фурье задача сводится к интегральному уравнению, решение которого ищется в классе функций с ненитегрируемыми особенностями.

Копнина В.И., Мельников Е.И. предложили решение задачи изгиба анизотропной эллиптической плиты с внецентрепным эллиптическим отверстием [65]. Внешний контур и литы или закреплен или свободен, а по внутреннему распределен изгибающий момент постоянной интенсивности. Метод решения задачи [65] основан па представлении искомых комплексных функций двумя рядами, один из которых содержит полиномы Фабера.

Применению метода конечных элементов к задачам изгиба конечных пластин, ослабленных трещинами, посвящена работа [3]. В данной работе использованы специальные сингулярные конечные элементы, причем аппроксимация сингулярных и регулярных конечных элементов осуществляется по-разному.

Представленный выше краткий обзор показывает, что существуют пробелы в исследованиях НДС анизотропных пластин в рамках классической теории изгиба Кирхгофа:

- в большинстве работ подкрепляющие элементы представляются в виде абсолютно жестких прямолинейных стержней, не рассматриваются включения, имеющие произвольную криволинейную форму;

- существующие исследования ограничиваются, как правило, единичными включениями, отсутствуют работы, рассматривающие взаимовлияние жестких ребер в анизотропных плитах;

- малочисленны исследования, рассматривающие взаимодействие криволинейных разрезов, гладких отверстий, тонких разомкнутых абсолютно жестких включений и двумерных абсолютно жестких включений в бесконечных и конечных анизотропных пластинах.

Недостатками приведенных в обзоре методов расчета можно назвать во многих случаях отсутствие универсального подхода при решении конкретной задачи (например, при использовании метода конформных отображений), большой объем вычислительных операций (решение с помощью уточненных теорий изгиба), большая размерность разрешающей системы уравнений (метод конечных элементов, метод конечных разностей).

Цслыо работы является разработка методики определения напряженно-деформированного состояния анизотропных пластин, имеющих дефекты типа трещин, отверстий и содержащих абсолютно жесткие криволинейные стержни и двумерные жесткие шайбы.

Научная новизна и теоретическая значимость:

- построены комплексные потенциалы и сингулярные интегральные уравнения задачи изгиба бесконечной анизотропной пластины, имеющей жесткие включения, непересекающиеся разрезы и гладкие отверстия;

- получены интегральные представления решений и сингулярные интегральные уравнения для конечных анизотропных пластин с трещинами, отверстиями и жесткими включениями;

- разработаны алгоритм численного решения возникающих систем сингулярных интегральных уравнений и компьютерные программы, реализующие вычисления.

- решен ряд новых задач изгиба бесконечных и конечных анизотропных пластин, содержащих дефекты (непересекающиеся разрезы, гладкие отверстия) и подкрепления (разомкнутые абсолютно жесткие стержни, двумерные жесткие включения).

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на объединенном научном семинаре кафедр "Прочность летательных аппаратов" и "Самолето- и вертолетостроение" (5 октября 2006 г.), на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2003 г.), па Восьмом и Девятом Российско-Корейских Международных Симпозиумах по науке и технологиям (KORUS - 2004, 2005), па Всероссийской конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецкий филиал-институт КемГУ, 2004 г.), на XVIII и XIX Межреспубликанских конференциях "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности " (Кемерово, 2003 г., Бийск, 2005 г.), на Всероссийской научно-технической конференции, посвящепной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций "Аэродинамика и прочность конструкций летательных аппаратов" (СибПИА, 2005 г.), па Межвузовских научных студенческих конференциях "Интеллектуальный потенциал Сибири" (НГТУ, 2003, 2004 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации содержатся в 12 научных публикациях [18, 23,24, 80,87, 88, 89, 90,91,96,97, 81].

Структура и объем диссертации.

Диссертация содержит 145 страниц и состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 108 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод сингулярных интегральных уравнений, используемый в работе для решения задач изгиба анизотропных бесконечных многосвязных пластин, ограниченных гладкими контурами сложной формы и содержащих гладкие криволинейные дефекты, а также для решения задач изгиба конечных пластин, ограниченных многосвязпыми контурами, при различных краевых условиях на кромках пластин, и построенный алгоритм численной реализации полученных уравнений, использовались для решения частных задач изгиба пластин в рамках теории Кирхгофа.

В итоге построенных численных решений выделим основные результаты, полученные в работе.

1. В рамках технической теории топких пластин решена задача изгиба конечных и бесконечных многосвязных анизотропных пластин. Построены комплексные потенциалы, моделирующие гладкие отверстия, криволинейные разрезы и жесткие включения в пластинах.

2. Построен и реализован на компьютере в виде программного пакета эффективный алгоритм численного решения системы СИУ, к которой приводится задача изгиба многосвязных анизотропных пластин. Показана эффективность предлагаемого метода решения, путем сравнения с известными результатами для изотропных пластин и решения тестовых задач.

3. С помощью программного пакета решен ряд новых, технически важных задач изгиба анизотропных пластин. Проведено сравнение полученных результатов с данными экспериментов, проведенных независимыми исследователями.

4. В ряде задач исследовано влияние геометрии пластин, краевых условий на контурах, механических характеристик материала на НДС (ККН и КИН).

5. Предложен и реализован в конкретной задаче алгоритм рационального весового проектирования пластин из композитных материалов.

1. Ang D.D., Williams M.L. Combined stress in a orthotopic plate having a finite crack// Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser.E. 1961. - V.28, № 3. - P.372-378.

2. Ciavatti V., Dragoni E., Srozzi A. Mechanical analysis of an annular plate transversely loaded at an arbitrary point by a concentrated force// Trans. ASME J. Mech. Des. 1992. - V.l 14, № 3. - P. 335-342.

3. Chen Wen-Hwa, Chen Pei-Yen. A hybrid-displacement finite element model for the bending analysis of thin cracked plates// Int. J. Fract. 1984. - V.24, № 2. -P.83-106.

4. Hagenicers O.L., North W.P. A compressive study of the fixed edge bending moments of thin rectangular cantilever plates under point loading// Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. B. 1976. - V.98, № 3. - P. 766-772.

5. Hasebe N., Takemura M. Cracks occurring at a joint of a strip and a semi-infinite plate under out-of-plane load// Theoretical and Applied Mechanics. -1981.-V.29.-P. 145-156.

6. Hasebe N. Mixed boundary value problem of plate with crack // J. Eng. Mech. -1984.-V.l 10, № 1. P. 37-48.

7. Hasebe N. Bending of strip with semielliptic notches or cracks // J. Engng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Engrs. 1978. - V.l04. - P. 1433-1450.

8. Hasebe N., Inohara S. Stress intensity factors at a bilaterally-bent crack in the bending problem of thin plate // Engng. Fract. Mech. 1981. - V.l 4. - P.607-616.

9. Hasebe N., Matsuura S., Kondo N. Stress analysis of a strip with a step and a crack//Engng. Fract. Mech. 1984. - V.20. - P.447^62.

10. Hasebe N., Nakamura Т., Ito Y. Analysis of the second mixed boundary value problem for a thin plate// Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1994. - V. 61, № 3. -P. 555-559.

11. Hill D.L., Clements D.L. On deformation of cracked anisotropic slabs// J. Elast. 1984.-V.14, № 4. P.401-413.

12. Irwin L.R. Fracture. In: Handbuck der Physic. Berlin. - 1958. - Bd.6. - P. 551-590.

13. Isida M. Bending of plate containing arbitrary array of cracks // Tran. JSME. -1977. V. 43, № 367. - P. 825-837.

14. Isida M. Interaction of arbitrary array of cracks in wide plates under classical bending. //In: Mechanics of Fracture (G.C. Sih, ed.). V.3, Plates and Shells with cracks. Leyden: Noordhoff Int. Publ., - 1977. - P. 1-43.

15. Katayama Т., Tai H., Sekiya T. Boundary element analysis of Bending Problems of Plates with Free or Fixed Edges// Bull. Univ. Osaka Prefect. -1983. V. A32, № 2. - P.93-105.

16. Murakami Y. (ed.), Stress Intensity Factor Handbook Russian translation. Moscow, 1990. Vol. 2.

17. Ohte S., Hisida M. Photoelastic Study of Rectangular Plates under Bending// Transaction of the Japan Society of Mechanical Engineers. 1972. - V.38, № 314. - P.2475-2482.

18. Ojikutu O., Low R.D., Scott R.A. Stress singularities in laminated composite wedges // Int.J. Solids and Struct. 1984. - V.20, № 8. - P. 777-790.

19. Rosen J.B. The gradient projection method for nonlinear programming. Part II. Nonlinear constraints // J. Soc. Ind. Appl. Math. 1961. -V.9, № 4. - P.514-532.

20. Tsai S.W., Hahn T.T. Introduction to Composite Materials. Technomic Publishing Company, Westport, Connecticut. 1980.

21. Tamate O. Einfluss einer unendliche Reihe gleicher Kreislocher auf die Dur-chbiegung einer dunen Platte // Z. angew. Math. u. Mech. 1957. - V.37. - P.431.

22. Tamate O. Transverse Flexure of a Thin Plate Containing Two Holes// Applied Mechanics Section. 1958. - V.80. -P.l, „

23. Tamate O. Elastic interaction of a circular hole and a line crack in a plate under flexure. -Trans. JSME, -1978. V. 44, Xs 383. - P.2200-2208.

24. Tamate О. Поперечный изгиб упругой пластины, содержащей жесткое лентообразное включение. Нихон кикай гаккай ромбунсю, Trans. Jap. Soc. Mech. Eng., - 1978. - V.44, № 379. - P.790-797.

25. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack// Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E., 1957. - V.24, № 1. - P. 109-114.

26. Williams M.L. A Review of Certain Analysis Methods for Swept-Wing Structures// J. Aeron. Sciences. 1952. - V.19, № 9. - P.615-629.

27. Wilson W.K., Thompson D.L. On the finite element method for calculating stress intensity factors for cracked plates in bending// Eng. Fract. Mech. 1971. -V.3, № 2. - P.97-102.

28. Shavlakadze N. On singularities of contact stress upon tension and bending of plates with elastic inclusion // Proc. Of A. Razmadze Math. Inst. 1999. - V. 120. -P. 135-147.

29. Shavlakadze N. On some contact problems for bodies with elastic inclusions // Georg. Math. J. 1998. -V.5, № 3. - P. 285-300.

30. Szmelter J., Sulikowski Т., Lipinski J. Bending of rectangular plate clamped at one edge //Archiwum Mechaniki Stosowanej. 1961. -V.l, № 13. - P. 63-75.

31. Reissner E. On transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation// The International Journal of Solids and Structures. 1975. -V. 11,№5. -P. 569-573.

32. Александров А.Я., Назаров Н.И. Изгиб скошенной консольной пластины //Инженерный сборник. 1959. - Т.25. - С. 37-44.

33. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость, колебания. -М.: Наука, 1987.-360с.

34. Артюхин Ю.П. Модифицированная теория Голанда-Рейсснера склеенных пластин. -В кн. Исследования по теории пластин и ободочек. Вып. 11 — Казань.: Изд-во Казанского ун-та, 1975. С. 136-148.

35. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Паука, 1985.

36. Белубекян Э.В. Изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластинки с внутренней симметричной трещиной. В кп. Теория оболочек и пластин. -Вып. 1.- М., 1973.-С. 33-37.

37. Бережницкий Л.Т., Делявский М.В., Панасюк В.В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. -Киев: Наук, думка, 1979. 400 с.

38. Бережницкий Л.Т. и др. Изгиб круглой пластины с трещиной. В кн.: Тр.

39. X Всесоюзн. конф. по пластинам и оболочкам. Харьков, 1977. - С. 72-77.

40. Бережиицкий JI.T., Мазурак Л.П. Коэффициенты интенсивности напряжений при изгибе круглой пластинки с трещиной // Прикладная механика. -1982.-Т.18,№3. С. 82-86.

41. Бережницкий Л.Т., Садивский В.М., Онышко Л.И. Изгиб анизотропной пластины с трещиной// Прикл. мех. 1978. - Т. 14, №1. - С.42^49.

42. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. -М., 1987.-524с.

43. Бутырин В.И. Оптимальное проектирование крыльев из композиционных материалов// Динам, и нрочн. элем, авиац. копстр., Новосибирск, 1990.

44. Венцель Э.С. Некоторые вопросы применения метода компенсирующих нагрузок к решению краевых задач ini иба тонких пластинок// Пробл. машиностроения. 1982, №17. - С. 54-58.

45. Венцель Э.С., Токаренко В.М. Об одном варианте реализации метода компенсирующих нагрузок к решению краевых задач изгиба тонких пластинок// Строительная механика и расчет сооружений. 1982, №2. - С. 21-25.

46. Венцель Э.С., Токаренко В.М. Расчет тонких упругих пластин сложной формы с использованием интегральных уравнений 1-го рода// Динамика и прочность машин. 1980, №32. - С. 115-119.

47. Вильяме М.Л. Распределение напряжений у основания стационарной трещины// Тр. Амер. об-ва ипж.-механиков, сер. Е. Прикладная механика. -1961. Т.28, №1. - С.93-98.

48. Гапонов Г.В. Определение концентрации напряжений в круглой пластине с разрезом посередине при изгибе давлением // Изв. АН. СССР. Мех. тв. тела. 1976, №3. - С. 165-168.

49. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. -М., 1979. 640 с.

50. Горбань А.Г., Прусов И.А. Изгиб анизотропной пластинки, ослабленной прямоугольными разрезами // Вести. Белорус, ун-та. Прикл. механика. -1970. Т.6, №3. - С. 80-86.

51. Гребняк С.Т., Попов Г.Я. Изгиб свободно опертых пластин при наличиитрещины // Прикл. механ. 1983. - Т.19, №11.- С. 72-78.

52. Грилицкий Д.В., Драган М.С., Опанасович В.К. Изгиб плиты с прямолинейным тонкостенным включением// Изв. АН СССР. Механ. тв. тела. 1979, №3. - С. 83-88.

53. Грилицкий Д.В., Опанасович В.К., Драган М.С. Изгиб плиты с системой тонких упругих включений // Прикл. мех. 1984. - Т.20, №9. - С. 81-86.

54. Даляк Т.М. Изгиб пластины с периодической системой параллельных взаимносмещенных трещин, края которых контактируют// Ф1з.-Х1м. мех. матер. 2004. - Т. 40, № 1. - С. 115-117.

55. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М., 1970. 664с.

56. Коренева Е.Б. Решение задач об изгибе тонких пластин, имеющих форму сектора и кругового прямоугольника, с помощью метода декомпозиции уравнений// Изв. вузов. Стр-во. 2002. - №10. - С. 48-51.

57. Калоеров С.А. Изгиб многосвязных изотропных плит с трещинами// Тео-ретич. и прикл. механика. 1984. - №15. - С. 16-22.

58. Калоеров С.А., Вакуленко С.В. Об общих представлениях комплексных потенциалов для изотропных пластинок с отверстиями, трещинами и включениями//Теор. и прикл. мех. (Киев). 2001, №32. - С. 79-93.

59. Кулаков В.М., Толкачев В.М. Изгиб пластин произвольного очертания // Докл. АН СССР. 1976. - Т. 230, №1. - С. 56-59.

60. Кулиев С.А. Изгиб анизотропной пластинки с центральной круговой полостью и двумя прямолинейными разрезами// Прикладная математика и механика (Москва). 1993. - Т. 57, №2. - С. 167-175.

61. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного.1. М.: Наука, 1986.

62. Лазарев И.Б. Математические методы оптимального проектирования конструкций. Учебное пособие. Новосибирск: НИИЖТ, 1974. - 191с.

63. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. -М.: ГИТТЛ, 1957. 463 с.

64. Лехницкий С.Г. Изгиб неоднородных анизотропных тонких плит симметричного строения// Прикладная математика и механика. 1941. - Т. V, вып. 1.

65. Лехницкий С.Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит// Прикладная математика и механика. Новая серия. 1939. - Т. 2, вып. 2. - С. 180-209.

66. Любчак В.А., Фильштинский Л.А. Изгиб полубесконечной анизотропной пластины, ослабленной криволинейными разрезами// Прикл. мех. 1982. -Т. 18, №10. - С. 63-67.

67. Мазурак Л.П. Об одном методе решения задач изгиба круглой пластины с трещиной// Физ. хим. механика материалов. 1983. - Т.19, №3. - С. 106-108.

68. Максименко В.II. Концентрация напряжений в элементах авиаконструкций. Новосибирск, НЭТИ, 1989. - 68с.

69. Максименко В. Н., Подружин Е. Г. Изгиб анизотропных пластин при наличии трещин сложной формы// Учен. зап. ЦАГИ. 1989. - Т. 20, № 3. - С. 81-90.

70. Максименко В.Н. Подружин Е.Г. Фундаментальные решения в задачах изгиба анизотропных пластин// ПМТФ. 2003.- Т. 44, №4. - С. 135-143.

71. Максименко В.Н., Подружин Е.Г. Сосредоточенные нагрузки в анизотропной пластине с эллиптическим отверстием.//СибЖИМ. 2004. - Т. 7, №4(20).-С. 107-115.

72. Максименко В.Н. Подружин Е.Г. Сингулярные решения для анизотропных пластин с эллиптическим отверстием. ПМТФ. -2005. Т. 46, №1. - С. 144-152.

73. Максименко В.Ы., Подружин Е.Г., Рябчиков П.Е. Напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины, содержащей криволинейные трещины и тонкие жесткие включения // Изв. PAIL МТТ. 2007. — №2.— С.66-74.

74. Онищук О.В., Попов Г.Я. О некоторых задачах изгиба пластин с трещинами и тонкими включениями // Изв. АН СССР. МТТ. 1980, №4. - С. 141150.

75. Онищук О.В., Попов Г.Я., Фаршайт П.Г. Об особенностях контактных усилий при изгибе пластин с тонкими включениями // ПММ. 1986. - Т. 50, вып. 2. - С. 292-302.

76. Опанасович В.К., Драган М.С. Кручение плиты с прямолинейным тонкостенным включением // Вести. Львов, ун-та. Сер. мех.-мат. 1980. - Вып. 16.- С. 64-69.

77. Пелех Б.,Л. Концентрация напряжений около отверстия при изгибе транс-версально изотропных пластин. Киев; Наукова думка, 1977. - 131с.

78. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев; Наукова думка, 1982. - 295с.

79. Подружин Е.Г. Изгиб анизотропной пластины с эллиптическим отверстием // Научный вестник НГТУ. -2004. №1(16). - С.63-74.

80. Поляков В.В., Подалков В.В. Изгиб прямоугольной ортотропной пластинки с тонким включением// Прикл. методы исслед. прочности JLA. Моск. авиац. ин-т . М., 1992. - С. 55-60.

81. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. - 344с.

82. Прусов И.А. Метод сопряжения в теории плит. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1975. - 256с.

83. Рябчиков П.Е. Изгиб анизотропных пластин с криволинейными жесткими включениями // Интеллектуальный потенциал Сибири. Сборник тезисов докладов Новосибирской межвузовской научной студенческой конференции. Новосибирск, Изд-во ПГАСУ, 2003. С.82-83.

84. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. -Киев: Наукова думка, 1968.

85. Савин Г.Н., Флейшман Н.П. Пластинки и оболочки с ребрами жесткости. Киев: Наук, думка, 1964. - 384с.

86. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. - 324 с.

87. Солянова О.Н., Бондарев Г.Е. Изгиб пластин сложного очертания под действием сосредоточенной силы // Прочность конструкций в экстремальных условиях. Межвуз. науч. сб. Сарат. политех, ин-т. Саратов. 1992. С. 46-50.

88. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. 635с.

89. Филыитинский J1.A., Хандогин В.А. Изгиб анизотропной пластины, ослабленной криволинейными разрезами// Прикл. мех. 1980. - Т. 16, №1. - С. 120-124.

90. Фролов В.М. Применение метода корректирующей функции в расчетах деформаций консольных пластин// Труды ЦАГИ., 1957. - Вып. 705. - 36с.

91. Чамис К. Композиционные материалы. Анализ и проектирование конструкций. -М.: Машиностроение, 1978. - Т. 7, Ч. I. - 344 с.

92. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М., 1974. - 640 с.

93. Шацкий И.П. Изгиб пластины, ослабленной разрезом с контактирующими кромками// Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат и техн. науки, 1988. - №7.-С.51-53.

94. Шерман Д.И. К решению плоской задачи теории упругости для анизотропной среды// ПММ. 1942. - Т. 6, № 6. - С. 509-514.