Двумерные задачи теории упругости прямолинейно-анизотропной среды с вырезами и включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

I. ПРОДОЛЬНЫЙ СДВИГ ПРЯМОЛИНЕЙНО-АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ С

ВЫРЕЗАМИ И ВКЛЮЧЕНИЯМИ

1.1. Основные предпосылки и уравнения

1.2. Общий вид функции ) для конечной многосвязной области

1.3. Общий вид функции в случае бесконечной многосвязной области

1.4. Решение первой основной задачи о продольном сдвиге анизотропной среды с цилиндрической полостью

I.4.I. Формулы для вычисления напряжений

1.5. Ортотропная среда с цилиндрической полостью прямоугольного поперечного сечения

1.6. Продольный сдвиг анизотропной среды сплошного конечного сечения

1.7. Ортотропное призматическое тело квадратного поперечного сечения

1.8. Решение второй основной задачи о продольном сдвиге анизотропной среды с цилиндрической полостью

1.9. Ортотропная среда с абсолютно жестким цилиндрическим включением прямоугольного поперечного сечения.

1.10. Продольный сдвиг анизотропной среды с цилиндрическим анизотропным включением

1.11. Продольный сдвиг ортотропной среды с упругим ортотропным включением

1.11.1. Ортотропная среда с прямоугольным цилиндрическим ортотропным включением

1.11.2. Ортотропная среда с трапецеидальным цилиндрическим ортотропным включением

2. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О ПРОДОЛЬНОМ СДВИГЕ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1. Продольный сдвиг анизотропной среды с цилиндрической полостью. Первая краевая задача

2.2. Ортотропная среда с цилиндрической полостью квадратного поперечного сечения

2.3. Продольный сдвиг анизотропной среды сплошного конечного сечения. Первая краевая задача

2.4. Продольный сдвиг анизотропной среды с цилиндрической полостью. Вторая краевая задача

2.5. Продольный сдвиг анизотропной среды сплошного конечного сечения. Вторая краевая задача

2.6. Продольный сдвиг ортотропной среды с абсолютно жестким цилиндрическим включением квадратного поперечного сечения

3. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

С ПОЛОСТЯМИ И ВКЛЮЧЕНИЯМИ.

3.1. Основные соотношения плоской теории упругости

3.2. Общий вид функций fifa) и (fl>(для многосвязной области

3.3. Простейшие примеры упругого равновесия анизотропной пластины

3.3.1. Всестороннее растяжение

3.3.2. Чистый сдвиг

3.3.3. Растяжение-сжатие

3.4. Первая основная задача для анизотропного тела с криволинейным вырезом

3.4.1. Растяжение ортотропной пластины с прямоугольным отверстием. III

3.4.2. Влияние закругления углов на концентрацию напряжений в пластине с прямоугольным отверстием.

3.4.3. Сдвиг ортотропной пластины с квадратным отверстием.

3.5. Вторая основная задача для анизотропного тела с криволинейным вырезом

3.5.1. Ортотропная пластина с жестким прямоугольным включением

3.6. Анизотропная пластина с упругим анизотропным включением.

3.7. Растяжение ортотропной пластины с упругим ортотропным включением

3.7.1. Ортотропная пластина с прямоугольным включением

3.7.2. Ортотропная пластина с треугольным включением

3.7.3. Ортотропная пластина с трапецеидальным включением.

4. ИЗГИБ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ВЫРЕЗАМИ И ВКЛЮЧЕНИЯМИ

4.1. Определяющие соотношения

4.2. Общий вид функций fifa) и (p2(Z2) для многосвязной области

4.3. Изгиб моментами пластины с криволинейным отверстием. Первая граничная задача

4.3.1. Изгиб ортотропной пластины с прямоугольным отверстием

4.4. Изгиб моментами анизотропной пластины с криволинейным отверстием. Вторая граничная задача 160 4.4.1. Ортотропная пластина с жестким прямоугольным включением.

4.5. Изгиб анизотропной пластины с упругим анизотропным включением

4.6. Ортотропная пластина с упругим ортотропным включением

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И КРАТКИЕ ВЫВОДУ.

В современной промышленности широкое применение находят композиционные материалы, используемые для изготовления различных элементов несущих конструкций, содержащих вырезы (цилиндрические полости), инородные включения. В результате силовых воздействий в таких элементах конструкций возникают неравномерные поля напряжений, без детального изучения которых невозможно обеспечить прочность и надежность работы всей конструкции.

Первые исследования в этом направлении связаны с именами С.Г.Лехницкого, Г.Н.Савина, С.Г.Михлина, Д.И.Шермана [46-47, 75, 94, II3-II4] и другими. С.Г.Лехницкий получил общие решения уравнений плоской задачи теории упругости анизотропной среды и изгиба тонких анизотропных пластин, представив их через комплексные потенциалы обобщенных комплексных переменных. Д.Й.Шерман свел плоскую задачу теории упругости анизотропного тела к системе интегральных уравнений Фредгольма.

Подробный обзор ранних результатов по теории упругости анизотропного тела, полученных советскими учеными, приводится в работе М.М.Фридмана [ПО].

В ряде последующих работ С.Г.Лехницкого [44], Г.Н.Савина [96 ] и других исследователей [18, 51-52, 103] рассматривались конкретные задачи определения напряженного состояния в ортотроп-ной пластине с круговым и эллиптическим отверстием. Воздействие сосредоточенных сил и пар на анизотропную пластину с эллиптическим отверстием и таким же изотропным (жестким) включением рассмотрено в [16-17, 971. Влияние упругого анизотропного эллиптического включения на распределения напряжений в анизотропной пластине изучено в [49].

Дальнейшее исследование концентрации напряжений в неограниченных анизотропных пластинах преимущественно возле эллиптических (круговых) отверстий приводится в работах [8-9, 77-78, 81, 91, 98].

Определение напряженного состояния в анизотропной пластине возле отверстия, отличного от кругового и эллиптического, представляет значительные трудности. Для таких задач С.Г.Лехницкий [45, 48] разработал метод малого параметра, позволяющий в случае плоской задачи привести ее к решению ряда задач для пластины с эллиптическим (круговым) отверстием. Этот метод успешно применен Б.И.Ермолаевым [19] к задачам об изгибе анизотропной плиты.

А.С.Космодамианский [34] предложил приближенный метод, основывающийся на получении приближенных значений функций, конформно отображающих внешность единичной окружности на внешность криволинейных контуров в рассматриваемых областях.

В настоящее время известно много публикаций в отечественных и зарубежных журналах [1-2, 4-5, 7, 14-15, 22-25, 29, 32, 37, 54-58, 67-70, 73, 80, 83, 93, 101, 108, 119, 123-125, 127129, 134] посвященных различным вопросам теории упругости и термоупругости анизотропного тела, задачи изгиба тонких анизотропных плит, разработке новых методик их решения, изучению влияния анизотропии материала на напряженное состояние. Многочисленные результаты систематизированы в монографиях [3, б, 13, 30-31, 33, 42, 50, 82, 85, 89, 95, 99, 106, III, 115].

Плоская задача для многосвязных анизотропных пластин рассмотрена А.С.Космодамианским и Н.М.Нескородевым [40-41]. Такого рода задачи В.Е.Кацом и Л.А.Филыптинским [28], путем использования интегральных представлений для комплексных потенциалов, приводятся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.

В монографии [Зб] изложены методы определения температурных напряжений в многосвязных средах, основанные на успешном применении полиномов Фабера.

В работах [12, 26, 39, 71, 74, 79, 84, 87, 112, II6-II8, 120-122, 126, 130, 132-133] исследовано влияние упругих (жестких) включений на распределения напряжений в ортотропной (изотропной) плоскости и в полуплоскости. Задача изгиба конечной анизотропной пластины с криволинейным упругим включением рассмотрена в [38].

И.А.Прусов [88-90] обобщил метод линейного сопряжения на основные граничные задачи о нахождении напряжений и температурных полей в анизотропной полуплоскости, в плоскости, разрезанной на отрезках прямой, в круге и в плоскости с эллиптическим отверстием.

Л.А.Фильштинский [109] методами теории функций комплексного переменного свел задачу о продольном сдвиге анизотропной среды с разрезами к сингулярным интегральным уравнениям.

Исследованию поля напряжений в анизотропных телах (кручение, плоская задача, изгиб пластин) посвящена монография В.С.Саркисяна [100].

Температурные напряжения в анизотропных пластинах возле некруговых отверстий с помощью метода малого параметра исследованы в работе А.И.Уздалева [107].

Ввиду значительных математических трудностей, возникающих при решении задач о напряженном состоянии анизотропной пластины (тела) с криволинейным вырезом, отличным от кругового и эллиптического, такие задачи, как видно из приведенного обзора, решались в основном приближенными методами, в частности, методом малого параметра. Поэтому проблема построения эффективного аналитического решения задач о концентрации напряжений возле отверстий и упругих включений сложного очертания сохраняет свою актуальность и представляет теоретический и прикладной интерес. Этой теме посвящена настоящая работа.

В диссертационной работе предлагается аналитический алгоритм решения двумерных задач теории упругости однородного прямолинейно-анизотропного тела с криволинейным вырезом (плоская задача, продольный сдвиг, изгиб пластин) и аналогичных задач для тела с упругим анизотропным включением. Предполагается, что возмущение поля напряжений, вызванное наличием выреза (включения), не достигает внешней поверхности тела. Применение аппарата аналитических функций обобщенного комплексного переменного позволило свести рассматриваемые задачи к конечным системам линейных алгебраических уравнений, порядок которых зависит от наибольшей отрицательной степени в разложении отображающей функции.

Данная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.

В первой главе диссертации приведены основные соотношения и уравнения антиплоской задачи для прямолинейно-анизотропного тела. Исследуется разрешимость основных краевых задач о продольном сдвиге анизотропного тела и структура функций напряжений для конечной и бесконечной многосвязных областей.

Решены задачи о продольном сдвиге анизотропного тела, содержащего цилиндрическую полость, и аналогичные задачи для тела сплошного поперечного сечения. Рассмотрен продольный сдвиг анизотропного тела с упругим анизотропным цилиндрическим включением. Задачи сведены к системам линейных алгебраических уравнений. Дан численный анализ напряженного состояния в ортотропной среде вблизи цилиндрической полости (включения) трапецеидального и прямоугольных (с различным отношением сторон прямоугольника) поперечных сечений. Исследуется напряженное состояние цилиндрического ортотропного тела сплошного квадратного поперечного сечения.

Во второй главе задачи о продольном сдвиге на основе применения теории потенциала сведены к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода с регулярными ядрами. При этом решение первой основной задачи продольного сдвига ищется в виде логарифмического потенциала простого слоя с непрерывной плотностью, а решение второй основной задачи - в виде потенциала двойного слоя. На ряде конкретных примеров для ортотропной среды с квадратной цилиндрической полостью (абсолютно жестким включением) и ортотропной среды сплошного квадратного поперечного сечения приведено сравнение численных результатов, полученных с помощью теории потенциала и теории функций комплексного переменного. Кривые распределения напряжений, полученные двумя разными методами, практически (в пределах точности решения интегрального уравнения) совпали.

В третьей главе диссертации методика, примененная для решения задач о продольном сдвиге, обобщена на плоские задачи для анизотропного тела с полостями и упругими включениями. Получен общий вид комплексных потенциалов напряженно-деформированного состояния для конечной и бесконечной многосвязных областей. Все коэффициенты, входящие в главные части представлений комплексных потенциалов, выражены явными формулами.

Граничные задачи сформулированы в виде интегральных соотношений, содержащих произвольную функцию, голоморфную в рассматриваемых областях.

Общие решения первой и второй основных задач иллюстрируются численными примерами о растяжении ортотропной пластины с треугольным, трапецеидальным и прямоугольными отверстиями. Исследуется влияние анизотропии материала, величины закругления углов, наличия упругого (жесткого) включения на концентрацию напряженийв пластине с отверстием.

Проведено исследование упругого равновесия многосвязной прямолинейно-анизотропной пластины при действии элементарных видов нагрузки (всестороннее ратяжение, чистый сдвиг, растяжение-сжатие).

Четвертая глава работы посвящена решению задач изгиба тонких анизотропных пластин с криволинейным вырезом и упругим анизотропным включением. Рассмотрены первая основная задача, когда на контуре отверстия в пластине заданы изгибающие моменты и перерезывающие силы, и вторая основная задача при заданных прогибах и углах наклона изогнутой поверхности пластины. Задачи сведены к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений.

Решена задача изгиба анизотропной пластины с упругим анизотропным включением в предположении, что главные направления упругости пластины.и включения составляют между собой произвольный угол. Ряд задач, об изгибе ортотропной пластины, ослабленной треугольным, трапецеидальным и прямоугольными отверстиями (упругими ортотропными включениями) доведены до числа и графиков.

Общий анализ полученных в работе результатов дан в выводах. Работа сопровождается 54 рисунками. В приложении приведены 3 таблицы, содержащие числовой материал, используемый при решении конкретньк задач.

Предложенная методика и результаты проведенных исследований используются при расчетах и проектировании конструкций в КТБ г. Хотьково, что подтверждается приложенным актом.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

1. В диссертационной работе предложена методика решения двумерных задач теории упругости однородного прямолинейно-анизотропного тела с вырезами и упругими анизотропными включениями (плоская задача, изгиб пластин, продольный сдвиг).

2. Получены общие представления комплексных потенциалов напряженно-деформированного состояния для конечной и бесконечной многосвязных областей. Определены функции напряжений для многосвязной прямолинейно-анизотропной пластины при действии элементарных видов нагрузки (всестороннее растяжение, чистый сдвиг, растяжение-сжатие).

3. Решены задачи о продольном сдвиге однородного прямолинейно-анизотропного цилиндрического тела для случаев:

- анизотропного тела с цилиндрической полостью криволинейного поперечного сечения;

- анизотроцного тела сплошного конечного сечения;

- тела, содержащего цилиндрическое упругое анизотропное включение.

4. С целью обоснования предложенной методики аналогичные задачи о продольном сдвиге однородного анизотропного тела решены с использованием методов теории потенциала. Численные результаты, полученные методами теории функций комплексного переменного и методами теории потенциала, практически (в пределах точности решения интегрального уравнения) совпали.

5. Разработан аналитический алгоритм, решения плоской задачи для анизотропного тела с вырезом и задачи изгиба тонкой анизотропной пластины с криволинейным отверстием.

6. Решена задача о растяжении (изгибе) анизотропной пластины с упругим анизотропным включением в предположении, что главные направления упругости пластины и включения составляют произвольный угол.

7. Численный анализ напряженного состояния в ортотропной пластине Стеле) возле треугольного, трапецеидального, прямоугольных отверстий и таких же ортотропных включений (плоская задача, изгиб, продольный сдвиг) позволяет сделать следующие выводы:

- напряжения бв , (моменты Мв ) в анизотропной (ортотропной) пластине вдоль контура отверстия распределены более неравномерно по сравнению с напряжениями в такой же изотропной пластине. На концентрацию напряжений существенно влияет отношение главных модулей Е/Е2{ Q/G2 ) (рис.1.8-1.10, 3.7-3.8, 4.1-4.4);

- наибольшая концентрация напряжений имеет место вблизи угловых точек криволинейных отверстий и с.уменьшением радиуса закругления углов растет (рис. З.б, а,б,в);

- при растяжении ортотропной пластины в направлении малой оси прямоугольного отверстия (с большим отношением сторон) максимальные напряжения.возникают посредине малых сторон прямоугольника (рис. 3.3, 3.II);

- на характер распределения напряжений на контуре отверстия в ортотропной пластине влияет ориентация главных направлений упругости. Максимальные растягивающие напряжения, возникающие при растяжении ортотропной пластины с прямоугольным отверстием, в основном для всех случаев ориентации главных направлений упругости значительно превышают величины наибольших сжимающих напряжений (рис. 3.2-3.5);

- наличие упругого (жесткого) включения значительно снижает концентрацию напряжений и приводит к количественному и качественному перераспределению напряжений в пластине с отверстием. Случай упругого включения является промежуточным между абсолютно жестким ядром и свободным отверстием.

включением

Рассмотрим изгиб тонкой прямолинейно-анизотропной пластины толщиной h с криволинейным отверстием, в которое впаяно упругое ядро из другого анизотропного материала. Предположим, что в каждой точке пластины и включения имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости, принятой за координатную плоскость xOlj . Линия L , разграничивающая в плоскости эсОу области {5(£) и /SC2) , соответствующие различным анизотропным материалам, описывается параметрическим уравнением (1.59). Главные направления упругости пластины и включения составляют менузу собой произвольный угол <р (рис. 4.7).

Вдоль линии раздела должны выполняться условия сопряжения п ;

L областей р™ ( ct = l,2 п дв а) п ml ds .М- , J*) W- = № } дп dn

4.54)

Рис. 4.7 n , т - нормаль и касательная к линии L ), а в удаленных от включения частях пластины изгибающие и скручивающие моменты ограничены: МХ=М{ , М^=М2 , Н™у —H4Z . Внешние сосредоточенные силовые факторы и нормальная (к срединной плоскости) распределенная нагрузка в областях j5Cet) ( &=i}2 ) отсутствуют.

Здесь все величины с индексом I вверху относятся к пластине, а с индексом 2 - к включению.

При аналитическом решении задачи область f>Ci) принимаем бесконечной (возмущение упругого состояния пластины, вызванное наличием включения, не достигает внешней границы пластины).

Определение напряжений в кусочно-однородной пластине сводится к нахождению аналитических функций Ф^Xz™) ~ pf^CZf*1) в областях ( ) из следующих интегральных соотношений, вытекающих из условий на L (4.54),

F(t)dVw=^F(t)dV(2) + iC^F(t)dt,

F(t)dVa) =^V(t)dV(Q} +tC^F(t)dt,

L L I.

4.55) F(t) dUw=j F(t)dU(2\ j F(t)dU(i) = j F(t)dU(2\ где dV(«}=£l дМ\ / ДО rJ Л Л

2. Г j=i I

4.56)

Ф = рГ> с постоянные, определяющиеся по формулам (4.II); F(Z) - произвольная функция, голоморфная в области j$Ci} (или $(2> ) ; С= Си>~ С(2) - вещественная постоянная.

Функции при больших I zj111 и функции Ф®Щ2)) при достаточно малых ( j=l,2 ) имеют представления )

Ф%!г))=А? * B?z? + o(z;)2), (4.57)

J J J J J J 7

С помощью функции (1.63) конформно отобразим внешность единичной окружности £ ( |£| >1 ) на внешность линии раздела сред L

Уравнения контуров llf областей запишутся в виде (3.95) N у?6") ( !?> de/' JP-W). (4.58)

K=i

Величины 9f*J) , ( ) определяются по формулам

3.96).

Функции (4.57) в преобразованных областях вне и внутри единичной окружности имеют вид (3.104)

N-2 оо а)-к ' ' L> vrtr-X^)

K—i оо А/

K=i

Ip/'l*l, IГ/'И-О

4.59)

Внесем выражения (1.67), (4.56), (4.58) и (4.59) в условия (4.55) и выполним интегрирования с учетом произвольности функции F(z) (1.67), получим ( t(p , )

2 2 j=i ot=I

4.60) о.

2 2. j=l a=i

Величины , определяются по формулам (3.102), а постоянные А(?} ( <*,j=i}2 ) - через моментные усилия, заданные на V бесконечности, согласно формул (4.32).

При свободном от внешней нагрузки включении из условия однозначности перемещений (4.21) находим

6^=0 Q,a=l,2). (4.61)

К уравнениям (4.60) необходимо присоединить условия (3.105), выполнение которых обеспечивает ограниченность функций Ф1"}(%?°) v J = ) (4.59) вне и внутри единичной окружности. Соотношения (4.60) и (3.105) в совокупности составляют конечную систему линейных алгебраических уравнений порядка I2N относительно неизвестных коэффициентов , ., q!®£ , ., ,

•••» > •••» » -ф » ) в представлении функций (4.59).

Вещественная постоянная С = С - С , входящая в условия сопряжения (4.55), определяется из условия однозначности прогибов пластины и включения lVr<*J (4.23)

2Re

У" i ^(tpdtp

0 (<*=!,2).

4.62)

При N-l получаем решение для пластины с эллиптическим включением. В этом случае, как следует из (3.105), (4.60), В?=0 , 6^0 , 6™= О ( т>2 ) и функции ( j,с( = 1,2 ) (4.59) принимают вид

3.107).

4.6. Ортотропная пластина с упругим ортотропным включением

Исследуем напряженное состояние кусочно-однородной ортотропной пластины, состоящей в срединной плоскости из областей P>Ci) и $(2> , соответствующих различным ортотропным материалам. Главные направления упругости пластины и включения составляют угол (р (рис. 4.7). На линии спая L (1.59) выполняются условия (4.54), а в бесконечно удаленных частях пластины действуют постоянные изгибающие моменты M™=Mi, ( Н™ = 0 ).

В областях пластины и включения внешние сосредоточенные силовые факторы отсутствуют.

Перед тем как воспользоваться решением, приведенным в предыдущем параграфе, следует сделать переход от системы координат x'ij'z' , связанной с включением, к системе xyz путем поворота вокруг оси на угол (р (рис. 4.7). При этом надо пересчитать жесткости включения Щ при переходе к новым осям по формулам, которые для ортотропного материала принимают вид [44]

D® cos* (р +2D(fsw2(pcos2(p + D^2)sin"(f, B^=B^sin*(p +2D*sin2(pcos2(p + D? cos? <p} * sin2cp cos2cp,

4.63)

D™ = D^^-f (D(i2)+D'2)-2D^))sin2(p cos2cp;

-D?cos2<p f B^cos 2(f) sin 2<p} d£ = j(Bj2)cos2<p -B^sin2(f -Dpcos 2cp ) sin 2cp.

Пересчет комплексных параметров изгиба juj2) ( j^t-,2 ) при переходе к новым осям производится по формулам (3.74) [44, 50]. Здесь D? , If , If , If = +flf - главные жесткости (4.2) включения в системе координат oc'ij'Z' (рис. 4.7).

Для численного расчета выбраны ортотропные материалы с упругими характеристиками (4.47), (4.48).

Пример I. Рассмотрим изгиб ортотропной пластины с прямоугольным ортотропным включением. Отображающую функцию (1.63) выберем в виде (1.89). В данном случае N=3 , R = R , СК = СК , Я^-0 , уи^>=0 ( n=N-l , n>N ;j,a=i,2).

Аналитические функции (4.59) принимают вид afC^zV^3'

3%ftfB * Х'ЧТ-^Ч'Г

4.64)

1, |Г/W } j-1,2).

Неизвестные коэффициенты CL(*J) , , Aj2) в представлении (4.64) определяются из системы алгебраических уравнений (3.105), (4.60), а постоянные ( ) выражаются через изгибающие моменты на бесконечности по формулам (4.34)

П~=0 ) (Da )м:-(ц,+ ъ/4,) м; Aj ~ оо тлг-Ф^-Ю j= 1,2). (4.65)

Выражения функций (4.64) на границах LCj} областей при

9 ( ) представляются в виде

3.109).

На рис. 4.8" изображены распределения моментов ( о(= 1,2) в пластине с упругими характеристиками (4.47) вдоль линии спая с прямоугольным ( Я = 5 , см. табл. I приложения) включением (4.48) для (f)=0 . Линия, обозначенная индексом I, характеризует изгибающие моменты Мд} в пластине с отверстием, 2 -в пластине с упругим ядром (4.48), 3 - в пластине с жестким ядром, 4 - изгибающие моменты Мд2) в ядре, 5 - изгибающие моменты, когда пластина и ядро из одного материала. На рис. 4.9 показаны графики распределения М^ ( ск=1,2 ) в такой же пластине и включении на линии спая для (р=к/3 (сплошная линия). В верхней части рис. 4.9 изображены изменения изгибающих моментов Мд} в пластине, а в нижней части рисунка - изменения М(д2) в ядре. Штриховая линия характеризует случай (р- О

Пример 2. Исследуем изгиб ортотропной пластины с треугольным с закругленными углами ортотропным включением. Главные направления упругости пластины и включения совпадают ( (р= 0 ).

Воспользуемся представлением отображающей функции (1.63) в виде (3.III) ( N=2 , R=R , Сг=0.25 , Ст-0 , т*Я ). Аналитические функции (4.59) на Uf ( j,a = iy2 ) в рассматриваемом случае принимают вид (3.II2).

На рис. 4.10,а показаны распределения моментов ( c(=J}2 ) 1 2 3 4 5 свободное отверстие упругое ядро жесткое ядро изгибающие моменты в ядре q пластина и ядро из одного материала У

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Нг у

V2

1 - свободное отверстие

2 - упругое ядро

3 - жесткое ядро \ X

4 - изгибающие моменты в ядре

5 - пластина и ядро из одного материала У

1 - свободное отверстие

2 - упругое ядро

3 - жесткое ядро

4 - изгибающие моменты в ядре

5 - пластина и ядро из одного материала

Рис. 4.II в пластине с упругими характеристиками (4.48) и треугольном включении (4.47) вдоль их линии спая. Графики, приведенные на рис. 4.10,6 характеризуют то же в пластине (4.47) с включением (4.48).

Пример 3. Рассмотрим упругое равновесие ортотропной пластины с трапецеидальным ортотропным включением под действием постоянных на бесконечности изгибающих моментов M^=Mi , М™=М2 . Отображающую функцию со(£) (1.63) выберем согласно (I.150) -(1.151) ( А1=3 ).

Из решения системы линейных алгебраических уравнений (3.105), (4.60) определяем неизвестные коэффициенты в представлении функций Ф^Х^р) (4.59), принимающих в данном случае на границах Lf областей ( j,«=l,2 ) вид (3.II3).

На рис. 4.II,а приведены кривые распределения моментов Мд} и М(д2) в пластине (4.47) с трапецеидальным включением (4.48) вдоль их линии спая. Кривые, изображенные на рис. 4.11,6 характеризуют изменения М^ ( ) вдоль линии спая в пластине (4.48) и включении (4.47).

1. Александров В.М., Сумбатян М.А. Об одном подходе к решению плоской задачи теории упругости для анизотропной пластинкис криволинейным отверстием. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979, № б, с. 143-146.

2. Алексанян Р.К. Об одном классе решений уравнений плоской задачи теории упругости анизотропного тела. Докл. АН Арм.ССР, 1975, 61, № 4, с. 219-224 (арм.).

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин (прочность, устойчивость и колебания). М.: Наука, 1967. - 268 с.

4. Амензаде Ю.А., Ахундов М.Б. Граничные задачи для упругой ани- / зотропной полуплоскости, ослабленной круговым отверстием. -Прикл. математика и механика, 1976, 40, № 4, с. 759-763.

5. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник. Л.: Машиностроение, 1972. - 247 с.

6. Бережницкий Л.Т., Делявский М.В., Панасюк В.В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наук, думка, 1979. -400 с.

7. Бережницкий Л.Т., Лень М.П. Антиплоская деформация тела с жестким включением. Пробл. прочности, 1975, № 8, с. 10-14.

8. Боган D.A. 0 второй краевой задаче теории упругости для существенно анизотропной плоскости с эллиптическим отверстием. -Прикл. механика, 1981, 17, № 9, с. 64-68.

9. Бурмистров Е.Ф. К вопросу о концентрации напряжений около некруглых отверстий. Инженерный сборник, I960, т. 30, с. 99106.

10. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ (справочное пособие). Киев: Наук, думка, 1978. - 291 с.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. - 512 с.

12. Гевло Т.А., Швецов В.А. О влиянии упругого включения на концентрацию напряжений в анизотропной пластинке около эллиптического отверстия. В кн.: Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1974, вып. I, с. 16-25.

13. Григолюк Э.И., Подстригач Я.С., Бурак Я.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин. Киев: Наук, думка, 1979. - 264 с.

14. Григолюк Э.И., Филыптинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. - 554 с.

15. Григолюк Э.И., Филыптинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки и связанные с ними проблемы: Обзор результатов. -В кн.: Упругость и пластичность. М.: Наука, 1967, с. 7-163. (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР, 1965).

16. Грил1цький Д.В. Вплив точки прикладання сили I моменту на розпод1л напружень у безмежн1й ан1зотропн1й пластинц1 з ел1п-тичним отвором. Прикл. механ1ка, 2, № 2, 1956, с. 159-166.

17. Грил1цький Д.В. Пружна р1вновага безмежно1 ан1зотропно1 пластинки з впаяним абсолютно жорстким ел1птичним ядром п1д д1ею сили I моменту, прикладених у дов1льн1й точц1 пластинки. -Доп. АН УРСР, I960, № 2, с. 164-167.

18. Дорогобед А.С. Распределение напряжений в анизотропной пластине с круговым отверстием при чистом сдвиге. Инженерный сборник, 1955, т. 21, с. II3-II9.

19. Ермолаев Б.И. Приближенный метод определения напряжений при изгибе анизотропной пластинки с отверстием. Изв. вузов. Строительство и архитектура, I960, № I, с. 35-44.

20. Задворняк М.И. Упругое равновесие пластины с криволинейным отверстием при действии касательных усилий. Вестн. Львов, политехи, ин-та. Резервы прогресса в архитектуре и строительстве, 1983, № 173, с. 36-39.

21. Задворняк М.И., Мартынович Т.Л. Изгиб анизотропной пластины с упругим анизотропным включением. Журнал прикл. мех. и техн. физ., 1983, № 6, с. I65-171.

22. Иванов Г.М., Космодамианский А.С. Упругое равновесие анизотропного цилиндра с продольными полостями при действии осевых нагрузок. Прикл.математика и механика, 1976, 40, №5, с.946-947.

23. Иванова Р.Я. Плоская задача теории упругости анизотропной среды при смешанных граничных условиях. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1975, № 2, с. 69-74.

24. Идельс Л.В., Соловьев Ю.И. Один вид интегральных уравнений для решения плоских задач теории упругости. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1981, № 3, с. 26-30.

25. Ищенко И.М. О напряженном состоянии кругового ортотропного диска.- Изв.вузов. Строительство и архитектура, 1972, №8, с.37-39.

26. Калоеров С.А. Распределение напряжений в анизотропной полуплоскости с эллиптическим упругим ядром. Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1967, 20, № 3, с. 3-13.

27. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Изд-во физ.-мат. лит., 1962. - 708 с.

28. Кац В.Е., Филыптинский Л.А. Обобщенная двоякопериодическая задача для плоской анизотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1975, № 2, с. 75-82.

29. Кибальникова С.И., Мартынович Т.Л. Решение плоской задачи ста-v тической термоупругости для анизотропного тела с полостьюпри конвективном теплообмене с окружающей средой. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979, №6, с. 136-144.

30. Кит Г.С., Кривцун М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1983. - 277 с.

31. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел.-Кишенев: Штиинца, 1977. 119 с.

32. Космодамианский А.С. Изгиб анизотропных плит с криволинейными отверстиями: Обзор. Прикл. механика, 1981, 17, № 2, с. 3-10.

33. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных средс отверстиями или полостями. Киев-Донецк: Вища школа, 1976.200 с.

34. Космодамианский А.С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. Киев: Вища школа, 1975. - 228 с.

35. Космодамианский А.С., Калоеров С.А. Температурные напряжения в многосвязных пластинках. Киев-Донецк: Вища школа, 1983. -160 с.

36. Космодамианский А.С., Лехницкий С.Г., Ложкин В.Н. О работе Т.Л.Мартыновича: "Точное решение плоской задачи теории упругости для анизотропной пластинки с криволинейным отверстием". -Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979, № 6, с. 143 -146.

37. Космодамианский А.С., Митраков В.А. Изгиб конечной анизотропной пластинки с криволинейным упругим включением. В кн.: Теор. и прикл. механика. Киев-Донецк: Вища школа, 1977, вып. 8, с. 3-8.

38. Космодамианский А.С., Мысовская P.M. Периодическая задача для пластинки с криволинейными упругими ядрами. Механика твердого тела. Киев: Наук, думка, 1974, вып. 6, с. 143-149.

39. Космодамианский А.С., Нескородев Н.М. Напряженное состояние анизотропной пластинки, ослабленной двумя криволинейными отверстиями. Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1970, 23, № 5, с. 5966.

40. Космодамианский А.С., Нескородев Н.М. Напряженное состояние анизотропной пластинки с конечным числом криволинейных отверстий. Механика твердого тела, 1972, вып. 4, с. 184-189.

41. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. / Пер. с англ. А.И.Бейля и Н.П.Жмудя; под ред. Ю.М.Тарнопольского. М.: Мир, 1982. - 334 с.

42. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1963. - 477 с.

43. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Изд-во техн.-теорет. лит., 1957. - 463 с.

44. Лехницкий С.Г. Некоторые случаи упругого равновесия анизотропной пластинки с некруглыми отверстиями (плоская задача). -Инженерный сборник, 1955, т. 22, с. 160-187.

45. Лехницкий С.Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит. Прикл. математика и механика, 1938, 2,2, с. 181-210.

46. Лехницкий С.Г. Плоская статическая задача теории упругости анизотропного тела. Прикл. математика и механика, 1937, I, № I, с. 77-90.

47. Лехницкий С.Г. Приближенный метод определения напряжений в упругой анизотропной пластинке вблизи отверстия, мало отличающегося от кругового. Инженерный сборник, 1953, т. 17, с. 3-28.

48. Лехницкий С.Г. Распределение напряжений в анизотропной пластинке с эллиптическим упругим ядром (плоская задача). Инженерный сборник, 1954, т. 19, с. 83-106.

49. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 416 с.

50. Лехницкий С.Г., Солдатов В.В. Влияние положения эллиптического отверстия на концентрацию напряжений в растягиваемой анизотропной пластинке. Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. Механика и машиностроение, 1961, № I, с. 3-8.

51. Любчак В.А., Филыптинский Л.А. Вторая краевая задача для упругой анизотропной среды, ослабленной криволинейными разрезами. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, № 5,с. 98-102.

52. Мартынович ,Т.Л. К обоснованию решения плоской задачи теории упругости для анизотропной пластинки с криволинейным отверстием. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979, № 6, с. I46-I5I.

53. Мартынович Т.Л. Точное решение второй основной задачи для анизотропной пластинки с криволинейным отверстием. В кн.: Математические методы и физико-механические поля, 1978, вып. 7, с. 32-38.

54. Мартынович Т.Л. Точное решение задачи об изгибе анизотропной пластинки с отверстием. Журнал прикл. мех. и техн. физ., 1977, № 5, с. 168-177.

55. Мартынович Т.Л. Точное решение плоской задачи теории упругости для анизотропной пластинки с криволинейным отверстием. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976, № 2, с. 6469.

56. Мартинович Т.Л., Задворняк M.I. Досл1дження напружень в ан1-зотропному масив1 з виробкого. В1сн. Льв1в. ун-ту. Сер. мех.-мат., 1981, вип. 17, с. 87-91.

57. Мартынович Т.Л., Задворняк М.И. Изгиб анизотропной пластины с упругим трапецеидальным включением. Вестн. Львов, политехи. .ин-та. Резервы прогресса в архитектуре и строительстве, 1983, $ 173, с. 75-79.

58. Мартынович Т.Л., Задворняк М.И. Определение напряженного состояния возле горизонтальной криволинейной выработки в анизотропном массиве. Вестн. Львов, политехи, ин-та. Резервы прогресса в архитектуре и строительстве, 1980, № 145, с. 4446.

59. Мартынович Т.Л., Задворняк М.И. Продольный сдвиг анизотропной среды с криволинейным вырезом и абсолютно жестким ядром. Вестн. Львов, политехи, ин-та. Резервы прогресса в архитектуре и строительстве, 1981, № 155, с. 48-51.

60. Мартынович Т.Л., Задворняк М.И. Продолный сдвиг композитной среды с цилиндрическим композитным включением криволинейного поперечного сечения. В кн.: Первая Всесоюзная конференция по механике неоднородных структур: Тезисы докладов. Львов, 1983, с. 137.

61. Мартынович Т.Л., Задворняк М.И. Растяжение анизотропной пластины с треугольным упругим анизотропным включением. -Вестн. Львов, политехи, ин-та. Резервы прогресса в архитектуре и строительстве, 1982, № 166, с. 68-72.

62. Мартынович Т.Л., Кибальникова С.И. Об одном методе определения температурных напряжений в прямолинейно-анизотропном теле с криволинейным отверстием. В кн.: Математические методы и физико-механические поля. Киев: Наук, думка, 1980, вып. 12, с. 76-81.

63. Меглинский В.В. Концентрация напряжений около эллиптических упругих включений в тонкой анизотропной плите. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 6, с. 97-103.

64. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. / Пер. с итал. Т.Д.Вентцель; под ред. О.А.Олейника.

65. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. 252 с.

66. Мирсалимов В.М. Обратная задача теории упругости для анизотропной среды. Журнал прикл. мех. и техн. физ., 1975, № 4, с. 190-193.

67. Митраков В.А., Нескородев Н.М. Напряженное состояние анизотропной пластинки, ослабленной двумя криволинейными отверстиями, подкрепленными упругими ядрами. Механика твердого тела. Киев: Наук, думка, 1974, вып. 7, с. 133-139.

68. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде. Тр. Сейсмологического ин-та, 1936, № 76, с. I-I9.

69. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. / Изд. 5-е, исправл. и доп. М.: Наука, 1966. - 707 с.

70. Нагибин JI.H. О напряженном состоянии анизотропной пластинки с двумя круговыми отверстиями. В кн.: Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих тел. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1967, вып. 3,с. 32-44.

71. Недорезов П.Ф. Об изгибе ортотропной пластинки с отверстием, близким к квадратному. В кн.: Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих тел. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1967, вып. 3, с. 87-96.

72. Нескородев Н.М. Двоякопериодическая задача для анизотропной пластинки с криволинейными отверстиями, подкрепленными упругими ядрами. Механика твердого тела. Киев: Наук, думка, 1973, вып. 5, с. 86-91.

73. Павленко А.В. Плоская задача теории упругости для пластинок с криволинейной анизотропией. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979, № 3, с. 70-82.

74. Пелех Б.Л. К определению коэффициентов концентрации при изгибе плит с отверстиями. Прикл. механика, 1965, I, №7, с. 139-143.

75. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев: Наук, думка, 1982. - 295 с.

76. Подстригач Я.С. Условия скачка напряжений и перемещений на v тонкостенном упругом включении в сплошной среде. Докл.

77. АН УССР, 1982, Сер. А, № 12, с. 30-32.

78. Подстригач Я.С., Гайвась И.В. Двумерная задача термоупругости для бесконечной среды с цилиндрическим включением. -Прикл. механика, 1966, 2, № 3, с. 124-126.

79. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках. Киев: Наук, думка, 1972. - 308 с.

80. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. / Изд. 2-е стереотипное. М.: Наука, 1977. - 444 с.

81. Прошко В.М., Солдатов В.В. Распределение напряжений в анизотропной пластинке на контуре кругового отверстия с ядром при чистом изгибе. Сб. тр. Моск. инж.-строит, ин-та, 1975, № 135, с. I09-II5.

82. Прусов И.А. Метод сопряжения в теории плит. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1975. - 265 с.

83. Прусов И.А. Некоторые задачи термоупругости. Минск: Изд-во ^ БГУ, 1972. - 198 с.

84. Прусов И.А. Термоупругие анизотропные пластинки. Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 200 с.

85. Прусов И.А., Иваницкий В.А. Смешанная задача теории упругости для анизотропной плоскости с эллиптическим отверстием. -Динамика и прочность машин. Респ. межвед. темат. науч.-техн. сб., 1971, вып. 14, с. 84-89.

86. Разрушение. / Под ред. Г.Либовица. ТТ. 1-7. М.: Мир, 1973 Т. 2. Математические основы теории разрушения / Пер. с англ. под ред. А.Ю.Ишлинского. - 1975. - 763 с.

87. Рвачев В.Л., Синекоп Н.И. Приближенное решение плоской задачи теории упругости для ортотропного тела методом -функций. Докл. АН УССР, 1981, № ю, с. 61-64.

88. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий. М.-Л.: Изд-во техн.-теорет. лит., 1951. - 496 с.

89. Савин Г.Н. Механика деформируемых тел: Избранные труды. -Киев: Наук, думка, 1979. 466 с.

90. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наук, думка, 1968. - 887 с.

91. Савин Г.Н., Грилицкий Д.В. Об определении напряженного состояния в анизотропной пластинке с упругим ядром. Прикл. механика, 1965, I, № I, с. 5-14.

92. Савин Г.Н., Космодамианский А.С., Гузь А.Н. Концентрация напряжений возле отверстий. Прикл. механика, 1967, 3, $ 10, с. 23-37.

93. Савин Г.Н., Тульчий В.И. Пластинки, подкрепленные составными кольцами и упругими накладками. Киев: Наук, думка, 1971. - 268 с.

94. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1976. - 533 с.

95. Саченков А.В., Дараган В.И. Метод малого параметра в плоской задаче теории упругости анизотропного тела. В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972, №8, с. 77-95.

96. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 443 с.

97. Солдатов В.В. Концентрация напряжений в ослабленной эллиптическим отверстием ортотропной пластинке при чистом сдвиге и чистом изгибе. Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. Механика и машиностроение, 1963, № 3, с. 124-126.

98. Справочник по специальным функциям. С формулами, графиками и математическими таблицами. / Пер. с англ. под ред. В.А.Диткина и Л.Н.Карамазирай; под ред. М.А.Абрамовича и И.Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

99. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. / Изд. 5-е стереотипное. М.: Наука, 1977. - 736 с.

100. Угодчиков А.Г., Длугач М.И., Степанов А.Е. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. М.: Высш. школа, 1970. - 528 с.

101. Уздалев А.И. Некоторые задачи термоупругости анизотропного £/ тела. Саратов: Йзд-во Саратов, ун-та, 1967. - 166 с.

102. Филыптинский Л.А. Краевые задачи теории упругости для анизотропной полуплоскости, ослабленной отверстием или разрезом. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1980, № 6,с. 72-79.

103. Филыптинский Л.А. Продольный сдвиг в анизотропной среде с разрезами. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978,4, с. 68-72.

104. НО. Фридман М.М. Математическая теория упругости анизотропных сред. Прикл. математика и механика, 1950, 14, № 3, с. 321340.

105. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. - 640 с.

106. ИЗ. Шерман Д.И. К решению плоской задачи теории упругости для анизотропной среды. Прикл. математика и механика, 1942, 6, № 6, с. 509-514.

107. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды. Тр. Сейсмологического ин-та, 1938, № 86, с. 5178.

108. Эшелби Д. Континуальная теория дислокаций. / Пер. с англ. А.Л.Ройтбурда; под ред. Б.Я.Любова. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 247 с.

109. Bhargara О., $axena Н.$. Anisotropic elastic ellipticaf inclusion problem in generalized plane strain. Trans. A5ME, 1975, Ж, m7 p. 2%~2V (англ.).

110. Bhargava R.D., Saxena H.S. Misfitting elliptic elastic Lnhomogeneity problem in perfectly anisotropic media. -Rozpr. in?., 1978,26, N=5, p. 561-39J (англ.> рез. польск., рус.).

111. Chen EC., Young K. Inclusions of arbitrary shape in an elastic medium. J. Math. Phys., 1977, 16, №7, p.4412-1416 (англ.).

112. Dattaguru 3., Rao A.K. stress concentrations in anisotropic plates. CANCAM 75. C.r. erne congr. can. mec. appl. Montreal, 1975, p. 215-216 (англ.).

113. England AH. An inclusion in a stroung anisotropic material, j. Elast., 1975, №5-4, p. 259-274 (англ.).

114. Fukui Tsuyoshi. Анализ напряжении в бесконечной упругой плоскости с круговым включением при нагр^жении моментом. -Нихон кикай чаккай романею, Trans, Jap. Зое. Hech. Eng., 1976 , 42, J^ Щ p. Ю&-Ж (япон.).

115. Qhahremany Е Numerical evaluation of the stressesand strains in ellipsoidal Inclusions m an anisotropic elastic material. Mech. Res. Communs., 1977, 4, H=H, p. 69-91 (англ.).

116. Qrliters H. Iterative Losung von Lastspannungs problemen in anisotropen Korpern. - Z. angew. Math, und Mech., 1974, %, JfU, T79-T80 (нем.).

117. Konish Harold J., Whitney James M. Approximate stresses in an orthotopic plate containing a circular holej. Compos. Mater., 1975, 9? J\f= 2, p. 157-166.

118. Krenk Steen. Stress concentration around holes in anisotropic streets. -Appl. Math. Modell, 1979, Ш2, p. 137-142 (англ.).

119. Masumura R.A., Chou Y. T. Antiplane eigenstrain problem of an elliptic Inclusion in an anisotropic half space. Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1962 , 49, №, p. 52-61 (англ.).

120. MauE Johannes. Eine etnhetMiche Methode zur Losung der ebenen Aufga&en der linearen Elastostattk. ?chriftenr. Zentralinst. Math, und Mech., 1976, VIII, Шк. 414s. (нем.).

121. Mline Thomson L.M. Some aspects of antiplane stress. -"Rev. raum. set. techn. Ser. mec. аррЦ 1972, 17, p. 561-560 (англ.).

122. Ntsttant Hironobu, Safcto Kiminort, Hara Nobuyuki. Концентрация напряжении & зоне эллиптических отверстий и трещин (растяжение и продольный сдвиг). Нихон кикай чаккай ром-вунсю, Trans, Jap. рос. Mech.Eng., 1973, 59, p. 2512-25221. Сяпон.).

123. Theocaris Р.З., Joakimidis N.J. The inclusion problem in plane elasticity. Quart, j. Mech. and AppE, Math., 1977, 307 m,p.457-456 (англ.).

124. Subrata 3aha, £u6rata Mukherjee, Chi Chang Chao. Concentrated forces in Semi Infinite anisotropic media.- J. Composite Materials, 1972,6, Ж°=7, p. 405-403.

125. Zostrow U. Die Airysche 3pannungs funktion fur die unendliche anisotrope, orthotrope und tsotrope fchet6e. -Z. angew. Math, und Mech., 19<30, 60, J№6, s. 159-160 (нем.).