Применение метода быстрых разложений для анализа напряжений в упругих прямоугольных пластинах конечных размеров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Хозяинова Наталья Алексеевна

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БЫСТРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНАХ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О I"' I 2013

Воронеж - 2013

005062174

Работа выполнена в Воронежском государственном университете инженерных технологий (ВГУИТ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Чернышов Александр Данилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Коробкин Валерий Дмитриевич, кафедра строительной техники и инженерной механики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

доктор физико-математических наук, профессор Семыкина Татьяна Дмитриевна, кафедра теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета

Ведущая организация: ГОУВПО Липецкий государственный

технический университет

Защита состоится «18» сентября 2013 года в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете по адресу: 394000, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 226

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «10» июня 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ' Чеботарев Андрей Сергеевич

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена нахождению и исследованию приближенных аналитических решений второй краевой задачи для прямоугольных пластин конечных размеров, сплошных и ослабленных круговым отверстием, методом быстрых разложений.

Актуальность темы исследования обусловлена сложностью математической модели плоской задачи теории упругости, представляющей собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Существующие частные решения показывают возможность успешного применения рядов Фурье к задачам механики деформируемого твердого тела, но эти решения ограничены первоначальными допущениями, чаще всего, о конкретном виде граничных условий. Метод быстрых разложений позволяет представить искомые решения в виде суммы граничной функции и ряда Фурье таким образом, что используемый ряд допускает многократное (в зависимости от вида граничной функции) почленное дифференцирование и обладает свойством быстрой сходимости. Эти свойства обеспечивают независимость метода от вида функций, задающих граничные условия, размеров пластин и положения отверстия относительно границ.

Применение метода быстрых разложений к решению задач теории упругости является актуальным, поскольку позволяет получить приближенные решения для пластин конечных размеров в аналитическом виде с достаточной для инженерных расчетов точностью.

Степень разработанности темы исследования. Существующие в настоящее время методы решения задач теории упругости можно разделить на эмпирические, аналитические и численные. Эмпирические и численные методы применимы к широкому кругу задач механики, отличающихся сложностью постановок, но имеют существенные недостатки. Традиционные экспериментальные методы часто обладают недостаточной чувствительностью и точностью, а проведение испытаний, помимо

финансовых и временных затрат, требует специального оборудования и лабораторных условий. Недостатком вычислительных методов является то, что многие из них являются скорее экспериментальными, чем теоретически обоснованными, а полученные результаты требуют проверки достоверности и оценки погрешности и не предоставляют возможностей для аналитического исследования решений. Кроме того, решения, полученные эмпирическими и численными методами не могут быть исследованы методами функционального анализа, что затрудняет их обобщение.

Наиболее универсальными для получения решений задач механики в аналитическом виде являются методы теории функций комплексного переменного, малого параметра, граничных состояний, быстрых разложений.

Разработкой и реализацией аналитических методов решения задач механики сплошной среды в разное время занимались Н. И. Мусхелишвили, Шарафутдинов, И. В. Кучеренко, Д. В. Головин, Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов, А. Н. Спорыхин, А. И. Шашкин, Т. Д. Семыкина, Н. В. Минаева, А. П. Соколов, В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев, А. Д. Чернышов, С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер и другие ученые.

Цели и задачи исследования. Целью настоящей диссертации является разработка методов решения краевых задач определения напряженно-деформированного состояния в рамках плоской деформации различных упругих пластин конечных размеров при переменном внешнем воздействии. Для достижения поставленной выполняются следующие задачи:

1. Определение зависимости погрешности приближенного решения, полученного методом быстрых разложений от вида приближаемой функции и количества слагаемых, учитываемых в рядах Фурье для функции одной переменной.

2. На основе численных экспериментов сделать предварительные выводы о количестве слагаемых в рядах Фурье, необходимых для приближения функций напряжений и перемещений в зависимости от ГУ в двумерных задачах механики деформируемого твердого тела.

3. Получить аналитическое решение задач о плоской деформации сплошной упругой пластины конечных размеров и упругой пластины конечных размеров с круглым отверстием методом быстрых разложений.

4. Проанализировать решения, варьируя количество слагаемых в рядах Фурье, размеры пластин, виды функций, задающих напряжения на границах.

Научная новизна работы: получено аналитическое решение задачи плоской деформации прямоугольной упругой пластины конечных размеров под действием нормальных усилий, являющихся функциями пространственных переменных;

проведено аналитическое исследование напряженно-

деформированного состояния упругих пластин, ослабленных произвольно расположенным круговым отверстием;

использование предложенного метода быстрых разложений позволяет рассматривать конечномерные пластины с отверстиями любой формы при двуосном растяжении (сжатии) переменными воздействиями;

разработан программный комплекс, реализующий метод быстрых разложений функций двух переменных, в котором входящими параметрами являются размеры пластины и отверстия, координаты отверстия и вид функций, определяющих нормальные напряжения на границах.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные результаты могут быть использованы для расчета и исследования полей напряжений, перемещений и деформаций в плоских упругих пластинах. Разработанный программный комплекс позволяет варьировать размеры пластин, исследовать пластины, изготовленные из различных материалов в пределах теории упругости, а также проводить вычисления для случаев кругового отверстия произвольного размера и расположения. Могут

рассматриваться случаи, когда нормальные напряжения на границе задаются функциями различного вида.

Методология и методы исследования. Решения получены методом быстрых разложений и исследованы с помощью методов математического анализа. Все вычисления и построение графиков проводятся в Maple 9.5. Положения, выносимые на защиту.

1. Определение напряженно-деформированного состояния сплошной упругой конечномерной пластины под воздействием нормальных напряжений, заданных в виде констант и линейных функций.

2. Решение задачи о плоской деформации упругой конечномерной пластины с круговым отверстием под воздействием нормальных напряжений на границах, заданных в виде констант и линейных функций.

3. Разработка приближенного метода быстрых разложений для решения плоских задач теории упругости

4. Реализация предложенного подхода в виде программного комплекса, позволяющая рассматривать пластины различной формы, ослабленные нецентрированными отверстиями произвольной формы.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность научных положений обеспечивается использованием фундаментальных соотношений теории упругости, физически корректных формулировок математических моделей, корректным применением математического аппарата рядов Фурье и согласованностью полученных решений с результатами других авторов. Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

1. Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Воронеж. 20-22 сентября 2010 г.

2. Отчетная научная конференция преподавателей и научных сотрудников ВГУИТ за 2011 г.

Основное содержание работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературных источников, включающего 103 наименования. Объем работы составляет 134 страницы. В приложениях А, Б и В содержится листинг программ к первой, второй и третьей главам соответственно.

Во введении приведен обзор работ, касающихся темы исследования, обоснованы актуальность, научная новизна, практическая значимость работы и достоверность полученных результатов.

В первой главе указаны и продемонстрированы на примере разложения линейной функции /(*) = * при л: е [0,1] два недостатка классического ряда Фурье, ограничивающих его использование при решении прикладных задач: медленная сходимость ряда и невозможность его бесконтрольного дифференцирования. Необходимым условием, по теореме Г. П. Толстова, для корректного почленного однократного дифференцирования ряда Фурье по синусам является непрерывность функции /(х), а также выполнение равенства /(0) = /(1) = 0.

Согласно методу быстрых разложений, неизвестная /(х) представляется в виде суммы граничной функции и ряда Фурье по синусам или косинусам:

/(х) = М1р(х) + Ё^вт/шт—, /{х) = А/2(М(х) + (ра + Ъ(ртьоътл—.

Граничных функции подбираются специальным образом, так, чтобы выполнялись условия теоремы Толстова для приближаемой функции и для ее производных, если условия задачи требуют многократного дифференцирования. В качестве примера реализации метода построены приближенные аналитические решения задачи Коши для дифференциальных уравнений второго порядка:

£^.+а^1+Ьу{х) = Р{х), я0) = 0, Я 1)=У1, ах ах

где правая часть ^(х) подобрана так, что точное решение известно. Для получения приближенного решения задачи функция >"(*) представляется в

м

виде быстрого разложения у(х) = М2(х) + I <рт втттгх с граничнои функцией

т=\

второго порядка:

2 3 Л ( 3

М2(х) = ^(0)(1 -х) + у(\)х + /(0)| +/(!)

X X б"~б

Граничные условия в этом случае выполняются тождественно, к дифференциальному уравнению применяется оператор быстрых синус-разложений второго порядка: вычисляются значения левой и правой частей уравнения в крайних точках области определения при д: = 0, х = 1 и

интегралы } ^ + а ^^ + Ьу(х) - ^(х) = у = 1 ..М. Таким

о[ сЬс сЬс

а

образом, задача Коши сводится к решению линейной системы уравнений относительно неизвестных констант У(0), у"( 1), <рт, являющихся коэффициентами быстрых разложений. Проведен анализ абсолютной и относительной погрешностей приближенного решения в зависимости от порядка граничной функции, количества слагаемых в ряду Фурье, параметров точного решения. Так, для точного решения, заданного функцией у = 5т(5.2;гх) на хе[0,1], имеющей 5 перегибов, для достижения

инженерной точности - абсолютной погрешности решения порядка 10~3 -достаточно 10 слагаемых ряда Фурье, для приближения первой производной этой функции с точностью порядка 10"3 требуется N = 20, а для приближения второй производной - 60 слагаемых. Для функции у = ят(1.2/гх) с одним перегибом достаточно использовать 5 слагаемых, а

для монотонной функции у = 5т(0.2;тх) только 2.

В задачах теории упругости, если область одиосвязная, функции напряжений и перемещений - гладкие и, как правило, имеют не более одного перегиба в области определения. В многосвязных областях функции могут иметь несколько точек перегибов, но так как в процессе решения многосвязные области разбиваются на сумму односвязных, и решение ищется в каждой области отдельно, точность приближения будет достаточно высока при учете уже 5 членов ряда Фурье.

Проведено также сравнение быстрого разложения и классического ряда Фурье для функции и ее производных, показывающее расхождение первой производной на границе и второй производной всюду в области определения функции, для классического ряда Фурье и быструю сходимость для метода быстрых разложений.

I ПРЧ'

% Л ^ V О

<Ъ о о« л> <*<>

о ^ о о<> «о °

о

О о а о

о о ° о

° о <уо«» /

% ^ЛГооЧг*

О ф

« о

На рисунке представлено сопоставление графиков второй производной функции у = ь\п(\.2ях>), *е[0,1] (сплошные линии на графиках), и вторых производных (точки), полученных почленным дифференцированием разложений этой функции при учете 20 слагаемых в ряду Фурье. График слева получен при использовании быстрого синус-разложения с граничной

функцией второго порядка, а график справа - при разложении в классический ряд Фурье по синусам.

Поскольку метод быстрых разложений позволяет значительно быстрее известных классических методов находить приближенное решение краевой задачи с требуемой точностью, и более того, это решение можно дифференцировать требуемое число раз, применение данного метода к задачам МСС является целесообразным.

Во второй главе приводится постановка и решение задачи о растяжении сплошной упругой прямоугольной пластины конечных размеров.

Перемещения, представленные в виде быстрых синус-разложений по

равновесия в виде Ламе и в граничные условия (ГУ). К системе уравнений и ГУ и применяются операторы быстрых синус-разложений нулевого порядка и косинус-разложений первого порядка так, чтобы старшей производной всюду была вторая. Эти действия обусловлены свойством используемой граничной функции М2р(х,у), обеспечивающей быструю сходимость второй

производной разложения всюду в области пластины и ее равенство по построению производной точного решения на границах у = 0, у = Ь. После применения операторов, в уравнениях содержится 8 + 2М неизвестных функций /¡(я),/ = 1..8 + 2М переменной х, являющихся коэффициентами

У

переменной у е [0, Ь\:

подставляются в уравнения

граничных функций и рядов Фурье. После повторного представления этих 8 + 2М функций в виде быстрых синус-разложений, теперь по переменной

д*)=д0)(1-^+Дя)^+До)

« ,, . (плх\

/23 \

х х х-а у 2 6а 3

С „з

+/Ча\ —I, / = 1..8 + 2М,

\6а 6 ) -I {а )

их подстановки в систему уравнений и применения операторов быстрых

разложений, задача сводится к решению замкнутой системы (2М + 8)(4+ Л7)

линейных уравнений относительно неизвестных констант

/(0), /,(а), ДО), Да),/;, / = 1..4,и = ,

являющихся коэффициентами граничных функций и рядов Фурье по двум пространственным переменным. Полученное методом быстрых разложений решение исследуется графически и аналитически на экстремум при различных способах нагружения на границах пластины. В простейшем случае постоянного двуосного растяжения пластины, нормальные напряжения всюду в области оказываются равными напряжениям на границах, а касательные напряжения всюду равны нулю, что соответствует известному решению, получаемому с помощью интегрирования уравнений равновесия. Для получения решения такой задачи требуется по 2 слагаемых в рядах Фурье и 39 секунд работы программы. При более сложных видах ГУ, заданных несимметричными линейными функциями, вычисления проводятся с учетом до 10 слагаемых, перемещения, деформации и напряжения представляют собой сложные функции, включающие полиномы и ряды по двум пространственным переменным. Второй инвариант тензора напряжений достигает экстремума в одной из угловых точек пластины, в зависимости от коэффициентов линейных функций, задающих ГУ:

4

0.7:

од

X

У

При подстановке решения второй краевой задачи с несимметричными линейными ГУ, полученного при учете М — N = 10 слагаемых в рядах Фурье, в исходные уравнения, равенства выполняются с точностью до седьмого знака после запятой, что достаточно для инженерных расчетов.

В третьей главе рассмотрена пластина конечных размеров (а, +а,)х(61 +6,) с круговым отверстием радиуса Ки, находящаяся под действием нормальных напряжений, приложенных к внешним границам и к границе отверстия <т и .и, = —р0, сгтгг. =0 и заданных в виде функций пространственных переменных.

Решение проводится в перемещениях с помощью метода быстрых разложений по координатам у е [-¿>¡,6,] и хе[-а,,а2], выбираются

6;

граничные функции второго порядка. В процессе решения пластина, представляющая собой двусвязную область, мысленно разделяется на две односвязные области с применением метода расширения границ:

вводятся условия сопряжения на границе Г0: хе[-а|,-Л0]и[Лл,й2], у-0 разреза для напряжений и перемещений. Перемещения для верхней и нижней частей пластины представляются в виде быстрых разложений по переменной уе[0Д] и соответственно:

м „ ,, ы , „ • тку

и О,у) = М1р + I^Сфт—А V (х,у) = Мгр + Iит(х)ып ——

2 ' 2

и(х,у) = М + X ит(х)ею-^ у) = М,р + I Г (х)8щ-^-

Рассмотрение ГУ на внешних границах и уравнений Ламе в области пластины проходит с применением операторов быстрых разложений, аналогично и на основе решения для сплошной пластины, приведенного во второй главе. На границе проведенного мысленно разреза и на границе кругового отверстия решение проводится с применением поточечного метода нахождения коэффициентов ряда Фурье. Количество точек разбиения линейно зависит от количества слагаемых ряда Фурье в разложении по переменной х.

Система дифференциальных уравнений второго порядка относительно двух пространственных переменных также сводится к замкнутой линейной системе относительно констант. В эту систему входят три блока равенств

различного происхождения: две подсистемы, полученные при рассмотрении верхней и нижней частей пластины с применением операторов быстрых синус- и косинус-разложений, и подсистема, полученная при подстановке координат точек разбиения в уравнения сопряжения и ГУ на границе окружности.

По полученным перемещениям определяются деформации и напряжения в области пластины, вычисляется второй инвариант напряжений. Аналитический и графический анализ приведен для различных случаев напряжения на границах пластины - постоянных и заданных в виде линейных функций.

Нормальные и касательные напряжения в области пластины вычисляются через перемещения, полученные в виде быстрых разложений по двум координатам и представляют собой функции сложного вида.

Компоненты напряжений ах, сг , т в области пластины при ГУ,

заданных в виде линейных функций.

В заключении приводятся основные выводы и результаты работы.

-0;

Итоги исследования

1. Метод быстрых разложений в приложении к задачам МСС позволяет получать решение в явном аналитическом виде. Метод реализуется посредством представления неизвестных функций в виде быстрых разложений применения операторов быстрых синус- и косинус-разложений к дифференциальным уравнениям задачи. Эти действия производятся последовательно по двум переменным.

2. Небольшое число слагаемых в ряде Фурье быстрых разложений позволяет получить решение с достаточно высокой точностью.

3. Разработан способ нахождения решения, описывающего напряженно-деформированное состояние пластины конечных размеров, сплошной или с круговым отверстием, в случае, когда напряжения по контуру являются произвольными линейными функциями координат.

4. Найдены напряжения и перемещения в области пластины, круговой или с отверстием, для частных случаев (симметричных и несимметричных) напряжений по границам: постоянных, в виде линейных функций.

5. Определены максимальные значения второго инварианта напряжений.

6. Разработан и реализован средствами Maple 9.5 алгоритм решения задач о плоской деформации сплошной упругой пластины и упругой пластины с круговым отверстием для различных случаев нормальных напряжений на границах.

Перспективы дальнейшей разработки темы. В перспективе возможно применение метода быстрых разложений к задачам упругого и упругопластического деформирования тел.

Список работ, опубликованных автором по теме диссертации

1. Хозяинова, Н. А. Исследование погрешности поточечного метода вычисления коэффициентов быстрых рядов Фурье / А. Д. Чернышов, Н. А. Хозяинова, В. В. Горяйнов // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. Серия: Информационные технологии, моделирование и управление. - № 2(48). -2011.-С. 64 - 67.

2. Хозяинова, Н. А. Применение быстрых разложений для решения задачи о растяжении упругой пластины конечных размеров с отверстием / А. Д. Чернышов, Н. В. Минаева, Н. А. Хозяинова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - № 2(10). - 2011. - С. 104110.

3. Хозяинова, Н. А. Решение задачи о растяжении упругой прямоугольной пластины методом быстрых разложений / А. Д. Чернышов, Н. А. Хозяинова // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. Серия: Информационные технологии, моделирование и управление. - №4(54). - 2011. - С. 43-47.

4. Хозяинова, Н. А. О растяжении прямоугольной пластины конечных размеров с круговым отверстием / Н. А. Хозяинова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж. 20-22 сентября 2010 г. - С. 375-380.

5. Хозяинова, Н. А. Применение метода быстрых разложений при нахождении напряжений в растянутой прямоугольной пластине / А. Д. Чернышов, Н. А. Хозяинова // Материалы Ь отчетной научной конференции преподавателей и научных сотрудников ВГУИТ за 2011 г. - 4.2. - С. 132.

Подписано в печать 05.06.2013. Формат 60х841/16- Усл- печ. л. 0,93. Тираж 70 экз. Заказ №1392.

Отпечатано с готового оригинал-макета в репроцентре ООО РИФ «КВАРТА» www.kvarta.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ» (ФГБОУ ВПО «ВГУИТ»)

На правах рукописи

Хозяинова Наталья Алексеевна

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БЫСТРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНАХ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

01.02.04 -механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О)

о „

£

СО Я

о

О Научный руководитель:

^ доктор физико-математических наук,

^ профессор Александр Данилович Чернышов

Воронеж - 2013

Содержание

Введение.......................................................................................................................3

Глава I. Основные положения метода быстрых разложений................................17

§ 1. Построение граничных функций........................................................................19

§2. Оператор быстрых разложений..........................................................................23

§3. Поточечный метод вычисления коэффициентов ряда Фурье.........................24

§4. Пример реализации метода быстрых разложений при решении краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка ....25

Выводы к главе 1.........................................................................................................44

Глава II. Растяжение сплошной упругой пластины конечных размеров.............45

§ 1. Постановка задачи................................................................................................45

§2. Выбор граничных функций.................................................................................48

§3. Построение приближенных решений в аналитическом виде..........................49

§4. Сравнение точного решения с приближенным. Анализ погрешности...........63

Выводы к Главе II.......................................................................................................75

Глава III. Растяжение сплошной упругой пластины конечных размеров с

отверстием..................................................................................................................76

§ 1. Постановка задачи................................................................................................76

§2. Выбор граничных функций.................................................................................79

§3. Составление алгебраической системы для определения коэффициентов

Фурье...........................................................................................................................80

§4. Определение коэффициентов Фурье поточечным методом..........................104

§5. Построение приближенных решений с учетом 3-5 членов быстрого ряда

Фурье.........................................................................................................................111

Выводы к Главе III...................................................................................................121

Основные выводы и результаты.............................................................................122

Список литературы..................................................................................................123

Введение

Во многих областях техники и строительства используются инженерные конструкции, составленные из тонких упругих пластин. Различные комбинации пластин и оболочек являются конструктивными элементами самолетов, судов, ракет, деталями промышленных машин и т. д. Модель напряженно-деформированного состояния пластины актуальна также для изучения поведения плит земной коры в геологии [61], [68], для строительства дорог, мостов и зданий. Гибкие пластины и мембраны разнообразной формы, а также их сочетания используются во многих приборах и устройствах. Широкое практическое приложение имеют задачи о концентрации напряжений вблизи пор и отверстий в конструкциях и материалах. Нередко их можно свести задачам о плоской деформации упругой плоскости с отверстиями. К этому классу относят также задачи о туннелях, скважинах, перфорированных пластинах.

Плоские задачи теории упругости сложны по двум обстоятельствам: во-первых, математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. При решении в перемещениях она состоит из системы двух уравнений второго порядка в частных производных. При решении в напряжениях задача содержит три уравнения первого и второго порядков, а через функцию напряжений - одно дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. Кроме того, для прикладных задач исследуемые тела часто имеют сложную форму, на которой заданы граничные условия. Оба этих фактора в совокупности обусловливают большую математическую сложность рассматриваемого класса задач и отсутствие универсального аналитического метода решения.

Существующие в настоящее время методы решения задач теории упругости можно разделить на эмпирические, аналитические и численные.

Эмпирические методы в механике предполагают постановку эксперимента и наблюдение за поведением деформируемых тел. Эти методы позволяют получать данные о реальном распределении напряжений и деформаций в условиях эксплуатации конструкций, а также используются при разработке математических моделей и оценке точности результатов численных методов. Первый из эмпирических методов исследования картины распределения деформаций применил немецкий физик и математик Г. К. Брун для изучения влияния отверстий и вырезов в палубах на общую крепость судов [43]. Он взял продолговатый лист резины, разграфил его проведенными параллельно и перпендикулярно длинной стороне прямыми на квадраты, сделал в нем вырезы разной формы и, растянув этот лист в продольном его направлении, зачерчивал форму тех кривых, в которые обращались первоначальные прямые линии, начерченные на листе. В современной науке используются такие методы как метод хрупких тензочувствительных покрытий, метод оптически чувствительных покрытий, методы спектрфотографии и голо-графической интерферометрии, методы муаровых полос, позволяющие получить графическую картину распределения деформаций и напряжений в теле под действием приложенных сил.

Применению эмпирических методов для изучения деформированного состояния пластин и оболочек, имеющих концентраторы напряжения различных типов, посвящены работы Александрова А. Я. [3], Сухарева И. П., Борыняк Л. А., Жилкина В. А. [9], [21], Ушакова Б. Н., Шнейдерович Р. М., Левина О. А., Теока-риса П., Полухина П. И., Воронцова В. К., Чиченева Н. А, Сегал В. М., Макушок И. М., Резникова В. И., Дюрелли А., Попова А. М. [69], Аллахвердова Е. Б., Кор-зона С. А. [5] и другие. Однако при решении ряда важных задач механики деформируемого тела чувствительность и точность традиционных экспериментальных методов оказываются недостаточно высокими, а проведение испытаний — весьма трудоемким, что, помимо затруднений в обобщении полученных эмпирическим путем решений, является недостатком данных методов.

Благодаря развитию мощной компьютерной техники большое значение для решения широкого круга задач механики, отличающихся сложностью постановок,

приобрели численные методы. Хотя многие методы вычислительной механики являются скорее экспериментальными, чем теоретически обоснованными [47], а полученные результаты требуют проверки достоверности и оценки погрешности [7], существующее программное обеспечения (комплексы COSMOS, ANS YS, Mathtlab) предоставляет возможность решения практически любой задачи. Этим обусловлено развитие и широкое использование различных численных методов, базирующихся на дискретизации тела (МКЭ) или сформулированной математической задачи (МКР), каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Наиболее универсальны и распространены в практике методы конечных элементов и конечных разностей. МКЭ имеет «инструментальную» причину для формирования ошибки вычислений — необходимость дискретизации области, занимаемой телом. Численная реализация метода конечных элементов для решения двумерных задач для пластины с трещиной и пластины с пятью отверстиями в рамках несимметричной теории упругости приведена в [44]. Частоты собственных колебаний для жестко заделанных пластин с эллиптическими и круговыми вырезами центрального расположения рассчитаны с помощью метода конечных элементов в [59]. Методический пример расчета величин и направлений главных напряжений в одной точке прямоугольной пластинки конечных размеров и построения эпюр напряжений в различных сечениях с помощью метода конечных разностей представлен в [34]. МКР, осуществляемый на основе конечно-разностной аппроксимация дифференциальных операторов, обладает недостаточной устойчивостью численных результатов, что сказывается на точности решения при некоторых видах краевых условий. Развитием численных методов в применении к задачам теории упругости занимались JI. А. Розин [70], А. В. Александров [2], Варвак П. М., Масленников А. М [53], В. П. Ильин [35], В. В. Карпов и другие.

В настоящее время разработан ряд методов, позволяющих получить решения задач механики сплошной среды в аналитическом виде, пригодном для последующего исследования. Это методы теории функций комплексного переменного, малого параметра, граничных состояний, быстрых разложений.

Формулы, которыми искомые решения выражаются через функции (потенциалы) комплексного аргумента, впервые опубликованы Г. В. Колосовым в монографии [43]. Как правило, при решении задач рассматривают несколько видов областей: конечная односвязная область, бесконечная область с отверстием, конечная двусвязная кольцевая область. Сложность метода Колосова заключается в требовании голоморфности функции в рассматриваемой области и в интегрировании по границе этой области. В [43] приведено решение плоской задачи теории упругости для бесконечной пластины методом функций комплексной переменной. Дальнейшим развитием этого метода занимались Н. И. Мусхелишвили, Г. 3. Шарафутдинов, И. В. Кучеренко, Д. В. Головин и другие.

В монографии [57] Н. И. Мусхелишвили приводит решения плоских задач теории упругости для областей, ограниченных окружностью изнутри или снаружи - то есть для области, представляющей собой круг и для бесконечной пластины с круговым отверстием. Решение сводится к отысканию комплексных потенциалов, через которые выражаются напряжения, в виде степенных рядов или в виде комплексных рядов Фурье и к отысканию коэффициентов этих рядов. В работах [101], [102] Шарафутдинов рассматривает применение функций комплексного переменного при наличии массовых сил и к пространственным задачам теории упругости. В [22] предлагается аналитический алгоритм решения двумерных задач теории упругости однородного прямолинейно-анизотропного тела с криволинейным вырезом (плоская задача, продольный сдвиг, изгиб пластин). Автор предполагает, что возмущение поля напряжений, вызванное наличием выреза, не достигает внешней поверхности тела. С применением аппарата аналитических функций обобщенного комплексного переменного, рассматриваемые задачи сведены к конечным системам линейных алгебраических уравнений, порядок которых зависит от наибольшей отрицательной степени в разложении отображающей функции. В результате, получены общие представления комплексных потенциалов напряженно-деформированного состояния для конечной и бесконечной многосвязных областей. Определены функции напряжений для многосвязной прямолинейно-анизотропной пластины при действии элементарных видов нагрузки (всесторон-

нее растяжение, чистый сдвиг, растяжение-сжатие). В работах [15], [16], [48], [49] рассматриваются решения задач о бесконечных пластинах с трещинами и отверстиями, укрепленными накладками, с помощью функций Колосова и комплексного интегрирования. Также на основе метода аналитических функций комплексного переменного, в книге «Перфорированные пластины и оболочки» [18] Э. И. Григолюка и Л. А. Филыптинского описывается напряженное состояние неограниченной пластины, ослабленной двоякопериодической системой одинаковых круговых отверстий - так называемой перфорированной пластины. В работе [75] рассматривается напряженное состояние тонкой упругой бесконечной пластины с эллиптическим вырезом, на который наложена и жестко присоединена к пластине вдоль всей границы полностью покрывающая вырез накладка. На бесконечности заданы растягивающие напряжения, на границе выреза действуют усилия, расположенные в плоскости пластины. Задача решена аналитически с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, представленных в виде степенных рядов по вспомогательной комплексной переменной. Областью определения данной переменной является конформное отображение, выбранное так, чтобы границе выреза и линии соединения пластины и накладки соответствовали концентрические окружности на вспомогательной плоскости. В [25], [51] приведен расчет напряженно-деформированного состояния бесконечных анизотропных пластин с дефектами типа гладких криволинейных непересекающихся сквозных трещин, жестких включений, эллиптических отверстий и упругих включений. Решение задач строится методом комплексных потенциалов Лехницкого, задаваемых в виде интегралов типа Коши по контурам дефектов и сводится системе сингулярных интегральных уравнений, которая решается численно с помощью квадратурных формул Гаусса-Чебышева.

В приложении к решению упругопластических задач механики деформируемого твердого тела нашел широкое применение метод малого параметра. В монографии Д. Д. Ивлева и Л. В. Ершова [30] используются различные схемы решения упругопластических задач методом малого параметра. Авторы рассмотрели случай, когда пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком

охватывает ее. В рамках такого подхода было получено решение ряда двухмерных и трехмерных задач, таких как: двуосное растяжение толстой бесконечной пластины с круглым и эллиптическим отверстием, двуосное растяжение тонкой бесконечной пластины с круговым отверстием, эксцентричная труба под действием внутреннего давления, двуосное растяжение пространства с эллиптической полостью.

В статьях и монографиях М. Т. Алимжанова [4], А. Н. Спорыхина [77-81], А. И. Шашкина [82], Т. Д. Семыкиной [72-74], Н. В. Минаевой [54-55] изложено состояние и дальнейшее развитие метода возмущений в применении к двумерным задачам теории упругости и пластичности. В частности, методом малого параметра получено решение для случая двуосного растяжения бесконечной пластины из трансверсально анизотропного материала с эллиптическим отверстием [73]. Малый параметр характеризует анизотропию материала, за начальное приближение принята задача о двуосном растяжении пластины с круговым отверстием, решение которой приведено Д. Д. Ивлевым в [31].

В [62] рассматривается тонкая пластина с эллиптическим отверстием из идеально — упругопластического анизотропного материала под действием двуосного растяжения. В пластической области материал представляется анизотропным. Методом малого параметра определено упругопластическое напряженно-деформированное состояние пластины, влияние параметров анизотропии на поведение упругопластического напряженно-деформируемого состояния и упруго-пластической границы.

В работе [76] А. П. Соколов приводит решение в первом приближении уп-ругопластической задачи о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана. Механическое поведение толстой плиты, ослабленной отверстием сложной формы рассматривается в [103]. Плита считается нагруженной на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями и на границе отверстия - давлением. Задача решается методом возмущений, где за нулевое приближение принято осесимметричное состояние плиты.

Решением задач механики с помощью метода малого параметра, в частности, уточнением результатов Ивлева-Ершова и нахождением перемещений занимались Н. Н. Остросаблин, Б. Д. Аннин, Г. П. Черепанов, М. А. Артемов [6]. В работе [79] приведен ряд приближенных решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым, эллиптическим и близким к правильному многоугольнику отверстием, подверженных действию внутреннего давления. Следует отметить, что проблема сходимости приближений малого параметра остается малоизученной.

Метод граничных состояний, предложенный и проиллюстрированный на примере основных задач теории упругости для тела конфигурации «гвоздь» в [6566] В. Б. Пеньковым и Л. В. Саталкиной, применяется в сочетании с методом малого параметра. Основные соотношения теории упругости разложением по малому параметру приводятся к бесконечной последовательности линейных систем уравнений. Для решения задачи каждого приближения используется метод граничных состояний. Он заключается в представлении граничного состояния как следа, оставленного на границе тела внутренним состоянием. Внутреннее состояние - любое частное решение определяющих уравнений среды без граничных условий. Совокупность всех возможных внутренних состояний образует гильбертово пространство внутренних состояний и может быть представлено в виде ряда Фурье по элементам ортонормированного базиса. Совокупность всех граничных состояний образует гильбертово простр�