Колебания пластин треугольной формы с вязкоупругими свойствами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ

На правах рукописи Чернышов Николай Александрович

КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН ТРЕУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ С ВЯЗКОУНРУГИМИ СВОЙСТВАМИ

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-

математических наук.

Научный руководитель -доктор технических наук, профессор Матвеев М.Г.

Воронеж -1999

СОДЕРЖАНИЕ

С,

ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................................3

1. КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ......... 14

1.1. Постановка задачи ............................................................................ 14

1.2. Пластина на упругом основании под действием дополнит ельного постоянного равномерного растяжения .......................................... 1В

1.3. Исследование резонанса.................................................................. 29

1.4. Колебания свободно опертой пластины ......................................... 42

1.5. Другие случаи колебания пластины .... ........................................... 44

2. ВЯЗКОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНБ1............... 54

2.1. Постановка задачи ............................................................................ 54

2.2. Построение точного решения .......................................................... 57

2.3. Исследование свойств колебательного процесса........................... 62

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................. 75

ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................... 77

ВВЕДЕНИЕ

Данная диссертация посвящена исследованиям свойств колебательных процессов треугольной равносторонней пластины, выполненной из упругого и вязкоупругого материала.

Широкое использование пластинок в современном строительстве и машиностроении повлекло за собой быстрое развитие их теории.- Например,, задача изгиба прямоугольной пластинки, свободно опертой по двум противоположным краям приобрела большое практическое значение в проектировании плит промышленных зданий. Также получила развитие задача о пластине, опертой в углах, что применяется на практике при расчете железобетонных сооружений, опирающихся на колонны. В связи с проблемами проектирования плит, используемых в автодорожном строительстве и на аэродромах, актуальными стали задачи о пластинах на упругом основании. Необходимость использования в современном машиностроении пластин, прогиб которых велик по сравнению с толщиной пластины, но мал в сравнении с другими размерами, появилась теория изгиба пластин при больших прогибах. В последнее время значительно возрос интерес к пластинам, выполненным из вязкоуиругих материалов. Также на практике стали применяться упругие пластины, покрытые с двух сторон вязкоупругим материалом. Такие пластины имеют большое преимущество перед пластинами, выполненными из упругих материалов, так как при частотах колебаний, близких к резонансным для упругой пластины, вязко-упругая в зависимости от степени вязкости материала может значительно снизить амплитуду колебаний, что позволяет избежать разрушения пластины.

Первые попытки решить задачу изгиба упругих поверхностей были предприняты Эйлером в [13]. Рассматривая колебания идеально гибкой мем-

браны как совокупность двух систем струн, натянутых в двух взаимно - перпендикулярных направлениях, он получил дифференциальное уравнение

д2^ д та a2W

—г- = А—Г- + В——

т2 дх2 ду2

где W - прогиб,

А и В - постоянные, определяемые свойствами данной конструкции.

Яков Бернулли - младший (1759-1789) используя ту же теорию в анализе изгиба пластин получил в [3] следующее дифференциальное уравнение

д4уу а% _ ц

д*4 ду4

Это было первое, хотя и приближенное дифференциальное уравнение изгиба пластины.

Большой интерес к теории пластинок был возбужден книгой Хладни [11] по акустике, в которой он проводил эксперименты по акустике, и в особенности, с вибрирующими пластинками. Покрывая их тонким слоем мелкозернистого песка, Хладни демонстрировал существование узловых линий для различных колебаний и определял соответствующие частоты. В 1809 г. Хладни продемонстрировал свои эксперименты во Французской Академии, чем произвел сильное впечатление на присутствовавшего там Наполеона. По предложению последнего Французская Академия назначила премию за разработку математической теории колебаний пластинок и за сравнение теоретических результатов с экспериментальными.

В 1811 г. к заключительной дате конкурса выявился лишь один претендент - Софи Жермен. Софи сделала попытку вывести дифференциальное уравнение изгиба из интеграла, выражающего энергию деформации изгиба Однако, она допустила ошибку в вычислении интеграла и в связи с этим ей не уда-

лось получить премии, Бе ошибку заметил Лагранж и введя нужное исправление, получил уравнение в правильном виде

\

ffö4W „ d4W a^w

V Зх4 д%2ду2 ду4) а*2

Лишь с третьей попытки Софи Жермен удалось представить правильное уравнение в [17]. Хотя она и не представила достаточного физического обоснования смысла коэффициента к и всего дифференциального уравнения при начальных допущениях, члены жюри все - равно вручили ей премию.

Первая удовлетворительная теория изгиба пластинок с учетом распределенной нагрузки была представлена Навье. В своей работе [52], опубликованной в 1823 г. он предполагает, что пластинка состоит из молекул, распределенных по всей толщине, и принимает, что их перемещения при изгибе параллельны срединной плоскости и пропорциональны расстояниям от нее. Таким путем он находит правильное дифференциальное уравнение да поперечного изгиба в общем виде

(Vw a4w_ a4wN

V öx4 öxdy öy )

где q - величина равномерно распределенной нагрузки, D -жесткость пластины при изгибе.

Навье применяет свое уравнение к задаче о свободно опертой прямоугольной пластинке для случаев равномерно распределенной нагрузки и нагрузки, сосредоточенной в середине площади, для которых он получает правильное решение в виде двойного тригонометрического ряда.

В 1850 г. Кирхгофф опубликовал важную работу [36] по теории пластинок, в которой он обосновал свою теорию двумя гипотезами, получившими ныне всеобщее признание:

1) каждая прямая, первоначально перпендикулярная к срединной плоскости пластинки, остается при изгибе прямой и нормальной к срединной поверхности изогнутой пластинки;

2) элементы срединной плоскости пластинки не испытывают удлинения при малых прогибах пластинки под поперечной нагрузкой.

Эти допущения близки по своему смыслу к гипотезе плоских сечений, принятой в наше время в элементарной теории изгиба брусьев. Исходя из этой теории, Кирхгофф выводит правильное уравнение изгиба пластинки. Это были первые удовлетворительные решения, полученные для задач изгиба пластинок.

ТТГ»ГГГ»ТТГ.ОЛПОЫ'ТЛГ<а Т^ЛЛТ^ТЛГ ГГТТО^ТТЯТТТ> Тл»ГМЛ<»ХТ<а>МГГП'*,Г ТГАТГ£* ИОТТО ГГПГ'Х.

лишь в XX столетии. Прямоугольная пластинка, свободно опертая по двум противоположным краям и удовлетворяющая произвольным краевым условиям по двум другим краям, была исследована М. Леви в [39] и Э.Эстанавом в [ 12]. Задача эта приобрела большое практическое значение.

Были исследованы пластинки других форм - эллиптической, треугольной, трапециевидной. В тех случаях, когда задача не получала строгог о решения, авторы были вынуждены обращаться к приближенным методам. Широкое применение в теории пластинок получил метод Рэлея-Ритца, принесший много полезных результатов.

В [38] составлено дифференциальное уравнение колебаний треугольной пластины с учетом осевых сил, действующих в плоскости пластаны и имеющих постоянную интенсивность. Решение строится приближенно методом Рэлея-Ритца .

Численным методом, представляющим собой гибридную форму метода Релея-Ритца и метода множителей Лагранжа анализируется задача о свободных поперечных колебаниях треугольных пластин со сложными опорными условиями в [43].

Исследованию собственных частот свободных изгибных колебаний тонкой пластины в форме прямоугольного треугольника посвящена статья [35]. На кромках пластины задано закрепление, являющееся комбинацией свободного края, шарнирного опирания и защемления. Решение уравнения получено с помощью мет ода Релея-Ритца Анализируется влияние граничных условий, размеров пластины и ортотропии материала на собственные частоты и формы колебаний.

Большое практическое значение в проектировании железобетонных сооружений представляет расчет пластинки, опирающейся в углах на колонны.

В статье [67] для треугольной пластины, свободно опертой в углах, получено решение для прогибов от действия сосредоточенной силы в центре пластины. Решение строится в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое представляет собой точное решение для свободно опертой пластины, а второе удовлетворяет однородному бигармоническому уравнению.

В элементарной теории пластинок принимается, что прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. При больших прогибах необходимо принимать во внимание растяжение срединной плоскости. Эти уравнения не линейны и с трудом поддаются решению. В настоящее время существуют решения только для случая равномерного растяжения пластинки, что приводит к линейной постановке задачи. Рассматривая изгиб длинной равномерно нагруженной прямоугольной пластинки в [94], Бубнов И.Г. привел эту задачу к задаче изгиба полосы и решил ее для различных вариантов краевых условий, встречающихся в кораблестроении. Он составил также таблицы, благодаря которым облегчил расчеты в судостроительной промышленности.

В ряде сложных случаев большое применение получают уравнения в конечных разностях, и необходимые решения находятся методами численного анализа.

Методом конечных элементов в [46] дан анализ параметров свободных поперечных колебаний ортотропных пластин в форме прямоугольного треугольника. Рассмотрены случаи частичного подкрепления краев колеблющейся пластины. На основе применения теории изгиба пластин Миндлина сформирован восьмиузловой изопараметрический четырехугольный элемент с у четом деформации поперечного сдвига, характеристики которого определены посредством редуцированного интегрирования. Выполнены расчеты первых четырех собственных частот поперечных колебаний пластин рассматриваемого типа с различными граничными условиями, начиная от полностью опертых краев и кончая случаем угловых точечных опор.

Также численно определены прогибы толстой равнобедренной треугольной свободно опертой по краям пластинки [В], вызванные ее нагревом. Пластинка имеет прямой угол при вершине и опирается на упругое основание. Установившееся распределение температурного поля в пластинке получено на основе решения трехмерного уравнения теплопроводности.

Классические нелинейные дифференциальные уравнения Кармана, обобщенные на динамический случай, применяются в [9] для анализа нелинейных свободных колебаний равнобедренных прямоугольных треугольных пластин с простым опиранием на границах. Определяется функция напряжений для фундаментальных форм колебаний в замкнутой форме.

В [20] аналитическое решение строится методом суперпозиции задачи свободных вибраций прямых треугольных пластин с одним свободным краем. Затабулированы значения собственных чисел для четырех мод свободных колебаний со всеми возможными комбинациями классических граничных условий.

Широкое использование пластинок, выполненных из вязкоуиругих материалов в современном машиностроении повлекло за собой быстрое развитие

их теории. Многие механические системы работают при высоких частотах колебаний. Поэтому на практике для гашения колебаний часто используют детали механизмов, покрытые вязким слоем. Независимо от конструктивного вида различных механических систем их колебания подчиняются одним и тем же физическим закономерностям, изучение которых и представляет большой практический интерес.

В [112] рассматривается изгиб слоистой пластины симметричного

к*

строения по толщине, выполненной из трансверсально-изотропных существенно неоднородных вязкоупругих материалов, склонных к ползучести даже при комнатной температуре.

Применяя метод конечных элементов в [65] решается задача о поперечных колебаниях упругой пластины, покрытой вязкоупругим демпфирующим слоем. Рассматривается влияние параметров вязкоупругости слоя, температуры и модулей упругости пластины на затухание свободных колебаний.

В [80] проведено аналитическое исследование показателей устойчивости сжатых вязкоупругих прямоугольных пластин со свободно опертыми краями на вязкоупругом основании. Разработана модель рассматриваемой задачи устойчивости и выведены определяющие дифференциальные уравнения да описания процесса вязкоупругого деформирования пластины.

Анализ колебаний составного технического узла в виде связанного с конечным демпфирующим слоем пластинчатого элемента в сложной вязкоупру-гой конструкции транспортного средства дается в статье [82]. Введена расчетная модель прямоугольной трехслойной пластины с промежуточным вязкоупругим слоем. Обсуждается пригодность таких пластин для пассивного гашения колебаний. Изложены результаты расчета по методу конечных элементов.

В [93] предложен метод расчета вынужденных поперечных колебаний прямоугольных тонких пластин с учетом энергетических потерь в циклически

деформируемом материале при различного типа силовом гармоническом возбуждении (сосредоточенной, равномерно распределенной и неравномерно распределенной по поверхности, в частности, по синусоидальному закону, вы нуждающей нагрузкой), а также при кинематическом возбуждении посредством плоскопараллельных гармонических перемещений. Аналитическое исследование колебаний неконсервативной упругой пластинчатой системы производится на основе асимптотических методов нелинейной механики.

Выпучивание тонкой прямоугольной пластины с начальными несовершенствами, подверженной сжимающей нагрузкой, распределенной в плоскости пластины параллельно одной паре ее сторон рассмотрено в [81]. Вязкоуп-ругая модель материала пластины характеризуется последовательным соединением упругих и вязких элементов. С помощью классической теории тонких пластин вычислены критические параметры задачи для различных соотношений длин сторон пластины.

Таким образом, приведенный обзор работ позволяет сделать вывод о том, что проблема исследования свойств колебательных процессов треугольной пластины, выполненной из упругого или вязкоупругого материала остается актуальной и имеет большое практическое значение.

Целью настоящей работы является:

- получение точных аналитических решений задач о колебаниях пластин, выполненных из упругих и вязкоупругах материалов;

- анализ поведения пластинки при частотах, близких к резонансным;

- исследование условий потери устойчивости пластины.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- получены точные решения задач о малых колебаниях треугольных равносторонних пластин, выполненных из упругих и вязкоупругах материалов;

- приведены формулы дня резонансных частот.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при проектировании деталей механизмов, таких как крыло самолета, обшивка судов и летательных аппаратов, а также в тех областях практической деятельности, где требуется точно знать процесс колебательного движения пластины, например при устройстве различных вибростендов.

Достоверность и обоснованность установленных в работе результатов базируется на корректной математической постановке задачи о колебаниях пластин. Полученные в работе результаты согласуются с физическими представлениями. Правильность работы программы проверена путем проведения ряда тестов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в Воронежской государственной технологической академии (1996-1999), на Российской конференции «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж 1998). а также на научных конференциях ВГТА (1996-1999).

Публикации Основные результаты диссертационной работы представлены в следующих публикациях:

1. Матвеев М.Г., Чернышов H.A. Гармонические колебания треугольной пластины // Материалы XXXV отчетной научной конференции за 1996, ВГТА, Воронеж, часть N2 37 с.

2, Чернышов H.A., Чернышов А.Д. Влияние вязкости на колебания треугольной пластины // «Актуальные проблемы механики оболочек», Труды международной конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. A.B. Саченкова, 1998, Казанский гос. университет с.237-243.

3. Чернышев H.A.» Чернышев А. Д. Колебания треугольной упругой пластины под совместным действием равномерно распределенной поперечной нагрузки и равномерного растяжения К «Известия инженерно-технологической академии чувашской республ�