Исследование напряженно-деформированного состояния вязкоупругих пластин сложной формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи САДИКОВ Холмирза Садикович

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМА-АТА — 1992

Работа выполнена в Институте кибернетики с вычислительным центром НПО «Кибернетика» Академии наук Республики Узбекистан.

Научные р ук о в о д и т е л и:

Академик АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических

паук, профессор В. К. КАБУЛОВ;

доктор физико-математических паук Ш. А. НАЗИРОВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Н. И. МИРОНЕНКО; кандидат физико-математических наук А. И. ИОКАКБАЕВ.

Ведущая организация — ИПМаш АН Украины (г. Харьков). Защита состоится ъЦЙСР^/^— 1992 г. в час. на заседании Спе-

циализированного совета по механике деформируемого твердого тела К008.11.02 в Институте механики и машиноведения АН РК по адресу: 480021, г. Алма-Ата, проспект Абая, 31.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке АН РК (г. Алма-Ата, ул. Шевченко, 28).

Автореферат разослан «/•^"»/^.<'•^/^.-'1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета,

доктор физико-математических наук А. А. КАЛЫБАЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работа' Проблема расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций, несущими элементами которых являются пластины или оболочки сложной-формы , изготовленные из вязкоупругого материала, продолжает оставаться актуальной. Это объсняется в первую очередь тем, что они представляют, собой основные несущие элементы конструкций, применяемых в .машиностроении, летательных аппаратах и различных строительных сооружениях.

Поведение тонкостенных деформируемых систем, широко используемых в различных отраслях техники, изучено в работах С. А. Амбарцумяна, а К Болотина, Ж. С. Ержанава, А. А. Ильшина, В. II Кабулова, В. В. Москвитина, Ю. а Работнова, К Л. Рвачева и их учеников.

В тонкостенных конструкциях по конструктивным либо по технологическим соображениям часто вносятся отверстия различней формы. Влияние отверстий и вырезов в кал-дой конструкции проявляется по своему, что можно объяснить применением различных материалов, условиями эксплуатации и рядом других факторов. Поэтому необходимо создание налеклык методов расчета несущие элементов тонкостенных конструкций.

Решению задач изгиба и ¡солебаянЛ пластик ело гас Л форж посвящены многочисленные исследования. 1Ь зти работы в основное - касаются идеально упругих пластин, а для вязкоупруткЕ - их выполнено сравнительно мало. Следовательно ггпет.з задач кзгиЗа й колебаний .вязкоупругих плао'тии' произвольной кокфгсурвцкк кмэвт важное теоретическое и "Прап'ГичэсКоз 'зкачзккз.

'Решение такого рода задач - достаточно ейотаэя прсблега. Это объясняется тем, что решэнйо ШЕТ&Гралькьс (ИУ) и кктегра-диффэрвнциальных -урз&япй (ЯДУ) со охв&кшгяарша -ялршж наследственности, описывающих изгкЭ Н 1»лзбгш'.я сазкоупрупп: пластин сяояюй Формы, сопрйяэно со зйачитеяьйУкя катекаткчэс-кими трудности}"I.

Поэтому разработка и реализация на ЭЕМ эффективных и универсальных вычислительных алгоритмов решения задач изгиба я колебаний вязкоупругих пластин сложной формы является актуальной

проблемой в области механики деформируемого-твердого тела.

Пель настоящей работы заключается в следующем;

- разработка - аффективного' вычислительного алгоритма для исследования задач изгиба и. колебаний вязкоупругих пластин сложной формы;

- создание-комплекса программных средств для реализации вычислительного алгоритма кз ЭВМ;

- исследование сходимости вычислительного алгоритма; .

- исследование' решения а'адач изгиба и колебаний вязкоупру-гих пластин сложной формы на основе гипотезы об упругости объемных деформаций и постоянстве.коэффициента Пуассона.

1&учная новизна Разработан эффективный вычислительный алгоритм »¡а основе комбинации метода Бубнова-Галёркина с методом Н-Функций ЕЛ. Рвачева для решения вадач изгиба и колебаний вяэ-коупругих пластин сложной Форш. Еыбрап эффективный метод решения системы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Сопоставлены решения задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы, полученные на основе гипотезы об упругости объемных деформаций и постоянстве коэффициента Пуассона. Исследована сходимость вычислительного алгоритма на основе при-^нения различных аппроксимирующих полиномов и кубатурных формул. Тем самым изучен ряд практических важных задач теории упругости и наследственной вяэкоупругости.

Практическая ценность работы. Разработанный вычислительный алгоритм и комплекс программ могут Сыть использованы при решении широкого класса задач изгиба и Колебаний вяэкоупругих пдас-?кн произвольной конфигурации при произвольных граничных и начальных условиях. Результаты могут Сыть применены в различных отраслях машиностроения, авиастроения, судостроения и т. д.

Разработанные программные средства сданы в Ведомственной ¿■окд алгоритмов и программ АН Республики Уобекнотш! для агеплуатацдн.

Исследования, проведенные автором диссертационной работы, сййоаны с ксследованайыл по »екд Н 1, из. 4-1 сводного плана АН "йссладошни основ иатйлингг.истической теории алгоритми-вак»иГ( !Ъа. {«гйо»р, И 01 эзообгоьб) .ав.адидейея одним из основных разделы» »аучн1/-<1%ля»'Чбской просеки, выполняемой ь Шмитугз С Щ НШ "Кибораошл"- АН РУз.

б

Достоверность полученных результатов подтверждается достаточно строгой математической постановкой рассмотренных задач, строгим использованием методов механики деформируемого твердого тела, сопоставлением с точными и приближенными решениями, полученными другими авторами как в упругих, так и в вязкоупругих постановках.

Апробации работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на межреспубликанской научно-технической ион-ференции "Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности" (Волгоград, 1990 ), республиканской конференции "Современные проблемы алгоритмизации"(Ташкент, 1991 ) , городском научном семинаре "Алгоритмическая ки-• бериотика" (Ташкент, 1989-1991; руководитель семинара икадемйк АН РУз В. 1L Кабулов), научном семинаре отдела "Прикладная математика и вычислительные методы" Института проблем машиностроения АН Украины (Харьков, 1991 ; руководитель семинара академик В. JI. Рвачев); научном семинаре кафедры "Высшая математика" Ташкентского государственного технического университета ( Ташкент, 1991; руководитель семинара д. ф.-м. н., проф. ф. Б. Бадалов), научном семинаре но механике Института механики и машиноведения ЛИ Pit иод руководством йсадемика All PR й. 0. Ержанова ( 1992).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть научных работ, в которых отражено основное содержание диссертационной работы. .

Структура и обьеы диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключений, 'ciincKu литературы и содержит 120 страниц основного текста, 44 рисунка, 22 таблицы, список литературы содержит 11?(наименований. Общий обьем 177 страниц.- ''

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

* Во введении .приводится краткий обзор публикаций, посвященных рассматриваемой проблеме. Обоснована актуальность теш, сформулированы цели исследования, показана научная _новизна, практическая 'значимость _результатов работы и их апробация. Кратко изломлю- основное содержание диссертации.

В первой гласе дана постановка задачи и алгоритм-численного рейсиии задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин слоя-

ной формы.

В разделе 1.1 приводится краткий обзор исследований для задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин с применением различных методов расчета

В разделе 1.2 приведены различные математические модели еадач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин.

Математическая модель задач изгиба вязкоупругих пластин описывается уравнением

а? "лйу'Тг

Если при формулировке основных физических соотношений используется гипотеза о постоянстве коэффициента Пуассона, тогда изгибающие и крутящий моменты определяются следующими зависимостями: • в, , ■>

,*)/дгГ "ЯП

где Л- жесткость при изгибе; интегральный оператор с

ядрами релаксации ; - прогиб пластины;

- козМицнсит Пуассона.

' Коли да? используется гипотеза об упругости обьемных деформаций, тогда для изгибающих и крутяшэго моментов справедливы аависимости

Ж

'V

/

"V с) дхду л? '

где а «¿/¿(/ух) - модуль сдЕига; / -. модуль упругости: 4 - интегральный оператор с ядрами сдвиговой релаксации

¿*- (I ^ШТ [к-ке-ю],

М-Е/30-2/1) - обьемный модуль упругости; л - толщина пластины.

Для получения уравнения двигкения достаточно вместо в уравнений (1) подставить выражение г

¿¿Г ■

В таком случае интегро-дифференциальное уравнение колеблющейся тонкой вяэкоупругой плиты будет

зХ ¿Щ? г / ' 4Яг'

дхг +2 дхдр ' ¿¿* , (2)

где ^эА - масса плиты, отнесенная к единице поверхности; /'(¿С,у, ¿0 - интенсивность внешней нагрузки.

Уравнения (1) и (2) решаются при соответствующих граничных и начальных условиях.

•• Решение "интегральных'« ВДУ в. частных производных (1) И (2) при различных граничных условиях' и сингулярных ядрах наследственности представляет собой значительные математические трудности. Поэтому естественным способом решения этих уравнений яв-ляегсл дас-кретизация по пространственным переменным и получение систем интегральных и обыкновенных ИДУ .относительно искомых 'функций времени.

В разделе 1.3 для решения уравнений (1) и (2) приведен эффективный вычислительный алгоритм, построенный на основе.комбинации метода И '- функций В. Л. Рвачева и метода Бубнова - Га-леркина.

После применения метода Бубнова-Галеркина решение-уравнения (1) и (2) сводится к решению системы интегральных-и ИДУ относительно функций времени. Эти уравнения будем называть основными 'разрешающими интегральными и ИДУ задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин. Отметим, что при решении задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы используются орто-нормированные системы координатных функций (СКФ) по бигармони-чеекому и единичному операторам соответственно. Здесь использо-

а

вание ортонормированной СКФ существенно облегчает решение систем интегральных и ИДУ . В случае задачи изгиба после ортонормирования СКФ по Сигармоническому оператору основные разрешают уравнения приводятся к автономным системам ИУ. В случае задачи колебаний основные разрешающие уравнения с помощью метода разложения собственных форм колебаний приводятся к автономным системам ИДУ. Для решения автономных систем интегральных и ИДУ ■применяется численный метод,основанный на использовании квадратурных формул. На основе этого метода описан алгоритм численного решения.

В частности, для конкретных ядер сдвиговой релаксации

числовые значения искомого решения автономных системы интегральных и ИДУ соответственно опредэлямсп из следующих рекуррентных формул:

Лг.г А--Г

.У у/.

Г' ' * " ; 7'

£ ' н

(3)

К-г

•• ' г

ЩЩН1

•¿Щч I ЩО\

•т

где ^

] Г 4 - £ -г) % (*)<&■ /

о

№ % -£ -г)4 м с/я-, й

К ~ известные коэффициенты, которые вы-

ражаются через коэффициент Пуассона;ф - числовые коэффициенты, не зависящие от выбора подынтегральных функций и принимающие различные значения в зависимости от Использования квадратурных формул.

В разделе 1.4 излагается суть метода Й - функций В. Л. Рва-чева, называемого структурным методом.и приведена структура решения для случая , когда на границе области задается одно или несколько краевых условий. ..

Вэ второй главе исследована сходимость вычислительного алгоритма для решения задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин слЬжной формы. В разделе 2.(1 показана достоверность результатов, полученных с помощью комплекса программных средств путем их сопоставления с точным решением или решениями, полученными другими методами. В частности, рассматриваются вынужденные колебания- свободно опертых прямоугольных ■вязкоупругих пластин под действием нагрузки ^ при следующих соотношениях

ядра релаксации

Ж)

и нагрузки А (А, у,

■10

Отметим, что вдесь коэффициент Пуассона постоянный по времени.

• . Приближенные решения, полученные при совместном применении метода Галеркина и Я- функций, и точное-решение приведены в таблице.

1 1 1 Ь 1 | N - 21 1 | N - 28 ' |

| 0.020000 1 | 0.020000 К 1

| 0.2 | 0.019831 1 | 0.019905 1 1

1 | 0.080000 1 | 0.080000 ЗС 1

| 0.4 | 0.079274 • | 0.079939 ■

Из таблицы видно, что с увеличением числа координатны::

функций ( N ) наблюдается хорошая сходимость приближенного решения вадачи.'

В разделе 2.2 исследуется сходимость вычислительного алгоритма при •решениц вадач ивгиба и колебаний вявкоупругих пластин олохшой формы. Для контроля полученных результатов при решении одной и той же задачи применяются различные, аппроксимируюцке полиномы Чебьшева, степенные»тригонометрические с различным количеством координатных функций. Совпадение полученный результатов гарантирует их достоверность. Далее (раздел 2.3) исследуется сходимость квадратурных формул Гаусса, Симпсона, к&кте-Карло и По определению в задачах изгиба пластин'сложной формы с увеличением числа углов и проведен, сравнительный анализ на точность, быстродействие и возможности реализации. В разделе 2.4 приведено описание основного модуля комплекса программных средств, который автоматизирует решение статических и динамических аадач линейной те<}рии упругости и наследотвенной теории Мвкоупругости для областей сложной формы.

Третья глава посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния (НДС) вязкоупругих пластин сложной формы на основе различных моделей.

Рассматривается задачи изгиба вязкоупругой пласти-ны(рие. 1). Пусть пластина, материал который характеризуется уп-

I1

ругими объемными деформациями, жестко защемлена по всему контуру и находится под действием равномерно распределенной нагрузки (д-1). _Исследуетея характер поведения прогиба Ж , изгибающих ,¥ж , Жу и крутящего МХу моментов в зависимости от изменения границы области. В качестве ядра сдвиговой релаксации используется ядро - <? 6

Уравнение геометрии области для пластины, представленной на рис.1, имеет вид;

& = А, %Шв \№<АЛЪ >

где ■

На рис. 2,а показано изменение прогиба во времени (пунктирная линия) в. точке с координатами х-0.5;у-0. Б, а на рис. 2 , б . изменение изгибающего и крутящего моментов

(пунктирная-линия) в той же точке. Для сравнения на тех же рисунках (сплошными линиями) показано изменение тех же величин для пластины с постоянными во времени коэффициентом Пуассона и ядром релаксации, совпадающим с ядром для рассматрива-

емой пластины.

Результаты получены при следующих значениях безразмерных параметров: / я. • • • ¥*а/8-и 2 -- -0.2; <Г-Ь.05; уЗ -0.075; уГ -0.17 .

Из рис.2 видно ,что если материал вязкоупругих пластин характеризуется упругими объемными деформациями, тогда даже при постоянных внешних нагрузках прогиб, " изгибающий- и крутящий моменты» изменяются, т. е прогиб и изгибающий момент увеличиваются во времени, а крутящий момент уменьшается. Результаты, полученные на основе гипотезы об упругости обьемных деформаций хорошо согласуются'с результатами эксперимента. - Однако для простоты в инженерных расчетах часто делается предположение, что коэффициент Пуассона является постоянной во времени величиной.

Сопоставление графиков показывает, что выбор той или иной

гипотезы при формулировке физических соотношений приводит к до-• вольно существенному изменению напряженно-деформированного состояния пластин.

lía рис. 3 показано изменение прогиба Jf во времени é в центральной точке области по осиу-0 для пластины с постоянным во времени коэффициентом Пуассона . Здесь кривые 1,2,3 получены при использовании экспоненциального ядра, ядер Ржаницша-Колтунова и Абеля соответственно.

Результаты получены с помощью степенного полинома при следующих значениях безразмерных параметрбв: f -1; Z -0.2; <5-0.1; <=¿" -0. 25; -0. 05; у* -0.17.

Из рис. 3 видно, что, когда в качестве ядра релаксации используется ядро Абеля, то с увеличением времени ¿ значение прогиба увеличивается гораздо быстрее. Здесь интересно отметпть, что значение изгибающих моментов не изменяется по времени / даже при использовании различных типов ядер релаксации.

Поставленная Бадача решена при различных значениях радиуса Z вырезов . , .

lia рис. 4 а, б изображены графики изменении прогиба Ж и ивгибиющих моментов.. JFX , Му вдоль сечения OK при следующих вначениях: Z-0.1; 0.2; 0.3. Для «Г-0.1 прогиб принимает максимальное значение в точке с координатами Í0.4,0. 4) и соответственно для Z-0.2 и Z -0.3 около точки (0. 0,0. С). Знччцт; с увели-"• "чьнивм рачм«роь ьыреза в~исследусмои области максимальная величину прогиба W смещается ближе к угловой части пластины по диагонали. Отметим, что максимальное вначеиие П{югиба Ж при Z -0.3 шньше, Чем при Z -0.1 и -0.2.. ^ —

Исследован характер поведения изгибающих моментов с увеличением радиуса вырезов. Ближе к угловым точкам (1.0; 1.0} вначения иэгибашлх моментов значительно ' возрастают,- ц ближе к краю отверствия достигают максимальных значений, с увеличением радиусов ьыреаов вначения изгибающих моментов уменьшаются и приобретают почти одинаковый характер. Анализ полученных результатов покавыва^т. что значения изгибающих моментов .¥л и Жу Шоаностьо совпндгшг между собой в рассматриваемом сечении.

Гфоио того , в этой главе исследовано напряженно-деформировал ноо состояние вяэкоупругих пластин, изображенных на рис. 5,

Риг.Т

1 ï-'o* .

¿

O f

а)

ê 5 О

■ Риг.2

Vï'—. /7

а)

б)

H

/

¿ г

FW 3

в)

4

ê

9

РИС.7

.15 _ _

6. -Подробно изучен характер изменения Ж,.МЛ> Му в зависимости от изменения границы области при различных ядрах релаксации.

Рассматриваются вынужденные колебания иесткоз&щэмленных вязкоупругих пластин, имеющих форму, изображенную на рве. 1,и находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки при начальных условиях Ж• в качестве ядра релаксации используется экспоненциальное ядро.

На рис. 7 показано изменение прогиба пластины ЪЗО. б;0;'и во времени Ь (пунктирными линиями), полученное на основе гипотезы об упругости объемных деформаций. Для сравнения сплоеньши лкнкямн .. показано изменение прогиба пластины У(0.5;0;Ь), полученное ка основе гипотезы о постоянстве коэффициента Пуассона.

Численные результаты: рогучены при .следующих значениях безразмерных параметров:

/ -1;> -0. 2; <£ -0,03; -0.076; -0.17;

^Уа рис. 7 видно, чтр учет упругости обьемньа деформаций < "приводит к уменьшен™ амйлитуды колебаний, а процесс ватуиаита происходит медленно.

На рис. 8-9 при £-0.1 н £-0. 2 показано изменение прогиба пластины №(0. б;0;Ь) во времени I. В качества ядра релаксации используется ядро Рканицына-Колтунова, а коэффициент Пуассона остается постоянным ео времени.

Численные результаты получены при осэдуезен вкзчэккях Сэз-размерных параметров: (

-1; 6 -0.001; 0.05; 0.1 ; <¿"-0.25; ^-О. 05; ^-0.17.

Отметим, ,чт;о при <5. -О процеср колебаний вдзкоупругкх пх^с-тин совпадает с процессом колебаний упругих Г£з ркг.

8-9 видно, что при 6 < 0.001 мы фактически расока-рнЕ^н процесс колебаний упругой пластины и надо. подчергауть, что грн 6 -0.1 процесс затухания колебаний происходя? бкзтрэа, чги при ¿•-0.05 и <5-0.001.

Как видно, учет вязкоупругих сеойстз 'цатзрказг злзэтвздг приводит к снижению амплитуды колебаний н вузызгзт з-э ват^тзвгэ по экспоненциальному закону. При ватуханки галэезннЛ игре!™: роль играет1 реологический параметр <5 •

Приведем результаты расчетов вынужденных колебаний еяекэ-упругих пластин, частично кесткозащемленных и частично СЕабоггэ опертых по контуру(рис. С). Пусть пластина гэстко ваззылзна по внешнему контуру и свободно оперта по внутренней округлое?:!.

S

■S

со с dg

; î*

Численные результаты получены при 2 =0.2, а исходные реологические параметры принимаются такими же, как и в предыдущем примере.

Изучено движение прогиба пластины 'у/(0. 6; 0; и во времени Ь при постоянной (рис. 10,а) и периодической ^«Л/гА?-/ нагрузках (рис. 10,6).

Далее исследованы собственные и вынужденные колебания вяз-коупругой пластины, изображенной на рис. 1,5.

В перечисленных задачах подробно исследовано влияние учета вяэкоупругих свойств материала на амплитуду колебаний в зависимости от внешней нагрузки и граничных условий.

Основные результаты диссертационной работы следующие:

- построен эффективный вычислительный алгоритм для расчета двумерных квазистатических и динамических задач наследственной теории вязкоупрутости со сложной формой границы на основе комбинации методов 1? - функций и Бубнова-Галеркина;

- дано обоснование достоверности приближенного решения , полученного методами Я -функций и Бубнова-Галеркина, путем его сравнения с аналитическими решениями и с результатами, полученными другими авторами;

- исследована сходимость вычислительного алгоритма решения задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы с увеличением количества координатных функций и при(различных ап-роксимирующих полиномах, а также относительно различных квадратурных формул;

- сопоставлены решения задач изгиба и колебаний вязкоупругих пластин сложной формы, полученные на основе гипотезы об упругости обьемных деформаций и постоянстве коэффициента Пуассона;

- на оснрье предложенного вычислительного алгоритма разработан комплекс программных средств, с помощью которого исследовано напряженно-деформированное состояние упругих и вязкоупругих пластин сложной формы, подверженных действию статических и динамических нагрузок.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах: