Нестационарные волны в вязкоупругих тонких оболочках вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Анализ моделей вязкоупругого тела.

1.1. Вывод уравнений состояния.

1.2. Вывод уравнений состояния в случае упругого объемного расширения

1.3. Мгновенные и длительные модули вязкоупругости.

1.4. Связь модели стандартного вязкоупругого тела с моделями Максвелла и Фойхта.

ГЛАВА 2. Постановка задачи о распространении нестационарных волн в вязкоупругих оболочках.

2.1. Скорости продольных и поперечных волн в вязкоупругих телах.

2.2. Уравнения теории вязкоупругости в триортогональной криволинейной системе координат.•••

2.3. Задача о нестационарных волнах в вязкоупругих оболочках вращения при ударных продольных воздействиях.

2.4. Расчленение нестационарного НДС на составляющие с различными показателями изменяемости.:.

ГЛАВА 3. Длинноволновые приближения.

3.1. Асимптотическое интегрирование в случае д - а

3.2. Двумерные уравнения для безмоментной составляющей в усилиях и перемещениях.

3.3. Асимптотическое интегрирование в случае д-(а + \) / 2.

3.4. Двумерные уравнения для изгибной составляющей в усилиях и моментах.

3.5. Полная система двумерных уравнений для случая модели стандартного вязкоупругого тела. Скорость продольной двумерной волны.

3.6. Полная система двумерных уравнений для случая модели Максвелла

3.7. Вывод двумерных уравнений для безмоментной и изгибной составляющих в случае модели Фойхта.

ГЛАВА 4. Погранслой в окрестности квазафронта.

4.1. Модель стандартного вязкоупругого тела.

4.2. Модель Максвелла.

ГЛАВА 5. Погранслой в окрестности фронта волны расширения.

5 Л. Модель стандартного вязкоупругого тела.

5.2. Модель Максвелла.

ГЛАВА 6. Модельные задачи для цилиндрической оболочки.

6.1. Нестационарные волны при ударных продольных воздействиях тангенциального типа.

6.2. Нестационарные волны при ударных продольных воздействиях изгибающего типа.

Нестационарные процессы, сопровождающиеся распространением волн в различных телах, являются сложными волновыми процессами, часто встречающимися во многих областях техники, в том числе в авиационной и ракетной.

Большое количество материалов, используемых в строительстве и технике обладает вязкоупругими свойствами. Поэтому проблемы теории вязкоу пру гости привлекают в последнее время особое внимание многих исследователей и инженеров в связи с использованием полимерных материалов и пластмасс в различных отраслях производства и строительной индустрии.

Хотя большинство достижений в теории вязкоупругости относится к последнему времени, теория, сформулированная для линейного изотермического случая, существует уже давно. Это связано с вкладом таких авторов, как Максвелл, Кельвин и Фойхт. Так Максвелл впервые представил закон деформирования по времени в виде дифференциального уравнения, которое для некоторых материалов применяется и сейчас.

Принципиальные основы линейной теории вязкоупругости были сформулированы Л. Больцманом. Основа этой теории заключается в том, что деформация в данный момент зависит от всех предшествующих напряжений. Больцман [73] также впервые дал уравнения трехмерной теории изотропной вязкоупругости.

В. Вольтерр дал строгое математическое обоснование этих идей и существенно развил теорию дальше, распространив ее на анизотропные и нелинейные случаи, а также сформулировал общие принципы решения задачи [89-91]. 5

Алфрей [69] сформулировал вязкоупругую аналогию, устанавливающую при некоторых упрощающих предположениях относительно механических свойств материала связь между решениями упругой задачи и соответствующей задачи вязкоупругости. Идея более общей вязкоупругой аналогии принадлежит Вольтерру. После выхода, работы Работнова Ю.Н. [49] принцип Вольтерра стал широко использоваться при решении задач вязкоупругости.

Следует заметить, что основное распространение получила теория вязкоупругости при медленных процессах деформирования, что привело к развитию теории ползучести и ее приложений в различных областях техники и строительства. В то же время во многих областях техники конструкции из вязкоупругих материалов подвергаются импульсным воздействиям, при этом в деформируемом материале происходят волновые процессы.

Исследование волновых процессов в вязкоупругих средах является весьма сложной проблемой, что связано, главным образом, со сложностью математической постановки динамических задач вязкоупругости. Поэтому в области динамики вязкоупругих сред получено весьма ограниченное число частных результатов при решении простейших задач.

Большая часть работ по распространению волн в вязкоупругих телах ограничивается одномерными задачами [10, 49-51, 68, 74, 75, 77, 84-86].

Ли и Моррисоном [86] получены решения для ступенчатой функции нагружения, а также для удара с постоянной скоростью для операторов первого и второго порядка. Задача решается с помощью интегрального преобразования Лапласа.

Ахенбах и Редди [68] применили асимптотический метод для нахождения решения. Они получили решение как функцию времени в фиксированной точке после того, как через нее прошло возмущение. 6

В работе [75] рассмотрены некоторые явления при распространении вязкоупругих волн и впервые выведено выражение для затухания на фронте волны.

Бленд Д. [10] применил принцип соответствия для исследования распространения продольных волн вдоль полубесконечного стержня, радиального симметричного удара по сферической полости и к радиаЛьно-симметричному удару по пластине.

Кристенсен в работе [74] исследовал изотермическое распространение возмущений в полубесконечных стержнях. Некоторые результаты были обобщены на случай распространения плоских возмущений в трехмерной среде. Получены скорости распространения и затухания изотермических гармонических волн в трехмерной среде.

Ударные волны в наследственно упругих средах изучались Работновым Ю.Н. в работах [49, 50] с помощью метода разрывов. Рассмотрены вопросы о скорости распространения и затухания ударных волн в вязкоупругих средах. Аналогичные вопросы были рассмотрены и в работе [77].

В [75] решение задачи о распространении ударных волн в изотропных линейных вязкоупругих материалах было получено в результате приближенного обращения преобразования Лапласа с использованием метода перевала.

Кольский [84] использовал разложение Фурье для анализа распространения импульса напряжения в теле, описываемом комплексным модулем.

Россихин Ю.А. и Шитикова М.В. [51] использовали лучевой метод решения динамических задач линейной вязкоупругости. В работе дан способ определения области равномерной пригодности отрезка лучевого ряда в каждый фиксированный момент времени. Анализ проведен для линейных 7 вязкоупругих стержней. Этот же метод применяется в [72] для решения уравнений динамики наследственной вязкоупругой среды в окрестности фронта волны.

Решению динамических задач пластин с привлечением интегрального преобразования посвящена работа [65].

Метод интегральных преобразований использован для решения ряда динамических задач (колебания балок, стержней и пластин) вязкоупругости В. Новацким [47].

Круш И.И. [41] применил интегральное операторы специального вида для исследования вынужденных колебаний геометрически нелинейных упругонаследственных систем, поведение которых описывается символико-дифференциальным аналогом уравнения Дюффинга.

В работе [2] рассматривается колебание вязкоупругих пластин и приводится уравнение колебаний геометрически нелинейной вязкоупругой пластинки. Решение интегро-дифференциального уравнения представлено в виде степенного ряда.

Ф. Бадалов и Т.Ш. Ширинкулов [6] изучали колебания пластинок из нелинейно вязкоупругих материалов. Решение интегро-дифференциального уравнения строилось с помощью метода Бубнова-Галеркина в сочетании с методом степенных рядов.

Т. Мавляновым и М.А. Колтуновым [44] исследованы колебания упруговязких ортотропных оболочек в различных средах, а в [14] неустановившиеся колебания пластины постоянной толщины из вязкоупругого материала. Задача в работе [14] решается с использованием метода интегрального преобразования Лапласа и вариационного метода Бубнова-Галеркина. 8

Т.Ш. Ширинкулов и Э. Музаффаров [67] изучали свободные и вынужденные колебания пологой сферической оболочки с учетом реологических свойств материала с помощью метода усреднения.

Монография [60] посвящена изучению динамического поведения упругих и вязкоупругих сред. В данной работе предлагаются различные математические методы решения динамических задач для упругих и вязкоупругих сред. В сочетании метода Бубнова-Галеркина и степенных рядов решаются задачи о продольно-поперечных нелинейных колебаниях вязкоупругих стержней и колебаниях пологой оболочки из физически и геометрически нелинейного вязкоупругого материала под действием внешней динамической нагрузки.

В [55] решение динамических задач теории вязкоупругости предлагается искать в виде ряда Фурье по какой-либо координате или по времени, в зависимости от условий, налагаемых на граничные и начальные условия задачи.

Филипповым И.Г. и Егорычевым O.A. в монографии [61] приводятся результаты, относящиеся к динамике линейных вязкоупругих сред, материал которых проявляет мгновенную упругость. Описано решение широкого класса волновых задач в вязкоупругих средах (одномерных, двумерных, осесимметричных и др.). Наряду с методами, связанными с различными интегральными преобразованиями, предлагаются новые методы. К ним относятся метод рядов [56, 57] и обобщенные методы Вольтерра и Адамара [58, 59] для решения интегро-дифференциальных уравнений.

Филипповым И.Г. и Кудайназаровым К. [62] выведены общие уравнения продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, из которых однозначно выводятся приближенные уравнения любого конечного порядка по производным. Полученные уравнения используются для решения прикладных задач в работах [42, 63]. 9

Работа [81] посвящена изучению поведения вязкоупругого тела при приложении к нему одноосного напряжения. Приведены формулы для определения компонент деформаций. Используются линейные определяющие соотношения наследственного типа с разностными ядрами.

Итак, сложность уравнений теории вязкоупругости, в частности для оболочек, не позволяет получить точные аналитические решения, и поэтому используются различные приближенные методы, основанные на приближении как исходных уравнений, так и исходных решений. Специфика изучения волновых процессов в тонкостенных конструкциях заключается в том, что из-за многократного отражения отдельных волн от лицевых поверхностей описать и воспринять волновую картину как наложение элементарных волн очень трудно. Поэтому следует разрабатывать и применять методы, основанные на суммировании вклада отдельных волн. Одним из таких методов является использование приближенных двумерных теорий.

Основы теории оболочек заложены трудами В.В. Власова, А.Л. Гольдевейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова и представлены в монографиях [16, 24, 43, 48].

Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности оболочки показывает, что математически уравнения теории вязкоупругости для тонких оболочек, как и в случае теории упругости, относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных по координатам срединной поверхности, где в качестве малого параметра используется параметр относительной тонкостенности. Поэтому при изучении напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек важную роль играют асимптотические методы. Но эти методы наиболее широко применялись для упругих оболочек.

10

Асимптотические методы в теории оболочек получили всестороннее развитие в работах А.Л. Гольденвейзера [18-30]. Введение показателей изменяемости НДС по пространственным координатам и времени и проведение операции растяжения масштабов в динамических уравнениях упругих тонких оболочек позволило построить основной итерационный процесс. Для динамических уравнений линейной теории упругости АЛ. Гольденвейзером была установлена известная классификация. В ней различают интегралы, соответствующие безмоментным, чисто моментным напряженным состояниям, краевым эффектам, напряженным состояниям с большой изменяемостью и т.д. В работе [23] рассмотрены трехмерные динамические уравнения теории упругости и свойства их интегралов в случае, когда тело тонкое и его лицевые поверхности не закреплены. Установлена связь полученных интегралов с интегралами двумерных уравнений теории оболочек и уравнений погранслоя.

Большую эффективность имеют асимптотические методы при изучении колебаний тонких оболочек. Большое количество работ посвящено здесь применению метода расчленения НДС. Общие вопросы применения этих методов изложены в работах А.Л.Гольденвейзера [19, 21, 22]; В.В. Болотина [11-13]; П.Е. Товстика [52-54]; А.Л.Гольденвейзера, В.Б. Лидского, П.Е. Товстика [25].

Нестационарная динамика оболочек является единственной областью теории оболочек, в которой до недавнего времени возможности асимптотического метода не были использованы достаточно полно. Это объясняется двумя обстоятельствами.

Во-первых, асимптотические подходы решения проблем динамической теории оболочек требуют широкого исследования понятия изменяемости НДС в пространстве и времени. В задачах нестационарной динамики оболочек само понятие изменяемости искомого решения становится

11 несодержательным - изменяемость неоднородна в разных частях области определения: вдали от точки приложения нагрузки и от фронта волны изменяемость невелика, а вблизи этих областей она, монотонно возрастая, становится весьма большой.

Во-вторых, изменяемость НДС вблизи точки приложения ударной нагрузки и вблизи фронта волны заведомо выходит за рамки применимости двумерной теории оболочек. Поэтому в задачах нестационарной динамики оболочек надо не только варьировать структуру асимптотических разложений, но и по-разному подбирать исходные уравнения.

Поскольку решение нестационарных задач тонких оболочек обладает неоднородной изменяемостью, как по времени, так и по направлению распространения возмущений, то к исследованию напряженного состояния можно подойти с позиции расчленения его на элементарные составляющие, имеющие в своих областях применимости однородные изменяемости по координатам и времени. Это дает возможность построить для элементарных составляющих в рамках некоторой заданной погрешности асимптотически оптимальные уравнения, имеющие гораздо более простой вид по сравнению с исходными.

Впервые метод расчленения нестационарного НДС был рассмотрен в работе H.A. Алумяэ [1], исследовавшего осесимметричный переходный процесс в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, вызванной действиями краевой нагрузки, изменяющейся во времени по синусоидальному закону. Асимптотическое обращение контурных интегралов от изображений решений по Лапласу дало возможность разложить НДС на безмоментное решение и краевые эффекты. Аналогичные выводы были сделаны в работе И.А. Алумяэ и Л. Поверуса [2], где краевая нагрузка на цилиндрическую оболочку изменялась по времени как функция Хевисайда, а по дуговой координате - по закону косинуса. В процессе

12 решения задачи производилось расчленение напряженных состояний с учетом показателя изменяемости по времени. В результате проведенных исследований было показано, что тангенциальные характеристики деформации оболочки при переходном процессе могут быть определены с помощью безмоментной теории, когда этот процесс вызывается тангенциальными факторами на неасимптотическом крае оболочки.

В статьях У.К. Нигула [45, 46] подводится итог исследованиям по изучению областей применимости теории типа Тимошенко и теории' Кирхгофа-Лева при осесимметричной деформации оболочек вращения, вызванной локальной нагрузкой. Там же отмечается, что характер напряженного состояния существенно зависит от изменяемости воздействия во времени.

Долгое время сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких упругих тел была ограничена случаями пластины и круговой цилиндрической оболочки. Лишь сравнительно недавно в работах Л.Ю. Коссовича [36-40] были представлены асимптотические подходы к нестационарным задачам для оболочек вращения с меридианом произвольной формы, основанные на расчленении НДС на составляющие (безмоментную, моментную и динамический погранслой) с различными показателями изменяемости. Исследование нестационарного волнового НДС оболочек вращения проводилось с использованием фундаментального понятия показателя изменяемости, введенного А.Л. Гольденвейзером. Рассматривался класс задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием ударных нагрузок, приложенных к торцу оболочки. Были рассмотрены области применимости в фазовой плоскости всех составляющих и доказано сращивание безмоментной составляющей и динамического плоского симметричного погранслоя, моментной составляющей и динамического

13 плоского обратносимметричного погранслоя. Разработан подход к получению асимптотик без использования интегральных преобразований, основываясь только на физическом смысле. Корректность предложенной схемы расчленения НДС была доказана в [39], там же предложены эффективные методы определения всех составляющих.

Большой вклад в разработку асимптотически приближенных теорий и исследование нестационарных волновых процессов в оболочках и пластинах внесли публикации Ю.Д. Каплунова. В [33] методом асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости построены двумерные уравнения, описывающие высокочастотные НДС малой изменяемости в оболочках. Установлена область применимости и погрешность предложенных уравнений.

В работе [82] было показано, что для построения НДС тонкой оболочки вращения в окрестности квазифронта вместо общих уравнений теории коротковолновой высокочастотной составляющей можно использовать уточненные уравнения классической двумерной теории.

Изучение нестационарного волнового процесса в тонкой оболочке общего очертания при краевом ударном воздействии проведено в работе [34]. На основе приближенных теорий выявлены качественные особенности нестационарного НДС оболочки и определены границы областей применимости различных теорий. Получены простые асимптотические формулы для описания распространения волны изгиба.

В работе Ю.Д. Каплунова, И.В.Кирилловой и Л.Ю. Коссовича [35] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Обсуждены особенности асимптотических свойств НДС оболочки в задачах динамики. Выведены предельные двумерные системы уравнений.

14

Исследования, выполненные Ю.Д. Каплуновым, Л.Ю. Коссовичем и Е.В. Нольде в области асимптотической теории тонких упругих тел, обобщены в монографии [83]. Приведен вывод асимптотически оптимальных уравнений низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющих в совокупности описать динамические процессы на базе точных уравнений трехмерной теории упругости. Разработаны двумерные теории высшего порядка пластин и оболочек. Рассмотрены задачи колебаний оболочек вращения, колебания тонких тел в среде, излучения тонкими телами, для моделирования нестационарных волновых процессов выведены асимптотически оптимальные уравнения динамических погранслоев в окрестностях фронтов волны расширения и сдвига, окрестности квазифронта.

То обстоятельство, что уравнения движения вязкоупругих оболочек совпадают с уравнениями движения упругих оболочек, а уравнения состояния при некоторых ограничениях на порядки вязкоупругих характеристик подобны соответствующим уравнениям теории упругости и позволило применить к исследованию нестационарных волн в вязкоупругих оболочках асимптотические методы.

Данная работа посвящена изучению нестационарных волн в вязкоупругих тонких оболочках с помощью асимптотических методов, разработанных для случая упругих оболочек в работах [34-36, 38, 39, 83]. Все теоретические выводы и задачи в диссертации относятся к изотропным материалам при изотермических условиях.

В первой главе рассматриваются три простейшие модели линейных вязкоупругих тел: модель Фойхта, модель Максвелла и модель стандартного вязкоупругого тела. Выбирается дифференциальная форма записи трехмерных уравнений, описывающих вязкоупругие свойства материала.

15

Приводятся трехмерные уравнения состояния для общего случая (когда и девиатору, и объемной деформации соответствует вязкоупругая модель) и для случая упругого объемного расширения (когда материал имеет упругую объемную деформацию, а девиатору соответствует какая-либо вязкоупругая модель). Вводятся понятия мгновенных и длительных модулей вязкоупругости, характеризующих поведение материала при ускоренных и замедленных процессах. Устанавливается связь между рассматриваемыми моделями вязкоупругих тел. Показано, что модели Максвелла и Фойхта являются частными случаями модели стандартного вязкоупругого тела.

Вторая глава посвящена постановке задачи о нестационарном НДС в вязкоупругих оболочках вращения, вызванном ударными нагрузками на торец оболочки.

Приводятся выражения для скоростей ударных волн (продольной и поперечной), распространяющихся в изотропной вязкоупругой среде. Трехмерные уравнения теории вязкоупругости (уравнения состояния, приведенные в Главе 1, и уравнения движения) записываются в триортогональной криволинейной системе координат, связанной с линиями кривизны срединной поверхности оболочки. Рассматривается действие ударной нагрузки, приложенной к краю и зависящей от времени как единичная функция Хевисайда. Изучаются два вида воздействия на торец: продольное тангенциального типа и продольное изгибающего типа, приводящие к различным типам нестационарного НДС. Записываются соответствующие задаче граничные и начальные условия.

Вводятся понятия показателя изменяемости и показателя динамичности вязкоупругого НДС и описываются четыре типа приближений трехмерных динамических уравнений, в зависимости от их значений. Также предлагается классификация динамического вязкоупругого НДС оболочек, зависящего от отношения между характерными значениями времени

16 релаксации, времени ползучести и временами похождения фронтом волны расширения толщины и длины оболочки. Проведен анализ нестационарного НДС для каждого типа воздействия на примере модели стандартного вязкоупругого тела, приведены схемы расчленения НДС на составляющие с различными показателями изменяемости.

Глава 3 посвящена построению низкочастотных длинноволновых приближений трехмерных динамических уравнений теории вязкоупругости. Процесс асимптотического интегрирования трехмерных уравнений излагается подробно для моделей стандартного вязкоупругого тела и Фойхта. Для каждой модели рассматриваются два случая, соответствующие безмоментной и изгибной составляющим, которые имеют место при различных соотношениях между показателями изменяемости и динамичности. Для каждого из рассматриваемых случаев задается асимптотика НДС оболочки, устанавливается зависимость напряжений и перемещений от нормальной координаты и выводятся асимптотически оптимальные двумерные уравнения. Также приводится полная система двумерных уравнений динамической теории оболочек и выражение для скорости двумерной продольной волны (модель стандартного вязкоупругого тела), отличающейся от скорости трехмерной волны расширения. Для случая модели Максвелла приводится полная система двумерных уравнений динамической теории оболочек.

В четвертой главе строятся уравнения динамического погранслоя в окрестности квазифронта, выражение для скорости которого приводится в третьей главе. Погранслой в окрестности квазифронта строится непосредственно для оболочки вращения. В теории упругости асимптотически оптимальные уравнения погранслоя в окрестности квазифронта были выведены в [82, 83] из уравнений теории оболочек с приведенной инерцией. В настоящей работе уравнения погранслоя получены

17 в результате асимптотического интегрирования трехмерных уравнений динамической теории вязкоу пру гости. Предполагается, что решение в окрестности квазифронта описывается длинноволновым приближением и показатель изменяемости по продольной координате принадлежит интервалу 2/3 < д < 1. Задается асимптотика НДС оболочки, устанавливается зависимость напряжений и перемещений от нормальной координаты и выводятся асимптотически оптимальные двумерные уравнения погранслоя в окрестности квазифронта в усилиях и перемещениях. Также как и в предыдущей главе вывод приводится подробно для модель стандартного вязкоупругого тела, а в случае модель Максвелла приводится только конечный результат.

Пятая глава посвящена построению уравнений динамического погранслоя в окрестности фронта волны расширения. Рассматривается класс оболочек вращения, имеющих плоские передние фронты волн - оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны. Вывод основан на введении характеристической переменной, масштабирование которой отражает изучение окрестности фронта волны расширения порядка квадрата относительной толщины. Определена асимптотика НДС погранслоя, получены асимптотически оптимальные уравнения погранслоя, включающие как замкнутую систему для асимптотически главных компонент НДС (продольное перемещение и нормальные напряжения), так и систему для оставшихся асимптотически второстепенных компонент.

В шестой главе рассматриваются две модельные задачи о распространении волн в цилиндрических оболочках при продольных ударных воздействиях тангенциального и изгибающего типов. В случае продольного воздействия тангенциального типа решение строится с помощью динамических погранслоев в окрестностях фронта волны расширения и квазифронта, а также двумерной безмоментной составляющей.

18

Для продольного воздействия изгибающего типа решение строится с помощью динамического погранслоя в окрестности фронта волны расширения и также двумерной изгибной составляющей. Выбор в качестве объекта изучения цилиндрической оболочки, для которой разрешающие уравнения имеют постоянные коэффициенты, позволил использовать для решения в случае безмоментной, изгибной составляющей и динамического погранслоя в окрестности квазифронта метод интегрального преобразования Лапласа по времени, а в случае динамических погранслоев в окрестности фронта волны расширения при обоих типах воздействия - метод двойного интегрального преобразования Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. Приводятся результаты численных расчетов в виде графиков.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы.

Научная новизна. В диссертации впервые:

- предложена классификация динамического вязкоупругого НДС тонких вязкоупругих оболочек, зависящего от механических параметров материала, толщины и длины оболочки;

- с помощью асимптотических методов, разработанных для случая упругих тонких оболочек, построены асимптотически оптимальные уравнения длинноволновой низкочастотной безмоментной и изгибной составляющих, а также погранслоя в окрестности фронта волны расширения для вязкоупругих оболочек, выполненных из линейно-вязкоупругих материалов;

- разработан асимптотический метод построения уравнений погранслоя в окрестности квазифронта на базе трехмерных динамических уравнений теории вязкоупругости: получена асимптотика НДС в этой области, установлена зависимость неизвестных величин от нормальной координаты, получены двумерные уравнения погранслоя для асимптотически главных и асимптотически второстепенных компонент НДС;

19

- показано применение полученных уравнений при решении задач для вязкоупругих цилиндрических оболочек при ударных продольных воздействиях тангенциального и изгибающего типов;

- разработаны асимптотические методы решения краевых задач для вязкоупругих цилиндрических оболочек.

Практическая значимость работы состоит в расширении области применимости асимптотических методов исследования нестационарного НДС на случай вязкоупругих оболочек. Представленные методы можно применять для расчета тонкостенных конструкций, выполненных из материала, обладающего механическими свойствами, описываемыми в рамках теории линейной вязкоупругости, подверженных действию ударных нагрузок. Разработанные в работе асимптотические методы решения поставленных краевых задач позволят решить вопрос создания надежных численно аналитических методов исследования динамического НДС вязкоупругих тонких оболочек.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались на

- Международной конференции "Математика в индустрии", Таганрог, Россия, 1998;

- The 6th Conférence "Shell Structures, Theory and Applications", Gdansk, Poland, 1998;

- IV Международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте", Санкт-Петербург, Россия, 1999;

- XIX Международной конференции по теории оболочек и пластин, Нижний Новгород, Россия, 1999;

-конференции механико-математического факультета "Актуальные проблемы математики и механики", Саратов, Россия, 2000;

20

- Annual International Seminar "Day on Diffraction'2000", St. Peterburg, Russia, 2000; rd

- The 3 International Conference "Mechanics of Time Dependent Materials", Erlangen, Germany, 2000;

- семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

По материалам диссертации опубликованы работы [3, 4, 7-9, 17, 70, 71,

78].

21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе для построения уравнений и исследования нестационарного волнового НДС вязкоупругих оболочек при двух типах ударных продольных воздействий используются асимптотические методы. Основные результаты исследований заключаются в следующем:

1. Предложена классификация нестационарного НДС вязкоупругих оболочек, зависящего от отношения между характерными значениями времени ползучести, времени релаксации с временами прохождения фронтом волны расширения толщины и длины оболочки.

2. Проведен анализ нестационарного НДС для двух типов продольных ударных воздействий на торец вязкоупругой оболочки (тангенциального и изгибного). Приведены схемы расчленения НДС для каждого из рассмотренных типов воздействия.

3. Путем асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории вязкоупругости выведены асимптотически оптимальные уравнения длинноволновой низкочастотной составляющей (для моделей стандартного вязкоупругого тела и модели Фойхта), а также для случая оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны уравнения динамического погранслоя в окрестности фронта волны расширения на примере модели стандартного вязкоупругого тела.

4. Разработан асимптотический метод получения приближенных уравнений динамического погранслоя в окрестности квазифронта (на примере модели стандартного вязкоупругого тела).

5. Как частный случай модели стандартного вязкоупругого тела приводятся уравнения для модели Максвелла для всех составляющих НДС.

6. Разработаны методы решения краевых задач для двумерных составляющих и динамических погранслоев в цилиндрической вязкоупругой

123

1.Алумяэ H.A. О применимости метода расчленения напряженного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. -1961.-№ 3,- С.171-181.

2. Алумяэ H.A., Поверус Л. Переходый процесс деформации в замкнутой кругоцилиндрической оболочке при неосесимметричной краевой нагрузке //Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963.-№ 1,- С. 13-23.

3. Анофрикова Н.С. Исследование погранслоя в окрестности фронта волны расширения в вязкоупругих цилиндрических оболочках// Математика, механика. Сб. научных трудов. Саратов: Изд-во СГУ, 2000,- С. 148-151.

4. Бадалов Ф. Об одном методе решения задачи колебания гибких вязкоупругих пластинок// ДАН УзССР. 1971. - №12. - С. 12-14.

5. Бадалов Ф., Ширинкулов Т.Ш. Решение нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра// Вопросы вычислительной и прикладной математики, Ташкент. 1974. - Вып. 28. - С. 161-176.

6. Бажанова Н.С., Галаев C.B. Динамический погранслой в окрестности квазифронта в вязкоупругих оболочках// Труды IV Международ, конф. "Пробл. прочн. материалов и сооруж. на транспорте". С.-Петербург: ПГУПС. СПб., 1999. - С. 107-108.

7. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю. Погранслой в окрестности фронта волны расширения в вязкоупругих оболочках вращения// Проблемы прочности и124пластичности. Межвуз. сборник. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2000. -С.22-26.

8. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю., Сухоловская М.С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. - №2. - С. 17-24.

9. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М., 1965. 199 с.

10. Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек// ПММ. -Т.24. Вып.5. - 1960. - С.831-842.

11. Болотин В.В. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки // ПММ. Т.34. - Вып. 5. - 1970. - С.952-956.

12. Болотин В.В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее применение к задачам случайных колебаний// ПМ. Т.8. - Вып.4. - 1972. -С.3-29.

13. Бородачев Н.М., Гильман A.A. Исследование неустановившихся колебаний пластин из вязкоупругого материала// Распространение упругих и упругопластических волн. Алма-Ата, 1973. - С.95-101.

14. Векслер Н.Д. Распространение упругих волн в цилиндрической оболочке при осесимметричной деформации// Тр. 8ой Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. М., 1973. С.420-423.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения к технике. M.-JT.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

16. Галаев С.В., Бажанова Н.С. Динамический изгиб вязкоупругой цилиндрической оболочки// Тр. Международной конференции "Механика в индустрии". Таганрог: Изд-во ТГПИД998. - С.88-89.

17. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. 1963. - Т.27. - Вып. 4. - С.593-608.125

18. Гольденвейзер А.Л. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки //ПММ. 1966. - Т.ЗО. - Вып. 1. - С.94-108.

19. Гольденвейзер А.Л. Погранслой и его взаимодействие с внутренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки // ПММ. 1969. -Т.ЗЗ. -Вып.6. -С.996-1028.

20. Гольденвейзер А.Л. Об ортогональности форм собственных колебаний упругой оболочки // Проблемы механики твердого деформируемого тела. -Л., 1970.-С.121-128.

21. Гольденвейзер А.Л. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки // ПММ 1970. - Т.34. - Вып. 5. - С.952-956.

22. Гольденвейзер А.Л. Классификация интегралов динамических уравнений линейной двумерной теории оболочек // ПММ. 1973. - Т.37. - Вып.4. -С.591-603.

23. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., 1976. 512с.

24. Гольденвейзер А.Л., Лидский А.Л., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М., 1979. 384 с.

25. Гольденвейзер А.Л. О вынужденных гармонических колебаниях оболочек // Изв. АН СССР МТТ. 1987. - № 5. - С. 168-177.

26. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д. Динамический погранслой в задачах колебаний оболочек// Изв. АН СССР. МТТ. 1988. - № 4. - С. 151-162.

27. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. АН СССР МТТ. -1990. № 6. - С. 124-128.

28. Гольденвейзер А.Л. О краевом напряженно-деформированном состоянии упругих оболочек // Изв. АН Эстонии. Физ.Матем. 1993. Вып. 42. - №1. -С.32-44.126

29. Гольденвейзер А.Л. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // ПММ. Т.58.- Вып.6. 1994. - С.96-108.

30. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М., 1958. 207 с.

31. Жарий О.Ю. Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Выща шк., 1989. 183 с.

32. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформированные состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. - № 5. - С. 147-157.

33. Каплунов Ю.Д. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего очертания // Изв. АН России. МТТ. 1992. - № 6. - СЛ 56167.

34. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ 1993. - Вып.1. - Т.57. - С.83-91.

35. Коссович Л.Ю. Метод асимптотического интегрирования в задачах о распространении волн в оболочках вращения.// Изв. АН СССР. МТТ. -1983. №3. - С.143-148.

36. Коссович Л.Ю. Области согласования интегралов Кирхгофа-Лява и динамического нерегулярного погранслоя в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Тр. 13-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Таллин, 1983. - Т.З. - С.90-95.

37. Коссович Л.Ю. Исследование волнового процесса в оболочках вращения методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости// 1 Изв. АН СССР. МТТ. 1984. - №5. - С. 142-146.

38. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек.- Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1986. 176 с.127

39. Коссович Л.Ю. Метод расчленения нестационарного напряженного состояния в оболочках вращения // Тр. 14-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Кутаиси, 1987. Т.2. - С.98-103.

40. Круш И.И. Интегро-операторный метод исследования деформирующих свойств упруго-наследственных систем// Изв. АН СССР. Механика. 1965. -№6. - С.90-94.

41. Кудайназаров К. Продольный удар по круговой цилиндрической оболочке// Изв. АН УзССР. Сер. тех. науки. 1990. - №3. - С. 31-37.

42. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат, 1947. -252 с.

43. Мавлянов Т., Колтунов М.А. Колебания упруговязких ортотропных оболочек в различных средах// Механика полимеров, 1975,- №5.-С.829-839.

44. Нигул У.К. О применимости приближенных теорий при переходных процессах деформаций круговых цилиндрических оболочек // Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1966,- С.593-599.

45. Нигул У.К. Сопоставление анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям // ПММ. 1969. - Т.ЗЗ. - Вып.2. - С.308-322.

46. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Госстройиздат, 1963. 376 с.

47. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 413 с.

48. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1974. 338 с.

49. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1988.712 с.

50. Россихин Ю.А., Шитикова М.В. К построению лучевых разложений для решения. динамических задач линейной вязкоупругости// ПМ. 1991. -Т. 27. - №1. - С. 89-96.128

51. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных установившихся колебаний оболочек вращения // Исследования по упругости и пластичности. Л., 1965. - С. 117-122.

52. Товстик П.Е. Интегралы уравнений неосесимметричных колебаний тонкой оболочки вращения // Исследования по упругости и пластичности. -Л., 1966.-№5.-С.45-56.

53. Товстик П.Е. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. С.-П.: Изд-во С.-П. ун-та, 1995. 184 с.

54. Филиппов И.Г. Об одном методе решения уравнений движения вязкоупругих сред// Механика полимеров, 1973. №3. - С.429-435.

55. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Неустановившиеся колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах. М.: Машиностроение, 1977. 304 с.

56. Филиппов И.Г. О некоторых математических методах решения динамических задач линейной теории вязкоупругости// Механика твердого тела, 1978. -№5. -С.206.

57. Филиппов И.Г. Приближенное решение задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения теории вязкоупругих тел// Труды 8-го Международного конгресса по применению математики в строительных науках. Веймар, 1978. - С. 23.

58. Филиппов И.Г., Филиппова H.A. Обобщение метода Вольтерра для решения динамических задач в термовязких средах// ПМ. 1979. - Т. 15. -№2. -С.83-90.

59. Филиппов И.Г., Ширинкулов Т.Ш., Мирзакабилов С.М. Нестационарные колебания линейных упругих и вязкоупругих сред. Ташкент: Изд-во "Фан"УзССР, 1979. 236с.

60. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение, 1983. 269с.129

61. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Уточненные уравнения продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки// ПМ. 1990. - Т.26. - №2. - С.63-70.

62. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Краевые задачи продольных колебаний круглых цилиндрических оболочек// ПМ. 1998. - Т.34. - №12. - С. 34-41.

63. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Наука, 1969. Т.З. 656 с.

64. Хорошин Л.П. Интегро-дифференциальные уравнения пластин, материал которых подчиняется линейным реологическим зависимостям// Теория оболочек и пластин. Ереван, 1964. - С.965-969.

65. Шермергор Т.Д. Об использовании операторов дробного дифференцирования для описания наследственных свойств материалов// ПМТФ. 1966. - №6. -С.118-121.

66. Ширинкулов Т.Ш., Музаффаров Э. Колебания пологой сферической оболочки с учетом реологических свойств материала// IX всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. JL, 1973.

67. Achenbach J.D., Reddy D.P. Note on Wave Propagation in Lineary Viscoelastic Media//Z. Angew. Math. Phys. 1967. -Vol. 18 - P. 141.

68. Alfrey T. Non-gomogenius stresses in visco-elasti media// Quart. Appl. Nath. -1944. Vol.2, №2.

69. Anofrikova N.S., Kossovich L.Yu. Constitutive equations for thin viscoelastic shells // Proc. of the 3rd Int. Conf. "Mechanics of Time Dependent Materials", Erlangen, Germany. 2000. - P.66-68.130

70. Asada Kazuo, Fukuoka Hidekazu, Stress Wave Propagation in Linear Viscoelasticity//Trans. Jap. Soc. Mech. Eng.A.- 1992.-Vol.58, №555.-pp.2138-2144.

71. Boltzman L. Zur Theory der Elastischen Nachwirkung// Sitzungsber. Math. Naturwiss. Kl. Kaiserl. Akad. Wiss. 1874. - Vol. 70, №2. - P.275.

72. Christensen R.M. Theory of viscoelastisity. Academic Press, New York, London. 1971.

73. Chu B.T. Stress Waves in Isotropic Linear Viscoelastic Materials// J. Mech. -1962.-Vol. 1, №4.-P. 439-461.

74. Emri I., Kossovich L.Yu., Suholovskaya M. Transient stress waves in viscoelastic shells at tangentional longitudinal shock loading // Proc. 2nd Int. Conf. Mech. Time-Dep. Materials, March 1-4, 1998. Pasadena, California, USA.

75. Fisher G.M.S., Gurtin M.E. Wave propagation in the linear theory of viscoelasticity// Quart. Appl. Math. 1965. - Vol.23, №3. - P.257-263.

76. Galaev S.V., Bajanova N.S. Transient Transverse Waves in Cylindrical Viscoelastic Shells// Exp. abstr. of papers presented at the 6th Conf. "Shell Structures, Theory and Applications", Gdansk-Jurata (Poland), October 12-14, 1998. -P.123-124.

77. Gurtin M.E., Herrera I. On Dissipation Inequalities and Linear Viscoelastisity// Quart. Appl. Math. 1965. - Vol.22, №4. - P.360-364.

78. Herrera I., Gurtin M.E. A Correspondence principle for viscoelastic wave propagation// Quart. Appl. Math. 1965. - Vol.23, №3. - P.235.

79. Hua Zhuxin, Uni-axial stress response of three-dementional viscoelastic body in the integral form// Mech. and Pract. 1992,- Vol.14, №4.- pp.46-47.

80. Kaplunov Ju.D. On the quasi-front in two-dimensional shell theories. C.R. Acad. Sci.Paris. -1991. -1.313, II. P.731-736.131

81. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. Academic Press, San Diego, 1998. 226 p.

82. Kolsky H. Propagation of stress pulses in viscoelastic solids// Phil. Mag. -1956. Vol. 1, №8. - P.693-709.

83. Lee E.H., Kanter I. Wave Propagation in Finite Rods of Viscoelastic Material// J. Appl. Phys. 1953. - Vol.25. - P. 1115.

84. Lee E.H., Morrison J.A. A comparison of the propagation of longitudinal waves in rods of viscoelastic materials// J. Polymer Sei. -1956. Vol. 19, №91. -P.93-110.

85. Lee E.H. Viscoelastic stress analisis // Proc. 1st Symp. Naval Struc. Mech., New York. 1960.

86. Nigul U. Regions of effective application of the methods of three-dimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves in shells and plates// Int. J.Solids and Structures. 1969. - Vol.3. - P.607-627.

87. Volterra V. Sulle equazioni integro-differenziali della teoia dell'elasticita// Atti Reale Accad. Lincei. 1909. Vol. 18, №2. - P.295.

88. Volterra V. Theory of Functionals, Blackie, London, 1930.

89. Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differentional Equations, New York, 1959.