Продольные колебания цилиндрических оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Поддаева, Ольга Игоревна
АВТОР
|
||||
|
кандидата технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ПОДЦАЕВА ОЛЬГА ИГОРЕВНА ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела.
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Москва 2005
Работа выполнена в Московском государственном строительном университете
Научный руководитель:
Научный консультант:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
доктор технических наук,
профессор Егорычев Олег Александрович
кандидат технических наук доцент Егорычев Олег Олегович
доктор технических наук, профессор Филиппов Игорь Григорьевич кандидат технических наук Мишулин Аристоник Александрович
ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко
-Se
Защита состоится " 2005 г. в часов на заседании
диссертационного совета Д 212.138.12 при Московском государственном строительном университете по адресу: 113114, г. Москва, Шлюзовая наб., 8, аудитория №
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.
Автореферат разослан " ^^J/) # 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Анохин Н.Н.
же* гит б
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность темы.
При проектировании и строительстве различных инженерных сооружений необходим расчет несущих элементов конструкций на действие различных внезапно возникших динамических нагрузок. Поэтому, изучение динамического поведения элементов подземных инженерных сооружений с учетом свойств материала и влияния окружающей среды при динамическом воздействии (например, сейсмическая волна) представляет собой актуальную проблему.
Одним из элементов современных подземных сооружений являются трубы и трубопроводы различного назначения, которые чаще всего рассматриваются как круглые цилиндрические оболочки, результаты решения могут быть применены не только при расчете трубопроводов, но и при расчете напряженно-деформированного состояния стенок метрополитенов, различных шахт и других подземных сооружений.
Цель работы. Вывод общих уравнений о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупру-гой среде, получение приближенных, имеющих конечные значения производных, уравнений колебаний цилиндрической оболочки, сравнение полученных результатов с ранее полученными классическими результатами и решение практически важных задач.
На защиту выносятся.. Общие уравнения продольных колебаний цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, основанные на них приближенные уравнения продольных колебаний цилиндрической оболочки, решение конкретных прикладных задач продольных колебаний.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Выведены общие уравнения продольных колебаний вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде;
2. Сформулированы приближенные уравнения продольных колебаний цилиндрической оболочки;
3.Определена область применимости приближенных уравнений;
4. Решена задача о собственных продольных колебаниях;
5. Решена задача о вынужденных продольно-радиальных колебаниях вязкоупругой цилиндрической оболочки;
Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения приближенных уравнений продольно-радиальных колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде к актуальным прикладным задачам.
Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости и вязко-упругости. Достоверность общих и основанных на шш утопиошшт 'уравнений и решений частных задач подтверждается стро! о^'мУШатйжСвоиЛтоетанов-
кой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.
Апробация работы. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освящены в пяти статьях.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Работа изложена на 99 страницах, в том числе включает 7 рисунков.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Во введении обосновывается тема диссертации, раскрывается содержание работы, излагаются основные положения, которые выносятся на защиту.
Обзор работ посвящен современному состоянию вопросов о распространении волн в упругих и вязкоупругих средах, анализу публикаций отечественных и зарубежных авторов по распространению волн и теориям колебаний оболочек.
Фундаментальные исследования, связанные с проблемами стационарного и нестационарного поведения сплошных сред, содержатся в работах H.A. Алу-мяэ, С.А. Амбарцумяна, Н.К. Арутюняна, В.В. Болотина, И.Н. Векуа, Г.С. Варданяна, A.C. Вольмира, A.JI. Гольденвейзера, И.Т. Селезова, А.Н. Гузя, В.М. Даревского, М.А. Ильгамова, И.А. Кийко, H.H. Леонтьева, С.Г. Лехницкого, Х.М. Муштари, У.К. Нигули, Г.И. Пшеничного, А Я. Самогоняна, Л.И. Слепя-на, Я.С. У флянца, Г.И. Хесин и других.
Основные идеи и подходы в развитии моделей и методов для описания нестационарных процессов деформации элементов инженерных конструкций принадлежат В.В. Новожилову, И.В. Кильчевскому, Х.А. Рахматуллину, Л.И. Седову, В.З. Власову, A.A. Ильюшину, Б.ИЛобедри, А.Р., Б.Г. Кореневу, И.Г. Филиппову, O.A. Егорычеву, Ю.Н. Работнову, В.Д. Кубенко, Э.И. Григолюку,
A.Г. Горшкову, С.П. Тимошенко и другим ученым.
Известные классические уравнения удовлетворительно описывают процессы с наиболее низкочастотными колебаниями и оказались недостаточными при более высокочастотных колебательных процессах и практически не пригодными при действии кратковременных динамических нагрузок.
Поэтому предпринимались попытки уточнения уравнений колебаний. Одни из первых попыток принадлежат Л. Похгаммеру, С. Кри, Д.В. Релею и С.П. Тимошенко.
В дальнейшем, уточнением классической теории колебаний различных конструкций занимались многие авторы. В их числе Л.Г. Доннел, У.К. Нигуль,
B.И. Утешева, Я.С. Уфлянд, Е.Б. Оменицкая, A.C. Архипов, Ж.. Брид, E.H., Г.В. Морган, И. Мирски и другие.
Первая глава посвящена выводу уравнений продольно-радиальных колебаний круглых вязкоупругих цилиндрических оболочек постоянной толщины, находящихся в вязкоупругой среде методом, основанным на применении интегральных преобразований по координате и времени и использовании общих решений в преобразованных трехмерных динамических задачах линейной теории вязкоупругости с последующим привлечением известных, стандартных
разложений функций Бесселя в степенные ряды, через которые выражаются составляющие тензора напряжений и вектора перемещений.
При продольных колебаниях оболочки с учетом окружающей среды движение их материалов описывается системой интегродифференциальных уравнений:
^(АФ а) = рт
ЭФ.
О)
т ¿т' г- т ^2 9
где оператор Лапласа - А от угла 6 не зависит, т = 0 относится к материалу оболочки, т = 1 - к материалу окружающей среды, Ьт,Мп - вязкоупругие операторы, а А^ = + 2Мт, Ч'.Ф -потенциалы продольных и поперечных волн.
Продольно-радиальные колебания оболочки вызываются граничными условиями на внутренней и внешней поверхностях:
г С)
г(®> -
^+/№0 = 0;
= 0 (Г = Г1) ;
0 (г = г2);
(2)
где п и - внешний и внутренний радиус оболочки, соответственно, /г(0),/г(|) -напряжения, /0- перемещение, задаваемое источником от внешней силы. Полагаем Фш и У2т равными:
Гвт кг -со в кг
йк \ф1е"Чр ; Ч/2 = Г^и
(3)
Для Ф(т0) и ^т > после подстановки (3) в (1), получим обыкновенные дифференциальные уравнения:
</2Ф(0) 1<*Ф(0) ,
йг1 <11^
+ — г
где а\ = к1 + РтРг
г с1г 1
(4)
О,
гк°>]-\
рт -плотность материалов
¿г2 г йг
оболочки (от = 0) и среды (от =1).
Преобразованные смещения вьфажаются через модифици-
рованные функции Бесселя.
Используя стандартные разложения функций Бесселя I, и АГ,(/' = 0,1) в степенные ряды по степени радиальной координаты г в формулах для преобразованных смещений точек оболочки, т.е. для функций
и и^ получим
их выражения в виде бесконечных сумм:
л!(л +1)!
иГ^Ъи-А
+1)
[("О2]
п\(п +1)!
-Е/Г^-з
[со2]'
где а1,в]- постоянные интегрирования.
При классическом исследовании колебания цилиндрических оболочек за искомые неизвестные величины принимаются смещения точек срединной поверхности оболочки. Однако, во-первых, такой выбор не единственнен, а во-вторых, не является не самым удобным для практических расчетов, часто требуется знать смещения на поверхности самой оболочки или цилиндрической поверхности, не совпадающей со срединной поверхностью.
Введем промежуточную поверхность с радиусом г - Е, равным:
(6),где х удовлетворяет неравенству: 2 + X +у- при
этом, если х принимает одно из значений: (2 + ; + +
+ 'Пр°"
межуточная поверхность переходит во внутреннюю, срединную или внешнюю поверхность оболочки.
Введем главные части перемещений г/0,0), при г в виде:
С0) = аоАо ~ к Ра -®ю> ' = - А, В,о'
(7)
где =
1п
2
-^0)4
Выражения (5)выразим через главные части (7), получим:
и'Г = --КТ + ¿[А2" С'+(к/,Г> - -
-¿4 {дГЧГ+ВД^АЧГ -*С0)]}
ш
л!(/г + 1)!
(/г<0'0) = I {«о1" кТ + с0е?> [к КТ - ««ЧГ]}^ п=о [_(."!) J
Гл'
-<г£{*о2 +- С]} мАЧ,
»-о ^
где С0 = 1
т= О
4=1 ' А = 1
Главные части > имеют размерность смещений, а ^ имеют
размерность деформаций.
Используя соотношения (2) и (8), представим через главные части граничные условия в виде:
\2п
П
л=0 И + 1 ] 1С«!) ] '
п=0
ЧкТ+1 {0 ■- +(А2 - *2)с0ег - +а1 сое„(0))1 х
я=о л -г I ;
2л /
2
-М .....I -Г2
<+{(1+- (л2+*2)с0ег+^Г -
[(и!)2] "0 - я + 1
ч2л
2и+1
+^Г+«о2с0еГ (к/г-<О0)4(и+1)!
- £ i k"+1 кт+A^M к(Г - *
nsO n!
/" Л2,1+1 (f)
(Я+ 1)1
' \
2п+1
i п=0 ''
✓ \2п+1
[-1
I «О2 Ь С0)Pl" - 2* Г^Ш—?F^0' - £ * £ k2fe + 2D0S<°\ ) )]:
__n H.ÍW + ll. и_п
л-0
n=О
/ \2л+1
i]
2я+1
и!(и +1)
г = 1,2 ; <У, = 1; <У2 = 0; (а'Г1
<>=Л/<0)[<>]~
!(и + 1)!
Угг »
= 3 :
«■(Л2-*2)
Обращая (ю) по * и р, для нахождения , получим систему уравнений колебаний цилиндрической оболочки, находящейся в среде:
- dnv$ - £ - )=КГ1 Л0);
е, С + е2, С + V™] = [М,]" í = 1,2,
' dv > 8„ -известные операторы.
Из выражений (ю) видно, что операторы и R^ после обращения определяют реакцию окружающей среды на продольно-радиальные колебания оболочки. Отсюда заключаем, что при продольно-радиальных колебаниях оболочки реакция окружающей среды состоит из двух составляющих. Одна из этих
составляющих - Я] (оригинал оператора-изображения ) является реакцией среды на радиальные смещения оболочки, а другая Яг - является реакцией среды на действие внешнего касательного напряжения .
Система уравнений (ll) является системой общих уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической круговой вязкоупругой оболочки конечной толщины, находящейся в вязкоупругой деформируемой среде, содержащей производные функций любого порядка по координате z и времени t и
имеет бесконечно высокий порядок производных, что делает ее мало пригодной для решения прикладных задач. Поэтому вместо этой системы применяются приближенные уравнения, содержащие конечный порядок производных, описывающих волновой процесс в оболочке, т.е. эти уравнения относятся к уравнениям гиперболического типа.
Рассмотрим простейшее приближенное уравнение, получающееся из об-щих(ю), когда п = 0, т.е. в уравнениях возьмем только первые слагаемые:
В этом случае для получаем приближенные уравнения:
дУ™
- с КТ - 0++£
ОХ
? 2.
дг
■[Мо]'1/гт
(0)
£ 2.
— (1 + £>)1п—Л^1' +— 2 <? 2
1 + (1 + />)1п-
2 Эг
(12)
ак<0)
(1 + 2/?)^"^ + ^-
дУ™
дг
+ 2П
* \
&2
* 2
1л— + 2
£ П2
кТ-ЧкГГг'.
-1 /•(» .
8Г(0)
а+о^+о-ол^с-^ &
(1 + 2/))Л2<1)1П^+4 Г1 .
ЭКл
(0)
&
ХУ+Ю^Г
, Г2 2 £ г22
К? =
При простейшем приближении (я = 0), формулы для перемещений и напряжений примут вид:
Г КО) _ Г г/ (0) ^г " - У г» -
-е . дУт 2 £ &
Г яр<°>
1 г 1 I
1п—+ - X . £ 2
ЗУ«»
дг
(13) + 0(г1)
4 + (1-2/)К0>1п-
дг
2 , »"
7+ь-
У.Т \ + 0(г1);
I дУт
г 1
1---
£ 2
Г<? +
+ 4
I ак(0)
1-£> + 21п-
ЭС1
& 1
Рассмотрим случай, когда материал оболочки упругий и окружающая среда отсутствует. В этом случае система приближенных уравнений (12)имеет вид:
дК(0)
+ 0(т-2);
(0
яут
кТ+Ыг^-о-.
ог
Г яг > Г г. 2
1п
а* *
и = 1,2),
где
1-4у
(14)
2-5у
2 1-у ' 3 1-2У 4 1-2у 5 1-2У 6 1-у 1 а2 а2
1 Ь2 Ы2 ' 4 2' 2 4 2 6 р р
Здесь V - коэффициент Пуассона, к, ц - константы Ляме, Р - плотность материала оболочки.
В качестве сравнения с полученными уравнениями (14) возьмем: а) классическое Уравнение Кирхгофа - Ляме (параболическое уравнение): д2У 1 -уд2Г удРГ
+ -Г-Г—= О
дгг 2 дг1 Ь дг
1ЁК.
Ь дг
(,л
1-у д2
а4 >
+ 3-
2 дг2 дг4
IV = о
05)
б) уравнение, полученное на основе гипотезы С.П. Тимошенко:
£.^—£¿11 г дг1 г д?
и = 0;
а:2£?а—
дг
е и а2
--кЪн-
Кдгг Я д12
Я2 Л4
е А
&2
"а2 а2
и = 0;
где / =-; п =
12 12(1 - V)
; =
£ А
1 - у :
Т - угол поперечного сдвига; К -поправочный коэффициент; При этом полагается Vг (г, г, /) = [/(г, /)+г у/ {г, /)
дцг
К = '); ^ = ^ ;о-гг =0; а остальные напряжения определялись по толщине оболочки.
Полученные уравнения (14) являются более общими по сравнению с уравнениями (15) и (16), т.к уравнения (14) получены из общего решения трехмерной задачи и не содержат поправочных коэффициентов типа к, определение которых также вызывает определенные трудности.
Уравнения (15) и (16) можно получить из уравнений(14), отбрасывая в последних те или иные слагаемые.
Следует отметить, что полученная ранее аппроксимация перемещений (13):
является более общей, чем в приведенных выше приближенных уравнениях.
Для корректной постановки решения краевых задач уравнений математической физики необходимо иметь определяющие уравнения и соответствующие данной задаче граничные и начальные условия. Для вывода различных граничных условий при тех или иных условиях закрепления торца оболочки будем использовать полученные ранее выражения для перемещений и напряжений от искомых функций(13), т е. получим вид граничных условий , которые можно использовать только при решении приближенных уравнений (я = 0) .
Пусть цилиндрическая оболочка ограничена, имеет длину /. Если в качестве сечения г = г0 принять точки г = 0 и г=/,то граничные условия, например, на торце г = 0, рассматривая оболочку как трехмерное тело, имеют вид: а) свободный торец о-» = 0; агг = О
дУт ? дУт /
(1 + С)—— - (1 - Г) ГД0)-£(1 + 2 С)—+ £ (1 - 2 С) Л? V™ = 0; дг '2 & 2
ко) (18)
(1-С)_1^ + (1 + С)до) = 0 ; + КТ ~ 0»
яу СО) ду( 0)
¿^ + (1 + 04® С = 0
аг дг
б) закрепленный идеально торец £/,= 0;а„=0;
у(0) -¿гл(0) ~ 2
аут дут (19)
О-О^ + а + О^'С =0; + =0;
дг дг
в) нагруженный торец
яут £ Г ду(<»
(1 + С)—— - (1 - с)г™ -^ (1 + 2с)———(1 - 2С)!® Гг<°>] = ;
& '2 &
г) жестко закрепленный торец
иг=иг= 0;
у(0) _ у«П . у«>) _ „ МО) _ 1 (/(«) . ^ + - О •
2 2 &
(21)
д) свободное опирание на торце
г/ =£/ =<т =0;
Г 2 2Л '
(22)
Граничные условия (18) - (22) отличаются от имеющихся в научной литературе, полученных на основе предложений механического и ли геометрического характера, наличием операторов А.,, отражающих принцип Даламбера в механике, используемый при выводе уравнений колебаний в работах Филиттпо-
Вторая глава посвящена определению области применимости простейших приближенных усеченных уравнений колебаний, исследованию пределов применимости уравнений различных порядков. Общие уравнения (11) содержат производные любого порядка от главных частей перемещений промежуточной поверхности оболочки по продольной координате ъ и времени t. Их невозможно использовать при решении прикладных задач. Возникает необходимость ограничить величину производных, а тем самым ограничить количество членов ряда, т.е. ограничиться нулевым, первым, вторым и т.д. конечным приближением. Для правомерности таких усечений следует проверить сходимость функциональных рядов, входящих в эти уравнения и, следовательно, определить область применимости усеченных уравнений.
Не умоляя общности и для простоты выкладок можно предположить, что окружающая вязкоупругая среда отсутствует. Областью применимости уравнений (и) в усеченных вариантах является общая часть (пересечение) областей следующих функциональных рядов:
ва И.Г.
_ з м 1/(°) . г _ V_1 (л> 1/<°) •
И
* ч 2 )
«-о (и!)
; г4,=2Х(07 тттАГС;
(23)
Учитывая, что г, < гг будем исследовать только сходимости рядов
Г12>Г22>ГЗ2,Г42.
Ряды Г12,Г22,Гз2,Г42 можно представить в виде:
112:
л=0
/ \2п (1) Мо
1 -Н{ш)
V® V-
л=0
2 л
_ /4)
1-яИ
к(о)
М)
И Н(а>)
'¡,0 >
М>
1 -Я(да)
(24)
где Я(ш) = /2 (■?) е"* - преобразование Фурье функции /2(г).
Для сходимости рядов (24), применяя достаточный принцип Даламбера, необходимо выполнение следующих условий:
Мо
4(п + 1)(и + 2)[1-#(©)]
<1
2)а
¿2[1-Я(®)]-/7о-
Ао
4(л + 1)2 [1-ЯЙ]
<1
_Лр
4(«+1)2 [1-ЯИ]%>п+1(/-2)
<1;
/"о]
4(и + 1)(и + 2) [1 - Я(©)] 771^+1 (г2 )
<1;
(25)
Отрицательность полученных выражений справедлива для всех и>0, следовательно:
Л (^2) ., . Л^ыЫ . значит--т—г-< 1 ; -т—т-< 1 (26)
тМ ЛъАгг)
Используя неравенства (26), следует заметить, что область сходимости ряда Г32 является частью области сходимости ряда Г22, а область сходимости ряда Г42 является частью области сходимости ряда Ц2. Следовательно, пересечением этих областей, соответственно, являются ряды Г) 2 и Г22. При этом, сравнивая выражения, соответствуют рядам Г12 и Г22, замечаем,
1 1
что
т-г?-г < ---г, поэтому ограничимся нахождением и исследованием
(я + 1Д" + 2) (п + \)2
области сходимости ряда Г22:
к2 Р0<»2
<4(и + 1) , где 0 < у с 1 - посто-
~ г2 Г1
Мй[1 -Н{ю)}
янное число. Последнее неравенство представим в более удобном виде:
- <27>
Для упругого случая н(а>)=0 из (26) получаем область применимости усеченных уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки из упругого материала:
2 Г-
-у - ¿02 < £2 < — + £02 (28), где Ь = - скорость поперечной вол-
Ъ Ь \ Ро
ны. Если учесть условие 0 < Я(ю) < 1, то сравнение соотношений (27) и (28) показывает, что область применимости приближенных уравнений колебаний цилиндрической упругой оболочки меньше, чем у аналогичных уравнений для вязкоупругой оболочки. В плоскости м неравенство (28) является равносторонними гиперболами, пересекающими оси координат в точках (к0,О) и (0,®0).
Следовательно, областью применимости усеченных уравнений будет криволинейный четырехугольник в первом квадранте прямоугольной координатной системы (к,а) рис.1.
Области применимости усеченных уравнений колебаний геометрически представляют собой квадрат, вписанный в криволинейный квадрат и изображенный на рис. 1. Каждому конечному уравнению колебаний цилиндрической оболочки будет соответствовать конечная, вполне определенная площадь квадрата и чем выше порядок уравнения, тем более приближается площадь квадрата к своему максимальному значению. При п —> «з придем к общим уравнениям.
Для решения практических задач мы будем пользоваться, в основном, усеченными уравнениями при п = 0 или п = 1, т.е. такими уравнениями, которые не учитывают высокочастотные колебания. Мы будем рассматривать волны, длина которых существенно больше длины наибольшего диаметра оболочки !>2г2. Следовательно, используя такие уравнения, мы не сможем решать задачи, когда на оболочку действует сосредоточенная нагрузка.
Однако для низкочастотных процессов, что наиболее характерно для строительных конструкций, усеченные равнения достаточно полно, без использования каких-либо гипотез механики, описывают действительный процесс продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки.
аж,
кг,
рис.1
Третья глава посвящена решению задачи о собственных продольно -радиальных колебаниях тонкой цилиндрической свободно опертой по торцам упругой оболочки, находящейся в упругой среде. В этом случае поверхность оболочки свободна от нагрузок.
При решении задачи используются общие уравнения продольных колебаний оболочки и выражения для перемещений и напряжений через неизвестные искомые функции, полученные в предыдущей главе. Искомые функции выбираются в точках промежуточной цилиндрической оболочки которая при гх =0(/1 - внутренний радиус цилиндра) переходит в ось цилиндра, при малых
значениях (г2 - внешний радиус цилиндра) близка к срединной цилинд-
гг
рической поверхности. Из общих выражений для перемещений получаем приближенные выражения:
гЗУ®
О)
V. = У}?; иУ~У$[£ + (1 + ?1')^
2 42 £ &
и аналогично для напряжений о,у.
Где - главные часта приращений; Ч\ = 42 ~ 2-2у '
Для данной постановки краевой задачи, уравнения колебаний можно представить в виде:
»г + ^ = 0;
дг Г[ дг
аг{г1)~:
зкЛ>
&
= 0;
2
^ - л,!) ^+вд г +4] ^+
Ъг г дг
^ ' Йг2
, , ™ п-Ъ I а(я1 . „ _ К , , _ А . , . ,,
(/ = 1,2), где -• а< ~-> --> - константы
L V Л) /"о А Л
Ляме, р0> А - плотность, v0 - коэффициент Пуассона.
1-у0 ' 1-у, 3 \-2У0 ' 1-2 V/
» З-Ч. у ,3(1-3^), Ъ1 52 3» т_Э2 Э2 5 1-2у0 6" 1-у. ' * а] д? дг1 ' ^ 812 ск1
В связи с тем, что торцы оболочки свободно оперты, граничные условия можно представить в виде:
а2 к(0) ,, a2 f(0)
т/О) _ ° у',0 _ о. F(0) _ 0
при z - 0 и z = 1 (з)
_= 0" = ' '• = 0 •
г и> я г и>
z oz
аг az3 ~ ' dz dz3 ~ ' Представим функции, входящие в уравнение (2) в виде:
V$ = £ W0Jt)sin(rmz); V<<?=£ W^ (t) sin [ym z);
m=0 m=0
Vfo' = I ^ (<) cos z); V® = £ wxm (f) cos {jm z);
(4)
m*=0 m=0
где = , / - длина оболочки, /я = 0,1,2...
В этом случае граничные условия (з) выполняются автоматически.
После подстановки выражений (4) в систему уравнений (2) и проведения необходимых преобразований получим обыкновенное дифференциальное уравнение шестого порядка:
d6w , d5w , aV , a3r , e2w , sw , . , ч
—T- + d\—r + d 2—r + d3-—r + d4—r + di~X~ + d6W = ° (5)
dt6 1 &t5 2 ar4 3 dt3 dt1 st
d, - коэффициенты, зависящие от v0,rl,r2,m,l.
Рассмотрим случай, когда окружающая среда отсутствует, следовательно,
d6W d*W d2W D = о и тогда уравнение принимает вид: 6 + d2 + d4 +d6 - 0 (б)
Следует заметить, что любая из функций W0 m; Wl m ; Wlm и Wim обязана удовлетворять уравнениям (5) и (б), т.е. W- любая из названных функций. Полагая Wm=Bm е"' в этих уравнениях, получим соответствующее частотное уравнение (здесь В = const). Так, например, уравнение (б) можно представить частотным уравнением шестого порядка в виде: a6 +d2a* +d4a2 +d6 = 0 (7) Решая это уравнение, находим значения частот собственных колебаний при различных значениях v0 и m (рис.2,3).
2,5 2 1 5 -1 -0,5 -0
1,1 1,05 -1 ■ 0,95 0.9 0,85 -
0,4 "О
рис.2 рис.3
Здесь /-, = 1, г2= 1,05
Четвертая глава посвящена решению частной задачи о распространении волн в упругих и вязкоупругих круглых цилиндрических оболочках на основе приближенных уравнений, полученных в предыдущих главах. Параграф 1 посвящен рассмотрению переходного процесса деформации круговой вязкоупругой оболочки постоянной толщины, возбужденного нагрузкой, действующей на торец.
Для решения данной задачи за основные разрешающие уравнения принимаются уравнения осесимметричных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, полученные в главе 1, учитывающие деформацию продольно-поперечного сдвига и инерцию вращения. В случае, когда поверхность оболочки свободна от нагрузок уравнения в безразмерных переменных имеет вид:
г, , а*у(°) ^ , я4т/(°) , яМ«)
д? дг'
дг'
аI2
дг 1-2у
Яг,
эх
2,0
2у-
ы1 дУ®
дгу(»)
-2(1 + ^)^-/1=0;
дг'
дг
(1-2 у)
1п>; 1
2(1 —V) 2
1-2У , 1
—--И1Г, + —
2(1-у) 2
дг
(О
ар
где Ь\ - Р,; ЙГ0 =1- ;
Ръ =
дг
2 1(Ы г,
211-у
Г,2-Л2
2
т; 1-у
дг
1-удг2
2
1пг,+ —
К
1 |2
э_ а2
■&2
v = const- коэффициент Пуассона, K(t-r) - произвольное интегрируемое ядро вязкоупругого оператора, г{ и гг - радиусы внутренней и внешней поверхности оболочки, У^, F® - главные части продольного перемещения U2.
Пусть осесимметричный волновой процесс деформации полубесконечной круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки возбужден внезапно включенной нормальной нагрузкой на торце, тогда граничные условия задачи имеют вид:
а) при z=0
1 + v F{t)
-(Т„ =--—; а = О,
Е 1-у
(2)
где F(i) - импульс приложенной нагрузки
б)при z -> оо ит=иг= 0. Начальные условия нулевые.
Для определения неизвестных функций , vjf , И"' из уравнения (l) применим преобразование Лапласа по времени, используя граничные и начальные условия (2). Получим
гАЛ
—(о)
у j =
а.
■г У
Пр)
-щ,
ЛГ4—-+JV5--
«> »2 )
—(0) у j =
У г, о = •
-+К
-+лг,,
"1 У
i и ^
Пр)
f „-<*? „ аг' „-А* Л
Nl5 — + Nl6^— + N„e
'is
«1 " «2 " А
(з)
где - коэффициенты, зависящие от v ,г\ ,г2.
2
2 (1 + v)1
4(1 +v)
1-у
А
Для произведения обратного преобразования искомые функции будем обращать при больших значениях р. Для этого преобразования ядра вязкоупругого оператора £>г{р) представим в виде:б2(р)= р2 +Ь1р + Ь2, где
" се п-1 я Г 1 1V ь{ = X— ; ъг = £ 5>м а,---тт ,г, - времена релаксаций, ат, а, - вяз-
т^Тт и=1/-1+т Г,)
коупругие параметры среды. Обратив (3), получим:
= ['е^ Ф((- г)/„(Г,7г2-г2) ¿г - М2 [ Ф(* - т)10 (г^т1-*2) йх ;
V® = Ф(/ -г)/0 ¿г + ЛГ5 Ф(* -г)/0 (у2Л2-22) ¿Г ;
/
где
Рассмотрен пример численного расчета для момента безразмерного времени г, = 10 материала оболочки со следующими характеристиками: а, =0,78 ; а2 =0,18 ; а3 =0,1; г, = 80 лпес., г2 =0,14-106л<те., г3 =0,\\Л01 мкс.
к(г) = е ^ , внешняя нагрузка /(г)=го и\п2\— ;
На рис.4 представлен график зависимости радиальных перемещений внутренней -(1), срединной -(2) и внешней (з) поверхности цилиндрической оболочки.
с.
Л;
рис.4
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
Представленные в диссертационной работе результаты сводятся к следующим:
1. Рассматриваемый подход к выводу общих уравнений продольных колебаний цилиндрической оболочки позволяет получать приближенные уравнения любого конечного порядка по производным от искомых функций и формулы для расчета напряженно-деформированного состояния точек цилиндрической оболочки.
2. Определена область сходимости функциональных рядов и определена область применения приближенных уравнений колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, т.е. определен радиус сходимости ряда.
3.Решены и аналитически исследованы некоторые частные задачи продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки:
• О собственных продольно - радиальных колебаниях тонкой цилиндрической свободно опертой по торцам упругой оболочки, находящейся в упругой среде;
• О нормальном ударе по торцу цилиндрической оболочки;
4.Полученные в диссертационной работе результаты позволяют решать широкий класс прикладных задач колебаний в области строительной механики, а также могут быть применены в других областях сейсмологии, техники и т.д.
Основное содержание работы опубликовано в следующих статьях:
1.Егорычев O.A., Подцаева О.И. Исследование области применимости приближенных уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки. Сборник докладов ХШ словацко-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2004 г.
2.Егорычев O.A., Подцаева О.И. Продольный удар по торцу круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки. Сборник докладов третьей научно-практической и учебно-методической конференции "Фундаментальные науки в современном строительстве",МГСУ, 2003 г., с.20-24.
3.Егорычев O.A., Подцаева О.И. Собственные продольно-радиальные колебания цилиндрической оболочки. Журнал ПГС, 2005 г.
4.Егорычев O.A., Подцаева О.И. Нестационарные продольно-радиальные колебания круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде. Сборник докладов XIV словацко-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2005 г.
5.Егорычев O.A., Подцаева О.И. Нормальный удар по торцу цилиндрической оболочки. Журнал "Строительная механика и расчет сооружений", № 1,2005 г.
Лицензия ЛР № 020675 от 09 12 97
Подписано в печать 2? Ю. Об Формат 60x84 1/16 Печать офсетная И- Объем л. Т. 50 Заказ Ж
Московский государственный стротельный университет Типография МГСУ. 129337, Москва, Ярославское т., 26
fi
с
I
i
Р23 02 8
РНБ Русский фонд
2006-4 27764
ê
стр.№
Введение.
Глава 1. Продольные колебания цилиндрической оболочки постоф янной толщины, взаимодействующей с деформируемой средой.
1.1. Общая постановка задачи. 1.2. Уравнения продольно-радиальных колебаний круглых вязкоуп- 15 ругих цилиндрических оболочек постоянной толщины, находящихся в вязкоупругой среде.
1.2.1. Метод вывода уравнений колебаний цилиндрических оболо- 15 чек.
1.2.2. Вывод общих уравнений колебаний цилиндрической вязкоупругой оболочки и вязкоупругой окружающей среды.
Ф 1.2.3. Представление системы уравнений продольно-радиальных 31 колебаний цилиндрической оболочки в виде различных уравнений относительно искомых функций.
1.2.4. Частные виды уравнений продольно-радиальных колебаний 33 цилиндрической оболочки.
1) Предельные случаи.
2) Приближенное уравнение колебаний.
1.2.5. Исследование приближенных уравнений продольно- 40 радиальных колебаний цилиндрической оболочки.
1.2.6. Граничные условия на торце круглой цилиндрической обо- 42 лочки.
Глава 2. Исследование пределов применимости приближенных уравнений продольных колебаний цилиндрической оболочки.
2.1. Область применимости усеченных уравнений колебаний ци- 47 ® линдрической оболочки.
Ч| Глава 3. Собственные продольно-радиальные колебания цилиндрической оболочки.
3.1. Задача о собственных продольно- радиальных колебаниях цилиндрической свободно опертой по торцам оболочки. ф
Глава 4. Неустановившиеся продольно-радиальные колебания круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки.
4.1. Нормальный удар по торцу круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки.
Развитие различных областей современного естествознания и запросы инженерной практики постоянно выдвигает новые теоретические и прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. К таким задачам относятся задачи совершенствования моделей нестационарного поведения материалов с учетом анизотропных, вязкоупругих и других свойств. Разработка методов эффективного определения деформативных и прочностных характеристик материалов как в рамках известных и классических, так и в рамках усовершенствованных моделей в условиях взаимодействия с окружающей средой и действия внешних динамических нагрузок.
Решению этих задач посвящено большое количество исследований.
Основные идеи и подходы в развитии моделей и методов для описания нестационарных процессов деформации элементов инженерных конструкций принадлежат В.В. Новожилову, И.В. Кильчевскому, Х.А. Рахматуллину, Л.И. Седову, В.З. Власову, A.A. Ильюшину, Б.И.Победри, А.Р., Б.Г. Кореневу, И.Г. Филиппову, O.A. Егорычеву, Ю.Н. Работнову, В.Д. Кубенко, Э.И. Гри-голюку, А.Г. Горшкову, С.П. Тимошенко и другим ученым.
Фундаментальные исследования, связанные с проблемами стационарного и нестационарного поведения сплошных сред, содержатся в работах H.A. Алумяэ, С.А. Амбарцумяна, Н.К. Арутюняна, В.В. Болотина, И.Н. Ве-куа, Г.С. Варданяна, A.C. Вольмира, A.JI. Гольденвейзера, И.Т. Селезова, А.Н. Гузя, В.М. Даревского, М.А. Ильгамова, И.А. Кийко, H.H. Леонтьева, С.Г. Лехницкого, Х.М. Муштари, У.К. Нигули, Г.И. Пшеничного, А.Я. Са-гоманяна, Л.И. Слепяна, Я.С. Уфлянца, Г.И. Хесин и других.
Распространение нестационарных волн в упругих и вязкоупругих средах, а также вопросы колебаний стержней, пластин и оболочек изучались Ю.Н. Бабичем, А.Е. Богдановичем, В.Т. Гринченко, O.A. Егорычевым, С.С. Кохманюком, Г.И. Петрашенем, Э.В. Хиненом, И.Т. Селезовым, И. Мирски и другими.
Следует отметить, что достаточно полный обзор работ, опубликованных до 1972 г. и посвященных колебаниям стержней, пластин и оболочек приведены в обзорной монографии Э.И. Григолюка и И.Т. Селезова [22].
Изучению напряженно-деформируемого состояния элементов различных инженерных конструкций, вызванного в результате неизотермических процессов, посвящено большое количество отечественных и зарубежных исследований. К ним относятся работы В.И. Андреева, A.A. Ильюшина, Б.Е. Победри, Л.П. Хорошуна, A.B. Лыкова, В. Новацкого, М.А. Био, P.M. Кри-стенсена, П.М. Нахди, С.К. Гюнтера и других.
Среди различных подходов к решению задач динамики упругих и вяз-коупругих стержней, пластин и оболочек особое место занимают исследования динамического поведения этих систем на основе приближенных уравнений колебаний.
Известные классические уравнения удовлетворительно описывают процессы с наиболее низкочастотными колебаниями и оказались недостаточными при более высокочастотных колебательных процессах и практически не пригодными при действии кратковременных динамических нагрузок.
Поэтому предпринимались попытки уточнения уравнений колебаний. Одни из первых попыток принадлежат Л. Похгаммеру, С. Кри, Д.В. Релею и С.П. Тимошенко.
В дальнейшем, уточнением классической теории колебаний различных конструкций занимались многие авторы. В их числе Л.Г. Доннел, У.К. Ни-гуль, В.И. Утешева, Я.С. Уфлянд, Е.Б. Оменицкая, A.C. Архипов, Ж. Брид, E.H., Г.В. Морган, И. Мирски и другие.
В большинстве работ указанных авторов приближенные уравнения получены, исходя из предпосылок и гипотез механического и геометрического характера.
Ряд работ посвящен критическому анализу применяемых гипотез. Так, например, в работе В.В. Новожилова и P.M. Финкельштейна указано, что гипотезы Кирхгофа - Лява в теории оболочек приводят к значительным погрешностям и даны оценки этим погрешностям.
Теории колебаний, основанные на модели С.П. Тимошенко, также основаны на ряде гипотез, хотя приближенные уравнения относятся к уравнениям гиперболического типа и учитывают деформацию сдвига и инерцию вращения.
Таким образом, анализ литературы показывает, что теория колебаний упругих и вязкоупругих цилиндрических оболочек обоснована не полностью, а с учетом уточняющих.факторов механического и геометрического характера, а также учета внешней окружающей среды, развита слабо. Поэтому дальнейшее развитие приближенных, строго обоснованных теорий колебаний является актуальной.
Основным вопросом в теории колебаний вязкоупругих цилиндрических оболочек, находящихся в вязкоупругой среде, является математически обоснованная постановка краевой задачи: вывод общих и основанных на них приближенных уравнений колебаний, формулировка граничных условий на торце цилиндра и обоснование необходимого числа начальных условий без привлечения каких-либо гипотез механического и геометрического характера.
Для вывода общих уравнений колебаний в работе опирались на теорию построений уравнений колебаний, основанную на математическом подходе, который наибольшее развитие получил в работах И.Г. Филиппова [89] (1988 г.) и его учеников. Этот подход, подробно изложенный в первой главе, отличает относительная свобода от большинства предварительных гипотез и дает возможность свести трехмерную задачу к двумерной, а также позволяет однозначно сформулировать начальные и граничные условия.
Данная диссертационная работа посвящена выводу общих уравнений о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, получению приближенных, имеющих конечные значения производных, уравнений колебаний цилиндрической оболочки и решение частных задач.
Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
1. Выведены общие уравнения продольных колебаний вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде;
2. Сформулированы приближенные уравнения продольных колебаний цилиндрической оболочки и определена область их применения;
3. Решена задача о собственных продольных колебаниях;
4. Решена задача о вынужденных продольно-радиальных колебаниях вязкоупругой цилиндрической оболочки;
Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения полученных общих и приближенных уравнений продольно-радиальных колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде к актуальным прикладным задачам.
Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости и вязкоупругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Заключение
1. Основой развиваемого в работе математического подхода к исследованию продольно-радиальнгых колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, является концепция рассмотрения цилиндра как трехмерного деформируемого тела, решения трехмерных уравнений динамики такого тела посредством применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа, построения общих решений краевых задач в преобразованиях, разложение напряженно-деформируемого состояния тела по степени радиальной координаты, определение искомых функций из трехмерных граничных условий при заданных внешних нестационарных усилий и напряжений.
2. В работе сформулированы основные краевые задачи продольно-радиальных колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, получены общие и приближенные уравнения без привлечения каких-либо дополнительных гипотез и предположений механического и геометрического характера.
3. Определена область сходимости функциональных рядов и определена область применения приближенных уравнений колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, т.е. определен радиус сходимости ряда.
4. Исходя из приближенных выражений для напряжений и перемещений получена новая редакция записи граничных условий на торце цилиндра при расчете продольно-радиальных колебаний, которые согласуются с принципами Даламбера в механике и отличаются от имеющихся в научной литературе.
5. При решении частных практических задач показано, что
• полученные формулы для определения значений частот собственных продольно-радиальных колебаний цилиндра постоянной толщины удобны для практического использования;
• возможно получение аналитического решения задачи о воздействии нормальной нагрузки на торец цилиндра в виде конечных формул;
6. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют решать широкий класс прикладных задач колебаний в области строительной механики, а также могут быть применены в других областях сейсмологии, техники и т.д.
Основное содержание работы опубликовано в следующих статьях:
1.Егорычев O.A., Поддаева О.И. Исследование области применимости приближенных уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки. Сборник докладов XIII словацко-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2004 г.
2.Егорычев O.A., Поддаева О.И. Продольный удар по торцу круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки. Сборник докладов третьей научно-практической и учебно-методической конференции "Фундаментальные науки в современном строительстве",МГСУ, 2003 г., с.20-24
3.Егорычев O.A., Поддаева О.И. Собственные продольно-радиальные колебания цилиндрической оболочки. Журнал ПГС, 2005 г.
4.Егорычев O.A., Поддаева О.И. Нестационарные продольно-радиальные колебания круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде. Сборник докладов XIV словацко-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2005 г.
5.Егорычев O.A., Поддаева О.И. Нормальный удар по торцу цилиндрической оболочки. Журнал "Строительная механика и расчет сооружений", № 1, 2005 г.
1. Алумяэ H.A. О применимости метода расчленения напряженного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки // Изв.АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук.-1961.-10,№3. -С.171 -181.
2. Алумянэ H.A., Паверус Л.Ю. Переходный процесс упругой деформации круглоцилиндрической оболочки при неосесимметричной краевой нагрузке // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук.-1963. № 1. с.13-23.
3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-446 с.
4. Аникьев И.И., Воротникова М.И., Кононенко B.C. Некоторые экспериментальные результаты по воздействию боковой ударной волны в воде на цилиндрические оболочки//Прикл. механика.- 1971.-7, № 9.- с. 106-109.
5. Артюхин Ю.П. Определение напряжений в ортотропной цилиндрической оболочке при действии сосредоточенной силы // Исследования по теории пластин и оболочек.-Казань: изд-во КГУ, 1967.- № 5. с.148-152.
6. Бабич Ю.Н. Трехмерные волновые процессы в составных полых цилиндрах, взаимодействующих с окружающей средой // Пробл. прочности.-1980,-№3.-с. 101-104.
7. Бешенкова В.И., Кохманюк С.С. Нестационарные колебания цилиндрической оболочки при односторонней связи с упругим инерционным заполнителем // Динамика и прочность машин (Харьков).-1988.- № 47.- с.66-72.
8. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. Рига: Зинатне, 1987.-295 с.
9. Богданович А.Е., Столярова JI.A. О влиянии граничных условий на частоты собственных колебаний композитных цилиндрических оболочек с заполнителем // Механика композитных материалов.- 1980.- № 1.- с.62-72.
10. Болотин В.В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемого газа // Инж.сборник.- 1956.- 24.- с. 3-16.
11. Болотин B.B. Современные направления в области динамики пластин и оболочек // Теория пластин и оболочек. Киев: Наук.думка, 1962.- с. 16-32.
12. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980,- 376 с.
13. Варданян Г.С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела.- М.: изд-во МИСИ, 1980.- 104 с.
14. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок // Изв. АН СССР.-1957.-№ 12.- с.57-60.
15. Власов В.З. Общая теория оболочек.-M.-JT.: ГИТТЛ, 1949.- 784 с.
16. Власов В.В., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. -М.: Физматгиз, 1960.-491 с.
17. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. -М.: Наука, 1979.-320 с.
18. Гаврилов Ю.В. Определение частот собственных колебаний упругих круговых цилиндрических оболочек // изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение.- 1961.-№ 1.- с. 163-166.
19. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек.-Л.: Судостроение, 1974.-208 с.
20. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Удар и погружение. Л.: Судостроение, 1976.- 200с.
21. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Сер. Механика тверд, деформир. тел.- Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1973. -272 с.
22. Гордиенко Б.А. Динамика ортотропных цилиндрических оболочек при осевом ударе // Механика полимеров.- 1977.- № 5.- с.892-895.
23. Горшков А.Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми преградами // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформир. твердого тела. Т.13.-М.: ВИНИТИ, 1979.- 105-186.
24. Горшков А.Г. Нестационарные взаимодействия пластин и оболочек со сплошными средами // Изв. АН СССР. МТТ.- 1981.- № 4. с. 177-189.
25. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамическая контактная задача для круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства // прочность пластин и оболочек при комбинир. Воздействиях.- М.: 1987.- с. 16-25.
26. Григорьев Е.Т., Красников A.B., Щербак J1.B. Экспериментальное исследование нагружения горизонтальной цилиндрической оболочки с жидкостью при ударе о преграду // Колебания, прочность и устойчивость слож. мех. систем. — Киев: 1979. с.81-85.
27. Гринченко В.Т., Комисарова Г.Л. Свойства нормальных неосимметричных волн в толстостенном цилиндре, заполненном жидкостью // Прикл. механика. 1988.- 24. - № 10. - с. 15-20.
28. Гузь А.Н. Распространение волн в цилиндрической оболочке с вязкой сжимаемой жидкостью // Прикл. Механика. 1980. -16. - № 10. -с. 10-20.
29. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек. Киев: Наук. Думка, 1982. - 280 с.
30. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Бабаев А.Э. Гидроупругость систем оболочек. Киев: Вища школа, 1984. - 208 с.
31. Даревский В.М. Об основных соотношениях теории тонких оболочек // ПММ. 1961.-25. - № з. с. 519-535.
32. Дудченко A.A., Образцов И.Ф., Лурье С.А. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Механика дефор. Тверд. Тела. Т.15.-М.:ВИНИТИ, 1983.-c.3-68.
33. Егорычев O.A., Поддаева О.И. Исследование области применимости приближенных уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки. Сборник докладов XIII словацко-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2004 г.
34. Егорычев O.A., Поддаева О.И. Собственные продольно-радиальные колебания цилиндрической оболочки. Журнал ПГС, 2005 г., с.28-29.
35. Егорычев O.A., Поддаева О.И. Нестационарные продольно-радиальные колебания круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде. Сборник докладов XIV словацко-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2005 г.
36. Егорычев O.A., Поддаева О.И. Нормальный удар по торцу цилиндрической оболочки. Журнал "Строительная механика и расчет сооружений", № 1,2005 г.
37. Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Масанов Ж.К. Сейсмонапряженное состояние подземных сооружений в анизотропном слоистом массиве. Алма-Ата: Наука Каз. ССР, 1980.-212 с.
38. Жигалко Ю.П. К вопросу о расчете тонких цилиндрических оболочек при радиальных нагрузках // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: изд-во КГУ, 1964. № 2.- с.3-9.
39. Жигалько Ю.П. О фундаментальном решении температурной задачи для круговой цилиндрической оболочки // Прикл. Механика. 1965. - 4.-№ 1.-е.
40. Зволинский Н.В. Волновые задачи в теории упругости непрерывной среды // Изв. АН СССР. Механика. 1965.- № 1. -с .3-12.
41. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Расчет оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1987.-260 с.
42. Ильгамов М.А., Камалов А.З. Колебания цилиндрической оболочки конечной длины в акустической среде // Исследование по теории пластин и оболочек.- Казань: изд-во КГУ, 1966,- с.367-376.
43. Ильясов М.Х., Гасанов А.Х. Нестационарная задача о продольном ударе по вязкоупругому цилиндру конечной длины // Изв. АН АзССР. Сер.физ.-техн.и мат.наук. -1986.-7.-№ 3.- с. 50-57.
44. Камалов А.З. Колебания цилиндрической оболочки, содержащей жидкость // Матер. Юбилейной конф. КФТИ АН СССР. Казань: 1966.-С.12-15.
45. Кармишин A.B., Скурлатов Э.Д., Старцев В.Т., Фельдштейн В.А. Нестационарная аэроупругость тонкостенных обол очечных конструкций. -М.: Машиностроение, 1982. -240 с.
46. Кийко И.А., Ахмедов Я.Э. Вязкоупругая цилиндрическая оболочка, заполненная жидкостью, под действием осевой ударной нагрузки // Вестник МГУ. Сер. Мат. И механика. -1976.-№ 2.-С.103-108.
47. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах.-М.-Л.: ИЛ, 1955. -192 с.
48. Кохманюк С.С., Титарев В.Г. Нестационарное неосесимметричное деформирование цилиндрической оболочки на упругом основании при импульсном нагружении // Пробл. машиностр.-1985.-№ 24.- с. 12-15.
49. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости.- М.: Мир, 1974.-338с.
50. Кудайназаров К. Продольные колебания круговой цилиндрической оболочки конечной толщины // Изв. АН УзССР.
51. Кудайназаров К. Продольный удар по круговой цилиндрической вязко-упругой оболочке // Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук. -1990.- № З.-с.31-37.
52. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. м.: Наука, 1977.-416 с.
53. Ляв А. Математическая теория упругости. -М.-Л.: ОНТИ, 1935.- 674 с.
54. Маниенко В.Ф., Скурлатов Э.Д., Фельдштейн В.А. Экспериментально-теоретическое исследование переходных процессов деформации и устойчивости цилиндрических панелей под действием набегающей волны давления // Пробл. Прочности.-1974.-№ 10.- с. 21-25.
55. Мнев E.H., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек.- Л.: Судостроение, 1970.- 290 с.
56. Мовсисян Л.А. Продольный удар по цилиндрической оболочке // Изв. АН АрмССР. Сер.физ.-мат.наук.-1964.-17.-№ 5.- с.43-46.
57. Муравский Г.Б., Гаррыев Э.А. Гармонические колебания цилиндриче-ско оболочки в упруго-наследственной среде // Строит. Механика и расчет сооружений. 1989.- № 5.- с. 26-30.
58. Нигуль У.К. Линейные уравнения динамики упругой круговой цилиндрической оболочки, свободные от гипотез // Тр. Таллине. Политехи. Ин-та. серия А.-1960.-№ 176.-67с.
59. Нигуль У.К. О применимости приближенных теорий при переходных процессах деформации круговых цилиндрических оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Баку, 1966. М.: Наука, 1966.- с.593-599.
60. Новичков Ю.Н. Распространение волн в слоистых цилиндрических оболочках // Изв. АН СССР. МТТ.-1973.- № 2. с. 51-60.
61. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судпромгиз, 1962. -431 с.
62. Новожилов В.В., Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // ПММ.- 1943.-7.- № 5.- с.ЗЗ 1-340.
63. Оменицкая Е.Б. распространение коротких волн в цилиндрической оболочке//ПМ.-1970.-№ 10.- с.60-65.
64. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследования по упругости и пластичности. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1966.-№ 5.-C.3-33.
65. Петрашень Г.И., Хинен Э.В. Об инженерных уравнениях колебаний неидеально-упругих пластин // труды МИАН. Т.95. Л.: Наука, 1968.-с.151-183.
66. Петрашень Г.И., Хинен Э.В. Об условиях применимости инженерных уравнений неидеально-упругих пластин // Вопросы динамики теории распространения сейсмической волны. № 11.-М.: Наука, 1971.-С.48-56.
67. Пауткин А.М. Нестационарная осесимметричная деформация цилиндрической оболочки.// Современные вопросы гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики. -М.:1986. -с.80-83.
68. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции.- М.: Наука, 1983.-750 с.
69. Пшеничнов Г.И. Свободные и вынужденные колебания тонкой упругой цилиндрической оболочки открытого профиля. -М.: Наука, 1967.- 100с.
70. Рахматуллин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при кратковременных интенсивных нагрузках. М.: Физматгиз, 1961. - 399 с.
71. Самогонян А .Я. Волны напряжения в сплошных средах.- М.: МГУ, 1985.-416 с.
72. Селезов И.Т. Исследование распространения упругих волн в плитах и оболочках // Труды конф. По теории пластин и оболочек. 1960. -Казань: 1961.-С.347-352.
73. Селезов И.Т. О волнах в цилиндрической оболочке // Теория пластин и оболочек.- Киев: Изд-во АН УССР, 1962.- с. 249-253.
74. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики.- Л.: Судостроение, 1980.-344 с.
75. Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости. Киев: Наук. Думка, 1975.-564 с.
76. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ.- М.: Машиностроение, 1985. 472 с.
77. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1972.-435 с.
78. Тюманок А. Неустановившееся осесимметричное колебание цилиндрической оболочки, возбуждаемое подвижной нагрузкой // Изв. АН ЭССР. Т. 14. Сер. Физ.-мат. и техн. наук.- 1985.- № 3.- с. 414-421.
79. Утешева В.И. Приближенные уравнения динамики упругого стержня кругового поперечного сечения // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение.-1963.-№ 4.- с. 154-161.
80. Филиппов И.Г. Уточнение уравнений колебаний вязкоупругих пластин и стержней // Прикл. Механика.- 1986. 22, № 2.- с. 71-78.
81. Филиппов И.Г. Динамика фундаментов переменной жесткости, взаимодействующих с деформируемым основанием // строит. Механика и расчет сооруж.- 1989.- № 2.-С.49-51.
82. Филиппов И.Г. Приближенный метод решения динамических задач для вязкоупругих сред // ПММ.- т.43.-1979.-№ 1.- с. 133-137.
83. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Волновые процессы в линейных вязко-упругих средах.-М.: Машиностроение, 1983.-272 с.
84. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Приближенные уравнения нестационарных колебаний толстостенной круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук.- 1980. № 2.- с.41-45.
85. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Уточнение уравнений продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Прикл. механика. 1990.- 26, № 2,- с. 63-71.
86. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих системах. М.: Машиностроение, 1977.-304 с.
87. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев: Штиинца, 1988.-190 с.
88. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Неустановившиеся движения сплошных сжимаемых сред. -Кишинев: Штиинца, 1973.-436 с.
89. Хесин Г.И. и др. Некоторые экспериментальные и теоретические исследования распространения волн напряжений в линейных вязкоупругих средах // Фотоупругость. Развитие методики. Инженерные приложения. -М.: Энергия, 1975.- с. ЗА—41.
90. Шемякин Е.И. Об одном методе интегрирования граничных нестационарных линейных задач о распространении возмущений в неидеально-упругих средах // ПММ.- 1958.- Т.23, № 3. с.289-300.
91. Штаерман И.Я. К теории симметричных деформаций анизотропных упругих оболочек. Киев: изд-во Киевского политех. И сельскохоз. Ин-та. Кн. I.- 1924, вып.1.-с. 54-72.
92. Якупов Р.Г. Действие разрывной волны на цилиндрическую панель // строит. Мех. И расчет сооруж. 1979.- № 1.- с.35-39.
93. Якушев Н.З. Вынужденные колебания цилиндрической оболочки средней длины // Исследования по теории пластин и оболочек.- Казань: изд-во КГУ, 1964.-№2.- с. 104-110.
94. Achenbach I. D. Wave propagation inelastic solids.-Amsterdam:North-Holland, 1973.-425 p.
95. Berkowitz H.M. Longitudinal impact of a seminfinite elastic Cylindical shells // Y. Appl.Mech. 1963.-V.30, № 3. - p.347-354.
96. Biot M.A. Linear Thermodinamics and the Mechanics of solids. Proc. 3 rd. U.S. Nat Congr. // Appl. Mech. 1958. - V.25, № 1.- p.87-94.
97. Cooper R.M., Naghdi P.M. Propagation of nonaxially symmetric waves in elastic cylindrical shells // Y. Acoust. Soc.Amer.- 1957.-V.29.-№ 12.-p.1365-1373.
98. Forsberg K.Axisymmetric and beam-line vibrations of thin cylindrical shells // AIAA Y.-1969.-V.7.- № 2.- p.221-227.
99. Herrmann G., Mirsky Y. Three-dimensional and shell-theory analysis of axi-ally symmetric motions of cylinders //1. Appl. Mech.-1956.-V.23, № 4. p.563-568.
100. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates //1. Appl. Mech.-1951.-V.18.-№ 1.- p.31-38.
101. Mirsky I., Herrmann G. Axially symmetric motions of thick cylindrical shells //1. Appl. Mech.-1958.-V.25.-№ l.-p.97-102.
102. Mirsky I. Vibrations of ortotropic thick cylindrical shells // I. Acoust. Soc. Amer.- 1964.- V.36. -№ 1.- p.41-51.
103. Shirakawa K. Effects of shear deformation and rotatory inertia on vibration and buckling of cylindrical shells // I. sound and vibration.- 1983.-V.91.- № 3.-p.425-437.
104. Iamamoto I. Structure fluid interaction problems for a ship among waves // Theor and Appl. Mech. Proc. 15 th Int. Congr.,Toronto.- 1980.-Amsterdam.-1980.- p.209-222.
